Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare:Appunti

Preparati da D.Gamba

January 6, 2006

Part I

Stabilita’ nucleare e fisica del neutrone

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Chapter 1

Introduzione e concetti base

Nel secolo che segui’ la scoperta del nucleo da parte di Rutherford, numerose applicazioni hannobeneficiato: 1) delle proprieta’ del nucleo, 2) delle tecniche di misure nucleari, 3) degli acceler-atori di particelle, 4) dei sensori nucleari. Queste applicazioni trovano spazio nelle piu’ svariatediscipline, come ad esempio la medicina, la biologia, l’arte, l’archeologia, l’energia, la scienza deimateriali, le scienze naturali,l’esplorazione spaziale,lo studio dell’ambiente e non ultimo per im-portanza il settore bellico. C’e’ da rilevare che molte di queste applicazioni sono molto specificheed hanno un piccolo impatto sulla vita quotidiana, mentre altre hanno un grande impatto.

L’approccio ai diversi argomenti e’ fatto principalmente dal punto di vista sperimentale, partendodai principi fisici fondamentali, con esempi illustrativi.Gli argomenti trattati nel Corso

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riguardano solo alcuni aspetti degli impieghi delle tecniche di fisica nucleare, in particolare nelcampo dell’energia e dell’analisi strutturale. Si rimandaai corsi specifici per l’approfondimentosopratutto della fisica nucleare. Particolare cura sara’ posta nella risoluzione dei problemi,convinto che imparare a risolvere i problemi e’ parte integrale dell’imparare e capire la fisica.

1.1 Richiami

1.1.1 Costituenti base del nucleo ed atomo

Un nucleo atomico e’ la parte centrale massiva di un atomo consistente diA nucleoni:Z protoni eN neutroni; conA si indica la numero di massa eZ il numero atomico. Le dimensioni nuclearisono espresse in fermi, o femtometri, dove 1fm = 10−15m mentre quelle atomiche sono di 4 ordinidi grandezza maggiori.Le proprieta’ base dei costituenti atomici sono illustratenella seguente tabella:

carica massa(u) spin(~) momento angolare(J T−1)protone e 1.007276 1/2 1.411×10−26

neutrone 0 1.008665 1/2 -9.66×10−27

elettrone −e 0.000549 1/2 9.28×10−24

Il protone ha carica positiva pari a e=1.6022× 10−19 C (Coulomb). La massa e’ espressa in unita’atomiche di massa (u), tale che la massa atomica dell’atomo12

6 C6 e’ esattamente 12.000 u.

1.1.2 Isotopi, isotoni e isobari

Isotopi di un elemento sono atomi i cui nuclei hanno lo stezzoZ, ma diverso N. Essi hanno lastessa struttura elettronica e quindi simili proprieta’ chimiche. Ad es. l’idrogeno ha tre isotopi:11H0, 2

1H1 e 31H2, i cui nuclei sono rispettivamente il protone p, il deutone ded il tritone t. Pure il

carbonio ha tre isotopi naturali:126 C6, 13

6 C7 e 146 C8. Nuclei con lo stesso N ma diverso Z sono

chiamatiisotonie nuclidi con lo stesso numero di massa A sono indicati comeisobari. Nelrappresentare una specie nucleare onuclidesi omette sia Z che N in quanto A=Z+N e la Z e’fissata dal simbolo dell’elemento chimico, cosi’ con3H si indica il nuclide e si sa che per ilsimbolo H la Z vale 1 e quindi N=2, o come con235U si intende il nuclide Uranio che ha Z=92; ilnuclide Uranio ha tre isotopi:233U,235U e 238U. In pratica per le applicazioni sono usati tutti glielementi, fino a Z=94 (Plutonio), ma quelli piu’ importanti per le applicazioni sono solo pochedecine.

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Figure 1.1: Masse atomiche

1.1.3 Masse nucleari ed energia

All’interno del nucleo, neutroni e protoni interagiscono l’un l’altro e sono confinati nel volumenucleare sotto l’influenza delle forze nucleari attrattiveed elettromagnetiche repulsive. L’energiadi legame ha un effetto diretto sulle masse di un atomo.

Alla scala atomica, 1 u e’ equivalente a 931.5 MeV/c2, questo spiega perche’ variazioni diqualche electron volt non ha effetto sulla massa dell’atomo, mentre le energie nucleari ( ricordarela relazione di Einstein E=mc2) hanno sensibili effetti sulle masse atomiche.Piu’ alte le masse maggiore e’ l’energia e meno stabile e’ il nuclide ( si puo’ pensare al nuclidecome ad uno stato eccitato), per cui se il nuclide puo’ diminuire la sua energia attraverso ladisintegrazione esso lo fara’.L’energia di legame B, obinding energy, di un nucleo si intende come illavoro richiestoperseparare il nucleo nei suoi nucleoni costituenti, oppure come l’energia rilasciatadurante laformazione del nucleo dai suoi costituenti. La massa di un atomo e’ minore della massa dei suoicostituenti di una quantita’ pari alla massa equivalente diB, cioe’

m(A, Z) = ZmH + Nmn − B/c2 (1.1)

dove m(A,Z), mH e mn sono le masse atomiche del nuclide, di un atomo di idrogeno e di unneutrone e B e’ espresso in unita’ di energia.

La relazione assume che le energie di legame degli elettroni( dell’ordine degli eV ) nei diversiatomi siano trascurabili. Tutti gli effetti delle forze agenti sui nucleoni all’interno del nucleo sonocontenuti nel termine di energia di legame. Una variazione della energia di legame induce unavariazione trascurabile nella massa atomica, la cui unita’di massa e’ equivalente a circa 1 GeV.La differenza tra la massa atomica ( in unita’ di massa atomica) ed il numero atomico,∆ =m(A,Z) - A, e’ chiamatomass excess; se si plotta∆ vs il numero di massa A, si ha la seguentecurva con un minimo attorno ad A∼ 50,Fig. 1.3

Si distinguono due regioni,∆ < 0 e∆ > 0. ∆ < 0, per 20< A <180 significa che il nuclide hamassa minore rispetto alla somma dei componenti e quindi lo stato finale e’ piu’ stabile di quello

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Figure 1.2: Scala atomica

Figure 1.3: Mass Excess

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Figure 1.4: Binding energy per nucleone

iniziale, indica inoltre che bisogna fornire energia se si vuole passare dallo stato di nuclide allostato iniziale di singoli nucleoni individuali.∆ >0, per 20>A> 180, invece indica che il nuclidee’ instabile perche’ ha un eccesso di massa e quindi cerchera’ di portarsi in una condizione stabilemediante decadimento radioattivo.L’energia di legame nucleare cresce col numero atomico A e quindi per comodita’ si parla dienergia di legame per nucleone B/A, il cui andamento in funzione di A e’ mostrato in Fig. 1.4

La caratteristica piu’ evidente della curva B/A e’ che e’ approssimativamente costante attorno a8MeV per nucleone, eccetto che per nuclei molto leggeri o molto pesanti. La costanza B/Aimplica un effetto di saturazione nelle forze nucleari e quindi che la forza tra nucleoni e’ a cortorange.Il rapido aumento iniziale di B/A per nuclei molto leggeri sipuo’ spiegare come il risultato dellacompetizione tra effetti di volume, che vorrebbe B crescerecome A ed effetti di superficie cheinvece vorrebbe B decrescere con A come A2/3. All’altro estremo della curva B/A vs A, lagraduale discesa di B/A per A>100 si puo’ spiegare come l’effetto della repulsione coulombianache diventa piu’ importante man mano che il numero di protoninel nucleo cresce.Si puo’ utilizzare la curva B/A per un breve calcolo per stimare l’energia rilasciata nelle reazionidi fissione ( rottura ) e fusione ( unione ). Si supponga di avere una rottura simmetrica di unnucleo con A∼ 240 con due frammenti ciascuno di massa A/2. La reazione conduce ad uno statofinale con B/A di circa 8.5 MeV, che e’ circa 1 MeV piu’ grande della B/A dello stato iniziale.Quindi l’energia rilasciata per la reazione di fissione si puo’ stimare in 240 MeV, ( calcoli piu’accurati indicano 200 Mev). Per una reazione di fusione, ad esempio2H + 2H→4He, i valori diB/A di 2H e 4He sono rispettivamente 1.1 e 7.1 MeV/nucleone. Il guadagnoin B/A e’ circa 6MeV/nucleone e quindi l’energia rilasciata per una reazione di fusione e’∼ 24 MeV.

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1.1.4 Energia di legame e reazioni nucleari

Il concetto dibinding energysi puo’ anche applicare alle reazioni a due corpi dove lo statoiniziale consiste di una particellai incidente su un nucleo targhettaI e lo stato finale consiste diuna particella uscentef ed un nucleo residuoF .La reazione si puo’ scrivere come:

i + I → f + F + Q (1.2)

doveQ e’ un’energia chiamata ”Q-value” della reazione. Corrispondentemente, si ha ladefinizione

Q ≡ [(Mi + MI) − (Mf + MF )]c2 (1.3)

dove per M si intendono le masse atomiche. Ogni reazione nucleare ha un caratteristicoQ − value; la reazione e’ dettaesotermica(endotermica) per Q>0 (Q<0) quando l’energia e’rilasciata(assorbita). Cosi’ una reazione endotermica non puo’ avvenire a meno che non vengafornita energia in piu’ oltre una certa soglia. Spesso questa energia e’ l’energia cinetica dellaparticella incidente. Si puo’ esprimere Q in termini di energia cinetica invocando laconservazione dell’energia totale, che vale per ogni reazione:

Ti + Mic2 + TI + MIc

2 → Tf + Mfc2 + TF + MF c2 (1.4)

Combinando questa relazione con la (1,3) si ottiene perQ

Q = Tf + TF − (Ti + TI) (1.5)

Poiche’ le masse si possono esprimere in termini di energia di legame, un’altra espressione di Qe’ la seguente

Q = B(f) + B(F ) − B(i) − B(I) (1.6)

Ad esempio la Q della reazione di cattura neutronica del boro, tecnica usata nella medicinanucleare, che e’ basata sulla reazione

105 B + n →7

3 Li +4 He + Q (1.7)

vale Q = B(Li)+B(α)-B(B) = 39.245+28.296- 64.750 = 2.791 MeV. La reazioe e’ esotermica,quindi puo’ essere indotta da un neutrone con poca energia cinetica, neutrone termico. Il modopiu’ pratico per calcolare ilQ − value e’ di usare le masse a riposo dello stato iniziale e quellofinale. In molte reazioni di interesse ilQ − value varia tra 1-5 MeV. Una eccezione importante e’la fissione, dove Q∼ 170-210 MeV a seconda dello stato finale).

1.1.5 Energia di separazione

La definizione di energia di legame, qui adottata, implica uno stato finale dove tutti i nucleonisono separati e distanti l’un l’altro. Si puo’ definire un’altra energia di legame in cui lo stato finale

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e’ uno stato che comprende la separazione diun solo nucleone. L’energia richiesta per separareuna particellaa dal nucleo e’ detta energia di separazione Sa. Questa e’ anche l’energia rilasciata,o energia disponibile per la reazione quando la particellaa e’ catturata. Il bilancio energetico e’quindi

Sa = [Ma(A′

, Z′

) + M(A − A′

, Z − Z′

) − M(A, Z)]c2 (1.8)

in cui a e’ trattato come un ’nucleo’ con numero atomico Z′

e numero di massa A′

. Per unneutrone, ad esempio, si ha

Sn = [Mn + M(A − 1, Z) − M(A, Z)]c2 (1.9)

La Sn e’ chiamato nella letteratura energia di legame dellast neutron. La Sn variera’ da nucleo anucleo; nel range dove B/A e’ quasi costante si puo’ stimare dalla curva B/A che Sn ∼ Sp ∼ 8MeV, mentre per i nuclei piu’ pesanti Sn ∼ 5-6MeV. Quando un nucleo M(A-1,Z) assorbe unneutrone vi e’∼ 1MeV di differenza ( o piu’ quasi fino a 4 MeV in certi casi) tra il neutroneassorbito nella condizione di neutrone pari o neutrone dispari.

La differenza e’ la ragione per cui235U puo’ iniziare una reazione di fissione con neutroni termici(E<1MeV), mentre per l’238U sono necessari neutroni veloci (E>1MeV). Le energie diseparazione di neutroni e protoni hanno un comportamento sistematico che si puo’ riassumerecosi’:

Sn(N pari)>Sn(N dispari) per un dato Z, Sp(Z pari)> Sp(Z dispari) per un dato N

Questo effetto e’ attribuito alla proprieta’ dipairing delle forze nucleari, spiegabile conl’esistenza di una forza di legame tra coppie di nucleoni identici nel medesimo stato che hannomomento angolare totale che punta in direzioni opposte. Questa e’ anche la ragione dellaeccezionale stabilita’ della particellaα, i nuclei pari pari sono piu’ stabili.

1.1.6 Abbondanza sistematica dei nuclidi stabili

La carta di stabilita’ si costruisce plottando il numero di Neutroni vs il numero atomico Z per tuttii nuclidi stabili.Il risultato, in Figura 1.5, mostra che

N∼ Z per bassi A, mentre N>Z per alti A.Si puo’ facilmente spiegare come per i nuclei pesanti la repulsione coulombiana favorira’ unadistribuzione neutrone-protone con piu’ neutroni che protoni, piu’ difficile spiegare perche’ debbaesserci ugual numero di protoni e neutroni per i nuclidi leggeri; si puo’ notare che avere piu’neutroni che protoni significa che il nucleo e’ in uno stato dienergia piu’ alto e quindi menostabile. Questo effetto di simmetria e’ piu’ evidente per bassi A e meno ad alti A. Dalla Figura1.5 si puo’ notare che:

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Figure 1.5: Carta della stabilita’

i. Nel caso di A dispari, esiste un solo isobaro stabile, eccetto per A=113,123.

ii. Nel caso di A pari, esistono solo nuclidi pari-pari, eccetto A=2,6,10,14.

A Z N Type N. stabili+long lived Grado di stabilita’ N.tipico nuclidi stabiliEven Even Even e-e 166+11=177 High 2-3Odd Even Odd e-o 55+3=58 Fair 1Odd Odd Even o-e 51+3=54 Fair 1Odd Odd Odd o-o 6+4=1 low 0

1.2 Formula empirica dell’energia di legame e parabola dellemasse

La curva dell’energia di legame descrive come la stabilita’dei nuclidi varia col numero di massaA. La curva e’ derivata da dati sperimentali sulle masse atomiche. Un modo di analizzare la curvae’ quello di decomporre l’energia di legame in vari contributi dalle interazioni fra i nucleoni. Laformula empirica che si considera qui ( Weizsaecker in 1935)e’ basata sul modello a goccia delnucleo. Le assunzioni generali sono:

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1. Il nucleo e’ composto di materia incompressibile, cosi’ R∼ A1/3.

2. La forza nucleare non distinge protoni da neutroni.

3. La forza nucleare satura, short range.

La formula empirica delle masse e’ generalmente scritta in termini della energia di legame

B(A, Z) = avA − asA2/3 − ac

Z(Z − 1)

A1/3− aa

(N − Z)2

A+ δ (1.10)

dove i coefficientia sono determinati fittando i dati delle masse. I coefficientiv,s,c ea riferisconorispettivamente a volume, superficie, carica ed asimmetria, δ indica il termine dipairing che vale

δ = ap/√

A per nuclei e-e , = 0 per e-o,o-e,= −ap/√

A per o-o

dove ap e’ un altro coefficiente da determinare attraverso il fit. Tipici valori per i 5 coefficientisono, espressi in MeV:

av = 16, as = 18, ac = 0.72, aa = 23.5, ap = 11

Il fit ai dati sperimentali non e’ perfetto per cui in letteratura si possono trovare valori leggermentediversi per i coefficienti; in media l’accordo e’ abbastanzabuono ed e’ attorno ai 2 MeV, eccettodove c’e’ un forte effetto della shell, per cui si puo’ aggiungere∼ 1-2 MeV alla formula perrappresentare l’extra legame per i nuclei con shell chiuse di neutroni o protoni.Mentre i primi tre termini della formula empirica di massa sono autoesplicativi in termini dimodello a goccia, il termine di asimmetria si puo’ spiegare come l’energia necessaria pertrasformare un nucleo con N=Z in un nucleo con N>Z. Infatti l’energia necessaria per un nucleoper passare da N=Z→ N>Z sara’ proporzionale al numero di nucleoni da trasformare ecioe’ ν =(N-Z)/2 moltiplicato la differenza di energia dei livelli occupati dai nucleoni prima e dopo lospostamento, che in media e’ pari aν∆; ora essendo∆ ∼ EF /A con EF energia di Fermi che e’indipendente da A, cosi’∆ ∼ 1/A e si ricava l’espressione per il termine di asimmetria.I relativi contributi all’energia di legame per nucleone che mostrano l’importanza relativa dei varitermini della formula semimepirica si possono dedurre dal seguente grafico.

METTERE GRAFICO

Eccetto che per gli estremi del grafico, la formula semiempirica fornisce le energie di legameaccurate al 1% coi dati sperimentali, che significa che le masse atomiche hanno un’incertezza di 1su 104. La formula semiempirica puo’ essere usata per determinarela costante r0 nella relazioneR=r0A1/3infatti compare nei coefficientiav eas; ne risultar0 = 1.24 · 10−13cm.

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1.2.1 Parabola della massa e linea di stabilita’

La formula di massa puo’ essere utilizzata per ricavare la massaM(A, Z)

M(A, Z)c2 ≃ A[Mnc2 − aa + as/A1/3] + xZ + yZ2 − δ (1.11)

dove

x = −4aa − (Mn − MH)c2 ≃ −4aa ey = 4aa

A+ ac

A1/3

La relazione, per A costante, assume la forma di una parabolain Z, il cui minimo si ha per unnumero atomico, ZA, del nucleo stabile per quel dato A. La condizione di minimo richiede che sia∂ M/∂ Z|ZA

=0, per cui

ZA − x/2y ≈ A/2

1 + 14

[

ac

aa

]

A2/3(1.12)

Notare che se si fosse tenuto conto solo dei termini di volume, superficie e Coulomb in B(A,Z), sisarebbe ottenuto la seguente espressione

ZA ≈ (Mn − MH)c2A1/3

2ac

∼ 0.9A1/3 (1.13)

che e’ molto imprecisa nella determinazione del numero di massa, infatti per un nucleo stabile conZA=20 il corrispondente numero di massa risulterebbe∼ 9.000 che chiaramente non e’ realistico.Con un fit ai dati sperimentali dalla relazione precedente (METTERE REFERENZA) si ricavacheac/4aa = 0.0078 che equivale adaa ∼ 20-30 MeV, questo significa che la deviazione dellalinea di stabilita’ da N=Z=A/2 e’ il risultato dell’effettocoulombiano, che favorisce ZA <A/2,diventando relativamente piu’ importante dell’effetto disimmetria che favorisce Z=A/2.I nuclidi instabili per eccesso di neutroni o protoni possono attivare dei processi di decadimentoβche permettono ad un nucleo di cambiare il suo numero atomicoZ mantenendo costante ilnumero di massa A. Un nucleo con troppi protoni puo’ emetterepositroni (e+ o β+) conemissione di neutrino(ν), es.

169 F →16

8 O + β+ + ν (1.14)

e nel caso il nucleo si trovi con neutroni in eccesso puo’ emettere un elettrone e− o β− ed unantineutrinoν convertendo un neutrone in protone, es.

167 N →16

8 O + β− + ν (1.15)

Un processo competitivo col decadimentoβ+ e’ la cattura elettronica (EC). In questo processo unelettrone della shell atomica piu’ interna e’ catturato dalnucleo cosicche’ la carica nucleare e’ridotta da Z a Z-1.

Perche’ il bilancio delle masse atomiche sia mantenuto, ciascun processo di decadimento deveessere energeticamente permesso:

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M(A, Z + 1) > M(A, Z) + 2me β+ decayM(A, Z) > M(A, Z + 1) β− decay

M(A, Z + 1) > M(A, Z) Electron Capture

La relazione parabolica, per un determinato nuclide, permette di prevedere con quali transizioni ilnuclide si spostera’ lungo la parabola delle masse verso il punto di stabilita’. Ricordare che nelcaso di A dispari si ha una sola parabola, mentre per A pari se ne hanno due. Eccetto che per duecasi, A=113 e A =123, nel caso di A dispari c’e’ un solo isobarostabile. Nei due casi citati ladiscrepanza deriva dalle piccole differenze di massa che fasi’ che in ciascun caso uno degliisobari abbia una vita media eccezionalmente lunga. Nel caso di A pari possono esserci piu’isobari stabili pari-pari, il massimo numero trovato e’ 3, mentre per gli isobari dispari-dispariquesti giacciono sulla parabola di massa superiore e ci si aspetterebbe che non ce ne siano distabili, in realta’ ci sono diverse eccezioni, quali2H,6Li,10B e 14N. La spiegazione e’ dovuta aglieffetti di struttura nucleare che nei nuclei leggeri e’ molto forte e non sono tenuti in conto nellaformula di massa. Per certi isobari dispari-dispari entrambi i decadimentiβ possono avvenirenello stesso nucleo.

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Chapter 2

Il neutrone

. Massa:mn = 1.675 × 10−27 Kg

. Carica = 0; Spin = 1/2

. Momento magnetico di dipolo:µn = 1.913µN

. Magnetone nucleare:µN = eh/4πmp = 5.051 × 10−27JT−1

. Energia cinetica =mnv2/2 = kBT = (~k)2/2mn; k = 2π/λ = mnv/(~)

Il neutrone non ha carica elettrica, esso puo’ facilmente penetrare la barrriera coulombiana edattivare reazioni col nucleo. Il neutrone interagisce principalmente col nucleo di un atomo,eccetto nel caso di scattering magnetico, in cui l’interazione coinvolge lo spin del neutrone ed ilmomento magnetico dell’atomo.

Il neutrone come sonda per studiare la struttura atomica e nucleare della materia presenta diversivantaggi:- lunghezza d’onda confrontabile con le distanze interatomiche- Energia cinetica confrontabile con quelle degli atomi neisolidi- Sono penetranti- Interagiscono poco con la materia non avendo carica elettrica e quindi lo scattering e’ pulito- La sensitivita’ isotopica permette di rilevare variazioni di contrasto- Il momento magnetico accoppiato al campo magnetico permette di ”vedere” elettroni spaiatiGli svantaggi nell’impiego dei neutroni sono principalmente:- Le sorgenti di neutroni sono deboli, quindi basso segnale.- Alcuni elementi assorbono facilmente i neutroni, es. Cd,B,Gd.- Limitazione nella cinematica, non puo’ assumere tutti i valori di energy e momentum transfer.Le reazioni avvengono a qualsiasi energia, fino ad un massimodi qualche decina di MeV, e quindie’ importante conoscere la sezione d’urto in funzione dell’energia. I neutroni in un reattorenucleare, ad esempio, hanno energia che varia da 10−3 eV (1meV) a 107 eV (10 MeV) chesignifica un range di 10 ordini di grandezza.

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Si definiscono 5 (4) regioni di energia: cold, thermal, epithermal,( resonance o slow ) , fast; inqueste regioni non tutte le reazioni sono egualmente importanti; quale reazione e’ importantedipende dal nucleo targhetta e dall’energia del neutrone. Le reazioni piu’ importanti sono:

. (n, n) - scattering elastico ( che puo’ essere scattering potenziale e scattering risonante )

. (n, γ) - cattura radiattiva

. (n, n′

) - scattering inelastico, la reazione produce eccitazione dei livelli nucleari

. (n, p), (n, α) - emissione di particelle cariche

. (n, f) - fissione

Se si e’ interessati ai reattori a fissione le reazioni in ordine di importanza sono fissione, cattura,scattering.

2.0.2 Sorgenti di neutroni

La vita media di un neutrone libero, essendo instabile via decadimentoβ, e’ di circa 10.6 min. Ineutroni sono prodotti con reazioni nucleari e poiche’ non possono essere accelerati, essendoneutri, li si puo’ solodecelerare, partendo dall’ energia iniziale, fino a raggiungere l’energiastabilita per mezzo di collisioni con atomi di materiali. Questo processo di slowing down e’ dettomoderazione dei neutroni, in questo modo si ottengono neutroni che hanno le energie volute,anche molto basse, che si classificano come:- Cold E≤ 0.010 eV- Thermal E≤ 0.100 eV- Epithermal E≤ 1 eV- Slow E≤ 1 KeV- Fast E≤ 10 MeVAttualmente si usano solo due tipi di reazione per produrre neutroni per la ricerca e leapplicazioni su larga scala: fissione nucleare coi reattoridi ricerca enuclearspallation,spallazione nucleare. Per i neutroni da fissione il punto centrale e’ che la loroproduzione e’ sempre accompagnata da produzione di calore ela quantita’ di calore che puo’essere rimossa in modo sicuro limita alla fine il flusso di neutroni disponibile. Questo e’ basso seriferito ad altre sorgenti di radiazione come ad esempio la radiazione gamma da sincrotrone osorgenti di luce laser; un reattore ad alto flusso manda fuori, dopo il monocromatore, un flussodell’ordine di108cm−2s−1 neutroni mentre un laboratorio a raggi X manda un flusso dell’ordinedi 1017cm−2s−1. La Nuclear spallationproduce meno calore della fissione e per questo e’ unatecnica in sviluppo, in piu’ si hanno brevi impulsi di neutroni.

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Figure 2.1: Spettro energia dei N dasorgente Ra-Be

Figure 2.2: Energia dei N in reazione3H(d,n)4He

Sorgenteα-Berillio Una sorgente di neutroni adatta ad essere usata in laboratorio si ottieneattraverso la stessa reazione che ha permesso di scoprire ilneutrone. L’isotopo stabile del Berillio,9Be, ha un neutrone poco legato ( energia di legame 1.7 MeV ), seuna particellaα da undecadimento radiattivo, (5-6 MeV), scattera un nucleo di9Be, viene rilasciato un neutrone conformazione di12C

4He + 9Be→12C + n

Il Q-valuedella reazione e’ 5.7 MeV. Se si mettono insieme un materialeemettente particelleα avita media lunga, come il226Ra e il9Be, si ottiene una produzione di neutroni a rate costante.Dalla catena di decadimento del226Ra e figli, come il222Rn, si hannoα emesse con un’energia dicirca 5-8 MeV; in questo modo si hanno neutroni con uno spettro di energia fino a 13 MeV. Ineutroni non sono monoenergetici per diversi motivi: (1) provengono da diversi processi didecadimentoα, (2) il rallentamento dovuto a collisioni con ogni materiale solido, (3) le variedirezioni di emissione che i neutroni possono assumere datole α incidenti casualmente, e (4) lapossibilita’ che il12C sia lasciato in uno stato eccitato. La energia piu’ probabile per il neutrone e’∼ 5 MeV e la produzione di neutroni e’ di∼ 107 neutroni per secondo per ogni Curie, (Ci), diattivita’. Da ricordare che 1 Ci = 3.7×1010 decays/s. Un tipico spettro di neutroni e’ mostrato infigura 2.1.A causa della elevata emissione di raggiγ del 226Ra e figli, si usa ultimamente come sorgente il210Po(138 d),238Pu (86 y) e l’Americio241Am (458 y). Queste sorgenti producono∼ 2-3× 106

neutroni per secondo per un’attivita’α di 1 Ci.

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Sorgenti fotoneutroniche In un processo simile a quello delle sorgenti(α, n) discusseprecedentemente, si puo’ usare la reazione(γ, n) per produrre neutroni. Il vantaggio dellaproduzione fotoneutronica e’ che il neutrone e’ quasi monoenergetico, sopratutto se il fotone e’quasi monoenergetico. Per esempio il sodio24Na emette unγ di 2.76 MeV; l’assorbimento di taleenergia da parte del9Be supera l’energia di legame dei neutroni per cui si puo’ avere:

γ+9Be→8Be + n

La resa o ”yield” e’ buona, (2×106 neutroni/s per Ci di24Na), ma lavita media e’ breve, (15 h).L’energia del neutrone e’ di circa 0.8 MeV. Una sorgente diγ puo’ essere l’isotopo a vita medialunga124Sb (60 d) che emette unγ energetico che supera proprio la energia di legame neutronicadel 9Be; i neutroni emessi hanno una energia molto minore, circa 24 KeV.

Fissione spontanea Una sorgente naturale di neutroni e’ il processo di fissione spontanea diisoptopi quale252Cf (2.65 y). I neutroni sono prodotti direttamente nella fissione ad una rate dicirca 4 neutroni per fissione. La fissione avviene solo nel 3% dei decadimenti, ( il resto essendodecadimentoα ) e la rate di produzione e’ di circa 2.3× 1012 neutroni/s per grammo di252Cf oequivalentemente 4.3× 109 n/s per Ci di252Cf. Le energie dei neutroni sono quelle caratteristichedella fissione, hanno una distribuzione continua con una energia media di 1-3 MeV.

Reazioni Nucleari Ci sono naturalmente molte reazioni nucleari che producononeutroni.Queste richiedono un acceleratore per produrre un fascio diparticelle per iniziare la reazione, percui non sono molto convenienti come sorgenti di neutroni, come quelle precedenti. Tuttaviascegliendo accuratamente l’energia incidente e l’angolo acui si osserva il neutrone emesso sipuo’ ottenere un fascio ragionevolmente monenergetico di energia prefissata. Tra le reazioni chesi possono usare sono:

3H + d→4He + n Q = +17.6 MeV

9Be + 4He→12C + n Q = +5.7 MeV

7Li + p →7Be + n Q = -1.6 MeV

2H + d→3He + n Q = +3.3 MeV

La figura 2.2 mostra la dipendenza dell’energia del neutronenella prima reazione in funzionedell’energia incidente e dell’angolo di emissione.

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Sorgenti da reattore Il flusso neutronico vicino al nucleo centrale di un reattorea fissionenucleare e’ abbastanza alto, tipicamente 1014 neutroni/cm2/s. Lo spettro energetico si estende finoa 5-7 MeV con un picco a 1-2 MeV. Questi neutroni sono generalmente rallentati ad energietermiche all’interno del reattore, ma ci sono anche neutroni veloci presenti nel core, (nocciolo),del reattore. Un piccolo oblo’ nella struttura di schermatura del contenitore del reattore permettedi estrarre un fascio di neutroni per esperimenti di laboratorio. Gli alti flussi di neutroni dareattore sono utilizzati anche per la produzione di radioisotopi, attraverso cattura neutronica,come pure per l’attivazione neutronica o nucleosintesi.

Spallazione Una particolare reazione nucleare e’ quella indicata come ”spallation”, che si haquando una particella molto energetica, come un protone di alta energia, ( 1 Gev), va a colliderecon un nucleo atomico pesante. In questo caso nel nucleo si genera una violenta reazione e si hal’emissione di varie specie e numero di particelle leggere eframmenti e si lascia indietro unprodotto della reazione che e’ generalmente radioattivo. alcuni neutroni sono ”spalled”, espulsidal nucleo; in media per ogni protone sono espulsi circa 20-30 neutroni. I protoni, prima di esseresparati contro il nucleo sono accumulati a formare un bunch,pacchetto, in un anello diaccumulazione e quindi sparati in forma di bunch contro una targhetta di alto numero atomico, ades. mercurio o tungsteno, generando in questo modo impulsi di neutroni. Questi impulsi dineutroni sono poi rallentati in un moderatore e guidati attraversobeam guidesalle areesperimentali, vedi FIG. 2.4. Il modello teorico per la reazione di spallazione assume che lareazione avvenga in due tempi: una collisione con i nucleonicon eccitazione del nucleo seguitada un processo di evaporazione in cui il nucleo eccitato intermedio si diseccita medianteevaporazione, espulsione, di particelle come protoni, neutroni, deuteroni e particelle alfa el’emissione di raggi gamma fino a che l’energia di eccitazione sia stata azzerata.La reazione di spallazione si puo’ descrivere come

q +Ai Zi =Af Zf + npp + nnn + ndd + nαα + ....... (2.1)

in cui q e’ la particella scatterante sul nucleoAiZi e Af Zf il nucleo finale accompagnato daprotoni, neutroni e altre particelle.

Il vantaggio dei neutroni impulsati e’ che si ha una maggioreintensita’ di neutroni, 50-100 voltemaggiore, rispetto ai neutroni da reattore. Altro vantaggio sta nel fatto che con neutroni impulsatisi puo’ utilizzare il time-of-flight per l’analisi. I neutroni, in ciascun impulso, coprono un range dienergia e un range di lunghezze d’onda, i neutroni ad energiepiu’ alte avranno una lunghezzad’onda piu’ piccola. Poiche’ i neutroni termici si muovono abbastanza lentamente si possono faremisure accurate di tempo su distanze anche brevi. I neutronidi un bunch, avendo energie diverse,possono essere separati anche dopo un cammino di pochi metri. I neutroni veloci raggiungerannoil bersaglio per primi e man mano arriveranno i neutroni piu’lenti, permettendo cosi’ didistinguere i neutroni singolarmente, dal loro tempo di volo. Si ha cosi’ uno spettro di misure perogni impulso per ogni bersaglio, Fig. 2.5.

17

Figure 2.3: Neutron Spallation process Figure 2.4: Neutron Spallation setup

2.0.3 Assorbimento e rallentamento dei neutroni

L’intensita’ di un fascio di neutroni, man mano che attraversa del materiale, diminuira’ per viadelle reazioni nucleari innescate dai neutroni del fascio.Per i neutroni veloci, sono possibili moltereazioni quali (n,p), (n.α), o (n,2p) , mentre per quelli termici o lenti la causa primaria della lorodiminuzione e’ la cattura, in forma di reazione (n,γ). Spesso le sezioni d’urto per queste reazionidi cattura sono dominate da una o piu’ risonanze, dove la sezione d’urto diventa molto grande. Aldi fuori della risonanza la sezione d’urto decresce al crescere della velocita’ come 1/v; cosi’ manmano che i neutroni rallentano, ( slow down ), diventando moderati per processi di urti elastici einelastici, la probabilita’ di assorbimento aumenta. I neutroni con energia iniziale di 1 MeVsubiranno molti urti prima che le loro energie si riducano a circa 1 eV, e a questo punto con moltaprobabilita’ avverra’ un processo di assorbimento risonante o non risonante.Seσt e’ la sezione d’urto totale, la diminuzione di intensita’ diun fascio che impatti su unmateriale di spessoredxe incontrin dxatomi per unita’ di area sara’ data dadI = −Iσtndx el’intensita’ decresce come

I = I0e−σtnx (2.2)

EssendoI0 l’intensita’ iniziale a x=0. Questa relazione naturalmente si adatta solo a neutronimonoenergetici e non tiene conto dei possibili incrementi dovuti alla creazione di neutroni dienergia piu’ bassa che hanno sezioni d’urto diverse. Quindila relazione non puo’ essere usata percalcolare la diminuzione del numero totale di neutroni, ma solo per calcolare la variazione diintensita’ di quelli con una data energia iniziale.

Si consideri un urto elastico tra un neutrone, (A=1), di energia inizialeE e velocita’v con unatomo della targhetta di massa A inizialmente a riposo. Per la legge di conservazione di energia e

18

Figure 2.5: Energie neutroni da spallation

Figure 2.6: Spettro di neutroni monoenergetici dopo una e piu’ collisioni

19

momento si ricava facilmente la relazione tra l’energia dopo l’urto E′

e quella prima dell’urtoE

E′

E=

A2 + 1 + 2Acosθ

(A + 1)2(2.3)

essendoθ l’angolo di scattering nel sistema del Centro di Massa, ma con E′

eE misurate nelsistema del Laboratorio. Perθ = 0 non si ha scattering e quindiE

′

= E, come deve essere; lamassima perdita di energia avviene per collisioni centrali, head on, (θ = 180o) per cui

E′

(min)

E=

(A − 1)2

(A + 1)2= α (2.4)

Nel caso che l’atomo sia idrogeno ,(A=1), il neutrone cede tutta la sua energia al protonescatterato.Per neutroni con energia fino a 10 Mev , lo scattering e’ principalmente in ondas e quindi, nelsistema CM, isotropico per cui e’ indipendente daθ. Dalla equazione 2.3 si vede che c’e’ unarelazione univoca tra E

′

e l’angoloθ del C.M. per cui

p(θ)dθ =2πsinθdθ

4π=

1

2sinθdθ = −P (E

′

)dE′

(2.5)

il segno meno tiene conto che all’aumentare dell’angolo si ha una diminuzione dell’energia delneutrone scatterato. Derivando la eq. 2.3 si ottiene

dE′

dθ= −2AE sin θ

(A + 1)2(2.6)

da cui si ricava l’espressione della distribuzione dell’energia dopo uno scattering elastico

P (E′

)dE′

=(A + 1)2

4AEdE

′

=dE

′

(1 − α)E(2.7)

I valori di E′

/E sono uniformemente distribuiti tra E′

(min) = αE ed E. La quantita’ (1-α)E e’ il

range di tutte le energie dopo una collisione, il valor mediodell’energia dopo la collisione e’E′

=12

(1+α)E e il valor medio dell’energia persa dopo una collisioneE′

= 1/2 (1-α)E. E’ importantenotare che la perdita media frazionaria per collisione e’ indipendente dall’energia, ad esempiodopo la seconda collisione il neutrone perde la stessa frazione di energia persa nella primacollisione e cosi’ via per le altre. I neutroni nello slowingdown scattereranno frequentemente equindi gia’ dopo il secondo urto il fascio non sara’ piu’ monocromatico, ma avra’ unadistribuzione allargata, Figura 2.6. Si puo’ approssimarequesto effetto considerando ciascunintervallo di larghezza∆E essere una nuova generazione di neutroni approssimativamentemonoenergetici, cosi’ per ogni generazione si puo’ calcolare la distribuzione aspettata in quellasuccessiva, con l’ipotesi che dopo ogni urto ci sia una variazione−∆E di energia ad ognigenerazione, ed ottenere la distribuzione della energia. Importante notare che la perditafrazionartia media di energia per collisione e’ indipendente dall’energia. Dopo n collisionil’energia media diventa

En = E × (E

′

E)n (2.8)

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Una quantita’ adatta a rappresentare la distribuzione dell’energia persa e’ ildecrementologaritmico dell’energia, ξ, definito come il valor medio dilog(E/E

′

) dopo ogni singolacollisione,

ξ =< logE

E ′> (2.9)

=

∫

log[ (A+1)2

A2+1+2Acosθ]dΩ

∫

dΩ(2.10)

essendodΩ l’angolo solido di scattering.

Nucleo α ξ N. urti per termalizzare1H 0 1.000 182H 0.111 0.725 254He 0.360 0.425 4312C 0.716 0.158 115238U 0.983 0.0084 2200

Si intende che l’urto e’ isotropico nel sistema CM. Integrando si ottiene:

ξ = 1 +(A − 1)2

2Aln

A − 1

A + 1=

α

1 − αln α (2.11)

Dalla 2.11 si vede che il decremento logaritmico dell’energia ξ = ln E − ln E ′ e’ indipendentedall’energia iniziale E. Il valor medio diln E

′

decresce dopo ogni collisione di una quantita’ξ edopon collisioni quindi sara’

lnE ′

n = ln E − nξ (2.12)

In termini del numero di massa A laξ si scrive come

ξ = 1 +(A − 1)2

2Aln(

A − 1

A + 1) (2.13)

che espansa in potenze di 1/A diventa semplicemente

ξ =2

A− 4

3A2(2.14)

che e’ piu’ accurata dell’ 1% per A>6.Dall’equazione 2.12 si puo’ ricavare il numeron di collisioni necessarie per rallentare i neutronidalla loro energia inizialeE alla loro energia mediaE

′

, infatti poiche’ln E′

n = lnEn si ottiene

n =1

ξlog

E

E ′(2.15)

La tabella mostra i valori diξ per alcuni moderatori; ad esempio se si vuole ridurrel’energiamedia di un neutrone emesso in un processo di fissione, (E ∼ 2 MeV), fino ad un valore tipico delmoto termico, (E

′ ∼ 0.025 eV), usando4He sono necessarie 43 collisioni in media, mentre conl’ 238U sono necessarie 2200 collisioni perche’ξ e’ una piccola frazione.

21

Figure 2.7: Distribuzione dell’energia Maxwelliana

I valori medi calcolati precedentemente sono stati ricavati assumendo che l’atomo scatterato fossea riposo; questa e’ una buona approssimazione per neutroni di qualche MeV, ma non lo e’ piu’man mano che l’energia si avvicina a quella termica e questa diventa comparabile con il mototermico degli atomi del moderatore. A questo punto lo scattering e’ piu’ correttamenteanalizzabile con la meccanica statistica e si puo’ semplicemente assumere che dopo un certonumero di urti i neutroni raggiungeranno l’equilibrio termico con il moderatore a temperatura T; ineutroni avranno quindi una distribuzione di velocita’ descritta dalla distribuzione di Maxwell

f(v)dv = 4πn(m

4πkT)3/2v2e−mv2/2kT dv (2.16)

dovef(v)dv indica la frazione di neutroni con velocita’ trav ev + dv; m e’ la massa del neutroneen e’ il numero di neutroni per unita’ di volume. In termini di energia l’equazione diventa:

f(E)dE =2πn

(πkT )3/2E1/2e−E/kTdE (2.17)

che ha la forma come in Fig. 2.7 che e’ la forma cui tende la distribuzione della Fig. 2.6 chemostra come la termalizzazione si manifesti chiaramente gia’ dopo pochi urti.

2.0.4 Rivelatori per neutroni

I neutroni non producono ionizzazione diretta per cui la loro rivelazione e’ basata sui prodottiionizzanti delle reazioni nucleari indotte,come (n,p),(n,α), (n,γ) o (n, fissione) oppure dalloscattering nucleare su particelle leggere che sono poi rivelate.Per neutroni lenti o termici, si usano rivelatori basati sulle reazioni (n,p) o (n,α) che forniscono unmezzo diretto per osservare i neutroni dal segnale lasciatodal protone oα risultanti dallereazione. L’isotopo10B viene comunemente usato, o in una camera a ionizzazione riempita di gasBF3 o in un contatore proporzionale fatto di boro metallico o composto di boro. La reazione e’

10B + n→7Li ∗ + α + 2.8 MeV

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Figure 2.8: Dipendnza da 1/v delle sezioni d’urto neutroniche

dove il 7Li e’ generalmente lasciato in uno stato eccitato con energia di 0.48 MeV che decadeγ(Da ricordare che il boro nativo consiste di circa il 20% dell’isotopo10B, cosi in generale sipreferisce arricchire il materiale in10B di modo da aumentare l’efficienza del rivelatore).Altra reazione usata per la rivelazione dei neutroni e’ la

3He + n→3H + p + 0.76 MeV

La reazione

6Li + n → (7Li) →3He + 4He + 4.8 MeV

Questa reazione e’ l’unica reazione neutrone nucleo senza generazione di un fotoneγ e, poiche’la α puo’ essere schermata piu’ facilmente che ilγ questa reazione e’ usata per schermare daineutroni quando non si puo’ utilizzare una piu’ massiccia schermatura dai gamma. La rivelazionedellaα e’ fatta con uno scintillatore nel quale laα produce un flash di luce rivelata da un PM.

Per i neutroni termici la sezione d’urto vale∼ 3840 b, molto grande, e segue la legge 1/v fino acirca 100KeV, cosi’ la dipendenza della sezione d’urto dalla energia incidente e’ regolare ( non cisono risonanze) e predicibile con buona approssimazione.

C’e’ un altro vantaggio nella dipendenza 1/v della sezione d’urto; si supponga di osservare unfascio collimato o un flusso isotropico ( ad es. vicino al coredi un reattore) che abbia unadistribuzione delle velocita’ di n(v) dv neutroni per unita’ di volume con velocita’ compresa tra ve v+dv. Il flusso che passa attraverso il rivelatore sara’ n(v) v dv e se il rivelatore contiene N

23

nuclei di boro, ciascuno con una sezione d’urtoσ, la probabilita’ per secondo di avereun’interazione ( o la rate di conteggio se si e’ in grado di rivelare e contare ogni interazione ) e’quindi

dR = Nσn(v)vdv (2.18)

per neutroni di velocita’ compresa tra v e v+dv. Per neutronidi tutte le velocita’, il counting ratetotale sara’

R =

∫

Nσn(v)vdv = NC

∫

n(v)dv (2.19)

dove C indica la costante che tiene conto della dipendenza diσ ∝ 1/v, per cui C∝ σv; l’integralefornisce il numero totale n di neutroni per unita’ di volume,e la rate di conteggi sara’ quindi

R = NCn (2.20)

La semplice relazione mostra come R e’direttamente proporzionale alla densita’ di neutroniperogni distribuzione di velocita’, finche’ si puo’ trascurare il contributo al flusso di neutronifuori dalla regione 1/v della sezione d’urto.Il Q − value della reazione che porta allo stato eccitato del7Li vale 2.31 MeV; se il neutroneincidente ha un’energia cinetica piu’ piccola di quel valore, allora la conservazione del momentorichiede che che ci sia una ripartizione di energia tra il7Li e la particellaα cosicche’ la energiacinetica dell’α sara’ di 1.47 MeV e praticamente questa e’ l’energia assuntadallaα per tutto ilrange di energie del neutrone tra eV - KeV. Il7Li, se contemporaneamente sara’ rivelato, lascera’nel contatore la sua energia, T=0.84 MeV, per cui il neutronelascera’ la sua segnatura come unaenergia totale misurata del contatore di 2.31 MeV. Va rilevato che i contatori proporzionali nonsono adatti a misurare energie cosi’ basse con precisione dieV o KeV. Altri rivelatori similariusano6Li (n,α), con Q=4.70 MeV eσ = 940 b per neutroni termici, oppure3He (n,p) conQ=0.765 MeV eσ = 5330 b. Nella figura 2.8 e’ mostrato il confronto fra le sezioni d’urto deineutroni per le citate reazioni.Altro modo, per misurare l’intensita’ di un fascio di neutroni, e’ di esporlo ad un materiale chediventa radiattivo per cattura neutronica e di cui si conosce bene la szione d’urto per cattura dineutroni di una determinata energia. Se si toglie il materiale dal flusso neutronico e si misura laradioattivita del materiale, ad es. con un rivelatore diγ, si puo’ misurare il flusso incidente a cuie’ stato sottoposto il materiale.Per misure la velocita’ dei neutroni ci sono diverse tecniche. Tra queste una tecnica, usata findall’inizio, fa uso di un dispositivo meccanico, un selettore di velocita’, realizzato con materialeche assorbe molto i neutroni termici. Regolando la velocita’ del selettore si riesce a determinarela velocita’ dei neutroni per quelli che emergono dal selettore, Figura 2.9.

Una tecnica molto usata e’ una tecnica che usa il tempo di volo, time-of-flight. Va ricordato che ineutroni termici hanno una velocita’ di v = 2200 m/s, cosi’ iltempo da misurare su alcuni metri e’dell’ordine di 10−3 s facilmente misurabile. Per energie maggiori si fara’ ricorso a cammini divolo piu’ lunghi, anche di 100 m.Misure di energia molto precisenella regione termicasi ottengono utilizzando la diffrazione concristalli. I neutroni termici hanno una lunghezza d’onda dide Broglie di circa 0.1 nm, circa lastessa della spaziatura tra gli atomi del lattice cristallino. Se un fascio di neutroni termici incide

24

Figure 2.9: Selettore di velocita’ di neutroni

su un cristallo, si produrranno dei massimi di interferenzache che capiteranno ad angolideterminati dalla legge di Bragg

nλ = 2dsinθ (2.21)

essendo d la spaziatura del lattice cristallino e n l’ordinedei massimi di interferenza eθ l’angolodi incidenza e riflessione che il fascio neutronico fa con la superfice del cristallo. Questa tecnica,che e’ usata estesamente per studiare le proprieta’ cristalline o le distanze interatomiche deimateriali, sara’ discussa estesamente in un prossimo capitolo.Per misure di energia di neutroni veloci si usa solitamente il metodo delrecoil che segue loscattering elastico tra il neutrone ed una targhetta leggera (H, 2H,3He,4He, · · ·). Discutendo ilrallentamento dei neutroni si era visto che i neutroni scatterati avevano un range continuo dienergia compreso tra E

′

=E fino al valore minimo possible. Il nucleo colpito hacorrispondentemente una energia di rinculo

ER = E − E′

(2.22)

che varia da un minimo che e’ zero fino ad un massimo

(ER)max = E − (E′

)min = E4A

(A + 1)2(2.23)

Per l’idrogeno, (ER)max = E, mentre per3He, (ER)max = 0.75E. La risposta di un rivelatore idealedel protonerecoil, per un fascio di neutroni mononergetici, dovrebbe essere uno spettro uniformelungo tutto il range, ma viene modificato nella parte bassa dalla non linearita’ dello scintillatore enella parte alta dello spettro dalla risoluzione.

25

Figure 2.10: Spettro monoenergetico di neutroni da 14 MeV inscintillatore organico

Il protone di rinculo e’ normalmente osservato con con materiale scintillante che e’ ricco diidrogeno, lo scintillatore puo’ essere plastico o liquido.Lo scintillatore serve sia come targhettadi protoni per i neutroni che come rivelatore del protone di rinculo. Tenendo conto dellarisoluzione in energia dello scintillatore e l’accettanzageometrica, lo spettro di energia osservatoper neutroni monoenergetici ha una distribuzione di tipo continua come quella della Figura 2.10.Se invece ci sono diverse componenti di velocita’ la separazione degli spettri di rinculo diventapiuttosto difficile. Da ricordare che l’efficienza dei rivelatori a scintillazione per i protoni dirinculo per neutroni veloci, regione del MeV, e’ dell’ordine del 50 %.

2.0.5 Reazioni neutroniche e sezioni d’urto

Il formalismo per analizzare le reazioni nucleari e’ presentato in Appendice, qui sono dati alcuniesempi di applicazioni di reazioni indotte da neutroni e mostrare alcuni aspetti della strutturanucleare che possono essere testati con i neutroni. La dipendenza da1/v della sezione d’urto deineutroni di bassa energia non puo’ essere ricavata direttamente dalla sezione d’urto di reazione,che ha formaσr = π(R + λ/2π)2, essendoR la somma dei raggi del nucleo targhetta e quelloincidente, basata su un modello di assorbimento totale. Un primo aggiustamento richiede di tenerconto della riflessione della funzione d’onda del neutrone incidente alla superficie del nucleo ,cioe’ bisogna tener conto della probabilita’ che esso possapenetrare la regione della barriera dipotenziale nucleare e in che stato energetico sara’ assorbito. La probabilita’ di trasmissione peruna barriera rettangolare vale T =4kK

(k+K)2da includere nella sezione d’urto

σ = π(R + λ/2π)2 4kK

(k + K)2(2.24)

26

Figure 2.11: Sezione d’urto totale per neutroni di 14 MeV

doveK =√

2m(E + V0)/~2 per una barriera profonda -V0 ek =

√

2mE/~2. Per neutroni dibassa energia, E≪ V0 ek ≪ K ed ancheλ/2π = k−1 ≫ R e quindi

σ =4π

kK(2.25)

e poiche’k = p/~ = mv/~ si ha la dipendenza della sezione d’urto da1/v, come si vede dallesezioni d’urto plottate in Fig. 2.8: la legge1/v e’ seguita abbastanza bene per reazioni lontanodalla regione delle risonanze. In questa regione non c’e’ una teoria precisa per predire laposizione delle risonanze, la struttura puo’ essere dominata da una singola isolata risonanza o dastrutture complesse di piu’ risonanze. Salendo in energia incidente, le proprieta’ microscopichediventano meno importanti poiche’ le strutture osservate rappresentano una media su parecchierisonanze che si sovrappongono. Una indicazione della applicabilita’ delle proprieta’ medie sipuo’ ottenere dalla stima geometrica della sezione d’urtototale, σ = π(R + λ/2π)2. NellaFigura 2.11 e’ plottata la quantita’(σt/2π)1/2 verso(R + λ/2π) essendoR = R0A

1/3 eR0 = 1.4fm eλ/2π = 1.2 fm per neutroni da 14 MeV; il valore diR0 e’ preso leggermente maggiore delvalore standard per tener conto anche delle interazioni superficiali.

2.0.6 Cattura neutronica

La Figura 2.12 mostra alcuni dei processi che possono avvenire in seguito alla cattura neutronica.E’ sempre possibile che il neutrone catturato sia riemesso dal nucleo, ma per i nuclei pesanti eneutroni di bassa energia questo modo di decadimento dello stato composto o risonante e’

27

Figure 2.12: Schema di cattura di neutrone di bassa energia

soppresso per cui il processo piu’ probabile e’ la emissionedi un raggioγ. (L’emissione diparticelle cariche e’ proibita dalla barriera Coulombianaed e’ possibile che capiti solo in nucleimolto leggeri). L’energia di eccitazione Ex di A

′

, il nucleo catturante, e’ proprio la sommadell’energia di separazione e dell’energia del neutrone incidente,Es + En; per neutroni di bassaenergia Ex e’ tipicamente dell’ordine di 5-10 MeV che corrisponde praticamente all’energia diseparazione. Le reazioni di cattura neutronica possono essere usate per determinare l’energia e lospin-parita’ degli stati del nucleo catturante. Lo spin dello stato del nucleo sara’I

′

= I + l + s,essendoI lo spin dello stato del nucleo prima della cattura,l il momento angolare del neutrone es lo spin del neutrone e la parita’ del nucleoπ

′

= π(−1)l, conπ la parita’ dello stato ante cattura.Per neutroni incidenti nel range di energie termiche e’ possibile solo cattura in ondas, per cui sipuo’ avere soloI

′

= I ± 1/2, eccetto il casoI = 0 per cuiI′

= 1/2 solo, eπ′

= π.Lo stato del nucleo, in conseguenza della cattura, puo’ essere pensato come uno stato nuclearecomposto con diversi livelli energetici non ben separati tra I

′

= I + 1/2 e I′

= I − 1/2.Occasionalmente la cattura puo’ essere dominata da risonanze possibili solo con lo statoI

′

= I + 1/2 oppureI′

= I − 1/2.Nel decadimentoγ in seguito alla cattura neutronica, tutti gli stati eccitati di A

′

possono essereoccupati, limitatamente alle regole di selezione per la radiazioneγ. Per laradiazione di dipolo lavariazione massima nello spin e’ l’unita’, cosi’ la radiazione primaria avra’ stati di spin chevariano traI

′

+ 1 e I′ − 1, che nel nostro caso significaI − 3/2 e I + 3/2, di nuovo eccetto per

I ≤ 1. Lo spettro deiγ mostra due componenti principali: la componenteprimaria, consistente diradiazione diretta di 5-10 MeV dallo stato di cattura ad uno stato eccitato piu’ basso,generalmente sotto i 2 MeV, e la componentesecondariaconsistente di radiazioni di bassaenergia tra i livelli di piu’ bassa energia. Da ricordare chela radiazione primaria di dipoloelettrico ha una probabilita’ 100 volte maggiore di quella di dipolo magnetico ed e’ piu’ probabileche vada ad occupare gli stati energetici eccitati piu’ bassi di parita’ opposta a quella della catturaneutronica. Inoltre la radiazione di dipolo magnetico, se pur presente, e’ molto meno intensa chequella di dipolo elettrico.Una caratteristica utile nello studio dei raggiγ della cattura neutronica e’ che non ci sono regoleprecise che proibisca alla radiazione primaria di popolarequalsiasi stato eccitato piu’ basso, tuttisono equalmente accessibili, diversamente dai decadimenti α o β. Cosi’ se lo stato di cattura haI

′

28

= 4, ci si apetta che la radiazione di dipolo occupi direttamente tutti gli stati di spin 3,4 e 5.Quindi la cattura neutronica puo’ servire come un mezzo per spettroscopia degli stati eccitati.Un’altra importante applicazione della reazione di cattura (n,γ) si ha quando lo statofondamentale ,( o uno stato isomero a vita media lunga ), del nucleo dopo la cattura,A

′

, e’ quellostesso del nucleo A radioattivo. In questo caso si aumenta l’attivita di A

′

. L’espressionedell’attivita’ diventa quindi:

A = 0.602m

Aσ

φ

3.7 × 1010(1 − e−λt) (2.26)

doveA e’ l’attivita’ in Curies, m/A e’ il rapporto tra la massa della targhetta e la sua massaatomica,σ e’ la sezione d’urto di cattura, normalmente per neutroni termici, φ e’ il flusso dineutroni in neutroni/cm2/s e t e’ la durata del bombardamento neutronico.Questa tecnica ha molte applicazioni: la piu’ comune e’ quella in cui conoscendoφ eσ si puo’fare dell’analisi qualitativa e determinare m. Dopo aver esposto un campione ai neutroni, sipossono osservare differenti radiazioni dai decadimenti radiattivi degli isotopi prodotti dallacattura neutronica. Misure precise dello spettroγ permette di determinare quali isotopi sonopresenti nel campione ed in quale quantita’ e cosi’ dedurre le quantita’ originarie presenti nelcampione irradiato. Questa tecnica che va sotto il nome dianalisi dell’attivazione neutronicasara’ spiegata in dettaglio in un prossimo capitolo.

2.0.7 Scattering del neutrone

Le proprieta’ ondulatorie del neutrone termico lo rendono,insieme ai raggi X, uno strumentofondamentale per studiare la struttura della materia, con differenze sostanziali. I raggi X sonoscatterati dagli elettroni delle shell atomiche, questo significa che la probabilita’ di scattering e’direttamente proporzionale al numero atomico Z, e quindi atomi con Z piccolo sono quasi”invisibili”, ed inoltre a basso momento trasferito ci sonointerazioni della radiazione con imomenti di dipolo che sono importanti. Al contrario i neutroni che interagiscono solo viainterazioni nucleari forti e con i momenti magnetici , la probabilita’ di scattering e’ una quantita’caratteristica di ogni isotopo. Riguardo alle proprieta’ ondulatorie i neutroni ed i fotoni mostranole stesse caratteristiche:

. Entrambi possono essere polarizzati, con possibile rotazione del piano di polarizazione

. Entrambi esibiscono birifrangenza

. Per entrambi esiste un indice di rifrazione

Per la radiazione elettromangnetica l’indice di rifrazione relativo al vuoto e’ maggiore dell’unita’e questo permette alla luce di avere rifrazione interna totale, i neutroni, invece, hanno indice di

29

30

rifrazione minore di uno e quindi non si ha rifrazione totale. L’indice di riflessione ha la seguenteespressione ( Squires, 1978):

nN = 1 − 1

2πρλ2bcoh. (2.27)

doveρ e’ il numero di nuclei scatteranti per unita’ di volume,λ la lunghezza d’onda del neutroneincidente ebcoh e’ la lunghezza media di scattering coerente per il dato nucleo. L’indice dirifrazione non dipende dalla struttura del cristallo, ne’ esso modifica la fase dell’onda incidente (scattering coerente). Questo perche’ il concetto di indicedi rifrazione riferisce a scattering inavanti a piccoli angoli, che significa piccolo momento trasferito. La proprieta’ dell’indice dirifrazione di essere negativo e’ sfruttata nella costruzione di guide di neutroni, come le guided’onda, realizzabili per il fatto che i neutroni hanno rifrazione ”esterna” totale. Le guide sono tubia vuoto con le pareti interne rivestite di un opportuno materiale ( usualmente nikel).L’interazione neutrone-nucleo risulta principalmente indue tipi di eventi:

. cattura neutronica o

. scattering neutronico

Il primo tipo e’ importante per costruire rivelatori di neutroni perche’ il nucleo composto edeccitato risultante dalla cattura puo’ diseccitarsi attraverso l’emissione di una particella carica o diun raggioγ che sono facilmente rivelabili. Nel secondo tipo di eventi ,lo scattering, il neutronescambia sia energia che momento con il nucleo. Nello studio della materia condensata, si usanoneutroni termici che hanno energie cinetiche dello stesso ordine delle energie del moto termicodegli atomi.In un tipico esperimento di scattering da neutroni si illumina il campione con un fascio dineutroni e si misura la distribuzione spaziale delle particelle scatterate o la variazione di energia ola variazione di altre caratteristiche come ad es.l’orientamento dello spin.Bisogna notare che ogni distribuzione spaziale dei neutroni scatterati dipende unicamente dalleproprieta’ della struttura atomica del campione e dal moto degli atomi nella struttura. Loscattering dei neutroni termici, in onda s, e’ isotropico nello spazio. E’ stato Van Hove (1954) aricavare una espressione generale per l’intensita’ I(Q,ǫ), ( essendoQ il momento trasferito eǫl’energia trasferita) dei neutroni scatterati da qualsiasi insieme di nuclei. Il suo risultato fa usodell’osservazione di Fermi che l’interazione fra neutronee nucleo puo’ essere sostituita da unpotenziale effettivo molto piu’ debole. Questopseudo-potenziale produce lo stesso scatteringcome quello che genera l’interazione attuale, ma e’ abbastanza debole da essere usato inun’espansione perturbativa alla Max Born. L’espansione diBorn dice che la probabilita’ diun’onda piana incidente di vettore d’ondak, scatterata da un potenziale debole V(r ), di diventareun’onda uscente piana con un vettore d’ondak

′

e’ proporzionale a

|∫

eik·rV (r)e−ik′

·rd3r|2 = |∫

eiQ·rV (r)d3r|2 (2.28)

dove l’integrazione avviene su tutto il volume di scattering. Bisogna ricordare che se anche loscattering sul singolo nucleo e’ sferico, la V(r ) rappresenta il potenziale dovuto all’interocampione e il risultato del contributo di tutti gli atomi e’ un’onda piana.

31

Il potenziale da usare e’ lopseudo-potenziale di Fermi che, per un singolo nucleo, e’ dato dabjδ(r − r

′

), dovebj e’ la lunghezza di scattering del nucleoj posizionato al puntorj e δ e’ ladelta di Dirac. Cosi’ per un insieme di nuclei, come un cristallo, il potenziale V(r ) e’ la sommadelle singole interazioni neutrone-nuclei:

V (r) = Σjbjδ(r − rj), (2.29)

dove la somma e fatta su tutti i siti nucleari del lattice cristallino.Usando le due equazioni, Van Hove ha mostrato che il numero dineutroni scatterati per neutroneincidente puo’ essere scritta come

I(Q, ǫ) =1

h

k′

kΣj,kbjbk

∫

∞

−∞

< eiQ·rk(0)eiQ·rk(t) > e−iǫtdt. (2.30)

Notare che la somma e’ fatta sucoppiedi nuclei j e k e che il nucleoj e’ nella posizionerj(t) altempot, mentre il nucleok e’ nella posizionerk(0) al tempot = 0. La media e’ fatta su tutti ipossibili tempi iniziali di osservazione del sistema, che e’ equivalente ad una media su tutti ipossibili stati termodinamici del sistema scatterato.I vettori di posizionerj, in Eq. 2.30 sono operatori quanto-meccanici, ma si puo’ conbuonaapprossimazione trattarli in modo classico perche’ cosi’ appare piu’ chiaro il significato fisicodell’equazione. La somma sopra i siti atomici nell’Eq. 2.30puo’ allora essere riscritta come

Σj,kbjbk < e−iQ·[rk(0)−rj(t)] >= Σj,kbjbk

∫

δ < (r − [rk(0) − rj(t)] > e−iQ·rd3r, (2.31)

dove compare di nuovo la delta di Dirac, ma stavolta in termini di r ed un vettore differenza tra leposizioni del nucleoj e quella del nucleok al tempot = 0.Si supponga, per il momento, che le lunghezze di scattering di tutti gli atomi nel campione sianouguali, cioe’bj = bk = b. In questo caso le lunghezze di scattering nell’Eq. 2.31 possono essererimosse dalla somma e quindi l’espressione alla destra diventa

Nb2

∫ infty

∞

G(r, t)e−iQ·rd3r (2.32)

dove

G(r, t) =1

NΣj,kδ < (r− [rk(0) − rj(t)] > (2.33)

dove N e’ il numero di atomi nel campione. La funzione delta inG(r, t) e’ zero eccetto quando laposizione dell’atomok al tempo zero e la posizione dell’atomoj al tempot sono separate di unvettorer . Poiche’ le funzioni delta sono sommate su tutte le coppie diatomi per ottenereG(r, t),questa funzione e’ uguale alla probabilita’ di un atomo di essere all’origine di un sistema dicoordinate al tempo zero ed un atomo di essere alla posizioner al tempot. Gr, t) e’ generalmenteindicata come lafunzione di correlazione di coppia dipendente dal tempopoiche’ descrive comela correlazione tra due particelle evolve col tempo.

32

La legge dello scattering di neutroni di Van Hove (Eq. 2.30) puo’ ora essere scritta come

I(Q, ǫ) =Nb2

h

k′

k

∫

∞

∞

G(r, t)e−iQ·re−iǫtd3rdt (2.34)

da cui si vede come laI(Q, ǫ) sia proporzionale alla trasformata spazio-tempo di Fourier dellafunzione di correlazione di coppia time-dependent. Questorisultato generale fornisce unadescrizione unificata di tutti gli esperimenti di scattering neutronico e fornisce cosi’ il frameworkper definire lo scattering neutronico come un campo.Il fatto cheI(Q, ǫ) sia la trasformata di Fourier di una funzione che da’ la probabilita’ di trovaredue atomi ad una certa distanza e’ indice della capacita’ di analisi predittiva dello scatteringneutronico. Infatti invertendo la Eq. 2.34 si puo’ otteneredelle informazioni circa struttura edinamica della materia condensata, poiche’ si ricava laG(r, t).

Scattering coerente ed incoerente Anche in un campione costituito di un singolo tipo diisotopo, le lunghezze di scattering che appaiono in Eq. 2.30non saranno uguali. Questo perche’la lunghezza di scattering di un nucleo dipende dal suo statodi spin e la maggior parte degliisotopi hanno parecchi stati di spin. Generalmente, tuttavia, non vi e’ correlazione tra lo spin diun nucleo e la sua posizione nel campione di materia. Per questo motivo, le lunghezze discattering che appaiono inI(Q, ǫ) possono essere mediate su tutti gli stati di spin nucleari senzaper questo incidere sulla media termodinamica.Entrano pero’ in gioco le medie sugli spin: il valore medio dib, < b > e il valor medio dib2,infatti il termine somma nell’Eq.( 2.30) si puo’ separare indue termini

Σj,k¯bjbk = Σj,k(b)2 + Σj(b2 − ¯(b)

2) (2.35)

Il primo termine alla destra dell’Eq. 2.35 rappresenta il cosidettoscattering coerente. mentre ilsecondo rappresenta loscattering incoerente. In questo modo si possono definire le lunghezze discattering coerente e incoerente come

bcoe = b e binc =√

(b2 − ¯(b)2

(2.36)

L’espressione per la legge dello scattering coerente e’ la somma su entrambij ek e cosi’ mostrala correlazione tra la posizione di un atomoj al tempo zero e la posizione di un secondo atomokal tempot. Sebbenej ek siano occasionalmente lo stesso atomo, in generale essi sono differentidato il grande numero N di nuclei nel campione.Si puo’ dire quindi che lo scattering coerenteessenzialmente descrive l’interferenza tra onde prodottedallo scattering di un singolo neutrone datutti i nuclei del campione. L’intensita’ per questo tipo discattering varia fortemente con l’angolodi scattering.Lo scattering incoerente, d’altra parte, mette in evidenzale correlazioni tra la posizione di unatomoj al tempo zero e la posizione dellostessoatomo al tempt. In questo modo, nelloscattering incoerente, le onde scatterate da nuclei differenti non interferiscono una con l’altra,essendo sfasate. Per questa ragione, lo scattering incoerente e’ un buon metodo per studiare

33

processi in cui gli atomi diffondono, esempio la dinamica dei fluidi. In molte situazioni,l’intensita dello scattering incoerente e’ isotropico, cioe’ e’ la stessa per ogni angolo di scattering.Questo effetto spesso fa si’ che lo scattering incoerente possa essere trascurato quando si osservascattering coerente poiche’ gli effetti incoerenti contribuiscono all’intensita’ solo con un fondouniforme.I valori delle lunghezze di scattering coerente ed incoerente per elementi differenti ed isotopi nonvariano in modo sistematico attraverso la tabella periodica. Per esempio, l’idrogeno ha unagrande lunghezza di scattering incoerente (28.18 fm) mentre quella coerente e’ piccola (-3.74 fm.Il deuterio, al contrario, ha una piccola lunghezza di scattering incoerente (3.99 fm) ed unarelativamente grande lunghezza di scattering coerente (6.67 fm). La differenza tra le lunghezze discattering coerente tra idrogeno e deuterio e’ alla base di una tecnica chiamatacontrast matchingper studiare sistemi biologici o polimerici.

Diffrazione Una delle importanti applicazioni dell’Eq. 2.30 di Van Hovee’ la legge delloscattering per la diffrazione. Per semplificare si puo’ ricavare la legge per il caso di un cristalloformato da un singolo isotopo. Anche se la diffrazione e’ predominatemente un processo discattering elastico(ǫ = 0), i diffrattometri attualmente integrano su tutte le energie dei neutroniscatterati. Cosi’, invece do mettereǫ = 0 nella Eq. 2.30 per calcolare l’intensita’ diffratta, siintegra suǫ. Questa procedura assicura che l’effetto delle vibrazioniatomiche sia inclusa nellasezione d’urto di diffrazione. L’integrale della Eq. 2.30 su ǫ da’ luogo ad un’altra funzione diDirac,δ(t), che indica come la funzione di correlazione di coppia,G(r, t), deve essere valutata at = 0 per la diffrazione. Il risultato, per un cristallo compostodi un singolo isotopo, e’

I(Q) = b2cohΣj,k < eiQ·(rj−rk) > (2.37)

dove le posizioni degli atomij ek sono valutate allo stesso istante.Se l’atomo in un campione fosse in condizioni veramente stazionarie, la media termodinamica,< ..... >, si potrebbe togliere dall’Eq. 2.37 in quanto siarj cherk sono costanti. In realta’ gliatomi oscillano attorno alle loro posizioni di equilibrio esi trovano in quelle posizioni solo peruna frazione del tempo. Quando si tiene conto di di questo fatto, la media termodinamicaintroduce un altro fattore, detto Debye-Waller, e l’Eq. 2.37 diventa

I(Q) = b2cohΣj,ke

iQ·(rj−rk)e−1/2Q2<u2> = S(Q) (2.38)

dove< u2 > e’ la media del quadrato dello spostamento di un atomo dalla sua posizione diequilibrio e l’intensita diffratta e’ ora anche chiamataS(Q), fattore di struttura. L’equazione e’alla base di ogni analisi cristallografica dei dati di diffrazione neutronica.

Scattering neutronico a piccolo angolo, SANS Una importante semplificazione della Eq. 2.30si ha quando l’angolo di scattering e’ piccolo, circa 1 grado. Questa approssimazione porta ad unaformula che e’ alla base di una tecnica delle piu’ usate delloscattering neutronico, la SANS osmall angle neutron scattering.

34

Figure 2.13: Interferometro per neutroni

Sebbene la Eq. 2.30 descriva correttamente lo scattering per ogniangolo di scattering, quando laquantita’Q e’ molto piccola rispetto ad una tipica distanza interatomica, i fattori esponenzialinella equazione non variano di molto da atomo ad atomo e la somma su tutti i siti degli atomipuo’ essere sostituita da un integrale. Come risultato, la legge di scattering a piccoli angoli perscattering coerente ed elastico da un insieme di ”oggetti” puo’ essere scritta come

I(Q) = |∫

b(r)e−iQ·rd3r|2 (2.39)

doveb(r) e’ la densita’ della lunghezza di scattering e l’integrale si estende su tutto il campione.Per calcolareb(r) di una molecola grande, ad esempio, si sommano semplicemente le lunghezzedi scattering coerente degli atomi nella molecola e si divide per il volume molecolare. Questaequazione e’ una forma approssimata della Eq. 2.30 ed e’ valida solo quandoQ e’ piccolo.Tuttavia e’ lo strumento analitico base della tecnica di analisi a piccoli angoli.

2.0.8 Interferenza e diffrazione con neutroni

Nello scattering di nucleoni su nuclei si manifestano fenomeni di diffrazione quando la lunghezzad’onda della particella incidente e’ confrontabile con la dimensione del nucleo e questo valeanche con fasci di neutroni. Con un diverso range di lunghezze d’onda tuttavia si possono anchestudiare effetti di interferenza come con una o due fessure ofilm sottile, che sono tipici dellaradiazione luminosa.

Un interferometro a neutroni e’ mostrato nella Figura 2.13,esso consiste di tre ”beam splitter”identici ciascuno dei quali lascia passare un fascio trasmesso non deviato ed un fascio diffratto

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Figure 2.14: Effetti di interferenza neutronica

deviato di un angolo 2θ. Per ottenere identica diffrazione i tre beam splitter e pergarantire unperfetto allineamento, l’intera struttura fu intagliata in un unico cristallo di silicio di 9 cm dilunghezza e 5 cm di raggio. La funzione del terzo piano e’ quella di ricombinare i due fasciinterferentesi AB e CD in fasci uscenti che contengono l’intera informazione dell’interferenzacome variazione netta del’intensita’. Senza la ricombinazione, l’interferenza avverrebbe solo nelpunto D dove i fasci si incrociano; un esempio dell’interferenza osservata con il dispositivo di cuisopra e’ mostrato in Figura 2.14 .L’applicazione piu’ frequente dell’interferenza neutronica e’ nella diffrazione di neutroni dacristalli. La diffrazione puo’ essere usata sia per fornireuna sorgente o come detector per neutronimonoenergetici e per studiare strutture cristalline di materiali.

Nella Figura 2.15 e’ mostrato l’applicazione della legge diBragg per la diffrazione da un singolocristallo. Per neutroni di lunghezze d’onda dello steso ordine delle distanze interatomiched,l’interferenza risulta in una ”apparente” riflessione dai piani cristallini del lattice. Tipichedistanze atomiche nei solidi sono dell’ordine di 0.1 nm che e’ lo stesso valore della lunghezzad’onda di de Broglie per i neutroni termici.L’intensita’ per ogni particolare riflessione puo’ essere una funzione complicata delle proprieta’del cristallo ed ampiezza di scattering del neutrone, con coinvolgimento della somma coerente suidiversi isotopi presenti nel cristallo.

La Fig. 2.16 mostra un esempio di spettro da scattering per neutroni di lunghezza d’onda di0.114 nm su una polvere consistente di molti microcristalliin modo da osservare tutte le possibiliorientazioni.Un metodo alternativo al fissare la lunghezza d’onda e’ quello di avere un fascio di neutroni conuno spread di energia , come qulli ottenuti da reattori. Si faincidere il fascio su un cristallo, ad un

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Figure 2.15: Condizione di Bragg per interferenza neutronica

Figure 2.16: Pattern di diffrazione di polvere di nikel con neutroni di 0.114 nm

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certo angolo e si osservano neutroni monoenergetici che soddisfano alla legge di Bragg ( suppostoche la stessa legge di Bragg non sia soddisfatta da diversa lunghezza d’onda e diversa distanzareticolare). Se si cambia leggermente l’angoloθ, la stessa condizione di Bragg sara’ soddisfattada differente lunghezza d’onda o energia. Si ha cosi’ unmonocromatore neutronico, una sorgentedi neutroni di determinata energia con uno spread dell’energia determinato dallo spread angolaredel fascio.I pattern di diffrazione sono utilizzati per studiare le strutture cristalline o anche per studiaresistemi piu’ complessi come strutture di liquidi e vetri o ancora piu’ complesse come le strutturemolecolari biologiche.

2.1 Fissione

La fisica nucleare ebbe grande sviluppo negli anni′

30 a partire dal 1932 quando Chadwick scopri’il neutrone e da quel momento incominciarono le applicazioni. Fermi, in Italia, fu uno dei primi astudiarne le proprieta’ ed a intuirne le possibilita’ di impiego. Nel 1938 Fermi ricevette il premioNobel; nel 1939 Meitner e Frisch, studiando i frammenti prodotti in seguito alla cattura neutronicadall’uranio, spiegarono che i nuclei di uranio dopo la cattura neutronica diventavano moltoinstabili e che si dividevano praticamente a meta’ o subivano fissione,( termine mutuato dallabiologia per indicare la separazione in due di una cellula),rilasciando una grande quantita’ dienergia. Da allora la fissione nucleare, per le sue applicazioni utili o dannose, e’ entrata nella vitadegli uomini e gioca un ruolo preminente in molti processi tecnici come anche decisioni politiche.

2.1.1 Perche’ i nuclei subiscono fissione

La preferenza dei nuclei pesanti per la fissione si capisce immediatamente se si consideral’energia di legame per nucleone, Figura 1.4.Un nucleo pesante nella regione dell’Uranio ha una energia di legame di circa 7.6 MeV/nucleone.Se238U si dividesse in due frammenti uguali con A=119, la loro energia di legame per nucleonesarebbe di 8.5MeV. Passare ad una condizione in cui i nucleoni sono piu’ legati, significarilasciare dell’energia; cioe’ l’energia cambia da un nucleo legato238U con 238× (-7.6) = -1809MeV di energia a due nuclei legati119Pd46 con 2× 119× (-8.5) = -2033 MeV. Per conservarel’energia, lo stato finale deve includere un extra di 214 MeV,che puo’ apparire in varie forme (neutroni, emissioneβ eγ dai frammenti), ma che appare primariamente, (∼80%), come energiacinetica dei frammenti dovuta alla repulsione Coulombianache li fa allontanare l’un l’altro. Nelcalcolare le probabilita’ di decadimento, c’e’ un termine che dipende dall’energia rilasciata:maggiore energia e’ rilasciata piu’ sono i modi, (spazio delle fasi), con cui i prodotti deldecadimento possono suddividersi l’energia, maggiore e’ il numero di stati finali in cui decadere equindi maggiore la probabilita’ di decadere.Con un cosi’ grande ammontare di energia rilasciata, la fissione sarebbe il mezzo favorito deiinuclei pesanti per risalire la curva dell’energia di legame.Ma benche’ il decadimento mediante

38

Figure 2.17: Barriera potenziale U-238 con i due frammenti

fissione esista, esso non e’ cosi’ probabile come potrebbe apparire, non compete ad esempiofavorevolmente con il decadimento spontaneoα del 238U (t1/2=4.5× 109 y), mentre il tempo didimezzamento per fissione e’ di circa 1016 y, e non diventa un processo di decadimentoimportante se non per i nuclei di massa 250 e oltre. Cio’ che inibisce il processo di fissione e’ labarriera Coulombiana, che peraltro inibisce anche il decadimentoα. Dividendo il nucleodell’238U in due frammenti identici che siano in contatto con superficiale ( separazione = R1 + R2

dove R1=R2= 1.25 (119)1/3 = 6.1 fm), la barriera Coulombiana vale

V =1

4πǫ0

Z1Z2e2

R= (1.44MeV · fm)

(46)2

12.2fm= 250MeV (2.40)

Se si prende come ZERO della scala di energia l’energia a riposo dei due frammenti separati adistanza infinita, allora si puo’ rappresentare l’energia del sistema come in Figura 2.17.

All’interno della regione del potenziale nucleare, l’uranio 238U puo’ esistere come due nuclei119Pd a causa del grandissimo numero di stati finali accessibilicon un rilascio di energia di 214MeV; tuttavia la barriera Coulombiana impedisce che i due nuclei si separino e la probabilita’ didecadimento e’ molto piccola perche’ la barriera non puo’ essere superata.Questo semplice calcolo puo’ far capire perche’ la fissione e’ inibita dal capitare prontamente, manon deve essere preso troppo alla lettera perche’ i numeri ingioco, ( 250 MeV per la barriera e214 MeV per l’energia rilasciata ) possono variare facilmente dal 10% fino al 20%. Ad esempiose i due frammenti avessero massa e numeri atomici in un rapporto tipo 2:1, come7930Zn e159

62 Sm,l’altezza della barriera Coulombiana si ridurrebbe da 250 a221 MeV. Il rilascio di alcuni neutronipotrebbe cambiare il numero di massa dei frammenti finali e produrre frammenti piu’ stabili epiu’ legati ( nuclei come il119Pd,79Zn e159Sm hanno un grande ecceso di neutroni e difficilmentesono formati nella fissione). Analogamente il calcolo dellabarriera Coulombiana basato su unprofilo ben definito per R1+R2 molto poco probabilmente e’ corretto.

39

Figure 2.18: Barriera potenziale U-238 impedisce fissione spontanea

Certamente e’ vero che l’altezza della barriera di Coulomb e’ approssimativamenteugualeall’energia rilasciata nella fissione dei nuclei pesanti e che certamente ci sonoalcuni nuclei percui l’energia rilasciata porta i due frammenti proprio sotto la barriera Coulombiana, dando ad essiuna ragionevole probabilita’ di passare oltre la barriera.Questi sononuclei che fissionanospontaneamenteper i quali la fissione compete con gli altri processi di decadimento radiattivi.Ci possono anche essere dei nuclei i cui frammenti avrebberoenergie tali da portarli sopra labarriera di modo che, se si formassero, il proceso di fissionesarebbe istantaneo. Tali nucleinaturalmente non esistono in natura; un semplice calcolo mostra che la barriera contro la fissionediventa ZERO, cioe’ si annulla, solo per A≥300.Per altri nuclei, i cui frammenti avrebbero un’energia ben al di sotto la barriera di modo che nonci sia fissione, l’assorbimento di una piccola quantita’ di energia, come ad esempio da neutronilenti o di bassa energia o fotoni, darebbe luogo ad uno stato intermedio ( potrebbe essere uno statonucleare composto ) che e’ al livello della barriera o appenasopra, cosicche’ puo’ avvenire lafissione indotta, favorita rispetto agli altri modi di decadimento del nucleo composto. Se lo statointermedio e’ sotto la barriera, la fissione e’ inibita ed altri modi di decadimento sono privilegiati,incluso la riemissione della particella assorbita. L’abilita’ di un nucleo di attivare la fissioneindotta dipendera’ criticamente dall’energia del sistemaintermedio; per alcuni nucleil’assorbimento dei neutroni termici puo’ essere sufficiente a farli superare la barriera, mentre peraltri, sono necessari neutroni veloci ( ordine dei MeV ).

Un esempio tipico di reazione di fissione e’

n + 235U → 236U → 147La + 87Br + 2n (2.41)

La Figura 2.18 e’ una rappresentazione piu’ realistica della barriera Coulombiana per i nucleipesanti.

40

Figure 2.19: Variazione energia di attivazione in funzionedel numero di massa

Un plot piu’ dettagliato, basato sul modello a goccia, dell’energia necessaria per indurre lafissione e’ mostrato nella Figura 2.19 che fornisce essenzialmente l’altezza della barriera difissione sopra lo stato fondamentale o ground state in funzione del numero di massa, questaenergia e’ chiamataenergia di attivazione.

Il calcolo dell’energia di attivazione e’ basato sul modello a goccia che tiene conto solo delleproprieta’ nucleari medie; l’introduzione di effetti piu’sofisticati basati sul modello a shellmodifica il calcolo in qualche parte e suggerisce che certi nuclei super pesanti attorno ad A=300possono essere piu’ stabili rispetto alla fusione; alcune altre conseguenze della struttura a shell sivedranno nei paragrafi successivi.Un approccio istruttivo per capire la fissione puo’ essere ottenuto dalla formula semiempirica dimassa, introducendo un parametro di deformazioneǫ, che indica quanto la goccia da sferica sideformi nel diventare un elissoide. Si puo’ calcolare cosi’di quanto si modifica il termine diCoulomd della formula e cosi’ la differenza di energia ( cioe’ di quanto diminusce la energia dilegame ) passando da goccia ad elissoide per lo stesso volume, si ha

∆E = B(ǫ) − B(ǫ = 0) (2.42)

= −asA2/3(1 +

2

5ǫ2 + . . .) − acZ

2A−1/3(1 − 1

5ǫ2 + . . .) + asA

2/3 + acZ2A−1/3 (2.43)

≃ (−2

5asA

2/3 +1

5acZ

2A−1/3)ǫ2 (2.44)

41

Figure 2.20: Energia di attivazione un funzione di A

Se∆ E e’ positiva, significa che si guadagna energia nel deformare,stirare, il nucleo e piu’ ilnucleo e’ deformato piu’ energia si guadagna. Il nucleo e’ instabile per la deformazione e quinditende ad attivare la fissione, Figura 2.21. Si avra’ fissione spontanea quando si raggiunge lacondizione

1

5acZ

2A−1/3 >2

5asA

2/3 (2.45)

da cui sostituendo perac eas i valori sperimentali si ottiene la relazione

Z2

A> 47 (2.46)

Questa formula e’ molto grezza, ma fornisce una indicazionedella disponibilita’ ad attivare lafissione spontanea da parte di certi nuclei. Questa stima puo’ ancora essere modificata alquantoper tener conto degli effetti quantomeccanici, effetto tunnel, di penetrazione della barriera chepermette la fissione spontanea anche quando l’energia di deformazione e’ negativa. Inoltre inuclei nella regione dell’Uranio hanno una deformazione diequilibrio permanente, per loro e’piu’ consono la forma elissoidica che sferica. Piu’ grande e’ il valore del rapporto Z2/A piu’ brevee’ il tempo medio di dimezzamento per la fissione spontanea; per Z2/A = 47 la fissione spontaneasi calcola avvenga con un tempo di circa 10−20 s, cosi’ si puo’ dire per i nuclei con Z2/A>47 lafissione spontanea avviene istantaneamente nella scala deitempi nucleari. Da notare che non siconoscono tali nuclei, tuttavia un nucleo con A= 300 e Z/A= 0.4 ha Z2/A = 48, e la stima di zeroenergia di attivazione per il nucleo con A=300 e’ consistente con quanto mostrato nella figuraprecedente.

42

Figure 2.21: Modificazione della forma del nucleo che causa fissione

2.1.2 Caratteristiche della Fissione

Un’altra tipica reazione di fissione indotta da neutroni termici e’

n +235 U →93 Rb +141 Cs + 2n (2.47)

I prodotti della fissione non sono determinati univocamentee sono possibili diversi modi diripartire le masse dei frammenti, come mostra la figura 2.22

relativamente alla distribuzione della massa dei frammenti di fissione da neutroni termici su235U.La distribuzione deve essere simmetrica rispetto al centro- per ogni frammento pesante ci deveessere un corrispondente frammento leggero, ma c’e’ da notare che la fissione in due frammentidi massa simile o quasi (A1 ≈ A2) e’ circa 600 volte meno probabile della fissione in frammenticon A1=95 e A2=140. Una spiegazione convincente del perche’ di questa distribuzione di massadei frammenti prodotti da fissione indotta da neutroni lentinon e’ stata trovata; diversamente lafissione indotta da particelle veloci mostra una distribuzione di massa dei frammenti che favorisceframmenti di ugual massa.

Numero di neutroni emessi I frammenti di fissione nelle vicinanze di A=94 e A=140 debbonodividersi 92 protoni. Se si dividesero i protoni in proporzione alle loro masse, i nuclei formatisarebbero95Rb e140Cs. Questi nuclei sono molto ricchi in neutroni - i nuclei piu’ stabili in questaregione di massa hanno Z/A≃ 0.41, mentre per questi prodotti di fissione Z/A≃ 0.39. Un isobarostabile A=95 ha Z=42 e l’isobaro stabile A=140 ha Z=58. I frammenti di fissione mascheranoquesto eccesso di neutroni attraverso l’emissione di uno o piu’ neutroniall’istante della fissione,entro10−16s; questi neutroni sono chiamatineutroni pronti, (prompt neutrons). Il numero dineutroni pronti emessi in un dato evento di fissione varia a seconda della natura dei frammenti ( e

43

Figure 2.22: Distribuzione dei frammenti da fissione

con l’energia della particella incidente nel caso di fissione indotta); il numero medio diprotonipronti, indicato conν e’ caratteristico del particolare processo di fissione, ad es. per la fissioneindotta da neutroni termiciν ∼ 2.48 per233U, 2.42 per235U, e 2.86 per239Pu. La distribuzione diν, Figura 2.23, mostra il caratteristico andamento Gaussiano aspettato per un processo dievaporazione e inoltre si nota che la distribuzione e’ indipendente dal nucleo fissionato.

Circa l’87% dell’energia totale e’ emessa prontamente e, di questa, ai frammenti di fissione necompete il90%. I neutroni pronti viaggiano per frazioni di millimetro dalpunto di origine e sonofacilmente fermati. Lo spettro di energia e’ quello mostrato in Fig. 2.24, che varia da 0 a 7 MeV.

Questa energia e’ recuperata come calore sviluppato principalmente nello slowing down deineutroni attraverso i successivi scattering nel materiale.Il rimanente 13% dell’energia e’ rilasciato nei decadimenti radiattivi: daiβ,γ e EC ma non daineutrini, che sfuggono. Un ulteriore 5 MeV di energia e’ recuperato dalla cattura radiattiva (n,γ)dei neutroni che non causa fissione, ma la cui radiazioneγ emessa e’ poi assorbita.Il risultato netto e’ che circa 200 MeV per evento di fissione e’ recuperato ed utilizzabile. Il valoreper quanto approssimato e’ generalmente accettato come valor medio utilizzabile nei calcoli.

Neutroni ritardati Piu’ del 99% dei neutroni sono rilasciati in circa 10−16 s dal momento cheavviene la fissione e questi sono i neutroni pronti. Tuttaviain aggiunta a questi vi sono deineutroni che sono emessi successivamente, neutroni ritardati,(delayed neutrons), nell’evolversidella catena di decadimento di fissione in seguito al decadimentoβ dei frammenti. Il tempo diritardo e’ dell’ordine dei secondi. Nella Fig. 2.25 e’ mostrato un tipico caso di catena didecadimento di fissione con emissione di neutrone.

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Figure 2.23: Distribuzione dei frammenti di fissione

Figure 2.24: Spettro energia neutroni pronti da U-235

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Figure 2.25: Emissione di neutroni pronti

Il frammento87Br decade per emissioneβ− in 87Kr con un tempo di dimezzamento di 55.5 s. Ildue per cento dei decadimenti contribuiscono agli stati eccitati di 87Kr che stanno sotto la sogliadi separazione del neutrone che decadono molto rapidamenteper emissione neutronica a86Kr.Questi decadimenti rappresentano una piccola sorgente di neutroni che sono ritardati di circa 80 s,il tempo medio di decadimentoβ del 87Br. Nel caso di fissione del235U il 0.65% dei neutroniemessi sono ritardati. Questa e’ una piccola frazione del totale, ma e’ questa piccola frazione cherende possibile il controllo dei reattori nucleari a fissione.

I prodotti di fissione iniziale sono altamente radiattivi e decadono verso isobari stabili emettendoradiazioniβ eγ che contribuiscono in sostanza al rilascio totale di energia nella fissione. Alcuniesempi di catena di decadimento sono

93Rb6s→ 93Sr

7min→ 93Y10h→ 93Zr

106y→ 93Nb141Cs

25s→ 141Ba18min→ 141La

4h→ 141Ce33d→ 141Pr

Questi prodotti radioattivi costituiscono i prodotti di scarto, le scorie, dei reattori nucleari. Moltidecadono velocemente altri hanno vite medie molto lunghe, specialmente quelli vicino ai nuclidistabili della serie.

Interazioni del neutrone Le interazioni principali dei neutroni nel processo di fissione sonotre: scattering, cattura radiattiva e fissione. La sezione d’urto totale e’ la somma

σT = σs + σc + σf (2.48)

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Figure 2.26: Sezione d’urto totale e di fissione per U235 e U238

La sezione d’urto di assorbimentoσa e’ la somma di cattura e fissione, cioe’σa = σc + σf . Nelcaso di nuclei non soggetti a fissione, la cattura coincide con l’assorbimento.

Le sezioni d’urto sono spesso altamente dipendenti da En, l’energia del neutrone incidente. NellaFigura 2.26 sono mostrate le sezioni d’urto per235U e 238U. L’Uranio-235 ha una grande sezioned’urto per fissione con una dipendenza da 1/v a basse energie dove domina quella totale. Come sivede, la sezione d’urto presenta anche un certo numero di risonanze tra 1 e 100 eV, che sonodovute all’esistenza di stati del nucleo composto236U. La sezione d’urto di scattering e’ di circa10 b ed e’ relativamente indipendente dall’energia; cosi’ quando laσf si riduce al cresceredell’energia En la sezione d’urto di scattering diventa la piu’ importante,ad es. a 2 MeV laσs e’circa 6 volte maggiore diσf .L’isotopo dominante238U si comporta molto differentemente dal235U. La fissione e’ nulla perneutroni lenti e inizia solo per energie En maggiori di 1MeV. La sezione d’urto e’ dominata dalloscattering, circa 8 b, e solo nella regione da 10 a qualche centinaio di eV ci sono le risonanze convalori di sezioned’urto maggiori. A differenza dell’235U nel caso delle risonanze non c’e’contributo alla fissione, ma l’assorbimento porta alla cattura neutronica (n, γ) con emissione diγ.La cattura da un lato comporta una diminuzione del numero di neutroni, ma dall’altro questipossono dar luogo ad un proceso chiamatobreeder reactionche e’ parimenti imprtante e di cui sivedra’ gli effetti quando si discutera’ di reattori a fissione.

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2.1.3 Energetica della fissione

Quando l’Uranio235U cattura un neutrone per formare lo stato composto236U∗, l’energia dieccitazionevale

Eex = [m(236U∗) − m(236U)]c2 (2.49)

L’energia dello stato composto si puo’ ricavare direttamente dalla energia di massa del235U e delneutrone n se si assume che l’energia del neutrone termico sia cosi’ piccola da potersi trascurare

m(236U∗) = m(235U + mn) = (235.043924 u + 1.008665 u) = 236.052589 uEex = (236.052589 u - 236.045563 u)× 931.502 MeV/u = 6.5 MeV

L’energia di attivazione , cioe’ l’energia necessaria per superare la barriera di fissione, per il236Ue’ calcolata essere di 6.2 MeV. Quindi, l’energia necessaria per portare l’Uranio-236 in uno statofissionabile, energia di attivazione, e’ superata dall’energia introdotta aggiungendo un neutroneall’Uranio-235. Questo significa che235U puo’ essere fissionato con neutroni di zero energia, oquasi,consistente con la grande sezione d’urto di fissione nella regione termica.Un calcolo simile si puo’ fare per l’238U

238U + n→239U∗ per cui Eex = 4.8 MeV

che e’ inferiore alll’energia di attivazione del239U calcolata in 6.6 MeV. Nella Figura 2.20sonoriportate le energie di attivazione calcolate per alcuni nuclei nella regione dell’Uranio.Sono necessari neutroni di alcuni MeV di energia per attivare la fissione del238U, consistente conl’andamento della sezione d’urto che ha un effetto soglia per la fissione dell’ordine del MeV.La principale spiegazione per la estrema differenza nella fissionabilita’ del238U e 235U risiedenella differenza tra le energie di eccitazione, rispettivamente di 6.5 e 4.8 Mev. Questa differenzae’ spiegabile in termini del termine di energia di pairingδ della formula semiempirica di massa.La Figura 2.27 illustra l’effetto del termine di pairing. Lalinea tratteggiata indica il livellodell’energia nucleare in assenza di pairing che si abbassa oalza quando l’effetto del pairing e’incluso.

La energia di legame del236U e’ aumentata, cioe’ abbassato, di una quantita’δ che e’ circa 0.56MeV, mentre corrispondentemente l’energia di eccitazionee’ aumentata diδ rispetto al livello cheavrebbe in assenza di pairing. Nel caso del238U l’energia dello stato fondamentaleprima dellacatturae’ abbassata diδ e cosi’ ne deriva che l’energia dello stato di cattura e’ anche abbassato;quindi l’energia di eccitazione e’ridotta di una quantitaδ rispetto al suo valore senza il termine dipairing. La differenza in energia di eccitazione tra235U + n e238U + n e’ di circa 2δ, cioe’ di1.1MeV. che e’ quello che si rileva sperimentalmente.Simili considerazioni basate sulle forze di pairing si adattano benissimo al caso del232Pa e del231Pa, dove l’energia di eccitazione per fissione indotta da neutroni e’ aumentata nel casi di232Pa

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Figure 2.27: Effetto del pairing sulle energie di attivazione

e diminuita per231Pa, di conseguenza ne deriva che il232Pa fissionera’ con i neutroni termici piu’facilmente che il231Pa.Riprendendo in considerazione l’energia rilasciata durante la fissione ci si domanda dove va afinire. Si prenda un caso specifico

235U + n→236U∗ →93Rb + 141Cs +2n

Usando le masse del93Rb(92.92172u) e 141Cs(140.91949u). il Q − value della reazione vale181 MeV. Altri prodotti finali sempre danno valori diQ simili per cui e’ ragionevole per l’235Uprendere 200 MeV come l’energia rilasciata nel processo di fissione.

Nella Fig. 2.28 e’ mostrata la distribuzione di energia dei due frammenti con le energie piu’probabili attorno a 66 e 98 MeV rispettivamente per il frammento pesante e quello leggero.Poiche’ i neutroni portano via poco momento, e’ ragionevoleche la conservazione del momento

Figure 2.28: Spettro Energia dei frammenti

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valga per i due frammenti, m1v1 - m2v2, da cui e’ facile capire che il rapporto tra le energiecinetiche deve essere l’inverso del rapporto delle masse

12m1v

21

12m2v

22

=m2

m1(2.50)

Il rapporto 66 MeV/98 MeV = 0.76 e’ perfettamente consistente col rapporto delle masse piu’probabili che si ricava dalla Fig. 2.28, cioe’ (95/140) = 0.68. La distribuzione di energia apparequindi caratteristica della distribuzione di massa dei frammenti; appare inoltre, come gia’sottolineato in precedenza che praticamente l’87% dell’energia di fissione appare come energiacinetica dei frammenti.

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Part II

Applicazioni Industriali ed analitiche

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Chapter 3

Energia dalla fissione

La scoperta nel 1939,(Hahn e Strassmann), che i nuclei pesanti si dividevano in due frammenti dimassa intermedia e che vi era un grande rilascio di energia insieme alla emissione di un certonumero di neutroni che potevano innescare altri processi difusione per continuare la catena,getto’ le basi per lo sfruttamento del processo di fissione per la produzione di energia. Con unareazione a catena e’ possibile ottenere una grande quantita’ di energia una volta che questa e’iniziata, il problema e’ che e’ instabile, se non e’ controllata la rate della reazione puo’ crescereesponenzialmente e molto rapidamente e questo e’ alla base della bomba a fissione. Tuttavia e’possibile stabilizzare la reazione a catena e avere una sorgente di energia controllata dai rettori afissione e ricavarne energia elettrica commerciale.

In questo capitolo sono presentati i fattori chiave per capire il funzionamento di un reattore,usando un semplice esempio di un sistema ipotetico infinito,e quindi un esempio piu’ complessodi reattore finito. Saranno discussi gli aspetti piu’ importanti delle operazioni di un reattore e idiversi tipi di reattore, presenti e i futuri possibili.

3.1 Reazioni di fissione controllata

Si consideri una massa di Uranio infinitamente grande, che per ora sia composta degli isotopinaturali dell’Uranio, ( 0.72%235U, 99.28%238U). Un singolo evento di fissione produrra’ inmedia 2.5 neutroni. Ciascuno di questi neutroni ” di secondagenerazione” e’ capace di produrreun altro evento di fissione e quindi produrre altri neutroni.e cosi’ via. Questo processo e’ lareazione a catena, ciascun evento di fissione rilascia 200 Mev di energia, cioe’ calore, in forma dienergia cinetica dei frammenti e radiazione.La reazione a catena e’ caratterizzada dalneutron multiplication factork∞ che e’ il rapporto tra ilnumero di neutroni in una generazione al numero di neutroni nella generazione successiva. E’ unfattore che riferisce ad un sistema infinito e quindi non ci sono perdite ai bordi. In media ogni

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neutrone termico produce k∞ nuovi neutroni termici. Perche’ una reazione a catena si mantengae’ necessario che sia k∞ >1. Sebbene si hanno in media 2.5 neutroni emessi per evento difissione, questi sonofast neutronse quindi hanno una piccola sezione d’urto. E’ vantaggiosomoderarli, pero’ in questo processo e’ possibile che i neutroni siano persi per la fissione, (vedicapitolo precedente), e quindi alla fine da 2.5 neutroni veloci si hanno<1 neutroni termici, il chesignifica che la reazione a catena si ferma.Poiche’ i neutroni perdono energia per collisioni elastiche coi nuclei, la scelta migliore per unmoderatore e’ di scegliere del materiale costituito da atomi leggeri con i cui nuclei perdonoenergia in quantita’ maggiore. A questo scopo, il carbone, sotto forma di grafite, e’ il piu’ adattoperche’ e’ solido e maneggevole. Un lattice di blocchi di Uranio alternati a blocchi di grafite e’chiamatopila di reazione a catena e la prima di queste pile fu costruita da Fermi in un campo dasquash dell’Universita di Chicago nel 1942.Se il fattorek , per unapila finita , e’ esattamente 1.0 la pila e’ detta esserecritica, per k<1 la pilae’ subcriticae per k>1 essa e’supercritica. Si capisce subito che lo stato di pila supercritica e’una condizione per cui la reazione a catena diverge e la crescita e’ ad una velocita’ esplosiva conle conseguenze che sappiamo. Per mantenere una produzione regolare di energia e’ necessarioche la pila sia esattamente critica.

3.1.1 Ciclo dei neutroni

Un sistema in cui la reazione a catena nucleare e’ iniziata, controllata e mantenuta ad un livellostabile si chiama reattore; nello studio del funzionamentodi principio di un reattore e’ importanteil ciclo dei neutroni. Per determinare il fattore di moltiplicazione k per un particolare reattore sideve tener conto di tutti i fenomeni cui puo’ andare incontroun neutrone nel ciclo da unagenerazione a quella successiva. Se nella presente generazione ci sono N neutroni termici inquella succesiva non ci sarannoνN neutroni veloci subito disponibili, anche se in media ognineutrone generaν neutroni, perche’ non tutti i neutroni originari daranno luogo a reazioni difissione, alcuni saranno assorbiti con altri processi, principalmente processi di tipo (n,γ) inentrambi235U e 238U. Il calcolo di quello che capita all’interno di un reattorerealistico e’ moltocomplicato ed a proposito esistono programmi sofisticati per studiare in tutti i dettagli il processodi fissione.Ad esempio si consideri un reattoreomogeneoin cui l’ 235U e’ il nucleo fissile. In un reattoreomogeneo il carburante, Uranio, e moderatore sono intimamente mescolati, che significa che ilflusso dei neutroni e’ lo stesso per i due componenti; il che semplifica di molto il calcolo. Neireattori eterogenei invece il carburante e’ concentrato inblocchi circondati dal moderatore,cosicche’ ne’ il flusso ne’ lo spettro energetico dei neutroni si puo’ assumere uguale nei duecomponenti e questo ha un significativo effetto nella determinazione di k. Nella seguente tabellasono mostrati dati rilevanti per i calcoli che seguranno; essa presenta i valori dellesezioni d’urtodell’Uranio per neutroni che si muovono con una velocita’ di2200 m s−1 che e’ la piu’ probabileper velocita’ termiche a 20o C. Il fattore k dipende dalla temperatura di lavoro ed e’ moltodifferente per reattori caldi.

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Nucleo Densita’ σf σc σa σs ν(g cm−3) (b) (b) (b) (b)

235U 18.7 579 101 680 10 2.42238U 18.9 - 2.72 2.72 8.3 -natU 18.9 4.17 3.43 7.60 8.3 -

Il fattore di moltiplicazione k e’ composto da quattro termini, four factor formula , k = ηǫpf , chesono rispettivamente il numero di neutroni veloci prodotti, il fattore di fissione veloce, laprobabilita’ di non produrre risonanze ed il fattore di utilizzazione termica.Per calcolare questi termini e’ necessario calcolare la sezione d’urto macroscopica per unamiscela, definita come

Σ = Nσ =∑

Niσi =∑

Σi (3.1)

dove N=∑

Ni indica la densita’ numerica di tutti gli atomi dei componenti la mistura eΣi = Niσi

e’ la sezione d’urto macroscopica dell’elemento i-esimo della mistura.

La sezione d’urto media per una mistura e’ la media pesata delle sezioni d’urto microscopiche deicostituentiσi

σ =∑

ωiσi =∑

Niσi/∑

Ni (3.2)

Ad esempio, dalla tabella, una mistura di Uranio Arricchitoal 1.6% in235U ha una sezione d’urtodi assorbimento data da

σa = 0.016× 680 + 0.984× 2.72 = 13.56 b

I quattro termini, che permettono di determinare la probabilita’ che un neutrone prodotto in unreattore sopravviva per attivare un’altra fissione, sono alla base del progetto di ogni reattore equindi vanno valutati uno per uno.(1) Il termineη, neutron yield, definisce il numero di neutroni veloci prodotti per ciascunneutronetermico assorbito dal carburante (fuel), cioe’ Uranio. Esso e’ minore del numero medioν dineutroni prodotto in una reazione di fissione perche’ non tutti i neutroni assorbiti producono poifissione; infatti dalla tabella precedente si vede come entrambi gli isotopi Uranio hanno anchesezioni d’urto che non inducono fissione. Laη quindi si calcola moltiplicandoν per la frazionedella sezione d’urto totale nelfuel che porta alla fissione; ad es. se il neutrone e’ assorbito da235Upuro sara’

η = ν × [σf

σf + σc] = 2.06 (3.3)

mentre per l’Uranio naturale, che contiene solo il 0.72% di235U il valore dellaη della mistura vale

η = ν × [0.72σf(235)

0.72σa(235) + 99.28σc(238)] = 1.328 (3.4)

Si puo’ cambiareη variano la percentuale, arricchendo, di235U, ad esempio portando quindiη =1.654.

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Figure 3.1: Schema di procesi durante una generazione di neutroni

(2) Alcuni neutroni veloci pero’ possono causare anche loro fissione prima dello slowing down, inpercentuale piccola ma non trascurabile; questo aumenta ilnumero di neutroni di un fattorechiamatofast fission factorǫ. Tuttavia nei reattori termicidiluiti il rapporto tra moderatore efuele’ grande per cui la probabbilita’ che i neutroni veloci interagiscano e perdano rapidamente laloro energia e’ grande e quindi per un calcolo qualitativo sipuo’ prendere tranquillamenteǫ = 1.

(3) La resonance escape probability, p, tiene conto della possibilita’ che un neutrone veloce, nelloslowing down, venga catturato dal238U nella regione delle risonanze tra 10 e 100 eV, Figura 3.2.E’ un fattore importante che dipnde dalla velocita’ con cui ineutroni veloci sono rallentati e dalnumero N238 di atomi di238U relativamente agli atomi del moderatore. Non e’ semplice stabilirequesto numero, una relazione approssimata usabile per un sistema omogeneo e’ la seguente

p = exp[− 2.73

< ξ >N238

Σs0.514] (3.5)

dove conΣs e’ indicata la sezione d’urto macroscopica di scattering, assunta indipendentedall’energia dl neutrone. Il decremento logaritmico dell’energia mediaξ per la mistura si ricavada quello dei singoli componenti pesandoli con la probabilita’ di scattering

< ξ >=∑

Niσsiξi/

∑

Niσsi(3.6)

In un reattorediluito siaΣs che< ξ > assumono gli stessi valori che nel caso di un moderatorepuro, vedi tabella seguente.

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Figure 3.2: Regione delle risonanze cattura neutroni di U-238

Come ci si aspetta,p aumenta con< ξ > perche’ piu’ grande e’ questo valore maggiore e’ lavelocita’ di rallentamento dei neutroni, inoltrep aumenta anche con il rapporto moderatore-fuelperche’ aumenta la probabilita’ di scattering dei neutroniveloci con gli atomi del moderatorepiuttosto che l’interazione con gli atomi di238U. Ad esempio, in un reattore con Uranio arricchitoal 1.6% in grafite ed un rapporto moderatore-fuel di 600, si ricava p = 0.749.(4) Una volta termalizzati i neutroni continuano a scatterare,alcuni sono assorbiti dal moderatoreo altri componenti strutturali, ma una frazione e’ riassorbita dalfuel. Questa frazione e’ chiamatathermal utilization factor, f, ed e’ data da

f =Σa(F )

Σa(C)=

Σa(F )

Σa(F ) + Σa(M) + · · · =NF σa(F )

NFσa(F ) + NMσa(M) + · · · (3.7)

dove C,F,M· · · indicano Core,Fuel e Moderatore, etc. Nel caso in studio come esempio diprogetto di reattore si ha 1.6% di Uranio arricchito con 1 atomo di Uranio per ogni 600 atomi dicarbone, e si considera l’assorbimento dovuto al fuel e moderatore solo nella parte del core,quella centrale, del reattore senza tener conto della finitezza di questo. Calcolando quindi f, conσa(F) = 13.56 b come calcolato precedentemente,σa(M) = 0.0045 b dalla tabella e NM /NF = 600,si ottiene f = 0.834.Bisogna ancora tener conto della frazione di neutroni che sfuggono dalla zona centrale data lafinitezza del reattore. Ci sara’ una frazione lf di neutroni fast ed una frazione di neutroni slow ls,in totale si puo’ calcolare la frazione di neutroni che NON andranno persi come (1-lf )(1-ls.A questo punto si hanno tutti i termini per determinare quanti neutroni per ogni singolo neutroneiniziale sopravviveranno per continuare il ciclo, cioe’ sicalcola il fattore di moltiplicazione

k = ηǫpf(1 − lf)(1 − ls) (3.8)

che si semplifica nel caso di un reattore infinito, senza leakage, nella formula a quattro fattori

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k = ηǫpf (3.9)

Combinando i fattori come calcolati nei punti precedenti, con Uranio arricchito al 1.6% erapporto grafite/Uranio di 600, si ottiene

kinfty = 1.654 × 1 × 0.749 × 0.834 = 1.033 (3.10)

Con queste cifre di progetto il reattore puo’ funzionare e lavorare sul punto critico di k=1,ammesso che non si perda piu’ del 3.3% di neutroni date le dimensioni finite di un reattore reale,vedi Figura 3.1

3.1.2 Moderatore

La scelta del moderatore e’ di estrema importanza nella realizzazione di un reattore termico. Essodeve essere tale da frenare i neutroni veloci molto rapidamente da limitarne la cattura nella zonaenergetica delle risonanze del238U e contemporaneamnete da non assorbire troppi neutroni luistesso.Lo slowing down avviene per mezzo di successivi scattering ecio’ avviene meglio con nucleileggeri, tre sono i materiali piu adatti allo scopo: acqua, acqua pesante e grafite. La tabella illustrale proprieta’ piu’ rilevanti di questi tre moderatori.

Materiale M.Wt densita’ σs σa ξ SDP(g cm−3) (b) (b) (m−1)

H2O 18.01 1.0 49.2 0.66 0.920 151D2O 20.02 1.1 10.6 0.001 0.509 18

Grafite 12.01 1.6 4.7 0.0045 0.158 6.0

Un buon moderatore deve avere grande sezione d’urto di scattering ed alto decrementologaritmico dell’energia, cioe’ loslowing down powerdefinito come SDP =ξΣs deve esseregrande ed in piu’ deve avere poco potere assorbente. Ad esempio il Boro (A∼ 11) ha una effettivacapacita’ di SDP maggiore della grafite ma ha un piu’ alto potere di assorbire e quindi e’inefficace come moderatore; esso e’ invece usato sotto formadi barre come elemento di controllodella criticita’ del reattore in quanto ha grande capacita’di assorbire neutroni.Ognuno dei tre materiali come moderatore ha i pro ed i contro.L’acqua ha basso costo ed altesezioni d’urto eξ, ma ha anche alto potere assorbente per cui e’ necessario usare Uranioarricchito, che costa. L’acqua pesante, con deuterio, e’ molto meglio ma ha un costo moltoelevato rispetto all’acqua ed alla grafite. La grafite ha basso costo ma ha un numero di massagrande e quindi laξ e’ relativamente piccola per un reattore ideale. Ma con questo materiale,grafite, ugualmente si puo’ costruire un reattore con solo uranio naturale.Da quanto visto precedentemente f e’ una funzione decrescente e p invece crescente del rapportomoderatore-fuel NM /NF . Per un dato valore di arricchimento del235U c’e’ un valorte del rapporto

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NM /NF per cui k∞ e’ massimo, vedi tabella successiva, in cui sono elencati i valori di η, f, p e k∞per una mistura omogenea di grafite ed Uranio di dato rapportoNM /NF e due gradi diarricchimento del235U: naturale(0.72%) e 1.6%.Dalla tabella e’ evidente come per l’Uranio naturale non ci sono concentrazioni tali da mantenereuna reazione di fissione autosostenuta e quindi un reattore in condizioni critiche. Cio’ e’ dovuto aipiccoli valori diη e p. Il basso valore di p e’ dovuto al piccolo SDP della grafite equindi allagrande probabilita’ che il neutrone sia catturato dal238U nella regione delle risonanze. D’altraparte anche con un piccolo arricchimento k∞ supera l’unita’, ma questo e’ dovuto nonall’aumento di p ma alla crescita diη poiche’ la sezione d’urto di fissione termica del235U e’ piu’di 200 volte maggiore della sezione d’urto di cattura del238U.Un modo per accrescerep e’ quello di fissare l’Uranio in barre immerse nella grafite secondo unoschema regolare. In questo modo la grafite modera piu’ neutroni che lasciano una barra prima chequesti arrivino ad un’altra barra e quindi aumenta la probabilita’ di fissione termica, riducendo laprobabilita’ di assorbimento per risonanza. Da tener presente anche che il neutrone con energianella zona delle risonanze percorre uno spazio molto breve equindi il materiale dello stratosuperficiale delle barre contribuisce poco all’assorbimento. Questo tipo di reattore, eterogeneo, e’quello sperimetao per la prima volta da Enrico Fermi nel 1942. Naturalmente le barre nondebbono essere troppo spesse altrimenti i neutroni termicinon raggiungerebbero l’interno dellebarre ef sarebbe ridotto in modo non voluto perche’ il numero effettivo di atomi di fuelutilizzabile sarebbe ridotto.

235U:0.72%;η=1.328 235U:1.600%;η=1.654NM /NF f (p k∞ f p k∞

100.0 0.944 0.480 0.602 0.968 0.482 0.771200.0 0.894 0.599 0.712 0.938 0.601 0.931300.0 0.849 0.660 0.744 0.909 0.661 0.995400.0 0.808 0.699 0.751 0.883 0.700 1.022500.0 0.771 0.727 0.745 0.858 0.728 1.032600.0 0.738 0.748 0.733 0.834 0.749 1.033700.0 0.707 0.765 0.718 0.811 0.766 1.027800.0 0.678 0.778 0.701 0.790 0.779 1.018900.0 0.652 0.790 0.684 0.770 0.791 1.0071000.0 0.628 0.800 0.667 0.751 0.801 0.994

Tutti i reattori reali sono finiti e k∞ deve essere maggiore di 1 per compensare laperdita,(leakage), dalla suparficie esterna. La dimensione di un reattore dipende da due principaliquantita’: (i) di quanto k∞ > 1 e (ii) la distanza media che i neutroni percorrono dal loro punto dicreazione prima di essere assorbiti. Per un reattore in condizioni di criticita’ k =1 e quindi (k∞ -1) e’ una misura della frazione di neutroni che fuoriescono dal reattore. Piu’ piccolo e’ il reattoremaggiore e’ questa frazione, quindi sara’ necessario calibrare le dimensioni del reattore inmaniera da mantenere la frazione di leakage ad un dato livello.

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3.2 Il reattore finito

I reattori reali sono finiti e la maggior parte eterogenei costituti, in generale, da un lattice di barredi fuel circondate dal moderatore. Di seguito, pero’, si fara’ ancora riferimento a reattoriomogenei per semplificare, senza stravolgere, le ipotesi dilavoro. Alla base del calcolo delledimensioni di un reattore realistico c’e’ il processo di diffusione dei neutroni dal loro punto diorigine per tutta la loro storia: o assorbiti nel reattore o persi.

3.2.1 Diffusione

La teoria classica della diffusione parte dal concetto che particelle in moto, diffondendo in seguitoad urti casuali nel mezzo, tendono a diventare uniformemente distribuite nel volume. Se siconsidera un piano nel mezzo, ad es. z=costante, ci sara’ un flusso di particelle attraverso il pianoin entrambe le direzioni e possiamo definire una densita’ di correnteJz come il numero netto diparticelle che attraversa l’unita’ di area nella direzione+z nell’unita’ di tempo. Se la densita’ diparticellen e’ uniforme,Jz = 0, ma sen non e’ uniforme,n = n(z), ci sara’ un flusso nettoattraverso il piano che tendera’ a ristabilire l’equilibrio ad una rate proporzionale al gradientedella concentrazione, cioe’

Jz = −D∂n

∂z(3.11)

essendo D una costante di proporzionalita’ chiamatacoefficiente di diffusione. Se∂n/∂z > 0, ilflusso e’ nella direzione negativa, cioe’ da concentrazionealta a bassa. Equazioni simili sipossono scrivere per i gradienti di concentrazione nelle direzioni x e y. La densita’ di correntetotale e’ il vettore somma:

J = iJx + jJy + kJz = −D∇(n) (3.12)

essendo∇ = i∂/∂x + j∂/∂y + k∂/∂z e i,j ek vettori unitari nelle direzioni x, y e z.Il coefficiente D si puo’ stimare usando l’argomento del libero cammino medio semplificato.Innanzitutto si suppone che le n particelle si muovano tuttealla stessa velocita’ media v. In unaunita’ di volume ci saranno in media 1/3 delle particelle chesi muoveranno prevalentemente inuna data direzione, ad es. la z. Meta’ di queste, cioe’ n/6, hanno una velocita’ v nella direzione +ze n/6 una velcita’ v nella direzione -z. In condizioni di uniformita’ ci saranno quindi nv/6particelle che attraverseranno il piano z=const in una direzione ed altrettante nella direzioneopposta ed il flusso netto sara’ nullo. Seλs e’ il libero cammino medio di scattering, allora leparticelle che attraversano il piano avranno avuto il loro ultimo scattering ad una distanza dalpiano pari a (z-λs) in un verso e a (z+λs) nel verso opposto. Se vi e’ un gradiente diconcentrazione, si puo’ ottenere la densita’ di corrente netta che attraversa il piani, ad es. nelladirezione +z come

Jz =v

6n(z − λs) −

v

6(z + λs) =

v

6[−2λs

∂n

∂z] = −vλs

3

∂n

∂z= −D

∂n

∂z(3.13)

che fornisce un’espressione per D in termini di quantita’ microscopiche.

59

3.2.2 Equazione di continuita’

L’equazioneJ = −D∇(n) permette di ricavare le equazioni differenziali per la quantita’ ndovuta alla diffusione. In un elemento di volume dV=dx× dy × dz, il numero di particelle, perunita’ di tempo, (corrente), entranti, ad es. dal lato dxdy sara’ jzdxdy mentre la corrente che escedal lato opposto sara’(jz+dJz)dxdy. Il flusso netto nell’elemento di volume dovuto alla correntelungo l’asse z e’ quindi

Jzdxdy − (Jz + dJz)dxdy = −∂Jz

∂zdxdydz = −∂Jz

∂zdV (3.14)

Espressioni simili si ricavano per il flusso di corrente lungo le direzioni x e y e la somma totalefornisce il flusso totale netto delle particelle per unita’ di tempo nel volume. Dividendo perl’elemento di volume dV si ottiene la rate di crescita della densita’ di particelle

∂n

∂t= −[

∂Jx

∂x+

∂Jy

∂y+

∂Jz

∂z] = −∇ · J (3.15)

che con la sostituzione diJ diventa∂n

∂t= D∇2n, ∇2 =

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(3.16)

Questa equazione di continuita’ descrive la diffusione di particelle in un mezzo in cui non vi e’creazione o distruzione di particelle; per descrivere la diffusione dei neutroni in un reattore e’necessario aggiungere termini ulteriori, al termine di destra dell’equazione, per tener conto dellaloro produzione ed assorbimento.Se si hanno N nuclei per unita’ di volume, la rate di perdita dineutroni dovuti all’asorbimento perunita’ di volume sara’ΣaΦ, essendoΦ il flusso di neutroni incidente eΣa = Nσa la sezione d’urtomacroscopica totale di assorbimento dei neutroni, mentre la rate di produzione di neutroni perunita’ di volume inr ed al tempo t sara’ indicata comeS(r, t). L’equazione di continuita’ diventaallora

∂n

∂t= D∇2n(r, t) − ΣaΦ(r, t) + S(r, t) (3.17)

Questa e’ l’equazione dipendente dal tempo della diffusione per neutroni in un mezzo. Se iltermine sorgente e’ indipendente dal tempo, cioe’∂n/∂t = 0, allora la distribuzione di densita’neutronica raggiunge una condizione di equilibrio e quindil’equazione si trasformanell’equazione di diffusione stazionaria

D

v∇2n(r) − ΣaΦ(r) + S(r) = 0 (3.18)

tenendo conto che il flusso neutronicoΦ(r)=v n(r) e assumendo che la velocita’ media v non varicon la posizione.

3.2.3 Lunghezza di diffusione

Una delle proprieta’ piu’ importanti di un materiale moderatore e’ la sualunghezza di diffusione Lche e’ legata alla rms della distanza percorsa dal neutrone nella diffusione nel mezzo prima di

60

essere assorbito. Si puo’ ricavare questa relazione osservando come varia il flusso di neutroni daun punto sorgente localizzato all’origine di un mezzo infinito. In un punto lontano dar=0 viene amancare il contributo diS(r) che e’ nullo e quindi si puo’ scrivere

∇2Φ(r) =vΣa(M)

DΦ(r) =

Φ(r)

L2(3.19)

avendo introdotto la sezione d’urto macroscopica per il moderatore,Σa(M), e la quantita’, condimensioni di lunghezza,lunghezza di diffusioneL2 = D/v Σa(M).Per un punto sorgente posto all’origine il sistema ha simmetria sferica e quindi si puo’ ricavareuna soluzione dell’equazione in termini di r soltanto; esprimendo la∇2Φ in coordinate sferiche

∇2Φ =d2Φ

dr2+

2

r

dΦ

dr=

Φ

L2(3.20)

conu(r) = rΦ(r) e sostituendo, si ottiene la semplice equazione

d2u(r)

dr2− u(r)

L2= 0 (3.21)

che ha come soluzione generaleu(r) = ae−r/L + be+r/L o

Φ(r) = ae−r/L

r+ b

e+r/L

r(3.22)

a e b costanti. Il flusso di particelle svanisce all’infinito per cui si hanno le condizioni al contornoΦ(r) → 0 come r→ ∞, cosi’ b = 0.La probabilita’ di trovare un neutrone in un range r e r+dr dalla sorgente e’ proporzionale aΦ(r)dV, dove dV=4π r2dr e’ l’elemento di volume. La distanza media quadratica< r2 >percorsa dal neutrone tra la sua nascita (ar = 0) e il suo assorbimento nel mezzo e’ dato da

< r2 >=

∫

∞

0r2Φ(r)dV

∫

∞

0Φ(r)dV

=

∫

∞

0r3e−r/Ldr

∫

∞

0re−r/Ldr

= 6L2 (3.23)

3.2.4 Equazioni del reattore

La condizione di flusso stazionario di neutroni in un mezzo omogeneo soddisfa quindil’equazione simile alla precedente

D

v∇2n(r) − Σa(C)Φ(r) + S(r) = 0 (3.24)

dove il primo termine e’ il termine dileakage, il secondo rappresenta l’assorbimentoed il terzo laproduzione. La Σa(C) e’ la sezione d’urto macroscopica di assorbimento per ilcore del reattore.Per un reattore diluito, il valore diD e’ assunto essere uguale a quello del puro moderatore.Il fattore di moltiplicazione infinito puo’ essere espressocome

k∞ =ratetotalediproduzionedineutroninelcore

ratetotalediassorbimentodineutroninelcore=

∫

S(r)dV∫

Σa(C)Φ(r)dV(3.25)

61

Nel caso di un reattore omogeneo la composizione e’ uniforme, all’interno delle sue pareti, percui il rapporto tra rate di produzione neutronica e rate di assorbimento neutronica e’ indipendentedalla posizione e quindi si puo’ scrivere

k∞ =S(r)

Σa(C)Φ(r)(3.26)

per tutte ler . Risolvendo per S(r ) e sostituenso nell’equazione si ottiene

D

v∇2n(r) + (k∞ − 1)Σa(C)Φ(r) = 0 (3.27)

Questa normalmente viene scritta nella forma

∇2Φ +(k∞ − 1)Φ

L2c

= ∇2Φ + B2Φ = 0 (3.28)

dove L2c = D/vΣa(C) e B2 = (k∞ - 1)/L2

c .L’equazione precedente Eq. 3.28 e’ conosciuta come l’equazioneone-groupdel reattore perche’e’ stata derivata assumendo che tutti i neutroni formino un gruppo unico che si muove a velocitatermica media. La quantita’ Lc e’ la lunghezza di diffusione dei neutroni termici nel core.Se il core puo’ essere inteso solo come fuel e moderatore, alloraΣa(C) = Σa(F)+Σa(M) e lalunghezza di diffusioneLc si puo’ esprimere come lunghezza di diffusione del moderatore L efattore termico di utilizzazione f; dalla relazione

(1 − f) =Σa(C) − Σa(F )

Σa(C)=

Σa(M)

Σa(C)(3.29)

si ottieneL2

c = (1 − f)L2 (3.30)

dove Lc indica la lunghezza di diffusione dei neutroni nel reattoredopo che essi sono statitermalizzati, (cioe’ termici), e trascurando la distanza percorsa durante il processo di slowingdown. Si puo’ tener conto di questa distanza introducendo lalunghezza di slowing downLs equindi mettendo al posto di L2c → L2

c+L2s.

I valori medi di D, L2 e L2s per i tre comuni moderatori sono dati nella seguente tabella

Moderatore D(cm) L2(cm2) L2s(cm2)

H2O 0.16 8.1 27D2O 0.87 30000 131

Grafite 0.84 2650 368

3.2.5 Soluzione dell’equazione del reattore

La soluzione dell’equazione del reattore lega i parametri base di progetto del reattore (k∞,Lc) alledimensioni del reattore per ottenerne la criticita’ cioe’ la condizione per operare in condizionistazionarie. La dimensione critica si ottiene risolvendo l’equazione Eq. 3.28 imponendo lecondizioni al contorno dettate dalla geometria scelta. Sono particolarmente facili per le duegeometrie: rettangolare e sferica.

62

Geometria rettangolare L’equazione del reattore diventa

∇2Φ =∂2Φ

∂x2+

∂2Φ

∂y2+

∂2Φ

∂z2= −B2Φ (3.31)

che si risolve imponendo che le variabili siano indipendenti e separabili e quindiΦ = X(x) Y(y)Z(z), dopo di che sostituendo si hanno tre equazioni indipendenti:

1

X

d2X

dx2= const. = −α2,

1

Y

d2Y

dy2= −β2,

1

Z

d2Z

dz2= −γ2 (3.32)

con B2 = α2 + β2 + γ2.Le soluzioni sono del tipo X(x)=asin(αx) + b cos(αx) dove a e b sono costanti di integrazione;analogamente per le Y e Z. Se si impone ora la condizione al contorno che il flusso si annulli allasuperficie del reattore che per un reattore cubico di lato L significa cheΦ → 0 per x = 0 e x = L,allora b = 0 eα L = π. Ugualmente per Y e Z si avra’β L = γ L = π, per cui B2 = 3π/L2 ed ilvolume del reattore sara’

L3 = 161/B3 (3.33)

Geometria sferica In questo caso si passa alle coordinate sferiche e si cerca una soluzione consimmetria sferica, cioe’Φ = Φ(r), cosi’ con la sostituzione u(r) = rΦ(r) si ha l’equazione

d2u

du2+ B2u = 0 (3.34)

e la soluzione generale ha la formaΦ(r) = u(r)/r = asin(Br)/r + bcos(Br)/rdove di nuovo a e b sono costanti di integrazione. Poiche’ la densita’ di flusso all’origine, r=0, e’finita, deve essere b=0 ed assumendo ancora che il flusso si annulli sui bordi della sfera per r= R,deve essereΦ(R)=0, si ottiene che B·R = π, e per il volume sferico del reattore

V = 4πR3/3 = 130/B3 (3.35)

In un reattore reale il flusso non e’ mai zero ai bordi fisici delreattore ed inoltre se il sistema e’racchiuso da materiale riflettente ci saranno neutroni che verranno scatterati indietro internamenteal reattore; in sostanza il valore diR trovato e’ quindi maggiore del raggio del core fisico, ma ladifferenza e’ tipicamente di qualche centimetro che e’ trascurabile a fronte delle dimensioni diRche sara’ di parecchi metri.Come esempio si vuole calcolare il raggio di un reattore sferico, Uranio-grafite, con un rapportomoderatore-fuel di 600 ed un arricchimento di235U del 1.6%. Dalle tabelle precedenti si ricavache k∞= 1.033, f = 0.834, L2 = 2650 cm2 e L2

s = 368 cm2, quindi si puo’ scrivere

B2 =(k∞ − 1)

(1 − f)L2 + L2s

=0.033

0.166 × 2650 + 368= 4.08 × 10−5cm2 (3.36)

ed il raggio del reattore r =π/B = 492 cm, circa 5 metri.in questo modo si sono definite le dimensioni del reattore, basate sulle assunzioni fatte; dalledimensioni e composizione si determina la massa del reattore e quindi la massa di fuel da metteredentro. Tuttavia la potenza del reattore dipende dal flussoΦ e questo e’ determinato dallecondizioni di lavoro del reattore.

63

3.3 Operazioni del reattore

Importante a questo punto sono gli aspetti pratici del funzionamento del reattore, come la potenzaricavata, il consumo di fuel, o per la sua criticita’ come varia la densita’ neutronica, importanteper mantenere le condizioni di stazionarieta’, ed infine la produzione di frammenti di fissione congrande sezione d’urto di cattura, che causa il cosidettoavvelenamentodel reattore.

3.3.1 Potenza del reattore e consumo di materiale fissile

Il reattore per lavorare in condizioni stazionarie deve tenere il fattore di moltiplicazione dineutroni, k, costantemente uguale ad uno. All’inizio k lo silascia aumentare di poco in modo cheil flusso di neutroni aumenti al valore desiderato, dopo di che si riporta il fattore k al valoreunitario per avere una produzione stazionaria di potenza. Parametri importanti sono: la potenzagenerata, la potenza per unita’ di massa (rating) ed il consumo di fuel, materiale fissile. Questequantita’ dipendono dalla massa totale di materiale fissilee dalla sezione d’urto dei neutroni colmateriale e dal flussoΦ.La probabilita’ di reazione per unita’ di tempo per N nuclei e’

R = NΦσ = MNAΦσ/A (3.37)

conσ sezione d’urto microscopica, M la massa del materiale fissile, A il numero di massa deinuclei interagenti, eNA e’ il numero di Avogadro. Per la reazione di fissine al posto diσ sisostituisceσf e si ottiene quindi la rate di reazione di fissioneRf e se ogni reazione di fissionelibera una quantita’ E di energia utile, si ottiene per la potenza prodotta

P = RfE (3.38)

Problema: Si calcoli la potenza prodotta, il rating e il consumo di materiale fissile per un reattoretermico contenente 150 tonnellate di Uranio naturale operante con un flusso di 1013 cm−2 s−1.I dati che servono sono ricavabili dalle tabelle precedenti: σf (235U) = 579 b,σc(235U) = 101b el’energia utilizzabile per fissione E = 200 MeV.La frazione di atomi di235U nell’Uranio naturale (numero di massa 238.03) e’ 0.72%, quindi ilnumero di atomi di Uranio-235 nel reattore sara’

N(235U) =1.5 × 105 × 0.0072 × 6.022 × 1026

238.03= 2.73 × 1027nuclei (3.39)

La potenza prodotta quindi sara’P = N(235U)ΦσfE = 507 MW ed il rating o potenza per unita’di massa sara’ di circa 3.4 MW per tonnellata di Uranio.ll consumo di fuel, che comporta una riduzione dell’Uranio-235, dipende dalla sezione d’urtototale di assorbimento dell’235U, σa = 680 b. Il numero totale di nuclei di235U consumati persecondo sara’ uguale a

N(235U)σaΦ = 2.73 × 1027 × 680 × 10−24 × 1013 = 1.86 × 1019s−1 (3.40)

In un anno (∼ 3× 107 s), si avra’ circa 5.9× 1026 nuclei fissionati che sorrispondeapprossimativamente ad un quinto dell’ammontare inizialedi 235U .

64

3.3.2 Cinetica del reattore

Al fine di mantenere il reattore in condizioni stazionarie, quindi sotto controllo, e’ necessario cheil fattore di moltiplicazione fluttui attorno al valore unitario, k=1, lentamente.Se q = k-1> 0, il numero di neutroni n aumentera’ di una quantita’ nq in untempo tp = ts +td, vitamedia dei neutroni pronti, dove ts indica il tempo impiegato da un neutronefasta termalizzarsi etd il tempo di diffusione prima di venire catturato. Cosi’ dn/dt = nq/tp e il numero di neutronicrescera’ esponenzialmente col tempo

n(t) = noeqt/tp (3.41)

In molti casi ts ≪ td cosicche’ tp ≈td = λa/v, doveλa il libero cammino medio di assorbimento diun neutrone termico nel core e v e’ la velocita’ media. Oraλa = 1/Σa(C) e nel coreΣa(C) = Σa(F)+ Σa(M) e cosi’

tp ≈ 1/vΣa(C) = (1 − f)/vΣa(M) (3.42)

Problema: Calcolare la crescita di flusso neutronico in 10 s in un reattore con f = 0.9 e se il fattoredi moltiplicazione e’ maggiore di uno,k = 1.001.Se la densita’ del moderatore, grafite, e’ (ρ = 1600 kg m−3), la Σa(M) vale

Σa(M) = ρσa/Amu = (1600 × 0.0045 × 10−28)/12mu = 0.036m−1 (3.43)

essendo la velocita’ media v = 2200m s−1; sostituendo nella Eq. 3.42 si ottiene tp ≈ 10−3 s. Siricava quindi la variazione in numero di neutroni n(t) = noexp(qt/tp) = exp(10)≈22000, che e’ unacrescita molto rapida difficilmente da controllare.Per fortuna ci sono i neutroni ritardati dall’emissioneβ, una frazioned di circa 0.0065 deineutroni da fissione. In questo caso, l’Eq. 3.41 e’ modificataper contenere due termini, unodipendendo dalla vita media dei neutroni pronti ed uno dipendente dalla vita mediaτ dei neutroniritardati. Una espressione approssimata che tiene conto dei due termini e’ la seguente

n(t) = no[d

d − qexp(

qt

(d − q)τ) − q

d − qexp(

−d(d − q)t

tp) (3.44)

che diventa la Eq. 3.41 sed = 0. Premesso che sempre q< d, la rate di crescita di n(t) sara’governata dal tempo medio del ritardo,τ ≈12.5 s, che e’ molto maggiore di tp, quindi bisognaaggiungere un termine all’espressione di n(t) e se q≪ d si puo’ scrivere

n(t) ∼ no exp(qt/(d − q)τ) (3.45)

Dall’espressione si vede che la rate di crescita o diminuzione, dipendendo dal segno di q, e’ piu’bassa, ma deve essere sempre q< d, altrimenti si ricade nel caso di crescita veloce perche’l’esponente diventa positivo.Per un reattore tipico Uranio-grafite , q = 0.001 che significan(t)/no ≈exp(t/70), che implica unacrescita di un fattore exp(≈ 2.7) in circa 70 s, un tempo che permette un controllo facile.

65

3.3.3 Avvelenamento del reattore

In un reattore in azione si producono frammenti di fissione ( principalmente Xenon e Samario)che hanno una grande sezione d’urto di cattura neutronica. Questi frammenti,veleni del reattore,crescono col tempo ed assorbono sempre piu’ neutroni ed in questo modo il fattore dimoltiplicazione diminuisce portando il reattore sutto la soglia di criticita’. A cio’ si reagiscetogliendo gradualmente dal core le barre di controllo che assorbono neutroni per ristabilire illivello di criticita’ (k = 1). Lo 135Xe e’ formato direttamente nella fissione del235U, con uno yielddi 0.2%, o come risultato del decadimento di135I, che ha uno yield ancora maggiore, di circa6.4%. La catena di decadimento e’

135Sb1.7s→ 135Te

19s→135I6.6h→ 135Xe

9.1h→ 135Cs3My→ 135Ba

I frammenti Sb e Te decadono in tempi brevi e quindi non hanno effetto, mentre e’ importantenella catena lo135I che nel giro di qualche ora produce una quantita’ considerevole di 135Xe.Questo ha una sezione d’urto di cattura per neutroni termicimolto grande 2.7× 106 b per cui ineutroni termici diminuiscono e cosi’ il fattore di moltiplicazione. Si compensa con una gradualeriduzione della massa di materiale di controllo, ( che aveval’effetto di ridurre il flusso di neutroni)mediante la rimozione delle barre di controllo. In ogni casosi arrivera’ ad una situazione per cuiil reattore non sara’ piu’ critico, ma in condizioni dishutdown. Il reattore potra’ ripartire solodopo un certo tempo tale per cui la la maggior parte delveleno, cioe’ dello Xe, sara’ decaduto.Naturalmente questo tempo prima dello start up dipende dalla capacita’ di compensazione delreattore, cioe’ delle barre, ad esempio se la capacita’ di compensazione della variazionepercentuale ink e’ solo del 5% sara’ necessario piu’ di un giorno.

3.4 Reattori di fissione

Tutti i reattori nucleari consistono degli stessi elementiessenziali: ilfuel o materiale fissile; unmoderatore per termalizzare i neutroni ( che pero’ puo’ non essere presente in un reattore cheusa neutroni veloci); unreflector che circonda ilcore, fuel piu’ moderatore, per ridurre lafuoruscita dei neutroni e quindi ridurre le dimensioni del reattore; unvessel contenitore percontenere i prodotti della fissione alcuni dei quali sono gassosi; unoshielding schermo protettivoper impedire che neutroni eγ producano danni biologici al personale; uncoolant per rimuovere ilcalore generato dal core; uncontrol system per permettere di controllare lo stato del reattore edassicurarne la condizione di stazionarieta’; e variemergency systems progettati per intervenirenel caso di malfunzionamento del sistema di controllo o raffreddamento per evitare disastri ( vediChernobyl).

Tipi di reattori La classificazione si basa principalmente sul tipo di impiego: generatori dienergia, ricerca e conversione.

66

Figure 3.3: Schemi di reattori ad acqua calda e presurrizzata

Reattori di potenza si chiamano i reattori atti ad estrarre l’energia cinetica dai frammenti difissione come calore e convertire l’energia calorica in energia elettrica, ad esempio come acquabollente che muove una turbina per mezzo del vapore. Questo tipo di reattore richiede molta piu’attenzione nella progettazione della parte termodinamicache in quella nucleare. Il costo del fuelrappresenta una picola parte del costo totale dell’impianto dove la spesa maggiore ricade sulloschermo protettivo, sul contenitore e sulla parte di generazione dell’energia elettrica. Per questomotivo e’ molto piu’ economico costruire centrali grandi, maggiori di 1000 MW, piuttosto chemolte piccole. Inoltre, per la bassa efficienza termodinamica, c’e’ molta dispersione di calore, dipiu’ che in quelle a combustibile fossile.

Reattori di ricerca sono quei reattori progettati per produrre neutroni per ricerche nell’area dellafisica nucleare o di stato solido. Questi generalmente operano ad un passo livello di potenza, nelrange da 1-10 MW. Una caratteristica di questi reattori e’ diavere un alto flusso di neutroni,tipicamente 1013n/cm2/s, ma ne esistono anche di 1-2 ordini di grandezza superiore. incondizione stazionaria ed operanti in modo impulsato. Questi reattori sono provvisti di un accessoal core, ad es. con una beam pipe, per incanalare i neutroni adun apparato sperimentale, esempioun apparato di diffrazione neutronica per studiare la struttura cristallina, oppure di unathermalcolumn di grafite messa vicino al core del reattore per schermare i neutroni veloci e quindi averesorgenti di neutroni termici con uno spettro ben preciso di energia cui esporre campioni dastudiare.Reattori convertitori sono reattori progettati per avere un’alta efficienza per convertire conneutroni termici materiale che non e’ fissionabile in materiale fissionabile.La conversioneprincipalmente si attua da238U a239Pu oppure da232Th a233U. In entrambi i casi la conversioneinvolve la cattura di un neutrone seguita da due decadimentiβ.

238U + n→239U23min→ 239Np + β− + ν, 239Np

2.3d→ 239Pu +β− + ν.

67

232Th + n→233Th22min→ 233Pa +β− + ν, 233Pa

27d→233U + β− + ν.

Isotopi come il233Th e238U, che sono convertibili in materiale fissile termico, sono detti fertili.In principio e’ possibile progettare un reattore in cuiη circa 2; in questo modo con due neutroniemessi per ogni neutrone assorbito nel fuel, un neutrone puo’ essere usato per sostenere lareazione a catena e l’altro per fertilizzare il materiale. Assumendo che le altre perdite sianominimizzate, allora conη >2 un reattore puo’ produrre piu’ materiale fissile di quantoconsumato. Tali reattori sono chiamatibreeder. Per i neutroni termici, il239Pu haη = 2.1, madifficilmente si riesce a mantenere le perdite di neutroni ( leakage, cattura risonante etc.) sottoallo 0.1, questo significa che non si puo’ avere lafertilizzazione. Nel caso di neutroni fast,ordine del MeV,η = 3 per il 239Pu e quindi la fertilizzazione diventa possibile. Questo e’il motivoper cui grossi sforzi si sono fatti per progettare reattori breeder veloci. Un vantaggio di questireattori e’ che il nuovo materile fissile cosi’ ottenuto puo’essere separato dal materiale fissile conprocedimenti chimici che sono molto piu’ economici e faciliche i metodi per separare meterialefissile da non fissile come l’235U da238U.

Il sistema di raffreddamento Elemento fondamentale del reattore e’ il sistema diraffreddamento senza il quale il calore prodotto scioglierebbe (meltdown) il core. Importante e’l’efficienza con cui il mezzo raffreddante estrae il calore dal core. I materiali raffreddanti possonoessere gassosi ( aria, CO2, elio), acqua o altri liquidi. come pure metalli liquidi chehanno una altacapacita termica. Poiche’ il vapore ha una piccola capacita’ termica, i reattori che usano acqua perraffreddare debbono essere tenuti, presurrizzati, ad altapressione , piu’ di 100 atm, al fine dimantenersi liquidi al di sopra del punto di ebollizione. Sono dettireattori ad acqua presurizzata.Un altro materiale impiegato e’ il sodio liquido che ha una grande capacita’ termica e quindirimane liquido a pressione normale, ma ha il difetto di diventare radiattivo e di essere altamentecorrosivo. E’ impiegato nei reattori breeder perche’ necessitano di una alta eficienza diraffreddamento per volumi piccoli.Nelle Figura 3.3 sono mostrati gli schemi di principio dei principali tipi di reattori con il sistemadi raffreddamento.

3.4.1 Futuro dell’energia da fissione nucleare

L’impiego di reattori a fissione nucleare data da piu’ di mezzo secolo con non pochi problemi,vedi Chernobyl, tuttavia la domanda di energia e’ crescentee l’energia nucleare sicuramente sara’usata per soddisfare parte di quella domanda. Tuttavia molti sono i problemi, a cominciare dallasicurezza, regolazione e controllo delle installazioni nucleari e del materiale nucleare , chenecessitano di un continuo sforzo di scienziati e tecnici per soluzioni che permettano un corretto evantaggioso uso dell’energia nucleare. Due sono i problemiprincipali che debbono essere risoltise l’energia nucleare diventasse l’opzione a lungo termineper risolvere i problemi energetici: lescorie radiattive e il materiale fissile. I reatori autofertilizzanti (breeder) dovrebbero assicurare

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l’approvigionamento di materiale fissile indefinitivamente. Per le scorie il discorso e’ piu’delicato e compleso.Quando un reattore e’ ricaricato di fuel, e specialmente quando e’ decommissionato cioe’ messoin disarmo, ci sono grandi quantita’ di scorie radiattive, che debbono essere estratte eimmagazzinate in luoghi sicuri finche’ la loro attivita’ si riduca ad un livello accettabile. Lamaggior parte di queste scorie consiste di frammenti di fissione radioattivi con vite medie didimezzamento di qualche decina d’anni, per cui l’immagazzinamento sarebbe di qualchecentinaio d’anni. C’e’ pero’ una significativa parte di scorie i cui nuclidi radiattivi hanno vitemedie molto lunghe e che richiedono un immagazzinamento di parecchie migliaia di anni. I piu’importanti di questi nuclidi a vita media lunga non sono frammenti di fissione, bensi’ nuclei piu’pesanti dell’Uranio formati per successiva cattura neutronica non seguita da fissione. Esempisono il239Pu, il 242Pu e l’243Am che hanno tempi di dimezzamento di 24000, 373000 e 7400 anni,rispettivamente. Tuttavia se questi rimangono nel reattore possono catturare neutroni e quindiindurre fissione e quindi produrre frammenti con vite medie di decadimento molto piu’ brevi. Suquest’idea si stanno svolgendo ricerche per quello che e’ chiamato reattore ibrido, ADS -accelerator driven system, che hanno lo scopo di progettareun reattore che produca energia utilebruciando la maggior parte delle scorie radiattive a vita media lunga.Questo consiste in un acceleratore che inietta un fascio di alta intensita’ di protoni o deutoni in unreattore a fissione subcritico. Le particelle hanno alta energia e quando bombardano targhette,come piombo o Uranio, producono una grande quantita’ di neutroni. Alcuni di questi neutroniprodurranno fissione, di conseguenza producono energia, e amplificano il flusso neutronico,secondo il valore scelto per il fattore di moltiplicazione.Questi neutroni reagiscono nel core epossono essere usati per convertire scorie, fertilizzare nuovo materiale e generare energia.Una caratteristica importante di questo reattore e’ che nonpuo’ mai andare fuori controllo perche’opera in condizioni subcritiche, per cui quando l’acceleratore ferma il reattore si ferma. Altraimportante caratteristica e’ che puo’ essere usato come inceneritore di scorie radiattive, riducendodi molto le scorie che richiedono un immagazzinamento con tempi geologici.Gli studi per sviluppare questo tipo di reattore sono portate avanti in molti paesi parallelamentealle ricerche sull’impiego della fusione nucleare che e’ unaltro capitolo dell’applicazione dellafisica nucleare.

3.4.2 Prodotti di fissione radioattivi

I due frammenti nucleari prodotti nella fissione hanno un ecceso di neutroni e quindi decadonoβ− per raggiungere l’isobaro stabile nella propria catena delle masse. Questi prodotti di fissionesono importanti per diversi motivi:(1) Una piccola frazione (10-15%) dell’energia di fissione e’rilasciata attraverso l’emissione deiβ eγ. Dopo che il reattore e’ spento, cioe’ dopo che si sonoinserite tutte le barre di controllo e la fissione e’ disinnescata, il calore generato da questidecadimenti continua e diminuisce con una scala dei tempi caratteristica dei tempi didimezzamento dei prodotti di fissione.(2) Man mano che ogni catena raggiunge la stabilita’ siproducono due effetti- l’energia del decadimento diminuisce e il tempo di dimezzamento cresce.Il residuo dei prodotti a vita media lunga (t1/2 ≥anni) costituiscono la parte maggiore delle scorienucleari.(3) Certi prodotti della fissione che si accumulano negli elementi di combustibile

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Figure 3.4: Potenza depositata dai decadimentbeta eγ

possono interferire con il processo di fissione a causa dellaloro grande sezione d’urto di cattura (avvelenamento ).(4) Parecchi prodotti della fissione hanno importanti applicazioni nella ricerca ela loro estrazione dagli elementi di combustibile spento e’l’unico modo economico per produrrequesti isotopi. Per quanto riguarda il primo punto l’energia totale rilasciata in unβ-decay si aggiraattorno ai 19 MeV, da ottenersi in diversi decadimenti sequenziali, ognuno con valori compresi tra6-7 MeV fino ad 1 MeV, man mano che ci si avvicina alla stabilita’. In ciascun nucleo che decadici sono parecchi stati che possono essere occupati, tuttavia la probabilita’ di emissioneβ favoriscedecadimenti con grande energia e quindi i decadimenti piu’ probabili sono quelli che portano viapiu’ energia e vanno ad occupare gli stati eccitati piu’ bassi dei nuclei figli. E’ questa la ragioneper cui l’energia media dei decadimentiγ e’ di circa 7 MeV, molto meno di quella deiβ.L’energia dei decadimentiβ e’ suddivisa tra elettrone e antineutrino, quest’ultimo sfugge e noncontribuisce ne’ al calore ne’ alla radiazione. L’energia media che tocca all’elettrone e’ circa il30-40% dell’energia del decadimento, questo significa che mediamente solo 6-8 MeV dei 19MeV a disposizione appaiono come calore.Una stima della reale energia rilasciata nei decadimentiβ eγ non e’ semplice perche’ si dovrebbeconoscere quali isotopi sono prodotti, ma si puo’ definire unvalore medio, basato sulla stimadella differenza di massa e tempo di dimezzamento

β(t) = 1.26t−1.2MeV/s, γ(t) = 1.40t1.2MeV/s (3.46)

doveβ eγ qui indicano la potenza per fissione depositata rispettivamente come decadimentoβ eγ in funzione del tempo pert compreso tra 1 e 106 s.

Quando un reattore e’ funzionante, i prodotti di fissione sono continuamente prodotti mentre altridecadono. Quando il reattore e’ spento, l’energia dei prodotti radioattivi presenti, che verra’depositata, dipendera’ da quanto tempo il reattore e’ statoattivo. Se il reattore opera dal tempo 0

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Figure 3.5: Potenza radioattiva generata dai prodotti di fissione ed actinidi

al tempo T, la potenza emessa attraverso i decadimentiβ eγ al tempot dopo lo shutdown e’

P (t) = 4.10 × 1011[t0.2 − (t − T )−0.2]MeV/s (3.47)

per Watt della potenza originaria di operazione, ( questo significa che se il reattore funzionavaprima della chiusura a 103 MW, si deve moltiplicare la espressione per 109 ). La Fig. 3.5 mostral’attivita’ di decadimento deiβ eγ ed il livello di potenza dei decadimenti dopo lo shutdown,chiamatoafter heatdi un reattore di ricerca di 1MW.

Sulla scala dei tempi lunghi i prodotti da fissione, quelli a vita media lunga, debbono essere tenutilontano da ogni sistema biologico per tempi che vanno da 105 a 106 anni. In Fig. 3.5 e’ mostratal’attivita’ dei prodotti a vita media lunga e degli actinidi. Sono stati studiati diversi schemi perottenere questo isolamento, ma nessun sistema finora adottato puo’ garantire un perfettoisolamento su quella scala dei tempi. Ogni infiltrazione nelle acque o catena alimentare puo’causare un aumento delle persone colpite da cancro. Tuttavia si puo’ notare che a lungo terminequesto potrebbe anche ridurre il rischio perche’ ridurrebbe il fondo radioattivo naturale. Si calcolache una centrale a carbone che opera a 1000MW in un anno rilascia nell’aria 23 Kg di Uranio e46 Kg di Thorio, insieme ai loro prodotti di decadimento , principalmente Radon. Quindi si puo’dire che l’esposizione della popolazione generale dovuta agli impianti a carbone ’ di gran lungapiu’ dannosa di quella ai reattori nucleari.

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