ESTATSTICA

SOBRAL

Estatstica01.INTRODUO O que modernamente se conhece como Cincias Estatsticas, ou simplesmente Estatsticas, um conjunto de tcnicas e mtodos de pesquisa que entre outros tpicos envolve o planejamento do experimento a ser realizados, a coleta qualificada dos dados, a inferncia, o processamento, a anlise e a disseminao das informaes. O

desenvolvimento e o aperfeioamento de tcnicas estatsticas de obteno e anlise de informaes permitem o controle e o estudo adequado de fenmenos, fatos, eventos e ocorrncias em diversas reas do conhecimento. A Estatstica tem por objetivo fornecer mtodos e tcnicas para lidarmos, racionalmente, com situaes sujeitas a incertezas. Desde a Antiguidade Apesar de a Estatstica ser uma cincia relativamente recente na rea da pesquisa, ela remonta antiguidade, onde operaes de contagem populacional j eram utilizadas para obteno de informaes sobre os habitantes, riquezas e poderio militar dos povos. Aps a idade mdia, os governantes na Europa Ocidental, preocupados com a difuso de doenas endmicas, que poderiam devastar populaes e, tambm, acreditando que o tamanho da populao poderia afetar o poderio militar e poltico de uma nao, comearam a obter e armazenar informaes sobre batizados, casamentos e funerais. Entre os sculos XVI e XVIII as naes, com aspiraes mercantilistas, comearam a buscar o poder econmico como forma de poder poltico. Os governantes, por sua vez, viram a necessidade de coletar informaes estatsticas referentes a variveis econmicas tais como: comrcio exterior, produo de bens e de alimentos. At nossos dias Atualmente os dados estatsticos so obtidos, classificados e armazenados em meio magntico e disponibilizados em diversos sistemas de informao acessveis a pesquisadores, cidados e organizaes da sociedade que, por sua vez, podem utiliz-los para o desenvolvimento de suas atividades. A expanso no processo de obteno, armazenamento e disseminao de informaes estatsticas tem sido acompanhada pelo rpido desenvolvimento de novas tcnicas e metodologias de anlise de dados estatsticos. Toda pesquisa ou trabalho cientifica, nas mais variadas reas, como sociologia, sade, psicologia, etc. Constam de modo bem geral, das seguintes etapas: 1 Coleta de dados , a partir de uma amostra escolhida da populao. 2 Anlise descritiva com resumo e interpretao dos dados coletados.

3 Escolha de um possvel modelo explicativo para o comportamento do objeto em estudo, afim de se fazer, numa etapa posterior, a anlise confirmatria dos dados, conhecida como inferncia. Exemplos: As indstrias costumam realizar pesquisas entre consumidores antes do lanamento de um novo produto no mercado. As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos direcionem a campanha. A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou um campeonato infere no planejamento dos treinamentos. Emissoras de tev utilizam pesquisas que mostram a preferncia dos espectadores para organizar sua programao.

02. TERMOS DE UMA PESQUISA ESTATISTICA 02.01. POPULAO E AMOSTRA Se quisermos saber, por exemplo, qual a matria favorita entre os alunos de uma classe pode consultar todos os alunos da classe. No entanto, isso no possvel quando queremos pesquisar a inteno de voto dos eleitores do estado de So Paulo, pois no podemos consultar todos os eleitores que constituem a populao ou o universo estatstico. Recorremos, ento, ao que se chama de amostra, ou seja, um grupo de eleitores que, consultados, permitem que se chegue ao resultado mais prximo possvel da realidade. comum aparecer na publicao das pesquisas quantos eleitores foram consultados, pois a escolha da amostra (quantos e quais eleitores) fundamental para o resultado. Chamamos de U o universo estatstico e de A uma amostra, temos: A B

02.02. INDIVIDUO OU OBJETO Cada elemento que compe a amostra um individuo ou objeto. No exemplo da inteno de voto, os indivduos da pesquisa so pessoas. Quando se consideram algumas marcas de lmpadas para testar a durabilidade, cada marca um objeto de pesquisa.

02.03. VARIAVEL Uma indstria automobilstica que pretende lanar um novo modelo de carro faz uma pesquisa para sondar a preferncia dos consumidores sobre tipos de combustvel, numero de portas, potncia do motor, preo, cor, tamanho, etc. Cada uma dessas caractersticas uma varivel da pesquisa.

Na varivel tipo de combustvel, a escolha pode ser, por exemplo, entre lcool e gasolina. Dizemos que esses so valores ou realizaes da varivel tipo de combustvel. 02.03.01. VARIAVEL QUALITATIVA Em uma pesquisa que envolve pessoas, por exemplo, as variveis consideradas podem ser sexo, cor de cabelo, esporte preferido e grau de instruo. Nesse caso dizemos que as variveis so qualitativas, pois apresentam como possveis valores ou qualidades dos indivduos dos indivduos pesquisados. Alm disso, dizemos que as variveis qualitativas podem ser ordinais, quando existe uma ordem nos seus valores, ou nominais, quando isso no ocorre. Grau de instruo um exemplo de varivel qualitativa ordinal, pois seus valores podem ser ordenados (fundamental, mdio, superior, etc.)

02.03.03. VARIAVEL QUANTITATIVA Quando as variveis de uma pesquisa so, por exemplo, altura, peso, idade em anos e nmeros de irmos, dizemos que elas so quantitativas, pois seus possveis valores so nmeros. As variveis quantitativas podem ser discretas, quando se trata de contagem ( nmeros inteiros), ou continuas, quando se trata de medidas(nmeros reais).veja: Numero de irmos uma varivel quantitativa discreta, pois podemos contar (0, 1, 2, etc.). Altura uma varivel quantitativa continua, uma vez que pode ser medida (1,55m , 1,80 m , 1,73 m, etc.).

01- Uma concessionria de automveis tem cadastrados 3500 clientes e fez uma pesquisa sobre a preferncia de compra em relao a cor ( branca, vermelha ou azul), preo, numero de portas ( duas ou quatro) e estado de conservao ( novo ou usado). Foram consultados 210 clientes. Diante dessas informaes, responda: a) Qual o universo estatstico e qual a amostra dessa pesquisa?

b) Quais so as variveis e quais os tipos de cada uma?

c) Quais os possveis valores da varivel cor nessa pesquisa?

02.04. FREQUENCIA ABSOLUTA E FREQUENCIA RELATIVA Suponha que entre um grupo de turistas, participantes de uma excurso, tenha sido feita uma pesquisa sobre a nacionalidade de cada um e que o resultado tenha sido o seguinte: Pedro: brasileiro; Ana: brasileira; Ramon: espanhol; Laura: espanhola;

Cludia:brasileira; Srgio: brasileiro; Raul:argentino; Nelson:brasileiro; Silvia: brasileira; Pablo:espanhol. O numero de vezes que um valor da varivel citado representa a freqncia absoluta daquele valor. Nesse exemplo a varivel nacionalidade e a freqncia absoluta de cada um de seus valores : brasileira, 6 ; espanhola, 3; e argentina, 1. Existe tambm a freqncia relativa, que registra a freqncia absoluta em relao ao total de citaes. Nesse exemplo temos: Freqncia relativa da nacionalidade brasileira: 6 em 10 ou 6/10 ou 0,6 ou 60% Freqncia relativa da nacionalidade espanhola: 3 em 10 ou 3/10 ou 0,3 ou 30% Freqncia relativa da nacionalidade argentina: 1 em 10 ou 1/10 ou 0,1 ou 10%

TABELA DE FREQUENCIA A tabela que mostra a varivel e suas realizaes(valores), com as freqncias absoluta (FA) e relativa (FR), chamada de tabela de freqncias. Assim, continuando com o mesmo exemplo, temos: Nacionalidade Brasileira Espanhola Argentina total FA 6 3 1 10 FR 60% 30% 10% 100%

02- Um grupo de alunos foi consultado sobre o time paulista de sua preferncia, e os votos foram registrados assim: Santos, 2; Palmeiras, 4; Corinthians, 8; So Paulo, 6. Construa a tabela de freqncias correspondente a essa pesquisa.

03. REPRESENTAO GRAFICA A representao fornece uma viso de conjunto mais rpida que a observao direta dos dados numricos. Por isso, os meios de comunicao com freqncia oferecem a informao estatstica por meio de grficos. Consideremos uma situao em que, na votao para representante e vice-repesentante da 1 srie do ensino mdio, um aluno anota os votos com um X ao lado do nome do candidato enquanto seus colegas votam. Ao terminar a votao, podemos observar o seguinte desenho:

Adriano x x x x x x x x x x x x x Leticia xxxxxxx

Luciana x x x x x x x x x x Magda xxxx

Marino x x x x x x No precisamos contar os votos para saber quem foi eleito. Pelo xis, notamos que Adriano foi o escolhido para representante e Luciana para vice. Com uma simples olhada, obtemos a informao de que necessitamos. Essa uma caracterstica importante dos grficos estatsticos.

03.01. GRAFICO DE SEGMENTOS OU GRAFICO DE LINHAS A tabela que segue mostra a venda de livros em uma livraria no segundo semestre de determinado ano. Meses do segundo semestre Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%

Nmero de livros vendidos 350 300 400 400 450 500

Series1

Os grficos de segmentos so utilizados principalmente para mostrar a evoluo das freqncias dos valores de uma varivel durante um certo perodo. A posio de cada segmento indica crescimento, decrscimo ou estabilidade. J a inclinao do segmento sinaliza a intensidade do crescimento ou do decrscimo.

03- Utilize o grfico de segmentos que mostrou a venda de livros e responda: a) Em que perodos do segundo semestre as vendas subiram?

b) Em qual desses dois meses as vendas foram maiores: julho ou outubro? c) Em que ms do semestre as vendas foram menores? d) Em que ms foram vendidos 450 livros? 03.02. GRAFICO DE BARRAS Com base no desempenho em Qumica demonstrado pelos alunos de uma classe, um professor elaborou a seguinte tabela: Desempenho em Qumica Insuficiente Regular Bom timo Total FA 6 10 14 10 40 FR 15% 25% 35% 25% 100%

Com os dados da tabela possvel construir o grfico de barras:40% 30% 20% 10% 0%

Series1

timo Bom Regular Insuficiente 0% 10% 20% 30% 40% Series1

04- Durante uma hora foram anotados os tipo de veculos que passaram pela rua de onde est situada uma escola e foram obtidos os seguintes dados: T,T,T,M,A,T,T,M,T,B,B,T,T,A,T,T,C,M,T,T,T,C,B,T,T,T,T,T,A,T,T,T,M,C,T,T,T,T,B

,T,T,M,B,A (M: motocicleta; C: caminho;B: bicicleta; A:Ambulancia; T: carro). Construa um grfico de barras que corresponda a essa pesquisa.

03.03. GRAFICO DE SETORES ( OU GRFICO PIZZA) Em shopping Center h trs salas de cinema, e o nmero de espectadores em cada uma delas num determinado dia da semana foi de 300 na sala A, 200 na B e 500 na C. Veja essa situao representada em uma tabela de freqncias e depois em grficos de setores: Sala A B C FA 300 200 500 FR 300/1000 = 3/10 2/10=1/5 5/10=1/2

30% 20% 50%

30% 50% 20%

A B C 500

300

A B C

200

Em cada grfico de setores o circulo todo indica o total (1000 espectadores ou 100%) e cada setor indica a ocupao de uma sala. Na construo do grfico de setores, determina-se o ngulo correspondente a cada setor por regra de trs.

05- Em uma eleio concorreram os candidatos A, B e C e, apurada a primeira urna, os votos foram os seguintes: A, 50 votos; B, 80 votos; C, 60 votos; BN, 10 votos. Com base nesses dados construa: a) A tabela de freqncia dessa varivel; b) O Grfico de barras, relacionando os valores da varivel com as respectivas freqncias absoluta; c) O grfico de setores, relacionando os valores da sua varivel com suas porcentagens.

03.04. HISTOGRAMA Quando uma varivel tem seus valores indicados por classes(intervalos), comum o uso de um tipo de grfico conhecido por histograma. Por exemplo:

Consideremos a altura (em centmetros) dos alunos de uma sala, agrupada em intervalos, e a seguir os histogramas correspondentes as freqncias absolutas e relativas. Altura (cm) 140 150 150 160 160 170 170 180 180 190 FA 6 10 12 8 4 FR 15% 25% 30% 20% 10%

Histograma com as classes (intervalos) relacionadas as freqncias absolutas:

Histograma com as classes relacionadas as freqncias relativas (em porcentagem):

04. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Com base na idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma nica idade que caracteriza o grupo todo. Considerando a temperatura de vrios momentos em um ms qualquer,podemos determinar uma s temperatura que fornece uma idia aproximada de todo o perodo. Em situaes como essas, o nmero obtido a medida da tendncia central dos vrios nmeros usados. A mdia aritmtica a mais conhecida entre as medidas de tendncia central. Alm dela vamos estudar tambm a moda e a mediana. 04.01. MDIA ARITMTICA (MA) Considerando um grupo de pessoas com 22, 20 , 21, 24 e 20 anos, observamos que: MA= 22 + 20 + 21+ 24 + 20 5 = 107 = 21,4 5

Dizemos , ento, que a mdia aritmtica ou simplesmente a media de idade do grupo 21,4 anos.

Quando aplicamos a mdia aritmtica de nmeros que se repetem, podemos simplificar. Dessa maneira, para obter a mdia aritmtica de 7, 7, 7, 9, 9,9, 9, 9,11 e 11, observamos que: MA = 3.7 + 5.9+ 2.11 = 21 + 45 + 22 = 88 = 8,8 3+5+2 10 10

Vejamos agora , o caso de um aluno que realiza vrios trabalhos com pesos diferentes, isto , com graus de importncia diferentes. Se no decorrer do bimestre ele obteve 6,5 na prova (peso 2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 no trabalho de equipe (peso 2), a sua mdia, que neste caso chamada mdia aritmtica ponderada, ser: MP = 2.6,5 + 3.7,0 + 1. 6,0 +2.7,0 = 13 +21 +6 + 14 = 54 = 6,75 2 +3 +1 +2 8 8

06- Ao medir de hora em hora temperatura em determinado local, registraram-se 14C s 6h, 15C s 7h, 15C s 8h, 18C s 9h, 20C s 10h e 23C s 11h . Qual a temperatura mdia nesse perodo de tempo?

07- Calcule a media aritmtica ponderada de um aluno que obteve no bimestre 8,0 na prova (peso 2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 9,0 no debate (peso 1) e 5,0 no trabalho de equipe (peso 2).

04.02. MODA (MO) Em estatstica, moda a medida de tendncia central definida como o valor mais freqente de um grupo de valores observados. No exemplo grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos a moda 2 anos (Mo = 2) e demonstra mais eficincia para caracterizar o grupo do que a mdia aritmtica. Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0; e 6,0, dizemos que a moda 6,0 e 7,5 e que a distribuio bimodal. Obs.: quando no h repetio de nmeros, no h moda.

08- Considere os nmeros 126, 130, 126 e 102 e calcule: a) A mdia aritmtica (Ma)

b) A mdia aritmtica ponderada (MP), com pesos 2, 3, 1 e 2, respectivamente;

c) A moda (Ma).

04.03. MEDIANA (Me) A mediana outra medida de tendncia central. Assim dados n nmeros em ordem crescente ou decrescente, a mediana ser: O nmero que ocupar a posio central se n for impar. A mdia aritmtica dos dois nmeros que estiverem no centro se n for par. Numa classe, foram anotados as faltas durante um perodo de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7. Em ordem crescente, temos: 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7 7 valores

Me

7 valores

As idades dos alunos de uma equipe so 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos. Para determinar a mediana desses valores, colocamos inicialmente na ordem crescente ( ou decrescente): 12 , 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17 Como temos um nmero par de valores, fazemos a mdia aritmtica entre os dois centrais, que so o 4 e o 5 termo. Logo, a mediana dada por: Me = 14 + 16 = 30 =15 2 2

09- Durante os sete primeiros jogos de um campeonato, um time marcou, respectivamente, 3, 2, 1 , 1, 4, 3 e 2 gols. Determine: a) A mdia de gols por partida (Ma)

b) A moda (Mo)

c) A mediana (Me)

05. MEDIDAS DE DISPERSO

Muitas vezes, a mdia no suficiente para avaliar um conjunto de dados. Por exemplo, quando se fala em um grupo de mulheres com idade mdia de 18 anos. Esse dado, sozinho, no significa muito: pode ser que no grupo, muitas mulheres tenham 38 anos, e outras tantas sejam menininhas de dois! importante, ento, conhecer outra medida, a de que diferena (disperso) existe entre a mdia e os valores do conjunto. Suponhamos que um professor esteja interessado em compara o desempenho de suas diferentes turmas de um mesmo curso de ingls. Para isso, considerou a mdia final dos cinco alunos de suas quatro turmas: Turma A: 5 5 5 5 5 Turma B: 5 6 5 4 5 Turma C: 3 7 6 5 4 Turma D: 1 8 5 2 9

Se calcularmos as mdias aritmticas das notas de cada uma das turmas, notaremos, nos quatro casos, que a mdia da turma igual a 5. Restringindo nossa analise a apenas esse valor, concluiramos esconde informaes em relao homogeneidade ou heterogeneidade do desempenho dos alunos de uma mesma turma. Da a necessidade de se definir uma medida que revele o grau variabilidade das notas de uma turma, a fim de que a anlise no fique comprometida. 05.01. VARINCIA Sejam x1, x2, ..., xn os valores assumidos por uma varivel X e x a mdia aritmtica desses valores. Chamamos de varincia de X indicada por Var(X) ao numero real positivo: Var(X) = (x1 x)2 + (x2 x)2 + ... + (xn- x)2 N Notemos que cada termo do numerador corresponde ao quadrado da diferena entre o valor observado e o valor mdio. Essa diferena traduz o quanto um valor observado se distancia do valor mdio, sendo, portanto, uma medida do grau de variabilidade dos dados em estudo. Se considerarmos o exemplo inicialmente apresentado, temos: Turma A: x = 5

Var(x) = (5 5)2 + (5 5)2 + (5 5)2 + (5 5)2 + (5 5)2 = 0 5

O valor nulo da varincia indica que todos os alunos apresentaram desempenho idntico. Turma B: x = 5 Var(x) = (5 5)2 + (6 5)2 + (5 5)2 + (4 5)2 + (5 5)2 = 0,4 5 O valor muito pequeno encontrado para varincia indica nessa turma os alunos apresentaram desempenhos muito prximos. Turma C: x=5 Var(x) = (3 5)2 + (7 5)2 + (6 5)2 + (5 5)2 + (4 5)2 = 2 5 Esse valor revela um grau de heterogeneidade moderado, no havendo, porem, alunos com desempenhos muito discrepantes. Turma D: x = 5 Var(x) = (1 5)2 + (8 5)2 + (5 5)2 + (2 5)2 + (9 5)2 = 10 5 O valor grande encontrado para varincia nos evidencia a presena de alunos com desempenhos extremos ou muito bons ou muito ruins. 05.02. DESVIO- PADRAO Chamamos de desvio padro de X indicado por DP(X) a raiz quadrada de sua varincia: DP(X) =

10- Dado o conjunto de valores 3 5 2 1 3 4 6 9 3, determine: a) A mdia aritmtica;

b) A varincia;

c) O desvio-padro

06. PROBABILIDADE O clculo das probabilidades pertence ao campo da Matemtica, entretanto a maioria dos fenmenos de que trata a Estatstica so de natureza aleatria ou probabilstica. O conhecimento dos aspectos fundamentais do clculo das probabilidades uma necessidade essencial para o estudo da Estatstica Indutiva ou Inferncia. 06.01. Experimento Aleatrio So fenmenos que, mesmo repetidos vrias vezes sob condies semelhantes, apresentam resultados imprevisveis. O resultado final depende do acaso. Exemplo:

Da afirmao " provvel que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar: - que ele ganhe - que ele perca - que ele empate

Este resultado final pode ter trs possibilidades. 06.02. Espao Amostral o conjunto universo ou o conjunto de resultados possveis de um experimento aleatrio. No experimento aleatrio "lanamento de uma moeda" temos o espao amostral {cara, coroa}. No experimento aleatrio "lanamento de um dado" temos o espao amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No experimento aleatrio "dois lanamentos sucessivos de uma moeda" temos o espao amostral : {(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)} Obs: cada elemento do espao amostral que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. No primeiro exemplo : cara pertence ao espao amostral {cara, coroa}. 06.03. Eventos qualquer subconjunto do espao amostral de um experimento aleatrio. Se considerarmos S como espao amostral e E como evento: Assim, qualquer que seja E, se E c S (E est contido em S), ento E um evento de S. Se E = S , E chamado de evento certo. Se E S e E um conjunto unitrio, E chamado de evento elementar. Se E = , E chamado de evento impossvel. 1) Considere o experimento aleatrio: lanamento de dois dados: O espao que descreve essa experincia : S= {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)} (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) O primeiro de cada par acima indica o resultado no primeiro dado, e o segundo indica o resultado do segundo dado. Considere agora os seguintes eventos: A: a soma dos resultados nos dois dados menor que 4.

B: a soma dos resultados nos dois dados menor que 1.

C: a soma dos resultados nos dois dados igual a 12 ou menor que 12. D: o resultado do primeiro 5 e o segundo 3.

06.04. Conceito de Probabilidade Chamamos de probabilidade de um evento A (sendo que A est contido no Espao amostral) o nmero real P(A) , tal que : nmero de casos favorveis de A / nmero total de casos OBS: Quando todos os elementos do Espao amostral tem a mesma chance de acontecer, o espao amostral chamado de conjunto equiprovvel. Exemplos: 1- No lanamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento A ? S = { ca, co } = 2 A = {ca} = 1 P(A) = 1/2 = 0,5 = 50%

2- No lanamento de um dado qual a probabilidade de obter um nmero par em um evento A ? S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 2,4,6 } = 3 P(A) = 3/6 = 0,5 = 50%

3- No lanamento de um dado qual a probabilidade de obter um nmero menor ou igual a 6 em um evento A ? S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 P(A) = 6/6 = 1,0 = 100%

Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%. 4- No lanamento de um dado qual a probabilidade de obter um nmero maior que 6 em um evento A ? S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A={ }=0 P(A) = 0/6 = 0 = 0%

Obs: a probabilidade de todo evento impossvel = 0 ou 0% 06.05. Eventos Complementares Sabemos que um evento pode ocorrer ou no. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele no ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relao: p+q=1

Obs:Numa distribuio de probabilidades o somatrio das probabilidades atribudas a cada evento elementar igual a 1 onde p1 + p2 + p3 + ... + pn = 1 . 06.06. Eventos Independentes

Quando a realizao ou no realizao de um dos eventos no afeta a probabilidade da realizao do outro e vice-versa. Exemplo: Quando lanamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Ento qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o n 4 no primeiro dado e o n 3 no segundo dado ? Assim, sendo P1 a probabilidade de realizao do primeiro evento e P2 a probabilidade de realizao do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente dada pela frmula: P(1 n 2) = P(1 e 2) = P(1) x P(2)

P1 = P(4 dado1) = 1/6

P2 = P(3 dado2) = 1/6

P total = P (4 dado1) x P (3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/36 06.07. Eventos Mutuamente Exclusivos Dois ou mais eventos so mutuamente exclusivos quando a realizao de um exclui a realizao do(s) outro(s). Assim, no lanamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa" so mutuamente exclusivos, j que, ao se realizar um deles, o outro no se realiza. Se dois eventos so mutuamente exclusivos , a probabilidade de que um ou outro se realize igual soma das probabilidades de que cada um deles se realize: P(1 U 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2)

Exemplo: No lanamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o n 3 ou o n 4 ? Os dois eventos so mutuamente exclusivos ento: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 06.08. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES Apresentaremos neste captulo trs modelos tericos de distribuio de probabilidade, aos quais um experimento aleatrio estudado possa ser adaptado, o que permitir a soluo de grande nmero de problemas prticos. 06.08.01. VARIVEL ALEATRIA Suponhamos um espao amostral S e que a cada ponto amostral seja atribudo um nmero. Fica, ento, definida uma funo chamada varivel aleatria. Muitas vezes no estamos interessados propriamente no resultado de um experimento aleatrio, mas em alguma caracterstica numrica a ele associada. Essa caracterstica ser chamada varivel aleatria. Assim, se o espao amostral relativo ao "lanamento simultneo de duas moedas" S = {(ca,ca), (ca,co), (co,ca), (co,co)} e se X representa o "nmero de caras" que aparecem, a cada ponto amostral podemos associar um nmero para X, de acordo com a tabela abaixo ( X a varivel aleatria associada ao nmero de caras observado):

Ponto Amostral (ca,ca) (ca,co) (co,ca) (co,co)

X 2 1 1 0

Logo podemos escrever: Nmero de caras (X) Probabilidade (X) 2 1 0 1/4 2/4 1/4

Total

4/4 = 1

Exemplo prtico de uma distribuio de probabilidade: Consideremos a distribuio de freqncias relativa ao nmero de acidentes dirios na Rodovia do SOL durante o ms de nov/97: Nmero de Acidentes Frequncia 0 1 2 3 22 5 2 1

Podemos ento escrever a tabela de distribuio de probabilidade: Nmero de Acidentes (X) Probabilidade (X) 0 0,73

1 2 3 Total

0,17 0,07 0,03 1,00

Construmos acima uma tabela onde aparecem os valores de uma varivel aleatria X e as probabilidades de X ocorrer que a tabela de distribuio de probabilidades. 06.09. FUNES DE PROBABILIDADES: f(X) = p(X= xi) Ao definir a distribuio de probabilidade, estabelecemos uma correspondncia unvoca entre os valores da varivel aleatria X e os valores da varivel P (probabilidade). Esta correspondncia define uma funo onde os valores xi formam o domnio da funo e os valores pi o seu conjunto imagem. Assim, ao lanarmos um dado, a varivel aleatria X, definida por "pontos de um dado", pode tomar os valores 1,2,3,4,5 e 6. Ento resulta a seguinte distribuio de probabilidade: X 1 2 3 4 5 6 P (X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

T o t a l 6/6 = 1

06.10. DISTRIBUIO BINOMIAL Vamos imaginar fenmenos cujos resultados s podem ser de dois tipos, um dos quais considerado como sucesso e o outro insucesso. Este fenmeno pode ser repetido tantas vezes quanto se queira (n vezes), nas mesmas condies. As provas repetidas devem ser independentes, isto , o resultado de uma no deve afetar os resultados das sucessivas. No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade de q (q = 1 - p) do insucesso manter-se-o constantes. Nessas condies X uma varivel aleatria discreta que segue uma distribuio binomial.

P(x) =

P(x) = a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas. p = a probabilidade de que o evento se realize em uma s prova = sucesso. q = a probabilidade de que o evento no se realize no decurso dessa prova = insucesso. OBS: O nome binomial devido frmula, pois representa o termo geral do desenvolvimento do binmio de Newton. Parmetros da Distribuio Binomial Mdia = n . p Varincia = n . p . q Desvio padro = a raiz quadrada do produto de n . p . q

Obs: Na probabilidade da unio de dois eventos A e B, quando h elementos comuns, devemos excluir as probabilidades dos elementos comuns a A e B (elementos de A n B ) para no serem computadas duas vezes. Assim P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) Exemplo: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade da carta retirada ser ou um S ou uma carta de COPAS? P(S U Copas) = P(S) + P(Copas) - P(S n Copas) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 Probabilidade Condicional Se A e B so dois eventos, a probabilidade de B ocorrer , depois de A ter acontecido definida por : P (B/A), ou seja, chamada probabilidade condicional de B. Neste caso os eventos so dependentes e definidos pela frmula: P (A e B ) = P (A) x P(B/A)

Exemplo: Duas cartas so retiradas de um baralho sem haver reposio. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS ? P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52 x 12/51 = 0,0588 = 5,88 % P(Copas1) = 13/52 P(Copas2/Copas1) = 12/51 Obs: No exemplo anterior se a 1 carta retirada voltasse ao baralho o experimento seria do tipo com reposio e seria um evento independente. O resultado seria: P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0,625 = 6,25 %

Espao amostral do baralho de 52 cartas: Carta pretas = 26 Pus = 13 (s, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) Espadas = 13 (s, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) Cartas vermelhas = 26 Ouros = 13 (s, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) Copas = 13 (s, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei)

DISTRIBUIO NORMAL Entre as distribuies tericas de varivel aleatria contnua, uma das mais empregadas a distribuio Normal. Muitas das variveis analisadas na pesquisa scio-econmica correspondem distribuio normal ou dela se aproximam.

Propriedades da distribuio normal : 1 - A varivel aleatria X pode assumir todo e qualquer valor real. 2 - A representao grfica da distribuio normal uma curva em forma de sino, simtrica em torno da mdia, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss. 3 - A rea total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas igual a 1, j que essa rea corresponde probabilidade de a varivel aleatria X assumir qualquer valor real. 4 - A curva normal assinttica em relao ao eixo das abscissas, isto , aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcan-lo. 5 - Como a curva simtrica em torno da mdia, a probabilidade de ocorrer valor maior que a mdia igual probabilidade de ocorrer valor menor do que a mdia, isto , ambas as probabilidades so iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.

Quando temos em mos uma varivel aleatria com distribuio normal, nosso principal interesse obter a probabilidade de essa varivel aleatria assumir um valor em um determinado intervalo. Vejamos com proceder, por meio de um exemplo concreto. Exemplo: Seja X a varivel aleatria que representa os dimetros dos parafusos produzidos por certa mquina. Vamos supor que essa varivel tenha distribuio normal com mdia = 2 cm e desvio padro = 0,04 cm. Qual a probabilidade de um parafuso ter o dimetro com valor entre 2 e 2,05 cm ? P ( 2 < X < 2,05) = ?

Com o auxlio de uma distribuio normal reduzida, isto , uma distribuio normal de mdia = 0 e desvio padro = 1. Resolveremos o problema atravs da varivel z , onde z = (X Utilizaremos tambm uma tabela normal reduzida, que nos d a probabilidade de z tomar qualquer valor entre a mdia 0 e um dado valor z, isto : P ( 0 < Z < z) Temos, ento, que se X uma varivel aleatria com distribuio normal de mdia padro S, podemos escrever: P( < X < x ) = P (0 < Z < z) e desvio )/S

No nosso problema queremos calcular P(2 < X < 2,05). para obter eles probabilidade, precisamos, em primeiro lugar, calcular o valor de z que corresponde a x = 2,05 z = (2,05 - 2) / 0,04 = 1,25