Apostila Matematica ColFundamental 1 8

APOSTILA DE MATEMTICA BSICA - Coleo Fundamental - 1/8

Apostila de Matemtica Bsica

Assunto:

MATEMTICA BSICAColeo Fundamental - volume 1/8

Autor:

Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraSumrio

Unidade 1 Reviso de Tpicos Fundamentais do Ensino Mdio04

1.1 Apresentao04

1.2 Simbologia Matemtica mais usual04

1.3 Conjuntos Numricos05

1.4 Operaes com Nmeros Relativos07

1.4.1 Soma ou Adio07

1.4.2 Subtrao ou Diferena08

1.4.3 Multiplicao09

1.4.4 Diviso09

1.4.5 Potenciao10

1.4.6 Radiciao11

1.4.7 Produto14

1.4.8 Expoente Nulo15

1.4.9 Expoente Negativo15

1.4.10 Expoente Fracionrio16

1.4.11 Emprego de Potncias de Dez para simplificar a representao de certos nmeros16

1.5 Produtos Notveis16

1.5.1 Quadrado de um binmio16

1.5.2 Produto da Soma de dois termos pela diferena entre eles17

1.5.3 Cubo de um binmio17

1.6 Equaes19

1.6.1 Equao do 1. grau com uma Incgnita19

1.6.2 Equao do 2. grau com uma Incgnita20

1.7 Progresso Aritmtica (P. A.)22

1.7.1 Definio22

1.7.2 Classificao22

1.7.3 Termo Geral23

1.7.4 Propriedades23

1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. A.25

1.8 Progresso Geomtrica (P. G.)28

1.8.1 Definio28

1.8.2 Classificao29

1.8.3 Termo Geral29

1.8.4 Propriedades30

1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. G.32

1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano35

1.10 Equao reduzida da Reta37

1.11 Noo de Aplicao42

1.12 Exerccios Propostos43

1.13 Respostas dos Exerccios Propostos46

1.14 Nmeros Complexos47

1.14.1 Introduo47

1.14.2 Potncias de j50

1.14.3 Representaes e Formas de um Nmero Complexo51

a) Representaes51

b) As Frmulas de Euler e suas decorrncias54

c) Formas55

c.1) Cartesiana ou Retangular55

c.2) Trigonomtrica55

c.3) Exponencial ou de Euler55

c.4) Polar ou de Steinmetz55

c.5) Algumas Formas Polares Especiais60

c.6) Complexo Conjugado60

1.14.4 Operaes com Nmeros Complexos62

a) Igualdade62

b) Adio e Subtrao62

c) Multiplicao67

d) Diviso69

e) Potenciao71

f) Radiciao74

1.14.5 Desigualdade do Tringulo82

1.14.6 Curvas e Regies no Plano Complexo84

a) Circunferncia84

b) Disco Fechado86

c) Disco Aberto87

d) Exterior da Circunferncia87

e) Coroa Fechada88

f) Coroa Aberta88

g) Circunferncia Unitria88

h) Reta que une dois pontos89

1.15 Exerccios Propostos sobre Nmeros Complexos90

1.16 Respostas dos Exerccios Propostos sobre Nmeros Complexos97

Unidade 2 Somatrios, Produtrios e uma Introduo s Medidas de Posio115

2.1 Introduo aos Somatrios115

2.2 Definio formal de somatrio116

2.3 Propriedades dos Somatrios118

2.4 Somatrio Duplo125

2.5Propriedade dos Somatrios Duplos127

2.6Exerccios Propostos sobre Somatrios128

2.7Respostas dos Exerccios Propostos sobre Somatrios132

2.8Introduo aos Produtrios134

2.9Definio Formal de Produtrio134

2.10Propriedades dos Produtrios135

2.11Exerccios Propostos sobre Produtrios137

2.12Respostas dos Exerccios sobre Produtrios139

2.13Introduo s Medidas de Posio140

2.14Mdia Aritmtica Dados No-agrupados140

2.15Mdia Aritmtica Dados Agrupados141

2.16Mdia Geral143

2.17Mdia Geomtrica Dados No-agrupados143

2.18Mdia Geomtrica Dados Agrupados144

2.19Mdia Harmnica Dados No-agrupados145

2.20Mdia Harmnica Dados Agrupados146

2.21Exerccios Propostos sobre Medidas de Posio149

2.22Exerccios de Reviso sobre Medidas de Posio151

2.23Respostas dos Exerccios Propostos sobre Medidas de Posio152

2.24Respostas dos Exerccios de Reviso sobre Medidas de Posio152

Unidade 3 Matrizes, um primeiro enfoque153

3.1.Apresentao153

3.2.Introduo Histrica153

3.3.Conceitos Fundamentais154

3.4.Matrizes Especiais e Operaes com Matrizes160

3.4.1 Matriz Linha161

3.4.2 Matriz Coluna161

3.4.3 Matriz Quadrada161

3.4.4 Matriz Triangular164

3.4.5 Matriz Diagonal164

3.4.6 Matriz Escalar165

3.4.7 Matriz Identidade ou Matriz Unidade165

3.4.8 Matriz Nula ou Matriz Zero166

3.4.9 Igualdade de Matrizes166

3.4.10 Transposio de matrizes167

3.4.11 Matriz Oposta168

3.4.12 Matriz Conjugada169

3.4.13 Matriz Simtrica170

3.4.14 Matriz Anti-simtrica171

3.4.15 Matriz Hermitiana173

3.4.16 Matriz Anti-hermitiana173

3.4.17 Soma ou Adio de Matrizes174

3.4.18 Subtrao ou Diferena de Matrizes178

3.4.19 Produto de um Nmero Complexo por uma Matriz179

3.4.20 Produto de Matrizes186

3.4.21 Matriz Peridica204

3.4.22 Matriz Idempotente205

3.4.23 Matriz Nilpotente ou Nulipotente206

3.4.24 Polinmio de uma Matriz206

3.4.25 Matrizes em Blocos ou Partio de Matrizes207

3.5 Exerccios Propostos211

3.6 Respostas dos Exerccios Propostos218

Unidade 1

Reviso de Tpicos Fundamentais do Ensino Mdio

1.1 Apresentao

Esta a primeira unidade da disciplina Matemtica 1 dos cursos da rea de Informtica da Universidade Estcio de S.

Devido flagrante heterogeneidade dos alunos, e j tendo tido vrias turmas anteriores de experincia, optamos por apresentar, mesmo que de forma sucinta, alguns assuntos bsicos que entendemos como sendo absolutamente fundamentais para o restante do curso, e esperamos que os estudantes que estejam fora do bom combate h algum tempo, ou h muito tempo, possam colocar suas idias de novo em ordem, e os conceitos fundamentais nos seus devidos lugares.

1.2 Simbologia Matemtica mais usual

Esperamos que o estudante conhea a seguinte simbologia:

a) = (igual )

b) ( (diferente de)

c) ( ou

(conjunto vazio)

d) ( (pertence )

e) ( (no pertence )

f) ( (est contido)

g) ( (no est contido)

h) ( (contm)

i) (no contm)

j) ((existe pelo menos um)

k)

(no existe)

l) (|(existe e nico)

m) | (tal que / tais que)

n) ((ou)

o) ((e)

p) (interseo dos conjuntos A e B)

q) (unio dos conjuntos A e B)

r) ((para todo e qualquer, qualquer que seja)

s) ((implica)

t) ((implica e a recproca equivalente)

u) ((donde se conclui)

1.3 Conjuntos Numricos

lgico que, para a Matemtica, os conjuntos de maior importncia so aqueles formados por nmeros, e certos conjuntos numricos so especialmente importantes devido s propriedades das operaes entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam:

a) N

o conjunto dos nmeros inteiros no-negativos.

b) Z

o conjunto dos nmeros inteiros.

c) Q sendo p ( Z, q ( Z e q (0.

o conjunto dos nmeros racionais.

So exemplos de nmeros racionais: , , , etc.

So exemplos de nmeros irracionais: (pi), (base dos logaritmos neperianos), , , etc.

d) R o conjunto dos nmeros reais, formados por todos os nmeros racionais e irracionais, e costumamos associar tais nmeros aos pontos de uma reta que, por definio, infinita em ambos os sentidos.

Fig. 1.1 Representao grfica de alguns elementos do conjunto R.

e) , sendo x ( R, y ( R e , o conjuntos dos nmeros complexos (voltaremos a tal assunto na seo 1.14).

Quando inclumos o smbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excludo do conjunto. Assim, temos:

f)

EMBED Equation.3N e

o conjunto dos nmeros naturais.

g) Z e

h)

EMBED Equation.3 Q e

i)

EMBED Equation.3 R e

j)

EMBED Equation.3 C e

Quando inclumos o smbolo + (mais), estamos indicando que foram excludos todos os nmeros negativos dos conjunto.

k)

EMBED Equation.3 Z e

EMBED Equation.3 o conjunto dos nmeros inteiros no negativos.

l)


o conjunto dos nmeros racionais no negativos

m)


o conjunto dos nmeros reais no negativos.

Quando acrescentamos o smbolo (menos) estamos indicando que foram excludos todos os nmeros positivos do conjunto. Assim, temos:

n)


o conjunto dos nmeros inteiros no positivos.

o)


o conjuntos dos nmeros racionais no positivos.

p)


o conjunto dos nmeros reais no positivos.

Devemos notar que o zero elemento dos conjuntos , , , , , . Se exclumos o zero destes conjuntos, teremos:

q)


r)


s)


t)


u)


v)


O conjunto chamado conjunto dos nmeros reais estritamente positivos e o conjunto dos nmeros reais estritamente negativos. Os outros tm nomes semelhantes.

Notemos a propriedade:

isto , todo nmero natural inteiro, todo nmero inteiro racional, todo nmero racional real e todo nmero real tambm complexo.

1.4 Operaes com Nmeros Relativos

( Ilustrao 1.1: Nmeros relativos

1.4.1 Soma ou Adio

Quando os nmeros tm o mesmo sinal basta conserv-lo e adicionar os nmeros; quando os sinais so contrrios subtramos o menor do maior, e o sinal que prevalece o deste ltimo. bom lembrar tambm que o sinal mais (+) antes de um parntese no vai alterar o sinal do nmero que est entre parnteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parntese for o de (). Se no houver nenhum sinal antes do parntese estar implcito que o sinal ser o de mais (+).

( Ilustrao 1.2a)

b)

c)

d)

Quando devemos somar mais de dois nmeros relativos o resultado obtido somando o primeiro com o segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante at a ltima parcela.

( Ilustrao 1.3

2

Podemos tambm adicionar separadamente todas as parcelas positivas e todas as negativas e, em seguida, somar os dois nmeros de sinais contrrios obtidos.

( Ilustrao 1.4

Efetuando a soma do exemplo anterior, temos:

soma das parcelas positivas:

soma das parcelas negativas:

soma de ambos os resultados:

1.4.2 Subtrao ou Diferena

Cumpre observar que o sinal de menos () antes de um parntese troca o sinal do nmero que est entre parnteses e, no mais, procedemos como na operao anterior.

( Ilustrao 1.5a)

b)

c)

d)

Para as operaes de multiplicao e diviso que viro logo a seguir vale a seguinte regra: Nmeros de mesmo sinal do sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrrios conduzem sempre resultados negativos.

1.4.3 Multiplicao

( Ilustrao 1.6

a)

b)

c)

d)

1.4.4 Diviso

( Ilustrao 1.7

a)

b)

c)

d)

1.4.5 Potenciao

Quando, em uma multiplicao, os fatores so todos iguais, em mdulo e em sinal, esta operao recebe o nome de potenciao. Assim sendo, a potncia de um nmero o produto de fatores iguais a este nmero, sendo representada por:

Conforme veremos a seguir, toda potncia de expoente par positiva, qualquer que seja o sinal da base, porm, toda potncia de expoente mpar tem o sinal de base.

( Ilustrao 1.8

a)

b)

c)

d)

Para executar a potenciao de um nmero relativo em uma minicalculadora, a seqncia de operaes simples:

(a) Determinar :

1.) Digitamos a base (2)

2.) Pressionamos a tecla exponencial

(CASIO modelo fx-82LB)

ou

(CASIO modelo fx-6300 G)

,

que depende do modelo da minicalculadora.

3.) Digitamos o expoente (4)

4.) Pressionamos a tecla exponencial

(CASIO modelo fx 82LB)

ou

(CASIO modelo fx 6300G),

que depende do modelo da minicalculadora.

5.) Vai aparecer o nmero 16 no visor da calculadora.

(b) Determinar :

Primeiramente digitamos a base (2). Em algumas calculadoras (CASIO fx 82 LB, por exemplo) digitamos o nmero 2 e depois apertamos a tecla para trocar o sinal para menos. Em outras (CASIO fx 6300G) apertamos a tecla e depois digitamos o nmero 2. O restante da seqncia de operaes igual a do item a: tecla exponencial, expoente...

A esta altura interessante notar a diferena entre a potenciao seqencial e a potenciao escalonada, que sero analisadas logo a seguir.

( Ilustrao 1.9

a) Potenciao Seqencial:

, que tambm pode ser efetuada diretamente mantendo-se a base e multiplicando-se os expoentes:

b) Potenciao Escalonada:

que pode ser entendida como , ou seja:

1.4.6 Radiciao

a) Raiz n-sima de um nmero:

Dizemos que um nmero b a raiz n-sima exata de um nmero a quando

e ela representada por

Denomina-se radiciao a operao pela qual se obtm a raiz n-sima de um nmero. Nas operaes exatas, a radiciao a operao inversa da potenciao.

Temos ento:

Assim sendo

porque

porque

No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e no usual escrever este ndice no radical.

No caso de n = 3 a raiz se diz cbica, mas este ndice aparece no radical.

b) Valor algbrico dos radicais:

Se o radicando considerado em valor absoluto (mdulo), a radiciao uma operao unvoca. No entanto, se este radicando um nmero relativo a unicidade, em alguns casos, no estar mais garantida e por isso vamos considerar trs casos:

1.) ndice par e radicando positivo.

Neste caso o radical admitir duas razes reais e simtricas no conjunto dos nmeros reais, bem como um par complexo conjugado (vide exerccio proposto 39, item j da seo 1.15).

2.) ndice mpar.

Sendo o ndice do radical um nmero mpar, temos uma raiz no conjunto dos nmeros reais, tendo o mesmo sinal que o radicando, e (n 1) razes no conjunto dos nmeros complexos (vide exerccio proposto 38, item f, da seo 1.15).

3.) ndice para e radicando negativo.

Neste caso no existe nenhum valor do conjunto do nmeros reais que elevado ao ndice para seja igual ao radicando. Este assunto ser abordado na seo 1.14.

( Ilustrao 1.10

1. caso

2. caso

3. caso

Observao: pelo que foi exposto, se algum lhe perguntar qual o valor de , a resposta e simplesmente 3. Agora se for pedido o valor algbrico do teremos ento ( 3.

A determinao de razes atravs de minicalculadoras simples:

a) Determinar :

a.1) Utilizando uma CASIO fx-82 LB:

1.) Digitamos o radicando 625

2.) Pressionamos as teclas e a fim de convocar a operao

3.) Digitamos o expoente 4

4.) Pressionamos a tecla

5.) O nmero 5 aparece no visor de calculadora, e devemos ter em mente que se desejamos o valor algbrico da raiz a resposta completa ( 5.

a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G

1.) Digitamos o ndice 4


3.) Digitamos o radicando 625


5.) O nmero 5 aparece no visor

b) Determinar :

a.1) Utilizando um CASIO fx-82 LB

1.) Digitamos o valor 32 e pressionamos a tecla para trocar o seu sinal

2.) Pressionamos as teclas e a fim de convocar a operao



5.) O valor 2 aparece no visor.

a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G



3.) Pressionamos a tecla e depois o valor 32


5.) O valor 2 aparece no visor.

Observao: Devemos notar que as rotinas para calculadoras do mesmo fabricante (CASIO), mas de modelos diferentes, so totalmente diferentes. O que no esperar de modelos de outros fabricantes?

Por isso insistimos que cada estudante deve adquirir logo sua prpria calculadora, a fim de se familiarizar com o uso da mesma.

1.4.7 Produto e Diviso de Potncias de Mesma Base

a) Para multiplicar potncias de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

b) Para dividir potncias de mesma base, repetimos a base e subtramos o expoente do denominador do expoente do numerador.

( Ilustrao 1.11

a)

b)

c)

d)

1.4.8. Expoente Nulo

Toda potncia de expoente nulo igual unidade.

Ilustrao 1.12

Observao:

So excees e , que no tm qualquer significado numrico, sendo smbolos de indeterminao, e so abordados em Anlise Matemtica na parte de Limites.

1.4.9 Expoente Negativo

Toda potncia de expoente negativo equivale a uma frao cujo numerador a unidade e o denominador a potncia com o expoente positivo ou seja: . (1)( Ilustrao 1.13

a)

b)

Observaes:1)Em conseqncia do exposto anteriormente temos:

(2)2)Agora podemos obter o mesmo resultado do item (d) da ilustrao 11 por outro caminho:

1.4.10 Expoente Fracionrio

Toda potncia de expoente fracionrio equivale a uma raiz cujo ndice o denominador da frao e cujo radicando a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja:

(3)( Ilustrao 1.14

Determinar os valores algbricos das seguintes operaes:

a)

b)

c)

1.4.11 Emprego de Potncias de Dez para simplificar a representao de certos Nmeros

( Ilustrao 1.15

No Brasil:Nos E.U.A.:

a) *(

b) *(

c)

(

d)

(

(*) Antigamente representava-se 2 e 4 milhes, respectivamente por 2.000 e 4.000.000. J h alguns anos aboliram-se os pontos separatrizes de classes, mantendo-se agora um espao entre as mesmas.

1.5 Produtos Notveis

1.5.1 Quadrado de um binmio

a) :

ou

(4)b) :

ou

(5)

1.5.2 Produto da soma de dois termos pela diferena entre eles

:

ou

(6)

1.5.3 Cubo de um binmio

a)

ou

(7)b)

ou

(8)( Ilustrao 1.16

a)

b)

c)

d)

e)

1.6 Equaes

1.6.1 Equao do 1 Grau com uma Incgnita

Toda equao do 1 grau com uma incgnita pode ser reduzida a forma

(9)em que .

Sua soluo :

(10)

Exemplo 1.1

Resolver as seguintes equaes do 1 grau:

a)

b)

c)

d) (sendo p ( 0)

Soluo:

a)

b)

c)

d)

1.6.2 Equao do 2 Grau com uma Incgnita

A forma geral da equao do 2 grau com uma incgnita :

(11)onde .

Vamos ento transformar a equao em outra equivalente, de modo que o primeiro membro seja um quadrado perfeito do tipo indicado na equao (4).

a) Transpondo a constante para o segundo membro, vem:

b) Multiplicando por , teremos:

c) Somando aos dois membros, resulta:

d) Verificando que o 1 membro um quadrado perfeito, teremos:

e) Extraindo as razes quadradas de ambos os membros, obtemos:

(12)que a conhecida frmula da Bhaskara, onde

.....(13) o discriminante da equao, e trs casos podem ocorrer:

1)

( teremos duas razes reais e desiguais.

2)

( teremos duas razes reais e iguais.

3)

( no teremos razes no conjunto dos nmeros reais, e este caso ser abordado na seo 1.14.

Exemplo 1.2

Resolver as seguintes equaes do 2 grau:

a)

b)

c)

Soluo:a)

b)

c)

e esta equao no admite razes no campo real. Sua soluo ser apresentada na subseo 1.14.1 ( e so as suas razes).

1.7 Progresso Aritmtica (P.A.)

1.7.1 Definio

uma sucesso de termos

()

finita ou infinita, sendo que, a partir do 2 termo inclusive, a diferena entre um termo qualquer e o seu antecedente igual a uma quantidade constante r, denominada razo da progresso, ou seja:

As seguintes seqncias so exemplos de P.A.:

a) ( e

b) ( e

c) ( e

d) e

e) ( e

1.7.2 Classificao

As progresses aritmticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razo r:

P.A. crescente

P.A. constante ou estacionria

P.A. decrescente

1.7.3 Termo geral

A partir da definio, podemos escrever os termos da P.A. da seguinte forma:

Observe que cada termo obtido adicionando-se ao primeiro um nmero de razes r igual posio do termo menos uma unidade, ou seja:

O termo de ordem n da P.A. dado, portanto, pela frmula a seguir:

(14)que pode tambm ser obtida da seguinte maneira:

Somando membro a membro estas n 1 igualdades obtemos a expresso do termo de ordem n.

e

(14)que a mesma equao anteriormente encontrada.

1.7.4 Propriedades

I) Numa P.A. cada termo, a partir do segundo, a mdia aritmtica entre o termo precedente e o termo seguinte.

Com efeito, se

so termos consecutivos de uma P.A., ento podemos escrever:

ou seja,

e

(15)

II) Em qualquer P.A. limitada, a soma de dois termos eqidistantes dos extremos constante e igual soma dos prprios extremos.

Seja pois a P.A. limitada, com n termos, razo r, e A e B os termos eqidistantes dos extremos, conforme ilustrado a seguir:

()

( expoente (n. de repeties dos fatores iguais)

( base ( o nmero ou fator em questo)

ii9

_1087717744.unknown

_1087717788.unknown

_1087717810.doc

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

2

1

0

1

2

3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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_1050653077.unknown

_1067233348.unknown

_1067234299.unknown

_1050641982.unknown

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_1087717721.doc

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1049832705.unknown

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Apostila Matematica ColFundamental 1 8