Apuntes de TopografÍa y Practicas II

TOPOGRAFÍA Y PRÁCTICAS II MTRO. RAÚL LÓPEZ PEÑA

APUNTES

DE

TOPOGRAFÍA Y PRACTICAS II

FACULTAD DE INGENIERÍA

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA

M. A. JOSÉ LUIS RAÚL LÓPEZ PEÑA


<LICENCIATURA: INGENIERÍA CIVIL

DATOS GENERALES:

TÍTULO DEL CURSO: TOPOGRAFÍA Y PRÁCTICAS II

OBJETIVO GENERAL:

Que el alumno conozca en este curso los medios, procedimientos y

métodos para realizar todo tipo de levantamiento de altimetría y

configuración topográfica, así como el cálculo y la elaboración de los

planos correspondientes, útiles en todo proyecto de ingeniería.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Al finalizar el curso el alumno deberá:

Conocer el equipo de nivelación,

realizar levantamientos para conocer desniveles o alturas entre puntos

y elaborar configuraciones de cualquier tipo de terreno, incluyendo

proyectos de carreteras, de redes de alcantarillado, de sistemas de

agua potable, electrificación, ductos, canales de riego, etc.

El alumno alcanzará la confianza para desarrollar este tipo de trabajo.


PROGRAMA DE ESTUDIO

UNIDAD I: INTRODUCCIÓN

I.1.Generalidades

I.2.Aplicaciones

I.3.Instrumental

I.4.Clases de nivelación

I.5.Especificaciones

I.6.Definiciones

I.7.Uso del tránsito como nivel

UNIDAD II: ALTIMETRÍA

2.1. Definición

2.2. Tipos de nivelación

A. Barométrica

B. Indirecta o trigonométrica

C. Directa o topográfica

2.3. Tolerancias

2.4. Tipos de nivelación topográfica

A. Simple

B. Compuesta

C. Diferencial

2.5. Métodos de comprobación de una nivelación

A. Doble punto de liga

B. Doble cambio de aparato

C. Ida y vuelta

2.6. Nivelación de perfil longitudinal

2.7. Nivelación de perfiles transversales

2.8. Dibujo de perfiles

2.9. Configuración topográfica


UNIDAD III: PLANIMETRIA Y ALTIMETRIA SIMULTANEA

3.1. Trazo de ejes y nivelación de los mismos

3.2. Trazo de ejes transversales y nivelación de los mismos

3.3. Perfiles transversales para configuración

A. Nivel fijo y nivel de mano

3.4. Métodos de configuración

UNIDAD IV. ESTACION TOTAL

4.1. Descripción

4.2. Uso

UNIDAD V. CALCULO Y TRAZO DE CURVAS

5.1. Tipos de curvas horizontales

5.2. Cálculo de curvas horizontales simples

5.3. Tipos de curvas verticales

5.4. Cálculo de curvas verticales


UNIDAD VI. APLICACIONES

6.1. Levantamiento y configuración de predios

6.2. Control de nivelación en obras

6.3. Vías terrestres

A. Trazo del eje de proyecto incluyendo curvas

horizontales

B. Nivelación del eje de proyecto

C. Secciones transversales

D. Dibujo de planta topográfica

E. Dibujo de perfil de proyecto

F. Tipos de caminos y características de los mismos

G. Proyecto de sub-rasante incluyendo curvas

verticales

H. Proyecto de curva masa

6.4. Alcantarillado

6.5. Agua potable

TALLER

Problemas prácticos

Audiovisuales

PRACTICAS DE TOPOGRAFIA

Levantamientos de poligonales, por cada uno

de los metodos vistos en teoria

GABINETE

Cálculo de planillas y elaboración de planos

Método tradicional

Método con el uso de la computadora, programas EXCEL Y AUTOCAD


METODOLOGÍA DE IMPARTICIÓN

Se pretende lograr una exposición del catedrático hacia el alumno,

bajo el siguiente criterio:

-Exposición clara, concisa y ordenada de cada tema

-Lograr captar el interés del alumno hacia el alumno

-Generar una participación dinámica en el alumno

-Combinar algunas exposiciones teóricas que se estimen

convenientes, con películas, diapositivas, acetatos, cartas topográficas

u otros, en donde se vea la exposición real de algunos trabajos

topográficos.

-Inducir al alumno con trabajos de investigación

-Cumplir con cada uno de los objetivos del programa.

REQUISITOS DE ACREDITACIÓN:

Asistencia mínima de 80% para tener derecho a examen ordinario.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Examen teórico 50 %

Examen de prácticas 30 %

Calidad de trabajos 10 %

Asistencias 10 %


BIBLIOGRAFÍA

TOPOGRAFÍA MODERNA

Rusell C. Paul R. Wolf. Brinker/Wolf

Ed. Harla, México

TOPOGRAFIA

Miguel Montes de Oca

TOPOGRAFIA GENERAL

Sabro Higashida Miyabara

TOPOGRAFIA BASICA

Fernando García Márquez

TOPOGRAFIA APLICADA

Fernando García Márquez

CRONOGRAMA DE IMPARTICION

TOPOGRAFIA II

UNID/SEM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

UNIDAD I

UNIDAD

II

UNIDAD

III

UNIDAD

IV

UNIDAD V

UNIDAD

VI


DEFINICIÓN DE TOPOGRAFÍA DEL GRIEGO:

TOPOS, LUGAR

GRAPHEIN, DESCRIBIR

GENERALIDADES DE LA TOPOGRAFÍA

EN LA TOPOGRAFÍA SE APLICA LA GEOMETRÍA

LA TOPOGRAFÍA DEFINE LA POSICIÓN Y LAS FORMAS DEL

SUELO (ACCIDENTES NATURALES O ARTIFICIALES HECHOS

POR EL HOMBRE), A TRAVÉS DEL DIBUJO.

LA TOPOGRAFÍA SE ENCUENTRA RELACIONADA CON LA

TIERRA.

COMO CUERPO EN EL ESPACIO ES A LA

ASTRONOMÍA.

COMO GLOBO TERRESTRE EN SU CONFIGURACIÓN

PRECISA Y A SU MEDIDA A LA GEODESIA.

DE UN TERRITORIO DETERMINADO DE LA TIERRA ES

A LA TOPOGRAFÍA (LINDEROS, CULTIVOS, VICIENDAS,

CAMINOS, RÍOS, PUENTES, BARRANCOS, PANTANOS,

BOSQUES, MONTES, VALLES, FERROCARRILES.


APLICACIONES DE LA TOPOGRAFÍA

HERRAMIENTA BÁSICA DE LA INGENIERÍA CIVIL

SIN LA TOPOGRAFÍA EL INGENIERO CIVIL NO PODRÍA

POR SI SOLO PROYECTAR UNA OBRA DE INGENIERÍA

LAS ACTIVIDADES FUNDAMENTALES SON EL TRAZO Y

EL LEVANTAMIENTO

EL TRAZO TIENE COMO FINALIDAD EL REPLANTEO

EN EL TERRENO DE LO QUE ESTÁ EN EL PLANO

EL LEVANTAMIENTO COMPRENDE LAS

OPERACIONES NECESARIAS PARA OBTENER

DATOS DEL CAMPO

APLICACIONES:

LOCALIZACIÓN, PROYECTO, TRAZO Y

CONSTRUCCIÓN DE VÍAS DE COMUNICACIÓN

TOPOGRAFÍA DE MINAS; LEVANTAMIENTOS

CATASTRALES; TOPOGRAFÍA URBANA;

TOPOGRAFÍA HIDROGRÁFICA; TOPOGRAFÍA

FOTOGRAMÉTRICA; INSTALACIÓN DE EQUIPO Y

MAQUINARÍA INDUSTRIAL; ETC.


DIVISIÓN DE LA TOPOGRAFÍA

SE DIVIDE EN TRES PARTES:

TOPOLOGÍA, LEYES QUE RIGEN LAS FORMAS

DEL TERRENO.

TOPOMETRÍA, ESTABLECE LOS MÉTODOS

GEOMÉTRICOS DE MEDIDA.

1. PLANIMETRÍA

2. ALTIMETRÍA

3. AGRIMENSURA

PLANOGRAFÍA, REPRESENTACIÓN GRAFICA

DE LOS RESULTADOS. DIBUJO

TOPOGRÁFICO.


ALTIMETRÍA

RECIBE EL NOMBRE DE NIVELACIÓN O ALTIMETRÍA

EL CONJUNTO DE LOS TRABAJOS QUE SUMINISTRAN

LOS ELEMENTOS PARA CONOCER LAS ALTURAS Y

FORMAS DEL TERRENO EN SENTIDO VERTICAL.

TODAS LAS ALTURAS DE UN TRABAJO ESTÁN

REFERIDAS A UN PLANO COMÚN DE REFERENCIA.

ESTE PLANO LLAMADO DE COMPARACIÓN ES UNA

SUPERFICIE PLANA IMAGINARIA, CUYOS PUNTOS SE

ASUMEN CON UNA ELEVACIÓN O ALTURA DE CERO

BANCO DE

NIVEL

COTA DEL B. N.

PLANO DE COMPARACIÓN


COTA, ELEVACIÓN O ALTURA DE UN PUNTO DETERMINADO DE LA SUPERFICIE TERRESTRE A LA DISTANCIA VERTICAL QUE EXISTE DESDE EL PLANO DE COMPARACIÓN A DICHO PUNTO.

COMUNMENTE SE USA COMO PLANO DE COMPARACIÓN EL DEL NIVEL MEDIO DEL MAR, QUE SE ESTABLECE POR MEDIO DE UN GRAN NÚMERO DE OBSERVACIONES EN UN APARATO LLAMADO MAREÓGRAFO DURANTE VARIOS AÑOS.

SUPERFICIE DE NIVEL, AQUELLA QUE EN TODOS SUS PUNTOS ES NORMAL A LA DIRECCIÓN DE LA GRAVEDAD. POR LO QUE EL DESNIVEL ENTRE DOS PUNTOS ES LA DISTANCIA QUE EXISTE ENTRE LAS SUPERFICIES DE NIVEL DE DICHOS PUNTOS.

H de AB

Superficie del nivel del punto B

Superficie del nivel del punto A

B

A

H de AB desnivel entre los puntos A y B


MÉTODOS DE NIVELACIÓN

NIVELACIÓN DIRECTA O TOPOGRÁFICA

NIVELACIÓN INDIRECTA O TRIGONOMÉTRICA

NIVELACIÓN FÍSICA O BAROMÉTRICA

NIVELACIÓN DIRECTA O TOPOGRÁFICA

ES LA OBTENIDA POR MEDIO DE LOS APARATOS LLAMADOS NIVELES, AL MISMO TIEMPO QUE SE VA EJECUTANDO VAMOS CONOCIENDO LOS DESNIVELES DEL TERRENO.

NIVELES

DE ALBAÑIL. NIVEL DE REGLA (SE USA EN PISOS) NIVEL DE PLOMADA ( PARA LA VERTICAL) NIVEL DE MANGUERA ( PARA EL DESNIVEL)


NIVELES FIJOS O TOPOGRÁFICOS

o SE FIJAN EN UN TRIPIE. CONSTAN DE UN ANTEOJO Y UN NIVEL DE BURBUJA QUE VAN UNIDOS A UNA BARRA O REGLA METÁLICA, LA CUAL PUEDE GIRAR ALREDEDOR DE UN EJE QUE SE3 COLOCA EN POSICIÓN VERTICAL POR MEDIO DE TORNILLOS NIVELADORES.

o EL NIVEL DE BURBUJA ES UN TUBO DE CRISTAL HERMETICAMENTE CERRADO QUE SE LLENA DE ALCOHOL O ETER O DE AMBOS Y CASI LLENO PARA DEJAR LA BURBUJA DE AIRE QUE INDICA LA HORIZONTALIDAD DEL NIVEL.

o LA SENSIBILIDAD DE LOS NIVELES DEPENDE DE SU CURVATURA A MAYOR CURVATURA MAYOR SENSIBILIDAD, LO COMÚN ES DE 15 A 30 METROS DE RADIO.

o LOS NIVELES TIENEN UN TORNILLO DE PRESIÓN Y OTRO TANGENCIAL.

o LA INSTALACIÓN DEL NIVEL ES FACIL PARA EL OPERADOR PORQUE LO INSTALA EN EL LUGAR QUE LE CONVENGA.

NIVEL DE MANO o SU USO SE AJUSTA A LA TÉCNICA DEL NIVEL

FIJO o ESTÁ FORMADO POR UN TUBO QUE LLEVA EN

SU PARTE SUPERIOR UN NIVEL DE BURBUJA, UN ESPEJO COLOCADO A 45 GRADOS DE INCLINACIÓN CON RESPECTO AL EJE DEL ANTEOJO CON EL FIN DE VER LA POSICIÓN DE LA BURBUJA.

o SE USA EN DISTANCIAS CORTAS, MÁXIMO 20 METROS


ESTADAL. o ES UNA REGLA DE MADERA O ALUMINIO, DE

TRES A CUATRO METROS DE LARGO Y ENTRE 4 A 10 CM DE ANCHO Y DOS CENTÍMETROS DE ESPESOR.


CONDICIONES QUE DEBE REUNIR UN NIVEL:

UN HILO DE LA RETÍCULA DEBE SER HORIZONTAL; ES DECIR, PERPENDICULAR AL EJE DE ROTACIÓN.

LA DIRECTRIZ DEL NIVEL DEBE SER PARALELA A LA REGLA.

o Se centra la burbuja y se da un giro de 180° al anteojo. En esta nueva posición la burbuja debe quedar en el centro.

LA DIRECTRIZ DEL NIVEL DEBE SER PARALELA A LA LÍNEA DE COLIMACIÓN.

o Una directriz es la que marca las condiciones en que se genera algo.


ERRORES EN LA NIVELACIÓN.

ERROR POR CURVATURA DE LA TIERRA Y REFRACCIÓN ATMOSFÉRICA.

o E = 0.000 000 067 D2 o E = Error por curvatura de la tierra y refracción

atmosférica, en metros. o D = distancia entre los puntos, en metros.

Nota. En los trabajos de nivelación directa el error por curvatura y refracción no es apreciable, porque las visuales son del orden de 100 metros

ERROR POR NO ESTAR VERTICAL EL ESTADAL.

o Para evitar este error el estadal debe tener un movimiento de vaivén, adelante y hacia atrás (bombeo)


ERROR POR NO ESTAR CENTRADA LA BURBUJA DEL NIVEL

o Conviene revisar la burbuja que este al centro

antes de realizar la lectura

ERROR POR REVERBERACIÓN.

o Es debido a que el suelo al estar mas caliente que el aire, produce corrientes de abajo hacia arriba, que hacen que la imagen del estadal oscile.

ERROR DE APRECIACIÓN DE FRACCIONES EN LAS LECTURAS DEL ESTADAL.


TIPOS DE NIVELACIÓN DIFERENCIAL TOPOGRÁFICA

NIVELACIÓN SIMPLE.

o la nivelación diferencial es simple cuando el desnivel entre dos puntos puede obtenerse haciendo solamente una estación con el instrumento, como se aprecia en la siguiente figura.

Para determinar el desnivel entre los puntos A y B, se estaciona el instrumento a igual distancia de ambos puntos, para eliminar los errores de curvatura de la Tierra y refracción atmosférica y se toman las lecfturas del estadal en A y B. LA = Lectura de estadal en el punto A. LB = Lectura de estadal en el punto B h = Desnivel entre A y B

π = Altura del instrumento (A. I)


Altura del instrumento es la elevación de la línea de colimación con respecto al plano de comparación y no la altura del anteojo con respe3cto al suelo del lugar donde esté instalado el instrumento. Lectura atrás. Es la que se hace en el estadal colocado sobre un punto de elevación conocida y se indica con signo positivo (+). Lectura adelante. Es la que se toma en el estadal sobre un punto de elevación desconocida y se indica con signo negativo (-). h = lectura de atrás – lectura de adelante Si la diferencia resulta positiva indicará que el punto de adelante está más alto que el punto de atrás y viceversa.

COTA A = 84.153 m + 2.108 m --------------- A.I. = 86.261 m - 1.583 m ---------------- COTA = 84.678 m

NIVELACIÓN COMPUESTA

Cuando los puntos extremos esten muy lejanos uno del otro o hay obstáculos intermedios, se emplearán puntos de liga intermedios llamados P.L. Los puntos de liga deben ser puntos definidos y se establecerán empleando objetos naturales o artificiales como rocas, troncos de árboles, estacas con clavos o grapas y marcas pintadas o labaradas con cincel.


La nivelación diferencial compúesta requiere una serie de cambios de intrumento a lo largo de la ruta general y para cambio una lectura atrás de elvación conocida y una lectura delante de elevación desconocida. El trabajo y el registro se llevan como se indica en el ejemplo siguiente.

Nivelación diferencial

Lugar Fecha Niveló

Est + π - Cotas Notas

BN - 1 1.874 211.650 209.776 Monumento de concreto a 25.50 m a la izquierda de Est 7+280 del camino La Noria

PL - 1 2.108 212.846 0.912 210.738

PL - 2 0.943 213.075 0.714 212.132

BN - 2 1.819 211.256

Suma 4.925 3.445 1.480


NIVEL DE MANO. Consiste en un tubo de aproximadamente 15 cm, sin lentes, con un pequeño nivel cuya burbuja puede verse por el interior del tubo mediante un espejo o prisma que ocupa la mitad del tubo. Por la otra mitad se ve el exterior para dirigir la visual mediante un alambre que atravieza el tubo. Sirve para dirigir visuales horizontales, sosteniéndolo en la mano. Revisión y ajuste. La forma mas sencilla de revisarlo, es comparándolo con un nivel fijo que esté correcto. Poniendolo junto al anteojo y nivelados ambos, debe verse la misma lectura.

CONFIGURACIÓN TOPOGRÁFICA. La representación del terreno con sus formas y accidentes, tanto en un plano horizontal como en sus alturas, se observa por medio de las CURVAS DE NIVEL. Estas curvas se emplean para representar en planta y elevación al mismo tiempo, la forma o configuración del terreno, que también se llama relieve.


La orilla del agua, en el mar, en un río, en un lago, marca la curva de nivel del terreno a esa cota. Si el nivel del agua subiera 5 metros, nos daría la cota 5 y así sucesivamente, 10, 15, 20, etc. Las curvas de nivel se pueden espaciar cada metro, cada medio metro, cada 25 cm, cada 20 cm, cada 10 cm, etc. La representación con curvas de nivel de cuerpos sólidos simples, puede hacerse así.

Se ilustran las curvas de nivel del terreno en la figura siguiente, donde dos cerros son intersectados por cuatro planos horizontales. Los perímetros de esas secciones son las curvas de nivel a las cotas respectivas, como se aprecia en resumida en la figura donde se tienen todas las curvas.



Teniendo las curvas de nivel de una zona, se pueden obtener los perfiles o SECCIONES del terreno.


Reglas en las curvas de nivel: Toda curva se cierra sobre si misma

No se puede dividir una curva o ramificarse

Dos curvas no pueden formar una sola curva, pero pueden sobreponerse y cada cual con su nivel.

Si se cruzan es una cueva o saliente en volado.

En pendiente las curvas quedan equidistantes, separadas pendiente suave, juntas pendiente fuerte, superpuestas corte vertical.

Curvas cerradas concentricas es un promontorio si van creciendo los niveles o una oquedad si decrecen los niveles.

En la figura siguiente se aprecian los parteaguas y las cañadas o cauces de agua (talweg), se identifican y se marcan sus ejes. Las curvas cruzan a los ejes normalmente.


Método de secciones transversales. Trazar uno o mas polígonos de apoyo por los lugares convenientes de la zona a levantar y después se obtienen los perfiles o secciones del terreno, transversales a los lados del polígono, cubriendo el área requerida. Entre mas cerrado se haga el seccionamiento es mas detallada la configuración. La secuencia de trabajo es:

Se traza el polígono de apoyo, marcado a intervalos para poder obtener su perfil.

Se nivela el polígono y tener las cotas de todos los puntos.

Se obtienen secciones transversales.


En terreno accidentado se emplea el nivel de mano, porque el aparato es el mismo observador y se puede desplazar rapidamente. En estos perfiles transversales se localizan puntos de cota cerrada y midiendo su distancia. El trabajo se facilita pues el observador se traslada al lugar donde quedó el estadal y así podrá leer constantemente en el estadal la misma lectura.

El observador queda parado del lado mas alto del terreno y el estadal abajo. Cuando se secciona en descenso, el estadal va bajando. Cunado se secciona en ascenso el estadal se queda en el punto y el observador es el que se va alejando hasta el nuevo punto buscado. Con los brazos abiertos según la línea y al cerrarlos las dos manos juntas apuntaran a la normal.


REGISTRO.

Pendiente. El número de unidades (metros) que sube o baja una línea por cada 100 unidades horizontales y se expresa en por ciento (2%, 3%, 5%, etc)

Pendiente m (%)

100 m

Y (m)


Proyecto en planta del eje de una vía. Para llevar una línea con una pendiente dada, puede hacerse en un plano utilizando un compas de puntas. Conociendo la equidistancia entre curvas de nivel y la pendiente que se desea para el camino, se calcula la abertura del compas para que al interceptar con sus puntas dos curvas de nivel contiguas, la línea imaginaria que une estos puntos tenga la pendiente deseada. Ejemplo: La equidistancia entre curvas es de un metro y la pendiente de proyecto del camino es del 5%, la separación entre las puntas del compas deberá ser de 20 metros, para que cada vez que se suba o se baje un metro se recorran 20, lo que equivale al 5%. Uniendo los puntos que se obtengan da una línea a pelo de tierra. El trazo definitivo del eje de un camino se apegará lo mas que se pueda a la línea pelo de tierra


CÁLCULO Y TRAZO DE CURVAS Curva simple horizontal.

Δ Deflexión

NOMENCLATURA PI Punto de intersección

Puntos de tangencia

PC Punto de comienzo

PT Punto de término

R Radio

ST Subtangentes

C Cuerda

g Grado de la curva. Es el ángulo bajo el cual se ve la cuerda unitaria desde el centro de la curva (la cuerda unitaria que normalmente se emplea es de 20 metros)

SC subcuerda

g´ Subgrado

CP Cuerda principal, (PC – PT)

LC Longitud de la cuerda, (PC a PT)

M Ordenada media

E Externa


Las curvas empleadas en construcción son curvas simples horizontales, arcos de círculos. En la siguiente figura se muestran dos líneas no paralelas ST, que se intersectan en el punto PI (Punto de inflexión). Una curva simple de radio R y con centro en el punto O, conecta las dos líneas. El punto PC (punto de comienzo), es aquel en el que la curva es tangente a la línea ST y en el que empieza la curva simple. El punto PT (punto de término) es aquel en el que la curva es tangente a la línea ST y en el que la línea recta ST empieza. Estas líneas rectas que se unen a la curva se llaman tangentes. Como la curva es tangente a las líneas ST en los puntos PC y PT, los ángulos PC-O y PT-O son rectos. El ángulo entre los dos radios en el punto O es el ángulo Δ (Deflexión). Δ es siempre igual al ángulo externo en el punto PI. Las distancias de ST (distancia tangente) son iguales. La línea recta que conecta a los puntos PC y PT es CP (la cuerda). Su longitud se puede calcular por medio de.

22

SenRCP


Longitudes de curvas. Los datos de que se parte para calcular los elementos restantes de una curva.

El radio R

La deflexión Δ

La cuerda C (Δ) Se mide directamente con transportador o del mismo software se obtiene del eje de la vía, y en el terreno al trazar se mide con el teodolito para obtener su valor real entre las tangentes marcadas y recalcular los elementos de la curva. (C) La cuerda que se emplea comúnmente es de 20 metros si g no pasa de 10°, por lo que R se excede de 100 metros y el arco es sensiblemente igual a la cuerda. (R) El radio sea lo mayor posible para no tener curvas forzadas, pero siempre tomando en cuenta la configuración del terreno para no tener terracerías costosas. En caminos la velocidad, la visibilidad son factores que limitan el radio de la curva. Los radios se propone que pasen de 100 metros. Conociendo el radio se calcula a que g corresponde y se adopta como definitivo el g más cercano y que sea par, con el fin de facilitar el trazo, el radio variará pero que sea en aumento. En el terreno al trazar no se usa el radio.


Los elementos restantes se calculan:

22 g

senR

C

2

2g

sen

C

R

En el triángulo rectángulo O-PC-PI.

2

TanRST

Números de cuerdas enteras = (Δ/g); al hacer esta división queda un residuo que no se divide y se llama subgrado (g’ ) Número de cuerdas = (Δ/g) + residuo; residuo = g’ NOTA: Sabemos que la longitud de la circunferencia (perímetro) de un círculo es 2πR y que un círculo contiene 360°. Por tanto para encontrar la longitud de un arco (semiperímetro). LA LONGITUD DE UN ARCO, SIMPLEMENTE CONSIDERAMOS QUE ES UNA CIERTA PARTE DE UNA CIRCUNFERENCIA. Considérese que el radio de la curva mostrada en la anterior figura es de 40 m y que Δ es de 85° 20´. Calcúlese la longitud del arco, la longitud de la curva desde el punto PC al PT. Solución: 85° 20´ se puede escribir como 85.33°

mR 57.59)40)(1416.3)(2)(360

33.85())()(2()

360

33.85( La longitud de la curva

g

g/2

C

R


SC = 2R Sen (g´/2) LC = (Δ/g) (20 metros)(para R > 100 m) O también LC = núm de cuerdas enteras + SC

Cuando R < 100 m puede multiplicarse por el arco de la cuerda de 20 metros para tener un valor más aproximado de la longitud:

LC = (Δ/g) (arco)

g´/2

g´

R

SC


En la figura de la curva se tiene:

)2

(sec

R

ER

R + E = R sec (Δ/2); E = R sec (Δ/2) – R

E = R (sec (Δ/2) – 1)

CP = 2 ( R sen (Δ/2)) M = R – R cos (Δ/2) = R ( 1 – cos Δ/2)

M = R ( 1 – cos Δ/2)

Cuando se conoce la longitud de la curva se calculan los cadenamientos para continuarlos por la curva y luego por la siguiente tangente. El cadenamiento del (PI) se conoce gráficamente midiendo en el proyecto o en el terreno cuando se tienen el trazo definitivo.

CADE (PC) = cade (PI) – ST CADE (PT) = cade (PC) + LC

TRAZO DE LAS CURVAS EN EL TERRENO.

Con tránsito y cinta. El trazo se hace por DEFLECCIONES con estación en el (PC) ó (PT).

El origen de las deflecciones será la tangente, es decir, la visual al PI. Como estos ángulos de deflexión son la mitad de los ángulos centrales, para ir marcando cada cuerda que es abarcada por (g) desde el centro, las deflexiones irán variando (g/2). Entonces poniendo en cero el tránsito y viendo PI, las deflexiones que habrá que ir marcando son g/2, g, 1.5g, 2g, hasta llegar a ver el PT, (previamente marcado con la medida de ST a partir del PI). Para cada deflexión se mide la cuerda desde el punto anterior y en la intersección estará el nuevo punto de la curva.


El trabajo se puede comprobar: Angularmente: Viendo PT, la graduación del teodolito debe marcar (Δ/2). Tolerancia = '01

Linealmente: la distancia entre el último punto trazado, y PT, será la (SC) previamente calculada.

Tolerancia = m10.0

NOTA: Se recomienda trazar la mitad de la curva desde PC y la otra mitad desde PT para encontrarse al centro. Se disminuyen los errores. Nota:

Cuando el PC no cae en cadenamiento cerrado se obtiene la deflexión por metro de curva.

d = (Δ/2) / (LC) Deflexión por metro de curva

ó d = (g/2) / (20 metros)


Ejemplo: Δ = 60° 30´ Izquierda g = 6° Izquierda PI = 2 + 226.00 Se obtiene: R = (C/2) / Sen (g/2) = 10/sen(3°) ST = R tan (Δ/2) = (191.07) (tan(30° 15´)) = 117.04 m LC = (Δ/g) (20 metros) = (60.5/6)(20) = 201.67 m PC = PI – ST = 2+226.00 – 117.04 = 2 + 108.96 PT = PC + LC = 2 + 108.96 * 201.67 = 2 + 310.63 Como el cadenamiento en el PC no fue cerrado se obtiene la deflexión por metro. d = (3°) / (20 m) = 09´ Se obtiene: 2 + 120.00 – 2 + 108.96 = 11.04 m Multiplicando (11.04) (09´) = 1° 39´


CURVAS VERTICALES Las curvas verticales son útiles para cambiar de una pendiente a otra en la subrasante. Son Parábolas de Eje Vertical, tanto por la suavidad que se obtiene en la transición como por la facilidad de cálculo.


Propiedades de la parábola. Se utilizan para calcular las curvas verticales en vias de comunicación. Primera propiedad.

La ecuación de la parábola en ejes rectangulares es.

Y = K X2


Segunda Propiedad. La ecuación de la curva referida a ejes no rectangulares.

Uno tangente a la curva en un punto cualquiera y otro un diámetro de la parábola en el punto de tangencia, es de la misma forma que en ejes rectangulares, y lo único que cambia es la constante.

Y = K´X2

La demostración de esta propiedad puede verse en un libro de geometría analítica.


Tercera propiedad.

La variación de pendiente de la curva es constante, para variaciones constantes de X, puesto que solo depende de X.

Y = K X2

pendientedx

dy

p = 2KX

Ejemplo

Si X varía de 2 en 2:

X 2 4 6 ……..

pendiente 4K 8K 12K …….

Cuarta Propiedad.

La pendiente de una cuerda trazada entre dos puntos de la curva, es igual al promedio de las pendientes de las tangentes a la curva en esos dos puntos.


En función de las coordenadas de (1) y (2), la pendiente de la cuerda será:


PARA EL CÁLCULO PRÁCTICO DE LA CURVA, Y CON OBJETO DE QUE TODAS LAS (X) Y (Y) RESULTEN DEL MISMO SIGNO EN TODOS LOS PUNTOS DE LA CURVA, CONVIENE TOMAR COMO EJES:

Eje X: Tangente a la curva en el PCV, (subrasante)

Eje Y: Vertical en el punto de tangencia, (diámetro)

Ecuación Y = K X2


Para determinar en cada caso el valor numérico de (K), se toma un punto de Coordenadas conocidas, y se despeja (K) de la ecuación.

Puntos de coordenadas conocidas que se puede tomar PCV (0, 0)

PTV (XT, YT)

Además para cada caso la inclinación del eje (X) sería diferente, mejor se toman las proyecciones horizontales de las (X). Así se trabaja condistancias horizontales a partir del PCV y las (Y) siguen siendo verticales. Multiplicando y dividiendo el 2º término de la ecuación por cos2α:


Para distinguirlas se denominan a las coordenadas del PTV

XT cosα = L

YT = D Y a la proyección horizontal de las (X):

X cosα = n

Quedando finalmente


Donde: D = Ordenada del punto final de tangencia (PTV)

L = Longitud total horizontal de la curva (PCV a PTV)

Por conveniencia se puede tomar un número par de estaciones de 20 metros.

n = Distancia horizontal del PCV a un punto cualquiera.

Y = Ordenada vertical de un punto cualquierda a partir del eje

de las X (subrasante)

En la ecuación, (D) se obtiene conociendo (L) y las

pendientes.

A su vez (L) queda determinada:

Mediante especificaciones que están en función de la pendiente de las tangentes, visibilidad y distancias de frenaje.

Por la variación de pendiente permisible por tramo de 20 metros. (variación de pendiente por estación).


V = Variación total de pendiente = diferencia algebraica de pendientes v = p1 – p2; v = variación por estación (% estación)

En el perfil del terreno que se tiene ya dibujado, se proyectan las subrasantes con las pendientes convenientes y se ve a que cota queda el punto de intersección (piv). Con estos datos y las especificaciones de la longitud, se tienen los elementos de partida para calcular la curva y determinar finalmente las cotas de los puntos que la definen y que servirán para su construcción.


Ejemplo: Datos

1ª subrasante igual a + 4%

2ª subrasante igual a - 3% Cota PIV: 100.00, v = 1 (% estación) V = (+4) - (-3) = +4 + 3 = 7 De donde V = 7% V = 1 (% estación)

L = 1

7 = 7 Estaciones (se ponen 8 estaciones)


Cota de PCV: 100 – (4/100) (80) 100 – 3.20 = 96.80

Cota de A:

100 + (4/100)(80) 100 + 3.20 = 103.20

Cota de PTV:

100 – (3/100)(80) = 97.60 D = 103.20 – 97.60

D = 5.60 m Ecuación

Por facilidad (n) y (L) se aplican tomando como unidad una estación

Y = (5.60/82)(n2)

Y = 0.0876 n2

Cotas sobre la 1ª subrasante. (con 4%, cada 20 m sube 0.80 m)

PCV 96.80 PIV 100.00

+ 0.80 + 0.80

Cota 97.60 100.80

+ 0.80 + 0.80

Cota 98.40 101.60

+ 0.80 + 0.80

cota 99.20 102.40

+ 0.80 + 0.80

PIV 100.00 A 103.20


Cuando la curva es en columpio, las (Y) se tomarán en esta forma, y se sumarán a las cotas de la subrasante para obtener las de la curva.


Ejemplo: Otro procedimiento de cálculo, aplicando las propiedades 3ª y 4ª de la Parábola, consistente en calcular las pendientes de las cuerdas entre puntos de la curva a cada 20 m. (horizontales) o estaciones, y los desniveles que sube o baja cada cuerda en su trabajo de 20 m. Se hace notar que de cuerda a cuerda la pendiente varía la (v) real, pero de tangente a cuerda solo varía la mitad.

V = (-0.5) – (0.2) = 0.7% v = 0.1 % por estación

L = (0.7/0.1) = 7 estaciones; se ponen 8 Con 8 estaciones v real = (0.7/8) = 0.0875 % por estación

Cota PCV (0.5/100) = (x/80); x = 0.40 15.012 + 0.40 = 15.412

Cota PTV (0.2/100) = (x/80); x = 0.16 15.012 + 0.16 = 15.172


Cálculo de cotas Cerrando desniveles a mm















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Apuntes de TopografÍa y Practicas II