DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE Cinematica e Dinamica

In Cinematica si studia il moto di un corpo dal un punto di vista spazio-temporale adoperando le grandezze fisiche tempo, posizione, velocità ed accelerazione. La Dinamica cerca invece di indagare le cause dei moti ovvero si studia il moto di un corpo tenendo conto della presenza degli altri corpi con cui può interagire, mettendo in correlazione l’accelerazione con grandezze fisiche quali la massa e la forza.

La Dinamica è quella parte della Fisica che si occupa di trovare e studiare le relazioni tra le grandezze che descrivono il moto di un corpo (grandezze cinematiche) e le sue

interazioni (forze) con tutto il resto dell’Universo.

Se consideriamo un corpo le cui parti si muovono allo stesso modo cosicché possa essere schematizzato come una particella puntiforme, ha poca importanza conoscere in quale punto agisce l’ambiente esterno, lo scopo sarà quello di determinare l’effetto complessivo dell’ambiente. Per eseguire questi studi è essenziale dapprima introdurre il concetto di forza F, che sostanzialmente rappresenta il mezzo per collegate il moto dei corpi all’influenza dell’ambiente esterno.

Concetto di Forza e Prima Legge di Newton

Supponiamo di sistemare un certo oggetto su un piano orizzontale. Se lo facciamo scivolare con una spinta, osserviamo che esso rallenta e quindi si ferma. Questo comportamento era usato per dimostrare che la mancanza di forza agente costringe il corpo a fermarsi. Galileo contestò questa affermazione ripetendo l’esperimento più volte utilizzando superfici più levigate e/o lubrificate ed osservando che il percorso effettivo aumentava al diminuire dell’attrito fra le superfici a contatto. Poté quindi affermare che, se fosse stato possibile eliminare l’attrito, il corpo avrebbe continuato a muoversi indefinitamente con velocità costante. Una forza esterna è necessaria a mettere in moto un corpo, ma, una volta in moto, non sono necessarie forze per farlo procedere con velocità costante. La forza quindi non è correlata al moto di un corpo ma ad una variazione del moto stesso. Anche se apparentemente sulla terra i corpi sono sempre soggetti a forze (forza di gravità), per sperimentare l’assenza di forze non è necessario portarsi nello spazio vuoto. Infatti per quanto concerne i moti traslatori non c’è differenza fra il moto di un corpo non soggetto a forze e quello di un corpo soggetto a più forze di risultante nulla. Riassumendo quanto detto fin’ora si può enunciare la Prima Legge di Newton:

Un corpo in moto rettilineo con velocità costante (o in quiete) persevera nel suo stato di moto (o quiete) finché su di esso non agiscono agenti esterni.

La Prima Legge di Newton in realtà non è altro che una proprietà di determinati sistemi di riferimento. L’accelerazione di un corpo dipende infatti dal sistema di riferimento rispetto al quale viene misurata e le leggi della meccanica classica valgono solo in sistemi ben determinati nei quali gli osservatori misurano lo stesso valore dell’accelerazione.

Se la risultante di tutte le forze agenti su un corpo è nulla, allora è possibile trovare un insieme di sistemi di riferimento nei quali anche l’accelerazione del corpo è nulla.

Forze e Massa

Il concetto di forza, che nel linguaggio quotidiano indica qualcosa che tira o spinge, può facilmente essere introdotto in modo operativo collegandolo all’accelerazione che una forza produce su un determinato corpo. Consideriamo il kilogrammo campione su un piano orizzontale privo di attrito e agganciato ad una molla. Tiriamo la parte libera della molla fino a misurare un valore del’accelerazione pari a 1 𝑚/𝑠2: diremo allora che, per definizione, la molla applica al kilogrammo campione una forza di 1 𝑁. Attribuito alla forza un modulo si osserva anche che essa ha sempre la direzione dell’accelerazione che produce e inoltre, sperimentalmente, si può verificare che le forze obbediscono a tutte le leggi dell’addizione vettoriale. Dunque le forze sono vettori.

Poiché il corpo campione è stato scelto arbitrariamente, possiamo concludere che l’accelerazione prodotta dovrà essere proporzionale alla forza applicata. Inoltre la stessa forza applicata a corpi diversi produce accelerazioni diverse. Sperimentalmente si trova quindi che l’accelerazione prodotta da una forza è inversamente proporzionale alla massa accelerata. La massa di un corpo fornisce quindi una misura della resistenza che il corpo oppone alla variazione della sua velocità. Queste considerazioni ci forniscono un metodo per confrontare masse di corpi diversi in base alle accelerazioni prodotte da una stessa forza.

Il rapporto fra le masse dei due corpi è uguale all’inverso del rapporto fra le accelerazioni prodotte da una stessa forza.

𝒎𝟏

𝒎𝟎=𝒂𝟎𝒂𝟏

Seconda Legge di Newton

Riassumendo i risultati sperimentali e le definizioni precedenti mediante una relazione, si ottiene l’equazione fondamentale della meccanica classica:

�𝑭��⃗ 𝒊 =𝒏

𝒊=𝟏

𝒎𝒂��⃗

dove ∑ �⃗� rappresenta il vettore somma di tutte le forze agenti sul corpo, 𝑚 è la sua massa e �⃗� l’accelerazione prodotta. Se la scriviamo nella forma �⃗� = (∑ �⃗�)/𝑚 vediamo facilmente che l’accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla risultante delle forze su di esso applicate ed inversamente proporzionale alla massa del corpo. Inoltre la Prima Legge è contenuta

nella Seconda come caso particolare infatti se ∑ �⃗� = 0 anche �⃗� = 0 e quindi il corpo si muove di moto rettilineo uniforme.

L’equazione vettoriale della Seconda Legge di Newton può inoltre essere scritta in modo equivalente in tre equazioni scalari

�𝑭𝒙 =𝒏

𝒊=𝟏

𝒎𝒂𝒙 �𝑭𝒚 =𝒏

𝒊=𝟏

𝒎𝒂𝒚 �𝑭𝒛 =𝒏

𝒊=𝟏

𝒎𝒂𝒛

che legano le componenti scalari lungo gli assi 𝑥𝑦𝑧 della forza risultante alle tre componenti dell’accelerazione e alla massa 𝑚.

N.B. 𝑭𝒙 è la componente scalare di 𝑭��⃗ nella direzione 𝒙�

𝑭𝒙𝒙� è il componente vettore di 𝑭��⃗ nella direzione 𝒙�

Quantità di moto 𝒒��⃗ : (o momento lineare) è la grandezza vettoriale che misura la capacità di un corpo di modificare il movimento di altri corpi con cui interagisce dinamicamente. Si definisce come il prodotto tra la massa e la velocità di un dato corpo:

𝒒��⃗ = 𝒎𝒗��⃗

Attraverso questa definizione si può riscrivere la Seconda Legge di Newton in modo più generico

�𝑭��⃗ 𝒊 = 𝑭��⃗ =𝒏

𝒊=𝟏

𝒅𝒒��⃗𝒅𝒕

Formulazione che contiene come caso particolare (quando la massa è costante) quella precedente

�𝒎 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 ⟺ 𝒅𝒎𝒅𝒕

= 𝟎� 𝒅𝒒��⃗𝒅𝒕

=𝒅𝒅𝒕

(𝒎𝒗��⃗ ) =𝒅𝒎𝒅𝒕

𝒗��⃗ + 𝒎𝒅𝒗��⃗𝒅𝒕

= 𝟎 + 𝒎𝒂��⃗ = 𝒎𝒂��⃗

Terza Legge di Newton

Le forze agenti su un dato corpo in generale sono applicate da uno dei corpi che costituiscono il suo ambiente. Ogni singola forza rappresenta parte dell’interazione fra 2 corpi. L’esperienza dimostra che, quando un corpo esercita una forza su un altro, questo a sua volta esercita una forza sul primo. Queste forze sono uguali in modulo e direzione ed hanno verso opposto. Una singola forza isolata è quindi impossibile. La più recente formulazione della Terza Legge di Newton afferma che:

Ogni qual volta due corpi interagiscono, la forza 𝑭��⃗ 𝟏𝟐 che il corpo 2 esercita sul corpo 1 è

uguale all’opposto della forza 𝑭��⃗ 𝟐𝟏 che il corpo 1 esercita sul corpo 2.

𝑭��⃗ 𝟏𝟐 = −𝑭��⃗ 𝟐𝟏

SISTEMI DI RIFERIMENTO Sistemi di Riferimento

Consideriamo un punto materiale 𝑃 che si muova nello spazio e consideriamo due sistemi di coordinate in quiete uno rispetto all’altro.

- L’osservatore posto in 𝑂𝑥𝑦𝑧 descrive il moto per mezzo di 𝑟 �⃗� �⃗�. - L’osservatore posto in 𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′ descrive il moto per mezzo di 𝑟′ �⃗�′ �⃗�′.

𝒓�⃗ = 𝑹��⃗ 𝟎 + 𝒓�⃗ ′

𝒗��⃗ = 𝒗��⃗ ′

𝒂��⃗ = 𝒂��⃗ ′

I due osservatori misurano per il punto materiale 𝑃 posizioni diverse, ma velocità ed accelerazioni di egual valore.

Si definisce sistema di riferimento l’insieme di tutti i sistemi di coordinate in quiete rispetto ad un dato sistema di coordinate.

Trasformazioni Galileiane e Invarianza Galileiana

Consideriamo un punto materiale 𝑃 che si muova nello spazio e consideriamo due sistemi di coordinate in movimento uno rispetto all’altro a velocità costante V��⃗ 0 (velocità di trascinamento).

Le Leggi di Trasformazione Galileiane sono le seguenti:

𝒓�⃗ = 𝑹��⃗ 𝟎 + 𝑽��⃗ 𝟎𝒕 + 𝒓�⃗ ′

𝒗��⃗ = 𝒗��⃗ ′+ 𝑽��⃗ 𝟎

𝒂��⃗ = 𝒂��⃗ ′

I due osservatori misurano per il punto materiale 𝑃 posizioni e velocità diverse, ma velocità ed accelerazioni di egual valore.

Il Principio di Invarianza Galileiana afferma che:

Le leggi fondamentali della fisica sono identiche in tutti i sistemi di riferimento che si muovono di moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro.

Da cui, ricordando le Trasformazioni Galileiane, segue che:

Le leggi fondamentali della fisica hanno la stessa forma in due sistemi di riferimento collegati da una trasformazione galileiana.

Sistemi di Riferimento Inerziali

La tendenza di un corpo a rimanere o a proseguire di moto rettilineo uniforme è chiamata inerzia per cui la Prima Legge di Newton è anche detta legge d’inerzia e i sistemi di riferimento in cui è valida sono detti inerziali. Cercando di porre un corpo fermo (o in moto rettilineo uniforme) in un sistema di riferimento, è possibile verificare se esso è inerziale o meno. Se il non corpo rimane fermo (o varia la sua velocità in modulo o direzione) allora esso non è inerziale. Una volta determinato un sistema di riferimento inerziale, qualsiasi sistema in moto rettilineo uniforme rispetto al primo è anch’esso inerziale. Notiamo che, secondo la Prima Legge di Newton, non esiste differenza fra un corpo fermo ed uno moto rettilineo uniforme. Infatti se si osserva un corpo fermo in un sistema inerziale da un altro sistema inerziale che si muove con velocità costante rispetto al primo, un l’osservatore solidale col primo sistema vede il corpo fermo mentre un osservatore solidale col secondo lo vede muoversi con velocità costante. Entrambi gli osservatori sono però d’accordo sul fatto che l’accelerazione subita dal corpo è nulla e che quindi la risultante delle forze applicate ad esso è uguale a zero. Entrambi i casi sono considerati “naturali”.

Dall’Invarianza Galileiana e dalle Trasformazioni Galileiane segue che:

Tutti i sistemi di riferimento che si muovono a velocità costante rispetto ad un sistema di riferimento inerziale sono anch’essi sistemi di riferimento inerziali.

Esiste quindi una classe di sistemi di riferimento inerziali:

Tutti i sistemi di riferimento che si muovono con velocità costante rispetto al sistema di riferimento delle stelle fisse sono inerziali.

Sistemi di Riferimento non Inerziali

La scelta del sistema di riferimento è sempre compito dell’osservatore. Possiamo decidere di applicare la meccanica classica dal punto di vista di un osservatore posto in un sistema di riferimento non inerziale, ovvero solidale con un corpo accelerato rispetto a quello inerziale. Per applicare le leggi della dinamica classica in un sistema non inerziale è necessario però introdurre le forze fittizie. Queste forze non possono essere causate dall’ambiente infatti esse spariscono se esaminiamo il problema in un sistema inerziale. Le forze fittizie non sono altro che un meccanismo per analizzare eventi quando insistiamo nel volerli interpretare in un sistema non inerziale.

Consideriamo un punto materiale 𝑃 che si muova nello spazio e consideriamo due sistemi di coordinate in movimento uno rispetto all’altro a accelerazione costante a�⃗ 0 (accelerazione di trascinamento). Supponiamo il sistema di riferimento 𝑂𝑥𝑦𝑧 inerziale e il sistema 𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′ accelerato e ovviamente non inerziale. Le leggi di trasformazione sono:

𝒓�⃗ = 𝑹��⃗ 𝟎 + 𝑽��⃗ 𝟎𝒕 +𝟏𝟐𝒂��⃗ 𝒕𝟐 + 𝒓�⃗ ′

𝒗��⃗ = 𝒗��⃗ ′+𝒂��⃗ 𝟎𝒕+ 𝑽��⃗ 𝟎

𝒂��⃗ = 𝒂��⃗ ′ + 𝒂��⃗ 𝟎

I due osservatori misurano per il punto materiale 𝑃 posizioni, velocità e accelerazioni diverse.

Sostituendo l’espressione dell’accelerazione nella Legge di Newton:

�𝑭��⃗ 𝒊𝑹

= 𝒎𝒂��⃗𝒏

𝒊=𝟏

= 𝒎(𝒂��⃗ ′ + 𝒂��⃗ 𝟎) = 𝒎𝒂��⃗ ′ + 𝒎𝒂��⃗ 𝟎 ⇒ �𝑭��⃗ 𝒊𝑹

𝒏

𝒊=𝟏

−𝒎𝒂��⃗ 𝟎 = 𝒎𝒂��⃗ ′

𝑭��⃗ 𝑭 = −𝒎𝒂��⃗ 𝟎

Si ottiene la Seconda Legge di Newton nei sistemi non inerziali:

�𝑭��⃗ 𝒊𝑹

+ 𝑭��⃗ 𝑭 = 𝒎𝒂��⃗𝒏

𝒊=𝟏

′

Sistema solidale con la terra: Peso e Massa

Il peso di un corpo è la forza gravitazionale esercitata dalla terra sul corpo stesso. La direzione di questo vettore è la stessa della forza gravitazionale e quindi verso il centro della terra. Immaginiamo di prendere un corpo di massa 𝑚 e di lasciarlo libero di muoversi sotto l’azione della forza di gravità. Ignorando gli attriti dell’aria, sul corpo agisce una sola forza: il suo peso 𝑃�⃗ per cui subisce l’accelerazione di gravità �⃗�.

𝑷��⃗ = 𝒎𝒈��⃗

A causa della rotazione terrestre attorno al proprio asse, la Terra non può essere considerata un sistema di riferimento inerziale. L’accelerazione in caduta libera misurati in questo sistema di riferimento non inerziale ha almeno due componenti: una dovuta all’attrazione gravitazionale e l’altra alla rotazione. Essendo che l’accelerazione calcolata all’equatore si differenzia dall’accelerazione calcolata al polo (dove non esiste la componente centripeta) di uno 0,3%, per piccoli tratti tale contributo sarà trascurato.

LAVORO ED ENERGIA Lavoro

Consideriamo una forza costante �⃗� agente su una particella e supponiamo che il moto avvenga nella direzione della forza.

Si definisce lavoro 𝑳 fatto dalla forza sulla particella il prodotto scalare del modulo 𝑭 della forza per il modulo 𝒔 dello spostamento prodotto.

𝒅𝑳 = 𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗

Consideriamo una massa 𝑚 che si sposta dal punto A al punto B lungo un percorso 𝛾 sotto l’azione di una forza �⃗� = �⃗�(𝑟). Il lavoro 𝐿𝐴𝐵 compiuto dalla forza agente �⃗� lungo il percorso 𝛾 si calcola integrando il lavoro infinitesimo 𝑑𝐿 da A a B lungo 𝛾.

𝑳𝑨𝑩 = � 𝒅𝑳𝑩

𝑨= �𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗

𝑩

𝜸𝑨

In generale, la forza può non agire nella direzione del moto della particella. Considereremo allora la componente della forza lungo la direzione dello spostamento per il suo modulo 𝑑𝑠.

𝒅𝑳 = 𝑭(𝐜𝐨𝐬𝜽)𝒅𝒔

Inoltre possono agire anche altre forze sulla particella: in questo caso il lavoro fatto dalle altre forze dovrà essere calcolato separatamente oppure si dovrà calcolare il lavoro della risultante di tutte le forze agenti sul corpo. Il lavoro dL è nullo se uno dei tre fattori è zero. Ne deriva che il lavoro è nullo se non vi è spostamento, se la risultante delle forze agenti è nulla oppure se l’angolo fra i due vettori vale 𝜋 2� . Per quanto il modulo e la direzione della forza agente non dipendano dalla scelta del sistema di riferimento, la stessa cosa non vale per lo spostamento. Due osservatori, mentre sono d’accordo sul modulo e sulla direzione della forza agente, in generale non ottengono lo stesso lavoro compiuto dalla forza stessa.

Potenza

Per un sistema meccanico è spesso necessario conoscere, oltre alla capacità di compiere lavoro, anche la rapidità con cui tale lavoro deve essere compiuto.

Si definisce Potenza la rapidità con la quale viene eseguito un certo lavoro.

𝑾 =𝒅𝑳𝒅𝒕

Dove dL rappresenta la piccola quantità di lavoro compiuto nell’intervallo infinitesimo dt. Ricordando la definizione di lavoro, la potenza può anche essere espressa come prodotto scalare tra la forza �⃗� che la produce e la velocità �⃗� del corpo.

𝑾 =𝒅𝑳𝒅𝒕

=𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝒅𝒕

= 𝑭��⃗ ∙𝒅𝒔�⃗𝒅𝒕

= 𝑭��⃗ ∙ 𝒗��⃗

Energia Cinetica e Teorema Lavoro-Energia

Consideriamo l’effetto del lavoro sul moto di una particella. Una forza non bilanciata da altre altera sicuramente lo stato di moto della particella sulla quale agisce. Tale variazione può essere analizzata attraverso la seconda legge di newton. Sia �⃗� la risultante di tutte le forze applicate al corpo di massa la risultante di tutte le forze applicate al corpo di massa 𝑚. Calcoliamo il lavoro 𝐿𝐴𝐵 compiuto dalla forza agente �⃗� lungo il percorso 𝛾 si calcola integrando il lavoro infinitesimo 𝑑𝐿 da A a B lungo 𝛾.

𝑳𝑨𝑩 = �𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝜸𝑨

= �𝒎𝒂��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝜸𝑨

= �𝒎𝒂��⃗ ∙ (𝒗��⃗𝑩

𝜸𝑨

𝒅𝒕) = �𝒎𝒅𝒗��⃗𝒅𝒕

∙ (𝒗��⃗𝑩

𝜸𝑨

𝒅𝒕) = 𝒎 �𝒅𝒗��⃗ ∙ 𝒗��⃗𝑩

𝜸𝑨

Trasformiamo l’integrale di linea vettoriale in un integrale definito:

𝒅(𝒗𝟐) = 𝒅(𝒗��⃗ ∙ 𝒗��⃗ ) = (𝒅𝒗��⃗ ) ∙ 𝒗��⃗ + 𝒗��⃗ ∙ (𝒅𝒗��⃗ ) = 𝟐(𝒅𝒗��⃗ ) ∙ 𝒗��⃗ ⇒ 𝒅𝒗��⃗ ∙ 𝒗��⃗ =𝟏𝟐𝒅(𝒗𝟐)

Quindi l’integrale diventa:

𝑳𝑨𝑩 =𝟏𝟐𝒎�𝒅(𝒗𝟐)

𝑩

𝑨

=𝟏𝟐𝒎[𝒅𝒗𝟐 + 𝒄𝒐𝒔𝒕]𝑨𝑩 =

𝟏𝟐𝒎(𝒗𝑩𝟐 − 𝒗𝑨𝟐)

Definendo l’energia cinetica 𝑲 come

𝑲 =𝟏𝟐𝒎𝒗𝟐

Il Teorema dell’Energia Cinetica afferma che:

La variazione di energia cinetica ∆𝑲 di un corpo di massa 𝒎, conseguente allo spostamento dal punto A al punto B, è uguale al lavoro 𝑳𝑨𝑩 compiuto dalla forza

risultante 𝑭��⃗ agente sul corpo, lungo un qualsiasi percorso 𝜸 congiungente A con B.

𝑳𝑨𝑩 = �𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝜸𝑨

=𝟏𝟐𝒎𝒗𝑩𝟐 −

𝟏𝟐𝒎𝒗𝑨𝟐 = 𝑲𝑩 − 𝑲𝑨 = ∆𝑲

Il teorema lavoro energia è stato ottenuto dalla Seconda Legge di Newton, nella forma applicabile solo a particelle puntiformi. Quindi anche il Teorema Lavoro-Energia è valido solo per le particelle. Nell’usarlo ad oggetti estesi considerati come particelle dobbiamo essere sicuri che l’unica forma di energia presente sia quella cinetica. Nel caso degli urti esso infatti non applicabile poiché esiste infatti anche un’energia interna associata alla deformazione degli oggetti. Per quanto questa eserciti una grande forza, essa non compie lavoro poiché il suo punto di applicazione non si sposta. Quindi ∆𝐾 ≠ 0 e 𝐿 = 0 per cui il teorema precedente non è valido.

Forze Conservative

Il lavoro fatto su un sistema da una certa classe di forze dipende solo dallo stato iniziale e finale e non dipende dal particolare percorso seguito dal sistema per passare da uno stato all’altro. Tali forze sono chiamate conservative e sono anche distinguibili per la loro capacità di immagazzinare energia solamente tramite la configurazione del sistema. L’energia accumulata è detta Energia Potenziale. Inoltre immagazzinando, convertendo o trasferendo energia tra sistemi meccanici, l’energia totale rimane sempre costante.

Una forza 𝑭��⃗ si dice conservativa se esiste ed è possibile definire una funzione scalare 𝑼, ad un sol valore, della posizione 𝒓�⃗ per cui:

𝑳𝑨𝑩 = �𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝜸𝑨

= 𝑼(𝑨) − 𝑼(𝑩) = −∆𝑼

Una forza 𝑭��⃗ si dice conservativa se il lavoro da essa compiuto per spostare un corpo da una posizione qualsiasi 𝒓�⃗ 𝑨 ad un’altra posizione qualsiasi 𝒓�⃗ 𝑩 è indipendente dalla

traiettoria 𝜸 effettivamente seguita:

�𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝜸𝟏𝑨

= �𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝜸𝟐𝑨

Una forza 𝑭��⃗ si dice conservativa se il lavoro da essa compiuto per spostare un corpo lungo una qualsiasi traiettoria chiusa è nullo:

� 𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗

𝒓�⃗ 𝑩

𝜸𝟏𝒓�⃗ 𝑨

= � 𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗

𝒓�⃗ 𝑩

𝜸𝟐𝒓�⃗ 𝑨

⇒ � 𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗

𝒓�⃗ 𝑩

𝜸𝟏𝒓�⃗ 𝑨

= − � 𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗

𝒓�⃗ 𝑨

𝜸𝟐𝒓�⃗ 𝑩

⇒ � 𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗

𝒓�⃗ 𝑩

𝜸𝟏𝒓�⃗ 𝑨

+ � 𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗

𝒓�⃗ 𝑨

𝜸𝟐𝒓�⃗ 𝑩

= 𝟎

� 𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝜸𝟏𝜸𝟐

= 𝟎

Una forza 𝑭��⃗ si dice conservativa se il suo rotore vale zero (campo di forze conservative si dice irrotazione):

𝒓𝒐��⃗ 𝒕𝑭��⃗ = 𝛁��⃗ × �⃗� = 𝟎

Energia Potenziale

Sostanzialmente l’energia potenziale rappresenta l’energia di configurazione di un sistema. Più precisamente essa è l’energia immagazzinata da un sistema per il fatto di avere le sue varie componenti disposte in un determinato modo. Consideriamo un sistema sul quale agisce una sola forza conservativa. Quando viene cambiata la configurazione di un sistema facendo muovere una delle sue parti, il lavoro 𝐿 è fatto dalla forza conservativa.

∆𝑼 = 𝑼(𝑩) − 𝑼(𝑨) = − � 𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝜸𝑨

∆𝑼 = 𝑼(𝒓�⃗ ) − 𝑼(𝒓�⃗ 𝟎) = − �𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝒓�⃗

𝜸𝒓�⃗ 𝟎

⇒ 𝑼(𝒓�⃗ )− 𝑼𝟎 = − �𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝒓�⃗

𝜸𝒓�⃗ 𝟎

𝑼(𝒓�⃗ ) = 𝑼𝟎 − �𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝒓�⃗

𝜸𝒓�⃗ 𝟎

La funzione 𝑈 è una funziona scalare ad un sol valore definita a meno di una costante. La costante 𝑈0 potrà essere scelta arbitrariamente in maniera opportuna. Solo la variazione ∆𝑈 ha significato fisico.

Forze Centrali

Si definisce forza centrale una forza che in ogni punto 𝑷 dello spazio ha direzione della retta passante per 𝑷 e per un punto 𝑶 (origine del polo) e modulo dipendente solo dalla

distanza 𝒓 tra il punto 𝑷 ed il polo 𝑶

𝑭��⃗ = 𝒇(𝒓)𝒓�

Calcoliamo il lavoro 𝐿𝐴𝐵 compiuto da una forza centrale �⃗� per spostare una massa 𝑚 da una posizione A ad una posizione B

𝑳𝑨𝑩 = �𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝜸𝑨

= � 𝒇(𝒓)𝒓� ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝜸𝑨

= � 𝒇(𝒓)𝒅𝒓

𝒓𝑩

𝒓𝑨

(𝒅𝒓 = 𝒅𝒔 𝐜𝐨𝐬𝜽)

Quindi possiamo concludere che nel caso di forze centrali, il lavoro si calcola computando non più un integrale di linea (lungo il percorso 𝛾 effettivamente compiuto), ma semplicemente un integrale di una funzione della sola variabile 𝑟 (distanza radiale).

Poiché per tutte le forze centrali il lavoro non dipende dal percorso, tutte le forze centrali sono conservative (forza gravitazionale, elastica, elettrostatica e di Coulomb sono conservative).

Energia Meccanica

Si definisce Energia Meccanica E la somma dell’energia cinetica K e dell’energia potenziale U

𝑬 = 𝑲 + 𝑼

È importante osservare che l’energia cinetica 𝐾 è sempre definita per qualsiasi corpo di massa 𝑚 che si muove con velocità 𝑣 mentre l’energia potenziale 𝑈 è definita solo in presenza di forze conservative. Si dovranno quindi analizzare due casi separati prendendo in considerazione sia sistemi di 𝑛 forze conservative che sistemi di 𝑛 forze conservative e 𝑝 forze non conservative.

Principio di Conservazione dell’Energia Meccanica (PCEM)

Consideriamo una massa 𝑚 su cui agiscano solo 𝑛 forze conservative. La forza totale �⃗�𝐶 è la risultante delle forze �⃗�1, �⃗�2, �⃗�3... �⃗�𝑛 per ognuna delle quali è possibile definire una funzione energia potenziale U.

𝑭��⃗ 𝟏 ⇒ 𝑼𝟏 ⇒ ∆𝑼𝟏 = −� 𝑭��⃗ 𝟏 ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝑨

𝑭��⃗ 𝟐 ⇒ 𝑼𝟐 ⇒ ∆𝑼𝟐 = −� 𝑭��⃗ 𝟐 ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝑨

𝑭��⃗ 𝒏 ⇒ 𝑼𝒏 ⇒ ∆𝑼𝒏 = −� 𝑭��⃗ 𝒏 ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝑨

_________________________________________

𝑭��⃗ 𝑪 = �𝑭��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

⇒ 𝑼 = �𝑼𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

⇒ ∆𝑼 = −� 𝑭��⃗ 𝑪 ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝑨

Quindi ricordando il Teorema dell’Energia Cinetica:

∆𝑼 = −� 𝑭��⃗ 𝑪 ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝑨

∆𝑲 = +� 𝑭��⃗ 𝑪 ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝑨

________________________

∆𝑼 + ∆𝑲 = 𝟎 ⇒ ∆(𝑼 + 𝑲) = 𝟎 ⇒ 𝑼 + 𝑲 = 𝑬 = 𝒄𝒐𝒔𝒕

Cui segue l’enunciato del PCEM:

Se su una massa agiscono solo forze conservative, l’energia meccanica (E=U+K) della stessa si conserva.

Teorema dell’Energia Cinetica Modificato

Consideriamo una massa 𝑚 su cui agiscono 𝑛 forze conservative e 𝑝 forze non conservative e sia �⃗� la risultante di tutte le forze.

𝑭��⃗ = �𝑭��⃗ 𝒊𝑪𝒏

𝒊=𝟏

+ �𝑭��⃗ 𝒋𝑵𝑪𝒑

𝒋=𝟏

= 𝑭��⃗ 𝑪 + 𝑭��⃗ 𝑵𝑪

Dal Teorema dell’Energia Cinetica si ha:

� 𝑭��⃗ ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝜸𝑨= � (𝑭��⃗ 𝑪 + 𝑭��⃗ 𝑵𝑪) ∙ 𝒅𝒔�⃗

𝑩

𝜸𝑨= � 𝑭��⃗ 𝑵𝑪 ∙ 𝒅𝒔�⃗

𝑩

𝜸𝑨+ � 𝑭��⃗ 𝑪 ∙ 𝒅𝒔�⃗

𝑩

𝜸𝑨= ∆𝑲

Ricordando la definizione dell’ Energia Potenziale si ha:

−� 𝑭��⃗ 𝑪 ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝜸𝑨= ∆𝑼 ⇒ � 𝑭��⃗ 𝑵𝑪 ∙ 𝒅𝒔�⃗

𝑩

𝜸𝑨− ∆𝑼 = ∆𝑲

Cui segue il seguente enunciato:

Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze non conservative 𝑭��⃗ 𝑵𝑪per spostare una massa 𝒎 da una posizione A ad una posizione B è uguale alla variazione dell’energia

meccanica (∆𝑬 = ∆𝑼 + ∆𝑲).

� 𝑭��⃗ 𝑵𝑪 ∙ 𝒅𝒔�⃗𝑩

𝜸𝑨= ∆𝑼 + ∆𝑲

Dove per �⃗�𝑁𝐶 = 0 (ovvero in assenza di forze conservative) si ottiene nuovamente il PCEM.

Principio di Conservazione dell’Energia (PCE)

Quando su un sistema compiono lavoro solo forze conservative l’energia meccanica resta costante mentre quando agiscono anche forze non conservative l’energia meccanica varia. In realtà però la scomparsa macroscopica di energia meccanica è sempre accompagnata dalla comparsa di energia interna (riconducibile ai moti molecolari). Da queste considerazioni si arriva ad affermare che:

L’energia totale di un corpo e del suo ambiente circostante non varia neppure in presenza di forze non conservative.

DINAMICA DEI SISTEMI MATERIALI Definizioni preliminari: Momento Meccanico

Si definisce momento meccanico 𝝉�⃗ rispetto al polo O, il prodotto vettoriale tra il vettore posizione 𝒓�⃗ del punto di applicazione P della forza 𝑭��⃗ e la forza stessa.

𝝉�⃗ = 𝒓�⃗ × 𝑭��⃗

Il momento meccanico dipende sempre dal polo O mentre il momento di una coppia non dipende dal polo e dal sistema di riferimento per cui la coppia è definita come una grandezza vettoriale libera.

Definizioni preliminari: Momento Angolare

È stato visto come la quantità di moto (detta anche momento lineare) è utile nella trattazione del moto traslatorio di particelle singole o di un sistema di particelle, compresi i corpi rigidi. L’analogo della quantità di moto per le rotazioni è il momento della quantità di moto (o momento angolare):

Si definisce momento angolare �⃗� rispetto al polo O, il prodotto vettoriale tra il vettore posizione 𝒓�⃗ della massa 𝒎 e la quantità di moto della massa stessa.

�⃗� = 𝒓�⃗ × 𝒒��⃗

Definizioni preliminari: Teorema del Momento Angolare

Consideriamo una massa 𝑚 sulla quale agiscono 𝑛 forze �⃗�𝑖 e quindi 𝑛 momenti 𝜏𝑖.

𝝉�⃗ = �𝝉�⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

= �𝒓�⃗ × 𝑭��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝒓�⃗ × �𝑭��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝒓�⃗ × 𝑭��⃗

Essendo �⃗� la risultante delle forze agenti su 𝑚, per la Seconda Legge di Newton (in un sistema inerziale) si ha:

𝝉�⃗ = 𝒓�⃗ × 𝑭��⃗ = 𝒓�⃗ ×𝒅𝒒��⃗𝒅𝒕

Esaminiamo ora come varia il Momento Angolare nel tempo:

𝒅�⃗�𝒅𝒕

=𝒅𝒅𝒕

(𝒓�⃗ × 𝒒��⃗ ) =𝒅𝒓�⃗𝒅𝒕

× 𝒒��⃗ + 𝒓�⃗ ×𝒅𝒒��⃗𝒅𝒕

= 𝒗��⃗ × 𝒎𝒗��⃗ + 𝒓�⃗ ×𝒅𝒒��⃗𝒅𝒕

= 𝟎 + 𝝉�⃗ = 𝝉�⃗ ⇒ �𝝉�⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

=𝒅�⃗�𝒅𝒕

Da questo risultato si ricava che:

Il momento risultante delle forze agenti su una particella è uguale alla derivata rispetto al tempo del suo momento angolare.

Notare la somiglianza con la Seconda Legge di Newton: ∑ 𝑭��⃗ 𝒊𝒏𝒊=𝟏 = 𝒅𝒒��⃗

𝒅𝒕

Sistemi Discreto di Punti Materiali

Consideriamo un sistema composto da un numero finito 𝑛 di punti materiali. Distinguendo fra forze esterne e forze interne, per ognuno dei punti materiali possiamo scrivere la Seconda Legge di Newton e il Teorema del Momento Angolare.

⎩⎨

⎧𝑭��⃗ 𝒊𝑰𝑵𝑻 + 𝑭��⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻 =𝒅𝒒��⃗ 𝒊𝒅𝒕

𝝉�⃗ 𝒊𝑰𝑵𝑻 + 𝝉�⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻 =𝒅�⃗�𝒊𝒅𝒕

�

Sommiamo tutte le equazioni del sistema rispetto all’indice 𝑖, cioè per tutte le particelle e otteniamo quindi delle equazioni che descrivono globalmente il moto del sistema di 𝑛 punti materiali:

⎩⎪⎨

⎪⎧�𝑭��⃗ 𝒊𝑰𝑵𝑻

𝒏

𝒊=𝟏

+ �𝑭��⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻𝒏

𝒊=𝟏

=𝒅(∑ 𝒒��⃗ 𝒊𝒏

𝒊=𝟏 )𝒅𝒕

�𝝉�⃗ 𝒊𝑰𝑵𝑻𝒏

𝒊=𝟏

+ �𝝉�⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻𝒏

𝒊=𝟏

=𝒅(∑ �⃗�𝒊𝒏

𝒊=𝟏 )𝒅𝒕

� ⇒

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑭��⃗ 𝑰𝑵𝑻 + 𝑭��⃗ 𝑬𝑺𝑻 =

𝒅𝑸��⃗ 𝑻𝑶𝑻𝒅𝒕

𝝉�⃗ 𝑰𝑵𝑻 + 𝝉�⃗ 𝑬𝑺𝑻 =𝒅�⃗�𝑻𝑶𝑻𝒅𝒕

�

Ricordando la Terza Legge di Newton si può dimostrare che la risultante delle forze interne agenti su tutto il sistema è sempre nulla:

𝑭��⃗ 𝑰𝑵𝑻 = �𝑭��⃗ 𝒊𝑰𝑵𝑻𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎

Dalla medesima legge si può anche dimostrare che la risultante dei momenti delle forze interne agenti su tutto il sistema risulta sempre nulla:

𝝉�⃗ 𝑰𝑵𝑻 = �𝝉�⃗ 𝒊𝑰𝑵𝑻𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎

𝝉�⃗ 𝑺𝑻 + 𝝉�⃗ 𝑻𝑺 = 𝒓�⃗ 𝑺 × 𝑭��⃗ 𝑺𝑻 + 𝒓�⃗ 𝑻 × 𝑭��⃗ 𝑻𝑺 = 𝒓�⃗ 𝑺 × 𝑭��⃗ 𝑺𝑻 + 𝒓�⃗ 𝑻 × �−𝑭��⃗ 𝑺𝑻� = 𝒓�⃗ 𝑺 × 𝑭��⃗ 𝑺𝑻 − 𝒓�⃗ 𝑻 × �𝑭��⃗ 𝑺𝑻� =

= (𝒓�⃗ 𝑺 − 𝒓�⃗ 𝑻) × �𝑭��⃗ 𝑺𝑻� = 𝟎

Prodotto vettoriale fra il vettore distanza 𝑟𝑆 − 𝑟𝑇 e la forza �⃗�𝑆𝑇, vettori paralleli che danno prodotto 0. Tenendo conto di questi risultati il sistema di equazioni precedenti si può scrivere nella forma finale:

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑭��⃗ 𝑬𝑺𝑻 =

𝒅𝑸��⃗ 𝑻𝑶𝑻𝒅𝒕

𝝉�⃗ 𝑬𝑺𝑻 =𝒅�⃗�𝑻𝑶𝑻𝒅𝒕

�

Centro di Massa di un Sistema di Particelle

Consideriamo un sistema composto da un numero finito 𝑛 di punti materiali particelle di massa 𝑚𝑖 e posizione 𝑟𝑖.

Si definisce centro di massa del sistema di 𝒏 particelle il punto C il cui vettore posizione è

𝑹��⃗ 𝑪𝑴 =� 𝒎𝒊𝒓�⃗ 𝒊

𝒏𝒊=𝟏∑ 𝒎𝒊𝒏𝒊=𝟏

=� 𝒎𝒊𝒓�⃗ 𝒊

𝒏𝒊=𝟏𝑴

=𝟏𝑴�𝒎𝒊𝒓�⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

Se ognuna delle particelle si muove con velocità �⃗�𝑖, derivando rispetto al tempo il vettore 𝑅�⃗ 𝐶𝑀, si calcola la velocità �⃗�𝐶𝑀 del centro di massa.

𝒗��⃗ 𝑪𝑴 =𝒅𝑹��⃗ 𝑪𝑴𝒅𝒕

=𝟏𝑴

𝒅𝒅𝒕��𝒎𝒊𝒓�⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

� =𝟏𝑴��

𝒅𝒅𝒕

(𝒎𝒊𝒓�⃗ 𝒊)�𝒏

𝒊=𝟏

=𝟏𝑴��𝒎𝒊

𝒅𝒓�⃗ 𝒊𝒅𝒕

�𝒏

𝒊=𝟏

=𝟏𝑴�𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

𝒗��⃗ 𝑪𝑴 =𝟏𝑴�𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

La quantità di moto totale di un sistema di particelle è uguale al prodotto della massa totale del sistema per la velocità del suo centro di massa, ovvero alla quantità di moto

di un ipotetico punto materiale di massa M che si muova con velocità 𝒗��⃗ 𝑪𝑴.

𝑴𝒗��⃗ 𝑪𝑴 = �𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

Derivando rispetto al tempo la velocità �⃗�𝐶𝑀 del centro di massa, si calcola l’accelerazione �⃗�𝐶𝑀 del centro di massa.

𝒂��⃗ 𝑪𝑴 =𝒅𝒗��⃗ 𝑪𝑴𝒅𝒕

=𝟏𝑴

𝒅𝒅𝒕��𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

� =𝟏𝑴��

𝒅𝒅𝒕

(𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊)�𝒏

𝒊=𝟏

=𝟏𝑴��𝒎𝒊

𝒅𝒗��⃗ 𝒊𝒅𝒕

�𝒏

𝒊=𝟏

=𝟏𝑴�𝒎𝒊𝒂��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

𝒂��⃗ 𝑪𝑴 =𝟏𝑴�𝒎𝒊𝒂��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

Dalla II Legge di Newton applicata alla particella i-esima si ha:

𝑭��⃗ 𝒊𝑹𝑰𝑺 = 𝒎𝒊𝒂��⃗ 𝒊

Sommando tutte le particelle si ottiene la forza risultante �⃗�𝑅𝐼𝑆 e tenendo conto che per la III Legge di Newton la sommatoria delle forze interne è uguale a 0 si ha:

�𝒎𝒊𝒂��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

= �𝑭��⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻𝒏

𝒊=𝟏

= 𝑭��⃗ 𝑬𝑺𝑻 ⇒ 𝑴𝒂��⃗ 𝑪𝑴 = �𝑭��⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻𝒏

𝒊=𝟏

Il centro di massa di un sistema di particelle si muove come un punto materiale di massa M a cui è stata applicata la risultante di tutte le forze esterne.

Centro di Massa di un Sistema di Particelle

Un sistema continuo si può considerare come un particolare sistema di particelle in cui è molto elevato il numero di particelle e la distanza fra loro e piccolissima. Il corpo può essere trattato come una distribuzione continua di massa. Per calcolare il centro di massa suddividiamo il sistema di 𝑛 masse elementari ∆𝑚𝑖, localizzate approssimativamente dai vettori posizione 𝑟𝑖. Più piccole sono le masse elementari, minore è l’errore di localizzazione. Questo errore tenderà a zero quando il volume delle masse elementari tenderà a diventare infinitesimo e quindi il loro numero tenderà a diventare infinito:

𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

∆𝒎𝒊 = 𝒅𝒎 ⇒ 𝑹��⃗ 𝑪𝑴 =𝟏𝑴�𝒓�⃗ 𝒅𝒎𝑴

=𝟏𝑴�𝒓�⃗ 𝒅𝒎𝑴

Conservazione della Quantità di Moto di un Sistema di Particelle

Consideriamo un sistema di 𝑛 particelle di massa 𝑚𝑖 e massa totale 𝑀. Ogni particella ha una certa velocità e quantità di moto. Il sistema ha una quantità di moto 𝑄�⃗ che è definita come somma delle quantità di moto delle singole particelle.

𝑸��⃗ 𝑻 = �𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝑴𝒗��⃗ 𝑪𝑴

La quantità di moto di un sistema di particelle è uguale al prodotto della massa totale del sistema M per la velocità del centro di massa 𝒗��⃗ 𝑪𝑴.

Derivando questa equazione otteniamo:

𝒅𝑸��⃗𝒅𝒕

= 𝑴𝒅𝒗��⃗ 𝑪𝑴𝒅𝒕

= 𝑴𝒂��⃗ 𝑪𝑴 ⇒ �𝑭��⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻𝒏

𝒊=𝟏

=𝒅𝑸��⃗𝒅𝒕

Se nel sistema risulta ∑ �⃗�𝑖𝐸𝑆𝑇𝑛𝑖=1 = 0 il sistema si dirà isolato. Ma se un sistema è isolato su di esso

non agisce alcuna forza esterna o la risultante delle forze esterne è nulla e quindi il centro di massa si muove con velocità costante.

�𝑭��⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻𝒏

𝒊=𝟏

= 0 ⇒ 𝒂��⃗ 𝑪𝑴 = 𝟎 ⇒ 𝒗��⃗ 𝑪𝑴 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 ⇒ 𝑴𝒗��⃗ 𝑪𝑴 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 ⇒ 𝑸��⃗ 𝑻 = �𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝒄𝒐𝒔𝒕

𝒗��⃗ 𝒄𝒎

𝒗��⃗ 𝒄𝒎

𝒗��⃗ 𝒊 𝒗��⃗ 𝒊

|

𝒓�⃗ 𝒊|

𝒓�⃗ 𝒊 𝒓�⃗ 𝑪𝑴

𝑶

𝑪𝑴

La quantità di moto delle singole particelle può cambiare ma la loro somma vettoriale rimane costante.

Sistema di Riferimento del Centro di Massa

Consideriamo un sistema di 𝑛 particelle di massa 𝑚𝑖 e posizione 𝑟𝑖 e consideriamo un sistema di riferimento 𝑆 inerziale e un sistema 𝑆| solidale con il centro di massa.

𝒓�⃗ 𝒊 = 𝒓�⃗ 𝒊| + 𝒓�⃗ 𝑪𝑴 ⇒ 𝒗��⃗ 𝒊 = 𝒗��⃗ 𝒊

| + 𝒗��⃗ 𝑪𝑴 Calcoliamo la quantità di moto totale 𝑄�⃗ 𝑇

| del sistema di particelle calcolato nel sistema di riferimento del centro di massa:

𝑸��⃗ 𝑻| = �𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

|𝒏

𝒊=𝟏

= �𝒎𝒊(𝒗��⃗ 𝒊 − 𝒗��⃗ 𝑪𝑴)𝒏

𝒊=𝟏

=

= �𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

−�𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝑪𝑴

𝒏

𝒊=𝟏

= �𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

− 𝒗��⃗ 𝑪𝑴�𝒎𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

=

= �𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

−𝑴𝒗��⃗ 𝑪𝑴

Ricordando la definizione di velocità del centro di massa:

𝑴𝒗��⃗ 𝑪𝑴 = �𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

⇒ �𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

−�𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎 ⇒ 𝑸��⃗ 𝑻| = 𝟎

La quantità di moto totale 𝑸��⃗ 𝑻| di un qualsiasi sistema di particelle nel sistema di

riferimento del suo centro di massa è sempre nulla.

Energia Cinetica di un Sistema di Particelle (Teorema di Koenig)

Consideriamo un sistema di 𝑛 particelle di massa 𝑚𝑖.

𝑲 = ��𝟏𝟐𝒎𝒊𝒗𝒊𝟐� =

𝒏

𝒊=𝟏

𝟏𝟐��𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊𝟐� =𝒏

𝒊=𝟏

𝟏𝟐��𝒎𝒊�𝒗��⃗ 𝒊

| + 𝒗��⃗ 𝑪𝑴�𝟐�

𝒏

𝒊=𝟏

=

=𝟏𝟐��𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

|𝟐� +𝒏

𝒊=𝟏

𝟏𝟐��𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝑪𝑴𝟐 �𝒏

𝒊=𝟏

+ ��𝒎𝒊�𝒗��⃗ 𝒊| ∙ 𝒗��⃗ 𝑪𝑴��

𝒏

𝒊=𝟏

=

= ��𝟏𝟐𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

|𝟐� +𝟏𝟐𝒗��⃗ 𝑪𝑴𝟐 �[𝒎𝒊]

𝒏

𝒊=𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

+ 𝒗��⃗ 𝑪𝑴 ∙�𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊|

𝒏

𝒊=𝟏

= ��𝟏𝟐𝒎𝒊𝒗��⃗ 𝒊

|𝟐� +𝟏𝟐𝑴𝒗��⃗ 𝑪𝑴𝟐

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝑲| +𝟏𝟐𝑴𝒗��⃗ 𝑪𝑴𝟐

L’energia cinetica totale 𝑲 di un sistema di particelle è uguale alla somma dell’energia cinetica totale 𝑲| (nel sistema del centro di massa) e dell’energia cinetica di una ipotetica particella di massa 𝑴, che si muove con velocità 𝒗��⃗ 𝑪𝑴

(energia cinetica del “centro di massa”).

MECCANICA DEI CORPI RIGIDI Cinematica del Corpo Rigido

Un corpo si dice rigido se la distanza fra due suoi punti qualsiasi resta costante nel tempo qualsiasi sia la sollecitazione a cui sia sottoposto. Un corpo si dice omogeneo se la sua massa è distribuita uniformemente nello spazio ovvero se la sua massa volumica 𝑚𝑣 = 𝑑𝑚 𝑑𝑉⁄ è costante nello spazio e nel tempo.

Consideriamo un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse 𝑛�. La posizione del corpo è determinata dalla definizione dell’asse di rotazione e dalla misura di un angolo. Essendo rigido, qualunque punto del corpo, durante un intervallo di tempo ∆𝑡 ruoterà dello stesso angolo ∆𝜃 e per tutti i punti il rapporto ∆𝜃 ∆𝑡⁄ avrà lo stesso valore quindi ogni punto avrà la stessa 𝜔. Possiamo quindi definire la velocità angolare di tutti punti del corpo ovvero la velocità angolare del corpo rigido:

𝝎���⃗ =𝒅𝜽𝒅𝒕

𝒏� = 𝝎𝒏�

Derivando la quale possiamo ottenere l’espressione dell’accelerazione angolare del corpo rigido:

𝜶��⃗ =𝒅𝝎���⃗𝒅𝒕

=𝒅(𝝎𝒏�)𝒅𝒕

=𝒅𝝎𝒅𝒕

𝒏� + 𝝎𝒅𝒏�𝒅𝒕

Analizzando la quale possiamo distinguere fra 3 casi di moti rotatori accelerati:

- Nel caso in cui varia il modulo della velocità angolare e non varia la direzione dell’asse si ha una rotazione intorno ad un asse fisso.

- Nel caso in cui non varia il moto delle velocità angolare e varia la direzione dell’asse si ha un moto giroscopico.

- Nel caso in cui varia il modulo della velocità angolare e varia la direzione dell’asse si ha un moto vario.

Le equazioni dei moti rotatori attorno ad un asse fisso possono essere ottenute sostituendo alla grandezze cinematiche lineari le analoghe grandezze rotazionali:

𝑎 = 𝑎0 ⇒ 𝛼 = 𝛼0

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 ⇒ 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +12𝑎𝑡2 ⇒ 𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 +

12𝛼𝑡2

𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0) ⇒ 𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼(𝜃 − 𝜃0)

Generalità sulla Dinamica Rotazionale

Quando una forza viene applicata ad un corpo libero di ruotare attorno ad un asse fisso, il punto di applicazione della forza è importante. La grandezza che tiene conto del punto di applicazione è chiamata momento della forza. Infatti anche se la risultante delle forze applicate è uguale a zero (la velocità del centro di massa è costante), se applichiamo due forze di uguale modulo e direzione ma di verso opposto e applicate in punti differenti del corpo può sempre ruotare attorno al suo asse passante per il centro di massa. Inoltre sappiamo che lo sforzo richiesto per porre in rotazione un corpo dipende da come è distribuita la sua massa. La grandezza che tiene conto della distribuzione della massa è chiamata momento d’inerzia (o inerzia rotazionale) e non rappresenta una proprietà intrinseca del corpo ma dipende dalla scelta dell’asse attorno al quale ruota il corpo.

Energia Cinetica di Rotazionale

Consideriamo un sistema composto da un numero finito 𝑛 di punti materiali o particelle di massa 𝑚𝑖. L’energia cinetica totale 𝐾 è la somma delle energie cinetiche dei singoli punti.

𝑲 = ��𝟏𝟐𝒎𝒊𝒗𝒊𝟐�

𝒏

𝒊=𝟏

Se analizziamo il moto rotatorio di ogni singola particella, ognuna descrive un cerchio di raggio 𝑟 con velocità angolare 𝜔 e velocità tangenziale 𝑣 = 𝜔𝑟. Se il moto è di pura rotazione ogni particella ha quindi una velocità �⃗�𝑖 differente.

𝒗𝒊 = 𝝎𝒊𝒓𝒊 = 𝝎𝒓𝒊

𝑲𝑹𝑶𝑻 =𝟏𝟐�𝒎𝒊(𝝎𝒓𝒊)𝟐𝒏

𝒊=𝟏

=𝟏𝟐��𝒎𝒊𝒓𝒊𝟐𝒏

𝒊=𝟏

�𝝎𝟐

La sommatoria fra parentesi quadre è definita Momento d’Inerzia del sistema di punti rispetto all’asse z:

𝑰𝒛 = �𝒎𝒊𝒓𝒊𝟐𝒏

𝒊=𝟏

𝑰𝒛 = �𝒓𝟐𝒅𝒎𝑴

Il momento d’inerzia (o inerzia rotazionale) è l’analogo rotazionale della massa (o inerzia traslazionale). Per far ruotare una sbarretta attorno ad un asse passante per il suo centro e parallelo ad essa è richiesto uno sforzo relativamente piccolo rispetto ad una rotazione rispetto ad un asse passante per il suo centro e perpendicolare ad essa. La massa non è cambiata ma è distribuita più lontano rispetto all’asse di rotazione e questa massa contribuisce a 𝐼 in modo maggiore della massa concentrata vicino all’asse dunque lo sforzo richiesto è maggiore.

𝑲𝑹𝑶𝑻 =𝟏𝟐𝑰𝝎𝟐

𝑅

𝑟 𝑟|

𝑥𝐶𝑀

𝑦𝐶𝑀

𝑥

𝑦 𝑦|

𝑥|

𝑂

𝐶𝑀

𝑥

𝑥|

𝑦| 𝑦 𝑑𝑚

Teorema di Huygens-Steiner

Il momento di inerzia 𝑰𝒛 di un corpo rigido rispetto ad un qualsiasi asse z è uguale al momento d’inerzia 𝑰𝒛| rispetto ad un asse 𝒛|parallelo al primo e passante per il C.M. più

il prodotto della massa del corpo per il quadrato della distanza (R) fra i due assi.

𝑰𝒛 = �𝒓𝟐𝒅𝒎𝑴

= �[𝒙𝟐 + 𝒚𝟐]𝒅𝒎𝑴

= ���𝒙𝑪𝑴 + 𝒙|�𝟐

+ �𝒚𝑪𝑴 + 𝒚|�𝟐� 𝒅𝒎

𝑴

=

= ���𝒙𝑪𝑴𝟐 + 𝒚𝑪𝑴𝟐 � + �𝒙|𝟐 + 𝒚|𝟐� + 𝟐𝒙𝑪𝑴𝒙| + 𝟐𝒚𝑪𝑴𝒚|�𝒅𝒎𝑴

=

= ��(𝑹𝟐) + �𝒓|𝟐� + 𝟐𝒙𝑪𝑴𝒙| + 𝟐𝒚𝑪𝑴𝒚|�𝒅𝒎𝑴

=

= �𝑹𝟐𝒅𝒎𝑴

+ �𝒓|𝟐𝒅𝒎𝑴

+ 𝟐𝒙𝑪𝑴 �𝒙|𝒅𝒎𝑴

+ 𝟐𝒚𝑪𝑴 �𝒚|𝒅𝒎𝑴

=

Ricordando la definizione di centro di massa:

⎩⎪⎨

⎪⎧𝒙𝑪𝑴 =

𝟏𝑴�𝒙𝒅𝒎𝑴

⇒ 𝒙𝑪𝑴| =

𝟏𝑴�𝒙|𝒅𝒎𝑴

⇒ 𝑴𝒙𝑪𝑴| = �𝒙|𝒅𝒎

𝑴

𝒚𝑪𝑴 =𝟏𝑴�𝒚𝒅𝒎𝑴

⇒ 𝒚𝑪𝑴| =

𝟏𝑴�𝒚|𝒅𝒎𝑴

⇒ 𝑴𝒚𝑪𝑴| = �𝒚|𝒅𝒎

𝑴

�

Sostituendo si ha:

= 𝑹𝟐 �𝒅𝒎𝑴

+ 𝑰𝒛| + 𝟐𝒙𝑪𝑴�𝑴𝒙𝑪𝑴| � + 𝟐𝒚𝑪𝑴�𝑴𝒚𝑪𝑴

| � =

= 𝑹𝟐𝑴 + 𝑰𝒛| + 𝟐𝒙𝑪𝑴[𝑴𝟎] + 𝟐𝒚𝑪𝑴[𝑴𝟎] =

𝑰𝒛 = 𝑰𝒛| + 𝑴𝑹𝟐

Conservazione del Momento Angolare

Se il momento totale 𝝉�⃗ 𝑬𝑺𝑻 delle forze esterne agenti sul sistema è nullo, allora il momento angolare totale �⃗�𝑪𝑴𝑬𝑺𝑻 del sistema è costante rispetto al tempo (si conserva).

𝝉�⃗ 𝑪𝑴𝑬𝑺𝑻 =𝒅�⃗�𝑻𝑶𝑻𝑪𝑴

𝒅𝒕

𝝉�⃗ 𝑬𝑺𝑻 = �𝝉�⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎 ⇒ 𝒅�⃗�𝑻𝑶𝑻𝒅𝒕

= 𝟎 ⇒ �⃗�𝑻𝑶𝑻 = 𝒄𝒐𝒔𝒕

Momento Angolare di un Corpo Rigido Qualsiasi Attorno ad un Asse Fisso

Consideriamo un disco (cilindro omogeneo di raggio R e altezza trascurabile) che si muove attorno ad un asse coincidente con l’asse di simmetria e passante per il C.M. del disco stesso. Sia 𝑑𝑚 una sua generica particella infinitesima: il momento angolare infinitesimo 𝑑𝐽 della particella infinitesima 𝑑𝑚 che si trova in un punto individuato dal vettore posizione 𝑟 è:

𝒅�⃗� = 𝒓�⃗ × (𝒅𝒎)𝒗��⃗

𝒅�⃗� = (𝒓)(𝒅𝒎𝒗)𝝎� = (𝒓)(𝒅𝒎𝝎𝒓)𝝎� = (𝒓𝟐𝒅𝒎)(𝝎𝝎�) = (𝒓𝟐𝒅𝒎)𝝎���⃗

Il momento totale del disco si ottiene “sommando” i momenti angolari di tutte le particelle ovvero integrando su tutta la massa M del disco:

�⃗� = �𝒅�⃗�𝑴

= �(𝒓𝟐𝒅𝒎)𝝎���⃗𝑴

= 𝝎���⃗ �(𝒓𝟐𝒅𝒎)𝑴

= 𝑰𝝎���⃗

Discorso che si può generalizzare per un corpo rigido qualsiasi ruotante attorno ad un asse fisso ottenendo lo stesso risultato.

�⃗� = 𝑰𝝎���⃗

Notare l’analogia con �⃗� = 𝑚�⃗�.

Quindi l’equazione cardinale del moto assume una forma particolare per moti attorno ad un asse fisso:

𝝉�⃗ 𝑬𝑺𝑻 =𝒅�⃗�𝑻𝑶𝑻𝒅𝒕

⇒ 𝝉�⃗ 𝑬𝑺𝑻 =𝒅𝒅𝒕

(𝑰𝝎���⃗ ) = 𝑰𝒅𝝎���⃗𝒅𝒕

= 𝑰𝜶��⃗

Notare l’analogia con �⃗� = 𝑚�⃗�.

Equazioni Cardinali di un Corpo in Rotazione Attorno ad un Asse Fisso

Le equazioni cardinali della dinamica dei sistemi sono:

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑭��⃗ 𝑬𝑺𝑻 =

𝒅𝑸��⃗ 𝑻𝑶𝑻𝒅𝒕

𝝉�⃗ 𝑬𝑺𝑻 =𝒅�⃗�𝑻𝑶𝑻𝒅𝒕

�

Per un sistema a massa costante, rigido e rotante attorno ad un asse fisso assumono la forma:

�𝑭��⃗ 𝑬𝑺𝑻 = 𝒎𝒂��⃗ 𝑪𝑴𝝉�⃗ 𝑶𝑬𝑺𝑻 = 𝑰𝑶𝜶��⃗ 𝑶

�

Che valgono solo se come polo O si sceglie un punto fisso in un sistema inerziale o il centro di massa del sistema (qualunque sia il suo moto).

Equilibrio Meccanico di un Corpo Rigido

L’energia cinetica di un sistema di particelle si può scrivere come la somma dell’energia cinetica di tutte le particelle rispetto al centro di massa più l’energia cinetica del centro di massa. Per un corpo rigido l’energia cinetica relativa al C.M. si può esplicitare come energia cinetica di rotazione del corpo rigido attorno all’asse istantaneo di rotazione passante per il C.M.:

𝑲 =𝟏𝟐𝑰𝑪𝑴𝝎𝑪𝑴

𝟐 +𝟏𝟐𝑴𝒗𝑪𝑴𝟐

Un corpo rigido si dice in equilibrio meccanico quando la sua energia cinetica totale rimane costante nel tempo (equilibrio statico se l’energia cinetica è nulla e rimane costante nel tempo).

𝑲 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 ⇒ �𝝎���⃗ 𝑪𝑴 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒗��⃗ 𝑪𝑴 = 𝒄𝒐𝒔𝒕

⇒ �𝜶��⃗ 𝑪𝑴 = 𝟎𝒂��⃗ 𝑪𝑴 = 𝟎

��

La condizione 𝐾 = 0 si traduce quindi nella seguente condizione di equilibrio:

𝑲 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 ⇒

⎩⎪⎨

⎪⎧�𝝉�⃗ 𝒊 𝑪𝑴𝑬𝑺𝑻 = 𝟎

𝒏

𝒊=𝟏

�𝑭��⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻 = 𝟎𝒏

𝒊=𝟏

�

con 𝜏𝑖 𝐶𝑀𝐸𝑆𝑇 momento totale di tutte le forze esterne agenti sul sistema calcolato rispetto al C.M.

C.M.

P

𝑅�⃗

𝑟𝑖

𝑟𝑖𝐶

�⃗�𝑖

Questo momento si può scrivere anche rispetto ad un punto qualsiasi P:

�𝝉�⃗ 𝒊 𝑪𝑬𝑺𝑻𝒏

𝒊=𝟏

= �𝒓�⃗ 𝒊𝑪𝒏

𝒊=𝟏

× 𝑭��⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻 = �(𝑹��⃗ + 𝒓�⃗ 𝒊)𝒏

𝒊=𝟏

× 𝑭��⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻 = �𝑹��⃗𝒏

𝒊=𝟏

× 𝑭��⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻 + �𝒓�⃗ 𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

× 𝑭��⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻 =

= �𝑹��⃗𝒏

𝒊=𝟏

× 𝑭��⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻 + �𝝉�⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻𝒏

𝒊=𝟏

MOTI OSCILLATORI Moti Periodici e Moti Oscillatori

Si definisce periodico un fenomeno che si ripete a intervalli regolari rispetto ad una variabile indipendente (tempo, spazio o combinazione di entrambi).

Si definisce oscillatorio un fenomeno periodico rispetto al tempo.

Il più semplice moto oscillatorio è il moto armonico semplice. Esiste un importante teorema utile all’analisi di tutti i moti periodici chiamato Teorema di Fourier:

Ogni moto periodico finito può essere rappresentato come sovrapposizione di un certo numero di moti armonici semplici opportunamente scelti.

Moti Armonico Semplice

Consideriamo una particella di massa 𝑚 la cui posizione dipenda dal tempo con la legge:

𝒙 = 𝒙(𝒕) = 𝑨𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝜹)

Dove 𝐴 rappresenta l’ampiezza (o elongazione massima, ovvero l’”altezza” della curva), 𝜔 la pulsazione (o frequenza angolare, ovvero il “periodo”) e (𝜔𝑡 + 𝛿) la fase del moto (𝛿 fase inziale). La legge è sempre di tipo sinusoidale ma al variare del valore di 𝛿 cambierà la rappresentazione grafica e in particolare la curva traslerà verso destra per 𝛿 < 0 o verso sinistra per 𝛿 > 0.

Il periodo 𝑇 del moto è l’intervallo di tempo in cui avviene una oscillazione completa, l’ampiezza 𝐴 è la distanza tra il punto O ed uno dei punti di inversione (B o C). La periodicità della funzione 𝑥(𝑡) si esprime come:

𝒙(𝒕 + 𝑻) = 𝒙(𝒕)

e affinché la funzione sia periodico di periodo 𝑇 occorre che tra 𝜔 e 𝑇 sussista la relazione:

𝝎 =𝟐𝝅𝑻

= 𝟐𝝅𝒗

Che si dimostra in breve come segue:

𝒙(𝒕 + 𝑻) = 𝑨𝐜𝐨𝐬[𝝎(𝒕 + 𝑻) + 𝜹] = 𝑨𝐜𝐨𝐬[𝝎𝒕 + 𝝎𝑻 + 𝜹] = 𝑨𝐜𝐨𝐬 �𝝎𝒕 + 𝝎�𝟐𝝅𝝎� + 𝜹� =

= 𝑨𝐜𝐨𝐬[𝝎𝒕 + 𝟐𝝅 + 𝜹] = 𝑨𝐜𝐨𝐬[(𝝎𝒕 + 𝜹) + 𝟐𝝅] = 𝑨𝐜𝐨𝐬[𝝎𝒕 + 𝜹] = 𝒙(𝒕)

𝑚 𝐵 𝐶

+𝐴 −𝐴 𝑂 𝑥

Inoltre quando la particella si trova in 𝑥0 all’istante iniziale 𝑡 = 0 si verifica facilmente che la fase iniziale è:

𝜹 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏 �𝒙𝟎𝑨�

Derivando rispetto al tempo l’equazione della posizione e successivamente quella della velocità si ottiene:

𝒗 = 𝒗(𝒕) = −𝝎𝑨𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝜹)

𝒂 = 𝒂(𝒕) = −𝝎𝟐𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝜹)

Osservando in particolare l’espressione dell’accelerazione e confrontandola con quella della posizione ci si accorge che essa può essere scritta come:

𝒂 = −𝝎𝟐𝒙 𝒂��⃗ = −𝝎𝟐𝒙��⃗

Questa caratteristica è di fondamentale importanza per l’individuazione di un moto oscillatorio:

L’accelerazione è (istante per istante) proporzionale all’opposto della posizione.

Indipendentemente dalla direzione dello spostamento, la forza agisce sempre in una direzione tale da riportare il sistema nella sua posizione di equilibrio (forza di richiamo).

L’equazione del moto può anche essere espressa in funzione delle condizioni iniziali 𝑥0 e 𝑣0 e della pulsazione 𝜔 o eventualmente del periodo o della frequenza:

𝒙 = 𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 + �𝒗𝟎𝝎�𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕

Oscillatore Armonico Semplice

Un oscillatore armonico semplice è un sistema costituito da una massa 𝑚 accoppiata ad una molla ideale di costante elastica 𝑘, di massa trascurabile e su cui non agiscono altre forze. Tale sistema è realizzabile tramite una massa appoggiata ad un piano orizzontale senza attrito e vincolata ad una molla di costante elastica 𝑘. L’equazione del moto è:

𝑭��⃗ + 𝑷��⃗ + 𝑵��⃗ = 𝒎𝒂��⃗

𝑭��⃗ = 𝒎𝒂��⃗ ⇒ −𝒌𝒙��⃗ = 𝒎𝒂��⃗ ⇒ 𝒂��⃗ = −𝒌𝒎𝒙��⃗ ⇒ �

𝒌𝒎

= 𝝎𝟐� 𝒂��⃗ = −𝝎𝟐𝒙��⃗

Essendo l’accelerazione proporzionale allo spostamento, il moto di una massa accoppiata ad una molla è un moto armonico semplice di pulsazione e periodo rispettivamente:

𝝎 = �𝒌𝒎

𝑻 = 𝟐𝝅�𝒎𝒌

Ricordando la definizione di energia potenziale e l’equazione della posizione si può scrivere l’energia potenziale elastica del sistema massa-molla:

𝑼 =𝟏𝟐𝒌𝒙𝟐 =

𝟏𝟐𝒌[𝑨𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝜹)]𝟐 =

𝟏𝟐𝒌𝑨𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝝎𝒕 + 𝜹)

una funzione non negativa del tempo e di periodo 𝑇 2⁄ .

Ricordando la definizione della velocità e della pulsazione si può scrivere l’energia cinetica del sistema massa-molla:

𝑲 =𝟏𝟐𝒎𝒗𝟐 =

𝟏𝟐𝒎[−𝝎𝑨𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝜹)]𝟐 =

𝟏𝟐𝒎𝝎𝟐𝑨𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐(𝝎𝒕 + 𝜹) =

𝟏𝟐𝒌𝑨𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐(𝝎𝒕 + 𝜹)

L’energia meccanica 𝐸 vale:

𝑬 = 𝑲 + 𝑼 =𝟏𝟐𝒌𝑨𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝝎𝒕 + 𝜹) +

𝟏𝟐𝒌𝑨𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐(𝝎𝒕 + 𝜹) =

𝟏𝟐𝒌𝑨𝟐

che è ovviamente costante in quanto tutte le forze agenti sono conservative.

Analizzando quest’ultima espressione possiamo ricavare altri risultati quali l’ampiezza e la velocità massima del moto:

𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕 + 𝜹) ⇒ 𝒗 = −𝝎𝑨𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕 + 𝜹) ⇒

𝒙 = 𝒙𝒎𝒂𝒙 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕 + 𝜹) 𝒗 = −𝒗𝒎𝒂𝒙 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕 + 𝜹)

𝑬 ==𝟏𝟐𝒌𝑨𝟐 ⇒ 𝑨 = �𝟐𝑬

𝒌 ⇒ 𝝎𝑨 = 𝝎�

𝟐𝑬𝒌

= �𝟐𝑬𝝎𝟐

𝒌= �

𝟐𝑬𝒌𝝎𝟐

= �𝟐𝑬𝒎

𝒗𝒎𝒂𝒙 = �𝟐𝑬𝒎

𝒙𝒎𝒂𝒙 = �𝟐𝑬𝒌

Pendolo Semplice

Un pendolo semplice è un sistema composto da un punto materiale vincolato ad un estremo da un filo di massa trascurabile e inestensibile. L’altro estremo del filo è vincolato ad un punto O fisso in un sistema di riferimento inerziale e la massa 𝑚 è soggetta alla forza peso. Supponendo che il moto avvenga nel piano del disegno si può applicare l’equazione del moto per i moti rotatori attorno ad un asse fisso.

�𝝉�⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻𝒏

𝒊=𝟏

= 𝑰𝜶��⃗ ⇒

⎩⎪⎨

⎪⎧�𝝉�⃗ 𝒋𝑬𝑺𝑻

𝟐

𝒋=𝟏

= 𝒍 × 𝑻��⃗ + 𝒍 × 𝑷��⃗ = 𝟎 + 𝒍𝑷 𝐬𝐢𝐧 𝜽 (−𝒛�) = −𝒍𝒎𝒈𝐬𝐢𝐧𝜽 (−𝒛�)

𝐈 = 𝐦𝐥𝟐

𝜶��⃗ = 𝜶𝒛� =𝒅𝟐𝜽𝒅𝒕𝟐

𝒛�

�

⇒ −(𝒍𝒎𝒈𝐬𝐢𝐧𝜽)𝒛� = (𝒎𝒍𝟐)�𝒅𝟐𝜽𝒅𝒕𝟐

� 𝒛� ⇒ 𝒅𝟐𝜽𝒅𝒕𝟐

= −𝒈𝒍𝒔𝒊𝒏𝜽 ⇒

𝒈𝒍

= 𝝎𝟐 ⇒

𝒅𝟐𝜽𝒅𝒕𝟐

= −𝝎𝟐𝒔𝒊𝒏𝜽 ≠ −𝝎𝟐𝜽

Approfondendo l’analisi si ricava che il moto del pendolo semplice è un moto armonico semplice per piccole oscillazioni ossia per 𝜃 ≅ 14° ed avrà pulsazione e periodo rispettivamente:

𝝎 = �𝒈𝒍

𝑻 =𝟐𝝅𝝎

= 𝟐𝝅�𝒍𝒈

Pendolo Fisico

Un pendolo fisico è un sistema costituito da un corpo rigido di forma qualsiasi vincolato ad un asse orizzontale fisso in un sistema di riferimento inerziale e soggetto alla forza peso. Ripercorrendo l’analisi fatta per il pendolo semplice otteniamo i seguenti risultati:

�𝝉�⃗ 𝒊𝑬𝑺𝑻𝒏

𝒊=𝟏

= 𝑰𝜶��⃗ ⇒

⎩⎪⎨

⎪⎧�𝝉�⃗ 𝒋𝑬𝑺𝑻

𝟐

𝒋=𝟏

= 𝒓�⃗ 𝑽 × 𝑽��⃗ + 𝑹��⃗ × 𝑷��⃗ = 𝟎 + 𝑹𝑷𝐬𝐢𝐧𝜽 (−𝒛�) = −𝑹𝒎𝒈𝐬𝐢𝐧𝜽 (−𝒛�)

𝜶��⃗ = 𝜶𝒛� =𝒅𝟐𝜽𝒅𝒕𝟐

𝒛�

�

−(𝑹𝒎𝒈𝐬𝐢𝐧𝜽)𝒛� = 𝑰 �𝒅𝟐𝜽𝒅𝒕𝟐

� 𝒛� ⇒ 𝑰𝒅𝟐𝜽𝒅𝒕𝟐

= −𝑹𝒎𝒈𝐬𝐢𝐧𝜽 ⇒ 𝒅𝟐𝜽𝒅𝒕𝟐

= −𝑹𝒎𝒈𝑰

𝐬𝐢𝐧𝜽

Che per piccoli angoli si riduce a:

𝒅𝟐𝜽𝒅𝒕𝟐

= −𝑹𝒎𝒈𝑰

𝜽 𝝎 = �𝑹𝒎𝒈𝑰

𝑻 =𝟐𝝅𝝎

= 𝟐𝝅�𝑰

𝑹𝒎𝒈

Teorema di Fourier

Ogni funzione 𝒇(𝒕), definita e periodica in intervalli [𝒕, 𝒕 + 𝑻] ed avente al più un numero finito di discontinuità in ognuno di questi intervalli, può essere rappresentata per mezzo

di una serie infinita di funzioni trigonometriche.

𝒇(𝒕) = 𝒂𝟎 + �[𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝒕) + 𝒃𝒏 𝐬𝐢𝐧(𝒏𝝎𝒕)]∞

𝒊=𝟏

Serie di Fourier:

Combinando (sommando) onde sinusoidali semplici si ottengono forme d’onda periodiche complesse.

𝒂𝟎 + �[𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝒕) + 𝒃𝒏 𝐬𝐢𝐧(𝒏𝝎𝒕)]∞

𝒊=𝟏

→ 𝒇(𝒕)

Analisi di Fourier:

Si analizza una forma d’onda complessa scomponendola nelle sue componenti di Fourier.

𝒇(𝒕) → 𝒂𝟎 + �[𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝒕) + 𝒃𝒏 𝐬𝐢𝐧(𝒏𝝎𝒕)]∞

𝒊=𝟏

Si nota che l’approssimazione di una funzione periodica ottenuta con la serie di Fourier troncata oscilla attorno alla funzione considerata e che le oscillazioni diventano sempre più piccole all’aumentare dei termini considerati.

Oscillatore Armonico Smorzato

Data la forza di smorzamento:

𝑭��⃗ 𝒗 = −𝜸𝒗��⃗

L’equazione del moto diventa:

𝑭��⃗ 𝒌 + 𝑭��⃗ 𝒗 = 𝒎𝒂��⃗ ⇒ −𝒌𝒙��⃗ + 𝜸𝒗��⃗ = 𝒎𝒂��⃗ ⇒ 𝒂��⃗ +𝜸𝒎𝒗��⃗ +

𝒌𝒎𝒙��⃗ = 𝟎

𝜸𝒎

= 𝝁 𝒌𝒎

= 𝝎𝑵𝟐 ⇒

𝒅𝟐𝒙𝒅𝒕𝟐

+ 𝝁𝒅𝒙𝒅𝒕

+ 𝝎𝑵𝟐𝒙 = 𝟎

Equazione differenziale che ha tre tipi di soluzione a seconda che 𝜔𝑁 sia maggiore, minore o

uguale di 1 2� 𝜇.

- Oscillazione sottosmorzata:

𝝎𝑵 >𝟏𝟐𝝁

𝒙 = 𝑨𝒆−𝝁𝟐𝒕 ∙ 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒔𝒕 + 𝝓)

- Smorzamento critico:

𝝎𝑵 =𝟏𝟐𝝁

𝒙 = 𝒆−𝝁𝟐𝒕 ∙ (𝑩𝒕 + 𝑪)

- Oscillazione sovrasmorzata:

𝝎𝑵 <𝟏𝟐𝝁

𝒙 = 𝒆−𝝁𝟐𝒕 ∙ (𝑫𝒆𝒊𝝎𝒔𝒕 + 𝑬𝒆−𝒊𝝎𝒔𝒕)

Oscillatore Armonico Forzato

Un oscillatore armonico forzato è un oscillatore cui è stata applicata una forza periodica esterna. Tale sistema è realizzabile tramite una massa appoggiata ad un piano orizzontale senza attrito, vincolata ad una molla da un lato e dall’altro a un smorzatore idraulico a cui è applicata una forza periodica esterna �⃗�𝐸 che impedisce il decadimento delle oscillazioni o ne aumenta l’ampiezza.

𝑭��⃗ 𝒌 + 𝑭��⃗ 𝒗 + 𝑭��⃗ 𝑬 + 𝑷��⃗ + 𝑵��⃗ = 𝒎𝒂��⃗ ⇒ −𝒌𝒙��⃗ + 𝜸𝒗��⃗ + 𝑭��⃗ 𝟎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝑭𝒕) = 𝒎𝒂��⃗ ⇒

𝒂��⃗ +𝜸𝒎𝒗��⃗ +

𝒌𝒎𝒙��⃗ =

𝑭��⃗ 𝟎𝒎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝑭𝒕)

𝜸𝒎

= 𝝁 𝒌𝒎

= 𝝎𝑵𝟐 𝑭𝟎𝒎

= 𝒇𝟎 ⇒ 𝒅𝟐𝒙𝒅𝒕𝟐

+ 𝝁𝒅𝒙𝒅𝒕

+ 𝝎𝑵𝟐𝒙 = 𝒇𝟎𝒔𝒊𝒏(𝝎𝑭𝒕)

- Oscillazione sottosmorzata Le soluzioni dell’equazione solo del tipo:

𝒙 = 𝑨𝑺𝒆−𝝁𝟐𝒕 ∙ 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒔𝒕 + 𝝓) + 𝑨𝑭 ∙ 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝑭𝒕 + 𝝓𝑭)

Dove la prima parte rappresenta l’oscillazione smorzata transitoria mentre la seconda quella forzata stazionaria.