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Matemática Superior Aplicada
Aproximación de derivadas
Aproximaciones con mayor exactitud
Derivadas de orden superior
Prof.: Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz
J.T.P.: Dr. Juan Ignacio Manassaldi
Aux. 2da: Sra. Amalia Rueda
Aux. 2da: Sr. Alejandro Jesús Ladreyt
Derivada Numérica (Repaso)
h
hxfhxfxf
2
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0
'
h
xfhxfxf
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0
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h
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Derivada Numérica (Repaso)
h
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''
20
'''2
!3
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xfhE
Derivada Numérica (Repaso)
h
hxfhxfxf
2
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h
xfhxfxf
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0
' h
xfhE
!2
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''
20
'''2
!3
)(h
xfhE
32
12'''
1''
1'ln
xxf
xxf
xxfxxf
Estimar la derivada de f(x) en x=3 con un h=0.01 Estimar el error cometido Calcular el error exacto cometido utilizando la derivada analítica
Serie de Taylor en torno a x0
n
n
n
xxn
xfxf )(
!
)()( 0
0
0
)(
Aproximación de Derivadas
x0 x0 + h x0 - h
n
n
nn
n
n
hn
xfxhx
n
xfhxf )(
!
)()(
!
)()(
0
0
)(
00
0
0
)(
0
n
n
n
hn
xfhxf
0
0
)(
0!
)()(
Taylor en torno a x0 con intervalos equiespaciados
Hacia delante
Hacia atrás
n
n
nn h
n
xfhxf
0
0
)(
0!
)()1()(
k intervalos hacia delante
n
n
nn h
n
xfkkhxf
0
0
)(
0!
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k intervalos hacia atrás
n
n
nn h
n
xfkkhxf
0
0
)(
0!
)()()(
Aproximaciones con mayor exactitud
...!5
)(
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)(
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)(
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'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...32!5
)(16
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)(4
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'''''40
''''30
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hxf
hxf
hxf
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)(
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!3
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'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
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x0 x0 + h x0 + 2h x0 - 2h x0 - h
....)(8)2()(8)2( 0000 hxfhxfhxfhxf
...!5
)(8
!4
)(8
!3
)(8
!2
)(8)(8)(8)(8 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
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!4
)(16
!3
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'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!5
)(32
!4
)(16
!3
)(8
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)(4)(2)()2( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!5
)(8
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!3
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'''''40
''''30
'''20
''
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hxf
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'''''
0
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0000!5
)(48)(12)(8)2()(8)2( h
xfhxfhxfhxfhxfhxf
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)(4
12
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'''''
00000
'
hxf
h
hxfhxfhxfhxfxf
Error de Truncamiento
Aproximaciones con mayor exactitud
h
hxfhxfhxfhxfxf
12
)(8)2()(8)2()( 0000
0
'
40
'''''4
!5
)(4 h
xfhE
Aproximaciones con mayor exactitud
Error de Truncamiento
Reglas practicas para aproximar derivadas de cualquier orden
- Realizar las series de Taylor equiespaciadas y colocarlas una debajo de la otra. - Mediante combinaciones lineales se deben eliminar todas las derivadas de orden menor (sin anular la de interés) y de manera simultanea intentar minimizar el error. - Finalmente despejamos nuestro objetivo y obtenemos la aproximación del error.
Ejemplo para f ’’ utilizando dos aproximaciones:
...!5
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)()()()( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!5
)(
!4
)(
!3
)(
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)()()()( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!6
)(2
!4
)(2
!2
)(2)(2)()( 60
''''''40
''''20
''
000 hxf
hxf
hxf
xfhxfhxf
+
...!6
)(2
!4
)(2
)(2)()()( 40
''''''20
''''
2
0000
''
hxf
hxf
h
xfhxfhxfxf
Error de Truncamiento
Reglas practicas para aproximar derivadas de cualquier orden
- Realizar las series de Taylor equiespaciadas y colocarlas una debajo de la otra. - Mediante combinaciones lineales se debe buscar eliminar todas las derivadas de orden menor sin anular la que buscamos aproximar. - Finalmente despejamos nuestro objetivo y obtenemos la aproximación del error.
Ejemplo para f ’’ utilizando dos aproximaciones:
2
0000
'' )(2)()()(
h
xfhxfhxfxf
20
''''2
!4
)(2)( h
xfhE
Ejercicio
- Realizar las series de Taylor equiespaciadas y colocarlas una debajo de la otra - Mediante combinaciones lineales se debe buscar eliminar todas las derivadas de orden menor sin anular la que buscamos aproximar - Finalmente despejamos nuestro objetivo y obtenemos la aproximación del error
Obtener una aproximación de la derivada segunda a partir de dos puntos hacia delante (k=1 y k=2) Hallar la estimación del error de truncamiento y compararla con el valor real para la funcion f(x)=ln(x) utilizando un incremento de h=0.01 en x=3
n
n
n
hkn
xfkhxf )(
!
)()(
0
0
)(
0
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)(
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)(
!2
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'''''40
''''30
'''20
''
0
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00 hxf
hxf
hxf
hxf
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Ejercicio
...!5
)(32
!4
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!3
)(8
!2
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'''''40
''''30
'''20
''
0
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hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
2
-
...!5
)(30
!4
)(14
!3
)(6
!2
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'''''40
''''30
'''20
''
000 hxf
hxf
hxf
hxf
xfhxfhxf
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)(30
!4
)(14
!3
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!2
)(2 50
'''''40
''''30
'''
000
20
''
hxf
hxf
hxf
xfhxfhxfhxf
...!5
)(30
!4
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!3
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'''''40
''''30
'''
000
2
0
'' hxf
hxf
hxf
xfhxfhxfhxf
...!5
)(30
!4
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!3
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'''''20
''''
0
'''
2
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''
hxf
hxf
hxf
h
xfhxfhxfxf
Ejercicio
...!5
)(30
!4
)(14
!3
)(6
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'''''20
''''
0
'''
2
0000
''
hxf
hxf
hxf
h
xfhxfhxfxf
hxf
hE!3
)(6)( 0
'''
2
0000
'' )()(2)2()(
h
xfhxfhxfxf
Ejercicio
2
''
01.0
)3()01.03(2)01.0*23()3(
ffff
0001.0
1.0986121.101940*21.105257)3(''
f
-0.110375)3('' f
2
0000
'' )()(2)2()(
h
xfhxfhxfxf
32
12'''
1''
1'ln
xxf
xxf
xxfxxf
h x0 h x0 x0 x0
Ejercicio
-0.110375)3('' f
0.1111113
1)3(
2
'' f
0.110375111111.0
000736.0
32
12'''
1''
1'ln
xxf
xxf
xxfxxf
Ejercicio
32
12'''
1''
1'ln
xxf
xxf
xxfxxf
0.00074101.0!3
272
6)( hE 000736.0
hxf
hE!3
)(6)( 0
'''
hEh
xfhxfhxfxf
2
0000
'' )()(2)2()(
Ejemplo: f’ con 4 hacia delante
...!5
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)()()()( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...32!5
)(16
!4
)(8
!3
)(4
!2
)(2)()()2( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
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00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
'' ''' '''' '''''' 2 3 4 50 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( 3 ) ( ) ( )3 9 27 81 243 ...
2! 3! 4! 5!
f x f x f x f xf x h f x f x h h h h h
'' ''' '''' '''''' 2 3 4 50 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( 4 ) ( ) ( )4 16 64 256 1024 ...
2! 3! 4! 5!
f x f x f x f xf x h f x f x h h h h h
48
-36
16
-3
'''''' 40 0 0 0 0 0
0
48 ( ) 36 ( 2 ) 16 ( 3 ) 3 ( 4 ) 25 ( ) ( )( ) 24 ...
12 5!
f x h f x h f x h f x h f x f xf x h
h
'''''' 50
0 0 0 0 0 0
( )48 ( ) 36 ( 2 ) 16 ( 3 ) 3 ( 4 ) 25 ( ) 12 ( ) 288 ...
5!
f xf x h f x h f x h f x h f x f x h h
Ejemplo: f’ con 1 atrás y 3 adelante
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'''''40
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hxf
hxf
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'' ''' '''' '''''' 2 3 4 50 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( 3 ) ( ) ( )3 9 27 81 243 ...
2! 3! 4! 5!
f x f x f x f xf x h f x f x h h h h h
-3
18
-6
1
'''''' 50
0 0 0 0 0 0
( )3 ( ) 18 ( ) 6 ( 2 ) ( 3 ) 10 ( ) 12 ( ) 72 ...
5!
f xf x h f x h f x h f x h f x f x h h
'''''' 40 0 0 0 0 0
0
3 ( ) 18 ( ) 6 ( 2 ) ( 3 ) 10 ( ) ( )( ) 6 ...
12 5!
f x h f x h f x h f x h f x f xf x h
h
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'''''40
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hxf
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Ejemplo: f’’ con 4 hacia delante
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''''30
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hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
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'''''40
''''30
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00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
'' ''' '''' '''''' 2 3 4 50 0 0 0
0 0 0
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2! 3! 4! 5!
f x f x f x f xf x h f x f x h h h h h
'' ''' '''' '''''' 2 3 4 50 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( 4 ) ( ) ( )4 16 64 256 1024 ...
2! 3! 4! 5!
f x f x f x f xf x h f x f x h h h h h
-104
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-56
11
''''''' 30 0 0 0 0 0
0 2
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12 5!
f x h f x h f x h f x h f x f xf x h
h
'' '''''2 50 0
0 0 0 0 0
( ) ( )104 ( ) 114 ( 2 ) 56 ( 3 ) 11 ( 4 ) 35 ( ) 24 1200 ...
2! 5!
f x f xf x h f x h f x h f x h f x h h
Ejemplo: f’’ con 1 atrás y 3 adelante
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'''''40
''''30
'''20
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''''30
'''20
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hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
'' ''' '''' '''''' 2 3 4 50 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( 3 ) ( ) ( )3 9 27 81 243 ...
2! 3! 4! 5!
f x f x f x f xf x h f x f x h h h h h
11
6
4
-1
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0 0 0 0 0
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2! 5!
f x f xf x h f x h f x h f x h f x h h
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'''''40
''''30
'''20
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''''''' 30 0 0 0 0 0
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f x h f x h f x h f x h f x f xf x h
h
Ejemplo: f’’ con 2 atrás y 2 adelante
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''''30
'''20
''
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hxf
hxf
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'''''40
''''30
'''20
''
0
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-1
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'''''40
''''30
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hxf
hxf
hxf
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12
f x h f x h f x h f x h f xf x
h
...32!5
)(16
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'''''40
''''30
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hxf
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hxfxfhxf
