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5/10/2018 Applications Du Produit Scalaire - Limites de Fonctions Et Asymptotes - slidepdf...
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> 1ère partie :
Applications du produit scalaire
> 2ème partie :
Limites d’une fonction aux bornesde son domaine de définition -Asymptotes
1
Séquence 5 – MA12
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3
Sommaire séquence 5 – MA12
1ère partie
Activité 1
Cours
Exercices d’application 1, 2
Exercices d’apprentissage 1, 2, 3, 4
Activités 2, 3
Cours
Équation d’un cercle
Équation d’un cercle défini par un diamètre
Exercices d’apprentissage 5, 6, 7, 8
Activités 4, 5Cours
Formule d’Al-Kashi
Théorème de la médiane
Aire d’un triangle quelconque
Exercices d’application 1, 2
Exercices d’apprentissage 9, 10, 11
Chapitre 1
>
Équation d’une droite à l’aided’un vecteur normal .........................................................................................................................
Chapitre 2
>
Équation d’un cercle .........................................................................................................................
Chapitre 3
>
Relations métriques dans un triangle ...........................................................
AA
AAB
AAC
AACD
AA
AAB
AAC
AA
AAB
AAC
AACD
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Sommaire séquence 5 – MA124
Activité 6
Cours
Formules d’addition
Formules de duplication
Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus
Exercices d’application 1, 2
Exercices d’apprentissage 12, 13, 14
Chapitre 4
>
Complément de trigonométrie ...................................................................................
Chapitre 5
>
Synthèse des connaissances .............................................................................................
Chapitre 6
>
Exercices d’approfondissement 1, 2, 3, 4 .................................................
D
A
B
C
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Séquence 5 – MA12
5
.
Activité 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
a.
Montrer que le vecteur est un vecteur orthogonal au vecteur
On dit que est un vecteur normal de la droite
b. On sait qu’un point appartient à la droite si et seulement si les vecteurs etsont colinéaires.
En déduire que M est sur la droite si et seulement si
On dit que est une équation de la droite
c.
Écrire cette équation sous la forme
Déterminer de la même façon une équation de la droite passant par A, perpendiculaire à
Vecteur normal d’une droite
Étant donnée une droite Δ
de vecteur directeur on dit que est un vecteur normal de Δ
si est non nul et orthogonal à
est un vecteur normal de
est un vecteur directeur de la droite
Un vecteur normal de cette droite est
Dire que Δ
a pour vecteur directeur équivaut à dire que Δ
a pour vecteur normal
ou
Retenons qu’un vecteur orthogonal à est
Jusqu’à maintenant, on a dit : toute droite est définie par un point et un vecteur directeur.
Il revient ainsi au même de dire : toute droite est définie par un point et un vecteur normal.
Soit un point du plan et Δ
la droite passant par A, de vecteur normal
Dire qu’un point appartient à Δ
équivaut à dire que c’est-à-dire à
Or donc
A
Activités
B
Cours
Équation d’une droite à l’aided’un vecteur normal
O ; i j,( ).
A 2 1, – ( ), B 4 3,( ).
n 1 3 – ,( ) AB .
n AB( ).
M x y,( ) AB( ) AM AB
AB( ) x 3y – 5+ 0.=
x 3y – 5+ 0= AB( ).
y mx p.+=
AB( ).
Dé inition v, n
n v.
AC
NB
CN AB( ).
Exemples A 5 2 – ,( ) ; B 3 1,( ) ; AB 2 3, – ( ) AB( ).
n 3 2,( ).
v 2 3,( )
n 3 2, – ( ) ... n′ 3 2 – ,( ).
u a b,( ) n b a, – ( ).
A x0 y0,( ) n a b,( ).M x y,( ) AM n⊥ AM n⋅ 0.=
AM x x0 y y0 – , – ( ), AM n⋅ a x x0 – ( ) b y y0 – ( )+ ax by ax0 – by0. – += =
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6
Séquence 5 – MA12
La droite Δ
a pour équation
C’est de la forme
Toute droite de vecteur normal a une équation de la forme
signifie : Δ
a pour équation
Réciproque
Soient a, b, c trois nombres, a et b n’étant pas nuls tous les deux (cela revient à dire
Soit D l’ensemble des points du plan tels que Montons que D est unedroite.
On a supposé que Supposons par exemple que .
Alors le point appartient à D. Cet ensemble est donc non vide.
Plus généralement, appelons un point de D. Cela veut dire que
Soit M(x, y) un point quelconque de Δ
. Cela veut dire que
En soustrayant ces deux égalités, on obtient, après factorisation,
En posant on a donc établi que autrement dit que le point M appartient à la
droite passant par admettant le vecteur comme vecteur normal.
Si l’ensemble des points du plan tels que est une
droite de vecteur normal
Perpendicularité, parallélisme de deux droites
a pour vecteur normal
a pour vecteur normalΔ
et sont perpendiculaires si et seulement si et sont orthogonaux, c’est-à-dire si et seule-ment si
Si b et sont non nuls, on peut écrire : et ces droites ont
des équations de la forme et avec et
la condition équivaut à
Deux droites d’équation et sont perpendiculaires si et seulement si
Rappelons que l’on sait qu’elles sont parallèles si et seulement si
Avec les vecteurs normaux, cela se traduirait par et sont colinéaires,c’est-à-dire, par exemple, par
ax by ax0 – by0 – + 0.=
ax by c+ + 0.=
T éorème n a b,( ) ax by c++ 0.=
Notation Δ : ax by c+ + 0= ax by c+ + 0.=
a b,( )
0 0,( )
).≠
M x y,( ) ax by c+ + 0.=
a b,( ) 0 0,( ).≠ a 0≠
Aca-- 0, – ⎝ ⎠
⎛ ⎞
M0 x0 y0,( ) ax0 by0 c+ + 0.=
ax by c+ + 0.=
a x x0 – ( ) b y y0 – ( )+ 0.=
n a b,( ), n M0M,⊥
M0 n
T éorème a b,( ) 0 0,( ),≠ M x y,( ) x by c+ + 0=
n a b,( ).
Δ : ax by c+ + 0= n a b,( ).
Δ′ : a ′x b′y c′+ +
0= n′ a′ b′,( ).Δ′ n n′
aa ′ bb ′+ 0.=
b′ Δ : y ab-- x
cb-- – – = Δ′ : y a ′
b′---- x
c ′
b′---- ; – – =
y mx p+= y m′x p′+= mab-- – = m′ a′
b′---- . – =
mm ′ aa ′bb ′------- ; = aa ′ bb ′+ 0= mm ′ 1. – =
T éorème mx p
+
= y m′x p′+
=mm ′ 1. – =
m m′.=
n a b,( ) n′ a′ b′,( )ab ′ a′b.=
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Séquence 5 – MA12
7
Exercice 1
Tracer les droites suivantes dans un repère
Les quatre équations proposées sont bien de la forme Ce sont deséquations de droites.
Pour tracer ces droites plusieurs méthodes sont possibles.
Par exemple, pour tracer on peut se contenter d’en chercher deux points :donc
On peut aussi tracer cette droite en utilisant le fait qu’elle passe par A et admet comme vecteur nor-
mal donc comme vecteur directeur
Il est également possible de commencer par écrire : et procéder comme on l’a fait
jusqu’à maintenant.
a comme vecteur normal c’est-à-dire est donc parallèle à l’axe des ordonnées.
On peut écrire Elle passe par le point
Elle n’a pas d’équation de la forme
a comme vecteur normal c’est-à-dire est donc parallèle à l’axe des abscisses. On
peut écrire Elle passe par le point
passe par l’origine et admet le vecteur pour vecteur normal donc pour vecteurdirecteur.
C
Exercices d’application
O ; i j,( ).D1 : 3x 2y – 1+ 0= D2 : 3x 1 – 0= D3 : 2y 5 – 0= D4 : 2x 3y – 0.=
Réponse ax by c+ + 0,= a b,( ) 0 0,( ).≠
D1 A 1 2,( ) D1,∈B 1 – 1 – ,( ) D1∈ D1 AB( ).=
n 3 2 – ,( ), v 2 3,( ).
D1 : y32-- x
12--+=
D2 n 3 0,( ) 3i. D2
D2 : x13-- .= C
13-- 0,⎝ ⎠ ⎛ ⎞ .
y mx p.+=
D3 n 0 2,( ) 2j. D3
D3 : y
5
2-- .= E 0
5
2--,
⎝ ⎠
⎛ ⎞ .
D4 n 2 3 – ,( ) v 3 2,( )
E
A
D2
D1
D3
D4
C
B
O
j
i
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Séquence 5 – MA12
Exercice 2
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
Soit
Déterminer les coordonnées de l’orthocentre H du triangleABC.
Déterminons tout d’abord une équation de la droite
Elle passe par et admet comme vecteurnormal.
si et seulement si ce quiéquivaut à
Équation de
Elle passe par et admet comme vec-teur normal.
On peut suivre la démarche qui a donné l’équation de
On peut aussi dire que a une équation de la forme car elle admet comme vec-
teur normal le vecteur
Cette droite passe par B si et seulement si les coordonnées de B vérifient cette équation c’est-à-dire siet seulement si finalement et
Coordonnés de H
Elles sont solutions du système
Finalement :
Exercice 1
Dans un repère orthonormal on donne les points et
Soit H le projeté orthogonal de A sur
Calculer les coordonnées de H.
En déduire la distance de A à la droite puis l’aire du triangle ABC.
D
Exercices d’apprentissage
A
B
C
H
O i
j
O ; i j,( ).
A 1 1,( ), B 1 4, – ( ), C 2 5,( ).
Réponse AH( ).
A 1 1,( ) BC 3 1,( )
M x y,( ) AH( )∈ AM BC⋅ 0,=3 x 1 – ( ) y 1 – + 0.=
AH( ) : 3x y 4 – + 0.=
BH( )
B 1 4, – ( ) AC 1 4,( )
AH( ).
BH( ) x 4y c+ + 0=
AC 1 4,( ).
1 4 4 c+×+ – 0 ; = c 15 – = BH( ) : x 4y 15 – + 0.=
3x y 4 – + 0=
x 4y 15 – + 0=⎩⎨⎧
.
3x y 4 – + 0=x 4y 15 – + 0=
y 4 3x – =x 4y 15 – + 0=
y 4 3x – =x 4 4 3x – ( ) 15 – + 0=⎩
⎨⎧⇔
⎩⎨⎧⇔
⎩⎨⎧
y 4 3x – =
11x – 1+ 0=
x111-----=
y4111-----=⎩
⎪⎨⎪⎧
⇔
⎩⎪⎨⎪⎧
⇔
H111-----
4111-----,⎝ ⎠
⎛ ⎞ .
O ; i j,( ), A 3 2, – ( ), B 7 1,( ) C 4 5,( ).
BC ).
BC( )
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Séquence 5 – MA12
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Exercice 2
Dans un repère orthonormal on donne les points
On se propose de déterminer une équation de la médiatrice Δ
de de deux façons :
a.
En utilisant le fait que Δ
est perpendiculaire à et passe par son milieu.
b.
En utilisant la propriété selon laquelle un point M est sur Δ
si et seulement si
(Ne pas oublier que si a et b sont deux réels positifs,
Exercice 3
Soit ABCD un carré de côté 1.
On se propose de résoudre « analytiquement » c’est-à-dire en se plaçant dans un repère, le lieu despoints M tels que (exercice d’apprentissage 9 de la séquence précédente).
Supposons le plan rapporté au repère orthonormal
a.
Soit exprimer en fonction de x et de y ; en déduire une équation del’ensemble cherché.
b.
Retrouver les particularités de cet ensemble, obtenues dans l’exercice 9.
Exercice 4
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
Soit et
Déterminer une équation de l’ensemble des points tels que
En déduire que est une droite.
Soit I le milieu de montrer que est perpendiculaire à la droite
O ; i j,( ), A 3 2, – ( ), B 5 6,( ).
AB[ ]
AB[ ]
MA MB.=
a b= a⇔ b.)=
AM2 CM2 – 2=
A ; AB AD,( ).
M x y,( ) ; AM2 CM2 –
O ; i j,( ).
A 2 6,( ), B 6 4,( ) C 4 4 – ,( ).
E( ) M x y,( )
MA 2MB 2MC+ + 3MA MB MC+ + .=
E( )
BC[ ] ; E( ) AI( ).
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10
Séquence 5 – MA12
.
Activité 2
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
Soit le cercle de centre A passant par B.
Montrer que passe aussi par C.
Calculer l’ordonnée du point D de ayant même abscisse que C.
Calculer l’abscisse du point E de ayant même ordonnée que D.
Deux points de ont des coordonnées égales ; calculer les coordonnées de ces deux points.
.
Activité 3
Soient A, B et M trois points du plan. On désigne par I le milieu de
Exprimer à l’aide de et de puis en fonction de et de
En déduire que M est sur le cercle de diamètre si et seulement si
Équation d’un cercle
Soit et R un nombre réel positif.
On appelle le cercle de centreΩ
, de rayon R.
équivaut à c’est-à-dire encore à
Donc, appartient au cercle si et seulement si :
On dit que a pour équation
Il est inutile de chercher à retenir par cœur la forme très détaillée de cette équation. On se contentera de connaître le théorème suivant :
Tout cercle a une équation de la forme
Exemples
a.
Équation du cercle de centre de rayon 5 :
c’est-à-dire
b.
Quelle est la nature de
A
Activités
B
Cours
Équation d’un cercle
O ; i j,( ).A 2 1,( ), B 5 3,( ), C 4 4,( ).
Γ ( )
Γ ( )
Γ ( )
Γ ( )
Γ ( )
AB[ ].
MA MB⋅ MI IA MI2 IA2.
AB[ ] MA MB⋅ 0.=
Ω α β,( )
C( )
M x y,( ) C( )∈ ΩM R= ΩM2 R2.=ΩM2 x α – ( )2 y β – ( )2
+ x2 2αx – α2 y2 2βy – β2.+ + += =
M x y,( ) C( )x2 y2 2αx – 2βy – α2 β2 R2
– + + + 0.=
C( ) x2 y2 2αx – 2βy – α2 β2 R2 – + + + 0.=
Remarque
T éorème x2 y2 ax by c+ + + + 0.=
C( ) I 3 1 – ,( ),
C( )
: x 3 –
( )2 y 1+
( )2
+ 25=
x2 y2 6x – 2y 15 – + + 0.=
E( ) M x y,( ) tels que x2 y2 x – 4y – 94--+ + 0=
⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫
? =
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Séquence 5 – MA12
11
Ainsi
En posant dire que équivaut à dire que
est le cercle de centreΩ
, de rayon
c.
Quelle est la nature de
équivaut à
est évidemment un nombre réel positif ; n’est donc pas un cercle ; c’estl’ensemble vide.
Équation d’un cercle défini par un diamètre
L’activité 3 a permis de démontrer le théorème suivant :
Un point M est sur le cercle de diamètre si et seulement si
Application :
Soient deux points et et le cercle de diamètre
si et seulement si c’est-à-dire si et seulement si :
Exercice 5
Dans un repère orthonormal on donne les points
Déterminer une équation de la médiatrice de et une équation de la médiatrice de
En déduire les coordonnées du centre du cercle passant par A, B et C.
Déterminer une équation de ce cercle.
Déterminer une équation de la tangente à ce cercle en A.
Exercice 6
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
Une droite Δ
a pour équation
Écrire l’équation du cercle de centre tangent à Δ
.
Exercice 7
A et B sont deux points tels que
On se propose de déterminer le lieu des points M tels que
C
Exercices d’apprentissage
x2 y2 x – 4y – 94--+ + x
12-- – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ 2 14-- – y 2 – ( )2 4 –
94--+ + x
12-- – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ 2 y 2 – ( )2 4 – 94--
14-- – + += =
x12-- – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ 2 y 2 – ( )2 2. – +=
E( ) M x y,( ) tels que x1
2-- –
⎝ ⎠
⎛ ⎞ 2 y 2 – ( )2+ 2=
⎩ ⎭⎨ ⎬
⎧ ⎫.=
Ω 12− 2,⎝ ⎠ ⎛ ⎞ , M E( )∈ ΩM 2.=
E( ) 2.
F( ) M x y,( ) tels que x2 y2 2x – 4y – 6+ + 0={ } ?=
x2 y2 2x – 4y – 6+ + 0= x 1 – ( )2 y 2 – ( )2+ 1. – =
x 1 – ( )2 y 2 – ( )2+ F( )
T éorème AB[ ] MA MB⋅ 0.=
A 1 3, – ( ) B 2 2,( ) C( ) AB[ ].
M x y,( ) C( )∈ MA MB⊥x 1+( ) x 2 – ( ) y 3 – ( ) y 2 – ( )+ 0.=
C( ) : x 2 y2 x – 5y – 4+ + 0.=
O ; i j,( ), A 3 2, – ( ), B 5 4,( ), C 3 4 – ,( ).
AB[ ] BC[ ].
O ; i j,( ).
x y 7 – + 0.=
I 1 2,( )
AB 3.=
MA 2MB.=
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12
Séquence 5 – MA12
Pour cela, on choisit de se placer dans un repère orthonormal
Soit après avoir exprimé MA et MB en fonction de x et y, montrer que le lieu de M a pour
équation
En déduire la nature de ce lieu et ses éléments caractéristiques.
Calculer les coordonnées des points d’intersection de ce lieu avec la droite Constater queces points étaient évidemment solutions du problème posé.
Exercice 8
Montrer que les quatre points suivants, donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormal
sont cocycliques (appartiennent à un même cercle) :
A ;13-- AB j,⎝ ⎠
⎛ ⎞ .
M x y,( ) ;x2 y2 8x – 12+ + 0.=
AB( ).
A 3 0,( ) : B 4 2 – ,( ) ; C 383-- – ,⎝ ⎠
⎛ ⎞ ;
D53-- 2 – ,⎝ ⎠ ⎛ ⎞ .
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Séquence 5 – MA12
13
.
Activité 4
L’unité est le cm.
Construire un triangle ABC tel que et
Calculer le produit scalaire En utilisant la définition du produit scalaire, calculer BC.
Établir une formule plus générale donnant en fonction de AB, AC et
. Activité 5
L’unité est le cm.
Construire un triangle ABC tel que et
Soit I le milieu du segment On se propose de calculer AI.
a. En écrivant et exprimer en fonction de et de
b. En déduire AI.
c. Établir une formule plus générale donnant en fonction de et de
Formule d’Al-KashiÉtant donné un triangle ABC, exprimons en fonction de AB, AC et
On peut obtenir le résultat en procédant comme dans l’activité 4.
On peut aussi procéder de la façon suivante :
(n’oublions pas que le carré scalaire d’un vecteur est égal au carré de sa norme).
Or
Finalement,
Dans un triangle ABC,
Si ABC est un rectangle en A, et résultat qui ne doit pas surprendre puisqu’il résulte aussi de l’applica- tion du théorème de Pythagore.
Si on note et cette formule s’écrit :
On obtiendrait de même, plus généralement
et
A Activités
B Cours
Relations métriquesdans un triangle
AB 8,= AC 5= Aπ3--- .=
AB AC.⋅
BC2
A.cos
AB 3,= AC 5= BC 6.=
BC[ ].AB AI IB+= AC AI IC,+= AB2 AC2
+ AI2 IB2.
AB2 AC2+ AI 2 BC2.
BC2 A.cos
BC2 BC2
=
BC2
BA AC+( )2
BA2
2BA AC AC2
+⋅+ BA2
2AB AC AC2.+⋅ – = = =
A
b
CaB
c
BC2 AB2 AC2 2AB AC A.cos×× – +=
Formule d’Al-Kashi BC2 AB2 AC2 2AB AC A.cos×× – +=
Remarque Acos 0 = BC 2 AB 2 AC 2 ,+=
a BC,= b CA= c AB,= a2 b2 c2 2bc Acos – + .=
b2 c2 a2 2ac Bcos – += c2 a2 b2 2ab Ccos – + .=
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14 Séquence 5 – MA12
Théorème de la médiane
C’est le théorème démontré dans l’activité 5.
Dans tout triangle ABC, si I est le milieu du segment
Aire d’un triangle quelconque où H est le projetéorthogonal de C sur
Considérons un triangle ABC quelconque ; trois cas de figure sont possibles :
Dans tous les cas de figure,
Donc, en désignant par S l’aire du triangle ABC, on a :
Plus généralement en notant et on peut énoncer le théorème :
L’aire de tout triangle ABC est donnée par
L’unité d’aire dépend de l’unité de longueur choisie ; par exemple, si l’unité de longueur est le cm,l’unité d’aire est le
Conséquence
En multipliant par chacun des membres de on obtient
relation que l’on retient habituellement sous la forme utilisée dans l’énoncé
ci-dessous :Dans tout triangle ABC,
Exercice 1
Soit le triangle ABC tel que et
Placer ces points sur une figure. Calculer AB, AC et l’aire de ABC.
C Exercices d’application
A
CIB
T éorème BC[ ],
AB2 AC2+ 2AI2 1
2--- BC2.+=
AB( )
C
BHA
C
BA BAH
C
CH AC Asin×= H A= Aπ2---= CH AC π A – ( )sin× AC Asin×= =
CH AC AC sin A×= =
CH AC sin A.×=
SAB CH×
2--------------------
AB AC× sin A×2
----------------------------------------12-- AB AC× sin A.×= = =
a BC,= b CA= c AB,=
T éorème S12--- bc Asin
12--- ca Bsin
12--- ab Csin .= = =
Remarque
cm 2 .
2abc--------
12-- bc Asin
12-- ca Bsin
12-- ab Csin= =
Asina
------------Bsin
b------------
Csinc
------------,= =
Formu e es sinus a
Asin------------
bBsin
------------c
Csin------------ .= =
BC 6,= B 40°= C 60°.=
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Séquence 5 – MA12 15
Voir figure ci-contre.
On établit aisément que(La somme des angles
d’un triangle est égale à 180˚.)
Appliquons la formule des sinus :
De on déduit que :
.
On obtient de même :
Ainsi et que
L’aire de ABC est égale à
Valeurs approchées obtenues à la calculatrice :
Les formules d’Al-Kashi et des sinus permettent de démontrer des théorèmes énoncés en Seconde concernant les triangles isométriques.
En effet, par exemple, si deux triangles ABC et sont tels que et alors les deux triangles sont isométriques.
De même si deux triangles ABC et sont tels que et alors et les deux triangles sont isométriques.
Exercice 2Soit ABCD un parallélogramme. Montrer que
1ère méthode possible
Autre méthode
Utilisons le théorème de la médiane en appelant I le milieu du segment
A
CB
Réponse
A 80°.=
6
80sin
--------------b
40sin
--------------c
60sin
--------------.= =
680sin
--------------b
40sin--------------,=
b6 40sin×
80sin-----------------------=
c6 60sin×
80sin----------------------- .=
AB6 60sin×
80sin-----------------------= AC
6 40sin×80sin
----------------------- .=
S 12-- ab Csin 1
2-- 6 6 40sin×
80sin----------------------- 60sin××× 40sin
80sin-------------- 9 3.×= = =
Remarques
A′ B ′ C ′ AB A′ B ′ ,= AC A′ C ′ =
A A′ = BC B ′ C ′ ; =
A′ B ′ C ′ BC B ′ C ′ ,= B B ′ = C C ′ =
AB A′ B ′ = AC A′ C ′ ; =
AC2 BD2+ 2 AB2 AD2
+( ).=
Réponse
AC2 BD2+ AC
2= BD
2+ AB BC+( )
2BA AD+( )
2+ AB AD+( )
2AD AB – ( )
2+= =
AB2
2AB AD⋅ AD2
AD2
2AB AD AB2
+⋅ – + + + 2 AB2
AD2
+( ) 2 AB2 AD2+( ).= = =
BD[ ].
AB2 AD2+ 2AI2
12-- BD2
+ 212-- AC⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 1
2-- BD2
+12-- AC2 1
2-- BD2
+12-- AC2 BD2
+( ).= = = =
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16
Séquence 5 – MA12
Exercice 9
L’unité de longueur est le cm.
Construire un triangle ABC satisfaisant aux conditions suivantes : et
(On constatera qu’il n’y a pas unicité.)
En utilisant la formule d’Al-Kashi, montrer que AC est solution de l’équation
Quelles sont les valeurs de AC possibles ?
Dans chacun des cas obtenus, calculer puis, en degrés, un encadrement de à près.
Calculer l’aire de ABC dans chacun des cas.
Exercice 10
Une unité de longueur étant choisie, on considère un rectangle ABCD tel que et
I est le point défini par
Vérifier que
Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que
En déduire que les droites et sont perpendiculaires.
Retrouver le résultat en supposant le plan rapporté au repère orthonormal
Exercice 11
Dans un triangle ABC, on appelle I et J les milieux respectifs des segments et
On appelle a, b et c les longueurs respectives de segments et
Le but de l’exercice est de montrer que les droites et sont perpendiculaires si et seulementsi et de construire un tel triangle dans un cas particulier.
Exprimer en fonction de a, b et c les différents produits scalaires suivants :
et
Exprimer en fonction de
En déduire que si et seulement si
Quelle est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux autres côté ont pour mesure 1 et 3 ?
Construire à la règle et au compas un triangle ABC isocèle en A tel que dans lequel les droiteset sont perpendiculaires.
D Exercices d’apprentissage
AB 8,= Aπ
3
---= BC 7.=
x2 8x – 15+ 0.=
Ccos C 10 1 –
AB 2= AD 1.=
AI34-- AB.=
CD2 CB2 – ID2 IB2. – =
MD2 MB2 – 3.=
BD( ) CI( )
A ;12-- AB AD,⎝ ⎠
⎛ ⎞ .
AB[ ] AC[ ].
BC[ ], CA[ ] AB[ ].
BJ( ) CI( )b2 c2
+ 5a2=
AB AC,⋅ BA BC⋅ CA CB.⋅
BA BC+( ) CA CB+( )⋅ BJ CI.⋅
BJ( ) CI( )⊥ b2 c2+ 5a 2.=
BC 2=BJ( ) CI( )
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Séquence 5 – MA12 17
. Activité 6
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
est le cercle trigonométrique de centre O.
Placer sur le cercle, les points A et B tels que et
En utilisant les coordonnées des points A et B, calculer
Exprimer le produit scalaire en fonction de En déduire
Formules d’addition
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
est le cercle trigonométrique de centre O.
Sur le schéma ci-contre, et
a. Expression de en fonction de
On considère sur ce cercle, les points A et B tels que :
et
et (revoir éventuel-lement, le chapitre 3).
or
On sait que puisque
En rassemblant tous ces résultats, on obtient :
b. Expression de en fonction de
Or et donc
c. Expression de en fonction de
A Activité
B Cours
Complément de trigonométrie :Formules d’addition et de duplication
O ; i j,( ).
C( )
i OA,( ) π6---= i OB,( ) π
4--- .=
OA OB.⋅
OA OB⋅ OA OB,( ).cosπ12-----cos .
JB
A
IO
O ; i j,( )
.
C( )
i OI= j OJ.=
a b – ( )cos acosbcos , asin , bsin .
i OA,( ) a= i OB,( ) b.=
A acos asin,( ) B bcos bsin,( )
OA OB⋅ acos bcos asin bsin .×+×=
OA OB⋅ OA OB× OA OB,( )cos× ; =
OA OB,( ) OA i,( ) i OB,( )+ i OB,( ) i OA,( ) – b a. – = = =
a b – ( )cos b a – ( )cos= α – ( )cos αcos .=
a b – ( )cos acos bcos× asin bsin .×+=
a b+( )cos acos , bcos , asin , bsin .
a b+( )cos a b – ( ) – ( )cos acos b – ( )cos× asin b – ( )sin .×+= =α – ( )cos αcos= α – ( )sin αsin – = a b+( )cos acos bcos× asin bsin .× – =
a b+( )sin acos , bcos , asin , bsin .
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18 Séquence 5 – MA12
On sait que et que (chapitre 3).
d. Expression de en fonction de
On se ramène à la formule précédente
e. En résumé : Quels que soient a et b appartenant à :
Formules de duplication
Quels que soient a et b, et
Remplaçons dans ces formules a et b par α ; il vient et
Dans cette dernière formule, en remplaçant par on obtient
en remplaçant par on obtient :En résumé : quel que soit
Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus
a. Dérivabilité de la fonction sinus en 0
On doit pour cela étudier c’est-à-dire
Que dit la calculatrice ?
tend vers 1 quand h tend vers
0.
Noter que les résultats auraient étéidentiques si on avait attribué à h
des valeurs négatives carest une fonction paire.
On admettra ce résultat.
π2--- α – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos αsin= π
2--- α – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ sin αcos=
a b+( )sin π2--- a – b – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos π
2--- a – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ b – cos π
2--- a – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos bcos π
2--- a – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ sin bsin×+×= = =
asin bcos acos bsin .×+×= a b+( )sin asin bcos× bsin acos .×+=
a b – ( )sin acos , bcos , asin , bsin .
a b – ( )sin a b – ( )+( )sin asin b – ( )cos× b – ( )sin acos×+= =
asin bcos× bsin acos .× – =a b – ( )sin asin bcos× bsin acos .× – =
a b – ( )cos acos bcos× asin bsin×+=
a b+( )cos acos bcos× asin bsin× – =
a b – ( )sin asin bcos× bsin acos× – =
a b+( )sin asin bcos× bsin acos×+=
a b+( )sin asin bcos× bsin acos×+=a b+( )cos acos bcos× sin a sin b.× – =
2αsin 2 αsin αcos×=2αcos α α.sin2
– cos2=
αsin2 1 α,cos2 –
2αcos 2 αcos2 1, – = αcos2 1 α,sin2 – 2αcos 1 2 α.sin2 – =α : ∈
2αsin 2 αsin αcos×=
2αcos αcos2 αsin2 – =
2αcos 2 αcos2 1 – =
2αcos 1 2 αsin2 – =
hsin 0sin –
h-----------------------------
h 0→lim
hsinh
-----------
h 0→lim .
hsinh
-----------
hhsin
h-----------
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Séquence 5 – MA12
19
b.
Dérivabilité de la fonction sinus (démonstration non exigible)
Soit a un nombre réel ; pour tout
De la formule on en déduit que et donc que
Ainsi, si on remplace par k.
Si tend vers 1 quand k tend vers 0 ; ainsi tend vers 0 quand
k tend vers 0, autrement dit, quand h tend vers 0, tend vers 0 et tend
vers 0.
Par ailleurs, tend vers (puisque tend vers 1).
Finalement : ce qui équivaut à et ceci quel que soit
La fonction sinus est dérivable sur ; quel que soit x réel,
c.
Dérivabilité de la fonction cosinus
On sait que donc quel que soit
Or, si donc
Ainsi quel que soit
La fonction cosinus est dérivable sur
; quel que soit x réel,
(Des exemples d’utilisation de ces formules sont données dans la séquence 7.)
Exercice 1
Calculs de
C
Exercices d’application
T éorème hsin
h------------
h 0→lim 1 ; = 0( )in9 1.=
h 0,≠
a h+( )in asin –
h------------------------------------------
asin hcos hsin acos asin – +
h--------------------------------------------------------------------------
a h 1 – cos( )sin hsin acos+
h----------------------------------------------------------------------= =
asinh 1 – cosh
---------------------× acoshsin
h-----------.×+=
2αcos 1 2 α,sin2 – = 1 2αcos – 2 αsin2=
1 hcos – 2h2--sin2 .=
h 1 – cosh
---------------------
2h2--sin2
h------------------ –
sin2 h2--
h2--
-------------- = – h2--
h2--sin
h2--
------------sin – ksin – ksin
k-----------×= = = h
2--
k 0,= ksin 0 ; = ksink
----------- ksinksin
k-----------× –
h 1 – cosh
--------------------- asinh 1 – cosh
---------------------×
acoshsin
h-----------× acos
hsinh
-----------
a h+( )sin asin –
h-------------------------------------------
h 0→lim acos= asin acos=
a .∈ T éorème xin9 x.cos=
π2--- α – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ sin αcos= x ,∈ xcos π
2--- x – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ .sin=
g x( ) f ax b+( )= , g′ x( ) af ′ ax b+( ) ; = xcosπ2--- x – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos – = a 1 – =( )
xsin – = π
2--- α –
⎝ ⎠
⎛ ⎞ cos αsin=⎝ ⎠
⎛ ⎞
x ,∈ xcos x.sin – =
T éorème xcos9 x.sin – =
π12-----,cos
π12-----,sin
π8--- ,cos
π8--- .sin
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20
Séquence 5 – MA12
Le calcul de a déjà été effectué dans l’activité 6.
Il peut maintenant s’effectuer plus directement grâce aux résultats précédents.
On remarque pour cela que ainsi :
De même :
Calculons en remarquant que et donc que
Mais, après la formule de duplication n
o
3 on a aussi
Ainsi, ce qui équivaut à :
car
Utilisons maintenant la formule de duplication n
o
4 :
d’où et car, également,
Finalement : et
Exercice 2
Résoudre dans
l’équation
Remarquons que ainsi :
équivaut à
ou
Réponse π12-----cos
π12-----
π4---
π6--- ; – =
π12-----cos π4--- π6--- – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos π4---cos π6---cos× π4---sin π6---sin×+ 22
------- 12--× 22
------- 32-------×+ 6 2
+
4-------------------- ; = = = =
π12-----cos
6 2+
4--------------------.=
π12-----sin
π4---
π6--- – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ sinπ4---sin
π6---cos× π
4---cos
π6---sin× –
22
-------3
2-------× 2
2-------
12--× –
6 2 –
4-------------------- ; = = = =
π12-----sin
6 2 –
4--------------------.=
π8---cos 2 π
8---× π
4---= 2cos π
8---× 2
2-------.=
2cosπ8---× 2 π
8--- 1. – cos2=
2π8--- 1 – cos2 2
2-------,=
π8---cos2
12
2-------+
2---------------- ; = π
8---cos2 2 2
+
4
---------------- ; = π8---cos
2 2+
2--------------------,= π
8---cos 0.>
2cosπ8---× 1 2
π8---sin2
– = 2π8---sin2 1
22
------- – = π8---sin
2 2 –
2-------------------- ,= π
8---sin 0.>
π8---cos
2 2+
2--------------------= π
8---sin
2 2 –
2--------------------.=
1 2 xcos 2xcos+ +
0.=
Réponse 2xcos 2 x 1 ; – cos2=
1 2 x 2xcos+cos+ 0= 1 2 x 2 x 1 – cos2+cos+ 0=
2 x 1 xcos+( )cos 0=
xcos 0= xcos 1. – =
xπ2--- 2kπ,+= x
π2--- 2kπ,+ – = x π 2kπ,+= k .∈
S π2--- 2kπ+ π2
--- 2kπ+ – π 2kπ, k ∈+, ,⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫= .
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Séquence 5 – MA12
21
Exercice 12
Montrer que
Exercice 13
Résoudre les équations suivantes :
développera au préalable
Exercice 14
A, B, C désignant les angles d’un triangle, démontrer que :
(indication : en utilisant exprimer à l’aide de
D
Exercices d’apprentissage
x x2π3
------+⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos x
4π3
------+⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos+ +cos 0.=
2xcos 3 x 2+cos – 0.=
x3
2------- 2xsin+cos2 0.=
5xsin xcos 5xcos xsin – 2
2------- .=
x xcos+sin 2= on⎝ ⎛ x π4---+⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎠ ⎞ .sin
Asin Bsin Csin+ + 4A2---
B2---
C2---.cos cos cos=
A B C+ + π,= Csin A B+( )).sin
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22 Séquence 5 – MA12
Le plan étant rapporté à un repère orthonormal
Équation d’une droite à l’aide d’un vecteur normal
Vecteur normal d’une droite : étant donnée une droite Δ de vecteur direceur on dit que est
un vecteur normal de Δ si est non nul et orthogonal à
Toute droite de vecteur normal a une équation de la forme
Réciproque
Si l’ensemble des points du plan tels que est une droite
de vecteur normal
Équation d’un cercle
Tout cercle a une équation de la forme
Un point M est sur le cercle de diamètre si et seulement si
Relations métriques dans un triangle
Formule d’Al-Kashi Dans tout triangle ABC,
Théorème de la médiane
Dans tout triangle ABC, si I est le milieu du segment
Aire d’un triangle quelconque
L’aire de tout triangle ABC est donnée par
Formule des sinus
Dans tout triangle ABC,
Complément de trigonométrie :Quels que soient a et b appartenant à :
Quel que soit
Ces deux fonctions sont dérivables dans ; quel que soit
Synthèse des connaissances
O ; i j,( ) :
v, n
n v.
T éorème n a b,( ) ax by c+ + 0.=
a b,( ) 0 0,( ),≠ M x y,( ) ax by c+ + 0=
n a b,( ).
T éorème x2 y2 ax by c+ + + + 0.=
T éorème AB[ ] MA MB⋅ 0.=
BC2 AB2 AC2 2AB AC A.cos×× – +=
BC[ ], AB2 AC2+ 2A I2 12-- BC2.+=
S12-- bc Asin
12-- ca Bsin
12-- ab Csin .= = =
aAsin
------------b
Bsin------------
cCsin
------------ .= =
Formu es a ition
a b – ( )cos acos bcos× asin bsin×+=
a b+( )cos acos bcos× asin bsin× – =
a b – ( )sin asin bcos× bsin acos× – =
a b+( )sin asin bcos× bsin acos×+=
Formu es
de duplication
α : ∈
2αsin 2 αsin αcos×=
2αcos αcos2 αsin2 – =
2αcos 2 αcos2 1 – =
2αcos 1 2 αsin
2 –
= Dériva i ité es fonctions sinus et
cosinus
x ,∈xsin xcos=
xcos xsin – .=⎩⎨⎧
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Séquence 5 – MA12
23
Exercice 1
Construction d’un pentagone régulier
Calcul de
Vérifier que est solution de l’équation
Montrer l’égalité :
En déduire que est une solution de l’équation
a.
Montrer que
b.
En déduire
Construction d’un point A du cercle trigonométrique tel que
Le plan est rapporté à un repère orthonormal et est le cercle trigonométrique de centre O.
Soit M tel que et J le point cercle trigonométrique tel que
Calculer MJ.
Soit K le point de l’axe des abscisses, ayant une abscisse positive, tel que
Soit H le milieu de Calculer OH. En déduire le point A cherché.
Construire un pentagone régulier ABCDE.
Exercice 2
On considère un triangle ABC ; on pose
Soit G le centre de gravité de ce triangle.
M désignant un point quelconque, on pose
a.
Exprimer en fonction de a, b, c : et
b.
Montrer que
c.
En remplaçant successivement M par A, B et C dans l’égalité obtenue à la question b, puis en calcu-
lant montrer que
Exercice 3
Un jardin de forme triangulaire ABCest tel que etmesurent respectivement 80 m,120 m, 100 m.
Une allée joint un point D deà un point E de
Cette allée partage le jardin en deux
parcelles BDE et ADEC de mêmeaire. De plus, les périmètres de cesdeux parcelles sont égaux.
Exercices d’approfondissement
Première partie 2π5
------cos
2π5
------ 3xcos 2x.cos=
3xcos 4 xcos3 3 x.cos – =
2π5
------cos 4X3 3X – 2X2 1. – =
4X3 2X 2 3X – 1+ – X 1 – ( ) 4X2 2X 1 – +( ).=
2π5
------ .cos
Deuxième partie i, OA( ) 2π5
------=
O ; i j,( ) C( )
OM12-- i – = i OJ,( ) π
2---.=
MJ MK.=
OK[ ].
a BC,= b CA,= c AB.=
f M( ) MA 2 MB2 MC2.+ +=
f A( ), f B( ), f C( ).
f M( ) 3M G2 f G( ).+=
f A( ) f B( ) f C( ),+ + GA2
GB2
GC2
+ +
1
3--
a2
b2
c2
+ +( ).=
A
CB
D
E
AB[ ], BC[ ] CA[ ]
AB[ ]BC[ ].
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24 Séquence 5 – MA12
Montrer que et
En déduire les valeurs exactes de BD et BE après résolution d’une équation du second degré.
Calculer la valeur exacte de puis calculer la mesure exacte, en métres de l’allée Don-
ner l’approximation décimale de cette mesure à près par défaut.
Exercice 4
ABC est un triangle rectangle en A tel que
I désigne le milieu de J le barycentre de et G le barycentre de
a. Montrer que G est le milieu de
b. Préciser la nature du quadrilatère ABIG.
c. Calculer les distances GA, GB et GC.
a. Exprimer en fonction de l’expression
b. En déduire l’ensemble des points M du plan tels que Tracer
On se propose maintenant de déterminer l’ensemble des points M tels que
a. Montrer que I appartient à
b. Montrer que l’ensemble est une droite.
c. Tracer
Aide aux exercices d’approfondissement
Exercice 1
Penser à l’égalité
Écrire et utiliser une formule d’addition ; ne pas oublier non plus que
Exprimer en fonction de et ne pas oublier que est solution de l’équation
a. Développer le produit figurant dans le second membre.
b.Tenir compte du signe de
Exercice 2
b. Décomposer en
c. Écrire de deux façons.
Exercice 3
Exprimer les aires de BDE et ABC à l’aide de et remarquer que l’aire de ADEC est égale à lamoitié de l’aire de ABC.
On peut ensuite poser et et résoudre le système par substitution.
Utiliser la formule d’Al-Kashi.
BD BE× 4 800= BD BE+ 150.=
Bcos DE[ ].10 2 –
AB 1,= AC 2.=
AC[ ], A 3,( ), B 2 – ,( ), A 3,( ),B 2 – ,( ), C 1,( ).
CJ[ ].
MG2 3M A2 2MB2 MC2.+ –
C( ) 3M A2 2M B2 MC2+ – 2.= C( ).
E( )3M A2
– 2M B2 MC2+ + 2.=
E( ).
E( )
E( ).
6π5
------ 2π 4π5
------ . – =
3xcos x 2x+( )cos=
xsin2 1 x.cos2 – =
2xcos xcos2π5
------cos
3xcos 2x.cos=
2π5
------.cos
MA2 MB2 MC2+ + MG GA+( )
2MG GB+( )
2MG GC+( )
2+ + .
f A( ) f B( ) f C( )+ +
Bsin
x BD= y BE=xy 4 800=
x y
+
150
=⎩⎨⎧
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Séquence 5 – MA12
25
Exercice 4
a.
On peut utiliser le théorème d’associativité.
b.
On peut montrer en utilisant le théorème d’associativité que G est le barycentre de
c.
Pour la calcul de GB, on peut appeler O le point d’intersection de et et calculer BO.
a.
Décomposer en utilisant le point G.
b.
Pour tracer remarquer qu’il passe par l’un des points A, B, C.
b.
Décomposer en utilisant le point I.
c.
Montrer que
A 2,( ), I 2,( ),B 2 – ,( ).
BG( ) AI( )
3MA2 2MB2 – MC 2
+
C( ),
3 – MA2 2MB2 MC2+ +
3IA – 2IB IC+ + 2 AI AB+( ).=
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27
Sommaire séquence 5 – MA12
2ème partie
Activités 1, 2, 3
Cours
Fonctions ayant pour limite + ∞
ou – ∞
en + ∞
Fonctions de limite réelle en + ∞
Limite d’une fonction en – ∞
Cas particulier des fonctions polynômes
Cas particulier des fonctions rationnelles
Exercices d’application 1, 2, 3
Exercices d’apprentissage 1, 2, 3, 4
Activités 4, 5
Cours
Exercices d’application 1, 2, 3
Exercices d’apprentissage 5, 6, 7, 8, 9
Activité 6Cours
Exercice d’application
Exercices d’apprentissage 10, 11, 12
Chapitre 2
>
Limite d’une fonction en a réel, n’appartenant pas
à son ensemble de définition
........................................................................................................
Chapitre 3
>
Asymptotes ........................................................................................................................................................
Chapitre 5
>
Exercices d’approfondissement 1, 2, 3 ..........................................................
Chapitre 1
>
Limites de fonctions en + ∞
et – ∞
......................................................................
Chapitre 4
>
Synthèse des connaissances .............................................................................................
AA
AAB
AAC
AACD
AA
AAB
AAC
AACD
AA
AAB
AAC
AACD
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5/10/2018 Applications Du Produit Scalaire - Limites de Fonctions Et Asymptotes - slidepdf...
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Séquence 5 – MA12
29
.
Activité 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
On considère les fonctions et définies respectivement sur par :
et
Tracer les courbes représentatives de ces fonctions, appelées et
À tout nombre réel positif x, on fait correspondre les points et d’abscisse x, apparte-
nant respectivement aux courbes et N le point de coordonnées
On appelle et les aires respectives des triangles et
a.
Exprimer et en fonction de x.
b.
Compléter le tableau suivant :
c
. Que penser des nombres et quand le nombre x devient « très grand » ?
Dans les paragraphes qui suivent, nous allons donner une idée plus précise de la notion de limiteentrevue dans l’activité 1. Mais, conformément au programme les explications se feront uniquementà travers les exemples. En effet, la formulation mathématique rigoureuse est assez abstraite. Elle nesera utilisée que dans des classes ultérieures.
Soit une fonction f définie sur un intervalle de la forme
Étudier le comportement de la fonction f en c’est étudier le comportement des nombreslorsque le nombre x positif devient « très grand ».
.
Activité 2
Compléter le tableau suivant :
A
Activités
x 1 2 5 10 100 1 000
x 1 10 100 1 000
Limites de fonctionsen et∞+ ∞–
O ; i j,( )
f 1, f 2 f 3 0 ∞[+ ,]
f 1 x( ) 2
x------,= f 2 x( ) 2
x--= f 3 x( ) 2
x2----- .=
C1, C2 C3.
M1, M2 M3
C1, C2, C3 x 1+ 0,( ).
S1 x( ), S2 x( ) S3 x( ) OM1N, OM2NOM3N.
S1 x( ), S2 x( ) S3 x( )
S1 x( )
S2 x( )
S3 x( )
S1 x( ), S2 x( ) S3 x( )
α ; ∞+ [ [.
∞,+ f x( )
104
x2
x3
x
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30
Séquence 5 – MA12
Comparer x, et pour
En déduire sans faire de calculs :
si
si
si
Deux observations :
Plus x devient grand, plus et sont grands.
et peuvent prendre des valeurs aussi grandes que l’on puisse le souhaiter.
On dira : tend vers quand x tend vers
ou : la limite de est égale à quand x tend vers
Il en sera de même pour
Compléter :
a.
Si
b.
Sic.
Si
On dira aussi : tend vers quand x tend vers
ou : la limite de est égale à quand x tend vers
.
Activité 3
Compléter le tableau suivant :
Compléter :
a.
Si
b.
Si
a.
Comparer, pour
b.
En déduire sans faire de calculs :
si si si
x 1 10 100 1 000 10 000
x2 x3 x 1.>
x2 1010> x ...>
x2 101 999> x ...>
x3 102 000> x ...>
x2 x3
x2 x3
x2 ∞+ ∞.+ x2 ∞+ ∞.+
x3.
x ...,> x 1 000>
x ...,> x 10100
.>x ...,> x 102 001.>
x ∞+ ∞.+ x ∞+ ∞.+
1x--
1
x2-----
1
x3-----
1x------
x ...,> 1x-- 0 000 001., <
x ...,> 1x-- 10 100 – .<
x 1>1x-- ,
1
x2
-----,1
x3
-----.
1
x2----- 10 10 – < x ...> 1
x2----- 10 1 000 – < x ...> 1
x3----- 10 100 – < x ...>
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Séquence 5 – MA12
31
Deux observations également :
Plus x devient grand, plus et sont petits, tout en restant positifs.
et peuvent prendre des valeurs positives aussi petites que l’on puisse le souhaiter.
On dira : tend vers 0 quand x tend vers
ou : la limite de est égale à 0 quand x tend vers
Il en sera de même pour et
c.
Si Si Si
On dira aussi que la limite de est égale à 0 quand x tend vers
Fonctions ayant pour limite ou en
a. Fonctions de référence ayant pour limite
À la suite des observations faites dans l’activité 2, nous admettons le théorème suivant :
Chacune des fonctions : tend vers quand x tend vers
On écrit : , , ,
b. Fonctions de limite
en
On dit que si
Prenons donc
c. Théorèmes généraux
Étude d’un exemple
Considérons la fonction f définie par
Que dit la calculatrice ?
Elle permet de conjecturer que
On sait que et que donc il est intuitif que et
qu’a fortiori
B
Cours
1x-- ,
1
x2-----
1
x3-----
1x-- ,
1
x2-----
1
x3-----
1x-- ∞+
1x-- ∞.+
1
x2-----
1
x3-----.
x ...,> 1
x------ 0 000 01 ; , < x ...,> 1
x------ 10 10 – ; < x ...,> 1
x------ 10 1 000 – .<
1
x------ ∞.+
∞+ ∞– ∞+
∞+
T éorème x x,∞ x x2,∞ x x3∞ x x,∞ ∞+ ∞.+
xx ∞+ →
lim ∞+ = x2
x ∞+ →lim ∞+ = x3
x ∞+ →lim ∞+ = x
x ∞+ →lim ∞.+ =
∞ – ∞+ f x( )
x ∞+ →lim ∞ – = f – x( )
x ∞+ →lim ∞.+ =
Exemple f x( ) x – ( )3 ; = f x( ) – x – ( )3 – x3 .= = x3
x ∞+ →lim ∞+ = f x( )
x ∞+ →lim ∞. – =
f x( ) x2 5x .+=
f x( )x ∞+ →
lim ∞+ .=
x2
x ∞+ →lim ∞+ = x
x ∞+ →lim ∞,+ = 5x
x ∞+ →lim ∞+ =
x2 5x+( )x ∞+ →
lim ∞.+ =
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32
Séquence 5 – MA12
On admet les résultats « intuitifs » résumés dans le tableau ci-dessous :
Quelques remarques
• Dans la colonne concernant où k désigne un nombre réel non nul, le signedépend du signe k.
Ainsi par exemple, si k est positif, si
• La case barrée correspond à ce que l’on appelle une forme indéterminée
.
Expliquons nous en prenant quelques exemples :Si et ainsi,
Si et ainsi,
Si et ainsi,
Dans chacun de ces cas, et
La conclusion dépend du cas dans lequel on s’est placé.
On ne peut donc prévoir a priori le résultat d’où cette expression : forme indéterminée
.
Si l’application des résultats du tableau permettent de dire que
Si puisque par exemple, on peut conclure que
Plus généralement, si
Fonction de limite réelle en
a. Fonctions de référence ayant pour limite 0 en
À la suite des observations faites dans l’activité 3, nous admettons le théorème suivant :
Chacune des fonctions : tend vers 0 quand x tend vers
On écrit
Si Alorsf x( )x ∞+ →
lim = g x( )x ∞+ →
lim = f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →
lim = f x( ) g x( )×x ∞+ →
lim = k f x( )×x ∞+ →
lim =
∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞
∞ – ∞ – ∞ – ∞+ ∞
∞+ ∞ – ∞ – ∞
k f x( )×[ ],x ∞+ →
lim
f x( )x ∞+ →
lim ∞, – = k f x( )×[ ]x ∞+ →
lim ∞. – =
f x( ) 3x= g x( ) 2x , – = f x( ) g x( )+ x ; = f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →
lim xx
∞
+
→lim ∞.+ = =
f x( ) 2x= g x( ) 3x , – = f x( ) g x( )+ x ; – =
f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →
lim x – x ∞+ →
lim ∞ – .= =
f x( ) 3x= g x( ) 3x , – = f x( ) g x( )+ 0 ; = f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →
lim 0.=
f x( )x ∞+ →
lim ∞+ = g x( )x ∞+ →
lim ∞. – =
Exemples f x( ) 2x 3 0 5x2, x,+ +=
f x( )x ∞+ →
lim ∞.+ =
f x( ) 5x 4,= 5x4 5x 2 x2,×= 5x4( )x ∞+ →
lim ∞.+ =
n *,∈ xn( )x ∞+ →
lim ∞.+ =
∞+
∞+
T éorème x1x---,∞ x
1
x2
-----,∞ x1
x3
-----,∞ x1
x
------∞ ∞.+
1x--
x ∞+ →lim 0=
1
x2-----
x ∞+ →lim 0=
1
x3-----
x ∞+ →lim 0=
1
x------
x ∞+ →lim 0.=
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Séquence 5 – MA12 33
b. Interprétation graphique de ces résultats
Traçons dans le plan munid’un repère orthonormal
la courbe repré-
sentant la fonction
Appelons M un point decette courbe d’abscisse x etH le projeté orthogonal de Msur l’axe des abscisses.
Dire que tend vers 0
quand x tend vers setraduit par : MH tend vers 0
quand x tend vers
Autrement dit « l’écart entrela courbe et l’axe des abscisses » tend vers 0.
« Plus x est grand, plus cet écart sera voisin de 0 ».
On dit que l’axe des abscisses est une asymptote de la courbe d’équation en
On pourrait faire les mêmes observations en ce qui concerne les courbes des trois autres fonctions etl’axe des abscisses.
La notion d’asymptote sera reprise dans le chapitre 3.
c. Fonction ayant une limite réelle en
Étant donné un nombre réel λ , on dit que si
Prenons la fonction de l’activité 1 définie sur par et montrons conformé-
ment à ce que la calculatrice nous avait permis de conjecturer, que
Pour cela :
O H
M
O ; i j,( )
x1x-- ,
x 0.>
1x--
∞+
∞.+
y1x--= ∞.+
∞+ f x( )
x ∞+ →lim λ = f x( ) λ – [ ]
x ∞+ →lim 0.=
Exemple S2 0 ∞[+ ,] S2 x( ) x 1+
x-----------=
S2 x( )x ∞+ →
lim 1.=
O
H
M
S2 x( ) 1 – x 1+
x----------- 1 –
1x-- .= =
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34
Séquence 5 – MA12
On sait que donc ainsi
Graphiquement, si M est un point de la courbe représentant si H est le projeté orthogonal de M
sur la droite d’équation
MH tend vers 0 quand x tend vers
La droite d’équation est une asymptote de en
Plus généralement :
Dire que la droite d’équation est asymptote en de la courbe représentant une
fonction f signifie que
Définition analogue pour la notion d’asymptote en
d) Théorème généraux
Reprenons la calculatrice pour un premier exemple :
On peut conjecturer que :et que
On peut conjecturer cette fois que et que
1x--
x ∞+ →lim 0= S2 x( ) 1 – [ ]
x ∞+ →lim 0 ; = S2 x( )
x ∞+ →lim 1.=
S2,
y 1,= S2 x( ) 1 – MH.=
∞.+ y 1= C2 ∞.+
Dé inition y b= ∞+
f x( )x ∞+ →
lim b.=
∞. –
f x( ) 2x 1+x
--------------- ,= g x( ) 5xx 1+-----------=
f x( )x ∞+ →
lim 2,= g x( )x ∞+ →
lim 5= f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →
lim 2 5+ 7.= =
f x( ) 13x 2 – --------------=
3x 2 – ( )x ∞+ →
lim ∞+ = f x( )x ∞+ →
lim 0.=
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Séquence 5 – MA12 35
On admet les résultats « intuitifs » du tableau ci-dessous :
• Un résultat important à bien retenir : si une fonction tend vers l’infini, son inverse tend vers 0 .
• Les signes dépendent des signes des limites ou du réel k.
Exemples : Si et si
Si et si
• Si et si on ne peut pas prévoir a priori la limite en de
Prenons quelques exemples :
Supposons
Si et
Si et
Si et
Dans chacun de ces cas, La limite du produit dépend donc des cas particuliers con-
sidérés.
C’est une forme indéterminée.
Y faire attention car la tentation est grande, devant ce type de cas, de conclure que la limite du pro-duit est égale à 0.
Limite d’une fonction en
Dire que x tend vers équivaut à dire que tend vers
Ainsi, équivaut à
équivaut à
équivaut à
Si Alors
λ μsi
μ si 0
λ sisi
f x( )x ∞+ →
lim = g x( )x ∞+ →
lim = f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →
lim f x( ) g x( )×x ∞+ →
lim k f x( )×x ∞+ →
lim
1f x( )---------
x ∞+ →lim
λ μ+ λ μ× k λ × 1λ --- λ 0≠
∞ ∞ ∞ μ 0≠ ∞
∞ ∞ ∞ λ 0≠ k λ × 1λ --- λ 0≠
Que ques remarques
f x( )x ∞+ →
lim ∞ – = k 0,< k f x( )×[ ]x ∞+ →
lim ∞.+ =
f x( )
x ∞+
→
lim ∞+ = μ 0,< f x( ) g x( )×[ ]
x ∞+
→
lim ∞. – =
f x( )x ∞+ →
lim ∞+ = g x( )x ∞+ →
lim 0= ∞+ f x( ) g x( ).×
f x( ) x2 ; = f x( )x
∞
+
→ lim ∞.+ =
g x( ) 1x-- ,= f x( ) g x( )× x= f x( ) g x( )×[ ]
x ∞+ →lim ∞.+ =
g x( ) 1
x2-----,= f x( ) g x( )× 1= f x( ) g x( )×[ ]
x ∞+ →lim 1.=
g x( ) 1
x3-----,= f x( ) g x( )× 1
x--= f x( ) g x( )×[ ]
x ∞+ →lim 0.=
g x( )x ∞+ →
lim 0.=
∞ –
∞ – x – ∞.+ f x( )
x ∞ – →lim ∞+ = f x – ( )
x ∞+ →lim ∞.+ =
f x( )x ∞ – →
lim ∞ – = f x – ( )x ∞+ →
lim ∞ – .=
f x( )x ∞ – →
lim λ = f x – ( )x ∞+ →
lim λ .=
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36 Séquence 5 – MA12
Prenons
Ce résultat ne doit pas nous surprendre car la fonction carré étant paire on doit bien s’attendre à ceque son comportement en soit identique à celui qu’elle a en
Plus généralement, des considérations de parité nous amènent à énoncer :
Les théorèmes généraux cités dans le cas où x tend vers s’appliquent de la même façon quand xtend vers
Cas particuliers des fonctions polynômes
a. Conjectures avec la calculatrice
Comparons
et pour de
« grandes » valeursde x.
Remarquons que
etdeviennent
« comparables » et donc, puisque il est légitime de s’attendre à ce que
(Notons que nous étions face à une indétermination.)
Comparons :
etpour de « grandes »valeurs de x.
Ici encore :
etdeviennent« comparables ».
On sait que donc
b. Comment peut-on justifier ces résultats ?
Pour on peut écrire :
On sait que donc et (d’après les théorè-
mes généraux).
On sait aussi que
De tout cela, on déduit que
On obtiendrait de même que
Exemple f x( ) x2 ; = f x( )x –
∞→ lim f x – ( )
x
∞
+
→
lim x – ( )2x
∞
+
→
lim x2
x
∞
+
→
lim ∞.+ = = = =
∞ – ∞.+
T éorème xx ∞ – →
lim ∞ – = x2
x ∞ – →lim ∞+ = x3
x ∞ – →lim ∞ – =
1
x---
x ∞ – →lim 0=
1
x2
-----
x ∞ – →lim 0=
1
x3
-----
x ∞ – →lim 0=
∞+ ∞. –
1er exemple x3 2x 2 –
x3
x3 2x 2 – x3
x3
x ∞+ →lim ∞,+ =
x3 2x 2 – ( )x ∞+ →
lim ∞.+ =
2ème exemple
3x 2 – 5x+ 3x 2 –
3x 2 – 5x+ 3x 2 –
x2
x ∞+ →lim ∞,+ = 3x2 – ( )
x ∞+ →lim ∞ ; – = 3x 2 – 5x+( )
x
∞
+
→
lim ∞. – =
1er exemple x 0,≠ x3 2x2 – x3 12x-- – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ x3 1 21x--× – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ .= =
1x--
x ∞+ →lim 0,= 2
1x--×
x ∞+ →lim 0= 1 2
1x--× – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ x ∞+ →
lim 1=
x3
x ∞+ →lim ∞.+ =
x3 2x2 – ( )x ∞+ →
lim ∞.+ =
Remarque x3 2x 2 – ( )x ∞ – →
lim ∞. – = 1 21x--× – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ x ∞ – →
lim 1 et x3
x ∞ – →lim ∞ – ==⎝ ⎠
⎛ ⎞ .
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Séquence 5 – MA12 37
Pour on peut écrire :
Un raisonnement analogue au précédent donne et
Ce calcul a fait aussi apparaître que et sont « comparables » pour de grandes valeurs de x.
Il permet également d’établir que car
et
Plus généralement :
c. Théorème
La limite à l’infini d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
de même,
Cas particulier des fonctions rationnelles
On appelle fonction rationnelle, tout quotient de deux fonctions polynômes.
a. Conjecture avec la calculatrice
Considérons
Remarquons que pour de « grandes » valeurs de x, devient « trèsproche » de 2x.
Or on peut donc conjecturer que
Notons que s’est comporté comme
Considérons
Remarquons que pour de « grandes » valeurs de x, devient« très proche » de 0,5.
On peut ainsi conjecturer que :
Notons que s’est comporté comme
b. Comment peut-on justifier ces résultats ?
Pour x différent de 3 et de 0,
2ème exemple x 0,≠ 3x 2 – 5x+ x2 3 – 51x--×+⎝ ⎠
⎛ ⎞ .=
3 – 51x--×+⎝ ⎠
⎛ ⎞ x ∞+ →
lim 3 – = x2
x ∞+ →lim ∞.+ =
Conc usion 3x2 – 5x+( )x ∞+ →
lim ∞. – =
Remarques 3x 2 – 5x + x 2 3 – ( )×
3x 2 – 5x +( )
x ∞ – →
lim ∞ – = 3 – 5 1x --× +⎝ ⎠
⎛ ⎞ x ∞ – →
lim 3 – =
x 2
x ∞ – →
lim ∞ .+ =
Exemple 5x 3 10x2 – 17x 25 – +( )x ∞+ →
lim 5x3
x ∞+ →lim ∞ ; + = =
5x3 10x2 – 17x 25 – +( )x ∞ – →
lim ∞. – =
1er exemple f x( ) 2x 2x 3 – -----------.=
f x( )
2x( )x ∞+ →
lim ∞ ; + =
f x( )x ∞+ →
lim ∞.+ =
2x2
x 3 – -----------
2x2
x-------- 2x .=
2ème exemple g x( ) x2 x –
2x 2 3 – -----------------.=
f x( )
g x( )x ∞+ →
lim 0 5.,=
x2 x –
2x2 3 –
-----------------x2
2x2-------- 0 5.,=
1er exemple f x( ) 2x 2
x 13x-- – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ --------------------
2x
13x-- – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ----------------- 2x( ) 1
1 31x--× – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ -------------------------- .×= = =
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38
Séquence 5 – MA12
On sait que :
donc
Or ainsi
Pour
On montre, comme dans le premier exemple, que
On obtiendrait de la même façon que
c.
Plus généralement
La limite d’une fonction rationnelle à l’infini est égale à la limite du quotient de ses termesde plus haut degré
.
Soit la fonction définie dans l’activité 1 ; calcul de
Il suffit de remarquer que peut s’écrire sous la forme
On sait que et que les théorèmes généraux permettent de con-
clure que
Soit la fonction définie dans l’activité 1 par
Calculer
Pour
Donc car et
C
Exercices d’application
1x--
x ∞+ →lim 0,= 3
1x--×
x ∞+ →lim 0 ; = 1 3
1x--× – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ x
∞
+
→
lim 1 ; = 1
1 31x--
×
–
⎝ ⎠ ⎛ ⎞
--------------------------x
∞
+
→
lim 1.=
2x( )x ∞+ →
lim ∞,+ = f x( )x ∞+ →
lim ∞.+ =
2ème exemple x 0 32--
32-- – , ,
⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫,∉ x2 x –
2x2 3 – -----------------
x2
1
1
x-- – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞
x2 23
x2----- – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ -------------------------
1
1
x-- –
23
x2----- –
--------------1
1
x-- –
2 31
x2-----× –
-----------------------.= = =
1
1x-- –
2 31
x2-----× –
-----------------------x ∞+ →
lim12-- .=
Conc usion x2 x –
2x2 3 –
-----------------x ∞+ →
lim 0 5.,=
x2 x –
2x2 3 –
-----------------
x ∞ – →lim 0 5.,=
T éorème
S1 S1 x( ) x 1+
x----------- ; = S1 x( ).
x ∞+ →lim
S1 x( ) S1 x( ) xx
------ 1x
------+ x 1x
------.+= =
xx ∞+ →
lim ∞+ = 1
x------
x ∞+ →lim 0 ; =
S1 x( )x ∞+ →
lim ∞.+ =
S3 S3 x( ) x 1+
x2----------- .=
S3 x( )x ∞+ →
lim1x--
1
x2-----+
x ∞+ →lim 0.= =
x
x 1 – -----------.
x ∞+ →lim
Réponse x 1,> xx 1 – -----------
x
x 11x-- – ⎝ ⎠
⎛ ⎞ --------------------
xx
------1
11x-- –
------------× 1
x------
1
11x-- –
------------.×= = =
x
x 1 – -----------
x ∞+ →lim 0=
1
x------
x ∞+ →lim 0=
1
11x-- –
------------x ∞+ →
lim 1.=
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Séquence 5 – MA12 39
Exercice 1
On considère et
Calculer les limites de et en et sans avoir recours aux théorèmes spéci-fiques concernant les limites de fonction rationnelles. Retrouver les résultats obtenus grâce à cesthéorèmes.
Exercice 2
Voici ci-contre la courbed’une fonction f définiesur
En se fiant à ce graphi-que, que peut-on
s’attendre à trouver ence qui concerne :
Exercice 3
Une fonction f, crois-sante sur est telleque :
et
Dessiner une courbe représentative possible.
Exercice 4
Soit f la fonction définie sur par
Montrer que peut s’écrire sous la forme en déduire le sens de variation
de f.
Calculer et
Tracer la courbe représentative de f en y faisant apparaître les conséquences des calculs de limites.
D Exercices d’apprentissage
f x( ) 2x 3 – 10x2 5x , – += g x( ) 5x 3 –
x2 2x+
-----------------= h x( ) x3 2x –
x – 2+---------------- .=
f x( ), g x( ) h x( ) ∞+ ∞ –
–2 00
21
1
2
3
4
5
3 4 5–1
–1
–2
–4 –3
*.
f x( ) ?x
∞
+ →lim
f x( ) ?x
∞
– →lim
f x( )x ∞ – →
lim 2 – = f x( )x ∞+ →
lim 1.+ =
f x( ) 2x2 3+
x2 1+-----------------.=
f x( ) f x( ) 21
x2 1+
-------------- ; + =
f x( )x ∞+ →
lim f x( )x ∞ – →
lim .
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40
Séquence 5 – MA12
.
Activité 4
Le plan rapporté à un repère orthonormal
On reprend les fonctions et définies dans l’activité 1 sur respectivement par :
et
À tout nombre réel positif x, on fait correspondre les points et d’abscisse x, apparte-nant respectivement aux courbes et H le point de coordonnées
On appelle et les aires respectives des triangles et
a.
Exprimer et en fonction de x.
b.
Compléter le tableau suivant :
c.
Commenter les résultats obtenus.
.
Activité 5
Compléter le tableau ci-dessous, quand c’est possible.
Compléter a.
si b.
si c.
si
Déterminer l’ensemble des x tels que : a.
b.
Déterminer l’ensemble des x tels que : a.
b.
A Activités
x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,000 1
x 0,000 1 0,001 0,01 0,5 1
Limite d’une fonction en a réel n’appartenant pas à son ensemble de définition
O ; i j,( ).
f 1, f 2 f 3 0 ∞[+ ,]
f 1 x( ) 2
x------,= f 2 x( ) 2
x--= f 3 x( ) 2
x2-----.=
M1, M2 M3C1, C2, C3 x 0,( ).
S1 x( ), S2 x( ) S3 x( ) OM1H, OM2H OM3H.
S1 x( ), S2 x( ) S3 x( )
S1 x( )
S2 x( )
S3 x( )
1 – 0 5, – 0 1, – 0 001, – 0 000 1, –
1x--
1
x2-----
1
x------
1x-- 105> ... x ... ; < < 1
x-- 1010> ... x ... ; < < 1
x-- 105 – < ... x ...< <
1x2----- 1 000 ; > 1
x2----- 1010.>
1
x------ 1 000 ; > 1
x------ 1010.>
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Séquence 5 – MA12
41
Une première précision
Soit f une fonction usuelle (fonction polynôme, rationnelle, trigonométrique ou définie à l’aide defonctions racines carrées).
Nous dirons, conformément à l’intuition :
Si a appartient à l’ensemble de définition de f,
Fonctions de référence ayant une limite égale àl’infini en 0
Les résultats obtenus dans l’activité 5 nous amènent à dire :
tend vers quand x tend vers 0 par valeurs supérieures
ou tend vers quand x tend vers 0 à droite.
Nous écrirons
tend vers quand x tend vers 0 par valeurs inférieures
ou tend vers quand x tend vers 0 à gauche.
Nous écrirons
tend vers quand x tend vers 0.
Nous écrirons
tend vers quand x tend vers 0.
Nous écrirons
B
Cours
f x( )x a→lim f a( ).=
Exemple 2x 3 –
x 5 – --------------
x 2→lim
4 3 –
2 3 – ----------- 1 – .= =
1x-- ∞+
1x-- ∞+
1x--
x 0+→lim ∞.+ =
1
x
-- ∞ –
1x-- ∞ –
1x--
x 0–→lim ∞ – .=
1
x2----- ∞+
1
x2-----
x 0→lim ∞.+ =
1
x------ ∞+
1
x------
x 0→lim ∞+ .=
T éorème 1x---
x 0+→lim ∞ ; + =
1x---
x 0
–
→ lim ∞ – ,=
1
x2-----
x 0→lim ∞ ; + =
1
x ------
x 0 → lim ∞.+ =
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42
Séquence 5 – MA12
Interprétation graphique
Prenons le cas de f définie sur par f n’est pas définie pour
Cependant « l’écart » entre la courbe représentative de cette fonction et l’axe des ordonnéespeut être rendu aussi petit qu’on veut.
Un exemple en est donné par MH pour x positif et pour x négatif. D’une façon plus générale,cet « écart » est égal à qui peut effectivement être rendu arbitrairement « petit ».
On dit que l’axe des ordonnées est une asymptote de
Autre exemple ci dessous concernant
Limite de l’inverse d’une fonction dont la limiteest égale à 0
a.
Étude de quelques exemplesSoit f la fonction définie sur
par
Quel est le comportement de quand x tend vers 2 ?
Dire que x tend vers 2 signifie que tend vers 0.
Que dit la calculatrice ?
* f x( ) 1x--.= x 0.=
C( )
M′H′x
C( ).
f : x1
x2-----.
H'M'
O
H M
H
O
M
x1
x2-----x
1x--
Premier exemp e f x( ) x 2. – =
1f x( )---------
Remarque x 2 –
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Séquence 5 – MA12
43
Conjectures :
On notera sur la courbe l’asymptote d’équation (L’autre droite qui apparaît est la droited’équation
Soit g la fonction définie sur
par
Quel est le comportement de quand x tend vers 3 ?
Que dit la calculatrice ?
Conjectures :
(Sur le graphique ci-dessus, la parabole qui apparaît est la parabole d’équation On« devine » l’existence d’une asymptote d’équation
b.
Résultat admis
Si une fonction tend vers 0, son inverse tend vers l’infini.
(Le signe est le signe de la fonction).
Les théorèmes généraux concernant les détermination de limites, énoncés pour x tendant verss’appliquent de la même façon quand x tend vers a réel.
Si ou on dit que la droite d’équation est une asymptote de la
courbe représentative de la fonction f
.
Exercice 1
Reprenons les exemples de l’activité 4
(Paragraphe
)
C
Exercices d’application
1
f x( )---------
x 2–→lim ∞ ; – =
1f x( )---------
x 2
+ → lim ∞.+ =
x 2.=y x 2). – =
Deuxième exemple
g x( ) x 3 – ( )2 ; = g 3( ) 0.=
1g x( )----------
1
g x( )----------
x 3→
lim ∞.+ =
y x 3 – ( )2.=x 3 )=
T éorème
∞,+ Dé inition f x( )
x a→lim ∞+ = ∞, – x a=
S1 x( ) x
x------ x ; = = S1 x( )
x 0 → lim 0=
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44
Séquence 5 – MA12
(Paragraphe 2, x étant ici un nombre réel positif)
Exercice 2
Soit f définie sur par calculer et
Pour tout donc
Pour donc ainsi
(N’oublions pas que
Pour donc ainsi
(Ces résultats se visualisent sur l’écran de la calculatrice ; on y « devine » également l’existence d’uneasymptote d’équation
Exercice 3
Soit f définie sur par Calculer
Pour tout
donc
En effet, dans cet exemple, que x soit inférieur ou supérieur àest un nombre réel positif.
Finalement,
(Existence d’une asymptote d’équation
Exercice 5
Soit f définie sur par Calculer et
Soit f définie sur par Calculer et
D
Exercices d’apprentissage
S2 x( ) xx-- 1 ; = = S2 x( )
x 0 → lim 1.=
S3 x( ) x
x2-----
1x-- ; = = S3 x( )
x 0 → lim ∞.+ =
– 1{ } f x( ) 2x 3 –
x 1 – -------------- ; =
2x 3 –
x 1 – --------------
x 1–→lim
2x 3 –
x 1 – --------------
x 1–→lim
Réponse x 1,≠ 2x 3 –
x 1 – -------------- 2x 3 – ( ) 1
x 1 – ----------- ; ×= 2x 3 – ( )
x 1 →
lim 1 ; – = x 1 – ( )x 1 → lim 0,=
1
x 1 – -----------
x 1→lim ∞.=
x 1,> x 1 0,> – 1
x 1 – -----------
x 1+→lim ∞ ; + =
2x 3 –
x 1 – --------------x 1+→lim ∞. – =
2x 3 – ( )x 1→lim 1 ). – =
x 1,< x 1 – 0,< 1
x 1 – -----------
x 1–→lim ∞ ; – =
2x 3 –
x 1 – --------------
x 1–→lim ∞+ .=
x 1 )=
– 2 – { } f x( ) x 1 –
x 2+( )2-------------------.=
x 1 –
x 2+( )2-------------------.
x 2 – →lim
Réponse x 2, – ≠ x 1 –
x 2+( )2------------------- x 1 – ( ) 1
x 2+( )2------------------- ; ×= x 1 – ( )
x 2
–
→ lim 3 ; – = x 2+( )2
x 2
–
→
lim 0,=
1
x 2+( )2-------------------
x 2 – →lim ∞.+ =
2, – x 2+( )2
x 1 – ( )x 2+( )2-------------------
x 2 – →lim ∞. – =
x 2 ) – =
– 3{ } f x( ) x2 4x –
x 3 –
---------------- .= f x( )x 3–→
lim f x( ).x 3+→
lim
– 4{ } f x( ) x 1 –
x – 4+----------------.= f x( )
x 4–→lim f x( ).
x 4+→lim
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Séquence 5 – MA12 45
Soit f définie sur par Calculer et
Soit f définie sur par Calculer
Exercice 6
Soit f définie sur par
Étudier la parité de f et montrer que
En décomposant f à l’aide de fonctions élémentaires (fonctions carré, inverse, affine...) déterminer
le sens de variation de f sur et sur Quel est le sens de variation de f sur
et sur
Calculer et Que dire de et
Calculer et
Représenter graphiquement la fonction f en faisant apparaître les conséquences des calculs delimites.
Exercice 7
Voici la représentation graphique d’une fonction f sur
Quelles sont les limites attendues de f aux bornes de D ?
– 1{ } f x( ) 3x 2 – 5
x 1 – -----------.+= f x( )
x 1–→lim f x( ).
x 1+→lim
1 ∞[+ ,] f x( ) 2x 3 –
x 1 –
--------------- ; = f x( ).x 1→lim
– 1 1, – { } f x( ) x2
x2 1 – --------------.=
f x( ) 11
x2 1 – --------------+=
0 1[,[ 1 ∞[.+ ,] ∞ – 1[ – ,]
1 – 0 ] ?,]
f x( )x 1–→
lim f x( ).x 1+→
lim f x( )x 1–→
lim f x( ) ?x 1
+
→lim
x2
x2 1 –
--------------x ∞+ →
limx2
x2 1 –
--------------.x ∞ – →
lim
y
x1 2 3 40
0
2
–2
–4
–1–2–3–4
D – 0 1,{ }.=
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46
Séquence 5 – MA12
Exercice 8
L’énoncé suivant contient une incohérence.
Elle peut être corrigée de deux façons au moins.
Donner les deux versions rectifiées de cet énoncé et tracer dans chacun des cas une courbe représen-tative possible.
« Une fonction f est croissante sur et décroissante sur
»
Exercice 9
On considère trois fonctions f, g et h définies sur par et
On appelle et leur courbes représentatives respectives dans le plan rapporté à un
repère orthonormal
Quel est le sens de variation de chacune de ces fonctions ?
Étudier les positions relatives des trois courbes.
Calculer les limites de et lorsque x tend vers
À tout réel on associe les points A, B et C d’abscisse x situés respectivement sur chacune deces courbes et
Soit M le point de coordonnéesOn appelle et respectivement les aires des triangles OAM, OBM, et OCM.
a) Simplifier et
b) Calculer les limites de et quand x tend vers
∞ – 1[,] 1 ∞[ ; + ,]
f x( )x ∞ – →
lim 1 ; – = f x( )x ∞
+
→ lim 1 ; = f x( )
x 1–→lim ∞ ; – = f x( )
x 1+→ lim ∞+ =
0 ∞[+ ,[ f x( ) 1x 1+----------- ,= g x( ) 1
x 1+
----------------=
h x( ) 1
x 1+( )2-------------------.=
F( ), G( ) H( )
O ; i j,( ).
f x( ), g x( ) h x( ) ∞.+ x 0,>
F( ), G( ) H( ).
x 0,( )a x( ), b x( ) c x( )
a x( ), b x( ) c x( ).
a x( ), b x( ) c x( ) ∞.+
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Séquence 5 – MA12
47
Activité 6
Soit f la fonction définie sur par de courbe représentative
Calculer et
Montrer que pour tout
Soit la droite d’équation On pose Que dire de
Étudier les positions relatives de et
x désignant un nombre réel positif, on appelle M et N les points appartenant respectivement àet d’abscisse x. Interpréter géométriquement
Soit f une fonction de courbe représentative
peut admettre trois types d’asymptotes :
Les asymptotes horizontales
(rencontrées dans le Chapitre 1)
On dit qu’une droite d’équation est une asymptote de en si
De même d’équation est une asymptote de en si
Les asymptotes verticales
(rencontrées dans le Chapitre 2)
On dit qu’une droite d’équation est une asymptote de si ou
Les asymptotes obliques
On dit qu’une droite d’équation est une asymptote de en si
De même est une asymptote de en si
Dans l’activité 6, la droite d’équation est une asymptote oblique de en
Les asymptotes horizontales sont des cas particuliers des asymptotes obliques ; en effet,pour
A
Activité
B
Cours
Asymptotes
I 0 ∞[+ ,]= f x( ) x2 x 1+ +
x-----------------------= C( ).
f x( )x 0→lim f x( ).
x ∞+ →lim
x I,∈ f x( ) x 11x-- .+ +=
Δ( ) y x 1.+= d x( ) f x( ) x 1+( ). – =d x( ) ?
x
∞+ →lim
C( ) Δ( ).
C( )Δ( ) d x( ).
x ∞+ →lim
Dé initions C( ).
C( )
Δ( ) y b= C( ) ∞+ f x( )x ∞+ →
lim b.=
Δ( ) y b= C( ) ∞ – f x( )x ∞ – →
lim b.=
Δ( ) x a= C( ) f x( )x a→lim ∞+ = ∞. –
Δ( ) y ax b+= C( ) ∞+ f x( ) ax b+( ) – [ ]
x ∞+ →lim 0.=
Δ( ) C( ) ∞ – f x( ) ax b+( ) – [ ]x ∞ – →
lim 0.=
y x 1+= C( ) ∞.+
Remarque ax b + b =
a 0.=
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48
Séquence 5 – MA12
Montrer que la droite d’équation est une asymptote en de la courbe représentative C
de la fonction
La droite Δ
d’équation est une asymptote en de la fonction f si
Or d’après le théorème donnant la limite à l’infini d’une fonction ration-
nelle, et
Donc, Δ
est une asymptote de C en
De plus, est positif pour tout donc, pour tout
Sur la courbe C se trouve au dessus de la droiteΔ
.
Exercice 10
Soit f la fonction définie sur par de courbe représentative Γ
dans un
repère orthonormal
Montrer que la droite d’équation est une asymptote de Γ en
Γ admet une seconde asymptote ; en donner l’équation.
Résoudre l’équation En déduire que Γ admet une tangente horizontale et que Γ se situeau dessus de cette tangente.
Tracer cette tangente, les deux asymptotes, puis la courbe Γ que l’on s’attend à trouver, sans fairede nouveaux calculs.
Exercice 11
Le plan rapporté à un repère orthonormal
A est le point de coordonnées
À tout réel x on associe le point M de coordonnées
C Exercice d’application
D Exercices d’apprentissage
y x 2 – = ∞+ f : x
x
2
x 2+-----------.
Réponse y x 2 – = ∞+ f x( ) x 2 – ( ) – [ ]
x ∞+ →lim 0.=
f x( ) x 2 – ( ) – x2
x 2+----------- x 2 – ( ) –
x2 x2 4 – ( ) –
x 2+------------------------------
4x 2+----------- .= = =
4
x 2+-----------
x ∞+ →lim
4x--
x ∞+ →lim=
4x--
x ∞+ →lim 4
1x--×
x ∞+ →lim 0.= =
f x( ) x 2 – ( ) – [ ]x ∞+ →lim 0,= ∞.+
f x( ) x 2 – ( ) – 4
x 2+-----------= x 2 ; – > x 2, – >
f x( ) x 2 – ( ).>
2 – ∞[,+ ,]
2 ∞[+ ,] f x( ) x2 3x – 3+
x 2 – --------------------------=
O ; i j,( ).
y x 1 – = ∞.+
f ′ x( ) 0.=
O ; i j,( ).
0 1,( )
x 0,( ).
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Séquence 5 – MA12
49
Exprimer la distance AM en fonction de x. On appelle f la fonction qui à x associe AM.
Montrer que f est une fonction paire ; fallait-il s’y attendre ?
Décomposer f en fonctions élémentaires ; en déduire le sens de variation de f.
Montrer que peut s’écrire sous la forme En déduire que la droite d’équa-
tion est une asymptote de la courbe représentative de f en Interpréter géométrique-
ment ce résultat. Déterminer une équation de l’asymptote de en
Tracer les deux asymptotes et la courbe
f x( ) x – 1
x2 1+ x+
--------------------------- .
y x= C( ) ∞.+ C( ) ∞. –
C( ).
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50
Séquence 5 – MA12
Limite d’une fonction en
Fonction de limite ou
Fonctions de référence ayant pour limite
Fonctions de limite
On dit que si
Théorèmes généraux
Fonction de limite réelle
Fonctions de référence ayant pour limite 0
Fonction ayant une limite réelle
Étant donné un nombre réel λ
, on dit que si
Théorèmes généraux
Si une fonction tend vers l’infini, son inverse tend vers 0.
Si Alors
Si Alors
λ μ
si
∞ μ ∞ ∞ si ∞
0
λ ∞ ∞ ∞ si si
Synthèse de connaissances
∞+
∞+ ∞ – ∞+
xx ∞+ →
lim ∞+ = x2
x ∞+ →lim ∞+ = x3
x ∞+ →lim ∞+ = x
x ∞+ →lim ∞.+ =
∞ – f x( )
x ∞+ →lim ∞ – = f x( ) –
x ∞+ →lim ∞.+ =
f x( )x ∞+ →
lim = g x( )x ∞+ →
lim = f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →
lim f x( ) g x( )×x ∞+ →
lim k f x( )×x ∞+ →
lim
∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞
∞ – ∞ – ∞ – ∞+ ∞
∞+ ∞ – ∞ – ∞
T éorème 1x---
x ∞+ →lim 0=
1
x2-----
x ∞+ →lim 0=
1
x3-----
x ∞+ →lim 0=
1
x------
x ∞+ →lim 0.=
f x( )x ∞+ →
lim λ = f x( ) λ – [ ]x ∞+ →
lim 0.=
f x( )x ∞+ →
lim = g x( )x ∞+ →
lim = f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →
lim f x( ) g x( )×x ∞+ →
lim k f x( )×x ∞+ →
limf x( )---------
x ∞+ →lim
λ μ+ λ μ× k λ × 1λ --- λ 0≠
μ 0≠
λ 0≠ k λ × 1λ --- λ 0≠
Retenir
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Séquence 5 – MA12 51
Limite d’une fonction en
Les théorèmes généraux cités dans le cas où x tend vers s’appliquent de la même façon quand xtend vers
Cas particuliers
Fonctions polynômes
La limite à l’infini d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus hautdegré.
Fonctions rationnelles
La limite à l’infini d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses termesde plus haut degré.
Limite d’une fonction en a réel n’appartenant pasà son ensemble de définition
Fonctions de référence ayant une limite en 0 égale à l’infini
Limite de l’inverse d’une fonction dont la limite est 0
Si une fonction tend vers 0, son inverse tend vers l’infini.
Asymptotes
Asymptotes horizontales
Une droite d’équation est une asymptote de en si
d’équation est une asymptote de en si
Asymptotes verticales
Une droite d’équation est une asymptote de si (ou
Asymptotes obliques
Une droite d’équation est une asymptote de en si
est une asymptote de en si
∞ – T éorème x
x ∞ – →lim ∞ ; – = x2
x ∞
–
→ lim ∞+ ; = x3
x ∞ – → lim ∞ ; – =
1x---
x
∞
–
→ lim 0 ; =
1
x2-----
x ∞
–
→ lim 0 ; =
1
x3-----
x ∞ – →lim 0.=
∞+ ∞ –
T éorème
T éorème
T éorème 1
x
---
x 0+→
lim ∞ ; + = 1
x
---
x 0–
→
lim ∞ – ,= 1
x2
-----
x 0→
lim ∞ ; + = 1
x
------
x 0→
lim ∞.+ =
Théorème
Δ( ) y b= C( ) ∞+
f x( )x ∞+ →lim b.=
Δ( ) y b= C( ) ∞ – f x( )x ∞ – →
lim b.=
Δ( ) x a= C( ) f x( )x a→lim ∞.+ = ∞) –
Δ( ) y ax b+= C( ) ∞+ f x( ) ax b+( ) – [ ]
x ∞+ →lim 0.=
Δ( ) C( ) ∞ – f x( ) ax b+( ) – [ ]x ∞ – →
lim 0.=
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52 Séquence 5 – MA12
Exercice 1Un cycliste monte un col à la vitesse myenne de 10 km/h.
Il en redescend par la même route à la vitesse moyenne de 30 km/h.
Montrer que sa vitesse moyenne sur l’aller-retour est égale à 15 km/h.
On suppose maintenant qu’il descend le col à une vitesse moyenne appelée (en km/h)
a. Montrer que sa vitesse moyenne sur l’aller-retour est donnée par
b. Montrer que la fonction f est croissante sur
c. Calculer Interpréter ce résultat.
d. Donner une interprétation de ce résultat, indépendamment des calculs précédents.
c. Tracer la courbe représentative C de f et son asymptote dans le plan rapporté à un repère orthonor-
mal
Exercice 2
Soit .
Conjecturer, à l’aide de la calculatrice la valeur prise par A.
Calculer A en remarquant que cette limite est un nombre dérivé.
Exercice 3
Sur la figure ci-contre :
ABCD est un carré de côté 1,
AEFG est un carré de côté x,
EIJF est un rectangle ayant même aire
que celle du polygone hachuré. Exprimer la distance AI, notéeen fonction de x.
Montrer que f est une fonction crois-sante.
Soit C la courbe représentative de lafonction f dans un repère orthonormal
a. Montrer que d’équation est une asymptote de C en .
Donner une interprétation de ce résultat.
b.Tracer les deux courbes et C.
Exercices d’approfondissement
x.
f x( ) 20xx 10+--------------.=
0, ∞+ .[[
f x( )x ∞+ →lim .
O ; i j,( ).
A3x 1+ 1 –
x----------------------------
x 0→lim=
B E I
JF
C
G
D
A
x 1 ; >
f x( )
O ; i j,( ).
Δ y 2x= ∞+
Δ
© Cned – Académie en ligne
5/10/2018 Applications Du Produit Scalaire - Limites de Fonctions Et Asymptotes - slidepdf...
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Séquence 5 – MA12
53
Aide aux exercices d’approfondissement
Exercice 1
Appeler d la distance parcourue pendant la montée et exprimer en fonction de d la durée totale dela montée et de la descente.
a.
Procéder de même.
b.
Que fait la vitesse moyenne quand la vitesse du retour augmente ?
c.
Constater que, bien évidemment, la durée de l’aller-retour ne peut pas être inférieure à la durée dela montée.
Exercice 2
Considérer comme étant si
Exercice 3
Pour l’étude des variations de la fonction f, écrire sous la forme et utiliser les
variations des fonctions élémentaires.
■
3x 1+ 1 –
x----------------------------
x 0→lim f ′ 0( ) f x( ) 3x 1+=
f x( ) f x( ) 2x1x-- – =