Coordinacin de Matemtica II (MAT022)Primer semestre de
2011Semana 1: Lunes 07 viernes 11 de MarzoCOMPLEMENTO Clase 1:
Matrices. lgebra Bsica de Matrices Clase 2: Tipos (bsicos) de
matriz: Simtrica, antisimtrica. Transpuesta de una
matriz.Caracterizacin.ContenidosCLASE 11.1 MatricesDenicin 1.1. Una
matriz de orden n m (se lee n las por m columnas) es un arreglo
rectangular de la forma________a11a12a13 a1ma21a22a23 a2ma31a32a33
a3m...............an1an2an3 anm________Cada uno de los elementos
del arreglo ai jes llamada entrada, elemento o coeciente de la
matriz.Observacin 1.1. Denotaremos las matrices por letras
maysculas A, B, Co tambin en la forma_ai j_nm ,_bi j_nmObservacin
1.2. Los elementos de una matriz pueden pertenecer a cualquier
conjunto numrico en particular ao. Denotaremos por nm () (n m, ) al
conjunto de todas las matrices de orden n mcon coecientes reales,de
manera similar nm () (n m, ) denota el conjunto de todas las
matrices de orden n mcon coecientescomplejos.Universidad Tcnica
Federico Santa MaraDepartamento de MatemticaEjemplo 1.1. Construir
la matriz A =_ai j_33 =_i +j_33Ejemplo 1.2._1 2 1ii 0 3_23
()Denicin 1.2. Una matriz de orden n 1 se llama matriz columna o
vector columna, estos tienen la forma______a11a21...an1______De
manera similar una matriz de orden 1m es llamada matriz la o vector
la y tiene la forma_a11a12a13 a1m_Denicin 1.3. A la matriz_ai
j_nmtal que ai j= 0 para todo i , j es llamada matriz nula de orden
n my es denotadapor [0]nm[0]nm =______0 0 00 0 0............0 0
0______Observacin 1.3. A las matrices de orden n n (igual numero de
las y columnas) se les denomina matrices cuadradasde orden
n.Denicin 1.4. Sea Auna matriz cuadrada A=_ai j_nn. Los coecientes
ai ipara i = 1, 2, . . . , nforman la diagonalprincipal de la
matriz. La diagonal secundaria de A son los elementos de la forma
ai ,n+1ipara i =1, 2, . . . , nDiagonal principal
:______a11a22...ann______Diagonal secundaria
:_____a1nan1,2an1_____Denicin 1.5. Una matriz cuadrada en la cual
los elementos fuera de la diagonal son todos nulos es llamada
matrizdiagonal (los elementos de la diagonal no necesariamente son
distintos de cero)Matriz diagonal:_________a110 0 00 a220 00 0 a33
............... 00 0 0 ann_________MAT022 (Complemento)
2Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de MatemticaUn
tipo muy importante de matriz diagonal, es aquella matriz cuadrada
que tiene todos los elementos de la diagonalprincipal igual a 1,
esta matriz es llamada Matriz identidad de orden n. Esta matriz es
denotada por In.Ejemplo 1.3.I2 =_1 00 1_I3 =___1 0 00 1 00 0
1___Denicin 1.6. Siuna matrizcuadrada deordennestal quetodos
suselementosque estanencima desudiagonalprincipal son todos ceros
(no importan los dems) se denomina matriz triangular inferior; De
manera similar, una matriztriangular superior es aquella en la cual
todos los elementos que se encuentran bajo la diagonal principal
son todos ceros.Matriz triangular inferior:__________a110 0
0a21a220... 0........................... 0an1an2an3
ann__________Matriz triangular superior:__________a11a12a13 a1n0
a22a23... a2n0 0........................0 0 0 ann__________Denicin
1.7. Dada una matriz cuadradaA =________a11a12a13 a1na21a22a23
a2na31a32a33 a3n...............an1an2an3 ann________llamaremos
traza de A a la suma de los elementos de la diagonal principal, es
decir, t r (A) =a11 +a22 + +ann =
ni =1ai iEjemplo 1.4. Calcular la traza de la matrizAn
=________1 0 0 01 2 0 01 2 3 0...............1 2 3 n________MAT022
(Complemento) 3Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento
de Matemtica1.1.1 Operatoria con matrices Igualdad de matrices: Dos
matrices A y B son iguales si son del mismo orden y adems ai j =bi
j.Ejemplo 1.5. Encontrar los valores de las incgnitas si se tiene_x
+1 0x21_=_2 ab d_ Suma de matrices: Si A =_ai j_nmy B =_bi j_nmse
dene A +B =_ai j +bi j_nmes decir:______a11a12 a1ma21a22
a2m............an1an2 anm______+______b11b12 b1mb21b22
b2m............bn1bn2 bnm______=______a11 +b11a12 +b12 a1m +b1ma21
+b21a22 +b22 a2m +b2m............an1 +bn1an2 +bn2 anm
+bnm______Ejemplo 1.6._1 2 10 2 3_+_ 1 1 23 1 1_=_0 3 13 3
4_Observacin 1.4. t r (A +B) =t r (A) +t r (B). Multiplicacin por
escalar: Si A =_ai j_nmy oentonces A =_ai j_nm =_ai j_nmes
decir______a11a12 a1ma21a22 a2m............an1an2
anm______=______a11a12 ama21a22 a2m............ana2n amn______
Producto de matrices: Sea = . Sean A (n m, ) y B _m p, _la matriz
producto C =A B es lamatriz de orden n p dada por_ci j_npdondeci j
=m
k=1ai kbk jes decir para obtener el elemento ci jdel producto se
ja la la ide A y la columna j de By se forma el elementoanterior,
se dice que el producto de matrices es las por columnas.1.1.2
Propiedades de las operaciones matricialesSean A, B, Cmatrices (con
rdenes tales que las operaciones consideradas pueden ser aplicadas)
y a, escalares:1. A +B = B +A 8. 1A =A2. (A +B) +C =A + (B +C) 9.
(AB)C =A (BC)3. A + [0] =A 10. A (B +C) =AB +AC4. A + (1) A = [0]
11. (A +B)C =AC +BC5. (A +B) =A +B 12. (AB) = (A) B =A (B)6. _+_A
=A +A 13. A nm InA =A =AIm7. _A_=__AMAT022 (Complemento)
4Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de
MatemticaObservacin 1.5. Es muy importante notar que el producto
matricial no es conmutativo incluso uno de los productospuede no
estar denido.Si consideramos A 23 y B 34 entonces ABesta denida y
tiene orden 2 4,notar queBA no esta denido.Ejemplo 1.7._1 12 1__1
10 1_=_1 22 1__1 10 1__1 12 1_=_ 1 22 1_se sigue_1 12 1__1 10 1_=_1
10 1__1 12 1_Observacin 1.6. En matrices la ecuacin AX = B con A =
[0] y B matrices dadas no siempre tiene solucin, considere_1 10 0_X
=_1 11 1_Si X tiene orden n m para que este bien denido el producto
se ha de tener n =2 el resultado seria de orden 2m perosabemos que
es de orden 22 luego m =2. Pongamos entoncesX =_a bc d_entonces_1
10 0__a bc d_=_a +c b +d0 0_=_1 11 1_de inmediato esto no puede ser
pues 0 =1.Observacin 1.7. En matrices no es verdad que AB = [0]
implique A = [0] B = [0] en efecto_0 10 0__0 10 0_=_0 00 0_CLASE
22.1 Matriz transpuestaDenicin2.1. Sea A (n m, ), A =_ai j_con = .
La matriz transpuesta de A es la matriz AT (m n, )obtenida
intercambiando las las y columnas de la matriz A. Es decir, la
i-sima la de A pasa a ser la i-sima columna deAT.Esto signica:A
=______a11a12a13 a1ma21a22a23 a2m...............an1an2an3
anm______nmAT=________a11a21 an1a12a22 an2a13a23
an3............a1ma2m anm________mnMAT022 (Complemento)
5Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de
MatemticaEjemplo 2.1. SiA =_ 1 2 05 7 4_entoncesAT=_ 1 2 05 7
4_T=___1 52 70 4___Observacin 2.1. De la denicin de transpuesta
podemos concluir: Si A=_ai j_con i =1, 2, . . . , nyj =1, 2, . . .
, mentonces AT=_aTi j_con i =1, 2, . . . , m y j =1, 2, . . . , n
dondeaTi j =aj ipara todo i =1, 2, . . . , m y j =1, 2, . . . ,
n.Proposicin 2.1. Sea ,n ,A y B matrices con rdenes apropiados para
que las operaciones estn bien denidas, setiene:1. _AT_T=A2. (A
+B)T=AT+BT3. (A)T=_AT_4. (AB)T= BTAT5. (An)T=_AT_nObservacin 2.2.
Se sugiere intentar vericar algunas de las propiedades
anteriores.Denicin 2.2. Sea A una matriz cuadrada: A se dice
simtrica si AT=A A se dice antisimtrica si AT=AEjemplo 2.2. La
matrizA =___1 0 30 2 13 1 0___es simtrica yB =___0 3 13 0 21 2
0___es antisimtrica.Observacin 2.3. Por un asunto de orden de las
matrices involucradas en las de nociones anteriores, vemos que
tienensentido, slo si A es cuadrada, y por ende, tambin ATes
cuadrada.MAT022 (Complemento) 6Universidad Tcnica Federico Santa
MaraDepartamento de MatemticaProposicin 2.2. Sean A y B matrices
simtricas del mismo orden:1. A +B es simtrica2. Si entonces A es
simtricaProposicin 2.3. Si A es una matriz cuadrada entonces:1. A
+ATes simtrica2. AATy ATA son matrices simtricas3. A ATes
antisimtricaObservacin 2.4. De las proposiciones anteriores podemos
mostrar que una toda matriz cuadrada se puede descom-poner en una
parte simtrica y otra antisimtrica en la formaA =_A +AT2_+_A
AT2_adems esta descomposicin es nica.Proposicin 2.4. Si A es una
matriz antisimtrica su diagonal principal tiene solamente ceros. En
efecto, de AT+A = 0 sesigueai i +ai i =0 ai i =0 para cada i2.1.1
Ejercicios de operatoria bsica1. Considere la matriz B =___1 1 10 1
10 0 1___calcular B, B2, B4.2. Sean A =_1 1 20 3 4_, B =_4 0 31 1
3_, C =___2 3 0 15 1 4 21 0 0 3___y D =___213___CalcularA +B, 3A
4B, AC, BD, AT, CTBT3. Sean A =___1 2 01 1 01 4 0___, B =___1 2 31
1 12 2 2___y C =___1 2 31 1 11 1 1___verique que AB =ACQu
concecuencia obtiene de esto?4. Determine x tal que_x 4 1____2 1 01
0 20 2 4______x41___=05. Qu condiciones deben vericar a, b, cy
dpara que las matrices_a bc d_,_1 11 1_conmuten respecto
alproducto?MAT022 (Complemento) 7Universidad Tcnica Federico Santa
MaraDepartamento de Matemtica6. Determine 2A2+AB si A = (i )33 y B
=_j_33.7. Hallar una matriz A de orden 22 tal que A2=I8. Hallar una
matriz A de orden 22,A=0 tal que A2=09. Hallar una matriz A no
nula, tal que A2=0 y A3=010. Probar que t r (AB) =t r (BA)11. Sean
A y B matrices simtricas. Determine si las siguientes son o no
simtricas(a) A2+B2(b) A2B2(c) ABA(d) ABAB12. SeaS =__________0 1 0
0 00 0 1 0 00 0 0 1 0..................0 0 0 0 10 0 0 0
0__________nn(a) Determinar Snpara n (b) Si A es una matriz de
orden n n encontrar una regla para calcular SA y AS.MAT022
(Complemento) 8Coordinacin de Matemtica II (MAT022)Primer semestre
de 2011Semana 2: Lunes 14 viernes 18 de MarzoCOMPLEMENTO Clase 1:
Matrices y operaciones elementales. Rango. Clase 2: Notacin
matricial de sistemas de ecuaciones lineales. Resolucin de sistemas
deecuaciones lineales por eliminacin Gaussiana.ContenidosCLASE 11.1
Operaciones elementales y Matrices elementalesDenicin 1.1. En una
matriz podemos realizar tres tipos de operaciones elementales por
la:(1) Intercambiar (permutar) dos de sus las.(2) Multiplicar una
la (es decir cada coeciente de la correspondiente la) por una
constante distinta de cero.(3) Sumar el mltiplo de una la a otra
laEjemplo 1.1. Ejemplos de operaciones elementales: Intercambio
entre dos las: las las 1 y 3___2 0 15 4 37 6 9______7 6 95 4 32 0
1___ Multiplicacin de una la por un escalar: la la 2, se multiplica
por 3___4 0 15 4 32 8 9______4 0 115 12 92 8 9___Universidad Tcnica
Federico Santa MaraDepartamento de Matemtica Adicin del mltiplo de
una la a otra la: Multiplicamos la la 2 por 2 y se la sumamos a la
la 3___1 0 11 0 23 8 9______1 0 11 0 25 8 5___1.2 Matrices
elementalesDenicin 1.2. Una matriz elemental es una matriz que
resulta al efectuar una operacin elemental sobre la matrizidentidad
InDado que existen tres tipos de operaciones elementales, existirn
entonces tres tipos de matrices elementales; usare-mos la notacin
siguiente: Ei jEs la matriz elemental obtenida intercambiando (en
la matriz identidad) la la icon la la j Ei () Es la matriz obtenida
multiplicando (en la matriz identidad) la la ipor =0 Ei j () Es la
matriz obtenida sumndole a la la i , la la jmultiplicada por
Ejemplo 1.2. Para la matriz I4:1. E24 =_____1 0 0 00 0 0 10 0 1 00
1 0 0_____2. E3(2) =_____1 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0 1_____3. E31(4)
=_____1 0 0 00 1 0 04 0 1 00 0 0 1_____Considere ahora la matrizA
=_____1 2 1 02 5 6 43 1 0 50 2 3 4_____Note que si multiplicamos
esta matriz por la matriz elemental E24 por la izquierda, esto es,
efectuamos el productoE24A, obtenemos la matrizE24 A =_____1 0 0 00
0 0 10 0 1 00 1 0 0__________1 2 1 02 5 6 43 1 0 50 2 3
4_____=_____1 2 1 00 2 3 43 1 0 52 5 6 4_____que es lo mismo que
haber efectuado sobre la matriz A la operacin elemental,
intercambiar la la 2 con la la 4.MAT022 (Complemento) 2Universidad
Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de MatemticaSi efectuamos el
producto E3(2) A, obtenemosE3(2) A =_____1 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0
1__________1 2 1 02 5 6 43 1 0 50 2 3 4_____=_____1 2 1 02 5 6 46 2
0 100 2 3 4_____que es lo mismo que se obtiene al realizar sobre la
matriz A la operacin elemental, la la 3 la multiplicamos por -2.Si
efectuamos el productoE31(4) A,obtenemos el mismo resultado de la
operacin elemental sobre A,la la 1 lamultiplicamos por -4 y se la
sumamos a la la 3.E31(4) A =_____1 0 0 00 1 0 04 0 1 00 0 0
1__________1 2 1 02 5 6 43 1 0 50 2 3 4_____=_____1 2 1 02 5 6 47 9
4 50 2 3 4_____Se tiene al respecto el siguiente teorema.Teorema
1.1. Sea Ela matriz elemental obtenida al efectuar una operacin
elemental por la sobre la matriz In. Si lamisma operacin elemental
se realiza sobre una matriz A de orden n m, el resultado es el
mismo que el del producto E A.Denicin 1.3. Diremos que las matrices
A y B son equivalentes por las si existe una sucesin de operaciones
elemen-tales por las que convierte la matriz A en la matriz B. En
tal caso pondremos A BComo hemos visto, realizar una operacin
elemental sobre una matriz es equivalente a multiplicar por la
izquierda esamatriz por una matriz elemental; para efectos de
nuestros clculos haremos directamente la operacin elemental sobrela
correspondiente matriz, y la anotamos de la manera que muestra el
ejemplo siguiente:Ejemplo 1.3.___1 0 12 4 03 4 6___E21 (2)___1 0 10
4 23 4 6___E31 (3)___1 0 10 4 20 4 9___E32 (1)___1 0 10 4 20 0
7___En este caso las matrices___1 0 12 4 03 4 6___y___1 0 10 4 20 0
7___son equivalentes (por la).Observacin 1.1. Un desarrollo anlogo
permite denir operaciones elementales columna.Denicin 1.4. Una
matriz se encuentra en forma escalonada por las si satisface las
siguientes propiedades: Cualquier la que se componga enteramente de
ceros se ubica en la parte inferior de la matriz. En cada la
idistinta de cero, la primera entrada o coeciente no nulo (contado
desde la izquierda), denominadopivote, se localiza en una columna j
i .Si adems se cumple las siguinetes propiedades: sus pivotes son
todos iguales a 1; y en cada la el pivote es el nico elemento no
nulo de su columna,entonces decimos que la matriz se encuentra en
forma escalonada reducida.MAT022 (Complemento) 3Universidad Tcnica
Federico Santa MaraDepartamento de MatemticaEjemplo 1.4. Son
matrices escalonadasA =_____1 2 4 5 2 90 0 2 6 0 10 0 0 3 4 10 0 0
0 1 1_____y B =_____1 2 0 00 0 2 00 0 0 00 0 0 0_____pero la
matrizC =_____1 2 0 1 1 30 1 4 5 7 02 0 0 1 1 10 0 0 0 0 1_____no
es escalonada.Ejemplo 1.5. Las siguientes matrices estn en forma
escalonada reducida:A =_____1 2 0 0 0 5830 0 1 0 0920 0 0 1 0530 0
0 0 1 1_____, B =_____1 0 0121200 1 0143400 0 11916311600 0 0 0 0
1_____Denicin 1.5. Un algoritmo es una secuencia nita de
operaciones realizables, no ambiguas, cuya ejecucin da unasolucin
de un problema en un tiempo nito.El algoritmo de reduccin de Gauss
escalona una matriz por las por medio de operaciones elementales
la. Aqu estala descripcin del algoritmo de reduccin de Gauss:Sea
A=_ai j_mn una matriz dada.Para cada k (ndice de la) tomandolos
valores 1, 2, . . . , m1, denotamos por Mk a submatriz Mk de las
las k, (k +1) , , m.1. Si la submatriz Mksolo tiene coecientes
nulos no hacer nada.2. Si la submatriz Mktiene al menos un
coeciente no nulo, buscar el ndice j0 ms pequeo tal que la columna
j0tenga por lo menos un coeciente distinto de cero en Mk. Hallar el
i0 ms pequeo tal que ai 0 j0 = 0 e i0 k. Sii0>koperar en la
matriz permutando las ke i0 de la matriz A.3. Para ide k +1 a m, si
ai j0=0 cambiar la la ipor la la imenosai j0ak j0la la ken
A.Ejemplo 1.6. Consideremos la matriz___2 0 31 3 60 6
15___encontrar su forma escalonada:___2 0 31 3 60 6 15___E12___1 3
62 0 30 6 15___E21(2)___1 3 60 6 150 6 15___E32(1)___1 3 60 6 150 0
0___esta es su forma escalonada.MAT022 (Complemento) 4Universidad
Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de MatemticaObservacin 1.2.
Vericar que mediante ejemplos el algoritmo de Gauss-Jordan se puede
llevar a la forma escalonadareducida.Denicin 1.6. Sea A una matriz.
Se denomina rango de la matriz A al nmero de las no nulas de la
matriz escalonadaequivalente a la matriz A original obtenida por
ejemplo mediante el algoritmo de reduccin de Gauss. Se denota el
rangode la matriz A por (A) o bin rango(A).Ejemplo 1.7. Determinar
el rango de la matrizA =_______1 2 34 1 02 1 10 0 03 1
2_______Proposicin 1.1. Si A Mnmentonces (A) min{n, m}.CLASE 22.1
Sistemas de ecuaciones linealesConsideremos el sistema de m
ecuaciones y n incgnitas_______a11x1 +a12x2 +. . . +a1nxn= b1a21x1
+a22x2 +. . . +a2nxn= b2.........am1x1 +am2x2 +. . . +amnxn=
bmUsando matrices, el sistema se escribe como la ecuacin matricial
AX = B, dondeA =______a11a12 a1na21a22 a2n............am1am2
amn______mn, X =______x1x2...xn______n1, B
=______b1b2...bm______m1Denicin 2.1. Considere un sistema AX = B
con A mn (), B m1 (). Diremos que X0 n1 () es solucindel sistema
siAX0 = BDenicin 2.2. Un sistema se llama compatible si tiene al
menos una solucin. Si el sistema no tiene solucin, diremosque es
incompatible.Denicin 2.3. Sea A Mmn(). El sistema AX =0 se llama
homogneo.Ejercicio 2.1. Si un sistema de ecuaciones tiene dos
soluciones distintas entonces tiene innitas soluciones
distintasMAT022 (Complemento) 5Universidad Tcnica Federico Santa
MaraDepartamento de Matemtica2.1.1 Propiedades de los sistemas
homogneos1. Un sistema homogneo es siempre compatible, porque X =0
es solucin.2. Si C Mmn() es tal que C A, entonces AX =0 y CX =0
tienen las mismas soluciones.para ver esto, note lo siguiente sobre
las matrices elementales, Ei jEi j = I , Ei () Ei_1_= Iadems Ei j
() Ei j () =I . De esta forma Si Ees una matriz formada por un
producto de matrices elemetales entonces existe una
matrizE1(llamada matriz inversa de E) tal queE1E = IComo A Cexiste
una sucesin de matrices elementales E1, E2, . . . , Ektales queE1E2
EkA =C.Pongamos E = E1E2 Ek.Si X0 es tal que AX0 =0, entonces se
sigue CX0 = EAX0 = E0 =0.Recprocamente si CX1 =0, entonces AX1 =
E1CX1 =0.Todo lo anterior nos asegura que los dos sistemas
homogneos AX =0 y CX =0 tienen las mismas soluciones.2.1.2 Sistemas
no homogneosCon el mismo mtodo de la seccin anterior es posible
mostrar que si(A) = EA es la matriz escalonada equivalente porlas
con A entoncesAX = By (A) X = E Btienen las mismas soluciones. El
segundo sistema es mucho ms fcil de resolver.Ejemplo 2.1.
Resolver___1 2 00 1 20 0 2______xyz___=___123___note que este
sistema esx +2y = 1y +2z = 22z = 3de la ltima ecuacin obtenemos z
=32 reemplazamos este valor en la segunda ecuacin y despejamos para
obtener y =1teneiendo estos dos valores reemplazamos en la primera
ecuacin y obtenemos el valor x =1.Vemos que un mtodo para resolver
sistemas seria obtener el sistema escalonado equivalente.Denicin
2.4. Sea A Mmn() yB Mm1(). Consideremos el sistema AX=BconB = 0.
Llamaremos matrizampliada del sistema a la matriz(A, B)
=______a11a12 a1nb1a21a22 a2nb2...............am1am2
amnbm______MAT022 (Complemento) 6Universidad Tcnica Federico Santa
MaraDepartamento de MatemticaMtodo de solucin mediante el algoritmo
de Gauss: Como sabemos, AX = B y(A) X = E B, donde(A) = EA,
tienenlas mismas soluciones, note que la matrices(A) y E Baparcen
al aplicar las operaciones elementales que escalonan lamatriz
Aentonces, si aplicamos el mtodo de Gauss para obtener la
escalonada de matriz ampliada del sistema (A, B)estaremos
obteniendo la matriz ( (A) , E B).Ejemplo 2.2. Resolver el
sistema___1 2 13 0 11 1 2______xyz___=___120___Formamos la matriz
ampliada del sistema(A, B) =___1 2 1 13 0 1 21 1 2 0___aplicamos el
algoritmo de Gauss para obtener la escalonada___1 2 1 13 0 1 21 1 2
0______1 2 1 10 6 2 10 0 2 12___y ahora resolvemos el sistema___1 2
10 6 20 0 2______xyz___=___1112___que tiene las mismas
soluciones.Teorema 2.1. Sea A Mmn() y B Mm1():1. El sistema AX = B
es compatible si y solo si (A) =(A, B)2. Sea AX = B un sistema
compatible.(a) Si (A) =(A, B) =n (nmero de incgnitas) entonces el
sistema tiene solucin nica.(b) Si (A) =(A, B) n (el caso n < mes
similar).La idea es ver que es posible quitar, de manera astuta n
vectoresde W, digamos w1, ..., wn(salvo reordenamiento de los
ndices) de manera que el conjunto {v1, ..., vn, wn+1, ..., wm}
sigasiendo un conjunto l.i.. Ahora, como B1 es una base de V, se
puede vericar que o anterior es una contradiccin.El teorema
anterior nos permite dar la siguinete denicin.Denicin 2.2. Sea Vun
espacio vectorial sobre , B ={u1, , un} una base de V. Diremos que
n es la dimensin de Vsobre el cuerpo . Escribimos dim
V =n.Corolario 2.1. Sea Vun espacio vectorial de dimensin n,
entonces, cualquier subconjunto de Vde cardinalidad n +1 esun
conjunto l.d.2.1.2 Ejemplos1. C ={(1, 0), (0, 1)} es una base de 2.
Se conoce como la base cannica de 2. B ={(1, 2), (3, 1)} es otra
base de 2.Claramente, dim
2=2.2. C = {(1, 0, , 0), (0, 1, 0, , 0), , (0, 0, , 1)} es una
base de n. Se conoce como la base cannica de n. Se acos-tumbra
escribir los vectores de la base cannica como e1 = (1, 0, , 0), e2
= (0, 1, 0, , 0), , en = (0, 0, , 1). En estecaso, dim
n= n. Si el espacio considerado es 3, en las aplicaciones fsicas
los vectores de la base cannica sedenotan pori ,j ,k,
respectivamente.3. A ={(2, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de V ={(x,
y, z) 3: x +2y =0}. Luego, dim
V =2.4. C ={1, x, x2, , xn} es la base cannica de n[x]. Luego,
dim
n[x] =n +1.5. C =__1 00 0_,_0 10 0_,_0 01 0_,_0 00 1__es la base
cannica de M22(). Por lo tanto, dim
M22() =4.6. Para las matrices reales de orden m n se tiene que
dim
Mmn() =m n.7. Si es un cuerpo, entonces, mirando este cuerpo
como espacio vectorial sobre si mismo se tiene dim
=1.8. Mirando ncomo un espacio vectorial sobre , se tiene que
dim
n=n.9. Mirando ncomo un espacio vectorial sobre , se tiene que
dim
n=2n.MAT022 (Complemento) 6Universidad Tcnica Federico Santa
MaraDepartamento de Matemtica2.1.3 Ejercicios1. Determine una base
y la dimensin de cada uno de los siguientes subespacios:(a) A ={(x,
y, z) 3: x y =0, z 2x =0} 3(b) B ={(2x, x, x +2y, y ) 4: x, y }
4(c) C ={(x, y, z, t ) 4: x +3t =0} 42. Determine la dimensin de B
Cdel ejercicio anterior. Encuentre, si es posible, una base.Teorema
2.3. W V = dimW dimVTeorema 2.4 (completacin de una base). Sea Vun
espacio vectorial sobre , con dim
V =n.Sea W Vcon dim
W =m.Sea B ={u1, u2, , um} una base del subespacio W.Entonces,
existen vectores um+1, um+2, , unVde manera que ; B {um+1, um+2, ,
un} es una base de V.2.1.4 Ejercicios1. Sea A ={(1, 2, 3), (2, 1,
1)}. Verique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener
una base de 3.2. Sea A ={1, 1+x, x2+x3}. Verique que A es l.i. y
complete este conjunto para obtener una base de 3[x].3. Sea A =__1
12 0_,_0 13 4_,_1 01 1__. Verique que A es l.i. y complete este
conjunto para obtener unabase de M(, 22).Corolario 2.2. Sea Vun
espacio vectorial, dim
V =n. Si B V, B ={u1, , un} es un conjunto l.i., entonces B es
una basede V.Observacin 2.1. El resultado anterior es til si se
conoce la dimensin de un espacio vectorial V. En este caso,
paraprobar que un conjunto es base de V, basta probar que el
conjunto es l.i.2.1.5 Ejercicios1. Determine si los siguientes son
base de 4. Si no lo son, vea si es posible extraer una base de 4en
cada caso.(a) A ={(0, 1, 1, 0), (1, 0, 2, 1), (1, 3, 0, 0), (2, 2,
0, 1)}(b) B ={(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0,
0)}2. Determine si los siguientes son base de 2[x]. Si no lo son,
vea si es posible extraer una base de 4en cada caso.(a) C ={1, 1+x,
1+x +x2}(b) D ={x +x2, 1+x, 1+x2}MAT022 (Complemento) 7Universidad
Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de MatemticaTeorema 2.5. Sea
B ={u1, , un} V. Entonces, B es una base de Vsi todo vector de
Vpuede ser escrito de manera nicacomo una combinacin lineal de los
vectores u1, , un.Observacin 2.2. Este teorema dice que dado un
vector cualquiera en un espacio vectorial Vcon una base dada B,
loscoecientes del vector con respecto a esa base B son nicos, vale
decir, siv V, ! i, i =1, , n :v =1 u1 +2 u2 + +n unEsto permite
denir las coordenadas de vcon respecto a la base ordenada B, usando
los coecientes ique acompaana los vectores ui. La matriz
columna______12...n______se llama matriz de coordenadas de v con
respecto a la base B. Usaremos lanotacin [v]B.2.1.6 Ejemplos1. En
3, considere la base ordenadaB= {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (0, 2, 0)} y
la base cannica de 3, es decir, C= {e1 =(1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0),
e3 = (0, 0, 1)}. Determine la matriz de coordenadas del vector (2,
8, 6) con respecto a ambasbases, es decir, encuentre [(2, 8, 6)]B y
[(2, 8, 6)]C.Como (2, 8, 6) =1 (1, 2, 3) +3 (1, 0, 1) 5 (0, 2, 0),
se tiene que[(2, 8, 6)]B =___135___Como (2, 8, 6) =2 (1, 0, 0) +8
(0, 0, 1) 6 (0, 0, 1), se tiene que[(2, 8, 6)]C =___286___2. En
2[x], considere la base ordenada B = {1, x +1, x2+1} y la base
cannica ordenada de 2[x], es decir C={1, x, x2}.Determine la matriz
de coordenadas del polinomio p(x) =2x +3x2con respecto a ambas
bases.Tenemos quep(x) = 2x +3x2= 1(1) +2(x +1) +3(x2+1)= (1 +2 +3)
1+2 x 3 x2luego,1 +2 +3= 22= 13= 3Resolviendo, obtenemos que[p(x)]B
=___613___ [p(x)]C =___213___MAT022 (Complemento) 8Coordinacin de
Matemtica II (MAT022)Primer semestre de 2011Semana 8: Lunes 02
viernes 06 de MayoCOMPLEMENTO Clase 1: Valores y vectores propios
de una matriz. Espacio propio asociado. Clase 2:
Diagonalizacin.ContenidosCLASE 11.1 Valores y vectores propios de
una matriz. Espacio propio asociado.Hasta ahora la mayora de
nuestros clculos los hemos motivado o llevado a sistemas de
ecuaciones algebraicos, daremosuna motivacin algo distinta para lo
que sigue. Muchas aplicaciones estn relacionadas con ecuaciones
diferenciales(esto se ver con mayor detencin en MAT023), como por
ejemplo:du1dt= 7u14u2du2dt= 5u12u2Estas dos ecuaciones nos dicen la
forma en la cual estn relacionadas las variaciones de las funciones
u1 y u2.Estas ecuaciones pueden ser escritas en la forma
matricial_u
1u
2_=_7 45 2__u1u2_o de manera equivalenteu
=Audondeu
=_u
1u
2_, A =_7 45 2_y u=_u1u2_Universidad Tcnica Federico Santa
MaraDepartamento de MatemticaLas soluciones de la ecuacin u
=utienen la forma u=et. As, podemos intentar buscar soluciones
de laecuacin anterior de la formau1= 1etu2= 2etNotemos que en
principio podran no haber tal tipo de soluciones.Si estas fuesen
soluciones, entonces (derivando y sustituyendo) obtendramos el
sistema1et= 71et42et2et= 51et22etDe lo anterior, obtenemos el
sistema_7 45 2__12_=_12_En resumen, podemos construir soluciones
paradu1dt= 7u14u2du2dt= 5u12u2en la formau1= 1etu2= 2etsiempre y
cuando podamos encontrar y x =_12_que cumplanAx =xClaramente x =0
satisface esta igualdad (para cualquier eleccin de ), pero no nos
entrega informacin til sobre lasolucin del sistema. Lo que
realmente necesitamos son escalares y vectores x =0 que cumplan Ax
=x.La ecuacin Ax =x la podemos reescribir en la forma(A I ) x
=0esto es, el sistema de ecuaciones homogneo tiene soluciones no
nulas, se sigue que los escalares interesantes son aquel-los para
los cuales det (A I ) =0. Estas observaciones motivan las
siguientes deniciones.Denicin 1.1. Si A es una matriz de orden n
n.1. Un escalar se llama un valor propio de A si existe un vecttor
x =0 (de orden n 1) tal que Ax =x.2. El conjunto de todos los
valores propios de la matriz A es denotado por (A) y es llamado el
espectro de A.3. Sea (A). Un vector x(de orden n 1) tal que Ax= xes
llamado un vector propio de A asociado al valorpropio .MAT022
(Complemento) 2Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento
de MatemticaProposicin 1.1. Si es un valor propio de la matriz A de
orden n n entonces W ={x : Ax =x} es un espacio vectorial(de quien
es subespacio) al que llamaremos espacio propio asociado a
.Ejercicio 1.1. Sea A una matriz real de tamao n n y sea (A).1.
Vericar, con ejemplos, que puede ser un nmero complejo no real.2.
Sea (A). Vericar que el conjunto de vectores propios de Aasociados
al valor propio es un subespaciovectorial del espacio de matrices
complejas de tamao n 1.3. Sea (A). Vericar que el conjunto de
vectores propios de A asociados al valor propio que tienen todos
suscoecientes reales es un subespacio vectorial del espacio de
matrices reales de tamao n 1.4. Sea (A). Buscar ejemplos donde el
espacio de vectores propios asociados a con entradas reales es
diferentedel espacio de vectores propios asociados a . Cundo
podemos asegurar igualdad?Observacin 1.1. (A) A Ies singulardet(A I
) =0Para encontrar los valores propios de una matriz Adebemos
buscar aquellos escalares tales que det(A I ) = 0.Note que det(A I
) es un polinomio en al que llamaremos polinomio caracterstico de
la matriz A y lo denotaremospor PA ().Si PA () es el polinomio
caracterstico de la matriz A entonces PA () = 0 es llamada la
ecuacin caracterstica de lamatriz A.Ejemplo 1.1. Encontrar los
valores propios deA =_7 45 2_Desarrollo: Calculamosdet (A I )
=____7 45 2____=25+6luego los valores propios son las soluciones de
la ecuacin25+6 =0es decir 3 y 2 se sigue (A) ={2, 3} en este
caso.Observacin 1.2. Si A es de orden n n entonces el polinomio
carcterstico tiene grado n, por lo tanto tiene n posiblesvalores
complejos que satisfacen la ecuacin (contando multiplicidades). En
particular, hay a lo ms nvalores propiosreales de A.Si hemos
encontrado un valor propio podemos buscar los vectores propios
asociados a este de la siguiente forma.En el ejemplo anterior
tomemos = 2.Entonces, para buscar los vectores propios asociados al
valor propio 2, debemosresolver el sistema lineal siguiente y
buscar las soluciones diferentes del trivial_7 45
2__xy_=2_xy_MAT022 (Complemento) 3Universidad Tcnica Federico Santa
MaraDepartamento de MatemticaSe tiene que_xy_es solucin del sistema
homogneo_5 45 4__xy_=_00_tiene innitas soluciones de la
forma_45tt_con t es decir el conjunto de las soluciones lo podemos
representarcomo__451__2.Denicin 1.2. Sea A una matriz y (A).
Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propio a la
multiplicidadde como raz del polinomio caracterstico y llamaremos
multiplicidad geomtrica a la dimensin de Wes espaciopropio
asociado.Proposicin 1.2. Sea A una matriz:1. La suma de los valores
propios de A(contando multiplicidad algebraica) es igual a la traza
de A.2. El producto de los valores propios de A (contando
multiplicidad algebraica) es igual al determinante de A.3. Los
valores propios de una matriz triangular son los elementos de su
diagonal principal.1.1.1 Ejercicios propuestos1. Considere una
matrizA =_a bc d_encontrar su polinomio caracterstico y expresar
sus coecientes en trminos de traza y determinante.2. Para las
siguientes matricesA =_0 11 0_, B =___3 1 320 3 102 2 4___ y C
=___0 0 10 2 03 0 0___determinar los polinomios caractersticos,
valores propios, espacios propios asociados y las multiplicidades
corre-spondientes.CLASE 22.1 DiagonalizacinNotemos que si P es una
matriz no singular de orden n n y A es una matriz del mismo orden,
entoncesdet_P1AP I_= det_P1AP P1I P_= det_P1(A I ) P_= det_P1_det
(A I ) det (P)= det (A I )MAT022 (Complemento) 4Universidad Tcnica
Federico Santa MaraDepartamento de MatemticaDe lo anterior se
observa que B =P1AP y A tienen el mismo polinomio caracterstico.La
idea sera considerar una matriz Padecuada de tal forma que
P1APfuera lo ms sencilla posible para poderencontrar el polinomio
carcaterstico. Este clculo motiva la siguiente denicin.Denicin 2.1.
Dos matrices A y B de orden n n se dice similares si existe una
matriz no singular P tal que P1AP = B.El problema fundamental es el
siguiente. Dada una matriz cuadrada A, reducir esta a su forma ms
simple a travsde una transformacin por similaridad P1AP. Las
matrices ms fciles de calcular su polinomio caracterstico son
lasmatrices diagonales.Denicin 2.2. Diremos que una matriz A de
orden n n es diagonalizable si existe una matriz P del mismo orden
y nosingular tal que P1AP =D, donde D es una matriz diagonal.Es
vlido preguntar Es toda matriz diagonalizable? la respuesta es no,
por ejemplo si consideramos la matrizA =_0 10 0_Notemos que A2=
[0]22. Si existierauna matriz P no singular tal que P1AP =D con D
diagonal, entoncesD2=_P1AP__P1AP_=P1A2P= P1[0] P = [0]Como D es
diagonal, lo anterior obliga a tener que D = [0]. Pero esto ltimo
obligara a tener A = [0], lo que es unacontradiccin.Entonces Cuales
matrices son diagonalizables? Note lo siguienteP1AnnP =D =______10
00 2 0............0 0 n______de dondeAP =PDsi ponemosP =_v1v2
vn_donde vison los vectores columnas de P, entoncesAP =_Av1Av2
Avn_yPD =_1v12v2 nvn_De lo anterior se obtiene que, i= 1, 2, . . .
, n, se cumple Avi= ivi, es decir, P1AnnP = Dimplica que Ptiene
ensus columnas n vectores propios linealmente independientes y D es
la matriz diagonal que tiene por entradas los valorespropios de la
matriz A. La recproca de esta armacin se puede vericar sin
problemas.MAT022 (Complemento) 5Universidad Tcnica Federico Santa
MaraDepartamento de MatemticaTeorema 2.1. Una matriz de tamao n ny
entradas complejas (o reales) es diagonalizable si el espacio de
matrices detamao n 1 y entradas complejas tiene una base de
vectores propios de la matriz. En tal caso podemos obtener una
matrizque diagonaliza a A poniendo los vectores de tal base como
columnas de la matriz P.Ejercicio 2.1. Diagonalizar la matrizA
=___1 4 48 11 88 8 5___El polinomio carcaterstico es (1) (+3)2.
Luego, los valores propios son = 1 (de multiplicidad algebraica 1)
y=3 (de multiplicidad algebraica 2). En particular, tenemos que (A)
={1, 3}.Se puede calcular que,___1211___genera el espacio propio
asociado al valor propio 1 y los
vectores___110___,___101___gen-eran el espacio propio asociado al
valor propio 3, es decir, W=1 =____122____y W=3
=____110___,___101____. Comolos
vectores___122___,___110___,___101___forman una base del espacio de
matrices de tamao 3 1 y enradas complejas, lamatriz A es
diagonalizable y una matriz diagonal similar a A es dada por___1 1
12 1 02 0 1___1___1 4 48 11 88 8 5______1 1 12 1 02 0 1___=___1 0
00 3 00 0 3___Notemos en este ejemplo que la matriz no-singular P
tiene todas sus entradas reales.Todo el problema de la
diagonalizacinse reduce a encontrar una base de vectores propios.
Note que casa valor propiotiene asociado un espacio propio y de
cada uno de esos espacios propios podemos extraer una base, se
tiene el siguienteteorema.Teorema 2.2. Para cada valor propio se
cumple que la multiplicidad geomtrica es menor o igual que la
multiplicidadalgebraicaDe esta forma de cada subespacio podemos
extraer a lo ms tantos vectores como multiplicidad algebraica tenga
elvalor propioTeorema 2.3. Vectores propios correspondientes a
valores propios diferentes son linealmente independientes.Proof.
Sea A una matriz, , (A), donde =. Sean v, wvectores no nulos, tal
que Av =vy Aw =w.Consideremos escalares , de manera que(1) v +w
=0Entonces,(2) 0 =A0 =A(v +w) =v +wDe esta manera, multiplicando
(1) por y restandole (2), se obtiene que( )av =0Como v =0 y =, se
tiene que =0. Ahora, usando (1) y el hecho que w =0, se obtiene que
=0.MAT022 (Complemento) 6Universidad Tcnica Federico Santa
MaraDepartamento de MatemticaLuego el problema de la diagonalizacin
se reduce al siguiente teorema.Teorema 2.4. Una matriz es
diagonalizable si y solo si para todo valor propio la
multiplicidades algebraicas y geomtricascoinciden.Corolario 2.1. Si
todos los valores propios son distintos (es decir, cada uno de
ellos tiene multiplicidad algebraica 1), en-tonces la matriz es
diagonalizable (el recproco no es verdad)Ejercicio 2.2. Determinar
si las siguientes matrices son diagonalizablesA =___1 1 28 11 810
11 7___B =___1 4 48 11 88 8 5___MAT022 (Complemento) 7Coordinacin
de Matemtica II (MAT022)Primer semestre de 2011Semana 9:Lunes 09
viernes 13 de MayoCOMPLEMENTOClase 1: Aplicacin a obtencin de forma
cannica de formas cuadrticas.Clase 2: Secciones cnicas
rotadas.ContenidosCLASE 11.1. Proceso de ortogonalizacin de
Gram-SchmidtTeorema 1.1 (Proceso de ortogonalizacin de
Gram-Schmidt). Si x1, x2, . . . , xmson vectores l.i. en n,
entonces es posibleconstruir vectores ortogonales y1, y2, . . . ,
yn tales que para cada k =1, 2, . . . , m se cumpleG ({x1, x2, . .
. , xk}) =G__y1, y2, . . . , yk__Demostracin. Los vectores yise
construyen siguiendo un anlogo a la contruccin de la proyeccin
ortogonaly1= x1y2= x2_x2, y1___y1__2y1...yk+1= xk+1k
j =1_xk+1, yj___yj__2yjUniversidad Tcnica Federico Santa
MaraDepartamento de MatemticaEjemplo 1.1. Sean x1 = (3, 0, 4) , x2
= (1, 0, 7) y x3 = (2, 9, 11) en 3. Aplicando el proceso de gram
Schmidt se obtienen losvectoresy1= (3, 0, 4)y2= (1, 0, 7) (1, 0, 7)
, (3, 0, 4)(3, 0, 4)2(3, 0, 4)= (4, 0, 3)y3= (2, 9, 11) (2, 9, 11)
, (3, 0, 4)25(3, 0, 4) (2, 9, 11) , (4, 0, 3)25(4, 0, 3)= (0, 9,
0)Obtenemos as un conjunto ortogonal de vectores que generan lo
mismo que el conjunto de losvectores xi.Denicin 1.1. Diremos que
una base B ={u1, u2, . . . , un} de un espacio vectorial Ves una
base ortonormal, si los vecto-res de la base son ortogonales y
tienen norma 1.1.2. Diagonalizacin de materices simtricasEn la
clase anterior estudiamos el problema de la diagonalizacin en
general, ahora estudiaremos el caso particularen que la matriz es
real y simtrica.Proposicin 1.1. Sea A una matriz real y simtrica
entonces1. A tiene todos sus valores propios reales.2. Si i = ison
valores propios de A, los elementos de Wison perpendiculares (con
respecto al producto punto) a loselementos de Wj(esto se escribe Wi
Wj).Demostracin. Supongamos que (A) y x =0 es un vector propio
asociado entoncesAx =x.Denotemos, por abuso de lenguaje, como x al
vector columna cuya coordenada (i , 1) es xi.Ahora, usando esta
notacin, tenemos que_Ax_Tx =_x_Tx =n
i =1xixi =n
i =1|xi|2y tambin tenemos que_Ax_Tx =_xTAT_x= (x)TATx= (x)TAx=
n
i =1|xi|2.De las dos igualdades anteriores obtenemos__n
i =1|xi|2=0.MAT022 (Complemento) 2Universidad Tcnica Federico
Santa MaraDepartamento de MatemticaComo x =se sigue =, de donde se
obtiene que como queramos.Para la segunda parte notar que si Ax =ix
y Ay =jyentoncesi_x, y_=_ix, y_=_Ax, y_=_x, ATy_=_x, Ay_=_x, jy_=
j_x, y_de donde se obtiene que_i j__x, y_=0 _x, y_=0.Teorema 1.2.
Sea A una matriz simtrica. Entonces:1. A es diagonalizable.2.
Existe una base ortonormal de vectores propios asociados a A.3. La
diagonalizacin puede ser llevada a cabo en la formaVAVT=Ddonde Ves
una matriz ortonormal, es decir VT=V1y sus columnas son los
vectores propios ortonormales y D es lamatriz diagonal que tiene
los valores propios en su diagonal principal.Idea de la
demostracin. Para ver la diagonalizacin, uno slo debe observar que
si B es matriz simtrica y E es una matrizelemental la, entonces la
matriz E BETsigue siendo una matriz simtrica.Ahora, obtenida la
diagonalizacin, sabemos que existe una base de vectores propios de
A (con la cual podemos cosn-truir una matriz invertible Ptal que
PAP1= D, donde Des una matriz diagonal formada por los valores
propios deA).Usando el proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt y
la Proposicin 1.1, podemos asumir que tal base es unabase
ortonormal. Usando esta base, tenemos que la matriz P es la matriz
Vbuscada.Una consecuencia directa del resultado anterior es la
siguiente observacin.Proposicin 1.2. A es una matriz real simtrica
si y solo si existe una matriz ortonormal Vy una matriz diagonal D
tal queA =VDVTEjercicio 1.1. SeaA =___0 1 11 0 11 1 0___1.
Determine los valores propios y espacios propios asociados.2.
Vericar que para valores propios distintos iy jse cumple Wi Wj3.
Determine una base ortonormal de vectores propios4. Encontrar una
matriz ortonormal Vtal que VTAV =DMAT022 (Complemento) 3Universidad
Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de Matemtica1.3. Formas
cuadrticas.Al igual como lo hemos hecho anteriormente, escribiremos
los vectores de ncomo matrices columnas (por comodi-dad para
multiplicarlos con las matrices).Six = (x1, x2, . . . , xn) n,
entonces denotamos x =______x1x2...xn______Denicin 1.2. Sea A una
matriz real de orden n n. La funcinFA : n: FA_x_=xTAx es llamada
una forma cuadrtica en las variables (x1, x2, . . . , xn).Denicin
1.3 (clasicacin de formas cuadrticas). Sea Auna matriz real de
orden n ny FA_x_ = xTAxsu formacuadrtica asociada.1. La forma
cuadrtica FA es denida positiva si: x n{0 } =F_x_>0.2. La forma
cuadrtica FA es denida negativa si: x n{0 } =F_x_
M1d, llegamos a una contradiccin.Similarmente,x2n+1 =a2n+1=a
(1+d)na (1+nd) ,de donde podemos ver que no puede existir m tal
quem xnpara todo n . La razn es similar al caso anterior (tarea).2.
Si a >1, entonces a =1+dcon d>0. Luego, xn =an= (1+d)n1+nd,
de donde podemos ver que (xn) no puedeestar acotada superiormente.
Note que esta acotada inferiormente por 1.3. Si a [1, 1], entonces
xn =anesta acotada. En efecto, |xn| =|a|n1n=1 luego xn [1, 1] para
todo n .Ejercicio 1.1. Vericar que la sucesin_sin_n2+2__n es una
sucesin acotada.Denicin 1.4. Una sucesin (xn) se dice:1.
Estrictamente creciente si para cada n se cumple xn xn+1.4.
Decreciente si para cada n se cumple xn xn+1.5. Montona si cumple
con alguna de las anteriores (en ocasiones se habla de monotona
estricta si es estrictamentecreciente o estrictamente
decreciente)MAT022 (Complemento) 5Universidad Tcnica Federico Santa
MaraDepartamento de MatemticaEjemplo 1.9 (Series de trminos
positivos). Suponga que {xn} es una sucesin de trminos positivos,
es decir, xn 0 paratodo n. Denamosan =n
k=1xk.Entonces {an} es una sucesin creciente. En efecto, para
cada n se cumplean+1an =n+1
k=1xk n
k=1xk =xn+10,de donde obtenemos quean+1an.Algunos ejemplos de
esto son las siguientes sucesionesan =1+11! +12! + +1n!an =1+12 +13
+ +1nan =1+122 +132 + +1n2Ejercicio 1.2. {sin(n)}n no es una
sucesin montona.Ejercicio 1.3. _(1)n_n no es una sucesin
montona.Ejemplo 1.10. (1, 2, 3, 4, . . . ) es una sucesin
estrictamente creciente.Ejemplo 1.11. (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4,
4, 5, . . . ) es una sucesin creciente.Denicin 1.5. Considere una
sucesin (xn) = (x1, x2, x3, . . . ). Una subsucesin de (xn) es una
nueva sucesin que seforma considerando algunos n digamos n1, n2,
n3. . .que cumplen n1
