Apuntes. Adolfo Sepulveda

Universidad Mayor

Facultad de Ingeniera

Mecanica para Ingeniera I

Adolfo Sepulveda San Martn

Revisado por:

Valeria Boccardo Salvo

2014

Chapter 1

Vectores

1.1 Vectores

En matematica, un vector es una herramienta geometrica utilizada pararepresentar una magnitud fsica de la cual depende unicamente un moduloy una direccion para quedar completamente definido. En fsica ademas, senecesita de una unidad de medida como N.Los vectores se pueden representar geometricamente como segmentos derecta dirigidos o flechas en planos R2 o R3. Es decir, bidimensional o tridi-mensional.

1.1.1 Magnitudes escalares:

Son todas aquellas magnitudes fsicas, fundamentales o derivadas, quequedan completamente definidas con numeros y una unidad de medida.

Ejemplo:Masa, tiempo, superficie, temperatura, entre otras.

1.1.2 Magnitudes vectoriales:

Son todas aquellas magnitudes fsicas, fundamentales o derivadas, quepara quedar completamente definidas necesitan de una magnitud, de unadireccion y sentido, como tambien de una unidad de medida.

Ejemplo:Desplazamiento, velocidad, aceleracion, fuerza, momentum, entre otras.

CHAPTER 1. VECTORES 2

1.1.3 Caractersticas de los vectores:

1. Origen: Punto donde nace el vector.

2. Magnitud o Modulo: Corresponde al tamano del vector, y se denota|~v|.

3. Direccion: Lnea recta en la cual el vector esta contenido (Lnea deaccion).

4. Sentido: Es el indicado por la punta de la flecha.

|~v|

o

Figure 1.1: Representacion grafica de un vector.

1.1.4 Vectores libres:

Se llama vector libre a aquel que no pasa por un punto determinado en elespacio.

1.1.5 Vectores fijos:

Se llama vector fijo a aquel que pasa por un punto determinado en el espacio.

1.2 Suma de vectores

Dentro del estudio de vectores es importante conocer las operacionesmatematicas basicas como lo son la adicion y sustraccion de vectores. Acontinuacion se detallan los diferentes metodos que se utilizan en la res-olucion de problemas.

1.2.1 Metodo del polgono:

Consiste en dibujar el primer vector a sumar, luego en el extremo de estese dibuja el origen del segundo vector a sumar, y as sucesivamente hastadibujar el ultimo vector a sumar. La resultante se obtiene trazando un


vector que va desde el origen del primer vector, hasta el extremo del ultimo.

Ejemplo 1.1: Dados los vectores: ~a,~b y ~c:

~a

~b

~c

Trazar las siguientes resultantes:

~R1 = ~a+~b+ ~c

~R2 = ~b+ ~c+ ~a

Solucion:

~R1 = ~a+~b+ ~c

~a

~b

~c

~R1

~R2 = ~b+ ~c+ ~a

~a

~b

~c

~R2

Al observar el ejemplo anterior, podemos concluir que la suma de vectorescumple ciertas propiedades.


1.2.2 Propiedades para la suma de vectores:

1. Asociativa: ~a, ~b y ~c vectores, se cumple: (~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c).2. Elemento neutro: ~a, ! ~0 / ~a+~0 = ~0 + ~a = ~a.3. Conmutatividad: ~a, ~b vectores, se cumple: ~a+~b = ~b+ ~a.4. Elemento opuesto: ~a, ! ( ~a) / ~a + ( ~a) = ( ~a) + ~a = 0. Donde

( ~a) es el vector opuesto del vector ~a, teniendo igual magnitud ydireccion pero sentido contrario.

1.2.3 Metodo del paralelogramo:

Se utiliza para sumar vectores, y consiste en dibujar ambos vectores con unorigen en comun. Luego en cada uno de los extremos se dibujan las paralelasa dichos vectores. La resultante se obtiene trazando un vector que va desdeel origen comun hasta el punto donde se intersectan las paralelas.Si:

~F1

~F2

Entonces: ~R = ~F1 + ~F2, es:

~F1

~F2~R

1.2.4 Resta de vectores:

Sean ~a y ~b dos vectores. La resta ~a~b queda definida por: ~a~b = ~a+ ( ~b).

Dado los vectores:


~F1

~F2

( ~F2)

Entonces: ~R = ~F1 ~F2 = ~F1 + ( ~F2), es:

~F1

( ~F2)~R

Nota: Se obtiene la misma resultante ~R si se utiliza el metodo del paralelo-gramo.

1.3 Vectores en el plano

Todo punto (x0, y0) del plano cartesiano representa un vector que tiene pororigen, el origen del sistema de referencia y por extremo el punto de coor-denadas (x0, y0).

y

x

(x0; y0)

xo

yo

Figure 1.2: Vector en el plano.


1.3.1 Componentes cartesianas o rectangulares de un vectoren el plano:

Todo vector puede ser expresado como:

~V = ~Vx + ~Vy

Donde la direccion del vector ~V es:

= arctan

(|~Vy||~Vx|

)Ademas, se cumple que:

~Vx = |~V | cos~Vy = |~V |sen

Por cuanto, la magnitud del vector ~V viene dada por:

|~V | =V 2x + V

2y

Es importante conocer la direccion de cada vector segun el cuadrante delplano en el que este se encuentre. As:

Primer cuadrante:Direccion :

y

x

~V

Segundo cuadrante:Direccion : = 180o

y

x

~V


Tercer cuadrante:Direccion : = 180o +

y

x

~V

Cuarto cuadrante:Direccion : = 360o

y

x

~V

En todos los casos:

= arctan

(|~Vy||~Vx|

)

1.4 Sistema de vectores en el plano

Si ~V1, ~V2, ... , ~Vn son vectores del plano. Entonces la resultante ~R del sistemade vectores es:

~R = ~Rx + ~Ry


La magnitud de la resultante ~R es:

|~R| =~R2x + ~R

2y

La direccion de la resultante ~R es:

= arctan

(|~Ry||~Rx|

)Donde:

~Ry = ~R1y + ~R2y + ...+ ~Rny~Rx = ~R1x + ~R2x + ...+ ~Rnx

1.5 Vector unitario

Todo vector del plano tiene asociado a el un vector unitario que indica ladireccion del vector, el cual queda definido por:

V =~V

|~V | =~Vx + ~Vy

|~V | =~Vx

|~V | +~Vy

|~V |Los ejes coordenados x y y tambien tienen sus respectivos vectores unitarios:

Vector unitario eje x: = (1, 0)Vector unitario eje y: = (0, 1)

De esa forma, utilizando los vectores unitarios de los ejes coordenados, elvector ~V puede ser representado como:

~V = Vx+ Vy

Nota: La magnitud de cualquier vector unitario es |V | = 1


1.6 Vectores en el espacio (3D)

z

x

y

Vzk

Vy

Vx

~V

Figure 1.3: Representacion grafica de un vector en 3D.

1.6.1 Cosenos directores:

Observando la figura anterior 1.3 se pueden determinar los angulos , y utilizando la identidad trigonometrica coseno, considerando las siguientesrelaciones:

cos =Vx

|~V |

cos =Vy

|~V |

cos =Vz

|~V | k

Ademas, sabemos que el vector ~V se puede representar como:

~V = Vx+ Vy + Vzk

Donde:|~V | =

V 2x + V

2y + V

2z

1.7 Multiplicacion de vectores

A diferencia de la multiplicacion convencional que utilizamos como operadormatematico, en vectores, existen dos diferentes tipos de multiplicacion cuyasdefiniciones matematicas y caractersticas se presentan a continuacion.


1.7.1 Producto punto o producto escalar:

Es una multiplicacion entre dos vectores, cuyo resultado es un escalar.

Si los vectores son:

~a = ~ax + ~ay + ~az

~b = ~bx +~by +~bz

El producto punto entre los vectores ~a y ~b, se define por:

~a ~b = |~a||~b| cos

Donde es el angulo formado entre ~a y ~b.

Si ~a ~b, entonces ~a ~b = 0; puesto que = 90o y cos 90o = 0, = 270o ycos 270o = 0.

Por otra parte:

~a ~b = (~ax + ~ay + ~az) (~bx +~by +~bz)

multiplicando termino a termino, se obtiene:

~a ~b = axbx + ayby + azbz

1.7.2 Producto cruz o producto vectorial:

Es una multiplicacion entre dos vectores, cuyo resultado es un vector. Si losvectores son ~a y ~b, el producto cruz entre ambos vectores se denota: ~a~b ysu modulo se define por:

|~a~b| = |~a||~b|sen

donde es el angulo que existe entre ~a y ~b.

La direccion de ~a ~b es perpendicular al plano formado entre ~a y ~b. Susentido se determina por la regla de la mano derecha o regla del tornillo.


~a~b

~a

~b

Figure 1.4: Representacion producto cruz.

Ademas, si los vectores son:

~a = ~ax + ~ay + ~az

~b = ~bx +~by +~bz

El producto ~a~b queda determinado por:

~a~b = kax ay azbx by bz

Al calcular la matriz por determinantes, obtenemos:

~a~b = (aybz azby ) (axbz azbx)+ (axby aybx)k


1.8 Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1.1 Dado los vectores

~A = + 3+ 7k~B = 8 7+ 6k~C = 7+ + 10k

Determine:

1. Vector resultante: ~R = ~A+ ~B ~C2. Magnitud del vector resultante |~R|3. Producto escalar ~B ~C4. Producto vectorial ~A ~C

Solucion:

Para poder obtener el vector resultante ~R se deben considerar laspropiedades descritas en la seccion 1.2.2 de la suma de vectores. Entonces,tenemos que:

~R = (+ 3+ 7k) + (8 7+ 6k) (7+ + 10k)~R = (1 8 7)+ (3 7 1)+ (7 + 6 10)k

~R = 16 5+ 3k (1.1)

La magnitud del vector resultante ~R, viene dada por:

|~R| =

(16)2 + (5)2 + (3)2|~R| =

290 (1.2)

Considerando la definicion de producto punto descrita en la Seccion 1.7.1,se obtiene:

~B ~C = (8 7+ 6k) (7+ + 10k)~B ~C = (8 7) + (7 1) + (6 10)k k

~B ~C = 56 7 + 60~B ~C = 3 (1.3)

Para determinar el producto vectorial ~A ~C es necesario formar una matrizde la forma:

~A ~C = k1 3 7

7 1 10


Al desarrollar la matriz por determinantes, se obtiene:

~A ~C = (3 10 7 1) (1 10 7 7)+ (1 1 3 7)k~A ~C = 23+ 59 22k (1.4)

Ejercicio 1.2 Encuentre dos vectores unitarios que sean perpendicularesa los vectores:

~r1 = 2 3~r2 = + 4 5k

Solucion:

Dado los vectores

~r1 = 2 3 y ~r2 = + 4 5kSe necesita encontrar un vector:

~V = a+ b+ ck (1.5)

que tenga una longitud unitaria (|~V | = 1) y que sea perpendicular a losvectores ~r1 y ~r2. Para ello, se debe cumplir:

~V ~r1 = 0(a+ b+ ck) (2 3) = 0

2a 3b = 0a =

3

2b (1.6)

~V ~r2 = 0(a+ b+ ck) (+ 4 5k) = 0

a+ 4b 5c = 0 (1.7)Reemplazando (1.6) en (1.7):

32b+ 4b 5c = 0

Tenemos que:

a = 3c (1.8)

b = 2c (1.9)


Luego, reemplazando (1.8) y (1.9) en (1.5):

~V = 3c+ 2c+ ck (1.10)

Ahora, imponiendo la condicion que ~V esta normalizado a la unidad nos dala ecuacion:

|~V | = 1(3c)2 + (2c)2 + (c)2 = 1

9c2 + 4c2 + c2 = 1

c = 114

(1.11)

Por tanto, los vectores unitarios son:

~V = 114

(3+ 2+ k) (1.12)

Ejercicio 1.3 Dada la siguiente figura. Determine la fuerza resultante~R = ~F1 + ~F2 + ~F3, su magnitud y direccion.

y

x

|~F2| = 150N

|~F1| = 220N

|~F3| = 30N72

67

8

Solucion:

Observando la figura anterior, podemos escribir cada vector fuerza en susrespectivas coordenadas cartesianas.


Entonces:

~F1 = |~F1| cos 67o |~F1|sen67o N~F1 = 220 cos 67

o 220sen67o N~F1 = 85, 96 202, 51 N (1.13)

~F2 = |~F2| cos 72o+ |~F2|sen72o N~F2 = 150 cos 72

o+ 150sen72o N

~F2 = 46, 35+ 142, 66 N (1.14)

~F3 = |~F3| cos 8o+ |~F3|sen8o N~F1 = 30 cos 8o+ 30sen8o N

~F3 = 29, 71+ 4, 18 N (1.15)

Entonces, sumando los vectores (1.13), (1.14) y (1.15):

~R = 102, 60 55, 67 N (1.16)

Luego, la magnitud de (1.16) viene dada por:

|~R| =

(102, 60)2 + (55, 67)2 N|~R| = 116, 73 N (1.17)

Observando la expresion (1.16), se puede concluir que el vector ~R se en-cuentra en el IV cuadrante del plano cartesiano. As, la direccion del vectorviene dada por = 360o . Donde:

= arctan

(55, 67

102, 60

) = 28, 5o (1.18)

Por tanto, la direccion es:

= 331, 5o (1.19)

Ejercicio 1.4 Dada la siguiente figura. Calcule las componentes rectangu-rales de las fuerzas ~P y ~F , la magnitud de la fuerza resultante ~FR = ~P + ~Fy su angulo director respecto al eje z.


z

yx

|~F | = 105 N|~P | = 70 N

3842

47

37

~Pz

~Fz

Solucion:

Si observamos la figura anterior, es conveniente descomponer graficamentecada vector fuerza de modo de simplificar el ejercicio.

z

yx

|~F | = 105 N|~P | = 70 N

3842

47

37

~Fy

~Fx

~Fxy

~Px~Py

~Pxy

~Pz

~Fz

Luego, trabajando matematicamente el vector fuerza P:


cos 42o =|~Pz||~P |

|~Pz| = |~P | cos 42o N|~Pz| = 70 cos 42o N|~Pz| = 52, 02 N (1.20)

sen42o =|~Pxy||~P |

|~Pxy| = |~P |sen42o N|~Pxy| = 70sen42o N|~Pxy| = 46, 84 N (1.21)

cos 37o =|~Px||~Pxy|

|~Px| = |~Pxy| cos 37o N|~Px| = 46, 84 cos 37o N

|~Px| = 37, 41 N (1.22)

sen37o =|~Py||~Pxy|

|~Py| = |~Pxy|sen37o N|~Py| = 46, 84sen37o N

|~Py| = 28, 90 N (1.23)

As, el vector fuerza ~P escrito en sus coordenadas cartesianas es:

~P = 37, 41 28, 90+ 52, 02k N (1.24)

Analisis similar se realiza para el vector fuerza ~F :

cos 38o =|~Fz||~F |

|~Fz| = |~F | cos 38o N|~Fz| = 105 cos 38o N

|~Fz| = 82, 74 N (1.25)


sen38o =|~Fxy||~F |

|~Fxy| = |~F |sen38o N|~Fxy| = 105sen38o N|~Fxy| = 64, 64 N (1.26)

cos 47o =|~Fy||~Fxy|

|~Fy| = |~Fxy| cos 47o N|~Fy| = 64, 64 cos 47o N

|~Fy| = 44, 08 N (1.27)

sen47o =|~Fx||~Fxy|

|~Fx| = |~Fxy|sen47o N|~Fx| = 64, 64sen47o N

|~Fx| = 47, 27 N (1.28)

As, el vector fuerza ~F escrito en sus coordenadas cartesianas es:

~F = 47, 27+ 44, 08+ 82, 74k N (1.29)

Luego, el vector resultante ~FR es producto de la suma de las componentesde (1.24) y (1.29):

~FR = 84, 68+ 15, 18+ 134, 76k N (1.30)

Su magnitud viene dada por:

|~FR| =

(84, 68)2 + (15, 18)2 + (134, 76)2 N

|~FR| = 159, 88 N (1.31)

Y su angulo director respecto al eje z es:

z = arccos

(134, 76

159, 88

)z = 32, 55

o (1.32)


1.9 Ejercicios Propuestos

Ejercicio 1.1 Si los vectores

~F1 = 2 3~F2 = + a 5k

son perpendiculares entre s. Determine el valor de a para que se cumplaesta condicion.

Respuesta:a = 23

Ejercicio 1.2 Segun la siguiente figura. Determine el producto punto ~F1 ~F2

6 m

4 m

3 m4 m

z

y

x

|~F1| = 600 N

|~F2| = 950 N

Respuesta:~F1 ~F2 = 494.510, 85 N2

Ejercicio 1.3 Un tramo de muro de hormigon premoldeado se halla pro-visoriamente sujeto por cables como se ilustra en la figura. Sabiendo que latension en el cable AB es de 4200 N y de 6000 N en el cable AC. Hallar elmodulo y la direccion de las fuerzas resultantes que ejercen los cables AB yAC sobre la estaca en el punto A.


Respuesta:|~R| = 8.248, 64 N

x = 102, 6o

y = 150, 8o

z = 64, 1o

Chapter 2

Fuerza

2.1 Fuerza

En fsica, fuerza es una magnitud vectorial que puede definirse como untiron o un empujon que tiende a causar un movimiento en un cuerpo. Launidad de medida de fuerza en el Sistema Internacional de Unidades es elnewton, la cual se representa con el smbolo N

En general, las fuerzas se pueden clasificar en dos tipos: las fuerzas de acciona distancia y las fuerzas de contacto.

2.2 Fuerzas de accion a distancia

Las fuerzas de accion a distancia son aquellas fuerzas ejercidas por loscuerpos a distancia. Se les conoce como campos de fuerza, entre los cualesdestaca la fuerza gravitacional, fuerza Electromagnetica, entre otras.

Si consideramos la fuerza gravitacional que ejerce la tierra sobre cualquierobjeto que este cerca de su superficie, la fuerza estara dirigida verticalmentehacia abajo segun un plano cartesiano convencional:

~F = Gm1 mTr2

r = m1~g (2.1)

~g = GmTr2

(2.2)

donde:

G : Constante de gravitacion universal = 6,6741011N m2kg2

mT : Masa de la tierra en kgm1 : Masa de un objeto cualquiera cercano a la superficie de la tierra en kgr : Distancia entre el centro de la tierra y el centro del objeto en m~g : Aceleracion de gravedad = 9,80 m

s2

CHAPTER 2. FUERZA 22

2.2.1 Peso:

El peso de un cuerpo en la tierra es la fuerza de gravedad ejercida so-bre el por la tierra. Como todas las fuerzas, el peso es una cantidad vectorial.

Es importante senalar que la direccion de este vector es la direccion de lafuerza gravitacional, es decir, la direccion del vector peso es perpendicular ala superficie de la tierra. La magnitud del vector peso sera igual al productoentre la masa del cuerpo y la magnitud del vector aceleracion de gravedad:| ~W | = m|~g|.

~W = m~g

Figure 2.1: Representacion vector peso.

2.3 Fuerzas de contacto

Las fuerzas de contacto son aquellas ejercidas recprocamente cuando doscuerpos se encuentran en contacto. Si se descompone la fuerza de contactoen su parte paralela y en su parte normal a la superficie en contacto, estascomponentes se denominan fuerza de roce ~fR y fuerza normal ~N .

2.3.1 Fuerza normal:

La fuerza normal se define como aquella fuerza que ejerce una superficiesobre un cuerpo que se encuentra apoyado sobre esta. Dicha fuerza es deigual magnitud y direccion, pero de sentido contrario a la fuerza que ejerceel cuerpo sobre la superficie.

Es importante senalar que la direccion de la fuerza normal siempre esperpendicular a la superficie de contacto.


~W = m~g

~N

Figure 2.2: Representacion vector Fuerza Normal.

2.3.2 Fuerza de roce estatica:

Cuando no hay movimiento relativo entre dos cuerpos que estan en contactodirecto, la fuerza de roce existente se denomina fuerza de roce estatica. Siconsideramos un bloque en reposo sobre una superficie horizontal, el cual estirado por una fuerza horizontal ~F como se indica en la figura:

~W = m~g

~N

~F

~fR

Figure 2.3: Representacion fuerza de roce.

Si realizamos la suma vectorial de la figura anterior 2.3 considerando que elcuerpo tiene aceleracion nula. Entonces:

Fx : F fR = 0 (2.3)Fy : N mg = 0 (2.4)

Considerando la ecuacion (2.3) podemos concluir que la fuerza de roce ~fRes igual a la fuerza aplicada ~F . Es decir, si aumenta ~F tambien lo hara de lamisma forma ~fR. Pero esta condicion tiene un lmite, puesto que la fuerza deroce no puede crecer infinitamente. Este lmite esta sujeto a las propiedadesfsicas de las superficies en contacto.El modelo matematico que representa la fuerza de roce estatica es:

0 ~fR s ~N (2.5)


donde s se denominca coeficiente de roce estatico entre las superficies.

2.3.3 Fuerza de roce cinetica:

Si la fuerza aplicada supera el maximo valor de la fuerza de roce estaticoo si el cuerpo esta en movimiento relativo, la fuerza de roce ahora se llamafuerza de roce cinetica. Su representacion matematica es:

~fR = k ~N (2.6)

donde k se denomina coeficiente de roce cinetico. Ademas se cumple quek < s, lo que demuestra que cuesta menos mantener el movimiento de uncuerpo que iniciarlo.

2.4 Equilibrio traslacional

Como se definio en un comienzo de este captulo, la fuerza es una cantidadvectorial lo que nos permite hacer uso de todas las propiedades queposeen los vectores. Es por ello que podemos definir una fuerza resultantecomo una sola fuerza cuyo efecto es igual al de un sistema de fuerzasen particular. Es decir, si la tendencia de un conjunto de fuerzas es pro-ducir un movimiento en un cuerpo, la fuerza resultante tambien lo producira.

Existe una condicion de equilibrio cuando la fuerza resultante de todas lasfuerzas externas que actuan sobre el cuerpo es igual a cero. Esta condicionse denomina equilibrio traslacional y matematicamente se debe cumplir que:

Fx = 0 (2.7)Fy = 0 (2.8)Fz = 0 (2.9)

Un sistema de fuerzas que no este equilibrado puede equilibrarse si sesustituye la fuerza resultante por una fuerza de igual magnitud y direccion,pero en sentido opuesto.

2.5 Diagramas de cuerpo libre

Antes de aplicar la primera condicion de equilibrio descrita en la seccionanterior para resolver problemas fsicos, es necesario aprender a construirdiagramas vectoriales. Estos diagramas se denominan diagramas de cuerpolibre.


Un diagrama de cuerpo libre es un diagrama vectorial que describe todaslas fuerzas que actuan sobre un cuerpo. Al dibujar diagramas de cuerpolibre es importante distiguir entre las fuerzas de accion y las de reaccion.

Ejemplo 2.1: Un bloque de peso W cuelga de una cuerda atada a otrasdos cuerdas A y B, todas ellas unidas entre s por un nudo. Si la cuerda Bforma un angulo de 70o con el techo y la cuerda A uno de 35o. Dibuje eldiagrama de cuerpo libre del nudo.

Solucion:

En primer lugar, es recomendable dibujar un esquema representativo delproblema a resolver como se presenta en la figura 2.4a; luego escogemos elpunto en donde queremos realizar el diagrama de cuerpo libre. En este caso,dicho punto es el nudo que une todas las cuerdas. Es importante senalarque la fuerza que se transmite a traves de las cuerdas se llama tension.

En la figura 2.4b se presenta el diagrama de cuerpo libre completo.

35 70

W

F2F1

~F1 ~F2

~W

y

x

35 70

(a) (b)

Figure 2.4: Diagrama de cuerpo libre.

2.6 Brazo de palanca

El brazo de palanca de una fuerza es la distancia perpendicular que hayde la lnea de accion de la fuerza al eje de rotacion, el cual determina laeficacia de una fuerza dada para provocar el movimiento rotacional.


~F r : Brazo de palanca

Figure 2.5: Brazo de palanca.

2.7 Momento de torsion

El momento de torsion , o torque, se define como la tendencia a producir uncambio en el movimiento rotacional de un cuerpo. Por tanto, el momento detorsion se define matematicamente como el producto vectorial entre el brazode palanca y la fuerza aplicada. La unidad de medida del torque de acuerdoal Sistema Internacional de Unidades es el newton-metro representado porN m.

= ~d ~F (2.10)| | = |~d||~F |sen (2.11)

| | = r|~F | (2.12)

~F r : Brazo de palanca

+

~d

Figure 2.6: Momento de torsion.

La direccion del momento de torsion depende de acuerdo al sentido horario oanti-horario en el que se produce la rotacion. Es decir, si la fuerza ~F tiendea producir una rotacion en el sentido horario, el momento de torsion seconsiderara negativo; de lo contrario, si la rotacion se produce en el sentidoanti-horario, el momento de torsion se considerara positivo.


2.7.1 Momento de torsion resultante:

Cuando las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo actuan en un mismo plano,el momento de torsion resultante es la suma algebraica de los momentos detorsion positivos y negativos producidos por cada fuerza sobre el cuerpo encuestion. As:

R =

= 1 + 2 + 3 + ...+ n (2.13)


2.8 Ejercicios Resueltos

Ejercicio 2.1 Halle la tension en cada una de las cuerdas de la figura, sila esfera suspendida tiene un peso de 476 N.

30 30

60

~W

~FA~FA

~FB

~FC~FC

Solucion:

Para resolver este problema es necesario hacer uso de los diagramas decuerpo libre. En este caso en particular desarrollaremos dos diagramas decuerpo libre, en dos nudos diferentes del problema, para poder obtenerlas ecuaciones necesarias que nos permitan encontrar matematicamente elvalor de las incognitas: ~FA, ~FB y ~FC .

El primer diagrama de cuerpo libre lo realizaremos en el nudo que sostienea la esfera:

~FC~FC

6060

~W

y

x


Descomponiendo vectorialmente cada una de las fuerzas, tenemos que:Fx : Fc cos 60

o Fc cos 60o = 0 (2.14)Fy : Fcsen60

o + Fcsen60o W = 0 (2.15)

despejando Fc de (2.15) obtenemos:

Fc =W

2sen60o= 274, 82 N (2.16)

Ahora, construyendo el diagrama de cuerpo libre en uno de los nudos supe-riores:

~FA

~FB 30

~FC

y

x60

Ahora, la descomposicion vectorial para este diagrama es:Fx : FA cos 30

o FB FC cos 60o = 0 (2.17)Fy : FAsen30

o FCsen60o = 0 (2.18)

Despejando FA de (2.18) tenemos que:

FA =FC sen60o

sen30o= 476 N (2.19)

Finalmente, despejando FB de (2.17):

FB = FA cos 30o FC cos 60o (2.20)

y reemplanzando (2.16) y (2.19) en (2.20), obtenemos:

FB = 274, 82 N (2.21)


Ejercicio 2.2 Calcule la tension en el cable y la compresion en la viga, siel cuerpo suspendido tiene una masa m.

m

30

Solucion:

Para resolver este problema realizaremos dos diagramas de cuerpo libre. Elprimero de ellos, sera el diagrama de cuerpo libre para el bloque de masam:

~T2

m~g

Sumando vectorialmente las fuerzas presentes en el diagrama de cuerpo libre,tenemos:

Fx = 0 (2.22)Fy : T2 mg = 0 (2.23)

despejando T2 de (2.23), tenemos:

T2 = mg N (2.24)


Ahora, el diagrama de cuerpo libre para el extremo de la viga es:

60

~T1

~F

~T2

y

x

Es importante destacar que la fuerza ejercida por el soporte de la viga en lafigura anterior esta dirigida hacia afuera y no hacia la pared. Esto se debea que estamos interesados en las fuerzas que se ejercen sobre el extremo dela viga y no por el extremo de esta.

Luego, sumando vectorialmente las fuerzas de la figura anterior:Fx : F T1 cos 60o = 0 (2.25)Fy : T1sen60

o T2 = 0 (2.26)

despejando T1 de (2.26) y reemplazando (2.24), obtenemos:

T1 =mg

sen60oN (2.27)

Finalmente, despejando F de (2.25) y reemplazando (2.27), tenemos que:

F = mg cot 60o N (2.28)


Ejercicio 2.3 Dos bloques de masa m1 y m2, cuelgan de dos poleas sinfriccion como se muestra en la figura. Que bloque de masa m3 hara que elbloque de masa m2 apenas comience a moverse hacia la derecha?. Supongaun coeficiente de roce estatico s.

21

sm1

m2m3

Solucion:

Para resolver este problema sera necesario construir un diagrama de cuerpolibre para cada uno de los cuerpos. Esto nos permitira tener la cantidad deecuaciones necesarias para resolver el ejercicio.

El diagrama de cuerpo libre para el bloque de masa m1 es:

~T1

m1~g

La sumatoria de fuerzas para el bloque de masa m1 es:Fx = 0 (2.29)

Fy : T1 m1g = 0 (2.30)



~N2

~T2~T1

m2~g

~fR2

21

y

x

La sumatoria de fuerzas para el bloque de masa m2 es:Fy : N2 + T1sen1 + T2sen2 m2g = 0 (2.31)

Fx : T2 cos 2 T1 cos 1 fR2 = 0T2 cos 2 T1 cos 1 sN2 = 0 (2.32)


~T2

m3~g

La sumatoria de fuerzas para el bloque de masa m3 es:Fx = 0 (2.33)

Fy : T2 m3g = 0 (2.34)

Una vez que ya planteamos todas las ecuaciones para cada uno de loscuerpos utilizando los diagramas de cuerpo libre, procedemos a trabajaralgebraicamente con ellas.


Despejando T1 de (2.30):

T1 = m1g (2.35)

Despejando N2 de (2.31):

N2 = m2g T1sen1 T2sen2 (2.36)

Luego, reemplazando (2.36) en (2.32) y despejando T2, tenemos que:

T2 =g(m1 cos 1 + sm2 sm1sen1)

ssen2 + cos 2(2.37)

Ademas, despejando T2 de (2.34):

T2 = m3g (2.38)

Y finalmente, igualando (2.37) y (2.38) obtenemos que:

m3 =m1 cos 1 + sm2 sm1sen1

ssen2 + cos 2kg (2.39)

Ejercicio 2.4 Una pieza angular de hierro gira sobre un punto A, comose observa en la figura. Determine el momento de torsion resultante en Adebido a las fuerzas de 60 N y 80 N que actuan al mismo tiempo.

50

20

60 N

80 N

0.12 m

0.10 m

A

Solucion:

Si realizamos un esquema general de lo que esta sucediendo en el problema,tenemos lo siguiente:


50

110

~F1 = 60 N

~F2 = 80 N

0.12 m

0.10 m

A

Ahora para cada fuerza, es preciso notar si la tendencia a rotar sobre elpunto A sera positiva o negativa segun la convension descrita en la seccion2.7. Entonces si se considera el punto A como eje de rotacion, el momentode torson debido a ~F1 es negativo y el causado por ~F2 es positivo.

As entonces, el momento de torsion resultante sera la suma algebraica delos momentos de torsion individuales:

R =

= 1 + 2 (2.40)R = F1 0, 12sen50o + F2 0, 10sen110o (2.41)R = 60 0, 12sen50o + 80 0, 10sen110o (2.42)

Finalmente el momento de torsion en A para la pieza es:

R = 2 N m (2.43)

Nota: Es importante senalar que se obtiene el mismo resultado si utilizamosel concepto Brazo de Palanca. En dicho caso es necesario extender las lneasde accion de las dos fuerzas y determinar sus brazos de palanca utilizandotrigonometra.


2.9 Ejercicios Propuestos

Ejercicio 2.1 Calcule la compresion en la viga central ~FB y la tension enla cuerda ~FA segun la situacion descrita en la figura.

20 50

500 N

~FA

~FB

Respuesta:~FA = 643 N~FB = 938 N

Ejercicio 2.2 El sistema que se presenta en la figura se encuentra enreposo. Que valor tiene el coeficiente de roce estatico s que produce dichacondicion?. Considere que las poleas no tienen friccion y que las cuerdas sonideales.

m1

m2

m3s

Respuesta:s =

m1m3senm3 cos +m2

Ejercicio 2.3 Cual es el momento de torsion resultante respecto al pivotede la figura?. Considere insignificante el peso de la barra.

80 N90

60 cm

40 cm200 N

40

Respuesta:R = 3, 42 N m

VectoresVectoresMagnitudes escalares:Magnitudes vectoriales:Caractersticas de los vectores:Vectores libres:Vectores fijos:

Suma de vectoresMtodo del polgono:Propiedades para la suma de vectores:Mtodo del paralelogramo:Resta de vectores:

Vectores en el planoComponentes cartesianas o rectangulares de un vector en el plano:

Sistema de vectores en el planoVector unitarioVectores en el espacio (3D)Cosenos directores:

Multiplicacin de vectoresProducto punto o producto escalar:Producto cruz o producto vectorial:

Ejercicios ResueltosEjercicios Propuestos

FuerzaFuerzaFuerzas de accin a distanciaPeso:

Fuerzas de contactoFuerza normal:Fuerza de roce esttica:Fuerza de roce cintica:

Equilibrio traslacionalDiagramas de cuerpo libreBrazo de palancaMomento de torsin Momento de torsin resultante:

Ejercicios ResueltosEjercicios Propuestos

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Apuntes. Adolfo Sepulveda