Apostila matematica

4Funções polinomiais

Antes de ler o capítuloEsse capítulo trata de umgrupo particular de funções, demodo que, antes de lê-lo, o lei-tor precisa dominar o conteúdodo Capítulo 1.

Depois de tratarmos das funções de uma forma genérica, é hora de possarmos a discu-tir aquelas funções que são usadas com maior frequência na modelagem de fenômenosreais.

Nesse capítulo, trataremos das funções que envolvem polinômios. Já as funçõesexponenciais e logarítmicas, igualmente importantes, serão vistas no Capítulo 5. Fi-nalmente, deixamos para o segundo volume desse livro o tratamento das funçõestrigonométricas, dada a relação que essas têm com a geometria do triângulo retân-gulo.

4.1 Funções quadráticas

Por motivos óbvios, damos o nome de função polinomial a uma função que é dadapor um polinômio. O quadro abaixo fornece uma descrição precisa desse tipo defunção, tomando por base a definição de polinômio fornecida na Seção 2.9.

Função polinomialSeja dado um número inteiro não negativo n, bem como os coeficientes reaisa0, a1,⋯,an, com an ≠ 0. A função definida por

f(x) = anxn+ an−1x

n−1+⋯ + a1x + a0

é denominada função polinomial de grau n, com relação a x.

Algumas funções polinomiais já foram vistas no Capítulo 3, tais como

f(x) = c Função constante (grau 0).

f(x) =mx + b Função linear ou afim (grau 1).

f(x) = xn Função potência de grau n

Nessa seção, trataremos das funções polinomiais de grau 2, também conhecidascomo funções quadráticas.

294 Capítulo 4. Funções polinomiais

Função quadráticaSejam dados os coeficientes reais a, b e c, com a ≠ 0. A função definida por

f(x) = ax2+ bx + c

é denominada função quadrática.

As funções quadráticas têm aplicações em áreas variadas, como a física, a econo-mia, a engenharia, a biologia e a geografia. O problema abaixo mostra o emprego deuma função quadrática à descrição da trajetória de uma bola.

Problema 1. Trajetória de uma bola de golfe

Um golfista dá uma tacada que faz sua bola descrever uma trajetória na qual aaltura é dada pela função

f(x) = −0,008x2+ x,

em que x é a distância horizontal da bola, medida a partir de sua posição antes datacada. A Figura 4.1 ilustra a trajetória da bola.

Figura 4.1: Trajetória de umabola de golfe. Quando a bola estáa uma distância x̄ do ponto de par-tida, sua altura é f(x̄).

a) Determine a altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 50 mde seu ponto de partida.

b) Com base em uma tabela de pontos, trace a trajetória da bola no plano Cartesiano.

c) Determine a que distância do ponto de partida a bola cai no chão.

Solução.

a) A altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 50 m de sua posiçãooriginal é dada por

f(50) = −0,008 ⋅ 502+ 50 = 30.

Logo, a bola está a uma altura de 30 m.

b) A Tabela 4.1 fornece uma lista de pares ordenados obtidos a partir da definiçãode f . Com base nesses pontos, traçamos o gráfico da Figura 4.2, que mostra atrajetória descrita pela bola.

Tabela 4.1

x f(x)

0 0,020 16,840 27,260 31,280 28,8100 20,0120 4,8140 -16,8 Figura 4.2: Gráfico da função que representa a trajetória da bola de golfe.

c) Observando a Figura 4.2, concluímos que a bola toca o solo a cerca de 125 metrosde seu ponto de partida. Para determinar com exatidão a coordenada horizontaldesse ponto, basta lembrar que dizer que a bola está sobre o solo é o mesmo queafirmar que sua altura é zero. Assim, temos f(x) = 0, ou seja,

−0,008x2+ x = 0 ⇒ x(−0,008x + 1) = 0.

Seção 4.1. Funções quadráticas 295

As raízes dessa equação devem satisfazer x = 0 ou −0,008x + 1 = 0. Nesse últimocaso, temos

−0,008x + 1 = 0 ⇒ −0,008x = −1 ⇒ x =−1

−0,008= 125.

Logo, os pontos em que a bola toca o solo são aqueles nos quais x = 0 m (pontode partida) e x = 125 m, que é a distância horizontal entre o ponto de partida e oponto de queda da bola.


É importante notar que uma função quadrática pode ser fornecida em outro for-mato que não aquele apresentado no quadro acima, como mostram os exemplos aseguir.

Problema 2. Conversão de funções quadráticas ao formato usual

Converta as funções abaixo ao formato f(x) = ax2 + bx + c.

a) f(x) = 2(x − 1)(x + 3) b) f(x) = −3(x − 4)2 + 6

Solução.

a) Aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever

2(x − 1)(x + 3) = 2(x2− x + 3x − 3) = 2x2

+ 4x − 6.

Logo, f(x) = 2x2 + 4x − 6.

b) Usando a regra do quadrado da soma (ou seja, a propriedade distributiva maisuma vez), obtemos

−3(x − 4)2+ 6 = −3(x2

− 8x + 16) + 6 = −3x2+ 24x − 48 + 6 = −3x2

+ 24x − 42.

Assim, f(x) = −3x2 + 24x − 42.

∎ Gráfico das funções quadráticasO gráfico de uma função quadrática tem um formato característico – similar a umaletra “U” mais aberta –, e é chamado parábola. A Figura 4.3 mostra duas parábolastípicas.

(a) a > 0 (b) a < 0

Figura 4.3: Gráficos de parábolas e sua relação com o coeficiente a.

Observando as curvas da Figura 4.3, notamos que a função quadrática tem umponto de mínimo ou um ponto de máximo local. A esse ponto especial da paráboladamos o nome de vértice. Além disso, toda parábola é simétrica a uma reta verticalque passa por seu vértice. Essa reta vertical é denominada eixo de simetria.

Outra característica importante de parábola é a sua concavidade, que é a ladopara o qual a curva se abre. A Figura 4.3a mostra uma parábola com concavidadepara cima, enquanto a Figura 4.3b mostra uma parábola com concavidade para baixo.


Note que há uma relação entre a concavidade e o sinal do coeficiente a. Se a > 0, aparábola tem concavidade para cima. Por outro lado, a concavidade é para baixo sea < 0.

O parâmetro a também controla a abertura da parábola. Quanto maior for o valorabsoluto desse parâmetro, menor será a abertura, e vice-versa, como ilustra a Figura4.4.

Figura 4.4: Influência do parâmetro a sobre a abertura da parábola.

Por sua vez, o coeficiente c da função quadrática determina o intercepto-y daparábola, pois, tomando x = 0, temos

f(0) = a ⋅ 02+ b ⋅ 0 + c = c.

Já os interceptos-x da parábola correspondem às raízes da equação f(x) = 0, que éequivalente à equação quadrática

ax2+ bx + c = 0.

Seguindo, então, a análise feita na Seção 2.10 acerca do papel do discriminante ∆ =

b2 − 4ac do polinômio quadrático, podemos dizer que a parábola

• intercepta o eixo-x em dois pontos se ∆ > 0;

• intercepta o eixo-x em um ponto se ∆ = 0;

• não intercepta o eixo-x se ∆ < 0.

Problema 3. Interceptos da parábola

Dada a função quadrática

f(x) = 2x2− 5x − 3,

determine os interceptos de seu gráfico com os eixos coordenados.

Solução.

• O intercepto-y da parábola é dado pelo coeficiente c, cujo valor é −3.

• Para obter os interceptos-x, devemos resolver a equação

2x2− 5x − 3 = 0.

Nesse caso, o discriminante vale

∆ = b2− 4ac = (−5)2

− 4 ⋅ 2 ⋅ (−3) = 25 + 24 = 49.


Como ∆ > 0, sabemos que o gráfico intercepta o eixo-x em dois pontos. Recor-rendo, então, à fórmula de Bháskara, obtemos

x =−(−5) ±

√49

2 ⋅ 2=

5 ± 74

.

Logo, os interceptos são

x1 =5 + 7

4= 3 e x2 =

5 − 74

= −12.

∎ Forma canônica da função quadráticaSuponha que conheçamos as coordenadas (m,k) do vértice de uma parábola,bem como o coeficiente a, que fornece sua concavidade e abertura. Nesse caso,é fácil determinar a expressão da função quadrática f(x) correspondente, bemcomo traçar o seu gráfico, bastando para isso que apliquemos sobre a funçãoq(x) = x2 algumas das transformações apresentadas na Seção 3.8.Em linhas gerais, essa estratégia de obtenção de uma função quadrática podeser dividida nos seguintes passos:

1. Encolha ou estique a função q(x) = x2 de forma a obter h(x) = ax2.Supondo que a > 0, o gráfico de h será similar à curva tracejada mostradana Figura 4.5a.Por outro lado, se a < 0, o gráfico de h incluirá uma reflexãoda parábola em relação ao eixo-x.

2. Desloque o gráfico da função h por m unidades na horizontal paraobter g(x) = a(x −m)2.Supondo que m seja um valor positivo, o gráfico de g equivalerá à curvaverde da Figura 4.5a, na qual a coordenada-x do vértice é m. Já param < 0, haverá um deslocamento para a esquerda.

3. Desloque o gráfico de g por k unidades na vertical para obterf(x) = a(x −m)2 + k.No caso em que k > 0, o gráfico de f será equivalente à curva azul apresen-tada na Figura 4.5b. Já se k < 0, a parábola será deslocada para baixo.

(a) Deslocamento de m unidades na horizontal (b) Deslocamento de k unidades na vertical

Figura 4.5: Transformações que levam h(x) = ax2 em f(x) = a(x −m)2 + k.


Esse procedimento para a obtenção de uma parábola com abertura a e vér-tice (m,k) sugere que toda função quadrática pode ser apresentada na formacanônica

f(x) = a(x −m)2+ k. (Forma canônica)

Para mostrar que é sempre possível converter uma função quadrática f(x) =

ax2 + bx + c para a forma canônica, e vice-versa, basta estabelecer uma relaçãoúnica entre os coeficientes de uma e outra forma. Essa relação pode ser obtidaexpandindo a forma canônica:

f(x) = a(x −m)2+ k

= a(x2− 2mx +m2

) + k

= ax2−2am²

b

x + am2+ k

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶c

.

Comparando essa expressão de f(x) com a forma usual f(x) = ax2 + bx + c,concluímos que o coeficiente a que aparece nas duas formas é o mesmo. Alémdisso,

b = −2am e c = am2+ k.

Assim, percebemos que é fácil determinar os coeficientes b e c a partir de a edas coordenadas do vértice da parábola. Vejamos, agora, como obter m e k apartir de a, b e c.Como b = −2am, temos

m = −b

2a.

Da mesma forma, como c = am2 + k, podemos escrever

k = c − am2 Isolando k na equação.

= c − a(−b

2a)

2Substituindo m por −b/(2a)

= c − ab2

4a2 Calculando o quadrado do quociente

= c −b2

4aSimplificando o segundo termo

=4ac − b2

4aReescrevendo a diferença.

= −∆4a

Usando o fato de que ∆ = b2 − 4ac é odiscriminante do polinômio quadrático.

O quadro a seguir resume as fórmulas de conversão entre os dois principais forma-tos de uma função quadrática.

Conversão Coeficientes

De f(x) = ax2 + bx + cm = −

b

2a k = −∆4apara f(x) = a(x −m)2 + k

De f(x) = a(x −m)2 + kb = −2am c = am2 + k

para f(x) = ax2 + bx + c


Embora não seja muito empregada, a forma canônica é útil quando se quer escreveruma função quadrática (ou traçar seu gráfico) a partir das coordenadas do vértice,como mostra o problema abaixo.

Problema 4. Função quadrática na forma canônica

Encontre a função quadrática cujo gráfico tem vértice em (−2,4) e que passa peloponto (−5, − 14). Em seguida, trace o gráfico da função.

Solução.

Como o vértice tem coordenadas m = −3 e k = 4, a função tem a forma

f(x) = a(x − (−3))2+ 4 ⇒ f(x) = a(x + 3)2

+ 4.

Usando, agora, o fato de que a parábola passa pelo ponto (−5, − 4), escrevemosf(−5) = −4, de modo que

−4 = a(−5 + 3)2+ 4

−4 = a(−2)2+ 4

−8 = 4a−2 = a.

Logo, a função quadrática é

f(x) = −2(x + 3)2+ 4

Para traçar o gráfico de f(x), deslocamos a parábola y = −2x três unidades paraa esquerda e quatro unidades para cima, como mostra a Figura 4.6, na qual o gráficode f(x) é exibido em verde.

Figura 4.6: Gráfico de f(x) a par-tir da parábola y = −2x2.

Agora, tente o exercício 5.

∎ Ponto de máximo ou de mínimo de uma função quadráticaEm muitas situações práticos, usamos uma função quadrática para descrever um pro-blema que envolve a otimização de recursos (dinheiro, matérias-primas etc.). Nessescasos, é imprescindível conhecer o ponto no qual a função atinge seu valor máximoou mínimo.

Como vimos acima, a função quadrática possui apenas um ponto de máximo oumínimo local, que corresponde ao vértice da parábola. Agora que sabemos como obteras coordenadas m e k do vértice a partir dos coeficientes a, b e c, fica fácil determinaros pontos extremos da função.

Ponto de máximo ou mínimo da função quadráticaDada a função quadrática f(x) = ax2 + bx+ c, com discriminante ∆ = b2 − 4ac,

• Se a > 0, f tem um único ponto de mínimo em x∗ = −b

2a.

O valor mínimo de f é dado por f(x∗) = −∆4a

.

• Se a < 0, f tem um único ponto de máximo em x∗ = −b

2a.

O valor máximo de f é dado por f(x∗) = −∆4a

.


Exemplo 1. Altura máxima da bola de golfe

Voltando ao Problema 1, vamos determinar a altura máxima atingida por umabola de golfe que, após uma tacada, descreve uma trajetória na qual a altura é dadapela função

f(x) = −0,008x2+ x,

em que x é a distância horizontal da bola, medida a partir de sua posição antes datacada.

Nesse caso, a bola atinge a altura máxima em

x = −b

2a= −

12 ⋅ (−0,008)

=1

0,016= 62,5 m.

Nesse ponto, a altura é igual a

f(62,5) = −0,008 ⋅ 62,52+ 62,5 = 31,25 m.

Problema 5. Maximização do lucro de um restaurante

Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, cobrando R$ 15,00 peloquilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preçodo quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5 kg de comida. Respondaàs perguntas abaixo, supondo que x é a quantia, em reais, a ser acrescida ao valoratualmente cobrado pelo quilo da refeição.

a) Exprima o preço do quilo de comida, em função de x.

b) Exprima a quantidade de comida vendida, em função de x.

c) Sabendo que a receita do restaurante é o produto do preço pela quantidade decomida vendida, escreva a função R(x) que fornece a receita em relação a x.

d) Determine o preço por quilo que maximiza a receita do restaurante.

Solução.

a) Se o quilograma de comida custa, atualmente, R$ 15,00, e o restaurante estudaaumentá-lo em x reais, então o novo preço pode ser descrito pela função

P (x) = 15 + x.

b) Sabemos que o restaurante vende, diariamente, 100 kg de comida, mas que essaquantidade será reduzida em 5 kg a cada R$ 1,00 acrescido ao preço. Assim, se orestaurante promover um aumento de x reais, a quantidade vendida será

Q(x) = 100 − 5x.

c) A receita do restaurante é o produto do preço pela quantidade vendida, ou seja,

R(x) = P (x)Q(x)

= (15 + x)(100 − 5x)= −5x2

+ 25x + 1500.


d) Como a < 0, a função R(x) tem um ponto de máximo em

x = −b

2a= −

252 ⋅ (−5)

=2510

= 2,5.

Logo, o aumento de preço que maximiza a receita é igual a R$ 2,50, de modo queo restaurante deve passar a cobrar, por quilograma,

P (2,50) = 15 + 2,50 = R$ 17,50.

Caso haja esse aumento de preço, a quantidade vendida diariamente será igual a

Q(2,50) = 100 − 5 ⋅ 2,50 = 87,5 kg,

e a receita atingiráNote que, hoje, o restaurante temuma receita diária de R$ 1500,00.

R(2,50) = P (2,50)Q(2,50) = R$ 1531,25.


∎ Inequações quadráticasNa Seção 2.11, vimos como resolver uma inequação quadrática fatorando-a e anali-sando o sinal dos fatores. Agora que definimos a função quadrática f(x) = ax2+bx+c,discutiremos como resolver o mesmo tipo de inequação, escrevendo-a na forma

f(x) ≤ 0 ou f(x) ≥ 0.

Em nossa análise, levaremos em conta

• o número de raízes da equação ax2 + bx + c = 0;

• o sinal de a, que indica para que lado está voltada a concavidade da parábola.

Como sabemos que a equação f(x) = 0 pode ter duas, uma ou nenhuma raizreal, vamos investigar quando f(x) ≤ 0 e quando f(x) ≥ 0 em cada um desses casosseparadamente.

1. Se a equação f(x) = 0 tem duas raízes reais, x1 e x2, com x1 < x2, é fácildeterminar os intervalos em que f é positiva ou negativa observando a Figura4.7. Note que o sinal de f depende do sinal de a, como descrito na Tabela 4.2.

(a) a > 0 (b) a < 0

Figura 4.7: Sinal de f quando a função tem dois zeros.

Tabela 4.2: Relação entre a e o sinal de f quando a função tem dois zeros.

Sinal Sinal de ade f a > 0 a < 0

f ≥ 0 x ≤ x1 ou x ≥ x2 x1 ≤ x ≤ x2

f ≤ 0 x1 ≤ x ≤ x2 x ≤ x1 ou x ≥ x2


2. Se a equação f(x) = 0 tem uma única raiz real, x1, os possíveis gráficos de fsão aqueles mostrados na Figura 4.8. Nesse caso, a solução de cada tipo dedesigualdade é indicada na Tabela 4.3.

(a) a > 0 (b) a < 0

Figura 4.8: Sinal de f quando a função tem apenas um zero.

Tabela 4.3: Relação entre a e o sinal de f quando a função tem apenas um zero.


f ≥ 0 x ∈ R x = x1

f ≤ 0 x = x1 x ∈ R

3. Se a equação f(x) = 0 não tem raízes reais, então f não muda de sinal e tam-pouco toca o eixo-x, como mostram a Figura 4.9 e a Tabela 4.4.

(a) a > 0 (b) a < 0

Figura 4.9: Sinal de f quando a função não tem zeros.

Tabela 4.4: Relação entre a e o sinal de f quando a função não tem zeros.


f ≥ 0 x ∈ R Nunca

f ≤ 0 Nunca x ∈ R

Problema 6. Inequações quadráticas

Resolva cada inequação abaixo observando o sinal da função quadrática associada.


a) −2x2 + 3x + 9 ≥ 10 b) x2 − 8x + 16 ≤ 0 c) x2 − 2x + 6 ≥ 0

Solução.

a) Passando todos os termos não nulos para o lado esquerdo da inequação −2x2+3x+9 ≥ 10, obtemos

−2x2+ 3x − 1 ≥ 0.

A função quadrática associada a essa inequação é f(x) = −2x2 + 3x − 1. Pararesolver a equação f(x) = 0, calculamos o discriminante

∆ = 32− 4 ⋅ (−2) ⋅ (−1) = 9 − 8 = 1,

e aplicamos a fórmula de Bháskara, obtendo

x =−3 ±

√1

2 ⋅ (−2)=−3 ± 1−4

.

Logo, as raízes de f(x) = 0 são

x1 =−3 + 1−4

=12

e x2 =−3 − 1−4

= 1.

Como a < 0, o gráfico de f tem concavidade para baixo, cruzando o eixo-x em x1e x2. Assim, como mostra o diagrama 4.10, f(x) ≥ 0 para

Figura 4.10: Gráfico de f(x) =

−2x2 + 3x − 1.{x ∈ R ∣

12≤ x ≤ 1}.

b) À inequação x2 − 8x + 16 ≤ 0, associamos a função quadrática

f(x) = x2− 8x + 16,

cujo discriminante vale

∆ = (−8)2− 4 ⋅ 1 ⋅ 16 = 64 − 64 = 0.

Sendo assim, segundo a fórmula de Bháskara,

x =−(−8) ±

√0

2 ⋅ 1=

82= 4.

Observamos, portanto, que a > 0 e que a equação f(x) = 0 tem apenas uma raizreal, de modo que o diagrama que fornece o comportamento da função é aquelemostrado na Figura 4.11. Segundo a figura, f(x) ≤ 0 apenas para


x2 − 8x + 16.

x = 4.

c) A inequação x2 − 2x + 6 ≥ 0 pode ser escrita como f(x) ≥ 0, em que

f(x) = x2− 2x + 6.

Nesse caso, o discriminante é ∆ = (−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 4 − 24 = −20. Como ∆ < 0, aequação f(x) = 0 não tem raízes reais. Combinando esse resultado com o fato deque a > 0, concluímos que o gráfico de f está sempre acima do eixo-x. Logo, asolução de f(x) ≥ 0 é


x2 − 2x + 6.

x ∈ R,

como indica o diagrama da Figura 4.12.



Exercícios 4.11. Defina uma função f(x) que forneça a área da região

destacada na figura abaixo, lembrando que a área deum retângulo de lados b e h é bh.

2. Dada a função f(x) = x2 − 3x,a) determine algebricamente os pontos nos quais

f(x) = 0;b) determine algebricamente os pontos nos quais

f(x) = −2;c) esboçe o gráfico da função no plano coordenado,

indicando os pontos que você obteve no item (b);d) determine graficamente as soluções da inequação

f(x) ≥ −2.3. Dada a função f(x) = 5x − x2,

a) determine algebricamente os pontos nos quaisf(x) = 0;

b) determine algebricamente os pontos nos quaisf(x) = 4;

c) esboçe o gráfico da função no plano coordenado,indique os pontos que você obteve no item (b);

d) determine graficamente as soluções da inequaçãof(x) ≥ 4.

4. Identifique, no plano coordenado, as regiões definidasabaixo.

a) y ≥ x2 b) y = x2 − 4 c) y ≤ 4 − x2

5. Determine as funções quadráticas que satisfazem ascondições abaixo.a) Tem vértice em (1, − 2) e passa pelo ponto (2,3).b) Tem vértice em (3,4) e cruza o eixo-y na ordenada

−5.6. Após a administração de um comprimido de Formosex,

a concentração do medicamento no plasma sanguíneodo paciente (em mg/ml) é dada pela função

C(t) = −t2

2+ 12t

em que t é o tempo (em horas) transcorrido desde aingestão do comprimido. Determine o instante em quea concentração é máxima e o valor dessa concentração.

7. A quantidade de CO2 (em g/km) que um determinadocarro emite a cada quilômetro percorrido é dada apro-ximadamente pela função C(v) = 1000− 40v + v2/2, emque v é a velocidade do carro, em km/h. Determine avelocidade em que a emissão é mínima.

8. Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso,a altura (em metros) do peso lançado por um atleta se-guiu a função y(x) = −0,1x2 + x + 1,1, em que x é adistância horizontal percorrida pelo peso.

a) Determine de que altura o peso foi lançado.b) Determine a altura máxima do peso e a que distân-

cia isso ocorreu.c) Calcule a distância horizontal percorrida pelo peso.

9. Para produzir calhas, um fabricante dobra uma folhade metal com 50 cm de largura, como mostra a figura.

a) Determine a função A(x) que fornece a área da se-ção transversal da calha em relação a x.

b) Determine o valor de x que maximiza a área daseção transversal.

10. Um promotor de eventos consegue vender 5.000 ingres-sos para o show da banda Reset se cada ingresso custarR$ 20,00. A cada R$ 1,00 de aumento no preço do in-gresso, há uma redução de 100 pagantes. Responda àsperguntas abaixo, supondo que x é a quantia, em reais,a ser acrescida ao valor do ingresso.

a) Exprima o preço do ingresso em função de x.b) Exprima a quantidade de ingressos vendidos em

função de x.c) Determine a função R(x) que fornece a receita do

show, em relação a x. Lembre-se de que a receitaé o produto do preço pela quantidade de ingressosvendidos.

d) Determine o valor do ingresso que maximiza a re-ceita do show. Calcule a receita nesse caso.

e) Determine para quais valores de x a receita é maiorou igual a R$ 100.000,00.


11. Uma pista de atletismo tem 400m de comprimento, eé formada por duas semicircunferências de raio y/2,ligadas por dois trechos retos de comprimento x. Comose observa na figura, no interior da pista há um camporetangular de dimensões x e y. Responda aos itensabaixo, lembrando que o comprimento da semicircun-ferência de raio r é dado por πr e que a área de umretângulo de lados x e y é xy.

a) Usando o comprimento da pista, escreva x em fun-ção de y.

b) Determine a função A(y) que fornece a área docampo retangular, em relação a y.

c) Determine analiticamente o valor de y que faz comque a área do campo seja a maior possível. Deter-mine, também, a área para esse valor de y.

d) Esboce o gráfico de A(y), exibindo os pontos emque A(y) cruza o eixo-x e o ponto de máximo.

12. Um artesão tem um arame com 8 cm de comprimento,e pretende cortá-lo em duas partes, para formar doisquadrados (não necessariamente iguais). Suponha queum dos pedaços tenha comprimento x. Lembre-se queo perímetro de um quadrado de lado y é 4y e que suaárea é y2.

a) Determine o comprimento do outro pedaço dearame, em relação a x.

b) Escreva uma função A(x) que forneça a soma dasáreas dos quadrados formados pelos dois pedaçosde arame, em relação ao comprimento x.

c) Determine o menor e o maior valor possível para x.

d) Trace um gráfico da função A(x) para x entre osvalores que você encontrou no item (c) e determineem que intervalos ela é crescente e em quais é de-crescente.

e) Determine quanto devem medir os dois pedaços dearame para que a soma das áreas por eles cercadasseja a mínima possível.

13. Um fazendeiro pretende usar 500 m de cerca para pro-teger um bosque retangular às margens de um riacho,como mostra a figura abaixo. Repare que apenas trêsdos lados da região do bosque precisam ser cercados.

a) Usando o comprimento da cerca, escreva o valor dey em função de x.

b) Com base na expressão que você encontrou no item(a), escreva a função A(x) que fornece a área cer-cada, com relação a x.

c) Determine o valor de x que maximiza a área cer-cada. Determine também o valor de y e a áreamáxima.

d) Trace o gráfico de A(x).14. Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músi-

cas no formato MP3 pretende lançar um novo modelode aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela desco-briu que o número de aparelhos a serem vendidos anu-almente e o preço do novo modelo estão relacionadospela expressão n = 115−0,25p, em que n é o número deaparelhos (em milhares) e p é o preço de cada aparelho(em reais).a) Escreva uma funçãoR(p) que forneça a renda bruta

obtida com a venda dos aparelhos, em relação aopreço p.

b) Determine qual deve ser o preço do aparelho paraque sejam vendidas, no mínimo, 80 mil unidadesdesse modelo.

c) Determine o valor de p que maximiza a receitabruta da empresa.

15. Jogando em seu estádio, um clube de futebol conseguevender 10.000 ingressos por partida, se cobra R$ 10,00por ingresso. Uma pesquisa de opinião revelou que,a cada real de redução do preço do ingresso, o clubeganha 2.000 novos espectadores em uma partida. Res-ponda às perguntas abaixo, supondo que x é a quantia,em reais, a ser reduzida do valor atualmente cobradopelo ingresso.a) Determine a função R(x) que fornece a receita de

uma partida, em relação a x. Lembre-se de quea receita é o produto do preço pela quantidade deingressos vendidos.

b) Determine o valor de x que maximiza a receitado clube em um jogo. Determine também o va-lor ótimo para o ingresso.

16. O Índice de Massa Corporal (IMC) é um indicador (umtanto discutível) da magreza ou obesidade de uma pes-soa. O IMC é definido pela fórmula IMC = p/a2 em quep é o peso (em kg) e a é a altura (em metros) da pessoa.A tabela abaixo fornece os intervalos de cada catego-ria do IMC. Observe que, seguindo a tradição, usamos“peso"em lugar do termo correto, que é “massa".


Classe IMCSubnutrido (0; 18,5)Saudável [18,5; 25)Acima do peso [25; 30)Obeso [30; 35)Severamente obeso [35; 40)Morbidamente obeso [40,∞)

a) Determine as funções p1(a) e p2(a) que definem opeso em relação à altura, a, para um IMC de 18,5e um IMC de 25, respectivamente. Observe que es-ses são os limites para uma pessoa ser consideradasaudável.

b) Trace em um gráfico as funções que você obteve noitem (a), para a ∈ [0; 2,2].

c) Determine, analítica e graficamente, o intervalo depeso para que uma pessoa de 1,80 m de altura sejaconsiderada saudável.

17. Resolva as inequações quadráticas.

a) x2 + 3x ≥ 10b) −3x2 − 11x + 4 > 0c) −4x2 + 4x − 1 < 0d) x2 + x + 2 ≤ 0

Respostas dos Exercícios 4.11. 3 + 7x.

2. a) x = 0 e x = 3b) x = 1 e x = 2c)

d) {x ∈ R ∣ x ≤ 1 ou x ≥ 2}

3. a) x = 0 e x = 5b) x = 1 e x = 4c)

d) {x ∈ R ∣ 1 ≤ x ≤ 4}

4. a)

b)

c)

5. a) f(x) = 5(x − 1)2− 2

b) f(x) = −3(x − 3)2+ 4

6. t = 12 h, C(12) = 72 mg/ml

7. 40 km/h

8. a) 1,1 m b) 5 m c) 11 m

9. a) A(x) = x(50 − 2x)b) 12,5 cm

10. a) 20 + xb) 5000 − 100xc) R(x) = (20 + x)(5000 − 100x)d) R$ 35,00. Receita: R$ 122.500,00e) {x ∈ R ∣ 0 ≤ x ≤ 30}

11. a) x = 200 − πy/2

b) A(y) = 200y − πy2/2

c) 200/π m. Área: 20.000/π m2

d)

12. a) 8 − x

b) A(x) = x2/8 − x + 4

c) 0 ≤ x ≤ 8d)

e) A área é mínima quando os dois pe-daços medem 4 cm.

13. a) y = (500 − x)/2b) A(x) = −1/2x2

+ 250xc) x = 250 m, y = 125 m

A(250) = 31250 m2

d)

14. a) R(p) = 115p − 0,25p2

b) p ≤ 140 reaisc) R$ 230,00

15. a) R(x) = −2000x2+ 10000x + 100000

b) x = 2,5. Valor do ingresso R$ 7,5016. a) p1(a) = 18,5a; p2(a) = 25a

b)

c) 59,94 kg ≤ p ≤ 81 kg17. a) x ≤ −5 ou x ≥ 2

b) −4 < x < 13

c) x ≠ 12

d) Não há solução.


4.2 Divisão de polinômios

As operações de soma, subtração e multiplicação de polinômios, bem como de expres-sões algébricas em geral, foram abordadas na Seção 2.9. Agora que estamos estudandoas funções polinomiais, veremos finalmente como dividir polinômios, um passo essen-cial para a fatoração dessas funções. A fatoração, por sua vez, é útil para encontraros zeros da função polinomial, os quais nos permitem resolver equações e inequações,bem como traçar os gráficos dessas funções.

Para tratar da divisão de polinômios, precisamos recordar algumas característicasda divisão de números inteiros.

Exemplo 1. Divisão de números naturais

Ao dividirmos 315 por 21, obtemos o valor exato 15. Nesse caso dizemos que

31521

= 15.

Essa divisão também pode ser apresentada com o auxílio do diagrama ao lado, muitoexplorado no ensino fundamental.

315 21

0 15 Em uma divisão de números naturais, o número que está sendo dividido (315,no exemplo acima) é denominado dividendo, enquanto o número pelo qual se estádividindo (21) é chamado de divisor. O resultado da divisão (15) recebe o nome dequociente.

Multiplicando por 21 os dois lados da equação acima, obtemos a equação equiva-lente

315 = 21 ⋅ 15.Assim, quando a divisão é exata, o dividendo é igual ao produto do divisor peloquociente.

Considerando, agora, a divisão de 315 por 22, notamos que o resultado não é exato,ou seja, embora a divisão forneça 14 como quociente, há um resto de 7 unidades,como mostra o diagrama a seguir.

315 22

7 14

Nesse caso, o produto 22 ⋅ 14 fornece 308, faltando 7 unidades para chegarmos a 315,de modo que

315 = 22 ⋅ 14 + 7.Dividindo os dois lados dessa equação por 22, chegamos a

31522

= 14 + 722,

que é uma forma alternativa de expressar a divisão inteira de 315 por 22.

De uma forma geral, se p é um número natural (o dividendo) e d (o divisor) é umnúmero natural menor ou igual a p, então existe um número inteiro q (o quociente),e um número natural r (o resto), tais que

p = d ⋅ q + r.p d

r q

Nesse caso, 0 ≤ r < q. Dividindo os dois lados da equação acima por d, obtemosuma forma alternativa de expressar a divisão, que é

p

d= q +

r

d.

Seção 4.2. Divisão de polinômios 309

É interessante notar que resultado equivalente pode ser obtido para a divisão depolinômios, como mostra o quadro abaixo.

Divisão de polinômiosDados dois polinômios p(x) e d(x), podemos dividir p(x) por d(x) desde qued(x) ≠ 0 e que o grau de d(x) seja menor ou igual ao grau de p(x). Nesse caso,existe um único polinômio q(x), chamado quociente, e um único polinômior(x), chamado resto, tais que

p(x) = d(x) q(x) + r(x),

e r(x) = 0 ou o grau de r(x) é menor que o grau de d(x).

Como era de se esperar, os polinô-mios p(x) e d(x) recebem os nomesde dividendo e divisor, respectiva-mente.

A equação acima pode ser reescrita como

p(x)

d(x)= q(x) +

r(x)

d(x).

Você sabia?A razão p(x)/q(x) é dita im-própria quando o grau de p(x)é maior que o de q(x). A divi-são de polinômios converte umarazão imprópria na soma de umpolinômio q(x) e de uma ra-zão própria r(x)/d(x), na qualr(x) tem grau menor que d(x).

Vamos dividir polinômios seguindo estratégia semelhante àquela adotada paranúmeros inteiros. Entretanto, antes de começar o processo de divisão, é conveniente

• escrever os monômios do dividendo e do divisor em ordem decrescente de grau;

• incluir os monômios que faltam, usando o zero como coeficiente.

Exemplo 2. Divisão de polinômios

Para dividir p(x) = x3 − 2x + 15 − 4x2 por d(x) = x − 3 devemos, em primeirolugar, reescrever p(x) em ordem decrescente do grau dos seus monômios, e montar odiagrama tradicional da divisão.

x3 −4x2 −2x+15 x−3

Primeira etapa da divisão

No primeiro passo, dividimos o monômio de maior grau de p(x) pelo monômio demaior grau de d(x). Em nosso exemplo, isso corresponde a calcular

x3

x= x2.

Esse resultado é, então, anotado no diagrama, logo abaixo do divisor.

x3 −4x2 −2x+15 x−3

x2

Em seguida, multiplicamos o termo encontrado, x2 pelo divisor d(x), obtendo

x2(x − 3) = x3

− 3x2.

Esse polinômio é, então, subtraído do dividendo p(x).

x3− 4x2

− 2x + 15 − (x3− 3x2

) = x3− 4x2

− 2x + 15 − x3+ 3x2

= x3− x3

− 4x2+ 3x2

− 2x + 15= −x2

− 2x + 15


Essa operação pode ser feita diretamente no diagrama, como mostrado a seguir.AtençãoNão se esqueça de inverter o si-nal de todos os termos de x3

−

3x2 ao transcrever esse polinô-mio para o diagrama, pois issofacilita a subtração.

x3 −4x2 −2x+15 x−3

−x3 +3x2 x2

−x2 −2x+15

Observe que o polinômio x3 − 3x2 não possui termos de grau 1 e de grau 0. Assim,ao subtraí-lo de x3 − 4x2 − 2x + 15, simplesmente “descemos” os termos −2x e +15 daprimeira linha, somando-os a −x2.

Segunda etapa da divisão

Continuando o processo, passamos à divisão do polinômio restante, −x2 − 2x+ 15,pelo divisor, x − 3. Nesse caso, tomando apenas o termo de maior grau de cada umadesses polinômios, calculamos

−x2

x= −x.

Multiplicando, agora, esse valor pelo divisor x − 3, obtemos

−x(x − 3) = −x2+ 3x.

Subtraindo, então, esse polinômio de −x2 − 2x + 15, chegamos a

−x2− 2x + 15 − (−x2

+ 3x) = −x2− 2x + 15 + x2

− 3x= −x2

+ x2− 2x − 3x + 15

= −5x + 15

O diagrama abaixo resume os passos da segunda etapa da divisão (observe que opolinômio −x2 + 3x aparece com o sinal trocado).

x3 −4x2 −2x+15 x −3

−x3 +3x2 x2 −x

−x2 −2x+15

+x2 −3x

−5x+15

Terceira etapa da divisão

No terceiro passo do processo, dividimos o termo de maior grau de −5x + 15 pelotermo de maior grau de x − 3, ou seja, calculamos

−5xx

= −5.

Em seguida, multiplicamos o termo encontrado pelo divisor d(x),

−5(x − 3) = −5x + 15,

e subtraímos esse polinômio de −5x + 15,

−5x + 15 − (−5x + 15) = −5x + 15 + 5x − 15= −5x + 5x + 15 − 15= 0


Todas essas operações são, então, incluídas no diagrama, conforme mostrado abaixo.

x3 −4x2 −2x+15 x −3

−x3 +3x2 x2 −x−5

−x2 −2x+15

+x2 −3x

−5x+15

+5x−15

0

Como o resultado da subtração acima é zero, terminamos o processo. Nesse caso,dizemos que p(x) é divisível por d(x), ou seja, r(x) = 0 e

x3− 4x2

− 2x + 15 = (x2− x − 5)(x − 3).

De forma equivalente, escrevemos

x3 − 4x2 − 2x + 15x − 3

= x2− x − 5.

No exemplo acima, cada passo da divisão foi detalhado, para facilitar a com-preensão dos cálculos envolvidos. Tentaremos, agora, resolver um problema maiscomplicado, abreviando as etapas e recorrendo mais ao diagrama que às contas emseparado.

Exemplo 3. Divisão de polinômios

Vamos dividir p(x) = 3x4 − 4x3 − 2x2 + 5 por d(x) = x2 − 2x + 1.

Primeira etapa

• Dividindo o monômio de maior grau de p(x) pelo monômio de maior grau ded(x):

3x4

x2 = 3x2.

• Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x):

3x2(x2

− 2x + 1) = 3x4− 6x3

+ 3x2.

• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de p(x) diretamente no dia-grama:

3x4 −4x3 −2x2 +0x+5 x2 −2x+1

−3x4 +6x3 −3x2 3x2

2x3 −5x2 +0x+5

Segunda etapa

• Dividindo o monômio de maior grau de 2x3 − 5x2 + 5 pelo monômio de maiorgrau de d(x):

2x3

x2 = 2x.



2x(x2− 2x + 1) = 2x3

− 4x2+ 2x.

• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de 2x3 − 5x2 + 5 diretamenteno diagrama:

3x4 −4x3 −2x2 +0x+5 x2 −2x+1

−3x4 +6x3 −3x2 3x2 +2x

2x3 −5x2 +0x+5

−2x3 +4x2 −2x

−x2 −2x+5

Terceira etapa

• Dividindo o monômio de maior grau de −x2 − 2x + 5 pelo monômio de maiorgrau de d(x):

−x2

x2 = −1.


−1(x2− 2x + 1) = −x2

+ 2x − 1.

• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de −x2 − 2x+ 5 diretamente nodiagrama:

3x4 −4x3 −2x2 +0x+5 x2 −2x+1

−3x4 +6x3 −3x2 3x2 +2x−1

2x3 −5x2 +0x+5

−2x3 +4x2 −2x

−x2 −2x+5

+x2 −2x+1

−4x+6

Como o polinômio restante, −4x+6, tem grau menor que o divisor, d(x) = x2−2x+1,não há como prosseguir com a divisão. Nesse caso, o quociente é

q(x) = 3x2+ 2x − 1,

e o resto ér(x) = −4x + 6.

Assim, temos

3x4− 4x3

− 2x2+ 5

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶p(x)

= (x2− 2x + 1)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶d(x)

(3x2+ 2x − 1)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶q(x)

+ (−4x + 6),´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

r(x)

ou seja,3x4 − 4x3 − 2x2 + 5

x2 − 2x + 1= 3x2

+ 2x − 1 +−4x + 6

x2 − 2x + 1.


∎ Algoritmo de RuffiniQuando queremos dividir um polinômio por divisores na forma (x − a), em que a éum número real, podemos usar um algoritmo rápido, conhecido como método deRuffini (ou de Briot-Ruffini).

Esse método é uma versão sintética do algoritmo apresentado acima, especializadapara o caso em que o divisor tem grau 1 e coeficiente a1 = 1, como mostra o Exemplo4.

Exemplo 4. Divisão de um polinômio por x − aDividindo p(x) = 4x3 + 3x2 − 25x + 1 por x − 2 obtemos o quociente

q(x) = 4x2+ 11x − 3

e o resto r(x) = −5. O diagrama abaixo mostra o processo de divisão.

4x3 +3x2 −25x+1 x −2

−4x3 +8x2 4x2 +11x−3

+11x2 −25x+1

−11x2 +22x

−3x+1

+3x−6

−5

Observando o diagrama, notamos que

1. Há uma coincidência entre os coeficientes do quociente e os coeficientes dosmonômios de maior grau dos polinômios restantes (números apresentados emvermelho).

2. Os números vermelhos são fruto da soma entre os coeficientes do dividendo p(x)e os coeficientes marcados em verde no diagrama.

3. Os números verdes são o produto dos números marcados em vermelho pelonúmero 2, que vem a ser o coeficiente constante do divisor, com o sinal trocado(número em azul).

Reunindo todos os coeficientes relevantes do problema em um único quadro, ob-temos o diagrama abaixo.

Coeficiente do divisor → 2 4 3 −25 1 ← Coeficientes do dividendo

8 22 −6

Coeficientes do quociente → 4 11 −3 −5 ← Resto

Divisão pelo algoritmo de Ruffini

Vejamos como usar o quadro acima para dividir p(x) = 4x3 + 3x2 − 25x + 1 pord(x) = x − 2 através do algoritmo de Ruffini.

1. Escreva o dividendo p(x) na ordem decrescente do grau dos monômios. Certifique-se de que o divisor tem a forma x − a, em que a é um número real.No nosso caso, os monômios do polinômio p(x) já estão em ordem decrescentede grau. Além disso, o divisor, que é x − 2, tem a forma exigida, com a = 2.


2. Copie o termo a na primeira linha do quadro, à esquerda do traço vertical. AindaLembre-se de que a é igual ao termoconstante do divisor d(x), com o osinal trocado.

na primeira linha, mas do lado direito do traço vertical, copie os coeficientes dodividendo p(x).

2 4 3 −25 1

3. Copie na terceira linha o coeficiente do termo de maior grau de p(x), que vale4.

2 4 3 −25 1

4

4. Multiplique o coeficiente que você acabou de obter pelo termo a, e escreva oresultado na segunda linha da coluna seguinte. No nosso caso, esse produto é4 × 2 = 8.

2 4 3 −25 1

8

4

5. Some os dois termos da nova coluna, e anote o resultado na terceira linha. Emnosso problema, a soma em questão é 3 + 8 = 11.

2 4 3 −25 1

8

4 11

6. Multiplique o coeficiente que você acabou de obter pelo termo a, e escreva oresultado na segunda linha da coluna seguinte. No nosso exemplo, o produto é11 × 2 = 22.

2 4 3 −25 1

8 22

4 11

7. Some os dois termos da nova coluna, e anote o resultado na terceira linha. Emnosso caso, a soma fornece −25 + 22 = −3.

2 4 3 −25 1

8 22

4 11 −3


8. Multiplique o coeficiente que você acabou de obter pelo termo a, e escreva oresultado na segunda linha da coluna seguinte. No nosso exemplo, o produto é−3 × 2 = −6.

2 4 3 −25 1

8 22 −6

4 11 −3

9. Some os dois termos da nova coluna, e anote o resultado na terceira linha. Emnosso caso, a soma é 15 + (−6) = −5.

2 4 3 −25 1

8 22 −6

4 11 −3 −5

Como as colunas do quadro acabaram, chegamos ao fim da divisão. Nesse caso, aúltima linha fornece os coeficientes dos monômios do quociente, na ordem decrescentede grau.

Observe que o grau de q(x) é igualao grau de p(x) menos 1.

q(x) = 4x2+ 11x − 3.

Além disso, o último elemento da terceira linha corresponde ao resto da divisão:O resto da divisão um polinômio p(x)por x − a é sempre um número real.Se p(x) é divisível por x − a, então oresto é zero.

r = −5.

Problema 1. Divisão pelo algoritmo de Ruffini

Divida 2x4 − x3 − 12x2 − 25 por x + 3 usando o algoritmo de Ruffini.

Solução.

Além de envolver a divisão de um polinômio de grau maior que o do Exemplo4, esse problema traz duas novidades. Em primeiro lugar, o dividendo p(x) nãopossui um termo de grau 1, de modo que introduzimos o monômio correspondente,atribuindo-lhe o coeficiente zero:

p(x) = 2x4− x3

− 12x2+ 0x − 25.

Além disso, o termo constante do divisor é +3, o que implica que o coeficiente a doquadro terá sinal negativo, ou seja, a = −3.

O quadro inicial do algoritmo de Ruffini é dado abaixo.

−3 2 −1 −12 0 −25

Aplicando o algoritmo, chegamos ao quadro final

−3 2 −1 −12 0 −25

−6 21 −27 81

2 −7 9 −27 56


Logo, o quociente da divisão é

q(x) = 2x3− 7x2

+ 9x − 27,

e o resto vale 56. Assim, temos

2x4− x3

− 12x2− 25 = (x + 3)(2x3

− 7x2+ 9x − 27) + 56,

ou2x4 − x3 − 12x2 − 25

x + 3= 2x3

− 7x2+ 9x − 27 + 56

x + 3.

∎ Teorema do restoComo vimos acima, ao dividirmos um polinômio p(x) por x− a, obtemos o quocienteq(x) e o resto r, de modo que

p(x) = (x − a)q(x) + r.

Usando essa equação, é fácil reparar que

p(a) = (a − a)q(x) + r = 0 ⋅ q(x) + r = r.

Esse resultado tem usos diversos na matemática, de modo que vamos apresentá-lo emum quadro.

Teorema do restoSe dividimos um polinômio p(x) por x − a, então

P (a) = r,

em que r é o resto da divisão.

Problema 2. Cálculo do valor de um polinômio pelo método de Ruffini

Dado o polinômio p(x) = x3 − 2x2 − 5x − 10, calcule p(4) usando o algoritmo deRuffini.

Solução.

O teorema do resto nos garante que p(4) é igual ao resto da divisão de p(x) porx − 4. Efetuando a divisão pelo método de Ruffini, obtemos o quadro

4 1 −2 −5 −10

4 8 12

1 2 3 2

Como o resto da divisão é igual a 2, concluímos que f(4) = 2.

Voltaremos ao teorema do resto na Seção 4.3, que trata de zeros de funções poli-nomiais.

Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 317

Exercícios 4.21. Para cada expressão na forma p(x)/d(x) abaixo, calcule

o quociente q(x) e o resto r(x).a) (2x3 − 3x2 + 6)/(x2 − 2)b) (6x2 − 4x − 3)/(3x − 5)c) (x4 + 2x − 12)/(x + 2)d) (4x3 + 2x2 + 11x)/(2x2 + 3)e) (6x4 + 5x3 − 2x)/(3x − 2)f) (4x3 + 6x − 10)/(2x − 4)

2. Para os problemas do Exercício 1, expresse p(x)/d(x)na forma q(x) + r(x)/d(x).

3. Para cada expressão na forma p(x)/d(x) abaixo, cal-cule o quociente q(x) e o resto r(x) usando o algoritmode Ruffini.a) (x4 + 2x − 12)/(x + 2)

b) (3x2 + 2x − 5)/(x − 2)c) (4x4 + 6x3 − 8x2 + 22x − 24)/(x + 3)d) (−2x3 + 3x2 + 12x + 25)/(x − 4)e) (x5 − 9x3 + 2x)/(x − 3)f) (−6x3 + 4x2 − x + 2)/(x − 1/3)

4. Para os problemas do Exercício 3, expresse p(x)/d(x)na forma q(x) + r(x)/d(x).

5. Verifique quais valores abaixo correspondem a zeros dasfunções associadas.a) f(x) = x2 − 3x + 4. x1 = 2; x2 = −2b) f(x) = −2x2 + 3x + 2. x1 = −1/2; x2 = −2c) f(x) = 4x + x2. x1 = −4; x2 = 0d) f(x) = −x2 − 4. x1 = 2; x2 = −2

Respostas dos Exercícios 4.2

1. a) q(x) = 2x − 3. r(x) = 4xb) q(x) = 2x + 2. r(x) = 7c) q(x) = x3

− 2x2+ 4x − 6. r(x) = 0

d) q(x) = 2x + 1. r(x) = 5x − 3e) q(x) = 2x3

+ 3x2+ 2x+ 2/3. r(x) = 4/3

f) q(x) = 2x2+ 4x + 11. r(x) = 34

2. a) p(x)/d(x) = 2x − 3 + 4x/(x2− 2)

b) p(x)/d(x) = 2x + 2 + 7/(3x − 5)c) p(x)/d(x) = x3

− 2x2+ 4x − 6

d) p(x)/d(x) = 2x+ 1+ (5x− 3)/(2x2+ 3)

e) p(x)/d(x) = 2x3+ 3x2

+ 2x + 2/3 +

4/[3(3x − 2)]f) p(x)/d(x) = 2x2

+ 4x+ 11+ 34/(2x− 4)

3. a) q(x) = x3− 2x2

+ 4x − 6. r(x) = 0b) q(x) = 3x + 8. r(x) = 11c) q(x) = 4x3

− 6x2+ 10x − 8. r(x) = 0

d) q(x) = −2x2− 5x − 8. r(x) = −7

e) q(x) = x4+ 3x3

+ 2. r(x) = 6f) q(x) = −6x2

+ 2x − 13 . (x) = 17

9

4. a) p(x)/d(x) = x3− 2x2

+ 4x − 6

b) p(x)/d(x) = 3x + 8 + 11/(x − 2)

c) p(x)/d(x) = 4x3− 6x2

+ 10x − 8

d) p(x)/d(x) = −2x2− 5x − 8 − 7/(x − 4)

e) p(x)/d(x) = x4+ 3x3

+ 2 + 6/(x − 3)

f) p(x)/d(x) = −6x2+2x− 1

3 +17/(9x−3)

5. a) Nenhum valor é raiz.b) Só x1 é raiz.c) x1 e x2 são raízes.d) Nenhum valor é raiz.

4.3 Zeros reais de funções polinomiais

Agora que vimos as funções constantes, lineares e quadráticas, que são funções po-linomiais de grau 0, 1 e 2, respectivamente, é hora de explorarmos as característicasdas funções

p(x) = anxn+ an−1x

n−1+⋯ + a1x + a0

cujo grau, n, é maior ou igual a 3. Começaremos nossa análise estudando os zerosdessas funções.

Encontrar os zeros de uma função polinomial não é tarefa fácil quando o grau dafunção é maior que 2. De fato, para funções de grau 3 e 4, ainda é possível usarfórmulas explícitas para os zeros, embora elas sejam pouco práticas. Já para funçõesde grau maior que 4, é preciso adotar estratégias mais complexas, como veremosabaixo.

Entretanto, quando alguns zeros já são conhecidos, a determinação dos zeros res-tantes pode ser grandemente facilitada se usamos o teorema do fator, que decorre doteorema do resto, apresentado na Seção 4.2.

O teorema do resto nos diz que o resto da divisão de uma função polinomial p(x)por um termo na forma (x−a) é igual a p(a), o valor de p em a. Como consequênciadesse teorema, concluímos que, se p(x) for divisível por x−a, ou seja, se o resto dassadivisão for 0, então

p(a) = 0,


de modo que a é um zero do polinômio p(x). Além disso, se r = 0, temos

p(x) = (x − a)q(x),

de modo que (x − a) é um fator de p(x).Como também não é difícil mostrar que, se x−a é um fator de p(x), então f(a) = 0,

podemos enunciar o teorema a seguir.

Teorema do fatorUm polinômio p(x) tem um fator (x−a) se e somente se a é um zero de f(x),ou seja, se f(a) = 0.

Problema 1. Determinação de um coeficiente de um polinômio

Dado o polinômio p(x) = 3x3 + 5x2 + cx + 16, determine o valor da constante c demodo que x + 2 seja um fator de p(x).

Solução.

Segundo o teorema do fator, para que p(x) tenha um fator x + 2, é preciso quep(−2) = 0. Assim,

Observe que podemos converter o fa-tor x + 2 à forma x − a escrevendox + 2 = x − (−2).

3(−2)3 + 5(−2)2 + c(−2) + 16 = 0 Cálculo de p(−2).

−2c + 12 = 0 Simplificação da expressão.

c =−12−2

Isolamento de c.

c = 6 Simplificação do resultado.

Logo, x + 2 é um fator de p(x) = 3x3 + 5x2 + 6x + 16.

Juntando o resultado fornecido pelo teorema do fator aos conhecimentos que jáadquirimos sobre gráficos de funções, podemos estabelecer as seguintes relações entrefatores, zeros, soluções de equação e interceptos-x.

Zeros de funções polinomiaisSe p é uma função polinomial e a é um número real, então as seguintes

afirmações são equivalentes:

1. x = a é um zero de p.

2. x = a é solução da equação p(x) = 0.

3. (x − a) é um fator de p(x).

4. (a,0) é um ponto de interseção do gráfico de p com o eixo-x.

Problema 2. Zeros de uma função polinomial

Seja dada a função p(x) = x3 + 2x2 − 15x.

a) Determine todos os zeros de p(x).


b) Escreva o polinômio na forma fatorada.

c) Trace o gráfico de p, identificando os interceptos-x.

Solução.

a) Como todos os termos de p(x) incluem a variável x, podemos pô-la em evidência,de modo que

p(x) = x(x2+ 2x − 15).

Assim, x = 0 é um zero de p(x). Além disso, os demais zeros do polinômio serãosolução de

x2+ 2x − 15 = 0.

Para encontrar as raízes dessa equação, vamos aplicar a fórmula de Bháskara,começando pelo cálculo do discriminante:

∆ = 22− 4 ⋅ 1 ⋅ (−15) = 64,

de modo que

x =−2 ±

√64

2 ⋅ 1=−2 ± 8

2.

Logo, temos as raízes

x1 =−2 + 8

2=

62= 3 e x2 =

−2 − 82

= −102

= −5.

Portanto, os zeros de p(x) são x = 0, x = 3 e x = −5.

b) Como a equação x2 + 2x − 15 = 0, tem duas soluções, podemos escrever o termoquadrático (x2 + 2x − 15) como o produto de dois fatores mais simples, como foifeito na Seção 2.11.Observando, então, que o termo de maior grau de x2 + 2x − 15 tem coeficiente 1,concluímos que

x2+ 2x − 15 = 1(x − 3)(x + 5),

o que implica que a forma fatorada de p(x) é

p(x) = x(x − 3)(x + 5).

Figura 4.13: Gráfico de p(x) = x3+2x2 − 15x.

c) Sabendo que x = −5, x = 0 e x = 3 são zeros de p(x), escolhemos um intervalo queincluísse esses pontos ao traçar o gráfico da função. A Figura 4.13 mostra a curvaobtida, na qual identificamos em verde os pontos de interseção com o eixo-x.

∎ Fatorações sucessivas usando a divisão de polinômiosA relação entre zeros e fatores de uma função polinomial, estabelecida pelo teoremado fator, e ilustrada no Problema 2 – é extremamente útil para a determinação dosdemais zeros da função.

Imagine, por exemplo, que conheçamos um zero, x = a, de uma função p(x), degrau n. Nesse caso, sabendo que (x − a) é um fator de p(x), podemos escrever

p(x) = (x − a)q(x),


de modo que p(x) = 0 se x = a (a raiz já conhecida) ou q(x) = 0. Assim, as demaisraízes de p(x) serão as raízes de

q(x) =p(x)

x − a.

Observe que q(x) é o quociente (exato) entre um polinômio de grau n e um po-linômio de grau 1, o que implica que q(x) é um polinômio de grau n−1. Logo, depoisPara determinar o polinômio q(x),

podemos usar o algoritmo de Ruffini. de encontrarmos uma raiz de p(x), podemos reduzir o nosso problema ao cálculo dasraízes de um polinômio de grau n − 1.

Além disso, se conseguirmos determinar uma raiz x = b de q(x), então teremos

q(x) = (x − b)s(x),

dondep(x) = (x − a)(x − b)s(x).

De posse, então, de duas raízes de p(x), poderemos nos dedicar a s(x), que éum polinômio de grau n − 2. Continuando esse processo, que é chamado deflação, épossível determinar as demais raízes de p(x).

Método das fatorações sucessivas (deflação)Seja dada uma função polinomial p(x), de grau n.

1. Encontre a, uma raiz real de p(x).

2. Calculeq(x) =

p(x)

x − a.

3. Escreva p(x) = (x − a)q(x).

4. Repita o processo com q(x) (que tem grau n − 1).

O processo termina quando não for possível encontrar uma raiz real.

Problema 3. Fatoração de uma função polinomial

Sabendo que x = −1 e x = 32 são dois zeros de

p(x) = 2x4− 9x3

+ 9x2+ 8x − 12,

determine as demais raízes e fatore a função polinomial.

Solução.

Como x = −1 é um zero de p(x), o teorema do fator nos garante que (x − (−1)) éum fator de p(x), ou seja,

p(x) = (x + 1)q(x),

para algum polinômio q(x). Dividindo os dois lados dessa equação por (x+1), obtemos

q(x) =p(x)

x + 1,

de modo que podemos determinar q(x) aplicando o método de Ruffini à divisão dep(x) por (x + 1). O diagrama do método é apresentado a seguir.


−1 2 −9 9 8 −12

−2 11 −20 12

2 −11 20 −12 0

Logo, q(x) = 2x3 − 11x2 + 20x − 12, donde

Note que o resto da divisão é zero,como esperávamos. Se isso não ocor-resse, teríamos cometido algum errode conta.

p(x) = (x + 1)(2x3− 11x2

+ 20x − 12).

Como x = 32 é outro zero de p(x), ele também será um zero de q(x). Assim,

q(x) = (x −32) s(x) ⇒ s(x) =

q(x)

x − 32.

Para determinar s(x), aplicamos o algoritmo de Ruffini à divisão de q(x) por (x− 32):

32 2 −11 20 −12

3 −12 12

2 −8 8 0

Portanto, s(x) = 2x2 − 8x + 8, o que implica que

p(x) = (x + 1) (x − 32) (2x2

− 8x + 8).

Finalmente, como s(x) é uma função polinomial de grau 2, podemos determinarseus zeros usando a fórmula de Bháskara:

∆ = (−8)2− 4 ⋅ 2 ⋅ 8 = 64 − 64 = 0.

x =−(−8) ±

√0

2 ⋅ 2=

84= 2.

Nesse caso, ∆ = 0, de modo que s(x) tem solução única x = 2. Além disso, como otermo que multiplica x2 em s(x) vale 2, temos

Se você não se lembra porque é pos-sível escrever s(x) nessa forma, con-sulte a Seção 2.11.

s(x) = 2(x − 2)2.

Portanto,p(x) = 2 (x + 1) (x − 3

2) (x − 2)2

,

e as raízes dessa função são x = −1, x = 32 e x = 2.


∎ Número de zeros reaisNo Problema 2, a função polinomial, que era de grau 3, tinha exatamente 3 zeros.Já a função do Problema 3 só possuía 3 zeros, embora seu grau fosse 4. Sabemos,também, que uma função quadrática pode ter 0, 1 ou 2 zeros. A relação entre o graudo polinômio e o número de zeros reais que ele possui é dada pelo teorema a seguir.

Número de zeros reais de um polinômioUma função polinomial de grau n tem, no máximo, n zeros reais.


Embora esse teorema não nos permita determinar o número exato de zeros reais deuma função polinomial, ele fornece um limite superior, indicando que não é razoávelesperar, por exemplo, que um polinômio de grau quatro tenha mais que quatro zeros.

De fato, se um polinômio de grau quatro tivesse cinco zeros, então ele teria cincofatores na forma (x−a). Entretanto, sabemos que o produto de cinco fatores na forma(x− a) produz um polinômio de grau cinco, de modo que o polinômio jamais poderiaser de grau quatro.

A Figura 4.14 mostra como uma simples translação na vertical pode fazer comque um polinômio de grau 4 tenha dois, três ou quatro zeros. Observando essa figura,você é capaz de apresentar um polinômio de grau 4 sem raízes reais?

(a) p(x) = 2x4 − 7x3 +3x2 + 7x − 6

(b) p(x) = 2x4 − 7x3 +3x2 + 7x − 5

(c) p(x) = 2x4 − 7x3 +3x2 + 7x − 4

Figura 4.14: Gráficos de polinômios de grau quatro com dois, três e quatro zeros

Um teorema mais poderoso sobre polinômios com coeficientes reais é dado noquadro abaixo.

Decomposição em fatores lineares e quadráticosTodo polinômio com coeficientes reais pode ser escrito como o produto defatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis.

Esse teorema é derivado do teoremafundamental da álgebra, que envolvenúmeros complexos, o que foge do es-copo dessa seção

Esse teorema nos diz que todo polinômio pode ser escrito como o produto de

1. uma constante real k;A constante k é o coeficiente domonômio de maior grau do polinô-mio. 2. fatores lineares na forma (x − a);

3. fatores quadráticos (ax2 + bx + c) que não possuem zeros reais (não podem serdecompostos em fatores lineares).

Além disso, a soma dos graus dos fatores deve corresponder ao grau do polinômiooriginal.

Problema 4. Fatoração de um polinômio

Escreva o polinômio p(x) = x4 − 4x3 + 13x2 na forma fatorada.

Solução.

Pondo x2 em evidência, temos

p(x) = x2(x2

− 4x + 13).


Logo, x = 0 é uma raiz de p(x) = 0. Para tentar achar outras raízes, usamos Bháskara,começando pelo cálculo do discriminante:

∆ = (−4)2− 4 ⋅ 1 ⋅ 13 = −36.

Como o discriminante é negativo, a equação x2−4x+13 = 0 não possui raízes reais,de modo que o termo x2−4x+13 é irredutível. Assim, a forma fatorada do polinômioé, simplesmente, p(x) = x2(x2 − 4x + 13).

Problema 5. Fatoração de uma função polinomial

Escreva a função polinomial p(x) = 4x4 − 34x2 − 18 na forma fatorada.

Solução.

Os zeros de p(x) são raízes de 4x4 − 34x2 − 18 = 0, uma equação biquadrática,conforme mencionado na Seção 2.10. Fazendo, então, a substituição y = x2, obtemosa equação quadrática

4y2− 34y − 18 = 0.

Aplicando a fórmula de Bháskara a essa equação, encontramos

∆ = (−34)2− 4 ⋅ 4 ⋅ (−18) = 1444.

y =−(−34) ±

√1444

2 ⋅ 4=

34 ± 388

.

Logo, as raízes de 4y2 − 34y − 18 = 0 são

y1 =34 + 38

8= 9 e y2 =

34 − 388

= −12.

De posse de y1 e y2, escrevemos a forma fatorada da expressão 4y2 − 34y − 18, que é

4 (y − 9) (y + 12) .

Lembrando, agora, que y = x2, podemos escrever p(x) na forma

p(x) = (x2− 9)(x2

+12) .

O termo (x2 − 9) pode ser novamente fatorado em

(x2− 9) = (x − 3)(x + 3).

Por outro lado, o termo (x2 + 12) é irredutível, já que a equação

x2+

12= 0

não tem raízes reais. Assim, concluímos que

p(x) = (x − 3) (x + 3) (x2+

12) .


Quando fatoramos uma função polinomial p(x), de grau n, um termo (x−a) podeaparecer mais de uma vez. Isso ocorre, por exemplo, com a função p(x) = x2−10x+25,cuja forma fatorada é

p(x) = (x − 1)(x − 5) ou p(x) = (x − 5)2.

O número de vezes em que um termo (x−a) aparece na forma fatorada da funçãopolinomial é chamado multiplicidade do zero x = a.


Dizemos que um zero x = a, de um polinômio p(x), tem multiplicidade m sea forma fatorada de p(x) tem exatamente m fatores (x − a).

Problema 6. Polinômio com raízes conhecidas

Defina um polinômio de grau 4 cujos zeros são x = −1, x = 4 e x = 2 (esse últimocom multiplicidade 2).

Solução.

Os zeros fornecidas no enunciado indicam que o polinômio como tem fatores (x+1),(x − 4), (x − 2), dos quais o último aparece duas vezes. Assim,

p(x) = k(x + 1)(x − 4)(x − 2)2,

em que k é um número real qualquer. Adotando, por simplicidade, k = 1, obtemos

p(x) = (x + 1)(x − 4)(x − 2)2.

Se quisermos escrever esse polinômio na forma expandida, basta calcular o produtoacima. Nesse caso, temreos

p(x) = x4− 7x3

+ 12x2+ 4x − 16.


∎ Determinação de zeros de funções polinomiaisComo dissemos anteriormente, encontrar zeros reais de funções polinomiais não étarefa trivial se o grau do polinômio é grande. Em todos os problemas desse capítuloque envolviam funções de grau maior ou igual a 3, fizemos questão de permitir que oleitor fosse capaz de obter uma função quadrática pelo processo de deflação, ou pondox em evidência, ou ainda pelo fato de se tratar de função biquadrática. Para concluiressa seção, discutiremos de forma sucinta como determinar zeros reais de uma funçãopolinomial.

O método mais largamente empregado para a determinação dos zeros envolvemo cálculo de autovalores de matrizes, um conceito avançado de álgebra que não épossível apresentar nesse livro.Entretanto, sob certas condições, é possível encontrarum zero usando uma estratégia simples, baseada no teorema abaixo.

Teorema de Bolzano para polinômiosSeja dada uma função polinomial p(x) e um intervalo [a,b]. Se p(a) e p(b)têm sinais contrários, isto é, p(a) > 0 e p(b) < 0, ou p(a) < 0 e p(b) > 0, entãoexiste um ponto c entre a e b tal que p(c) = 0, ou seja, p(x) tem um zero em(a,b).

O teorema de Bolzano é uma versão especializada do teorema do valor interme-diário, visto em cursos universitários de cálculo. A Figura 4.15a ilustra o teorema nocaso em que p(a) é negativo e p(b) é positivo, e a Figura 4.15b mostra um exemploem que p(a) > 0 e p(b) < 0.

Embora o teorema de Bolzano afirme que p(x) possui um zero entre a e b, ele nãofornece o valor de c. Entretanto, podemos localizar aproximadamente o zero usandovárias vezes esse teorema, como mostra o Problema a seguir.


(a) p(a) < 0 e p(b) > 0 (b) p(a) > 0 e p(b) < 0

Figura 4.15: Pontos (a,p(a)) e (b,p(b)) que satisfazem o teorema de Bolzano.

Problema 7. Determinação de um zero pelo método da bissecção

Determine aproximadamente um zero de p(x) = 6x3 − 19x2 + 25, sabendo quep(1) = 12 e p(2) = −3.

Solução.

Como p(1) > 0 e p(2) < 0, o teorema de Bolzano garante que p(x) tem um zerono intervalo [1,2]. Vamos chamar esse zero de x∗.

Primeiro passo

Uma vez que não conhecemos a localização exata do zero, vamos supor que ele seencontra no meio do intervalo, ou seja, no ponto

Você sabia?O ponto médio de um intervalo[a,b] é dado por

x =a + b

2.

x =1 + 2

2= 1,5.

Calculando o valor da função nesse ponto, obtemos p(1,5) = 2,5, o que indica queerramos na nossa estimativa da localização do zero. Entretanto, nosso esforço não foiem vão, pois reparamos que p(1,5) > 0 e p(2) < 0, de modo que, segundo o teoremade Bolzano, existe uma raiz no intervalo [1,5; 2].

Como esse intervalo tem metade do comprimento de [1,2], conseguimos reduzirnossa incerteza, obtendo uma aproximação melhor para o zero. A Figura 4.16a mostrao intervalo [1,2] com o qual iniciamos, bem como o valor positivo de p(1,5), quegarante a existência do zero em [1,5; 2].

Segundo passo

Supondo, novamente, que o zero está no meio do intervalo, que agora é [1,5; 2],obtemos

x =1,5 + 2

2= 1,75, e p(1,75) ≈ −1.03125.

Nesse caso, p(1,5) > 0 e p(1,75) < 0, como mostra a Figura 4.16b. Desse modo,concluímos que há um zero no intervalo [1,5; 1,75].

Terceiro passo

O ponto médio do intervalo [1,5; 1,75] e a função nesse ponto valem, respectiva-mente,

x =1,5 + 1,75

2= 1,625, ep(1,625) ≈ 0.574219.


Como p(1,625) > 0 e p(1,75) < 0, concluímos que há um zero no intervalo [1,625; 1,75],o que pode ser comprovado na Figura 4.16c.

Terceiro passo

O ponto médio do intervalo [1,625; 1,75] e a função nesse ponto valem

x =1,625 + 1,75

2= 1,6875, ep(1,6875) ≈ −0.272949.

Agora, temos p(1,625) > 0 e p(1,6875) < 0, como mostra a Figura 4.16c. Assim, háum zero no intervalo [1,625; 1,6875].

Note que começamos trabalhando com [1,2], e já estamos no intervalo [1,625; 1,6875],que tem apenas 1/16 do comprimento do intervalo inicial. Prosseguindo com esse mé-todo por mais alguns passos, chegamos a um intervalo muito pequeno em torno dex∗ = 1,666 . . ., que é a raiz desejada de p(x).

(a) 1 < x∗ < 2 (b) 1,5 < x∗ < 2 (c) 1,5 < x∗ < 1,75 (d) 1,625 < x∗ < 1,75

Figura 4.16: Intervalos e aproximações de x∗ dos quatro primeiros passos do algoritmoda bissecção.


Apesar de termos apresentado o teorema de Bolzano apenas para funções polinomi-ais, ele se aplica a toda função contínua, pois essas funções possuem uma característicamuito especial:

Se f é uma função contínua, então f só muda de sinal em seus zeros. Ou seja,sempre que f passa de positiva para negativa, ou de negativa para positiva, elapassa por um ponto em que f(x) = 0.

Desse modo, o método da bissecção também pode ser usado para encontrar umzero de qualquer função contínua f , desde que conheçamos dois pontos nos quais ftenha sinais opostos.

A noção de função contínua seráapresentada na Seção 4.4.

∎ Inequações polinomiaisComo vimos, sempre que uma função polinomial p(x) troca de sinal, ela passa por umde seus zeros. Como consequência desse resultado, p(x) é sempre positiva, ou semprenegativa, no intervalo (x1, x2) compreendido entre dois zeros consecutivos, x1 e x2.

Assim, se enumerarmos todos os zeros de p(x) em ordem crescente de valor, po-demos indicar com precisão se

p(x) ≤ 0 ou p(x) ≥ 0

no intervalo entre duas raízes, bastando, para isso, testar o valor de p(x) em um únicoponto do intervalo.


Exemplo 1. Solução de uma inequação cúbica

Sabendo que os zeros da função p(x) = x3 + 2x2 − 11x − 12 são

x = 3, x = −1 e x = −4,

vamos resolver a inequação

x3+ 2x2

− 11x − 12 ≤ 0.

Nesse caso, pondo os zeros em ordem crescente, dividimos a reta real nos intervalos

(−∞,−4), (−4,−1), (−1,3) e (3,∞).

Como p(x) só muda de sinal em seus zeros, testamos o sinal da função em cadaintervalo calculando seu valor em um único ponto. Os quatro pontos selecionados sãomostrados na Tabela 4.5, acompanhados dos respectivos valores de p(x).

Tabela 4.5

x p(x)

-5 -32-2 100 -124 40

Figura 4.17: Sinal de p(x) nos intervalos entre raízes consecutivas.

O diagrama da Figura 4.17 mostra as raízes em vermelho, e os pontos de teste dafunção em azul. Com base no sinal de p(x) em cada um desses pontos, concluímosque p(x) ≤ 0 para

{x ∈ R ∣ x ≤ −4 ou − 1 ≤ x ≤ 3}.

O quadro a seguir resume os passos para a solução de inequações polinomiaisadotados no Exemplo 1.

Roteiro para a solução de inequações polinomiaisPara resolver uma inequação na forma p(x) ≤ 0 ou p(x) ≥ 0,

1. Determine as raízes da equação associada.Determine quantas e quais são as raízes da equação p(x) = 0.

2. Crie intervalos.Divida o problema em intervalos, de acordo com as raízes obtidas.

3. Determine o sinal da função em cada intervalo.Escolha um ponto em cada intervalo e calcule o valor da função no ponto.

4. Resolva o problema.Determine a solução do problema a partir do sinal de p(x) nos pontosescolhidos. Expresse essa solução na forma de um ou mais intervalos.


Problema 8. Solução de uma inequação cúbica

Resolva a inequação2x3

+ 13x2+ 13x ≥ 10,

sabendo que x = 12 é uma raiz da equação 2x3 + 13x2 + 13x = 10.

Solução.

Movendo todos os termos para o lado esquerdo, obtemos a inequação equivalente

2x3+ 13x2

+ 13x − 10 ≥ 0,

à qual associamos a função p(x) = 2x3 +13x2 +13x−10. Sabendo que x = 12 é um zero

dessa função, vamos determinar os zeros restantes.12 2 13 13 −10

1 7 10

2 14 20 0

Dividindo, então, p(x) por (x − 12), obtemos

q(x) = 2x2+ 14x + 20.

Dessa forma,p(x) = (x −

12) q(x).

Aplicando, agora, a fórmula de Bháskara, encontramos as raízes de q(x):

∆ = 142− 4 ⋅ 2 ⋅ 20 = 36.

x =−14 ±

√36

2 ⋅ 2=−14 ± 6

4.

Logo, as raízes de q(x) = 0 são

x1 =−14 + 6

4= −2 e x2 =

−14 − 64

= −5,

de modo que p(x) tem como zeros

x = −5, x = −2 e x =12.

Tomando como base esses zeros, dividimos a reta real nos intervalos

(−∞,−5), (−5,−2), (−2, 12) e (

12,∞) .

Escolhendo, então, os pontos mostrados na Tabela 4.6, montamos o diagrama daFigura 4.18, que mostra o sinal de p(x) em cada intervalo. Com base nesse diagrama,concluímos que p(x) ≥ 0 para

Tabela 4.6

x p(x)

-5 -32-2 100 -124 40

{x ∈ R ∣ −5 ≤ x ≤ 2 ou x ≥12} .

Figura 4.18: Sinal de p(x) nos intervalos entre raízes consecutivas.



Exercícios 4.31. Determine as raízes das equações abaixo. Escreva na

forma fatorada os polinômios que aparecem no lado es-querdo das equações.a) −3x(x2 − 2x − 3) = 0b) x4 − x3 − 20x2 = 0c) x3 +x2 − 2x− 2 = 0, sabendo que x = −1 é uma raiz.d) x3−5x2−4x+20 = 0, sabendo que x = 2 é uma raiz.e) x4 − 9x3 − x2 + 81x − 72 = 0, sabendo que x = 8 e

x = 3 são raízes.f) x3 − 3x2 − 10x + 24 = 0, sabendo que x = 4 é uma

raiz.2. Em cada caso abaixo, escreva na forma expandida uma

função polinomialque tenha o grau e as raízes indicadas.a) Grau 2, com raízes −4 e 0.b) Grau 2, com raízes 1/2 e 2, com concavidade para

baixo.c) Grau 3, com raízes 0, 1 e 3.d) Grau 3, com raízes −2 e 1 (com multiplicidade 2).e) Grau 4, com raízes −3, −2, 0 e 5.

3. Resolva as desigualdades abaixo.a) (x − 1)(x + 2)(x − 4) ≤ 0b) (x + 1)(x − 2)x ≥ 0c) x3 − 2x ≥ 0d) 2x3 − 18x ≤ 0

4. Usando o método da bissecção, determine um zero dep(x) = x4 − 3x3 + 2x2 − x + 1 que pertence ao intervalo[2,4].

5. Um tanque de gás tem o formato de um cilindro aoqual se acoplou duas semiesferas, como mostrado na fi-gira abaixo. Observe que o comprimento do cilindrocorresponde a 5 vezes o raio de sua base.

Responda às perguntas abaixo, lembrando que o volumede uma semiesfera de raio r é 2

3πr3, e que o volume de

um cilindro com altura h e raio da base r é dado porπr2h.a) Exprima o volume do cilindro em função apenas de

r.b) Escreva uma função V (r) que forneça o volume do

tanque em relação a r.c) Determine o valor de r que permite que o tanque

armazene 25 m3 de gás.6. Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel.

Somados, os homens despendem R$ 2400,00. O grupode mulheres gasta a mesma quantia, embora cada umatenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem. Su-pondo que x denota o número de homens do grupo,determine esse valor.

7. Fazendo a mudança de variável w = x2, determine asraízes reais das equações.

a) x4 − 24x2 − 25 = 0b) x4 − 13x2 + 36 = 0

c) x4 − 2x2 + 1 = 0

8. Em um sistema de piscicultura superintensiva, umagrande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade popula-cional e alimentação à base de ração. Os tanques-redetêm a forma de um prisma retangular e são revestidoscom uma rede que impede a fuga dos peixes, mas per-mite a passagem da água (vide figura).

Para uma determinada espécie, a densidade máxima deum tanque-rede é de 400 peixes adultos por metro cú-bico. Suponha que um tanque possua largura igual aocomprimento e altura igual à metade da largura. Quaisdevem ser as dimensões mínimas do tanque para que elecomporte 7200 peixes adultos da espécie considerada?Lembre-se que o volume de um prisma retangular delados x, y e z é xyz.

Respostas dos Exercícios 4.31. a) Polinômio: p(x) = −3x(x − 3)(x + 1)

Raízes: 0, 3 e −1

b) Polinômio: p(x) = x2(x − 5)(x + 4)

Raízes: 5, −4 e 0 (com multiplicidade2)

c) Polinômio: p(x) = (x+ 1)(x−√

2)(x+

√

2) Raízes: −1,√

2 e −√

2d) Polinômio: p(x) = (x−1)(x−2)(x−8)

Raízes: 1, 2 e 8e) Polinômio: p(x) = (x + 3)(x − 1)(x −

3)(x − 8) Raízes: −3, 1, 3 e 8f) Polinômio: p(x) = (x+3)(x−2)(x−4)

Raízes: −3, 2 e 4

2. a) p(x) = x2+ 4x

b) p(x) = −x2+

52x − 1

c) p(x) = x3− 4x2

+ 3xd) p(x) = x3

− 3x + 2e) p(x) = x4

− 19x2− 30x

3. a) x ≤ −2 ou 1 ≤ x ≤ 4


b) −1 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2c) −

√

2 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2d) x ≤ −3 ou 0 ≤ x ≤ 3

4. x ≈ 2,20557

5. a) Vc(r) = 5πr3

b) V (r) = 193 πr

3

c) r = 3,69 m6. O grupo tem 15 homens e 25 mulheres.

7. a) x = −5 e x = 5b) x = −3, x = 3, x = −2 e x = 2c) x = −1 e x = 1

8. Aproximadamente 3,3 × 3,3 × 1,65 m

4.4 Gráficos de funções polinomiais

Embora já tenhamos traçado alguns gráficos de funções polinomiais, ainda não discu-timos suas características principais, às quais nos dedicaremos nessa seção. Iniciandonossa análise, vamos recorrer a um exemplo simples.

Exemplo 1. Gráfico de uma função a partir de pontos do plano

Tentemos construir o gráfico de uma função f da qual conhecemos apenas osvalores de f(x) para x = −2,−1,0,1,2,3.

Para traçar o gráfico de f , procedemos da forma habitual, montando uma tabelade pares (x,f(x)), e marcando esses pontos no plano Cartesiano. Os seis pontos assimobtidos são mostrados na Figura 4.19a.

Em seguida, é preciso ligar os pontos por uma curva que represente de forma maisou menos fiel a função. Nesse caso, temos duas opções. Podemos traçar uma curvacom trechos quase retos, como se vê na Figura 4.19b, ou podemos traçar uma curvamais suave, como a que é exibida na Figura 4.19c.

(a) Os pontos do exemplo 1 (b) gráfico de uma função definidapor partes

(c) Gráfico de uma função polinomial

Figura 4.19: Curvas que passam por um dado conjunto de pontos

A curva mostrada na Figura 4.19b só é adequada quando sabemos de antemãoque a função a ser representada é definida por partes. Entretanto, como isso ocorrecom pouca frequência, na maioria das vezes é melhor traçar uma curva como a queaparece na Figura 4.19c, que é mais suave. Curvas desse tipo são características defunções polinomiais, como veremos a seguir.

De uma forma geral, o gráfico de uma função polinomial possui as seguintes ca-racterísticas:

• Ele é contínuo, ou seja, ele não contém buracos, saltos (descontinuidadesverticais) ou falhas (descontinuidades horizontais), como o que se vê nas Figuras4.20a e 4.20b.

• Ele é suave, ou seja, ele não possui mudanças bruscas de direção ou inclina-ção, como as mostradas na Figura 4.20c. Essas mudanças são denominadasinformalmente de quinas ou bicos.

A Figura 4.20d mostra o gráfico de uma função que pode perfeitamente ser poli-nomial, pois a curva é contínua e tem mudanças suaves de inclinação.

Seção 4.4. Gráficos de funções polinomiais 331

(a) Não é o gráfico de uma funçãopolinomial, pois há um buraco ema e um salto em b

(b) Não é o gráfico de uma funçãopolinomial, pois há uma falha en-tre a e b

(c) Não é o gráfico de uma funçãopolinomial, pois há uma quina ema e um bico em b

(d) Pode ser o gráfico de uma fun-ção polinomial, pois é contínuo esuave

Figura 4.20

∎ Comportamento extremoOutra característica interessante das funções polinomiais é o seu comportamentoquando os valores de x ficam muito grandes em módulo, isto é, quando eles se afastamde x = 0 tanto na direção positiva, como na direção negativa do eixo-x.

Para analisar esse comportamento extremo das funções, precisamos definir oque significa tender ao infinito.

Dizemos que

• x tende ao infinito quando x cresce arbitrariamente, ou seja, assumevalores arbitrariamente grandes no sentido positivo do eixo-x. Nessecaso, usamos a notação

x→∞.

• x tende a menos infinito quando x decresce arbitrariamente, ou seja,se afasta do zero no sentido negativo do eixo-x. Nesse caso, escrevemos

x→ −∞.

Observe que a mesma notação pode ser usada para y, se tomamos como referênciao eixo vertical. Assim, também é possível escrever

y →∞ e y → −∞.

Uma função polinomial é a soma de vários monômios na forma aixi. Por exemplo,a função

p(x) = x3+ x2

+ x


é composta pelos monômios x3, x2 e x. Como vimos na Seção 3.9, o gráfico de p é acomposição dos gráficos desses três monômios. Assim, é possível usar esses gráficospara investigar como cada monômio influencia o comportamento de p quando x→∞.

Para começar nossa análise, traçamos os gráficos de y = x, y = x2, y = x3 ey = x3 + x2 + x para x entre 0 e 2, como mostrado na Figura 4.21a. Observando essesgráficos, constatamos que o comportamento de p(x) depende de todos os monômiosque compõem a função quando o intervalo é pequeno e está próximo de x = 0.

Entretanto, o intervalo [0,2] não parece adequado para que descubramos como p secomporta para valores grandes de x. Sendo assim, traçamos os mesmos gráficos parax entre 0 e 10, como se vê na Figura 4.21b. Nesse caso, percebe-se facilmente que, àmedida que consideramos valores maiores de x, os monômios de menor grau perdemimportância, e o gráfico de p(x) = x3 +x2 +x passa a ser fortemente influenciado pelográfico de y = x3, isto é, pelo gráfico do monômio de maior grau.

Para corroborar a hipótese de que é o termo de maior grau que determina ocomportamento de p para valores grandes de x, traçamos novamente os gráficos de pe de seus monômios, considerando, agora, valores de x entre 0 e 20. As curvas assimobtidas, apresentadas na Figura 4.21c, indicam que, paa valores de x maiores que 10,as curvas de y = p(x) e y = x3 quase se superpõem, enquanto o gráfico do monômiode grau 1 praticamente desaparece da figura.

(a) 0 ≤ x ≤ 2 (b) 0 ≤ x ≤ 10 (c) 0 ≤ x ≤ 20

Figura 4.21: Gráfico de p(x) = x3+x2+x e de seus monômios, para diferentes intervalosde x.

Os resultados apresentados na Figura 4.21 sugerem que, para descobrir o queocorre com a função p(x) = x3 + x2 + x quando x tende a infinito, basta olhar parao comportamento do termo de maior grau. De fato, isso ocorre não somente com afunção p, mas com toda função função polinomial. Além disso, também é possívelusar o monômio de maior grau para analisar o que acontece quando x→ −∞.

Teste do coeficiente dominanteO comportamento extremo da função p(x) = anxn+an−1x

n−1+⋯+a1x+a0depende de n (o grau da função), bem como de an, o coeficiente dominante(ou principal) do polinômio, isto é, o coeficiente do monômio de maior grau.

1. Se n é ímpar, temos duas situações, dependendo do sinal de an:


Teste do coeficiente dominante (cont.)

(a) Se an > 0, então p decresceilimitadamente (p → −∞) quandox → −∞ e p cresce ilimitadamente(p→∞) quando x→∞

(b) Se an < 0, então p cresce ilimita-damente (p→∞) quando x→ −∞ ep decresce ilimitadamente (p→ −∞)quando x→∞

Figura 4.22: Comportamento extremos de funções com grau ímpar

2. Se n é par, temos outras duas possibilidades, dependendo do sinal dean:

(a) Se an > 0, então f cresce ilimita-damente (f → −∞) quando x→ −∞

e quando x→∞

(b) Se an > 0, então f decresceilimitadamente (f → −∞) quandox→ −∞ e quando x→∞

Figura 4.23: Comportamento extremos de funções com grau ímpar

Problema 1. Teste do coeficiente dominante

Determine o comportamento extremo de cada uma das funções abaixo.

a) f(x) = −x3 + 5x2 − 10 b) f(x) = −x4 + 3x3 + 16 c) f(x) = x5 +x4 −10x3 −4

Solução.

a) Como f(x) = −x3+5x2−10 tem grau ímpar (3) e o coeficiente dominante é −1, queé negativo, a função cresce ilimitadamente para x→ −∞, e decresce ilimitadamentepara x→∞. O gráfico de f é exibido na Figura 4.24a.

b) A função f(x) = −x4 + 3x3 + 16 tem grau par (4) e o coeficiente dominante énegativo (a4 = −1). Sendo assim, a função decresce ilimitadamente tanto parax→ −∞, como para x→∞. A Figura 4.24b mostra o gráfico de f .


c) Uma vez que f(x) = x5 + x4 − 10x3 − 4 tem grau ímpar (5) e a5 > 0 (pois a5 = 1), afunção decresce ilimitadamente para x→ −∞, e cresce ilimitadamente para x→∞,como apresentado na Figura 4.24c.

(a) f(x) = −x3 + 5x2 − 10 (b) f(x) = −x4 + 3x3 + 16 (c) f(x) = x5 + x4 − 10x3 − 4

Figura 4.24: Gráficos do Problema 1.

∎ Máximos e mínimos locaisPara determinar o comportamento de funções polinomiais, também é convenienteconhecer seus pontos de máximo e de mínimo local. Entretanto, assim como ocorrecom os zeros, esses pontos extremos não têm um número fixo, como mostra a Figura4.25, na qual vemos que p(x) = x3 não tem pontos de máximo ou mínimos locais,enquanto p(x) = −x3+5x+1 tem um máximo e um mínimo, e p(x) = −x4+x3+11x2−9x − 18 tem dois máximos e um mínimo.

(a) p(x) = x3 (b) p(x) = −x3 + 5x + 1 (c) p(x) = −x4+x3+11x2−9x−18

Figura 4.25: Pontos extremos de algumas funções. Pontos de máximo local são indi-cados em verde, e pontos de mínimo local em roxo.

O teorema abaixo fornece um limite para o número de pontos extremos de umafunção polinomial.

Pontos extremos de funções polinomiaisUma função polinomial de grau n tem, no máximo, n−1 extremos locais (quepodem ser máximos ou mínimos).


Esse teorema não é muito esclarecedor, pois não informa o número exato ou alocalização dos pontos de máximo e mínimo local de uma função. De fato, ele sóindica que não devemos esperar encontrar, por exemplo, quatro pontos extremos paraum polinômio de grua 4.

Por outro lado, podemos obter uma estimativa melhor da localização de algunspontos extremos se conhecermos os zeros de uma função, como indica o próximoteorema.

Pontos extremos e raízes de funções polinomiaisEntre dois zeros distintos de uma função polinomial há, ao menos, um pontoextremo.

Exemplo 2. Pontos extremos

A função p(x) = 2x3 + 3x2 − 18x + 8, tem como zeros

x = −4, x =12

e x = 2.

Logo, ela possui ao menos um ponto extremo em (−4, 12) e outro em ( 1

2 ,2). Comop(x) tem grau 3, a função pode ter, no máximo, dois pontos extremos, de modo quehá exatamente um ponto extremo em cada um desses intervalos.

Para descobrir se o extremo local dentro de um intervalo é um ponto de máximoou de mínimo, basta calcularmos o valor de p(x) em um ponto qualquer do intervalo.Assim, para os intervalos desse exemplo, temos

Intervalo x p(x) Sinal(−4, 1

2) 0 8 Positivo( 1

2 ,2) 1 -5 Negativo

Da tabela acima, concluímos que p(x) possui um máximo local no intervalo (−4, 12)

e um mínimo local em ( 12 ,2).

Embora uma função polinomial possa ter mais de um mínimo ou máximo local, asaplicações práticas costumam envolver intervalos específicos, nos quais só um pontoextremo faz sentido.

Problema 2. Otimização do formato de uma caixa

Você precisa usar uma folha de papelão com 56 × 32 cm, para fabricar uma caixasem tampa como a que é mostrada na Figura 4.26a.

Para obter a caixa, a folha deverá ser cortada nas linhas contínuas e dobrada naslinhas tracejadas indicadas na Figura 4.26b. Observe que a base da caixa dobradacorresponde ao retângulo interno da figura e que sua altura é x. Responda às per-guntas abaixo, lembrando que o volume de um prisma retangular de lados x, y e z éigual a xyz.

1. Exprima cada uma das dimensões da base da caixa dobrada em função de x.

2. Determine uma função V (x) que forneça o volume da caixa em relação a x.

3. Determine o domínio de V (x). (Dica: considere que os lados da caixa nãopodem ser negativos).

4. Esboce o gráfico de V (x).


(a) Uma caixa sem tampa. (b) Planificação da caixa.

Figura 4.26

5. A partir do gráfico de V (x), determine o valor de x que maximiza o volume dacaixa. Calcule o volume correspondente.

Solução.

1. Observando a Figura 4.26b, notamos que a folha de papelão tem 56 cm delargura, dos quais 4x serão reservados para formar a lateral da caixa. Assim, alargura do fundo da caixa será dada por

L(x) = 56 − 4x.

Por sua vez, dos 32 cm de altura que a folha de papelão possui, 2x tambémserão usados na lateral da caixa, de modo que a outra dimensão do fundo dacaixa será definida por

A(x) = 32 − 2x.

2. Dadas as dimensões do fundo da caixa, e considerando que sua altura mede x,o volume comportado será equivalente a

V (x) = (56 − 4x)(32 − 2x)x.

3. Como nenhuma dimensão da caixa poderá ser negativa, devemos ter

a) x ≥ 0.b) 56 − 4x ≥ 0 ⇒ x ≤ 14.c) 32 − 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 16.

Tomando a interseção dessas desigualdades, obtemos

0 ≤ x ≤ 14.

4. Claramente, a função V (x) tem como raízes

x = 0, x = 14 e x = 16.

Entretanto, como vimos no item anterior, somente os valores de x entre 0 e 14têm sentido físico. Limitando nosso gráfico a esse intervalo, obtemos a curvamostrada na Figura 4.27.

Figura 4.27: Gráfico de V (x) =

(56 − 4x)(32 − 2x)x.

5. Analisando a Figura 4.27, concluímos que a altura que maximiza o volume dacaixa é

x ≈ 5cm,à qual corresponde um volume de

V (5) = 3960 cm3.



Exercícios 4.41. Determine o número de mínimos e máximos locais das

funções abaixo. Indique um intervalo que contém a co-ordenada x de cada mínimo ou máximo.

a) f(x) = (x − 3)(x − 4)b) f(x) = (

√5 − x)(x + 1/4)

c) f(x) = 3x(x − 2)(x + 3)d) f(x) = (x + 5)(2 − x)(x + 3)e) f(x) = (x − 1)2(x + 1

2)

f) f(x) = x(x − 3)(x + 2)(x −√

2)

2. uma companhia aérea permite que um passageiro leveconsigo uma bagagem cuja soma das dimensões (altura,largura e profundidade) não ultrapasse 150 cm. Joa-quim pretende tomar um voo dessa companhia levandouma caixa cuja base é quadrada. Suponha que o com-primento do lado da base seja x.

a) Escreva uma função h(x) que forneça a altura dacaixa em relação às outras duas dimensões.

b) Forneça uma função v(x) que forneça o volume dacaixa, lembrando que o volume de um prisma re-tangular de lados x, y e z é igual a xyz.

c) Defina um domínio adequado para v(x), lembrandoque nenhum lado da caixa pode ter comprimentonegativo.

d) Esboce o gráfico de v(x) no domínio que você de-finiu.

e) Determine o valor de x que maximiza o volume dacaixa. Calcule o volume correspondente.

3. Considerando apenas o comportamento extremo dasfunções abaixo, relacione-as aos gráficos apresentados.

a) f(x) = x3 − 5x + 1b) f(x) = −2x3 − x2 + 4x + 6c) f(x) = x4 − 3x3 − 2x2 + 4x − 4d) f(x) = 1 − 4x2 − 4x3 + 3x4 + 2x5 − x6

I)

II)

III)

IV)

4. Os gráficos algumas funções polinomiais foram dese-nhados abaixo, com o auxílio de um programa mate-mático. Determine aproximadamente os pontos de mí-nimo e máximo local e os valores correspondentes decada função.

a)

b)

c)

d)

Respostas dos Exercícios 4.41. a) Um mínimo local no intervalo (3,4)

b) Um máximo local em (−14 ,

√

5)c) Um mínimo em (0,2) e um máximo

em (−3,0)d) Um mínimo em (−5,−3) e um máximo

em (−3,2)e) Um mínimo em x = 1 e um máximo

em (−12 ,1)

f) Mínimos nos intervalos (−2,0) e(

√

2,3), e um máximo em (0,√

2)2. a) h(x) = 150 − 2x

b) v(x) = x2(150 − 2x)

c) x ∈ [0,75]

d)

e) x = 50 cm. v(50) = 125.000 cm3.

3. a) IV b) II c) I d) III

4. a) Máximo local: x ≈ 2Mínimos locais: x ≈ −1,5 e x ≈ 6,3

b) Máximos locais: x ≈ −1,6 e x ≈ 0,5Mínimos locais: x ≈ −0,5 e x ≈ 1,3

c) Máximo local: x ≈ −0,6Mínimo local: x ≈ 0,6

d) Máximo local: x ≈ 2,2Não há mínimos locais

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