APPROFONDIMENTO: SISTEMI DI NUMERAZIONE

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TEORIA

Copyright © 2019 Zanichelli editore S.p.A., BolognaQuesto file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

1. Sistemi di numerazione ■ IN BASE DIECI

Come sai scriviamo i numeri naturali utilizzando dieci cifre:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Come abbiamo visto nella scheda Idee per le competenze - Lo zero e il sistema posizio-nale di pagina 9, il sistema che usiamo è posizionale, perché una cifra ha significato diverso a seconda della posizione che occupa.

■ 3035 = tremila + trenta + cinque, ovvero:

3035 3 1000 0 100 3 10 5 1 3 10 0 10 3 10 5 103 2 1 0$ $ $ $ $ $ $ $= + + + = + + + .

La scrittura 3035 è dunque un modo sintetico per esprimere la somma dei prodotti dei numeri rappresentati dalle cifre per le potenze di dieci a cui corrispondono, ossia la scrittura in forma polinomiale del numero.Dieci è la base del sistema, che viene per questo detto sistema di numerazione in base dieci. Osserva che le cifre che usiamo in questo sistema sono quelle da 0 a 9, cioè da 0 alla base diminuita di 1.

■ IN ALTRE BASIPossiamo scrivere un numero naturale utilizzando anche come base un qualsiasi numero diverso da dieci. Cosa cambia rispetto alla base dieci?Se, per esempio, scriviamo un numero in base 4, abbiamo a disposizione solo le cifre 0, 1, 2, 3, che sono collegate alle potenze 40, 41, 42, 43, 44, 45, …Per distinguere la nuova scrittura da quella in base dieci, la mettiamo fra parentesi e indichiamo, come pedice, la base.

■ Scriviamo il numero degli oggetti della figura con:

(213)4 si legge: «due uno tre in base quattro»

decinemigliaia

unitàcentinaia

forma polinomiale

736

7 10 3 10 6 102 1 0$ $ $+ +

2 gruppi di 16 unità

1 gruppo di 4 unità

3 unità

APPROFONDIMENTO: SISTEMI DI NUMERAZIONE

2

TEORIA



Le cifre sono collegate a potenze di 4:

2 gruppi da 16 unità, 1 gruppo da 4 unità, 3 unità.

42 41 40

Per passare allora da una base diversa alla base dieci usiamo la forma polinomiale. ■ ( )213 2 4 1 4 3 4 2 16 4 3 394

2 1 0$ $ $ $= + + = + + =

(213)4 e 39 sono due modi diversi di scrivere lo stesso numero.

In una qualsiasi base n, la scrittura 10, che leggiamo «uno zero», indica la base stessa; 100, cioè «uno zero zero», indica un gruppo da n2 unità e così via.

■ ( )10 1 7 0 77 $= + = ; ( )100 1 7 0 7 0 4972$ $= + + = .

Se la base è maggiore di dieci, oltre alle solite cifre, usiamo le lettere dell’alfabeto:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, …

■ ( )15 1 16 5 16 11 16 256 80 11 347B 162 0$ $ $= + + = + + =

■ DA BASE DIECI A BASE DIVERSAPer passare dalla base dieci a un’altra base usiamo il metodo delle divisioni ripetute.

Come si scrive 25 in base 3?

:25 3 8= con resto 1

:8 3 2= con resto 2

:2 3 0= con resto 2

I resti, letti dal basso verso l’alto, sono le cifre del numero in base 3:

( )25 221 3= .

(301)5

3 5 0 5 1 52 1 0$ $ $+ +

forma polinomiale

10 11 12 13

ESEMPIO


1 unità




3

ESERCIZI



ESERCIZI

1. Sistemi di numerazione ■ IN BASE DIECI

Scrivi la forma polinomiale dei seguenti numeri in base dieci.

2; 532; 129; 401; 1002.

909; 11 011; 1011; 1111; 2000.

58; 318; 701; 3113.

297; 450; 2139; 8286.

COMPLETA

104$ + 10 6 102$ $+ = 10 060; 10 7 10 5 1043$ $ $+ + + = 72 051.

105$ + 104$ + 10 2 102$ $+ = 310 002; 10$ 3 10$+ + 10$ + = 50 324.

Scrivi i numeri la cui forma polinomiale è la seguente.

9 10 5 102$ $+ ; 3 10 2 10 1 104 3 0$ $ $+ + .

10 10 98 7 45$ $+ + ; 4 10 3 10 5 102 3$ $ $+ + .

10 110 1035 2++ +

10 102 5 23 4$ $+ +

YOU & MATHS Below are some descriptions of numbers given by a child who is still learning about deci-mal positional notation. Rewrite the numbers in correct decimal positional notation.a. Four units and eleven tens.b. Twenty three hundreds and forty units.c. Two thousands, thirty two hundreds, fifty one units.

■ IN ALTRE BASICACCIA ALL’ERRORE Indica le scritture non corrette.

(5100)6; (2000)2; (1012)3; (139)16; (410)4.

Scrivi tutte le cifre che si usano nella numerazione in base 5 e in base 12.

VERO O FALSO?

a. In ogni base il numero 10 rappresenta la base. V F

b. Nella base n 101 non compare mai la cifra n. V F

c. In qualunque base a il quadrato della base si scrive 100. V F

d. Il numero 11 in base a rappresenta il successivo di a. V F

Scrivi:a. (10 210)3 in base dieci;b. 3615 in base 4.

Scrivi in base 2 i primi cinque numeri naturali.

Scrivi in base 3 i primi nove numeri naturali.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 16

17

4

ESERCIZI



Scrivi la forma polinomiale dei seguenti numeri.(2)3; (2)4; (2)5; (2)7.

(11)2; (11)3; (11)6; (11)4.

(101)2; (101)3; (100)3; (120)3.

(230)4; (2122)4; (1011)2; (1100)2.

(1022)4; (11 001)2; (2110)3; (2001)4.

(AB1)16; (2BA)16; (144)5; (1001)8.

(40)5; (101)3; (210)3; (44)7.

(200)4; (201)3; (1001)2; (2002)3.

VERO O FALSO?

a. In un sistema a base 8 si utilizzano come cifre i numeri naturali minori o uguali a 8. V F

b. 104 non può rappresentare un numero in base 4. V F

c. In base 3 il numero 3 si scrive 10. V F

d. In base 16 il numero 100 rappresenta 162. V F

Scrivi in base dieci i seguenti numeri.(110)2; (1011)2; (1111)2.

(101)3; (2222)3; (1020)3.

(121)4; (321)4; (100)4.

(440)5; (100)5; (411)5.

(10)12; (AB)12; (1AB)12.

(1 100 011)2; (1200)8; (188)9.

(11 000)2; (200)3; (211)4.

(312)5; (10A)12; (1002)5.

(20)3; (20)4; (41)5.

(1101)2; (2100)3; (1234)5.

(A3B)12; (443)6; (1010101)2.

Del numero naturale x si sa che rispetto alla base a la sua scrittura è 12; rispetto alla base b è invece 23. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?A La base a è maggiore della base b.B Esistono infinite coppie possibili di basi a e b che soddisfano le ipotesi.C La base a può essere 6.D Se b 4= , allora a 9= .

■ DA BASE DIECI A BASE DIVERSA

▶ Scriviamo il numero 147, espresso in base dieci, in base 4.Eseguiamo divisioni ripetute, mettendo in evidenza i resti, fermandoci quando il quoziente è 0.

I resti, letti nella direzione della freccia, sono le cifre cercate:

( )147 21 0 3 4= .

147 43 36 4

0 9 41 2 4

2 0

Scrivi i seguenti numeri espressi in base dieci nella base indicata a fianco.

7, 10, 11, 31, 33, 128, 143. base 2 5, 16, 18, 22, 33, 40, 3612. base 3

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

COME SI FA

39 40

5

ESERCIZI



6, 12, 17, 19, 21, 44, 1322. base 4

11, 25, 27, 30, 100, 126, 218. base 5

21, 28, 43, 100, 1002. base 2

35, 47, 87, 103, 201. base 3

52, 67, 93, 104, 1200. base 4

380, 438, 805, 901, 1020. base 5

TEST Il numero (2310)b, con b 4$ , è certamente divisibile per:A 10. B 3. C b. D nessuno dei precedenti.

■ DA UNA BASE ALL’ALTRAScrivi in base due i numeri (100)3, (11)4, (10)16, (11)5.

COMPLETA

a. ( )111 2 = ( )4;

b. ( )103 4 = ( )3;

c. ( )AB 16 = ( )4;

d. ( )2001 3 = ( )2;

e. ( )1111 2 = ( )5.

COMPLETA

a. ( )1010 2 = ( )16;

b. ( )034 5 = ( )2;

c. ( )1011 3 = ( )4;

d. ( )11011 2 = ( )7;

e. ( )CDA 16 = ( )4.

■ OPERAZIONI IN ALTRE BASI

a. Costruiamo la tabella di addizione in base 3 e cal-coliamo (221)3 + (20)3.

+ 0

0

1

2

1 2

0 1 2 2 2 1 +2 0

1

1 0 1 11 2 10

2 10

2 + 1 = 3 (3)10 = (10)3

11

b. Costruiamo la tabella di moltiplicazione in base 3 e calcoliamo (201)3 $ (12)3.

• 0

0

1

2

1 2

0 0 0

2 0 1 .1 2

1 1 0 2

1 0 1 1 2

2 0 1 -0 1 2

0 2

2 • 2 = 4 (4)10 = (11)3

11

Costruisci le tabelle di addizione e moltiplicazione in base 4 e calcola:a. ( ) ( )301 10024 4+ ; b. ( ) ( )103 124 4$ .

COMPLETA le uguaglianze in base 4 utilizzando le tabelle di addizione e moltiplicazione in base 4.

a. 11 + = 31;b. 12 3- = ;

c. 3 $ = 30;d. 13 10$ = ;

e. :20 10 = ;f. : 3 12= .

Esegui le seguenti operazioni utilizzando le tabelle di addizione e moltiplicazione della base indicata.

1010 101+ , 1100 1111+ , 1110 111 1000+ + , 10111 $ , 110 11 00$ , 1111011 $ . base 2

41

42

43

44

45

46

47

48

49 50

COME SI FA

" "

51

52

53

6

ESERCIZI



102 122+ , 1012 12+ , 101 1122+ , 101222 $ , 220201 $ , 11120 $ . base 3

13 1102+ , 1312 2011+ , 1123 1033+ , 10113 $ , 201133 $ , 333102 $ . base 4

Costruisci le tabelle di addizione e moltiplicazione in base 5 e calcola:a. 12 4+ ; b. 12 4$ ; c. 110 14+ ; d. 123 31$ .

In quale base è stata eseguita l’operazione?233 414 1202+ =

Semplifica le espressioni.

( )101 10 110 11 10$ $+ + base 2

[ ( ) ( )]2 30 103 11 23 3$ $+ - + base 4

[ ( ) ]21 22 201 10 21 2$ $+ + - base 3

Semplifica le seguenti espressioni in base 2 e poi trasforma il risultato in base 10.

( ) ( )1010 10 11 111 10+ + - -

111 10 110 11 11$ $+ -

[( ) ] :1001 111 101 11 110 10$+ - +

[( ) ( ) ]1111 110 10 101 11 11 111$ $ $- + +

( ) ( )11 111 10 110 110 11 110$ $ $+ - +

( )11010 1100 11 110 101 11$ $- - -

Esegui le operazioni e poi trasforma il risultato in base 10.

( ) ( ) ( )1 3 2 129A B16 16 16- +

( ) ( )112 123 3$

( ) ( ) ( )124 100 1178 8 8$ +

( ) ( ) ( ) ( )134 14 44 235 5 5 5$- +

54

55

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57

58

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