Apresentação - Escoamento Multifásico (2)

Equações Constitutivas para a

Velocidade de Deslizamento

(Duas Fases)

• Nas equações de conservação de massa da fase k (1) e de quantidade de

movimento da mistura (2):

𝜕 𝜌𝑚 𝑣𝑚𝜕𝑡

+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑚 𝑣𝑚 𝑣𝑚

= −𝛻𝑷𝑚 + 𝑻𝑚𝜇𝐿 + 𝑻𝑚

𝜇𝑇 − 𝛻 ∙

𝑘=1

𝑛

𝛼𝑘 𝜌𝑘𝑥 𝑣𝑘,𝑚 𝑣𝑘,𝑚 + 𝜌𝑚 𝑔 (2)

Introdução

𝜕 𝛼𝑘 𝜌𝑘𝑥

𝜕𝑡+ 𝛻 ∙ 𝛼𝑘 𝜌𝑘

𝑥 𝑣𝑚 = Γ𝑘 − 𝛻 ∙ 𝛼𝑘 𝜌𝑘𝑥 𝑣𝑘,𝑚 (1)

2

• Considerando apenas duas fases presentes, 𝑣𝑘,𝑚 pode ser representado

pela velocidade de deslizamento ((3) e (4)).

−𝛻 ∙𝛼𝑝1 − 𝛼𝑝

𝜌𝑓 .𝜌𝑓

𝜌𝑚. 𝑣𝑝,𝑗 𝑣𝑝,𝑗 4

Introdução

−𝛻 ∙ 𝛼𝑝𝜌𝑓𝜌𝑝𝜌𝑚 𝑣𝑝,𝑗 (3)

3

• E a velocidade de deslizamento pode ser expressa por meio da velocidade

relativa entre as fases.

𝑣𝑝,𝑚 ≡ 𝜌𝑓𝑥

𝜌𝑚 𝑣𝑝,𝑗 ≡ 1 − 𝛼𝑝 ≡

𝜌𝑓𝑥

𝜌𝑚 𝑣𝑟 (5)

• Onde 𝑣𝑟 = 𝑣𝑝𝑋𝜌− 𝑣𝑓𝑋𝜌

Introdução

4

• Uma equação constitutiva para 𝑣𝑟 é obtida igualando-se as definições do

termo de força interfacial médio por unidade de volume.

Relações cinemáticas para as velocidades

relativas

𝑀′𝑝𝑖𝛼=𝑀′𝑓𝑖

1 − 𝛼= −𝐶𝐷

3

4

𝜌𝑓

𝐷𝑝 𝑣𝑟 𝑣𝑟 −

𝐶𝑉𝑀2𝜌𝑓𝐷 𝑣𝑟𝐷𝑡+ 𝐶𝐿3

2𝜌𝑓 𝑣𝑟 × 𝜔𝑓 (6)

𝑀′𝑝𝑖𝛼= 𝜌𝑝

𝐷 𝑣𝑝𝑋𝑝

𝐷𝑡− 𝜌𝑚𝐷 𝑣𝑚𝐷𝑡+ 𝜌𝑚 − 𝜌𝑝

𝑋 𝑔 − 𝛻 1 − 𝛼 𝑻𝑝 − 𝑻𝑓

+𝛻 ∙ 𝑻𝑚𝐷 −𝛻𝛼

𝛼. 𝑃𝑝𝑖 − 𝑃 𝑰 + 𝑻𝑝 − 𝑻𝑝𝑖 (7)

5

• Considerando um caso de sedimentação num meio infinito com

concentração uniforme. A velocidade relativa para uma população de

partículas é dada por:

vr vr =4

3

Dpg

CD

ρf − ρp

ρf1 − αp (8)

• E a velocidade relativa para uma única partícula:

vr,s vr,s =4

3

Dpg

CD,s

ρf − ρp

ρf(9)


relativas

6

• A razão entre a velocidade de um sistema multi-partículas com um sistema

de uma partícula isolada é estimada por meio da similaridade entre esse

sistemas.

vr

vr,s=CD,s Rep,s

CD Rep1 − αp (10)

• Onde Rep,s e Rep são definidos como:

Rep,s =ρf ∙ vr,s ∙ Dp

μfe Rep =

ρf ∙ vr ∙ Dp

μm(11)


relativas

7

• Considerando a hipótese de similaridade completa entre o sistema com

uma partícula e múltiplas partículas.

𝐶𝐷 =24

𝑅𝑒𝑝1 + 0,1𝑅𝑒𝑝

0,75 𝑒 𝐶𝐷,𝑠 =24

𝑅𝑒𝑝,𝑠1 + 0,1𝑅𝑒𝑝,𝑠

0,75

𝑣𝑟

𝑣𝑟,𝑠=𝐶𝐷,𝑠 𝑅𝑒𝑝,𝑠

𝐶𝐷 𝑅𝑒𝑝1 − 𝛼𝑝

𝑣𝑟

𝑣𝑟,𝑠=𝜇𝑓 1 + 0,1𝑅𝑒𝑝,𝑠

0,75

𝜇𝑚 1 + 0,1𝑅𝑒𝑝0,75 1 − 𝛼𝑝 (12)

Regime viscoso (sólido e fluidos)

8

• Onde a razão𝜇𝑚

𝜇𝑓é definida como:

𝜇𝑚𝜇𝑓= (1 − 𝛼𝑝)

−𝑛 (13)

• E n pode assumir três valores distintos:

▫ n = 1,00 → bolhas,

▫ n = 1,75 → gotas em líquidos,

▫ n = 2,50 → gotas em gás e partículas sólidas.


9

• A forma explicita da equação (12), foi proposta por Ishii e Zuber (1979) e

obtida fazendo um ajuste para os limites assintóticos da equação (12)

quando 𝑅𝑒𝑝 → 0 𝑒 𝑅𝑒𝑝 → ∞:

𝑣𝑟

𝑣𝑟,𝑠= 1 − 𝛼𝑝 𝑓 𝛼𝑝

1 + 0,1𝑅𝑒𝑝,𝑠0,75

1 + 0,1𝑅𝑒𝑝,𝑠0,75 𝑓 𝛼𝑝

67

(14)

• E 𝑓(𝛼𝑝) é definido por:

𝑓(𝛼𝑝) = 1 − 𝛼𝑝𝜇𝑓

𝜇𝑚≅ 1 − 𝛼𝑝

𝑛+12 (15)


10

• Alternativamente 𝑅𝑒𝑝,𝑠 pode ser definido como:

𝑅𝑒𝑝,𝑠 ≅ 9,72 1 + 0,01𝐷𝑝∗347 − 1 (16)

• Substituindo (16) em (14)

𝑣𝑟


1 + Ψ 𝐷𝑝∗

1 + Ψ 𝐷𝑝∗ 𝑓 𝛼𝑝

67

(17)

• Onde Ψ = 0,1𝑅𝑒𝑝0,75

, utilizando a definição dada em (16)

Ψ 𝐷𝑝∗ = 0,55 1 + 0,01𝐷𝑝

∗347 − 1

0,75

(18)

Regime viscoso (sólido e fluido)

11

• Nesse regime a velocidade da partícula não apresenta dependência com a

viscosidade da fase contínua.

• A transição entre o regime viscoso e o regime de Newton é caracterizada

por 𝑅𝑒𝑝 = 1000. Substituindo 𝑅𝑒𝑝 em (14)

𝑣𝑟


1 + 0,1𝑅𝑒𝑝,𝑠0,75

1 + 0,1𝑅𝑒𝑝,𝑠0,75 𝑓 𝛼𝑝

67

(14)

𝑣𝑟


18,67

1 + 17,67 𝑓 𝛼𝑝

67

(19)

Regime de Newton (sólidos)

12

• Nesse regime, o coeficiente de arrasto depende do diâmetro da partícula,

das massas específicas das fases e da tensão superficial.

𝐶𝐷,𝑠 =2

3𝑀𝑜14𝑅𝑒𝑝,𝑠 (20)

• Ishii e Zuber (1979) postulam que a dependência da razão das velocidades

com a concentração de partículas é similar àquela observada no regime de

Newton.

𝑣𝑟


18,67

1 + 17,67 𝑓 𝛼𝑝

67

(21)

Regime distorcido (somente gotas e bolhas)

13

• A velocidade de deslizamento é obtida substituindo a definição da razão

das velocidade relativas (equação 10) na equação (5) e multiplicando-a

pela velocidade de uma partícula isolada.

vr

vr,s=CD,s Rep,s

CD Rep1 − αp (10)

𝑣𝑝,𝑚 ≡ 𝜌𝑓𝑥

𝜌𝑚 𝑣𝑝,𝑗 ≡ 1 − 𝛼𝑝 ≡

𝜌𝑓𝑥

𝜌𝑚 𝑣𝑟 (5)

𝑣𝑝,𝑗 = 1 − 𝛼𝑝 𝑣𝑟

𝑣𝑟,𝑠 𝑣𝑟,𝑠 (22)

Relações cinemáticas para as velocidades de

deslizamento

14

• Substituindo a equação (17) em (22), chega-se à velocidade dedeslizamento da partícula em relação ao centro de volume para o regimeviscoso de partículas (23).

𝑣𝑟

𝑣𝑟,𝑠= 1− 𝛼𝑝 𝑓 𝛼𝑝

1 + Ψ 𝐷𝑝∗


67

(17)



𝑣𝑝,𝑗 = 𝑣𝑟,𝑠 1 − 𝛼𝑝

32𝑓 𝛼𝑝

1 + Ψ 𝐷𝑝∗


67

(23)

• Onde 𝑣𝑟,𝑠 ≅ 21,52Ψ43 𝐷𝑝∗

𝐷𝑝∗ .

Regime viscoso (sólido, bolha ou gota)

15

• Substituindo a equação (19) em (22), chega-se à velocidade de

deslizamento da partícula em relação ao centro de volume para o regime

de Newton (24).

𝑣𝑟


18,67

1 + 17,67 𝑓 𝛼𝑝

67

(19)




32𝑓 𝛼𝑝

18,75

1 + 17,75 𝑓 𝛼𝑝

67

(24)

Regime de Newton (sólidos)

16

• Substituindo a equação (19) em (22), chega-se à velocidade de

deslizamento da partícula em relação ao centro de volume para o regime

de Newton (25).

𝑣𝑟


18,67

1 + 17,67 𝑓 𝛼𝑝

67

(19)




32𝑓 𝛼𝑝

18,75

1 + 17,75 𝑓 𝛼𝑝

67

(25)

Regime distorcido (bolhas ou gotas)

17

• Segundo Ishii e Zuber (1979), a equação (25) pode ser aproximada por

uma potência da fração volumétrica:

𝑣𝑝,𝑗 = 𝑣𝑟,𝑠

1 − 𝛼𝑝1,75→ 𝜇𝑝 ≪ 𝜇𝑓

1 − 𝛼𝑝2,00→ 𝜇𝑝 ≅ 𝜇𝑓

1 − 𝛼𝑝2,25→ 𝜇𝑝 ≫ 𝜇𝑓

(26)

• Onde:

𝑣𝑟,𝑠 ≅ 2𝜎𝑔∆𝜌

𝜌𝑓2

14 𝑔

𝑔

∆𝜌

∆𝜌, 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∆𝜌 = 𝜌𝑝 − 𝜌𝑓

Regime distorcido (bolhas ou gotas)

18

• A ausência de termos transientes como Basset e Massa virtual, além do

termo de sustentação restringem aplicação dessa equações em um modelo

3D, aos casos em que a fase dispersa atinge rapidamente sua velocidade

terminal.

• E as equações (3) e (4) podem ser representadas por (27) e (28),

respectivamente.

−𝛻 ∙ 𝛼𝑝𝜌𝑓𝜌𝑝𝜌𝑚 𝑣𝑝,𝑗 = −

𝑑

𝑑𝑧𝛼𝑝𝜌𝑓𝜌𝑝𝜌𝑚𝑣𝑝,𝑗 𝑒𝑧 (27)

−𝛻 ∙𝛼𝑝1 − 𝛼𝑝

𝜌𝑓 .𝜌𝑓

𝜌𝑚. 𝑣𝑝,𝑗 𝑣𝑝,𝑗 = −

𝑑

𝑑𝑧

𝛼𝑝1 − 𝛼𝑝

𝜌𝑓 .𝜌𝑓

𝜌𝑚𝑣𝑝,𝑗

2 𝑒𝑧 (28)

Comentários finais

19

Referência Bibliográfica

• ROSA E.S. Escoamento Multifásico Isotérmico - Modelos de Multifluidos e

de Mistura. Editora Bookman. 2011.

20

Documents

Apresentação - Escoamento Multifásico (2)