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I sistemi di numerazione

Scritto da Maria RispoliMartedì 15 Marzo 2011 09:30 - Ultimo aggiornamento Mercoledì 16 Marzo 2011 00:59

Attività laboratoriale per introdurre i sistemi di numerazione Questa fase è di tipo laboratoriale, non viene introdottol’argomento con una lezione frontale, si cerca prima di effettuareuna lezione che coinvolga la classe e quindi si cerca di mantenerevivo il loro interesse e di sviluppare un po’ la loro curiosità.

Consideriamo delle monetine e delle banconote, l’utilizzo di oggetti che si conoscono e si sannousare facilita il confronto con oggetti astratti quali i numeri.

Per acquistare qualsiasi cosa abbiamo bisogno dei soldi. La monetina di minor valore che noiusiamo è il centesimo:

1

Moneta

Centesimo

Prendiamo delle monetine da un centesimo e formiamo un blocchetto di dieci monetine.Quando le contiamo diciamo che dieci monetine da un centesimo sono dieci centesimi e noi

1 / 93



abbiamo un’altra monetina che vale proprio dieci centesimi.

10

Monete

Centesimo

=

Dieci centesimi

2 / 93



1

Moneta

Quindi quando acquistiamo qualche cosa o diamo dieci monetine da un centesimo o diamo unasola monetina che vale dieci centesimi.

Ora facciamo un altro blocchetto di dieci monetine da dieci centesimi. Quando le contiamodiciamo che abbiamo dieci monete da dieci centesimi oppure diciamo che abbiamo un euro.

Cioè dieci monetine da dieci centesimi sono uguali ad un euro e noi abbiamo un’altra monetache vale proprio un euro.

10

Monete

3 / 93



Dieci centesimi

=

Euro

1

Moneta

Prendiamo ora dieci monete da un euro e facciamo un altro blocchetto, contiamole e vediamoche abbiamo dieci euro, noi abbiamo una banconota che vale proprio dieci euro.

Dunque quando acquistiamo delle cose possiamo pagare o dando dieci monete da un euro odando una sola banconota da dieci euro.

10

4 / 93



Monete

Euro

=

Dieci euro

1

5 / 93



Moneta

Se raggruppiamo dieci banconote da dieci euro otteniamo cento euro e anche in questo casoabbiamo una banconota da cento euro.

Quindi invece di avere nel borsellino dieci banconote da dieci euro possiamo avere una solabanconota da cento euro.

10

Monete

6 / 93



Dieci Euro

=

Cento Euro

1

Moneta

Osserviamo ora quello che abbiamo fatto.

Possiamo vedere che ad ogni mucchietto di dieci monete o dieci banconote corrisponde unamoneta o una banconota.

7 / 93



Quindi sono stati effettuati dei raggruppamenti di oggetti a dieci a dieci, ma la moneta cheandiamo a sostituire ai vari blocchetti è di pari valore.

Pertanto possiamo dire che:

Il nostro sistema di numerazione è decimale, in quanto dieci sono i simboli e le unitàvengono raggruppate di dieci in dieci.

In questa fase di lavoro non parliamo di ordini e non diamo nozioni sull’argomento teorico, sicerca solo di far capire il concetto di raggruppamento e di sostituzione di un oggetto con uno dipari valore, ma di tipo diverso.

La visione degli oggetti e l’uso dei soldi, che conosciamo, ci permettere di far comprenderefacilmente e in modo immediato quello che vogliamo trasmettere.

La visione che si ha è simile a quella che rappresento nella tabella che segue.

10

10

10

8 / 93



10

9 / 93



10 / 93



11 / 93



=

=

=

=

12 / 93



1

13 / 93



1

1

1

Possiamo sostituire 10 monete dello stesso tipo con 1 moneta di tipo diverso.

Quello che abbiamo fatto è raggruppare sempre in blocchetti di dieci, quindi quello che è statofatto è contare fino a dieci e poi sostituire dieci con uno. Riguardiamo bene, a dieci monetine daun centesimo abbiamo sostituito una monetina da dieci centesimi. Quindi al posto di diecimonete abbiamo una moneta che vale 10 volte la monetina precedente.

Quello che stiamo facendo è usare un sistema di numerazione decimale, cioè un sistema dinumerazione che ad ogni gruppo di dieci cose ne sostituisce una sola.

Le cifre e i sistemi di numerazione

14 / 93



Fin dai tempi più antichi l’uomo ha avvertito la necessità di contare, per esempio il suobestiame, gli alberi del suo campo, i suoi oggetti di valore, ....

Quindi fin dalle più antiche civiltà emerse la necessità di trovare un procedimento checonsentisse di rappresentare i numeri.

Poiché la serie dei numeri naturali è illimitata, dovremmo adoperare infiniti simboli, ma questo èimpossibile. Quindi bisogna cercare un sistema con un insieme limitato di simboli, checombinati opportunamente tra loro esprimano qualsiasi numero naturale.

Ci sono infiniti numeri e ad ogni numero bisogna far corrispondere un simbolo. Poiché abbiamoinfiniti numeri, è facile pensare che ci vogliono infiniti simboli per scrivere tutti i numeri.

Ma pensiamo a questa cosa, conosciamo infiniti simboli per scrivere un numero?

Non possiamo ricordarci infiniti simboli, quindi questo vuol dire che c’è qualche procedimentoche ci consente di rappresentare i numeri usando pochi simboli.

15 / 93



Abbiamo detto che per scrivere i numeri usiamo dei simboli, i simboli che usiamo noi ora perscrivere i numeri sono:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Questi simboli vengono chiamate cifre.

I simboli utilizzati per scrivere un numero sono chiamati cifre.

Quando scriviamo

35621

Abbiamo scritto un numero e questo numero è formato da cinque simboli, quindi da cinquecifre. Che sono:

3 5 6 2 1

Quando scriviamo il numero:

1565464

usiamo sette cifre che sono:

16 / 93



1 5 6 5 4 6 4

Quando scriviamo il numero:

12

abbiamo un numero con due cifre che sono:

1 2

Possiamo scrivere anche numeri come:

9

che è costituito da una sola cifra che è

9

Dunque le cifre sono:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

17 / 93



Scrivendo le cifre una vicina all’altra otteniamo un numero.

Quello che abbiamo trovato è un insiemi di simboli con cui scrivere i numeri, quello che stiamofacendo è trovare un sistema di numerazione.

Un sistema di numerazione è formato da una serie di simboli con i quali si rappresentanoalcuni numeri e da un insieme di regole con le quali questi simboli vengono raggruppatiper rappresentare tutti i numeri possibili.

Vedremo che ci sono modi diversi di scrivere i numeri e quindi ci sono diversi sistemi dinumerazione.

Attività laboratoriale sul funzionamento del sistema decimale

Prendiamo di nuovo la monetina da un centesimo, poiché è la più piccola delle monetine cheviene usata in Europa, diciamo che questa monetina è una unità del primo ordine, in quantonon ci sono monete di valore inferiore al centesimo:

1

Unità del primo ordine

Abbiamo visto che dieci monetine da un centesimo sono pari ad una moneta da dieci centesimi,

18 / 93



diciamo quindi che questa seconda moneta ha lo stesso valore delle dieci monetine da uncentesimo ma è una unità del secondo ordine, quindi dieci unità del primo ordine formanouna unità del secondo ordine

10


=

1

Unità del secondo ordine

Poi abbiamo preso dieci monete da dieci centesimi e abbiamo visto che hanno lo stesso valoredi una moneta da un euro.

19 / 93



Quindi dieci unità del secondo ordine sono uguali ad una unità del terzo ordine:

10


=

1

Unità del terzo ordine

Abbiamo poi preso dieci monete da un euro e abbiamo visto che hanno lo stesso valore di unasola banconota da dieci euro.

20 / 93



Quindi dieci unità del terzo ordine sono uguali ad una sola unità del quarto ordine:

10


=

1

21 / 93



Unità del quarto ordine

Infine avevamo preso dieci banconote da dieci euro e avevamo visto che hanno lo stessovalore di una banconota da cento euro.

Quindi dieci unità del quarto ordine sono uguali ad una unità del quinto ordine:

10


=

22 / 93



1

Unità del quinto ordine

Quindi:

1 Centesimo

Unità del 1° ordine

10 Centesimi


23 / 93



1 Euro


10 Euro


100 Euro


24 / 93



Dunque

Ogni volta che raggruppiamo dieci unità dello stesso ordine, cioè delle cose dello stessotipo, formiamo un’unità dell’ordine successivo, cioè abbiamo una cosa diversa, ma diuguale valore che è di un ordine superiore alla precedente.

I popoli antichi (babilonesi, cinesi, greci, romani) per fare i conti usavano l’abaco: una tavolettacon scanalature numerate contenenti sassolini mobili opportunamente disposti.

In seguito questo strumento fu sostituito da un altro formato da bacchette di legno o fili metallici,nei quali venivano infilate delle palline.

Da questo è derivato il pallottoliere che ancora oggi viene usato dai bambini molto piccoli.

Nell’abaco verticale le bacchette corrispondono da destra a sinistra, alle: unità, decine,centinaia, unità di migliaia e così via, cioè:

10 palline in una bacchetta equivalgono a 1 pallina nella bacchetta successiva a sinistra.

25 / 93



Quindi ad esempio il numero 423 si può rappresentare in questo modo:

Il funzionamento del sistema decimale

Ora vediamo di trasportare quello che è stato detto raggruppando le monetine ai numeri. Ilnumeri infatti si comportano come i regoli e le monetine.

Nel sistema di numerazione decimale si rappresentano tutti i numeri naturali usando solo diecisimboli. I dieci simboli utilizzati in questo sistema di numerazione si chiamano cifre e sono:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Con questi simboli si rappresentano anche i primi dieci numeri naturali da zero a nove.

Abbiamo detto che questo sistema di numerazione si chiama decimale perché usiamo diecisimboli.

Nel caso dei numeri abbiamo che il numero 1 è il più piccolo e si dice unità del primo ordine:

1


Dieci unità del primo ordine formano una unità del secondo ordine che viene chiamata anche decina,

26 / 93



quindi il numero 10 indica la decina

10


=

1


=

1

Decina

Dieci unità del secondo ordine formano una unità del terzo ordine che viene chiamata anche centinaio, quindi il numero 100 indica il centinaio

27 / 93



10


=

10

Decina

=

=

1


28 / 93



1


=

=

1

Centinaio

1

Centinaio

Dieci unità del terzo ordine formano una unità del quarto ordine che viene chiamata anche migliaio, quindi 1000 indica un migliaio.

29 / 93



10


=

10

Centinaia

=

=

1


30 / 93



1


=

=

1

Migliaio

1

Migliaio

Dieci unità del quarto ordine formano una unità del quinto ordine che viene chiamata anche

31 / 93



decina di migliaia, infatti 10.000 (diecimila) si chiama anche decina di migliaia:

10


=

10

Migliaia

=

=

1


32 / 93



1


=

1

Decina di Migliaia

1

Decina di Migliaia

33 / 93



Dieci unità del quinto ordine formano una unità del sesto ordine che viene chiamata anche centinaio di migliaia, infatti 100.000 (centomila) indica le centinaia di migliaia:

10


=

10

Decine di Migliaia

=

=

1

Unità del sesto ordine

34 / 93



1


=

=

1

Centinaia di Migliaia

1

Centinaio di Migliaia

35 / 93



Dieci unità del sesto ordine formano una unità del settimo ordine che viene chiamata anche milione:

10


=

10

Centinaia di Migliaia

=

=

1

36 / 93



Unità del settimo ordine

1

Unità del settimo ordine

=

=

1

Milione

Milione

37 / 93



Continuando così si trovano le unità degli altri ordini, cioè i miliardi o bilioni, i trilioni, ecc.

Unità, decine, centinaia . . . si dicono unità intere del 1°, 2°, 3° . . . ordine.

Per ricordare queste cose possiamo utilizzare la seguente tabella:

classe dei

MILIARDI

classe dei

MILIONI

classe delle

MIGLIAIA

classe delle

UNITA’

ordine

38 / 93



12

ordine

11

ordine

10

ordine

9

ordine

8

ordine

7

ordine

39 / 93



6

ordine

5

ordine

4

ordine

3

ordine

2

ordine

1

centinaia

40 / 93



Di

miliardi

decine

di

miliardi

unità

di

miliardi

centinaia

di

milioni

decine

41 / 93



Di

milioni

unità

Di

milioni

centinaia

di

migliaia

decine

di

migliaia

unità

42 / 93



di

migliaia

centinaia

semplici

decine

semplici

unità

semplici

Il sistema di numerazione decimale è fondato sulla convenzione che ogni cifra posta asinistra di un’altra è di ordine immediatamente maggiore.

Oppure in modo diverso possiamo dire che: Ogni unità di un dato ordine rappresenta 10unità dell’ordine immediatamente inferiore.

Ad esempio:

43 / 93



1 decina semplice = 10 unità semplici

1 centinaio semplice = 10 decine semplici

Scriviamo 122:

classe dei

MILIARDI

classe dei

MILIONI

classe delle

MIGLIAIA

classe delle

UNITA’

ordine

44 / 93



12

ordine

11

ordine

10

ordine

9

ordine

8

ordine

7

ordine

45 / 93



6

ordine

5

ordine

4

ordine

3

ordine

2

ordine

1

centinaia

46 / 93



Di

miliardi

decine

di

miliardi

unità

di

miliardi

centinaia

di

milioni

decine

47 / 93



Di

milioni

unità

Di

milioni

centinaia

di

migliaia

decine

di

migliaia

unità

48 / 93



di

migliaia

centinaia

semplici

decine

semplici

unità

semplici

49 / 93



1

2

2

Si ha che il 2 scritto a destra rappresenta il numero di unità semplici o di primo ordine, il 2 scrittoa sinistra rappresenta quello delle decine o di secondo ordine e l’1 quello delle centinaia dimigliaia o del terzo ordine.

Quindi possiamo notare che le due cifre 2 all’interno del numero hanno un significato diverso.

La loro posizione all’interno del numero ha cambiato il loro significato, il 2 a destra ci dice che ci

50 / 93



sono 2 oggetti, il 2 a sinistra ci dice che ce ne sono 2 decine e quindi ci sono 20 oggetti.

Scriviamo 377:

classe dei

MILIARDI

classe dei

MILIONI

classe delle

MIGLIAIA

classe delle

UNITA’

ordine

12

51 / 93



ordine

11

ordine

10

ordine

9

ordine

8

ordine

7

ordine

52 / 93



6

ordine

5

ordine

4

ordine

3

ordine

2

ordine

1

centinaia

53 / 93



Di

miliardi

decine

di

miliardi

unità

di

miliardi

centinaia

di

milioni

decine

54 / 93



Di

milioni

unità

Di

milioni

centinaia

di

migliaia

decine

di

migliaia

unità

55 / 93



di

migliaia

centinaia

semplici

decine

semplici

unità

semplici

56 / 93



3

7

7

Si ha che il 7 scritto a destra rappresenta il numero di unità semplici o di primo ordine, il 7 scrittoa sinistra rappresenta quello delle decine o di secondo ordine e l’3 quello delle centinaia dimigliaia o del terzo ordine.

Scriviamo 222:

classe dei

57 / 93



MILIARDI

classe dei

MILIONI

classe delle

MIGLIAIA

classe delle

UNITA’

ordine

12

ordine

11

ordine

58 / 93



10

ordine

9

ordine

8

ordine

7

ordine

6

ordine

5

ordine

59 / 93



4

ordine

3

ordine

2

ordine

1

centinaia

Di

miliardi

decine

di

60 / 93



miliardi

unità

di

miliardi

centinaia

di

milioni

decine

Di

milioni

unità

Di

61 / 93



milioni

centinaia

di

migliaia

decine

di

migliaia

unità

di

migliaia

centinaia

semplici

62 / 93



decine

semplici

unità

semplici

63 / 93



2

2

2

Si ha che il 2 scritto a destra rappresenta il numero di unità semplici o di primo ordine, il 2 scrittoalla sua sinistra rappresenta quello delle decine o di secondo ordine e il 2 scritto ancora più asinistra quello delle centinaia di migliaia o del terzo ordine.

Scriviamo 999:

classe dei

MILIARDI

classe dei

MILIONI

64 / 93



classe delle

MIGLIAIA

classe delle

UNITA’

ordine

12

ordine

11

ordine

10

ordine

9

65 / 93



ordine

8

ordine

7

ordine

6

ordine

5

ordine

4

ordine

66 / 93



3

ordine

2

ordine

1

centinaia

Di

miliardi

decine

di

miliardi

unità

67 / 93



di

miliardi

centinaia

di

milioni

decine

Di

milioni

unità

Di

milioni

centinaia

68 / 93



di

migliaia

decine

di

migliaia

unità

di

migliaia

centinaia

semplici

decine

semplici

69 / 93



unità

semplici

70 / 93



9

9

9

Si ha che il 9 scritto a destra rappresenta il numero di unità semplici o di primo ordine, il 9 scrittoalla sua sinistra rappresenta quello delle decine o di secondo ordine e il 9 scritto ancora più asinistra quello delle centinaia di migliaia o del terzo ordine.

Si vede così che ogni cifra ha un valore particolare che dipende dalla posizione che ha nelnumero, ecco perché il sistema decimale viene anche detto sistema posizionale.

Il nostro sistema di numerazione è posizionale, in quanto il valore delle cifre dipendedalla loro posizione.

I numeri romani

I Romani usavano dei numeri diversi da noi, essi avevano dei numeri principali che indicavanocon delle lettere:

Numeri decimali

1

71 / 93



5

10

50

100

500

1?000

Numeri romani principali

I

V

X

L

72 / 93



C

D

M

A partire da questi numeri scrivevano gli altri numeri.

L’insieme dei simboli e delle regole usate dai Romani per scrivere i numeri ci dà il sistema dinumerazione romano, che funziona in modo diverso dal sistema di numerazione decimale.

In base ai numeri che loro usavano per scrivere 2, facevano il seguente ragionamento: siccome2 è fatto da 1+1 allora possiamo scriverlo come:

2 = II

E per scrivere 3? Facevano lo stesso ragionamento: siccome 3 è dato da 1 + 1 + 1 si puòscrivere:

3 = III

Pensiamo al numero 4, siccome 4 = 1 + 1 + 1 + 1 se volessimo continuare con questoragionamento dovremmo scrivere:

73 / 93



4 = IIII

Ma noi sappiamo che per ottenere 4 possiamo anche fare:

5 – 1 = 4

Allora i romani hanno pensato di scrivere il numero 5 e di farlo precedere dal numero 1, cioè discrivere il numero 4 in questo modo:

IV

Quindi si considera il numero principale più a destra che compare nella scrittura e si sottrae ilvalore del numero principale scritto a sinistra.

Per il numero 6 invece ritorniamo ad usare il ragionamento precedente, siccome 6 è dato da 5 +1 allora:

6 = VI

e così per 7 = 5 + 1 + 1 si scrive:

7 = VII

e per l’8 = 5+ 1 + 1 + 1 abbiamo:

74 / 93



8 = VIII

Per il 9 invece si fa lo stesso ragionamento fatto per il 4, siccome 10 – 1 = 9 scriviamo:

9 = IX

Quindi non si scrivono mai quattro simboli uguali vicino, ma al massimo tre.

I Romani usavano la seguente convenzione:

Il sistema di numerazione romana è fondato sulla convenzione che se alla destra di unnumero se ne scrive un altro di valore uguale o minore, il suo valore si aggiunge alprimo, mentre se si scrive alla sua sinistra un simbolo di valore minore, il suo valoreviene sottratto.

Quindi il numero

18 = 10 + 5 + 3 = 10 + 5 + 1 + 1 + 1

si scriverà:

18 = XVIII

Mentre il numero 19 = 10 + 9 si scriverà:

75 / 93



XIX

E il numero presente nel nome della vostra scuola è quindi:

23 = XXIII

in quanto 23 = 20 + 3 = 10 + 10 + 3.

Il sistema di numerazione romano funziona diversamente da quello decimale, qui per scrivereun numero non facciamo nessun raggruppamento e il simbolo ha sempre lo stesso valoreall’interno del numero, infatti quando scriviamo

23 = XXIII

la X vale sempre 10 e il simbolo I vale sempre 1.

Per scrivere i numeri romani noi dobbiamo fare delle operazioni di somma e sottrazione usandosempre i simboli principali, e quindi questo sistema di numerazione non è posizionale, ma vienedetto sistema additivo.

Il sistema di numerazione Romano è un sistema di numerazione additivo, perchè ogninumero è rappresentato dalla somma delle cifre che lo compongono.

Gli antichi sistemi di numerazione

76 / 93



Abbiamo visto che per contare possiamo raggruppare gli oggetti in blocchetti, ma prima ancoradi usare questo metodo gli uomini primitivi usavano fare delle tacche su pezzi di legno o dipietra o ossa di animali.

Figuratevi che esiste un osso di lupo del 30000 a.C. con 55 tacche che dovrebberocorrispondere agli animali uccisi da quell’uomo. Però quando le cose da contare sono tante faredelle incisioni su un oggetto non risolveva il problema, quindi i vari popoli cercarono di pensarea dei metodi per scrivere i numeri.

I Sumeri

Il primo popolo che inventò un sistema di numerazione furono i Sumeri che nel III millennio a.C.iniziarono ad usare dei simboli a forma di cuneo per rappresentare i numeri. In effetti i Sumeriusarono solo 2 simboli:

Che rappresenta il numero

1


77 / 93



10

I numeri da 1 a 59 erano rappresentati nel seguente modo:

1

20

2

78 / 93



30

3

40

....

79 / 93



50

10

51

11

80 / 93



52

12

...

13

81 / 93



59

...

Vediamo che questo modo di scrivere i numeri è molto simile a quello che usarono i Romani peril loro sistema di numerazione, infatti anche in questo caso aggiungiamo tanti simboli uguali, mai simboli hanno sempre lo stesso valore in qualunque posizione si trovano.

82 / 93



Quindi potremmo dire che i Sumeri usavano un sistema di numerazione additivo come poifecero i romani. Ma questo è vero solo in parte e vediamo perché.

Abbiamo detto che quelli sono i numeri fino a 59, ma allora dopo come erano scritti i numeri?

Il numero 60 loro lo scrivevano così:


60

Il numero 1 e il numero 60 erano scritti con gli stessi simbolo


1

83 / 93




60

E qui le cose si complicano, infatti da questo punto in poi in base alla posizione che ha questosimbolo cambia il suo valore e il suo significato.

Nel nostro sistema di numerazione per leggere bene separiamo le cifre con un puntino, mentreloro le separavano lasciando uno spazio vuoto.

Anche qui iniziano ad esserci grandezze di ordine diverso, non solo, ma quando mettiamovicino due simboli che rappresentano il 60 non abbiamo

60+60 = 120

ma

60 x 60 = 3600

Quindi il sistema usato dai Sumeri era misto, era additivo fino al numero 59 e poi diventaposizionale. Ed è molto difficile non solo da scrivere un numero, ma anche da leggere unnumero in questo sistema di numerazione.

84 / 93



Gli Egiziani

Circa quattromila anni fa nacque, a opera degli Egizi,

un sistema di numerazione in cui si adoperavano sette simboli:


1


10

85 / 93




100


1?000


10?000


86 / 93



100?000


1?000?000

Gli Egizi per rappresentare un numero mettevano tanti oggetti dello stesso tipo uno vicinoall’altro e il loro valore si sommava.

Ad esempio:

4 =

36 =

Quindi gli egizi usavano il sistema di numerazione additivo, coma poi fecero i Romani.

Pensate come era lungo scrivere un numero in questo modo

87 / 93



I Greci

I Greci invece avevano un sistema di numerazione in cui non c’erano dei numeri.

I Greci usavano per rappresentare i numeri tutte le lettere dell’alfabeto greco, più altre lettere diun alfabeto ancora più antico, come mostra questo schema:

Poi c’erano anche questi altri simboli:

Sommato il valore dei simboli messi uno vicino all’altro si otteneva il numero.

Anche questo sistema di numerazione era di tipo additivo, ma anche qui bisognava ricordarsiun sacco di simboli e poi era facile confondersi fra la scrittura delle parole e la scrittura deinumeri.

88 / 93



I Maya

I Maya erano una civiltà che si è sviluppata in America centro meridionale e non avevanocontatti e rapporti con le civiltà dell’Oriente e dell’Europa.

I primi venti numeri usati dai Maya erano i seguenti:

La novità della numerazione Maya era la presenza dello zero rappresentato con un ovale moltosimile ad un occhio semichiuso, come quello per scrivere il numero venti.

Anche questo sistema come quello dei Sumeri è additivo fino a questo punto, poi per i numerimaggiori di venti diventa posizionale e non solo, ma i numeri non venivano scritti da sinistraverso destra, ma dal basso verso l’alto.

Quindi la scrittura diventa complessa ed era difficilissimo per altri che non la conoscevano beneriuscire ad utilizzare questo sistema di numerazione.

I Cinesi

I cinesi adoperavano due distinti sistemi di numerazione.

Il primo sistema si serviva di nove simboli diversi per i primi nove numeri interi e dei simboli

89 / 93



aggiuntivi per i numeri 10, 100, 1000, ecc.

Il secondo sistema si serviva di bastoncini affiancati in vario modo fra loro per rappresentare inumeri da 1 a 9 e le decine da 10 a 90.

Guardandoli ci accorgiamo che è già difficile scrivere ogni cifra immaginate quanto eracomplesso scrivere un numero grande o leggerlo.

Gli Indiani e gli Arabi

Gli indiani furono i primi ad usare un sistema di numerazione formato da dieci simboli diversi eche fosse posizionale, quindi sistema di numerazione da cui poi è derivato il nostro.

Le cifre indiane sono le seguenti:

Potete iniziare a vedere che alcune iniziano a somigliare a quelle che usiamo noi oggi, vedete il2 il 3 e lo 0.

90 / 93



Gli Arabi appresero dagli indiani questo sistema di numerazione e lo insegnarono ad altreciviltà, quindi in Arabia, Siria, Iran, Egitto e in altri paesi islamici le cifre divennero:

Qui le cifre che assomigliano di più alle nostre sono l’1, il 9 e lo 0.

Poi nei paesi europei le cifre indo-arabe si trasformarono gradualmente nel seguente modo:

Così noi oggi usiamo questi simboli con le regole che abbiamo visto in precedenza.

Sistemi di numerazione non decimale

Gli antichi popoli usavano le mani per dirsi quante cose avevano, poiché ogni mano ha 5 dita,vuol dire che raggruppavano le cose a blocchi di 5.

Usando due mani alla volta si è passato ad usare un sistema che raggruppava le cose a dieci adieci, in quanto due mani hanno dieci dita.

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Ogni dito è fatto da delle falangi, contando le falangi di ogni mano, vediamo che ogni dito ha trefalangi tranne il pollice che ne ha due, quindi ci sono 14 falangi a mano e se utilizziamo tutte edue le mani abbiamo 28 falangi.

In India, in Cina e in Indonesia e in seguito in Inghilterra nel VII secolo per contare usavanoraggruppamenti di 28 come il numero delle falangi.

Alcuni popoli usavano sia le mani che i piedi per contare e quindi 20 dita, perciò iraggruppamenti erano di 20 in 20. Infatti ad esempio i francesi per dire 80 dicono ancoraquatrevingt, che vuol dire quattro volte venti.

Gli egiziani riuscirono a rappresentare tutti i numeri sino a 9999 ed erano in grado di eseguireaddizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e anche calcoli più complessi.

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Spesso si pensa che la Matematica ed il suo apprendimento siano difficoltosi e riservatisolo a quei pochi eletti che nascono con il "bernoccolo" della matematica , ma ciò non èvero! LaMatematica può rivelarsi molto piacevole e addirittura appassionante se la si libera damodalità noiose e ripetitive dell’insegnamento. Ciò che fa la differenza è il come, più altri fattori di contorno. Infatti, pur non perdendo di vistal’obiettivo da raggiungere, i ragazzi possono impararne le strategie risolutive e i contenutianche in modo interessante e divertente e, soprattutto, in prima persona. Per realizzare questa possibilità è sufficiente creare un ambiente di apprendimento che siain sintonia con le naturali curiosità dei bambini e che,contemporaneamente, li coinvolga sul piano emotivo o della fantasia. Quale ambiente migliore allora di quello delle favole?Ecco che le vicende di Alice nel Paese delle Meraviglie (Alice è stata creata, guarda caso, dalla fantasia del matematico inglese C. L. Dodgson, che sifirmava con lo pseudonimo Lewis Carroll) diventano il contenitore ideale per dispiegare i concetti e le curiosità inerenti i sistemi dinumerazione non decimali. Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), matematico di professione e difensore di Euclide, ènoto in tutto il mondo con il nome di Lewis Carroll e come autore di Alice's Adventures inWonderland a cui ha fattoseguito Through the Looking-Glass and What Alice Found There(traduzione italiana: Attraverso lo specchio). Qualcuno ha attribuito il successo di questi libri per bambini al fatto che non tentassero, comealtre opere per bambini dell'epoca, di insegnare una morale. Allo stesso tempo, l'umorismo e ilgusto del paradosso hanno reso questi testi interessanti anche per gli adulti. Ai due romanzis'ispirò il film Alice nel paese delle meraviglie di Walt Disney del 1951. La favola diventa laboratorio di Matematica! Quale binomio straordinario! In questo modoper i ragazzi il percorso didattico diventa unaspecie di affascinante iniziazione alle basi del calcolo non decimale in cui sonoaccompagnati, quasi per mano, da una ragazzina piacevole ed imprevedibile come Alice.E’ lei, essa stessa una bambina, che li guiderà in un viaggio, che possiede il "magico saporedell’ avventura", attraverso un argomento veramente meraviglioso e ricco di sorprese comequello dei sistemi di numerazione.

Alice decide di cimentarsi in sistemi di numerazione a base non decimale, cioè diavventurarsi attraverso i Sistemi Alternativi. La giustificazione dell’introduzione di questi sistemi compare nel capitolo II del libro e che nonpuò essere compreso se non si conoscono le tabelline costruite utilizzando sistemi dinumerazione con base superiore a 10. La favola diventa così terreno fertile per dare la spinta all’apprendimento di questo argomentoche, a volte, potrebbe sembrare complesso anche ad un adulto! Ma che i bambini, seopportunamente stimolati, possono vivere come un indovinello o un gioco enigmistico. Infatti nella stupenda favola di Alice nel paese delle meraviglie, scritta da Lewin Carroll, si narrache Alice dopo aver mangiato dodici invitati su cui c’era scritto “Mangiami” si sentì unpo’ confusa.

Provò paura e per vincere quella strana sensazione e riprendersi, cominciò a contare inmodo un po’ misterioso: 5 x 4 = 12 6 x 4 = 13. Guardando come contava Alice possiamo pensare che Alice non sapesse fare i conti. Ma facciamo prima una osservazione, noi usiamo un sistema di numerazione in cui usiamo 10simboli 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 e con questi riusciamo a scrivere tutti i numeri. Se avessimo solo 2 simboli 0 e 1 possiamo scrivere comunque tutti i numeri, ma in mododiverso e così di seguito come mostra questa tabella BASE 2 BASE 4 BASE 5 BASE 8 BASE 10 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 10 2 2 2 2 11 3 3 3 3 100 10 4 4 4 101 11 10 5 5 110 12 11 6 6 111 13 12 7 7 1000 20 13 10 8 1001 21 14 11 9 1010 22 20 12 10 Facciamo noi i conti e vediamo se Alice conosceva la matematica. Sappiamo tutti che: 5 x 4 = 20 ma questo cosa vuol dire? 20 nel sistema decimale 2 raggruppamenti di 10 Resta 0 2 0 Ma allora Alice ha sbagliato i conti, vediamo che non è così, non ha sbagliato a fare i calcoli stasoltanto effettuando delle moltiplicazioni con un sistema di numerazione non decimale. Dunque il numero 20 in questo nuovo sistema di numerazione è uguale al numero 12 nelsistema di numerazione decimale , quindi si scrive: 20 = 12 Dunque quando Alice dice che: 5 x 4 = 12 non ha sbagliato i conti, ma ha solo usato un sistema di numerazione che raggruppa le cose inblocchi di 18. Sistema di numerazione decimale Sistema di numerazione in base 18 5 x 4 = 20 5 x 4 = 12 Come funziona questo sistema di numerazione? Ogni 18 oggetti ho un’1 di ordine superiore(come se fosse la nostra decina rapportata al sistema di numerazione decimale), ma mi restano2 oggetti (che considero come le mie unità nel sistema di numerazione decimale) quindi ilnumero che viene a formarsi è 18. 20 nel sistema in base 18 1 raggruppamento di 18 Restano 2 1 2 Controlliamo l’altro calcolo che faceva Alice: 6 x 4 = 13 Sappiamo tutti che nel sistema di numerazione decimale: 6 x 4 = 24 cioè 24 nel sistema decimale 2 raggruppamento di 10 Restano 4 2 4 Nel sistema di numerazione in base 18, cioè considerando raggruppamenti di 18 oggetti si ha 6 x 4 = 16 24 nel sistema in base 18 1 raggruppamento di 18 Restano 6 1 6 quindi ha sbagliato i conti? Lei dice: 6 x 4 = 13 ma questo calcolo non è valido in nessuno dei due sistemi di numerazione che abbiamoconsiderato fino ad ora quindi ora ha sbagliato i conti? Sistema di numerazione decimale Sistema di numerazionein base 18 Sistema di numerazione?!? 6 x 4 = 24 6 x 4 = 16 6 x 4 = 13 No non ha sbagliato, ha cambiato di nuovo sistema di numerazione, ha utilizzato un sistema dinumerazione che raggruppa le cose in blocchi di 21. Cioè 24 nel sistema in base 21 1 raggruppamento di 21 Restano 3 1 3 Quindi Sistema di numerazione decimale Sistema di numerazionein base 18 Sistema di numerazionein base 21 6 x 4 = 24 6 x 4 = 16 6 x 4 = 13 Dunque Alice non faceva altro che divertirsi ad usare dei sistemi di numerazione che non eranodecimali. Ma oltre a divertirci con i numeri, perché ci serve sapere queste cose? Siete proprio sicuri chenon vi servono e che voi non usate sistemi di numerazione diversi? Osserviamo: da quanti secondi è formato un minuto? Da 60 secondi. E un’ora da quanti minuti è formata? Da 60 minuti.

Allora quando diciamo che ore sono stiamo usando un sistema di numerazione che usaraggruppamenti di 60, quindi un sistema di numerazione particolare. Infatti ogni raggruppamento di 60 secondi lo chiamate 1 minuto, e ogni raggruppamento di 60minuti lo chiamate 1 ora. Quindi tutti noi abbiamo imparato ad usare dei sistemi di numerazione che non sono decimali,senza neanche accorgercene. Anche quando andiamo a fare la spesa avete mai fatto caso alle cose che sono negli scaffali eche non sono raggruppati in blocchi da dieci? Ad esempio, nel pacchetto dei salatini, quanti salatini ci sono? Nella confezione di uova, quante uova ci sono?

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