Apuntes de Física del Estado SólidoJ. Maza, J. Mosqueira, J. VeiraUniversidad de Santiago de Compostela, 2007

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Apuntes de Física del Estado SólidoJ. Maza, J. Mosqueira, J.A. VeiraUniversidad de Santiago de Compostela, 2006

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Problemas

12 Capıtulo I: Estructura cristalina

1.7. Ejercicios

1. Razonar si son ciertas las siguientes afirmaciones:

a) Una red es siempre invariante por inversiones (~R → −~R).

b) Un conjunto de puntos dados por ~r = u1~a1 + u2~a2 + u3~a3 con los ui no necesariamente enteros no esuna red.

c) La disposicion espacial de puntos adjunta constituye una red.

c) La disposición espacial de puntos adjunta constituye una red

por celda primitiva es siempre

d) El numero de puntos de la red por celda primitiva es siempre uno.

e) El numero de atomos por celda unitaria es siempre mayor que uno.

f ) En un cristal de base monoatomica todas las posiciones atomicas son fısicamente indistinguibles.

2. Para el patron de la figura indicar:

un un

nu

nu un nu nu

un unnu un nu nu

un un nu un nu

un un nu un nunu

a) Una celda unitaria rectangular.

b) Una celda unitaria primitiva.

c) La base de letras correspondiente a cada tipo de celda.

3. Una red admite vectores primitivos distintos. Argumentar que, sin embargo, el volumen asociado (celda)es siempre el mismo.

4. Demostrar que la proporcion maxima de espacio que se puede llenar con esferas solidas acomodadas envarias estructuras es la siguiente:

a) Cubica simple π/6 ≈ 52 %

b) Cubica centrada en el cuerpo π√

3/8 ≈ 68 %

c) Hexagonal compacta π√

2/6 ≈ 74 %

d) Cubica centrada en las caras π√

2/6 ≈ 74 %.

5. Estructura del diamante:

a) ¿Cuantos atomos hay en la celda primitiva del diamante? ¿Y en la convencional?.

b) ¿Cuantos atomos mas proximos tiene un atomo dado?.

c) Calcular la fraccion de empaquetamiento.

d) Probar que el angulo entre los enlaces tetraedricos es 10928’.

6. ¿Que estructuras monoatomicas dan lugar a ındices de coordinacion de 2,4,6,8,12?

7. Demostrar que la relacion c/a para una hcp ideal es√

8/3.

1.7 Ejercicios 13

8. El maximo aprovechamiento del espacio con esferas iguales en disposicion regular (periodica) correspondea las estructuras fcc o hcp con cerca del 75 %. ¿Se puede superar esta cota liberando la restriccion de quesea una disposicion periodica?

9. Argumentar que los unicos ejes de simetrıa compatibles con una red bidimensional son los de orden 1,2,3,4y 6. Verificar directamente que con solo pentagonos no es posible cubrir un plano.

10. Se podrıa esperar que las estructuras mas frecuentes de los elementos metalicos (de enlace no direccional yno saturable) fueran las de empaquetamiento mas compacto: fcc o hcp. Verificar en las tablas pertinentessi en efecto es ası. Se observara que los metales alcalinos ası como Ba, V, Nb, Ta, W y Mo cristalizan enla bcc. Para entenderlo, calcular el numero y distancia de primeros y segundos vecinos en las estructurasfcc y bcc. ¿Que se concluye?

11. Calcular la densidad del NaCl sabiendo que el radio ionico del Na+ es 0.102 nm y el del Cl− es 0.181 nm.La masa atomica del Na es 22.99 g/mol y la del Cl es 35.45 g/mol.

12. Determinar los radios de los mayores huecos (supuestos esfericos) que cabrıan en las estructuras sc, fcc ybcc monoatomicas.

13. La formacion de vacantes de Schottky hace que disminuya la densidad del cristal, ya que su volumenaumenta y su masa no cambia. Estimar el cambio relativo en la densidad del cobre, para el que la energıade formacion de una vacante es de 1 eV, debido a la formacion de vacantes a la temperatura justo pordebajo de su punto de fusion (1356 K). ¿Serıa medible?

14. Calcular el numero de vacantes y el de divacantes que se encuentran en equilibrio termico a temperaturaambiente en un metal en el que la energıa de formacion de una vacante es 1 eV y la energıa de enlace deuna divacante 0.2 eV.

2.5 Ejercicios 21

2.5. Ejercicios

1. Razonar la veracidad de las siguientes afirmaciones:

a) La intensidad de cualquiera de los maximos de difraccion de un cristal es proporcional al numero deatomos.

b) El factor de forma atomico hace que la intensidad de los maximos disminuya a medida que lo haceel angulo de Bragg.

c) Dos cristales distintos tienen distinta red recıproca asociada.

d) La primera zona de Brillouin es una celda unitaria primitiva de la red recıproca.

e) En condiciones de maximo de difraccion las ondas reemitidas por dos atomos cualesquiera del cristalestan en fase.

f ) En condiciones de maximo de difraccion la onda reemitida por el conjunto de la base atomica asociadaa un punto de la red esta en fase con la reemitida por la base atomica de cualquier otro punto dered.

2. Realizar la traduccion geometrica de la condicion de difraccion [Ec. (2.10)] utilizando la red recıproca. De

ahı, discutir cuan probable o improbable es que un haz de rayos x incidente (vector de onda ~k) sobre uncristal fijo sufra difraccion coherente en cualquier direccion.

3. ¿Que opinas de la posibilidad de utilizar la difraccion en un cristal para monocromar un haz de rayos x?

4. En un difractograma de un cristal uno mide angulos e intensidades (relativas). ¿Que informacion sobre elcristal se extrae de los angulos y cual de las intensidades?

5. Probar que en un cristal cubico la direccion (h,k,l) es perpendicular a los planos [h,k,l].

6. Las direcciones de los maximos de difraccion en un cristal estan determinadas por la red subyacente (por

ejemplo ∆~k = ~G). Sin embargo, como la eleccion de red tiene un grado de arbitrariedad, parecerıa que al

cambiar de red (distintos ~G’s), debieran cambiar las direcciones de los maximos de difraccion. Resolver laparadoja.

7. Verificar explıcitamente que un cristal fcc monoatomico tiene los mismos maximos de difraccion cuandose considera como una red sc con base tetraatomica.

8. La aleacion CuAu3 tiene una estructura ordenada por debajo de 400 C, que consiste en atomos de cobreen los vertices de cubos y atomos de oro en los centros de las caras de los cubos. Por encima de esatemperatura la estructura esta desordenada. Determinar las reflexiones no comunes a ambas estructurasen un diagrama de difraccion de rayos x.

9. Supongamos que en un cristal lineal existen centros puntuales de dispersion en cada punto de lared ~Rn = n~a, donde n es un entero. Demostrar que la intensidad difundida es proporcional asen2(N~a∆~k/2)/sen2(~a∆~k/2), siendo N el numero de puntos de la red. Analizar la difraccion para

~a∆~k = 2πh + ε, donde ε → 0 y h es un numero entero.

10. En un diagrama de polvo de rayos x de una sustancia cubica, obtenido con la radiacion Kα del cobre(λ=0.1542 nm) aparecen lıneas para angulos de Bragg de 12.3; 14.1; 20.2; 24.0; 25.1; 29.3; 32.2;33.1. Asignar ındices a estas lıneas. Decidir si es cubica simple, centrada en el centro o en las caras, ycalcular la constante de red.

11. Calcular el angulo θ de Bragg para el que debe aparecer la lınea (300) de un diagrama de polvo de rayos xde piritas de hierro (S2Fe cubica, a =0.54 nm) obtenido con la radiacion Kα del hierro. Con este angulo,la lınea solo aparece en un diagrama si la radiacion no se filtra. ¿Como se explica esto? (Longitudes deonda: Hierro Kα = 0.1937 nm, Hierro Kβ = 0.1757 nm).

12. Factor de estructura del diamante: si se considera como celda unidad una celda cubica simple, la base deesta estructura es de ocho atomos. Encontrar, si los hay, los ceros del factor de estructura.

22 Capıtulo II: Red recıproca y difraccion de rayos x

13. Utilizando las propiedades del producto mixto, demostrar que el volumen de la celda primitiva en elespacio recıproco (por ejemplo la PZB) es (2π)3/Vc, siendo Vc el volumen de la celda primitiva del cristal.

14. Para el atomo de hidrogeno en el estado fundamental, la densidad numerica electronica es n(r) =(πa3

0)−1 exp(−2r/a0). Demostrar que el factor de forma es fG = 16/(4 + G2a2

0)2. ¿Como se entiende

la dependencia con el angulo, es decir, con G?

15. Encuentra una explicacion al hecho de que el desorden atomico propio de los materiales amorfos afectamas a los maximos de difraccion de angulo alto (de hecho, como hemos visto, ya no aparecen). Explicartambien por que en ausencia de maximos de mas alto angulo esta asociada precisamente al desorden delargo alcance.

16. Calcular la amplitud de difraccion producida por una red cuadrada de parametro a, con base de dosatomos en posiciones (0, 0) y (1/2, δ). Discutir las extinciones de los maximos de difraccion producidaspor la base de atomos en funcion del parametro δ (δ < 1). Particularizar para los angulos mas bajos.

17. En la red recıproca se define la n-esima zona de Brilloin (ZB) como la region del espacio recıproco a laque se puede acceder desde un punto cualquiera de la red (elegido como origen) atravesando n-1 planosBragg.

a) Dibujar la 3 primeras zonas de Brillouin de una red cuadrada y una red rectangular centrada.

b) Razonar que todas las zonas tiene el mismo volumen (area en 2D).

3.6 Ejercicios 33

3.6. Ejercicios

1. Las temperaturas de fusion de los cristales ionicos son mucho mayores que las de los cristales de gasesinertes. ¿Por que?

2. Consultando tablas, etc, especificar un orden de magnitud para las diferencias de energıa de cohesion encristales ionicos segun el tipo de estructura.

3. Los haluros alcalinos (tipo AB+) son los compuestos diatomicos con caracter mas netamente ionico. ¿Vesalguna razon para explicar el hecho de que la estructura mayoritaria de aquellos sea la del NaCl?

4. Los cristales de los gases inertes cristalizan en la estructura fcc monoatomica. ¿Se puede justificar estehecho razonando que la energıa de cohesion para enlaces de van der Waals (chequear expresiones teoricas)es maxima precisamente para la estructura fcc?

5. Un cristal de Ne20 tiene una constante de red de 4.464 A, y uno de Ne22 de 4.456 A. ¿Ves alguna explicacioncualitativa a esta pequena diferencia?

6. Se dice que para el estudio de las energıas de enlace en los cristales de Van der Waals o ionicoses aproximadamente valido un modelo de esferas duras. ¿En que expresiones vistas te basarıas parajustificarlo?

7. Sea una cadena de 2N iones, con carga alternante ±q, y que tienen un potencial repulsivo A/Rn entrevecinos mas proximos.

a) Demostrar que, a la separacion de equilibrio, se tiene que la energıa total de la cadena es U(R0) =−2Nq2(1 − 1/n) ln 2/R0 en el sistema CGS.

b) Si comprimimos el cristal de forma que la distancia entre vecinos varıa de R0 hasta R0(1 − δ),demostrar que el trabajo por unidad de longitud necesario para comprimir el cristal tiene comotermino principal Cδ2/2, siendo C = (n − 1)q2 ln 2/R2

0.

8. Se define el modulo de compresibilidad B0 como el inverso del coeficiente de compresibilidad, esto es,B0 = −V (dP/dV ), donde P es la presion y V el volumen. Discutir la dependencia de B0 con la energıade enlace suponiendo que la energıa potencial por par de atomos viene dada por U(r) = A/rn − B/rm.

9. Calcular la constante elastica asociada al desplazamiento de la carga negativa en la aproximacion de nubeesferica rıgida. Aplicar cualitativamente este resultado a la energıa de cohesion de los gases nobles y a sustemperaturas de fusion.

Elemento Radio Volumen Num. Atomico E. Cohesion(A) (A3) (kJ/mol)

Ne 1.6 16.5 10 1.9Ar 1.9 27.8 18 7.7Kr 2 33.5 36 11.2Xe 2.2 42.8 54 16.0

10. Con los datos experimentales del modulo de compresibilidad B0 (B0 = 1.97×1011 dinas/cm2 a T = 0 K)y de la separacion entre vecinos mas proximos (r0 = 3.14×10−8 cm), calcular la energıa de cohesion delKCl, que cristaliza con la misma estructura que el NaCl. Comparar el resultado con el experimental de7.19 eV/par-de-iones.

11. Utilizando el potencial de Lennard-Jones, calcular el cociente entre las energıas de cohesion del Neon enlas estructuras bcc y fcc.

12. 12. El oxido de bario tiene la estructura del NaCl. Estimar las energıas de cohesion por molecula delos cristales hipoteticos Ba+O− y Ba++O−− referidas a los atomos neutros separados. La distanciainternuclear entre vecinos proximos observada es R0 = 0.276 nm; el primero y segundo potenciales deionizacion del Ba son 5.19 y 9.96 eV; y las afinidades electronicas del primero y segundo electron anadidos

34 Capıtulo III: Enlace cristalino

al atomo de oxıgeno neutro son 1.5 eV y -9.0 eV ¿Cual es el estado de valencia que se puede predecir quese produzca? Suponer que R0 es el mismo para ambas formas y despreciar la energıa repulsiva.

Las energıas de ionizacion, cohesion y afinidad electronica se definen por los procesos siguientes:

atomo + e. de ionizacion → ion+ + e−

e− + atomo → ion− + afinidad electronicaion+ + ion− → ion+ion− + energıa de cohesion

13. Un conjunto de funciones de onda, normalizadas y mutuamente ortogonales, del estado p para un atomopueden escribirse de la forma px = xf(r) ; py = yf(r); pz = zf(r). Considerando la combinacion lineal dela funcion de onda p: Ψ = axpx + aypy + azpz , encontrar cuatro conjuntos de coeficientes (ax, ay, az) queden funciones de onda normalizadas del estado p, con lobulos apuntando hacia los vertices de un tetraedroregular.

14. Considerese la combinacion lineal Φ = bs+cΨ, donde Ψ es cualquiera de las cuatro funciones del problemaanterior, y s es una funcion de onda del estado s, normalizada y ortogonal a px, py, pz. Encontrar estascuatro funciones de onda Φ en terminos de px, py, pz y s (estos son los hıbridos sp3).

15. La energıa de cohesion de un cristal de cloruro sodico es 7.9 eV por par de iones Na+Cl−. La energıa deionizacion del Na es 5 eV y la afinidad electronica del Cl es 3.75 eV. Despreciando la energıa de repulsion,estimar el espaciado interatomico del NaCl.

16. En un libro de Estado Solido, en referencia a los compuestos binarios ionicos metal - no metal, se dice que:La geometrıa del empaquetamiento de esferas de diferente diametro sugiere la siguiente relacion entre el

numero de coordinacion z y la razon entre el radio del metal Rm y el del no metal Rnm:

z 8 6 4 2Rm/Rnm 1 - 0.73 0.73 - 0.41 0.41 - 0.22 0.22

Ası para el FeO la razon anterior vale 0.54 y en efecto su estructura es la del NaCl (coordinacion 6). Elejercicio consiste en entender los fundamentos de la afirmacion resenada.

44 Capıtulo IV: Dinamica de redes

4.5. Ejercicios

1. ¿Que sentido fısico tiene que la frecuencia ω de los modos opticos sea finita para k → 0 en tanto que paralos acusticos ω → 0?

2. Deducir un orden de magnitud para la velocidad del sonido en solidos.

3. Hacer una representacion grafica de los modos acusticos y opticos longitudinales de una cadena diatomica(con masas M1 y M2) para: a) k = ±π/a y M1/M2 cualquiera. b) M1 À M2 y k cualquiera.

4. Comprobar que en el lımite M1 → M2, el espectro vibracional de una cadena diatomica con atomosequidistantes coincide con el de la monoatomica.

5. Demostrar que para longitudes de onda largas la ecuacion de movimiento

Md2us

dt2= C(us+1 + us−1 − 2us)

se reduce a la ecuacion de onda elastica del continuo

∂2us

∂t2= c2 ∂2us

∂x2,

siendo c la velocidad del sonido.

6. La velocidad del sonido c en medios continuos se suele ver escrita como c = (E/ρ)1/2 siendo ρ la densidady E el modulo de Young que expresa la rigidez elastica de un medio; mas precisamente para una muestracon geometrıa cilındrica se define E por F/S = E∆`/`, donde ` es la longitud, F la fuerza aplicada y Sel area de la seccion transversal. Justificar la expresion resenada.

7. Probar que si la direccion de k coincide con la de un eje de simetrıa de orden 3,4,6, entonces un modonormal esta polarizado paralelamente a k y los otros dos son degenerados y polarizados perpendicularmentea k.

8. Consideremos iones puntuales de masa M y carga e inmersos en un mar uniforme de electrones deconduccion. Imaginemos que los iones estan en equilibrio estable cuando ocupan los puntos de la redregular. Si un ion se desplaza una pequena distancia r de su posicion de equilibrio, la fuerza restauradorase debe fundamentalmente a la carga electrica dentro de la esfera de radio r centrada en la posicion deequilibrio. Tomemos la densidad numerica de iones (o electrones de conduccion) como 3/4πR3, que defineR.

a) Demostrar que la frecuencia de un solo ion que entra en oscilacion es ω = (e2/πε0MR3)1/2.

b) Estimar los valores es esta frecuencia para el sodio, de forma aproximada.

c) A partir de a), b) y de cierto sentido comun, estimar el orden de magnitud de la velocidad del sonidoen el metal.

9. Consideremos los modos normales de una cadena lineal en la cual las constantes de fuerza entre los atomosmas proximos son alternativamente C y 10C. Supongamos que son iguales las masas y que la separacionentre los vecinos mas proximos es a/2. Hallar ω(k) para k = 0 y k = π/a. Hacer un esquema de la relacionde dispersion de forma cualitativa. Este problema simula un cristal de moleculas diatomicas tales comolas de H2.

10. Los neutrones termicos de una determinada energıa se dispersan por los fonones de un cristal perdiendoenergıa. Las longitudes de onda antes y despues de la dispersion son 3.14 y 5.00 A, respectivamente, y elvector de onda de los neutrones dispersados, ~k′, forma un angulo de 45o con el vector ~k de los neutronesincidentes. Calculese la longitud de onda del fonon que interviene en este proceso de dispersion.

4.5 Ejercicios 45

11. Considerar un cristal cubico simple con base monoatomica. Constatar que con interaccion solo entrevecinos mas proximos no es posible mantener la resistencia de cortadura caracterıstica de los solidos. Sedebe pues extender la interaccion como mınimo a los segundos vecinos. En estas condiciones consider lapropagacion del sonido en la direccion [100]. Calcular la constante equivalente de fuerza y la frecuenciamaxima en esa direccion.

12. Calcular el momento lineal total de un cristal monoatomico unidimensional de N atomos de masa M enel que hay excitado un fonon de vector de onda k.

13. Demostrar que la ley de dispersion de una cadena lineal monoatomica de masa M con interaccion hastalos vecinos n-esimos es

ω2(k) =2

M

∑

n>0

Cn[1 − cos(nka)] =4

M

∑

n>0

Cn sen2(nka

2).

Analizar los casos lımites.

14. Considerar vibraciones en el plano de una red cuadrada. Los atomos son identicos de masa M y estanacoplados elasticamente con constante C. Determinar los dos modos de vibracion y la frecuencia maximapara ondas elasticas en la direccion [11].

15. Demostrar la expresion (4.21) suponiendo que cada atomo sigue un movimiento en forma de modo normalde vector k (en la rama p): us = ukei(ksa−ωt).

5.4 Ejercicios 55

5.4. Ejercicios

1. Cual es el sentido fısico de la temperatura de Debye. ¿Por que se dice que es una medida de la rigidez delcristal?

2. En un solido a temperatura T , encontrar la frecuencia (esto es energıa) mas probable de los fonones en laaproximacion de Debye.

3. Calcular la energıa de vibracion del punto cero de un cristal en la aproximacion de Debye. Estimar dichovalor para el helio solido, suponiendo una temperatura de Debye de 24 K (valor comparable al de otrosgases inertes).

4. Calcular la densidad de estados de una cadena lineal monoatomica.

5. Utilizando el modelo de Debye, calculese la frecuencia maxima de los modos de vibracion de una redcubica simple de constante a = 3 A en la que la velocidad del sonido es c = 4.2×105 cm/s.

6. Estimar la importancia relativa de los procesos U para la resistividad termica a 100 K y 20 K, para uncristal con θD = 300 K .

7. En un modelo cinetico simple, la probabilidad por unidad de tiempo de que una partıcula sufra una colisiones τ−1. Probar entonces que:

a) En cualquier instante, el tiempo transcurrido desde la ultima colision (o hasta la siguiente),promediado para todas las partıculas, es τ .

b) El tiempo medio entre sucesivas colisiones de una partıcula es tambien τ .

c) Razonar si las conclusiones en a) y b) son compatibles.

8. Aunque, en general, los metales conducen mejor el calor que los aislantes debido a la presencia de electroneslibres se pueden citar algunos contraejemplos: El diamante conduce el calor cuatro veces mejor que el cobrea temperatura ambiente, y a 50 K un cristal de Al2O3 tiene una conductividad termica de 60 W/cmK,que es mayor que el mejor valor para el Cu a cualquier temperatura. Explicar estos comportamientos.

9. Se argumenta que, en un enfoque de teorıa cinetica, las colisiones entre fonones de tipo N , es decir conconservacion del (cuasi)impulso, no contribuyen a la degradacion en la propagacion del calor. La paradojaresulta de considerar ahora las partıculas de un gas clasico. Aquı, todas las colisiones son de tipo N , y porlo anterior, no deberıa haber degradacion en la propagacion del calor, o sea, una conductividad termicainfinita. Explicar la paradoja.

10. Un modelo semifenomenologico afirma que un solido se funde cuando el cociente 〈u2〉/r20 excede un cierto

valor crıtico, siendo 〈u2〉 el valor cuadratico medio de la desviacion de cada atomo de su posicion enausencia de vibraciones y r0 la distancia entre vecinos mas proximos. En un modelo de Debye, encontraruna relacion entre la temperatura de fusion TF y la temperatura de Debye θD, suponiendo aplicable dichomodelo semifenomenologico. Estudiar la precision con que el cociente anterior se mantiene constante paralos materiales de la Tabla.

MasaElemento atomica r0 θD TF

(g) (nm) (K) (K)Al 27 0.286 394 933Au 197 0.289 170 1337Cu 63.5 0.255 315 1356Ni 58.7 0.249 375 1726Pd 106.4 0.275 275 1825Pt 195.1 0.277 230 2045

56 Capıtulo V: Propiedades termicas reticulares

11. El calor especıfico de la red cristalina de una determinada forma de carbono se ha medidoexperimentalmente y resulta ser proporcional a T 2 a muy bajas temperaturas. ¿Que se puede decir acercade la estructura de esta fase particular del carbono?

12. Suponiendo valida la aproximacion de Einstein D(ω) = 3Nδ(ω − ω0) para las frecuencias propias devibracion, deducir cual es el orden de magnitud del desplazamiento maximo de los iones de Cl− y Na+ enun cristal de NaCl, debido a la energıa termica a 30 K y a 300 K.

13. Estimar el recorrido libre medio de los fonones en el Ge a 300 K utilizando los siguientes datos: κ = 80W/mK, θD = 360 K , Pat = 72.6, ρ = 5.5×103 kg/m3, c = 4500 m/s.

14. Debido al movimiento termico inevitable de los atomos, ~R → ~R + ~u(t), hay que reconsiderar la dispersionde rayos x por un cristal. A partir de la expresion general de la amplitud dispersada, probar que laintensidad media (promedio temporal) de las distintas lıneas de difraccion viene dada aproximadamentepor

I = I0 exp−〈u2〉G2

3

donde I0 es, como se ve, la intensidad despreciando efectos termicos y 〈u2〉, la amplitud cuadratica mediade vibracion. ¿Por que las lıneas Bragg mas atenuadas son las de angulo de dispersion mayor?

15. La relacion de dispersion de una cadena de longitud L de N atomos de masa M puede aproximarse porω2(k) = 2

M [A (1 − cos ka) + B (1 − cos 2ka)], donde a es el parametro de red y A y B constantes deacoplamiento entre primeros y segundos vecinos, respectivamnete.

a) Determinar la velocidad de grupo de las ondas elasticas en la cadena.

b) Determinar para que longitudes de onda se producen ondas estacionarias.

c) Determinar la velocidad propagacion del sonido.

d) Determinar la funcion densidad de modos general, la de Debye y el vector de ondas de Debye.

e) Discutir cuales de los siguientes pares de valores (A, B) son fısicamente posibles: (30, 15), (30,-15),(30, 5), (30,-5). Esto valores estan dados en unidades MKS, ¿cuales son estas unidades?

68 Capıtulo 6: Gas de Fermi de electrones libres

6.8. Ejercicios

1. Determinar, a partir de algun criterio previo razonable, la anchura de la distribucion de Fermi-Dirac atemperatura T .

2. Suponer que por un metal esta circulando una corriente bajo el efecto de un campo electrico. A t=0“desconectamos” el campo electrico. Determinar el tiempo que tarda el mar de electrones en “relajar” alestado de equilibrio.

3. Razonar que debe aparecer un voltaje electrico si a un metal lo sometemos a una diferencia de temperaturamientras lo mantenemos en circuito electrico abierto.

4. a) Bosquejar las funciones de distribucion de desequilibrio en el espacio de fases de un gas de Fermi enpresencia de un campo electrico y en presencia de un gradiente de temperatura.

b) Dibujar algunos procesos de dispersion posibles.

c) En funcion de lo anterior, ¿podemos concluir algo sobre los diferentes tiempos de relajacion electricoy termico?

5. Si se admite que los procesos de dispersion electronica son elasticos e isotropos, se puede calcular que eltiempo de relajacion τ que debe aparecer en la ecuacion dinamica (6.25) se expresa por

τ(~k)−1 =

∫d3~k′

8π3(1 − k · k′)Q(~k,~k′)

donde Q(~k,~k′) es la probabilidad por unidad de tiempo de la transicion ~k → ~k′. Comentar la fısica de estaecuacion.

6. Admitiendo el modelo jalea para un metal, supongase una perturbacion local en la carga electronicaque produce una densidad de carga neta local. Despreciando el efecto de las colisiones y linealizando laecuacion de continuidad, demostrar que la ecuacion del movimiento de los electrones es la de un movimientoarmonico simple de frecuencia igual a la frecuencia de plasma ωp. ¿Es logico despreciar las colisiones dadoel valor de ωp?

7. Comparar numericamente el calor especıfico electronico de un metal con el reticular a T = 300 Kadmitiendo θD ≈ 300 K. ¿A que temperatura serıan del mismo orden?

8. Calcular el modulo de rigidez, definido como B ≡ −V (∂P/∂V )T , de un gas de electrones libres a T=0 Ky aplicarlo a los metales de la tabla adjunta, en la que se da, para su comparacion, el valor experimental.Comentar los resultados.

Metal n Bexp

(1022 cm−3) (GPa)Al 18.1 76.0K 1.40 2.81Cs 0.91 1.43Cu 8.47 134

9. Suponer que el Na tiene un coeficiente de expansion termica lineal entre 0 K y 300 K de α =1.5×10−6

K−1. ¿Cual es el cambio porcentual entre esas temperaturas de εF , TF , vF y kF ?

10. En el modelo cinetico de Drude la energıa no se conserva en las colisiones, ya que si sometemos el metal aun campo electrico externo la velocidad de salida de un electron de una colision no depende de la energıaque el electron adquiere del campo. Supongamos un metal a temperatura uniforme bajo la accion de uncampo electrico uniforme y estatico, E. Demostrar que la perdida de potencia en un hilo de longitud L yseccion transversal A es I2R, siendo I la intensidad que atraviesa el hilo y R la resistencia electrica delmismo.

6.8 Ejercicios 69

11. El atomo de 3He tiene espın 1/2. La densidad del 3He lıquido es de 0.081 g/cm3 cerca del cero absoluto.Calcular la energıa de Fermi y la temperatura de Fermi.

12. Probar que la densidad de corriente estacionaria, ~j, en presencia de un campo magnetico ~B a lo largo deleje z, se puede escribir como

jx

jy

jz

=σ0

1 + ω2cτ2

1 −ωcτ 0ωcτ 1 00 0 1 + ω2

cτ2

Ex

Ey

Ez

donde ωc = eB/m. Estudiar los casos lımite.

13. Sabiendo que la energıa de Fermi de la plata es 5.48 eV y su temperatura de fusion 1230 K, estima lafraccion de electrones que estan excitados (esto es, con energıa superior a la energıa de Fermi) en el puntode fusion, utilizando el modelo de electrones libres.

14. Desarrollar las ecuaciones de Maxwell introduciendo:

a) La polarizacion P = ε0(ε − 1)E con σ = 0 (enfoque dielectrico)

b) P = 0 (ε = 1), σ 6= 0 (enfoque conductor)

(ε es la permitividad, σ la conductividad y E el campo electrico; en ambos casos tomar densidad de carganeta nula.) Verificar que ambas descripciones son equivalentes siempre y cuando se verifique la relacionε(ω) = 1 + iσ(ω)/ε0ω.

15. Cuando se estudia la conductividad AC de metales en la aproximacion de electrones libres, en la ecuaciondinamica se ignora un termino asociado a la existencia de un campo magnetico, dado por 1

µ0rot ~B =

~j + ε0∂ ~E∂t , que esta inevitablemente presente al aplicar un campo electrico ~E(t) dependiente del tiempo.

Discutir la importancia del error que se comete al ignorar dicho termino. Suponer campos de la forma

~E(~r, t) = ~E0ei(~k~r−ωt),

~B(~r, t) = ~B0ei(~k~r−ωt).

7.7 Ejercicios 79

7.7. Ejercicios

1. Determina el numero efectivo de electrones por atomo (Neff) que debe tener un metal bcc para que lasuperficie de Fermi correspondiente a dicha densidad de electrones, supuestos libres, sea tangente a lafrontera de la primera zona de Brillouin. ¿Y si la estructura es fcc?

2. En un cierto metal monovalente, de estructura cubica simple y parametro de red a = 0.3 nm, la relacionde dispersion para electrones en la banda de conduccion es ε(k) = 5 − 0,84 cos(ka) con ε en eV.

a) Dibujar ε(~k) a lo largo de la direccion [100].

b) Determinar la energıa de Fermi. Compararla con el valor que se obtendrıa para electrones libres.

3. Consideremos una red bidimensional en la que los iones ejercen un potencial periodico debil sobre loselectrones de la forma

U(x, y) = −4U cos

(2πx

a

)

cos

(2πy

a

)

.

Hallar aproximadamente la anchura de la brecha de energıa (gap) en la esquina (π/a, π/a) de la PZB.

4. El potencial cristalino debil sobre los electrones de un cristal de dos dimensiones viene dado por

U(x, y) = −10 + 0,1 cos(πx) + 0,3 cos(πy),

donde x e y estan dados en A y las energıas en eV.

a) Dibujar las dos primeras zonas de Brillouin.

b) Calcular las componentes Fourier del potencial.

c) Dar los intervalos prohibidos a lo largo de [01], [10] y [11].

d) Suponiendo que cada atomo aporta dos electrones a las bandas, dibujar el cırculo de Fermi.

5. Demostrar que las relaciones de dispersion εn(k) para un electron en un cristal verifican εn(k) = εn(−k).Para eso, probar primero que, por la hermiticidad del Hamiltoniano, a Ψk y Ψ∗

k les corresponde la mismaenergıa, es decir, son degeneradas, y segundo que las funciones Bloch Ψk y Ψ∗

−k tienen asociado el mismok y por tanto la misma energıa.

6. Determinar la anchura de los dos primeros intervalos de energıa prohibida en la aproximacion de electronescuasilibres para el potencial unidimensional de la figura.

7. El modelo de Kronig-Penney es un modelo unidimensional resoluble para el problema de un electron enun potencial periodico. El potencial supuesto para los atomos es el que se ilustra en la figura. De resolverla ecuacion de Schrodinger para el electron se encuentra para la relacion de dispersion

cos(ka) = cos(αa) + Psen(αa)

αa

donde α =√

2mε/h y P = bV0ma/h2 es un parametro que da cuenta de la amplitud de la barrera. Sacartodas las consecuencias posibles de la ecuacion anterior en funcion de αa. Contestar por ejemplo:

a) ¿Hay bandas de energıa?, (¿hay energıas prohibidas?)

b) ¿Que se puede decir de la velocidad de los electrones? ¿Ocurre v = 0 en los bordes de zona?

80 Capıtulo 7: Electrones en un potencial periodico

c) ¿Que pasa para P → 0 y P → ∞?

d) ¿Que influencia tiene a?

8. a) ¿Es cierto que una sustancia con un numero impar de electrones de valencia por atomo siempresera un conductor?

b) ¿Un aislante siempre tiene un numero impar de electrones por celda primitiva?

9. Probar que la energıa de una banda s en la aproximacion de electrones fuertemente ligados es, a lo largo delas direcciones principales de simetrıa de un cristal monoatomico fcc, como sigue (se tiene que 0 ≤ µ ≤ 1):

a) ky = kz = 0, kx = µ2π/a → ε = εs − b − 4γ[1 + 2 cos(µπ)]

b) kx = ky = kz = µ2π/a → ε = εs − b − 12γ cos2(µπ)

c) kz = 0, kx = ky = µ2π/a → ε = εs − b − 4γ[cos2(µπ) + 2 cos(µπ)]

d) kz = 0, kx = µ2π/a, ky = µπ/a →→ ε = εs − b − 4γ[cos(µπ) + cos(µπ/2) + cos(µπ) cos(µπ/2)]

10. Estudiar si la derivada normal de ε se se anula, es decir, si (∂ε/∂~k) · n = 0 en las distintas caras de lafrontera de la PZB (n es la normal a la frontera de zona) para el ejemplo del problema anterior.

11. Los metales alcalinos tienen iones +e con la configuracion, muy estable, de los gases nobles (ejemplos Li:1s12s1, Na: [Ne]3s1, Cs: [Xe] 6s1), por fuera de los cuales se mueve un electron de conduccion por atomo.Tratando a estos electrones como libres, determinar el radio de la superficie de Fermi y compararla con eltamano de la (primera) zona de Brillouin. La estructura es bcc. Razonar de ahı por que, tal como hemosvenido viendo, los metales alcalinos se ajustan bien al modelo de electrones libres.

12. Comprobar que para una red cuadrada simple la energıa cinetica de un electron libre en una esquina dela primera zona es mas alta que la de un electron en el punto medio de una cara lateral de la zona en unfactor 2. ¿Cual es el factor en el caso de una red cubica simple? ¿Ves que esto tenga algo que ver con laconductividad de los metales divalentes?

13. Considerar una estructura cristalina bidimensional, de red cuadrada y base formada por dos atomosidenticos en (0,0) y (1

2 ,14 ). Indicar a lo largo de que direcciones y entre que bandas no se observara elgap de energıa (dar algunos ejemplos). ¿Encuentras que puede haber una relacion entre los “ceros” delfactor de estructura de la base (visto en el Capıtulo 2) y la anulacion del gap de energıa en determinadasdirecciones?

88 Capıtulo VIII: Dinamica semiclasica de e− Bloch

8.5. Ejercicios

1. Considerar un cristal unidimensional para el que la energıa varıa con el vector de onda segun

ε = ε1 + (ε2 − ε1) sen2

(ka

2

)

Suponer un solo electron en esta banda y sin sufrir scattering.

a) Discutir el comportamiento de la masa efectiva, la velocidad electronica, y la posicion en el espacioreal bajo la influencia de un campo electrico uniforme.

b) Si a = 1 A, ¿cuanto tiempo se debe aplicar un campo de 100 V/m para que el electron ejecute unaoscilacion completa en el espacio? Si la banda tiene una anchura de 1 eV, ¿que distancia se recorreen esa oscilacion?

2. Considerar un electron con la energıa de Fermi del Na moviendose en el plano xy. Probar que unainduccion magnetica Bz = 1 T producira una resonancia ciclotron con un radio de orbita de 6 µm.¿Como esta relacionada el area en el espacio real (en m2) con el area en el espacio k (en m−2)?

3. Considerar la ecuacion de Schrodinger para un electron en un potencial periodico U(r) y sometido a uncampo electrico uniforme:

ih∂Ψ

∂t=

[

− h2

2m∇2 + U(~r) + e ~E~r

]

Ψ

Suponer que en t = 0, Ψ(0) es una combinacion lineal de funciones Bloch, las cuales tienen todas el

mismo vector de onda ~k. Probar entonces que, a cualquier tiempo t, Ψ(~r, t) sera una combinacion lineal

de funciones Bloch, todas con el mismo vector de onda ~k− e ~Et/h. Este resultado da soporte a la ecuacion

semiclasica ~k(t) = ~k(0) − e ~Et/h .

4. En presencia de un campo magnetico los electrones describen orbitas manteniendo constante su energıa,ε(~k) y su componente de momento paralela al campo, k||. El tiempo necesario para recorrer un tramo deorbita entre dos puntos k⊥1 y k⊥2 (el sımbolo ⊥ ındica componente perpendicular al campo magnetico)es

t2 − t1 =

∫ t2

t1

dt =

∫ k⊥2

k⊥1

dk

|~k|,

siendo dk un elemento de lınea tangente a la orbita en cada punto y |~k| = |~k⊥| la variacion temporal de ksegun esa misma direccion.

a) Teniendo en cuenta que |~k⊥| = v⊥eB/h = |(∂ε/∂~k)⊥|eB/h2, probar que el periodo de una orbitacerrada de area A(ε, k||) es

T (ε, k||) =h2

eB

∂

∂εA(ε, k||).

b) Por analogıa con la frecuencia ciclotron (ωc = eB/m) del electron libre, se define la frecuenciaciclotron ωc = eB/m∗

c , siendo

m∗c(ε, k||) =

h2

2π

∂

∂εA(ε, k||).

la masa ciclotron. Probar que cerca de un extremo de banda, m∗c(ε, k||) =

√m∗

1m∗2, siendo m∗

1 y m∗2

las componentes del tensor de masa efectiva en el plano perpendicular al campo magnetico.

5. Demostrar la Ec.(8.27) siguiendo los siguientes pasos:

a) Descomponer la ecuacion basica (8.4) con ~F = −e~v × ~B en sus componentes sobre los ejes propiosdel elipsoide

8.5 Ejercicios 89

b) Usar las ecuaciones (8.1) para la velocidad y (8.12) para la energıa.

c) Suponer para cada componente ki de ~k una evolucion de la forma ki = ki0ei(ωt+φi).

d) Exigir que exista solucion en los ki0 (determinante de los coeficientes igual a cero).

6. Comparar la senal de resonancia ciclotron para el Si en la Fig.8.5 adjunta con la geometrıa de los elipsoidesde la banda de conduccion en la misma figura y explicar por que solo hay dos picos electronicos, siendoque hay seis “bolsillos” elipsoidales de electrones. Determinar a partir de las figuras las masas efectivasdel Si (el campo magnetico esta en el plano (110) y forma un angulo de 30o con el eje [001]).

Energía (eV)

2.5

1.1

[111] 0 [100]

0.6

Si

= 2.4 × 1010

Hz

T = 4 K

Absorción

h+

e

h+

0.20

B (Tesla)0.4

e

30º

45º

kx

ky

kz

X

Y

Z B

Figura 8.5:

7. La superficie de Fermi de un solido cubico tiene por ecuacion

εF =h2

2m

(k2

x + k2y + 2k2

z

).

Determınese la relacion entre las tres componentes ax, ay, az de la aceleracion de un electron en lasuperficie de Fermi cuando se aplica un campo electrico segun la direccion [111]. Determinar tambien la

trayectoria que sigue un electron del cristal en el espacio ~k cuando se aplica un campo magnetico ~B.

8. Vimos que para el Al (en campo magnetico intenso) RteoH /Rexp

H ≈-0.3, lo que sugiere que el Al (metaltrivalente [Ne]3s23p1 con estructura fcc) actua como si aportara a la conduccion un hueco por atomo envez de tres electrones. Por otro lado sabemos que a altos campos magneticos Rteo

H = 1/(ne−nh)e siendo ne

y nh las concentraciones de electrones y huecos moviles, respectivamente. Probar que en efecto (ne − nh)es −1/3 de la concentracion correspondiente a tres electrones por atomo, para lo cual basta saber que elAl tiene la primera banda llena, la segunda casi llena y la tercera casi vacıa.

9. a) Probar que los resultados de la teorıa de electrones libres para la corriente inducida por un campo

electrico perpendicular a uno magnetico se puede escribir de la forma ~E = ρ~j donde el tensorresistividad ρ viene dado por

ρ =

(ρ −RB

RB ρ

)

siendo R = −1/ne el coeficiente Hall y ρ = m/ne2τ la magnetorresistividad.

b) Considerar un metal con varias bandas parcialmente llenas para cada una de las cuales ~En = ρn~jn

donde ρn se expresa por

ρn =

(ρn −RnB

RnB ρn

)

Probar que la corriente total inducida esta dada por ~E = ρ~j con ρ−1 =∑

n ρ−1n

90 Capıtulo VIII: Dinamica semiclasica de e− Bloch

c) Mostrar que si hay solo dos bandas, entonces el coeficiente Hall y magnetorresistividad estan dadospor

R =R1ρ

22 + R2ρ

21 + R1R2(R1 + R2)B

2

(ρ1 + ρ2)2 + (R1 + R2)2B2(8.34)

ρ =ρ1ρ2(ρ1 + ρ2) + (ρ1R

22 + ρ2R

21)B

2

(ρ1 + ρ2)2 + (R1 + R2)2B2

Analizar en particular el caso lımite de ρ a altos campos cuando existen electrones y huecossimultaneamente. ¿Que pasa si ne = nh? ¿Puede anularse el coeficiente Hall?

10. La traslacion global de la esfera de Fermi bajo un campo electrico ~E se puede tambien describir como sisolo los estados alrededor de la superficie de Fermi resultaran alterados.

a) Por suma directa sobre los estados electronicos al nivel de Fermi verificar que si la velocidad de estos

estados es ~vSF(~k) ≈ ~vF = h−1(∂ε(~k)/∂~k)~kF

, la densidad total de corriente se puede expresar por

~j =e2

4π3h

∫

SF

τd~SF (~vF · ~E).

b) De (a) probar que para electrones libres σ = e2`SF /4π3h, siendo SF la superficie de Fermi y ` elrecorrido libre medio.

c) Probar que la aplicacion de un campo magnetico ~B deja la densidad de corriente invariante.

d) Probar que si la velocidad de los estados al nivel de Fermi se aproxima por ~vSF(~k) ≈ ~vF + hδ~k/m∗,

siendo δ~k el desplazamiento de la esfera de Fermi debido a la aplicacion de campos transversales~E⊥ ~B, la densidad de corriente, despreciando terminos del orden de (δ~k)2, se puede expresar como

~j = ¯σE~E + ¯σB( ~B × ~E), (8.35)

con¯σE = e2

4π3h

∮

SF

τ1+(ωcτ)2~vF ⊗ d~SF

¯σB = e3

4π3h

∮

SF

τ/m∗

1+(ωcτ)2~vF ⊗ d~SF

donde (~vF ⊗ d~SF )ij = vFidSFj y ωc = eB/m∗.

e) A partir de (d), probar que si τ y m∗ se aproximan como independientes de ~k, la densidad de corrientese simplifica y es

~j = σE~E + σB( ~B × ~E) = ¯σ(B) ~E,

donde

σE =e2τ

12π3hβSF vF y σB =

eτ

m∗σE , con β = 1 + (ωcτ)2

y

¯σ(B) =

σE −BσB 0BσB σE 0

0 0 1

.

f ) Probar que si no se desprecian los terminos del orden de (δ~k)2 (y como en (e) τ y m∗ se aproximan

como independientes de ~k) la conductividad ¯σ( ~B) se puede expresar como

¯σ(B) =

(

1 − 4(ωcτ)2

β

)

σE − 2β BσB 0

2β BσB

(

1 − 4(ωcτ)2

β

)

σE 0

0 0 1

Obtener de aquı la expresion 8.32.

102 Capıtulo 9: Cristales semiconductores

9.6. Ejercicios

1. Para una relacion de dispersion en banda de la forma

ε = ε0 +h2k2

1

2m∗1

+h2k2

2

2m∗2

+h2k2

3

2m∗3

determinar la densidad de estados de la banda.

2. a) Calcula la dependencia con la temperatura del potencial quımico µ(T ) y de la concentracion deportadores n(T ) para un semiconductor de tipo n. Considera que la temperatura es lo suficientementebaja como para suponer despreciable la promocion de electrones desde la B.V. a la B.C.

b) Para este tipo de semiconductores, la temperatura de saturacion (en la cual se transita del regimende ionizacion al de saturacion) se define generalmente por la condicion µ(Ts) = εD. Demuestra que,segun esa condicion,

Ts =εc − εD

kB ln[Nc(Ts)/ND].

3. Supongase un semiconductor dopado con impurezas aceptoras y dadoras en la misma medida (NA ≈ ND).¿Que ocurre cualitativamente con la conductividad en funcion de la temperatura?

4. ¿Que determina que un semiconductor se pueda considerar no degenerado? ¿Depende de la concentracionde impurezas?

5. El antimoniuro de indio (InSb) tiene εg =0.23 eV, la permitividad relativa κ = 18 y masa efectivaelectronica m∗

e = 0·015 me. Calcular:

a) La energıa de ionizacion de los dadores

b) El radio de la orbita del estado fundamental

c) ¿A que concentracion mınima de dadores habra efectos apreciables de solapamiento entre orbitas deatomos de impurezas adyacentes (este solapamiento tiende a producir una “banda de impurezas”,es decir, una banda de niveles de energıa que permite una conduccion electrica por un mecanismode salto de los electrones de un atomo a otro)? ¿Como afectara a la conductividad electrica que seespera de un superconductor de tipo n?

6. En un cierto semiconductor hay 1013 dadores/cm3 con una energıa de ionizacion de εd = εc−εD = 1 meVy una masa efectiva m∗

e = 0·01 me. Suponiendo que no hay aceptores y que εg À kBT ,

a) Estima la concentracion de electrones de conduccion a 4K.

b) Calcula el coeficiente Hall.

7. Una muestra de silicio contiene 1014 dadores/cm3. ¿Por debajo de que temperatura dejara de tenercomportamiento intrınseco? (εg =1.1 eV y la concentracion intrınseca de portadores a 300 K es de 2×1016

m−3)

8. Un semiconductor con un gap de energıa de εg = 1 eV e iguales masas efectivas para electrones y huecos(m∗

e = m∗h = me) se dopa con una concentracion de aceptores de NA = 1018 cm−3. El nivel aceptor

esta situado a 0.2 eV por encima del borde de la B.V. Probar que la conduccion intrınseca es este materiales despreciable a 300 K.

9. Calcular la posicion del nivel de Fermi a T = 4 K y T = 300 K para un semiconductor intrınseco conεg = 1 eV, m∗

e=0.1 me , m∗h=5 me.

10. 5 µA fluyen a traves de un diodo de union p − n simple, a temperatura ambiente, cuando se polariza ensentido inverso (negativo) con 0.15 V. Calcular el flujo de corriente cuando se polariza en forma directacon el mismo voltaje.

11. Segun la informacion vista en la Seccion 9.5, ¿que tamano mınimo debe tener una union p-n paracomportarse como tal? ¿Como compara con el nivel de miniaturizacion alcanzado hoy dıa?

116 Capıtulo 10: Magnetismo de solidos

10.9. Ejercicios

1. Considerar un ion con una capa parcialmente llena con momento angular J y numero atomico Z. Evaluaraproximadamente a temperatura ambiente la razon entre el paramagnetismo de Curie y el diamagnetismode Larmor.

2. La funcion de onda del atomo de hidrogeno en el estado fundamental (1s) es Ψ(r) = (πa30)

−1/2exp(−r/a0),donde a0 = h2/me2 = 0,53×10−8 cm. Probar que para este estado 〈r2〉 = 3a2

0, y calcular su susceptibilidaddiamagnetica.

3. Considerar el mar de Fermi de un metal a temperatura T . Al aplicar un campo, solo los electronesalrededor de la superficie de Fermi se pueden alinear con el campo ya que para los demas los estados conespın paralelo ya estan ocupados por otros electrones. Aplicar el paramagnetismo de Pauli a los “electronesde Fermi” y estimar la magnetizacion resultante.

4. Calcular explıcitamente la magnetizacion de un sistema de N iones de espın 1/2. Determinar el lımitede altas temperaturas (µBB ¿ kBT ). Escribir la energıa interna y de ahı calcular la capacidad calorıficamagnetica CB de los iones en un campo B. Encontrar la forma lımite de CB a altas temperaturas.

5. En el benceno los atomos de carbono forman un hexagono regular de lado ` ≈ 1,4 A. Un electron devalencia de cada atomo tiene la funcion de onda que se extiende por todo el anillo de atomos (los otrostres electrones externos estan en orbitales atomicos sp2). Estimar la contribucion de estos electrones a lasusceptibilidad diamagnetica del benceno lıquido. El valor experimental de la susceptibilidad diamagneticadel benceno es 7.7×10−6. Densidad de benceno: ρ=880 Kg/m3; Peso molecular: M=78 g/mol

6. Determinar numericamente las diferencias de energıa que se ponen en juego por la anisotropıa. ¿Son delmismo orden que la energıa magnetostatica? ¿Como serıa cualitativamente la curva M(H) de un solidoisotropo (sin energıa de anisotropıa?

7. Suponer que el giro de espın de una pared Bloch esta distribuido entre N planos como esquematiza lafigura.

a) Probar que la energıa de intercambio disminuye con N .

b) Introduciendo una energıa de anisotropıa proporcional al espesor de pared, determinar el espesoroptimo de pared.

8. Para x pequeno la funcion de Brillouin BJ(x) tiene la forma Ax − Bx3 donde A y B son positivos.Deducir que conforme T → Tc por abajo, la magnetizacion espontanea de un ferromagnetico se anulacomo (Tc − T )1/2 segun la teorıa de campo medio (como comparacion, el exponente experimental esproximo a 1/3).

9. Se puede aproximar el efecto de la interaccion de intercambio entre electrones de conduccion si suponemosque los electrones con espın paralelo interaccionan entre sı con energıa −U (U > 0), mientras que loselectrones con espın antiparalelo no interaccionan. Sean N↑ = 1

2N(1 + x) y N↓ = 12N(1 − x) el numero

de electrones con espın ↑ y ↓ respectivamente (N es el numero total de electrones).

10.9 Ejercicios 117

a) Probar que en un campo magnetico la energıa total de la subbanda con espın ↑ es

E↑ =3

10NεF (1 + x)5/3 − 1

8UN2(1 + x)2 − 1

2NµBB(1 + x),

con una expresion similar para E↓.

b) Minimizar la energıa total y resolver en x en el lımite x ¿ 1. Mostrar que la magnetizacion es

M =3nµ2

B

2εF − 32UN

B

de modo que la interaccion de intercambio aumenta la susceptibilidad.

c) Mostrar que con B = 0 la energıa total es inestable para x = 0 cuando U > 4εF /3N . Si esto sesatisface el estado ferromagnetico (x 6= 0) tendra menor energıa que el paramagnetico.

10. La deduccion del paramagnetismo de Pauli presupone que en cada estado ~k del mar de Fermi se siguenubicando dos electrones con espines opuestos, solo que, en presencia de un campo magnetico ~B, tendrandistinta energıa. Se trata de analizar el escenario en el que en cada estado ~k solo queda el electron conespın opuesto a ~B, yendo el otro a ocupar las “casillas” ~k vacıas para poner su espın tambien opuestoa ~B, bajando ası ambos su energıa magnetica. Demostrar que esta posibilidad es energeticamente muydesfavorable.

11.9 Ejercicios 139

11.9. Ejercicios

1. Sea una lamina superconductora de espesor d sometida a un campo magnetico paralelo a su superficie.Calcula la distribucion de flujo magnetico y de corriente electrica en su interior. Calcula la susceptibilidadmagnetica χ = M/H y estudia su dependencia con d y con la temperatura.

2. El campo magnetico en el interior de un cuerpo de tamano “finito”, Hi, es en general diferente delcampo magnetico aplicado Ha: se relacionan segun Hi = Ha − DM donde M es la magnetizacion delcuerpo y D ∈ [0, 1] es un factor (desmagnetizante) que depende de la geometrıa del cuerpo. Este efectodesmagnetizante es de gran importancia en los materiales superconductores dado que M puede llegar a serdel orden de −Hi (diamagnetismo perfecto) y, segun la anterior relacion, para determinadas geometrıasHi puede ser mucho mayor que Ha. Calcula la susceptibilidad magnetica efectiva M/Ha en el estadoMeissner de los superconductores con las geometrıas y orientaciones indicadas en las figura.

Figura 11.25: Factor desmagnetizante para elipsoides de revolucion.

3. En presencia de efectos desmagnetizantes (Ejercicio 2) un superconductor de tipo I transita al estadonormal cuando el campo magnetico interno Hi = Ha − DM > Ha iguala el campo crıtico Hc. Sinembargo, dado que en estado normal M ≈ 0, se tiene que Hi ≈ Ha < Hc. Tendrıamos un superconductoren estado normal con Hi < Hc. La paradoja se resuelve teniendo en cuenta que cuando Ha es tal queHi = Hc el material se divide en una sucesion de zonas normales y superconductoras (paralelas al campo)en equilibrio conocida como estado intermedio. Segun Ha aumenta, el volumen de las zonas normales (engris en la figura) aumenta a costa del de las superconductoras (ver figura). Finalmente, cuando Ha = Hc

el material esta completamente en estado normal.

Calcula la fraccion de volumen de las zonas en estado normal y la magnetizacion en funcion de Ha paraun elipsoide con factor desmagnetizante D. Analiza los casos lımite (D → 1 y D → 0).

140 Capıtulo XI: Superconductividad

4. Considerese un hilo superconductor transportando una corriente electrica I. Cuando esta corriente es talque el campo generado por ella misma en la superficie del hilo supera el campo crıtico Hc, el materialtransita al estado normal (regla de Silsbee). Calcula el valor de esta corriente crıtica Ic para un hilo deplomo de 0.1 mm de diametro sumergido en He liquido. Calcula Ic cuando ademas se aplica un campomagnetico externo en la direccion del hilo.

5. Sea un cilindro hueco, de radio exterior R e interior r. Si se aplica un campo en la direccion axial, analizalas diferencias entre la susceptibilidad magnetica que se medirıa en el estado Meissner en los siguientescasos (desprecia posibles efectos desmagnetizantes):

a) Alcanzando el punto de medida en modo “field cooled” (enfriando por debajo de Tc en presencia delcampo magnetico).

b) Alcanzando el punto de medida en modo “zero-field cooled” (aplicando el campo una vez se haenfriado la muestra por debajo de Tc).

Repite los apartados a) y b) para el caso de un cilindro macizo, pero con un agujero completamentecontenido en su interior.

6. La imagen que se muestra fue obtenida por decoracion Bitter en una muestra superconductora (Nb) a 1.2K. ¿Cual es la densidad de flujo magnetico (B) en el interior de la muestra?

m

7. Cuando un metal normal se pone en contacto con un superconductor, puede manifiestar efectossuperconductores cerca de la superficie de contacto (si el metal ocupa el semiespacio x > 0, se tieneque ψ 6= 0 para x >

∼ 0). Es lo que se conoce como efecto de proximidad. Suponiendo que el metal normalpuede describirse por la teorıa de GL con α > 0, demuestra que la funcion de onda superconductora enel interior del metal normal puede aproximarse por ψ(x) = ψ(0) exp(−x/ξ), donde ψ(0) es el valor delparametro de orden en la superficie de contacto y ξ = (h2/2m∗α)1/2.

8. Un vortice en un superconductor puede aproximarse por un nucleo cilındrico en estado normal de radioξ. Demuestra, a partir de la 2a ecuacion de London (11.19), que la densidad de flujo magnetico B fueradel nucleo obedece la ecuacion de Bessel

1

r

d

dr

(

rdB

dr

)

=B

λL

donde r es la distancia al centro del nucleo. Demuestra que la solucion puede aproximarse por:

a) B(r) ≈ cte + cte′ ln(r) cuando ξ < r ¿ λL.

b) B(r) ∝ exp(−r/λL) cuando r >∼ λL.

Exámenes

1

Estructura cristalina

1. En la figura adjunta se representa la celda unitaria de un cristal constituido por tres tipos atomos: A, enlos vertices del cubo; B, en la mitad de las aristas del cubo; C, en el centro del cubo.

a) Dar la red y la base de atomos de la estructura.

b) Dar la formula estequiometrica.

c) Dar la red recıproca.

d) Suponiendo que la estructura es compacta, calcular el radio rC maximo del atomoC en funcion del tamano relativo de los radios rA >rB . Calcular rC para rA/rB = 2y rA/rB = 3, dando en cada caso la fraccion de empaquetamiento.

A B C

2. Un cristal formado por iones de atomos A y B tiene una estructura (tipo rutilo) como se indica en lafigura adjunta. Los parametros de la celda convencional son a = b = 0.459 nm y c = 0.396 nm. Cada ionB (en el interior y en las caras superior e inferior) esta en el centro de un triangulo definido por tres ionesA, mientras que cada ion A esta en el centro de un octaedro definido por seis iones B.

a) Describir la estructura como red mas base de atomos.

b) Dar la formula estequiometrica.

c) Dar la red recıproca.

d) Determinar el volumen de la primera y segunda zona de Brillouin.

3. En el γ-Fe, los atomos de Fe ocupan posiciones de red fcc y los atomos de C los huecos octaedricos dela estructura. En la fase α-Fe, los atomos de Fe ocupan posiciones bcc y los de C nuevamente los huecosoctaedricos de esta estructura.

a) Determinar cual fase α o γ puede disolver (% en masa) mas C.

b) En una estructura bcc los mayores huecos son de coordinacion tetraedrica, por lo que la fase α-Fepodrıa disolver aun mas C. Sin embargo, experimentalmente se observa que la fase γ-Fe disuelveintersticialmente un 2.14 % en masa de carbono y la α-Fe un 0.02 %. ¿Cual es la razon de estadiscrepancia?

4. Verificar que en una red, definida como el conjunto de puntos con vectores posicion ~R = u1~a1+u2~a2+u3~a3

donde los ui barren todos los enteros, todos sus puntos son equivalentes.

5. Un solido cristalino monoatomico posee una estructura hcp. El volumen de la celda hexagonal convencionales 7.2 nm3. Calcula el volumen de la celda primitiva. ¿Cuales son los planos de mayor y menor densidad?

6. a) ¿Cuales son los planos reticulares mas separados en una red fcc y en una bcc? ¿Y los menos separados?

b) ¿Cuantos atomos por celda primitiva tiene un cristal monoatomico (un solo tipo de atomo) si suestructura es:

1) Tetragonal

2) Tetragonal centrada en el cuerpo

3) Hexagonal

4) Monoclınica centrada en bases

7. La figura adjunta muestra la estructura de la fluorita, forma mineral delfluoruro de calcio. Describir la estructura y dar la formula estequiometrica.

Ca

F

8. Para el patron de la figura adjunta, indicar:

a) Una celda unitaria rectangular

b) Una celda unitaria primitiva

c) La base de atomos correspondiente a cada tipo de celda

9. Uno de los compuestos mas de moda es el fullereno C60K3. Los atomos de carbono entran en la estructuraformando las moleculas bola C60, y cada bola de C60 esta coordinada con 12 atomos de K. Sabiendo quela estructura pertenece al sistema cubico, deducir una red y una base atomica compatible con los datos.

2

10. Considerar las tres estructuras del carbono mostradas en la figura adjunta. Razonar si en alguna de ellaslos atomos de carbono forman una red monoatomica. En caso contrario, proponer un sistema de red masbase de atomos e indicar el numero de atomos de la base elegida.

(a) Diamante (b) Grafito (c) Fullereno (C60)

11. En la figura adjunta se representan las estructuras de los compuestosbinarios FemSn y NipSq.

a) Determinar los ındices m, n, p, q.

b) Determinar la red y base de atomos correspondiente a cadaestructura.

12. La estructura de la figura adjunta ha sido construida con el criterio de apilamiento deesferas rıgidas de la manera mas compacta posible.

a) Describirla como red mas base de atomos.

b) Describirla como red cubica mas base de atomos.

c) Dar en cada caso los parametros de red en funcion de los radios de los atomos.

13. Una determinada forma de grafito tiene la estructura quese muestra en la figura adjunta, desde dos perspectivasdiferentes.

a) Determinar una combinacion de red mas base deatomos valida para describir esta estructura.

b) Determinar la densidad que tendrıa una muestramonocristalina de grafito cristalizado en esa estruc-tura. (Peso molecular del C: 12.011 g/mol)

2.25 Å4.12 Å

14. Describir la estructura de la figura adjunta como red mas una base atomica y darsu formula estequiometrica.

15. Discutir si serıa estructuralmente posible la existencia de cristales ionicosde iones positivos (A) con radio R y negativos (B) de radio 0.25R o 0.5Ren alguna de las configuraciones siguientes:

a) Iones positivos formando una red fcc de parametro a=4R/√

2.

b) Iones positivos formando una red bcc de parametro a=4R/√

3.

c) Calcular para cada estructura factible la maxima compacidad posible y dar la formula estequiometricacorrespondiente.

16. El sodio se transforma de bcc en hcp a T ≈ 23 K. Suponiendo que la densidad permanece constante y queel cociente c/a de la fase hcp es el ideal, calcular el parametro de red ahcp, sabiendo que el parametro dered de la celda convencional para la fase cubica es abcc = 4.23 A.

17. ¿Por que la estructura cubica centrada en bases (figura adjunta) no es una red de Bravais

como tal y sı lo son las centradas en bases de los sistemas ortorrombico y monoclınico?

a) Describirla como red de Bravais mas base de atomos.

b) ¿Podrıa describirse como red deBravais monoatomica?

18. En tres dimensiones existen 14 tipos de redes cristalinas distintas atendiendo a sus simetrıas (redes deBravais). Explicar cuales son las correspondientes redes cristalinas en dos dimensiones, especificando paracada una unos vectores base primitivos y sus coordenadas.

3

19. Considerar el patron de la figura adjunta (las distancias estan en A).

a) Dar unos vectores unitarios ortogonales (coordenadas con respecto a los ejesindicados), la celda unitaria que determinan y la base de atomos asociada parareproducir el patron.

b) Dar unos vectores primitivos (coordenadas con respecto los ejes indicados), la celdaunitaria que determinan y la base de atomos asociada para reproducir el patron.

12

xy

20. Para el patron de la figura adjunta,

a) Dar una red mas la base de letras correspondiente.

b) Con respecto a esa red dar una celda unitaria rectangular y lacorrespondiente base de letras.

c) Con respecto a la misma red dar una celda unitaria primitiva y lacorrespondiente base de letras.

pq qp pq qp pq qp

pq pq pq pq pq pq

pq qp pq qp pq qp

pq pq pq pq pq pq

pq qp pq qp pq qp

a

a

b b b b

a

a

21. Para las estructuras cuya celda convencional se muestra en la

figura adjunta,

a) Dar la formula estequiometrica.

b) Dar una red y su base de atomos (basta dibujar unosvectores base y marcar los atomos de la base en lasfiguras). DCA B

1

Red recıproca y difraccion de rayos x

1. Para la estructura de la figura adjunta (tipo cuprita),

a) Describirla como de red mas base de atomos.

b) Dar la formula estequiometrica.

c) Determinar el factor de estructura de la base SG (los atomos B estan en posicionintermedia entre los correspondientes vecinos mas proximos A). ¿Pueden ocurrirextinciones (SG = 0) producidas por la base de atomos?

x

zy

A

B

2. El hierro es un material alotropico (puede tener mas de una estructura cristalina). A temperatura inferiora 912 oC es bcc y a temperaturas entre 912 oC y 1394 oC es fcc.

a) Despreciando efectos de dilatacion termica y utilizando un modelo de esferas duras, determinar elcambio porcentual del parametro de red de la celda convencional cuando se calienta por encima de912 oC.

b) Sabiendo que el radio atomico del hierro es 1.24 A determinar cual es el angulo mas bajo para el quese observarıa difraccion de rayos x (λ = 1.54 A) en cada una de las fases.

3. Se hace un difractograma de rayos x sobre una muestra en polvode una aleacion compuesta por dos elementos diferentes ( y •)en proporcion 1:1. Por debajo de cierta temperatura T0 amboselementos se disponen de manera regular sobre una red cubica(figura adjunta izquierda). Sin embargo, por encima de T0 elsistema se desordena, y los atomos ocupan los nodos de la redcubica de forma aleatoria (figura adjunta derecha).

Calcular la posicion (θ) de los 3 primeros picos de difraccion para T > T0 y para T < T0. La longitud deonda de los rayos x es 1.54 A.

4. Se hace un difractograma de rayos x sobre una muestra en polvo con la estructura cristalina de la figuraadjunta. La longitud de onda de los rayos x es de 1.54 A, y el parametro de red a temperatura ambiente5 A.

a) Calcular la posicion (θ) de los 3 primeros picos de difraccion a temperaturaambiente.

b) Repetir el apartado (a) para T = 1000 K. El coeficiente de dilatacion termicaes α = ℓ−1(dℓ/dT ) = 10−5K−1. ¿Como cambia la intensidad de los picos?

c) Repetir el apartado (a) suponiendo atomos iguales.5 Å

5. La figura adjunta representa una camara de difraccion de rayos x. Una muestrapolicristalina de estructura fcc monoatomica de parametro a = 0.632 nmse ilumina con radiacion ~k (λ = 0.1542 nm) reemitiendo radiacion ~k′. ¿Aque altura, h, debe colocarse el detector para detectar los tres primeros maximosde difraccion?

k

'k

h

R=0.5 m

Detector

6. Sobre una muestra de Rb en polvo (bcc, con parametro 5.59 A) se hacen incidirrayos x de longitud de onda 1.541 A. Se situa segun la figura adjunta una placafotografica sensible a los rayos x para recoger en ella la figura de difraccion.

a) ¿Que tipo de figura se observara? (rayas, estrellas, puntos, anillos ...)

b) ¿A que distancia maxima de la muestra debe situarse la placa para recogerel primer maximo de difraccion? La placa es un cuadrado de 4 cm.

d

Rb

4 cm

4 cm

=1.541 Å

7. Se tiene una muestra policristalina de Nb (cubico de parametro de red a = 3.3 A y con estructura bcc).Si se realiza un difractograma de rayos x con una longitud de onda λ = 1.540 A, ¿en que angulos (θ)aparecen los cuatro primeros picos de difraccion?

8. Sobre una muestra en polvo de un solido cristalino con estructura sc y constante de red 2 A se hace incidirradiacion x con longitud de onda de 10 A. ¿Se produciran maximos de difraccion? ¿Y si la constante dered fuese de 8 A?

2

9. Se realiza un experimento de difraccion Bragg para determinar la longitud de onda de un hazmonocromatico de rayos x. Para ellos se usa un cristal cubico simple y monoatomico. Se conoce tambien(y con precision que para nuestros propositos podemos considerar infinita) que su constante de red es 5A. Si el angulo que los rayos incidentes y los reflejados forman con el plano del cristal es 6o, y es medidocon una precision de 3.4 minutos de arco, ¿cual es el error en la determinacion de la longitud de onda delos rayos x?

10. Un cristal cubico tiene un parametro de red de 5 A. Si se quiere investigar su estructura con rayos x,razona cual es la longitud de onda maxima y mınima que pueden tener.

11. Un difractometro de rayos x (λ = 0.15406 nm) recoge un grafico para un elemento del sistema cubico ymuestra picos de difraccion en los angulos 2θ: 40.113o, 46.659o, 68.080o y 82.090o. Determinar la estructuracristalina del elemento y su constante de red.

12. El angulo de Bragg de cierta reflexion de una muestra en polvo de Cu es 47.75o a 293 K, y de 46.60o a1273 K. Calcular el coeficiente de expansion termica del Cu.

13. Probar que existe un lımite superior en la longitud de onda que puede difractar un cristal en condicionesde maximo. ¿Cual es el sentido fısico de dicha limitacion?

14. Sobre un cristal monoatomico en polvo se hacen incidir rayos x de λ = 2 A. Se sabe que la estructura estetragonal simple. En el intervalo de angulos de Bragg 0 < θ < 30o se observaron maximos de difraccionpara los siguientes angulos: 11.5o, 14.5o, 18.7o, 20.7o, 23.6o, 24.0o, 28.1o. Determinar las dos constantesde la estructura.

15. Rayos x de longitud de onda 5.15 A inciden sobre un cristal monoatomico de estructura fcc con parametrode red 3.85 A. ¿Cuantos maximos de difraccion se podran observar segun la orientacion del cristal?

16. Considerar la difraccion de rayos x de una muestra cubica simple en polvo. ¿Puede haber coincidenciade maximos? De otro modo: ¿Hay lıneas (distintas) de reflexion que correspondan al mismo angulo desalida?

17. Una muestra en polvo ha dado un difractograma de rayos x con reflexiones a angulos Bragg 16.4o, 23.6o,29.3o, 34.4o, 39.2o, 43.8o, 48.4o. ¿Podrıa ser NaCl?

18. Un cristal es sometido a difraccion de rayos x para determinar su estructura. Si la orientacion del cristalrespecto del haz es tal que el extremo del vector de onda incidente coincide con una esquina (interseccionde dos o mas planos Bragg) de la frontera de un zona de Brillouin, ¿que ocurre a la salida?

19. En un cristal bcc monoatomico con a = 0.40 nm:

a) Determinar la gama de longitudes de onda para las que es imposible que se produzca difraccion(condicion de Bragg).

b) ¿Cuales son los planos atomicos mas densos de esta estructura?

20. El grafeno es una lamina plana de atomos de carbono,dispuestos en los vertices de hexagonos regulares (figuraadjunta (a)), de un solo atomo de espesor, que se apilacon otras laminas iguales para formar el grafito: las minas

de los lapices. Una estructura similar es la del nitruro deboro (figura adjunta (b)) donde en vez de atomos de C,la estructura esta formada por atomos de N y de B.

(a)

x

y

(b)

a) Describir ambas estructuras como red mas base de atomos (si fuese necesaria) y dar las coordenadasde unos vectores primitivos y de las posiciones de los correspondientes atomos de la base con respectoa los ejes xy indicados.

b) Representa las correspondientes redes recıprocas (dando unos vectores base y sus coordenadas), eindica las dos primeras zonas de Brillouin.

c) Se hacen incidir sobre el grafeno rayos x de longitud de onda 3ℓ/2 segun la direccion x. ¿Cuantoshaces difractados se observan, y para que angulos con respecto al haz incidente?

d) Si se tratase del nitruro de boro, ¿cuales serıan las diferencias con el difractograma de rayos x delgrafeno?

3

21. La dimension de la celda convencional del cobre (fcc) es 0.36 nm. Calcular la longitud de onda mas grandepara los rayos x, capaz de producir difraccion por los planos mas compactos. ¿Que planos podrıan difractarrayos x de longitud de onda 0.5 nm?

22. Calcular los angulos de difraccion a primer orden (n = 1) de los planos [100] y [110] de una red cubicasimple de parametro 3 A cuando la longitud de onda es 1 A. Si la red fuese bcc, ¿se encontrarıan hacesdifractados para los mismos angulos?

23. El hierro tiene estructura bcc por debajo de 912 oC y fcc por encima de esta temperatura. En unexperimento de difraccion de rayos x aparece que la lınea 200 se observa para un angulo 2θ = 32.1o

justo por debajo de 912 oC, mientras que justo por encima se observa a 2θ = 25.5o. Calcular la razon delas densidades de las dos estructuras.

24. Sea una sustancia cristalina de estructura tetragonal (con a = b = 0.3 nm, c = 0.4 nm). Si se hacedifraccion de rayos x sobre una muestra en polvo de esa sustancia, ¿cuales son los 3 primeros angulos dedifraccion? (longitud de onda de los rayos x = 0.15 nm).

25. Considerese un cristal bidimensional cuya estructura es la del patron de la figura del ejercicio 1.19. Si sobreel incidiesen en la direccion horizontal rayos x policromaticos con longitudes de onda comprendidas entre1.3333 A y 2.2222 A, ¿cuantos picos de difraccion se observarıan, en que direcciones y para que longitudesde onda?

26. Una sustancia monoatomica presenta una estructura tetragonal centrada en el cuerpo. Si se hace undifractograma de una muestra en polvo de esa sustancia ¿cuales son los tres angulos (2θ) mas bajos paralos que se observa difraccion?

Datos: Los parametros de red de la celda convencional son a = 0.378 nm y c =1.325 nm. La longitud deonda de los rayos x es 0.154 nm.

27. Sobre un monocristal cubico simple con parametro de red a = 0.4 nm inciden rayos x con una orientacionarbitraria. Dicho haz presenta longitudes de onda λ entre 0.01 nm y 0.1 nm. ¿Existe alguna probabilidadde observar algun haz difractado? ¿Y si el haz fuese monocromatico con λ = 0.1 nm?

1

Enlace cristalino

1. Para dar cuenta de la interaccion repulsiva (a distancias muy cortas) entre iones en un cristal ionico seemplea un termino de la forma B/rn

ij o λe−rij/ρ, donde B, n (n ≫ 1), λ y ρ son parametros a determinary rij la distancia entre dos iones i,j cualesquiera. Determinar la relacion ente ρ y n para que la energıa(potencial) total del cristal a la distancia de equilibrio, U(R0), calculada con uno u otro termino repulsivono difiera en mas del 10 %.

2. Discutir cuales son los factores principales que determinan el empaquetamiento de iones en un cristalionico.

3. El potencial de interaccion de Lennard-Jones por par de atomospresenta un mınimo para la separacion r0 = 4.09 A (figura adjunta).Para un cristal con estructura fcc compuesto por este tipo de atomos,¿cual serıa la distancia R0 entre los vecinos mas proximos? Explicarcualitativamente por que esa distancia es menor que r0.

r

6

r00

U(r

)/4 r( )12r( )

4. Utilizando U(R) = λe−R/ρ como potencial repulsivo entre atomos a distancia R, R0 = 0.3147 nm, B0 =1.74× 1010 N/m2 (R0 es la distancia entre vecinos mas proximos y B0 el modulo de compresibilidad en elequilibrio), calcular la energıa de cohesion del KCl con la estructura cubica ZnS. Compararla con el valorque se obtendrıa si se calcula con la estructura NaCl.

5. Para un conjunto de cristales ionicos, todos con la estructura del NaCl, se observa (tabla adjunta) elsistematismo de que, fijado el elemento alcalino, al ir descendiendo en el grupo de los halogenos vadisminuyendo el modulo de compresibilidad (definido por B0 = −V dp/dV ). Discutir cual puede ser lacausa de este sistematismo.

Cristal LiF LiCl LiBr LiI NaF NaCl NaBr NaI

B0 (1010 N/m2) 6.71 2.98 2.38 1.71 4.65 2.40 1.99 1.51

6. La constante de Madelung, α, determina la energıa de cohesion de las estructuras ionicas binarias tıpicas.¿Porque no todos los compuestos ionicos binarios cristalizan en la estructura CsCl, siendo que es la quecorresponde aparentemente, a la de mayor (en valor absoluto) energıa de cohesion?

7. ¿Que argumentos se pueden dar para explicar que la temperatura de fusion de los cristales de los gasesnobles crece segun descendemos en el grupo (columna de la tabla periodica)?

8. Para el NaCl, el valor medio de la compresibilidad adiabatica K es 4× 10−11 m2/N y la separacion de losiones en el equilibrio 2.8 A. Calcular la sobrepresion que se necesitarıa ejercer para reducir la separacionde equilibrio en un 10 %.

1

Dinamica de Redes

1. La velocidad de propagacion del sonido en una barra cilındrica es un 5 % mayor cuando se la somete a unesfuerzo en la direccion longitudinal. Suponiendo que la deformacion es uniforme:

a) Discutir si el esfuerzo es de traccion o de compresion.

b) Sabiendo que el modulo de Young del material de la barra es de 2×1011 Pa estimar el valor de dichoesfuerzo.

2. Considerar la muestra bidimensional de la figura adjunta. En ella la velocidad degrupo de las vibraciones en la rama acustica viene dada por, en la direccion [21] del

espacio de momentos, dω/d|~k| = 5000(1 − 1.8|~k|) m/s, con |~k| expresado en A−1.

a) Describirla como red+base de atomos.

Dibujar la red recıproca, indicando el tamano de los vectores base.

b) Dibujar la primera y segunda zonas de Brillouin.

c) Calcular la frecuencia de las vibraciones de la rama acustica en la direccion [21]. ¿Cual es la velocidaddel sonido en esa direccion?

d) Calcular la frecuencia maxima de las vibraciones de la rama acustica en la direccion [21].

4 Å

1 Å

1 Å8 Å

y

x

3. En una red cubica simple de espaciado 0.2 nm, un fonon viajando en la direccion [100] con longitud deonda 0.45 nm interacciona y se combina con otro fonon de igual longitud de onda que viaja en la direccion[110]. Representa en el espacio de fases los fonones incidentes y el resultante. Comentar el resultado.

4. ¿Que fonones en un cristal se veran mas afectados por los defectos puntuales, como pueden ser las vacantes,impurezas quımicas, etc, los opticos o los acusticos?

5. Considerese un cristal bidimensional formado por un solo tipo de atomos dispuestoscomo se indica en la figura adjunta.

a) ¿Cual sera la menor longitud de onda que puede tener una onda de presion quese propague en ese cristal?

b) ¿Cuantos modos normales puede haber en un cristal como este que mida entotal 1 cm2?

4 Å

2 Å

2 Å5 Å

6. Suponer la cadena lineal monoatomica de constante de red a con una ley de dispersion ω2(k) =2

MC[1 −

cos(ka)]. ¿Cual es la velocidad del sonido en ese medio? Calcular la densidad de estados.

7. ¿Hay alguna razon fundamental por la que la pendiente de las ramas de vibracion de los solidos sea ceroen las fronteras de la PZB?

8. ¿Por que el espectro de vibracion del Na solido (bcc monoatomico) tiene tres ramas (1 LA, 2 TA) en ladireccion [110], en tanto que en la direccion [100] solo tiene dos (1 LA, 1 TA)?

9. Se argumenta que, debido a la simetrıa de traslacion interna de un cristal, vibraciones con vectores deonda ~k que difieren en un vector de la red recıproca son equivalentes. Pero, en realidad, ¿como se entiendeque no se pueda diferenciar entre dos ondas con una sustancial diferencia entre sus longitudes de onda?

10. Al estudiar vibraciones atomicas las interacciones entre atomos las incluimos en una constante de fuerzaentre atomos mas proximos, C. Deducir un orden de magnitud para C.

11. Discutir la veracidad de la siguientes afirmaciones:

Para los modos acusticos en un cristal...

a) ...la maxima longitud de onda de una onda viajera es tanto mayor cuanto mayor sea la rigidez delenlace cristalino.

b) ...la mınima longitud de onda de una onda viajera es tanto mayor cuanto mayor sea la masa de losatomos del cristal.

12. En la figura adjunta se muestra la relacion de dispersion para fonones en el Al, en las direcciones [110] y[100].

2

AL

AT1

AT2

AL

AT

k/(2 /a) [100][110]k/kmax

/2

(1013

s–1

)

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

a) ¿Por que hay dos modos transversales en la direccion [110] y solo uno en la direccion [100]?

b) ¿Por que no hay modos opticos?

c) ¿Es isotropa la velocidad del sonido?

d) ¿Por que en la direccion [100] se representa hasta 2π/a en vez de π/a?

13. En la figura adjunta se muestra la relacion de dispersion ω(k) en la direccion (100)para una estructura fcc de base diatomica. En el eje horizontal se representa k/kmax

y en el vertical la frecuencia ω/2π en unidades de 1012 Hz.

a) Estimar la velocidad de propagacion del sonido en este cristal para el modolongitudinal en la direccion (100).

b) Determinar la velocidad de propagacion del sonido en una cadena diatomicade atomos de masas M1 y M2, parametro a y contante de fuerza entre atomosC. Suponiendo valida esta expresion para el cristal de la figura, determinar laconstante de fuerza entre atomos C para este compuesto en la direccion (100).

Determinar la velocidad de propagación del sonido en una cadena diatómica de

una estructura cubica simple

a partir la relación de

) que se muestra en la figura adjunta. En el eje horizontal se

Hz.

,

en la

(100)Datos: Parametro de red convencional a = 6.59 A. M1 = 6.5×10−23 g, M2 = 13.3×10−23 g.

1

Propiedades termicas reticulares

1. Sea un solido cristalino monoatomico con red sc tridimensional de constante de red 5 A, con velocidaddel sonido 7000 m/s (que consideraremos isotropica), y a una temperatura de 300 K.

a) Se miden las vibraciones termicas de la red de ese solido. Estima a que frecuencia se encontrara lamayor energıa de vibracion. Utilizar aproximaciones para ello (la de Debye, por ejemplo).

b) Estimar la capacidad calorıfica por mol de ese solido.

c) Discutir si el solido sera un buen espejo a la radiacion infrarroja debido a alguno de los modos devibracion de su red. ¿Y si fuese diatomico?

2. Razonar brevemente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) A T = 80 K, la capacidad calorıfica de un solido con temperatura de Debye θD = 100 K sera mayorque la de otro con θD = 200 K.

b) La mınima longitud de onda de los fonones en un solido sera menor cuanto mas grande sea suconstante de red.

3. Sea un solido con frecuencia de Debye ωD = 7.8 × 1013 rad/s. Cuando se calienta de 30 K a 300 K,¿aumenta o disminuye su ...

a) numero de fonones con frecuencia ω = 1011 s−1.

b) numero de fonones capaces de dar lugar a procesos U.

c) numero de fonones capaces de dar lugar a procesos N.

d) conductividad termica reticular?

4. Sea un cristal con enlace molecular y otro con enlace ionico.

a) ¿Cual tendra mayor temperatura de fusion?

b) ¿Cual tendra mayor coeficiente de dilatacion termica, α?

5. Sea una red cuadrada bidimensional con un atomo de masa M en cada punto, interaccionando solocon sus vecinos mas proximos con constante de fuerza C. Tomese como curva de dispersion fononica:ω(k) =

√

4C/M | sen(ka/2)|.

a) Obtener la densidad de estados fononicos a longitudes de onda largas.

b) A altas temperaturas, kBT ≫ ~ω, encuentrese la media cuadratica del desplazamiento de unatomo respecto a su posicion de equilibrio. Razonese sobre el resultado si la red se fundira a altastemperaturas.

6. Calcular la conductividad termica a 1 K de una varilla de zafiro cristalino de 3 mm de diametro (pesomolecular del Al2O3, 102). La velocidad del sonido se puede tomar como 5 × 103 m/s, la densidad delAl2O3 como 4× 103 Kg/m3 y θD = 103 K. Considerar que por estar a muy baja temperatura el recorridolibre medio de los fonones esta determinado por la talla del cristal.

7. Considerar dos materiales sc, monoatomicos con igual constante dered, y con la misma pureza pero con relaciones de dispersion de lasvibraciones de su red distintas y dadas por la figura adjunta.

a) A una temperatura de 300 K, ¿cual sufrira mas procesos U?

b) A esa misma temperatura ¿cual tendra mayor capacidadcalorıfica?

(1012 rad/s)

10 (Å–1)

8. a) Sea un cristal ionico y otro de gases inertes. Razonese cual tendra mayor frecuencia de Debye.

b) ¿Puede ser la ocupacion de un estado fononico superior a la unidad?

9. Se desea construir una placa que actue como termostato a diferentes temperaturas en el rango de 25oC a300oC de tal forma que se puedan conocer los incrementos de temperatura midiendo solo la energıa quese le suministra para producir esos incrementos. Para esto lo ideal serıa que la capacidad calorıfica deltermostato fuese independiente de la temperatura. ¿De los materiales que se relacionan a continuacioncuales serıan los mas adecuados para construir el termostato? Ordenarlos por orden de conveniencia yrazonar la respuesta. Be, Ti, Fe, Cu, Pb, Ge, Cr, Ag, In, Bi, Si, Sn

2

10. ¿Que tipo de fonones da mayor contribucion a la energıa total de vibracion de un cristal a temperaturaT? Utilizar si es preciso el modelo de Debye.

11. Pronunciarse sobre la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones relativas a un solido cristalino atemperatura T :

a) Los fonones de baja frecuencia son los mas abundantes pues la energıa asociada ~ω es menor.

b) Hay tantos tipos de fonones posibles como atomos.

c) No oımos las vibraciones termicas (zumbido termico) porque la frecuencia de los fonones supera conmucho la maxima perceptible por el oıdo humano (alrededor de 10 KHz).

d) Los fonones se mueven a la velocidad del sonido en el solido.

12. En un cristal cubico monoatomico de parametro de red a = 3.7 A, la velocidad del sonido para fononeslongitudinales y trasversales es aproximadamente la misma c = 3000 m/s y es isotropa.

a) ¿Cual es su frecuencia de Debye?

b) ¿Cual es la mınima longitud de onda de los fonones es ese material?

13. Sea un cristal bidimensional en el que los fonones longitudinales tienen una relacion de dispersion ω(k) =A√

k (aquı A = cte).

a) Determina la densidad de estados D(ω).

b) En el lımite T → 0, la contribucion de los fonones longitudinales al calor especıfico es de la formaC ∝ T s. ¿Cual es el valor de s?

14. Se ha determinado que un solido tiene un peso molecular de 35, una densidad de 2.3 × 103 Kg/m3 y quela velocidad del sonido en el es de 1800 m/s.

a) Determinar su temperatura de Debye.

b) Cuanto calor se requiere para elevar su temperatura de 10 a 30 K.

15. En la figura adjunta se representa el calor especıfico de dossolidos cristalinos medido entre T ≈ 4.2 K (He lıquido)y T ≈ 20.2 K (H lıquido). Admitiendo que del ajustede esos datos, lınea recta continua (cuadrados) y a trazos(cırculos), se pueden extraer sus temperaturas de Debye conun incertidumbre inferior al 10%, discutir a que materialespueden corresponder estos datos. ¿Cual serıa su calorespecıfico a temperatura ambiente?

1 2 3 4 5 6 7 8 90

2

4

6

8

10

12

14

0

10

20

30

40

50

60

70

Cv (m

J/m

ol K

)

Cv (J

/mol K

)

T3 (10

3 K

3)

(J/mol K)

(mJ/mol K)

16. Suponer la cadena lineal monoatomica de constante de red a con una ley de dispersion ω2(k) = 2C[1 −cos ka]/M . ¿Cual es la velocidad del sonido en ese medio? Calcular la densidad de estados.

17. Considerese un cristal bidimensional con atomos de masa M cuya estructura es la del patron de la figura delejercicio 1.19. Calcular el numero de fonones y la energıa termica contenidos en dicho cristal a temperaturamucho mayor que su temperatura de Debye.

18. N atomos de carbono se pueden ordenar espacialmente para formar trestipos de cristal, A, B, C, cuyas funciones densidad de estados fononicosen la aproximacion de Debye se representan (para bajas frecuencias) enla figura adjunta.

a) Describir la naturaleza de cada tipo de cristal.

b) Si la velocidad del sonido en los tres cristales es de 1000 m/s y ω0 =2.09×106 s−1 y D0 = 3.18×10−7 s, determinar el tamano de cadacristal.

c) ¿Cual es el numero de modos normales posibles en cada tipo decristal?

1

Gas de Fermi de electrones libres

1. Discutir como varıa la energıa de Fermi cuando se comprime un metal. Determinar el coeficiente decompresibilidad κ ≡ (dV/dP )/V del gas de electrones de conduccion del cobre y compararlo con elexperimental (κ = 7 × 10−12 N−1m2). Para el Cu: peso atomico 63.5, densidad 8.9×103 Kgm−3.

2. Explicar el sentido fısico de la temperatura de Fermi TF del gas de electrones libres. Aplicado a metales,¿que consecuencias fısicas (observables) tiene el que TF sea tan alto como 5 × 104 K?

3. ¿Como se compatibiliza la ley de Wiedemann-Franz con el hecho de que hay compuestos que tienen unamuy alta conductividad termica pero practicamente nula conductividad electrica (por ejemplo la aluminaAl2O3)?

4. Comparar la conductividad electrica de un metal a baja frecuencia (ωτ ≪ 1) con la conductividad DC(ω = 0). ¿Cual es el cambio porcentual para ω/2π = 50 Hz (tomar τ = 10−14 s)? ¿Que influencia tiene τ?

5. En un experimento de efecto Hall, ¿cambia el signo del voltaje Hall si cambia el sentido del campomagnetico? ¿Cambia el signo de la magnetoresistencia en las mismas condiciones? ¿Cual es la explicacionfısica en ambos casos?

6. Por un metal de seccion transversal 1 mm2 circula una corriente electrica de 2 A bajo un campo electricoaplicado de 0.5 V/m. Estimar el tiempo de relajacion electronico.

7. Supon que estudiamos la reflectividad de los metales en el rango ωτ ≪ 1. ¿Se puede afirmar que a mayorconductividad electrica es mayor su reflectividad, es decir “mas brillante” se ve a esas frecuencias?

8. El Li es monovalente y cristaliza en la estructura bcc con constante de red 3.5 A. Supongase bien descritopor la aproximacion de electrones libres. Debido a que las condiciones de contorno discretizan el espacio~k, si el cristal es muy pequeno la diferencia de energıas entre niveles electronicos contiguos en el espacio~k puede llegar a ser grande. Estimar el tamano de la muestra para el cual dicho espaciado serıa de 0.1eV para electrones cerca de la energıa de Fermi. (Suponer que el resto de los parametros del cristal, comopotenciales de interaccion, constante de red, etc., son independientes del tamano).

9. Sea un metal a T = 300 K, en aproximacion de electrones libres y con potencial quımico µ = 10 eV.¿Tendra mayor, menor o igual numero de electrones con energıa 1 eV que con energıa 10 eV? ¿Y conenergıa 15 eV (como sera el numero de electrones comparado con 1 y con 10 eV?

10. Calcular la expresion para la densidad de estados D(ε) de un gas de electrones libres bidimensional. ¿Cuales la energıa media por electron a T = 0 K si la densidad electronica es n = 1017 cm−2?

11. En un hilo de Cu (fcc, parametro de red 3.6 A) se mide una caıda de voltaje de 1.7 mV cuando se hacepasar una corriente de 0.5 A. El hilo tiene una de seccion 1 mm2 y una longitud (entre los terminales devoltaje) de 20 cm. Determinar el recorrido libre medio de los electrones sabiendo que cada atomo aportaun electron a la conduccion.

12. En la aproximacion de electrones libres determinar el voltaje Hall que se medirıa en una barra de Nade seccion cuadrada de 25 mm2 cuando por ella circula una corriente de 1 A bajo un campo magneticotransversal de 1 T.

13. En la tabla adjunta se da la conductividad termica y la resistividad electrica de cuatro cristales A, B,C, D, para distintas temperaturas. Discutir de cuales se podrıa afirmar que corresponden a observablesmedidos en metales puros. Unidades: [κ]=W/mK; [ρ] = µΩcm; [T ]=K

A B C DT κ ρ κ ρ κ ρ κ ρ80 432 0.245 557 0.215 325 4.6×1023 8.5 25.2100 3.02 0.442 482 0.348 232 1.8×1019 9.2 28.6200 2.37 1.59 413 1.046 96.8 280 13 43.2300 2.37 2.73 401 1.725 59.9 3.3×10−9 15 58.2400 2.40 3.87 393 2.402 43.2 1.1×10−10 17 73.9500 2.36 4.99 386 3.090 33.8 1.5×10−11 18.5 88.2

14. Una red cubica simple de atomos interacciona muy debilmente con los electrones. Si hay 1 electron poratomo y la intensidad de la interaccion es muy pequena comparada con la energıa de Fermi, ¿que fraccionde electrones ocupa la segunda banda mas baja?

1

Electrones en un potencial periodico: Teorıa de bandas

1. En el aluminio (fcc con parametro de red a = 4,05 A), encontrar el orden de la degeneracion del estado~kA = 2π

a( 1

2, 0, 1), ası como su energıa.

Datos: H = p2/2m∗ + V , siendo m∗ = 1,72me y U un potencial debil cuyos coeficientes de Fourier tomanunicamente dos valores no nulos:

U(~G) = 0,40 eV para ~G = 2πa

(1,1,1)

U(~G) = 0,75 eV para ~G = 2πa

(2,0,0)

U(~G′) = U(~G) si |~G′| = |~G|

U(~G) = 0 para cualquier otro ~G

2. En cierto metal divalente, de estructura cubica simple y parametro de red a = 0,3 nm, la relacionde dispersion (isotropa) para electrones en las bandas mas bajas puede aproximarse por εi(k) =5i + (−1)i0,9 cos(ka) eV, siendo i = 1, 2 el ındice de banda. Representar las bandas en las direcciones(100) y (111). ¿Existe mas de una banda ocupada? ¿Cual es la energıa de Fermi? ¿Cual serıa (la energıade Fermi) si el cristal fuese momovalente?

3. Considerese la aleacion binaria de CuZn. Esta aleacion sufre cambios estructurales al ir variando laproporcion de Cu y Zn. Cuantitativamente es util argumentar con el numero medio n de electronesde conduccion por atomo (el Cu aporta uno y el Zn dos). Resulta que para el cobre puro (n = 1) la fasees fcc. Al ir aumentando la concentracion de cinc (y por tanto n) esta fase se mantiene hasta que n llegaa valer aproximadamente 1.36. A partir de entonces, si se sigue anadiendo cinc empieza a aparecer unafase bcc, hasta que para n ≥ 1,48 todo es bcc. ¿Para que valor de n la esfera de Fermi toca la frontera dela primera zona de Brillouin de una red fcc? ¿Por que crees que hay una relacion entre el valor n al cualaparece una nueva fase y el valor de n al cual la superficie de Fermi toca el lımite de la primera zona deBrillouin?

4. Sea una red rectangular con a = 0,3 nm y b = 0,4 nm con un atomo tipo A en (0,0) y otro tipo B en(1/2,1/2). Se dispone de dos electrones cuasilibres por molecula AB. Si los coeficientes de Fourier delpotencial son U10 = 2 eV, U01 = 1 eV, y U11 = 1,5 eV, ¿el material es conductor o aislante?

5. Un modelo muy util para metales consiste en considerar al conjunto de electrones de valencia liberadosde los atomos “padres” formando un gas (gas de Fermi). Un gas familiar es el aire. Brevemente,¿que diferencias y analogıas hay entre ambos?

6. Considerar la posibilidad de metales unidimensionales (1D). Utilizando como herramienta conceptualla aproximacion de electrones cuasilibres, ¿puede haber aislantes, semimetales, semiconductores yconductores igual que en 3D?

7. Considerense tres hipoteticos solidos bidimensionales con concentraciones electronicas n1 = 1,30 ×1014 cm−2, n2 = 1,20 × 1015 cm−2, n3 = 2,49 × 1015 cm−2, y parametros de celda primitiva rectangulara1 = 2a2 = 0,625 nm. Suponiendo superficies de Fermi circulares, ¿como sera en cada solido la contribucionde los portadores a la conductividad electrica?

8. Considerar una sustancia (elemental) con un numero par de electrones porcelda primitiva que es conductor (se observa experimentalmente). ¿Que se puedededucir de su estructura de bandas? ¿Debe haber igual numero de electronesque de huecos? Lo que acabas de decir ¿se aplicarıa al grafito (cuya estructuraes como se esquematiza)?

(b) Grafito

9. Cada atomo de un cristal monoatomico de estructura cubica simple con parametro de red de 4 A aporta doselectrones de valencia. Discutir, en la aproximacion de red vacıa (el potencial periodico es practicamenteinexistente), si es aislante o conductor y en este caso si la conduccion es por electrones o por huecos.

10. El grafito esta formado por atomos de carbono (1s22s22p2) solamente, al igual que el diamante. El primeroconduce electricamente, en tanto que el segundo no. ¿Como se puede interpretar esta diferencia desde lateorıa de bandas?

11. Un cristal bidimensional tiene un atomo monovalente en una celda primitiva rectangular simple (a = 2 A,b = 3 A).

2

a) Dibujar las dos primeras zonas de Brillouin.

b) Calcular el radio del circulo de Fermi de electrones libres.

c) Representar el circulo de Fermi sobre las zonas de Brillouin.

d) ¿Es la conduccion por electrones o por huecos?. ¿Y si el atomo por celda primitiva fuese divalente?

12. Sea un material bidimensional cuya red es rectangular de parametros a = 3 A y b = 2 A. La relacion dedispersion electronica es la de un modelo de electrones cuasilibres de modo que en las proximidades delos extremos de la zona de Brillouin la curva de dispersion se desdobla generando un gap de energıa devalor 2U/(n2

1+ n2

2), donde (n1, n2) son las componentes del vector de red recıproca asociado. Determinar

y representar las relaciones de dispersion de la primera banda de energıa en las direcciones [1 0],[0 1] y [10.5].

13. Criticar la veracidad de las siguientes afirmaciones sobre el efecto de un potencial periodico debil sobrelos estados electronicos:

a) El potencial solo actua significativamente sobre los estados electronicos cuyo vector de onda coincidecon un vector de la red recıproca.

b) El potencial cambia fuertemente aquellos estados electronicos que tienen una energıa coincidente conla de otros estados (existen otros estados con la misma energıa).

c) El gap aparece para las fronteras de zona (planos Bragg).

14. Sea una red monoatomica hexagonal bidimensional de parametrode red a. Su red recıproca tambien es hexagonal, y su parametrode red 4π/

√3a (ver figura). a

x

yky

kx3

4

a

R.D. R.R.

a) Dibujar la primera, segunda y tercera zonas de Brillouin.

b) Dibujar la circunferencia de Fermi en la aproximacion de

electrones libres, en los casos en que cada atomo aporte uno o dos electrones.

c) Si los electrones estan sometidos al potencial periodico creado por el cristal, razona si el materialdebe ser conductor o aislante en cada uno de los dos casos anteriores. ¿Dependerıa de la amplituddel gap de energıa en las fronteras de la PZB?

15. Sea una estructura cristalografica como la de la figura. Tanto los atomos “blancos” comolos “negros” aportan un electron a la conduccion.

a) Discutir si el material serıa aislante o conductor (indicando en este ultimo caso el

tipo de portador mayoritario) en la aproximacion de electrones libres.

b) Hacer la misma discusion, pero ahora suponiendo que los atomos crean sobre los electrones unpotencial periodico cuyo efecto es un gap de energıa de 1 eV sobre todo el borde de la primera zonade Brillouin.

5 Å

16. Considerar un metal cubico simple (a = 1 A) tres de cuyos electrones tienen como vectores de onda (en

A−1), ~k1 = (10−2, 0, 0), ~k2 = (1, 1, 0) y ~k3 = (π, π/3, 0). En la aproximacion de electrones cuasilibres,¿cual de ellos es el mas afectado por el potencial periodico (se aparta mas del resultado para e− libres)?

17. a) Explicar brevemente cual es el efecto de un potencial periodico debil sobre la relacion de dispersionelectronica.

b) Dar alguna razon por la que los metales alcalinos, a diferencia de otros como Al, Bi, etc, se ajustanbien a las predicciones del modelo de electrones libres.

c) Razonar si es cierto que una sustancia con un numero impar de electrones de valencia por atomosiempre sera un conductor.

d) Razonar si es cierto que una sustancia con un numero par de electrones de valencia por celda primitivasiempre sera un aislante.

18. Discutir el caracter conductor, semiconductor o aislante de las estructuras adjuntasteniendo en cuenta que los atomos que las forman son divalentes, y que el potencialperiodico que ejercen sobre los electrones del mar de Fermi es el que se indica(expresado en eV).

a) Cadena lineal: U(x) = 0,1 cos(2πxa ).

b) Estructura bidimensional: U(x, y) = 0,1 cos(2πxa ) cos(

2πya ).

3

19. Considerar un metal unidimensional con atomos espaciados regularmente. Cada atomo aporta un electrona la conduccion.

a) Calcular y representar la relacion de dispersion de la primera banda ε(k) utilizando la aproximacionde electrones fuertemente ligados. Considera solo orbitales s.

b) Calcular y representar la correspondiente densidad de estados electronicos D(ε).

c) Calcular una expresion para la energıa electronica total (utilizar T ≈ 0 K).

20. Sean los dos cristales unidimensionales de la figura. d

d<<d

Cristal 1:

Cristal 2:Los iones ejercen un potencial periodico debil sobre

los electrones de conduccion, que da lugar a un gap

de energıa en las fronteras de zona. Cada atomo aporta 1 electron a la conduccion.

a) Discutir si a T = 0 K son conductores o aislantes.

b) Discutir para cual de las dos estructuras la energıa electronica total es menor.

21. Considerar un cristal monoatomico de estructura cs.

a) En la aproximacion de electrones fuertemente ligados calcular la energıa electronica correspondientea un nivel s (no degenerado) teniendo en cuenta la contribucion de primeros y segundos vecinos.

Suponer despreciable la integral α(~R) =∫

d3~rΨ∗(~r)Ψ(~r − ~R) para ~R 6= 0.

b) Suponiendo que la integral γ(~R) = −∫

d3~rΨ∗(~r)∆U(~r)Ψ(~r − ~R) varıa con la distancia entre atomoscomo γ ∝ R−1, discutir la importancia relativa de la contribucion de primeros y segundos vecinos ala energıa electronica.

c) Determinar la velocidad de los electrones en esta banda en el borde de la PZB segun las direcciones[100] y [111].

22. Sea una red unidimensional de espaciado a. El potencial que cada atomo ejerce sobre los electrones vienedado por U(x) = au0δ(x−R), donde R = na son los vectores de red (n entero) y δ(x) la funcion delta deDirac. Determinar la amplitud de los intervalos de energıa prohibidos entre las bandas, suponiendo validala aproximacion de electrones cuasilibres.

Nota:∫

∞

−∞f(x)δ(x − x0)dx = f(x0).

23. Una red cubica simple de atomos interacciona muy debilmente con los electrones. Si hay 1 electron poratomo y la intensidad de la interaccion es muy pequena comparada con la energıa de Fermi, ¿que fraccionde electrones ocupa la segunda banda mas baja?

24. Considerar la red monoatomica de la figura. Los atomos ejercen un potencial debil

sobre los electrones que viene dado por la expresion:

U(x, y) = U0

cos

[

2π

a

(

x +y√

3

)]

+ cos

[

2π

a

(

x −y√

3

)]

+ cos

(

4πy

a√

3

)

x

y

aaa

a) Calcular el gap de energıa en el centro de las caras de la PZB.

b) Calcular el gap de energıa en una esquina de la PZB (basta con plantear el sistema de ecuacioneslineales que conduce al resultado).

25. Considerar una cadena de atomos de espaciado a. El potencial que cada atomo ejerce sobre los electronesviene dado por U(x) = aU0δ(x − R), donde R = na, con n entero, son los vectores de red y δ es lafuncion delta de Dirac.(1) Determinar la amplitud de los intervalos de energıa prohibidos entre las bandas,suponiendo valida la aproximacion de electrones cuasilibres.

26. Sea un cristal bidimensional de red monoatomica hexagonal de parametro a.

a) Calcular la relacion de dispersion electronica de la primera banda en la aproximacion de electronesfuertemente ligados (considerar solo la contribucion de primeros vecinos). Suponer que la integral

α(~R) =∫

d3~r φ∗

s(~r) φs(~r − ~R) para ~R 6= 0 es despreciable.

b) Si el numero efectivo de electrones por atomo es mucho menor que 1, ¿como serıa la topologıa de lasuperficie (lınea) de Fermi? ¿Como serıa esta superficie en la aproximacion de electrones cuasilibres?

1δ(x − x0) =

∞ si x = x0

0 si x 6= x0.

∫

∞

−∞

dx f(x) δ(x − x0) = f(x0).

1

Dinamica semiclasica de electrones Bloch

1. Discutir si el voltaje Hall en un cristal no aislante puede ser nulo.

2. Razonar si los huecos electronicos de una banda casi llena y los electrones de una banda casi vacıa dancontribuciones a la conductividad electrica que se refuerzan o, por el contrario, que se contrarrestan.

3. La energıa electronica alrededor del techo de una banda de valencia en un semiconductor es ε = −10−37k2

J, donde ~k es el vector de onda. Se quita un electron del estado ~k = 109 ı m−1 donde ı es el vector unitariosegun el eje x. Calcular las siguientes cantidades del hueco resultante, explicitando su signo:

a) La masa efectiva

b) La energıa

c) El vector de onda

d) La velocidad

4. Suponer un electron en una banda de un cristal cubico simple de parametro de red 4 A sometido a uncampo electrico de 100 V/m. ¿Cual deberıa ser el tiempo medio mınimo entre colisiones de ese electronpara observar una oscilacion completa en su recorrido?

5. Sobre una muestra monocristalina de Si se aplica un campo magnetico ~B = (B,B, 0), con B = 5 T.Determınese la frecuencia ciclotron de los electrones de conduccion situados en el bolsillo electronico dela direccion [100].

6. La figura representa la relacion de dispersion para los electrones

de un solido unidimensional.

0

k (nm-1)

6.005.450.55

εV = 0.403

εC = 0.389

εF = 0.400

ε (eV)

a) Cual es la relacion entre la densidad de electrones en la banda de

conduccion y la densidad de huecos en la banda de valencia,n/p?

b) ¿Cual es el signo de la masa efectiva de los electrones en la

banda de conduccion y de los huecos en la banda de valencia?

¿Cual de ellas sera mayor (en valor absoluto)?

Estimar numericamente sus valores con respecto a la masa del electron.

c) ¿Tiene este material un numero par o impar de electrones por celda unidad? A T=0 K, ¿conducirıala corriente electrica?

d) ¿Podrıa el modelo de electrones cuasilibres dar cuenta de una estructura de bandas como larepresentada?

7. Discutir la veracidad de la siguiente afirmacion:

Cuando se aplica un campo magnetico a un cristal conductor, un electron se mueve, en la direccion delcampo, con velocidad constante.

8. Sea un cristal unidimensional de parametro de red a y energıa electronica dada por

ε(k) =~

2

ma2[1 − cos(ka)] (m ≡ masa electronica)

a) Determinar la masa efectiva en el fondo y en el techo de la banda.

b) Determinar una masa efectiva m∗

v(k) tal que v(k) = ~k/m∗

v(k).

c) Determinar la energıa electronica total si cada atomo aporta un electron a la conduccion. ¿Cuantomenor es que la que tendrıan electrones libres?

d) Determinar la densidad de estados.

9. Sea una estructura cubica simple monoatomica con parametro de red a = 0.4 nm. Cada atomo aportaun electron a la conduccion. La relacion de dispersion electronica, que esta bien descrita por el modelo deelectrones cuasilibres, presenta un gap de energıa de 0.1 eV en las caras de la PZB.

a) ¿Cuales son las masas efectivas electronicas en el fondo de la primera banda?

b) Discutir si a T = 0 K el material conduce la corriente electrica.

1

Cristales semiconductores

1. Una muestra de Ge (4.4×1022 atomos/cm3) tiene los siguientes valores de resistencia electrica a lastemperaturas que se indican:

T (K) 310, 321, 339, 360, 383, 405, 434R(Ω) 13.5, 9.10, 4.95, 2.41, 1.22, 0.74, 0.37

a) Calcular el gap de energıa.

b) Se anade una concentracion del 0.0001 % de atomos de As.

1) Probar que a temperatura ambiente practicamente todas las impurezas estan ionizadas.

2) ¿Como se vera afectada la conductividad electrica a 300 K?

3) ¿A que temperatura (aproximadamente) coincidiran la conductividad intrınseca y la producidapor las impurezas?

2. Considerar un equipo electronico, en un local a temperatura ambiente, que contenga componentes conuniones p − n formadas por dos semiconductores (ver datos), uno tipo n, Nd = 1012 dadores/cm3, y otrotipo p, Na = 1012 aceptores/cm3. ¿Sera necesario refrigerar el equipo?

Datos: εg ≈ 0,7 eV; εc − εd ≈ εa − εv ≈ 0,01 eV; m∗

e ≈ m∗

h ≈ 0,3me

3. Al medir el coeficiente Hall en un semiconductor, en presencia de campo magnetico debil, ¿enque condiciones se podrıa encontrar RH = 0?

4. Una muestra de Si es uniformemente dopada con NA = 1015 aceptores/cm3. A T ≈ 0 K, ¿cuales son lasconcentraciones de huecos y electrones en equilibrio? ¿Y a T ≈ 400 K?

5. Se desea utilizar el efecto Hall de cierto material para medir campos magne-ticos. Para tener una mejorsensibilidad, ¿es mas conveniente utilizar un semiconductor dopado, un semiconductor no dopado o unmetal? ¿Por que?

6. ¿Es posible afirmar que un metal conduce por huecos o se trata de un concepto que solo se puede aplicarpropiamente a semiconductores? ¿Se podrıa saber si un semiconductor conduce por electrones o huecosmidiendo su resistividad electrica (en concreto su signo)?

7. A traves de una union p-n actuando como rectificador pasa una corriente de 10 µA cuando se polarizaen modo inverso. ¿Que corriente pasarıa si se polariza en modo directo con una tension de 1 V? SuponerT=300 K.

8. ¿Depende la condicion de no degeneracion en un semiconductor de la concentracion de impurezas? ¿Porque?

9. Una muestra de Germanio (εg = 0,7 eV) contiene 1013 dadores/cm3. ¿Por encima de que temperaturadejara de estar en regimen extrınseco? La concentracion intrınseca de portadores a 300 K es de 9,5× 1018

m−3.

10. Los portadores de un semiconductor de germanio dopado estan controlados exclusivamente por la cantidadde impurezas. Sin embargo, siempre hay una temperatura, Ti, por encima de la cual esta afirmacion dejade ser cierta.

a) ¿De que variables fısicas depende Ti y por que?

b) Si las impurezas pertenecen al grupo III, ¿de que signo sera el coeficiente Hall en el regimen desaturacion (regimen extrınseco)?

11. En una union p − n aumentamos el dopado del semiconductor p. Razonar si ello afectara (y como) a lacaıda de potencial en la region de carga espacial.

12. Calcular la concentracion maxima de portadores en un cristal de Si no degenerado a 250 K. ¿Cuantocambia esta concentracion maxima si el cristal se dopa con una concentracion de impurezas dadoras deND = 1015 cm−3?

13. Como se puede explicar que semiconductores como Si o Ge tengan dos masas efectivas electronicas igualesde las tres posibles (ver Cuadro 9.1)?

14. Considerese un semiconductor intrınseco no degenerado para el que las densidades de estados en la B.C.y la B.V. vienen dadas, respectivamente, por dc(ε) = c1

√ε − εc y dv(ε) = c2

√εv − ε. Aquı, εc y εv

representan la energıa en fondo de la B.C. y el techo de la B.V., respectivamente.

2

a) Encontrar una expresion para la concentracion electronica n en la banda de conduccion. Es util larelacion

∫

∞

0e−x

√xdx =

√π/2.

b) Calcula la concentracion de huecos p en la banda de valencia.

c) Encontrar una expresion para el potencial quımico µ(T )

15. Una muestra semiconductora tiene a temperatura ambiente una densidad de portadores moviles de 1016

cm−3 y un coeficiente de movilidad µ = 102 cm2/Vs.

a) Calcular su conductividad electrica

b) Si la masa efectiva de los portadores es 0.1 veces la del electron libre, ¿cual es el tiempo medio entrecolisiones?

16. Se quiere un material cuya conductividad electrica al ambiente sea de 0.1 Ω−1cm−1. Para ello dopamosSi con Sb. ¿Cual sera la concentracion de Sb necesaria? Supon un tiempo de relajacion de 10−14 s.

1

Magnetismo de solidos

1. ¿Cual es el fundamento del magnetismo de solidos?¿Que determina que algunos metales sean magneticosy otros no?

2. Estimar la razon de la respuesta magnetica atomica a la respuesta de los electrones de conduccion en losmetales.

3. Los espines electronicos de un material magnetico, ¿tienden a alinearse o a antialinearse con el campomagnetico?

4. Suponer un cristal formado por iones con momento angular J = S = 1/2. Dando valores aproximados alos parametros relevantes (por ejemplo, numero atomico Z = 30, radio atomico r = 0.1 nm, etc.) discutirsu caracter paramagnetico o diamagnetico a T → 0 y temperatura ambiente.

5. Calculese, a partir de los datos tabulados, la magnetizacion de saturacion del nıquel a bajas temperaturasy a T = TC . Si se considera el magnetismo de dominios, ¿cual serıa la magnetizacion observable del nıquelen ambos casos?

6. Sea un solido que contiene iones con espın no nulo. Considerando el calor especıfico del solido, ¿variarıaeste por aplicacion de un campo magnetico? ¿Por que? Si hay variacion ¿la nueva contribucion serıa mayora altas o a bajas temperaturas?

7. Decidir si es cierto que:

a) La energıa dipolar magnetica de un conjunto de espines tiende a que todos esten alineados

b) La energıa de anisotropıa tiende a desalinear espines.

8. En el marco del modelo de electrones libres, la razon por la que los electrones de conduccion de cualquiermetal no presentan un ferromagnetismo intenso debido al espın es porque (razonar cual de las siguientesposibilidades es cierta):

a) El momento magnetico de un electron es despreciable frente al momento magnetico de cada atomode un material ferromagnetico convencional (Fe, Co, Ni, etc).

b) No les es aplicable la interaccion de intercambio, que tiende a alinear espines.

c) El principio de Pauli hace muy costoso energeticamente que los espines se alineen.

9. Considerar los atomos de Ne y de Gd (masas atomicas 20.2 y 157 respectivamente).

a) ¿En cual el diamagnetismo de Larmor (en un solo atomo) sera mayor?

b) Estima para cada uno de ellos la susceptibilidad magnetica correspondiente al paramagnetismoatomico a T = 300 K. Densidad a esa temperatura del Ne: 0.84 g/l; del Gd: 7.89 g/cm3.

10. Representar (y explicar brevemente) la dependencia de la magnetizacion con la temperatura para unmaterial paramagnetico y para un material ferromagnetico.

11. Calcular la susceptibilidad paramagnetica a temperatura ambiente de una muestra de La con impurezasmagneticas de Gd al 1% (Gd1La99). La estructura es fcc con un parametro de red de 0.53 nm.

12. Se mide la magnetizacion (M) o susceptibilidad magnetica (χ) frente a la temperatura en cuatro materiales.El resultado es el que se muestra en las figuras. Explicar (brevemente) de que materiales se trata y elfenomeno detras del resultado.

T

H 0

(a) M

T

H 0

(c)

T

H 0

(b)

–H

0

0

0

M

T

H=0

(d)

0

13. Se mide la magnetizacion de una muestra de Ni a cierta temperatura y se obtiene el 80 % de lamagnetizacion de saturacion, ¿a que temperatura se ha hecho la medida? Supongase que solo existeun dominio ferromagnetico. Dato: TNi

C = 627 K.

14. Medidas de la susceptibilidad magnetica de una sustancia con una densidad atomica n = 3 × 1028 m−3

dan los siguientes valores:

2

T (K) 77 200 273χ (S.I.) 6.54×10−2 2.52×10−2 1.85×10−2

a) Analizar esos datos y explica que modelo puede explicarlos. ¿De que tipo de material magnetico setrata?

b) Utilizando las tablas de datos de los apuntes, discutir de que sustancia se puede tratar.

15. Sea una sustancia ferromagnetica con estructura bcc, compuesta por atomos con espın 1/2 (J = 1/2,S = 1/2, L = 0). Estimar la magnetizacion a T = 0 K y a T = 300 K cuando se aplica un campo B = 1T. ¿Como cambian esos valores en presencia de una posible estructura de dominios magneticos? Datos:Parametro de red: a = 0,4 nm. Integral de intercambio: J = 10−21 J.

16. Un material ferromagnetico de espın 1/2 (S=1/2, L=0, J=1/2) sometido a un campo magnetico de B = 1T, presenta una magnetizacion a 300 K (que corresponde a la fase paramagnetica) de 470 A/m. Estimarla magnetizacion de este material a 200 K y a 50 K. Datos: n = 1,5 × 1028 m−3.

1

Superconductividad

1. Considerese un hilo superconductor transportando una corriente electrica I. Cuando esta corriente es talque el campo magnetico generado por ella misma en la superficie del hilo supera el campo magnetico crıticoBc, el material transita al estado normal (regla de Silsbee). Calcular el valor de esta corriente crıtica Ic

para un hilo de estano de 0.1 mm de diametro sumergido en He lıquido superfluido a 2 K. Datos: Para elSn Tc =3,72 K, Bc(0)=30,5 mT.

2. El estano es un material superconductor con una temperatura crıtica de 3.7 K, una longitud de coherenciade 230 nm, y una longitud de penetracion magnetica de 34 nm. ¿Podrıa observarse una red de vorticesmagneticos cuantizados en este material? En caso afirmativo indicar para que rango de campos magneticosaplicados.

1

Miscelanea de problemas

1. Considerar una estructura cubica simple con parametro de red a.

a) Calcular la relacion de dispersion electronica ε(~k) para la banda s utilizando el modelo de electronesfuertemente ligados.

b) Determinar las masas efectivas en el fondo de la banda.

c) ¿En que puntos de la PZB aparecen los valores maximo y mınimo de la energıa?

2. La figura adjunta representa la estructura de Kagome. Todos los

segmentos tiene la misma longitud d.

x

y

d

a) Dibujar sobre la estructura unos vectores base ~ai e indicar

sus componentes con respecto a los ejes x, y indicados.

Indicar sobre el dibujo los atomos de la base atomica y dar

sus coordenadas.

b) Calcular los correspondientes vectores base~bi de la red recıproca.

c) Dibujar la correspondiente red recıproca y la PZB.

d) Calcular el numero efectivo de electrones por atomo necesario para que el cırculo de Fermi deelectrones libres sea tangente a la PZB.

e) Si los atomos ejercen un potencial debil sobre los electrones (electrones cuasilibres), ¿es de esperarque la teorıa de electrones libres sea una buena aproximacion si cada atomo aporta 1 electron a laconduccion? ¿Y si cada atomo aporta 2 electrones? Justificar las respuestas.

3. Sea la estructura cristalografica bidimensional de la figura adjunta.

d

d

d/2

d/2

RX ( =d)

a) Dibujar unos vectores base para esa estructura. Indicar sus

componentes en algun sistema de coordenadas.

b) Calcular los correspondientes vectores base ~bi de la red recıproca.

c) Dibujar la correspondiente red recıproca y la PZB.

d) Sobre esa estructura incide un haz de rayos x en la direccion indicada.

Si su longitud de onda es λ = d, ¿puede difractarse en alguna direccion?

e) ¿Cuales son la mınima y maxima longitudes de onda que pueden tener los fonones en esa estructura?¿En que direcciones se observarıan?

f ) ¿Como dependerıa el calor especıfico con la temperatura a bajas temperaturas (T ≪ θD)?

g) Calcula el numero efectivo de electrones por atomo necesario para que el cırculo de Fermi de electroneslibres sea tangente a la PZB.

h) Si los atomos ejercen un potencial debil sobre los electrones (electrones cuasilibres), ¿es de esperarque la teorıa de electrones libres sea una buena aproximacion si cada atomo aporta 1 electron a laconduccion? ¿Y si cada atomo aporta 2 electrones a la conduccion? Justificar las respuestas.

i) En la aproximacion de electrones fuertemente ligados calcular la energıa electronica correspondientea un nivel s (no degenerado) teniendo en cuenta la contribucion de primeros y segundos vecinos.Suponer despreciable la integral

α(~R) =

∫

d3~r Ψ∗(~r) Ψ(~r − ~R) para ~R 6= 0.

4. Sea la estructura cristalografica bidimensional de la figura adjunta:

x

ya

aa

RX

a) Dibujar unos vectores base primitivos para esa estructura. Indicar sus

componentes en un sistema de coordenadas indicado.

b) Calcular los correspondientes vectores base recıprocos, ~bi, y describir la

red recıproca.

c) Dibujar las tres primeras zona de Brillouin.

d) Sobre esa estructura incide un haz de rayos x en la direccion indicada. Si su longitud de onda esλ = d

√3, ¿puede difractarse en alguna direccion?

2

e) ¿Cuales son la mınima y maxima longitudes de onda que pueden tener los fonones en esa estructura?¿En que direcciones se observarıan?

f ) Calcular el numero efectivo de electrones por atomo necesario para que el cırculo de Fermi deelectrones libres sea tangente a la PZB.

g) Si los atomos ejerciesen un potencial debil sobre los electrones (electrones cuasilibres), ¿es de esperarque la teorıa de electrones libres sea una buena aproximacion si cada atomo aporta 1 electron a laconduccion? ¿Y si cada atomo aporta 2 electrones a la conduccion? Justificar las respuestas.

h) En la aproximacion de electrones fuertemente ligados calcular la energıa electronica correspondientea un nivel s (no degenerado) teniendo en cuenta la contribucion solo de primeros vecinos. Suponerdespreciable la integral

α(~R) =

∫

d3~r Ψ∗(~r) Ψ(~r − ~R) para ~R 6= 0.

i) Representa ε(~k) a lo largo de las direcciones (kx, 0) y (0, ky). ¿Se anula la pendiente de ε(~k) en lascorrespondientes fronteras de la PZB?

5. Dar ordenes de magnitud para las siguientes cantidades en cristales.

a) Velocidad del sonido.

b) Conductividad termica.

c) Resistividad electrica en metales.

d) Frecuencia ciclotron en semiconductores.

e) Magnetizacion de saturacion en ferromagneticos.

6. Responder las siguientes cuestiones razonando brevemente las respuestas.

a) Un cristal difracta un haz de rayos x para un angulo de incidencia de 45o cuando su temperatura esde 20 oC. Si su temperatura se eleva hasta 150 oC, el angulo de difraccion ¿aumenta o disminuye?

b) ¿Que se puede afirmar de un solido duro, quebradizo y de alto punto de fusion que no conduce laelectricidad salvo cuando se funde?

c) Segun la Ley de Wiedemann-Franz a mayor conductividad termica mayor conductividad electricapero el diamante es un excelente conductor del calor y aislante electrico. ¿Como se explica esto?

7. Discutir (brevemente) la veracidad de las siguientes afirmaciones:

a) Cuando un cristal monoatomico se ilumina con rayos x de longitud de onda 1.5 A:

(i) La maxima separacion entre planos reticulares capaces de producir difraccion es 3 A.

(ii) La mınima separacion entre planos reticulares capaces de producir difraccion es 0.75 A.

b) Para los modos acusticos en un cristal:

(i) La maxima longitud de onda de una onda viajera es tanto mayor cuanto mayor sea la rigidez delenlace cristalino

(ii) La mınima longitud de onda de una onda viajera es tanto mayor cuanto mayor sea la masa delos atomos del cristal.

c) Cuando se aplica un campo magnetico a un cristal conductor, un electron se mueve, en la direcciondel campo, con velocidad constante.

8. Considerar los solidos cristalinos NaCl, Ge y Al. ¿En cuales se podrıa observar lo siguiente? Justificarbrevemente las respuestas.

a) Estructura electronica de bandas verificando ǫ(~k) = ǫ(−~k).

b) Superficie de Fermi.

c) Ramas acusticas de fonones.

d) Ramas opticas de fonones.

e) Calor especıfico proporcional a la temperatura en algun rango de temperaturas.

f ) Calor especıfico proporcional al cubo de la temperatura en algun rango de temperaturas.

g) Conductividad termica dominada por la contribucion electronica.

h) Susceptibilidad magnetica igual a −1 en algun rango de temperaturas.

3

i) Resistividad electrica que disminuye al aumentar la temperatura.

j ) Magnetizacion permanente en algun rango de temperaturas.

9. Comparar los calores especıficos reticular, electronico y magnetico a 5 K y a 300 K, para un metalparamagnetcico de espines 1

2bajo un campo aplicado de 10 T. ¿Cual es la contribucion dominante a esas

temperaturas? El cristal es sc monoatomico y monovalente con parametro de red 4 A, TF = 50000 K yθD = 100 K.

10. Considerar un cristal cubico (parametro a = 1,817 A) monoatomico con los atomos ocupando el centrodel cubo, los vertices y los centros de las caras.

a) Describir el cristal como red mas base de atomos. Dar unos vectores primitivos y las coordenadas de

posicion de los atomos de la base asociada con respecto a unos ejes cartesianos ı, , k.

b) Suponiendo que la estructura es compacta, calcular el radio de los atomos. ¿Es realista la existenciade un cristal con estas caracterısticas?

c) Un haz policromatico de rayos x, con 1.997 A ≤ λ ≤ 2.111 A, incide sobre el cristal en ladireccion (1,1,1). Determinar si se produciran picos de difraccion, para que longitudes de onda yen que direcciones. ¿Podrıa el factor de estructura de la base anular alguno de los maximos?

d) Si cada atomo aporta un electron a la conduccion, en la aproximacion de potencial periodico debil,discutir el caracter conductor o aislante del cristal y el numero mınimo de bandas total o parcialmenteocupadas.

11. Describir brevemente como es la dependencia con la temperatura de la resistividad electrica ρ(T ) de unmetal, un semimetal, un semiconductor intrınseco, un semiconductor dopado y un superconductor.

12. Discutir brevemente las diferencias entre:.

a) Materiales paramagneticos, diamagneticos y ferromagneticos.

b) Materiales superconductores de tipo I y de tipo II.

13. Discutir brevemente la veracidad de las siguientes afirmaciones:

a) En el modelo de electrones cuasilibres la relacion de dispersion electronica siempre presenta un gapde energıa sobre las fronteras de la PZB.

b) En el modelo de electrones cuasilibres la relacion de dispersion electronica siempre presenta un gapde energıa sobre el vector de onda de Fermi.

c) La interaccion de intercambio tiende a alinear entre si los momentos magneticos de un material.

d) En un material ferromagnetico la interaccion clasica entre los momentos magneticos de dos ionesvecinos es despreciable frente a la interaccion de intercambio y no da lugar a efectos apreciablessobre la magnetizacion.

e) En un semiconductor intrınseco, cuando kBT es mucho mayor que el gap de energıa, la resistividaddepende de la temperatura de manera similar a como lo hace en un metal.