Apuntes AlgLin y Cuad

7/31/2019 Apuntes AlgLin y Cuad

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Algebra Lineal II y CuadrticaAlgebra Lineal II y Cuadrtica

Diego Pal Huaraca S. 1

email: [email protected]

E.P.N

10 de Mayo 2009

1Estudiante de Ingeniera Matematica E.P.N.


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ndice general

1. Espacio vectorial complejo 51.1. Matrices con elementos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Tipos importantes de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes complejos . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Espacio vectorial eucldeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1. Producto escalar eucldeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2. Norma asociada a un producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.3. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.4. Proceso de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.5. Subespacio ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.6. Proyeccin ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.7. ngulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5. Espacio vectorial complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6. Subespacio vectorial complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. Espacio vectorial hermtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.1. Producto escalar hermtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.2. Desigualdad de Cauchy-Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.3. Otras propiedades del producto hermitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8. Valores y Vectores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9. Espacio Vectorial Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10. Ejercicios Resueltos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.11. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2. Espacio vectorial cociente 392.1. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2. Relacin de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1. Clases de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.2. Particin y equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3. Conjunto cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4. Relacin de equivalencia en un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5. Co - conjunto (coset) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6. Espacio vectorial cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.7. Ejercicios resueltos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3. Espacio dual 563.1. Espacio dual de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2. Base dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3. Espacio bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4. Aniquiladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4. Operaciones entre subespacios 744.1. Subespacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.2. Condicin de existencia de un subespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3. Interseccin de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.4. Suma de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5. Suma directa de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.6. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.7. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

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Escuela Politcnica Nacional 3

5. Formas bilineales y formas cuadrticas 865.1. Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2. Representacin matricial de formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3. Relacin de congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.4. Rango de una forma bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.5. Formas cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.6. Expresin matricial de una forma cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.7. Matrices congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.8. Diagonalizacin de formas cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.8.1. Mtodos para diagonalizar formas cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.9. Invariantes lineales de una forma cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.9.1. Ley de inercia de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.9.2. Rango y signatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.9.3. Clasificacin de formas cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.9.4. Criterio de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.10. Formas sesquilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 075.11. Expresin matricial de una forma sesquilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.12. Formas hermticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 115.13. Ejercicios Resueltos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 13

5.14. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 17


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Prefacio

El presente libro est dedicado al estudio de los Espacios Vectoriales Eucldeos, Complejos,Hermticos, Cocientes y Duales as como tambin se realiza el estudio de las formas bilineales ysesquilineales, que son de gran inters en el estudio del lgebra Lineal y en las aplicaciones que sedan en la ingeniera, el presente libro est destinado a los estudiantes de las Facultades de Ciencias,y en especial para las carreras de Matemtica y Fsica.

Todos lo temas tratados en el presente libro forman parte del Curso de Algebra Lineal II y Cua-drtica, que se dicta en la Facultad de Ciencias de la Escuela Politcnica Nacional.

Es bueno advertir que el libro en su primera edicin no pretende ser completo en el sentidoestricto topolgico y matemtico en general. Ms bien est concebido como una especie de guia parael curso (aunque en realidad es bastante ms que eso) donde aparecen todas las definiciones y lasdemostraciones de los teoremas ms importantes que un profesor necesitara para el desarrollo dela clase. Los huecos, las lagunas, se refieren principalmente a lo que llamaramos motivaciones,introducciones histricas, razonamientos plausibles, uso de figuras y mayor abundancia de ejemplosy ejercicios.

Diego Pal Huaraca S.

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6 Facultad de Ciencias

1.2. Tipos importantes de matrices

a) Matriz Conjugada

Definicin 1.2. Sea A M(C)nm. Decimos que su conjugada es la matriz A M(C)nm,tal que

A = (ajk )nm

es decir, asignamos a A el conjugado de cada elemento de la matriz original A.

Ejemplo:

Dada la matriz

A =

2 i

3 + 2i

1 + 3i2i

por tanto, su matriz hermitiana es:

A =

2 + i

3 2i1 3i

2i

Propiedades:

Sean A, B M(C)mn, y C M(C)nk, entonces:

A = A. A + B = A + B. AC = A C. Para cualquier nmero real k, kA = k A. Para cualquier nmero complejo c, cA = c A. (A)T = AT.

Si A es no singular, entonces (A)

1 = A

1.

Demostracin:

Probemos la segunda propiedad:

Consideremos la sumaA + B = (aij + bij)

a su vez el conjugado de esta suma ser

A + B = (aij + bij)

sabemos de las propiedades de C que

aij + bij = aij + bij

As queA + B = (aij + bij ) = (aij + bij)

Pero esto ltimo es lo mismo que A + B, de modo que

A + B = A + B


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La sexta propiedad se demuestra similarmente; consideremos cualquier matriz A M(C)nm,su matriz conjugada ser

A = (aij )nm = (aij)nm

y su matriz conjugada transpuesta ser:

AT

= (aji)mn

Por otra parte, la transpuesta de A ser

AT = (aji)mn

y su transpuesta conjugada es :AT = (aji)mn

como vemos AT

= AT.

b) Matriz Hermitiana

Definicin 1.3. Una matriz compleja A de n n se dice hermitiana si:

AT = A, es decir ajk = ajk para k = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . , n

Observacin 1.2. Toda matriz simtrica real es hermitiana, por tanto podemos considerara las matrices hermitianas como anlogas de las matrices simtricas reales.

Ejemplo:

La matrizA =

3

2 + i

2 i4

es hermitiana, pues

AT =

3

2 i2 + i

4

=

3

2 + i

2 i4

= A

Propiedades:

Los trminos de la diagonal de una matriz hermitiana son reales

Toda matriz hermitiana A puede escribirse en la forma A = B + iC, donde B es unamatriz simtrica (B = BT) y C es una matriz antisimtrica (C = CT)

Notacin:A = AT ; A es hermitiana si A = A

c) Matriz Unitaria


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Definicin 1.4. Una matriz compleja A de n n se dice unitaria si:(AT)A = A(AT) = In.

es decir A es unitaria cuando AT = A1.

Observacin 1.3. Toda matriz ortogonal real es unitaria, por tanto podemos considerar las

matrices unitarias como anlogas de las matrices ortogonales reales.Ejemplo:

La matriz 13

1i3

1+i3

13

es unitaria, pues

(AT)A =

13

1i3

1+i3

13

.

13

1i3

1+i3

13

= I2

d) Matriz Normal

Definicin 1.5. Una matriz compleja A de n n se dice normal si:(AT)A = A(AT)

Ejemplo:

La matriz

A =

5 i

1 i1 + i3 i

es normal, pues

(AT)A = A(AT) =

28

8 8i8 + 8i

12

Observaciones:

Si A es unitaria, entonces A es normal. Si A es hermitiana, entonces A es normal.

1.3. Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes complejosResolucin de sistemas lineales

Consideremos el sistemaAx = b

con A M(C)mn, x Cn y b Cn.Las tcnicas de resolucin de sistemas lineales de ecuaciones con coeficientes reales se tranfierende manera directa a los sistemas lineales de ecuaciones con coeficientes complejos, para esto, basta


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hacer uso de aritmtica compleja.

Las alternativas de resolucin de sistemas complejos al igual que los sistemas reales son: Ope-raciones por filas y las formas escalonadas para tales sistemas por medio de la reduccin de Gauss-Jordan.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema lineal mediante una reduccin de Gauss-Jordan:(1 + i)x1 + (2 + i)x2 = 5

(2 2i)x1 + ix2 = 1 + 2iPrimero formemos la matriz aumentada

1 + i

2 2i2 + i

i

||

5

1 + 2i

multiplicamos la primera fila por1

1 + i, para obtener

12 2i 32 12 ii || 52 52 i1 + 2i ahora sumamos (2 2i) veces la primera fila a la segunda, para obtener

1

0

32 12 i

2 + 5i||

52 52 i

1 + 12i

multiplicamos la segunda fila por1

2 + 5i , para obtener1

0

32 12 i

1

||

52 52 i2 i

finalmente sumamos ( 32 12 i) veces la segunda fila a la primera, para obtener1

0

0

1

||

0

2 i

Por lo tanto la solucin del sistema es: x1 = 0 y x2 = 2 i.

1.4. Espacio vectorial eucldeo

1.4.1. Producto escalar eucldeo

Definicin 1.6. Un producto escalar en un espacio vectorial E sobre R, es una forma bilinealsimtrica y definida positiva.1

f : E E Rdefinido por

f(x, y) = x, y, 2 x, y Eque verifica las siguientes propiedades:

1Ver Captulo de formas bilineales y formas cuadrticas.2La expresin x, y se denomina producto escalar de x y y.


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1. Bilineal: Para cualesquiera x,y,z E y , R, ha de cumplirsex + yz = x, z + y, zxy + z = x, y + x, z

2. Simetra: Para cualesquiera x, y E, se tendr

x, y = y, x3. Definida positiva: Para cualquier x E no nulo

x, x > 0

Definicin 1.7. Al par (E, , ), formado por un espacio vectorial junto con un producto escalarse le denomina espacio vectorial eucldeo.

Proposicin 1.1. En un espacio vectorial eucldeo (E, , ) se verifican las siguientes propiedades:1. x, 0 = 0, para cualquier vector x E.2. x, x = 0, si y slo si x = 0. De hecho si x = 0, entonces x, x > 0.Ejemplos:

1. El producto escalar usual (cannico o eucldeo) en Rn.

Dados (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) Rn se define el siguiente producto escalar en Rn:(x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyx

2. He aqu un ejemplo de un producto escalar (distinto del eucldeo) definido en R3.

(x1, x2, x3), (y1, y2, y3) = x1y1 + 5x2y2 + 2x3y3

3. En R3 con el producto escalar eucldeo obtenemos

(2, 1, 3), (5, 2, 4) = 2,5 + 1,2 + (3),4 = 10 + 2 12 = 0y con el producto del literal 2. obtenemos

(2, 1, 3), (5, 2, 4) = 2,5 + 5,5,1 + 2.(3)4 = 10 + 10 24 = 4

Una forma de caracterizar a un producto escalar es la siguiente

Proposicin 1.2. Sea , : E E R una aplicacin bilineal, con E un espacio vectorial real, ysea B = {e1, e2, . . . , en} una base de E. Entonces , es un producto escalar si y slo si la matriz

A = e1, e1 e1, e2 . . . e1, en

e2, e1

e2, e2

. . .

e2, en

... ... . . . ...en, e1 en, e2 . . . en, en

es simtrica y definida positiva (esto ltimo significa que los menores principales de la matriz seantodos positivos).

Ejemplos:

Determinar si las siguientes aplicaciones bilineales son o no productos escalares.


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1. (x1, x2), (y1, y2) = 2x1y1 + 2x1y2 + 2x2y2 en R2.Como la matriz que se obtiene tomando la base cannica de R2 es

A =

(1, 0), (1, 0) (1, 0), (0, 1)(0, 1), (1, 0) (0, 1), (0, 1)

=

2 20 2

y sta matriz no es simtrica, se tiene que no es un producto escalar.

2. (x1, x2), (y1, y2) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 en R2.La matriz que se obtiene tomando la base cannica de R2 es

A =

1 11 1

por lo que sta es simtrica. Los determinantes principales valen det A1 = 1 y det A = 0, luegono es definida positiva. As no es un producto escalar.

3. (x1, x2, x3), (y1, y2, y3) = x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 x2y3 x3y2 + 5x2y2 en R3.Tomando la base cannica de R3, obtenemos la matriz

A =

1 2 02 5 10 1 0

y sta es simtrica.

Los menores principales son:A1 = 1 > 0

A2 = det

1 22 5

= 1 > 0

A3 = det 1 2 02 5 10 1 0 = 1 < 0

luego no es definida positiva. As no es un producto escalar.

4. (x1, x2), (y1, y2) = 4x1y1 + 2x2y2 2x1y2 2x2y1 en R2.A partir de la base cannica de R2 se obtiene la matriz

A =

4 2

2 2

que es simtrica.

Los menores principales son A1 = 4 > 0

A2 =

4 22 2 = 4 > 0

luego es definida positiva.As la aplicacin bilineal es un producto escalar.


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1.4.2. Norma asociada a un producto escalar

Sea (E, , ) un espacio vectorial eucldeo. Se denomina norma asociada al producto escalaranterior a la aplicacin

: E R+definida por

x

= x, xque cumple:

1. x = 0 si y slo si x = 0.2. x = || x, para todo R o C.3. x + y x + y (desigualdad triangular).A este valor lo llamaremos norma (mdulo o longitud) del vector x.

Se llama espacio vectorial normado a un espacio vectorial dotado de una norma.

Observacin 1.4. La norma asociada al producto escalar eucldeo de Rn est dada para un vector

(x1, x2, . . . , xn) Rn

por

(x1, x2, . . . , xn) =

x21 + x22 + . . . + x

2n

la llamaremos norma eucldea.Se dice que un vector es unitario cuando tiene norma 1. A partir de cualquier vector no nulo

siempre puede construirse un vector unitario dividiendo el vector para su norma.

Ejemplos:

1. Con el producto escalar usual en R3, la norma del vector x = (2, 3, 0) es igual a:

x = (2, 3, 0) = 22 + (3)2 + 02 = 4 + 9 + 0 = 13.Entonces el vector

x

x =

213

, 313

, 0

es unitario, pues xx

= 213 , 313 , 0 =

(

213

)2 + ( 313

)2 + 02 =

4

13+

9

13+ 0 =

13

13=

1 = 1.

2. Utilizando la norma asociada al producto escalar en R2 dado mediante la expresin

(x1, x2), (y1, y2)

= 4x1y1 + 2x2y2

2x1y2

2x2y1

la norma del vector x = (2, 1) es

x = (2, 1) =

(2, 1), (2, 1) =

4,2,2 + 2,1,1 + 2,2,1 2,1,2 =

10

mientras que la norma eucldea del mismo vector es

(2, 1) =

(2, 1), (2, 1) =

22 + 12 =

5.


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1.4.3. Ortogonalidad

Se dice que dos vectores x y y de un espacio vectorial eucldeo E son ortogonales (o perpen-diculares) cuando

x, y = 0, x, y E.Un sistema de vectores se dice que es un sistema ortogonal de vectores cuando los vectores son

ortogonales dos a dos. Si adems todos los vectores son unitarios entonces se dir que el sistema esortonormal.

Una base de un espacio vectorial eucldeo E que adems es un sistema ortogonal (respectivamen-te ortonormal) de vectores se llamar base ortogonal de E (respectivamente base ortonormal).

La base cannica de Rn es siempre una base ortonormal de este espacio vectorial, si estamosconsiderando el producto escalar eucldeo de Rn.

Proposicin 1.3. En un espacio vectorial eucldeo se verifican las siguientes propiedades:

1. El vector 0 es ortogonal a todos los vectores.

2. Un sistema ortogonal de vectores no nulos es un sistema linealmente independientes de vec-tores. En consecuencia un sistema ortonormal de vectores es un sistema linealmente indepen-dientes de vectores.

3. Si tenemos una base ortonormal podemos multiplicar cada vector por un escalar no nulo queel resultado sigue siendo una base ortonormal.

4. Si en una base ortogonal de un espacio vectorial eucldeo de E dividimos cada vector por sunorma, entonces el sistema resultante de vectores es una base ortonormal de E.

1.4.4. Proceso de Gram-SchmidtEl proceso de Gram-Schmidt para calcular una base ortonormal T = {w1, w2, . . . . . . , wm} para

un subespacio no nulo W de Rn, dada una base S = {u1, u2, . . . . . . , um} para W, es como sigue.

Paso 1. Haga v1 = u1.

Paso 2. Calcule los vectores v2, v3, . . . . . . , vm de manera sucesiva, uno a la vez, por medio dela frmula

vi = ui

ui.v1v1.v1

v1

ui.v2v2.v2

v2

ui.vi1

vi1.vi1

vi1

El conjunto de vectores T = {v1, v2, . . . . . . , vm} es un conjunto ortogonal.Paso 3. Haga

wi =1

vivi (1 i m).

Entonces T = {w1, w2, . . . . . . , wm} es una base ortonormal para W.

Proyeccin de un vector sobre la recta generada por otro vector


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U

VproyU

V

proyvu = .v =u, vv, vv

Ejemplos:

1. Con el producto escalar usual hallar una base ortonormal de R3 a partir de la base

(1, 1, 1)

v1

, (2, 1, 0)

v2

, (1, 0, 0)

v3

En primer lugar pongamos w1 = v1 = (1, 1, 1)

Ahora ponemos

w2 = v2 v2, w1w1, w1w1De modo que obtenemos que

w2 = (2, 1, 0) (1, 1, 1) = (1, 0, 1)

Finalmente necesitamos hallar un vector

w3 = v3 v3, w1

w1, w1

w1 v3, w2

w2, w2

w2

Entonces

w3 = (1, 0, 0) 13

(1, 1, 1) 12

(1, 0, 1) = 16

(1, 2, 1)

As hemos obtenido una base ortogonal3 de R3:

{(1, 1, 1), (1, 0, 1), ( 16

, 13

,1

6)}

Como lo que se peda era una base ortonormal es suficiente con dividir cada uno de estosvectores por su norma, y obtenemos la base

{

13

,1

3,

13

,

1

2, 0, 1

2,

1

6, 2

2,

16

}

2. Utilizando el producto escalar en R2 dado mediante la expresin

(x1, x2), (y1, y2) = 4x1y1 + 2x2y2 2x1y2 2x2y1hallemos una base ortonormal a partir de la base

{(1, 0), (0, 1)}3Utilizamos el proceso de Gram-Schmidt, para obtener una base ortogonal.


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Tomamosw1 = (1, 0)

Ahora consideramos

w2 = (0, 1) (0, 1), (1, 0)(1, 0), (1, 0)(1, 0)

De este modo obtenemos que

w2 = (0, 1) +1

2(1, 0) =

12

, 1

As hemos obtenido una base ortogonal de R2:

{(1, 0),

1

2, 1

}

Como lo que se peda era una base ortonormal es suficiente con dividir cada uno de estosvectores por su norma y se tiene que

(1, 0) =

4,1,1 = 2

y adems 12 , 1 = 4. 12 . 12 + 2,1,1 2. 12 ,1 2,1. 12 = 1 = 1Finalmente obtenemos la base ortonormal de R2 (con el producto escalar establecido inicial-mente):

1

2, 0

,

1

2, 1

1.4.5. Subespacio ortogonal

Proposicin 1.4. Sea E un espacio vectorial eucldeo y S un subespacio de E.

Entonces el conjunto de los vectores de E que son ortogonales a todos los vectores de S es unespacio vectorial E, llamado el subespacio ortogonal de E, y ser denotado por S. Es decir,tenemos que

S = {x E / x, y = 0, y S}.

Observacin 1.5. Adems se tiene que

E = S S

es suma directa. Por tantodim S+ dim S = dim(S+ S).

En las condiciones anteriores, conocida una base de S, se cumple que un vector x

E es orto-gonal a todos los vectores de S si y slo si es ortogonal a todos los vectores de dicha base.

A partir de ah puede obtenerse ms o menos sencillamente S.Vemoslo en el caso ms sencillo en que E = Rn.

Un vector (x1, x2, . . . , xn) Rn pertenece a S si y slo si es ortogonal a todos los vectores dela base

B = {(a11, a12, . . . , a1n), (a21, a22, . . . , a2n), . . . , (ak1, ak2, . . . , akn)}


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de S, es decir, si y slo si se cumplen las siguientes ecuaciones (que sern las ecuaciones implcitasde S).

(a11, a12, . . . , a1n), (x1, x2, . . . , xn) = 0(a21, a22, . . . , a2n), (x1, x2, . . . , xn) = 0

.

.....

.

..(ak1, ak2, . . . , akn), (x1, x2, . . . , xn) = 0

que dependern del producto escalar con el que estemos. En el caso del producto escalar eucldeolas ecuaciones de S quedarn as:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0...

......

ak1x1 + ak2k2 + . . . + aknxn = 0

En el caso del producto escalar eucldeo, de modo simtrico puede obtenerse que si el subespa-cio inicial est dado por ecuaciones implcitas entonces el subespacio ortogonal tiene como sistemagenerador las filas de la matriz de coeficientes del sistema anterior.

Ejemplos:

1. Supongamos que tenemos el subespacio de R4 siguiente:

S = (1, 2, 0, 3), (3, 0, 2, 0)Entonces, respecto al producto escalar eucldeo tenemos que S tiene por ecuaciones implcitas

x 2y + 3t = 03x + 2z = 0

2. Supongamos que tenemos el subespacio de R3 siguiente

S = {(x,y,z) / x + 2y z = 0}Entonces, respecto al producto escalar eucldeo tenemos que

S = (1, 2, 2)

3. Supongamos que tenemos el subespacio de R3 siguiente

S = (1, 3, 2), (1, 0, 3)Entonces, respecto al producto escalar siguiente

(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)

= x1y1 + 2x2y2 + 4x3y3

tenemos que S tiene por ecuaciones implcitas (x1, x2, x3), (1, 3, 2) = 0(x1, x2, x3), (1, 0, 3) = 0

es decir x + 6y 8z = 0x + 12z = 0


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1.4.6. Proyeccin ortogonal

Sea S un subespacio de un espacio vectorial eucldeo E. Debido a que E se descompone comosuma directa de S y su ortogonal S, todo vector del espacio puede ponerse de modo nico comosuma de un vector de S y otro de S.

Sea x E y supongamos que tenemosx = x1 + x2

con x1 S y x2 S.Entonces a x1 lo llamaremos proyeccin ortogonal de x sobre S. Adems, este vector cumple que

x x1 S

y es el nico de todos los vectores de S que cumple esta propiedad, es decir, si y S cumple que

x y S

entonces y = x1

(la proyeccin ortogonal de x sobre S).Veamos a continuacin un mtodo para hallar la proyeccin ortogonal de un vector sobre un

subespacio.

Sea x E y ademsdim S dim E

Supongamos que tenemos una base ortogonal

B = {w1, w2, . . . , wn}

de S. (siempre es posible hallar a partir de una base cualquiera mediante el mtodo de Gram -Schmidt). Entonces

x = x1 + x2donde x1 es la proyeccin ortogonal de x sobre S y x2 S.

Entonces si x1 se escribe como combinacin lineal de vectores linealmente independientes

x1 = 1w1 + 2w2 + . . . + nwn

Si multiplicamos escalarmente x por wi, a partir de la igualdad

x = x1 + x2

obtenemos que

x.wi = x1.wi + x2.wi = 1w1.wi + 2w2.wi + . . . + nwn.wi = iwi.wi

ahora observemos que x2, wi = 0, ya que x2 S y wi S; igualmente wj , wi = 0 si i = j, yaque son vectores de una base ortogonal.

De aqu despejamos el valor del escalar

i =x, wiwi, wi , i = 1, 2, . . . , n


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Entonces tenemos determinado x1, la proyeccin ortogonal de x sobre S, sustituyendo el valorde cada i, es decir

x1 = 1w1 + 2w2 + . . . + nwn =x, w1w1, w1w1 +

x, w2w2, w2w2 + . . . +

x, wnwn, wnwn.

Si la base B es adems ortonormal entonces para cada i = 1, 2, . . . , n se tiene que

wi, wi = wi2 = 1con lo que la frmula de los escalares queda ms sencillamente as:

i = x, wiy por tanto

x1 = 1w1 + 2w2 + . . . + nwn = x, w1w1 + x, w2w2 + . . . + x, wnwn.

Proposicin 1.5. Hemos elegido una base ortogonal u ortonormal para que el clculo necesariopara hallar los escalares i sea lo ms sencillo posible. Pero previo a esto probablemente sea nece-

sario hallar esta base ortogonal u ortonormal, lo cual requiere tambin operaciones.

Es posible inicialmente coger una base cualquiera de S (no necesariamente ortogonal ni orto-normal) y realizar, como hemos hecho anteriormente, los productos escalares de un modo similar alanterior. La diferencia est en que ahora no podemos despejar directamente los valores de i queahora resultaran, pues su valor se hallar resolviendo el sistema de ecuaciones que aparece; ya questos sern las incgnitas de este sistema.Tambin es cierto que de esta manera nos ahorramos aplicar el mtodo de Gram - Schmidt a lahora de hallar la base ortogonal. As que puede elegirse la base de la forma que cada cual considereoportuna.

Ejemplo:

1. Consideremos el espacio vectorial E = R4 con el producto escalar usual, y el subespaciovectorial

S = gen{(1, 0, 0, 1), (1, 1, 2, 1)}y el vector

x = (0, 1, 3, 0)

Hallar la proyeccin ortogonal de x sobre S.

Sabemos quex = x1 + x2, donde x1 S, x2 S

En este caso x1 es la proyeccin ortogonal de x sobre S.

Tenemos que hallar una base de S. Pero en este caso es inmediato que los vectores

y1 = (1, 0, 0, 1) y y2 = (1, 1, 2, 1)nos sirven como base de S.

Entonces sabemos quex1 = 1y1 + 2y2

Pues bien si multiplicamos escalarmente x con cada uno de estos vectores obtenemos por unlado que

x, y1 = (x1 + x2).y1 = x1, y1 + x2, y1 = (1y1 + 2y2).y1 + 0 = 1y1, y1 + 2y2, y1


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de donde, calculando los productos escalares

x, y1 = (0, 1, 3, 0), (1, 0, 0, 1) = 0y1, y1 = (1, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 1) = 2

y adems

y2, y1

=

(1,

1, 2, 1), (1, 0, 0, 1)

= 2

de donde deducimos que21 + 22 = 0

y por otra parte

x, y2 = (x1 + x2).y2 = x1, y2 + x2, y2 = (1y1 + 2y2).y2 + 0 = 1y1, y2 + 2y2, y2de donde hallando ahora los productos

x, y2 = (0, 1, 3, 0), (1, 1, 2, 1) = 5y1, y2 = (1, 0, 0, 1), (1, 1, 2, 1) = 2

y tambin

y2, y2 = (1, 1, 2, 1), (1, 1, 2, 1) = 7y deducimos que

21 + 72 = 5

Entonces resolviendo el sistema21 + 22 = 021 + 72 = 5

1 = 12 = 1

As, la proyeccin ortogonal del vector x sobre el subespacio S es

x1 = 1.(1, 0, 0, 1)+ 1.(1, 1, 2, 1) = (0, 1, 2, 0)

Otra forma de hacerlo sera a partir de una base ortogonal de S. Utilizando el mtodo deGram - Schmidt.

1.4.7. ngulo entre vectores

Definicin 1.8. Sea E un espacio eucldeo. Dados dos vectores no nulos x, y E, definimos elngulo que forman como el valor [0, ] verificando:

cos =x, y

x . yPor la desigualdad de Schwartz

1 x, yx . y 1

Por tanto en el intervlo [0, ] slo existe un ngulo cuyo coseno sea el anterior.

Con esta definicin de ngulo se verifica:

x, y = x . y cos

Ejemplo:


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1. Si u = (2, 4) y v = (1, 2) entoncesu, v = (2)(1) + (4)(2) = 6

Ademsu =

22 + 42 =

20

y v = (1)2 + 22 = 5De aqu que

cos =6

20

5= 0,6

Podemos obtener una aproximacin al ngulo por medio de una calculadora o con la ayudade una tabla de cosenos; en cualquier caso, encontraremos que es aproximadamente 0,93radianes.

1.5. Espacio vectorial complejo

Definicin 1.9. Un espacio vectorial complejo se define exactamente como un espacio vectorialreal, es decir, es una terna formada por un conjunto E y dos operaciones y que satisfacen lassiguientes propiedades:

1. Si u y v son elementos de E, entonces u + v est en E. (cerrado bajo la suma.)

2. u v = v u, para todo u, v E.3. u (v w) = (u v) w para todo u,v,w E.4. Existe un elemento 0 en E, tal que u 0 = 0 u = u, para todo u E.5. Para todo u E, existe un elemento u E tal que u u = 0.6. Si u es elemento de E y C, entonces u est en E. (cerrado bajo el producto.)

7. (u + v) = u v, para todo u, v E y C.8. ( + ) u = u u, para todo u E y , C.9. ( u) = () u, para todo u E y , C.

10. Existe un elemento 1 E, tal que 1 u = u, para todo u E.Observacin 1.6. Casi todos los espacios vectoriales reales, tienen sus equivalentes espacios vec-toriales complejos.

Notacin:(E,C, , )

representa el conjunto de vectores de E, en el espacio vectorial complejo.

Ejemplo:

1. Consideremos Cn el conjunto de todas las matrices n 1.

Cn = {

z1z2

...zn

/ zk C, k = 1, 2, . . . , n}


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con entradas complejas.

Sean la suma matricial, y la operacin la multiplicacin de una matriz por un nmerocomplejo.

Podemos verificar que si

z1z2...

zn

w1w2

...wn

= z1 + w1z2 + w2

...zn + wn

y adems

z1z2...

zn

=

z1z2

...zn

tenemos que Cn es un espacio vectorial complejo mediante las operaciones de matrices antes

estudiadas y las propiedades de la aritmtica compleja, adems Cn tiene dimensin n.

2. Sea C[a, b], el conjunto de funciones con valores complejos, continuas en el intervalo [a, b], esdecir todas las funciones de la forma

f(t) = f1(t) + if2(t)

donde f1(t) y f2(t) son funciones con valores reales, continuas en [a, b], con la operacin definida como

(f g)(t) = f(t) + g(t)

y la operacin definida como( f)(t) = f(t)

para cualquier nmero complejo .

Forma un espacio vectorial complejo.

3. El espacio vectorial de los polinomios con coeficientes complejos.

PC[t] = C[t] = {p(t) = a0 + a1t + . . . + aktk / ak C}

con la suma de polinomios como y la multiplicacin de un polinomio por un nmero complejocomo , forma un espacio vectorial complejo.

Observacin:

(C,R, , )es un espacio vectorial real de dimensin 2 y su base es:

B = {1, i}


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1.6. Subespacio vectorial complejo

Definicin 1.10. Sea E un espacio vectorial complejo y S un subconjunto no vaco de E. Si Ses un espacio vectorial con respecto a las operaciones de E, entonces S es un subespacio vectorialcomplejo de E.

Teorema 1.1. Sea Eun espacio vectorial complejo con las operaciones y , sea Sun subconjuntono vaco de E. Entonces S es un subespacio vectorial complejo de E si y slo si se cumplen lascondiciones siguientes:

a) Si u, v S, entonces u v S.b) Si C y u S, entonces u S.Ejemplo:

1. Sea S el conjunto de vectores en C3 de la forma (a, 0, b), donde a y b son nmeros complejos.

Por tanto(a, 0, b) (c, 0, d) = (a + c, 0, b + d)

pertenece a S, y para cualquier C

(a, 0, b) = (a, 0b)pertenece a S.

Por tanto, S es un subespacio vectorial complejo de C3.

2. Sea S el conjunto de todos los vectores en Mnn con entradas exclusivamente.Si

A = (aij ) y B = (bij)

pertenecen a S, entonces tambin

A B = (aij + bij)pues akj y bkj son reales, su suma tambin es real.

Sin embargo si C y A pertenece a S, entonces A = A

puede tener entradas akj que no necesariamente son nmeros reales.

A partir de esto podemos concluir que A no pertenece necesariamente a S, de modo que Sno es un subespacio vectorial complejo.

1.7. Espacio vectorial hermtico

1.7.1. Producto escalar hermtico

Definicin 1.11. Un producto escalar hermtico en un espacio vectorial complejo E, es una formasesquilineal hermtica

f : E E Cdefinida por

f(x, y) = x, y x, y Eque cumple:

x,y,z E, C.


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i) x + y, z = x, z + y, zii) x,y = x, y

iii) x, y = y, xiv) x, x 0

Observaciones:

(i) y (ii) definen la linealidad a la izquierda.

(iii) simtria hermitica.

Si se tiene simetra hermitica

x, x = x, x x, x es real

Definicin 1.12. Sea E un espacio vectorial complejo dotado de un producto escalar hermitico4,entonces se dice que E es un espacio vectorial hermitico.

Ejemplos:

1. En Cn, el producto hermitiano se define como:

x, y =n

i=1

xiyi, donde x = (x1, x2, . . . , xn) y y = (y1, y2, . . . , yn)

2. Para el conjunto de las funciones continuas:

F([a, b],C) = {f : [a, b] R C, f es continua.}

f, g = ba

f(t).g(t)dt.

3. En Mmn(C)A, B = tr( B

nm. A

mn nn

) =m

i=1

nj=1

aij bij

4. En Cn, si A es una matriz hermitiana (A = AT), tal que xTAx > 0, x Cn {0}.Entonces

x, y

= xTAy

es el producto escalar complejo de Cn

Los ejemplos anteriores son productos escalares hermitcos, los mismos que va a ser tratados en estecaptulo, ahora veamos ejemplos nmericos de dichos productos.

Ejemplo:

4En algunos textos de lgebra Lineal al espacio vectorial hermtico tambin se lo llama espacio vectorial hermi-tiano.


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1. Sea [a, b] = [0, 1], f(t) = t2 + iet y g(t) = t + 2i, calcule f, g

f, g =10

(t2 + iet)(t + 2i)dt

=

10

(t2 + iet)(t 2i)dt

= 10

(t3 + 2et)dt + i 10

(tet 2t2)dt

=1

4+ 2e 2

3i

2. Sea

u =

1 + i2 i3 + i

; v = 6 2i2i

1 + i

entonces

u, v = uTv

= (1 + i)(6 2i) + (2 i)(2i) + (3 + i)(1 + i)= (1 + i)(6 + 2i) + (2 i)(2i) + (3 + i)(1 i)= 0

de modo que u y v son ortogonales.

Adems,

u =

u, u=

utu

=

(1 + i)(1 i) + (2 i)(2 + i) + (3 + i)(3 i)=

17

1.7.2. Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Una las desigualdades ms utilizadas e importantes en lgebra Lineal y Anlisis Matemtico,sin duda es Cauchy - Schwartz, la misma que establece quex, y E

|x, y|2 x2 y2Demostracin:

Sea y = 0 y consideremos0 x x, yty = x x, yty,x x, yty

0

x, x

x,x, y

ty

x, y

ty,

x, y

ty

0 x2 x, yx, yt x, yy, xt + x, yx, yy, yt2

0 x2 2|x, y|2t + |x, y|2 y2 t2si

4|x, y| 4 x2 |x, y|2 y2 0se sigue que

|x, y|2 x2 y2


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1.7.3. Otras propiedades del producto hermitico

Teorema de Pitgoras

Sean x, y E tal quex, y = 0 x + y2 = x2 + y2

RECPROCO x + y2 = x2 + 2Re(x, y) + y2

2Re(x, y) = 0Re(x, y) = 0 x, y = 0

El recproco no siempre se cumple.

Identidad del paralelogramo

x

y

x

yx +

y

x + y2 + x y2 = 2(x2 + y2)Identidad de polarizacin

x, y = 14

(x + y2 x y2) + 14

i(x + iy2 x iy2)

1.8. Valores y Vectores Propios

Sea una matriz compleja A Mn(C), decimos que C es un valor propio de A y v es elvector asociado a A si:

Av = v (A I)v = 0, con v = 0por tanto

det(A I) = 0Si es el valor propio de A con v como vector propio asociado, entonces es el valor propio de

A con v como vector asociado.

Los valores propios de AT

son los valores propios de A.Propiedades:

Si A es una matriz hermitiana, todos sus valores propios de A son reales. Adems, losvectores propios correspondientes a valores propios distintos son ortogonales.

Si A es una matriz hermitiana, existe una matriz U tal que U1AU = D, es una matrizdiagonal. Los valores propios de A estn sobre la diagonal principal de D.

D = diag(1, 2, . . . , n)


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Si A es una matriz normal, existe una matriz unitaria U tal que U1AU = D, es unamatriz diagonal. Recprocamente, si A es una matriz para la cual existe una matrizunitaria U tal que U1AU = D, es una matriz diagonal, A es una matriz normal.

Ejemplo:

Sea

A = 1i i1determine una matriz P tal que P1AP = D, es una matriz diagonal.

det A = |A| = 1i i1

= 1 + i2 = 0AT =

1

ii

1

; A es hermitiana

ahora calculemos los valores propios de A.

det(A I) =

1

i

i

1

= (1 )2 + i2

(1 )2 + i2 = 1 2 + 2 1 = 0

( 2) = 0

= 0

= 2

Primero calculemos el vector propio v1, asociado al valor propio = 0 1i

i

1

...:

0

0

1

0

i

0

...:

0

0

v1 = i1

ahora el vector propio v2, asociado al valor propio = 2

1i i1...:

0

0 10 i0...:

0

0 v2 = i1por lo tanto

P =

i1

i

1

y P1 =

i2

i2

1212

1.9. Espacio Vectorial Producto

Sean E y F dos espacios vectoriales definidos para el mismo campo escalar K.

Formemos el producto cartesiano de ambos espacios vectoriales. Si defnimos en dicho conjunto lasoperaciones por componentes, obtenemos un nuevo espacio vectorial.

E F = {(e, f) / e E, f F}dotado de las operaciones para (e1, f1), (e2, f2) E F, K

: (e1, f1) (e2, f2) = (e1 + e2, f1 + f2) : (e1, f1) = (.e1,.f1)


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Propiedades:

Si E y F son de dimensin finita, entonces E F es de dimensin finita.Adems si

{e1, e2, . . . . . . , en} base de E

{f1, f2, . . . . . . , f n

}base de F

Sea (x, y) E F, entoncesx E, x =

ni=1

xiei

y F, x =n

i=1

yifi

(x, y) =

ni=1

xiei,m

j=1

yjfj

= ni=1

xiei, 0F

+

0E, mj=1

yj fj

(x, y) =

n

i=1 xi(ei, 0F) +m

j=1 yj (0E, fj)donde

B =

(ei, 0F), (0E, fj) ,

i = 1, 2, . . . , n

j = 1, 2, . . . , m

genera E F

ahora, probemos que B es linealmente independiente.

Sean

i=1

i(ei, 0F) +m

j=1

j (0E, fj) = (0E, 0F)

n

i=1 iei,m

j=1 j fj = (0E, 0F)n

i=1

iei = 0E ,m

j=1

j fj = 0F

Como {ei} es base de E, entonces i = 0, i = 1, 2, . . . , n y adems {fj} es base de F, entoncesj = 0, i = 1, 2, . . . , m, entonces B es linealmente independiente i.e la base es libre.Por tanto,

dim E F = dim E+ dim FE {0} y {0} F son subespacios vectoriales suplementarios del producto que podemos identifcarcon E y F respectivamente.

Observaciones:Sean

(E, , E), (F, , F)espacios vectoriales euclideanos o hermitianos.Si para E F se define , EF.

(e1, f1), (e2, f2)EF = e1, e2E + f1, f2Fentonces (E F, , EF) es un espacio vectorial euclideano o hermtico respectivamente.


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1.10. Ejercicios Resueltos:

1. Se considera la matriz

A =

0 0 0 i0 0 i 00 i 0 0

i 0 0 0

a) Hallar el determinante de A.

det A = det

0 0 0 i0 0 i 00 i 0 0i 0 0 0

= i.(i3) = i4 = 1

b) Calcular A2.

A.A =

0 0 0 i0 0 i 00 i 0 0

i 0 0 0

.

0 0 0 i0 0 i 00 i 0 0

i 0 0 0

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= I4

c) SiA es inversible hallar A1

Dado que A.A = I4, se tiene que A = I4A1, es decir A = A1, por lo tanto

A1 =

0 0 0 i0 0 i 00 i 0 0i 0 0 0

d) La matriz A es hermitiana? normal? unitaria?.

Mostremos que A es hermitiana

AT = 0 0 0 i0 0 i 00 i 0 0

i 0 0 0

T

= 0 0 0 i0 0 i 00 i 0 0

i 0 0 0

T

= 0 0 0 i0 0 i 00 i 0 0

i 0 0 0

= AAhora como A es hermitiana, tenemos que A es normal.

Y adems A.A = I por c) y A = AT, tenemos que A.AT = A.A = I = A.A, entoncesA es unitaria.

e) Calcular sus valores y vectores propios

p() = (A I) =

0 0 i0 i 00 i

0

i 0 0

=

4 22 + 1,

1 = 12 = 13 = 14 = 1

calculemos ahora los vectores propios asociados a los valores propios encontrados.

Reemplazamos el valor 1,2 = 1, en la matriz, y tenemos1 0 0 i : 00 1 i 0 : 00 i 1 0 : 0i 0 0 1 : 0


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sumamos i veces la primera a la cuarta fila1 0 0 i : 00 1 i 0 : 00 i 1 0 : 00 0 0 0 : 0

sumamosi veces la segunda a la tercera fila.

1 0 0 i : 00 1 i 0 : 00 0 0 0 : 00 0 0 0 : 0

por lo tanto

v =

x1x2x3x4

=

ix4ix3x3x4

= x3

0i10

+ x4

i001

v1 =

0

i10

, v2 = i

001

Reemplazamos el valor 3,4 = 1, en la matriz, y tenemos

1 0 0 i : 00 1 i 0 : 00 i 1 0 : 0i 0 0 1 : 0

multiplicamos por 1, la matriz y obtenemos

1 0 0

i : 0

0 1 i 0 : 00 i 1 0 : 0i 0 0 1 : 0

sumamosi veces la primera a la cuarta fila

1 0 0 i : 00 1 i 0 : 00 i 1 0 : 00 0 0 0 : 0

sumamos i veces la segunda a la tercera fila

1 0 0 i : 00 1 i 0 : 00 0 0 0 : 00 0 0 0 : 0

por lo tanto

u =

y1y2y3y4

=

iy4iy3

y3y4

= y3

0i10

+ y4

i001


30/120


v3 =

0i10

, v4 =

i001

2. Sean(H1, , 1) y(H2, , 2) dos espacios hermitianos. Se define la aplicacin b : H1H2 C mediante

b (x = (x1, x2), y = (y1, y2)) = x1, y11 + x2, y22 Si H1 = C2 y H2 = 2(C) con los productos escalares usuales a, b1 = aTb y p, q2 =1

0

p(t)q(t)dt calcular b(u, v) si:

u = ((1 2i, 3i), (3 i) 5t2) y v = ((i, 1 + i), 2 it).

b(u, v) = b

((1 2i, 3i), (3 i) 5t2), ((i, 1 + i), 2 it)=

(1

2i, 3i), (

i, 1 + i)

1 +

(3

i)

5t2, 2

it

2

= (1 2i, 3i) i1 i

+10

[(3 i) 5t2](2 it)dt

= i + 2 + 3i + 3 +

10

[2(3 i) 10t2 + it(3 i) 5it3]dt

= 5 + 4i +

2(3 i)t 10

3t3 +

i

2(3 i)t2 5

4it4 1

0

= 5 + 4i + 6 2i 103

+3

2i +

1

2 5

4i

=43

6+

9

4i

3. Sea H = u v

u v

, u, v C

M2(C). Los elementos de H se dicen cuaterniones.

a) Demostrar queH es un subespacio vectorial real deM2(C). Dar una base y su dimensin.

P.D. H no es vaco.Para mostrar que H no es vaco, basta tomar u = v = 0, con lo cual la matriz nulapertenece a H.

P.D.

u,v,w,z

C, u vu v + w zw z H.

u vu v

+

w zw z

=

u + w v + zu + w v + z

=

u + w v + zu + w v + z

por lo tanto

u + w v + zu + w v + z

H


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4. Verificar si la aplicacin T : C C, T(z = a + ib) = a ib es una aplicacin lineal sia) C es un espacio vectorial real.

P.D. T(z + w) = T(z) + T(w) donde z = a + ib, w = c + id.

T(z + w) = T(a + ib + c + id)

= T((a + c) + i(b + d))

= (a + c) i(b + d)= (a ib) + (c id)= T(a + ib) + T(c + id)

T(z + w) = T(z) + T(w)

P.D. T(z) = T(z) donde R y z = a + ib.

T(z) = T((a + ib))

= T(a + ib)

= a ib= (a ib)= T(a + ib)

T(z) = T(z)

Si es aplicacin en un espacio vectorial real.

b) C es un espacio vectorial complejo.

P.D. T(x + y) = T(x) + T(y) donde x = a + ib, y = c + id.

T(x + y) = T(a + ib + c + id)= T((a + c) + i(b + d))

= (a + c) i(b + d)= (a ib) + (c id)= T(a + ib) + T(c + id)

T(x + y) = T(x) + T(y)

P.D. T(z) = T(z) donde = (e + if) C y z = a + ib.

T(z) = T((e + if)(a + ib))

= T((ea f b) + i(af + be))= (ea f b) i(af + be)= (e if) + (a ib)= T(e + if) + T(a + ib)

= T() + T(z)

T(z) = T(z)

No es aplicacin en un espacio vectorial complejo.


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5. Sea u = (1, i, 1 + i) C3, hallar una base ortogonal de U = {v C3 / u, v = 0}u = (1, i, 1 + i) ; v = (a + ib,c + id,e + if)

u, v = (1, i, 1 + i).(a + ib,c + id,e + if)= (a + ib) + i(c + id) + (1 + i)(e + if)

= (a d + e f) + i(b + c + e + f) = 0

por tanto (a d + e f) = 0, y (b + c + e + f) = 0, ahora demos valores para: a,b,c,d, quesatisfagan las 2 ecuaciones.

Seaa = 1, b = 3, c = 2, d = 4

entonces

e =d a b c

2= 1, f =

a b c d2

= 2es decir

v = (1 + 3i,

2 + 4i, 1

2i)

por tantoU = gen{(1 + 3i, 2 + 4i, 1 2i)}

6. Ortogonalizar u1 = (0, 1, 1), u2 = (1 + i, 1, 1) y u3 = (1 i, 1, 1)v1 = u1 = (0, 1, 1)v2 = u2 proyv1u2 = (1 + i, 1, 1) 0 = (1 + i, 1, 1)v3 = u3 proyv1u3 proyv2u3 = (1 i, 1, 1) 0 (2, 1 i, 1 i) = (1 i,i,i)por tanto

B = {(0, 1, 1), (1 + i, 1, 1), (1 i,i,i)}es una base ortogonal.

7. Representaru = (3 i, 0, 1 i) en la base ortogonal hallada.Ahora debemos hallar , , C tal que

u = v1 + v2 + v3

Formando la matriz aumentada tenemos

0 1 + i 1 i ... 3 i

1 1 i

..

. 01 1 i ... 1 i

sumamos1 veces la tercera fila a la primera1 i 1 2i ... 21 1 i

... 0

1 1 i ... 1 i


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sumando 1 veces la tercera a la segunda fila y sumando 1 veces la primera a la tercera fila.

1 i 1 2i ... 20 2 2i

... 1 i0 1 + i 1 i ... 3 i

multiplicamos por1

1 + ila tercera fila.

1 i 1 2i ... 20 1 i

... 1i2

0 1 1 ... 1 2i

sumando 1 veces la segunda a la tercera fila

1 0 1 i ... i

0 1 i... 1i2

0 0 1 i ... 13i2

finalmente multiplicando por1

1 i la tercera fila1 0 0

... 13i2

0 1 0... 3+2i

2

0 0 1... 1+2i

2

por tanto las soluciones son:

=1 3i

2; =

3 + 2i

2; =

1 + 2i

2

es decir

u =1

2

1 3i3 + 2i1 + 2i

B


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1.11. Ejercicios Propuestos

1. Cules de las siguientes matrices son hermitianas, cules son unitarias y cules normales ?.

a)

i ii 1

b) 3 2 + i

2 i 4

c)

2 1 i3 + i 2

d)

4 + 7i 2 i1 2i 3 + 4i

e)

1i2

1+i2

1+i2

1i2

f)

1 0 00 1+i3 130 1

31i3

g)

1 3 i 4 i3 + i 2 2 + i4 + i 2 i 3

2. Resuelva los siguientes sistemas lineales complejos, mediante reduccin de Gauss - Jordan.

a) (1 + 2i)x1 + (2 + i)x2 = 1 3i(2 + i)x1 + (1 + 2i)x2 = 1 i

b)

(1 + i)x1 x2 = 2 + i2ix1 + (1 i)x2 = i

3. Determine si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales (justifique).

a) (Q,R, +, .)

b) {f C[0, 1] : f(0), f(1) = a}. Para que valores de a?.c) {a0 + a1x + . . . + anxn : a0 = a1 = . . . = an, ai R, i}

4. Estudiar si los conjuntos siguientes de nmeros reales y las operaciones que se indican formano no, un espacio vectorial sobre el cuerpo de los nmeros racionales:

a) A = {x + y5 : x, y Z} y las operaciones

(x1 + y1

5) + (x2 + y2

5) = (x1 + x2) + (y1 + y2)

5

(x + y

5) = (x) + (y)

5

b) B = {x + y5 : x, y Q} y las mismas operaciones anteriores.

5. Sea E el conjunto de las sucesiones infinitas de nmeros reales; en E se consideran las ope-raciones

(xn) + (yn) = (xn + yn), (xn), (yn) E(xn) = (xn), R, (xn) E

a) Demuestre que E con dichas operaciones, es espacio vectorial.

b) Demuestre que los siguientes subconjuntos son subespacios de E:

Las sucesiones acotadas.Las sucesiones constantes.


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Las sucesiones con lmite.

c) Analice si los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de E:

La sucesiones con lmite igual a 1.

Las sucesiones con trminos positivos.

Las sucesiones sin lmite.

6. Sea E el conjunto de las funciones reales de una variable real y considrese las siguientesoperaciones de suma y producto por un escalar:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), f, g E, x R

(f)(x) = f(x), f E, , x Ra) Demuestre que E con dichas operaciones es un espacio vectorial.

b) Demuestre que los siguientes subconjuntos son subespacios de E:

Las funciones pares.

Las funciones impares.Las funciones acotadas.

Las funciones polinmicas.

Las funciones continuas.

Las funciones derivables.

Las funciones que se anulan en el punto x = 1.

c) Analice si los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de E:

Las funciones que no se anulan en ningn punto.

Las funciones con algn punto de discontinuidad.Las funciones negativas.

Las funciones acotadas superiormente por la unidad.

7. SeaE = 4[t] = { polinomios de grado 4}

Pruebe que

F = {p E |10

p(t)dt = 0}

es un subespacio vectorial de E y encuentre una base para F.

8. Sea el espacio vectorial real

E = [x, y] = { polinomios de dos variables reales}

Se considera el conjunto

F = 1[x, y] = {p(x, y) = ax + bx + cy, a, b , c R}

Demostrar que F es un subespacio vectorial de E, hallar una base y dar su dimensin.


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9. Sea E = R3, adems

S = {(x1, x2, x3) E | x1 x2 + 2x3 = 0}T = {(y1, y2, y3) E | y1 = + , y2 = + , y3 = + 2+ , , , R}

Hallar una base y dar su dimensin de los subespacios vectoriales S y T.

10. Se considera el espacio vectorial complejo de las matrices 2 2 con trminos complejos.a) Dar una base y la dimensin deM2(C).b) Se consideran las tres matrices complejas dadas por Pauli5 para estudiar los espines de

los electrones.

1 =

0 11 0

, 2 =

0 ii 0

, 3 =

1 00 1

Mostrar que la matriz identidad con estas tres matrices forman una base ortonormal deM2(C) para el producto escalar definido por

A|B = 12

tr(ATB)

c) Deducir la frmula de ni , para i = 1, 2, 3 y adems n N.

11. Sea la matriz

A =

2 0 00 2 i0 i 2

a) Calcular el determinante

b) EsA una matriz hermitiana ?.

c) Hallar A1.

c) Hallar los valores y vectores propios asociados a la matriz.

d) Se puede escribir la matriz de la forma A = B+iC, dondeB es real simtrica(B = BT)y C es real antisimtrica (C = CT) ?.

12. Muestre que si A es unitaria, P no singular y B = AP entonces P B1 es unitaria.

13. Calcular los valores y vectores propios asociados a la matriz

A =

0 0 0 i0 0 2i 00 3i 0 04i 0 0 0

14. Hallar un conjunto de vectores ortonormal a partir de

u1 = [1 + i,i, 1], u2 = [2, 1 2i, 2 + i], u3 = [1 i, 0, i]5Wolfgang Ernst Pauli. Premio Nobel de Fsica 1945 por el descubrimiento del Principio de exclusin


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15. Construya una base ortonormal para P3[0, 2].

16. Determine el coseno del ngulo que forma cada par de vectores

a) u = (1, 2), v = (2, 3).

b) u = (1, 2, 3), v = (2, 0, 1).c) u = (1, 0, 3, 4), v = (1, 1, 4, 2).

17. La siguiente proposicin es verdadera o falsa para un espacio vectorial real o complejo?.

x = y si y slo si x + y, x y = 0Demostrar o dar un contraejemplo.


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2Espacio vectorial cociente

En este captulo vamos a estudiar conjuntos sobre los cuales vamos a definir ciertasrelaciones de equivalencia, los mismos que a su vez, van a adquirir la estructura deespacio vectorial mediante las operaciones de suma y producto por escalar definidasespecialmente para dichos conjuntos.

2.1. Relaciones binariasEn el lenguaje ordinario tratar de ver si dos objetos guardan cierta relacin entre s, o por el

contrario si no tienen nada en comn, nos lleva a pensar que se debe satisfacer alguna proposicino dejar de satisfacerse, para dichos ob jetos.

Definicin 2.1. Sea E un espacio vectorial, por una relacin R en E entendemos el subconjuntode E E, tal que satisface las siguientes propiedades:Sea R una relacin en E; entonces

1. R se dice reflexiva si

x

E, (x, x)

R2. R se dice simtrica si

(x, y) R (y, x) R

3. R se dice anti-simtrica si

(x, y) R (y, x) R x = y

4. R se dice transitiva si

(x, y) R (y, z) R (x, z) R

Ejemplo:1. Como ejemplo de relacin entre elementos de un mismo conjunto puede considerarse lo si-

guiente:

Para el conjuntoA = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

se dice que a est relacionado con b si y slo si

a es primo y adems a y b no son primos entre s

39


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esta relacin tiene el siguiente grafo:

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (5, 5), (7, 7)}Para representar esta relacin se puede unir mediante lneas los elementos relacionados entres, pero ahora se hace necesario, al considerar un solo conjunto, indicar con una flecha cul esel primer y cul el segundo de los elementos que estn relacionados, ya que por ejemplo

(2, 4) R, pero, sin embargo (4, 2) / R

procediendo de este modo se puede obtener el esquema, llamado sagital, siguiente:

A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2.2. Relacin de equivalencia

La idea de relacin de equivalencia es una importante extensin y generalizacin de latradicional idea de igualdad que se utiliza en la matemtica.

Definicin 2.2. Una relacin, se dice de equivalencia si sta es reflexiva, simtrica y transitiva.

Observacin 2.1. Dado una relacin de equivalencia R en E, algunas veces se escribe x y enreemplazo de (x, y) R, y decimos que x es equivalente a y, dada la relacin R.

Note que si R, es una relacin de equivalencia en E, se tiene:1. x x, x E.2. x y y x.3. x y y z x zEjemplo:

1. Para el conjunto N2 de los pares de nmeros naturales, la relacin

(x1, x2) (y1, y2) si y slo si x1 + y2 = y1 + x2

es una relacin de equivalencia.

2. Sea el conjunto

Q3[x] = { polinomios de grado igual a 3 } = {p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 / a3 = 0}


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entonces Q3[x] no es subespacio vectorial, pues

a3x3 Q3; a3x3 Q3 0 / Q3

Si para todo p, q Q3[x] se define la relacin:

p q

dp

dx=

dq

dx

Pruebe que es una relacin de equivalencia.

Ahora, para mostrar que es una relacin de equivalencia debemos probar que es reflexiva,simtrica y transitiva, por tanto:

P.D. es reflexiva

p p, puesdp

dx=

dp

dx

La identidad se tiene de forma directa.

P.D. es simtrica

p q, dpdx

= dqdx

dqdx

= dpdx

La igualdad es obvia.

P.D. es transitiva

p q, dpdx = dqdxq r, dqdx = drdx

dp

dx=

dr

dxes decir p r

Igualamos los polinomios y obtenemos la igualdad requerida.

por tanto es una relacin de equivalencia en Q3[x].

2.2.1. Clases de equivalencia

Definicin 2.3. Sea E un espacio vectorial y sea R una relacin de equivalencia en E. Si x E,entonces la clase de equivalencia de x dado R, es el conjunto Rx definido como:

Rx = {y E / (y, x) R} = {y E / y x}dicho de otro modo, Rx es el conjunto de todos los elementos de E que son equivalentes a x. Lasclases de equivalencia se las nota de la forma x/R.

Definicin 2.4. Si R es una relacin de equivalencia en un espacio vectorial E, entonces el conjuntode las clases de equivalencia de R, se denomina conjunto cociente de Epor R y se nota como E/R.

Ejemplo:

1. En el ejemplo anterior vimos que es una relacin de equivalencia, ahora encontremos laclase de equivalencia.

Sea p Q3[x], entoncesp = {q Q3[x] / p q}


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por lo tanto si

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 dpdx

= a1 + 2a2x + 3a3x2

y

q(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x

3 dqdx

= b1 + 2b2x + 3b3x2

ahora se tiene que

dp

dx=

dq

dx a1 + 2a2x + 3a3x2 = b1 + 2b2x + 3b3x2

es decira1 = b1; a2 = b2; a3 = b3

por tantop = {q Q3 / a1 = b1; a2 = b2; a3 = b3}

Grficamente para el ejercicio anterior, dado

p(x) = 3 3x 2x2 + x3

las clases de equivalencia de p, lo conforman todos los polinomios de tercer grado que tienen lamisma pendiente que p, para todo x R.

q(x) = 9 3x 2x2 + x3

q(x) = 6 3x 2x2 + x3

q(x) = 3 3x 2x2 + x3

q(x) = 3x 2x2 + x3

q(x) = 3 3x 2x2 + x3

x

y

es decir, las clases de equivalencia de p, lo forman todos los polinomios de la forma

q(x) = 3x 2x2 + x3, R.


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2.2.2. Particin y equivalencia

Si es una equivalencia para un conjunto E, resulta, de cuanto se acaba de exponer, que elconjunto de las clases de equivalencia es una particin de E, ya que las clases son conjuntos disjun-tos de E y todo elemento de E pertenece a una clase (aquella que le tiene por representante).

Por tanto, a partir de una equivalencia en un conjunto, se ha llegado a una particin del mismo:

la constituida por las clases de equivalencia.

Recprocamente, dada una particin

{Ei | i = 1, 2, . . . , n}de un cierto conjunto E, la relacin definida en E mediante a b si y slo si a y b pertenecena un mismo subconjunto de los que constituyen la particin, evidentemente una equivalencia paraE; las clases de equivalencia de son entonces los conjuntos Ei que constituyen la particin.

Puede en consecuencia afirmarse que a toda equivalencia en un conjunto le corresponde unaparticin del mismo, la formada por la clases de equivalencia; y, recprocamente, a toda particinde un conjunto le corresponde una equivalencia en el mismo.

2.3. Conjunto cociente

Definicin 2.5. Dado un conjunto E y una relacin de equivalencia en l, se llama conjuntocociente de E por , y se le representa por E/ , al conjunto cuyos elementos son las clases deequivalencia definidas en E por ; es decir, el conjunto cociente es la particin de E subordinadapor la equivalencia .

Ejemplo:

1. Para la relacin de equivalencia definida en N2 mediante

(x1, x2) (y1, y2) si y slo si x1 + y2 = y1 + x2

a la clase de representantes(x1, x2)

es decir, aR(x1,x2) = {(y1, y2) N2 | (x1, x2) (y1, y2)}

tambin pertenecen los pares(x1 + h, x2 + h)

para todo nmero natural h, as como los pares

(x1 h, x2 h)para todo natural

h

x1 y h

x2

para elegir un representante sencillo de la clase R(x1,x2) se puede proceder del siguiente modo:primero, si x1 > x2 entonces se adopta como representante a (x1 x2, 0); segundo, si x1 < x2,entonces se toma como representante al par (0, x1 x2); y tercero, si x1 = x2, entonces seadoptar como representante de la clase (0, 0).

El conjunto cociente de N2/ ser, en consecuencia

{R(r,0), R(0,s), R(0,0) | r, s N}


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este conjunto se representa por Z, y su elementos, una vez definidas las adecuadas operacionesalgebraicas, reciben el nombre de nmeros enteros, de manera que el entero R(r,0) es posibleidentificarlo con el natural r, al entero R(0,s) se le designa por s, y entonces

Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , n ,n , . . .}

2.4. Relacin de equivalencia en un espacio vectorial

Definicin 2.6. Sea E un espacio vectorial, y F un subespacio vectorial de E, la relacin deequivalencia de x E se define como:

x y x y F

Observacin 2.2. La relacin es una relacin de equivalencia.

Demostracin:

i) P.D. es reflexiva.

Sea x E, x x = 0 F, pues F es subespacio vectorial x x

ii) P.D. es simtrica.

Sean x, y E tal que x y x y F

(x y) F, pues F es subespacio vectorial

y x F y x

iii) P.D. es transitiva.

Si x,y,z E, x y, y z, x y F, y z F

[(x y) + (y z)] F, pues F es subespacio vectorial

x z F x z

Entonces es una relacin de equivalencia.

Ejemplo:

1. Sea E un espacio vectorial, y F = {0} subespacio vectorial.Sean x, y E.

x y x y F x y = 0 x = y


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Por tantox = {y E / x y}

x = {x}Las clases de equivalencia forman una particin de E, es fcil verificar que

xEx = E

dondex y = si x = y

Por tanto el conjunto cociente es:

E/F = {x, x E} = {{x}, x E}Ahora si

x y x y E Fx = {y / y E} = E

E/F = {E}

2. Sea E = R2 y F = {(u1, u2) E / 2u1 u2 = 0}Si u = (u1, u2) E y v = (v1, v2) E, se tiene que:

u v u v F 2(u1 v1) (u2 v2) = 0 2u1 u2 = 2v1 v2

u = {(v1, v2) E / 2v1 v2 = 2u1 u2}Veamos ahora un ejemplo grfico:

Supongamos que u = (4, 3), por tanto

u

4

3

F

u

x

y


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u = {v = (v1, v2) E / 2v1 v2 = 11}el mismo que no es subespacio vectorial porque no tiene el 0.

En el grfico observamos que las clases de equivalencia de un vector u, no es ms que las

rectas paralelas a F, y que contienen el extremo del vector u R2

.Adems0 = {v = (v1, v2) E / 2v1 v2 = 0} = F

2.5. Co - conjunto (coset)

Definicin 2.7. Sea E un espacio vectorial, y F un subespacio vectorial de E, adems si x E,se define el co - conjunto como:

x + F = {z E / z = x + f, f F}

Observaciones

De la definicin anterior tenemos que:

z x + F (x z) F x z + F

es decir

x z x z F z x + F x z + F

La relacinx z z x + F

es de equivalencia.

i) x x pero x x + F ya que x = x + 0ii) x y y x + F x y + F y x

iii)x y

y z

y x + Fz y + F

Ahora s, z y + F

y = x + f1, f1 Fz = y + f2, f2 F

z = x + (f1 + f2) F

z x + F

Observaciones:

{x + F}xE forman una particin de E.


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i) (x + F) (y + F) =

x + F

ii) x E pertenece a algn y + F.

En E/F (x y z x + F)Se definen

x y = (x + F) (y + F) = (x + y) + F x = (x + F) = x + F

Teorema 2.1. Sea E un espacio vectorial, y F un subespacio vectorial de E.Sea {w1, w2, . . . , ws} base de F y {u1, u2, . . . , ur} base de E/F, donde uj = uj + F.Entonces {w1, w2, . . . , ws, u1, u2, . . . , ur} es base de E.Adems

dim E = dim F + dim(E/F)

es decir

dim(E/F) = dim E dim FDemostracin:

i) Sea x E

x = x + F = 1u1 + 2u2 + . . . + rur

= 1u1 + 2u2 + . . . + rur

x 1u1 + 2u2 + . . . + rur= 1u1 + 2u2 + . . . + rur + 1w1 + 2w2 + . . . + sws

ii) B es libre.1u1 + 1u2 + . . . + rur + 1w1 + 2w2 + . . . + sws = 0 (E) (1)

1u1 + 1u2 + . . . + rur + 1w1 + 2w2 + . . . + sws = 0 (E/F)

1u1 + 1u2 + . . . + rur +1w1 + 2w2 + . . . + sws = 0 (E/F)

1u1 + 1u2 + . . . + rur + 0 = 0 (E/F)

pues {u1, u2, . . . , ur} es base de E/F

1 = 2 = . . . . . . = r = 0

En (1) se tiene que 1w1 + 2w2 + . . . . . . + sws = 0

por tanto1 = 2 = . . . . . . = s = 0

pues {w1, w2, . . . , ws} es base de F.Por lo tanto se sigue que B es libre.


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2.6. Espacio vectorial cociente

Proposicin 2.1. El conjunto E/F queda dotado de la estructura de espacio vectorial sobre elmismo cuerpo K que E mediante las operaciones:

(x + F) + (y + F) = (x + y) + F

(x + F) = (x) + FDemostracin:

1. En primer lugar hay que probar que estas operaciones son vlidas en el sentido de tenerresultado nico, independiente de los representantes de cada clase. En efecto, si en la clase

x + F

cambiamos su representante x por x, como ambos deben ser congruentes, se cumplir que

x x F

en cuyo caso(x y) (x y) = x x F (x + y) + F = (x + y) + F

(x) (x) = (x x) F (x) + F = (x) + Fsi en la suma cambiamos el representante del segundo dato, el razonamiento es similar.

2. Puesto que las operaciones con clases se efectan a partir de las correspondientes con susrepresentantes, se heredan sin ms las propiedades asociativa y conmutativa de la adicin, ascomo las cuatro propiedades de la multiplicacin por un escalar.

3. La clase0 + F = F

sirve de neutro para la adicin de clases.4. Para cada x, las clases

x + F, y (x) + Fson opuestas entre s.

Como veremos a continuacin este nuevo espacio vectorial, recibe el nombre de espaciovectorial cociente del espacio E mediante el subespacio F.

Definicin 2.8. Sea Eun espacio vectorial, y F un subespacio vectorial de E, entonces llamaremosespacio vectorial cociente al espacio E/F definido como:

E/F ={{

x}

, x

E}

donde:{x} = {y E / x y} = {y E / x y F}

Por tanto E/F es un espacio vectorial, para esto definimos las siguientes operaciones:

Se define para x E/F, y E/F, R

x y = x + y ; x = .x


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Entonces(E,R, , )

es un espacio vectorial.

Probemos que estas operaciones estn bien definidas, es decir no dependen del representante.

Sean x, y E/F, y sean x, x0 x, y, y0 y.

P.D. x y = x0 + y0Por hiptesis

x x0 x x0 Fy y0 y y0 F

es decir(x + y x0 y0) F

(x + y) (x0 + y0) F

(x + y) (x0 + y0)

por tantox + y = x0 + y0

Sea x E/F, R y sean x0 xP.D. x = x0

como

x x0 x x0 F

(x

x0

)

F pues F es s.e.v

x x0 F x x0 x = x0 x = x0

P.D. x 0 = x

pues

x 0 =

x + 0 = x


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2.7. Ejercicios resueltos:

Sea F un subespacio vectorial de E. Demostrar que:

1. Si {u1 + F, u2 + F , . . . , ur + F} es libre en E/F, entonces {u1, u2, . . . , ur} es libre en E.Suponemos que 1u1 + 2u2 + . . . + pup = 0E P.D. 1 = 2 = . . . = p = 0.

por tanto1u1 + 2u2 + . . . + pup = 0E/F

de donde, se tiene1u1 + 2u2 + . . . + pup = 0E/F

1

por operaciones en (E/F), entonces

1 = 2 = . . . = p = 0

pues{u1, u2, . . . , up} es libre.

en conclusin

{u1, u2, . . . , up

}es libre.

2. Sea f : E F, una aplicacin lineal, adems sea G = N(f).Halle el espacio vectorial E/G.

Por definicin se tiene

E/G = {x E / x +N(f)} = {x / x E}adems

x =

{y

E / (x

y)

N(f)

}= {y E / f(x y) = 0}= {y E / f(x) f(y) = 0}= {y E / f(x) = f(y)}

3. Sea E = R3 espacio vectorial y f una aplicacin lineal definida por

f : R3 R(x1, x2, x3) f(x1, x2, x3) = x1 2x2 + 3x3

y sea G = N(f). Encuentre E/G.

Primero hallemos una base de G.

N(f) = {(x1, x2, x3) R3 / x1 2x2 + 3x3 = 0}= {(2x2 3x3, x2, x3) / x2, x3 R}= {x2 (2, 1, 0)

v1

+x3 (3, 0, 1) v2

}

= gen{v1, v2}1Recuerde que u = u+ F.


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Ademsdim G = dimN(f) = 2

Ahora sea x = (3, 2, 1) por tanto

x = {y R3 / (x y) N(f)}

= {(y1, y2, y3) R3

/ f(x1 y1, x2 y2, x3 y3) = 0}= {(y1, y2, y3) R3 / f(3 y1, 2 y2, 1 y3) = 0}= {(y1, y2, y3) R3 / 3 y1 2(2 y2) + 3(1 y3) = 0}

es decirx = {(y1, y2, y3) R3 / y1 2y2 + 3y3 = 10}

Por tantoE/G = {x / x E}

y aplicando el teorema de la dimensin se tiene

dim(E/G) = dim E dim G

= 3 2= 1

Entonces ahora hallemos una base de E/G.

Para esto se tieneE = [N(f)] [N(f)] 2

de donde[N(f)] = {x R3 / x, y = 0, y N(f)}

es decir

x

N(f)

{(x1, x2, x3), (2, 1, 0)

= 0, y

(x1, x2, x3), (

3, 0, 1)

= 0

}de donde 2x1 + x2 = 03x1 + x3

x2 = 2x1x3 = 3x1

por tantox = {x1 (1, 2, 3)

v

, x1 R}

entonces{v} es base de E/G.

4. Sea E = M(R)22. Se considera

F = {A = (aij ) E |2

j=1

aij = 0, i = 1, 2 ;

2i=1

aij = 0, j = 1, 2}

2Todo espacio vectorial E, es igual a la suma directa de cualquier subespacio S de E y su complemento S. Esdecir

E= S S.


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a) Mostrar que F es un subespacio vectorial de E. Hallar una base y dar la dimensin.

Primero expresando los elementos de F en forma matricial se tiene

F = {A = (aij ) E | A =

a aa a

, a R}

por tanto

F = gen 1 11 1 v1

es decir v1 es base de F y ademsdim F = 1

P.D. 0 F.Bastara tomar a = 0, con lo cual

0 00 0

F

P.D.

A, B

F, se tiene que A + B

F.

Sea

A =

a a

a a

; B =

b b

b b

entonces

A B =

(a + b) (a + b)(a + b) (a + b)

F

P.D. R, A F, se tiene que A F.Sea

A =

a a

a a

entonces

a aa a = a aa a F, a RPor tanto F es subespacio vectorial de E.

b) Caracterizar los elementos de E/F y dar la dimensin de este espacio cociente.

El conjuntoE/F = {A | A E}

en dondeA = {B E | A B} = {B E | A B F}

es decir

A =

B E | B = A +

1 1

1 1

, R

dim E/F = dim E dim F = 4 1de donde tenemos que

dim E/F = 3

5. Sea E = R3, y el conjunto

F = {(x1, x2, x3) E | x2 = 3x1 + 2x3}


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a) Hallar una base y dar la dimensin del subespacio vectorial F.

Sea (x1, x2, x3) F, por tanto

x1x2x3

=

x1

3x1 + 2x3x3

= x1

1

30

v1+x3

021

v2de donde, adems v1, v2 son linealmente independiente.Por tanto

F = gen{(1, 3, 0), (0, 2, 1)}y adems

dim F = 2.

b) Caracterizar los elementos del espacio cociente E/F.

ComoE/F = {x, x E}

de donde x = {y E | x y} = {y E | (x y) F}y adems

(x y) F (x1, x2, x3) (y1, y2, y3) F (x1 y1, x2 y2, x3 y3) F

por tantox = {(y1, y2, y3) E | x2 y2 = 3(x1 y1) + 2(x3 y3)}

dim(E/F) = dim E dim F= 3 2= 1


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2.8. Ejercicios propuestos

1. Sea E = R3 y el conjunto

F = {(x1, x2, x3) E | x1 x2 = 0}a) Pruebe que F es un subespacio vectorial de E.

b) Encuentre las clases de equivalencia de E/F.c) Halle una base y la dimensin de E/F.

2. Sea E = R4 y el conjunto

F = {(x1, x2, x3, x4) E | 2x1 x2 = 0, x1 + 3x3 x4 = 0}a) Demostrar que F es un subespacio vectorial de E.

b) Caracterizar las clases de equivalencia de E/F.

c) Encontrar la dimensin y una base de E/F.

d) Encuentre F.

3. Sea E = [t] = { polinomios de variable t } y sea el subespacio vectorialF = { polinomios divisibles por t4 }

a) Encuentre E/F y dar su dimensin.

4. Sea E = [t] = { polinomios de variable t } y sea el subespacio vectorialF =

{polinomios divisibles por (t

1

2

)2

}a) Caracterizar las clases de equivalencia de E/F.

b) Encuentre una base de E/F.

5. Sea el espacio vectorial E = 5[t] = { polinomios de grado 5 } y el conjunto

F = {p E |20

= p(t)dt = 0}

a) Pruebe que F es un subespacio vectorial de E.

b) Encuentre una base y la dimensin de F.

c) Caracterizar las clases de equivalencia E/F.

d) Encuentre una base y la dimensin de E/F.

6. Dada la aplicacin lineal

f : R3 R2(x,y,z) f(x,y,z) = (x y, y z)


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a) Encuentre N(f).b) Encuentre el espacio vectorial cociente R3/N(f).

7. Sea E un espacio vectorial y F un subespacio vectorial de E. Se define la aplicacin

: E E/Fx

(x) = x

a) Pruebe que la aplicacin f es lineal.

b) Encuentre el ncleo de .

c) Probar que es sobreyectiva.

d) Si E es de dimensin finita utilizar el Teorema de la dimensin para hallar la dimen-sin de E/F.

8. Determinar una base del subespacio vectorial de E = R4 dado por

F = {(x1, x2, x3, x4) E | x1 = x2 3x3, x3 = x4}y completarla hasta una base de R4.

Calcular tambin un subespacio suplementario de F y una base del espacio cociente R4/F.


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3Espacio dual

En este captulo vamos a considerar un espacio que es muy importante para trabajarms adelante en los espacios vectoriales; concretamente, vamos a considerar las

funciones lineales de un espacio vectorial a su cuerpo base. Como podemos definirsu adicin y multiplicacin por un escalar, del modo usual, ellas constituyen unespacio vectorial, y porque consideramos slo funciones lineales, las propiedades delespacio base se transportan al espacio de funciones.

3.1. Espacio dual de un espacio vectorial

Definicin 3.1. Dado un espacio vectorial EsobreK. Llamaremos espacio dual de Ey lo notaremospor E, al espacio vectorial

E = L(E,K) = {f : E K / f es aplicacin lineal.}A los vectores f E, los denominaremos formas lineales sobre K.

Proposicin 3.1. Dado un espacio vectorial E sobre K. Entonces se cumple que:

Toda forma lineal no nula sobre E es inyectiva.

Si E es de dimensin finita, entonces E tambin es de dimensin finita y dim E = dim E.

Dado un vector no nulo v E, existe E tal que (v) = 0.Demostracin:

Para demostrar la primera parte basta tener en cuenta que los nicos subespacios vectoriales de Kson 0 y K, y que la imagen de

E = {f : E K / f es aplicacin lineal}es un subespacio de K.

Por otra parte para probar la tercera afirmacin, tomamos v un vector no nulo de E y L unsubespacio de E tal que

E = L vsi definimos un isomorfismo

T : K vtal que T() = v y consideramos la proyeccin de E sobre v paralelamente a L

p : E v

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entonces = T1 p

es una forma lineal sobre E que satisface (v) = 1.

Ejemplo:

1. Sea f, una funcin definida por:

f : R3 R(x1, x2, x3) f(x) = x1 + x2 + x3

por tanto, f es aplicacin lineal.

2. Sea g, una funcin definida por:

g : Rn R(x1, . . . , xn) f(x) =

ni=1

cixi

por tanto, g es aplicacin lineal.3. Sea I, la funcin definida por:

I : C ([a, b]) Rf I(f) =

ba

f(t)dt

por tanto, I es aplicacin lineal.

4. Sea h, la funcin definida por:

h : Mnn RA f(A) = tr(A)

por tanto h, es aplicacin lineal.

Todos las funciones anteriores son claros ejemplos de aplicaciones lineales, los mismos que son degran importancia para el estudio del espacio dual de una espacio vectorial.

Proposicin 3.2. Sea Eun espacio vectorial definido sobre K de dimensin finita y B = {e1, e2, . . . , en}una base de E. Dados 1, 2, . . . , n K, existe una nica forma lineal : E K tal que

(e1) = 1, (e2) = 2, . . . , (en) = n

Demostracin:

Dado v

E, como B es base de E, sabemos que existen unos nicos 1, 2, . . . , nK tales que

v = 1e1 + 2e2 + . . . + nen

Si consideramos las aplicaciones lineales

pi : E eitales que pi(v) = iei y los isomorfismos

Ti : K ei


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tales que Ti() = ei, para cada i {1, 2, . . . , n} entonces = 1T

11 p1 + 2T12 p2 + . . . + nT1n pn

es la forma lineal sobre E que verifica

(e1) = 1, (e2) = 2, . . . , (en) = n.

Sea E un espacio vectorial sobre K de dimensin finita y B = {e1, e2, . . . , en} una base de E.Denotaremos por i a la (nica) forma lineal determinada por las condiciones

i(ej ) = ij1 =

0 si i = j1 si i = j

para cada i {1, 2, . . . , n}. Obsrvese que con la notacin de la demostracin de la proposicinanterior

i = T1

i pipara i = 1, 2, . . . , n y que cada una de estas formas lineales depende de la base B de E elegida.

3.2. Base dual

Proposicin 3.3. Sea E un espacio vectorial sobre K de dimensin n, y sea B = {e1, e2, . . . , en}una base de E. Existe una nica base B = {1, 2, . . . , n} de E, la cual se denomina base dualde B.

Demostracin:

Para cada 1 i n, sea i : E K una aplicacin lineal definida en la base {e1, e2, . . . , en} por

i(ej ) =

0 si i = j1 si i = j

Como dim E = n, para ver que 1, 2, . . . , n E forman una base de E, basta verificar queson linealmente independientes.

Sea 1, 2, . . . , n K tales que11 + 22 + . . . + nn = 0.

Evaluando ei, resulta que

11(e1) + 22(e2) + . . . + nn(en) = i = 0.

para i = 1, 2, . . . , n.

En consecuencia, B = {1, 2, . . . , n} verifica las condiciones requeridas.

Supongamos que {1, 2, . . . , n} sea otra base que satisface las mismas condiciones. Entonces,para cada 1 i n, se tiene que

i(ej ) = 0 = i(ej ) si 1 j n, i = j.i(ei) = 1 = i(ei).

es decir, i y i son dos aplicaciones lineales que coinciden sobre una base E. En consecuenciai = i para cada 1 i n.

1ij es la funcin delta de Kronecker.


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Ejemplo:

1. Sea E = R2. Consideremos la base B = {(1, 5)

u1

, (3, 4)

u2

}. Hallar una base B de

(R2) = {f : R2 R / f es aplicacin lineal}

Sea B = {v1 , v2}, la base que buscamos, por tanto

v1 : R2 R

(x1, x2) v1(x1, x2) = a1x1 + a2x2

v2 : R2 R

(x1, x2) v2(x1, x2) = b1x1 + b2x2que debe cumplir

v1(u1) = 1 v1(1, 5) = a1 5a2 = 1v1(u2) = 0 v1(3, 4) = 3a1 + 4a2 = 0v2(u1) = 0 v2(1, 5) = b1 5b2 = 0v2(u2) = 1 v2(3, 4) = 3b1 + 42 = 1

por tanto a1 5a2 = 13a1 + 4a2 = 0

a1 = 411a2 = 311

b1 5b2 = 03b1 + 42 = 1

b1 = 511b2 = 111

es decirv1 : R2 R

(x1, x2) v1(x1, x2) = 411x1 311x2v2 : R

2 R(x1, x2) v2(x1, x2) = 511x1 111x2

Si V : R2 R tal que v(x1, x2) = 1x1 + 2x2 entonces, v = c1v1 + c2v2

ahora

c1

4

11x1 3

11x2

+ c2

5

11x1 1

11x2

= 1x1 + 2x2

de donde 111 = 4c1 5c2112 = 3c1 c2

c1 = 1 52c2 = 31 + 42

por tanto

[v]B =

1 52

31 + 42


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2. Sea V = R2. Consideremos la base B = {(1, 1), (1, 1)}. Si B = {1, 2} es la base dual deB, entonces debe cumplir

1(1, 1) = 11(1, 1) = 0 y

2(1, 1) = 02(1, 1) = 1

Puesto que para cada (x, y)R2, se sabe que

(x, y) =x + y

2(1, 1) +

x y2

(1, 1)

resulta que

1(x, y) =x + y

2y 2 =

x y2

.

Si B es una base de un espacio vectorial E sobre K de dimensin finita y B es su base dual,es posible calcular fcilmente las coordenadas de un elemento de E en la base B utilizando la baseB. Recprocamente, utilizando la base B, es fcil obtener las coordenadas en la base B de unelemento de E. (ver el recuadro del ejercicio anterior)

Observacin 3.1. Sea B = {e1, e2, . . . , en} una base de E y sea B = {1, 2, . . . , n} su basedual.

Dado v E, podemos escribir v =n

i=1

iei con i K. Entonces, para cada 1 j n,

j (v) = j

n

i=1

iei

=

ni=1

ij (ei) = j

Luego[v]B = [1(v), 2(v), . . . , n(v)].

Dado E, existen i K tales que =n

i=1

ii. Entonces, para cada 1 j n,

(ej ) =

n

i=1

ii

(ej ) =

ni=1

ii(ej ) = j

Luego[v]B = [(e1), (e2), . . . , (en)].

Ejemplo:

Sean B = {(1, 1), (1, 1)} R2 y B = {1, 2}, con

1(x, y) =x + y

2y 2 =

x y2

.

su base dual.

1. Hallar las coordenadas del vector v = (5, 7) R2 en la base B.Teniendo en cuenta que B es la base dual de B, por la observacin anterior resulta que

(5, 7)B = [1(5, 7), 2(5, 7)] = (6, 1)


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2. Hallar las coordenadas de (R2) dada por (x, y) = 5x + 3y en la base B.Por lo segundo tem de la observacin anterior tenemos que

()B = [(1, 1), (1, 1)] = (8, 2)

Hemos visto que toda base de un espacio E sobre K de dimensin finita posee una base dualasociada. Recprocamente, resulta que toda base de E es la base dual de una base de E.

Proposicin 3.4. Sea E un espacio vectorial sobre K de dimensin n, y sea E su espacio dual.Sea B1 = {1, 2, . . . , n} una base de E. Entonces existe una nica base B = {e1, e2, . . . , en} deE que satisface B = B1.

Demostracin:

Existencia: Sea B2 = {w1, w2, . . . , wn} una base de E y sea B2 su base dual.Para cada 1 i n, se tiene que

[i]B2

= [i(w1), i(w2), . . . , i(wn)]

Como {1, 2, . . . , n} es un conjunto linealmente independiente y tomar sus coordenadas es unisomorfismo, resulta que {(1)B

2, (2)B

2, . . . , (n)B

2} Kn es linealmente independiente.

En consecuencia, la matriz

M =

1(w1) 1(w2) . . . 1(wn)2(w1) 2(w2) . . . 2(wn)

......

. . ....

n(w1) n(w2) . . . n(wn)

es inversible (sus filas son linealmente independientes).

Sea A = (aij ) su inversa. Entonces M A = In

de donde, para cada 1 i, j n.

ij = (In)ij = (M A)ij =n

k=1

MikAkj =n

k=1

i(wk)akj = i

n

i=1

akjwk

.

Para cada 1 j n, seaej =

nk=1

akj wk.

Por construccin, es claro que vale i(ej ) = ij para cada 1 i, j n.Queda por ver que

{e1, e2, . . . , en

}es una base de E.

Como dim E = dim E = n, basta ver que este conjunto es linealmente independiente.

Ahora, sin

j=1

j ej = 0, para cada 1 i n, se tiene que

i

nj=1

j ej

= nj=1

j i(ej ) = i = 0

lo que prueba la independencia lineal.


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Unicidad: Supongamos que B = {e1, e2, . . . , en} y B = {u1, u2, . . . , un} son dos bases de Etales que B

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