โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธเบื้องตน

สมการคณิตศาสตรในรูปสมการเชิงอนุพันธเปนพื้นฐานสําคัญในการศึกษาทางดานสาขาคณิตศาสตร วิทยาศาสตร วิศวกรรมศาสตร และในสาขาอื่น ๆ เนื่องจากกฎเกณฑและปญหาตาง ๆ ในสาขาวิชาเหลานี้ลวนพิจารณาเปนสมการคณิตศาสตรที่อยูในรูปของสมการ เชิงอนุพันธทั้งสิ้นหรือสามารถอธิบายไดดวยสมการเชิงอนุพันธ ตัวอยางเชน

ปญหาทางคณิตศาสตร กําหนดความชันที่จุดใด ๆ เปน dxdy และจุดผาน ( )00 , yx

จงหาสมการเสนโคง

ปญหาทางวิศวกรรมศาสตร สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ผูกติดกับปลายลวดสปริงจะ

อยูในรูปของสมการเชิงอนุพันธ ( )tfkxdtdxc

dtxdm =++2

2

ปญหาการเคลื่อนที่ กําหนดความเร็วในการเคลื่อนที่ ( )tv และจุดเริ่มตนของการ

เคลื่อนที่ จะมีรูปแบบสมการเชิงอนุพันธเปน ( )tvdtds

= เมื่อ s เปนฟงกชันของการเคลื่อนที่

ณ เวลา t

1.1 สมการเชิงอนุพันธและการจําแนกประเภท

(Differential equations and their classification)

บทนิยาม 1.1.1 สมการเชิงอนุพันธหมายถึง สมการที่ประกอบดวยอนุพันธของตัวแปรตามหนึ่งตัวหรือมากกวาเทียบกับตัวแปรอิสระหนึ่งตัวหรือมากกวา ตัวอยางเชน

0103,cos 2

2

=−−= ydxdy

dxydx

dxdy

0, 2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

yu

xuv

tv

sv

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

2

ชนิดของสมการเชิงอนุพันธ แบงออกเปน 2 ชนิดคือ

1. สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary differential equation) หมายถึง สมการที ่ประกอบดวยอนุพันธของตัวแปรตามหนึ่งตัวหรือมากกวาเทียบกับตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว

ตัวอยางเชน xdxdy

dxyd

dxydy

dxdy

dxydx

dxdy cos2,02,52

22

3

3

2

2=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+++=

2. สมการเชิงอนุพันธยอย (Partial differential equation) หมายถึง สมการที่ประกอบดวยอนุพันธของตัวแปรตามหนึ่งตัวหรือมากกวาเทียบกับตัวแปรอิสระตั้งแตสองตัวข้ึนไป

ตัวอยางเชน xyu

xu

yu

xuv

tv

sv

=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

2

2

2

2

2

2,0,

อันดับของสมการเชิงอนุพันธ (Order of differential equation) คือ อันดับสูงสุดของอนุพันธที่ ปรากฏอยูในสมการเชิงอนุพันธนั้น

ระดับขั้นของสมการเชิงอนุพันธ (Degree of differential equation) คือ เลขชี้กําลังของพจนอนุพันธที่มีอันดับสูงสุดที่ปรากฎอยูในสมการเชิงอนุพันธนั้น หลังจากทําใหอนุพันธอันดับตาง ๆ ในสมการเชิงอนุพันธนั้นมีกําลังเปนจํานวนเต็มบวก

ตัวอยางเชน 3=+ ydxdyx เปนสมการเชิงอนุพันธอันดับ 1 ระดับขั้น

1

022

2=++ y

dxdy

dxyd เปนสมการเชิงอนุพันธอันดับ 2 ระดับขั้น 1

xyydx

yddx

ydx =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4

3

2

22

3

3 เปนสมการเชิงอนุพันธอันดับ 3 ระดับขั้น 2

4

2

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=dxdy

dxyd สามารถจัดรูปใหมไดเปน

42

2

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dxdy

dxyd สมการเชิงอนุพันธอันดับ 2 ระดับขั้น 2

34

2

22 1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++=dxdy

dxydyx เปนสมการเชิงอนุพันธอันดับ 2 ระดับขั้น 3

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

3

สมการเชิงอนุพันธเรียกวา สมการเชิงอนุพันธเชิงเสน (Linear differential equation) ถา

1. ทุก ๆ ตัวแปรตามและอนุพันธของตัวแปรตามเทียบกับตัวแปรอิสระมีเลขชี้กําลังเทากับ 1 เทานั้น

2. ไมมีพจนที่อยูในรูปผลคูณของตัวแปรตามและ/หรืออนุพันธของตัวแปรตามเทียบกับตัวแปรอิสระปรากฏในสมการ

3. ไมมีพจนที่อยูในรูปฟงกชันอดิศัยของตัวแปรตามหรืออนุพันธของตัวแปรตามปรากฏในสมการ

สมการเชิงอนุพันธไมเชิงเสน (Nonlinear differential equation) หมายถึงสมการเชิงอนุพันธที่ไมใชสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน ตัวอยางเชน

xyydx

yddx

ydx =++ 42

2

3

3 เปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน

22

2

3

3x

dxdyxy

dxyd

dxyd

=++ เปนสมการเชิงอนุพันธไมเชิงเสน

รูปทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนเขียนไดเปน

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfyxadxdyxa

dxydxa

dxydxa nnn

n

n

n=++++ −−

−

11

1

10 ...

โดยที่ ( ) ( ) ( ) ( )xaxaxaxa nn ,,...,, 110 − และ ( )xf เปนฟงกชันของ x เทานั้น

ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ (Solution of differential equation) คือ ความสัมพันธระหวางตัวแปรอิสระกับตัวแปรตามที่ไมปรากฏพจนของอนุพันธ ซ่ึงเมื่อนําไปแทนคาแลวทําใหสมการเชิงอนุพันธนั้นเปนจริงหรือสอดคลองกับสมการเชิงอนุพันธ

ตัวอยางเชน xxy cos3sin += เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 02

=+ ydx

yd

xx eey −+= 2 เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 022

2=−− y

dxdy

dxyd

02 23 =−+ xxyy เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ xyyx

dxdy

2322

2 +−

=

( ) ( )22ln, yxyxu += เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 02

2

2

2=

∂∂

+∂∂

yu

xu

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

4

ตัวอยาง 1 จงแสดงวา xxy cos3sin += เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ

02

2=+ y

dxyd สําหรับ x ทุกคาที่เปนจํานวนจริง

วิธีทํา จาก xxy cos3sin += ได

xxdxdy sin3cos −=

และ xxdx

yd cos3sin2

2−−=

แทนคา y และ 2

2

dxyd ลงในทางซายมือของสมการเชิงอนุพันธ 02

2=+ y

dxyd ได

( ) ( ) 0cos3sincos3sin2

2=++−−=+ xxxxy

dxyd

นั่นคือ xxy cos3sin += เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 02

2=+ y

dxyd

ให x เปนตัวแปรอิสระ y เปนตัวแปรตาม และ ( )n

nn

y

dxydy

dxdy

dxdyy ==′′=′ ,...,, 2

2 จะ

ไดวาสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับn ที่ประกอบดวย x และ 012 =−′−′′ yyy สามารถเขียนไดเปน ( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxF เมื่อ F เปนฟงกชันของตัวแปร ( )nyyyyx ,...,,,, ′′′

จํานวน 2+n ตัวแปร ตัวอยางเชน 22

22 xy

dxdy

dxyd

=−− สามารถเขียนไดเปน

( ) 0,,, =′′′ yyyxF เมื่อ ( ) 22,,, xyyyyyyxF −−′−′′=′′′

ให ( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxF เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ n ฟงกชัน ( )xfy = เปน

ผลเฉลยโดยชัดแจง (Explicit solution) ของสมการ ( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxF บนเซตของจํานวนเต็ม ถาแทนคา ( )xfy = ลงในสมการ ( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxF แลวทําใหสมการเปนจริงทุกคาในเซตของจํานวนเต็ม

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

5

ความสัมพันธ ( ) 0, =yxg เปนผลเฉลยโดยปริยาย (Implicit solution) ของสมการ ( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxF บนเซตของจํานวนเต็ม ถา

1. เราสามารถนิยามฟงกชัน ( )xfy 1= บนเซตของจํานวนเต็ม ไดอยางนอยหนึ่งฟงกชันจากความสัมพันธ ( ) 0, =yxg แลวทําให ( )xfy 1= เปนผลเฉลยโดยชัดแจงของสมการ

( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxF

หรือ 2. ความสัมพันธ ( ) 0, =yxg นั้นสอดคลองกับสมการ ( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxF

บนเซตของจํานวนเต็ม

ตัวอยางเชน xey = เปนผลเฉลยโดยชัดแจงของสมการเชิงอนุพันธ 0=− ydxdy

( ) 4, 22 +−= yxyxg เปนผลเฉลยโดยชัดแจงของสมการเชิงอนุพันธ 02

2=

dxyd

กําหนดให ( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxF เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับn ผลเฉลยท่ัวไป (General solution) ของสมการ ( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxF หมายถึง ผลเฉลยที่ประกอบดวย

คาคงตัวที่ไมเจาะจง (Arbitary constant) จํานวน n คา นิยมเขียนในรูปของตัวอักษร c

ตัวอยางเชน 02

2=+ y

dxyd มี xcxcy sincos 21 += เปนผลเฉลยทั่วไป โดยที่ 1c และ 2c

เปนคาคงตัวที่ไมเจาะจง

ผลเฉลยเฉพาะราย (Particular solution)ของสมการ ( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxF หมายถึง ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธที่คาคงตัวที่ไมเจาะจงจํานวน n คานั้น ไดถูกแทนคาเปนคาคงตัวแนนอนทั้ง n คา

ตัวอยางเชน xxy cossin += หรือ xxy cos3sin += หรือ xxy cos3sin −= ตางเปน

ผลเฉลยเฉพาะรายของ 02

2=+ y

dxyd

หมายเหตุ เพื่อความสะดวกบางครั้งอาจแทน ( )nn

ny

dxydy

dxydy

dxdy

=′′=′= ,...,, 2

2

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

6

ตัวอยาง 2 จงแสดงวา xx ececy 32

41

−+= เปนผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ 012 =−′−′′ yyy

วิธีทํา จาก xx ececy 32

41

−+= ได

xx ececy 32

41 34 −−=′

xx ececy 32

41 916 −+=′′

แทนคา yy ′, และ y ′′ ลงในทางซายมือของสมการเชิงอนุพันธ 012 =−′−′′ yyy ได

=−′−′′ yyy 12 ( )−+ − xx ecec 32

41 916 ( )xx ecec 3

24

1 34 −− ( )xx ecec 32

4112 −+−

0=

นั่นคือ xx ececy 32

41

−+= เปนผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ 012 =−′−′′ yyy

ตัวอยาง 3 จงแสดงวา 762 2 +++= xxey x เปนผลเฉลยเฉพาะรายของสมการเชิงอนุพันธ 2423 xyyy =+′−′′

วิธีทํา จาก 762 2 +++= xxey x ได

64 ++=′ xey x 4+=′′ xey

แทนคา yy ′, และ y ′′ ลงในทางซายมือของสมการเชิงอนุพันธ 2423 xyyy =+′−′′ ได

=+′−′′ yyy 23 ( ) ( ) ( )76226434 2 ++++++−+ xxexee xxx

= ( ) ( ) ( )76226434 2 ++++++−+ xxexee xxx 141242181234 2 ++++−−−+= xxexee xxx

นั่นคือ 762 2 +++= xxey x เปนผลเฉลยเฉพาะรายของสมการเชิงอนุพันธ 2423 xyyy =+′−′′

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

7

ปญหาเงื่อนไขคาเริ่มตน (Initial value problem) ของสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ n หมายถึง ปญหาที่ประกอบดวยสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับn ( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxF รวมกับเงื่อนไขเริ่มตน n เงื่อนไข คือ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 101

201000 ,...,,, −− ==′′=′= n

n cxycxycxycxy เมื่อ 1210 ,...,,, −ncccc เปนคาคงตัว

ตัวอยางเชน สมการเชิงอนุพันธ 022

2=++ y

dxdy

dxyd เมื่อ ( ) 11 =y และ ( ) 21 =′y

ปญหาเงื่อนไขคาขอบเขต (Boundary value problem) ของสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับn หมายถึง ปญหาที่ประกอบดวยสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ n ( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxF รวมกับเงื่อนไขเริ่มตนn เงื่อนไขที่กําหนดวา y และ/หรือ คาอนุพันธของ y ณ จุดของตัวแปรอิสระ x ตั้งแต 2 จุด หรือมากกวา

ตัวอยางเชน สมการเชิงอนุพันธ 022

2=++ y

dxdy

dxyd เมื่อ ( ) 11 =y และ ( ) 02 =y

สมการเชิงอนุพันธ xydxdy

dxyd

dxyd

+=−++ 1442

2

3

3 เมื่อ ( ) 10 =y และ ( ) 21 −=y

และ ( ) 32 =′y

ตัวอยาง 4 จากตัวอยาง 2 จงหาคา 1c และ 2c เมื่อกําหนดปญหาเงื่อนไขคาเริ่มตน ( ) 50 =y และ ( ) 60 =′y

วิธีทํา จาก xx ececy 32

41

−+= เปนผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ 012 =−′−′′ yyy และกําหนดปญหาเงื่อนไขคาเริ่มตน ( ) 50 =y นั่นคือตองการผลเฉลยที่

ผานจุด 5,0 == yx

แทนคา 5,0 == yx ลงในสมการ xx ececy 32

41

−+= ได

521 =+ cc ( )1.................

โจทยยังไดกําหนดปญหาเงื่อนไขคาเริ่มตน ( ) 60 =′y นั่นคือตองการผลเฉลยที่ผานจุด 0=x ซ่ึงมี y ′ ที่จุด 0=x เทากับ 6 ดวย จาก xx ececy 3

24

1−+=

ได xx ececy 32

41 34 −−=′

แทนคา 6,0 =′= yx ลงในสมการ xx ececy 32

41 34 −−=′ ได

634 21 =− cc ( )2.................

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

8

แกสมการ ( )1 และ ( )2

( ) 31 × ได 1533 21 =+ cc ( )3.................

( ) ( )32 + ได 217 1 =c นั่นคือ 31 =c

แทนคา 31 =c ใน ( )1

ได 53 2 =+ c นั่นคือ 32 =c

ดังนั้น 31 =c และ 22 =c

ตัวอยาง 5 จงหาคาคงตัว c ซ่ึงทําให cxey = เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการเชิงอนุพันธ

01243 2

2

3

3=+−− y

dxdy

dxyd

dxyd

วิธีทํา จาก cxey = ได

cxcxcx ecdx

ydecdx

ydcedxdy 3

3

32

2

2,, ===

แทนคาใน 01243 2

2

3

3=+−− y

dxdy

dxyd

dxyd ได

01243 23 =+−− cxcxcxcx eceecec

( ) 01243 23 =+−− cccecx

เนื่องจาก 0≠cxe (เพราะ cxe เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการเชิงอนุพันธ)

ดังนั้น 01243 23 =+−− ccc

( ) ( ) 03432 =−−− ccc

( )( ) 043 2 =−− cc

( )( )( ) 0223 =+−− ccc

นั่นคือ 3,2,2−=c

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

9

ตัวอยาง 6 จงหาคาคงตัว m ซ่ึงทําให mxy = เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการเชิงอนุพันธ

08102 2

22

3

33 =−−+ y

dxdyx

dxydx

dxydx

วิธีทํา จาก mxy = ได

1−= mmxdxdy

( ) 22

21 −−= mxmm

dxyd

( )( ) 33

321 −−−= mxmmm

dxyd

แทนคาใน 08102 2

22

3

33 =−−+ y

dxdyx

dxydx

dxydx ได

( )( )( ) ( )( ) ( ) 08101221 12233 =−−−+−− −−− mmmm xmxxxmmxxmmmx

( )( ) ( ) 08101221 =−−−+−− mmmm xmxxmmxmmm

( )( ) ( )( ) 08101221 =−−−+−− mmmmmmxm

เนื่องจาก 0≠mx (เพราะ mx เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการเชิงอนุพันธ)

ดังนั้น ( )( ) ( ) 08101221 =−−−+−− mmmmmm

( )( ) 0810222 22 =−−−+−− mmmmmm

08102222 2223 =−−−++−− mmmmmmm

08102223 223 =−−−++− mmmmmm

081023 =−−− mmm

( )( )( ) 0421 =−++ mmm

นั่นคือ 4,2,1 −−=m

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

10

การสรางสมการเชิงอนุพันธ

ถาโจทยกําหนดผลเฉลยทั่วไปมาให เราสามารถสรางสมการเชิงอนุพันธจากผลเฉลย

ทั่วไปโดยวิธีการกําจัด (eliminate) คาคงตัวไมเจาะจง ( )c ออกเสีย ซ่ึงผลเฉลายทั่วไปมีคาไมเจาะจง n ตัว ตองหาอนุพันธของสมการ n คร้ัง

ตัวอยาง 7 จงสรางสมการเชิงอนุพันธจาก xeccy 321

−+=

วิธีทํา xeccy 321

−+= ( )1...............

xecdxdy 3

23 −−= ( )2...............

xecdx

yd 322

29 −= ( )3...............

( ) 32 × ได xecdxdy 3

293 −−= ( )4...............

( ) ( )43 + ได 032

2=+

dxdy

dxyd

นั่นคือ 032

2=+

dxdy

dxyd เปนสมการเชิงอนุพันธ

ตัวอยาง 8 จงสรางสมการเชิงอนุพันธจาก xcy sin1=

วิธีทํา xcy sin1= ( )1...............

xcdxdy cos1= ( )2...............

( ) ( )21 ÷ ได xcxc

dxdyy

cossin

2

1=

x

dxdyy tan=

dxdyxy tan=

นั่นคือ dxdyxy tan= เปนสมการเชิงอนุพันธ

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

11

แบบฝกหัด 1

จงพิจารณาวาสมการเชิงอนุพันธในขอ 1 - 10 เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญหรือสมการเชิงอนุพันธยอยพรอมทั้งบอกอันดับและระดับขั้น

1. yxy +=′ 2

2. xydxdy

dxyd

dxyd sin354

2

2

3

3=+−+

3. ( )yxy

432 =′

4. uyu

xu

=∂

∂+

∂

∂2

2

2

2

5. 32

2

yv

xu

∂∂

=∂

∂

6. 0535

2

2

4

4=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ y

dxyd

dxyd

7. 02

2

2

2

22

4=+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂ uyu

xu

yxu

8. xydx

yddx

yd=++

2

2

6

6

9. 123

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

dxdy

dxdy

10. ( ) ( )25

31

1 yy ′+=′′

สําหรับขอ 11 - 16 จงแสดงวา ( )xy ที่กําหนดใหเปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ

11. xcyxyy cos;0tan ==+′

12. xx ececyyyy 42

31;0127 +==+′−′′

13. 762;023 22

2+++==+− xxeyy

dxdy

dxyd x

14. xcxcyyy 5sin5cos;025 21 +==+′′

15. xecyydxdy

dxyd x 2cos;0136 3

12

2==+−

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

12

16. 22

22 32;022 xxyy

dxdyx

dxydx −==+−

สําหรับขอ 17 - 26 สมการเชิงอนุพันธตอไปนี้สมการใดเปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน

17. ( ) 0541 =+′−′′− yyxyx

18. ( ) 02 22 =+′+′′′ yyyx

19. 22 12 xydxdyy −=+

20. yydx

yd cos92

2=+

21. ( ) 0sincos2

2=++ y

dxdyx

dxydx

22. ( ) 01 2 =++ xdydxy

23. xyx

y sin1=+′

24. ( )xydxdy 41 +=

25. 022 =+ xydxdyx

26. yx

dxdy

=

27. จงหาคาคงตัว c ซ่ึงทําให cxey = เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการเชิงอนุพันธ

0432

2=−− y

dxdy

dxyd

28. จงหาคาคงตัว m ซ่ึงทําให mxy = เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการเชิงอนุพันธ

28.1 0462

22 =+− y

dxdyx

dxydx

28.2 02 =−′′ yyx

29. จงสรางสมการเชิงอนุพันธจากผลเฉลยทั่วไป xx ececy 321

−− +=

30. จงสรางสมการเชิงอนุพันธจากผลเฉลยทั่วไป xx xececy 22

21 +=

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

13

คําตอบแบบฝกหัด 1

1. สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 1 ระดับขั้น 1 2. สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 3 ระดับขั้น 1 3. สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 1 ระดับขั้น 2 4. สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 2 ระดับขั้น 1 5. สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 2 ระดับขั้น 3 6. สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 4 ระดับขั้น 1 7. สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดบั 4 ระดับขั้น 1 8. สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 6 ระดับขั้น 1 9. สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 1 ระดับขั้น 6 10. สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 2 ระดับขั้น 2 17. เปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน

18. ไมเปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน เพราะวา 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛dxdy

19. ไมเปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน เพราะวา yy ′2 20. เปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน เพราะวา ycos 21. เปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน 22. ไมเปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน เพราะวา ( )21 y+ 23. เปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน 24. เปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน 25. เปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน

26. ไมเปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน เพราะวา yx

27. 4,1−=c

28. (28.1) 3,2=m (28.2) 2

51 ±=m

29. 0342

2=++ y

dxdy

dxyd

30. 0442

2=+− y

dxdy

dxyd