Apuntes de Produccion y Oferta

7/25/2019 Apuntes de Produccion y Oferta

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Produccin y oferta

Bernardita Vial

Primer Semestre 2016

Al describir el problema de la empresa, comenzamos por analizar las decisiones de contratacin defactores y produccin en un ambiente competitivo sin incertidumbre ni asimetras de informacin. Enese contexto simplificado, el anlisis supone que el dueo de la empresa en su rol de consumidor estinteresado en maximizar su conjunto de posibilidades de consumo, y es por ello que su objetivo en surol de productor consiste en maximizar la ganancia de la empresa.

Este anlisis inicial se puede complementar posteriormente con otras consideraciones, de acuerdo a lascaractersticas de la industria bajo estudio. Es as como en algunos sectores en que el problema dedelegacin por ejemplo entre el dueo de la empresa y sus ejecutivos es muy importante, se hacenecesario agregar al anlisis la discusin sobre provisin de incentivos bajo riesgo moral, tpico quese conoce como teora de contratos. La asimetra de informacin que proviene de la imposibilidad deobservar la habilidad de los trabajadores es un tpico tambin muy importante, que se estudia bajo elttulo de modelos de autoseleccin o sealizacin en el mercado laboral, dependiendo de la secuenciade acciones disponibles. En sectores en que la asimetra de informacin surge porque los atributosde los bienes no son observables ex-ante por los consumidores se analizan modelos de sealizacin decalidad, por ejemplo a travs de garantas: solamente las empresas que ofrecen productos de calidadestn dispuestas a comprometerse a compensar a los consumidores en caso de falla, y eso es anticipadopor los consumidores. Si los atributos de los bienes no son verificables ex-post no es posible establecerun mecanismo de compensacin en caso de falla del producto; en esos casos se analizan mecanismos

de mercado que permitan restaurar la operacin del mercado, como el mecanismo reputacional: lasempresas renuncian a ganancias de corto plazo para emitir mejores seales y mejorar su reputacin,y a travs de eso cobrar precios ms altos en el futuro. Estos tpicos sern estudiados en la segundaparte del curso.

1 Produccin

1.1 Teconologa y Conjunto de produccin

El anlisis de la empresa comienza por caracterizar la tecnologa disponible para producir bienes. Estatecnologa permite obtener bienes a travs del uso de insumos o factores productivos, que pueden sercombinados de distintas formas. En algunos casos es evidente cules son los factores y cules son losproductos; denotamos por x Rn+ el vector de factores utilizados (de dimensin n1), y pory el bienresultante del proceso productivo. Denotando por w el vector de precios de insumos (de dimensin1 n) y por p el precio del producto, se obtiene una utilidad de py wx.

En otros casos la distincin no es tan clara; imagine por ejemplo una empresa de productos lcteos:la leche es a la vez un producto en s mismo, y un insumo para producir otros productos lcteos. Laempresa puede elegir slo producir leche, slo producir derivados de la leche, o una mezcla de ambostipos de productos. Es por eso que en general conviene representar cada "plan de produccin" comoun vector y Rn en que la naturaleza de cada bien o servicio yi R no est predefinida, sino que

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puede tomar el rol de producto o de insumo indistintamente; en el primer caso yi es positivo, y enel segundo es negativo. As, denotando por p Rm+ el vector de precios de bienes (sean productoso insumos, de dimensin 1 m), la utilidad resultante es sencillamente py. Lo anterior se resume acontinuacin:

En general, el conjunto de produccin es definido como Y Rm, donde:

cada y Yes un "plan de produccin"

si yi > 0, se produce en ese plan de produccin

si yi < 0, se usa como insumo en ese plan de produccin

Caso empresa uniproducto: funcin de producinf : Rn+ R+ conn = m 1

f(x) = f(x1, x2,...xm1) = q

Y = {(x, ym) : f(x) ym y x1,...,xm1 0}

Supuestos sobre funcin de produccin: fcontinua, estrictamente creciente, estrictamentecuasicncava en Rn+ y f(0) = 0(posibilidad de inaccin; i.e., 0 Y)

Si la funcin de produccin es cuasicncava, sus curvas de nivel (isocuantas) son convexas, pero ellono implica que su conjunto de produccin asociado sea convexo. Esto se debe a que la convexidad delconjunto de produccin no slo se debe verificar para cada nivel de ym fijo (es decir, sobre una mismaisocuanta) sino tambin al variar los niveles de produccin. En efectoY es convexo ssi y,y Y =y+ (1 )y Y para todo [0, 1]; esto es, f(x + (1 )x) ym+ (1 ) y

m. Por otra

parte,fes cncava ssi f(x+ (1 )x) f(x) + (1 ) f(x). Demostraremos que decir que unafuncin de produccin es cncava es equivalente a afirmar que su conjunto de produccin asociado esconvexo:

Suponga que fes cncava:

sabemos que f(x) = q ym, f(x

) = q

y

m y fcncava, luego:

f(x+ (1 )x) q+ (1 ) q

ym+ (1 ) ym

luego, y + (1 )y Y por lo que Y es convexo

Suponga que Y es convexo:

debemos verificar si funcin de produccin es cncava; esto es paray = (x, ym)en la fronterade Y.

tome y,y en la frontera, conf(x) = qy f(x) = q; Yconvexo implica:

f(x + (1 )x

) q+ (1 ) q

= f(x) + (1 ) f(x)

luego, implica que fes cncava.

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1.2 Caracterizacin de la tecnologa

La caracterizacin de la tecnologa describe cmo cambia la produccin al modificarse la combinacinde insumos utilizados, o alternativamente, cmo puede modificarse la combinacin de insumos paramantener el nivel de produccin constante. Lo primero requiere caracterizar movimientos de una

isocuanta a otra: productividad marginal y media, cuando cambia un slo factor, o rendimientos aescala cuando cambian todos los factores a la vez en la misma proporcin. Por ora parte, al pre-guntarnos cmo puede cambiar la combinacin de insumos para mantener la produccin constantenecesitamos caracterizar movimientos a travs de la isocuanta, analizando la elasticidad de sutitucinentre factores. Las diferentes formas de describir la tecnologa se resumen como:

Productividad marginal y media del factor i:

P Mgi=f(x)

xi

P Mei=f(x)

xi

Rendimientos a escala responde a la comparacin entre f(x) y f(x):

rendimientos crecientes si f(x) > f(x), constantes si f(x) = f(x) y decrecientes sif(x)< f(x)

alternativamente, definiendo la elasticidad producto total qx como la razn entre el cam-bio porcentual en la produccin y el cambio porcentual en el uso de (todos) los factores,hay rendimientos crecientes si qx > 1, rendimientos crecientes si qx = 1 y rendimientosdecrecientes si qx < 1.

relacionado con homogeneidad de f: una funcin de produccin homognea de grado mayorque 1 tiene rendimientos crecientes, de grado 1 tiene rendimientos constantes, y de gradomenor que uno tiene rendimientos decrecientes a escala.

note que en general, con fdiferenciable obtenemos qx= ni=1 PMgiPMei . En el caso particularde la funcin homognea de grado r, sabemos por teorema de Euler que

ni=1

f(x)xi

xi= rq,de modo que qx= r.

Sustitucin entre factores:

Tasa marginal de sustitucin entre factores i y j :

TMSTij(x) = fi(x)

fj(x)

Elasticidad de sustitucin entre factores i y j en el punto x0:

ij x0 = d ln TMSTij(x (r))d ln r r=x0j/x0i1

donde x (r) es el nico vector que satisface que xj/xi = r, xk = x0k para k = i, j, y

f(x) = fx0

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2 Demanda de factores y oferta

La eleccin del plan de produccin de la empresa requiere elegir simultneamente el uso de factoresy el nivel de produccin. Conviene estudiar primero la determinacin de la combinacin de factoresptima para cada nivel de produccin fija, suponiendo que la empresa es tomadora de precios en el

mercado de factores. Minimizar el costo para el nivel de produccin deseado es una condicin necesariapara que se maximice la ganancia, pero evidentemente el problema de la empresa no est resuelto sino se determina dicho nivel de produccin. Las ventajas de analizar primero en detalle este problemaintermedio de minimizacin de costos son varias: en primer lugar, permite entender las posibilidadesde sustitucin de la empresa; en segundo lugar, an cuando la empresa no fuera tomadora de preciosen el mercado de bienes, si fuera tomadora de precios en el mercado de factores este anlisis seguiraentregando una buena prediccin del comportamiento de la empresa en cuanto a la eleccin de factores;en tercer lugar, an cuando algunas organizaciones no tienen como objetivo maximizar su ganacia como sera el caso de fundaciones sin fines de lucro con ojetivos sociales es natural que de todosmodos tengan como objetivo intermedio minimizar costos para as mejor sus posibilidades de alcanzarsu objetivo final.

Luego de analizar el problema de minimizacin de costos se analiza el problema de maximizacin de

ganancias para una empresa tomadora de precios en todos los mercados en que participa. De la relacinentre la maximizacin de ganancias y la minimizacin de costos surgen propiedades interesantes, tantoa nivel de demandas de factores como en su relacin con la oferta de la empresa.

2.1 El problema de minimizacin de costos

Comenzaremos analizando la pregunta de cmo producir al menor costo posible. Esta pregunta debe sercondicionado en un nivel de produccin, ya que de otra forma la respuesta sera trivial. Supondremosque la empresa enfrenta precios de factores w; el caso del monopsonio se obtiene de manera muysencilla cuando se levanta este supuesto.

minxRn+

w x sujeto af(x) = q

Note que este problema tiene idntica forma al problema dual del consumidor:

minxRn+

p x sujeto au (x) = u

(en ambos casos el es = en el ptimo porque la funcin es creciente)

Usando mtodo de Lagrange obtenemos las siguientes CPO:

wi = f

xii= 1, 2,...,n

f(x) = q

en el ptimo wiwj

= fifj

; esto es, precio relativo de factores iguala a la TMST (tangencia de

isocuanta e isocosto)

resolviendo encontramos x (w, q), demandas condicionadas de factores, y c (w, q) = wx (w, q),funcin de costo mnimo

por teorema de la envolvente (Lema de Shephard) sabemos que

c (w, q)

wi=xi (w, q)

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Note adems que teorema de la envolvente indica que = c(w,q)q (costo marginal).

Luego, en el ptimo es cierto que

c (w, q)

q =

w1

f1=

w2

f2=... =

wn

fn

En palabras, para producir una unidad extra se necesitaran 1fi unidades del factor i, a costo unitariode wi. Entonces, la condicin anterior exige que producir una unidad ms usando ms de cualquierade los factores sea igualmente costoso; de otra forma sera conveniente sustituir un factor por otro.Por ltimo, la condicin de fcuasicncava asegura cumplimiento de CSO.

2.2 Propiedades de la funcin de costos y demandas condicionadas

Teorema 1. (3.2 de J&R) Si la funcin de produccin es continua y estrictamente creciente, entoncesla funcin de costosc (w, q) satisface:

c (w, 0) = 0

continua en su dominio

estrictamente creciente y no acotada enqpara todo w 0

creciente, cncava y homognea de grado 1 enw

sif es estrictamente cuasicncava, la funcin de costos es diferenciable enw y satisface Lemade Shephard

Para verificar la propiedad de homogeneidad de grado 1 de c basta notar que arg minx:f(x)qw x=

arg minx:f(x)qp x, de modo quec (w, q) = c (w, q). Ms an, tanto el costo medio como el costo

marginal son tambin funciones homogneas de grado 1 en w (por qu?).

De manera anloga al caso de la demanda hicksiana, podemos verificar las siguientes condiciones de lademanda condicionada de factores x (w, q):

Teorema 2. (3.3 de J&R) La demanda condicionada de factores satisface:

x (w, q) homognea de grado cero enw

Matriz de sustitucinS(w, q) =

x1(w,q)w1

... x1(w,q)wn...

. . . ...

xn(w,q)w1

... xn(w,q)wn

simtrica y negativa semidefinida.

En efecto, si cambian todos los precios de factores en igual proporcin, no cambia el precio relativoentre ellos por lo que tampoco cambia la combinacin ptima de factores, para un nivel de produccin

fijo. La propiedad de simetra de la matriz de sustitucin implica que xi(w,q)wj = xj(w,q)

wi, de modo

que los efectos cruzados son simtricos. Por ltimo, siendo negativa semidefinida esta matriz, sabemos

que xi(w,q)wi 0; esto es, el efecto sustitucin es no-positivo. Note que la propiedad de concavidad dela funcin de costos es equivalente a la propiedad de matriz de sustitucin negativa semidefinida, yaque por lema de Shepard esa matriz es justamente la matriz de segundas derivas de c, para un qfijo.

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Rendimientos constantes a escala. El caso particular de las funciones homogneas de grado 1es interesante porque permite obtener varias propiedades adicionales que sern de especial utilidadal analizar el equilibrio de mercado bajo rendimientos constantes a escala. En efecto, veremos quecuando la tecnologa de produccin de cada empresa individual es replicable es posible caracterizar laoferta agregada a nivel de la industria como la que proviene de una funcin de produccin homognea

de grado 1. Para este caso particular se obtienen las siguientes propiedades:

x (w, q) = q x (w, 1) y

c (w, q) = q c (w, 1)

La ltima igualdad implica que en este caso, el costo medio y costo marginal son iguales entre s (yconstantes). Si para producir 1 unidad se usa x (w, 1), para producir k >1 unidades slo necesitamosmultiplicar el uso de factores por k . En efecto, sabemos que la senda de expansin es una lnea rectaque parte del origen (ya que, al ser homognea, fes homottica), y adems al multiplicar el uso defactores pork se multiplica la produccin por el mismo k (ya quefes homognea de grado 1). Luego,para multiplicar la produccin pork lo ptimo es multiplicar cada insumo por el mimso k en este casoparticular. Es por esta razn que podemos centrarnos en el anlisis de la isocuanta unitaria y la curvade costo unitario para anlisis de equilibrio general en el modelo de 2x2.

Ms an, cadaxi(w, 1)depende slo de precios relativos de factores (lo que proviene de la homogenei-dad de grado cero de demandas condicionadas). La funcin de costo unitario, en cambio, es homogneade grado 1: c (w, 1) = w x (w, 1)

El anlisis anterior se puede extender a un caso ms general:

si fes homognea de grado r: x (w, q) = q1/r x (w, 1)

si f es homottica: x (w, q) = h (q) x (w, 1)y h >0

2.3 El problema de maximizacin de ganancia

El problema de maximizacin de ganancia se refiere a la eleccin del plan de produccin completo:cunto y cmo producir. Consideraremos el caso de una empresa competitiva.

Problema:maxxRn+

p f(x) w x

o alternativamente, si ya est resuelto el cmo producir:

maxqR+

p qc (w, q)

La solucin al primer problema entrega las siguientes CPO:

f

xipwi= 0 i= 1, 2,...,n

En otras palabras, la empresa contrata factores hasta que el valor del producto marginal de cada factoriguala a su precio. La asignacin ptima satisface fifj =

wiwj

: se produce al mnimo costo posible (para

qptimo, que ya no es arbitrario).

Resolviendo se encuentra x (w, p), demanda (no condicionada) de factores, y (w, p) pf(x (w, p))w x (w, p), funcin de ganancia mxima.

Una condicin suficiente para que un x sea un ptimo (condicin de Segundo Orden) es queHf(x)seanegativa definida, lo que a su vez implica que la funcin de produccin es estrictamente cncava. Note

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que no basta cuasiconcavidad ni tampoco concavidad para el cumplimiento de esta CSO. Considerepor ejemplo en el caso de la funcin de produccin Cobb-Douglas de la forma f(x1, x2) = (x1x2)

; en

este caso obtenemos:

H=

(1 ) x21 x

2

2x11 x12

2x11 x12 (1 ) x

1 x

22

(1)

determinante: 2x221 x222 (1 2)

si

0, 12

la funcin es cncava. La funcin es cuasicncava para cualquier >0.

con

0, 12

se cumple CSO (para cualquier x R2++; no es estrictamente cncava si se incluyex= 0)

con = 12 no se cumple CSO: caso de rendimientos constantes a escala, en que x no est

determinado

con > 12 no se cumple CSO: caso de rendimientos crecientes a escala, en que la empresaobtendra prdidas si escogiera x que satisface CPO

La solucin al segundo problema entrega la siguiente CPO:

p c (w, q)

q = 0

La CSO requiere un costo marginal creciente: 2c(w,q)q2

>0.

Considere nuevamente ejemplo de funcin Cobb-Douglas f(x1, x2) = (x1x2)

:

con

0, 12

se obtiene costo marginal (CMg) creciente

con = 12 se obtiene CMg constante, por lo que no se cumple CSO, y de hecho q no queda

determinado a partir de CPO

con > 12 se obtiene CMg decreciente (y menor que CMe) por lo que no se cumple CSO; siempresa escogiera q que satisfacep=CMg obtendra prdidas

Entonces, la prediccin que se obtiene es que la empresa produce hasta que el precio del bien se igualaa su costo marginal cuando ste es creciente. Note que c (w, q) ya proviene de la minimizacin decostos, y por lo tanto supone un uso de factores que satisface fifj =

wiwj

.

Resolviendo se encuentra q (w, p), oferta de la empresa, y (w, p) p q (w, p) c (w, q (w, p)),funcin de ganancia mxima

2.4 Propiedades de las demandas de factores, oferta y funcin de ganancias

Es claro que la funcin de ganancia mxima es una sola (independientemente del procedimiento):

p f(x (w, p))w x (w, p) = p q (w, p) c (w, q (w, p)) (2)

con

f(x (w, p)) = q (w, p)

w x (w, p) = c (w, q (w, p))

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Adems, sabemos que:c (w, q (w, p)) = w xc (w, q (w, p))

donde xc denota la demanda condicionada de factores.

Ms an, la funcin de ganancia mxima tiene las siguiente propiedades:

Teorema 3. (3.7 de J&R) Si la funcin de produccin es continua, estrictamente creciente y estric-tamente cuasicncava, con f(x) = 0, entonces, cuando est bien definida, la funcin de gananciassatisface:

es creciente enp y decreciente enw

es homognea de grado uno y convexa en(w, p)

Si la funcin de produccin es estrictamente cncava, por teorema de la envolvente ademstenemos:

(w, p)

p = q (w, p) y

(w, p)

wi

= xi (w, p)

Estas propiedades a su vez implican propiedades sobre la demanda no condicionada y oferta de laempresa:

Teorema 4. (3.8 de J&R) Suponga que la funcin de produccin es continua, estrictamente creciente yestrictamente cncava, conf(x) = 0, y con funcin de ganancias doblemente diferenciable. Entonces,cuando la funcin de ganancias est bien definida, las demandas de factores y oferta del bien satisfacen:

son homogneas de grado cero en(w, p)

Matriz de sustitucin

q(w,p)p

q(w,p)w1

... q(w,p)wn

x1(w,p)p

x1(w,p)w1

... x1(w,p)wn...

. . . ...

xn(w,p)p xn(w,p)

w1... xn(w,p)wn

simtrica y positiva semidefinida.

Tanto las demandas no condicionadas como la oferta son homogneas de grado cero en (w, p), lo quese obtiene directamente de la homogeneidad de grado 1 de la funcin de ganancias (ya que la derivadade la funcin homognea pierde un grado de homogeneidad). Podemos explicar intuitivamente esteresultado de dos formas: la primera es que al multiplicar todos los precios por la misma constante lafuncin objetivo se multiplica tambin por esa constante, por lo que el valor de x que maximiza dichafuncin no se ve afectada. Es por esto que la demanda no condicionada no cambia, y por lo tantotampoco cambia la oferta del producto. La segunda forma de obtener este resultado es notando queel costo marginal es una funcin homognea de grado 1 en w : el costo marginal se multiplica por almultiplicar los precios de todos los factores por, y por lo tanto el nivel de qen que el costo marginalse iguala al precio del bien (que tambin se multiplica por ) no se ve afectado.

El que la matriz de sustitucin sea simtrica y positiva semidefinda proviene directamente de la con-vexidad de la funcin de ganancias (ya que la matriz de sustitucin es la matriz hesiana de la funcinde ganancias).

Por otra parte, x (w, p) = xc (w, q (w, p)) . Podemos descomponer entonces el efecto total de uncambio en el precio de un factor en un efecto sustitucin (en demanda condicionada) y efecto escala:

xi (w, p)

wi=

xci(w, q)

wi efecto sustitucin

+ xci(w, q)

q

q (w, p)

wi efecto escala

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El efecto sobre qde un aumento wi depende de su efecto en el costo marginal: si aumenta el costomarginal se reduce la produccin, y si cae el costo marginal aumenta la produccin (para p fijo). Pero

( c(w,q)q )wi

=c(w,q)wi

q = xci (w,q)

q . Entonces, si el factor es superior (i.e., xci (w,q)

q > 0), entonces alaumentar su precio aumenta el costo marginal, y con ello se reduce la produccin y el uso del factor; en

cambio, si el factor es inferior (i.e.,

xci (w,q)

q c. Esto se refleja en lademanda no condicionada de factores de igual forma.

En resumen, la oferta es una correspondencia en el caso e los rendimientos constantes a escala, y escompletamente elstica al nivel del costo marginal. La cantidad a producir no est definida; tampocopuede estarlo la demanda no condicionada por factores. Veremos despus que en equilibrio, si seproduce, debe ser con p = c y ganancia nula.

Corto y largo plazo. Al analizar el problema de la empresa es comn separar el anlisis de largoplazo, en que todos los factores son variables, del anlisis de corto plazo, en que algunos de los factorespueden estar fijos.

Suponga que el factor z1 est fijo en el nivel z1. Si aumenta su precio w1, aumentar el costo fijo

de produccin w1 z1 (lo que puede afectar la oferta del bien y por esa va afectar la demanda delos dems factores a travs del efecto escala). Si hay ms de dos factores y cambia el precio de unode los factores variables, ya no cambiar el costo fijo, pero s habr un efecto sustitucin (entre losfactores variables solamente) y un efecto escala. El costo de corto plazo siempre ser mayor o igualque el de largo plazo y la ganancia menor o igual, dado que en el corto plazo la empresa enfrenta msrestricciones (o sus posibilidades de sustitucin son ms reducidas). El costo marginal de produccin,sin embargo, no siempre es mayor en el corto plazo. De hecho, el costo de largo plazo es la envolventeinferior de las curvas de costo de corto plazo que se obtienen para distintos niveles del factor fijo z1;luego, el costo marginal de largo plazo es mayor, igual o menor que el de corto plazo, dependiendo delnivel de produccin.

2.5 Bienestar individual

A diferencia del caso de teora del consumidor, en este caso resulta muy simple medir el cambio enbienestar en una unidad de cuenta cardinal: dado que la utilidad es simplemente la ganancia de laempresa, basta analizar cmo cambia la ganancia ante un cambio en cualquier parmetro relevante.

En particular, el excedente del productor corresponde simplemente a la ganancia de la empresa, puestoque si ella deja de producir, pierde esa ganancia. Es por esto que la representacin grfica del excedentedel productor corresponde simplemente al rea comprendida entre el precio de venta y la oferta (quecorreponde al costo marginal, de modo que su integral es el costo total). La nica distincin interesante

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que surge en este anlisis es entre el anlisis de corto y de largo plazo: si la empresa debe seguir pagandoun costo fijo an cuando deje de producir (esto es, si el costo fijo es inevitable), entonces lo relevantees la ganancia bruta (sin restar este costo fijo), ya que la ganancia sin producir no sera nula en estecaso, sino negativa. En cambio, si el costo fijo es evitable, el excedente debe ser neto de ese costo.

2.6 Integrabilidad

Tal como en teora del consumo, a partir de la funcin de costos podemos volver a la funcin deproduccin. En efecto, a partir de una funcinc (w, q)que satisface las propiedades de una funcin decostos siempre es posible recuperar una funcin de produccin f(x) tal que c es la funcin de costosque se deriva a partir de ella.

Para ello, se define f : Rn+ R+ como:

f(x) max{q 0 : w x c (w, q) w 0}

Ms an, obtenemos el siguiente teorema de integrabilidad:

Teorema 5. (3.6 de J&R) Una funcin x (w, q) es la demanda condicionada de factores generada

por una funcin de produccinfestrictamente creciente y cuasicncava si y slo six es homogneade grado cero enw y con matriz de sustitucin S(w, q) simtrica y negativa semidefinida, tal quew x (w, q) es estrictamente creciente enq .

3 Agregacin y agente representativo

El conjunto de produccin agregadoY se obtiene a partir de los conjuntos de produccin individualesYj de cada empresaj = 1, 2,... como:

Y =j

Yj =

y Rm :y =

j

yj donde yj Yj

An cuando todas las empresas fueran idnticas, el conjunto de produccin agregado podra tener lamisma forma de cada conjunto Yj , o una forma distinta.

Ejempos en R2:

si la funcin de produccin es lineal, entonces Y1 =Y2 =... = Y.

si qj =axj para cada j , entonces q=

jqj =a

jx

j =ax

si la funcin de produccin es cncava, entonces Y > Yj para todoj

si qj =f

xj

con f


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Ejercicios propuestos

1.1 Produccin

1. Ejercicio 3.9 (elasticidad de sutitucin) de Jehle & Reny

1.2 Demanda de factores y oferta

1. Ejercicio 3.18 (minimizacin y supuesto 3.1) de Jehle & Reny

2. Ejercicio 3.23 (superaditividad) y de Jehle & Reny

3. Ejercicio 3.41 (rendimientos constantes) de Jehle & Reny

4. Ejercicio 5.D.3 (oferta y corto plazo) de Mas-Colell, Whinston y Green

5. Ejercicios 5.C.9 (oferta y ganancias) de Mas-Colell, Whinston y Green

6. Ejercicio 5.C.10 (demandas y costos) de Mas-Colell, Whinston y Green

7. Tema I.2, primera prueba, segundo semestre de 2010: Considere una empresa competitiva queproduce un bien usando dos insumos, z1 y z2. Suponga que uno de los dos factores es superior,y el otro inferior.

Imagine que aumentan los precios de los dos insumos en la misma proporcin .

(a) Suponga primero que el precio del productopse mantiene constante. Qu ocurrir entoncescon el nivel de produccin y la contratacin ptima de z1 y z2? Fundamente claramente.

(b) Cmo tendra que cambiarppara que el nivel de produccin y la contratacin de factores nose vieran afectados? qu ocurrira en ese caso con la ganancia de la empresa? Fundamenteclaramente.

1.3 Agregacin y agente representativo

1. Ejercicio 3.42 (funciones de produccin y de costos Cobb-Douglas y CES) de Jehle & Reny

2. Tema III, primera prueba, primer semestre de 2009: Considere una industria compuesta por 10empresas competitivas idnticas, todas con una tecnologa descrita mediante la siguiente funcinde produccin:

y= z1/2,

dondez es el nico insumo utilizado en la produccin de y.

(a) Muestre que la funcin de costos individual es de la forma:

c (y, w) = y2w,

dondec (y, w)indica cul es el mnimo costo al que la empresapuede producir y unidadessi el precio del factor es w.

(b) Muestre que el mnimo costo al que se puede producir100 unidades en total en la industriano es, sin embargo, 10000w. Explique la intuicin econmica de su resultado.

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(c) Muestre que la funcin de costos agregada es

C(Y, w) =Y2w

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dondeC(Y, w)indica cul es el mnimo costo al que se puede producir en total Y unidadesen la industria si el precio del factor es w.

(d) En general, para cualquier funcin de produccin cncava y para caulquier nmero deempresasn, la funcin de costos agregada para el nivel de produccin Yse puede escribircomo la ensima parte de la funcin de costos individual evaluada en Y, esto es,

C(Y, w) = c (Y, w)

n

es correcta esta afirmacin?

3. Tema I.3, primera prueba, segundo semestre de 2010: Considere una industria competitiva condos empresas idnticas que producen utilizando un nico factor z , cada una con una funcin de

produccinf(z) estrictamente cncava. Suponga adems que f(0) = 0.

(a) [4 puntos] Muestre que concavidad de fimplica que la productividad marginal del factores siempre menor a su productividad media.

(b) [8 puntos]Usando su resultado anterior, muestre que el conjunto de produccin agregado esmayor que el conjunto de produccin de cada empresa. Esto es, muestre que si la industriausa en total Z unidades del insumo, puede lograr un mayor nivel de produccin que siuna empresa individual utiliza las mismas Z unidades del insumo. Explique la intuicineconmica de su resultado.

AYUDA: para contestar ambas preguntas conviene recordar que si fes cncava, x y x son dosniveles posibles de uso de insumo distintos, entonces

f(x)< f(x) + f (x) (x x) .

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Apuntes de Produccion y Oferta