APOSTILA_Física I_Mecânica_Professor Reni

FSICA I

Parte IMedidas das Grandezas FsicasGrandeza FsicaTudo que, quando comparado com um padro, podemos associar um nmero e uma unidade, ou seja, podemos medir. As grandezas podem ser classificadas em ESCALARES ou VETORIAIS. ESCALARES definidas apenas por uma quantidade. Exemplos: tempo, energia. VETORIAIS bem definidas por um vetor (ente geomtrico com mdulo, direo e sentido). Exemplos: velocidade, fora.

Grandeza

Nome

Smbo lo

Valor em unidade do SI

comprimen to minuto hora dia grau ngulo plano minuto segundo

tempo

dm cm mm min h d ' "

( 180 ) rad 1 1' = ( 60 ) = ( 10800 )

1 km = 1000 m 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,01 m 1 mm = 0,001 m 1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3600 s 1 d = 24 h = 86400 s 1 =

rad 1" = 1 ( 60 ) '= ( 648800 )

Sistemas de UnidadesConjuntos de unidades para medir todas as grandezas fsicas. Exemplos: CGS, MKS, MKgfS. volume massa

litro tonelad a grama

ou L t g

Sistemas Internacional de Medidas (SI)Grandeza comprimento massa tempo intensidade de corrente eltrica temperatura termodinmica quantidade de matria intensidade luminosa Unidade Metro Quilogra ma Segundo Ampre Kelvin Mol Candela Smb olo m kg s A K mol cd

rad 1 = 1 dm3 = 103 m3 1 t = 1000 kg 1 g = 0,001 kg

Notao Cientfica a expresso de um nmero (N) sob a forma de potncias de dez, tal que:

N = M .10 x , onde 1 M < 10 e x Exemplos: 241 = 2,41.102 0,0045 = 4,5.103

Ordem de GrandezaA OG de um nmero N definida, para N escrito em notao cientfica, do seguinte modo:

O SI tambm denominado MKS, onde as letras M, K e S correspondem s iniciais de trs unidades do SI. Existem ainda outros dois sistemas, o CGS e o MKgfS:

OG ( N ) = 10 x , se M 3,16, onde 3,16 10 = 10 12 OG ( N ) = 10 x +1 , se M > 3,16 Exemplo: OG (3800) = OG (3,8.103) = 104

Siste ma MKS CGS MKgfS

Comprime nto m cm m

Mass a kg g u.t.m. *

Temp o s s s

Mltiplos e Submltiplos decimais do SISo obtidos atravs da utilizao de prefixos apropriados. Prefixo Smbolo Fator (10 elevado a) exa E 18 peta P 15 tera T 12 giga G 9 mega M 6 quilo k 3 hecto h 2 deca da 1 deci d 1

* unidade tcnicade massa

Unidades no-pertencentes ao Sistema InternacionalAlgumas unidades do SI so empregadas conjuntamente com outras unidades que no fazem parte do SI, j estando amplamente difundidas. Veja no quadro a seguir.

Academia dos Concursos

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centi mili micro nano pico femto atto

c m n p f a

2 3 6 9 12 15 18

F = mv r2

1

ou

mv 2 F= r

Sistema LMT o sistema de unidades mecnicas que usa o comprimento, a massa e o tempo como grandezas fundamentais. Representamos essas grandezas da seguinte forma: SISTEMA LMT COMPRIMENTO L MASSA M TEMPO T

01. Classifique as grandezas quanto a sua natureza escalar (E) ou vetorial (V): comprimento tempo velocidade fora volume rea temperatura acelerao trabalho potncia energia perodo frequncia carga eltrica intensidade de corrente presso campo eltrico massa momento de uma fora densidade ndice de refrao rotao de um caderno viscosidade impulso 02. Cada exemplar de um jornal lido, em mdia, por trs pessoas. Num grupo de 7500 leitores, a ordem de grandeza da quantidade de exemplares necessrios corresponder a: a) 100. b) 101. c) 102. d) 103. 03. O fumo , comprovadamente, um vcio prejudicial sade. Segundo dados da OMS, um fumante mdio, ou seja, aquele que consome cerca de 10 cigarros por dia, ao chegar meia-idade ter problemas cardiovasculares. A ordem de grandeza do nmero de cigarros consumidos por este fumante durante 30 anos de: a) 103. b) 104. c) 105. d) 106. 04. Obtenha as equaes dimensionais das grandezas fsicas a seguir indicadas, no sistema LMT e no SI, em funo das equaes de definio que as acompanham.

Equaes Dimensionais a frmula que estabelece a correlao da grandeza considerada com outras, em funo das quais a primeira foi definida.

Princpio da Homogeneidade DimensionalToda equao que traduz um fenmeno fsico verdadeiro , necessariamente, homognea do ponto de vista dimensional.

Anlise DimensionalPreviso de Frmulas Fsicas (Mtodo de Brigdmann) G = K.Xa.Yb.Zc, em que G uma grandeza fsica, K uma constante de proporcionalidade, X, Y e Z so grandezas relacionadas com G e a, b e c so nmeros reais. Exemplo de Aplicao: A fora (F) resultante sobre uma partcula que descreve um movimento circular e uniforme depende da massa (m), da velocidade (v) e do raio (r) de sua trajetria. Determine para k = 1 a frmula que liga estas grandezas. Soluo: F = K . ma . vb . rc substituindo as grandezas fsicas pelas respectivas equaes dimensionais, temos: LMT 2 = Ma . (LT 1)b . Lc = L b + c . Ma . T bb + c = 1 Assim, do sistema a = 1 , temos a = 1, b = 2 e c = 1. b = 2

s t v b) Acelerao - a = t c) Fora - F = m.a d) Trabalho - = F .s e) Potncia - P = t f) Energia - E = m.g .h g) Momento Linear - Q = m.v h) Impulso - I = F .t F i) Presso - P = A m j) Massa Especfica - = Va) Velocidade -

v=

Substituindo os expoentes e fazendo k = 1, encontramos a frmula:

05. Dada a expresso E = h. f , em que E energia e f freqncia, a frmula dimensional de h no sistema MKS : a) L2MT1 b) L2MT2 c) LMT d) LMT1


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06. A lei de gravitao universal dada pela expresso m .m F = G 1 2 2 . Qual a equao dimensional da constante G? d a) Adimensional b) L3M1T 2 c) LM3T2 d) L1M2T1 07. Para que a equao T = 2.M a .K b .Lc , onde T o tempo, M a massa, K fora/comprimento e L o comprimento, seja homognea, deve-se ter a, b e c respectivamente iguais a a) 1, 1/2 e 0. b) 0, 1 e 0. c) 1/2, 1/2 e 1/2. d) 1/2, 1/2 e 0.

Neste caso, temos: | |=| |

=

=

e| |=

Operaes com Vetores Soma Regra do PolgonoPor este mtodo, para encontrarmos o vetor soma entre os vetores , e , basta unirmos extremidade de a origem de , extremidade de , a origem de . Por fim, unimos a origem de extremidade de , o vetor assim obtido ter origem na origem de e extremidade na extremidade de .

Parte IIGrandezas VetoriaisVetoresUm vetor um ente matemtico que representa todos os segmentos orientados com a mesma direo, mesmo sentido e mesmo mdulo (geometricamente, o tamanho do segmento representa o mdulo do vetor).

Na figura, todos os segmentos tm a mesma direo, pois so paralelos, tm o mesmo sentido e mesmo comprimento e, portanto, podem ser representados pelo vetor .

Observe que, alterando-se a sequncia dos vetores, o vetor soma no se altera.

RepresentaoO vetor representado pelo segmento de reta orientado , onde A a origem do vetor e B a extremidade do vetor. O mdulo de dado por | | ou simplesmente v.

Definies Vetores opostos: so vetores que possuem a mesmadireo, o mesmo mdulo, mas sentidos contrrios. Neste caso, temos: = e| |=| |

Em ambos os casos, temos:

=

+

+

=

+

+

Casos especiaisQuando dois vetores tm o mesmo sentido e a mesma direo:

Neste caso, temos:

=

+

e| |= | |+| |

Vetor nulo: quando o mdulo do vetor nulo (| | = 0 e= ). Neste caso, no se define direo nem sentido.

Quando dois vetores tm a mesma direo mas sentidos opostos:

Vetor unitrio: quando o mdulo do vetor 1 (| | = 1).Neste caso, ele tambm chamado de versor.

Vetores iguais: dois ou mais vetores so iguais quandopossuem o mesmo mdulo, a mesma direo e o mesmo sentido.

Neste caso, temos:

=

+

e| |= | || |

Quando dois vetores tm direes perpendiculares:


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Neste caso, temos:

=

+

e | |2 = | |2 + | |2 (Pitgoras)

Neste caso, temos: |

=

e

Regra do ParalelogramoConsiste em unir as origens de dois vetores que se quer somar. Depois, transladamos paralelamente cada um deles, construindo assim um paralelogramo. O vetor soma ser a diagonal do paralelogramo que tem como origem a origem comum dos dois vetores.

|2 = | |2 + | |2 2.| |.| |.cos (Lei dos cossenos)

* Observe que obtido unindo-se as origens de e e depois ligando-se as extremidades. O vetor aponta sempre para o minuendo da subtrao.

Multiplicao de um vetor por um escalar (nmero real)O produto de um nmero real por um vetor outro vetor , cujas caractersticas so: resultar em um

Intensidade: | | = ||.| | Direo: a mesma de Sentido: se > 0 o mesmo dese < 0 contrrio de Exemplos:

Neste caso, temos:

=

+

e

Decomposio de vetoresSo dados um vetor y. e um sistema de dois eixos ortogonais x e

| |2 = | |2 + | |2 + 2.| |.| |.cos (Lei dos cossenos) Observaes:

Desigualdade triangular: | | | | | | | | + | |. Poligonal fechada: se trs ou mais vetores sequenciadosformam uma linha poligonal fechada, a soma deles nula.

SubtraoA subtrao (ou diferena) de vetores = pode ser entendida como uma soma de vetores, pois: = = + ( ), ou seja, igual soma do vetor com o oposto do vetor , que . Ento:

Projetando ortogonalmente as extremidades do vetor x e y, obtemos seus componentes retangulares x e que:cos = vx v x = v. cos v

nos eixos y. Temos

sen =

vy v

v y = v.sen

So vlidas tambm as seguintes relaes: Ou, de maneira direta, temos: Operao Vetorial Operao Algbrica


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v = vx + v y

2 2 v 2 = vx + v y

5. Determine o mdulo de dois vetores, e , perpendiculares entre si e atuantes num mesmo ponto, sabendo que seus mdulos esto na razo de 3 4 e que o vetor soma entre eles tem mdulo 10. 6. Determine o mdulo das componentes de um vetor de mdulo 4 m que forma um ngulo de 30 com a vertical. 7. Um projtil atirado com velocidade de 400 m/s fazendo um ngulo de 45 com a horizontal. Determine as componentes vertical e horizontal da velocidade do projtil. 8. Um vetor velocidade decomposto em dois outros perpendiculares entre si. Sabendo-se que o mdulo do vetor velocidade 10 m/s e que uma das componentes igual a 5 m/s, determine o mdulo do vetor correspondente outra componente.

01. Dados os vetores

,

,

,

e

, abaixo representado,

obtenha graficamente o vetor

em cada caso:

9. Qual a relao entre os vetores representados abaixo? a) b) c) d) e) . . . . .

,

,

e

,

a) c) e) g)

= = =

+ + + + + + +

b) d) f)

= = =

+ + + + h) = 2. + 3.

10. Sobre a composio dos vetores a seguir podemos dizer que:

= +

2. Calcule o mdulo do vetor soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos mdulos so: a) 3 e 4u. b) 6 e 8u. c) 5 e 12u. d) 9 e 12u e) 8 e 15u. f) 12 e 16u. g) 15 e 20u. h) 7 e 24u. i) 10 e 10u. j) 11 e 11 3 u. 3. Calcule o mdulo do vetor resultante do vetor caso abaixo. e em cada

a) b) c) d) . . .

11. dado o diagrama vetorial da figura. Qual a expresso correta? a) b) c) d) e) . . . . .

12. Dado o conjunto de vetores, marque V ou F. 4. Calcule o ngulo formando por dois vetores de mdulos iguais a 5 unidades e 6 unidades e cujo vetor resultante tem mdulo 61 unidades. a) b) c) . . .


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d) e) f)

. .

Deslocamento Escalar e Distncia Percorrida: Deslocamento Escalar a diferena entre as posies final e inicial:

.

s = s f si

O sinal algbrico do deslocamento escalar indica em que sentido ocorreu o deslocamento. Distncia Percorrida a medida de quanto se andou, sendo sempre um somatrio de valores positivos. Velocidade Escalar: a grandeza que indica como varia a posio de um corpo com o tempo. Em outras palavras, est relacionada com quo rpido um corpo se movimenta. Velocidade Escalar Mdia: a razo entre o deslocamento escalar de um mvel e o tempo total gasto.

vm =

Parte IIICinemticaIntroduo CinemticaA Cinemtica a parte da Mecnica que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com suas causas.

Definies preliminaresMovimento: Um corpo est em movimento quando a sua posio varia com o tempo. De um modo geral, d-se o nome de mvel a qualquer corpo em movimento. Partcula ou ponto material: qualquer corpo cujas dimenses geomtricas sejam desprezveis em face da sua trajetria, isto , da linha que ela descreve no espao. Referencial: Para definir a posio de uma partcula, precisamos de um sistema de referncia, ou, como tambm se diz de maneira mais cmoda, de um referencial. O referencial pode ser a Terra, o Sol, um corpo, um sistema de eixos, etc. Se a posio da partcula permanecer invarivel em relao ao referencial usado, dizemos que ela est em repouso. Se variar com o tempo, dizemos que ela est em movimento. claro que o repouso e o movimento citados so relativos ao referencial usado. Por exemplo - Quando voc viaja de nibus, a sua posio em relao estrada varia com o tempo. Ento voc est em movimento em relao estrada. Mas sua posio em relao ao motorista no se modifica. Ento voc est em repouso em relao ao motorista. Trajetria: a linha determinada pelas diversas posies que um corpo ocupa no decorrer do tempo. A trajetria DEPENDE do referencial adotado. Posio Escalar: um nmero que determina, na trajetria de um corpo, a sua posio relativa. Funo Horria: a funo que permite determinar a posio de um corpo em um dado instante.

Quando um corpo possui velocidade (grandeza vetorial) constante, isto significa que a velocidade conserva o valor algbrico, a direo e o sentido. Uma mudana em qualquer um dos trs elementos citados acarreta uma variao na velocidade como um todo. Como uma mudana de sentido corresponde a uma alterao no sinal da velocidade escalar, e consequentemente no valor algbrico, dizemos simplesmente, que uma velocidade pode variar seu valor algbrico e / ou sua direo. Sendo assim, ateno: se um carro percorre sempre 80 Km em cada hora de movimento no podemos garantir que sua velocidade seja constante, pois ele pode estar fazendo curva e, assim, a velocidade muda de direo! S podemos afirmar com certeza, que a velocidade escalar constante, se o ponteiro do velocmetro est sempre no mesmo nmero. Transformao de km/h para m/s: Obtemos a unidade de velocidade dividindo a unidade de distncia pela unidade de tempo. A unidade mais comum o quilmetro por hora (km / h), indicada nos velocmetros dos carros, utilizados para medir velocidade instantnea. No Sistema Internacional de Unidades (SI), porm, a velocidade expressa por metros por segundo (m/s). A relao entre km/h e m/s : Para transformar km/h para m/s, basta dividir por 3,6. Para transformar m/s para km/h, basta multiplicar por 3,6.

s t

1. Analise as afirmativas abaixo: I - Uma partcula em movimento em relao a um referencial pode estar em repouso em relao a outro. II - A forma da trajetria de uma partcula independe do referencial usado. III - Dois nibus se deslocam por uma estrada retilnea com velocidade constante, sendo assim um est em repouso em relao ao outro. 2. Uma formiga A caminha radialmente sobre um disco de vitrola, do eixo para a periferia, quando o disco gira.


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a) Qual a trajetria da formiga A para um observador, em repouso, situado fora do disco? b) Qual a trajetria da formiga A para uma outra formiga B, situada sobre o disco, em repouso em relao a ele? 3. Um professor de Fsica, verificando em sala de aula que todos os seus alunos se encontram sentados, passou a fazer algumas afirmaes para que eles refletissem e recordassem alguns conceitos sobre movimento. Das afirmaes seguintes formuladas pelo professor, a nica CORRETA a) Maicou Diksom (aluno da sala) est em repouso em relao aos demais colegas, mas todos ns estamos em movimento em relao Terra. b) Mesmo para mim (professor), que no paro de andar, seria mesmo possvel achar um referencial em relao ao qual eu estivesse em repouso. c) A velocidade dos alunos que eu consigo observar agora, sentados em seus lugares, nula para qualquer observador humano. d) Como no h repouso absoluto, nenhum de ns est em repouso, em relao a nenhum referencial. e) O Sol est em repouso em relao a qualquer referencial. 4. Mnica est andando de bicicleta, com velocidade constante, quando deixa cair uma moeda. Gabriel est parado na rua e v a moeda cair. Considere desprezvel a resistncia do ar. Assinale a alternativa em que melhor esto representadas as trajetrias da moeda, como observadas por Mnica e por Gabriel. a) b)

( ) Se s < 0 o mvel se deslocou nos espaos negativos da trajetria. 6. Trs cidades se encontram s margens de uma mesma rodovia. A cidade A est no marco quilomtrico 80, B est no 110 e C, no 170. a) Um automvel parte de A s 12h e chega C s 14h. Sua velocidade escalar mdia, neste percurso, foi de b) Outro automvel inicia seu movimento na cidade C s 9h. Chegando B, pra durante 0,5h e chega A s 11h30min. Sua velocidade escalar mdia de C at A foi de c) Um terceiro automvel sai s 10h da cidade A, vai at B e retorna cidade A s 11h. Sua velocidade escalar mdia no percurso total de 7. Uma carga foi transportada do local A para o local B, distantes 80 km um do outro, numa caminhoneta, a uma velocidade mdia de 100 km/h. Determine: a) o tempo gasto no percurso de A para B; b) a velocidade na segunda metade do percurso, considerando que na primeira metade a velocidade mdia foi de 120 km/h. 8. Uma pessoa, correndo, percorre 4 km com velocidade mdia de 12 km/h. O tempo do percurso de: 9. Uma linha de nibus urbanos tem um trajeto de 25 km. Se um nibus percorre este trajeto em 85 minutos, a sua velocidade mdia de: 10. Um automvel passou pelo marco 24 km de uma estrada s 12 horas e 7 minutos. A seguir, passou pelo marco 28 km da mesma estrada s 12 horas e 11 minutos. A velocidade mdia do automvel, entre as passagens pelos dois marcos, foi de aproximadamente...

c)

d)

e)

11. Uma patrulha rodoviria mede o tempo que cada veculo leva para percorrer um trecho de 400 metros da estrada. Um automvel percorre a primeira metade do trecho com velocidade de 140 km/h. Sendo 80 km/h a velocidade limite permitida, qual deve ser a maior velocidade mdia do carro na segunda metade do trecho, para evitar ser multado? 12. Uma ambulncia desloca-se pela Avenida Brasil devendo percorrer 60 km de seu ponto de partida at o centro da Cidade. Recomenda-se ao motorista manter uma velocidade escalar mdia de 90 km.h1, mas, por problemas no trnsito, durante os primeiros 20 minutos de viagem, sua velocidade escalar mdia foi de 40 km.h1. Para cumprir o recomendado, a velocidade escalar mdia com que a ambulncia deve fazer o percurso restante, em km.h1, 13. Um motorista levou 2 h para ir de Niteri a Friburgo (distncia aproximada de 120 km), tendo parado 30 minutos para fazer um lanche. Marque a opo correta. a) Durante todo o percurso o velocmetro marcou 80 km/h. b) Durante todo o percurso o velocmetro marcou 60 km/h. c) A velocidade escalar mdia foi de 60 km/h. d) A velocidade escalar mdia foi 80 km/h, pois preciso descontar o tempo que o motorista parou para lanchar. e) H duas respostas corretas.

5. Analise as proposies a seguir e marque cada uma delas com V (VERDADEIRO) ou F (FALSO). ( ) O estudo da trajetria de uma partcula independe do referencial adotado. ( ) Uma partcula que est em movimento em relao a um referencial pode estar em repouso em relao a outro. ( ) Se dois mveis se deslocam por uma estrada retilnea com velocidades iguais e constantes, no mesmo sentido, ento um est em repouso em relao ao outro. ( ) Se s > 0 o mvel se deslocou a favor da orientao da trajetria. ( ) Se s > 0 com certeza o mvel nunca parou no seu percurso. ( ) Se s = 0 o mvel no saiu do lugar, ou seja, no houve movimento. ( ) Se s = 0 o espao final coincide com o inicial e pode ter ocorrido movimento. ( ) Se s < 0 o mvel se deslocou em sentido contrrio ao da orientao da trajetria.


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14. Um carro percorreu a metade de uma estrada viajando a 30km/h e, a outra metade da estrada a 60km/h. Sua velocidade mdia no percurso total foi, em km/h, de 15. Um mvel percorre um tero de um percurso com velocidade mdia de 20 m/s e o restante com velocidade mdia de 30 m/s. Calcule sua velocidade mdia de todo o percurso. 16. Um corpo percorre o primeiro quarto de um percurso com velocidade mdia v, o segundo com velocidade 2v, e terceiro com velocidade 4v e o quarto restante com velocidade mdia igual a 3v. A velocidade mdia de todo o percurso foi de 17. Converta de km/h para m/s, e vice-versa, quando for o caso: a) 180 km/h. b) 20 m/s. c) 45 km/h. d) 15 m/s. e) 216 km/h. f) 51 m/s. g) 9 km/h. h) 1 m/s.

f) faa o desenho do movimento em um eixo orientado. 3. Um mvel desloca-se com movimento retilneo segundo a lei horria S= 20 + 8.t.

Movimento Retilneo Uniforme (M.R.U.)Velocidade Escalar Instantnea: a velocidade mdia escalar calculada para um intervalo de tempo to pequeno que tende a zero. Tipos de Movimento Progressivo: quando a velocidade escalar instantnea positiva. movimento progressivo

Determine: a) posio inicial do mvel; b) a posio do mvel quanto t= 5s c) o instante que o mvel passa pela posio 100m; d) a distncia percorrida pelo mvel durante o 10 segundo; e) a velocidade.

em

4. Um ciclista A est com velocidade constante vA = 36 km/h, um outro ciclista B o persegue com velocidade constante vB = 54 km/h, conforme a figura abaixo. Determine no S.I.

v>0

Retrgrado: quando a velocidade escalar instantnea negativa. movimento retrgrado Equao Horria

v 0 Retardado: quando o mdulo da velocidade diminui no decorrer do tempo, ou seja, acelerao e a velocidade tm sinais diferentes. movimento retardado: v . a < 0

1. Um carro partindo do repouso leva 5 s para alcanar a velocidade de 20m/s, calcule sua acelerao mdia. 2. Entre 0 e 3s, a velocidade de um helicptero em varia de 4 m/s para 21 m/s. Qual a sua acelerao? 3. Durante as experincias no laboratrio, um grupo de alunos verificou que, entre os instantes 2 s e 10 s, a velocidade de um carrinho varia de 3 m/s a 19 m/s. Calcule o valor da acelerao desse movimento. 4. Em 2,5 segundos, a velocidade de um carro passa de 8 m/s para 18 m/s. Qual a sua acelerao? 5. Em 2 horas, a velocidade de um carro aumenta de 20 km/h a 120 km/h. Qual a acelerao nesse intervalo de tempo?

Movimento (M.R.U.V.)

Retilneo

Uniformemente

Variado

Consiste em um movimento onde h variao de velocidade, ou seja, o mvel sofre acelerao medida que o tempo passa. Mas se essa variao de velocidade for sempre igual em intervalos de tempo iguais, ento dizemos que este um Movimento Retilneo Uniformemente Variado (tambm chamado de Movimento Retilneo Uniformemente Acelerado), ou seja, que tem acelerao constante e diferente de zero. O conceito fsico de acelerao, difere um pouco do conceito que se tem no cotidiano. Na fsica, acelerar significa basicamente mudar de velocidade, tanto tornando-a maior, como tambm menor. J no cotidiano, quando pensamos em acelerar algo, estamos nos referindo a um aumento na velocidade. O conceito formal de acelerao : a taxa de variao de velocidade numa unidade de tempo. Acelerao Escalar Mdia: a variao da velocidade escalar sobre o intervalo de tempo. v am = t

6. A velocidade de um carro de Frmula1 reduzida de 324 km/h para 108 km/h em 1,0 s. Assinale verdadeiro ou falso: ( ) A acelerao mdia 216 km/h/s. ( ) O mdulo da acelerao mdia 60 m/s . ( ) No intervalo de tempo de 1,0 s, o movimento retardado. Equaes Horrias Posio

a s = s 0 + v0 t + t 2 2

v = v0 + atEquao de Torricelli

Velocidade

v 2 = v 0 + 2 a s

2


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8. Um automvel tem velocidade de 90 km/h e freia com acelerao de 5 m/s. Depois de quanto tempo ele pra? 1. Determine s0, v0 e a nas seguintes funes horrias, escreva a funo horria da velocidade e determine o instante em que o mvel muda o sentido do movimento, quando ocorrer: a) s = 10 + 3t + t2s 0 = v 0 = a =

v=

t=

b) s = 25 10t + 5t2s 0 = v 0 = a =

9. Um ponto material em movimento adquire velocidade que obedece expresso v = 20 4 t (no SI) . Pede-se: a) a velocidade inicial ; b) a acelerao; c) a velocidade no instante 2s; d) o instante em que o ponto material muda de sentido; e) o instante em que a velocidade do ponto material de 20 m/s; f) a classificao do movimento no instante 8 s (progressivo ou retrgrado, acelerado ou retardado). 10. Um mvel parte com velocidade de 4 m/s de um ponto de uma trajetria retilnea com acelerao constante de 5 m/s. Qual sua velocidade no instante 16 s ? 11. A tabela mostra a velocidade de um mvel e os instantes correspondentes. v (m/s) 3 25 2 15 10 0 0 t (s) 0 1 2 3 4 Determine: a) o tipo de movimento (MRU ou MRUV)? Justifique sua resposta; b) a acelerao; c) a equao horria da velocidade. 12. Dada a tabela, responda: t(s) 0 2 v(m/s) 5 9 4 6 8 10

v=

t=

c) s = 50 51t 17t2s 0 = v 0 = a =

v=2

t=

d) s = t3s 0 = v 0 = a =

v=t2 4

t=

e) s = t s 0 = v 0 = a =

v=

t=

2. Um corpo realiza um movimento uniformemente variado segundo a equao horria s = 2t + 4t. Determine: a) a velocidade inicial do corpo; b) a acelerao do corpo; c) a posiodo corpo no instante t = 2 s; d) o instante em que o corpo muda o sentido do movimento. 3. Um carro em movimento adquire velocidade que obedece expresso v = 10 2t (no SI). Pede-se: a) a velocidade inicial; b) a acelerao; c) a velocidade no instante 6 s. 4. Um automvel em movimento retilneo adquire velocidade que obedece funo v = 15 3t (no SI). Determine: a) a velocidade inicial; b) a acelerao; c) a velocidade no instante 4 s. 5. dada a seguinte funo horria da velocidade de uma partcula em movimento uniformemente variado: v = 15 + 20t (no SI). Determine o instante em que a velocidade vale 215 m/s. 6. Um automvel parte do repouso e acelerado razo de 5 m/s. Calcule a sua velocidade 30 s aps a sua partida. 7. Um automvel parte do repouso com acelerao constante de 2 m/s. Depois de quanto ele atinge a velocidade de 40 m/s ?

1 1 2 25 3 7 1 a) o tipo de movimento (MRU ou MRUV)? Justifique sua resposta; b) a acelerao; c) a equao horria da velocidade; d) velocidade no instante 20 s. 13. Um veculo trafega em uma pista a 20m/s. De repente o sinal de trnsito sua frente fica amarelo, e posteriormente, vermelho. Considerando que o motorista tenha levado 5 s para frear completamente o carro, calcule, em mdulo, a acelerao do carro. 14. Um automvel que trafega com velocidade de 5 m/s, em uma estrada reta e horizontal, acelera uniformemente, aumentando sua velocidade para 25 m/s em 5,2 s. Que distncia percorre o automvel durante esse intervalo de tempo? 15. Um automvel de 3 m de comprimento move-se numa estrada retilnea com velocidade de 20 m/s. Um caminho de 21 m de comprimento move-se na mesma direo e no mesmo sentido do automvel com velocidade constante de 10 m/s. Para ultrapassar o caminho, o automvel realiza uma acelerao de 2 m/s. O tempo, em segundos, gasto pelo automvel para ultrapassar totalmente o caminho : 16. Um mvel parte do repouso de um ponto A executando um movimento retilneo, uniformemente acelerado, sobre uma reta


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AB. No mesmo instante parte do ponto B, rumo a A , um outro mvel, que percorre a reta AB com velocidade constante. A distancia entre os pontos A e B L = 50 m. Depois de 10s da partida os moveis se cruzam exatamente no meio da distncia entre A e B. Determine: a) a velocidade do mvel que partiu de B; b) a velocidade com que o mvel que partiu de A chegar em B. 17. Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acelerado 0,50 m/s2. Nesse instante, passa por ele um outro ciclista B, com velocidade de 5 m/s e mesmo sentido que o ciclista A. a) Depois de quanto tempo aps a largada o ciclista A alcana o ciclista B? b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcanar o ciclista B? 18. Um carro aproxima-se de um semforo, situado no cruzamento de uma avenida, com uma velocidade de 36 km/h. A 10 m da faixa de parada do semforo o sinal muda de verde para amarelo. Para no ser multado o motorista dever alcanar a faixa do outro lado da avenida sem que o sinal tenha mudado para o vermelho.

Dadas as situaes abaixo, faa o que se pede. a) O motorista vendo o sinal mudar, diminui a velocidade do carro de 4 m/s a cada segundo. Ele conseguir parar antes da faixa? b) Sabe-se que o sinal permanece amarelo por 4 s. O motorista mantm a velocidade do carro constante, ao observar o sinal mudar de verde para amarelo. Neste caso, ele conseguir atravessar a avenida sem ser multado? c) O motorista, vendo o sinal mudar, acelera constantemente o carro, atingindo uma velocidade de 72 km/h ao cruzar a faixa situada do outro lado da avenida (vide figura). Ele ser multado?

Seja a funo horria

v = v0 + at

Grficos do M.R.U.V.Podemos representar a funo velocidade, posio e acelerao do movimento uniformemente variado atravs de grficos. Seja a funo horria

onde v a velocidade, v0 a velocidade inicial, a a acelerao e t o instante. A funo velocidade do MRUV tem como grfico v x t uma reta, pois uma funo Afim (do primeiro grau). A declividade da reta depende do sinal da acelerao.

a s = s0 + v0 t + t 2 2onde s a posio, s0 a inicial, v0 a velocidade inicial, a a acelerao e t o instante. A funo posio do MRUV tem como grfico s x t uma parbola, pois uma funo quadrtica (do segundo grau). A concavidade da parbola depende do sinal da acelerao.


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1. Para cada grfico abaixo, determine o tipo de movimento (MRU ou MRUV, progressivo ou retrgrado, acelerado ou retardado) e a funo horria correspondente. a) b)

c) d)

e) f)

Ateno: No grfico v x t, o espao percorrido igual rea do retngulo sob a reta: s = v.t . A poro de reta acima do eixo do tempo possui s positivo. A poro de reta abaixo do eixo do tempo possui s negativo. A acelerao no MRUV constante e diferente de zero. Sendo assim, o grfico a x t uma reta paralela ao eixo das abscissas.

2. Dado o grfico abaixo:

a) determine a funo horria do mvel; b) classifique o movimento em progressivo ou retrgrado; c) construa o grfico v x t. 3. O espao de um ponto material varia em funo do tempo, de acordo com o grfico a seguir. Determine:


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01) No instante t = 6 s a velocidade nula. 02) No intervalo entre t = 2 s e t = 4 s a velocidade negativa. 04) No intervalo entre t = 0 e t = 6 s a acelerao vale 5 m/s. 08) Entre t = 12 s e t = 14 s a acelerao positiva. 16) O deslocamento da partcula no intervalo entre t = 0 s e t = 6 s vale 45 m. 32) O valor de velocidade no instante t = 4 s no volta a se repetir em nenhum instante posterior. a) Os instantes em que o mvel passa pela origem dos espaos; b) A velocidade escalar nos instantes 4 s e 9 s. 4. A figura abaixo representa o grfico velocidade x tempo do movimento retilneo de um mvel. 7. Dois automveis, A e B, movimentam-se por uma rua retilnea. No instante t = 0 se encontram a 25 m de um semforo que est no "verde". O automvel A continua em movimento com velocidade constante e o automvel B acelera. O sinal troca para o "vermelho" em t = 5 s. O diagrama a seguir representa a posio d dos dois automveis em funo do tempo t (a origem do eixo das posies est no local ocupado pelos automveis em t = 0). Analisando o diagrama, pode-se afirmar que

a) Determine a equao horria da velocidade entre os instantes t = 0 s e t = 30 s. b) Determine a equao horria da velocidade entre os instantes t = 30 s e t = 50 s. c) Qual a velocidade no instante t = 20 s. 5. O grfico a seguir representa aproximadamente a velocidade de um atleta em funo do tempo em uma competio olmpica.

a) somente o automvel A cruza o semforo antes que passe para o "vermelho". b) os dois automveis cruzam o semforo antes que passe para o "vermelho". c) somente o automvel B cruza o semforo antes que passe para o "vermelho". d) nenhum dos dois automveis cruza o semforo antes que passe para o "vermelho". e) o diagrama no permite decidir quando os automveis cruzam o semforo. 8. dado o grfico de um ponto material que se movimenta numa trajetria retilnea.

a) Em que intervalo o mdulo da acelerao tem o menor valor? b) Em que intervalo de tempo o mdulo da acelerao mximo? c) Qual a distncia percorrida pelo atleta durante os 20 s? d) Qual a velocidade mdia do atleta durante a competio? 6. O grfico a seguir representa a velocidade em funo do tempo para uma partcula em movimento retilneo. Com base nesse grfico, correto afirmar que:

a) Classifique o movimento do ponto material nos intervalos de 0 a 3 s e de 3 s a 10 s (progressivo ou retrgrado; acelerado ou retardado). b) Qual a acelerao do ponto material nos intervalos de 0 a 3 s e de 3 s a 10 s ? c) Qual a velocidade mdia no intervalo de 0 a 10 s ? 9. Duas partculas A e B deslocam-se ao longo da mesma reta, partindo ambas do repouso e de um mesmo ponto. Suas velocidades variam em funo do tempo conforme o grfico abaixo.


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Sobre o movimento das partculas, analise as afirmativas e coloque V na(s) verdadeira(s) e F na(s) falsa(s). ( ) Entre os instantes 6s e 8s, elas se deslocam no mesmo sentido. ( ) As partculas tm velocidades iguais no instante 7 s. ( ) A distncia entre as partculas permanece inalterada entre os instantes 2s e 5s. ( ) A partcula A tem velocidade positiva entre os instantes 5s e 6s. ( ) Entre os instantes 2s e 5s, a partcula A est em MRU. 10. Um corpo em movimento uniformemente variado tem a sua velocidade em funo do tempo representada no grfico. Determine a acelerao no trecho de 4s a 12s e a distncia percorrida pelo corpo em toda a representao.

Pode-se afirmar, baseando-se na funo que representa o movimento de cada carro que: a) as velocidades iniciais (t = 0) dos carros A e B so zero. b) a velocidade mdia do carro B igual velocidade mdia do carro A no intervalo de tempo de 0 a t. c) as velocidades iniciais dos carros A e B so diferentes de zero. d) a acelerao do carro A igual acelerao do carro B. e) o carro B percorrer uma distncia maior at encontrar o carro A. 13. Os grficos a seguir referem-se respectivamente ao desempenho de dois cavalos, C1 e C2, numa corrida disputada em percurso retilneo de 1.100 metros. (As velocidades esto expressas em quilmetros por hora e o tempo em horas). Nessas condies, correto afirmar: 01. Nos primeiros 36 segundos da corrida ambos os cavalos estavam empatados. 02. O cavalo C2 ganhou a corrida porque a sua acelerao no trecho PQ maior do que aquela adquirida por C1, no trecho CD, isto , a acelerao desenvolvida por C2 nos ltimos metros da prova superior de C1 no mesmo trecho. 04. Percorridos 660 metros da prova, o cavalo C2 estava na frente de C1. 08. O cavalo C2 permaneceu mais tempo em movimento retilneo uniforme do que o cavalo C1. 16. O cavalo C1 ganhou a corrida. 32. O cavalo C2 no completou a prova.

11. Um mvel executa movimento uniformemente variado. O esboo do grfico do espao (s), em funo do tempo (t), est mostrado ao lado. Marque V ou F. ( ) A velocidade do mvel nula no instante t = 4 s. ( )A velocidade do mvel nula nos instantes t = 1 s e t = 8 s. ( )A velocidade inicial do mvel 12 m/s. ( )A acelerao do mvel 3,0 m/s2. ( )A velocidade do mvel negativa entre 0 s e 4,5 s.

14. Uma partcula realiza um movimento retilneo uniformemente variado. No instante t = 2 s, a partcula se encontra na posio S = 32 m, com velocidade de 12 m/s. O grfico de sua acelerao apresentado abaixo. Pede-se:

12. Dois carros tm seus movimentos esquematicamente no grfico s x t a seguir.

representados


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a) A equao da velocidade dessa partcula e o esboo do seu grfico com os valores onde a curva intercepta os eixos v e t. b) A equao das posies e o esboo do seu grfico com os valores onde a curva intercepta os eixos S e t. 15. Os grficos de velocidade (v) e acelerao (a) contra o tempo (t) representam o movimento ideal de um elevador que parte do repouso, sobe e para.

Observando o grfico, pode-se afirmar que: a) em t = 2s e t = 9s a velocidade do mvel A igual velocidade do mvel B. b) a acelerao do mvel A sempre maior que a do mvel B. c) a velocidade do mvel B em t = 2s nula. d) a velocidade do mvel A em t = 9s 7 m/s. e) em t = 0s a acelerao do mvel A 16 m/s2.

Movimento VerticalSe largarmos uma pena e uma pedra de uma mesma altura, observamos que a pedra chegar antes ao cho. Por isso, pensamos que quanto mais pesado for o corpo, mais rpido ele cair. Porm, se colocarmos a pedra e a pena em um tubo sem ar (vcuo), observaremos que ambos os objetos levam o mesmo tempo para cair. Assim, conclumos que, se desprezarmos a resistncia do ar, todos os corpos, independente de massa ou formato, cairo com uma acelerao constante: a acelerao da gravidade (ou apenas gravidade). Quando um corpo lanado nas proximidades da Terra, fica ento, sujeito gravidade, que orientada sempre na vertical, em direo ao centro do planeta. O valor da gravidade (g) varia de acordo com a latitude e a altitude do local, mas durante fenmenos de curta durao, tomado como constante e seu valor mdio no nvel do mar 9,80665 m/s. No entanto, como um bom arredondamento, podemos usar sem muita perda nos valores g = 10 m/s.

Lanamento Verticala) Sabendo que os intervalos de tempo A e C so ambos de 1,5s, qual o mdulo a0 da acelerao com que o elevador se move durante esses intervalos? b) Sabendo que os intervalos de tempo A e C so ambos de 1,5s e que o intervalo B de 6s, qual a distncia total percorrida pelo elevador? 16. O grfico abaixo representa os movimentos de dois mveis A e B: Um arremesso de um corpo, com velocidade inicial na direo vertical, recebe o nome de Lanamento Vertical. Sua trajetria retilnea e vertical, e, devido gravidade, o movimento classificase com Uniformemente Variado. As funes que regem o lanamento vertical, portanto, so as mesmas do movimento uniformemente variado, revistas com o referencial vertical (h), onde antes era horizontal (s) e com acelerao da gravidade (g). Equaes Horrias Altura

h = h0 + v0 t Velocidade

g 2 t 2

v = v0 gtAcademia dos Concursos Pgina 17

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Equao de Torricelli

v 2 = v 0 2 g sOs sinais refere-se ao referencial adotado. A gravidade sempre ser para baixo. Assim sendo, se para baixo for positivo, g ser positiva. Se para cima for positivo, g ser negativa.

2

c) o instante de chegada ao solo; d) a velocidade escalar ao voltar ao solo. 3. Abandona-se uma pedra do alto de um edifcio e esta atinge o solo 4 s depois. Adote g = 10m/s e despreze a resistncia do ar. Determine: a) a altura do edifcio; b) o modulo da velocidade da pedra quando atinge o solo. 4. Uma criana deixa cair um vaso de cristal do 15 andar de um edifcio. No mesmo instante, uma pessoa na calada, a 15 m do edifcio, comea a correr para pegar o vaso. Sabendo que cada andar tem 3 m de altura (despreze a resistncia do ar e considere g = 10m/s), determine a velocidade mnima com que a pessoa ter que correr em MRU para segurar o vaso antes que ele caia no cho. 5. Uma pedra lanada verticalmente para cima, com velocidade de 3m/s, de uma altura de 2m acima do solo. Determine o intervalo de tempo desde o instante de lanamento at o instante em que a pedra chega ao solo (g = 10m/s). 6. Uma pedra abandonada do repouso da beira de um precipcio. Depois de 1s, outra pedra lanada, desse mesmo lugar, verticalmente para baixo, com velocidade escalar de 20m/s. Sabendo que g = 10m/s, a que distancia da beira do precipcio a segunda pedra alcana a primeira? 7. Num local onde a acelerao da gravidade vale 10 m/s 2 uma pedra abandonada de um helicptero no instante em que este est a uma altura de 1000 m em relao ao solo. Sendo 20s o tempo que a pedra gasta para chegar ao solo, pode-se concluir que no instante do abandono da pedra o helicptero: (Desprezam-se as resistncias passivas) a) subia b) descia c) estava parado d) encontrava-se em situao indeterminada face aos dados; e) esta situao impossvel fisicamente. 8. Calcule a relao entre as alturas atingidas por dois corpos lanados verticalmente com velocidades iniciais, um na Terra, outro na Lua. Sabe-se que a acelerao da gravidade na Terra seis vezes maior do que na Lua. Desprezam-se as resistncias opostas aos movimentos. 9. Um corpo lanado verticalmente para baixo com velocidade inicial de 15m/s. Sabendo-se que a altura inicial era de 130 m, determine o instante em que o corpo se encontra a 80m do solo. (Dado: g = 10m/s, despreze a resistncia do ar.) 10. De um helicptero abandonada uma pedra quando o mesmo se encontra a 100 m do solo. Sabendo-se que a pedra leva 4 s para atingir o solo e supondo g = 10m/s, a velocidade do helicptero

Lanamento Vertical para CimaComo a gravidade aponta sempre para baixo, quando jogamos algo para cima, o movimento ser retardado, at parar em um ponto, o qual chamamos Altura Mxima. O clculo da altura mxima pode ser feito, considerando-se que, nesse ponto da trajetria, a velocidade nula, pois haver inverso no sentido do movimento.2 v0 v0 t subida = t descida = g 2g Lanamento Vertical para Baixo

hmx =

v solo = v 0

No lanamento vertical para baixo, tanto a gravidade como o deslocamento apontam para baixo. Logo, o movimento acelerado.

Queda Livre um movimento de abandono de um corpo, a partir de uma certa altura. Como o corpo foi abandonado, sua velocidade inicial nula, e ele adquire acelerao da gravidade. Na queda livre, despreza-se a resistncia do ar.

t descida =

2h0 g

v solo = 2gh0

1. Um corpo lanado verticalmente para cima, atinge certa altura, e desce. Levando-se em conta a resistncia do ar, pode-se afirmar que o mdulo de sua acelerao : a) maior, quando o corpo estiver subindo; b) maior, quando o corpo estiver descendo; c) igual ao da acelerao da gravidade, apenas quando o corpo estiver subindo; d) o mesmo, tanto na subida quanto na descida; e) igual ao da acelerao da gravidade, tanto na subida quanto na descida. 2. Um corpo arremessado verticalmente para cima, do solo, com velocidade escalar de 30 m/s. Desprezando os efeitos do ar e adotando g = 10 m/s, determine : a) o tempo de subida; b) a altura mxima do movimento;


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no momento em que a pedra abandonada tem valor vale ? O helicptero subia ou descia no momento do abandono da pedra?

Em

d < s e portanto v m < v m . Para trajetrias retilneas, resulta v m = v m , pois d = s .trajetrias curvilneas, temos

Velocidade vetorial instantnea A velocidade vetorial ( v ) de um mvel no instante t tem ascaractersticas:

Mdulo: igual ao mdulo da velocidade escalar noinstante t. Direo: da reta tangente trajetria pelo ponto P (posio que o mvel ocupa no instante t). Sentido: do movimento.

Parte IVCinemtica VetorialVetor deslocamento Acelerao vetorial mdiaSeja v1 a velocidade de um mvel num instante t 1 e velocidade num instante posterior t2.

v 2 sua

O vetor d , representado pelos segmentos orientados de origem em P1 e extremidade em P2, recebe o nome de vetor deslocamento do ponto material entre os instantes t1 e t2.

Velocidade vetorial mdia

vm possui a direo e o mesmo sentido do vetor deslocamento d .A velocidade vetorial mdia Seu mdulo dado por:

d vm = t

A acelerao vetorial mdia velocidade

v = v 2 v1 e o correspondente intervalo de tempo t = t 2 t1 .

a m o quociente entre a variao da

v v 2 v1 am = = t t 2 t1

vm =

d t

a m tem a direo e o sentido de v . Acelerao vetorial instantnea Acelerao centrpeta (acp) a acelerao que indica a variao na direo da velocidade


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vetorial. Existe acelerao mvel percorre trajetria curva. Caractersticas de acp:

centrpeta

sempre

que

o

Mdulo: a cp =

v2 , em que v a velocidade escalar e r, r

o raio da curva descrita. Direo: perpendicular velocidade vetorial em cada ponto. Sentido: orientado para o centro (C) de curvatura da trajetria.

1. Num bairro planejado os quarteires so quadrados e as ruas paralelas, distando 100 m uma da outra. Seu Joaquim, parte de sua casa A e aps percorrer algumas travessas, conforme o esquema, chega ao local de seu trabalho B. Seu Joaquim sai s 7h da manh de A e chega em B s 7h 8min 20s. Determine: a) A distncia total percorrida por seu Joaquim e o mdulo do vetor deslocamento ddesde o ponto de partida (A) at o de chegada (B). b) O mdulo da velocidade escalar mdia vm e o mdulo da velocidade vetorial mdia.

Acelerao tangencial (at) a acelerao que indica variao no mdulo da velocidade vetorial. Existe acelerao tangencial nos movimentos variados. Caractersticas de at:

Mdulo: at = , em que a acelerao escalar. Direo: tangente trajetria. Sentido: o mesmo de v se o movimento for acelerado, oposto ao de v se o movimento for retardado.

2. Um aluno sai de sua casa para ir ao colgio e se desloca, sucessivamente, 100 m de Sul para Norte, 80 m de Oeste para Leste e 40 m de Norte para Sul, chegando escola. a) Represente os sucessivos deslocamentos do aluno e o deslocamento vetorial d desde o ponto de partida at o de chegada. b) Qual o mdulo de d? c) Calcule o mdulo da velocidade escalar mdia vm e o mdulo da velocidade vetorial mdia IvmI do aluno, sabendo-se que ele vai de sua casa ao colgio em 2,5 minutos.

Acelerao vetorial (a) a soma vetorial da acelerao centrpeta (acp) e da acelerao tangencial (at):

O texto a seguir refere-se s questes 3, 4 e 5.


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Um ciclista descreve um movimento circular uniforme, no sentido horrio. No instante t1 = 10 s o ciclista passa pelo ponto A e no instante t2 = 30 s, pelo ponto B. O raio da trajetria de 100 m. Adote = 3 e 2 = 1,4.

6. Um ciclista realiza um movimento circular e uniforme com velocidade escalar v = 10 m/s. No instante t1 = 10 s ele passa pela posio A e no instante t2 = 30 s pela posio B, movimentandose no sentido horrio.

3. O mdulo da variao de espao s e o mdulo do vetor deslocamento d entre as posies A e B so, respectivamente: a) 600 m e 560 m b) 300 m e 280 m c) 150 m e 140 m d) 75 m e 70 m e) 60 m e 30 m a) Represente as velocidade vetoriais v1 e v2 nos instantes em que o ciclista passa por A e B, respectivamente. b) Represente o vetor v = v2 - v1. c) Calcule o mdulo de v. d) Calcule o mdulo da acelerao vetorial mdia am no intervalo de tempo de t1 a t2. 7. Retome o exerccio anterior e represente a acelerao vetorial no instante em que o ciclista passa pela posio C e calcule o mdulo desta acelerao. Sabe-se que o raio da trajetria de 100 m. 8. Um carro parte do repouso e realiza um movimento circular e uniformemente variado de raio 100 m, com acelerao escalar = 2 m/s2. a) Calcule os mdulos da acelerao centrpeta, da acelerao tangencial e da acelerao total, 5 s aps a partida. Sabe-se que neste instante o carro est passando pela posio P. b) Represente os vetores velocidade, acelerao centrpeta, acelerao tangencial e acelerao total, no instante em que o carro passa por P.

4. Entre as posies A e B, a velocidade escalar mdia e a velocidade vetorial mdia tm mdulos, respectivamente, iguais a; a) 15 m/s e 14 m/s b) 7,5 m/s e 7 m/s c) 6m/s e 5 m/s d) 5 m/s e 4 m/s e) 5 m/s e 5 m/s 5. A velocidade vetorial do ciclista no instante em que passa pela posio C est representada na alternativa:


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movimento do barquinho em relao s guas chamase movimento relativo. O movimento das guas que arrastam o barquinho em relao s margens o movimento de arrastamento. O movimento do barquinho em relao s margens, isto , em relao Terra, o movimento resultante. A velocidade do barquinho em relao s guas a velocidade relativa (vrel). A velocidade das guas, isto , a velocidade da correnteza a velocidade de arrastamento (varr). A velocidade do barquinho em relao s margens a velocidade resultante (vres). Tem-se a relao vetorial:

9. Uma moto desenvolve um movimento circular e num determinado instante passa pela posio P. Neste instante representamos sua velocidade vetorial v, a acelerao resultante a e suas componentes centrpeta acp e tangencial at. Responda: a) O movimento da moto, no instante em que passa por P, acelerado ou retardado? b) Sendo o mdulo da acelerao resultante na posio P igual a 6 m/s2, calcule os mdulos das aceleraes tangencial e centrpeta. c) No instante indicado v = 10 m/s, qual o raio da trajetria? Dados: sen 30 = 0,5 e cos 30 = 3/2

Portanto: a velocidade do movimento resultante a soma vetorial das velocidades dos movimentos relativo e de arrastamento. Considere os casos:

10. Complete a tabela escrevendo uma das opes: nula ou no nula.

Composio de movimentosConsidere um barquinho movendo-se nas guas de um rio. O


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1. Um barco desce um rio com velocidade em relao s margens de mdulo 20 m/s e, a seguir, sobe o rio com velocidade de 8,0 m/s tambm em relao s margens. Determine o mdulo da velocidade do barco em relao s guas, considerado o mesmo na subida e na descida e o mdulo da velocidade da correnteza. 2. Um nibus se desloca em movimento retilneo e uniforme com velocidade de mdulo 72 km/h, em relao a uma estrada. Um menino sai da parte traseira do nibus e com passadas regulares se desloca at parte dianteira, percorrendo em 5 s a distncia de 10 m em relao ao nibus. Determine: a) O mdulo da velocidade do menino em relao ao nibus e em relao estrada. b) A distncia que o menino percorre, em relao estrada ao se deslocar da parte traseira at parte dianteira do nibus. 3. Um barco atravessa um rio de margens paralelas e de largura 2,0 km, com velocidade em relao correnteza de mdulo 8,0 km/h. O barco sai de um ponto A de uma margem e mantm seu eixo sempre perpendicular correnteza, atingindo a outra margem. A velocidade da correnteza constante e de mdulo igual a 6,0 km/h. Determine: a) o mdulo da velocidade resultante do barco; b) a durao da travessia; c) o mdulo da velocidade resultante do barco para que ele saia de A e atinja um ponto B da margem oposta, exatamente em frente ao ponto A de partida. 4. Um avio possui em relao Terra uma velocidade de 600 km/h, na direo norte-sul e sentido de sul para norte. Repentinamente o avio enfrenta um forte vento com velocidade, em relao Terra, de 100 km/h, na direo oeste-leste e no sentido de oeste para leste. Para que o avio continue em sua rota original, qual deve ser o mdulo da velocidade do avio em relao ao ar e qual aproximadamente o ngulo que o eixo longitudinal do avio deve fazer com a direo norte-sul? dada a tabela:

Quando uma bola chutada em uma partida de futebol, podemos observar que ela realiza um movimento parablico. Esse movimento chamado de lanamento oblquo. Considere um corpo sendo lanado a partir do solo, formando um ngulo com a horizontal, com velocidade inicial v0. Desprezando as foras dissipativas, o corpo fica sujeito apenas ao da gravidade, descrevendo uma trajetria parablica.

Movimento Horizontal O movimento na direo do eixo x, no lanamento oblquo, uniforme, pois a velocidade constante. Portanto, a funo horria do movimento horizontal :

x = v x .t

A distncia horizontal percorrida pelo corpo desde o lanamento chamada alcance do lanamento. Podemos determinar o alcance pela equao:

v .sen 2 A= 0 g2

Para determinar a posio do mvel em relao horizontal temos que determinar a componente horizontal da velocidade inicial v0. O mdulo da velocidade na direo do eixo x constante e igual a:

v x = v0 . cos

Movimento Vertical 5. A chuva cai verticalmente com velocidade de mdulo 3,0 m/s, em relao ao solo. No h ventos. Uma pessoa caminha horizontalmente com velocidade de mdulo 3 m/s. Para no se molhar ela inclina seu guarda-chuva de um ngulo com a horizontal. Qual o valor de ? O movimento vertical est sob a ao da gravidade, isso implica que o movimento uniformemente variado e a velocidade vy diminui medida que a altura em relao ao solo aumenta, at o ponto em que zera. A partir da, ocorre a inverso no sentido do movimento, a altura comea a diminuir, e o mdulo da velocidade vy comea a aumentar. O componente da velocidade inicial na direo do eixo y :

v y = v0 .sen

Funes Horrias Altura

Lanamento Oblquo

y = v0 y .t

g 2 .t 2Pgina 23

Velocidade vertical


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v y = v0 y g.tEquao de Torricelli

2. Uma bola de tnis lanada obliquamente com velocidade v0 = 5 m/s de um local do solo, suposto horizontal. Determine o alcance A e a altura mxima H, nos casos: a) O ngulo de tiro = 30; b) O ngulo de tiro = 60. Dados: sen 30 = cos 60 = 0,5 sen 60 = cos 30 = 3/2 3. Com base no exerccio anterior, podemos concluir que, para a mesma velocidade de lanamento, a bola de tnis atinge o mesmo valor para __________________, pois os ngulos de tiro so __________________. As palavras que preenchem corretamente os espaos indicados so, respectivamente: a) a altura mxima e suplementares; b) a altura mxima e complementares; c) o alcance e suplementares; d) o alcance e complementares; e) o tempo de subida e complementares. 4. Um projtil lanado obliquamente com velocidade inicial de mdulo 20 m/s, formando ngulo com a horizontal, tal que sen = 0,8 e cos = 0,6. Despreze a resistncia do ar e adote g = 10 m/s2. Determine: a) o mdulo da velocidade mnima atingida pelo projtil;

v y = v0 y 2.g.yA altura mxima pode ser calculada usando a equao:

2

2

y mx

v0 .sen 2 = 2g2

Tempos tempo total = 2 x tempo de subida = 2 x tempo de descida

b) as componentes horizontal e vertical da velocidade e o mdulo da velocidade resultante no instante t = 1 s. 5. Num jogo de futebol o goleiro bate um tiro de meta e a bola lanada de modo que as componentes horizontal e vertical de sua velocidade inicial sejam iguais a 10 m/s. Em sua trajetria a bola passa por dois pontos, A e B, situados a uma mesma altura h = 3,2 m em relao ao gramado. Considere que a bola est sob ao exclusiva da gravidade e seja g = 10 m/s2. a) Determine o intervalo de tempo decorrido entre as passagens pelos pontos A e B. b) A distncia entre A e B.

t sub = t desObservaes

v .sen = 0 g

Para os mesmos valores de velocidade inicial, tempos o seguinte: Se = 45, o alcance o mximo. Para ngulos de lanamento alcances sero iguais. complementares, os

6. Um projtil disparado por um canho sobre o solo de um campo horizontal com uma velocidade de mdulo igual a 200 km/h. Sabendo-se que o vetor velocidade inicial forma com o solo um ngulo de 30. Desprezando a resistncia do ar, adote g = 10 m/s2, determine: a) o tempo gasto pelo projtil para atingir a altura mxima; b) o tempo gasto pelo projtil para retornar ao solo; c) o alcance do projtil; d) a altura mxima atingida pelo projtil; e) a intensidade da velocidade escalar do projtil 2s aps o disparo.

1. Uma bola de tnis lanada obliquamente de um ponto O com velocidade v0, de mdulo 10 m/s, formando um ngulo com o solo horizontal, tal que sen = 0,6 e cos = 0,8. Despreze a resistncia do ar e adote g = 10 m/s2. Determine: vx, v0y, ts, A e Hmx.


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7. Um projtil lanado do solo numa direo que forma um ngulo com a horizontal. Sabe-se que ele atinge uma altura mxima hmx = 15 m e que sua velocidade no ponto de altura mxima v = 10m/s. Determine a sua velocidade inicial e o ngulo de lanamento. Adote g = 10m/s2. 8. Uma bola lanada, a partir do solo, com uma velocidade cuja componente horizontal vale 45m/s e cuja componente vertical vale 20m/s. Determine sua velocidade, em m/s, 2s aps o lanamento. Adote g = 10m/s2. 9. Um gato de 1 kg de massa d um pulo, atingindo uma altura de 1,25 m e cando a uma distncia de 1,5 m do local do pulo. a) Calcule o componente vertical de sua velocidade inicial. b) Calcule a velocidade horizontal do gato. 10. Um garoto parado num plano horizontal, a 3 m de uma parede, chuta uma bola, comunicando-lhe velocidade de 10 m/s, de tal modo que sua direo forma, com a horizontal, ngulo de 45. A acelerao da gravidade no local g = 10m/s 2 e despreze a resistncia do ar. Determine: a) o instante em que a bola atinge a parede; b) a altura do ponto da parede atingido pela bola; c) a velocidade da bola no instante do impacto.

Lanamento HorizontalConsidere um mvel P lanado horizontalmente nas proximidades da superfcie terrestre. Vamos desprezar a resistncia do ar. O movimento de P pode ser considerado como a composio de dois movimentos, um horizontal (Px) e outro vertical (Py).

Funes Horrias Movimento vertical: Queda livre

g.t 2 2 v y = g.t y=Movimento horizontal: Uniforme com velocidade v0

x = v0 .tTempo de queda tq:

tq =

2h g 2h g

Alcance D:

D = v0 .t q

ou

D = v0


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3. De uma janela situada a uma altura h = 7,2 m do solo, Pedrinho lana horizontalmente uma bolinha de tnis com velocidade v0 = 5 m/s. A bolinha atinge uma parede situada em frente janela e a uma distncia D = 5 m. Determine a altura H do ponto onde a bolinha colide com a parede. Despreze a resistncia do ar e considere g = 10 m/s2. 4. Uma pequena esfera lanada horizontalmente do ponto O, passando pelo ponto A 1 s aps o lanamento (t = 1 s). Considere a acelerao da gravidade constante e despreze os atritos. Entre os pontos indicados, quais deles representam a posio da esfera no instante t = 2 s?

1. Uma bolinha lanada horizontalmente com velocidade v0 = 8 m/s, de um local situado a uma altura h = 20 m do solo. Determine: a) o intervalo de tempo decorrido desde o lanamento at a bolinha atingir o solo (tempo de queda); b) a distncia D entre o ponto em que a bolinha atinge o solo e a vertical de lanamento (alcance); c) As componentes vx e vy da velocidade da bolinha no instante em que atinge o solo e o mdulo v da velocidade resultante. Despreze a resistncia do ar e considere g = 10 m/s2. 2. Uma pedrinha A abandonada (V0A = 0) de um ponto situado a uma altura h do solo. No mesmo instante, outra pedrinha B lanada horizontalmente , da mesma altura h e com velocidade V0B. Sejam TA e TB os instantes em que as pedrinhas atingem o solo e VA e VB os mdulos de suas velocidades, nestes instantes. Despreze a resistncia do ar e considere g constante.

5. Um avio voa horizontalmente com velocidade constante e igual a 50 m/s e a 320 m de altura do solo plano e horizontal. Num determinado instante o avio solta um fardo de alimentos que atinge o solo num determinado local. Determine a distncia entre o ponto onde o fardo atinge o solo e a reta vertical que contm o ponto de onde o avio soltou o fardo. Despreze a resistncia do ar e considere g = 10 m/s2.

Pode-se afirmar que: a) TA = TB e VA = VB b) TA > TB e VA > VB c) TA < TB e VA < VB d) TA = TB e VA < VB e) TA = TB e VA > VB


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Exemplo: um mvel em MCU possui perodo T = 0,2 s, significa que a cada 0,2 s o mvel completa uma volta. O nmero de voltas na unidade de tempo, recebe o nome de frequncia que indicada por f. No exemplo dado, se o mvel completa uma volta em 0,2 s, significa que em 1 s (uma unidade de tempo) ele completar 5 voltas. Portanto, sua frequncia f = 5 voltas por segundo ou 5 hertz (Hz). Em 1 minuto o mvel completar f = 5 x 60 rotaes por minuto, isto sua frequncia f = 300 rotaes por minuto (rpm). Unidades: hertz (Hz) (ciclos/segundo), rpm (rotaes/minuto), etc. Relaes:

Movimentos CircularesMovimento Circular Uniforme (MCU) um movimento que se realiza com velocidade escalar v constante e cuja trajetria uma circunferncia ou um arco de circunferncia. No MCU, a velocidade vetorial tem mdulo constante, mas varia em direo e sentido. A acelerao do movimento centrpeta, sendo seu mdulo aCP = v2/R, onde R o raio da circunferncia. A direo de aCP em cada ponto perpendicular velocidade vetorial v e aponta para o centro C da circunferncia. Equaes do MCU Sejam: s = espao linear s0 = espao linear inicial = espao angular 0 = espao angular inicial s = variao do espao linear no intervalo de tempo t = variao do espao angular no intervalo de tempo t

Perodo e Frequncia O MCU um movimento peridico. O intervalo de tempo decorrido em cada volta completa, de um mvel que realiza MCU, chama-se perodo e indicado por T. Unidades: segundo (s), minuto (min), hora (h), etc.

Velocidade linear:

v=Velocidade angular:

s t t Pgina 27

=Relaes:


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s = .Rv = .R

c) Refaa o item b) e considere que as partculas partiram do ponto C em sentidos opostos. 6. Na figura, 1, 2 e 3 so partculas de massa m. A partcula 1 est presa ao ponto O pelo fio a. As partculas 2 e 3 esto presas, respectivamente, partcula 1 e partcula 2, pelos fios b e c. Todos os fios so inextensveis e de massa desprezvel. Cada partcula realiza um movimento circular uniforme com centro em O. Sobre as freqncias angulares e as velocidades lineares v para cada partcula, CORRETO dizer que: a) 1 < 2 < 3 e v1 = v 2 = v3 b) 1 > 2 > 3 e v1 = v 2 = v 3 c) 1 < 2 < 3 e v1 < v 2 < v 3 Angular: d) 1 = 2 = 3 e v1 > v 2 > v 3 e) 1 = 2 = 3 e v1 < v 2 < v3

=

2 = 2 . f T v2 a cp = = 2 .R R

Funes horrias: Linear:

s = s 0 + v.t

= 0 + .t

Transmisso de movimento circular uniforme 1. A cadeira de uma roda gigante que realiza um MCU, completa um tero de volta em 20 s. Considere = 3. Determine: a) o perodo de rotao da cadeira; b) a frequncia em Hz e em rpm; c) a velocidade angular da cadeira. 2. Uma partcula descreve um MCU de raio 2 m e com frequncia 2 Hz. Adote = 3. Determine: a) o perodo do movimento; b) a velocidade angular; c) a velocidade linear; d) a acelerao escalar e) o mdulo da acelerao centrpeta. 3. Uma pessoa, na cidade de Macap (Amap), est em repouso sobre a linha do equador. Qual a velocidade linear desta pessoa devido ao movimento de rotao da Terra? Considere o raio da Terra igual a 6,4.103 km e = 3. 4. Um ciclista descreve um movimento circular uniforme de raio R = 100 m, com velocidade linear igual a 36 km/h. Determine, para o intervalo de tempo igual a 10 s,o ngulo e o arco descritos pelo ciclista. 5. Duas partculas, A e B, realizam MCU de mesmo raio e com perodos TA = 1 s e TB = 3 s, respectivamente. As partculas partem de um mesmo ponto C da trajetria circular e no mesmo sentido. a) Qual o intervalo de tempo decorrido desde a partida at se encontrarem pela primeira vez no ponto C? b) Qual o intervalo de tempo decorrido desde a partida at o instante em que uma partcula se encontra uma volta na frente da outra? A transmisso do movimento circular de uma polia para outra, pode ser feita de dois modos:

Utilizando-se uma correia ou uma corrente; Estabelecendo-se um contato direto entre as polias.Para no haver deslizamento ou escorregamento so usadas engrenagens cujos dentes se encaixam nos elos da corrente ou, no caso do contato, h uma adaptao dos dentes das engrenagens. Esquematicamente, temos:

No havendo escorregamento os pontos perifricos das polias tm a mesma velocidade linear. Assim, vem:

v A = vBSendo v = .R e = 2.f, resulta:

A .R A = B .RB


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f A .R A = f B .RBMovimento Circular Uniformemente Variado Conhecemos as equaes lineares do movimento uniformemente variado:

a s = s0 + v0 t + t 2 2v = v0 + at2. Duas polias, 1 e 2, giram ligadas ao eixo de um motor. A polia 1 possui raio R1 = 20 cm, gira com velocidade angular 1 = 12 rad/s. A polia 2 possui raio R2 = 15 cm. Determine: a) a freqncia f1 da polia 1; b) a velocidade angular 2 e a freqncia f2 da polia 2; c) as velocidade lineares v1 e v2 dos pontos P1 e P2. = constante e diferente de zero

= m =

v t

2 v 2 = v0 + 2as

v0 = velocidade inicial = acelerao escalar As correspondentes equaes angulares so obtidas lembrando que:

= =

s R = t R

=

v R

3. Trs engrenagens giram vinculadas conforme a figura. A engrenagem A gira no sentido horrio com velocidade angular 30 rad/s. As engrenagens C, B e A possuem raios R, 2R e 3R, respectivamente. Determine as velocidades angulares de B e C e seus sentidos de rotao.

(acelerao angular)

Assim, temos:

= 0 + 0t + t 2 2 = 0 + t 2 = 02 + 2

1. Duas polias, 1 e 2, so ligadas por uma correia. A polia 1 possui raio R1 = 20 cm, gira com frequncia f1 = 30 rpm. A polia 2 possui raio R2 = 15 cm, gira com frequncia f2. No h escorregamento da correia sobre as polias. Determine: a) a frequncia f2; b) as velocidades lineares v1 e v2 dos pontos P1 e P2.

4. Uma partcula, partindo do repouso, realiza um movimento circular uniformemente variado de raio igual a 16 cm. Nos primeiros 4 s a partcula descreve um ngulo de /2 rad. Determine: a) a acelerao angular e a acelerao linear . b) o nmero de voltas que a partcula executa 40 s aps a partida. 5. Um disco, partindo do repouso, realiza um movimento uniformemente variado e no instante em que completa 5 voltas, sua velocidade angular de 6 rad/s. Calcule a acelerao angular do disco. Adote = 3.


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