Apuntes Hidrologia

Nota: Derechos de reproduccin reservados

APUNTES DE HIDROLOGA

Autor: Luis E. Estell Aguirre

Versin 4.1

Enero 2006

COMPARACION PLUVIOGRAFICA SANTIAGO LUNES 12 AL MIERCOLES 14 JUNIO 2000

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

HORAS

mm

/ h

r.

MAPOCHO EN LOS ALMENDROS (FARELLONES)

TOBALABA

SAN JOAQUIN

SANTA ROSA

QUINTA NORMAL

PUDAHUEL

T = 10 aos

T = 100 aos

T = 2 aos

APUNTES DE HIDROLOGIA INTRODUCCION

Autor: Prof. Luis E. Estell A. 1-1 Ao 2006

CAPITULO N 1 - INTRODUCCIN

1.1 DEFINICIONES Y OBJETIVOS Nadie duda hoy que el Agua es el recurso natural ms preciado por el hombre. Justifica esta afirmacin el hecho de ser el elemento de mayor abundancia del planeta, tambin porque todos los tejidos vivos se encuentran compuesto por agua. Adems es factor clave para la climatizacin del planeta. Sin alimento, una persona puede sobrevivir ms de 30 das. Sin agua, menos de una semana. Todos los seres vivos que habitan en el suelo, en el agua o en el aire requieren un mnimo de agua para poder vivir. En este sentido, el agua es un recurso muy especial, ya que no existe otro que la pueda reemplazar. Siendo abundante, el incremento de la poblacin mundial y la modalidad de la vida actual ha provocado una demanda creciente por este recurso, como ejemplo es posible indicar que la utilizacin del agua en el mundo se multiplic por seis durante el Siglo XX. Los distintos sector compiten por el uso y consumo del agua (Agua potable, sector productivo, agricultura, generacin, transporte, etc.) y se estima que la disponibilidad anual per capita de agua dulce descender de 7.300 m3 en 1995 a 4.800 m3 en el ao 2025. De toda el agua que hay en la Tierra, el 97,2% corresponde a agua salada que se encuentra en mares y ocanos (Si toda el agua de la Tierra la pusiramos en un balde, el agua dulce que puede ser aprovechada por los seres vivos equivaldra a lo que cabe en una cucharaditra de t). El agua dulce es slo el 2,8% restante y en su mayora est atrapada en glaciares y los polos. El agua dulce que puede ser utilizada por los seres vivos y que corresponde a la que est contenida en ros, lagos y en el suelo es slo el 0,6% del total de agua en la Tierra.

La expansin urbana, la construccin de poblaciones cerca de zonas peligrosas ha incrementado los problemas de control de crecidas y drenaje de zonas urbanizadas. La construccin de embalses aguas arriba de zonas habitadas, tambin plantean problemas de seguridad de las obras y de su operacin. La intensificacin en el uso del agua, las prcticas inadecuadas de produccin y vertido de desechos, etc., llevan consigo, adems, a la necesidad de analizar la preservacin del recurso hdrico, un hecho sintomtico de la gravedad de la anterior afirmacin es que actualmente la mitad de las enfermedades mundiales se transmiten por el agua o a travs de ellas.

En el largo plazo, es posible que los problemas mencionados se incrementen debido al

denominado cambio climtico global, proceso que afecta a la tierra en su conjunto y que, debido al cambio en la distribucin de las precipitaciones, puede reducir drsticamente la disponibilidad de agua dulce en muchas zonas de la tierra.



Por todo lo anterior las ciencias que estudian el agua en la tierra y su influencia en el progreso de la civilizacin, son de vital importancia en la vida moderna. La Hidrologa como ciencia de la ingeniera, participa en la solucin de los problemas planteados mediante la bsqueda de nuevos y mejores conocimientos del comportamiento del recurso agua.

1.1.1. Definiciones - Hidrologa, etimolgicamente significa, ciencia que tiene relacin con el agua. - La Asociacin Internacional de Hidrologa Cientfica, la considera como una Ciencia de

la Tierra y parte de la Geografa Fsica, porque trata fundamentalmente el agua en la corteza terrestre.

- Mead (1904), defini a la hidrologa como " La ciencia del agua que constituye la base

de todos los problemas de la ingeniera hidrulica". - Horton (1931), la defini como "Ciencia pura que trata de la existencia, distribucin y

circulacin del agua dentro y sobre las capas superficiales de la corteza terrestre". - El Consejo federal para la Ciencia y Tecnologa de EEUU (1962) la define como "Es la

ciencia que trata de las aguas de la Tierra, su existencia, circulacin y distribucin, sus propiedades fsicas y qumicas y sus reacciones con el medio ambiente, incluyendo su relacin con los organismos vivos".

-

1.1.2. Objetivos de la Hidrologa. El Ingeniero se preocupa de la Hidrologa desde el punto de vista cuantitativo. La preocupacin del Ingeniero tiene que ver con la planificacin, diseo y operacin de obras hidrulicas. El Ingeniero opera normalmente en cuencas de tamao medio, entendiendo por stas a las comprendidas entre 5.000 a 10.000 km2 (sin embargo, los lmites pueden llegar de 5 km2 a 100.000 km2). En general, la labor del Ingeniero se centra en los siguientes aspectos:

- Estudios de Recursos - Balance Hdrico - Estudio de Demandas (Abastecimiento, regado, energa,

navegacin, otros) - Estudios de Regulacin y Garantas - Estudios de Mximas Crecidas, Sequas - Estudios de Erosin, Arrastre y Sedimentacin.

Los problemas ms comunes que resuelve el Ingeniero por medio de la Hidrologa, son los siguientes:



a) Recursos: - Estudios de recursos (fuentes) de agua en una regin o cuenca. - Capacidad de embalses (definicin) para asegurar adecuada provisin de

agua para distintos usos. - Efectos de las obras de ingeniera (crecidas, erosin, sedimentacin)

sobre el medio ambiente. - Estudios de necesidades de agua. - Balance hdrico (disponibilidades). b) Diseo de Obras: - Determinacin de capacidad de embalses, canales, obras de control de

crecidas, etc. - Diseo de vertederos de presas y obras de descarga. - Diseo de sistemas de drenaje. - Drenaje de carreteras, puentes alcantarillas. - Vas de navegacin. c) Operacin de Obras: - Pronstico de caudales. - Pronstico de crecidas. - Previsin de sequas. - Estudios de erosin, arrastre y sedimentacin.

1.1.3. Ciencias afines a la hidrologa Algunas de las ciencias afines a la hidrologa son: - Meteorologa - Climatologa - Geologa - Oceonografa - Hidrulica - Ecologa

1.2 EL DESARROLLO DE LA HIDROLOGIA EN EL MUNDO Los orgenes de la hidrulica y con ello de la hidrologa se confunden con los orgenes de la civilizacin misma. Sin embargo es posible establecer algunos hitos importantes como los siguientes:

- 1.000 A. C. : Primeros pensadores tratan de explicar la circulacin del agua en la tierra. (Homero, Tales, Platn, Aristteles).



- 500-428 A.C : Anaxgora idea una versin primitiva del Ciclo Hidrolgico.

- 372-287 A.C. : Teofrasto describi en forma correcta el Ciclo

Hidrolgico en la atmsfera. Asignndole importancia a las precipitaciones.

- 300-100 A.C. : Marcos Vitruvio extiende el pensamiento de Teofrasto

hacia el agua subterrnea. Sostiene que el agua de las precipitaciones se infiltra y aparece de nuevo en zonas bajas.

- 1452-1519 D.C. : Leonardo da Vinci comienza a efectuar

observaciones en ros y sugiere una concepcin moderna del ciclo hidrolgico.

- 1510-1589 D.C. : Bernard Palissy demostr que los ros se originan del

exceso de lluvia. - 1608-1680 D.C. : Pierre Perrault midi la escorrenta del Sena y

encontr que era slo una fraccin de la lluvia medida obre la cuenca. Sus resultados mostraron que la escorrenta era aproximadamente la sexta parte de la precipitacin.

- 1656-1742 D.C. : Midi experimentalmente la evaporacin y concluy

que el agua evaporada en los mares y rios es suficiente para producir la lluvia.

- Siglo XVII : Se descubren nuevos principios de la hidrulica

bsica. (Ec. de Bernouilli, Ec. de Chezy). - Siglo XIX : La hidrologa avanza rpidamente (Dalton:

evaporacin, Darcy: F. en medios porosos, Manning: F. en canales, etc.)

- Siglo XX : Comienza la llamada Hidrologa Moderna. (Hazen:

Anlisis de frecuencia, Shermam: H. Unitario, Horton: Infiltracin, Gumbel: Valores extremos.)

- Siglo XXI : Sistemas expertos, predicciones de crecidas,

pronsticos de sequas, etc.



Figura N 1.1El Ciclo Hidrolgico

1.3 COMPONENTES DEL RECURSO AGUA

Actualmente, desde el punto de vista econmico, el recurso agua se supone compuesto por:

- Aguas superficiales, (ros, esteros, lagos, etc.) - Aguas subterrneas - Recursos "nuevos" (potabilizacin, reutilizacin) A nivel mundial, el aprovechamiento del recurso agua se distribuye como sigue: - 80% aguas superficiales - 20% aguas subterrneas Es importante hacer notar que el recurso agua debe ser tomado como una unidad completa en lo que se llama un balance hdrico. Los recursos superficiales son los primeros utilizados. Para este efecto se emplean datos estadsticos cuya extensin son de aproximadamente 25 a 30 aos. No debe nunca olvidarse que la utilizacin de una componente del recurso incide en el otro. Es decir al analizar la utilizacin de una parte del recurso el anlisis debe efectuarse dentro de un contexto amplio que incluya un balance general de disponibilidades.

1.4 EL CICLO HIDROLOGICO El agua de la Tierra est contenida en un espacio denominado hidrosfera. La hidrosfera se desarrolla desde aproximadamente 15km arriba en la atmsfera hasta aproximadamente 1km por debajo de la corteza terrestre. El agua circula a travs de un intrincado laberinto que se conoce como "Ciclo Hidrolgico" y que se representa pictricamente mediante la Figura N 1.1.



Condensacin: El vapor de agua que se eleva hacia la atmsfera se enfra y se junta en pequeas gotas lquidas o cristales slidos que forman las nubes.

Precipitacin: Cuando las nubes se vuelven muy pesadas, el agua que contienen cae en

forma de lluvia, nieve o granizo, por accin de la gravedad. Evaporacin: Por la accin del sol y de la vida de las plantas, el agua de la superficie de

la Tierra y de los organismos vivos pasa como vapor hacia la atmsfera. Infiltracin: El agua cada pasa desde la superficie terrestre hacia el suelo. Percolacin: El agua se mueve en las capas de suelo a travs de los poros y grietas,

cumulndose y escurriendo lentamente hacia la napa fretica. Escurrimiento: Cuando las capas superficiales del suelo se saturan producto de las

precipitaciones que caen sobre ella, el agua comienza a correr sobre la superficie de la Tierra, juntndose en cauces y ros, llegando a otros ros o al ocano.

En sntesis, los principales componentes del Ciclo Hidrolgico son: - La energa solar - Los vapores atmosfricos - Las nubes movidas por la circulacin atmosfrica - La precipitacin (lluvia, granizo, nieve, roco) - La evaporacin (desde la superficie del agua, mientras cae la

precipitacin, desde la vegetacin, desde la superficie del suelo) - La transpiracin de las plantas y organismos vivos - El escurrimiento superficial - La infiltracin - La humedad del suelo - El escurrimiento subsuperficial - El escurrimiento subterrneo (libre, confinado)

- La descarga al mar Es decir, mediante la energa solar, el agua depositada principalmente en los ocanos se evapora y forma las nubes. Mediante un complejo circuito, de circulacin atmosfrica, las nubes transportan el vapor de agua a zonas distantes. De acuerdo a las condiciones atmosfricas, este vapor de agua puede transformarse en precipitacin la que cae sobre la superficie terrestre. Las plantas, como organismos vivos, tambin evaporan agua a la atmsfera. Parte del agua precipitada escurre en forma gravitacional, por la superficie terrestre, formando los ros y los esteros; parte se infiltra alcanzando los depsitos de aguas subterrneas, la que puede escurrir y volver a recargar la escorrenta superficial. La precipitacin sobre los ocanos y el regreso del agua superficial y subterrnea a l, cierran el ciclo hidrolgico en un movimiento permanente y sin fin Todos los ros van al mar, y el mar no se llena. Al lugar de donde vienen los ros, all vuelven para correr de nuevo (Eclesiastes 1.7).



El ciclo hidrolgico permite delimitar el campo de la hidrologa, quedando ste determinado por las siguientes fases del mismo: las precipitaciones, la evaporacin y transpiracin y la escorrenta superficial y subterrnea. 1.5 El CICLO HIDROLOGICO COMO SISTEMA La complejidad de los fenmenos hidrolgicos requieren ser simplificados, en muchos casos, mediante el concepto de sistema. Un sistema es un conjunto de partes conectadas entre s, que forman un todo. De esta manera el Ciclo Hidrolgico puede tratarse como un sistema formado por la precipitacin, la evaporacin, etc. En resumen, el Ciclo Hidrolgico puede dividirse en Subsistemas, ejemplo: - Subsistema de Agua Atmosfrica: -Precipitacin -Evaporacin -Intercepcin -Transpiracin. - Subsistema de Agua Superficial: -Flujo Superficial -Escorrenta Super. -Afloramientos. - Subsistema de Agua Subsuperf. : -Infiltracin -Recarga de Acuferos -Flujo Subsuperf. -Flujo Subterrneo La Figura N 1.2 muestra el Sistema Global del Ciclo Hidrolgico.

Figura N 1.2: Sistema Ciclo Hidrolgico



1.5.1 Tipos de Operadores de un Sistema Hidrolgico Un sistema hidrolgico se define como una estructura o volumen en el espacio, rodeada por una frontera, que acepta agua y otras entradas, opera en ellas internamente y las produce como salidas. Q(t) = A x I(t) (Ecuacin de Transformacin) donde : I(t) = Entradas al Sistema Q(t) = Salidas del Sistema A = Funcin de Transferencia Si la Ecuacin de Transformacin puede expresarse como una ecuacin algebraica, A ser un operador algebraico. Ej: Q(t) = C I(t) donde C= Cte. A = Q(t)/I(t) = C Si la Ecuacin de Transformacin puede ser descrita por una ecuacin diferencial, A ser un operador diferencial. Por ejemplo, en un embalse lineal el almacenamiento S se relaciona con el caudal de salida a travs de la siguiente expresin: S = kQ donde: k = cte S = Almacenamiento de embalse lineal Por lo tanto la tasa de cambio en el almacenamiento ser: dS/dt = I(t)-Q(t) Eliminando S y reordenando se tiene: k dQ/dt + Q(t) = I(t) luego: A = Q(t)/I(t) = 1/(1+kD) Donde D es el operador diferencial d/dt. Si k es una constante el sistema es lineal. Si k es una funcin de la entrada o la salida, entonces el sistema es no lineal.



1.5.2 Clasificacin de los Modelos Hidrolgicos Para el tratamiento de un problema hidrolgico puede recurrirse a una variada gama de modelos (sistemas). Ellos pueden clasificarse, dependiendo del comportamiento o grado de conocimiento de la variable hidrolgica de inters, en forma general, en dos grandes grupos. Estos son:

- Modelos determinsticos - Modelos estocsticos

Si el modelo usado no tiene en cuenta la variacin espacial se habla de modelo agregado cuando la variable es determinstica y de modelo independiente del espacio cuando al variable es de naturaleza estocstica. Si considera la variacin espacial el modelo ser distribuido, en el primer caso, y correlacionado en el espacio en el segundo. Finalmente, si no considera la variacin en el tiempo ser permanente cuando la variable es determinstica o independiente del tiempo para variables estocsticas. Si considera la variacin temporal ser impermanente en el primer caso, o correlacionado en el tiempo para el segundo. La Figura N 1.3 presenta los distinto tipos de escenarios que se pueden presentar para la resolucin de un problema hidrolgico.

Figura N 1.3 Clasificacin de los Modelos Hidrolgicos



1.5.3 Contaminacin del Recurso Hdrico

Los recursos hdricos incluyen las aguas interiores o terrestres, formadas por cuerpos de agua dulce, como ros, lagos y acuferos, y las aguas ocenicas, que abarcan el medio marino y costero. Ambos tipos de recursos pueden contaminarse por desechos que se depositan directamente en ellos (contaminacin puntual) o de forma indirecta cuando son arrastrados por la lluvia en las ciudades o el riego en los campos (contaminacin difusa).

Las aguas se pueden contaminar con diferentes tipos de contaminantes:

- Fsica. - Qumica y - Biolgica.

La contaminacin fsica es la ms fcil observar ya que es generada por cuerpos

extraos que flotan suspendidos, envases desechables, plsticos o tierra, que afectan el color, olor y sabor del agua.

La contaminacin qumica se debe a elementos disueltos, metales, cidos, detergentes, fertilizantes, insecticidas, plaguicidas, debido principalmente a actividades industriales, agrcolas y urbanas. La contaminacin agrcola se debe a la agricultura, prcticas que pueden alterar el equilibrio de las cuencas, afectando el suelo, el agua y la vegetacin. La mayor demanda por la agricultura ha llevado a reas, en las que sin un manejo adecuado, y pendientes muy pronunciadas, la lluvia arrastra la capa frtil de los suelos generando como resultado de ello, el aumento en la turbiedad del agua, el estancamiento de ros, por embaucamiento, y la prdida de los suelos. La necesidad de lograr mayor produccin en suelos cada vez ms explotados ha conducido a que la mayora de los agricultores utilicen masivamente fertilizantes, plaguicidas o insecticidas, los que son arrastrados por el agua, llegando as a los ros, lagos y acuferos.

La contaminacin biolgica se debe a microorganismos, como bacterias, virus, protozoos y parsitos, que producen enfermedades, (Ej: el tifus, la hepatitis o el clera).

En general, las aguas contaminadas son el resultado de una mezcla de diferentes tipos de contaminacin.

1.6 LA HIDROLOGIA EN CHILE

En Chile las aguas de los ros, esteros, lagos y otras fuentes naturales son bienes nacionales de uso pblico, es decir, son de toda la Nacin y su uso pertenece a todos sus habitantes, del mismo modo como sucede con las calles, plazas, puentes, etc. El significado de lo anterior, de acuerdo con la Direccin General de Aguas (DGA) del Ministerio de Obras Pblicas (MOP), organismo encargada de administra este recurso, significa que cuando ellas se encuentran en su fuente natural, por ejemplo, en ros o lagos, cualquier persona puede usarlas para baarse, pescar, nadar, apreciar su belleza escnica, practicar deportes, etc.



La situacin es diferente cuando se quiere utilizar las aguas en forma exclusiva, extrayndolas de su fuente natural. En este caso las aguas no se usan como bien nacional de uso pblico, sino como un bien necesario para alguna actividad de manera excluyente, por ejemplo, agua potable, riego o minera. En estos casos, los particulares deben obtener permiso de la autoridad pblica, denominado derecho de aprovechamiento de aguas. 1.6.1 Principales Usos del Agua en Chile

Existe poca informacin, sobre la utilizacin de los recursos hdricos chilenos. Los ms

completos son los realizados por la DGA y por la Comisin Nacional de Riego (CNR), de ellos puede inferirse que los principales usos del agua en Chile son: Consumo Urbano, Industrial y Minero, Regado y Generacin de Energa Elctrica. Consumo Urbano Es el ms importante, aun cuando su magnitud sea relativamente pequea. La demanda de agua potable es variable con el clima, los hbitos sociales, las necesidades de riego de jardines, la disponibilidad, etc. Segn la DGA, la disponibilidad de agua por habitante desde Santiago al Norte es inferior a 1.000 m3/hab/ao y en algunas regiones es inferior a 500 m3/hab/ao. Este hecho es altamente preocupante ya que, segn estndares internacionales, 1.000 m3/hab/ao es un umbral efectivo que limita el desarrollo. Tambin la misma fuente, indica que Chile es el pas de Amrica Latina que presenta el mayor ndice de uso de agua por habitante, con tasas del orden de los 15.000 lt/habitante/da, los que se distribuyen como sigue: 68% para generacin de energa, 27% para uso agrcola, 2% para uso industrial, 1,5% para uso minero y 1,5% para uso domstico. Estas demandas significan, una fuerte presin actual sobre los recursos hdricos del pas, especialmente los ubicados desde Santiago al norte, demanda que se incrementar en el futuro. El agua para consumo urbano es de alrededor de 1.200 millones de metros cbicos al ao, lo que equivale a un caudal continuo de 42,1 m3/s. Consumo Industrial y Minero El mayor porcentaje de agua industrial consumida se presenta en las grandes instalaciones de este rubro. Las mas demandantes son la industria de la celulosa y la metalrgica utilizando, cada una, alrededor del 30% del total. Le sigue la industria qumica con el 15% del total. El resto del consumo corresponde a las industrias textiles, de combustibles, de lubricantes y alimenticias. Se estima que el consumo anual de agua en industrias es del orden de 550 millones de metros cbicos al ao, concentrndose, la mayor parte de este total, en tres ciudades, Santiago (53%), Valparaso (18%) y Concepcin (14%). Este volumen representa un caudal continuo de 17,4 m3/s. En cuando a la minera, los principales consumidores son la produccin de cobre y de salitre. La produccin de una tonelada de cobre requiere el uso de 144 metros cbicos de agua, y para producir una tonelada de salitre se necesitan 7 metros cbicos de agua. En consecuencia, se puede estimar que la produccin anual de estos minerales, en la actualidad, requiere de 151 millones de metros cbicos de agua, lo que representa un caudal continuo de 4,7 metros cbicos por segundo.



Consumo para Regado El riego, es sin duda, el mayor consumidor de agua de Chile. Nuestro pas requiere de riego artificial, en mayor o menor grado, desde el Norte hasta aproximadamente la latitud de la ciudad de Temuco, ya que la precipitaciones son insuficientes para abastecer las necesidades de los cultivos. La CNR estima que en el pas hay del orden de 2,5 millones de hectreas econmicamente regables, de las cuales 1,2 millones se riegan en condiciones aceptables, 0,8 millones de hectreas no cuentan con riego y el resto se riegan en forma eventual. El abastecimiento de los cultivos es muy variables dependen, entre otros, del tipo de cultivo, de su grado de desarrollo y de condiciones climticas de lugar: Una gruesa estimacin supone que, en promedio, se requieren 10.000 m3/hectrea al ao de agua, lo que implica un consumo anual de 26.800 millones de m3, lo que a su vez representa un caudal continuo de 1.600 m3/s, durante los seis meses de riego del ao. Generacin de Energa Otro usuario importante de agua es la generacin de energa hidroelctrica. Sin embargo, este uso del agua tiene un carcter especial es no consuntivo ya que slo aprovecha su energa, entregando el recurso a otra altura y en otro lugar. Se calcula que se necesitan, en promedio, 5,66 m3 de agua para generar un KWH, con lo que se puede calcular que en la actualidad se emplean alrededor de 43.500 millones de m3 al ao en la generacin de hidroelectricidad. 1.6.2 Sequas y Crecidas

Fresca est aun en la memoria, los ltimos perodos de carencia de precipitaciones que sufri el pas. El ms grave entre 1997 y 1998 (comparable al perodo de mayor dficit registrado en la estadstica histrica de precipitaciones, ocurrido entre los aos 1968 y 1969), registra dficit de precipitaciones que fluctan entre el 78% y el 26%, siendo las regiones ms afectadas las Regiones IV, V, VI, VII y la Regin Metropolitana. Como el abastecimiento elctrico chileno se basa, actualmente en 43 centrales, de las cuales 14 son trmicas, con un aporte energtico del 15% de la demanda y 29 hidrulicas, con un aporte energtico del 85%, se produjo una fuerte estrechez del abastecimiento debindose recurrir al racionamiento elctrico.

1.6.3 Balance Global

Los recursos de agua disponibles en Chile son, en general, muy superiores a las necesidades. Los mayores problemas son de ubicacin y distribucin del recurso, ya que la disponibilidad no coincide con el lugar donde se necesita ni con el instante del tiempo en que se requiere. Existen, adems, muchos problemas puntuales de abastecimiento que son especialmente difciles de resolver. Entre ellos destacan, el abastecimiento de agua potable en algunas ciudades nortinas y del litoral central, y el regado del Norte Grande y Chico, aun cuando las extensiones a regar son reducidas.

APUNTES DE HIDROLOGIA ELEMENTOS DE HIDROLOGIA PROBABILISTICA

Autor: Prof. Luis E. Estell A. 2-1 Enero 2006

CAPITULO N 2 - ELEMENTOS DE HIDROLOGIA PROBABILSTICA 2.1 INTRODUCCION Una de las caractersticas principales de los fenmenos hidrolgicos es su constante evolucin, tanto en el espacio como en el tiempo. Por esta razn, la modelacin de su comportamiento en trminos cientfico-tcnico en la actualidad, slo es parcialmente predecible en forma determinstica, debiendo quedar una parte del fenmeno entregado a las leyes del azar. Un fenmeno de la naturaleza descrita se conoce como "proceso estocstico" y para su entendimiento debe manejarse con profundidad conceptos y mtodos de probabilidad y estadstica. Es posible distinguir dos ramas de la estadstica: la estadstica descriptiva y la estadstica matemtica. La primera se preocupa de clasificar y ordenar de la mejor forma posible la informacin disponible, mientras que la segunda busca mejorar la tendencia de estos datos mediante la comparacin del fenmeno analizado con modelos probabilsticos tericos. Ambas ramas citadas, son utilizadas por la hidrologa probabilstica. Este captulo es una apretada sntesis de la forma de manejar datos estadsticos tiles para la hidrologa, los fundamentos de la teora de probabilidades, lgebra de eventos, axiomas de probabilidad y la presentacin de algunos de los modelos probabilsticos ms empleados en los problemas hidrolgicos. Por las razones indicadas, se recomienda al alumno repasar textos ms completos y especficos sobre el tema. 2.1 Obtencin de Datos Hidrolgicos

Los datos hidrolgicos se obtienen, normalmente, de estaciones hidromtricas y/o meteorolgicas. En estas estaciones se suele controlar, durante un cierto perodo de tiempo, una serie de variables meteorolgicas como son: la temperatura, la insolacin y en especial, para los fines netamente hidrolgicos, la precipitacin y el caudal. En algunos casos las mediciones son hechas en forma continua y en otros a intervalos, regulares o no, de tiempo.

Se entiende por Red Hidrometeorolgica al sistema organizado de estaciones que

permite recolectar datos de precipitaciones y dems parmetros meteorolgicos para satisfacer las necesidades de informacin para la evaluacin y conservacin de los recursos hdricos y para el diseo y operacin de sistemas hidrulicos.

En Chile las estaciones hidromtricas y/o meteorolgicas, en general, estn controladas

por organismos estatales, entre los que se cuentan la Direccin Meteorolgica de Chile y la Direccin General de Aguas del Ministerio de Obras Pblicas. Sin embargo, en muchos casos, la informacin puede encontrase en organismos privados como empresas generadoras de energa elctrica, compaas mineras, etc.

De acuerdo a la Organizacin Meteorolgica Mundial (OMM), las estaciones

hidrometeorolgicas se clasifican como sigue:



- Estaciones Meteorolgicas de primer orden: Son las que cuentan con todos los tipos

de instrumental: Termmetro, psicrmetro, higrmetro, evapormetro, anemmetro, heligrafo, actingrafo, veletas, pluvimetro, pluvigrafo, etc. Estos instrumentos son leidos tres veces al da.

- Estaciones Meteorolgicas de segundo orden: Son las que cuentan con los

siguientes tipos de instrumental: Termmetro, psicrmetro, higrmetro, evapormetro, anemmetro, pluvimetro. En este tipo de estaciones se efecta al menos una lectura diaria.

- Estaciones Auxiliares: Son las que se leen cuando se produce un fenmeno de

inters.

- Estaciones para fines especiales: Son las estaciones a las que se le agrega algn instrumento para un fin especfico (Ej. Contaminacin).

- Estaciones automticas: Son las que no necesitan observadores. Los dados hidrolgicos, constituyen siempre una muestra de un registro mas completo

y exhaustivo de los mismos que constituye el universo o la poblacin. Lo anterior quiere decir que los ingenieros, al trabajar con datos observados de fenmenos hidrolgicos, tendremos siempre a nuestra disposicin slo una muestra de un universo, muchas veces desconocidos, que constituye la poblacin. Se concluye de esta observacin que ser de mucha importancia en miras a lograr resultados valederos, que la muestra analizada sea representativa de la poblacin, lo que exige en general requerimientos tanto de cobertura espacial y temporal. 2.2 Presentacin de Datos Hidrolgicos Los datos hidrolgicos se suelen presentar en forma de tablas y de grficos. Los primeros permiten observar dato a dato el registro medido (Tabla N2.1), pero muchas veces, la gran cantidad de informacin disponible no permite caracterizar la muestra y se pierde claridad. Para evitar lo anterior es posible recurrir a los grficos, figura donde se representa un o varias propiedades de la muestra, o bien en forma ms resumida an, mediante el uso de indicadores de valores caractersticos, llamados estadgrafos. Un estadgrafo (Tabla N2.2) es sencillamente un parmetro construido a partir de los datos de la muestra. En general los estadgrafos se deducen de las distribuciones probabilsticas y se profundizar en ellos ms adelante. Las representaciones grficas ms corrientes son: la frecuencia absoluta o relativa, llamado tambin histograma (Figura N2.1) y la frecuencia acumulada (Figura N2.2). La primera permite observar mediante un diagrama de barras, la forma como se distribuyen (agrupan), en los distintos intervalos o rangos en que se ha dividido el recorrido de la variable, llamado intervalo de clase, los datos de la muestra y la segunda, mediante un proceso simple de acumulacin, permite obtener una curva creciente de valores. Estos grficos sern analizados ms afondo en acpites posteriores.



Ao Pp (Max-24) Ao Pp (Max-24)(mm) (mm)

1929 55 1956 441930 61 1957 591931 46 1958 461932 52 1959 461933 26 1960 391934 73 1961 211935 45 1962 601936 33 1963 591937 37 1964 341938 36 1965 511939 44 1966 461940 56 1967 291941 66 1968 181942 46 1969 271943 25 1970 521944 51 1971 691945 53 1972 581946 29 1973 271947 39 1974 571948 49 1975 311949 55 1976 261950 62 1977 331951 34 1978 521952 43 1979 631953 76 1980 311954 41 1981 861955 21 1982 61

Precipitacin Mxima en 24 horas para ColinaTabla N 2.1

Estadgrafo ValorMedia (mm) 45,91Error tpico (%) 2,08Mediana (mm) 46Moda (mm) 46Desviacin estndar (mm) 15,2974Varianza de la muestra 234,0101Curtosis -0,3495Coeficiente de asimetra 0,2451Rango (mm) 68Mnimo (mm) 18Mximo (mm) 86Suma (mm) 2479Cuenta 54

Tabla N 2.2



Frecuencia AcumuladaPrecipitaciones Mximas en 24 horas en Colina

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100

Precipitacin Mxima en 24 horas (mm)

HistogramaPrecipitaciones Mximas en 24 horas en Colina

0

2

4

6

8

10

12

14

16

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

Precipitaciones Maximas en 24 horas (mm)

Fre

cuen

cia

Frecuencia

Figura N 2.1 - Histograma

Figura N 2.2 Frecuencia Acumulada



2.2 FENOMENOS ALEATORIOS Los denominados "fenmenos aleatorios" son tratados por la disciplina tcnica denominada "Estadstica". Su fundamento matemtico es el denominado "Clculo de Probabilidades". Las caractersticas de un fenmeno aleatorio se pueden resumir como sigue: Caractersticas de los Fenmenos Aleatorios: - Pudiendo repetirse indefinidamente en condiciones anlogas, pueden presentar

resultados distintos en cada experiencia particular (no hay regularidad determinstica, sino regularidad estadstica).

- No se puede predecir el resultado de cada experiencia particular, ya que una

pequea variacin de las condiciones iniciales da lugar a resultados totalmente distintos.

- Se cumple la Ley del Azar. Esto quiere decir que el cuociente entre los resultados

favorables respecto del numero total de casos n'/n (frecuencia relativa) tiende a estabilizarse cuando

2.2.1 Algebra de Sucesos Se define como "suceso" a la ocurrencia de un hecho, natural o experimental (las lluvias en una determinada regin, el lanzamiento de un dado, etc.). En l puede distinguirse distintas propiedades que suelen recibir el nombre de "carcter" (ejemplo intensidades mximas, cantidades totales, etc.). Un caso particular de la serie de observaciones se llama "individuo". Se denomina "espacio muestral" al listado ms detallado que es posible confeccionar de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio definido por eventos o sucesos exclusivos y colectivamente exhaustivos. Espacio Muestral = E = Conjunto Universo E = [Descripciones de todo los resultados posibles] Sub-conjunto: A = [Suceso aleatorio] En particular Suceso Unico A1 = [Resultado nico] Para manejar en forma precisa los fenmenos aleatorios se emplea el lgebra de sucesos o de eventos. Algunas de sus propiedades son: - Unin de sucesos (suma): - Interseccin de sucesos (producto):

n

B siA SiB A = S

B y si A SiB A = P



- Suceso cierto: (E) - Suceso contrario de A = Ac - Suceso imposible : 0 = Ec

- Suceso incompatible: Dos sucesos A y B son incompatibles si:

= B A Propiedades del lgebra de sucesos: - Ley Conmutativa : A B= B A ; A B= B A - Ley Asociativa : CB)(A = C)(BA ; CB)(A = C)(BA - Ley Distributiva : C) (A B) (A = C) (B A - Ley Idempotencia: A = A A A = A A Otras propiedades:

A = A A = Acc ;

BCAC = BA C ;BC AC =BA C IUU )()(



2.2.2 Definicin de Probabilidad. Axiomas Se entiende por Probabilidad la medida que representa la posibilidad que el evento ocurra. Definicin : Definido un evento aleatorio A, se llama probabilidad P(A), al nmero que

satisfaga los siguientes axiomas: Axioma 1 : A sucesotodo Para 0 P(A) Axioma 2 : cierto sucesoel Para 1 = P(E) Axioma 3 : 2.2.3 Otras Propiedades - Postulado de Indiferencia: Si "n" sucesos son incompatibles entre s y no existe ninguna razn para favorecer la

presentacin de uno respecto de los otros, se debe admitir que todos tienen la misma probabilidad.

- Regla de Laplace: Si un suceso B se presenta cuando tiene lugar "h" casos favorables A1, A2,.....Ah

incompatibles y equiprobables entre "n" casos posibles A1, A2......, An, tambin incompatibles y equiprobables, la probabilidad del suceso B ser:

nh

= Totales Casos de N

s FavorableCasos de N = P(B)

- Probabilidad condicional: Dados dos sucesos A y B, se llama probabilidad del suceso B condicionado por el

suceso A:

)(

)(AP

BAPP(B/A)

=

= B) (A lesincompatib sonBy ASi P(B) + P(A) = B) P(A



- Sucesos dependientes e independientes: Un suceso A se dice que es independiente de otro B cuando: P(A/B) = P(A) Si no se verifica lo anterior, se llama dependiente. Propiedades de los sucesos independientes: 1.- Si A es independiente de B, entonces B es independiente de A. 2.- Si A es independiente de B, se verifica que:

P(B) x P(A) = B) P(A

3.- Si A y B son incompatibles y P(A) 0 y P(B) 0, entonces los sucesos A y B son dependientes:

- Pruebas compuestas: Es una sucesin de dos o ms pruebas simples: Ej. : Primera prueba: A1, A2...,An Segunda prueba: B1, B2...,Bn - Teorema de Bayes: Este teorema es til para encontrar la probabilidad de un suceso compuesto cuando se

sabe que a ocurrido una cierta condicin (Ejm. P(A i / B)). El teorema de Bayes puede ser descrito como sigue: Si existe un conjunto de n eventos, mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos A1, A2...,An, con probabilidades conocidas, en cuyo universo se ha constatado las ocurrencia de un evento B, entonces la probabilidad de ocurrencia de un evento particular Ai, conocido el hecho que ocurri el evento B queda determinada por:

====

nj jj

iiiiii

ABPAPABPAP

BPABPAP

BPBAPBAP

1 )/()()/()(

)()/()(

)()(

)/(I

A1 A3 A4

Ai

B

A2



2.3 OBSERVACIONES REPETIDAS 2.3.1 Observaciones con Reemplazamiento Se llama as, al experimento aleatorio cuyo espacio muestral vuelve a su condicin inicial antes de suceder el siguiente evento. Si se define como: p : Probabilidad de ocurrencia de A: P(A) q : 1 - p : Probabilidad de no ocurrencia de A P(Ac) se tendr que para un suceso de "n" observaciones, en el que se verifican k sucesos A y n-k sucesos AC, acontecidos considerando un orden prefijado, la siguiente relacin: k n-k k n-k P1()= P( A, A, A,.., A, A

c, Ac, Ac, Ac,., Ac) = p x p x...xp x q x q x...xq = pk x qn-k En el caso de no tener en cuenta el orden, se debe considerar todas las combinaciones posibles, lo que resulta:

2.3.2 Observaciones sin Reemplazamiento Se llama observacin sin reemplazamiento, a aquella que se presenta cuando despus de acontecido un suceso, el espacio muestral no vuelve al estado inicial. En este caso si se requiere evaluar la probabilidad de obtener k aciertos de un numero total n de experiencias o ensayos, donde es posible encontrar N1 casos favorables y N2 casos desfavorables, de un total de N casos, tendremos, para un orden prefijado:

)))1((

))1(2(...

))1(()12(

)(2

()))1(()1(1(

....)2()21(

)1()11(1

()(1

=nN

knNxx

kNN

xkN

Nx

kNkN

xxNN

xNN

xNN

P

Luego, sin tomar en cuenta el orden:

)(

1

)(

)2

)(1

()(1

kn

x

nN

knN

kN

P

=

)(

))(()()(

21

nN

knN

kN

= P x k)! - (nk!

n! = P 1

q p k

n =q p x

k)! - (nk!n!

P x k)! - (nk!

n! = P k-nkk-nk

=)()( 1



2.4 VARIABLES ESTADSTICAS Y VARIABLES ALEATORIAS, DISCRETAS Y CONTINUAS

2.4.1 Variable Estadstica A la variable que representa un sub-conjunto de un experimento aleatorio (muestra aleatoria), se le conoce como variable estadstica. , Ej.: El resultados de "n" lanzamientos de un dado. El valor de la frecuencia de ocurrencia de la variable estadstica para cada caso particular se denomina frecuencia relativa, Ej.: Si se obtiene "h" resultados de aparicin del N4 en "n" lanzamientos de un dado, la frecuencia relativa ser F = h/n. Ejemplo: Si se lanza 40 veces un dado (n=40): Variable Estadstica

X =

1 2 3 4 5 6 TOTAL

N de Observaciones h 5 6 3 10 8 8 40

Frecuencia Relativa

F 5 40

6 40

3 40

10 40

8 40

8 40

1

2.4.2 Variable Aleatoria A la variable que representa todos los sucesos posibles de un experimento aleatorio (poblacin) se le llama variable aleatoria, Ej.: en el caso anterior la variable estadstica se transforma en variable aleatoria cuando "n" tiende a infinito. Es decir: Variable Estadstica Variable Aleatoria. Cuando n Frecuencia Relativa Probabilidad. Cuando n En el ejemplo anterior, si el numero de lanzamientos del dado tiende a infinito

( n ):

Variable Aleatoria

1 2 3 4 5 6

Probabilidad p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6



2.4.3 Variables Aleatorias Discretas y Continuas

Se dice que una variable aleatoria es discreta, (v.a.d.) cuando, para representar los sucesos posibles de una poblacin, requiere de un nmero finito o infinito numerable de valores. Ej.: En el lanzamiento de un dado, la variable aleatoria que representa los resultados posibles, slo requiere de 6 valores para representar a la poblacin.

En caso que una variable aleatoria requiera de un conjunto infinito no numerable de valores para representar a una poblacin, se dice que la variable aleatoria es continua (v.a.c.). 2.5 FUNCION DE PROBABILIDAD, DENSIDAD Y FUNCIN DE DISTRIBUCIN DE

UNA VARIABLE ALEATORIA. 2.5.1 Funcin de Probabilidad Las variables aleatorias se definen mediante una funcin que le asigna a cada valor, correspondiente a cada uno de los puntos de su espacio muestral, su probabilidad de alcanzarlo (funcin de probabilidad). Esta descripcin es posible slo para variables aleatorias discretas. 2.5.2 Funcin Densidad En el caso de variables continuas, no es posible definir la probabilidad de cada punto de su espacio muestral requirindose la definicin de un intervalo (x y x+dx) para evaluar la probabilidad, la que queda determinada por p(x)dx. A la funcin y=p(x) se le conoce como funcin de densidad. El concepto de funcin densidad puede ser extendido para las variables discretas. En resumen, se define por funcin densidad de una variable aleatoria a: - Para variables aleatorias discretas (funcin de probabilidad de masa):

x devalor otro para 0 = f(x)

x posible resultado el para p = )xf( iii

- Para variables aleatorias continuas (funcin densidad):

densidad funcin = f(x) 0 f(x) para

f(x)dx = dx) + x < Prob.(x

La integral que evala la probabilidad del intervalo, representa el rea bajo la curva. El clculo sobre el recorrido completo de la variable aleatoria debe entregar un rea unitaria.



imposible) (Suceso 0 = )- Prob( = )F(-

1 = f(x)dx -

cierto) (Suceso 1 = ) + Prob( = )F(+

2.5.3 Funcin de Distribucin de Probabilidades Se designa como funcin de distribucin de probabilidades o funcin de distribucin acumulada a la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor que un valor dado.

x) ( Prob. = F(x)

Para variables aleatorias discretas:

x x que tal para p = F(x) iii

Para variables aleatorias continuas:

f(x)dx xx

= )F(-

x =

0

0

En las funciones de distribucin, se cumple que: a b Para F(a)- F(b)= b) P(a De la relacin anterior, se concluye que F(x) es una funcin no decreciente. Adems, es posible constatar la validez de las siguientes relaciones: 2.5.4 Propiedades de las Funciones Densidad y Distribucin Una funcin densidad debe necesariamente cumplir con lo siguiente:

- Variable aleatoria discreta:

- Variable aleatoria continua:

b)x a que talx ( )xf( = F(a) - F(b) iii

1 = )xf( = P in

1=ii

n

1=1

f(x)dx = F(a) - F(b)b

a



2.6 OTRAS FUNCIONES DE INTERES 2.6.1 Valor Esperado Si x es una variable aleatoria, se define como su valor esperado, tambin denominado promedio o media aritmtica, a la siguiente relacin: Caso discreto:

Caso continuo:

El valor esperado es un parmetro simple que permite formarse una idea del orden de magnitud de la variable aleatoria. Es robusto, porque no varia muy significativamente de una muestra en otra. Es convergente, ya que al crecer el tamao de la muestra tiende al valor de la poblacin y es insesgado ya que el promedio de los valores esperado de las muestras es un buen estimador del valor esperado de la poblacin. Las principales deficiencias de este estadgrafo son: que no agrega informacin sobre sus lmites y/o variaciones y que muchas veces su magnitud no est presente en la muestra.

Se puede extender la definicin de valor esperado a una funcin. En efecto, si g(x) es una funcin de x (funcin de probabilidad), se tiene que g(x) es tambin una variable aleatoria, por lo que su valor esperado es: Caso discreto:

Caso continuo:

El valor esperado tiene las mismas unidades que la variable aleatoria. Por ejemplo si la variable aleatoria representa a las precipitaciones en mm, las unidades del valor medio de ellas sern tambin mm.

x = x p = E(x) iin

1

=

x = f(x)dx* = E(x) =

)xg( p =E[g(x)] iin

1

f(x)dx g(x) =E[g(x)] -



2.6.2 Varianza Se denomina varianza al promedio de la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de la muestra y su valor medio. Es decir, si x es una variable aleatoria, se define como su varianza a la siguiente relacin:

Caso discreto:

Caso continuo:

La varianza permite estimar la dispersin de valores en torno al valor medio. Se define como el promedio de los cuadrados de las diferencias entre los valores y el valor esperado. Es convergente pero sesgado ya que cuando el tamao de la muestra crece tiende a un valor inferior al de la varianza de la muestra, por esta razn las varianzas muestrales se acostumbra a calcularlas con n-1 valores en lugar de n. Tiene son unidades equivalentes al cuadrado de las unidades de la variable aleatoria, lo que puede resultar incomodo. 2.6.3 Desviacin Tpica Se llama as a la raz cuadrada de la varianza:

Las unidades de la desviacin tpica, al igual que las unidades del valor esperado son las mismas que las unidades de la variable aleatoria. 2.6.4 Coeficiente de Variacin Se llama as al estimador adimensional definido por:

x = CV(x)

]E(x)) - (xE[ = xVAR 22x=)(

(x)E - x p = ]E(x) - x[p = xVAR22ii

n

1

2ii

n

1

2x

= )(

f(x)dx ) - (x = xxVAR2

-

2

=)(

2xx xVAR = =)(



)xE( = kx

x p = ik

i

n

1k

f(x)dxxk- = x

x esperadoValoripin

1 = 1 =

xp = i2

i

n

12

| 1222x - =

12

22x

1

- =

= = E(x)

f(x)dx ) - (x = k

-k

) - x(P = k

ii

n

1k

[ ] kkxExE = )(

2.6.5 Momento Respecto del Origen Se llama as al valor esperado de la siguiente funcin: Variable Discreta: Variable Continua: Segn esto:

En general: 2.6.6 Momento Central Se denomina momento central de orden k: Variable discreta: Variable continua:



f(x)dx ...,+) + n!

tx + ..., + 3!

tx + + 2!

tx + 1!xt

+ (1 = f(x)dx e = (t)nn3322

-

xt

-

....

f(x)dx n!

tx +... + f(x)dx1!xt

+ f(x)dx = (t) nn

---

f(x)dx x = k k-

2.6.7 Funcin Generatriz de Momentos Se llama funcin generatriz de momentos respecto del origen, de la variable aleatoria , a la siguiente expresin:

Como se recordar, el valor esperado de una funcin es:

Pero: Recordando que: es el momento de orden k respecto del origen, resulta:

contnua ; f(x)dx g(x) =)] E[g(-

discreta ; )xg( p =)] E[g( iiN

=1i

funcin. una de matemticaesperanza la de especial casounEs = (t)

discreta ; p e = (t) itx

N

=1i

i

..., + n!t+ ... +

2!t +

1!t

+ 1 = (t) nn

2

2

1

parmetro = t );eE( = (t) t

contnua ; dxf(x)e = (t) xt?



Adems, de acuerdo a Mac Laurin, cualquier funcin puede ser escrita, en forma de una serie como sigue:

Tenemos que:

Con lo que se deduce que:

Del mismo modo, si se designa como funcin generatriz de momentos centrales a

Donde:

corresponde a momento central de orden k. Al igual que en el caso anterior, mediante el desarrollo en serie de Mac Laurin, se obtiene:

(0)f n!x ..., + (0)f"

2!x + (0)f

1!x

+ f(0) = f(x) n22

(0) n!t+ ... + (0)"

2!t + (0)

1!t

+ (0) = (t) nn2

[ ] )E( = = con e E = (t) 1)t-(-

(t)

dtd = (0) =

k

k

0 = t

kk

n!t + ... +

2!t +

1! t

+ 1 = n!

t ) -(x + ... + 2!

t ) -(x + 1!

)t -(x + 1 =(t)

nn

221

nn22

--

f(x)dx ) - (x = -

k

(0) = k-k

f(x)dx e =(t) t) -(x

--



La relacin entre la funcin generatriz de momento respecto del origen y la funcin generatriz de momento centrales, queda dada por lo siguiente:

Luego:

2.7 OTRAS DEFINICIONES Otros estadgrafos que permiten caracterizar las muestra hidrolgicas son el recorrido, la moda, la mediana, los coeficientes de asimetra que permiten anticipar el grado de desviacin, de la funcin densidad, respecto a la simetra y el coeficiente de kurtosis o aplastamiento que permite apreciar la concentracin o aplastamiento de los datos respecto de su moda. a) Se denomina recorrido, a la diferencia (x mx - x mn) que toma la variable

aleatoria. b) Se llama moda, al valor de la variable aleatoria que presenta un mximo relativo

de probabilidad. Luego:

c) Se denomina mediana, al valor de la variable aleatoria x', que presenta la misma

probabilidad de ser superada como de no ser superada (p=0,5).

0,5 )xF( xxP 0,5 )xF(xxP ==>== 1)'()'(

O bien:

0,5 = dx f(x) = dx f(x) x

x

-

1 + mm1 - mm p > p < p : simoda esx ,,

) E(e = (t) t

)eE( = (t) )t-(-

(t)e = (t)

(t)e = )eE( e = )e eE( )eE( = (t)

t-

t-tt- t-t)t-(



d) El coeficiente de asimetra absoluta, se define como:

donde : 3 = momento central de 3er orden

e) El coeficiente de asimetra relativa que se define como:

donde : 3 = momento central de 3er orden

x = desviacin tpica Este coeficiente se puede evaluar como:

( ) = xx inn n3

3 )2)(1(

n = N de datos de la muestra X = valore esperado de la muestra s x = Sx = desviacin tpica de la muestra f) El coeficiente de asimetra de Pearson: g) El coeficiente de Kurtosis o aplastamiento a: h) En oportunidades, cuando se trabaja con una serie de valores x,y, es necesario

utilizar la Covarianza, definida como:

33 =

x33

k = S

'=

xk

Moda- x = S

n

nyx ii

xy

= 1))((

3 - = 2

24



2.8 MODELOS PROBABILISTICOS (DISTRIBUCIONES CLSICAS)

En el diseo hidrulico es comn requerir informacin de eventos futuros (caudales, precipitaciones, etc.), que pueden interactuar con la obra y constituirse en su principal condicionante (la crecida de diseo). En este escenario, se requiere extender el conocimiento experimental de terreno, apoyado en tcnicas matemticas para reducir el riesgo involucrado en el proceso de decisin.

Considerando lo anterior, el objetivo ltimo de la Hidrologa Probabilistica es aplicar

la teora de probabilidades a los fenmenos hidrolgicos para que mediante su utilizacin, sea ms confiable extraer conclusiones futuras de eventos a veces espordicos y que en todo caso no pueden ser predichos, con seguridad, slo con la informacin disponible. Para lograr lo anterior, la hidrologa se apoya en modelos probabilsticos, que son modelos tericos, construidos bajo ciertas hiptesis y permiten determinar la extensin del espacio muestral de una variable aleatoria y sus probabilidades asociadas. Es necesario desde ya tener presente que este proceso plantea el problema de lograr concordancia entre el modelo probabilistico y los datos experimentales, cuya solucin involucra el uso de metodologas para su estimacin. A continuacin se presentar una apretada sntesis de los modelos probabilsticos de uso ms frecuente en hidrologa. 2.8.1. Distribucin de Bernouilli Esta distribucin se caracteriza porque la variable aleatoria presenta slo dos estados. Su ocurrencia o "xito" y su no ocurrencia o "fracaso". Un ejemplo de este modelo probabilistico es el lanzamiento de un dado. Si x = variable aleatoria: x = 1 (xito) x = 0 (fracaso) La funcin de probabilidad de la distribucin de Bernouilli es:

0 = x Si p-11 = x Si p

= Px(x) Se puede demostrar fcilmente que: E(x) = p y VAR(x) = p(1 - p) En efecto, por definicin



1* p + 0* p) - (1 = xp + xp = x p 1

0=i = E(x) 1100ii

Luego E(x) = p Para la varianza, es similar:

p) - p(1 = p) - 1 + p)(p - p(1 = )p - p(1 + p) - (1p =

=)p - p(1 + )p - p)(0 - (1 = )p - x(p + )p - x(p =

= ) - x(p = ) - x(E = VAR(x)

22

22211

200

2ii

1

=0i

2i

Luego VAR(x)= p(1-p) 2.8.2. Distribucin Binomial Tiene lugar cuando ocurren n ensayos independientes del tipo Bernouilli donde p = xito y q = fracaso. Si es una variable aleatoria que mide el nmero de xitos a obtener en n experiencias, su espacio muestral ser: = 0, 1, 2, 3,. . . . . . . . . . . , r, . . . . . . n pn= p0, p1, p2, . . . . . . . . . . ., pr, . . . . . , pn Cuando se cumple lo anterior, se dice que tiene una distribucin Binomial, dada por:

Como toda funcin densidad, debe cumplir:

Como ejercicio, para calcular el valor esperado y la varianza de este modelo

q p r

n = (r)p r-nr

1 = 1 = )q + (p = qp r

n

1 = (r) p

nnr-nrn

0=r

n

0=r



np = 1

=(o)'ep )q + en(p = (t)'

t1-nt

probabilstico, se obtendr la Funcin Generatriz de Momentos:

A partir de la Funcin Generatriz de Momentos se calcula la Esperanza Matemtica: En efecto, como: 1 = )E(

|)( = 01

Se tiene: Del mismo modo, la Varianza se obtiene de:

q P n = Pn - q] + nP[nP = )( VARq] + nP[nP =

q] + nP[nP = 1] + P - nP[nP = (0)"1] + P 1) - [(nP - 1 + nP(P =

= 1] + P 1) - 2[(n-q) + (PnP = (0)"

1] + P 1) - [(nq) + e (P e nP=

]e P n q) + e(P + e P q) + e (P1) - (n e P [n=

= dt

)eP d(n)q + e P + dt)q + e d(P e P n =

= ))q + e(Pe (nPdtd = (t)"

(0)" = np =

- = )VAR(

22

2

2-n

n

t 2-nt

tt 1-ntt 2-nt

t1-nt

2-ntt

1-ntt

2

1

12

2

)q + pe( = (t)

)q + e(p = q )e(p r

n =

= q p r

n e =

= (r)p e = p e = )t E(= (t)

nt

ntr-nrtn

0

r-nrrtn

0

r t

n

0i

xn

0

i te



Aplicacin de la Distribucin Binomial: Las obras de ingeniera se ven sometidas a lo largo de su vida til a sucesos de ocurrencia espordica (Ej.: crecidas de ros, terremotos, olas, vientos, etc.) que condicionan su permanencia en el tiempo. En este escenario, el proyectista debe decidir cules sern las solicitaciones que utilizar para el diseo de los elementos que la componen y como siempre existir la probabilidad de ocurrencia de un evento superior al elegido, deber evaluar el riesgo, asociado a esta decisin (riesgo del proyecto). Si suponemos, para efectuar este proceso de evaluacin, que: 1) Las ocurrencias de los sucesos espordicos son independientes entre s (la

ocurrencia de uno no modifica la probabilidad de ocurrencia de los dems); 2) La probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos permanece constante en el

tiempo. La variable aleatoria que representa un fenmeno de estas caractersticas sigue una

distribucin Binomial. En hidrologa se recurre a esta metodologa para evaluar el riesgo de eventos extremos como las crecidas de un ro. Para ello, sea la variable aleatoria que mide el nmero de xitos a obtener (ocurrencia de la crecida) en n ensayos de tipo Bernouilli (aos involucrados). Para analizar el riesgo de ocurrencia de una crecida mxima anual superior a la de proyecto, deber medir el nmero de crecidas mayores que un cierto valor crtico (Ej. 1.000 m3/s) en n aos (Ej. La vida til del proyecto). Si se designa por p a la probabilidad de obtener un xito es decir que ocurra el evento, (En el ejemplo que ocurra un caudal mayor que 1.000 m3/s), la probabilidad de obtener r xitos en n experiencias modelado mediante una distribucin Binomial es: n p (r) = ( ) pr q n-r r Para evaluar la condicin de ocurrencia de este fenmeno, basta con la presencia de al menos uno de ellos (la aparicin de una crecida mayor que el valor definido para el diseo somete a la obra a una condicin de riesgo). Luego para que se cumpla la condicin de ocurrencia impuesta al evento aleatorio de las crecidas, r debe ser mayor o al menos igual a 1 (ocurrencia). Es decir debe presentarse al menos una vez el fenmeno. Luego: p( r 1) = 1 - p( r 1) = 1 - p ( r = 0) (ya que es una distribucin discreta)



Pero : n p( r = 0 ) = ( ) p0 q n = ( 1 - p )n o Luego: p( r 1) = 1 - ( 1 - p )n Si la probabilidad de obtener el valor crtico es 0,02 y la vida til de la estructura es de n=30 aos, el riesgo asumido se puede calcular mediante la expresin anterior: R = p( r 1) = 1 - ( 1 - p )n = 1 - ( 1 0,02 )30 = 0,45 Luego, el riesgo de que el caudal de diseo (p=0,02) sea superado durante la vida til de la obra (30 aos) es de un 45%. 2.8.3. Distribucin de Poisson Si en una distribucin Binomial, n tiende a y p tiende a 0, cumplindose adems que np tienda a un valor pequeo llamado , sta se transforma en una distribucin de Poisson, con la siguiente expresin para la probabilidad de masa:

Su valor esperado es y su varianza tambin es . Esta distribucin es til para describir situaciones en las que interesa representar la "llegada" de eventos aleatorios a lo largo del tiempo. Ejemplo, el nmero de automviles que llegan a un estacionamiento o estacin de servicio, el nmero de accidentes de trfico en un ao, etc. 2.8.4. Distribucin Uniforme Es la distribucin continua ms simple de construir. Su funcin de densidad se define en el intervalo (a, b), de la siguiente manera:

caso otro en 0

b



2.8.5. Distribucin Normal La distribucin Normal, tambin conocida como Ley de Gauss, es una de las distribuciones de mayor uso en anlisis estadsticos. Presenta una forma simtrica, respecto del valor medio, y aspecto acampanado. Su gnesis surge del "Teorema del Lmite Central", teorema que expresa que la distribucin de la suma de n variables Y= x de una serie de datos aleatorios xi independientes e idnticamente distribuidos, con media y varianza 2, tiende a una distribucin Normal con media n y varianza n2. Tambin es posible obtener la distribucin Normal, a partir de la distribucin Binomial. En este caso, se demostr que su valor esperado es = np y su desviacin tpica es = (npq)1/2. Luego si se realiza un cambio de variable, restando el valor esperado y dividiendo por la desviacin tpica (proceso de estandarizacin), se obtiene lo siguiente: n = (yn-)/ = (yn-np)/(npq)1/2; en el lmite cuando n n N[0,1] La funcin densidad de esta distribucin es: Est definida para -< x < y su valor esperado es y varianza 2 y que son adems, los parmetros de la distribucin segn se observa en la Figura N 2.3. Esta funcin no es integrable directamente, por lo cual, para evaluar la Funcin de Distribucin Estandarizada o Normalizada, se utilizan tablas y/o frmulas aproximadas. El proceso de Normalizacin, consiste en reemplazar la variable original por una nueva variable tipificada (z) obtenida al restarle su promedio y dividirla por su desviacin tpica. De este modo la nueva Funcin de Distribucin queda:

e21 = f(x) )

-x(21- 2

-x = z

dzz21 = F(z) e

221

z

-



Figura N 2.3



Tabla N 2.3



Tabla N2.3 (Cont)



e y

21 = f(y) )y

y-(

21-

y

2

La Tabla N2.3, presenta los valores de la Funcin de Distribucin normalizada para casos comunes. Los valores de estas tablas pueden obtenerse, en forma aproximada, mediante el Polinmio de Abramowitz.

)|z| 0,019527+|z| 0,000344+|z| +0,115194|z| 0,196854+(121=B 4-432

donde |z| es el valor absoluto de z. F(z) = B para z



dxdyf(y)f(x) =

= ye2

1f(x)2

2y

2

)(y

yye

Var(Ln(x))

E(Ln(x))y

y =

=

Con:

Para su clculo, en la prctica se recurre indirectamente a su relacin con la

distribucin Normal. La Figura N2.4 presenta la forma de esta distribucin para algunos valores de sus parmetros.



Figura N2.4



2.8.7. Distribucin Exponencial

Esta distribucin surge de la necesidad de requerir el estudio de los tiempos de interarribo entre eventos y stos pueden ser considerados que se distribuyen de acuerdo a un proceso de Poisson. Bajo este esquema, s x es la variable aleatoria y si se designa a como la Tasa media de ocurrencia de los eventos observados, x se distribuir segn una distribucin Exponencial, es decir, x~ exp (). Su forma es:

Esta distribucin no es de uso frecuente en hidrologa y su clculo es posible efectuarlo por integracin directa. 2.8.8. Distribucin Gamma de 2 Parmetros

La distribucin Gamma surge tambin de un proceso de Poisson. En este caso se supone que si es una variable aleatoria, independiente y distribuida en forma exponencial, se rige por un proceso de Poisson representado por una distribucin Gamma. La distribucin Gamma, que puede ser de 1, 2 y 3 parmetros, se construye a partir de la funcin Gamma, de ah su nombre. Recordando la forma de la funcin Gamma:

dx1-mxx-e(m)0=

para todo m >o

La funcin Gamma tiene una serie de propiedades reconocidas, entre las que se cuenta las siguientes: 1(1) = ( ) !1)(m1)(m1m(m) ==

( ) ( )senp

p-1p = Para todo p tal que 0



0am, >

dx1-mxax-ea m(m)

0=

para

y con ella, finalmente, una con caractersticas de funcin densidad de probabilidades:

1-mxax-e(m)amf(x)= para 0< x <

los parmetros (dos) de la distribucin Gamma de 2 Parmetros m (de escala) y a(de forma), se obtiene de:

Valor esperado: am =

Varianza: 22

am =

Una forma cmoda de clculo de esta distribucin, son los grficos que evalan la funcin de distribucin de este modelo (F(u)). Para ello es necesario utilizar como variables auxiliares, el coeficiente de variacin (eje x) y una variable reducida, construida dividiendo la variable original por la desviacin estndar (parmetro).

Las figuras N2.5 presentan los grficos utilizados para el clculo de esta distribucin.

La Figura N2.6 presenta la forma de esta distribucin.

( )xuuF ==

m1CV =



Figura N2.5 Distribucin Gamma



Figura N2.5 Distribucin Gamma (Cont.)



-

Figura N2.5 Distribucin Gamma (Cont.)



Figura N2.5 - (Distribucin Gamma. Cont.)



2.8.9. Distribucin Pearson Tipo III (Gamma de tres parmetros)

Una variable aleatoria tiene una distribucin Pearson Tipo III, si su funcin densidad de probabilidades es:

Donde: ,, son los parmetros de la distribucin. )( , funcin gamma. Es un modelo probabilstico muy flexible, que se adapta bien a una variedad de formas

de distribucin de variables aleatorias, lo que la ha hecho muy usada en hidrologa.

2.8.10. Distribucin de Log-Pearson III

Una variable aleatoria tiene una distribucin Log-Pearson III, si su funcin densidad de probabilidades es:

)(

()(

)1)(

= ey yyf

Donde: xy log= Para el clculo de esta distribucin se debe calcular los logaritmos (base 10) de los datos registrados y determinar con ellos los siguientes parmetros:

nx

x = loglog ( )1loglog

2

log

=

n

xxS x

( ) ( ) = xxS xnnng log(log

3

3

log)2)(1(

( ) )(exp1)(1)(

=

xxxf



Donde:

xlog = Promedio de los logaritmos S xlog = Desviacin estndar de los logaritmos g = Coeficiente de asimetra de los logaritmos n = Nmero de datos de la muestra Calculados estos parmetros, las crecidas asociadas a distintos perodos de retorno se obtienen de: S xKxQ logloglog += Donde: K = Factor de frecuencia dado por la Tabla N2.4



)(xe)(x eef(x) =

1.0101 1.2500 2 5 10 25 50 100

99 80 50 20 10 4 2 13.0 -0.667 -0.636 -0.396 0.420 1.180 2.278 3.152 4.0512.8 -0.714 -0.666 -0.384 0.460 1.210 2.275 3.114 3.9732.6 -0.769 -0.696 -0.368 0.499 1.238 2.267 3.071 3.8892.4 -0.832 -0.725 -0.351 0.537 1.262 2.256 3.023 3.8002.2 -0.905 -0.752 -0.330 0.574 1.284 2.240 2.970 3.7052.0 -0.990 -0.777 -0.307 0.609 1.302 2.219 2.912 3.6051.8 -1.087 -0.799 -0.282 0.643 1.318 2.193 2.848 3.4991.6 -1.197 -0.817 -0.254 0.675 1.329 2.163 2.780 3.3881.4 -1.318 -0.832 -0.225 0.705 1.337 2.128 2.706 3.2711.2 -1.449 -0.844 -0.195 0.732 1.340 2.087 2.626 3.1491.0 -1.588 -0.852 -0.164 0.758 1.340 2.043 2.542 3.0220.8 -1.733 -0.856 -0.132 0.780 1.336 1.993 2.453 2.8910.6 -1.880 -0.857 -0.099 0.800 1.328 1.939 2.359 2.7550.4 -2.029 -0.855 -0.066 0.816 1.317 1.880 2.261 2.6150.2 -2.178 -0.850 -0.033 0.830 1.301 1.818 2.159 2.4720.0 -2.326 -0.842 0.000 0.842 1.282 1.751 2.054 2.326-0.2 -2.472 -0.830 0.033 0.850 1.258 1.680 1.945 2.178-0.4 -2.615 -0.816 0.066 0.855 1.231 1.606 1.834 2.029-0.6 -2.755 -0.800 0.099 0.857 1.200 1.528 1.720 1.880-0.8 -2.891 -0.780 0.132 0.856 1.166 1.448 1.606 1.733-1.0 -3.022 -0.758 0.164 0.852 1.128 1.366 1.492 1.588-1.2 -3.149 -0.732 0.195 0.844 1.086 1.282 1.379 1.499-1.4 -3.271 -0.705 0.225 0.832 1.041 1.198 1.270 1.318-1.6 -3.388 -0.675 0.254 0.817 0.944 1.116 1.116 1.197-1.8 -3.499 -0.643 0.282 0.799 0.945 1.035 1.069 1.087-2.0 -3.605 -0.609 0.307 0.777 0.895 0.959 0.980 0.990-2.2 -3.705 -0.574 0.330 0.752 0.844 0.888 0.900 0.905-2.4 -3.800 -0.537 0.351 0.725 0.795 0.823 0.830 0.832-2.6 -3.889 -0.499 0.368 0.696 0.747 0.764 0.768 0.769-2.8 -3.973 -0.460 0.384 0.666 0.702 0.712 0.714 0.714-3.0 -4.051 -0.420 0.396 0.636 0.666 0.666 0.666 0.667

Coeficiente de Asimetria

g

Periodo de Retorno (Aos)

Probabilidad de Excedencia (%)

Tabla N2.4VALORES DE K PARA LA DISTRIBUCION PEARSON III Y LOG-PEARSON III

2.8.11. Distribucin de Valores Extremos Tipo I (VEI - Gumbel)

En hidrologa, es comn la necesidad de anlisis de valores mximos o mnimos de un conjunto de datos (estudio de crecidas, de sequas, etc.). Para evaluar la distribucin de estos valores y sus probabilidades asociadas, cuando ellos crecen en forma asinttica al crecer la muestra indefinidamente, se utiliza la distribucin de Valores Extremos Tipo I (VEI) o distribucin de Gumbel. Esta distribucin es de tipo exponencial y la forma de su funcin densidad es:

con x



e )(xeF(x)

=

donde y son sus parmetros. En este modelo probabilstico, la funcin densidad no es utilizada frecuentemente, s su funcin de distribucin: Para valores poblacionales la estimacin de los parmetros, y , se efecta recurrerriendo a las siguientes relaciones:

De donde se obtiene:

El ingeniero trabaja normalmente con muestras finitas. En este caso para estimar los parmetros, Gumbel recomienda utilizar los valores resultantes de minimizar el error de la recta de ajuste de sus valores, proceso que entrega las siguientes relaciones, para los valores muestrales en funcin del tamao de la misma:

Donde: yn= Valor esperado de la variable reducida

Sn= Desviacin estandar de la variable reducida

0,5772 +=

1,281

6 ==

0,450=

1,281 =

n

nxSySx

=

x

n

SS

=



( )x kcF(x) =

Los valores de yn y de Sn se pueden obtener de las siguientes relaciones o de la Tabla N2.4.

Donde: m = Nmero de orden de la variable

n = Tamao de la muestra

Tabla N2.5 Gumbel, Valor Esperado y Desviacin Tpica Variable Reducida n yn Sn n yn Sn 15 0,51 1,02 70 0,55 1,19 20 0,52 1,06 80 0,56 1,19 30 0,54 1,11 90 0,56 1,20 40 0,54 1,14 100 0,56 1,21 50 0,55 1,16 150 0,56 1,23 60 0,55 1,17 200 0,57 1,24 0,57 1,28

2.8.12. Distribucin de Valores Extremos Tipo III (VEIII)

La distribucin de Valores Extremos Tipo III (VEIII) es utilizada para estimar tendencias asintticas a los valores lmites inferiores (mnimos) de una serie de dato (distribuciones limitas en su extremo inferior).

Este modelo probabilstico surge de considerar que los valores de la funcin de

distribucin de x (valores que tienden a un mnimo) estn dados por:

con x c

++

=1nm1nlnlnyn

=n

1mn y

n1y

( )2

yy 2

S

n

1mn

n

=



Para evaluar la probabilidad de encontrar el menor valor de los x, que llamaremos z, y si se considera que stos son independientes e idnticamente distribuidos, es posible determinara que su funcin de distribucin estar dada, dependiendo de sus parmetros y , por:

con x c

Del mismos modo, su funcin densidad de probabilidades ser:

Para estimar los parmetros de la distribucin, se recurre a las siguientes expresiones para el valor esperado y a varianza:

Una forma de facilitar los clculos, consiste en recurrir a la relacin existente entre la

distribucin de VEI y la VEIII. En efecto, es sabido que si la variable z se distribuye segn una VEI, entonces la varaible y=ln(z-) se dsitribuye segun una VEIII, con parmetros:

' = ln(-) y a= k

2.8.13. Distribucin Chi-cuadrado Una variable aleatoria tiene una distribucin Chi-cuadrado, de grados de libertad, si su funcin densidad de probabilidades es: con 2 0 Esta distribucin surge de considerar una muestra de n variables aleatorias x1, x2, x3,

= kzxFexp1)(

( ) ( )

=

z kz kkxf exp

1)(

+

+=

kkz1121)( 22

( )

++=

kz 11

)2

2exp(2

)2(

1)2( )(2

22

2

=

f



........, xn, independientes y normalmente distribuidas, cada una con valor esperado cero y desviacin tpica 1, estandarizada, entonces su suma de sus cuadrados tiene una distribucin Chi-cuadrada de n grados de libertad.

2 = x12+ x2 2+ x32+ ........+ xn2

El valor esperado de esta distribucin es n y su varianza en 2n. La Figura N2.7, muestra la forma de esta distribucin. Del mismo modo la Tabla N2.5 presenta los valores de su funcin de distribucin.

Figura N2.7



Tabla N 2.6



2.9 MODELO Y DATOS OBSERVADOS

Dado el diferente comportamiento que presentan de las poblaciones objeto de estudio hidrolgico, (caudales, precipitaciones, temperaturas, etc.), cuyo conocimiento se encuentra limitado en trminos de cobertura espacial y temporal (capacidad de medicin limitada), a la informacin que proporciona una muestra de sus individuos, nace la natural pregunta sobre la real consistencia entre el modelo elegido y la poblacin que deseamos representar con l.

An ms, en el mejor de los casos si furamos capaces de anticipar el

comportamiento de una variable aleatoria, a travs del conocimiento fsico del problema que la controla, dada su naturaleza, podramos dudar, en determinadas situaciones, de su aplicacin.

Por lo anterior, se requiere de instrumentos objetivos que nos permita despejar la gran

interrogante presente en la Hidrologa Probabilstica Es el modelo consistente con la realidad?.

Lo anterior obliga a la preocupacin de tres aspectos bsicos: a) La adecuada seleccin del modelo probabilstico para representar la poblacin

requerida. b) La mejor estimacin de los parmetros poblacionales a partir de los datos

muestrales.

c) La estimacin de los intervalos de confianza para el recorrido de la variable aleatoria utilizada.

2.9.1. Criterios Generales para la Eleccin de un Modelo Probabilstico.

Como se mencion en el Captulo N1, para tratar problemas hidrolgicos el ingeniero debe recurrir a modelos determinsticos y modelo probabilsticos o estocsticos. Un modelo probabilstico busca representar el comportamiento poblacional de una variable aleatoria. Del xito de este proceso depender que la extrapolacin de sus resultados, en trminos probabilsticos, sean acertadas o errneas.

Para poder comprobar la adecuada representatividad del cualquier modelo se

requieren datos, es decir medidas de la variable que representa. De este modo ser posible comparar las predicciones del modelo con las observaciones de la realidad. De aqu nace la importancia de las mediciones hidrolgicas y meteorolgicas ya que mientras mayor sea nuestro conocimiento de las variaciones propias de la variable aleatoria, mayor seguridad se tendr de la aplicabilidad del modelo probabilstico elegido para representarla. De todas maneras, en este proceso de seleccin, ser necesario siempre utilizar todo el conocimiento que se tenga sobre la naturaleza de la variable aleatoria (limitaciones de valores, valores positivos, o negativos, etc.).



Si un modelo fuese determinstico y s el proceso de observaciones se encontrara libre de errores, la concordancia entre los valores observados y los valores predichos por el modelo nos permitira emitir un juicio de validez concluyente. En el caso de un modelo probabilstico no ocurre lo mismo ya que debido a la naturaleza aleatoria de la variable que busca representar, puede darse el caso de que la repeticin de un ensayo entregue resultados totalmente distintos al esperado, en hiptesis correcta (correcta seleccin del modelo probabilstico). Es decir, no es de extraar que no exista una correspondencia completa entre el modelo y los datos observados, an encontrndonos bajo una hiptesis correcta, lo que complica la seleccin del modelo adecuado.

Estadsticamente, lo anterior significa que al elegir un modelo estamos formulando una

hiptesis de validez. Por lo tanto cuando al compararlo con los resultados de una muestra elegida al azar, difiere significativamente de lo que cabria esperar, se estara en condiciones de rechazarla o de no aceptarla la hiptesis.

Como se ha dicho, en el proceso de seleccin de un modelo probabilstico siempre

cabe la posibilidad de presenciar discrepancias, an cuando utilicemos un modelo correcto, se requiere definir el tamao mximo de la misma, de manera que ella sea aceptable. Se encuentra implcito en la aceptacin del criterio anterior que la presencia de un riesgo calculado en el proceso de rechazar un modelo correcto.

Cuando se rechaza un modelo en hiptesis correcta (se rechaza una hiptesis que

debera ser aceptada), en estadstica se dice que se cometi un error Tipo I. Si por el contrario se acepta un modelo en hiptesis falsa (se acepta una hiptesis que debera ser rechazada), se dice que se cometi un error Tipo II. Es evidente que ser necesario tender a minimizar ambos tipos de errores, sin embargo esto no es siempre posible y hay que tener presente que al minimizar un tipo de error, normalmente aumenta el otro tipo de error asociado, es decir si minimizamos el error Tipo I, llevando el nivel de significancia a valores muy pequeos, existe una mayor probabilidad de que crezca el error Tipo II, es decir, aumenta la probabilidad de aceptar una hiptesis que debera haber sido rechazada. Se denomina nivel de significancia de un test de hiptesis, a la probabilidad mxima de que en l se pueda cometer un error Tipo I.

En general, en estadstica se utiliza el siguiente procedimiento para acepta o rechazar

un modelo probabilstico: Dado un nivel de significancia, se aceptar la hiptesis cuando la discrepancia entre el modelo y los datos observados (medida a travs de criterios llamados Test de Bondad de Ajuste), es menor que este nivel. Es decir un modelo probabilstico se acepta cuando la discrepancia calculada es menor que la probabilidad de cometer un error Tipo I.

2.9.2. Mtodos para la Seleccin de Modelos Probabilsticos

Los mtodos para la seleccin o eleccin de un modelo probabailstico, se utilizan procedimientos cualitativos y cuantitativos. En orden de complejidad y seguridad son:



a) Cualitativos :

- Conocimientos del fenmeno fsico - Rango mximo de variedades - Simetra o asimetra de formas - Facilidad de tratamiento matemtico

b) Cuantitativos

- Indicadores de forma - Comparar, grficamente los valores observados con los valores del

modelo - Calcular, a travs de un Test de Bondad de Ajuste, la discrepancia

entre los valores observados y el modelo.

2.9.2.1 Mtodos Cualitativo

Estos mtodos, evidentemente, son aplicados basados en la experiencia y criterio del analizador. Como ejemplo de estas acciones se puede indicar la presencia o ausencia de valores negativos en la muestra, su forma simtrica o asimtrica, la facilidad de tratamiento matemtico posterior, etc.

2.9.2.2 Mtodos Cuantitativos A diferencia de los mtodos anteriores, estos mtodos pretenden eliminar parte de la

subjetividad involucrada en la eleccin de un modelo probabilstico inherente a un proceso cualitativo. A continuacin se describen resumidamente estos mtodos. a) Indicadores de forma

Los indicadores de forma ms comunes son:

- Parmetros de Posicin o Tendencia Central (ubicacin del valor medio)

- Parmetros de dispersin o variavilidad (extensin del valor respecto al valor medio)

- Parmetros de desviacin respecto a la simetra

- Parmetro de Posicin

i) Esperanza Matemtica:

==u

1

ii xf(x)dxpxE(x)

ii) Media Geometra: nnn

n2

n1G

i

i

21 x..xxx K=

in

1nn =



iii) Mediana: 0,5xdf(x)xdf(x)Mx'

x'

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Apuntes Hidrologia