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APPLICAZIONIAPPLICAZIONI
En
ergi
a po
ten
zial
ePARTICELLA NELLA BUCAinfinita finita
Esiste una probabilità finita di trovare la particella in una zona classicamente proibita
decade esponenzialmente
infiniti livelli
nulla sulle pareti
livelli in numero finito
simile come forma, ma penetra nelle pareti.
Poiché la Ψ penetra nelle pareti, per la particella è come se la buca fosse più grande.Livelli più ravvicinati.
Elettroni negli atomi: modello particella nella buca finita
Solo per energie elevate si ha sovrapposizione delle funzioni d’onda
Solo gli elettroni di valenza contribuiscono al legame chimico.
Atomi e molecole e modello particella nella buca finita
Una buca quantica è un “sandwich” fatto da due differenti semiconduttori in cui l’energia degli elettroni è differente, e la cui struttura atomica è così simile che possono crescere insieme senza un’apprezzabile densità di difetti:
Usata in molti dispositivi elettronici (alcuni transistor, diodi, laser a stato solido)
Energia elettronica
Posizione
Materiale A (AlGaAs) Materiale B (GaAs)
Esempio di una buca di potenziale microscopica un semiconduttore a “buca quantistica”
Si depositano differenti strati di atomi su di un substrato cristallino
AlGaAs GaAs AlGaAs
U(x)
x
Al
As
Ga
Un elettrone ha meno energia in GaAs che in AlGaAs. Può essere intrappolato nella buca.
“ingegneria su nanoscala”
Celle effusive
Processo: epitassia con fasci molecolari
Buche quantiche come queste sono usate come
• diodi che emettono luce (LED)
• diodi laser (usati nel lettori cd)
RIFLETTANZA TOTALELegge di Snell n1 sin θ1 = n2 sin θ2
Tunneling ottico L’onda che subisce riflessione totale all’interno del
materiale in realtà penetra nell’aria per alcune lunghezze d’onda.
RIFLETTANZA TOTALE ATTENUATA
radiazione rivelatore
onda evanescente
MOTO VIBRAZIONALEMOTO VIBRAZIONALE
x spostamento
F = - k xmoto armonico
k: costante di forzaPosizione di equilibrio
POTENZIALE
Spostamento, x
En
ergi
a P
oten
zial
e, V
2
2
1kxV
dx
dVF
Se la curvatura di V è molto grande attorno al minimo, k è grande
En
ergi
a p
oten
zial
e
x=R-Re
k grande
k piccolo
txx
xm
k
dt
xd
dt
xdmkx
dt
xdm
dx
dV
maF
cos0
2
2
2
2
2
2
TRATTAZIONE CLASSICA
x0-x0x0
En
ergi
a P
oten
zial
e, V
202
1kxE
Spostamento, x
La frequenza dipende solo da m e k
L’ampiezza x0 può essere qualsiasim
k
2
1
2
A parità di costante di forza k, al crescere di m la frequenza diminuisce: effetto isotopico
m
k
2
1
2
C-H 3000 cm-1
C-D 2100 cm-1
A parità di massa m, al crescere della costante di forza k la frequenza cresce
PROPRIETA’ dell’oscillatore armonico classicoEnergia: E = T + V = ½kx0
2 = qualsiasi valore
se x0 = 0, E = 0
Probabilità:
x+x0-x0
P(x)
0
Punti di inversione classici
E = ½kx02
n=3
n=2
n=1
Particella nella scatola: tanto più grande è L, tanto più vicini sono i livelli
Nel potenziale armonico, al crescere di V(x) il sistema è meno confinato.I livelli per il potenziale armonico sono equispaziati.
E
1
2
3
2
5
2
7
2
x
9
2
11
2
v 0
v 1
v 2
v 3
v 4
v 5
v 6
...,2,1,0v
)2
1v(
E
TRATTAZIONE QUANTISTICA
I livelli energetici di un oscillatore armonico sono ugualmente spaziati con separazione ħ, con = (k/m)½. Anche nello stato a più bassa energia, un oscillatore ha E > 0
Livelli discreti ed equispaziati
Anche quando v = 0, c’è ancora energia in quantità
Energia vibrazionale di punto zero
2
10 E
Autofunzioni
Le autofunzioni dell’oscillatore armonico sono simili a quelle della particella nella scatola, ma
• vanno a zero solo all’infinito penetrando nella barriera di potenziale. Il potenziale V(x) va all’infinito solo a distanza infinita.
• mentre nella scatola T = costante, per l’oscillatore armonico T varia [ T = E – V(x) ] e quindi la curvatura della è più complessa.
Ψv = polinomio di Hermite . e-ax2
Funzione d’onda Ψ e distribuzione di probabilità Ψ2 per lo stato a più bassa energia
v = 0
E = ½kx02
x
P(x)
0 +x0-x0
Punti di inversione classici
Probabilità classica e quantistica
Classica
P(x) minima a x=0
P(x) = 0 oltre x0
Quantistica (n=0)
P(x) massima a x=0
P(x) 0 oltre x0
La probabilità di trovare la particella al di fuori dei punti classici di inversione del moto è diversa da zero
Effetto Tunnel – penetrazione in zone classicamente proibite
v = 1
Funzione d’onda Ψ e distribuzione di probabilità Ψ2 per il primo stato eccitato
Funzioni d’onda dei primi 4 statiNumero dei nodi = numero quantico vSi alternano funzioni simmetriche ed antisimmetriche rispetto ad x = 0Data la simmetria del potenziale V(-x)=V(x) |(-x)|2 =|(x)|2
(-x) = ±(x)
v=0
v=1
v=2
v=3
x x
||2
Principio di corrispondenza
ωΔE
0,1,2,3v
ω2
1v=E
2
2
2
22
8mL1)(2nΔE
1,2,3n8mL
n=E
Confronto dei livelli energetici
E
v=0
v=1
v=2
v=3
v=4
v=5
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
Particella nella scatola Oscillatore armonico
Energia di punto zero
2
1
2
3
2
5
2
7
2
11
2
9
2
2
8mL
2
2
84mL
2
2
89mL
2
2
816
mL
2
2
825
mL
OSCILLATORE ARMONICO
Vibrazione delle molecole biatomiche
Vibrazione delle molecole poliatomiche
Moti vibrazionali nei solidi
Decomposizione del campo elettromagnetico in oscillatori