Apuntes Mecanica de Medios Continuos

7/30/2019 Apuntes Mecanica de Medios Continuos

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Mecanica del MedioApuntes

Curso Codigo 408.701Primer Semestre 2013

Raimund B urgerCentro de Investigación en Ingenierıa Matemática (CI 2MA)

& Departamento de Ingenierıa Matem´ aticaFacultad de Ciencias Fısicas y Matem´ aticas

Universidad de Concepci onCasilla 160-C

Concepcion, Chile

2 de marzo de 2013





Indice general

Bibliografıa 9

Capıtulo 1. Algebra y cálculo de tensores 111.1. Algebra tensorial 111.1.1. Vectores 111.1.1.1. Algebra vectorial 111.1.1.2. Productos escalares y vectoriales 121.1.1.3. Proyecciones, bases y marcos de coordenadas 121.1.2. Notacion indicial 131.1.2.1. Convenio de sumacion 131.1.2.2. El delta de Kronecker y los sımbolos de permutación 141.1.2.3. Identidades de marco 151.1.2.4. Operaciones vectoriales en componentes 151.1.2.5. Identidades epsilon-delta 161.1.3. Tensores de segundo orden 171.1.3.1. Denicion de un tensor de segundo orden 171.1.3.2. Algebra de tensores de segundo orden 171.1.3.3. Representaci on en un marco de coordenadas 171.1.3.4. Productos di adicos de segundo orden y bases 181.1.3.5. Algebra de tensores de segundo orden en componentes 181.1.3.6. Tensores especiales 191.1.3.7. Cambio de base 201.1.3.8. Trazas, determinantes y exponenciales 211.1.3.9. Valores propios, vectores propios e invariantes principales 231.1.3.10. Descomposiciones especiales 241.1.3.11. Producto escalar de tensores de segundo orden 251.1.4. Tensores de cuarto orden 251.1.4.1. Denicion de un tensor de cuarto orden 261.1.4.2. Algebra de tensores de cuarto orden 261.1.4.3. Representaci on en un marco de coordenadas 261.1.4.4. Productos di adicos de cuarto orden y bases 271.1.4.5. Propiedades de simetrıa 271.1.5. Funciones tensoriales isotrópicas 271.2. Calculo tensorial 291.2.1. Preliminares 291.2.1.1. Puntos, tensores y representaciones 29

3



4 Indice general

1.2.1.2. Normas estandar y sımbolos de orden 291.2.2. Diferenciacion de campos tensoriales 301.2.2.1. Derivadas y gradientes 301.2.2.2. Divergencia 331.2.2.3. El rotacional de un campo vectorial 341.2.2.4. El Laplaciano 351.2.3. Teoremas integrales 351.2.3.1. Teorema de Divergencia 351.2.3.2. El Teorema de Stokes 371.2.3.3. Teorema de Localizacion 381.2.4. Funciones de tensores de segundo orden 381.2.4.1. Funciones escalares de tensores de segundo orden 381.2.4.2. Funciones tensoriales 411.3. Ejercicios 42

Capıtulo 2. Conceptos de masa y fuerza del continuo 452.1. Cuerpos continuos 452.2. Masa 462.2.1. Densidad de masa 462.2.2. Centro de masa 462.3. Fuerza 462.3.1. Fuerza de cuerpo 472.3.2. Fuerza de supercie 472.3.2.1. Concepto de un campo de tracción 482.3.2.2. Postulado de Cauchy, Ley de Acci on y Reaccion 482.3.3. El tensor tensi on 50

2.4. Equilibrio 522.4.1. Preliminares 532.4.2. Condiciones necesarias 532.4.3. Ecuaciones locales 532.5. Conceptos fundamentales de la tensión 552.5.1. Estados de tensi on simples 562.5.2. Tensiones principales, normales y de cizalla 572.5.3. Tensiones normales y de cizalla m aximas 582.5.4. Tensores esferico y desviador 582.6. Ejercicios 59

Capıtulo 3. Cinemática 633.1. Conguraciones y deformaciones 633.2. El mapa de deformacion 643.3. Medidas de la deformacion 643.3.1. El gradiente de deformaci on F 653.3.2. Interpretación de F y deformaciones homogeneas 653.3.2.1. Traslaciones y puntos jos 663.3.2.2. Rotaciones y estiramientos 66



Indice general 5

3.3.2.3. Extensiones 673.3.2.4. Resumen 683.3.3. El tensor deformacion de Cauchy-Green C 683.3.4. Interpretación de C 693.3.5. Deformaciones rıgidas 723.3.6. El tensor de deformaci on innitesimal E 723.3.7. Interpretación de E 733.3.8. Deformaciones innitesimalmente rıgidas 743.4. Movimientos 753.4.1. Campos materiales y espaciales 763.4.2. Derivadas con respecto a coordenadas 763.4.3. Derivadas temporales 763.4.4. Campos de velocidad y aceleracion 773.5. Tasa de deformacion y tasa de rotaci on 793.5.1. Tensores tasa de deformaci on L y tasa de rotación W 793.5.2. Interpretación de L y W 793.5.3. Vorticidad 803.5.4. Movimientos rıgidos 803.6. Cambio de variables 803.6.1. Transformaci on de integrales de volumen 803.6.2. Diferenciacion de integrales que depienden del tiempo 823.6.3. Transformaci on de integrales de supercie 833.7. Movimientos isovolumetricos o isoc oricos 853.8. Ejercicios 85

Capıtulo 4. Leyes de balance 874.1. Motivacion 874.2. Leyes de balance en forma integral 894.2.1. Conservacion de masa y leyes de inercia 894.2.2. Primera y Segunda Ley de Termodinámica 904.2.2.1. La temperatura y el calor 904.2.2.2. Energıa cinetica, potencia de fuerzas externas y trabajo neto 924.2.2.3. Energıa interna y la Primera Ley 924.2.2.4. La entropıa y la Segunda Ley de Termodin´ amica 944.2.3. Leyes de balance integrales versus locales 964.3. Forma Euleriana localizada de leyes de balance 964.3.1. Conservacion de masa 964.3.2. Balance de momento lineal 984.3.3. Balance de momento angular 994.3.4. Caracterización del trabajo neto 1004.3.5. Primera Ley de Termodinámica 1014.3.6. Segunda Ley de Termodin amica 1014.3.7. Resumen 1024.4. Forma Lagrangiana localizada de leyes de balance 103



6 Indice general

4.4.1. Conservacion de masa 1034.4.2. Balance de momento lineal 1044.4.3. Balance de momento angular 1054.4.4. Caracterización del trabajo neto 1064.4.5. Primera Ley de Termodinámica 1074.4.6. Segunda Ley de Termodin amica 1084.4.7. Resumen 1094.5. Indiferencia respecto del marco 1104.5.1. Movimientos rıgidos superpuestos 1104.5.2. Axioma de la indiferencia respecto del marco 1114.6. Restricciones materiales 1124.7. Consideraciones isotermicas 1144.8. Ejercicios 116

Capıtulo 5. Mec anica de uidos isotermica 119

5.1. Fluidos ideales 1205.1.1. Denicion 1205.1.2. Las ecuaciones de Euler 1215.1.3. Consideraciones de indiferencia respecto del marco 1215.1.4. Consideraciones de energıa mec anica 1225.1.5. Problemas de valores iniciales y de frontera 1235.1.6. Mapa de movimiento y otras condiciones de borde 1235.1.7. Movimiento irrotacional y Teorema de Bernoulli 1245.2. Fluidos elasticos 1285.2.1. Denicion 1295.2.2. Las ecuaciones de un uido elastico 129

5.2.3. Consideraciones de indiferencia respecto del marco 1305.2.4. Consideraciones de energıa mec anica 1305.2.5. Problemas de valores iniciales y de frontera 1315.2.6. Movimiento irrotacional y Teorema de Bernoulli Generalizado 1325.2.7. Linealizacion 1355.3. Fluidos Newtonianos 1375.3.1. Denicion 1375.3.2. Ecuaciones de Navier-Stokes 1385.3.3. Consideraciones de indiferencia respecto del marco 1405.3.4. Consideraciones de energıa mec anica 1415.3.5. Problemas de valores iniciales y de frontera 141

5.4. Energıa cinetica del movimiento de uidos 1435.5. Ejercicios 145

Capıtulo 6. Mec anica de solidos isotermica 1476.1. Solidos elasticos 1486.1.1. Denicion 1486.1.2. Ecuaciones de elasticidad 1496.1.3. Consideraciones de indiferencia respecto del marco 150



Indice general 7

6.1.4. Problemas de valores iniciales y de frontera 1516.1.5. Isotropıa y funciones respuesta simplicadas 1526.2. Solidos hiperelasticos 1546.2.1. Denicion 1556.2.2. Consideraciones de indiferencia respecto del marco 1556.2.3. Consideraciones de energıa mec anica 1576.2.4. Modelos comunes 1586.3. Linealizacion de las ecuaciones de la elasticidad 1596.3.1. Ecuaciones linealizadas y tensores de elasticidad 1596.3.2. Problemas de valores iniciales y de frontera 1616.3.3. Propiedades de los tensores de elasticidad 1616.3.4. Ecuacion de elasticidad isotr opica y linealizada 1646.4. Solidos elasticos lineales 1656.4.1. Denicion 1656.4.2. Propiedades generales 166



8 Indice general



Bibliografıa

[1] J. Altenbach & H. Altenbach, Einf¨ uhrung in die Kontinuumsmechanik . B.G. Teubner, Stuttgart, 1994.[2] M.C. Bustos, F. Concha, R. B¨ urger & E.M. Tory, Sedimentation and Thickening: Phenomenological

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Berlin, 2010.[4] D.A. Drew & S.L. Passman, Theory of Multicomponent Fluids . Springer Verlag, New York, 1999.[5] M.E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics . Academic Press, 1981.[6] K. Hutter & K. Jöhnk, Continuum Methods of Physical Modeling . Springer-Verlag, Berlin, 2004.

[7] I-S. Liu, Continuum Mechanics . Springer-Verlag, Berlin, 2002.[8] L.A. Segel, Mathematics Applied to Continuum Mechanics , Macmillan Publishing Co., New York, NY,

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[10] R. Temam & A. Miranville, Mathematical Modeling in Continuum Mechanics . Cambridge UniversityPress, Cambridge, UK, 2001.

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[12] K. Wilma nski, Thermomechanics of Continua . Springer Verlag, Berlin, 1998.

9



10 Bibliograf Ia



Capıtulo 1

Algebra y calculo de tensores

En lo siguiente se denota por R el campo de numeros reales y por E 3 el espacio Euclidianotri-dimensional. Nos referimos a los elementos de R como escalares , denotados a, b, x, y etc., ya los elementos de E 3 como puntos , denotados a , b, x , y , etc. Ademas se dene el conjunto devectores V . Los principales objetivos de la siguiente secci on son (i) la distinci on entre puntosy vectores, (ii) la distinci on entre un vector y su representaci´ on en un marco de coordenadas,(iii) la notaci on de ındices, (iv) la introducción del espacio de tensores de segundo orden

V 2 como el espacio de transformaciones lineales sobre

V , y (v) la denicion del conjunto de

tensores de cuarto orden V 4 como el conjunto de las transformaciones lineales en V 2.

1.1. Algebra tensorial

1.1.1. Vectores. Un vector es una cantidad con una magnitud y una direcci´ on especicadasen el espacio tri-dimensional. Por ejemplo, un segmento de una recta en el espacio puede serinterpretado como un vector tal como los pueden ser otras cantidades tales como fuerzas,velocidades y aceleraciones. Se denote un vector por un sımbolo negrita tal como v y sumagnitud por |v |. Para cualquier vector, |v | 0. Se dene, ademas, el vector cero 0 comoun vector con magnitud cero y dirección indenida. Adem as cualquier vector v con |v | = 1se llama vector unitario .

Gracamente un vector puede ser representado como una echa. La orientaci´ on de laecha representa la dirección del vector y su longitud representa la magnitud del vector.Ademas dos vectores se consideran iguales si poseen la misma direccion y la misma magnitudindependientemente de su posición en el espacio.

Los escalares y los vectores son ejemplos de objetos mas generales llamados tensores . Porejemplo, un escalar es un tensor de orden cero, y un vector es un tensor de primer orden.Mas adelante consideraremos tensores de segundo y cuarto orden, pero por mientras nosconcentraremos en tensores de primer orden, es decir, vectores.

1.1.1.1. Algebra vectorial. Si V denota el conjunto de todos los vectores, entonces V posee laestructura de un espacio vectorial real porque u + v∈V para todo u , v∈V y αv∈V paratodo α

∈

R y v

∈ V . En particular se dene u + v como aquel elemento de

V producido

cuando u y v se colocan en forma consecutiva. Para todo escalar α∈R se dene αv como

aquel elemento de V que tenga la magnitud |α ||v |, donde |α| denota el valor absoluto de α,y que tenga la direcci on identica u opuesta a v , dependiendo de si α > 0 o α < 0. Si α = 0,entonces αv = 0 .

Mediante el espacio vectorial V podemos denir algunas operaciones matemáticas muyutiles entre los elementos de E 3 y V . Dado cualquier par de puntos x e y podemos deniry −x como el unico vector que apunta desde x a y , es decir dado x , y ∈

E 3 tenemos11



12 1. ALGEBRA Y C ALCULO DE TENSORES

y −x ∈V . Dado cualquier punto z y cualquier vector v podemos denir z + v como el unicopunto tal que ( z + v ) −z = v . Por lo tanto, dado z ∈

E 3 y v∈V tenemos z + v∈E 3.

En lo siguiente deniremos algunas operaciones geometricas entre vectores que nos per-mitir an construir representaciones matem´ aticas para

V y E 3.

1.1.1.2. Productos escalares y vectoriales. El producto escalar de dos vectores a y b esta de-nido geometricamente como

a ·b = |a ||b|cos θ,

donde θ∈[0, π] es el angulo entre las puntas de a y b. Dos vectores a y b se dicen ortogonales o perpendiculares si a ·b = 0. Para cualquier vector a se tiene que a ·a = |a |2. El productovectorial entre dos vectores a y b se dene geometricamente como

a ×b = |a ||b|sin θ e ,

donde e es un vector unitario perpendicular al plano que contiene a y b. La orientaci on de e

es denida en tal forma que una rotación de mano derecha por e por un angulo θ traslada aa b. Notar que la magnitud de a ×b es igual al area de un paralelogramo con lados denidospor a y b.

Ejemplo 1.1. Sea V = |a ×b ·c|. Entonces V es el volumen del paralelepıpedo denidopor a , b y c . En particular, se tiene que

V = |a ||b||c||sin θ||cos φ|,donde θ y φ son los angulos entre a y b y entre c y a ×b, respectivamente. El factor

|a ||b||sin θ| es el area del paralelogramo denido por a y b, y el factor |c||cos φ| entrega laaltura del paralelepıpedo con respecto al plano abierto por a y b.

1.1.1.3. Proyecciones, bases y marcos de coordenadas. Sea e un vector unitario. Entoncescualquier vector v puede ser escrito como

v = v e + v⊥e , (1.1)

donde v e es paralelo a e y v⊥e es perpendicular a e . El vector v e se llama la proyecci´ on de v paralela a e y es denido por v e := ( v ·e )e . El vector v⊥e se llama la proyecci´ on de vperpendicular a e . Como v⊥e = v −v e se tiene que

v⊥e = v −(v ·e )e .

Una base ortonormal dextr´ ogira de V es un conjunto de tres vectores unitarios mutua-mente perpendiculares i , j , korientados en el sentido de

i × j = k , j ×k = i , k ×i = j .Tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares satisfacen |(i × j )·k | = 1, pero una basedextr ogira satisface ( i × j ) ·k = 1. Una base lev ogira satisface, al contrario, ( i × j ) ·k = −1.

Usando una base e 1, e 2, e 3al lugar de i , j , ky aplicando (1.1) repetidamente encon-tramos que cualquier vector v puede ser representado en forma única por

v = v1e 1 + v2e 2 + v3e 3, donde vi = v ·e i∈R , i = 1 , 2, 3.



1.1. ALGEBRA TENSORIAL 13

Los numeros v1, v2 y v3 se llaman componentes de v en la base dada e 1, e 2, e 3. Frecuen-temente denotaremos el conjunto de coordenadas por vi y una base dada por e icuandoesta entendido que el rango del ındice i es de 1 a 3. Frecuentemente será util arreglar lascomponentes de un vector v en una matriz de columna 3

×1 denotada [v ], en particular

[v ] =v1v2v3∈

R 3,

donde R 3 denota el conjunto de todos los triples ordenados de números reales.

Ejemplo 1.2. Sea e iuna base de V y sea v un vector cuya representaci´ on en esta basesea [v ] = (1, 1, 0)T . Entonces

v ·e 1 = 1 , v ·e 2 = 1 , v ·e 3 = 0 o v = 1 e 1 + 1 e 2 + 0 e 3.

Luego consideraremos el mismo vector pero se rota la base

e i

por un angulo de π/ 4 con

respecto a la base denida por e 3. El resultado de esta operación es una base nueva e i, ycon respecto a esta base las componentes de v est an dadas por

v ·e 1 = √ 2, v ·e 2 = 0 , v ·e 3 = 0 o v = √ 2e 1 + 0 e 2 + 0 e 3.

La representación de v en la base nueva est a dada por [v ] = ( √ 2, 0, 0)T . Obviamente,[v ] = [v ].

Como marco de coordenadas Cartesiano para E 3 se entiende un punto de referenciao ∈

E 3, llamado origen , junto con una base ortonormal dextr´ ogira e ipara el espaciovectorial V asociado. A cualquier punto x ∈

E 3 se asocian entonces las coordenadas xi deacuerdo a la expresi on xi = ( x

−o )

·e i , i = 1 , 2, 3. En tal caso las coordenadas de x son los

unicos numeros xi tales quex −o = x1e 1 + x2e 2 + x3e 3.

En lo siguiente utilizaremos el termino “marco de coordenadas” sin referirnos explıcitamenteal punto o∈

E 3 elegido como origen. Ademas frecuentemente se identicar´ a un punto x ∈E 3

con su vector de posicion x −o∈V y se utiliza el sımbolo x para ambos.

1.1.2. Notaci´ on indicial.

1.1.2.1. Convenio de sumaci´ on. La representación de operaciones vectoriales en terminos desus componentes naturalmente involucra sumatorias. Por ejemplo, sean a y b vectores con

componentes a i y bi en un marco e i. Entonces

a = a1e 1 + a2e 2 + a3e 3 =3

i=1

a ie i , b = b1e 1 + b2e 2 + b3e 3 =3

i=1

bie i ,

a ·b =3

i=1

a ie i ·3

i=1

bie i =3

i=1

3

j =1

a ib j e i ·e j =3

i=1

a ibi ,




donde la ultima identidad es una consecuencia de

e i ·e j =1 para i = j ,0 para i = j .

Cada una de las expresiones para a , b y a ·b involucra una sumatoria sobre un par deındices. Como sumatorias de este tipo aparecen muy frecuentemente adoptamos un convenioy abreviamos estas tres ecuaciones como a = a ie i , b = b j e j y a ·b = a ibi . El convenio esel siguiente: si un ındice aparece dos veces en un termino entonces se implica una sumatoriasobre este ındice. En particular,

a ie i =3

i=1

a ie i .

En lo siguiente siempre se supone que este convenio está vigente.

Cualquier ındice que se utiliza para representar una sumatoria se llama ındice mudo , loque reeja que el sımbolo utilizado para un ındice repetido no importa ya que

a ibi = a1b1 + a2b2 + a3b3 = a j b j .

Notar que el convenio solamente se aplica a pares de ındices repetidos. Por lo tanto no seimplican sumatorias en expresiones del tipo a i , a ibibi , etc.

Cualquier ındice que no es un ındice mudo se llama ındice libre . Por ejemplo en la expre-sion

a i = c j b j bi (1.2)

el ındice i es un ındice libre y el ındice j es un ındice mudo. Un ındice libre puede asumircualquier de los valores 1, 2 o 3. Por ejemplo, (1.2) es una abreviatura para las tres ecuaciones

a1 = c j b j b1, a2 = c j b j b2, a3 = c j b j b3.

Similarmente, la ecuación a ib j = cickckd j es una abreviatura para nueve ecuaciones porquei y j son ındices libres.

Cada termino en una ecuaci´ on debe tener los mismos ındices libres, y el mismo sımbolono puede ser utilizado simultáneamente para un ındice mudo y un ındice libre. Por ejemplolas siguientes ecuaciones son todas ambiguas e inadmisibles en nuestro uso del convenio desumacion:

ai

= b j, a

ib j

= cid

jd

j, a

ib j

= cic

kd

kd

j+ d

pc

lc

ld

q.

1.1.2.2. El delta de Kronecker y los sımbolos de permutaci´ on. A cada marco e ise asociael sımbolo delta de Kronecker δ ij denido por

δ ij = e i ·e j =1 para i = j ,0 para i = j ,




y el sımbolo de permutaci´ on εijk denido por

εijk = ( e i ×e j ) ·e k =1 para ijk = 123, 231, 312,

−1 para ijk = 321, 213, 132,

0 en los demas casos (ındices repetidos).Los valores numericos de δ ij y εijk son los mismos para cualquier marco ortonormal dextr´ ogi-ro. Ademas, se verica facilmente que

δ ij = δ ji , εijk = −ε jik , εijk = −εikj , εijk = −εkji , εijk = ε jki = εkij .

El sımbolo de permutación tambien puede ser escrito como

εijk = det [e i], [e j ], [e k] ,

donde ([e i], [e j ], [e k]) es la matriz 3 ×3 con columnas [e i], [e j ] y [e k]. En particular todas laspropiedades de εijk pueden ser deducidas de las propiedades del determinante.

1.1.2.3. Identidades de marco. Algunas identidades utiles son validas entre los vectores de unmarco e iy el sımbolo δ ij y el sımbolo de permutación εijk . En particular desde la deniciónde δ ij se deduce la identidad e i = δ ij e j . Esta identidad muestra que si δ ij es sumado contraotra cantidad el efecto neto es un “transfer de ındice”. Adem´ as, la denicion de εijk implicala identidad

e i ×e j = εijk e k ,

que representa en forma concisa los nueve productos vectoriales posibles entre dos vectoresde un marco, es decir e 1 ×e 1 = 0 , e 1 ×e 2 = e 3, etc. Una identidad similar está dada por

e i =12

εijk e j ×e k .

1.1.2.4. Operaciones vectoriales en componentes. En lo siguiente demostraremos como lossımbolos delta de Kronecker y de permutaci´ on naturalmente aparecen cuando operacionesvectoriales est an expresadas en terminos de sus componentes en un marco dado. Para elproducto escalar notamos que si a = a ie i y b = b j e j , entonces

a ·b = ( a ie i) ·(b j e j ) = a ib j e i ·e j = a ib j δ ij = a ibi .

Ası, desde la denici on geometrica del producto escalar obtenemos |a |2 = a ·a = a ia i .Para estudiar el producto vectorial sean a = a ie i , b = b j e j y d = dke k . Entonces

a ×b = a ib j e i ×e j = a ib j εijk e k ,

donde la ultima identidad sigue de la identidad de marcoe i ×e j = εijk e k .

Entonces, si denimos d = a ×b, se tiene que dk = a ib j εijk .Consideremos ahora el producto escalar triple. Sean a = a ie i , b = b j e j y c = cm e m .

Entonces

(a ×b) ·c = ( a ib j εijk e k) ·(cm e m ) = εijk a ib j cm δ km = εijk a ib j ck . (1.3)




Ademas, aprovechando propiedades del sımbolo de permutaci´ on bajo permutaciones cıclicasde sus ındices obtenemos

(a ×b) ·c = ( b ×c) ·a = ( c ×a ) ·b.

Desde el calculo vectorial elemental se sabe que(a ×b) ·c = det [a ], [b], [c] , (1.4)

donde ([a ], [b], [c]) es la matriz 3×3 con las columnas a , b y c . Si combinamos esto con (1.3)obtenemos

det [a ], [b], [c] = εijk a ib j ck , (1.5)

lo que genera una expresi on explıcita del determinante en terminos de una sumatoria triple.Finalmente podemos considerar el producto vectorial triple. Sean a = aqe q, b = bie i ,

c = c j e j y d = d pe p. Entoncesa

×(b

×c) = ( aqe q)

×(bic j εijk e k) = εijk aqbic j e q = εqkp εijk aqbic j e p

= ε pqkεijk aqbic j e p, (1.6)

donde la ultima lınea es una consecuencia de εqkp = ε pqk . Es decir, si d = a ×(b×c), entoncesd p = ε pqkεijk aqbic j .

Comentamos que las deniciones geometricas de los productos escalares escalares y triplesimplican que estas cantidades son independientes del marco. Es decir los productos escalaresescalares y triples pueden ser calculados en terminos de coordenadas en cualquier marco decoordenadas, con el mismo valor obtenido en cada marco. En lo siguiente la identicaci´ on decantidades escalares con esta propiedad ser´ a un tema importante en lo siguiente. Otros ejem-plos aparecer an en la discusion de la traza, del determinante y de los invariantes principalesde tensores de segundo orden.

1.1.2.5. Identidades epsilon-delta. . En virtud de sus deniciones en terminos de un mar-co ortogonal dextr ogiro, el sımbolo de permutaci on y el delta de Kronecker satisfacen lassiguientes identidades.

Lema 1.1 (Identidades epsilon-delta) . Sean εijk el sımbolo de permutaci´ on y δ ij el delta de Kronecker. Entonces

ε pqs εnrs = δ pn δ qr −δ pr δ qn , (1.7)ε pqs εrqs = 2 δ pr . (1.8)

Demostraci´ on. Tarea.

Como aplicacion del resultado anterior demostraremos quea ×(b ×c) = ( a ·c )b −(a ·b)c para todo a , b, c∈V . (1.9)

Para ver que esto es v alido, basta ver que en virtud de (1.6) y el Lema 1.1 se tiene que

a ×(b ×c) = ε pqkεijk aqbic j e p = ( δ piδ qj −δ pj δ qi )aqbic j e p = ( aqcq)b pe p −(aqbqc pe p)= ( a ·c)b −(a ·b)c .




1.1.3. Tensores de segundo orden. En la mecanica del medio continuo aparecen canti-dades tales como la tensi on y el estiramiento que no pueden ser representadas por vectoressino que por transformaciones lineales entre vectores, dando origen al concepto de un ten-sor de segundo orden (precisado en lo siguiente). Resulta que tales cantidades pueden serdescritas por nueve componentes en cualquier marco de coordenadas Cartesiano para E 3.1.1.3.1. Denici´ on de un tensor de segundo orden. Un tensor de segundo orden sobre elespacio vectorial V es una aplicaci on lineal T : V → V , es decir (i) T (u + v ) = T u + T vpara todo u , v ∈ V , (ii) T (αu ) = αT u para todo α ∈

R y u ∈ V . Se denota el conjuntode todos los tensores de segundo orden sobre V por V 2. Se dene el tensor nulo O por lapropiedad Ov = 0 para todo v ∈ V ; ademas denimos el tensor identidad I por Iv = vpara todo v∈V . Ademas, S ∈V 2 y T ∈V 2 se dicen iguales si Sv = T v para todo v∈V .

Ejemplo 1.3.(i) Proyecciones. La accion de proyectar un vector v sobre un vector unitario dado e

puede ser descrita mediante un tensor de segundo orden P . Especıcamente,

P (v ) = ( v ·e )e .

(ii) Rotaciones. La accion de rotar un vector v por un angulo dado θ con respecto a uneje jo (por ejemplo, e 3) puede ser expresada en terminos de un tensor de segundoorden S . En particular para cada uno de los vectores basales e i tenemos las respectivasidentidades

S (e 1) = cos θe 1 + sin θe 2, S (e 2) = cos θe 2 −sin θe 1, S (e 3) = e 3.

(iii) Reexiones . La accion de reectar un vector v con respecto a un plano jo, por ejemplocon la normal e 1, puede ser expresada en terminos de un tensor de segundo orden T como

T (v ) = v −2(v ·e 1)e 1.

1.1.3.2. Algebra de tensores de segundo orden. El espacio V 2 de tensores de segundo ordenposee la estructura de un espacio vectorial real ya que S + T ∈ V 2 para todo S , T ∈ V 2 yαT ∈V 2 para todo α∈

R y T ∈V 2. Tambien podemos componer tensores de segundo ordenen el sentido de ST ∈V 2 para todo S , T ∈V 2. En particular se denen la suma S + T pormedio de la relacion (S + T )v = Sv + T v para todo v∈V , y la composicion ST mediante(ST )v = S (T v ) para todo v∈V . Una denicion similar es valida para αT .

1.1.3.3. Representaci´ on en un marco de coordenadas. Las componentes de un tensor de se-gundo orden S en un marco de coordenadas e i son los nueve numeros S ij dados porS ij = e i ·Se j . Estas componentes completamente describen la transformaci´ on S : V → V .Efectivamente, para vectores v = vie i y u = u j e j tales que v = Su se tiene que

vi = e i ·Su = ( e i ·Se j )u j = S ij u j , (1.10)

por lo tanto las componentes de S simplemente son los coecientes en la relaci on lineal entrelas componentes de v y u .




Frecuentemente se arreglan las nueve componentes S ij en una matriz [ S ], en particular

[S ] =S 11 S 12 S 13S 21 S 22 S 23S 31 S 32 S 33

∈R 3× 3.

La matriz [S ] se llama representaci´ on de S en el marco de coordenadas dado.Se denota por [S ]ij el elemento de [S ] en la la i y la columna j , entonces [S ]ij = S ij . Se

dene la traspuesta de [ S ], denotada [S ]T , por [S ]Tij = [S ] ji .

Ejemplo 1.4. Si S y T son los tensores denidos en el Ejemplo 1.3, entonces en los respec-tivos marcos de coordenadas

[S ] =cos θ −sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1, [T ] = −1 0 0

0 1 00 0 1

.

1.1.3.4. Productos di´ adicos de segundo orden y bases. El producto di´ adico de dos vectores ay b es el tensor de segundo orden a ⊗b denido por

(a ⊗b)v = ( b ·v )a para todo v∈V .

En terminos de las componentes [ a ⊗b]ij esta ecuaci on es equivalente a[a ⊗b]ij v j = ( b j v j )a i para todo v∈V ,

lo que signica que [a ⊗b]ij = a ib j , es decir [a ⊗b] = [a ][b]T .Para cualquier marco de coordenadas e ilos nueve productos di adicos elementales e i⊗e jforman una base de V 2. En particular cada S ∈V 2 posee una representación unica como

combinacion lineal

S = S ij e i⊗

e j , (1.11)donde S ij = e i ·Se j . Para ver que esta representaci´ on es correcta consideremos la expresi onv = Su , donde v = vie i y u = uke k . Entonces

v = Su = S ij e i⊗e j uke k = S ij δ jk uke i = S ij u j e i ,

lo que implica que vi = S ij u j . Entonces (1.11) concuerda con (1.10) y da origen a unarepresentaci on unica de S en terminos de sus componentes S ij .

1.1.3.5. Algebra de tensores de segundo orden en componentes. Sean S = S ij e i⊗e j y T =T ij e i⊗e j tensores de segundo orden con las representaciones matriciales [ S ] y [T ]. Utilizandolas deniciones de S + T y αT es facil deducir que [S + T ] = [S ] + [T ] y [αT ] = α[T ].

Para deducir una expresión en componentes para la composici on consideremos dos productostensoriales arbitrarios a ⊗b y c⊗d . Entonces para cualquier vector v se tiene que(a ⊗b)(c⊗d ) v = ( a ⊗b) (c⊗d )v = ( a ⊗b)c(d ·v ) = a (b ·c )(d ·v )

= ( b ·c )(a ⊗d )v .Como v es arbitrario, esto implica que

(a ⊗b)(c⊗d ) = ( b ·c)a ⊗d . (1.12)




Ahora sean S y T como arriba, y sea U = ST . En virtud de (1.12) se tiene ahora queU = ( S ij e i⊗e j )(T kl e k⊗e l) = S ij T kl δ jk e i⊗e l = S ij T jl e i⊗e l,

por lo tanto las componentes de U est an dadas por U il = S ij T jl . Esto corresponde a la

notaci on estandar para la multiplicaci´ on de matrices para las representaciones de S y T , esdecir [U ] = [ST ] = [S ][T ].

1.1.3.6. Tensores especiales. A cada tensor S ∈ V 2 se asocia el tensor traspuesto S T ∈ V 2,el cual es el unico tensor con la propiedad

Su ·v = u ·S T v para todo u , v∈V .

Se dice que S es simetrico si S T = S y antisimetrico si S T = −S . Un tensor S ∈ V 2

se llama denido positivo si v ·Sv > 0 para todo v = 0 , e invertible si existe su inversoS − 1∈ V 2 tal que SS − 1 = S − 1S = I . Las operaciones de traspuesta e inversa conmutan,

S T S − 1 = S − 1S T , y se denota el tensor resultante por S − T .Un tensor Q

∈ V 2 se dice ortogonal si Q T = Q − 1, es decir QQ T = Q T Q = I . Un

tensor ortogonal se llama rotaci´ on si para cualquier marco de coordenadas e iortogonal ydextr ogiro tambien el conjunto de vectores Qe itambien es un marco ortogonal dextr´ ogiro.Se tiene, adem as, que

[S T ] = [S ]T , [S − 1] = [S ]− 1, [S − T ] = [S ]− T .

Lema 1.2 (Descomposicion simetrica-antisimetrica) . Cada tensor de segundo orden puede ser escrito en forma ´ unica como S = E + W , donde E es un tensor simetrico y W es un tensor antisimetrico. Especıcamente,

E =12

(S + S T ), W =12

(S −S T ).

Demostraci´ on. Tarea.El resultado anterior motiva la denici´ on de las aplicaciones sym : V 2 → V 2 y skew :

V 2 → V 2 con

sym(S ) :=12

(S + S T ), skew(S ) :=12

(S −S T ).

En cualquier sistema de coordenadas un tensor simetrico E satisface E ij = E ji , y un tensorantisimetrico W satisface W ij = −W ji .

Lema 1.3 (Tensor antisimetrico como producto vectorial) . Para cualquier vector anti-simetrico W ∈V 2 existe un vector w ∈V ´ unico tal que W v = w ×v para todo v∈V . Se escribe w = vec( W ); este vector se llama vector axial asociado a W . En cualquier marco

se tiene que w j =

12

εnjm W nm .

Recıprocamente, para cualquier vector w ∈ V existe un vector antisimetrico W ∈ V 2 ´ unicotal que w ×v = W v para todo v∈V . Se escribe W = ten( w ); este tensor se llama tensoraxial asociado al vector w . En cualquier marco W ik = εijk w j . Las funciones w →ten( w ) y W →vec(W ) son inversas.




Demostraci´ on. Para demostrar el primer resultado supongamos que el tensor W esta dado.Entonces estamos buscando un vector w tal que W v = w ×v para todo v . En componentesesta ecuaci on esta dada por

W ik vk = εijk w j vk .Como vk es arbitrario, esto implica que

W ik = εijk w j . (1.13)

Luego demostraremos que existe un vector w j que satisface (1.13); despues demostraremosque este vector es unico. Para tal efecto sea

w j =12

εnjm W nm . (1.14)

Insertando esto en el lado derecho de (1.13), utilizando el Lema 1.1 y el hecho que W ki =

−W ik obtenemos

εijk w j = 12

εijk εnjm W nm = 12

(δ in δ km −δ im δ kn )W nm = W ik .

Obviamente el vector w j denido en (1.14) satisface (1.13). Para demostrar la unicidadsupongamos que w j y u j son dos soluciones. Entonces desde (1.13) se desprende que 0 =εijk (w j −u j ) para i, k = 1 , 2, 3. Considerando esta ecuación con i = 1 y k = 3 encontramosque w2 = u2, y por consideraciones similares llegamos a w1 = u1 y w3 = u3, por lo tanto lasolucion (1.14) es unica.

Para demostrar el segundo resultado supongamos que w esta dado, luego buscamos untensor antisimetrico W tal que w ×v = W v para todo v . En componentes esta ecuaciónes εijk w j vk = W ik vk , y como vk es arbitrario llegamos a

W ik = εijk w j . (1.15)Esta ecuaci on genera una expresi on explıcita para el tensor W ik , el cual es antisimetricodebido a las propiedades del sımbolo de permutaci´ on. La unicidad sigue inmediatamenteporque W ik es explicitamente determinado por w j .

Para establecer el resultado nal sea W →vec(W ) la aplicacion denida por (1.14) y seaw →ten( w ) la aplicacion denida por (1.15). Entonces para cualquier tensor antisimetricoW se tiene, en virtud del Lema 1.1,

[ten(vec( W ))]ik = [ten( w )]ik = εijk w j =12

εijk εnjm W nm =12

(δ in δ km −δ im δ kn )W nm = W ik .

Entonces para cualquier tensor antisimetrico W se tiene que ten(vec( W )) = W . Simi-larmente, vec(ten( w )) para cualquier vector w , por lo tanto las funciones w →ten( w ) yW →vec(W ) son inversas.

1.1.3.7. Cambio de base. En cualquier marco de coordenadas dado la representaci´ on de unvector v ∈ V es un triple de componentes [ v ]∈

R 3, y la representaci on de un tensor desegundo orden S ∈ V 2 es una matriz de componentes [ S ]∈

R 3× 3. Ahora discutiremos loscambios de las representaciones [ v ] y [S ] bajo cambios del marco de coordenadas.




Sean e iy e idos marcos de coordenadas. El tensor cambio de base de e ia e iesel tensor A denido por

A = Aij e i⊗e j , donde Aij = e i ·e j . (1.16)

Tambien podrıamos denir un tensor cambio de base B de e ia e iponiendo B =B ij e i⊗e j , donde B ij = e i · e j . Todos los resultados obtenidos para A igualmente ser anvalidos para B ; sin embargo por simplicidad trabajaremos solamente con A .

Utilizando las componentes de A podemos expresar los vectores de la base de un marcoen terminos del otro. Por ejemplo un vector de base e j puede ser expresado en el marco e icomo

e j = ( e 1 ·e j )e 1 + ( e 2 ·e j )e 2 + ( e 3 ·e j )e 3 = ( e i ·e j )e i ,

y en virtud de (1.16) esto puede ser escrito como

e j = Aij e i . (1.17)

Similarmente un vector de base e i puede ser expresado en el marco e kcomoe i = ( e i ·e k)e k = Aik e k . (1.18)

Tenemos el siguiente resultado.

Lema 1.4 (Ortogonalidad del tensor cambio de base) . Las componentes Aij del tensor cambio de base A satisfacen Aij Aik = δ jk y Aik Alk = δ il , o en notaci´ on matricial [A ]T [A ] =[I ] y [A ][A ]T = [ I ]. En particular el tensor A es ortogonal.

Demostraci´ on. Insertando (1.18) en (1.17) obtenemos e j = Aij Aik e k , lo que implica queAij Aik = δ jk . Similarmente, insertando (1.17) en (1.18) obtenemos Aik Alk = δ il .

Sea ahora v∈V un vector arbitrario con las respectivas representaciones [ v ] = (v1, v2, v3)T

y [v ] = ( v1, v2, v3)T en los marcos e iy e i. Sea A el tensor cambio de base de e ia

e i. Como vi y vi son componentes del mismo vector fısico estan relacionadas mediante Aij .Para ver esto notamos que por la denición de componentes se tiene que v = vie i = v j e j , ypor la denicion de Aij ,

v = vie i = v j e j = v j Aij e i ,

lo que implica que vi = Aij v j . Analogamente, vk = Aik vi . En notaci on matricial podemosescribir esto como [v ] = [A ][v ] y [v ] = [A ]T [v ]. Para tensores de segundo orden es f acildemostrar que

[S

] = [A

][S

] [A

]T

, [S

] = [A

]T

[S

][A

]. (1.19)1.1.3.8. Trazas, determinantes y exponenciales. La traza denida para tensores de segundoorden es una aplicaci on tr : V 2 →R denida por tr S = tr[ S ] = [S ]ii , donde [S ] denota larepresentaci on matricial en cualquier marco. Ası, la traza de un tensor de segundo orden S essimplemente la traza habitual (suma de los elementos diagonales) de una representacion ma-tricial [S ]. El proximo resultado muestra que esta denici´ on es efectivamente independientedel marco de coordenadas.




Lema 1.5 (Invarianza de la traza) . Sea S un tensor de segundo orden con las representacio-nes [S ] y [S ] en los respectivos marcos e iy e i. Entonces tr[S ] = tr[ S ] , es decir el valor numerico de la traza es independiente del marco de coordenadas en el cual es calculado.

Demostraci´ on. Sea A el tensor de cambio de base de e ia e i. Entonces en virtud de(1.19) se tiene que [S ] = [A ][S ][A ]T o

[S ]ij = [A ]ik [S ]kl [A ] jl ,

y utilizando el Lema 1.4,

tr[S ] = [S ]ii = [S ]kl [A ]ik [A ]il = [S ]kl δ kl = [S ]kk = tr[ S ] .

La funci´ on determinante para tensores de segundo orden es una aplicación det : V 2 →R

denida por

det S = det[ S ] = εijk [S ]i1[S ] j 2[S ]k3,

donde [S ] denota una representación matricial en cualquier marco de coordenadas, por lotanto el determinante de un tensor de segundo orden S es simplemente el determinantehabitual de la representacion matricial [ S ]. La expresion explıcita en terminos del sımbolode permutaci on es una consecuencia de (1.5). El pr oximo resultado demuestra que estadenicion no depende del marco de coordenadas.

Lema 1.6 (Invarianza del determinante) . Sea S un tensor de segundo orden con las repre-sentaciones [S ] y [S ] en los respectivos marcos e iy e i. Entonces det[S ] = det[S ] .


La cantidad |det S | posee la interpretación geometrica del volumen del paralelepıpedodenido por los vectores Se 1, Se 2 y Se 3. Ademas, un tensor S es invertible si y solo sidet S = 0. Como det( AB ) = (det A )(det B ), cada tensor ortogonal Q satisface |det Q | = 1,y los tensores de rotaci on son aquellos tensores ortogonales para los cuales det Q = 1.

La funci´ on exponencial sobre tensores de segundo orden es una aplicación exp : V 2 → V 2

denida por

exp(S ) :=∞

j =0

1 j !

S j = I + S +12

S 2 + · · ·.

Se puede demostrar que esta serie converge para cada S ∈ V 2 y por lo tanto la funci on

exponencial est a bien denida.

Lema 1.7 (Exponencial de un tensor antisimetrico) . Sea W ∈V 2 un tensor antisimetrico ar-bitrario. Entonces exp(W )∈V 2 es una rotaci´ on en el sentido de que (exp( W ))T exp(W ) =I y det(exp( W )) = 1 . Adem´ as, (exp( W ))T = exp( W T ).





1.1.3.9. Valores propios, vectores propios e invariantes principales. Sea S un tensor de se-gundo orden. Sea e un vector unitario y λ un escalar tal que Se = λe . Entonces λ se llamavalor propio y e vector propio de S . Desde el algebra lineal recordamos que λ es un valorpropio si y solo si es una raiz del polinomio (cubico) caracterıstico

p(λ) := det( S −λI ). (1.20)

A calquier valor propio λ se asocia uno o varios vectores propios independientes e resolviendo(en componentes) la ecuación lineal homogenea

(S −λI )e = 0 . (1.21)

Si S es simetrico todas las raices (posiblemente repetidas) de (1.20) son reales (tarea), porlo tanto en este caso todas las soluciones de la ecuaci on homogenea en (1.21) tambien sonreales. Concluimos que cada tensor simetrico tiene exactamente tres valores propios reales,y cada valor propio distinto posee uno o m as vectores propios independientes, los que a su

vez son reales.Lema 1.8 (Valores propios y vectores propios de tensores simetricos) .

1.) Los valores propios de un tensor simetrico y denido positivo son estrictamente posi-tivos.

2.) Cualquier par de vectores propios correspondientes a dos valores propios de un tensor simetrico distintos son ortogonales.

Demostraci´ on.1.) Sea S simetrico y denido positivo, y sea ( λ, e ) un par propio (formado por un valor

propio λ y un vector propio e asociado). Entonces, como Se = λe y e es unitario, se

tiene que 0 < e ·Se = λe ·e = λ.2.) Sea S simetrico y sean ( λ, e ) y (ω, d ) dos pares propios tales que λ = ω. EntoncesSe = λe y Sd = ωd implican que

λe ·d = Se ·d = e ·S T d = e ·Sd = ωe ·d ,

es decir (λ −ω)e ·d = 0. Como λ = ω, llegamos a e ·d = 0.

La demostraci on del siguiente resultado sigue del algebra lineal.

Teorema 1.1 (Descomposicion espectral) . Sea S un tensor de segundo orden simetrico.

Entonces existe una base ortonormal dextr´ ogira e ide V que consiste en vectores propios de S . Los valores propios correspondientes λ i son los mismos (despues de posiblemente or-denarlos) para toda base de este tipo y forman el conjunto completo de valores propios de S .La representaci´ on di´ adica de S en cualquier base de este tipo es

S =3

i=1

λ ie i⊗e i ,




y la representaci´ on matricial es

[S ] =λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

.

Los invariantes principales de un tensor de segundo orden son los tres escalares denidospor

I 1(S ) = tr S , I 2(S ) =12

(tr S )2 −tr( S 2) , I 3(S ) = det S .

(La siguiente notación se usa frecuentemente en la literatura: I S = I 1(S ), IIS = I 2(S ),IIIS = I 3(S ).) Para cualquier α∈

R se tiene para cualquier marco de coordenadasdet( S −α I ) = −α3 + I 1(S )α 2 −I 2(S )α + I 3(S ).

Si S es simetrico y λ i son los valores propios de S , entoncesI 1(S ) = λ1 + λ2 + λ3, I 2(S ) = λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1, I 3(S ) = λ1λ2λ3

(demostraci on: tarea). Las cantidades I i(S ) se llaman invariantes porque sus valores sonindependientes de cualquier marco de coordenadas en el cual son calculadas. La propiedadde invarianza de I 1 e I 2 sigue del Lema 1.5, y la invarianza de I 3 es una consecuencia delLema 1.6.

En lo siguiente utilizaremos el sımbolo I S para denotar el triple ( I 1(S ), I 2(S ), I 3(S )).Teorema 1.2 (Cayley-Hamilton) . Cualquier tensor de segundo orden S satisface

S 3 −I 1(S )S 2 + I 2(S )S −I 3(S )I = O .


1.1.3.10. Descomposiciones especiales.Lema 1.9 (Raız cuadrática tensorial) . Sea C un tensor simetrico y denido positivo. En-tonces existe un tensor simetrico y denido positivo ´ unico U tal que U 2 = C . En particular,

U =3

i=1 λ ie i⊗e i ,

donde e ies cualquier marco formado por vectores propios de C y λ i > 0 son los valores propios correspondientes de C . Habitualmente se escribe U = √ C .

Demostraci´ on. Tarea.Teorema 1.3 (Descomposicion polar) . Sea F un tensor de segundo orden con det F > 0.

Entonces existen las llamadas descomposiciones polares derecha e izquierda de F dadas,respectivamente, por F = RU = V R , (1.22)

donde

U = F T F , V = F F T

son tensores simetricos y denidos positivos y R es una rotaci´ on.




Demostraci´ on. Como det F > 0, el tensor F es invertible, luego F v = 0 para todo v = 0 .Analogamente, la traspuesta F T es invertible y F T v = 0 para todo v = 0 . En virtud deestas observaciones concluimos que

v

·F T F v

= (F v

) ·(F v

) > 0,v

·F F T v

= (F T v

) ·(F T v

) > 0 para todov

=0

.Concluimos que F T F y F F T son denidos positivos y claramente simetricos, por lo tantose pueden denir U y V utilizando el Lema 1.9.

Consideraremos ahora el tensor denido por R = F U − 1. Como RU = F y det( RU ) =(det R )(det U ), se tiene que

det R =det F det U

,

luego det R > 0 ya que det F > 0 y det U > 0. Ademas,

R T R = U − T F T F U − 1 = U − 1U 2U − 1 = I ,

por lo tanto R efectivamente es una rotacion y la descomposici´ on polar derecha F = RU esta demostrada.

Para demostrar la descomposición polar izquierda F = V R sea Q = V − 1F . Entoncesen virtud de argumentos similares a los anteriores deducimos que Q tambien es una rotaci´ on,luego F = RU = V Q . Queda por demostrar que Q = R . Para tal efecto sea S el tensorsimetrico y denido positivo dado por S = Q T V Q , entonces RU = QS y R = QSU − 1.Como R es una rotaci on, R − 1 = R T , lo que implica que S 2 = U 2 = F T F . Desde launicidad del tensor raız cuadr´ atica deducimos que S = U , luego R = Q , lo que concluye lademostraci on de (1.22).

1.1.3.11. Producto escalar de tensores de segundo orden. Analogamente al producto escalarpara vectores se dene un producto escalar (interior) para tensores de segundo orden por

S : D = tr( S T D ). (1.23)

In cualquier marco la base di adica e i⊗e jpara V 2 denida en la Seccion 1.1.3.4 es efecti-vamente ortonormal con respecto al producto escalar denido por (1.23).

Lema 1.10 (Producto escalar tensorial) . Sea e iun marco de coordenadas y sean S =S ij e i⊗e j y D = D ij e i⊗e j tensores de segundo orden. Entonces S : D = S ij D ij . Adem´ as,si S es simetrico, entonces S : D = S : sym(D ) = sym( S ) : sym(D ).


1.1.4. Tensores de cuarto orden. La descripcion del comportamiento de cuerpos mate-riales de requiere del concepto de transformaciones lineales entre tensores de segundo orden .Por ejemplo la relaci on entre la tensi on y el estiramiento en un cuerpo material a veces esmodelada mediante una tal transformaci´ on. Las transformaciones lineales entre tensores desegundo orden dan origen al concepto de tensores de cuarto orden. Veremos que un ten-sor de cuarto orden ser a descrito por 81 componentes en cualquier marco de coordenadasCartesiano para E 3.




1.1.4.1. Denici´ on de un tensor de cuarto orden. Un tensor de cuarto orden C sobre elespacio vectorial V es una aplicaci on C : V 2 → V 2 que es lineal en el sentido de (i) C (S + T ) =C S + C T para todo S , T ∈V 2, (ii) C (αT ) = αC T para todo α∈

R y T ∈V 2. Se denota elconjunto de todos los tensores de cuarto orden sobre

V por el sımbolo

V 4. Se dene el tensor

nulo de cuarto orden O por la propiedad O T = O para todo T ∈ V 2; ademas denimos el

tensor identidad de cuarto orden I por IT = T para todo T ∈V 2. Ademas, C∈V 4 y D

∈V 4

se dicen iguales si C T = D T para todo T ∈V 2.

Ejemplo 1.5. Para cualquier tensor A ∈ V 2 la aplicacion C : V 2 → V 2 dada por C (T ) =AT dene un tensor de cuarto orden. Para ver esto hay que vericar las dos propiedadesmencionadas arriba, pero de acuerdo al ´ algebra de tensores de segundo orden,

C (αS + β T ) = A (αS + β T ) = αAS + β AT = αC (S ) + β C (T )

para todo α, β ∈R y S , T ∈V 2.

1.1.4.2. Algebra de tensores de cuarto orden. Sea V 4 el conjunto de tensores de cuarto orden,

entonces V 4

posee la estructura de un espacio vectorial real porque C + D∈ V

4

para todoC , D∈ V 4 y αC

∈ V 4 para todo α ∈R y C

∈ V 4. Ademas podemos componer tensores decuarto orden en el sentido de CD

∈ V 4 para todo C , D∈ V 4. Similarmente a lo presentado

en la Seccion 1.1.3.2 denimos la suma C + D mediante la relaci on (C + D )T = C T + D T para todo T ∈V 2, y la composicion CD mediante ( CD )T = C (D T ) para todo T ∈V 2. Unadenicion similar es valida para αC .

1.1.4.3. Representaci´ on en un marco de coordenadas. Las componentes de un tensor de cuar-to orden C en un marco de coordenadas e ison los 81 numeros C ijkl (1 i , j ,k, l 3)denidos por

C ijkl := e i ·C (e k⊗e l)e j .

Es decir, si denimos S kl como el tensor de segundo orden S kl := C (e k⊗

e l), entoncesC ijkl = e i ·Se j . Estas componentes completamente describen la tranformaci´ on C : V 2 → V 2.Efectivamente, si U = U ij e i⊗e j y T = T kl e k⊗e l son tensores relacionados por U = C (T ),por linealidad tenemos

U ij = e i ·Ue j = e i ·C (T )e j = e i ·C (T kl e k⊗e l)e j = e i ·C (e k⊗e l)e j T kl

= C ijkl T kl ,(1.24)

es decir las componentes de C son los coecientes en la relacion lineal entre las componentesde U y T .

Ejemplo 1.6. Sea A ∈V 2 dado, y sea el tensor de cuarto orden C denido por C (T ) = AT .Entonces las componentes de C son

C ijkl = e i ·A (e k⊗e l)e j = e i ·Ae kδ lj = Aik δ lj .

Alternativamente podemos calcular las componentes C ijkl utilizando el producto escalarpara dos tensores de segundo orden, es decir como

C ijkl = ( e i⊗e j ) : C (e k⊗e l). (1.25)




Para ver esto, sea S kl = C (e k⊗e l); notamos queC (e k⊗e l) = S kl = ( e i ·S kl e j )e i⊗e j = C ijkl e i⊗e j .

Ası,

(e m⊗e n ) : C (e k⊗

e l) = C ijkl (e m⊗e n ) : (e i⊗

e j ) = C ijkl δ mi δ nj = C mnkl ,

lo cual concluye la demostraci on de (1.25).

1.1.4.4. Productos di´ adicos de cuarto orden y bases. El producto di´ adico de cuatro vectoresa , b, c y d es el tensor de cuarto orden a ⊗b⊗c⊗d denido por

(a ⊗b⊗c⊗d )T = ( c ·T d )a ⊗b para todo T ∈V 2.

Para cualquier marco de coordenadas e ilos 81 productos di adicos e i⊗e j ⊗e k⊗e lforman una base de V 4. En particular, cada C∈V 4 puede ser representado únicamente como

C = C ijkl e i⊗e j⊗e k⊗e l, (1.26)

donde C ijkl = e i ·C (e k⊗e l)e j . Para ver que la representación (1.26) es correcta consideramos

la expresion U = C T , donde U = U ij e i⊗e j y T = T kl e k⊗e l. Luego

U = C T = ( C ijkl e i⊗e j⊗e k⊗e l)T = C ijkl (e k ·T e l)e i⊗e j = C ijkl T kl e i⊗e j ,

lo que implica U ij = C ijkl T kl . Ası (1.26) concuerda con (1.24) y da origen a una representaci´ onunica de C en terminos de sus componentes C ijkl .

1.1.4.5. Propiedades de simetrıa. Se dice que un tensor de cuarto orden C∈V 4 es simetrico

o posee simetrıa mayor si

A : C (B ) = C (A ) : B para todo A , B ∈V 2.

Se dice que C posee simetrıa menor a derecha siA : C (B ) = A : C sym(B ) para todo A , B ∈V 2,

y que C posee simetrıa menor a izquierda si

A : C (B ) = sym( A ) : C (B ) para todo A , B ∈V 2.

Lema 1.11 (Simetrıas de un tensor de cuarto orden) . Si un tensor de cuarto orden C posee simetrıa mayor, entonces C ijkl = C klij . Si C posee simetrıas menores a derecha e izquierda,entonces C ijkl = C ijlk y C ijkl = C jikl , respectivamente.


1.1.5. Funciones tensoriales isotr´ opicas.Denici´ on 1.1 (Funci on isotr opica) . Una funci´ on G : V 2 → V 2 se llama isotr opica si

QG (A )Q T = G (QAQ T ) para todo A ∈V 2 y toda rotación Q .

Similarmente, una funci´ on g : V 2 →R se llama isotr opica si

g(A ) = g(QAQ T ) para todo A ∈V 2 y toda rotación Q .




La condicion de isotropıa impone condiciones severas sobre funciones. El próximo re-sultado (aquı sin demostraci´ on) demuestra que cualquier función isotr opica que mapea elconjunto de tensores simetricos a si mismo debe tener una forma particularmente simple.

Lema 1.12 (Representación de funciones tensoriales isotr opicas) . Sea G : V 2

→ V 2

una funci´ on isotr´ opica que mapea tensores simetricos a tensores simetricos, es decir G (A ) es simetrico si A es simetrico. Entonces existen funciones α0, α 1, α 2 : R 3 →R tales que

G (A ) = α0( I A )I + α1( I A )A + α2( I A )A 2 para todo A ∈V 2 simetrico.

Entonces, en virtud del Teorema 1.2 existen funciones β 0, β 1, β 2 : R 3 →R tales que

G (A ) = β 0( I A )I + β 1( I A )A + β 2( I A )A − 1 para todo A ∈V 2 simetrico e invertible.

Este resultado puede ser fortalecido si adicionalmente requeremos que G es lineal ysatisface G (W ) = O para todo W antisimetrico. Este caso ser´ a de importancia particular

para la discusi on de modelos lineales de tension en cuerpos solidos y uidos.Lema 1.13 (Tensores de cuarto orden isotr´ opicos). Sea C : V 2 → V 2 un tensor de cuartoorden con las siguientes propiedades:

1.) C (A )∈V 2 es simetrico para todo A ∈V 2 simetrico.2.) C (W ) = O para todo W ∈V 2 antisimetrico.

Entonces existen escalares µ y λ tales que

C (A ) = λ(tr A )I + 2 µ sym(A ) para todo A ∈V 2. (1.27)

Demostraci´ on. Como C : V 2 → V 2 es una funcion isotr opica y mapea tensores simetricos atensores simetricos podemos deducir del Lema 1.12 que existen funciones α0, α 1, α 2 : R 3

→R

tales que

C (H ) = α0( I H )I + α1( I H )H + α2( I H )H 2 para todo H ∈V 2 simetrico,

donde recordamos que

I H = tr H ,12

(tr H )2 −tr( H 2) , det H .

Como C (H ) es lineal en H las unicas posibilidades son

α0(

I H ) = c0 tr H + c1, α1(

I H ) = c2, α2(

I H ) = 0 ,

donde c0, c1 y c2 son constantes escalares. Como C (O ) = O se tiene que c1 = 0. Ası, poniendoλ = c0 y µ = c2/ 2 obtenemos

C (H ) = λ(tr H )I + 2 µH para todo H ∈V 2 simetrico.

Combinando esto con el hecho de que C (W ) = O para todo W antisimetrico obtenemos(1.27) para A = H .



1.2. C ALCULO TENSORIAL 29

1.2. Calculo tensorial

Para describir el comportamiento mec´ nico de un medio continuo se utilizar an ecalares,vectores y tensores de segundo orden que en general pueden variar de punto a punto enun cuerpo material. Como un cuerpo puede ser identicado con un subconjunto del espacioEuclidiano nos interesan funciones de los tipos φ : E 3 →R , v : E 3 → V y S : E 3 → V 2.Ademas, para describir la forma de cuerpos materiales y sus reacciones frente a cambios deforma estaremos interesados en funciones χ : E 3 →E 3, g : V 2 →R y G : V 2 → V 2.

En la presente Secci on 1.2 estudiaremos varios conceptos para diferentes tipos de funcio-nes sobre E 3 y V 2. Las ideas importantes que introduciremos son (i) la derivada o el gradiente,la divergencia, el rotacional o curl, y el Laplaciano para diferentes tipos de funciones sobre E 3,(ii) los Teoremas de Divergencia, de Stokes y de Localización respectivos a integrales sobrediferentes subconjuntos de E 3, (iii) la derivada de diferentes tipos de funciones sobre V 2.

Para todas las deniciones y resultados en esta secci´ on suponemos (sin menci on explıcita)que las funciones siendo derivadas son suaves en el sentido que todas las derivadas parciales

de todos los ordenes existen y son continuas. Tal hip´ otesis siempre sera m as restrictiva de loque se necesita pero permite una presentaci´ on nıtida.

1.2.1. Preliminares.

1.2.1.1. Puntos, tensores y representaciones. Se supone que un marco de coordenadas jo yunico e ihaya sido especicado para E 3. Bajo esta hip otesis podemos idendicar puntos x ∈E 3, vectores v∈V y tensores de segundo orden S ∈V 2 con sus respectivas representacionesmatriciales; en particular escribiremos

x = xie i =x1x2

x3∈

R 3, v = vie i =v1v2

v3∈

R 3,

S = S ij e i⊗e j =S 11 S 12 S 13S 21 S 22 S 23S 31 S 32 S 33

∈R 3× 3.

Ası, E 3 y V quedan identicados con R 3, y V 2 queda identicado con R 3× 3. Cualquier funci onde un punto x es una funcion de las tres variables reales ( x1, x2, x3), y cualquier funci on deun tensor de segundo orden S es una funcion de las nueve variables ( S 11 , S 12 , . . . , S 33).

1.2.1.2. Normas est´ andar y sımbolos de orden.

Denici´ on 1.2. Las normas est andar o Euclidianas sobre los espacios E 3,

V y

V 2 son las

funciones escalares denidas por

|x | := √ x ·x , |v | := √ v ·v , | |S | := √ S : S

para todo x ∈E 3, v∈V y S ∈V 2, respectivamente.

Utilizando estas normas podemos denir lımites en los espacios E 3, V y V 2 y la continui-dad de funciones entre ellos.




Denici´ on 1.3 (Sımbolos Oy o). Se considera una funci´ on f : U →W , donde U y W denotan cualquier de los espacios E 3, V , V 2 o R .

1.) Si existen constantes C > 0 y r > 0 tales que

f (u ) C |u |r

cuando u →0 ,entonces se escribe

f (u ) = O|u |r cuando u →0 . (1.28)

2.) Si existe una constante r > 0 tal que

|f (u )||u |r →0 cuando u →0 ,

entonces se escribe f (u ) = o |u |r cuando u →0 . (1.29)

Los sımbolos

Oy o se llaman sımbolos de orden est´ andar.

Los sımbolos de orden son una manera de describir el comportamiento de una funci onf (u ) cuando u aproxima cero o cualquier otro valor. El enunciado (1.28) signica que |f (u )|tiende a cero por lo menos tan r apidamente que |u |r . Por otro lado, (1.29) signica que |f (u )|tiende a cero m´ as rapidamente que |u |r . Ası, (1.29) implica (1.28), pero lo contrario no esvalido. Sin embargo para p > r encontramos que f (u ) = O(|u | p) implica f (u ) = o(|u |r ).Para dos funciones f , g : U →W se utiliza la notaci on

f (u ) = g (u ) + O|u |r cuando u →0

para decir quef (u )

−g (u ) =

O|u

|r cuando u

→0 ;

una notaci on similar se utiliza para el sımbolo o.

1.2.2. Diferenciaci on de campos tensoriales. Se utiliza el termino campo para referirsea una funci on denida en una regi on del espacio Euclidiano E 3. Un campo escalar es unafuncion de la forma φ : E 3 →R , un campo vectorial es de la forma v : E 3 → V , y un campotensorial de segundo orden es de la forma S : E 3 → V 2.

1.2.2.1. Derivadas y gradientes.

Denici´ on 1.4. Un campo escalar φ : E 3 →R se dice diferenciable en x ∈E 3 si existe un

vector ∇φ(x )∈V tal que

φ(x + h ) = φ(x ) + ∇φ(x ) ·h + o(|h |),o equivalentemente

∇φ(x ) ·a =d

dαφ(x + αa )

α =0para todo a ∈V , (1.30)

donde α∈R . El vector ∇φ(x ) se llama derivada o gradiente de φ en x .

Si φ es diferenciable en x se puede demostrar que el vector ∇φ(x ) es unico.




Lema 1.14 (Gradiente escalar en coordenadas) . Sea e iun marco arbitrario. Entonces

∇φ(x ) =∂φ∂x i

(x )e i , (1.31)

donde (x1, x2, x3) son las coordenadas de x en e i.Demostraci´ on. Con un leve abuso de notaci on tenemos φ(x ) = φ(x1, x2, x3). Para cualquierescalar α y cualquier vector a = ake k obtenemos

φ(x + αa ) = φ(x1 + αa 1, x2 + αa 2, x3 + αa 3).

Utilizando la Denici on 1.4 y la regla de la cadena obtenemos

∇φ(x ) ·a =d

dαφ(x + αa )

α =0=

∂φ∂x 1

(x )a1 +∂φ∂x 2

(x )a2 +∂φ∂x 3

(x )a3 =∂φ∂x i

(x )e i ·ake k ,

lo cual implica (1.31).

Comentamos que la derivada de un campo escalar φ : E 3 →R es un campo vectorial

∇φ : E 3 → V . Ademas, a veces escribimos

∂φ∂x i

= φ,i .

Como se supone que todas las derivadas parciales existen y son continuas podemos aplicarel Teorema de Taylor para concluir que para h ∈V pequeno,

φ(x + h ) = φ(x ) +∂φ∂x i

(x )hi + O|h |2 , (1.32)

o equivalentementeφ(x + h ) = φ(x ) + ∇φ(x ) ·h + O|h |2 . (1.33)

Ası, en el caso suave, la diferencia entre φ(x + h ) y φ(x )+∇φ(x ) ·h es O(|h |2), no solamenteo(|h |) como indicado en la denicion de∇φ(x ).

Denici´ on 1.5. Un campo vectorial v : E 3 → V se dice diferenciable en x ∈E 3 si existe un

tensor de segundo orden ∇v (x )∈V 2 tal que

v (x + h ) = v (x ) + ∇v (x )h + o(|h |),o equivalentemente

∇v (x ) ·a = ddα

v (x + αa )α =0

para todo a ∈V , (1.34)

donde α∈R . El tensor ∇v (x ) se llama derivada o gradiente de v en x .

Si v es diferenciable en x se puede demostrar que el tensor ∇v (x ) necesariamente esunico. El siguiente resultado genera una caracterizaci´ on explıcita de la derivada ∇v (x ) encualquier marco de coordenadas.




Lema 1.15 (Gradiente vectorial en coordenadas) . Sea e iun marco arbitrario y sea v (x ) =vi(x )e i . Entonces

∇v (x ) =∂vi

∂x j(x )e i⊗e j , (1.35)

donde (x1, x2, x3) son las coordenadas de x en e i.Demostraci´ on. Escribiendo las componentes vi como funciones de las coordenadas x j obte-nemos (mediante un leve abuso de notación) vi(x ) = vi(x1, x2, x3). Para cualquier escalar αy vector a = ake k esto entrega

vi(x + αa ) = vi(x1 + αa 1, x2 + αa 2, x3 + αa 3),luego utilizando la regla de la cadena obtenemos

ddα

vi(x + αa )α =0

=∂vi

∂x 1(x )a1 +

∂vi

∂x 2(x )a2 +

∂vi

∂x 3(x )a3 =

∂vi

∂x i(x )a j .

Utilizando este resultado junto con la Denici´ on 1.5 y propiedades del producto di adicoobtenemos

∇v (x )a =d

dαv (x + αa )

α =0=

ddα

vi(x + αa )α =0

e i =∂vi

∂x j(x )a j e i

=∂vi

∂x j(x )e i⊗e j ake k ,


Comentamos que la derivada de un campo vectorial v : E 3 → V es un campo tensorialde segundo orden ∇v : E 3 → V 2. Ademas, a veces escribimos

∂vi

∂x j = vi,j .Como se supone que todas las derivadas parciales existen y son continuas podemos aplicarel Teorema de Taylor para concluir que para h ∈V pequeno,

vi(x + h ) = vi(x ) +∂vi

∂x j(x )h j + O|h |2 , (1.36)

o equivalentemente, en notación tensorial,v (x + h ) = v (x ) + ∇v (x )h + O|h |2 . (1.37)

Ası, en el caso suave, la diferencia entre v (x + h ) y v (x ) + ∇v (x )h es O(|h |2), no solamenteo(

|h

|) como indicado en la denicion de

∇

v (x ).Como identicamos puntos x

∈E 3 con sus vectores de posicion x −o

∈ V relativos aun origen jo, cualquier resultado válido para campos vectoriales v : E 3 → V tambien esvalido para aplicaciones puntuales , es decir para funciones del tipo χ : E 3 →E 3. Ası laderivada o el gradiente de una aplicación puntual χ es un campo tensorial de segundo orden

∇χ : E 3 → V 2, donde

∇χ (x ) =∂χ i

∂x j(x )e i⊗e j .




1.2.2.2. Divergencia.

Denici´ on 1.6 (Divergencia de un campo vectorial) . A cada campo vectorial v : E 3 → V se asocia un campo escalar ∇ ·v : E 3 →R , dado por ∇ ·v := tr ∇v , llamado la divergencia

de v

.Lema 1.16 (Divergencia de un campo vectorial en coordenadas) . Sea e iun marco arbi-trario y v (x ) = vi(x )e i . Entonces

(∇ ·v )(x ) =∂vi

∂x i(x ) = vi,i (x ),

donde (x1, x2, x3) son las coordenadas de x en e i.

Demostraci´ on. Este resultado es una consecuencia directa del Lema 1.15 y de la deniciónde la traza.

Para formular leyes de balance para cuerpos materiales sera ´ util extender esta denición

a la divergencia de campos tensoriales de segundo orden. Hay varias extensiones posibles,pero aquı presentamos una extensi´ on que entrega una forma conveniente del Teorema deDivergencia Tensorial (Teorema 1.4 abajo).

Denici´ on 1.7 (Divergencia de un campo tensorial) . A cada campo tensorial de segundoorden S : E 3 → V 2 se asocia un campo vectorial ∇ ·S : E 3 → V denido por

(∇ ·S ) ·a = ∇ ·(S T a ) para todo vector a constante,

llamado la divergencia de S .

Teorema 1.4 (Divergencia tensorial en coordenadas) . Sea e iun marco arbitrario y S (x ) =S ij (x )e i⊗e j . Entonces

(∇ ·S )(x ) = ∂S ij∂x j

(x )e i = S ij,j (x )e i ,

donde (x1, x2, x3) son las coordenadas de x en e i.

Demostraci´ on. Consideremos un vector arbitrario constante a = ake k y sea q = S T a .Entonces q = q j e j , donde q j = S ij a i . Utilizando la Denici on 1.7 y el Lema 1.16 obtenemos

(∇ ·S ) ·a = ∇ ·q = q j,j = S ij,j a i = ( S ij,j e i) ·ake k ,

lo cual implica ∇ ·S = S ij,j e i .

Lema 1.17 (Reglas de producto de gradiente y divergencia) . Sean φ, v y S campos escalares,

vectoriales y tensoriales, respectivamente. Entonces ∇(φv ) = v⊗∇φ + φ∇v , ∇ ·(φS ) = φ∇ ·S + S ∇φ, ∇ ·(S T v ) = (∇ ·S ) ·v + S :∇v .

Demostraci´ on. Sea v = vie i y S = S ij e i⊗e j . Para demostrar el primer resultado notamosque φv es un campo vectorial y utilizamos el Lema 1.15 para obtener

∇(φv ) =∂ (φvi)

∂x je i⊗e j = ( viφ,j + φvi,j )e i⊗e j = v⊗∇φ + φ∇v .




Para demostrar el segundo resultado notamos que φS es un campo vectorial de segundoorden, y utilizando el Teorema 1.4 obtenemos

∇ ·(φS ) =

∂ (φS ij )

∂x j

e i = ( S ij φ,j + φS ij,j )e i = S

∇

φ + φ

∇ ·S .

Para obtener el tercer resultado notamos que S T v es un campo vectorial; en particularS T v = S ij vie j . En virtud del Lema 1.16 obtenemos

∇ ·(S T v ) =∂ (S ij vi)

∂x j= S ij,j vi + S ij vi,j = (∇ ·S ) ·v + S :∇v .

1.2.2.3. El rotacional de un campo vectorial.

Denici´ on 1.8 (Rotacional de un campo vectorial) . A cada campo vectorial v : E 3 → V se asocia otro campo vectorial ∇×v : E 3 → V denido por

(∇×v ) ×a = (∇v −∇v T )a para todo vector constante a .

El campo vectorial ∇×v se llama rotacional o curl de v .

Lema 1.18 (Rotacional vectorial en coordenadas) . Sea e i un marco arbitrario y sea v (x ) = vi(x )e i . Entonces

(∇×v )(x ) = εijk vi,k (x )e j , (1.38)

donde (x1, x2, x3) son las coordenadas de x en e i. Equivalentemente,

∇×v =∂v3

∂x 2 −∂v2

∂x 3e 1 +

∂v1

∂x 3 −∂v3

∂x 1e 2 +

∂v2

∂x 1 −∂v1

∂x 2e 3. (1.39)

Demostraci´ on. En virtud del Lemma 1.3 notamos que ∇×v es el vector axial asociado altensor antisimetrico ∇v −∇v T . Si w = ∇×v y T = ∇v −∇v T , entonces en cualquiermarco tenemos

w j =12

εijk T ik =12

εijk (vi,k −vk,i ). (1.40)

Ejecutando la multiplicaci´ on en el lado derecho de (1.40) y utilizando que εijk =

−εkji

obtenemos

w j =12

(εijk vi,k −εijk vk,i ) =12

(εijk + εkji vk,i ) = εijk vi,k ,

donde la ultima identidad sigue del hecho que i y k son ındices mudos. Como w = ∇×vllegamos a (1.38). El resultado (1.39) sigue si ejecutamos las sumatorias indicadas utilizandola denicion del sımbolo de permutación.




1.2.2.4. El Laplaciano.

Denici´ on 1.9 (Laplaciano de un campo escalar) . A cualquier campo escalar φ : E 3 →R

se asocia otro campo escalar ∆ φ : E 3 →R denido por

∆ φ := ∇ ·(∇φ),y a cualquier campo vectorial v : E 3 → V se asocia otro campo vectorial ∆ v : E 3 → V denido por

∆ v := ∇ ·(∇v ).

Los campos ∆ φ y ∆ v se llaman Laplaciano de φ y v , respectivamente.

Lema 1.19 (Laplaciano escalar y vectorial en coordenadas) . Sea e iun marco arbitrarioy v (x ) = vi(x )e i . Entonces

∆ φ(x ) = φ,ii (x ), ∆ v (x ) = vi,jj (x )e i ,

donde (x1, x2, x3) son las coordenadas de x en e i.Demostraci´ on. En virtud del Lema 1.14 se sabe que ∇φ = φ,i e i y utilizando el Lema 1.16obtenemos ∆ φ = ∇ ·(∇φ) = ( φ,i ),i = φ,ii . Similarmente el Lema 1.15 nos entrega que ∇v =vi,j e i⊗e j , y utilizando el Lema 1.4 obtenemos

∆ v = ∇ ·(∇v ) = ( vi,j )e i = vi,jj e i .

1.2.3. Teoremas integrales.

1.2.3.1. Teorema de Divergencia. En lo siguiente sea B

⊂

E 3 una regi on regular en el si-guiente sentido: (i) B consiste en un n umero nito de componentes abiertas, disjuntas yacotadas, (ii) la supercie ∂B es suave a trozos y a su vez consiste en un numero nito decomponentes disjuntas, (iii) cada componente de ∂B es orientable en el sentido de que cla-ramente posee dos lados distintos. El concepto de una regi´ on regular en E 3 incluye muchoscuerpos de interes en la mecánica, en particular cuerpos con un número nito de “hoyos”.

Sea ahora dV un elemento de volumen innitesimal en B y dA un elemento de supercieinnitesimal de ∂B . Se comunica el siguiente resultado sin demostración.

Teorema 1.5 (Teorema de Divergencia) . Sea B una regi´ on regular en E 3 con una frontera suave a trozos ∂B , y sea v : B → V un campo vectorial arbitrario. Entonces

∂B v ·n dA = B∇ ·v dV,o en componentes,

∂Bvin i dA = B

vi,i dV,

donde n es el campo vectorial unitario normal exterior de ∂B . La cantidad que aparece en el lado izquierdo de esta relaci´ on se llama ujo de v a traves de la supercie orientada ∂B .




El Teorema 1.5 puede ser utilizado para aclarar el signicado fısico de la divergencia deun campo vectorial. Para tal efecto sea y ∈

E 3 un punto arbitrario y sea Ω δ la bola concentro y , radio δ y frontera ∂ Ωδ. Entonces en virtud del Teorema 1.5 obtenemos

∂ Ωδv (x ) ·n (x ) dA = Ωδ

(∇ ·v )(x ) dV = Ωδ(∇ ·v )(y ) + O(δ ) dV

= vol(Ω δ) (∇ ·v )(y ) + O(δ ) ,

lo cual implica que

(∇ ·v )(y ) = lımδ→0

1vol(Ωδ) ∂ Ωδ

v ·n dA.

Concluimos que cuando δ es pequeno, (∇·v )(y ) denota el ujo de v a traves de ∂ Ωδ divididopor vol(Ωδ). Si interpretamos v como un campo de velocidad en un uido, entonces el ujode v a traves de ∂ Ωδ es igual a la tasa neta (volumen por tiempo unitario) con la cual el

uido sale de Ωδ. En este sentido, (∇ ·v )(y ) es una medida de la expansi on del volumenen y .

La siguiente generalizaci on del Teorema 1.5 a campos tensoriales de segundo ordensera muy util.

Teorema 1.6 (Teorema de Divergencia Tensorial) . Sea B una regi´ on regular en E 3 con una frontera suave a trozos ∂B , y sea S : B → V 2 un campo tensorial arbitrario. Entonces

∂BSn dA = B∇ ·S dV, (1.41)

o en componentes,

∂BS ij n j dA = B

S ij,j dV,

donde n es el campo vectorial unitario normal exterior de ∂B .

Demostraci´ on. Sea a un vector arbitrario constante. Entonces

a · ∂BSn dA = ∂B

a ·Sn dA = ∂B(S T a ) ·n dA.

Como S T a es un campo vectorial podemos aplicar el Teorema 1.5 para obtener

∂B (S T

a ) ·n dA = B∇ ·(S T

a ) dV,

y en virtud de la Denici on 1.7,

B∇ ·(S T a ) dV = Ba ·(∇ ·S ) dV = a · B∇ ·S dV.

Como a fue elegido arbitrario, concluimos que (1.41) efectivamente es válido.




1.2.3.2. El Teorema de Stokes. En lo siguiente se supone que Γ ⊂E 3 es una supercie

acotada por una curva C = ∂ Γ simple, acotada y suave a trozos. Se supone que la supercie Γes orientable, acotada y suave a trozos; adem´ as se supone que la orientaci on del campotangencial unitario t sobre C y el campo vectorial normal unitario n sobre Γ son elegidas detal manera que una “persona” que “camina” a lo largo de C en la direccion t con la “cabeza”en la direccion n siempre tiene la supercie Γ a su izquierda.

Se comunica el siguiente teorema sin demostración, donde dA denota un elemento desupercie en Γ innitesimal, v : E 2 → V es un campo vectorial arbitrario, y d s es unelemento de longitud innitesimal sobre C .

Teorema 1.7 (Teorema de Stokes) . Sea Γ una supercie en E 3 con una curva de frontera suave a trozos C = ∂ Γ, y sea v : E 3 → V un campo vectorial arbitrario. Entonces

Γ(∇×v ) ·n dA = C

v ·t ds, (1.42)

donde n es un campo normal unitario sobre Γ y t es un campo tangente unitario sobre C orientado tal como se especica arriba. La cantidad que aparece en el lado derecho de (1.42)se llama circulacion de v a lo largo de la curva orientada C .

El Teorema 1.7 puede ser utilizado para aclarar la interpretaci´ on fısica del rotacional deun campo vectorial. Para tal efecto sea y ∈

E 3 un punto arbitrario y sea Γ δ un disco concentro y , radio δ y frontera ∂ Γδ. Entonces el virtud del Teorema 1.7 se tiene que

∂ Γδ

v (x ) ·t (x ) ds = Γδ

(∇×v )(x ) ·n (x ) dA = Γδ

(∇×v )(y ) ·n (y ) + O(δ ) dA

= area(Γ δ) (∇×v )(y ) ·n (y ) + O(δ ) ,

lo que implica que

n (y ) ·(∇×v )(y ) = lımδ→ 0

1area(Γ δ) ∂ Γδ

v ·t ds.

Supongamos que (∇×v )(y ) = 0 en el punto y bajo consideraci on, y sea el disco Γδ elegidotal que su vector normal está dado por

n (y ) =(∇×v )(y )

|(∇×v )(y )|.

Entonces para esta selección de Γδ obtenemos

|(∇×v )(y )| = lımδ→ 0

1area(Γ δ) ∂ Γδ

v ·t ds,

es decir para valores peque nos de δ , |(∇×v )(y )| es la circulacion de v a lo largo de ∂ Γδdivida por el area de Γ δ, donde Γδ es un disco del radio δ centrado en y con normal n enla direccion de (∇ ×v )(y ). Si interpretamos v como la velocidad de un uido, entonces(∇×v )(y ) puede ser interpretado como dos veces la velocidad angular local del uido en y .




1.2.3.3. Teorema de Localizaci´ on.

Teorema 1.8 (Teorema de Localización) . Sea B⊂E 3 un conjunto abierto y sea φ : B →R

una funci´ on continua. Sea Ω un subconjunto abierto arbitrario de B . Si

Ωφ(x ) dV = 0 para todo Ω ⊆B, (1.43)

entonces φ(x ) = 0 para todo x ∈B.

Demostraci´ on. Supongamos que existe alg un y ∈B tal que φ(y ) = 0, por ejemplo φ(y ) =2δ > 0. Entonces, por la continuidad de φ y como B es abierto, existe una vecindad abiertaΩ de y tal que Ω⊂B y φ(x ) > 0 para todo x ∈Ω. En tal caso,

Ωφ(x ) dV > δ vol(Ω) > 0,

lo que se contradice con (1.43), por lo tanto φ(x ) = 0 para todo x ∈B.

El Teorema 1.8 sigue siendo v alido si el campo escalar φ es remplazado por un campovectorial v o un tensor de segundo orden S . En particular el resultado para campos escalarespuede ser aplicado a cada una de las componentes de un vector o un tensor de segundo orden.Por otro lado, el Teorema 1.8 puede ser generalizado a otro tipo de integrales. Por ejemplo,si Γ es un disco abierto y

Ωφ(x ) dA = 0 para todo subconjunto Ω ⊆Γ abierto,

entonces mediante un argumento similar podemos demostrar que φ(x ) = 0 para todo x ∈Γ.

1.2.4. Funciones de tensores de segundo orden.

1.2.4.1. Funciones escalares de tensores de segundo orden.

Denici´ on 1.10. Una funci´ on ψ : V 2 →R se llama diferenciable en A ∈ V 2 si existe un tensor de segundo orden Dψ(A )∈V 2, llamado derivada de ψ en A , tal que

ψ(A + H ) = ψ(A ) + D ψ(A ) : H + o |H | ,

o equivalentemente,

Dψ(A ) : B =d

dαψ(A + αB )

α =0para todo B ∈V 2.

Si ψ es diferenciable en A se puede demostrar que el tensor D ψ(A ) necesariamente esunico. La segunda caracterización sigue de la primera si ponemos H = αB , dividiendo por αy tomando el lımite α →0.

Lema 1.20 (Derivada de una función escalar en componentes) . Sea e iun marco arbitrario,y sean (A11 , A12 , . . . , A33) las componentes de A en el marco e i. Entonces

Dψ(A ) =∂ψ

∂A ij(A )e i⊗e j . (1.44)




Demostraci´ on. Escribiendo ψ como funcion de las componentes Aij obtenemos (medianteun leve abuso de notaci on) ψ(A ) = ψ(A11 , A12 , . . . , A33). Para cualquier escalar α y tensorB = Bkl e k⊗e l esto entrega

ψ(A

+ αB

) = ψ(A11 + αB 11 , . . . , A33 + αB 33).Utilizando la Denici on 1.10 y la regla de la cadena obtenemos

Dψ(A ) : B =d

dαψ(A + αB )

α =0=

∂ψ∂A11

(A ) + · · ·+∂ψ

∂A33(A )

=∂ψ

∂A ij(A )e i⊗e j : Bkl e k⊗e l,

lo que concluye la demostraci on de (1.44).

Comentamos que la derivada de una función escalar ψ : V 2 →R es una funcion tensorialde segundo orden Dψ :

V 2

→ V 2. Por otro lado, como se supone que todas las derivadas

parciales existen y son continuas, podemos utilizar el Teorema de Taylor para deducir quepara todo tensor H ∈V 2 pequeno,

ψ(A + H ) = ψ(A ) +∂ψ

∂A ij(A )H ij + O|H |2

o equivalentemente,

ψ(A + H ) = ψ(A ) + D ψ(A ) : H + O|H |2 .

Ası, en el caso suave la diferencia entre ψ(A + H ) y ψ(A ) + D ψ(A ) : H es O(|H |2), y nosolamente o(|H |) como la denicion de Dψ(A ) indica.

Ejemplo 1.7. Consideremos la funci on ψ : V 2 → V 2 denida por

ψ(A ) =12

A : A =12

Akl Akl .

Para calcular D ψ(A ) tomamos la derivada parcial de ψ con respecto a una componentegeneral Aij , lo que entrega

∂ψ∂A ij

(A ) =12

∂Akl

∂A ijAkl +

12

Akl∂Akl

∂A ij=

∂Akl

∂A ijAkl .

Como ∂Akl /∂A ij = δ ki δ lj obtenemos

∂ψ∂A ij (A ) = δ ki δ lj Akl = Aij ,

es decir Dψ(A ) = Aij e i⊗e j = A .

Lema 1.21 (Derivada del determinante) . Sea ψ(S ) = det S . Si A es invertible, entonces la derivada de ψ en A es

Dψ(A ) = det( A )A − T . (1.45)




Demostraci´ on. Sea B ∈V 2 arbitrario, entonces para λ = −1/α se tiene que

ψ(A + αB ) = det( A + αB ) = det αA (A − 1B −λI ) = det( αA )det( A − 1B −λI ).

Por la denici on del determinante de αA

∈ V 2 se tiene que det( αA ) = α3 det A , y por la

denicion de los invariantes principales del tensor de segundo orden A − 1B obtenemos

det( A − 1B −λI ) = −λ3 + λ2I 1(A − 1B ) −λI 2(A − 1B ) + I 3(A − 1B )

=1

α 3 +1

α 2 I 1(A − 1B ) +1α

I 2(A − 1B ) + I 3(A − 1B ),

es decir

ψ(A + αB ) = det A + α(det A )I 1(A − 1B ) + α2(det A )I 2(A − 1B ) + α 3(det A )I 3(A − 1B ).

Esta expresi on y la Denicion 1.10 implican que

Dψ(A ) : B = (det A )I 1(A − 1B ),

y como I 1(A − 1B ) = tr( A − 1B ) = A − T : B encontramos que

Dψ(A ) : B = (det A )A − T : B .

El resultado deseado (1.45) sigue porque B es arbitrario.

Lema 1.22 (Derivada del determinante con respecto al tiempo) . Sea S un tensor de segundoorden que depende del tiempo, es decir S : R → V 2. Entonces

d

dt(det S ) = (det S )tr( S − 1S ) = det( S )S − T : S , (1.46)

donde

S =dS dt

=dS ijdt

e i⊗e j .

Demostraci´ on. Sea ψ(S ) = det S , entonces

ddt

ψ(S ) =ddt

ψ(S 11 , S 12 , . . . , S 33).

Aplicando la regla de la cadena obtenemos

ddt ψ(S ) = ∂ψ∂S 11(S ) dS 11

dt + · · ·+ ∂ψ∂S 33(S ) dS 33

dt = D ψ(S ) : S .

Como Dψ(S ) = det( S )S − T obtenemos

ddt

ψ(S ) = det( S )S − T : S = (det S )tr( S − 1S ).




1.2.4.2. Funciones tensoriales.

Denici´ on 1.11 (Funci on tensorial diferenciable) . Una funci´ on Σ : V 2 → V 2 se dice dife-renciable en A ∈ V 2 si existe un tensor de cuarto orden D Σ (A ) ∈ V 4, llamado derivada

de Σ

en A , tal que Σ (A + H ) = Σ (A ) + D Σ (A )H + o |H |

o equivalentemente

DΣ (A )B =d

dαΣ (A + αB )

α =0para todo B ∈V 2,

donde α∈R .

Si Σ es diferenciable en A se puede demostrar que el tensor D Σ (A ) necesariamente esunico. La segunda caracterización sigue de la primera si ponemos H = αB , dividiendo por αy tomando el lımite α →0.

Lema 1.23 (Derivada de una función tensorial en componentes) . Sea e iun marco arbi-trario y sea Σ (A ) = Σ ij (A )e i⊗e j . Sean (A11 , A12 , . . . , A33) las componentes de A en el marco e i. Entonces

DΣ (A ) =∂ Σ ij

∂Akle i⊗e j⊗e k⊗e l. (1.47)

Demostraci´ on. Escribiendo las componentes Σ ij como funciones de las componentes Aij obte-nemos (mediante un leve abuso de notación) Σ ij (A ) = Σ ij (A11 , A12 , . . . , A33). Para cualquierescalar α y tensor B = Bkl e k⊗e l esto entrega

Σ ij (A + αB ) = Σ ij (A11 + αB 11 , . . . , A33 + αB 33).

Utilizando la regla de la cadena obtenemosd

dα(A + αB )

α =0=

∂ Σ ij

∂A11(A )B11 + · · ·+

∂ Σ ij

∂A33(A )B33 =

∂ Σ ij

∂AklBkl .

Utilizando este resultado y la Denición 1.11 obtenemos

DΣ (A )B =d

dαΣ (A + αB )

α =0=

ddα

Σ ij (A + αB )α =0

e i⊗e j =∂ Σ ij

∂Akl(A )Bkl e i⊗e j

=∂ Σ ij

∂Akl(A )e i⊗e j⊗e k⊗e l B ,

lo que concluye la demostraci on de (1.47).

Comentamos que la derivada de una función tensorial de segundo orden Σ : V 2 → V 2 esuna funci on tensorial de cuarto orden D Σ : V 2 → V 4. Por otro lado, como se supone quetodas las derivadas parciales existen y son continuas, podemos utilizar el Teorema de Taylorpara deducir que para todo tensor H ∈V 2 pequeno,

Σ ij (A + H ) = Σ ij (A ) +∂ Σ ij

∂Akl(A )H kl + O|H |2




o en notaci on tensorial,

Σ (A + H ) = Σ (A ) + D Σ (A )H + O|H |2 .

Ası, en el caso suave la diferencia entre Σ (A + H ) y Σ (A ) + D Σ (A )H es

O(

|H

|2), y no

solamente o(|H |) como la denicion de DΣ (A ) indica.Ejemplo 1.8. Consideremos la funci on Σ : V 2 → V 2 denida por Σ (A ) = tr( A )A , oen componentes, Σ ij (A ) = Amm Aij . Entonces las componentes [D Σ (A )]ijkl de la derivadaDΣ (A ) est an dadas por

[DΣ (A )]ijkl =∂ Σ ij

∂Akl(A ) =

∂Amm

∂AklAij + Amm

∂A ij

∂Akl= δ mk δ ml Aij + Amm δ ik δ jl

= δ kl Aij + Amm δ ik δ jl .

Para cualquier B ∈V 2 se obtiene entonces

DΣ (A )B = [DΣ (A )]ijkl Bkl e i⊗

e j = ( δ kl Aij Bkl + Amm δ ik δ jl Bkl )e i⊗

e j= tr( B )A + tr( A )B .

1.3. Ejercicios

Problema 1.1 (Tarea 1, Curso 2012) .

a) Resolver las expresiones (i) δ ii δ jj , (ii) δ α 1δ αγ δ γ 1.b) Resolver las expresiones (i) εijk εijk , (ii) εijk δ 2 j δ 3kδ 1i .c) Escribir la expresi on (a ×b) ·(c ×d ) sin utilizar el producto vectorial ×, y sin ındices.d) Demostrar que ( a

×b)

×(c

×d ) = c(d

·(a

×b))

−d (c

·(a

×b)).

e) Sean a , b, c vectores linealmente independientes y v un vector dado por v = αa +β b + γ c = 0 . Demostrar que

α =εijk vib j ck

ε pqr abbqcr,

y encontrar formulas an´ alogas para β y γ .


a) Sea A un tensor de segundo orden simetrico y B un tensor de segundo orden anti-simetrico. Demsotrar que A : B = 0.

b) Sean A y B tensores de segundo orden y v un vector. Demostrar que (i) v

·Av =

v ·(sym A )v , (ii) A : B = sym( A ) : sym(B ) + skew( A ) : skew(B ).c) Sea Q un tensor de segundo orden e I el tensor identidad. Demostrar que Q es

ortogonal si H = Q −I satisface H + H T + HH T = O .d) Sean S y E tensores de segundo orden simetricos tales que S = C E , donde C

∈ V 4

posee las componentesC ijrs = λδ ij δ rs + µ(δ ir δ js + δ is δ jr ).



1.3. EJERCICIOS 43

Demostrar que

S = λ(tr E )I + 2 µE , E =1

2µS −

λ tr S 2µ(3λ + 2 µ)

I .

Problema 1.3 (Tarea 1, Curso 2012) .a) Sea A ∈V 2 un tensor invertible. Demostrar que

∂ (ln det A )∂ A

= A − T ;∂ (lndet( A − 1))

∂ A= −A − T .

b) Sean A y B constantes. Demostrar que

∂ (tr( ASB T ))∂ S

= A T B ,∂ (tr( AS T B T ))

∂ S = B T A ,

∂ (tr( ASB T S T ))∂ S

= A T SB + ASB T .

c) Sea S ∈V 2 simetrico y denido positivo. Demostrar que

∂I 1(S )∂ S

= I ,∂I 2(S )

∂ S = I 1(S )I −S ,

∂I 3(S )∂ S

= I 3(S )S − T .


a) Sea B una regi on en E 3 con frontera ∂B y n el vector normal unitario exterior sobre∂B . Sea v un campo vectorial denido en B. Utilizando el teorema de divergenciapara tensores de segundo orden, demostrar que

B∇v dV = ∂B

v⊗n dA.

b) Sea, adem as, w otro campo vectorial y S un campo tensorial denidos sobre B . De-mostrar que

∂B(Sn )⊗v dA = B

(∇ ·S )⊗v + S ∇v T dV,

∂Bv ·(Sn ) dA = B

(∇ ·S ) ·v + S :∇v dV,

∂B(w ·n )v dA = B

(∇ ·w )v + (∇v )w dV.

c) Demostrar que el Teorema de Stokes puede ser escrito como

C v ·dx = Γ

(n ×) :∇v dA.

d) Supongamos que el campo vectorial v satisface v ·n = 0 sobre Γ. Utilizando el Teoremade Stokes demostrar que

C (n ×v ) ·dx = Γ

(I −n ×n ) :∇v dA.




Problema 1.5 (Certamen 1, Curso 2012) . Sea C : V 2 → V 2 un tensor de orden 4 denidopor C (A ) = tr( A )I + A , y sea la funcion ψ : V 2 →R denida por ψ(A ) = 1

2 A : C (A ).Demostrar que:

a) A : C (B ) = C (A ) : B para todo A , B

∈V 2,

b) Dψ(A ) = C (A ).



Capıtulo 2

Conceptos de masa y fuerza del continuo

En este capıtulo introuciremos el concepto de un cuerpo continuo y discutiremos suspropiedades de masa, y los diferentes tipos de fuerza que pueden actuar sobre el. Veremosque la discusion de fuerzas internas de un cuerpo continuo nos llevar´ a al concepto de uncampo tensorial de tensión—nuestro primer ejemplo de un campo tensorial de segundo ordenen un contexto fısico. Introduciremos las condiciones b´ asicas necesarias para el equilibriomecanico de un cuerpo continuo, luego derivaremos el enunciado correspondiente en terminosde ecuaciones diferenciales.

La ideas importantes de este capıtulo son las siguientes: (i) el concepto de la densidadde masa, el cual nos permite denir la masa de una parte arbitraria de un cuerpo, (ii) elconcepto de los campos de fuerza de cuerpo y de supercie, los que nos permiten denirla fuerza resultante y el momento de torsi´ on sobre una parte arbitraria del cuerpo, (iii) elconcepto del campo de tensi on de Cauchy y su relaci on con los campos de fuerza de supercie,y (iv) las ecuaciones del equilibrio de un cuerpo.

2.1. Cuerpos continuosLa hipotesis mas basica consiste en que para cualquier cuerpo material, sea un s´ olido,

uido, o gas, el material involucrado puede ser modelado como continuo ; se ignora la na-turaleza atómica de la materia y se supone que la materia es innitamente divisible. Estahipotesis nos lleva a modelos materiales muy efectivos en escalas de longitud mucho mayoresque el espacio interatómico tıpico. Sin embargo para escalas comparables o menores que elespacio interatómico esta hipotesis ya no es valida.

La hipotesis del continuo nos permite identicar, en cualquier instante jo, un cuerpomaterial con un subconjunto B ⊆

E 3 del espacio Euclidiano E 3. En particular, cualquierpartıcula material se identica con un punto x ∈B. El conjunto B se llama conguraci´ on del cuerpo en E 3. A menos que el contrario sea mencionado explıcitamente siempre se su-pondr a que B es un cuerpo regular en el sentido de la Secci on 1.2.3.1. Se identican cuerposmateriales con subconjuntos abiertos puramente por conveniencia matem´ atica. Igualmenteseria razonable identicar un cuerpo material con la clausura de un tal subconjunto.

De acuerdo a la experiencia fısica, un cuerpo tiende a moverse y en general cambia suforma bajo el efecto de inuencia externa. Ası, en general un cuerpo material dado asumediversas conguraciones en el transcurso del tiempo. Sin embargo para el prop´ osito delanalisis en este capıtulo nos concentraremos en un instante jo, y una conguraci´ on B unica.

45



46 2. CONCEPTOS DE MASA Y FUERZA DEL CONTINUO

2.2. Masa

La masa es una propiedad fısica que cuantica la resistencia a aceleraci´ on. Aquı introdu-ciremos los conceptos centrales de la densidad de masa para un cuerpo continuo y del centrode masa.

2.2.1. Densidad de masa. De acuerdo a la hip otesis del continuo suponemos que el cuerpoB est a distribuido continuamente sobre la totalidad del volumen, adem´ as se supone quecualquier subconjunto de B con volumen positivo posee masa positiva, y que esta masatiende a cero cuando el volumen tiende a cero. Para precisar estas ideas denotamos pormass(Ω) la masa de un subconjunto abierto Ω ⊆B. Luego suponemos que existe un campode densidad de masa por volumen unitario : B →R tal que

mass(Ω) = Ω(x ) dV x .

Se supone que (x ) > 0 para todo x

∈

B, y se utiliza dV x para denotar un elemento devolumen innitesimal en x

∈Ω. En particular, el volumen de Ω est a dado por

vol(Ω) = ΩdV x .

Formalmente el campo de densidad puede ser denido de acuerdo lo siguiente. Sea x ∈Bun punto arbitrario y sea Ω δ(x ) una familia de volumenes tal que vol(Ω δ(x )) →0 cuandoδ →0 y x ∈Ωδ(x ) para cada δ > 0. Entonces

(x ) = lımδ→0

mass(Ωδ(x ))vol(Ωδ(x ))

.

Nuestra hip otesis basica sobre la distribuci on de masa en un continuo es que este lımite

existe y es positivo para cada x∈B. Ademas suponemos que este lımite es el mismo paracada familia Ωδ con las propiedades mencionadas.

2.2.2. Centro de masa. El centro de masa de un subconjunto abierto Ω ⊆B es el punto

x com =1

mass(Ω) Ωx (x ) dV x .

El centro de volumen de un subconjunto abierto Ω ⊆B es el punto

x cov =1

vol(Ω) Ωx dV x .

Notar que no necesariamente x com ∈B o x cov∈B.

2.3. Fuerza

Las interacciones mec anicas entre diferentes partes de un cuerpo o entre un cuerpo y suentorno se describen por fuerzas . Aquı describiremos dos tipos básicos de fuerzas: fuerzas decuerpo, las cuales act uan sobre puntos interiores de un cuerpo, y fuerzas superciales queact uan sobre supercies internas entre diferentes partes de un cuerpo, y sobre superciesexternas entre el cuerpo y su entorno.



2.3. FUERZA 47

2.3.1. Fuerza de cuerpo. El termino fuerza de cuerpo denomina cualquier fuerza que noorigina en el contacto fısico entre cuerpos. Tal fuerza es el resultado de una acci´ on distante.Un ejemplo tıpico es la fuerza gravitacional. La fuerza de cuerpo, por volumen unitario,ejecutada por una inuencia externa sobre un cuerpo B supuestamente está dada por unafuncion b : B → V , llamada campo de fuerza de cuerpo sobre B .

Sea Ω⊆B un subconjunto abierto arbitrario de B. Entonces la fuerza resultante sobre Ωdebido a un campo de fuerza de cuerpo por volumen unitario est´ a denida como

r b(Ω) = Ωb(x ) dV x ,

y el momento de torsi on resultante en torno a un punto z esta denido por

τ b(Ω) = Ω(x −z ) ×b(x ) dV x .

A veces es conveniente introducir un campo de fuerza de cuerpo por masa unitaria denidopor

b(x ) =1(x )

ˆb(x ).

En este caso la fuerza resultante es

r b(Ω) = Ω(x )b(x ) dV x ,

y el momento de torsi on resultante en torno a z esta dado por

τ b(Ω) = Ω(x −z ) × (x )b(x ) dV x .

Se puede lograr que τ b (Ω) = 0 por la seleccion apropiada del punto de referencia z . Porejemplo, si b es uniforme (constante), entonces el momento de torsi´ on en torno al centro demasa x com desaparece. Similarmente, si la fuerza de cuerpo por volumen unitario b es uni-forme, entonces el momento de torsión τ b (Ω) en torno al centro de volumen x cov desaparece.

2.3.2. Fuerza de supercie. Se denomina por fuerza de supercie cualquier fuerza queorigina en el contacto fısico entre cuerpos. Si nos referimos a una fuerza de supercie a lolargo de una supercie imaginaria en el interior de un cuerpo se dice que la fuerza es interna .Por otro lado, si nos referimos a una fuerza de supercie a lo largo de la supercie quelimita un cuerpo se dice que la fuerza es externa . A grandes rasgos, las fuerzas de supercieinternas son las que aseguran la cohesion de un cuerpo bajo la aplicaci´ on de una carga porqueresisten a la tendencia de una parte del cuerpo de ser arrancada desde otra parte. Por otrolado, las fuerzas de supercie externas son las fuerzas de contacto aplicadas a un cuerpo porsu entorno.




Γ 1Γ 2

n

x

Γ 3

t 1 = t 2 = t 3

Figura 2.1. Ilustraci on del Axioma 2.1 (Postulado de Cauchy).

2.3.2.1. Concepto de un campo de tracci´ on. Sea Γ una supercie arbitraria orientada en Bcon un campo normal unitario n : Γ → V . En cada punto x ∈Γ la normal unitaria n (x )

dene un lado positivo y un lado negativo de Γ. La fuerza por área unitaria que ejerce elmaterial ubicado al lado positivo sobre el material al lado negativo supuestamente est´ a dadapor una funci on t n : Γ → V , la cual se llama tracci´ on o campo de fuerza supercial sobre Γ.Si Γ pertenece a la supercie que acota B , siempre se elige n como campo unitario normalexterior. En este caso t n representa la fuerza por área unitaria aplicada a la supercie de Bexternamente.

La fuerza resultante de un campo de tracci´ on aplicado a una supercie orientada est´ a dadapor

r s(Γ) = Γt n (x ) dAx ,

donde dAx representa un elemento de supercie innitesimal en x

∈

Γ. Similarmente elmomento de torsi on con en torno a un punto z debido a un campo de tracción sobre Γesta dado por

τ s(Γ) = Γ(x −z ) ×t n (x ) dAx .

2.3.2.2. Postulado de Cauchy, Ley de Acci´ on y Reacci´ on. La teorıa de fuerzas de supercieen la mecanica del medio continuo cl asica est a basada en la siguiente hipótesis, tıpicamentedenominada Postulado de Cauchy (Figura 2.1).

Axioma 2.1 (Dependendencia de la tracción de la geometrıa) . El campo de tracci´ on t n

sobre una supercie Γ en B depende solamente puntualmente del campo normal unitario n .

En particular existe una funci´ on t : N ×B → V , donde N ⊂V denota el conjunto de todos los vectores unitarios, tal que t n (x ) = t (n (x ), x ). La funci´ on t se llama funcion tracci onpara B .

Ası, el vector tracción t n en un punto x depende solamente de los valores de x y n (x ). Enparticular, t n no depende del valor de ∇n (x ), el cual describe la curvatura de la supercie.Para ilustrar una consecuencia de esto, consideremos una familia de supercies Γ 1, Γ2 y Γ3en B (ver Figura 2.1). Supongamos que un punto x pertenece a todas estas supercies, y



2.3. FUERZA 49

Γ −

D

n

x

Γ +

Figura 2.2. Ilustraci on de la demostraci on del Lema 2.1.

que tienen en comun el vector normal unitario n en x . En particular, n i(x ) = n , donde n ies el campo normal unitario de Γ i . Si t n i denota el campo de tracción de Γi , entonces

t n 1 (x ) = t n 2 (x ) = t n 3 (x ).

Como n i(x ) = n , el valor comun de estos tres vectores de tracción es t (n , x ).El siguiente resultado demuestra que la funci´ on tracci on satisface una cierta ley de acci ony reaccion. En lo siguiente Ω denota un subconjunto Ω ⊆B regular y abierto con unafrontera ∂ Ω y el campo normal unitario n .

Lema 2.1 (Ley de Accion y Reaccion) . Sea t : N ×B → V la funci´ on tracci´ on para un cuerpo B. Sea t (n , x ) una funci´ on continua que para cualquier sucesi´ on de subconjuntos Ωcuyos vol´ umenes tienden a cero satisfaga

1area( ∂ Ω) ∂ Ω

t n (x ), x dAx →0 cuando vol(Ω) →0. (2.1)

Entonces

t (−n , x ) = −t (n , x ) para todo n∈N y x

∈B. (2.2)Demostraci´ on. Sean x ∈B y n ∈ N arbitrarios, y sea D⊂B un disco de radio arbitrariojo con centro x y normal n (ver Figura 2.2). Para δ > 0 sea Ωδ ⊂B el cilindro concentro x , altura δ , eje n , caras en los extremos Γ± paralelas a D, y cara lateral Γ δ. Notarque area(Γ δ) →0 y Γ± →D cuando δ →0. Sea n el campo normal unitario exterior sobre∂ Ωδ. Notamos que n (y ) = ±n es constante sobre Γ ± . Considerando solamente el segundofactor en (2.1) obtenemos

lımδ→0 ∂ Ωδ

t n (y ), y dAy = 0 ,

y como ∂ Ωδ = Γ δ

∪

Γ+

∪

Γ− , obtenemos

lımδ→ 0 Γδ

t n (y ), y dAy + Γ+

t (n , y ) dAy + Γ−

t (−n , y ) dAy = 0 . (2.3)

El primer termino desaparece porque t (n (y ), y ) es una funcion continua, y por lo tantoacotada, y el hecho de que area(Γ δ) →0. Como Γ± →D el lımite (2.3) implica que

Dt (n , y ) + t (−n , y ) dAy = 0 .




x

Γ δ

n

e 1

e 2

e 3

Figura 2.3. Ilustraci on de la demostraci on del Teorema 2.1.

Como el radio de D es arbitrario deducimos por una leve generalizaci´ on del Teorema 1.8 queel integrando debe desaparecer en el centro de D, por lo tanto t (n , x ) + t (−n , x ) = 0 , lo

que concluye la demostraci on de (2.2).El Lema 2.1 implica que la tracci on que el material ubicado en el lado positivo ejerce al

material ubicado en el lado negativo de una supercie orientada, respectivamente, es igualy opuesta, en cada punto, a la tracci´ on que el material ubicado en el lado negativo ejerce almaterial ubicado en el lado positivo.

La condicion (2.1) arma que la fuerza de supercie resultante, dividida por el ´ areade supercie, tiende a cero cuando el volumen del cuerpo tiende a cero. Esta condici´ on esconsistente con el axioma de balance de momento lineal (Axioma 4.2) si suponemos que loscampos de fuerza de cuerpo y de aceleraci on son acotados. En nuestro desarrollo siempresupondremos que esto es ası.

Finalmente comentamos que la demostraci´ on del Lema 2.1 no hace uso completo de (2.1).En particular la demostraci´ on utiliza solamente el segundo factor de (2.1), lo que implica quela fuerza resultante tiende a cero cuando el volumen del cuerpo tiende a cero. El Teorema 2.1abajo har a uso completo de (2.1).

2.3.3. El tensor tensi´ on. Utilizando el Lema 2.1 podemos determinar la forma especıcaen la cual la funcion tracci on t (n , x ) depende de n . El siguiente resultado es tıpicamentereferido como Teorema de Cauchy y sera fundamental para el futuro desarrollo.

Teorema 2.1 (Existencia del Tensor Tensión). Sea t : N ×B → V la funci´ on tracci´ on de un cuerpo B, y supongamos que esta funci´ on satisface las condiciones del Lema 2.1. Entonces t (n , x ) es lineal en n , es decir para cada x ∈B existe un tensor de segundo orden S (x )∈V 2

tal que t (n , x ) = S (x )n . (2.4)

El campo S : B → V 2 se llama campo tension de Cauchy para B .

Demostraci´ on. Sea e iun marco arbitrario, x ∈B un punto arbitrario y se consideran ∈ N arbitrario tal que n j = n ·e j > 0 para cada j . Para δ > 0 sea Γδ⊂B una regi ontriangular con centro x , normal n , longitud m axima de cada lado δ , y cada lado localizado



2.3. FUERZA 51

en un diferente plano de coordenadas (ver Figura 2.3). Adem´ as, sea Ωδ ⊂B el tetraedroacotado por Γ δ y los tres planos de coordenadas. En partiuclar, Ω δ posee tres caras Γ j con losrespectivos vectores normales unitarios exteriores e j , una cara Γ δ con la normal exterior n ,y vol(Ωδ)

→0 cuando δ

→0. Sea n el campo vectorial normal unitario exterior sobre ∂ Ωδ,

donde notamos que n (y ) = −e j (constante) sobre Γ j y n (y ) = n (constante) sobre Γ δ. Envirtud de (2.1) se tiene que

lımδ→0

1area( ∂ Ωδ) ∂ Ωδ

t n (y ), y dAy = 0 ,

y como ∂ Ωδ = Γ δ∪Γ1∪Γ2∪Γ3,

lımδ→0

1area( ∂ Ωδ) Γδ

t (n , y ) dAy +3

i=1 Γ j

t (−e j , y ) dAy = 0 . (2.5)

Como cada Γ j puede ser mapeado linealmente a Γ δ con el Jacobiano constante n j > 0, se

tiene que area(Γ j ) = n j area(Γ δ) y

area( ∂ Ωδ) = area(Γ δ) +3

i=1

area(Γ i) = λ area(Γ δ),

donde λ = 1+ n1 + n2 + n3 es independiente de δ . Insertando este resultado en (2.5) obtenemos

lımδ→0

1area( ∂ Ωδ) Γδ

t (n , y ) +3

i=1

t (−e j , y )n j dAy = 0 .

En virtud del Teorema del Valor Medio para integrales, y considerando que el integrandoes continuo y Γδ se contrae al punto x , el lımite en el lado izquierdo es el integrando en el

punto x , por lo tanto

t (n , x ) +3

i=1

t (−e j , x )n j = 0 .

Utilizando el Lema 2.1 y aplicando el convenio de sumaci on podemos esctibir esto como

t (n , x ) = t (e j , x )n j = t (e j , x )⊗e j n = S (x )n , (2.6)

donde

S (x ) = t (e j , x )⊗e j . (2.7)

Concluimos que para x arbitrario existe un tensor de segundo orden S (x ) tal que t (n , x ) =S (x )n para todo n tal que n ·e j > 0.

Este resultado puede ser generalizado a otros vectores unitarios. Por ejemplo, si n satis-face n ·e 1 < 0, con las demas componentes siendo positivas, podemos introducir un marconuevo e jtal que e 1 = −e 1, e 2 = e 3 y e 3 = e 2. En este marco el vector n satisface n ·e j > 0y se pueden aplicar los argumentos anteriores con el resultado

t (n , x ) = t (e j , x )⊗e j n .




e 1 t (e 1 ,x )

t (e 2 ,x )

e 2

e 3t (e 3 ,x )

x

Figura 2.4. Ilustraci on de los vectores de tracci on sobre los planos de coor-denadas con las normales e 1, e 2 y e 3. Estos vectores de tracción pueden serinterpretados como las fuerzas de supercie (por ´ area unitaria) de un cuboinnitesimal centrado en x .

Sin embargo, en virtud de la denición de e jy del Lema 2.1 obtenemos (todavıa utilizandoel convenio de sumacion)

t (e j , x )⊗e j = t (e j , x )⊗e j ,

por lo tanto (2.6) sigue siendo v alido para todo n tal que n ·e 1 < 0 y n ·e j > 0, j = 2 , 3.Continuando ası encontramos que t (n , x ) = S (x )n para todo n tal que n ·e j = 0 ( j = 1 , 2, 3).Como t (n , x ) es continuo segun hip otesis este resultado se extiende a todo n .

En lo siguiente denotaremos los campos normales por n (x ) al lugar de n (x ). Ası, envirtud del Axioma 2.1 y del Teorema 2.1, el campo de tracción sobre una supercie con lanormal n (x ) est a dado por

t n (x ), x = S (x )n (x ).

Si no hay riesgo de confusion, utilizaremos la abreviatura t (x ) = S (x )n , o simplementet = Sn . En componentes, en cualquier marco e iesta identidad es de la forma t i = S ij n j .

Las nueve componentes del tensor tensión S (x ) pueden ser entendidas como las com-ponentes de los tres vectores tracción t (e j , x ) sobre los planos de coordenadas en x . Enparticular, insertando t (e j , x ) = t i(e j , x )e i en (2.7) obtenemos S (x ) = S ij (x )e i⊗e j , dondeS ij (x ) = t i(e j , x ). Ası los vectores tracción sobre los planos de coordenadas con normalese k , k = 1 , 2, 3, en x estan dados por

t (e k , x ) = t i(e k , x )e i = S ik (x )e i , k = 1 , 2, 3,

ver Figura 2.4.

2.4. Equilibrio

Aquı se formula un axioma que proporciona las condiciones necesarias para que un cuerpocontinuo este en equilibrio mecánico, es decir este estacionario en un marco jo para el espacioEuclidiano E 3. Luego se derivara una forma local en terminos de ecuaciones diferenciales.



2.4. EQUILIBRIO 53

2.4.1. Preliminares. Consideremos un cuerpo continuo en el espacio Euclidiano E 3. Su-pongamos que en un instante dado el cuerpo est´ a sin movimiento y que posee la congu-racion B0. Supongamos luego que el cuerpo est a expuesto a un campo de tracción exteriory un campo de fuerza de cuerpo tal que el cuerpo cambia de forma y queda jado en unaconguracion B . En esta conguraci on se denota el campo de densidad de masa por volumenunitario por : B →R , el campo de traccion externo por área unitaria por h : ∂B → V , yel campo de fuerza de cuerpo por masa unitaria como b : B → V . Se supone que , h y bson independientes del tiempo.

2.4.2. Condiciones necesarias. Sea Ω cualquier subconjunto abierto Ω ⊆B y sea t :∂ Ω → V el campo de tracci on que act ua sobre su supercie, con la orientación determinadapor el campo normal exterior. (Notar que t = h en el caso especial Ω = B.) La fuerzaresultante debida a las fuerzas de cuerpo y de supercie est´ a dada por

r (Ω) = r b (Ω) + r s(Ω) = Ω(x )b(x ) dV x + ∂ Ω

t (x ) dAx , (2.8)

y el momento de torsi on sobre Ω con respecto a un punto z , debido a las mismas fuerzas decuerpo y de supercie, es

τ (Ω) = τ b(Ω) + τ s(Ω) = Ω(x −z ) × (x )b(x ) dV x + ∂ Ω

(x −z ) ×t (x ) dAx , (2.9)

Las condiciones necesarias para el equilibro, las cuales a su vez son consecuencia de unaxioma mas general a ser formulado m as adelante (Axioma 4.2), pueden ser formuladascomo el siguiente axioma.Axioma 2.2 (Condiciones de equilibrio) . Si un cuerpo en una conguraci´ on B se encuentra en equilibrio mec´ anico, entonces la fuerza resultante y el momento de torsi´ on resultante en torno a cualquier punto jo (por ejemplo, el origen) deben desaparecer para cualquier subconjunto abierto Ω⊆B, o sea

r (Ω) = Ω(x )b(x ) dV x + ∂ Ω

t (x ) dAx = 0 ∀Ω⊆B,

τ (Ω) = Ωx × (x )b(x ) dV x + ∂ Ω

x ×t (x ) dAx = 0 ∀Ω⊆B.(2.10)

La libertad en la selecci on del punto de referencia para τ (Ω) es una consecuencia de laprimera parte de (2.10). En particular, si r (Ω) = 0 , entonces τ (Ω) (como denido en (2.9)))es independiente de z (Tarea).

2.4.3. Ecuaciones locales.

Lema 2.2 (Ecuaciones locales de equilibrio) . Si el campo tensi´ on de Cauchy S es continua-mente diferenciable, y los campos densidad y fuerza de cuerpo b son continuos, entonces las condiciones de equilibrio (2.10) son equivalentes a

(∇ ·S )(x ) + (x )b(x ) = 0 , S T (x ) = S (x ) para todo x ∈B, (2.11)o en componentes,

S ij,j (x ) + (x )bi(x ) = 0 , S ij (x ) = S ji (x ) para todo x ∈B.




Demostraci´ on. Para demostrar la primera identidad de (2.11) utilizamos la denci´ on delcampo tensi on de Cauchy (Teorema 2.1) para escribir la primera identidad de (2.10) como

∂ Ω

Sn dAx +

Ω

b dV x = 0 ,

donde omitimos la dependencia de los integrandos de x , y n denota el vector normal unitarioexterior de ∂ Ω. Utilizando el Teorema 1.6 obtenemos

Ω(∇ ·S + b) dV x = 0 .

Como esta ecuaci on debe ser valida para cualquier subregión Ω⊆B, y el integrando escontinuo segun hip otesis, podemos aplicar el Teorema 1.8 para obtener la primera expresi´ onde (2.11).

Para establecer la segunda expresi´ on de (2.11) utilizamos la denicion del campo tensiónde Cauchy para reescribir la segunda ecuaci´ on de (2.10) como

∂ Ωx ×(Sn ) dAx + Ω

x ×( b) dV x = 0 ,

luego utilizamos el resultado b = −∇ ·S de la primera ecuaci on de (2.11) par reescribiresto como

∂ Ωx ×(Sn ) dAx − Ω

x ×(∇ ·S ) dV x = 0 , (2.12)

Para simplicar (2.12) denimos un campo tensorial R = R il e i⊗e l por

R il = εijk x j S kl .

Este campo tensorial satisface Rn = x

×(Sn ), y permite formular (2.12) como

∂ ΩRn dAx − Ω

x ×(∇ ·S ) dV x = 0 , (2.13)

Aplicando el Teorema 1.6 al primer termino de (2.13) obtenemos

Ω ∇ ·R −x ×(∇ ·S ) dV x = 0 .

Como esta ecuaci on debe ser valida para todo subconjunto Ω ⊆B, y el integrando es continuosegun hip otesis, podemos aplicar el Teorema 1.8 para obtener

∇ ·R −x ×(∇ ·S ) = 0 para todo x ∈B,

es decir, en componentes,(εijk x j S kl ),l −εijk x j S kl,l = 0 para todo x ∈B. (2.14)

El lado izquierdo de esta ecuaci on puede ser simplicado utilizando que

(εijk x j S kl ),l −εijk x j S kl,l = εijk x j,l S kl + εijk x j S kl,l −εijk x j S kl,l = εijk x j,l S kl = εijk δ jl S kl

= εijk S kj .



2.5. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA TENSI ON 55

Ası, (2.14) se convierte en εijk S kj = 0, lo que a su vez implica que εijk S kj + εikj S jk = 0porque j y k son ındices mudos. Utilizando propiedades del sımbolo de permutaci´ on podemosescribir esta ultima identidad como

εijk (S kj −S jk ) = 0 .Si tomamos (i,j,k ) distintos, y permitiendo que i = 1 , 2, 3, concluimos que S kj = S jk para1 j, k 3 para todo x ∈B, lo cual es el enunciado de la segunda identidad de (2.11).

Las ecuaciones integrales (2.10) pueden ser derivadas simplemente de las ecuaciones lo-cales (2.11) por una simple integración de (2.11) sobre un subconjunto abierto Ω ⊆B, yrevertiendo el orden de los argumentos previos.

Mas adelante veremos que la simetrıa del campo tensi on de Cauchy es valida inclusocuando un cuerpo no está en equilibrio (ver Capıtulo 4).

Algunos textos denen un tensor tensi´ on T como el traspuesto del tensor tensión de

Cauchy S denido aquı: T = S T

. Sin embargo, como S es simetrico esta distinción esirrelevante en la práctica.Comentamos, además, que las ecuaciones locales (2.11) no determinan completamente el

campo tensi on de Cauchy para un cuerpo en equilibrio. En particular, la primera identidadde (2.11) es formada por tres ecuaciones diferenciales parciales, a la cual se agregan tresecuaciones algebraicas de la segunda ecuaci on de (2.11), de las cuales hay que determinar lasnueve componentes de S . La falta de ecuaciones se presentará frecuentamente en los próximoscapıtulos. Este problema se resuelve mediante la introducci´ on de ecuaciones constitutivas ,las cuales describen las propiedades materiales especıcas de un cuerpo.

El campo tracci on h denido sobre ∂B representa la fuerza de supercie, por área uni-taria, efectuada por el entorno de B. Ası, en virtud del Teorema 2.1 obtenemos Sn = h

para todo x∈∂B , donde n es el campo normal unitario exterior sobre ∂B . Esta observaci ongenera condiciones de borde para las ecuaciones diferenciales parciales en la primera ecuación

de (2.11).Finalmente enfatizamos que para derivar las ecuaciones de equilibrio hemos supuesto la

continuidad de y b, y la diferenciabilidad continua de S . En la pr actica la derivaci on detales propiedades de regularidad para las ecuaciones de campo de la mec´ anica del mediocontinuo es un problema importante. En lo siguiente siempre supondremos (sin menci´ onexplıcita) que los campos bajo consideración son sucientemente regulares para poder deleyes integrales a ecuaciones diferenciales mediante el argumento de localizaci´ on.

2.5. Conceptos fundamentales de la tensi´ onAquı describiremos varios estados de tensi´ on que pueden existir en un punto en un cuerpo

material y deniremos los valores y las direcciones principales de la tensi on. Se introducir anlos conceptos de tensi on normal y de tensi on de cizalla en un punto de supercie con un vectornormal dado, luego determinaremos tres supercies que exhiben tensiones normal y de cizallamaximas. Tambien introduciremos la descomposici´ on de un campo de tensi on en sus partestensor esferico y tensor desviador, y discutiremos la interpretaci´ on fısica correspondiente.




(a) (b) (c)

x xx

γ η

γ

Figura 2.5. Ilustraci on de tres estados de tensión simples: (a) esferico, (b)uniaxial y (c) de cizalla pura.

2.5.1. Estados de tensi´ on simples. Cuando el tensor tensión S posee una forma parti-cular en un punto x de un cuerpo continuo frecuentamente se dice que el campo de tensi´ onse encuentra en un estado particular en el punto x . Por ejemplo, si en un punto x el tensortensi on S es de la forma

S = −πI ,

donde π es un escalar, se dice que en x existe un estado de tensión esferico o Euleriano . Paraeste estado de tensión la tracci on sobre cualquier supercie que posea el vector normal nen x esta dada por

t = Sn = −πn ,

lo que demuestra que la tracción siempre es normal a la supercie. Por ejemplo si suponemosque S es constante en una vecindad de x , el campo de tracci on sobre la supercie de unaesfera pequena centrada en x seria normal en cada punto de esta supercie, ver Figura 2.5 (a).

Se dice que el estado de tension es uniaxial si existen un vector unitario γ y un escalar σtales que

S = σγ ⊗γ .

Tal estado se llama tension pura si σ > 0, y compresi´ on pura si σ < 0. Para un estadode tensi on uniaxial la tracci on sobre cualquier supercie con la normal n en un punto xesta dada por

t = Sn = ( γ

·n )σγ .

Notar que la tracción siempre es paralela a γ y desaparece cuando n y γ son ortogonales.Por ejemplo, si S es constante en una vecindad de x y se considera un ortoedro que tieneun eje alineado con γ , el campo de tracci on sobre la supercie del ortoedro ser a diferente decero solamente sobre las caras con la normal n = ±γ (ver Figura 2.5 (b)).

Si en un punto x existen un par de vectores unitarios γ y η tales que

S = τ (γ ⊗η + η⊗γ ),



2.5. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA TENSI ON 57

se dice que en x existe un estado de tensión de cizalla pura . Para este estado de tensión latracci on sobre cualquier supercie con normal n en x esta dada por

t = Sn = ( η ·n )τ γ + ( γ ·n )τ η .

Notar que t = τ γ cuando n = η , y t = τ η cuando n = γ . Por ejemplo, si S es constante enuna vecindad de x y se considera un ortoedro que tiene un eje alineado con γ y otro con η ,el campo de tracci on sobre la supercie del ortoedro ser a diferente de cero solamente sobrelas caras con la normal n = ±γ y n = ±η (Figura 2.5 (c)).

Si en un punto x existe un par de vectores unitarios y ortogonales γ y η tales que larepresentaci on matricial de S en la base e 1 = γ , e 2 = η y e 3 = γ ×η esta dada por

[S ] =S 11 S 12 0S 21 S 22 00 0 0

,

entonces decimos que en x existe un estado de tensi´ on plana . Se puede vericar facilmenteque los casos descritos anteriormente de los estados de tensi´ on uniaxial y de cizalla pura soncasos especiales de un estado de tensi on plana.

2.5.2. Tensiones principales, normales y de cizalla. Para un punto x dado en cuerpocontinuo los valores propios de S se llaman tensiones principales , y los vectores propioscorrespondientes se llaman direcciones de tensi´ on principales en x . Como el tensor tensi ones simetrico, existen tres direcciones principales mutuamente ortogonales y tres tensionesprincipales en cada punto x (ver Teorema 1.1).

Sea e una direcci on principal correspondiente a una tensi´ on principal σ, entonces el vector

de tracci on sobre una supercie con normal e en x esta dado port = Se = σe ,

por lo tanto el mismo vector de tracción es en la direccion e .Consideremos hora una supercie arbitraria con normal unitaria n en x . Ahora el vector

de tracci on puede ser descompuesto como la suma de dos partes: de una tracci´ on normal

t n := ( t ·n )n

y de una tracci´ on de cizalla

ts

:= t

−(t

·n )n .

En particular se tiene que t = t n + t s. Las cantidades σn = |t n | y σs = |t s| se llaman tensi´ on normal y tensi´ on de cizalla , respectivamente, sobre la supercie con normal n en el punto x .

Si consideramos una supercie con normal n = e , donde e es una direccion principal conla tensi on principal correspondiente σ, entonces t n = σe y t s = 0 , por lo tanto la tensiónnormal sobre una tal supercie es σn = |σ| y la tensi on de cizalla es cero. En particular latensi on de cizalla sobre una supercie es cero si y solo si n es una direccion principal.




2.5.3. Tensiones normales y de cizalla maximas. Para un punto x dado en un cuerpocontinuo se desea saber cuales son las supercies que pasan por x que exhiben una tensiónnormal m axima o una tensi on de cizalla maxima. Es decir, queremos saber para que direcci´ onnormal n en x la tensi on normal σn es maxima, y similarmente para que direcci´ on normalσs es maxima.

Para tratar este problema denominamos las tensiones principales en x por σi y las direc-ciones principales correspondientes por e i . Para simplicar la discusi on suponemos que lastensiones principales son distintas y ordenadas en el sentido de

σ1 > σ 2 > σ 3. (2.15)

Si las tensiones principales no son distintas puede ser que no existen direcciones aisladas npara las cuales σn o σs asume su valor maximo. Por ejemplo, si σi = α (i = 1 , 2, 3) se tieneque σn = |α | y σs = 0 para todo n , es decir no existe ninguna direcci on n destacada para lacual σn o σs sea maxima. El pr oximo resulta demuestra que si las tensiones principales sondistintas como en (2.15), entonces existen pares de direcciones destacadas ( n , −n ) para los

cuales σn y σs asumen valores m aximos.Lema 2.3 (Tensiones normales y de cizalla máximas) . Consideremos un punto x en un cuer-po continuo suponiendo que las tensiones principales son distintas y ordenadas de acuerdo a (2.15). Entonces:

1.) El valor m´ aximo de σn es |σk|, y este valor es asumido para pares n = ±e k , donde k = 1 o k = 3 dependiendo de cual de los valores de k asume el m´ aximo en la denici´ on

|σk| = m ax |σ1|, |σ3| .

2.) El valor m´ aximo de σs es |σ1 −σ3|/ 2, y este valor es asumido para los dos pares

n =

±1

√ 2(e 1 + e 3), n =

±1

√ 2(e 1

−e 3).


2.5.4. Tensores esferico y desviador. En cualquier punto x de un cuerpo continuo eltensor tensi on de Cauchy puede ser descompuesto en la suma de dos partes: el tensor tensi´ on esferico

S S = − pI

y el tensor tensi´ on desviador

S D = S + pI , (2.16)

donde la cantidad p = −

13

tr S

se llama presi´ on . En particular, S = S S + S D .El tensor tensi on esferico es completamente determinado por la presi´ on p. Como

− p =13

tr S =13

(σ1 + σ2 + σ3),



2.6. EJERCICIOS 59

resulta que − p es el promedio aritmetico de las tres tensiones principales en un punto x .Equivalentemente podemos interpretar − p como el promedio de la componente normal de latracci on t ·n , donde el promedio se toma sobre todas las direcciones posibles n en x . A grandesrasgos, la tensi on esferica es aquella parte de la tensión total que tiende a cambiar el volumende un cuerpo sin cambiar su forma, por lo tanto una bola esferica de un material uniformeexpuesta a una presión uniforma deberia exhibir un cambio de volumen manteniendo suforma esferica. Notar que hay un convenio de signo indicando que p > 0 corresponde a unacompresion.

El tensor desviador de la tensión es la parte de la tensi on total que es complementariaa la tensi on esferica. En particular, el tensor desviador contiene informaci´ on acerca de latensi on de cizalla, mientras que la tensión esferica contiene información sobre las tensionesnormales. A grandes rasgos el tensor desviador es aquella parte de la tensi´ on total que tiendea cambiar la forma de un cuerpo pero que causa poco o ning un cambio de volumen.

En virtud de su denici on (2.16) el tensor desviador posee la propiedad de quetr S D = 0 , (2.17)

por lo tanto I 1(S D) = 0 (Tarea). Para las invariantes I 2(S D ) e I 3(S D) normalmente se utilizala siguiente notacion:

J 2(S ) := −I 2(S D ), J 3(S ) := I 3(S D).

En particular, en virtud de (2.17), de la simetrıa de S D y de la dencion de las invariantesprincipales se tiene que

J 2(S ) = −I 2(S D) =12

S D : S D , J 3(S ) = I 3(S D) = det S D .

Estas invariantes juegan un rol central en la formulaci´ on de las llamadas condiciones de uen-cia en teorıas que describen la deformación plastica de materiales isotrópicos para esfuerzospequenos.

2.6. Ejercicios

Problema 2.1 (Tarea 2, Curso 2012) . Sea un cuerpo con la conguraci on B = x ∈E 3 |0 <

x1 < 1sujeto a un campo de fuerza de cuerpo por volumen unitario b = αx 3e 3 y sea uncampo de tracci on sobre su supercie ∂B dado por

t =x1x2(1 −x1)(1 −x2)e 3 sobre la cara x3 = 0,0 sobre las demas caras.

Calcular el valor de la constante α para el cual las fuerzas de cuerpo y de supercie est an

balanceadas, r b (B) + r s(∂B ) = 0 .Problema 2.2 (Tarea 2, Curso 2012) . Se considera un cuerpo B con un campo densidadde masa > 0 (constante) bajo la inuencia de una fuerza de cuerpo por masa unitariab = −4Cx , donde C es un tensor de segundo orden dado (constante). Sea el campo tensi´ onen B de la forma S = (Cx )⊗x .

a) Demostrar que S y b satisfacen la ecuaci on de equilibrio local∇ ·S + b = 0 para elbalance de fuerzas.




b) ¿Que condiciones debe satisfacer C para que la ecuaci on de equilibrio local S T = S para el balance del momento de torsion este satisfecha?

Problema 2.3 (Tarea 2, Curso 2012) . Sea el campo de tension de Cauchy en un cuerpoB =

x

∈

E 3

| |xi

|< 1

uniaxial de la forma

[S ] =0 0 00 σ 00 0 0

, 0 = σ = const .

En este caso el campo tracci on sobre cualquier plano por B sera constante porque S y nson constantes.

a) Se considera la familia de planos Γ θ que contengan el origen y el eje x1, y cuyo vectornormal unitario sea (0 , cos θ, sin θ)T , θ∈[0, π/ 2]. Enconstrar las tensiones normal yde cizalla σn y σs de estos planos como funcion de θ.

b) Demostrar que la tensión normal maxima est a dada por σn = |σ| y que este valores asumido en el plano con θ = 0. Similarmente, demostrar que la tensi´ on de cizallamaxima est a dada por σs = |σ|/ 2 y que este valor ocurre para θ = π/ 4.

Problema 2.4 (Tarea 2, Curso 2012) . Las funciones f (S ) = | p| y g(S ) = √ J 2, donde p esla presion y J 2 es la segunda invariante desviadora asociada al campo tensi´ on de Cauchy S ,son dos medidas de la intensidad de la tensión. Determinar las funciones f y g para lossiguientes estados de tensión [S ]:

(a)σ 0 00 σ 00 0 σ

, (b)0 τ 0τ 0 00 0 σ

, (c)σ 0 00 −σ 00 0 σ

.

La funcion g se llama funci´ on de uencia de von Mises .

Problema 2.5 (Certamen 1, Curso 2012) . Se considera un cuerpo B = x∈

E3

: 0 <xi < 1con una densidad > 0 constante sujeto a una fuerza de cuerpo por masa unitaria[b] = (0, 0, −g)T . Sea el campo tension de Cauchy en B dado por

[S ] =x2 x3 0x3 x1 00 0 gx3

.

a) Demostrar que S y b satisfacen la ecuaci on de equilibrio local para el balance defuerzas.

b) Identicar el campo tracción que act ua sobre cada una de las caras de la supercie ∂B .c) Utilizando un c alculo directo determinar la fuerza de cuerpo resultante r b (B) y veri-

car que r s(∂B ) + r b(B) = 0 . Explicar brevemente cómo este resultado es consistentecon (a).Problema 2.6 (Certamen 1, Curso 2012) . Se considera un cuerpo continuo B sujeto a unafuerza por volumen unitario b y un campo tracci on h sobre su supercie. Sea B en equilibrioy sea S el campo tensi on de Cauchy. Se dene el tensor tensi´ on promedio

S :=1

vol(B) BS dV x .



2.6. EJERCICIOS 61

a) Utilizando las ecuaciones de equilibrio local para B demostrar que

S :=1

vol(B) Bx⊗b dV x + ∂B

x⊗h dAx

(Teorema de Signorini ).b) Supongamos que b = 0 y que la tracci on aplicada h es una presi on uniforme, esdecir, h = − pn , donde p es una constante y n es el campo normal unitario exteriorsobre ∂B . Utilizar el resultado de (a) para demostrar que el tensor tensi´ on promedioS es esferico, es decir S = − pI .

c) Bajo las condiciones de (b), demostrar que el campo tensión uniforme esferico S = − pI satisface las ecuaciones de equilibrio en B, y las condiciones de frontera Sn = h sobre∂B . (Entonces, en este caso, S (x ) = S para todo x ∈B.






Capıtulo 3

Cinematica

La cinem´ atica es el estudio del movimiento que ignora efectos de masa, esfuerzo y tensi on;es el estudio de la geometrıa del movimiento. En este capıtulo estudiaremos la cinem´ atica decuerpos continuos, concentrándonos en la cuanticación de la deformacion y de la velocidadde deformacion para un cuerpo que cambia su forma en el tiempo. En los capıtulos siguientesse presentar an varios tipos de relaciones constitutivas entre la tensi´ on y la deformacionque caracterizan diferentes tipos de materiales. Este capıtulo proporciona la base para elrazonamiento fısico asociado a estas relaciones. Las ideas importantes de este capıtulo son lassiguientes: (i) el concepto de la deformaci on y del mapa de deformaci on, (ii) la distincion entrecoordenadas materiales y espaciales, (iii) el concepto de la deformaci´ on y su cuanticaci on,(iv) el concepto del movimiento y de la derivada temporal material, (v) el concepto dela velocidad de deformaci on y su cuanticaci on, (vi) las formulas del cambio de variablespara la integración sobre coordenadas materiales y espaciales y (vii) tipos especiales dedeformaciones y movimientos que preservan la forma y/o el volumen de un cuerpo.

3.1. Conguraciones y deformaciones

En cualquier instante un cuerpo material ocupa un subconjunto abierto B del espa-cio Euclidano E 3. La identicaci on de las partıculas materiales con puntos de B dene laconguraci´ on del cuerpo en este instante. Normalmente nos referimos al conjunto B co-mo conguracion considerando la identicación de partıculas con puntos como entendidaimplıcitamente.

Como deformaci´ on denominamos un cambio de conguración entre una conguracióninicial (no deformada) B y una conguraci on siguiente (deformada) B (ver Figura 3.1).Por convenio la conguraci on B se llama conguraci´ on referencial y la conguracion B selama conguraci´ on deformada . Los puntos en B y B se denotan por X = ( X 1, X 2, X 3)T

y x = ( x1, x2, x3)T , respectivamente. Como B y B son conguraciones del mismo cuerpomaterial, cada partıcula del cuerpo posee dos conjuntos de coordenadas: un conjunto decoordenadas materiales X i para su localizaci on en B, y un conjunto de coordenadas espaciales para su localizaci on en B .

Normalmente uno se imagina que una deformación cambia la forma de un cuerpo. Peroesto no necesariamente es ası. Por ejemplo, la rotacion de una bola s´ olida alrededor de sucentro es una deformaci on que no altera la forma de la bola: sigue ocupando la mismaregion espacial, pero sus partıculas materiales cambian la ubicaci´ on en el interior de estaregion. Ası, una deformación puede efectuarse incluso cuando B = B . A menudos sera utilsuponer que un cuerpo material ocupa el espacio completo. En este caso siempre se tieneque B = B = E 3.

63



64 3. CINEM ATICA

E3

B

X xu

ϕ

B′

Figura 3.1. Ilustraci on de una deformaci on: B denota la conguraci on dereferencia, y B denota la conguraci on deformada. El punto negro en B yen B se reere a la misma partıcula material.

3.2. El mapa de deformaci on

La deformacion de un cuerpo desde una conguraci on B a otra conguraci oin B sedescribe por una funci on ϕ : B →B que mapea cada punto X ∈B a un punto x =

ϕ (X ) ∈B (ver Figura 3.1). La aplicación ϕ se llama mapa de deformaci´ on relativo a laconguracion de referencia B . Ası, el desplazamiento de una partıcula material desde suubicacion inicial X a su ubicacion nal x esta dado por

u (X ) = ϕ (X ) −X . (3.1)

La aplicacion u : B → V se llama campo de desplazamiento asociado a ϕ .Hay que imponer ciertas restricciones al mapa ϕ para que este efectivamente representa la

deformacion de un cuerpo material. En particular se supone que (i) ϕ : B →B es biyectiva,y (ii) det∇ϕ (X ) > 0 para todo X ∈B. Las deformaciones que satisfacen estas hipótesis sellaman admisibles . La hipotesis (i) implica que dos o mas puntos distintos de B no puedenocupar simultaneamente la misma posici´ on en B . Por otro lado, la hip otesis (ii) implica que

las deformaciones deberıan preservar la orientaci´ on de un cuerpo; en particular un cuerpono puede ser deformado continuamente hacia su imagen especular.En el resto de nuestro desarrollo siempre se supone que todas las deformaciones son

admisibles. Adem as suponemos que las deformaciones son suaves en el sentido de que lasderivadas parciales de todos los ordenes existen y son continuas. Esta hip´ otesis siempresera mas que lo necesario pero permite una presentaci´ on nıtida.

3.3. Medidas de la deformaci on

Se considera una bola abierta Ω del radio α > 0 centrada en un punto X 0 ∈B (verFigura 3.2). Bajo una deformación ϕ el punto X 0 ∈B es mapeado a un punto x 0 =ϕ (X 0)

∈

B , y la bola Ω

⊂

B tiene como imagen una regi on Ω

⊂

B , es decir

Ω = x ∈B |x = ϕ (X ), X ∈Ω ,

o brevemente, Ω = ϕ (Ω). Cualquier diferencia relativa en la forma entre Ω y Ω en el lımiteα →0 se llama deformaci´ on en X 0. Intuitivamente, la deformaci´ on se reere al estiramientolocal de un cuerpo causado por ϕ . El concepto de la deformaci on es importante para elestudio de cuerpos s olidos, y en capıtulos futuros veremos diversas generalizaciones de la leyde Hooke para solidos elasticos que relacionan la tensión a la deformacion.



3.3. MEDIDAS DE LA DEFORMACI ON 65

E3

Ω

X 0 x 0

Bϕ

Ω ′

B ′

Figura 3.2. Una region pequena Ω⊂B es mapeada a una regi on pequenaΩ ⊂B . La diferencia en forma entre Ω y Ω da origen al concepto de ladeformacion.

3.3.1. El gradiente de deformaci´ on F . Una manera natural de cuanticar la deforma-cion es mediante el gradiente de deformaci´ on , el cual es un campo tensorial de segundo ordenF : B → V 2 denido por

F (X ) = ∇ϕ (X ).

El campo F proporciona informaci on acerca del comportamiento local de una deformaci´ on ϕ .En particular, para X 0 ∈B dado podemos aplicar un desarrollo en serie de Taylor paraobtener

ϕ (X ) = ϕ (X 0) + F (X 0)(X −X 0) + O|X −X 0|2 ,

o equivalentemente,

ϕ (X ) = c + F (X 0)X + O|X −X 0|2 , (3.2)

donde

c = ϕ (X 0) −F (X 0)X 0.

Ası, F (X 0) caracteriza el comportamiento local de ϕ (X ) para todos los puntos X en unavecindad de X 0.

3.3.2. Interpretaci´ on de F y deformaciones homogeneas. Ahora describiremos deque manera F proporciona una medida de la deformación. Por simplicidad inicialmentesupondremos que la deformaci on ϕ es homogenea , es decir que el campo gradiente de defor-macion F es constante. En este caso los terminos de orden mayor en (3.2) desaparecen yϕ puede ser escrita como

ϕ (X ) = c + F X . (3.3)

El caso de una deformaci on no homogenea ser a discutido al nal de esta secci on.Estudiando el caso homogeneo veremos como F cuantica las cantidades de estiramiento

y rotaci on que experimenta un cuerpo al ser deformado desde una conguraci´ on B a otraconguracion B . En virtud de la naturaleza lineal de (3.3) cualquier segmento lineal en Bes mapeado a un segmento lineal correspondiente en B .



66 3. CINEM ATICA

3.3.2.1. Traslaciones y puntos jos. Una deformaci on homogenea ϕ se llama traslaci´ on si

ϕ (X ) = X + c

para alg un vector c constante. Para una tal deformaci´ on cada punto del cuerpo es trasladadoo desplazado a lo largo del vector c , y no hay ningun cambio en la forma o la orientaci on delcuerpo.

Se dice que una deformacion homogenea ϕ posee un punto jo en Y si

ϕ (X ) = Y + F (X −Y ). (3.4)

El punto Y es jo en el sentido de que ϕ (Y ) = Y . Cualquier otro punto X es desplazadopor una cantidad determinada por F y la posicion relativa de X con respecto a Y . En unatal deformaci on el cuerpo puede cambiar tanto de forma como de orientaci´ on. Tıpicamentese supone que Y ∈B, aunque esto no necesariamente debe ser ası.

El siguiente resultado demuestra que una deformaci´ on homogenea arbitraria siemprepuede ser expresada como la composici on de una traslaci on con una deformaci on con unpunto jo dado.Lema 3.1 (Descomposicion traslaci on-punto jo) . Sea ϕ una deformaci´ on homogenea arbi-traria con un gradiente de deformaci´ on F constante. Entonces para cualquier punto Y dadose puede descomponer ϕ como

ϕ = d 1 g = g d 2,

donde d 1 y d 2 son traslaciones y g es una deformaci´ on homogenea con Y como punto jo,en particular

g (X ) = Y + F (X −Y ).

Demostraci´ on. Tarea.Como las traslaciones de un cuerpo son faciles de comprender, nos concentraremos en

deformaciones homogeneas que excluyan traslaciones, es decir, en deformaciones del tipo(3.4) con un punto jo Y . Demostraremos que (3.4) puede ser comprendida en terminosgeometricos simples siempre que se conozca la descomposici on polar de F (ver Teorema 1.3).

3.3.2.2. Rotaciones y estiramientos. Una deformaci on homogenea ϕ se llama rotaci´ on alre-dedor de un punto jo Y si

ϕ (X ) = Y + Q (X −Y )

para alg un tensor de rotación Q . Para una tal deformación se cambia la orientaci on delcuerpo (manteniendo Y jo), pero no hay ningun cambio de la forma del cuerpo.

Una deformaci on homogenea ϕ se llama estiramiento desde Y si

ϕ (X ) = Y + S (X −Y )

para alg un tensor simetrico y denido positivo S . Para una tal deformación se extiendeel cuerpo en diferentes medidas en direcciones diferentes manteniendo Y jo, pero no hayningun cambio neto en la orientación del cuerpo.




Lema 3.2 (Descomposicion estiramiento-rotación) . Sea ϕ una deformaci´ on homogenea ar-bitraria con un punto jo Y y el gradiente de deformaci´ on F constante como en (3.4), y sea F = RU = V R la descomposici´ on polar derecha e izquierda de acuerdo al Teorema 1.3.Entonces se puede descomponer ϕ como

ϕ = r s 1 = s 2 r ,donde

r = Y + R (X −Y )es una rotaci´ on alrededor de Y , y

s 1 = Y + U (X −Y ), s 2 = Y + V (X −Y )son estiramientos desde Y .


3.3.2.3. Extensiones. Una deformaci on homogenea ϕ se llama extensi´ on en Y en la direccionde un vector unitario e si

ϕ (X ) = Y + F (X −Y ), donde F = I + ( λ −1)e⊗e , λ > 0.Este tipo de deformación es un caso especial de la deformacion estiramiento introducidaantes. En el presente caso el cuerpo es extendido por un factor λ a lo largo de la direccion xdonde el punto Y queda jo, pero no deformaci on en direcciones ortogonales a e ; ademas,no hay ningun cambio en la orientaci on global del cuerpo. Para λ = 1 se tiene que F = I ,es decir ϕ (X ) = X , es decir cada punto del cuerpo es jo y el cuerpo no es cambiado.

Lema 3.3 (Estiramientos como extensiones) . Sean s 1 y s 2 los estiramientos denidos en el Lema 3.2 y sean λ i , u iy λ i , v i( i = 1 , 2, 3) los pares propios asociados con U y V ,

respectivamente. Entonces s 1 = f 1 f 2 f 3 y s 2 = h 1 h 2 h 3,

donde f i es una extensi´ on en Y por λ i en la direcci´ on u i , y h i es una extensi´ on en Y por λ i en la direcci´ on v i .


Comentamos que los tensores U y V que aparecen en las descomposiciones polares de F poseen los mismos valores propios, pero en general vectores propios diferentes, por lo tantolos estiramientos s 1 y s 2 dan origen a extensiones por los mismos montos, pero en direccionesdiferentes.

Motivado por el Lema 3.3 llamamos estiramientos principales asociados al gradiente dedeformacion F a los valores propios λ i , y los vectores propios asociados u i y v i se llamandirecciones principales . Ademas, los tensores U y V se llaman tensor de estiramiento derechoe izquierdo, respectivamente.

Si para algun i un estiramiento principal satisface λ i = 1, entonces el cuerpo no es exten-dido a lo largo de la direccion principal correspondiente. Si la dirección principal es derecha oizquierda depende de si la rotación r es aplicada primero o por ultimo, respectivamente (verLema 3.2 y el siguiente resumen). Cuando todos los estiramientos principales son unitarios,



68 3. CINEM ATICA

entonces U = V = I . En este caso s 1(X ) = s 2(X ) = X y el cuerpo no es extendido enninguna direcci on.

3.3.2.4. Resumen. Hemos demostrado que para cualquier punto Y dado, una deformaci on

homogenea arbitraria puede ser descompuesta comoϕ = d 1 g = g d 2,

donde d 1 y d 2 son traslaciones, y g posee un punto jo en Y . A su vez, la deformacion gpuede ser descompuesta como

g = r s 1 = s 2 r ,

donde r es una rotaci on alrededor de Y , y s 1 y s 2 son estiramientos desde Y . Estos dosestiramientos pueden ser descompuestos como

s 1 = f 1 f 2 f 3 y s 2 = h 1 h 2 h 3,

donde f i y h i son extensiones desde Y a lo largo de las direcciones derechas e izquierdas,respectivamente. El monto de cada extensi´ on esta determinado por el estiramiento princi-pal correspondiente. Los estiramientos principales, direcciones principales y la rotaci´ on sondeterminados completamente por la descomposici´ on polar del gradiente de deformación F .

Los resultados anteriores implican que una deformaci´ on homogenea arbitraria ϕ puede sercomprendida en varias maneras (equivalentes). Por ejemplo podemos escribir ϕ = s 2r d 2, loque implica que ϕ puede ser descompuesta en una sucesión de tres operaciones elementales:una traslación, seguida por extensiones a lo largo de las direcciones principales derechas,seguidas por una rotación. Otras descomposiciones igualmente son posibles.

Los resultados anteriores relativos a descomposiciones homogeneas tambien pueden seraplicados a deformaciones generales para los cuales el campo del gradiente de deformaci´ onno es constante. En particular, la expansi´ on en serie de Taylor en (3.2) demuestra que unadeformacion general es aproximadamente homogenea en una vecindad peque˜ na de cada pun-to X 0∈B. Ası, la descomposici on polar del gradiente de deformacion F (X 0) completamentedetermina como el material en una vecindad de X 0 es estirado y rotado. Por lo tanto el gra-diente de deformaci on juega un rol central en el modelamiento de la tensión en diferentestipos de cuerpos materiales.

3.3.3. El tensor deformaci on de Cauchy-Green C . Consideremos una deformaci ongeneral ϕ : B →B con un gradiente de deformación asociado F = ∇ϕ . Entonces otramedida de la deformaci on esta dada por

C = F T

F .El tensor C : B → V 2 se llama tensor deformaci´ on de Cauchy-Green (derecho) asociado alcampo de deformaci on ϕ . Obviamente, el tensor C es simetrico y denido positivo en cadapunto de B.

Mientras que F contiena una mezcla de información tanto acerca de rotaciones comode estiramientos, C proporciona informaci on solamente acerca de estiramientos. Esta obser-vacion es una consecuencia de la descomposicion polar derecha F = RU , la cual implica




que

C = F T F = U 2.

Como el tensor de rotaci on R , que implicitamente aparece en F , no aparece en C , el tensor C

tıpicamente es una medida de la deformaci´ on mas util que F .Comentamos que el tensor de estiramiento derecho U tambien es independiente de R

y contiene informaci on solamente acerca de los estiramientos. Sin embargo introducimos eltensor C = F T F porque este frecuentamente es m´ as facil de calculcar que

U = F T F .

En particular se evita la computaci´ on de la raız tensorial.En virtud del Teorema 1.1, el tensor de estiramiento derecho puede ser escrito como

U =3

i=1

λ iu i⊗u i ,

donde λ i > 0 son los estiramientos principales y u i son las direcciones principales derechas.Desde la relacion C = U 2 se deduce que

C =3

i=1

λ2i u i⊗u i ,

es decir los valores propios de C son los cuadrados de los estiramientos principales, y losvectores propios son las direcciones principales derechas. Ası los estiramientos principales ydirecciones pueden ser determinados sin calcular U .

Otra medida del estiramiento relacionado a C es el tensor deformaci´ on de Cauchy-Green

izquierdo B = F F T

. Sin embargo este tensor no se utilizará en nuestro desarrollo.3.3.4. Interpretaci´ on de C . Aquı demostraremos como cambios en la posición relativay la orientaci on de puntos en un cuerpo material pueden ser cuanticados por C . Para talefecto consideremos un punto arbitrario X en la conguracion de referencia B , y sea Ω labola abierta de radio α > 0 centrada en X . Para dos vectores unitarios e y d se consideranlos puntos Y = X + αe y Z = X + αd . Sean x , y y z los puntos correspondientes en Ω , ysea φ∈[0, π] el angulo entre los vectores v = y −x y w = z −x .

Teorema 3.1 (Relaciones de estiramiento Cauchy-Green) . Para cualquier punto X ∈B y vectores unitarios e y d sean las cantidades λ(e ) > 0 y θ(e , d )∈[0, π] denidas por

λ(e ) := √ e ·Ce , cos θ(e , d ) = e ·Cd√ e ·Ce √ d ·Cd.

Entonces, cuando α →0, se tiene que

|y −x ||Y −X | →

λ(e ), |z −x ||Z −X | →

λ(d ), (3.5)

cos φ →cos(e , d ). (3.6)



70 3. CINEM ATICA

E 3

Ωα

X

Y e

Z

d

x wφ

y

z

ϕ

Ω ′

v

Figura 3.3. Interpretación del tensor de deformaci on C . Los tres puntosX , Y y Z en Ω son mapeados a puntos correspondientes x , y y z en Ω .Los cambios en la posicion relativa y la orientación de los puntos pueden sercuanticados por C .

Demostraci´ on. Para demostrar el primer resultado de (3.5) notamos primeramente que elvector v = y −x puede ser escrito como

v = ϕ (Y ) −ϕ (X ) = ϕ (X + αe ) −ϕ (X ).Utilizando una expansión de Taylor alrededor de α = 0 obtenemos

v = αF (X )e + O(α2), (3.7)

y tomando en cuenta que |v |2 = v ·v y C = F T F obtenemos

|v |2 = α 2F (X )e ·F (X )e + O(α3) = α 2e ·C (X )e + O(α3).

Dividiendo por α 2 y notando que |y −x | = |v | y |Y −X | = α llegamos a

|y

−x

|2

|Y −X |2 = |v

|2

α2 = e ·C (X )e + O(α), (3.8)lo cual implica el primer resultado de (3.5). Para demostrar el segundo resultado de (3.5)notamos que w = z −x puede ser escrito como

w = ϕ (Z ) −ϕ (X ) = ϕ (X + αd ) −ϕ (X ).

Utilizando un desarrollo de Taylor (como arriba) se tiene quew = αF (X )d + O(α 2), (3.9)

lo cual implica

|w |2 = α2d ·C (X )d + O(α3).

Dividiendo por α 2 y notando que |z −x | = |w | y |Z −X | = α llegamos a

|z −x |2|Z −X |2

= |w |2α 2 = d ·C (X )d + O(α), (3.10)

lo cual implica el segundo resultado de (3.5). Para demostrar (3.6) utilizamos la identidad

cos φ =v ·w

|v ||w |. (3.11)




Desde (3.7) y (3.9) obtenemos

v ·w = α 2F (X )e ·F (X )d + O(α 3) = α 2e ·C (X )d + O(α3),

lo cual implica quev ·w

α2 = e ·C (X )d + O(α). (3.12)

Combinando (3.12), (3.10) y (3.8) con (3.11) llegamos al resultado (3.6).

Comentamos que el resultado anterior demuestra que λ(e ) es el valor lımite de la raz on

|y −x |/ |Y −X | cuando Y →X a lo largo de una direccion e . Por lo tanto λ(e ) se llamaestiramiento en la direccion e en X . Esta cantidad es la razón de la longitud deformadaversus la longitud inicial de un segmento lineal innitesimal el cual antes de la deformaci´ onestaba alineado con e .

Sea u i una direcci on principal derecha en X con el estiramiento principal correspondien-

te λ i tal queCu i = λ iu i (sin sumacion).

Entonces un c alculo directo demuestra que λ(u i) = λ i , lo que proporciona justicaci onadicional para referirnos a λ i , i = 1 , 2, 3 como estiramientos principales.

Un analisis similar a aquel de la Seccion 2.5.3 demuestra que en cualquier punto X losextremos de λ(e ) ocurren cuando e es un vector propio de C (direccion principal derecha).Esto implica que los valores extremos de λ(e ) en un punto están dados por los estiramientosmaximo y mınimo en este punto.

Finalmente comentamos que el ángulo θ(e , d ) es el valor lımite de φ cuando Y →X yZ →X a lo largo de las direcciones e y d . Si denotamos por Θ( e , d ) al angulo entre e y d ,

entonces la cantidadγ (e , d ) := Θ( e , d ) −θ(e , d )

se llama la cizalla entre las direcciones e y d en X . Fısicamente la cizalla es el cambio delangulo entre dos segmentos lineales innitesimales que antes de la deformaci´ on han estadoalineados con e y d en X . Un analisis directo demuestra que la cizalla entre dos vectorespropios de C (direcciones principales derechas) desaparece.

El siguiente resultado demustra que al contrario de F , las componentes de C explıcita-mente cuantican el estiramiento y la cizalla causados por una deformaci´ on ϕ .

Lema 3.4 (Componentes de C ). Sean C ij las componentes de C en un marco de coordenadas

arbitrario e i. Entonces para cada punto X ∈B se tiene que

C ii = λ2(e i), C ij = λ(e i)λ(e j )sin γ (e i , e j ) (sin sumacion, i = j ).

Ası, las componentes diagonales de C son los cuadrados de los estiramientos a lo largo de las direcciones de coordenadas, y las dem´ as componentes son relacionadas con la cizalla entre los pares de direcciones de coordenadas correspondientes.







Notar que si despreciamos los terminos O(ε2), entonces E es equivalente a C hasta unaconstante multiplicativa y un desplazamiento. El tensor E aparece naturalmente en el estudiode modelos linealizados de la tensi on en solidos elasticos y termoel asticos.

Comentamos que si

∇

u = O para todo X

∈

B, entonces F = I para todo X

∈

B,es decir ϕ es una traslaci on. En este sentido, ϕ es una deformaci on pequena si diere sololigeramente de una traslación pura.

Comentamos además que el tensor E esencialmente contiene la misma información que C .Sim embargo hay una diferencia importante: E depende linealmente de u , y por lo tantode ϕ , mientras que C depende no linealmente de u .

3.3.7. Interpretaci´ on de E . En lo siguiente describiremos como E proporciona una me-dida de la deformaci on para una deformación pequena. En particular se considera una defor-macion ϕ y se supone que esta es peque na en el sentido de que ∂u i /∂X j = O(ε) para todoX ∈B, donde 0 ε 1.

Lema 3.5 (Componentes de E ). Sean E ij las componentes de E en un marco de coordenadas arbitrario e i. Despreciando terminos O(ε2) para cada punto X ∈B tenemos que

E ii ≈λ(e i) −1, E ij ≈12

sin γ (e i , e j ) (sin sumacion, i = j ),

donde λ(e i) es el estiramiento en la direcci´ on e i y γ (e i , e j ) denota la cizalla entre las direc-ciones e i y e j .

Demostraci´ on. Para demostrar el resultado para las componentes diagonales consideremosprimero el caso i = 1. Desde (3.14) deducimos que

C 11 = 1 + 2 E 11 + O(ε2),

y como E 11 = O(ε), las propiedades de la funci on raız cuadrática entregan que

C 11 = 1 + E 11 + O(ε2).

Despreciando los terminos O(ε2) y utilizando el Lema 3.4 obtenemos

E 11 ≈ C 11 −1 = λ(e 1) −1,

que es el resultado deseado. Los dem as casos diagonales son similares.Para establecer el resultado para las componentes no diagonales consideremos i = 1 y

j = 2. Entonces el Lema 3.4 implica que

sin γ (e 1, e 2) =C 12

C 11

C 22

. (3.15)

Utilizando (3.14) y el hecho de que E 11 , E 12 y E 22 son O(ε) obtenemos

C 12 = 2 E 12 + O(ε2), C 11 = 1 + O(ε), C 22 = 1 + O(ε),

lo cual combinado con (3.15) implica que

sin γ (e 1, e 2) = 2 E 12 + O(ε2).



74 3. CINEM ATICA

Despreciando los terminos O(ε2) concluimos que

E 12 ≈12

sin γ (e 1, e 2),

lo cual es el resultado deseado. Las dem as componentes no diagonales siguen por argumentossimilares.

Tal como demostramos en el Lema 3.1, el estiramiento λ(e i) es el valor lımite de la raz on

|y −x |/ |Y −X | cuando Y →X a lo largo de una direcci on e i . De esto deducimos queλ(e i) −1 es el valor lımite de la cantidad

|y −x ||Y −X | −

1 = |y −x | − |Y −X ||Y −X |

. (3.16)

Ası, para una deformación pequena el elemento diagonal E ii (sin sumacion) es aproximada-mente igual al cambio relativo en longitud de un segmento lineal que antes de la deformaci´ on

ha tenido la direcci on e i en X .Cuando el angulo de cizalla γ (e i , e j ) es pequeno obtenemos

E ij ≈12

sin γ (e i , e j ) ≈12

γ (e i , e j ).

Ası para una deformación pequena los elementos no diagonales E ij sin aproximadamenteiguales a la mitad del angulo de cizalla entre dos segmentos lineales innitesimales que antesde la deformacion han tenido las direcciones e i y e j en X .

3.3.8. Deformaciones innitesimalmente rıgidas. Una deformaci on ϕ se llama inni-tesimalmente rıgida si el campo de desplazamiento asociado u posee la forma

u (X ) = c + W X para todo X ∈B,

donde c es algun vector y W un tensor antisimetrico. Equivalentemente, en virtud delLema 1.3, el campo de desplazamiento para una deformaci´ on innitesimalmente rıgida puedeser escrito como

u (X ) = X + w ×X ,

donde w es el vector axial de W . Tal como sugiere el nombre, una deformación innite-simalmente rıgida es relacionada a una deformaci´ on rıgida peque na. Para una deformacióninnitesimalmente rıgida el vector de desplazamiento est´ a dado por ∇u = W y el tensor dedeformacion innitesimal es

E (X ) = sym ∇u (X ) = 12

(W + W T ) = O para todo X ∈B.

En virtud del Lema 1.6 obtenemos que una deformaci´ on innitesimalmente rıgida noproduce ninguna deformación en terminos de E . En particular, el cambio de longitud de unsegmento lineal a lo largo de cualquier direcci on de coordenadas es aproximadamente cero, yla cizalla entre dos direcciones de coordenadas es aproximadamente cero en cada punto de B.Las deformaciones innitesimalmente rıgidas pueden ser caracterizadas completamente en



3.4. MOVIMIENTOS 75

E 3

B

X

x = ϕ (X , t 2 )

x = ϕ (X , t 1 )

B t 1

trayectoria de partıcula

ϕ t 1

ϕ t 2

B t 2

Figura 3.4. Varias conguraciones durante el movimiento de un cuerpo ma-terial. Se denota por B a la conguracion de referencia en el instante t = 0, yB t denota la conguraci on actual en el instante t.

terminos de E . En particular, se puede demostrar que una deformaci´ on es innitesimalmenterıgida si y s olo si

E (X ) = O para todo X ∈B.

3.4. Movimientos

La deformacion continua de un cuerpo en el transcurso del tiempo se llama movimiento.

El movimiento de un cuerpo con la conguración referencial B es descrito por una aplicaci oncontinua ϕ : B ×[0, ∞) →E 3, donde para cada t 0 jo la funcion ϕ (·, t ) = ϕ t : B →E 3 esuna deformaci on de B. En cualquier instante t 0 la aplicacion ϕ t mapea la conguraci onreferencial B sobre una conguraci on B t = ϕ t (B). La conguraci on B t se llama conguraci´ on actual o conguraci´ on deformada en el instante t (ver Figura 3.4).

Se supone que ϕ 0 es el mapa identidad en el sentido de que ϕ (X ) = X para todo X ∈B,lo que implica que B0 = B. Ası, un movimiento representa la deformaci´ on continua de uncuerpo que empieza en la conguraci on B . La hipotesis de continuidad implica que duranteun movimiento un cuerpo no puede romper en trozos disjuntos, formar hoyos etc. Adem´ assuponemos que para cada t 0 la deformacion ϕ t : B →B es admisible, por lo tantopodemos denir una deformaci on inversa ψ t = ϕ − 1

t : B t

→B tal que

X = ψ t (x ) = ψ (x , t ).En virtud de propiedades de funciones inversas se tiene para todo t 0 que

X = ψ t ϕ t (X ) = ψ ϕ (X , t ), t para todo X ∈B,

y similarmente

x = ϕ t ψ t (x ) = ϕ ψ (x , t ), t para todo x ∈B t .



76 3. CINEM ATICA

En lo siguiente siempre se supone que todos los movimientos ϕ y sus inversas ψ son suavesen el sentido de que las derivadas parciales de todos los ordenes existen y son continuas.

3.4.1. Campos materiales y espaciales. En lo siguiente encontraremos campos denidossobre la conguraci on actual B t cuyos puntos se denominan por x . Sin embargo, comox = ϕ (X , t ), cualquier funci on de x ∈B t tambien puede ser expresada como una funci´ on deX ∈B. Similarmente encontraremos campos denidos sobre B t , cuyos puntos se llaman X .Como X = ψ (x , t ), cualquier funci on de X ∈B tambien puede ser expresada como funci´ onde x ∈B t . Para poder seguir donde un campo ha sido denido originalmente y como estasiendo expresado actualmente introducimos las siguientes deniciones.

Como campo material se entiende un campo expresado en terminos de los puntos X ∈B,por ejemplo Ω = Ω(X , t ). Un campo espacial es un campo expresado en terminos de lospuntos x ∈B t ; por ejemplo, Γ = Γ( x , t ). A cualquier campo material Ω( X , t ) se puedeasociar un campo espacial Ω s(x , t ) mediante la relaci on

Ωs(x , t ) = Ω ψ (x , t ), t .El campo Ωs se llama descripci´ on espacial del campo material Ω. Vice versa, a cada campoespacial Γ(x , t ) se puede asociar un campo material Γ m por medio de la relacion

Γm (X , t ) = Γ ϕ (X , t ), t ,

donde Γm se llama descripci´ on material del campo espacial Γ.

3.4.2. Derivadas con respecto a coordenadas. En el siguiente desarrollo habrá quedistinguir cuidadosamente entre las coordenadas materiales X = ( X 1, X 2, X 3)T que denotanpuntos en B y las coordenadas espaciales x = ( x1, x2, x3)T para puntos en la conguración

actual B t . Para distinguir las derivadas con respecto a cada uno de estos conjuntos dederivadas se introduce la siguiente notaci´ on.Se utiliza el sımbolo ∇

X para denotar el gradiente, la divergencia y el rotacional decampos materiales con respecto a las coordenadas materiales X i para cualquier tiempo jot 0. Similarmente se utiliza el sımbolo ∇

x para denotar el gradiente, la divergencia y elrotacional de campos espaciales con respecto a las coordenadas xi para cualquier tiempo jot 0. Asimismo denimos los Laplacianos ∆ X = ∇

X ·(∇X ) y ∆ x = ∇

x ·(∇x ).

3.4.3. Derivadas temporales. La derivada temporal total de un campo es la tasa de cam-bio como medida por un observador que esta rastreando el movimiento de cada partıculaen el cuerpo. En importante recordar que como la conguraci´ on referencial B esta ja las

coordenadas materiales X son jas. Por otro lado, como la conguraci on actual B t cambiaen el tiempo, las coordenadas espaciales x de cada partıcula cambian en el tiempo. La formaparticular de estos cambios está dada por el movimiento, ya que x = ϕ (X , t ). Utilizando unpunto para denotar la derivada temporal total, obtenemos que la derivada temporal total deun campo material Ω( X , t ) simplemente est a dada por

Ω(X , t ) =∂ ∂t

Ω(X , t ).



3.4. MOVIMIENTOS 77

Por otro lado, como x = ϕ (X , t ), la derivada temporal total de un campo espacial Γ( x , t )esta dada por

Γ(x , t ) =∂ ∂t

Γ ϕ (X , t ), tX = ψ (x ,t )

= Γm (X , t )X = ψ (x ,t )

, (3.17)

es decirΓ = Γm s.

Comentamos que frecuentemente la derivada temporal total de un campo se llama de-rivada temporal material , derivada temporal sustancial o derivada temporal convectiva . Estacantidad expresa la tasa de cambio de un campo que serıa medida si siguieramos cadapartıcula material en su movimiento por el espacio. Como cada partıcula es identicada concoordenadas materiales jas X , esta derivada es aquella que se calcula con X jo.

En general se tiene que

Γ(x , t ) =∂

∂tΓ(x , t ),

es decir la derivada total temporal de un campo espacial es diferente de la derivada temporalparcial calculada con x jo. En este caso la derivada temporal parcial no toma en cuenta elhecho de que la coordenadas espaciales x de un cuerpo cambian durante el tiempo mediantex = ϕ (X , t ).

3.4.4. Campos de velocidad y aceleraci´ on. Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimientode un cuerpo continuo y sea X una partıcula material en la conguraci´ on referencial B . Encualquier instante t 0 sea esta partıcula identicada por x = ϕ (X , t ) en la conguracionactual B t (ver Figura 3.4). Se denota por V (X , t ) la velocidad en el instante t de la partıculamaterial identicada por X ∈B. Por denici on del movimiento se tiene que

V (X , t ) = ∂ ∂tϕ (X , t ).

Similarmente denotamos por A (X , t ) la aceleraci´ on en el tiempo t de la partıcula materialetiquetada por X ∈B. Por denici on de este movimiento se tiene que

A (X , t ) =∂ 2

∂t 2ϕ (X , t ).

Estas deniciones implican que la velocidad y la aceleración de partıculas materialesnaturalmente son campos materiales. Sin embargo frecuentemente se necesitan descripcio-nes espaciales de estos campos. Se denota por v (x , t ) la descripcion espacial del campo develocidad material V (X , t ), es decir

v (x , t ) = V s(x , t ) = ∂ ∂tϕ (X , t )

X = ψ (x ,t ), (3.18)

y se denota por a (x , t ) la descripci on espacial del campo de aceleraci on material A (X , t ),asi que

a (x , t ) = A s(x , t ) =∂ 2

∂t 2ϕ (X , t )X = ψ (x ,t )

.



78 3. CINEM ATICA

Notamos que v (x , t ) y a (x , t ) corresponden a la velocidad y la aceleraci on, respectiva-mente, de la partıcula material cuyas coordenadas actuales son x en el instante t.

Lema 3.6 (Derivada temporal total) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 el movimiento de un cuerpo

continuo con el campo de velocidad espacial asociadov

. Se considera un campo escalar espacial arbitrario φ = φ(x , t ) y un campo vectorial espacial arbitrario w = w (x , t ). Entonces las derivadas temporales totales de φ y w est´ an dadas por las respectivas expresiones

φ =∂ ∂t

φ + ∇x φ ·v , w =

∂ ∂t

w + (∇x w )v .

Demostraci´ on. Por denici on de los gradientes de φ y w se tiene que

∇x φ =

∂φ∂x i

e i , ∇x w =

∂wi

∂x je i⊗e j ,

donde e kes cualquier marco jo. En virtud de la denición de v (3.18) se tiene que

v (x , t ) x = ϕ (X ,t ) =∂ ∂t ϕ (X , t ).

Usando la denici on de la derivada temporal total (3.17) obtenemos

φ(x , t )x = ϕ (X ,t )

=∂ ∂t

φ ϕ (X , t ), t

=∂ ∂t

φ(x , t )x = ϕ (X ,t )

+∂

∂x iφ(x , t )

x = ϕ (X ,t )

∂ ∂tϕi(X , t )

=∂ ∂t

φ(x , t )x = ϕ (X ,t )

+∂

∂x iφ(x , t )

x = ϕ (X ,t )vi(x , t ) x = ϕ (X ,t ) .

Expresando este resultado en terminos de coordenadas espaciales x se tiene

φ(x , t ) = ∂φ∂t

(x , t ) + ∂φ∂x i

(x , t )vi(x , t ),

lo cual establece el resultado para φ. Dado w = wie i aplicamos este resultado a cada campoescalar wi(x , t ), i = 1 , 2, 3, para obtener

wi(x , t ) =∂wi

∂t(x , t ) +

∂wi

∂x j(x , t )v j (x , t ),

lo que implica el resultado deseado para w .

Este resultado demuestra que si la velocidad espacial v est a conocida, la derivada tem-poral total de un campo espacial φ puede ser calculada sin conocimiento explıcito del movi-

miento ϕ o de su inversa ψ .Por denici on el campo espacial de aceleraci on a satisface a = v , donde v es el campode velocidad espacial del movimiento. En virtud del Lema 3.6 obtenemos que

a =∂ v∂t

+ (∇x v )v .

Ası, el campo espacial de aceleraci on es efectivamente una función no lineal de la velocidadespacial y sus derivadas.



3.5. TASA DE DEFORMACI ON Y TASA DE ROTACI ON 79

Finalmente comentamos que algunos textos utilizan la notaci´ on v · ∇x w al lugar de(∇

x w )v . Sin embargo nosotros siempre utilizaremos ( ∇x w )v , lo que corresponde al producto

habitual entre el tensor de segundo orden ∇x w y el vector v .

3.5. Tasa de deformaci´ on y tasa de rotaci´ onSea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un cuerpo continuo, y sean B t y B t las

conguraciones en los instantes t 0 y t t. Ademas, sea Ω una bola pequena con radioα > 0 centrada en x ∈B t , y sea Ω la region correspondiente en B t . Cualquier medidacuantitativa de la tasa de cambio de forma entre Ω y Ω en los lımites α →0 y t →tgeneralmente se llama tasa de deformaci´ on en x y t. Similarmente cualquier medida de latasa de cambio de la orientación de Ω con respecto a Ω se llama tasa de rotaci´ on . Notar queal contrario del concepto de deformación, los conceptos de tasa de deformaci on y tasa derotaci on son independientes de la conguración referencial B , por lo tanto estas tasas jueganun rol importante en el estudio de uidos.

3.5.1. Tensores tasa de deformaci´ on L y tasa de rotaci´ on W . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un cuerpo continuo con un campo espacial de velocidad v . Entoncesuna medida de la tasa de deformación esta dada por el tensor

L := sym(∇x v ) =

12 ∇

x v + (∇x v )T .

El tensor L t := L (·, t ) : B t → V 2 se llama campo tensorial tasa de deformaci´ on asociadoa v . Por denici on L es un campo espacial y es simetrico para todo x ∈B t y todo tiempo t.

A cualquier campo espacial de velocidad v se puede asociar, adem as, el campo tensorialdenido por

W := skew(

∇

x v) =1

2 ∇

x v

−(

∇

x v )T .

El tensor W t := W (·, t ) : B t → V 2 se llama campo tensorial tasa de rotaci´ on asociado a v .Por denici on W es un campo espacial y es antisimetrico para todo x ∈B t y todo tiempo t.

Mientras que L mide la tasa de deformaci on o de distorsion en un material, W es unamedida de la tasa de rotación.

3.5.2. Interpretaci´ on de L y W . Aplicando argumentos análogos a los usados para eltensor de deformaci on innitesimal encontramos que los elementos diagonales de L cuan-tican la tasa de estiramiento instant´ anea de segmentos lineales innitesimales localizadosen x ∈B t y alineados con los ejes de coordenadas. Similarmente los elementos no diagona-les de L cuantican la tasa instant´ anea de cizalla. En particular, si E denota el tensor dedeformacion innitesimal asociado a la deformaci on pequena ϕ : B t

→B t+ s (0 s 1),

entonces L es la tasa de cambio de E con respecto a s en s = 0. Equivalentemente, si U denota el tensor de estiramiento a derecha asociado a ϕ , entonces L es la tasa de cambiode U con respecto a s en s = 0.

El tensor antisimetrico W denota la tasa instant´ anea de rotaci on rıgida de un volumeninnitesimal de material en x ∈B t . En particular, si R denota el tensor de rotación en ladescomposicion polar del gradiente de deformación ∇

xϕ , entonces W es la tasa de cambio

de R con respecto a s en s = 0.



80 3. CINEM ATICA

3.5.3. Vorticidad. Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un cuerpo continuo conun campo espacial de velocidad v . Como vorticidad de un movimiento se dene el campoespacial vectorial

w =

∇

x

×v .

Efectivamente, en virtud de la Denici´ on 1.8 y del Lema 1.3, w es el vector axial asociadoal tensor antisimetrico 2 W . Concluimos que la vorticidad en un punto es una medida dela tasa de rotación en este punto. En particular, la discusi´ on del Teorema 1.7 implica quela vorticidad en un punto en un cuerpo material puede ser interpretada como dos veces lavelocidad angular local en este punto.

3.5.4. Movimientos rıgidos. Un movimiento ϕ se llama rıgido si

ϕ (X , t ) = c (t) + R (t)X

para algun vector c , que puede depender del tiempo t, y un tensor de rotación R (t), que

igualmente puede depender de t. Para tales movimientos se puede demostrar que el campode velocidad espacial puede ser escrito en la forma

v (x , t ) = ω (t) × x −c(t) + c(t),

donde ω (t) es un vector que depende del tiempo llamado velocidad espacial angular delmovimiento. Equivalentemente, utilizando el Lema 1.3 podemos escribir

v (x , t ) = Ω (t) x −c(t) + c(t), (3.19)

donde Ω (t) es el tensor antisimetrico de segundo orden cuyo vector axial es ω (t). Desde (3.19)obtenemos que ∇

x v (x , t ) = Ω (t), lo que a su vez implica que L (x , t ) = O , W (x , t ) = Ω (t)y w (x , t ) = 2 ω (t) para todo t 0 y x

∈

B t . Ası, los movimientos rıgidos no producen unatasa de deformaci on medida por L , pero sı producen una tasa de rotaci´ on medida por W o w .

3.6. Cambio de variables

Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un cuerpo continuo, y para cualquier tiempot 0 sea ϕ t la deformacion que mapea la conguraci on referencial B sobre la conguraci onactual B t .

3.6.1. Transformaci´ on de integrales de volumen. En lo siguiente desrrollaremos larelacion entre un elemento de volumen innitesimal d V x en el punto x ∈B t y el elementode volumen correspondiente d V X en el punto X

∈

B. Luego utilizaremos esta relaci on paradesarrollar una f ormula de cambio de variable para integrales de volumen en B t y B.

Notamos primero que un elemento de volumen innitesimal d V X en un punto X ∈Barbitrario puede ser representado en terminos de un producto escalar triple. En particular, sidX 1, dX 2 y dX 3 son tres vectores innitesimales que originan en X , entonces el elementode volumen innitesimal denido por estos vectores está dado por

dV X = (d X 1 ×dX 2) ·dX 3.



3.6. CAMBIO DE VARIABLES 81

Los tres vectores innitesimales d X k en X son mapeados mediante la deformación ϕ t a tresvectores innitesimales d x k en x = ϕ t (X ) en B t . En particular se tiene que

dx k = ∇Xϕ (X , t )dX k = F (X , t )dX k . (3.20)

Los vectores innitesimales d x k pueden ser utilizados para denir un elemento de volumendV x mediante el producto escalar triple:

dV x = (d x 1 ×dx 2) ·dx 3. (3.21)

Notar que en virtud de las propiedades del determinante y del producto escalar triple setiene que

(F u ×F v ) ·F w = (det F )u ×v ·w , (3.22)

para cualquier tensor de segundo orden F y vectores u , v y w . Insertando (3.20) en (3.21)y utilizando (3.22) obtenemos

dV x = (d x 1

×dx 2)

·dx 3 = F (X , t )dX 1

×F (X , t )dX 2

·F (X , t )dX 3

= det F (X , t )(d X 1 ×dX 2) ·dX 3 = det F (X , t )dV X .Obtenemos entonces la siguiente fórmula para el cambio de variables para la transformaci´ onde integrales de volumen.

Lema 3.7 (Transformación de integrales de volumen) . Sea φ(x , t ) una campo escalar arbitra-rio sobre B t , sea Ωt un subconjunto arbitrario de B t , y sea Ω el subconjunto correspondiente de B tal que Ωt = ϕ t (Ω). Entonces

Ωt

φ(x , t ) dV x = Ωφm (X , t )det F (X , t ) dV X .

Comentamos que el resultado anterior explica un poco la interpretaci´ on fısica del campodet F . En particular, sea Ω δ,0 una bola del radio δ > 0 centrada en un punto X 0

∈B, ysea Ωδ,t = ϕ t (Ωδ,0). Entonces, utilizando el Lema 3.7 y una expansión en serie de Taylor dedet F (X , t ) alrededor de X 0 obtenemos

vol(Ωδ,t ) = Ωδ,t

dV x = Ωδ, 0

det F (X , t ) dV X = Ωδ, 0

det F (X 0, t ) + O(δ ) dV X

= det F (X 0, t ) + O(δ ) vol(Ωδ,0).

Dividiendo por vol(Ωδ,0) y tomando el lımite cuando δ →0 obtenemos

det F (X 0, t ) = lımδ→0

vol(Ωδ,t )vol(Ωδ,0)

.

Entonces det F (X 0, t ) representa la razón local del volumen deformado con respecto al vo-lumen referencial en un punto X 0∈B bajo una deformaci on ϕ t .

El campo denido por J (X , t ) = det F (X , t ) se llama campo Jacobiano para la defor-macion ϕ t . Es una medida de la deformaci on de volumen causada por una deformación ϕ ten un punto X al instante t. La deformacion comprime el material en una vecindad de X si y solo si J (X , t ) < 1 (el volumen disminuye). Similarmente, la deformación expande elmaterial (aumenta el volumen) en una vecindad de X si y solo si J (X , t ) > 1. Si J (X , t ) = 1



82 3. CINEM ATICA

no hay cambio de volumen material en una vecindad de X . En este caso el material cercade X es distorsionado de la manera que el volumen es preservado. Por ejemplo el materialpuede ser comprimido a lo largo de ciertas direcciones y ser extendido a lo largo de otras.

3.6.2. Diferenciaci on de integrales que depienden del tiempo.Lema 3.8 (Derivada temporal del Jacobiano) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un cuerpo continuo con el campo de velocidad espacial v (x , t ) y el gradiente de deformaci´ on F (X , t ). Entonces

∂ ∂t

det F (X , t ) = det F (X , t )(∇x ·v )(x , t ) x = ϕ (X ,t ) .

Demostraci´ on. Utilizando el Lema 1.22 obtenemos que∂ ∂t

det F (X , t ) = det F (X , t )F (X , t )− T :∂ ∂t

F (X , t )

= det F (X , t ) tr F (X , t )− 1∂ ∂t F (X , t )

= det F (X , t ) tr∂ ∂t

F (X , t ) F (X , t )− 1 .

(3.23)

En virtud de la denici on del campo espacial de velocidad v se tiene que

v (x , t ) x = ϕ (X ,t ) =∂ ∂tϕ (X , t )

o en componentes,

vi(x , t ) x = ϕ (X ,t ) =∂ ∂tϕi(X , t ).

Luego analizaremos el termino tr( ∂ F /∂t F − 1) en terminos de v . Para tal efecto notamosque

F ij (X , t ) =∂

∂X jϕi(X , t )

y∂ ∂t

∂ ∂X j

ϕi(X , t ) =∂

∂X j∂ ∂tϕi(X , t ) =

∂ ∂X j

vi(x , t ) x = ϕ (X ,t )

=∂

∂x kvi(x , t ) x = ϕ (X ,t )

∂ ∂X j

ϕk(X , t ).

Esto entrega que∂ ∂t

F (X , t ) =∂

∂x kvi(x , t ) x = ϕ (X ,t )F kj (X , t ),

lo que en notaci on tensorial se convierte en∂ ∂t

F (X , t ) = ∇x v (x , t ) x = ϕ (X ,t )F (X , t ).



3.6. CAMBIO DE VARIABLES 83

Esta expresi on implica que

∂ ∂t

F (X , t ) F (X , t )− 1 = ∇x v (x , t ) x = ϕ (X ,t ) ,

luego tomando la traza obtenemos

tr∂ ∂t

F (X , t ) F (X , t )− 1 = tr ∇x v (x , t ) x = ϕ (X ,t ) = (∇

x ·v )(x , t ) x = ϕ (X ,t ) .

Insertando esta expresión en (3.23) obtenemos el resultado deseado.

El Lema 3.8 demuestra que la derivada temporal del campo Jacobiano depende solamentedel mismo campo Jacobiano y de la divergencia del campo vectorial. Esta observaci´ on esaprovechada en el siguiente resultado.

Teorema 3.2 (Teorema del Transporte de Reynolds) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un mo-

vimiento de un cuerpo continuo con un campo de velocidad v

(x

, t ) asociado. Sea Ωt un volumen arbitrario en B t con una supercie denotada por ∂ Ωt y sea n el campo unitarionormal exterior sobre ∂ Ωt . Entonces para cualquier campo espacial escalar Φ(x , t ) se tiene que

ddt Ωt

Φ dV x = Ωt

Φ + Φ(∇x ·v ) dV x ,

o equivalentemente,ddt Ωt

Φ dV x = Ωt

∂ ∂t

Φ dV x + ∂ Ωt

Φv ·n dAx . (3.24)

Demostraci´ on. Tarea.Este resultado demuestra que si la velocidad espacial v es conocida, entonces la derivada

temporal de una integral de volumen sobre un subconjunto arbitrario Ω t de B t puede sercalculada sin conocimiento explıcito del movimiento ϕ o de su inversa ψ .

Este teorema se llama Teorema del Transporte debido a la expresi on en (3.24). En par-ticular la tasa del cambio de la integral en Φ sobre Ω t es igual a la tasa calculada si Ω tquedarıa jo en su posici on actual m as la tasa con la cual Φ es transportada a traves de lafrontera ∂ Ωt mediante la componente normal de la velocidad v ·n .

3.6.3. Transformaci´ on de integrales de supercie. Sea Γ una supercie en B orientadapor un campo unitario normal N : Γ

→ V , y sea γ t = ϕ t (Γ) la supercie correspondiente

en B t con la orientaci on correspondiente dada por un campo unitario normal n : γ t → V .Dados un punto X ∈Γ y un elemento de supercie innitesimal d AX en X queremos sabercomo este elemento de supercie se transforma bajo la aplicación ϕ t .

Sea la supercie Γ regular en el sentido de que para cualquier punto Z ∈Γ, se puedeestablecer un sistema de coordenadas de supercie sobre Γ cerca de Z . Bajo esta hip otesispodemos encontrar una región D⊂

E 3 y una aplicaci on χ : D →E 3 tal que cualquier puntoX ∈Γ cerca de Z puede ser escrito como X = χ (ξ ), donde ξ = ( ξ 1, ξ 2)T

∈D. En terminos



84 3. CINEM ATICA

de las coordenadas ξ un elemento de supercie innitesimal orientado en X ∈Γ puede serdenido por

N (X )dAX =∂

∂ξ 1

χ (ξ ) ×∂

∂ξ 2

χ (ξ )dξ 1 dξ 2. (3.25)

Bajo la deformaci on ϕ t las coordenadas de supercie sobre Γ cerca de Z se convierten encoordenadas de supercie sobre γ t cerca de z = ϕ t (Z ). Ası, cualquier punto x ∈γ t cercade z puede ser escrito como x = ϕ t (χ (ξ )), donde ξ = ( ξ 1, ξ 2)T

∈D. En terminos de lascoordenadas superciales ξ un elemento de supercie innitesimal orientado en γ t en x esdenido por

n (x )dAx =∂

∂ξ 1ϕ t χ (ξ ) ×

∂ ∂ξ 2ϕ t χ (ξ ) dξ 1 dξ 2. (3.26)

Ademas se tiene que∂

∂ξ 1ϕ t χ (ξ ) =∂

∂ξ 1ϕi

t χ (ξ ) e i =∂

∂X j ϕi

t (X ) X = χ (ξ )

∂ ∂ξ 1 χ j (ξ )e i = F t χ (ξ )

∂ ∂ξ 1 χ (ξ ),

con una expresi on similar valida para ∂ ϕ t (χ (ξ ))/∂ξ 2. Utilizando la identidad

F u ×F v = (det F )F − T (u ×v )

valida para cualquier tensor de segundo orden invertible F y vectores u y v , podemos escribir(3.26) como

n (x )dAx = F t χ (ξ )∂

∂ξ 1χ (ξ ) × F t χ (ξ )

∂ ∂ξ 2

χ (ξ ) dξ 1 dξ 2

= det F t χ (ξ ) F t χ (ξ ) − T ∂

∂ξ 1χ (ξ )

×∂

∂ξ 2χ (ξ ) dξ 1 dξ 2.

(3.27)

Comparando (3.27) con (3.24) encontramos que

n (x )dAx = det F t (X ) F t (X )− T N (X )dAX ,

donde x = ϕ t (X ). Esta relaci on nos lleva al siguiente resultado.

Lema 3.9 (Transformación de integrales de supercie) . Sea φ(x , t ) un campo escalar espacial arbitrario, w (x , t ) un campo vectorial espacial arbitrario, y T (x , t ) un campo tensorial de se-gundo orden espacial arbitrario. Sea Ω cualquier sub-regi´ on de B , y sea B t⊇Ωt = ϕ t (Ω). Sea ∂ Ω la supercie de Ω con el campo vectorial normal exterior N (X ), y sea ∂ Ωt la supercie de Ωt con el campo normal unitario exterior n (x ). Entonces

∂ Ωt

φ(x , t )n (x ) dAx = ∂ Ωφm (X , t )G (X , t )N (X ) dAX ,

∂ Ωt

w (x , t ) ·n (x ) dAx = ∂ Ωw m (X , t ) ·G (X , t )N (X ) dAX ,

∂ Ωt

T (x , t )n (x ) dAx = ∂ ΩT m (X , t )G (X , t )N (X ) dAX ,



3.8. EJERCICIOS 85

donde G denota un campo material tensorial de segundo orden denido por

G (X , t ) = det F (X , t ) F (X , t )− T .

3.7. Movimientos isovolumetricos o isoc´ oricos

Un movimiento ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 de un cuerpo continuo se llama isovolumetrico oisocorico si vol(ϕ t (Ω)) = vol(Ω) para todo t 0 y todo subconjunto Ω⊆B. En particular un movimiento es isoc´ orico si el volumen del cuerpo, y de todas sus partes, queda constante durante todo el movimiento.

Lema 3.10 (Condiciones para la preservación del volumen) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un cuerpo continuo con el campo espacial de velocidad v (x , t ) y el gradiente de deformaci´ on F (X , t ). Entonces ϕ es isoc´ orico si y s´ olo si det F (X , t ) = 1 para todoX ∈B y t 0, o equivalentemente, (∇

x ·v )(x , t ) = 0 para todo x ∈B t y t 0.


Los movimientos simples tales como las traslaciones y rotaciones de un cuerpo son isoc´ oricos porque no producen distorsi´ on. Sin embargo un movimiento que distorsiona un cuerpo puede ser isoc´ orico.

3.8. Ejercicios

Problema 3.1 (Tarea 2, Curso 2012) . Sea B = E 3 y un movimiento x = ϕ (X , t ) dado por

x1 = e t X 1 + X 3, x2 = X 2, x3 = X 3a) Demostrar que el movimiento inverso está dado por

X 1 =x1

−x3

t + e t , X 2 = x2, X 3 =tx 1 + e t x3

t + e t .b) Vericar que ϕ (ψ (x , t ), t) = x y ψ (ϕ (X , t ), t) = X .c) Se considera el campo espacial Γ(x , t ) = x1 + t. Determinar la derivada temporal

material Γ(x , t ).d) Determinar la derivada temporal parcial ∂ Γ(x , t )/∂t y vericar que ∂ Γ(x , t )/∂t =

Γ(x , t ).

Problema 3.2 (Certamen 1, Curso 2012) . Se considera una deformaci on ϕ denida encomponentes por

[ϕ (X )] =

pX 1 + a

qX 2 + brX 3 + c ,

con constantes p, q , r , a, b, c.a) ¿Que restricciones debe satisfacer p, q y r para que ϕ sea una deformaci on admisible?b) Dado un punto Y arbitrario, determinar las componentes de d , s y r tales que ϕ =

r s d , donde d es una traslaci on, s es un estiramiento desde Y y r es una rotaci onalrededor de Y .



86 3. CINEM ATICA

Problema 3.3 (Certamen 1, Curso 2012) . Sea B = E 3 y el movimiento x = ϕ (X , t ) denidopor

x1 = (1 + t)X 1, x2 = X 2 + tX 3, x3 = X 3 −tX 2.

Se considera, adem as, el campo espacial φ(x , t ) = tx 1 + x2.a) Demostrar que det F (X , t ) > 0 para todo t 0 y determinar las componentes delmovimiento inverso X = ψ (x , t ) para todo t 0.

b) Determinar las componentes del campo de velocidad espacial v (x , t ).c) Determinar la derivada temporal material de φ utilizando la denici on φ = ( φm )s.d) Determinar la derivada temporal material de φ utilizando el Lema 3.6. ¿Se obtiene el

mismo resultado que en (c)?



Capıtulo 4

Leyes de balance

4.1. Motivaci´ on

Para motivar el contenido de este capıtulo consideremos algunas ideas de la mec´ anica desistemas particulados. Para tal efecto consideremos un sistema de N partıculas con masasm i y posiciones x i . Sera util considerar estas partıculas como ´ atomos que forman un cuerpocontinuo. Se supone que cada par de partıculas distintas ( i = j ) interactúa con una energıaU ij , la cual se considera simetrica en el sentido de que U ij = U ji , y se denota la fuerza de

interacci on de la partıcula j sobre la partıcula i porf int

ij = −∇x i U ij .

Se supone, ademas, que cada partıcula est´ a sujeta a una fuerza ambiental f envi . Por simpli-

cidad se supone que ninguna otra fuerza este presente en el sistema.Una descripci on completa del movimiento del sistema particulado est´ a dada por las si-

guientes ecuaciones (sin convenio de sumaci on):

m i = 0 , mi x i = f envi +

N

j =1j = i

f intij , i = 1 , . . . , N . (4.1)

La primera ecuaci on arma que la masa de cada partıcula es constante. La segunda ecuaci´ onexpresa que cada partıcula obedece la Segunda Ley de Newton , es decir la masa de cadapartıcula multiplicada por su aceleraci´ on iguala la fuerza resultante sobre ella.

Bajo hipotesis apropiadas sobre las energıas de interacci´ on U ij , las ecuaciones (4.1) puedenser utilizadas para derivar leyes de balance de masa, momento lineal, momento de torsi´ on yenergıa para cualquier subconjunto del sistema particulado. Para tal efecto se considera unsubconjunto I ⊆ 1, . . . , N , y sea Ωt la conguracion actual de las partıculas indexadas pori∈I . A la conguracion Ωt en el instante t 0 se asocia la masa total M (Ωt ), el momentolineal total l (Ωt ), el momento angular total j (Ωt ), la energıa interna total U (Ωt ), y la energıacinetica total K (Ωt ) dados por

M (Ωt ) =i∈I

m i , l(Ωt ) =i∈I

m i x i , j (Ωt ) =i∈I

x i ×(m i x i),

U (Ωt ) =i,j ∈I i = j

U ij , K (Ωt ) =i∈I

12

m i|x i|2.(4.2)

Suponiendo que U ij depende de x i y x j solamente a traves de la distancia |x i −x j | y quelas interacciones son simetricas de acuerdo a lo discutido arriba, podemos deducir de (4.1)

87



88 4. LEYES DE BALANCE

las siguientes ecuaciones:

ddt

M (Ωt ) = 0 , (4.3)

ddt

l (Ωt ) =i∈I

f envi +

j = i

f intij , (4.4)

ddt

j (Ωt ) =i∈I

x i × f envi +

j = i

f intij , (4.5)

ddt

U (Ωt ) + K (Ωt ) =i∈I

x i · f envi +

j = i

f intij . (4.6)

Tıpicamente las ecuaciones (4.3)–(4.6) son referidas como leyes de balance . Describen comola masa, el momento lineal, el momento angular y la energıa de Ω t pueden ser conservados,incrementados o disminuidos en dependencia de inuencias externas. Por ejemplo, si Ω tcorresponde al sistema de partıculas entero, es decir I = 1, . . . , N , y si suponemos que todaslas fuerzas ambientales son cero, las ecuaciones (4.3)–(4.6) implican que la masa, el momentolineal, el momento angular y la energıa son conservados durante cualquier movimiento. Esdecir, estas cantidades permanecer´ an constantes.

Las leyes de balance (4.3)–(4.6) forman un punto de partida importante para el mode-lamiento de cuerpos continuos. Las leyes de balance de masa, momento lineal y momentoangular pueden ser generalizadas a cuerpos continuos de manera muy directa; esencialmentese remplaza la sumatoria por una integral. La ley de balance de energıa igualmente puedeser generalizada; pero la situación es un poco mas complicada. El modelamiento continuo nopuede representar los detalles que ocurren en escalas espaciales comparables a, o inferioresque, las distancias tıpicas interat´ omicas. En particular, la velocidad en un punto en un cuer-po continuo debe ser interpretada como la velocidad en promedio de ´ atomos individuales enla vecindad de este punto.

Las uctuaciones de las velocidades de los atomos individuales alrededor del promedio noson representadas por el campo de velocidad del continuo. Estas uctuaciones son asociadasa escalas temporales y espaciales a las que el modelo continuo ya no se aplica. Para considerarsituaciones donde la energıa de estas uctuaciones es signicante, es necesario introducir dosconceptos nuevos al nivel continuo: la temperatura , para medir el tamaño de las uctuacionesde velocidad, y el calor para medir la energıa de estas uctuaciones. La temperatura y elcalor juegan un rol importante para la generalizaci´ on de (4.6) a cuerpos continuos.

Bajo una generalizaci on adecuada, las leyes de balance (4.3)–(4.6) forman la base deuna teorıa termo-mec´ anica de cuerpos continuos. En este caso las cuatro leyes esencialmenteson postulados. Es decir, mientras que las leyes (4.3)–(4.6) son todas implicaciones de (4.1)para sistemas particulados bajo hip´ otesis especiales, no hay ninguna implicaci on de este tiposi descartamos estas hipótesis, por lo tanto simplemente postulamos estas leyes en el casocontinuo, comentando que su validez ha sido comprobada experimentalmente. Una quintaley de balance tambien sera postulada en el caso continuo. Esta ley, que es motivada por latermodin amica de procesos homogeneos, involucra el concepto de entropıa y asumir´ a la forma



4.2. LEYES DE BALANCE EN FORMA INTEGRAL 89

de desigualdad. Las cuatro leyes de balance correspondientes a (4.3)–(4.6) y la desigualdadde entropıa formar´ an una teorıa termo-mec´ anica completa de cuerpos continuos.

4.2. Leyes de balance en forma integral

Ahora formularemos las leyes de balance de masa, momento, energıa y entropıa aplicadasa cualquier subconjunto abierto de un cuerpo continuo. Empezamos con una formulaci´ on dela conservacion de masa, luego procederemos a las leyes de inercia que conectan las tasas decambio del momento lineal y angular totales a las fuerzas externas aplicadas. Introduciendoel concepto de energıa interna y del calentamiento de un cuerpo continuo y el trabajo netode las fuerzas externas formulamos las leyes de la termodinámica que describen como variasforma de energıa, tales como la termica y la mec´ anica, se convierten una en otra.

4.2.1. Conservacion de masa y leyes de inercia. Se considera un cuerpo continuocon la conguracion referencial B bajo un movimiento ϕ : B ×[0, ∞) →E 3. Sea B t laconguracion actual correspondiente, y sean (x , t ) la densidad de masa y v (x , t ) la velocidadcorrespondientes en un punto x

∈B t en el instante t 0. Ademas, sea Ωt un subconjuntoabierto arbitrario de B t . Motivado por (4.2) denimos la masa de Ωt por

mass(Ωt ) := Ωt

(x , t ) dV x ,

el momento lineal de Ωt por

l(Ωt ) := Ωt

(x , t )v(x , t ) dV x , (4.7)

y el momento de torsi´ on de Ωt con respecto a un punto z por

j (Ωt )z := Ωt (x −z ) × (x , t )v(x , t ) dV x . (4.8)En la ausencia de reacciones quımicas y de efectos relativistas la ley de balance (4.3)

puede ser generalizada a cuerpos continuos de acuerdo al siguiente axioma.

Axioma 4.1 (Conservaci on de masa) . La masa de cualquier subconjunto abierto de un cuerpo continuo no cambia cuando el cuerpo cambia de posici´ on y forma, es decir

ddt

mass(Ωt ) = 0 para todo Ω t⊆B t .

Sea Ωt sujeto a un campo tracción externo t (x , t ) y un campo de fuerza de cuerpo pormasa unitaria b(x , t ). Entonces, de acuerdo a la Secci on 2.3.1, la fuerza resultante sobre Ω t

esr (Ωt ) = Ωt

(x , t )b(x , t ) dV x + ∂ Ωt

t (x , t ) dAx , (4.9)

mientras que el momento de torsión resultante sobre Ω t con respecto a z esta dado por

τ (Ωt )z = Ωt

(x −z ) × (x , t )b(x , t ) dV x + ∂ Ωt

(x −z ) ×t (x , t ) dAx . (4.10)




Las leyes de balance expresadas en (4.4) y (4.5) se pueden generalizar a cuerpos continuosde acuerdo a lo siguiente.

Axioma 4.2 (Leyes de inercia) . Con respecto a un marco de referencia jo la tasa de cambio

del momento lineal de cualquier subconjunto abierto de un cuerpo continuo iguala la fuerza resultante aplicada a este cuerpo, y la tasa de cambio del momento angular con respecto al origen iguala el momento de torsi´ on resultante alrededor del origen. Es decir,

ddt

l(Ωt ) = r (Ωt ),ddt

j (Ωt )o = r (Ωt )o para todo Ω t⊆B t , (4.11)

donde l(Ωt ), r (Ωt )o , r (Ωt ) y r (Ωt )o est´ an dados por (4.7), (4.8), (4.9) y (4.10), respectiva-mente (poniendo z = o en (4.8) y (4.10)).

Las leyes (4.11) son postuladas para ser válidas para todo movimiento y todo subconjuntode un cuerpo continuo. Partiendo de estas leyes tambien es posible derivar formas alternativasde la ecuacion del momento de torsi on. En particular (4.11) implica las ecuaciones

ddt

j (Ωt )z = τ (Ωt )z , ddt

j (Ωt )x com = τ (Ωt )x com para todo Ω t⊆B t , (4.12)

donde z es cualquier punto jo y x com es el centro de Ω (el cual, en general, depender a deltiempo). Esto es análogo a la situacion del equilibrio descrita en la Seccion 2.4. Las formas delmomento de torsi on dadas en (4.12) tıpicamente se usan para el estudio de cuerpos rıgidos.La ecuacion de momento lineal en (4.11) tambien puede ser expresada en terminos del centrode masa x com (Tarea).

4.2.2. Primera y Segunda Ley de Termodinamica.

4.2.2.1. La temperatura y el calor. En el sentido mas basico, la temperatura es una propiedadfısica de la materia basada en nuestra percepci´ on natural del calor y del frıo. Para el mode-lamiento de cuerpos continuos suponemos que la temperatura est´ a denida en cada puntode un cuerpo en cada instante. En particular se supone que existe un campo de temperatura absoluta θ(x , t ) > 0 denido para cada x ∈B t y t 0. La temperatura en un punto de uncuerpo continuo debe ser interpretada como medida de las uctuaciones de la velocidad delos atomos individuales en una vecindad de este punto. Ası, mientras que la velocidad delcontinuo es una medida del promedio, la temperatura del continuo es una medidad de lavariaci on de las velocidades atomısticas cerca de un punto.

La energıa termica o el contenido de calor de un cuerpo es una energıa asociada conlas uctuaciones de la velocidad de los atomos individuales en el cuerpo. En particular, elcalor es una energıa asociada a la temperatura. De acuerdo a la experiencia fısica, un cuerpomaterial es capaz de convertir el calor a trabajo mec´ anico, y vice versa. La deformaci on deun cuerpo puede afectar su temperatura y por lo tanto su contenido de calor. Asimismo,agregar calor a un cuerpo elevando su temperatura puede poner el cuerpo en movimiento,por ejemplo puede expander. Debido a estas conversiones el calor puede ser expresado en lasmismas unidades que el trabajo mecánico.

El contenido de calor puede ser afectado de dos maneras diferentes. Primeramente elcalor puede ser producido o consumido en todos los volumenes del cuerpo por mecanismosmecanicos, quımicos o electromagneticos. Por ejemplo, un corriente electrico puede producir




calor durante su ujo a traves del volumen de un cuerpo continuo aislado. Segundamente, elcalor puede ser transferido desde un cuerpo a otro mediante contacto fısico o por radiaci´ ontermica en una supercie. Por ejemplo, cuando se pone un cuerpo caliente en contacto con uncuerpo frıo, seg un nuestra experiencia el cuerpo inicialmente caliente se enfrıa (pierde calor)y el cuerpo inicialmente frıo se calienta (gana calor). En este caso se realiza un transfer decalor por area unitaria de la supercie de contacto. El transfer de calor por contacto puedeser, adem as, clasicado como conducci´ on y convecci´ on de acuerdo a las circunstancias y lanaturaleza de los cuerpos involucrados.

Para un subconjunto abierto arbitrario Ω t ⊆B t denimos el calentamiento neto Q(Ωt )como la tasa por tiempo unitario con la cual se agrega calor a Ω t . En analogıa con nuestrotratamiento de fuerzas suponemos que el calentamiento neto puede ser descompuesto en uncalentamiento de cuerpo Qb(Ωt ) y un calentamiento supercial Qs(Ωt ), tal que

Q(Ωt ) = Qb (Ωt ) + Qs(Ωt ). (4.13)

Se supone que el calentamiento de cuerpo Qb (Ωt ) es una funcion continua del volumen. En

particular se supone que existe un campo suministro de calor por volumen unitario r (x , t )∈R

tal que

Qb (Ωt ) = Ωt

r (x , t ) dV x .

Tambien denimos un campo suministro de calor por masa unitaria r (x , t )∈R por

r (x , t ) =r (x , t )(x , t )

,

lo que signica que

Qb(Ωt ) = Ωt (x , t )r (x , t ) dV x .Se supone, ademas, que el calentamiento supercial Qs(Ωt ) es una funcion continua del

area de supercie. En particular se supone que existe un campo transferencia de calor por supercie unitaria h(x , t )∈

R tal que

Qs(Ωt ) = ∂ Ωt

h(x , t ) dAx . (4.14)

Se supone, ademas, que el campo transferencia de calor es de la forma

h(x , t ) = −q (x , t ) ·n (x ), (4.15)

donde n es el vector normal unitario exterior para la supercie ∂ Ωt y q denota el campovectorial ujo del calor de Fourier-Stokes en B t .

La direccion y la intensidad del ujo de calor a traves de cualquier supercie en uncuerpo son determinadas por el campo vectorial q . El signo negativo en (4.15) se debe alhecho de que n es elegido como vector normal exterior opuesto al vector normal interior.En particular, (4.15) implica que h > 0 cuando q apunta hacia el interior de Ω t . La relacionentre el transfer de calor de supercie y el vector ujo de calor es análoga a la relacion entrela tracci on de supercie y el tensor tensi on de Cauchy (ver Teorema 2.1). En particular se




puede demostrar bajo hipótesis no muy restrictivas que tanto la tracci´ on como el transfer decalor deben ser lineales con respecto al vector normal de supercie.

Insertando (4.13), (4.14) y (4.15) en (4.13) obtenemos

Q(Ωt ) = Ωt(x , t )r (x , t ) dV x − ∂ Ωt

q (x , t ) ·n (x , t ) dAx . (4.16)

Notar que el calor es absorbido por o liberado desde Ω t en dependencia del signo de Q(Ωt ).

4.2.2.2. Energıa cinetica, potencia de fuerzas externas y trabajo neto. Se considera un sub-conjunto Ω t ⊆B t arbitrario con un campo tracci´ on externa t (x , t ) y una fuerza de cuerpoexterna por masa unitaria b(x , t ). Se dene la energıa cinetica de Ωt por

K (Ωt ) := Ωt

12

(x , t ) v(x , t ) 2dV x ,

y la potencia de fuerzas externas sobre Ωt dada por

P (Ωt ) = Ωt

(x , t )b(x , t ) ·v (x , t ) dV x + ∂ Ωt

t (x , t ) ·v (x , t ) dAx .

El trabajo neto W (Ωt ) de fuerzas externas sobre Ω t es el trabajo mec anico entregado porestas fuerzas que no es consumido por la generaci on de movimiento, es decir

W (Ωt ) := P (Ωt ) −ddt

K (Ωt ). (4.17)

Si W (Ωt ) = 0 durante un intervalo de tiempo, toda la energıa mec´ anica proporcionada alcuerpo por fuerzas externas es utilizada para generar movimiento. In particular esta energıaes convertida en energıa mecánica. Si

W (Ωt ) > 0 durante un intervalo de tiempo, entonces

alguna parte de la energıa mec´ anica suministrada al cuerpo es almacenada o convertida enalguna forma de energıa que no sea cinetica. Por otro lado, si W (Ωt ) < 0, entonces la energıaalmacenada en el cuerpo es liberada como trabajo contrario a las fuerzas externas o comomovimiento.

4.2.2.3. Energıa interna y la Primera Ley. El contenido de energıa de un cuerpo no asociadaa energıa cinetica se llama energıa interna . La energıa interna de un cuerpo representa unacantidad de energıa almacenada que puede ser incrementada en varias formas, por ejemplo su-ministrando calor al cuerpo o aplicándole trabajo mecánico. Una vez almacenada, la energıainterna puede ser liberada en cualquier forma, por ejemplo por calor, trabajo mec´ anico omovimiento.

Aquı se supone que la energıa interna de un cuerpo consiste solamente en energıa termica(calor) y energıa mecánica (el astica). En particular, se desprecian otras energıas tales comoenergıa quımica o electromagnetica, las cuales normalmente tambien contribuyen a la energıainterna. Despreciar estas otras formas de energıa es equivalente con suponer que estas sonconstantes independientemente del calentamiento o del trabajo neto. Para el an´ alisis de algu-nos problemas frecuentemente es posible y util de introducir una energıa potencial asociadaa fuerzas externas. Tal energıa no debe ser confundida con la energıa interna.




Consideremos un subconjunto arbitrario Ω t⊆B t . Se denota por U (Ωt ) la energıa internade Ωt . Se supone que U (Ωt ) es una funcion continua del volumen. En particular se suponeque existe un campo de energıa interna por volumen unitario φ(x , t )∈

R tal que

U (Ωt ) = Ωt φ(x , t ) dV x .Asimismo denimos un campo de energıa interna por masa unitaria

φ(x , t ) :=φ(x , t )

(x , t )tal que

U (Ωt ) = Ωt

(x , t )φ(x , t ) dV x .

Considerando solamente la energıa termomec´ anica podemos generalizar la lay de balance(4.6) a cuerpos continuos mediante el siguiente axioma.Axioma 4.3 (Primera Ley de Termodin´ amica) . La tasa de cambio de la energıa interna de cualquier subconjunto abierto de un cuerpo continuo iguala la suma del calentamiento netoy del trabajo neto aplicados a este, es decir

ddt

U (Ωt ) = Q(Ωt ) + W (Ωt ) para todo Ω t⊆B t .

En virtud de (4.17) esto signica que ddt

U (Ωt ) + K (Ωt ) = Q(Ωt ) + P (Ωt ) para todo Ω t⊆B t . (4.18)

Existen varias diferencias fundamentales entre la ley de balance de energıa (4.18) a nivelcontinuo y la ley correspondiente (4.6) para un sistema particulado. Por ejemplo, la energıacinetica en un modelo continuo es una energıa asociada a una velocidad en promedio localde partıculas (átomos) individuales, mientras que la energıa cinetica en un modelo particu-lado es una energıa asociada a velocidades individuales. Adem´ as, la energıa interna en unmodelo continuo posee contribuciones mecánicas (el asticas) tantas que termicas (de calor).Al contrario, la energıa interna en un modelo particulado solamente posee una contribuci´ onmecanica. En general, la ley de balance de energıa (4.6) no posee explıcitamente ningunacantidad relacionada al calor. Existen diferencias fundamentales similares entre las leyes debalance del momento lineal entre los modelos continuo y particulado.

En algunos casos, la potencia de las fuerzas externas puede ser escrita en la forma

P (Ωt ) =

−d

dtG(Ωt ),

donde G(Ωt ) se llama energıa potencial para fuerzas externas . En este caso especial, el balancede energıa (4.18) asume la forma

ddt

U (Ωt ) + K (Ωt ) + G(Ωt ) = Q(Ωt ).

Esto signica que la tasa de cambio de la energıa total U + K + G iguala el calentamientoneto Q.




4.2.2.4. La entropıa y la Segunda Ley de Termodin´ amica. La ley de balance de energıa pro-porciona una relaci on entre la tasa de cambio de la energıa interna y el calentamiento y eltrabajo netos debido a inuencias externas sobre un cuerpo. Mientras que esta relacıon im-plica que estas tasas siempre deben ser balanceadas, no se impone ninguna restricci´ on sobrelas tasa mismas. Por ejemplo, en cualquier intervalo de tiempo en el cual el trabajo netoes cero, la ley de balance de energıa no limita la tasa con la cual el cuerpo puede absorbercalor y almacenarlo como energıa interna. Similarmente, esta ley de balance no limita la tasacon la cual un cuerpo puede liberar energıa en la forma de calor. En su forma m´ as simple,la Segunda Ley de Termodin´ amica expresa el hecho de que cada cuerpo posee un lımite dela tasa con la cual el calor puede ser absorbido, pero no posee un lımite para la tasa deliberaci on de energıa.

La Segunda Ley posee una historia larga y complicada. Origina en el estudio de sistemashomogeneos bajo procesos reversibles, y su extensión al marco general de la mecanica delmedio continuo a un no est a completamente establecida. Aquı adoptaremos una forma de laSegunda Ley llamada la desigualdad de Clausius-Duhem , la cual sera suciente para nuestrosprop ositos. En particular se introduce esta desigualdad en primer lugar para ilustrar comociertas consideraciones termodinámicas imponen restricciones sobre las relaciones constitu-tivas de un cuerpo, y como diversos enunciados acerca de la disipación y la irreversibilidadpueden ser decididos a partir de ella.

Para motivar la forma de la ley discutida aquı, consideremos primeramente un cuerpohomogeneo con una temperatura uniforme Θ(Ω t ) para todo t 0. Para un tal cuerpo laSegunda Ley postula la existencia de una cota superior menor Ξ(Ω t ) para el calentamientoneto Q(Ωt ) tal que

Q(Ωt ) Ξ(Ωt ). (4.19)

En general, la cantidad Ξ(Ω t ) depende de propiedades del cuerpo Ω t . Si el trabajo neto escero, entonces podemos deducir de la Primera Ley que

dU dt

(Ωt ) = Q(Ωt ).

Ası, la cantidad Ξ(Ω t ) tambien puede ser interpretada como la tasa m´ axima con la cual elcuerpo puede almacenar energıa en la ausencia de trabajo neto.

La entropıa de un cuerpo homogeneo Ω t es una cantidad H(Ωt ) denida, hasta unaconstante aditiva, por

d

dt H(Ωt ) =

Ξ(Ωt )

Θ(Ωt ).

Ası, la entropıa de un cuerpo es una cantidad cuya tasa de cambio en cualquier instanteiguala la cota superior del calentamiento por temperatura unitaria. En particular, la tasa decambio de la entropıa es una medida de la capacidad de un cuerpo para absorber calor. Alnivel at omico, la entropıa puede ser interpretada como una medida del desorden, es decir,de la multitud de conguraciones at´ omicas compatibles con los valores impuestos de lasvariables macrosc opicas.




En terminos de la entropıa, la desigualdad (4.19) se convierte en

ddt H(Ωt )

Q(Ωt )Θ(Ωt )

. (4.20)

Esta es una forma de expresar la Segunda Ley para sistemas homogeneos llamada desigualdad de Clausius-Planck . La irreversibilidad de procesos naturales se reeja en el hecho de que

ddt H(Ωt ) 0 cuando Q(Ωt ) = 0.

En particular, la entropıa de un cuerpo tiende a incrementar (o por lo menos no disminuir)cuando el calentamiento neto desaparece, tal como sucede en el caso de un cuerpo aislado.

En lo siguiente descartaremos la hipótesis de la homogeneidad y consideraremos unaextensi on de la desigualdad de Clausius-Planck a un cuerpo continuo general. Se supone quela entropıa H(Ωt ) de un cuerpo, tal como la energıa interna, es una funci´ on continua del

tiempo. En particular, se supone que existe un campo densidad de entropıa por volumenunitario η(x , t )∈R tal que

H(Ωt ) = Ωt

η(x , t ) dV x .

Igualmente introduciremos una densidad de entropıa por masa unitaria

η(x , t ) :=η(x , t )

(x , t )

tal que

H(Ωt ) = Ωt

(x , t )η(x , t ) dV x .

Una generalizaci on de (4.20) a sistemas no homogeneos se formula en el siguiente axioma.

Axioma 4.4 (Segunda Ley de Termodinámica) . La tasa de producci´ on de entropıa en cual-quier subconjunto abierto de un cuerpo continuo es acotada desde abajo por el calentamientopor temperatura unitaria, es decir

ddt H(Ωt ) Ωt

(x , t )r (x , t )θ(x , t )

dV x − ∂ Ωt

q (x , t ) ·n (x , t )θ(x , t )

dAx para todo Ω t⊆B t . (4.21)

La desigualdad (4.21) se llama desigualdad de Clausius-Duhem . Se supone que esta de-sigualdad es valida para todo movimiento y todo subconjunto de un cuerpo continuo. Luegose estudiar an las consecuencias de (4.21). Veremos que esta desigualdad impone ciertas res-tricciones para las relaciones constitutivas de un cuerpo, y genera varios enunciados acercade la disipacion de energıa y el ujo de calor. Mientras que la forma precisa de la SegundaLey en la mecanica del medio continuo no est a establecida, se supone que las consecuenciasderivadas de cualquier desigualdad que podria remplazar (4.21) son similares.




4.2.3. Leyes de balance integrales versus locales. En el desarrollo anterior hemos re-sumido leyes de balance para la masa, el momento, la energıa y la entropıa en terminos desubconjuntos abiertos Ω t de la conguracion actual B t de un cuerpo continuo bajo un movi-miento ϕ : B

×[0,

∞)

→E 3. Ahora se aprovechar a el Teorema de Localizaci on (Teorema 1.8)

para generar formas locales de estas leyes de balance en terminos de ecuaciones diferenciales.Si la forma local de una ley de balance es formulada en terminos de las coordenadas actualesx ∈B t en el instante t, se dice que la ley esta en forma espacial o en forma Euleriana . Porotro lado, si una ley de balance es formulada en terminos de coordenadas referenciales X ∈By del tiempo t se dice que esta en forma material o en forma Lagrangiana . En las siguientesdos secciones desarrollaremos enunciados locales de las leyes de balances en forma Eulerianatanto como Lagrangiana.

4.3. Forma Euleriana localizada de leyes de balance

Se considera un cuerpo continuo con una conguración de referencia B bajo un movimien-to ϕ : B

×[0,

∞)

→E 3. Como antes, denotaremos la conguración actual por B t = ϕ (B),

y se supone que B0 = B, es decir ϕ 0 es la identidad. Para todo t 0 se supone que ladeformacion ϕ t : B →B t es admisible, y se supone, ademas, que ϕ (x , t ) es suave en elsentido de que las derivadas parciales de todos los ordenes existen y son continuas. Esto esmas restrictivo que lo que se necesita para los enunciados locales, pero tal hip´ otesis simplicala exposicion.

4.3.1. Conservacion de masa. Se considera un subconjunto arbitrario Ω t de B t , y sea Ωel subconjunto correspondiente de B tal que Ωt = ϕ t (Ω). Entonces el Axioma 4.1 implicaque mass(Ωt ) = mass(Ω), donde Ω 0 = Ω. En virtud del Lema 3.7 se tiene que

mass(Ωt ) =

Ωt

(x , t ) dV x =

Ω

m det F (X , t ) dV X ,

donde m es la descripcion material del campo espacial , es decir, m (X , t ) = (ϕ (X , t )).Ademas, como ϕ (x , 0) = X , se tiene que

mass(Ω0) = Ω(X , 0) dV X = Ω

0(X ) dV X ,

donde 0(X ) = (X , 0). Ası, la conservaci on de masa requiere que

Ωm (X , t )det F (X , t ) − 0(X ) dV X = 0

para todo tiempo t 0 y todo subconjunto Ω ⊆B. En virtud del Teorema 1.8 esto signicaque

m (X , t )det F (X , t ) = 0(X ) para todo X ∈B, t 0. (4.22)

Tal como se menciona arriba, la ley de conservación de masa est a en forma material o Lagran-giana. Luego convertimos esto a la forma espacial o Euleriana. Para tal efecto diferenciamos(4.22) con respecto a t para obtener

∂ ∂t

ϕ (X , t ), t det F (X , t ) + ϕ (X , t ), t∂ ∂t

det F (X , t ) = 0 .



4.3. FORMA EULERIANA LOCALIZADA DE LEYES DE BALANCE 97

Utilizando el Lema 3.8 para la derivada con respecto a t del campo Jacobiano det F obte-nemos

∂ ∂t

ϕ (X , t ), t det F (X , t ) + ϕ (X , t ), t det F (X , t )(∇x ·v )(x , t )

x = ϕ (X ,t )= 0 .

Partiendo por det F (como el movimiento es admisible, se tiene que det F > 0) y utilizandoel Lema 3.6 para la derivada temporal total de un campo espacial obtenemos

∂ ∂t

(x , t ) + ∇x (x , t ) ·v (x , t ) + (x , t )(∇

x ·v )(x , t ) = 0 .

Finalmente, con la ayuda de la identidad

∇x ·(φw ) = ∇

x φ ·w + φ(∇x ·w ),

valida para cualquier campo escalar φ y cualquier campo vectorial w , obtenemos el siguienteresultado.

Lema 4.1 (Conservaci on de masa en forma Euleriana) . Sea ϕ : B × [0, ∞) →E3

un movimiento de un cuerpo continuo asociado al campo espacial de velocidad v (x , t ) y el campoespacial de densidad (x , t ). Entonces la conservaci´ on de masa requiere que

∂∂t

+ ∇x ·( v ) = 0 para todo x ∈B t , t 0.

Equivalentemente, por la denici´ on de la derivada total temporal, se tiene que

˙ + ∇x ·v = 0 para todo x ∈B t , t 0.

Como la conguracion actual B t de un cuerpo continuo depende del tiempo, cualquierintegral sobre B t igualmente dependerá del tiempo. En lo siguiente aprovecharemos el Le-ma 4.1 para derivar una expresión simple para la derivada temporal de integrales sobre B texpresadas con respecto a la densidad de masa .

Lema 4.2 (Derivada temporal de integrales con respecto a la masa) . Sea ϕ : B×[0, ∞) →E 3

un movimiento de un cuerpo continuo con los campos espaciales de velocidad v (x , t ) y de densidad (x , t ) asociados. Sea Φ(x , t ) cualquier campo espacial escalar, vectorial o tensorial de segundo orden, y sea Ωt un subconjunto abierto arbitrario de B t . Entonces

ddt Ωt

Φ(x , t ) (x , t ) dV x = Ωt

Φ(x , t ) (x , t ) dV x . (4.23)

Demostraci´ on. Una leve generalizaci on del Lema 3.7 desde campos escalares a campos vec-toriales y tensoriales de segundo orden entrega que

Ωt

Φ(x , t ) (x , t ) dV x = ΩΦ ϕ (X , t ), t ϕ (X , t ), t det F (X , t ) dV X ,

donde Ω⊂B tal que Ωt = ϕ t (Ω). En virtud de la conservacion de masa (4.22) obtenemosahora

Ωt

Φ(x , t ) (x , t ) dV x = ΩΦ ϕ (X , t ), t 0(X ) dV X .




Notando que la regi on Ω⊆B no depende del tiempo, podemos tomar la derivada conrespecto al tiempo para obtener

ddt

Ωt

Φ(x , t ) (x , t ) dV x =ddt

Ω

Φ ϕ (X , t ), t dV X =

Ω

∂ ∂t

Φ ϕ (X , t ), t 0(X ) dV X

= Ω

∂ ∂t

Φ ϕ (X , t ), t ϕ (X , t ), t det F (X , t ) dV X ,

donde la ultima lınea es una consecuencia de (4.22). Utilizando la relaci´ on

Φ(x , t ) x = ϕ (X ,t ) =∂ ∂t

Φ ϕ (X , t ), t

junto con el Lema 3.7 obtenemosddt Ωt

Φ(x , t ) (x , t ) dV x = ΩΦ(x , t ) x = ϕ (X ,t ) ϕ (X , t ), t det F (X , t ) dV X

= Ωt

˙Φ(x , t ) (x , t ) dV x ,

lo que es el resultado deseado.

4.3.2. Balance de momento lineal. Tal como ya se formula en el Axioma 4.2, la ley debalance para un subconjunto abierto arbitrario Ω t⊆B t esta dada por

ddt Ωt

(x , t )v (x , t ) dV x = ∂ Ωt

t (x , t ) dAx + Ωt

(x , t )b(x , t ) dV x , (4.24)

donde (x , t ) es el campo espacial densidad de masa, v (x , t ) es el campo de velocidad espacial,b(x , t ) es el campo espacial fuerza de cuerpo por masa unitaria, y t (x , t ) es el campo traccionsobre la supercie ∂ Ωt en B t .

Como el campo tracci on sobre cualquier supercie material en la conguración B t vienedado por el campo tensi on de Cauchy S (x , t ) a traves de t (x , t ) = S (x , t )n (x ), donde n (x )es el vector normal unitario exterior dado sobre la supercie, podemos escribir (4.24) en lasiguiente forma, donde omitimos los argumentos x y t por brevedad:

ddt Ωt

v dV x = ∂ Ωt

Sn dAx + Ωt

b dV x .

Utilizando el Lema 4.2 y el Teorema de Divergencia para campos tensoriales de segundoorden obtenemos

Ωt

v dV x = Ωt

(∇x ·S + b) dV x .

Como esto debe ser v alido para todo subconjunto abierto Ω t⊆B t , obtenemos el siguiente

resultado aplicando el Teorema de Localización.

Lema 4.3 (Ley de momento lineal en forma Euleriana) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movi-miento de un cuerpo continuo asociado a los campos espaciales velocidad v (x , t ) y densidad

(x , t ). Entonces el balance de momento lineal requiere que v = ∇

x ·S + b para todo x ∈B t , t 0,




donde S (x , t ) es el campo tensi´ on de Cauchy y b(x , t ) es la fuerza de cuerpo por masa unitaria.

Estas ecuaciones pueden ser consideradas como una generalizaci´ on al caso dinamico de

las condiciones de equilibrio (balance de fuerzas) descritas en el Lema 2.2. En particular, lacondicion del equilibrio corresponde al caso particular de v = 0 para todo x ∈B t y t 0.Comentamos que en virtud del Lema 3.6 se tiene que

v =∂ ∂t

v + (∇x v )v .

Ası, la ecuaci on de balance del momento lineal puede ser escrita equivalentemente como∂ ∂t

v + (∇x v )v = ∇

x ·S + b.

4.3.3. Balance de momento angular. Como se menciona en el Axioma 4.2, la ley de ba-lance para el momento angular (alrededor del origen) para un subconjunto abierto arbitrarioΩt⊆B t viene dada por

ddt Ωr

x × (x , t )v (x , t ) dV x

= ∂ Ωt

x ×t (x , t ) dAx + Ωt

x × (x , t )b(x , t ) dV x ,(4.25)

donde (x , t ) es el campo espacial densidad de masa, v (x , t ) es el campo de velocidad espacial,b(x , t ) es el campo espacial fuerza de cuerpo por masa unitaria, y t (x , t ) es el campo traccionsobre la supercie ∂ Ωt en B t .

Para simplicar el lado izquierdo de (4.25) notamos que x = ϕ (X , t ) implica que x =

v (x , t ). Asıddt

x ×v (x , t ) = x ×v (x , t ) + x ×v (x , t ) = x ×v (x , t ),

y en virtud del Lema 4.2 obtenemosddt Ωt

(x , t ) x ×v (x , t ) dV x = Ωt

(x , t )ddt

x ×v (x , t ) dV x

= Ωt

(x , t ) x ×v (x , t ) dV x .

Insertando este resultado en (4.25) y utilizando la denici´ on del campo tensi on de Cauchy

S (x , t ) obtenemos

Ωt

(x , t ) x ×v (x , t ) dV x = ∂ Ωt

x × S (x , t )n dAx + Ωt

(x , t ) x ×b(x , t ) dV x .

Utilizando el Lema 4.3 podemos reducir esta expresión a

∂ Ωt

x × S (x , t )n dAx − Ωt

x ×(∇x ·S )(x , t ) dV x = 0 .




Repitiendo el procedimiento de la demostraci´ on del Lema 2.2 obtenemos el siguiente resul-tado.

Lema 4.4 (Ley de momento angular en forma Euleriana) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un

movimiento de un cuerpo continuo y sea S (x , t ) el campo tensi´ on de Cauchy en B t . Entonces el balance de momento angular requiere que

S T = S para todo x ∈B t , t 0.

4.3.4. Caracterizaci´ on del trabajo neto. Antes de estudiar versiones localizadas de laPrimera y Segunda Ley de Termodin´ amica utilizaremos los Lemas 4.3 y 4.4 para derivar unarelacion entre la tasa de cambio de la energıa cinetica y la potencia de las fuerzas externase internas. Veremos que esta relación genera una expresi on explıcita para el trabajo neto deun cuerpo.

Para empezar consideramos el Lema 4.3. Tomando el producto escalar con el campovelocidad v (x , t ) obtenemos

v ·v = (∇x ·S ) ·v + b ·v para todo x ∈B t y t 0. (4.26)

Integrando (4.26) sobre un subconjunto arbitrario Ω t⊆B t obtenemos

Ωt

v ·v dV x = Ωt−S :∇

x v dV x + ∂ Ωt

S T v ·n dAx + Ωt

b ·v dV x .

En virtud de los Lemas 4.4 y 1.10 obtenemos que S :∇x v = S : L , donde L = sym(∇

x v )es el campo tasa de deformaci on. Reemplazando este resultado en la identidad anteriorobtenemos

Ωt v ·v dV x + Ωt S : Lv dV x = ∂ Ωt v ·Sn dAx + Ωt b ·v dV x ,

lo que implica el siguiente resultado.

Lema 4.5 (Trabajo neto en forma Euleriana) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de cuerpo continuo con los campos de tensi´ on de Cauchy S (x , t ) y tasa de deformaci´ on L (x , t )asociados. Sea Ωt⊆B t un subconjunto abierto. Entonces

ddt

K (Ωt ) + Ωt

S : L dV x = P (Ωt ) para todo t 0,

donde K (Ωt ) denota la energıa cinetica total y

P (Ωt ) es la potencia de las fuerzas externas

sobre Ωt . Ası, en virtud de (4.17), el trabajo neto W (Ωt ) queda dado por

W (Ωt ) = Ωt

S : L dV x para todo t 0.

La cantidad S : L tıpicamente es denominada potencia de tensi´ on asociada a aun movi-miento. Corresponde a la tasa de trabajo realizado por fuerzas internas (tensiones) en cadapunto de un cuerpo continuo.




4.3.5. Primera Ley de Termodinamica. De acuerdo al Axioma 4.3 la lay de balance deenergıa para un subconjunto arbitrario abierto Ω t⊆B t es

ddt

Ωt

φdV x =

Ωt

S : L dV x −

∂ Ωt

q ·n dAx +

Ωt

r dV x ,

donde las expresiones del Lema 4.5 y la ecuacion (4.16) para el trabajo neto el calentamientoneto, respectivamente, han sido utilizadas. Aquı (x , t ) es el campo densidad de masa, φ(x , t )es del campo energıa interna por masa unitaria, q (x , t ) es el campo vectorial ujo del calorde Fourier-Stokes, r (x , t ) es el campo suministro del calor por masa unitaria, L (x , t ) es elcampo tasa de deformación y S (x , t ) es el campo tension de Cauchy en B t .

Utilizando el Lema 4.2 y el Teorema de Divergencia obtenemos

Ωt

φ dV x = Ωt

S : L dV x − Ωt∇

x ·q dV x + Ωt

r dV x .

Como este enunciado debe ser v alido para cualquier subconjunto abierto Ω t⊆B t , medianteel Teorema de Localizaci on llegamos al siguiente resultado.

Lema 4.6 (Ley de energıa en forma Euleriana) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimientode un cuerpo continuo. Entonces

φ = S : L −∇x ·q + r para todo x ∈B t , t 0.

4.3.6. Segunda Ley de Termodinamica. De acuerdo al Axioma 4.4, la forma de Clausius-Duhem de la Segunda Ley de Termodinámica para un subconjunto Ω t⊆B t abierto arbitrarioes

ddt Ωt

ηdV x Ωt

rθ

dV x − ∂ Ωt

q ·nθ

dAx ,

donde (x , t ) es el campo densidad de masa, η(x , t ) es el campo entropıa por masa unitaria,q (x , t ) es el campo vectorial ujo de calor de Fourier-Stokes, r (x , t ) es el campo suministrode calor por masa unitaria y θ(x , t ) es el campo de temperatura (absoluta) en B t . Aplicandolos Teoremas de Divergencia y de Localizaci on llegamos al siguiente enunciado.

Lema 4.7 (Desigualdad de Clausius-Duhem en forma Euleriana) . Sea ϕ : B ×[0, ∞)mathbbE 3 un movimiento de un cuerpo continuo. Entonces

ηr

θ −∇x ·1θ

q para todo x ∈B t , t 0. (4.27)

Expandiendo el termino de divergencia en (4.27) y multiplicando la ecuaci´ on por θ obte-nemos

θ η r −∇x

q +1θq ·∇

xθ. (4.28)

Esta expresi on puede ser escrita equivalentemente como

δ −q ·∇x

θ0, (4.29)

donde la cantidadδ := θ η −( r −∇x ·q )




se llama campo de densidad de disipaci´ on interna por volumen unitario . Esta cantidad re-presenta la diferencia entre la tasa local de incremento de entropıa y el calentamiento local.En otras palabras, δ es una medida de la tasa local del incremento de entropıa debido amecanismos diferentes del suministro local y de la transferencia local del calor.

Basandonos en (4.29) podemos hacer diferentes observaciones acerca de la disipacióninterna δ y el ujo de calor q . Por ejemplo, en cualquier punto donde la temperatura satisface

∇x θ = 0 , la disipacion interna debe satisfacer δ 0. Ası, la disipaci on interna es no negativa

en cualquier parte en cuerpos con una temperatura espacialmente homogenea. La desigualdad(4.29) tambien implica que en cualquier punto donde δ = 0, el ujo del calor y la temperaturadeben satisfacer q ·∇x θ 0. Esto signica que en todas partes el vector ujo del calor debeformar un angulo obtuso con el gradiente de la temperatura en cuerpos sin disipaci´ on interna.En particular, el calor debe uir desde zonas “calientes” a zonas “frıas” en tales cuerpos.

Para estudiar las consecuencias de la desigualdad de Clausius-Duhem para varios modelosconstitutivos a ser introducidos m´ as adelante es conveniente introducir la cantidad

ψ(x , t ) := φ(x , t )

−θ(x , t )η(x , t ) (4.30)

llamada campo densidad de energıa libre por masa unitaria. De acuerdo a la teorıa cl´ asica desistemas homogeneos bajo procesos reversibles, la energıa libre es aquella parte de la energıainterna que es disponible para realizar trabajo bajo temperatura constante. En terminosde ψ podemos reformular el Lema 4.7 como sigue.

Lema 4.8 (Desigualdad de Clausius-Duhem en forma Euleriana) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3

un movimiento de un cuerpo continuo con un campo espacial energıa libre ψ(x , t ). Entonces

ψ S : L − ηθ −q ·∇x

θpara todo x ∈B t , t 0. (4.31)

Demostraci´ on. Desde (4.30) se obtiene que θη = φ

−θη

−ψ. Multiplicando esta expresión

por y utilizando el Lema 4.6 para eliminar φ obtenemosθη = S : L −∇x ·q + r − θη − ψ.

Sustituyendo esta expresión en (4.28) obtenemos el resultado deseado.

Varios resultados pueden ser deducidos desde el Lema 4.8. Por ejemplo, en cuerpos conuna temperatura constante y espacialmente homogenea se debe tener que ψ S : L . Siademas suponemos que un cuerpo puede solamente estar sujeto a procesos reversibles en elsentido de que la desigualdad de Clausius-Duhem siempre es válida con igualdad obtenemos

ψ = S : L . Ası, para tales cuerpos la tasa de cambio de la energıa libre es igual a la potenciade la tensi on. El termino “reducida” en el Lema 4.8 reeja el hecho de que considerada para el

caso clasico de cuerpos homogeneos, la desigualdad en (4.31) es independiente del suministrodel calor r y del ujo del calor q , al contrario de (4.27).

4.3.7. Resumen. En la descripci on Euleriana del movimiento de un cuerpo continuo ge-neral aparecen 22 campos b asicos desconocidos:

ϕi(X , t ) 3 componentes del movimiento,vi(x , t ) 3 componentes de velocidad,

(x , t ) 1 densidad de masa,



4.4. FORMA LAGRANGIANA LOCALIZADA DE LEYES DE BALANCE 103

S ij (x , t ) 9 componentes de la tensi on,θ(x , t ) 1 temperatura,q i(x , t ) 3 componentes del ujo del calor,φ(x , t ) 1 energıa interna por masa unitaria,η(x , t ) 1 entropıa por masa unitaria.

Para determinar estas cantidades tenemos a disposici´ on las siguientes 11 ecuaciones:(vi)m = ∂

∂t ϕi 3 ecuaciones cinematicas,∂ ∂t + ( vi),i = 0 1 conservaci on de masa,vi = S ij,j + bi 3 ecuaciones de momento lineal,

S ij = S ji 3 ecuaciones independientes de momento angular,φ = S ij vi,j −q i,i + r 1 ecuacion de energıa.

Comentamos que frecuentamente el mapa del movimiento ϕ no es requerido en el marcoEuleriano. En particular, cuando la conguraci´ on actual B t es conocida o especicada paratodo t 0, las leyes de balance tıpicamente pueden ser aplicadas sin conocimiento explıcito

de ϕ . En tal caso el n umero de desconocidas es reducido a 19 (ϕ desaparece), y el n umerode ecuaciones es reducido a 8 (las ecuaciones cinematicas desaparecen).Como el numero de incognitas excede el de las ecuaciones en 11, necesitamos ecuaciones

adicionales para poder cerrar el sistema. Como veremos m´ as adelante, para tal efecto in-troduciremos ecuaciones constitutivas que relacionan ( S , q ,φ ,η) a ( ,v , θ). Tales relacionesreejan las propiedades materiales especıcas del cuerpo.

Comentamos además que la Segunda Ley de Termodinámica (desigualdad de Clausius-Duhem) no proporciona una ecuación para determinar campos inc´ ognitos. Al contrario, seintepreta la Segunda Ley como una restricci´ on para las ecuaciones constitutivas. En particu-lar, las relaciones constitutivas de un cuerpo deben garantizar la satisfacci´ on de la SegundaLey en cualquier movimiento del cuerpo posible.

Finalmente, si no se consideran efectos termicos, el n´ umero de incognitas se reduce m as,de 19 a 13 (q , φ, η y θ desaparecen), y el n umero de ecuaciones es reducido de 8 a 7 (elbalance de energıa desaparece). En este caso la clausura del sistema puede ser efectuada por6 ecuaciones constitutivas que relacionan S a ( ,v ).

4.4. Forma Lagrangiana localizada de leyes de balance

Nuevamente consideramos un cuerpo continuo con una conguraci´ on referencial B sujetoa un movimiento ϕ : B ×[0, ∞) →E 3. Se denota la conguraci on actual por B t = ϕ t (B),y se supone que B0 = B, es decir ϕ 0 es la identidad. Como se supone que la deformaci onϕ t : B →B t es admisible para cada t 0, existe una biyecci on entre B y B t para cada

t 0. Ası, mediante un cambio de variable, cualquier ley de balance formulada en terminosde x ∈B t tambien puede ser expresada para X ∈B. Esto da origen a la forma material oLagrangiana de las leyes de balance.

4.4.1. Conservacion de masa. Como antes, consideremos un subconjunto abierto arbi-trario Ω t ⊆B t , y sea Ω⊆B tal que Ωt = ϕ t (Ω). Entonces el Axioma 4.1 implica quemass(Ωt ) = mass(Ω 0), donde Ω0 = Ω. En virtud de los argumentos que nos llevan a (4.22)tenemos el siguiente resultado.




Lema 4.9 (Conservaci on de masa en forma Lagrangiana) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un cuerpo continuo con un campo gradiente de deformaci´ on F (X , t ) aso-ciado y un campo densidad de masa (x , t ). Sea 0(X ) el campo densidad de masa en la conguraci´ on referencial B . Entonces la conservaci´ on de masa requiere que

m (X , t )det F (X , t ) = 0(X ) para todo X ∈B, t 0,

donde m (X , t ) es la descripci´ on material del campo espacial (x , t ).

4.4.2. Balance de momento lineal. Existen varias maneras de desarrollar la forma La-grangiana de la ley de balance para el momento lineal. Podemos proceder directamente desdela forma integral de la ley en el Axioma 4.2. Alternativamente podrıamos integrar la formalocal Euleriana del Lema 4.3 sobre un subconjunto Ω t⊆B t arbitrario y efectuar un cambiode variable para obtener una integral sobre un subconjunto abierto Ω ⊆B, y luego localizar.Aquı optamos por seguir la primera manera.

Tal como arma el Axioma 4.2, la ley de balance para el momento lineal para un sub-

conjunto abierto arbitrario Ω t⊆B t viene dada pord

dtl(Ωt ) = r (Ωt ), (4.32)

donde l(Ωt ) es el momento lineal de Ωt denido en (4.7) y r (Ωt ) es la fuerza externa resultantesobre Ωt denida por

r (Ωt ) = Ωt

(x , t )b(x , t ) dV x + ∂ Ωt

S (x , t )n (x ) dAx .

Aplicando un cambio de variable en al integral que dene l(Ωt ) y aplicando el Lema 4.9obtenemos

l(Ωt ) = Ωt(x , t )v (x , t ) dV x = Ω

ϕ (X , t ), t v ϕ (X , t ), t det F (X , t ) dV X

= Ω0(X )ϕ (X , t ) dV X .

(4.33)

Un cambio de variable similar en las integrales que denan r (Ωt ) obtenemos

r (Ωt ) = ∂ Ωt

S (x , t )n (x ) dAx + Ωt

(x , t )b(x , t ) dV x

= ∂ Ωdet F (X , t ) S ϕ (X , t ), t F (X , t )− T N (X ) dAX

+ Ω det F (X , t ) ϕ (X , t ), t b ϕ (X , t ), t dV X ,donde hemos utilizado el Lema 3.9 para la transformaci´ on de la integral de supercie. Enparticular, n (x ) es el campo vectorial normal exterior sobre ∂ Ωt , y N (X ) es el campo normalunitario exterior sobre ∂ Ω. La siguiente denicion nos permite simplicar nuestro desarrollo.

Denici´ on 4.1 (Tensiones de Piola-Kirchhoff) . Sea S (x , t ) el campo tensi´ on de Cauchy en B t asociado a un movimiento ϕ : B × [0, ∞) →E 3. Entonces como campo tensi on




nominal o primer campo tensión de Piola-Kirchhoff asociado a ϕ se dene

P (X , t ) := det F (X , t ) S m (X , t )F (X , t )− T para todo X ∈B, t 0,

y como segundo campo tensi on de Piola-Kirchhoff asociado a ϕ se dene

Σ (X , t ) = F (X , t )− 1P (X , t ) para todo X ∈B, t 0.

Para proceder, sea bm la denicion de la fuerza de cuerpo espacial b. Utilizando el Le-ma 4.9 y la Denicion 4.1 obtenemos

r (Ωt ) = ∂ ΩP (X , t )N (X ) dAX + Ω

0(X )bm (X , t ) dV X . (4.34)

Insertando (4.33) y (4.34) en (4.32) obtenemos

d

dt Ω 0(X

) ˙ϕ

(X

, t ) dV X = ∂ ΩP

(X

, t )N

(X

) dAX + Ω 0(X

)b

m (X

, t ) dV X .Utilizando el Teorema de Divergencia y el hecho de que Ω es independiente del tiempoobtenemos

Ω0(X )ϕ (X , t ) dV X = Ω

(∇X ·P )(X , t ) + 0(X )bm (X , t ) dV X .

Como tenemos una biyecci on entre B y B t , cualquier ley de balance v alida para un subconjunto arbitrario Ω t de B t tambien debe ser valida para un subconjunto arbitrario Ω de B.Esta observaci on da origen al siguiente resultado.

Lema 4.10 (Ley de momento lineal en forma Lagrangiana) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) un movi-miento de un cuerpo continuo y sea 0(X ) el campo densidad de masa en la conguraci´ on de referencia B . Entonces el balance de momento lineal requiere que

0ϕ = ∇X ·P + 0bm para todo X ∈B, t 0,

donde P (X , t ) es el primer campo tensi´ on de Piola-Kirchhoff y bm (X , t ) es la descripci´ on material del campo espacial fuerza de cuerpo b(x , t ).

4.4.3. Balance de momento angular. El siguiente resultado es una consecuencia inme-diata del Lema 4.4 y de la Denicion 4.1.

Lema 4.11 (Ley del momento angular en forma Lagrangiana) . Sea ϕ : B × [0, ∞) un movimiento de un cuerpo continuo asociado al campo gradiente de deformaci´ on F (X , t ).Entonces el balance de momento angular requiere que

P F T = F P T⇔Σ T = Σ para todo X ∈B, t 0,

donde P (X , t ) y Σ (X , t ) son el primer y el segundo campo tensi´ on de Piola-Kirchhoff aso-ciado a ϕ , respectivamente.




4.4.4. Caracterizaci´ on del trabajo neto. Antes de estudiar las versiones Lagrangianaslocalizadas de la Primera y Segunda Ley de Termodin´ amica utilizaremos el Lema 4.10 paradesarrollar una relación entre la tasa de cambio de la energıa cinetica y la potencia de fuerzaexternas e internas. Este procedimiento nos entregar´ a una expresi on explıcita para el trabajoneto sobre un cuerpo.

Para empezar, consideremos un subconjunto arbitrario abierto Ω t ⊆B t , y sea Ω elsubconjunto correspondiente de B. Entonces la energıa cinetica de Ω t es denida por

K (Ωt ) = Ωt

12

(x , t ) v (x , t ) 2 dV x ,

y la potencia de las fuerzas externas sobre Ω t es denida por

P (Ωt ) = Ωt

(x , t )b(x , t ) ·v (x , t ) dV x + ∂ Ωt

S (x , t )T v (x , t ) ·n (x ) dAx .

En la expresi on para P (Ωt ) hemos utilizado la identidad S T v ·n = v ·Sn .Realizando un cambio de variable en la integral para K (Ωt ) y utilizando el Lema 4.9

obtenemos

K (Ωt ) = Ω

12 0(X ) ϕ (X , t ) 2 dV X . (4.35)

Similarmente, realizando un cambio de variable en las integrales para P (Ωt ) obtenemos lasiguiente expresi on, donde omitimos los argumentos X y t:

P (Ωt ) = Ω0bm ·v m dV X + ∂ Ω

(det F )S Tm v m ·F − T N dAX

= Ω0bm ·v m dV X + ∂ Ω

(det F )v m ·S m F − T N dAX ,

lo cual, por deniciones del campo velocidad material ϕ y del primer campo tensi on dePiola-Kirchhoff, entrega que

P (Ωt ) = Ω0bm ·ϕ dV X + ∂ Ω

ϕ ·P N dAX = Ω0bm ·ϕ dV X + ∂ Ω

P Tϕ ·N dAX ,

luego, utilizando el Teorema de Divergencia y el Lema 1.17, obtenemos

P (Ωt ) = Ω0bm ·ϕ + ∇

X ·(P Tϕ ) dV X

= Ω(∇

X ·P + 0bm ) ·ϕ + P :∇Xϕ dV X .

(4.36)

Tomando la derivada temporal de (4.35) y utilizando el Lema 4.10 para sustituir 0ϕ obte-nemos

ddt

K (Ωt ) = Ω0ϕ ·ϕ dV X = Ω

(∇X ·P + 0bm ) ·ϕ dV X .

Sustituyendo (4.36) en el lado derecho de esta expresión y utilizando el hecho de que

∇Xϕ (X , t ) = ∇

X ∂ ∂tϕ (X , t ) =

∂ ∂t ∇

Xϕ (X , t ) = F (X , t ),




llegamos al siguiente resultado.

Lema 4.12 (Trabajo neto en forma Lagrangiana) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimientode un cuerpo continuo con el gradiente de deformaci´ on F (X , t ) y el primer campo tensi´ on

de Piola-Kirchhoff P

(X

, t ) asociados, y sea Ωt⊆B t un subconjunto arbitrario abierto con el subconjunto correspondiente Ω⊆B. Entonces

ddt

K (Ωt ) + ΩP : F dV X = P (Ωt ) para todo t 0,

donde K (Ωt ) es la energıa cinetica total y P (Ωt ) es la potencia de fuerzas externas sobre Ωt .Entonces, en virtud de (4.17), el trabajo neto W (Ωt ) es dado por

W (Ωt ) = ΩP : F dV X para todo t 0.

Comparando los Lemas 4.12 y 4.5 vemos que cada una de las expresiones P : F y S :L representa una medida de la tasa de trabajo (potencia) realizada por fuerzas internas(tensiones) en un cuerpo. Mientras que S : L mide la potencia de tensión por volumenunitario en la conguración actual B t , la cantidad P : F mide la potencia de tensión porvolumen unitario en la conguraci on en la conguracion referencial B .

4.4.5. Primera Ley de Termodin´ amica. Tal como se constata en el Axioma 4.3, la leyde balance de energıa para un subconjunto arbitrario Ω t⊆B t es

ddt

U (Ωt ) = Q(Ωt ) + W (Ωt ), (4.37)

donde U (Ωt ) es la energıa interna de Ω t denida por

U (Ωt ) =

Ωt

(x , t )φ(x , t ) dV x ,

Q(Ωt ) es el calentamiento neto de Ω t denido por

Q(Ωt ) = Ωt

(x , t )r (x , t ) dV x − ∂ Ωt

q (x , t ) ·n (x ) dAx ,

y W (Ωt ) es el trabajo neto de fuerzas externas sobre Ω t .Realizando un cambio de variable en la integral para U (Ωt ) obtenemos

U (Ωt ) = Ω0(X )Φ(X , t ) dV X , (4.38)

donde Φ(X , t ) = φm (X , t ) es la descripcion material del campo espacial de energıa interna

por masa unitaria φ(x , t ). Similarmente, aplicando un cambio de variable en las integralespara Q(Ωt ) (omitiendo los argumentos X y t) obtenemos

Q(Ωt ) = Ω0r m dV X − ∂ Ω

(det F )q m ·F − T N dAX .

Introduciendo un campo material vector ujo de calor a traves de

Q(X , t ) := det F (X , t ) F (X , t )− 1q m (X , t ) (4.39)




y un campo material suministro de calorR(X , t ) = r m (X , t )

podemos escribir el calentamiento neto en la forma conveniente

Q(Ωt ) = Ω0R dV X − ∂ Ω

Q ·N dAX . (4.40)

Sustituyendo (4.40) y (4.38) en (4.37) y utilizando el Lema 4.12 junto con el Teorema deDivergencia obtenemos el siguiente resultado.Lema 4.13 (Ley de energıa en forma Lagrangiana) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimientode un cuerpo continuo con los campos materiales asociados energıa interna Φ(X , t ), vector ujo de calor Q (X , t ), y suministro de calor R(X , t ). Entonces

0Φ = P : F −∇X ·Q + 0R para todo X ∈B, t 0.4.4.6. Segunda Ley de Termodinamica. Tal como en el caso de la ley de balance parael momento lineal existen diferentes maneras para desarrollar la forma Lagrangiana de laSegunda Ley de Termodinámica (desigualdad de Clausius-Duhem). Se puede avanzar direc-tamente desde la forma integral del Axioma 4.4. Alternativamente podemos integrar la formalocal Euleriana del Lema 4.7 sobre un subconjunto abierto arbitrario Ω t ⊆B t , realizar uncambio de variable para obtener una integral sobre el subconjunto correspondiente Ω ⊆B,y luego localizar. Aquı seguiremos este segundo procedimiento.

Integrando la expresión del Lema 4.7 sobre un subconjunto abierto arbitrario Ω t ⊆B tobtenemos

Ωt

η dV x Ωt

rθ

dV x − ∂ Ωt

q ·nθ

dAx ,

donde n es el vector normal unitario exterior sobre ∂ Ωt . Aplicando un cambio de variable

en estas integrales obtenemos

Ω0ηm dV X Ω

RΘ

dV X − ∂ Ω

Q ·N Θ

dAX ,

donde Θ = θm es la descripcion material del campo de temperatura espacial θ, ηm es ladescripcion material del campo espacial entropıa η, y Q es el campo material vector ujo decalor denido en (4.39). Los Teoremas de Divergencia y de Localización ahora entregan elsiguiente resultado.Lema 4.14 (Desigualdad de Clausius-Duhem en forma Lagrangiana) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un cuerpo continuo. Entonces

0ηm0RΘ −∇

X

·1Θ Q para todo X

∈B, t 0.Tal como en el caso Euleriano resulta útil introducir una densidad de energıa libre por

masa unitariaΨ(X , t ) := Φ( X , t ) −Θ(X , t )ηm (X , t ).

Utilizando la energıa libre y argumentos similares a los que resultaron en el Lema 4.8 obte-nemos el siguiente resultado.




Lema 4.15 (Desigualdad de Clausius-Duhem reducida en forma Lagrangiana) . Sea ϕ :B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un cuerpo continuo. Entonces

0Ψ P : F

−0ηmΘ

−

1

Θ

Q

·∇X Θ para todo X

∈

B, t 0.

Todos los comentarios sobre la formulacion Euleriana de la desigualdad de Clausius-Duhem respecto a la disipaci on interna, el ujo del calor y la energıa libre tambien aplicana la presente formulaci on Lagrangiana.

4.4.7. Resumen. En la descripci on Lagrangiana del movimiento de un cuerpo continuogeneral aparecen 21 campos b asicos incognitos:

ϕi(X , t ) 3 componentes del movimiento,V i(X , t ) 3 componentes de velocidad,P ij (X , t ) 9 componentes de la tensi on,Θ(X , t ) 1 temperatura material,Qi(X , t ) 3 componentes del ujo del calor,Φ(X , t ) 1 energıa interna por masa unitaria,ηm (X , t ) 1 entropıa por masa unitaria.

Para determinar estas cantidades tenemos a disposici´ on las siguientes 10 ecuaciones:V i = ∂

∂t ϕi 3 ecuaciones cinematicas,0V i = P ij,j + 0(bi)m 3 ecuaciones de momento lineal,

P ik F jk = F ik P jk 3 ecuaciones independientes de momento angular,0Φ = P ij F ij −Qi,i + 0R 1 ecuacion de energıa.

Al contrario de la formulaci on Euleriana (ver Secci on 4.3.7), en la formulacion Lagran-giana el campo densidad de masa es una cantidad conocida. Se trata simplemente de ladensidad dada 0 del cuerpo en su conguraci on referencial.

Comentamos que frecuentamente el campo velocidad material V no es requerido explıci-tamente. En tal caso el número de incognitas es reducido a 18 (V desaparece), y el n umerode ecuaciones es reducido a 7 (las ecuaciones cinematicas desaparecen).

Como el numero de desconocidad excede el de las ecuaciones en 11, necesitamos ecuacio-nes adicionales para poder cerrar el sistema. Como veremos m´ as adelante, para tal efec-to introduciremos ecuaciones constitutivas que relacionan ( Σ , Q , Φ, ηm ) a (ϕ , Θ), dondeΣ = F − 1P es el segundo tensor tensi on de Piola-Kirchhoff. Tales relaciones reejan laspropiedades materiales especıcas del cuerpo.

Volvemos a comentar, además, que la Segunda Ley de Termodinámica (desigualdad deClausius-Duhem) no proporciona una ecuaci´ on para determinar campos incógnitos. Al con-trario, se intepreta la Segunda Ley como una restricci´ on para las ecuaciones constitutivas.En particular, las relaciones constitutivas de un cuerpo deben garantizar la satisfacci´ on dela Segunda Ley en cualquier movimiento del cuerpo posible.

Finalmente, si no se consideran efectos termicos, el n´ umero de incognitas se reduce m as,de 18 a 12 (Q , Φ, ηm y Θ desaparecen), y el n umero de ecuaciones es reducido de 7 a 6 (elbalance de energıa desaparece). En este caso la clausura del sistema puede ser efectuada por6 ecuaciones constitutivas que relacionan Σ a ϕ .




4.5. Indiferencia respecto del marco

En esta secci on introduciremos la idea de un movimiento rıgido sobrepuesto y la utilizare-mos para denir el concepto de la independencia del marco. Luego formularemos un axiomaque postula que ciertos campos en la mecanica del medio continuo son independientes delmarco, o equivalentemente, independientes del observador. Veremos que este axioma imponerestricciones estrictas sobre las ecuaciones constitutivas para un cuerpo material.

4.5.1. Movimientos rıgidos superpuestos. Si dos observadores en diferentes marcos dereferencia son testigos del movimiento de un cuerpo, entonces los dos movimientos observa-dos, referidos a un marco de referencia com un, deben ser relacionados por un movimientorıgido superpuesto.

Denici´ on 4.2 (Movimiento rıgido superpuesto) . Dos movimientos ϕ ,ϕ∗ : B ×[0, ∞) →E 3

de un cuerpo se dicen relacionados por un movimiento rıgido superpuesto si existen una

rotaci´ on Q (t) y un vector c (t) tales que ϕ∗(X , t ) = Q (t)ϕ (X , t ) + c(t) para todo X ∈B, t 0. (4.41)

En esta denici on las funciones Q (t) y c(t) describen el movimiento de un observadorrelativo al otro. En particular, Q (t) describe la rotaci on relativa, mientras que c(t) describela traslaci on relativa. Ası, diferentes pares de observadores quedan descritos por diferentesfunciones Q (t) y c(t). En nuestro desarrollo siempre supondremos (implıcitamente) quecualquier par de observadores mide el tiempo relativo al mismo reloj. Una relaci´ on masgeneral entre ϕ y ϕ∗ serıa necesaria para representar observadores con relojes diferentes.

La relacion entre diversas medidas de la deformación y de la tasa de deformacin vistaspor dos observadores diferentes puede ser derivada desde (4.41). En particular, sean v (x , t )y F (X , t ) la velocidad espacial y el gradiente de deformación, respectivamente, asociadosa ϕ , y sean v∗(x ∗, t ) y F ∗(X , t ) las cantidades correspondientes asociadas a ϕ

∗. Ademas,sean C , V R y RU el tensor de Cauchy-Green y las descomposiciones polares a izquierday a derecha asociadas a F , y C ∗, V ∗R ∗ y R ∗U ∗ las cantidades correspondientes asociadasa F ∗. Finalmente, sea L el campo tasa de deformaci on asociado a v , y sea L ∗ el campo tasade deformacion asociado a v∗. Entonces (4.41) implica el siguiente resultado.

Lema 4.16 (Efecto de un movimiento rıgido superpuesto) . La relaci´ on entre los campos materiales (F , R , U , V , C ) y (F ∗, R ∗, U ∗, V ∗, C ∗) est´ a dada por

F ∗= QF , R ∗= QR , U ∗= U , V ∗= QV Q T , C ∗= C para todo X ∈B, t 0.

La relaci´ on entre los campos espaciales (∇x v , L ) y (∇

x ∗v∗, L ∗) es

∇x ∗v∗(x ∗, t ) x ∗= g (x ,t ) = Q (t)∇

x v (x , t )Q (t)T + Q (t)Q (t)T ,

L ∗(x ∗, t ) x ∗= g (x ,t ) = Q (t)L (x , y)Q (t)T para todo x ∈B t y t 0.

Aquı Q (t) denota la derivada de Q (t).



4.5. INDIFERENCIA RESPECTO DEL MARCO 111

4.5.2. Axioma de la indiferencia respecto del marco. Para cualquier instante t 0sea B t la conguraci on actual de B bajo el movimiento ϕ , sea B∗

t la conguraci on actualbajo ϕ∗, y sea g el movimiento rıgido denido por (4.41), es decir

gt(x ) = g (x , t ) = Q (t)x + c(t).

Sean φ(x , t ) un campo escalar, w (x , t ) un campo vectorial y S (x , t ) un campo tensorialde segundo orden asociados al cuerpo en su conguraci on B t cuyos puntos sean denotadospor x , y sean φ∗(x ∗, t ), w (x ∗, t ) y S ∗(x ∗, t ) los campos correspondientes asociados al cuerpoen su conguracion B∗

t , cuyos puntos sean denotados por x ∗.

Denici´ on 4.3 (Indiferencia respecto del marco) . Los campos φ, w y S se llaman indife-rentes respecto del marco si para todo movimiento rıgido superimpuesto g t : B t →B∗

t se tiene que

φ∗(x ∗, t ) = φ(x , t ),w ∗(x ∗, t ) = Q (t)w (x , t ),S ∗(x ∗, t ) = Q (t)S (x , t )Q (t)T

para todo x ∈B t y t 0. Aquı x ∗= g (x , t ), es decir

x ∗= Q (t)x + c(t).

Este concepto de indiferencia respecto del marco expresa la idea de que ciertas cantidadesfısicas asociadas a un cuerpo son inherentes al cuerpo y por lo tanto independientes delobservador. Por ejemplo, cualquier par de observadores en marcos de referencia diferentesdeben coincidir acerca de la masa y de la temperatura de un cuerpo continuo. Despues deun cambio de base apropiado tambien deben coincidir sobre las componentes del vector ujodel calor y los campos tensoriales de tensi on. Estas ideas son precisadas si decimos que ladensidad de masa, la temperatura, el ujo del calor y los campos de tensi´ on de Cauchyson todos indiferentes respecto del marco en el sentido de la Denición 4.3. Sin embargo,no todos los campos son indiferentes respecto del marco. Por ejemplo, dos observadores enmovmiento relativo no coincidirán sobre los campos de velocidad y de aceleraci on de uncuerpo. La experiencia com un y la intuici on sugieren la siguiente hip otesis.

Axioma 4.5 (Indiferencia del marco material) . La densidad de masa espacial (x , t ), la temperatura θ(x , t ), la entropıa por masa unitaria φ(x , t ), la tensi´ on de Cauchy S (x , t ) y el ujo del calor de Fourier q (x , t ) son campos indiferentes respecto del marco.

El Axioma 4.5 impone restricciones estrictas sobre las ecuaciones constitutivas utilizadas

para describir las propiedades materiales de un cuerpo dado. Por ejemplo, supongamos que laenergıa interna, el ujo del calor y la tensión de Cauchy son modelados a traves de ecuacionesconstitutivas de la forma

φ(x , t ) = φ (x , t ), θ(x , t ), L (x , t ) ,q (x , t ) = q (x , t ), θ(x , t ), L (x , t ) ,

S (x , t ) = S (x , t ), θ(x , t ), L (x , t ) ,





4.6. RESTRICCIONES MATERIALES 113

divergencia implica que det F (X , t ) = 1 para todo t > 0 siempre que esta igualdad seavalida para t = 0.

Las restricciones materiales deben ser mantenidas por tensiones apropiadas. Como mu-chos sistemas de tensiones diferentes podrıan mantener una restricci´ on dada, introduciremosla siguiente hip otesis.Axioma 4.6 (Campos de tensi on en materiales restringidos) . El primer campo tensi´ on de Piola-Kirchhoff P (X , t ) en un cuerpo continuo sujeto a una restricci´ on material γ (F (X , t )) =0 puede ser descompuesto en dos partes:

P (X , t ) = P (r) (X , t ) + P (a) (X , t ).

Aquı P (a) (X , t ) es un campo tensi´ on activo determinado por una ecuaci´ on constitutiva, y P (r) (X , t ) es un campo de tensi´ on reactivo cuya potencia de tensi´ on es cero en cualquier movimiento, es decir

P (r) (X , t ) : F (X , t ) = 0 para todo X

∈

B, t 0. (4.44)

Desde (4.44) podemos deducir la forma m as general de la tensi on reactiva P (r) asociadaa una restricco on dada. La condici on de que γ (F (X , t )) debe permanecer constante en eltiempo para todo X ∈B es equivalente a la condici on

0 =∂ ∂t

γ F (X , t ) = D γ F (X , t ) : F (X , t ) para todo X ∈B, t 0.

Ası, todos los movimientos que satisfacen la restricción tienen la propiedad de que F esortogonal a Dγ (F ) con respecto al producto interior est´ andar en el espacio de tensores desegundo orden. En particular, F debe pertenecer al hiperplano ortogonal a D γ (F ) para todoX

∈

B y t 0. Aquı D γ (F ) denota la derivada de γ en F (ver Denicion 1.10).

El hecho de que (4.44) debe ser valido para todo movimiento posible que satisfaga larestricci on implica que P (r) debe ser ortogonal al hiperplano denido por D γ (F ). En parti-cular, P (r) debe ser paralelo a Dγ (F ) para todo X ∈B y t 0. Ası, la forma mas generalpara la tensi on reactiva viene dada por

P (r) (X , t ) = q (X , t )Dγ F (X , t ) ,

donde q (X , t ) es un campo escalar inc ognito al cual nos referimos como multiplicador .Este campo es la parte incógnita de la tensi on reactiva que hace cumplir la restricciónγ (F (X , t )) = 0. Por ejemplo, para materiales incompresibles denidos por (4.43) tenemosque (ver Lema 1.21)

P (r)

(X , t ) = q (X , t )det F (X , t ) F (X , t )− T

. (4.45)Utilizando la Denici on 4.1 podemos formular una versi on del Axioma 4.6 en terminos del

campo de tension de Cauchy al lugar del campo de tensi on de Piola-Kirchhoff. En particular,la tensi on de Cauchy en un cuerpo sujeto a una restricci´ on material puede ser descompuestacomo

S (x , t ) = S (r) (x , t ) + S (a) (x , t ),




donde S (r) es un campo de tensi on reactiva que corresponde a P (r) , y S (a) es un campo detensi on activa que corresponde a P (a) . Por ejemplo, para materiales incompresibles, (4.45)implica que

S (r) (x , t ) =

− p(x , t )I ,

donde − p(x , t ) = q s(x , t ) es la descripcion espacial del campo material q (X , t ). Ası, obser-vamos que la tensi on de Cauchy reactiva es esferica, y el campo multiplicador puede serinterpretado como una presi´ on.

El Axioma 4.5 arma que el campo tensi on de Cauchy es indiferente respecto del marco.En el caso anterior de un cuerpo sin ninguna restricci´ on demostramos que este axioma imponeuna restricci on sobre la ecuacion constitutiva para S (x , t ). En el presente caso de un cuerpocon una restricci on interpretamos este axioma como imponiendo una restricci´ on sobre lasformas posibles de la funcion de restricci on γ y la ecuacion constitutiva para la tensi´ on activaS (a) . En particular, siempre supondremos que ambas expresiones γ (F (X , t )) y S (a) (x , t ) sonindiferentes respecto del marco. Estas hip´ otesis, juntas con la indiferencia respecto del marco

de S (x , t ), implican que el campo multiplicador, a su vez, es indiferente respecto del marco.4.7. Consideraciones isotermicas

Existe un buen n umero de modelos de uidos y de solidos que son puramente mec anicos.Aquı introduciremos el concepto de un proceso isotermico como una forma de describir talesmodelos en el marco de este capıtulo, y discutiremos las leyes de balance relevantes para elmodelamiento isotermico de cuerpos continuos.

Denici´ on 4.5 (Procesos termo-mecánico e isotermico) . Como proceso termo-mec anico para un cuerpo continuo se denota un par de funciones (ϕ , Θ), donde ϕ (X , t ) es un movimientoadmisible y Θ(X , t ) es un campo material de temperatura. Un proceso se llama isotermico

si Θ(X , t ) es independiente de X y t, o equivalentemente, si la temperatura espacial θ(x , t )es constante independiente de x y t.

Nuestra hip otesis basica para el modelamiento isotermico de un cuerpo continuo es queel cuerpo puede experimentar procesos isotermicos solamente. En particular, para cada mo-vimiento ϕ se supone que la temperatura material Θ es constante para todo X ∈B y t 0.Esta hip otesis es razonable fısicamente para cuerpos con fuentes de calor internas y exter-nas despreciables. Se supone que las fuentes internas son despreciables cuando el cuerpoesta sujeto a leves tasas de deformaci on. Las fuentes externas serán despreciables cuando latemperatura del ambiente del cuerpo es aproximadamente uniforme, constante e igual a ladel cuerpo.

Las leyes de balance de masa, momento lineal y momento angular y el axioma de in-diferencia respecto del marco material son fundamentales para el modelamiento isotermicode cuerpos materiales. La ley de balance de energıa no es relevante directamente en estecontexto porque ella contiene cantidades, en particular la energıa interna, el vector ujo decalor y el suministro del calor, que tıpicamente quedan sin especicar en modelos isotermi-cos. Si cualquier par de estas cantidades fuera conocido, podrıamos utilizar la ley de balancede energıa para generar informaci´ on acerca de la tercera. Desde la primera vista parece,ademas, que la desigualdad de Clausius-Duhem (la Segunda Ley de Termodin´ amica) no es



4.7. CONSIDERACIONES ISOT ERMICAS 115

relevante directamente. Sin embargo demostraremos abajo que esta desigualdad da origen auna desigualdad de energıa puramente mec´ anica para una clase de cuerpos importante.

Denici´ on 4.6 (Proceso termo-mecánico cerrado) . Un proceso termo-mec´ anico (ϕ , Θ) se di-

ce cerrado en un intervalo [t0, t1] si ϕ (X , t1) = ϕ (X , t0), ϕ (X , t1) = ϕ (X , t0) y Θ(X , t1) =Θ(X , t0) para todo X ∈B. Un cuerpo se llama energeticamente pasivo si para cualquier proceso cerrado su densidad material de energıa libre satisface Ψ(X , t1) −Ψ(X , t0) 0 para todo X ∈B.

Ası, un proceso es cerrado en un intervalo [ t0, t1] si todas las partıculas de un cuerpoposeen la misma posicion, velocidad y temperatura en el instante t1 que en el instante t0.Ademas, un cuerpo es energeticamente pasivo si el cambio neto de su densidad de energıalibre es no negativo para cualquier proceso cerrado. Por ejemplo, si Ψ depende solamente delvalor actual de los campos ϕ , ϕ y Θ, y no de su historia pasada, el cambio neto de Ψ es cero.El siguiente resultado es una consecuencia de la desigualdad de Clausius-Duhem reducidaen su forma Lagraniana o Euleriana (Lemas 4.15 y 4.8, respectivamente).

Lema 4.17 (Desigualdad de energıa mecánica) . Se considera un cuerpo energeticamente pasivo con una conguraci´ on referencial B . Entonces para cualquier proceso isotermico en un intervalo [t0, t 1] se debe tener

t 1

t 0

P (X , t ) : F (X , t ) dt 0 para todo X ∈B, (4.46)

donde P (X , t ) es el primer tensor tensi´ on de Piola-Kirchhoff y F (X , t ) es el gradiente de deformaci´ on. Equivalentemente, se tiene que

t 1

t 0

det F (X , t ) S m (X , t ) : L m (X , t ) dt 0 para todo X ∈B, (4.47)

donde S (x , t ) es el campo tensi´ on de Cauchy y L (x , t ) es el campo tasa de deformaci´ on.

Demostraci´ on. Para cualquier proceso termo-mec´ anico la desigualdad de Clausius-Duhemen su forma Lagrangiana (Lema 4.15) arma que

0Ψ P : F − 0ηmΘ −1Θ

Q ·∇X Θ para todo X ∈B, t 0.

Si el proceso es isotermico, entonces Θ = 0 y ∇X Θ = 0 , e integrando sobre un intervalo de

tiempo [t0, t1] obtenemos

0(X ) Ψ(X , t1)

−Ψ(X , t0)

t 1

t 0

P (X , t ) : F (X , t ) dt.

Ademas, si el proceso es cerrado y el cuerpo es energeticamente pasivo, el lado izquierdo esno negativo, lo cual entrega el resultado (4.46).

Similarmente, para cualquier proceso la desigualdad de Clausius-Duhem reducida en suforma Euleriana (Lema 4.8) arma que

ψ S : L − ηθ −1θ

q ·∇x θ para todo x ∈B t , t 0.




Si el proceso es isotermico, entonces θ = 0 y ∇x θ = 0 , por lo tanto

ψ S : L para todo x ∈B t , t 0.

En forma material esto puede ser expresado por

m Ψ S m : L m para todo X ∈B, t 0, (4.48)

donde Ψ = ψm . Por conservaci on de masa (Lema 4.9) se tiene que m = 0/ det F . Insertandoesto en la desigualdad (4.48) e integrando como arriba obtenemos el resultado (4.47).

El Lema 4.17 implica que en cualquier proceso isotermico cerrado un cuerpo energetica-mente pasivo puede consumir energıa mec´ anica pero no puede generarla. En particular, paracualquier subconjunto abierto Ω t⊆B t se tiene que

t 1

t 0P (Ωt ) dt 0, (4.49)

donde

P (Ωt ) es la potencia de fuerzas externas sobre Ω t . Esta desigualdad puede ser deducida

integrando (4.46) sobre un subconjunto arbitrario Ω ⊆B y utilizando el Lema 4.12 juntocon la dencion de un proceso cerrado. Equivalentemente podemos integrar (4.47) y utilizarel Lema 4.5. La integral en (4.49) corresponde al trabajo de fuerzas externas sobre Ω t . Elhecho de que esta integral es no negativa implica que Ω t solamente puede consumir energıa.

Tal como en el caso de la desigualdad de Clausius-Duhem consideramos el Lema 4.17 comouna restricci on constitutiva. En particular, bajo la hip´ otesis de un cuerpo energeticamentepasivo, la ecuacion constitutiva para el campo tensi´ on debe garantizar que la desigualdad deenergıa mec anica este satisfecha en todo proceso isotermico cerrado. Ası, el modelamientoisotermico de cuerpos continuos involucra tres leyes de balance b´ asicas relativas a la masa,el momento lineal, y el momento angular, respectivamente. Adem´ as se presentan dos res-tricciones constitutivas relacionadas a la indiferencia respecto del marco y la desigualdad deenergıa mec anica, respectivamente. Esta ´ ultima se aplica solamente a una clase particularde cuerpos y procesos.

4.8. Ejercicios

Problema 4.1 (Certamen 2, Curso 2012) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de uncuerpo continuo. Demostrar que la desigualdad de Clausius-Duhem reducida est´ a dada por

0Ψ P : F − 0ηmΘ −1Θ

Q ·∇X Θ para todo X ∈B, t 0.

Se puede utilizar que la desigualdad de Clausius-Duhem en forma Lagrangiana est´ a dadapor

0ηm0RΘ −∇X ·

1Θ

Q para todo X ∈B, t 0.

Se debe introducir una densidad de energıa libre por masa unitaria denida adecuadamente.

Problema 4.2 (Certamen 2, Curso 2012) . Sean v (x , t ) y F (X , t ) la velocidad espacial y elgradiente de deformación, respectivamente, asociados a un movimiento ϕ , y sean v∗(x ∗, t )y F ∗(X , t ) las cantidades correspondientes asociadas a ϕ

∗, donde ϕ y ϕ∗ sean relacionados



4.8. EJERCICIOS 117

por un movimiento rıgido superpuesto , es decir se supone que existen una rotación Q (t) yun vector c (t) tales que

ϕ∗(X , t ) = Q (t)ϕ (X , t ) + c(t) para todo X ∈B, t 0.

Ademas, sean C , V R y RU el tensor de Cauchy-Green y las descomposiciones polares aizquierda y a derecha asociadas a F , y C ∗, V ∗R ∗ y R ∗U ∗ las cantidades correspondientesasociadas a F ∗. Finalmente, sea L el campo tasa de deformaci on asociado a v , y sea L ∗

el campo tasa de deformaci on asociado a v∗. Demostrar que la relación entre los camposmateriales ( F , R , U , V , C ) y (F ∗, R ∗, U ∗, V ∗, C ∗) est a dada porF ∗= QF , R ∗= QR , U ∗= U , V ∗= QV Q T , C ∗= C para todo X ∈B, t 0,

y que la relacion entre los campos espaciales (∇x v , L ) y (∇

x ∗v∗, L ∗) es

∇x ∗v∗(x ∗, t ) x ∗= g (x ,t ) = Q (t)∇

x v (x , t )Q (t)T + Q (t)Q (t)T ,

L ∗(x ∗, t ) x ∗= g (x ,t ) = Q (t)L (x , y)Q (t)T para todo x ∈B t y t 0.

Aquı Q (t) denota la derivada de Q (t).Problema 4.3 (Certamen 2, Curso 2012) . Con la ayuda del enunciado del problema anteriordeterminar cuales de las sigiuentes ecuaciones constitutivas para el campo tensi´ on de Cauchyson indiferentes respecto del marco, donde µ, λ y γ son constantes arbitrarias: (a) S =2µ∇

x v , (b) S = µL , (c) S = λ γ I .






Capıtulo 5

Mecanica de uidos isotermica

En este capıtulo se consideran varias aplicaciones de las leyes de balance en su formaEuleriana desarrolladas en el Capıtulo 4. Como tal hip´ otesis es fısicamente razonable en mu-chas circunstancias y como simplica la exposici on aquı despreciaremos los efectos termicos.En tal caso aparecen solamente 16 campos incógnitos basicos en la descripcion Euleriana deun cuerpo continuo, a saber:

ϕi(X , t ) 3 componentes del movimiento,vi(x , t ) 3 componentes de velocidad,

(x , t ) 1 densidad de masa,S ij (x , t ) 9 componentes de la tensi on.

Para determinar estas cantidades tenemos a disposici´ on las siguientes 10 ecuaciones:(vi)m = ∂

∂t ϕi 3 ecuaciones cinematicas,∂ ∂t + ( vi),i = 0 1 conservaci on de masa,vi = S ij,j + bi 3 ecuaciones de momento lineal,

S ij = S ji 3 ecuaciones independientes de momento angular.Ası, necesitamos 6 ecuaciones adicionales para que el número de incognitas cuadre con

el de las ecuaciones. Estas ecuaciones adicionales ser an proporcionadas por ecuaciones cons-titutivas que relacionen las 6 componentes independientes del campo tensi´ on de Cauchy S a las variables , v y ϕ . En el caso de un material sujeto a una restricci´ on interna apareceuna ecuaci on que dene la restricci on, ademas de un campo incognito adicional, que es elcampo del multiplicador que hace cumplir la restricci´ on. Tanto las ecuaciones constitutivascomo las restricciones deben ser consistentes con el axioma de indiferencia respecto del mar-co. Ademas, suponiendo que el material es energeticamente pasivo, la ecuaci´ on constitutivatambien debe satisfacer la desigualdad de energıa mec´ anica discutida en el Capıtulo 4.

En este capıtulo estudiaremos modelos constitutivos que relacionnan la tensi´ on de Cau-chy S a la densidad espacial de masa y el gradiente espacial de velocidad ∇

x . Talesmodelos tıpicamente describen el comportamiento de varios tipos de uidos. Como cadamodelo constitutivo de este tipo es independiente de ϕ , un sistema cerrado de ecuacionespara , v y S viene dado por las ecuaciones de balance de masa, momento lineal y momentoangular. Como veremos, estas ecuaciones generan una descripci´ on completa del movimientopara cuerpos que ocupan regiones del espacio con fronteras dadas. Si las fronteras no est´ andadas o son incognitas a priori, entonces ϕ y las ecuaciones cinematicas tambien deben serconsideradas.

Los modelos constitutivos especıcos a ser estudiados en este capıtulo son los mode-los para (i) uidos ideales incompresibles, (ii) uidos el asticos y (iii) uidos incompresiblesNewtonianos. Los modelos (i) y (ii) describen uidos invıscidos, mientras que (iii) describe

119



120 5. MEC ANICA DE FLUIDOS ISOT ERMICA

un uido viscoso. Los modelos (i) y (iii) uidos incompresibles, mientras que (ii) describeun uido compresible. Para cada modelo resumiremos las ecuaciones gobernantes, daremosun ejemplo de un problema de valores iniciales y de frontera tıpico, y estudiaremos variaspropiedades cualitativas. En el contexto del modelo (ii) estudiarmos tambien el concepto delinealizacion.

5.1. Fluidos ideales

En esta secci on estudiaremos el model constitutivo de un uido ideal. Demostraremos queel modelo es indiferente respecto del marco y que satisface la desigualdad de energıa mec´ anica,luego discutiremos un problema de valores iniciales y de frontera est´ andar. Terminaremoscon comentarios acerca de movimientos irrotacionales.

5.1.1. Denici´ on.

Denici´ on 5.1 (Fluido ideal) . Se que un cuerpo continuo con la conguraci´ on de referen-cia B es un uido ideal si

1.) El campo referencial densidad de masa 0(X ) es uniforme en el sentido de que 0(X ) =0 > 0 (constante).

2.) El material es incompresible (ver Secci´ on 4.6), lo que signica que el campo velocidad espacial debe satisfacer

∇x ·v (x , t ) = 0 .

3.) El campo tensi´ on de Cauchy es esferico o Euleriano (ver Secci´ on 2.5), lo que signica que existe un campo escalar p(x , t ), llamado la presion tal que

S (x , t ) = − p(x , t )I .

En virtud de la discusi on de la Seccion 4.6, el campo presion en la Propiedad (3) puedeser identicado como el multiplicador asociado a la restricci´ on expresada en la Propiedad (2).En particular, el campo tensi´ on en un uido ideal es puramente reactivo y es determinadocompletamente por la restricci´ on de incompresibilidad. La Propiedad (3) implica, adem´ as,que el campo tensi on necesariamente es simetrico. Ası la ecuaci´ on de balance del momentoangular (Lema 4.1) automáticamente está satisfecha y ser a dejada fuera de consideración.

Las Propiedades (1) y (2) y la conservación de masa (Lema 4.4) implican que la densidadde masa espacial es uniforme en el espacio y constante en el tiempo, en particular

(x , t ) = 0 > 0 para todo x ∈B t , t 0. (5.1)Esta conclusi on puede ser deducida insertando la condición de incompresibilidad ∇

x ·v = 0en la ecuacion conservacion de masa, lo cual entrega que

˙(x , t ) = 0 para todo x∈B t , t 0.

En virtud de la denici on de la derivada total o material se tiene que∂ ∂t

ϕ (X , t ), t = 0 para todo X ∈B, t 0.

Este resultado, la convención ϕ (X , 0) = X y la denicion de 0(X ) implican queϕ (X , t ), t = (X , 0) = 0(X ) para todo X ∈B, t 0.



5.1. FLUIDOS IDEALES 121

El resultado (5.1) sigue a partir de la condición sobre 0(X ) y la relacion x = ϕ (X , t ).

5.1.2. Las ecuaciones de Euler. Insertando (x , t ) = 0 y S (x , t ) = − p(x , t )I en laecuacion de balance de momento lineal (Lema 4.3) y la ecuaci on de conservacion de ma-

sa (Lema 4.1) obtenemos un sistema cerrado de ecuaciones para los campos espaciales develocidad y de presi on en un cuerpo de uido ideal. En particular se tiene que

0v = ∇x ·(− pI ) + 0b, ∇

x ·v = 0 ,

donde b(x , t ) es una fuerza de cuerpo por masa unitaria espacial dada. Notar que la ecuaci´ onde conservacion de masa se reduce a la restricci on de incompresibilidad del campo espacialde velocidad.

En virtud del Lema 3.6 se tiene que

v =∂ ∂t

v + (∇x v )v .

Ademas es facil vericar que

∇x ·(− pI ) = −∇x p.

Ası, los campos espaciales de velocidad y de presion en un cuerpo de uido ideal con laconguracion referencial B deben satisfacer las siguientes ecuaciones para todo x ∈B t yt 0:

0∂ ∂t

v + (∇x v )v = −∇x p + 0b, (5.2a)

∇x ·v = 0 . (5.2b)

Estas ecuaciones son conocidas como Ecuaciones de Euler para un uido ideal.Comentamos que en un uido ideal no existe una ecuación explıcita que relacione la

presion con la velocidad o la densidad. Al contrario, la presión aparece como una inc ognitafundamental que debe ser determinada simult´ aneamente con el campo velocidad. En parti-cular, el campo presion puede ser identicado como el multiplicador asociado a la restricci´ onde incompresibilidad (ver Secci on 4.6). Las ecuaciones (5.2) determinan la presión solo hastauna funci on aditiva del tiempo, Esto es, si el par v (x , t ), p(x , t ) satisface (5.2), entoncestambien lo hace v (x , t ), p(x , t ) + f (t) para cualquier función escalar f (t). Esto sigue a partirde∇

x ( p + f (t)) = ∇x p.

Comentamos además que en un uido ideal no existen tensiones de cizalla. En particular,como el campo tension de Cauchy es esferico, la tracci on t sobre una supercie con vectornormal es, a su vez, normal respecto de la supercie ya que t = Sn = − pn (ver Seccion 2.5).

5.1.3. Consideraciones de indiferencia respecto del marco. Tal como discutimos enla Seccion 4.6, el campo tension de Cauchy en un cuerpo sujeto a una restricci´ on materialpuede ser descompuesto como

S (x , t ) = S (r) (x , t ) + S (a) (x , t ),donde S (r) es una tensi on reactiva determinada por la restricci´ on y S (a) es una tensi on activadada por una ecuación constitutiva. Para un uido ideal se tiene que

S (r) (x , t ) = − p(x , t )I , S (a) (x , t ) = O ,




donde p es el multiplicador asociado a la restricción de incompresibilidad ∇x ·v = 0, o

equivalentemente, det F = 1. Esta restricción puede ser escrita en la forma material est´ andar

γ F (X , t ) = 0 ,

donde γ (F ) = det F −1.Para que un modelo restringido sea consistente con el Axioma de Indiferencia del Marco

(Axioma 4.5) basta que el campo de restricción γ (F (X , t )) y el campo de tensi on activaS (a) (x , t ) sean indiferentes respecto del marco en el sentido de la Denición 4.3. Para vericarque esto es valido aquı, sean B t y B∗

t dos conguraciones de un cuerpo de uido idealrelacionadas por un movimiento rıgido superpuesto

x ∗= g (x , t ) = Q (t)x + c(t),

donde Q (t) es un tensor de rotaci on arbitrario y c (t) es un vector arbitrario. Sean γ (F (X , t ))y S (a) (x , t ) la restricci on y la tension activa asociadas a B t , y sean γ (F ∗(X , t )) y S (a) ∗(x ∗, t )

la restricci on y la tension activa asociadas a B∗

t . Recordamos que en virtud del Lema 4.16 setiene que F ∗(X , t ) = Q (t)F (X , t ). Utilizando las denciones de γ y S (a) (la tensi on activadesaparece identicamente) junto con el hecho de que el determinante de una rotaci´ on esunitario deducimos lo siguiente, donde omitimos los argumentos x ∗, x , X y t por motivosde brevedad:

γ (F ∗) = det F ∗−1 = det F −1 = γ (F ), S (a) ∗= O = Q [O ]Q T = QS (a) Q T .

Concluimos que el modelo material de un uido ideal es independiente del marco.

5.1.4. Consideraciones de energıa mecanica. Aquı suponemos que un modelo isotermi-co de un uido ideal es energeticamente pasivo (de acuerdo a lo discutido en la Secci´ on 4.7),y demostramos que está satisfecha la desigualdad de energıa mecánica (Lema 4.17).

Como S = − pI y L = sym(∇x v ), para cualquier movimiento de un uido ideal se tiene

que

S : L = − pI : sym(∇x v ).

Como I : A = tr A y tr(sym( A )) = tr A para cualquier tensor de segundo orden A ,obtenemos

S : L = − p tr(∇x v ) = − p∇

x ·v = 0 para todo x ∈B t , t 0,

donde la ultima igualdad es una consecuencia de la condición de incompresibilidad. Para

cualquier intervalo de tiempo [ t0, t1] este resultado implica que

t 1

t 0

det F (X , t ) S m (X , t ) : L m (X , t ) dt = 0 para todo X ∈B,

donde F es el gradiente de deformaci on. Esto demuestra que el modelo del uido ideal esconsistente con la desigualdad de energıa mec´ anica. En particular la desigualdad es satisfechapara cualquier proceso isotermico cerrado o no cerrado.




5.1.5. Problemas de valores iniciales y de frontera. Un problema de valores iniciales y de frontera para un cuerpo de uido ideal es un conjunto de ecuaciones que describe elmovimiento del cuerpo sujeto a condiciones iniciales especicadas en B en el instante t = 0,y a condiciones de fromtera sobre ∂B t para t 0. La forma Euleriana de las leyes de balancepara un uido ideal es particularmente apta para aquellos problemas en los cuales el cuerpoocupa una region ja D en el espacio. Tıpicamente se supone que D es un conjunto acotado yabierto. Sin embargo en algunas aplicaciones tambien es ´ util considerar conjuntos abiertos noacotados tales como regiones exteriores a un conjunto acotado y cerrado, o bien la totalidaddel espacio Euclidiano.

Un problema de valores iniciales y de frontera estándar para un cuerpo de uido idealocupando una regi on ja D puede ser formulado como sigue: hallar v : D ×[0, T ] → V y p : D ×[0, T ] →R tales que

0∂ ∂t

v + (∇x v )v = −∇x p + 0b en D ×[0, T ], (5.3a)

∇

x

·v = 0 en D ×[0, T ], (5.3b)v ·n = 0 sobre ∂D ×[0, T ], (5.3c)

v (·, 0) = v 0(·) en D. (5.3d)En este sistema, 0 es una densidad de masa constante dada y b es una fuerza de cuerpo

por masa unitaria espacial dada. La ecuaci´ on (5.3a) es el balance de momento lineal y(5.3b) es la restricci on material de incompresibilidad, la cual en este caso es equivalentecon la ecuacion de conservacion de masa. La ecuaci on (5.3c) es una condici´ on de frontera ocondici´ on de borde que expresa que el uido no puede atravesar la frontera ∂D de D, y (5.3d)es una condici´ on inicial . Aquı v 0 es un campo dado que corresponde a la velocidad del uidoen el instante t = 0. El campo especicado v 0 debe ser compatible con las condiciones de

incompresibilidad y de frontera en el sentido de que ∇

x

v 0 = 0 en D y v 0 ·n = 0 sobre ∂D .Comentamos que el sistema en (5.3) es un problema de valores iniciales y de frontera nolineal para los campos ( v , p). Est a garantizado que este sistema posee una solución sobreun intervalo de tiempo nito [0 , T ] siempre que la region D sea sucientemente regular, y siel campo v 0 es sucientemente suave y compatible con las condiciones de incompresibilidady de frontera. Si D es acotado, el campo v es unico, mientras que p es unica solo hastauna funci on aditiva del tiempo. Si D es no acotada, tıpicamente se imponen condiciones defrontera en el innito que resultan en la unicidad de v y p.

Comentamos además que aunque una soluci on de (5.3) puede ser garantizada sobre unintervalo de tiempo nito en dependencia de los datos del problema, la existencia globalpara todos los tiempos a un es un problema abierto. Ademas, mientras se conocen algunas

soluiciones exactas especiales de (5.3), en general se requiere de la aproximación numericapara obtener información cuantitativa acerca de soluciones.Finalmente, comentamos que se supone que las soluciones son continuamente diferencia-

bles en todas las variales tantas veces que se necesita.

5.1.6. Mapa de movimiento y otras condiciones de borde. Para problemas en loscuales el cuerpo uido ocupa una regi on D completa, los campos velocidad del uido ypresion (v , p) pueden ser determinados a partir de (5.3) independientemente del mapa del




movimiento ϕ . En particular, ϕ no entra al problema porque la conguraci´ on actual delcuerpo es conocida para todo t 0, esta conguraci on es B t = D. Si ası lo deseamos,podemos determinar ϕ a partir de v utilizando las ecuaciones

∂ ∂t ϕ (X , t ) = v ϕ (X , t ), t para todo X

∈D, t∈[0, T ], (5.4)ϕ (X , 0) = X para todo X ∈D. (5.5)

La ecuacion (5.4) es la denicion de la velocidad espacial a partir del mapa de movimiento(ver Capıtulo 3) y (5.5) es una condición inicial que expresa el convenio de B0 = B. Ası, lasolucion de este sistema es la posicion actual de la partıcula material cuya posici´ on inicialera X ∈D.

Tıpicamente se asocian dos familias de curvas diferentes para visualizar el movimiento deun cuerpo uido. Como lınea de ujo se entiende la trayectoria de una partıcula individualdel uido para t 0. En particular, las lıneas de ujo son las curvas denidas por ϕ (X , t ) conX jo. Las lıneas de ujo proporcionan una imagen Lagrangiana del movimiento de un uido.

Por otro lado, una lınea de corriente es una curva integral del campo vectorial v (x , t ) cont jo. En particular, las lıneas de corriente son las curvas soluci´ on de la ecuacion diferencialdds

y = v y (s), t .

Para cada t 0 jo, las lıneas de corriente entregan un retrato del campo velocidad espacialv (x , t ). Mientras el conjunto de las lıneas de corriente para un movimiento es, en general,diferente del conjunto de lıneas de ujo, los dos conjuntos coinciden cuando la velocidadespacial v (x , t ) es independiente de t.

Tambien se pueden considerar problemas en los cuales un cuerpo uido no ocupa unaregion espacial ja. Por ejemplo, un uido (lıquido) en un contenedor abierto expuesto a suambiente no ocupará, en general, una regi on espacial ja sino que desarrollar a ondas sobre susupercie expuesta. Para tales problemas en general no se puede determinar ( v , p) en formaindependiente de ϕ . En particular, ϕ se convierte en una inc ognita adicional requerida paradescribir la forma de la supercie expuesta, y (5.4) serıa incluida como ecuaci´ on adicional.Ademas, tıpicamente se impondrıa una condici´ on de frontera para la presión (tracci on) enla supercie expuesta.

La condicion de frontera v ·n = 0 es adecuada para describir la interfaz entre un uidoideal y un solido jo e impermeable. Si el solido no fuera jo, pero sujeto a un campo develocidad dado ϑ , entonces la condici on de borde apropiada serıa v ·n = ϑ ·n .

5.1.7. Movimiento irrotacional y Teorema de Bernoulli. En lo siguiente introduci-remos el concepto de un movimiento irrotacional y estudiaremos las propiedades de talesmovimientos. Demostraremos que los campos velocidad espacial y presion en un movimientoirrotacional satisfacen un sistema de ecuaciones mucho m´ as simple que (5.3)

Denici´ on 5.2 (Movimiento irrotacional) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un cuerpo continuo con el campo velocidad espacial v y el campo spin W = skew(∇

x v ).Entonces se dice que ϕ es irrotacional si

W (x , t ) = O para todo x ∈B t , t 0,




o equivalentemente,(∇

x ×v )(x , t ) = 0 para todo x ∈B t , t 0, (5.6)donde ∇

x ×v es la vorticidad.

Ası, se dice que un movimiento es irrotacional si el campo espacial de vorticidad es identi-camente cero. En virtud del Teorema de Stokes (Teorema 1.7), un movimiento irrotacionaldebe ser interpretado como un movimiento en el cual las partıculas materiales no experi-mentan rotación neta. En particular, la circulaci´ on de material alrededor del borde de unasupercie espacial arbitraria abierta (por ejemplo, un disco) debe anularse. Interpretacio-nes similares de movimientos irrotacionales pueden ser desprendidas de las propiedades deltensor spin descritas en la Secci on 3.5.2.

El siguiente resultado es un resultado clásico del analisis vectorial. Se omite la demostra-cion.

Lema 5.1 (Potencial de velocidad para un movimiento irrotacional) . Sea B t simplemente

conexo para todo t 0. Entonces un campo vectorial suave v satisface (5.6) si y s´ olo si existe un campo espacial φ, llamado potencial para v , tal que v (x , t ) = ∇

x φ(x , t ) para todo x ∈B t , t 0.

Comentamos que un conjunto Ω ⊆E 3 se llama conexo si cualquier par de puntos en Ω

puede ser conectado por una curva en Ω. Si además cualquier curva cerrada en Ω puedeser deformada continuamente a un punto sin salir de Ω, entonces Ω se llama simplemente conexo.

Por otro lado, cualquier campo vectorial cuyo rotacional se anula identicamente comoen (5.6) se dice irrotacional . En este sentido, el campo espacial velocidad de un movimientoirrotacional es irrotacional.

Lema 5.2 (Campo aceleraci on para un movimiento irrotacional) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3

un movimiento de un cuerpo continuo con los campos espaciales velocidad v y spin W .Entonces se tiene que

v =∂ ∂t

v +12∇

x |v |2 + 2 W v =∂ ∂t

v +12∇

x |v |2 + (∇x ×v ) ×v . (5.7)

Ası, para un movimiento irrotacional se tiene que

v =∂ ∂t

v +12∇

x |v |2 . (5.8)

Demostraci´ on. De acuerdo al Lema 3.6 el campo espacial aceleraci on viene dado por

v =∂ ∂t v + (∇

x v )v , (5.9)y por denicion de W se tiene que

2W v = ∇x v −(∇

x v )T v .Utilizando que

(∇x v )T v = vi,j vie j =

12

(vivi) j e j =12∇

x |v |2 ,




llegamos a

2W v = (∇x v )v −

12∇

x |v |2 . (5.10)

Despejando (

∇

x v )v a partir de (5.10) e insertando el resultado en (5.9) entrega la primeraidentidad en (5.7). La segunda sigue de la denición de∇

x ×v (Denicion 1.8), y el resultado(5.8) es una consecuencia de la denici on de un movimiento irrotacional.

No todos los movimientos de un uido ideal sin irrotacionales. No obstante el siguienteresultado demuestra que cualquier movimiento que comienza a partir de una velocidad inicialapropiada, por ejemplo una velocidad uniforme, sera irrotacional para todos los tiempossiempre que la fuerza de cuerpo por masa unitaria sea conservativa. Aquı recordamos queun campo de fuerza espacial b se llama conservativo si existe un campo espacial escalar β tal que

b(x , t ) = −∇x β (x , t ).

Lema 5.3 (Criterio para el movimiento irrotacional de un uido ideal) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un cuerpo de uido ideal con el campo espacial velocidad v y la den-sidad de masa constante 0. Sea el cuerpo sujeto a una fuerza de cuerpo por masa unitaria conservativa b = −∇x β . Si v es irrotacional en t = 0 , entonces v es irrotacional para todos los tiempos t 0.

Demostraci´ on. Sea w = ∇x v . Entonces, tomando el rotacional de (5.2a) y utilizando la

segunda identidad de (5.7) y el hecho de que el rotacional de un gradiente se anula, obtenemosque w satisface

0∂ w∂t

+ ∇x ×(w ×v ) (x , t ) = 0 . (5.11)

Ademas, por las hip otesis respecto de v tenemos la condici on inicialw (x , 0) = 0 .

Ahora, desarrollando las operaciones del rotacional en (5.11) y partiendo por la constante0 > 0 obtenemos

∂ w∂t

+ (∇x w )v −(∇

x v )w + w (∇x ·v ) −v (∇

x

·w ) = 0 .

Como ∇x ·v = 0 (porque el ujo es incompresible) y ∇

x ·w = 0 (la divergencia de unrotacional siempre se anula), se tiene que

w

−(

∇

x v )w = 0 . (5.12)

Ahora demostraremos que w (x , t ) = 0 es la solucion unica de (5.12) bajo la condici oninicial w (x , 0) = 0 . Al lugar de utilizar la teorıa general de ecuaciones diferenciales parcialesdemostraremos este resultado mediante un cauclo directo utilizando un cambio de varia-bles conveniente. Para tal efecto sea w m (X , t ) la descripcion material de w (X , t ), es decirw m (X , t ) = w (ϕ (X , t ), t), y sea ξ (X , t ) el campo material denido por

ξ = F − 1w m⇐⇒w m = F ξ . (5.13)




La segunda de estas identidades implica que∂ ∂t

w m =∂ ∂t

F ξ + F ∂ ∂t

ξ ,

y despejando ∂ ξ /∂t de esta ecuaci on y eliminando ξ obtenemos∂ ∂t

ξ = F − 1 ∂ ∂t

w m −∂ ∂t

F F − 1w m . (5.14)

Como∂ ∂t

w m = ( w )m ,∂ ∂t

F F − 1 = (∇x v )m ,

en virtud de (5.12) se anula el lado derecho de (5.14). Ası, ξ satisface la ecuaci on simple∂ ∂t

ξ (X , t ) = 0 .

Esto signica que ξ (X , t ) = ξ (X , 0) para todo t 0 y X ∈B. Ademas, como F (X , 0) = I ,se tiene que ξ (X , 0) = w m (X , 0). Combinando estos resultados con la segunda identidad de

(5.13) obtenemosw m (X , t ) = F (X , t )ξ (X , t ) = F (X , t )ξ (X , 0) = F (X , t )w m (X , 0).

Ası, si un movimiento es irrotacional inicialmente en el sentido de que w m (X , 0) = 0 paratodo X ∈B, estonces permanece irrotacional para siempre en el sentido de que w m (X , t ) = 0para todo t 0 y X ∈B.

El siguiente resultado muestra que la ecuaci´ on de balance del momento lineal para unuido ideal puede ser reducida a una forma particularmente simple si el movimiento esirrotacional.

Teorema 5.1 (Teorema de Bernoulli para uidos ideales) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un uido ideal con densidad de masa constante 0. Sea para todo t 0el movimiento irrotacional con la velocidad espacial v = ∇

x φ, y sea el cuerpo sujeto a una fuerza de cuerpo por masa unitaria b = −∇x β . Entonces la ecuaci´ on de balance del momentolineal implica que

∇x ∂φ

∂t+

12|v |

2 +p0

+ β = 0 , (5.15)

o equivalentemente ∂φ

∂t+

1

2|v

|2 +

p

0

+ β = f (5.16)

para alguna funci´ on f = f (t) que depende del movimiento.

Demostraci´ on. En virtud del Lema 5.2 y de las hip otesis v = ∇x φ y b = −∇x β , el balance

de momento lineal (5.2a) puede ser escrito como

0∂ ∂t

(∇x φ) +

12∇

x |v |2 = −∇x p− 0∇x β.




El resultado en (5.15) es una consecuencia del hecho de que los operadores ∂/∂t y ∇x

conmutan. El resultado (5.16) es una consecuencia de la denici´ on de∇x .

El Teorema 5.1 implica que los campos espaciales velocidad v y presion p en un movi-

miento irrotacional de un uido ideal pueden ser determinados a partir de un sistema que esmucho mas simple que las ecuaciones (5.3). En particular, supongamos que el cuerpo ocupauna regi on espacial ja D y consideremos la representación v = ∇

x φ garantizada por elLema 5.1. Entonces (5.3b) y (5.3c) implican que φ debe satisfacer la ecuaci on

∆ x φ = 0 para todo x ∈D, t 0 (5.17)

y la condicion de borde

∇x φ ·n = 0 para todo x ∈∂D , t 0. (5.18)

A partir de (5.3a) encontramos que p debe satisfacer (5.16) para todo x ∈D y t 0. Lacondicion inicial (5.3d) no puede ser especicada arbitrariamente. Debe ser compatible conel movimiento irrotacional determinado por (5.17) y (5.18).

Comentamos que el sistema (5.17), (5.18) forma un problema de valores de frontera linealpara el campo escalar φ. Este sistema puede determinar φ solo hasta una funci on del tiempoaditiva, la cual no afecta el campo velocidad v ya que v = ∇

x φ. La ecuacion (5.17) se llamaecuaci´ on de Laplace para φ.

Si D es acotado, el sistema (5.17), (5.18) admite sólo la solucion trivial φ = 0 hasta unafuncion del tiempo aditiva, lo cual implica que v = 0 . Ası, el unico movimiento irrotacionalde un uido ideal en un dominio acotado es el movimiento trivial. Por otro lado, si D no esacotado, el sistema (5.17), (5.18) tıpicamente es aumentado por condiciones de borde en elinnito, por ejemplo condiciones de ujo uniforme y de decaimiento, las cuales dan origena campos unicos y no triviales φ y v . Notar que estos campos pueden depender del tiempomediante las condiciones de borde.

Comentamos, además, que el campo presion p correspondiente a un campo velocidad vpuede ser determinado a partir de (5.16) hasta una funci´ on incognita f (t). Esta funci onpuede ser determinada si el valor de p es conocido en algun punto de referencia x ∗ para todot 0. Ası, la diferencia p(x , t ) − p(x ∗, t ) puede ser determinada para todo x ∈D y t 0.

Finalmente mencionamos que cualquier campo espacial que es independiente de t se llamaestacionario . En el caso que todos los campos son estacionarios, la diferencia de presi on p(x ) − p(x ∗) queda dada por la relación simple

p− p∗=12 0 |v∗|2 − |v |2 + 0(β ∗−β ),

donde p∗, v∗ y β ∗ denotan los valores en x ∗.

5.2. Fluidos el´ asticos

En esta secci on estudiaremos el model constitutivo de un uido elástico, que es un mo-delo simple de un uido compresible isotermico. Demostraremos que el modelo es indiferenterespecto del marco y que satisface la desigualdad de energıa mec´ anica, luego discutiremos



5.2. FLUIDOS EL ASTICOS 129

un problema de valores iniciales y de frontera estándar. Haremos comentarios acerca de mo-vimientos irrotacionales y demostraremos una versi´ on generalizada del Teorema 5.1. Termi-naremos con la derivaci on de las ecuaciones de movimiento linealizadas para perturbacionespequenas.

5.2.1. Denici´ on.

Denici´ on 5.3 (Fluido el astico) . Se dice que un cuerpo continuo con la conguraci´ on de referencia B es un uido elastico si:

1.) El campo tensi´ on de Cauchy es esferico o Euleriano (ver Secci´ on 2.5), lo que signica que existe un campo escalar p(x , t ), llamado la presion tal que

S (x , t ) = − p(x , t )I .

2.) El campo presi´ on p(x , t ) es relacionado con el campo espacial densidad de masa (x , t )mediante la siguiente ecuacion, llamada ecuacion de estado :

p(x , t ) = π (x , t ) ,

donde π : R + →R es una funci´ on dada con π (s) > 0 para todo s > 0. La relaci´ on constitutiva p = π( ) tıpicamente se llama ecuacion de estado .

Las Propiedades (1) y (2) implican que el campo tensión de Cauchy en un uido el astico esenteramente determinado por la densidad de masa espacial. La propiedad (1) tambien implicaque el campo tensi on necesariamente es simetrico. Ası la ecuacion de balance del momentolineal (Lema 4.4) est a satisfecha autom aticamente y ya no será considerada a continuación.La hipotesis acerca de π en la relacion (2) implica que bajo condiciones isotermicas, la presiónincrementa con la densidad. Esta hip´ otesis es fısicamente razonable en muchas circunstancias.Veremos m as adelante que esta hipótesis genera un concepto de una velocidad de sonido biendenida.

5.2.2. Las ecuaciones de un uido el astico. Insertando S (x , t ) = − p(x , t )I en la ecua-cion de balance de momento lineal (Lema 4.3) y la ecuación de conservacion de masa (Le-ma 4.1) obtenemos un sistema cerrado de ecuaciones para los campos espaciales de velocidady de presion en un cuerpo de uido elastico. En particular se tiene que

0v = ∇x ·(− pI ) + 0b,

∂∂t

+ ∇x ·( v ) = 0 ,

donde p = π( ) y b(x , t ) es una fuerza de cuerpo por masa unitaria espacial dada.En virtud del Lema 3.6 se tiene que

v =∂ ∂t

v + (∇x v )v .

Ademas es facil vericar que

∇x ·(− pI ) = −∇x p = −∇x (π( )) = −π ( )∇

x .




Ası, los campos espaciales de velocidad y de presi on en un cuerpo de uido elastico con laconguracion referencial B deben satisfacer las siguientes ecuaciones para todo x ∈B t yt 0:

0∂ ∂t v + (∇

x

v )v = −π ( )∇

x

+ b, (5.19a)∂∂t

+ ∇x ·( v ) = 0 . (5.19b)

Estas ecuaciones son conocidas como ecuaciones de un uido el´ astico .Al contrario de un uido ideal, un uido el astico es compresible. Puede experimentar

cambios de volumen y su de densidad de masa espacial no necesariamente es constante.Como no hay restricci on de incompresibilidad, el campo presi on p en un uido elastico noes una incognita adicional, sino que queda determinado completamente por la densidad demasa .

Comentamos además que tal como para un uido ideal, no existen tensiones de cizalla.

En particular, como el campo tensión de Cauchy es esferico, la tracción t sobre una superciecon vector normal es, a su vez, normal respecto de la supercie ya que t = Sn = − pn (verSeccion 2.5).

5.2.3. Consideraciones de indiferencia respecto del marco. Un modelo de uidoelastico es denido por la ecuaci on constitutiva

S (x , t ) = −π (x , t ) I , (5.20)

donde π es una funcion dada y es la densidad de masa espacial. Para que el modelo esconsistente con el axioma de indiferencia respecto del marco (Axioma 4.5) debe proporcionarun campo tensi on que a su vez es indiferente respecto del marco en el sentido de la De-nicion 4.3. Para vericar que esto es v alido aquı, sean B t y B∗

t dos conguraciones de uncuerpo de uido elastico relacionadas por un movimiento rıgido superpuesto

x ∗= g (x , t ) = Q (t)x + c(t),

donde Q (t) es un tensor de rotaci on arbitrario y c(t) es un vector arbitrario. Sea S (x , t ) elcampo tensi on asociado a B t , y sea S ∗(x ∗, t ) el campo tensi on asociado a B∗

t . Recordamosque en virtud del Axioma 4.5 se tiene que ∗(x ∗, t ) = (x , t ), donde x ∗= g (x , t ). Utilizando(5.20) obtenemos

S ∗= −π( ∗)I = Q −π( )I Q T = QSQ T .

Concluimos que el modelo material de un uido el astico es independiente del marco.

5.2.4. Consideraciones de energıa mecanica. Aquı suponemos que un modelo isotermi-co de un uido elastico es energeticamente pasivo (de acuerdo a lo discutido en la Secci´ on 4.7),y demostramos que está satisfecha la desigualdad de energıa mecánica (Lema 4.17) para cual-quier relaci on constitutiva del tipo p = π( ).

Como S = −π( )I y L = sym(∇x v ), para cualquier movimiento de un uido elastico se

tiene queS : L = −π( )I : sym(∇

x v ),




y siguiendo los mismos argumentos que en el caso de un uido ideal (Seccion 5.1.4) obtenemosque

S : L = −π( )tr(∇x v ) = −π( )∇

x ·v para todo x ∈B t , t 0.

En forma material,S m : L m = −π( m )(∇

x ·v )m para todo X ∈B, t 0.

Como en virtud del Lema 3.8 se tiene que

(∇x ·v )m det F =

∂ ∂t

(det F ),

y en virtud del Lema 4.9, m = 0/ det F , concluimos que

(det F )S m : L m = −π 0

det F ∂ ∂t

(det F ) para todo X ∈B, t 0. (5.21)

Sea g(X , s), s > 0, cualquier funci on denida por

g (X , s) = −π 0(X )s

, · ≡∂ ·∂s

.

Entonces, mediante la regla de la cadena podemos escribir (5.21) como

(det F )S m : L m = g (X , det F )∂ ∂t

(det F ) =∂ ∂t

g(X , det F ) para todo X ∈B, t 0.

Para cualquier intervalo de tiempo [ t0, t1] este resultado implica que

t 1

t 0

det F (X , t ) S m (X , t ) : L m (X , t ) dt

= g X , det F (X , t1) −g X , det F (X , t0) para todo X ∈B. (5.22)

Para cualquier proceso isotermico cerrado en [ t0, t1] se tiene que ϕ (X , t1) = ϕ (X , t0) paratodo X ∈B, lo que implica que det F (X , t 1) = det F (X , t0) para todo X ∈B. Ası, el ladoderecho de (5.22) se anula. Esto demuestra que el modelo del uido elástico es consistentecon la desigualdad de energıa mecánica para cualquier relación constitutiva p = π( ).

5.2.5. Problemas de valores iniciales y de frontera. Un problema de valores iniciales y de frontera para un cuerpo de uido el astico es un conjunto de ecuaciones que describe elmovimiento del cuerpo sujeto a condiciones iniciales especicadas en B en el instante t = 0,y a condiciones de fromtera sobre ∂B t para t 0. Tal como para un uido ideal, la formaEuleriana de las leyes de balance para un uido ideal es particularmente apta para aquellosproblemas en los cuales el cuerpo ocupa una region ja D en el espacio. En este caso elcampo espacial velocidad v y el campo espacial densidad de masa pueden ser determina-dos independientemente del movimiento ϕ . Tıpicamente se supone que D es un conjuntoacotado y abierto. Sin embargo en algunas aplicaciones tambien es ´ util considerar conjuntosabiertos no acotados tales como regiones exteriores a un conjunto acotado y cerrado, o bienla totalidad del espacio Euclidiano.




Un problema de valores iniciales y de frontera estándar para un cuerpo de uido elásticoocupando una regi on ja D puede ser formulado como sigue: hallar v : D ×[0, T ] → V y

: D ×[0, T ] →R tales que

∂ v∂t

+ (∇x v )v = −π ( )∇

x + b en D ×[0, T ], (5.23a)

∂∂t

+ ∇x ·( v ) = 0 en D ×[0, T ], (5.23b)

v ·n = 0 sobre ∂D ×[0, T ], (5.23c)v (·, 0) = v 0(·) en D, (5.23d)

(·, 0) = 0(·) en D. (5.23e)

En este sistema, π es una funcion dada y b es una fuerza de cuerpo por masa unitariaespacial dada. La ecuaci on (5.23a) es el balance de momento lineal y (5.23b) es la ecuaci on

conservaci on de masa. La ecuaci on (5.23c) es una condicion de borde que expresa que eluido no puede atravesar la frontera ∂D de D, y (5.23d) y (5.23e) son condiciones inicialespara los campos espaciales velocidad v y densidad de masa , respectivamente. Aquı v 0 esun campo dado que corresponde a la velocidad del uido en el instante t = 0. El campoespecicado v 0 debe ser compatible con las condiciones de incompresibilidad y de fronteraen el sentido de que ∇

x v 0 = 0 en D y v 0 ·n = 0 sobre ∂D .Comentamos que el sistema en (5.23) es un problema de valores iniciales y de frontera

no lineal para los campos ( v , ). Podemos esperar que este sistema posee una solución sobreun intervalo de tiempo nito [0 , T ] siempre que la region D sea sucientemente regular, yque v 0 y 0 satisfagan ciertas condiciones leves.

En algunas aplicaciones las solcuiones de (5.23) no son suaves debido a la aparici on de

ondas de choque . Estas son supercies a traves de las cuales una o varias componentes de lasolucion posee una discontinuidad de salto. Un an´ alisis adecuado de tales soluciones requierela introducci on de una forma debil adecuada de las leyes de balance. Sin embargo aquı sesupone que las soluciones son continuamente diferenciables en todas las variales tantas vecesque se necesita para realizar el c alculo.

La condicion de frontera v ·n = 0 es adecuada para describir la interfaz entre un uidoelastico y un s olido jo e impermeable. Si el solido no fuera jo, pero sujeto a un campo develocidad dado ϑ , entonces la condici on de borde apropiada serıa v ·n = ϑ ·n .

5.2.6. Movimiento irrotacional y Teorema de Bernoulli Generalizado. Aquı nosconcentraremos en movimientos irrotacionales y demostraremos una versi´ on generalizada delTeorema de Bernoulli (Teorema 5.1) para uidos el´ asticos. Demostraremos que los camposepaciales velocidad y densidad en un movimiento irrotacional de un uido el´ astico satisfacenun sistema de ecuaciones mas simple que (5.23).

Sea ahora la funci on γ : R + →R denida por

γ (s) = s

a

π (ξ )ξ

dξ,




donde a > 0 es una constante arbitraria que no importa para nuestro an´ alisis. Esta denici onsignica que

γ (s) =π (s)

spara todo s > 0, (5.24)

y en virtud de la hip otesis π (s) > 0 notamos que γ (s) > 0 para todo s > 0, por lo tanto γ posee una inversa denotada por ζ . En particular,

ζ γ (s) = s para todo s > 0.

El siguiente resultado demuestra que tal como para un uido ideal, cualquier movimiento deun uido elastico que comienza a partir de una velocidad inicial apropiada, por ejemplo unavelocidad uniforme, ser a irrotacional para todos los tiempos siempre que la fuerza de cuerpopor masa unitaria sea conservativa.

Lema 5.4 (Criterio para el movimiento irrotacional de un uido el´ astico) . Sea ϕ : B ×[0,

∞)

→E 3 un movimiento de un cuerpo de uido el´ astico con los campos espaciales veloci-

dad v y densidad de masa . Sea el cuerpo sujeto a una fuerza de cuerpo por masa unitaria conservativa b = −∇x β . Si v es irrotacional en t = 0 , entonces v es irrotacional para todos los tiempos t 0.

Demostraci´ on. Partiendo (5.19a) por > 0 obtenemos∂ v∂t

+ (∇x v )v = −

π ( )∇

x + b,

y utilizando (5.24) y la hip otesis b = −∇x β obtenemos∂ v∂t

+ (∇x v )v = −∇x γ ( ) −∇x β. (5.25)

Sea ahora w = ∇x v . Entonces, tomando el rotacional de (5.25) y utilizando el Lema 5.2 y

el hecho de que el rotacional de un gradiente se anula, obtenemos que w satisface∂ w∂t

+ ∇x ×(w ×v )(x , t ) = 0 . (5.26)

Ademas, por las hip otesis respecto de v tenemos la condici on inicial

w (x , 0) = 0 .

Ahora, desarrollando las operaciones del rotacional en (5.26) obtenemos∂ w∂t

+ (∇x w )v −(∇

x v )w + w (∇x ·v ) −v (∇

x

·w ) = 0 .

Como ∇x ·w = 0 (la divergencia de un rotacional siempre se anula), se tiene que

w −(∇x v )w + (∇

x ·v )w = 0 .

Sea ahora el campo material ξ denido como en la demostraci on del Lema 5.3. Entonces ξdebe satisfacer la ecuaci on

∂ ξ∂t

= −(∇x ·v )m ξ .




Para cada X ∈B esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal y no autónoma paraξ (X , t ). Como ξ (X , t ) = 0 es la unica solucion con la condicion inicial ξ (X , 0) = 0 con-cluimos que w m (X , t ) = 0 para todo t 0 y X ∈B siempre que w m (X , 0) = 0 para todoX

∈

B, lo cual es el resultado deseado.

El siguiente resultado muestra que tal como para un uido ideal, la ecuaci´ on de balancedel momento lineal para un uido el astico puede ser reducida a una forma particularmentesimple si el movimiento es irrotacional.

Teorema 5.2 (Teorema de Bernoulli para uidos elásticos) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un uido el´ astico con el campo densidad de masa . Sea para todo t 0el movimiento irrotacional con la velocidad espacial v = ∇

x φ, y sea el cuerpo sujeto a una fuerza de cuerpo por masa unitaria b = −∇x β . Entonces la ecuaci´ on de balance del momentolineal implica que

∇

x ∂φ

∂t+

1

2|v

|2 + γ ( ) + β = 0 , (5.27)

o equivalentemente ∂φ∂t

+12|v |

2 + γ ( ) + β = f (5.28)

para alguna funci´ on f = f (t) que depende del movimiento.

Demostraci´ on. En virtud del Lema 5.2 y de las hip otesis v = ∇x φ y b = −∇x β , el balance

de momento lineal (5.19a) puede ser escrito como

∂ ∂t

(∇x φ) +

12∇

x |v |2 = −π ( )∇x − ∇x β.

Partiendo por > 0 y utilizando la denici on de la funcion γ obtenemos∂ ∂t

(∇x φ) +

12∇

x |v |2 = −γ ( )∇x −∇x β.

El resultado en (5.27) es una consecuencia de la identidad γ ( )∇x = ∇

x γ ( ) y del hechode que los operadores ∂/∂t y ∇

x conmutan. El resultado (5.28) es una consecuencia de ladenicion de∇

x .

El Teorema 5.2 implica que los campos espaciales velocidad v y densidad en un mo-vimiento irrotacional de un uido elástico pueden ser determinados a partir de un sistemaque es mucho mas simple que las ecuaciones (5.23). En particular, supongamos que el cuerpo

ocupa una regi on espacial ja D y consideremos la representación v = ∇

x

φ garantizada porel Lema 5.1. Entonces (5.23b) y (5.23c) implican que φ y deben satisfacer la ecuaci on∂∂t

+ ∇x ·( ∇

x φ) = 0 para todo x ∈D, t 0 (5.29)

y la condicion de borde

∇x φ ·n = 0 para todo x ∈∂D , t 0. (5.30)




A partir de (5.23a) encontramos que debe satisfacer (5.28) para todo x ∈D y t 0.En particular, utilizando la funci´ on inversa ζ , podemos despejar a partir de (5.28) paraobtener

= ζ γ ( ) = ζ f −∂φ∂t −

12|∇

xφ|2 −β . (5.31)

Las condiciones iniciales (5.23d) y (5.23e) no pueden ser especicadas en forma arbitrariacuando se est a buscando este tipo de soluci on. Estas condiciones deben ser compatibles conel movimiento irrotacional determinado por (5.29), (5.30) y (5.31).

Comentamos que si es eliminado utilizando (5.31), el sistema (5.29), (5.30) formaun problema de valores iniciales y de frontera para el campo escalar φ. Este sistema esevidentemente más complicado que el sistema correpondiente para un uido ideal (5.17),(5.18). Los problemas de existencia y unicidad de soluciones para tales sistemas son, engeneral, muy difıciles.

En el caso que todos los campos son estacionarios, la ecuaci on para φ (5.29) se reduce a

∇x ·( ∇

x φ) = 0 para todo x ∈D, (5.32)

y la ecuacion para , (5.31), se reduce a

= ζ f −12|∇

x φ|2 −β , (5.33)

donde f es una constante determinada por el movimiento. En particular, so los valores dey v son conocidos en un punto de referencia x ∗, entonces de (5.28) se desprende que

f =12|v∗|

2 + γ ( ∗) + β ∗,

donde v∗, ∗ y β ∗ denotan los valores en x ∗. Ası, en el caso estacionario obtenemos unproblema de valores de frontera no lineal para el campo φ denido por (5.32), (5.33) y(5.30).

5.2.7. Linealizaci on. Consideremos un cuerpo de uido el astico ocupando una regi on - ja D. Supongamos que el uido est a inicialmente sin movimiento, que la densidad de masaes inicialmente uniforme, y que no hay fuerzas de cuerpo de manera que

v 0(x ) = 0 , 0(x ) = ∗> 0, b(x , t ) = 0 .

Bajo estas hip otesis las ecuaciones (5.23) poseen la solucion uniforme unica

v (x , t ) = 0 , (x , t ) = ∗ para todo t 0.

Tal soluci on se llama estado de reposo.Supongamos que ahora se considera el problema de valores iniciales y de frontera (5.23)

con datos iniciales cercanos a un estado de reposo en el sentido de que

v 0(x ) = O(ε), 0(x ) − ∗ = O(ε),




donde 0 ε 1 es un parametro peque no. Supongamos, adem as, que la frontera de Dahora vibra con una velocidad normal ϑ = O(ε), de manera que la condici on de borde en(5.23) se convierte en

v

·n = ϑ =

O(ε).

En este caso es razonable esperar que las soluciones de (5.23), a su vez, dieren s olo levementede un estado de reposo en el sentido de que

v (x , t ) = O(ε), (x , t ) − ∗ = O(ε),

Ahora queremos desarrollar un conjunto de ecuaciones simplicadas que desriben talesmovimientos. Para tal efecto notamos primero que si las condiciones iniciales y de fronteraen (5.23) dependen de un parámetro peque no ε de acuerdo a lo discutido arriba, los camposvelocidad y densidad en el interior del cuerpo, a su vez, tambien depender´ an de ε. Estadependencia se expresa escribiendo v ε y ε . Expandiendo v ε y ε en una serie de potenciarespecto a ε obtenemos

v ε = 0 + εv (1) + ε2v (2) + O(ε3), (5.34a)ε = ∗+ ε (1) + ε2 (2) + O(ε3), (5.34b)

donde v (k) y (k) (k∈N ) son campos incognitos. Como v ε y ε deben satisfacer las ecuaciones

de balance (5.23a) y (5.23b), se tiene que

ε ∂ v ε

∂t+ (∇

x v ε)v ε = −π ( ε)∇x ε , (5.35a)

∂ ε

∂t+ ∇

x ·( εv ε) = 0 . (5.35b)

Insertando (5.34) en (5.35a) obtenemos∗+ ε (1) + O(ε2)

∂ ∂t

εv (1) + O(ε2) + ∇x εv (1) + O(ε2) εv (1) + O(ε2)

= −π ∗+ O(ε) ∇x ∗+ ε (1) + O(ε2) ,

(5.36)

y sustituyendo (5.34) en (5.35b) llegamos a∂ ∂t

∗+ ε (1) + O(ε2) + ∇x ∗+ ε (1) + O(ε2) εv (1) + O(ε2) = 0 . (5.37)

Expansiones similares son v alidas para las condiciones iniciales y de frontera (5.23c)–(5.23e).Suponiendo que estas expansiones y (5.36), (5.37) son válidas para cada potencia de ε, y

utilizando queπ ∗+ O(ε) = π ( ∗) + O(ε),

podemos juntar los terminos que involucran la primer potencia de ε para obtener el siguienteproblema: hallar v (1) : D ×[0, T ] → V y (1) : D ×[0, T ] →R tales que

∂ v (1)

∂t+

π ( ∗)∗ ∇

x (1) = 0 en D ×[0, T ], (5.38a)



5.3. FLUIDOS NEWTONIANOS 137

∂ (1)

∂t+ ∗

∇x ·v (1) = 0 en D ×[0, T ], (5.38b)

v (1) ·n = θ en ∂D ×[0, T ], (5.38c)

v(1)

(·, 0) = v(1)0 en D, (5.38d)

(1) (·, 0) = (1)0 (·) en D. (5.38e)

Tıpicamente las ecuaciones (5.38) se llaman ecuaciones ac´ usticas . Estas ecuaciones son unsistema aproximado de las ecuaciones de balance apropiado para desviaciones peque˜ nas delestado de reposo de un uido el astico.

Comentamos que el sistema (5.38) es un pronblema de valores iniciales y de frontera linealpara los campos de perturbación (v (1) , (1) ). Esperamos que este sistema tenga una soluci´ onunica sobre todo intervalo de tiempo dado [0 , T ] con supuestos leves para D, v 0 y 0.

Eliminando el campo velocidad entre (5.38a) y (5.38b) obtenemos que el campo pertur-bacion de densidad (1) satisface

∂ 2 (1)

∂t 2 = π ( ∗)∆ x (1) , (5.39)

ecuacion conocida como ecuaci´ on de la onda .Finalmente mencionamos que la condición π > 0 garantiza que las soluciones de (5.39)

son de onda para cualquier ∗> 0. Al respecto, la cantidad π ( ) corresponde a la velocidadde la onde. Normalmente se llama velocidad del sonido del cuerpo a densidad ∗.

5.3. Fluidos Newtonianos

En esta secci on estudiaremos el model constitutivo de un uido incompresible Newtoniano(viscoso). Demostraremos que el modelo es indiferente respecto del marco y que satisface ladesigualdad de energıa mecánica, luego discutiremos un problema de valores iniciales y defrontera estándar.

5.3.1. Denici´ on.

Denici´ on 5.4 (Fluido Newtoniano incompresible) . Se dice que un cuerpo continuo con la conguraci´ on de referencia B es un uido Newtoniano incompresible si

1.) El campo referencial densidad de masa 0(X ) es uniforme en el sentido de que 0(X ) =0 > 0 (constante).

2.) El material es incompresible (ver Secci´ on 4.6), lo que signica que el campo velocidad espacial debe satisfacer

∇x ·v (x , t ) = 0 .

3.) El campo tensi´ on de Cauchy es Newtoniano, lo que signica que existen un campoescalar p(x , t ), llamado la presion, y un tensor de cuarto orden constante C tales que

S (x , t ) = − pI + C (∇x v ),




donde ∇x v (x , t ) es el gradiente de velocidad espacial. Se supone que el tensor de cuarto

orden C satisface la condici´ on de simetrıa menor a izquierda (ver Secci´ on 1.1.4.5), es decir

C (A ) T = C (A ) para todo A

∈V 2, (5.40)

y la condici´ on de traza tr C (A ) = 0 para todo A ∈V 2 con tr A = 0. (5.41)

Tal como en caso de un uido ideal, las propiedades (1) y (2) y la conservación de masa(Lema 4.1) implican que la densidad de masa espacial es uniforme en el espacio y constanteen el tiempo, en particular (x , t ) = 0 > 0 para todo x ∈B t , t 0. En virtud de ladiscusion de la Seccion 4.6, el campo presion en la propiedad (3) puede ser identicado comoel multiplicador asociado a la restricción expresada en la propiedad (2). En particular, elcampo tensi on en un uido Newtoniano tiene una parte activa y una parte reactiva. Laparte reactiva − pI es determinada por la restricción de incompresibilidad, mientras que la

parte activaC

(∇

x

v ) es determinada por el gradiente espacial de velocidad.La condicion (5.40) en la propiedad (3) implica, además, que el campo tensi on necesaria-mente es simetrico. Ası la ecuaci´ on de balance del momento angular (Lema 4.4) automati-camente est a satisfecha y ser a considerada m as. La condicion (5.41) implica que

p = −13

tr S cuando tr ∇x v = ∇

x ·v = 0.

Ası el mutiplicador p asociado con la restriccion de incompresibilidad puede ser interpretadocomo la presion fısica. Como un resultado, − pI y C (∇

x v ) corresponden a los tensores tensiónesferico y desviador, respectivamente.

El axioma de indiferencia respecto del marco impone restricciones estrıctas sobre la formaposible del tensor C . En particular, en el Lema 5.5 más abajo demostraremos que C debetener la forma

C (∇x v ) = 2 µ sym(∇

x v ),donde µ es una constante llamada viscosidad absoluta del uido. Argumentos basados enla desigualdad de energıa mecánica implican que µ 0. El modelo del uido Newtonianoincompresible se reduce al modelo del uido ideal cuando µ = 0.

5.3.2. Ecuaciones de Navier-Stokes. Insertando (x , t ) = 0 y S = − pI +2 µ sym(∇x v )

en la ecuacion de balance de momento lineal (Lema 4.3) y la ecuación de conservacion demasa (Lema 4.1) obtenemos un sistema cerrado de ecuaciones para los campos espaciales develocidad y de presi on en un cuerpo de uido Newtoniano. En particular se tiene que

0v = ∇

x

· − pI + 2 µ sym(∇

x

v ) + 0b, ∇

x

·v = 0 ,donde b = b(x , t ) es una fuerza de cuerpo por masa unitaria espacial dada. Notar que laecuacion de conservacion de masa se reduce a la restricci on de incompresibilidad del campoespacial de velocidad.

En virtud del Lema 3.6 se tiene que

v =∂ v∂t

+ (∇x v )v .




Ademas, a partir de la las respectivas deniciones de S y sym(∇x v ) es facil vericar que

∇x ·S = −∇x p + µ∇

x ·(∇x v ) + µ∇

x ·(∇x v )T .

Utilizando la denici on de la divergencia de un campo tensorial de segundo orden encontra-

mos que∇

x

·(∇

xv ) = ∆

xv y∇

x

·(∇

xv )

T= ∇

x

(∇

x

·v ). Estos resultados combinados conla condicion∇x ·v = 0 implican que

∇x ·S = −∇x p + µ∆ x v .

Ası, los campos espaciales de velocidad y de presi on en un cuerpo de uido Newtoniano conla conguracion referencial B deben satisfacer las siguientes ecuaciones para todo x ∈B t yt 0:

0∂ ∂t

v + (∇x v )v = µ∆ x v −∇x p + 0b, (5.42a)

∇x ·v = 0 . (5.42b)

Estas ecuaciones son conocidas como Ecuaciones de Navier-Stokes para un uido Newto-niano.Comentamos que tal como para un uido ideal, no existe una ecuaci´ on explıcita que

relacione la presi on con la velocidad o la densidad en un uido Newtoniano. Al contrario, lapresion aparece como una inc ognita fundamental que debe ser determinada simult´ aneamentecon el campo velocidad. En particular, el campo presi´ on es una incognita fundamental quedebe ser determinada simultáneamente con el campo velocidad.

Las ecuaciones (5.42) determinan la presión solo hasta una funci on aditiva del tiempo,Esto es, si el par v (x , t ), p(x , t ) satisface (5.42), entonces tambien lo hace v (x , t ), p(x , t )+ f (t)para cualquier funcion escalar f (t). Esto sigue a partir de ∇

x ( p + f (t)) = ∇x p.

La diferencia principal entre un uido Newtoniano y un uido ideal consiste en que el

uido Newtoniano puede desarrollar tensiones de cizalla. En particular, la tracci´ on t sobreuna supercie con vector normal n no necesariamente es es normal respecto de la supercie,considerando que

t = Sn = − pn + 2 µ sym(∇x v )n .

Las ecuaciones (5.42) implican que un uido Newtoniano es reducido a un uido idealen el caso µ = 0. Cuando µ es pequeno, un uido Newtoniano frecuentamente puede seraproximado por un uido ideal en regiones alejadas de fronteras rıgidas. Cerca de talesfronteras un uido Newtoniano exhibe capas lımites en las cuales las tensiones viscosas decizalla llegan a ser dominantes.

Una cantidad importante en el estudio de ujos descritos por las ecuaciones (5.42) es el

n´ umero de Reynolds Re, que es una constante adimensional denida porRe = 0ϑ∗l∗

µ,

donde 0 es la densidad de masa, ϑ∗ es una velocidad caracterıstica y l∗ es una longitudcaracterıstica, todas asociadas al ujo. Tıpicamente, ujos con un n´ umero de Reynolds pe-queno son suaves o laminares , mientras que ujos con un n umero de Reynolds grande exhibenuctuaciones o son turbulentos .




Finalmente comentamos que cuando el termino de aceleraci´ on espacial es despreciado,las ecuaciones (5.42) asumen la forma

µ∆ x v −∇x p + 0b = 0 ,

∇

x

·v = 0 .Estas ecuaciones lineales tıpicamente son referidas como ecuaciones de Stokes . Proporcionanun sistema aproximado de leyes de balance para movimientos que son casi estacionarios ylentos, y que exhiben gradientes de velocidad muy peque˜ nos.

5.3.3. Consideraciones de indiferencia respecto del marco. Tal como discutimos enla Seccion 4.6, el campo tension de Cauchy en un cuerpo sujeto a una restricci´ on materialpuede ser descompuesto como

S (x , t ) = S (r) (x , t ) + S (a) (x , t ),

donde S (r) es una tensi on reactiva determinada por la restricci´ on y S (a) es una tensi onaactiva dada por una ecuación constitutiva. Para un uido Newtoniano se tiene que

S (r) (x , t ) = − p(x , t )I ,

S (a) (x , t ) = C∇

x v (x , t ) , (5.43)

donde p es el multiplicador asociado a la restricción de incompresibilidad ∇x ·v = 0, o

equivalentemente, det F = 1. Esta restricción puede ser escrita en la forma material est´ andarγ (F (X , t )) = 0, donde γ (F ) = det F −1. Para que un modelo restringido sea consistentecon el Axioma de Indiferencia del Marco (Axioma 4.5) basta que el campo de restricci´ onγ (F (X , t )) y el campo de tensi on activa S (a) (x , t ) sean indiferentes respecto del marco en elsentido de la Denicion 4.3. Los argumentos previamente expuestos para el caso de un uido

ideal demuestran que γ (F (X , t )) es indiferente respecto del marco. Las condiciones bajo lascuales S (a) es indiferente respecto del marco se establecen en el siguiente resultado.

Lema 5.5 (Indiferencia respecto del marco de la tensión activa Newtoniana) . El modeloconstitutivo de la tensi´ on activa en un uido Newtoniano (5.43) es indiferente respecto del marco si y s´ olo si

C (∇x v ) = 2 µ sym(∇

x v ) = 2 µL , (5.44)

donde L = sym(∇x v ) es el tensor tasa de deformaci´ on y µ es una constante escalar.

Demostraci´ on. Por simplicidad demostraremos solamente que (5.44) es suciente. Para talefecto notamos primeramente que el tensor de cuarto orden C denido en (5.44) satisface laspropiedades (5.40) y (5.41). En particular, se satisface (5.40) porque

C (A ) T = 2µ sym(A ) T = 2 µ sym(A ) = C (A ).

Utilizando el hecho de que tr(sym( A )) = tr A para cada tensor de segundo orden A conl-cuimos que (5.41) est a igualmente satisfecha ya que

tr C (A ) = 2 µ tr sym(A ) = 2 µ tr A = 0 cuando tr A = 0.




Para vericar que el modelo constitutivo denido por (5.44) es consistente con el axiomade indiferencia respecto del marco, sean B t y B∗

t dos conguraciones de un cuerpo de uidoNewtoniano relacionadas por un movimiento rıgido superpuesto

x ∗= g (x , t ) = Q (t)x + c(t),

donde Q (t) es un tensor de rotaci on arbitrario y c(t) es un vector arbitrario. Sea S (a) (x , t ) latensi on activa asociada a B t , y sea S (a) ∗(x ∗, t ) la tensi on activa asociada a B∗

t . Recordamosque en virtud del Lema 4.16 se tiene que L ∗(X , t ) = Q (t)L (X , t )Q (t)T , donde x ∗= g (x , t ).Omitiendo los argumentos x ∗, x y t por motivos de brevedad concluimos que

S (a) ∗= 2 µL ∗= 2 µQLQ T = Q T = QS (a) Q T .

Concluimos que el modelo constitutivo denido por (5.44) es independiente del marco.

5.3.4. Consideraciones de energıa mecanica. Aquı suponemos que un modelo isotermi-co de un uido Newtoniano es energeticamente pasivo (de acuerdo a lo discutido en la Sec-

cion 4.7), y demostramos que est a satisfecha la desigualdad de energıa mecánica (Lema 4.17)bajo una restricción de µ apropiada.Como S = − pI + 2 µL , donde

L = sym(∇x v ), (5.45)

para cualquier movimiento de un uido Newtoniano se tiene que

S : L = − pI : L + 2 µL : L .

Utilizando (5.45) obtenemos

I : L = tr sym(∇x v ) = ∇

x ·v ,

lo cual se anula debido a la restricci on de incompresibilidad. Ası,S : L = 2 µL : L para todo x ∈B t , t 0.

Para cualquier intervalo de tiempo [ t0, t1] este resultado implica que

t 1

t 0

(det F )S m : L m dt = 2 µ t 1

t 0

(det F )L m : L m dt.

La desigualdad de energıa mecánica requiere que el lado izquierdo sea no negativo paracada proceso isotermico cerrado en [ t0, t1]. Como la condicion det F > 0 es valida para todoproceso admisible y L m : L m 0 en virtud del producto tensorial interior, concluimos queun modelo de uido Newtoniano satisface la desigualdad de energıa mecánica si y solo si

µ 0.5.3.5. Problemas de valores iniciales y de frontera. Un problema de valores iniciales y de frontera para un cuerpo de uido Newtoniano es un conjunto de ecuaciones que describeel movimiento del cuerpo sujeto a condiciones iniciales especicadas en B en el instante t = 0,y a condiciones de frontera sobre ∂B t para t 0. Tal como para uidos ideales y el asticos,la forma Euleriana de las leyes de balance para un uido ideal es particularmente apta paraaquellos problemas en los cuales el cuerpo ocupa una region ja D en el espacio. En este




caso el campo espacial velocidad v y el campo espacial de presion p pueden ser determina-dos independientemente del movimiento ϕ . Tipicamente se supone que D es un conjuntoacotado y abierto. Sin embargo en algunas aplicaciones tambien es ´ util considerar conjuntosabiertos no acotados tales como regiones exteriores a un conjunto acotado y cerrado, o bienla totalidad del espacio Euclidiano.

Un problema de valores iniciales y de frontera estándar para un cuerpo de uido elásticoocupando una regi on ja D puede ser formulado como sigue: hallar v : D ×[0, T ] → V y p : D ×[0, T ] →R tales que

0∂ v∂t

+ (∇x v )v = µ∆ x v −∇x p + 0b en D ×[0, T ], (5.46a)

∇x ·v = 0 en D ×[0, T ], (5.46b)

v = 0 sobre ∂D ×[0, T ], (5.46c)v (

·, 0) = v 0(

·) en D. (5.46d)

En este sistema, 0 es una densidad de masa constante dada y b es una fuerza de cuer-po por masa unitaria espacial dada. La ecuaci´ on (5.46a) es el balance de momento lineal y(5.46b) es la restricci on material de incompresibilidad, la cual en este caso es equivalente ala ecuacion conservacion de masa. La ecuaci on (5.46c) es la condicion de borde de no desli-zamiento, y (5.46d) es la condici on iniciales para el campo espacial velocidad v . Aquı v 0 esun campo dado que corresponde a la velocidad del uido en el instante t = 0. El campoespecicado v 0 debe ser compatible con las condiciones de incompresibilidad y de fronteraen el sentido de que ∇

x v 0 = 0 en D y v 0 ·n = 0 sobre ∂D .Comentamos que el sistema en (5.23) es un problema de valores iniciales y de frontera

no lineal para los campos ( v , p). Podemos esperar que este sistema posee una solución sobreun intervalo de tiempo nito [0 , T ] siempre que la region D sea sucientemente regular, yque v 0 y 0 satisfagan ciertas condiciones leves.

Si D es suave, el campo v es unico, mientras que p es unico solo hasta una funci ontemporal aditiva. Si D no es acotado se requieren condiciones de borde adicionales en lainnidad, las cuales aseguran la unicidad tanto de v que de p. Por simplicidad se supone quelas soluciones son continuamente diferenciables en todas las variables tantas veces que seanecesario para llevar a cabo nuestros cálculos.

Se puede garantizar la existencia de una solución de (5.46) sobre un intervalo de tiempoacotado que depende de los datos del problema. Sin embargo la existencia global de unasolucion para todos los tiempos a un es un problema abierto. Además, tal como para loscasos de un uido ideal o elastico, se requiere en general de una aproximación numerica paraobtener informaci on cuantitativa acerca de una soluci´ on.

La condicion de borde est andar para un uido Newtoniano es diferente de la condici´ oncorrespondiente para un uido ideal o elástico. En el caso Newtoniano, todas las componentesde la velocidad, normales tanto que tangenciales, deben anularse en una frontera ja. Comopara los casos de un uido ideal o elastico, la componente normal debe anularse porque eluido no puede atravesar la frontera, pero tambien se debe anular la componente tangencialdebido a tensiones de cizalla viscosas.



5.4. ENERG IA CIN ETICA DEL MOVIMIENTO DE FLUIDOS 143

La condicion de frontera v = 0 sobre ∂D es adecuada para describir la interfaz entre unuido Newtoniano y un s olido jo e impermeable. Si el solido no fuera jo, pero sujeto a uncampo de velocidad dado ϑ , entonces la condici on de borde apropiada serıa v = ϑ sobre∂D .

5.4. Energıa cinetica del movimiento de uidos

En lo siguiente derivaremos algunos resultados acerca de la disipaci´ on de la energıa cineti-ca en el movimiento de uidos. Nos limitamos a movimientos bajo fuerzas de cuerpo conser-vativas en regiones con fronteras jas, y demostraremos que un uido ideal no posee ning´ unmecanismo para la disipaci on de energıa mientras que un uido Newtoniano si lo tiene. Co-menzaremos recordando dos resultados útiles. El primero establece una identidad integralinvolucrando el gradiente y el Laplaciano de un campo vectorial suave.

Lema 5.6 (Integraci on por partes) . Sea v un campo vectorial suave en una regi´ on regular y acotada D⊂

E 3, y sea v = 0 sobre ∂D . Entonces

D(∆ xx v ) ·v dV x = − D

(∇x v ) : (∇

x v ) dV x .

Demostraci´ on. A partir de la denici on del Laplaciano vectorial (Denición 1.9) se tiene que

(∆ x v ) ·v = vi,jj vi = ( vi,j vi),j −vi,j vi,j = ∇x · (∇

x v )T v −(∇x v ) : (∇

x v ).

Integrando esta expresión sobre D obtenemos

D(∆ x v ) ·v dV x = D∇

x (∇x v )T v dV x − D

(∇x v ) : (∇

x v ) dV x

=

∂D

(∇x v )T v ·n dAx −

D

(∇x v ) : (∇

x v ) dV x

= − D(∇

x v ) : (∇x v ) dV x ,

donde la ultima lınea es una consecuencia de v = 0 sobre ∂D .

El siguiente resultado establece una desigualdad integral entre un campo vectorial suavey su gradiente.

Lema 5.7 (Desigualdad de Poincare) . Sea D⊂E 3 una regi´ on regular y acotada. Entonces

existe una constante escalar λ > 0, que depende solamente de D, tal que

D |w |2 dV x λ

D∇

w :∇w dV x

para todo campo vectorial suave w con w = 0 sobre ∂D .


Respecto al resultado anterior notamos que la dimensi´ on fısica de λ es longitud cuadrada.Efectivamente la demostraci´ on del Lema 5.7 muestra que para un dominio de forma ja, ladilataci on por un factor α causa que λ cambia a α 2λ. Podemos ahora formular el resultadoprincipal acerca de de la disipación de la energıa cinetica.




Lema 5.8 (Energıa cinetica de uidos Newtonianos e ideales) . Consideremos un cuerpo de un uido o Newtoniano, o ideal, ocupando una regi´ on regular y acotada D ⊂

E 3 con una frontera ja tal que B t = D para todo t 0. Sea 0 > 0 la densidad de masa constante, y sea K (t) la energıa cinetica del cuerpo al instante t denida por

K (t) = B t

12 |v |2 dV x = D

12 0|v |2 dV x ,

y sea K 0 = K (0). Supongamos, adem´ as, que el cuerpo est´ a sujeto a una fuerza de cuerpopor masa unitaria conservativa b = −∇x β .

1.) Para un cuerpo de uido Newtoniano descrito por las ecuaciones de Navier-Stokes la energıa cinetica satisface

K (t) exp −2µtλ 0

K 0 para todo t 0. (5.47)

Ası, la energıa cinetica de un cuerpo de uido Newtoniano disipa a cero exponencial-mente para cualquier condici´ on inicial.

2.) Para un cuerpo de uido ideal descrito por las ecuaciones de Euler la energıa cinetica satisface

K (t) = K 0 para todo t 0, (5.48)

es decir la energıa cinetica de un cuerpo de uido ideal no varia en el tiempo.

Demostraci´ on. Por denici on de la energıa cinetica se tiene quedK (t)

dt=

ddt B t

12 |v |2 dV x = B t

12 |v |2

. dV x = B t

v ·v dV x ,

donde hemos utilizado el Lema 4.2 para la diferenciaci on de la integral. Como = 0 = const .y B t = D, esta expresi on se reduce adK (t)

dt= D

0v ·v dV x . (5.49)

Ahora, para las ecuaciones de Navier-Stokes con una fuerza de cuerpo conservativa se tieneque

0v = µ∆ x v −∇x ψ para todo x ∈D, t 0,

donde ψ = p + 0β . Para las ecuaciones de Euler tenemos la misma expresión, pero conµ = 0. Sustituyendo 0v en (5.49) obtenemos

dK (t)dt

= Dµ(∆ x v ) ·v −∇x ψ ·v dV x . (5.50)

En lo siguiente demostraremos que el segundo termino en el lado derecho se anula. Enparticular, como ∇

x · v = 0 tanto para las ecuaciones de Navier-Stokes como para lasecuaciones de Euler obtenemos

∇x ·(ψv ) = ∇

x ψ ·v + (∇x ·v )ψ = ∇

x ψ ·v .



5.5. EJERCICIOS 145

Ademas, como v ·n = 0 sobre ∂D para ambos casos, se tiene que

D∇x ψ ·v dV x = D∇

x ·(ψv ) dV x = ∂Dψv ·n dAx = 0 .

Para el termino restante en el lado derecho de (5.50) podemos aplicar el Lema 5.6 en el casode Navier-Stokes, o poner µ = 0 en el caso de Euler. En ambos casos obtenemos

dK (t)dt

= −µ D∇x v :∇

x v dV x para todo t 0. (5.51)

Para el caso de Navier-Stokes podemos aplicar la desigualdad de Poincare al lado derechode (5.51) para obtener

dK (t)dt −

µλ D |v |2 dV x = −

2µλ 0

K (t), (5.52)

donde λ depende del dominio D. Multiplicando (5.52) por el factor exp(2 µt/ (λ 0)) obtenemos

dds

exp2µsλ 0

K (s) 0,

e integrando desde s = 0 a s = t obtenemos (5.47). Para el caso de Euler ponemos µ = 0 en(5.51), luego

dK (t)dt

= 0 para todo t 0,


Comentamos que el modelo del uido ideal no posee un mecanismo para la disipación deenergıa cinetica (mec´ anica), mientras que un modelo Newtoniano sı lo tiene. La ausencia opresencia de disipaci on se debe a la presencia de de tensiones de cizalla viscosas controladaspor la viscosidad del uido µ.

Comentamos, además, que este resultado muestra que la energıa cinetica en un cuerpode uido Newtoniano tiene a cero en la ausencia de movimiento de uido en la frontera,siempre que la fuerza de cuerpo sea conservativa. La tasa de decaimiento depende de µ, 0y λ. Para uidos con una alta razón de viscosidad por densidad la tasa de decaimiento esmuy r apida.

Finalmente enfatizamos que el par´ ametro λ que aparece en la cota de decaimiento de-pende enteramente de la geometrıa del dominio D. Para un uido con propiedades jas, latasa de decaimiento de la energıa cinetica disminuye en medida que el tama˜ no del dominio(de forma ja) es incrementado.

5.5. Ejercicios

Problema 5.1 (Certamen 2, Curso 2012) . Se considera un cuerpo de uido elastico con laconguracion de referencia B y la ecuacion de estado p = π( ) entre la presi on espacial y ladensidad de masa espacial.




a) Demostrar que el primer tensor tensi´ on de Piola-Kirchhoff para este uido puede serescrito como

P = F Σ (C , 0),

donde Σ (C , 0) es cierta funci on que depende de la funci on de estado π. Aquı C es eltensor deformaci on de Cauchy-Green y 0 es la densidad de masa referencial.b) Basado en el resultado de (a) demostrar que un uido elastico tambien puede ser

considerado como un material elástico isotr opico, con una funcion respuesta de tensiónque depende de la densidad de masa referencial.

Problema 5.2 (Certamen 2, Curso 2012) . Demostrar que la tensión de Cauchy reactivaS (r) en un cuerpo de uido ideal o Newtoniano no realiza ningun trabajo en cualquier movi-miento compatible con la restricción de incompresibilidad. En particular, demostrar que lacontribuci on a la potencia de tensi on desaparece, es decir

S (r) : L = 0 para todo x ∈B, t 0.



Capıtulo 6

Mecanica de s´ olidos isotermica

En este capıtulo consideraremos diversas aplicaciones de las leyes de balance Lagran-gianas introducidas en el Capıtulo 4. Tal como en el capıtulo anterior se despreciar´ an losefectos termicos tanto por motivaciones fısicas y porque se simplica el tratamiento ma-tematico. Considerando solamente el caso isotermico obtendremos 15 campos inc´ ognitos enla descripcion Lagrangiana de un cuerpo continuo, a saber (comparar con Secci´ on 4.4.7):

ϕi(X , t ) 3 componentes del movimiento,V i(X , t ) 3 componentes de velocidad,P ij (X , t ) 9 componentes de la tensi on.

Para determinar estas cantidades tenemos a disposici´ on las siguientes 9 ecuaciones:V i = ∂

∂t ϕi 3 ecuaciones cinematicas,0V i = P ij,j + 0(bi)m 3 ecuaciones de momento lineal,

P ik F jk = F ik P jk 3 ecuaciones independientes de momento angular.Ası necesitamos 6 ecuaciones adicionales para que el número de incognitas sea igual alnumero de ecuaciones. Estas ecuaciones adicionales serán proporcionados por ecuacionesconstitutivas que relacionan las componentes independientes del primer tensor tensi´ on dePiola-Kirchhoff a las variables ϕ y V . Cualquier ecuaci on constitutiva de este tipo debe serconsistente con el axioma de indiferencia respecto del marco. Adem´ as, si se supone que untal material es energeticamente pasivo, la ecuaci´ on constitutiva tambien debe satisfacer ladesigualdad de energıa mecánica discutida en el Capıtulo 4.

En este capıtulo estudiaremos modelos constitutivos que relacionan la tensi´ on P al gra-diente de deformaci on F = ∇

Xϕ . Tıpicamente tales modelos se utilizan para describir el

comportamento de diversos tipos de sólidos. Como estos modelos son independientes de V ,esta variable puede ser eliminada sustituyendo la ecuaci´ on cinematica en la ecuaci on de ba-lance del momento lineal. Ası se puede generar un sistema cerrado para ϕ y P a partir delas ecuaciones de balance para el momento lineal y angular conjuntamente con la relaci´ onconstitutiva. Al contrario de las formulaciones del Capıtulo 5, no se considera una ecuaci´ onbalance de masa porque no aparece la densidad de masa espacial. En todo nuestro desarrollonos resultados ser an expresados en terminos o del primer tensor tensi´ on de Piola-Kirchhoff P ,o del campo tension de Cauchy en su descripci on material S m , o del segundo tensor tensi onde Piola-Kirchhoff Σ , de acuerdo a lo que parece mas conveniente en cada situación. Cual-quier resultado expresado en terminos de uno de estos tensores tensi´ on siempre puede serexpresado tambien en terminos de los otros (ver Denici´ on 4.1).

Los modelos consitutivos considerados en este capıtulo son los modelos para (i) s´ olidoselasticos generales, (ii) s olidos hiperelasticos y (iii) solidos elasticos lineales. Se presentará unresultado que demuestra que los modelos generales de (i) satisfacen la desigualdad de energıa

147





6.1. S OLIDOS EL ASTICOS 149

Un ejemplo clasico de una funcion respuesta de tensión elastica es el modelo de Saint Venant-Kirchhoff dado por

Σ (F ) = λ(tr G )I + 2 µG , (6.2)

dondeG =

12

(C −I ), C = F T F

y recordamos que C es el tensor deformaci on de Cauchy-Green a derecha, además λ y µ sonconstantes materiales.

Intuitivamente se supone que la funci´ on respuesta de un cuerpo el astico debe entregartensiones extremas en la presencia de deformaciones extremas. En particular, ciertas compo-nentes de la tensi on deberıan tender a innito en valor absoluto cuando cualquier estiramientoprincipal tiende a innito (extensi´ on innita) o tiende a cero (compresión innita). El modelode Saint Venant-Kirchhoff posee la primera de estas caracterısticas, pero no la segunda.

6.1.2. Ecuaciones de elasticidad. Sea ahora 0(X ) la densidad de masa de un cuerpoelastico en su conguraci on de referencia B , y sea bm (X , t ) la descripci on material de uncampo de fuerza de cuerpo espacial por masa unitaria b(x , t ), es decir

bm (X , t ) = b ϕ (X , t ) .

Entonces, poniendo P (X , t ) = P (F (X , t )) en la ecuaci on de balance de momento lineal(Lema 4.10) obtenemos un sistema cerrado para el movimiento ϕ de un cuerpo el astico. Enparticular, el movimiento debe satisfacer la siguiente ecuaci´ on para todo X ∈B y t 0:

0ϕ = ∇X · P (F ) + 0bm . (6.3)

Esta es la ecuaci´ on de elastodin´ amica .Comentamos que en virtud de la denición de un tensor de segundo orden se tiene que

[∇X ·P ]ij = P ij,j , y en virtud de la regla de la cadena y de la hip otesis de homogeneidad

obtenemos

[∇X ·P ]i =

∂ P ij∂F kl

∂F kl

∂X j.

Como F kl = ϕk,l , podemos escribir (6.13) en componentes como

0∂ 2ϕi

∂t 2 = A ijkl∂ 2ϕk

∂X j ∂X l+ 0bi , A ijkl :=

∂ P ij∂F kl

,

donde bi denota las componentes de bm . Concluimos que (6.3) es un sistema de ecuacionesdiferenciales parciales de segundo orden para las componentes de ϕ . Tipicamente, la ecuación(6.3) es no lineal en ϕ . Las no-linealidades se deben a la forma funcional de la funci onrespuesta de tensión P (F ) y de la fuerza de cuerpo bm . Bajo condiciones apropiadas respectode la funcion P (F ) suponemos que (6.3) admite un rango de soluciones tipo onda.

Igualando ϕ a cero en (6.3) obtenmos la ecuaci´ on de elastost´ atica

∇X · P (F ) + 0bm = 0 . (6.4)



150 6. MEC ANICA DE S OLIDOS ISOT ERMICA

Esta es la forma Lagrangiana de la ecuación de equilibrio local introducida en la Secciıon 2.4,para el caso de un solido elastico.

6.1.3. Consideraciones de indiferencia respecto del marco. Demostraremos ahora

que las funciones respuesta de tensión para un s olido elastico deben satisfacer ciertas restric-ciones para ser compatibles con el axioma de indiferencia respecto del marco.

Lema 6.1 (Indiferencia respecto del marco de la respuesta de tensi´ on) . El campo tensi´ on de Cauchy es indiferente respecto del marco si y s´ olo si la funci´ on respuesta de tensi´ on S puede ser escrita en la forma

S (F ) = F S (C )F T (6.5)

para alguna funci´ on SS , donde C = F T F . Equivalentemente, las funciones P y Σ deben satisfacer

P (F ) = F Σ (C ), Σ (F ) = Σ (C )

para alguna funci´ on Σ : V 2 → V 2. En particular,

Σ (C ) = √ det C S (C ).

Demostraci´ on. Sea x = ϕ (X ) un movimiento arbitrario y sea x ∗ = ϕ∗(X , t ) un segundo

movimiento denido por x ∗ = g (x , t ) = Q (t)x + c(t), donde Q (t) es un tensor de rotaciónarbitrario y c(t) es un vector arbitrario. Adem´ as, sean S (x , t ) y S ∗(x ∗, t ) los campos tensi onde Cauchy en B y B∗, respectivamente. Entonces de acuerdo al Axioma 4.5 (de indiferenciarespecto del marco material) se debe satisfacer

Q T (t)S ∗(x ∗, t )Q (t) = S (x , t ) para todo x ∈B t , t 0,

donde x ∗ = g (x , t ). Utilizando las descripciones materiales S m (X , t ) = S (ϕ (X , t )) yS ∗m (X , t ) = S ∗(ϕ∗(X , t ), t) podemos escribir esta condici on como

Q T (t)S ∗m (X , t )Q (t) = S m (X , t ) para todo X ∈B, t 0. (6.6)

Como la funcion respuesta S entrega la tensión de Cauchy en cualquier movimiento admisi-ble se tiene que S m (X , t ) = S (F (X , t )) y S ∗m (X , t ) = S (F ∗(X , t )). Adem as, en virtud delLema 4.16, se tiene que F ∗= QF . Estos resultados, combinados con (6.6), implican que lafuncion respuesta S debe satisfacer

Q T S (QF )Q = S (F ). (6.7)

Ası, el campo tensi on de Cauchy en un cuerpo el astico es indiferente respecto del marco si ysolo si (6.5) es valido. En particular, esta relaci´ on debe ser valida para todo F con det F > 0y toda rotación Q (porque ϕ y g son arbitrarios).

En lo siguiente demostraremos que (6.7) es válido para los tensores F y Q indicados siy solo si (6.5) es valido. Para empezar suponemos que (6.7) es válido, y sea F = RU ladescomposicion polar a derecha de F . Entonces eligiendo Q = R T en (6.7) obtenemos

S (F ) = R S (U )R T . (6.8)






de frontera de movimiento sobre Γ d , (6.10c) es una condicion de frontera de tracción sobre Γσ ,(6.10d) es la condicion inicial para el movimiento ϕ , y (6.10e) es una condicion inicial parala velocidad material ϕ . En general las condiciones iniciales deben ser compatibles con lascondiciones de borde en el instante t = 0.

Comentamos que (6.10) es un problema de valores y de frontera no lineal para la aplica-cion del movimiento ϕ . La existencia y la unicidad de soluciones sobre intervalos de tiempo[0, T ] nitos pueden ser demostradas bajo hipótesis adecuadas respecto de la función res-puesta, los valores iniciales y de frontero impuestos, el dominio B y los subconjuntos Γ dy Γσ . En general se requiere de metodos numericos para obtener informaci´ on cuantitativaacerca de las soluciones.

La cantidad h que aparece en (6.10c) es un campo de tracción impuesto para la primeratensi on de Piola-Kirchhoff. Corresponde a la fuerza externa sobre la frontera actual expresadapor area unitaria de la frontera referencial . Como tıpicamente las fuerzas externas fısicamenterelevantes son expresadas por área unitaria de la frontera actual, las expresiones para htıpicamente dependen del movimiento ϕ . En particular, los elementos de área supercial enlas conguraciones actuales y referenciales son relacionados mediante ϕ (ver Seccion 3.6).

El problema (6.10) permite condiciones de frontera m´ as generales. Por ejemplo, ϕi(X , t )puede ser especicado para todo X ∈Γi

d (i = 1 , 2, 3), y P ij (X , t )N j (X ) puede ser especica-do para todo X ∈Γi

σ (i = 1 , 2, 3), donde Γ id y Γi

σ con subconjuntos de ∂B con las propiedadesΓi

d∪Γiσ = ∂B y Γi

d ∩Γiσ = ∅ para i = 1 , 2, 3. Ası, varias componentes del movimiento o de

la tracci on pueden ser especicadas en cada punto de la frontera.Comentamos nalmente que cualquier soluci´ on de (6.10) que es independiente del tiempo

se llama una una conguraci´ on de equilibrio o conguraci´ on de reposo del cuerpo. Talesconguraciones deben satisfacer el problema de valores de frontera no lineal

∇X · P (F ) + 0bm = 0 en B,

ϕ = g sobre Γd ,P (F )N = h sobre Γσ .

(6.11)

Mientras que (6.10) tıpicamente posee una soluci´ on unica, se espera que (6.11) posee solu-ciones genuinamente no unicas en varias circunstancias. Efectivamente, fenomenos como elpandeo pueden ser entendidos en terminos de tal no unicidad.

6.1.5. Isotropıa y funciones respuesta simplicadas. Aqui introduciremos el conceptode isotropıa para un cuerpo elástico y estudiaremos las implicaciones para la función res-puesta de tensión. En particular demostraremos que las funciones respuesta para un cuerpoisotr opico son particularmente simples.

Denici´ on 6.2 (Cuerpo el astico isotr opico). Un cuerpo el´ astico con la conguraci´ on de referencia B y la funci´ on respuesta de tensi´ on S se llama isotr opico si S (F ) = S (F Q ) para todo F ∈V 2 con det F > 0 y todos los tensores de rotaci´ on Q .

La Denicion 6.2 implica que un cuerpo elastico es isotr opico si el campo tension deCauchy es invariante bajo rotaciones de la conguraci´ on de referencia B . A grandes rasgos,un cuerpo el astico es isotr opico si posee la misma “rigidez” en todas las direcciones. Muchos,



6.1. S OLIDOS EL ASTICOS 153

pero no todos, materiales poseen esta propiedad. Esta propiedad ser´ a expresada ahora enterminos de funciones tensoriales isotr´ opicas.

Lema 6.2 (Respuesta de tensión isotr opica) . Si la funci´ on respuesta de tensi´ on S de un

cuerpo el´ astico isotr´ opico es indiferente respecto del marco, entonces las funciones respuesta de tensi´ on S y Σ del Lema 6.1 satisfacen las siguientes identidades para todos los tensores de rotaci´ on Q :

S (QCQ T ) = Q SQ T , Σ (QCQ T ) = Q Σ Q T .

Ası, S y Σ son funciones tensoriales isotr´ opicas en el sentido de la Secci´ on 1.1.5. Adem´ as,a su vez, la funci´ on S debe ser una funci´ on tensorial isotr´ opica, es decir

S (QF Q T ) = Q S (F )Q T

para todos los tensores de rotaci´ on Q .

Demostraci´ on. Como Q T es una rotaci on si y solo si Q lo es, la Denicion 6.2 implica que

S debe satisfacerS (F ) = S (F Q T ) (6.12)

para todo F ∈V 2 con det F > 0 y todo tensor de rotaci on Q . Ademas, como S es indiferenterespecto del marco, se tiene que

S (F ) = F S (C )F T (6.13)

para alguna funci on S (C ), donde C = F T F . Combinando (6.12) y (6.13) obtenemos

F S (C )F T = F Q T S (QF T F Q T )QF T ,

luego, como det F > 0,

S (C ) = QT

S (QF T

F QT

)Q o Q S (C )QT

= S (QF T

F QT

). (6.14)Ası, S (C ) es una funcion tensorial isotr opica de acuerdo a lo denido en la Seccion 1.1.5. Elresultado para Σ (C ) sigue del resultado anterior para S (C ) y de la relacion

Σ (C ) = √ det C S (C ).

En particular se tiene que

Q Σ (C )Q T = √ det CQ S (C )Q T = det( QCQ T )S (QCQ T ) = Σ (QCQ T ).

Concluimos que a su vez, Σ (C ) es una funcion tensorial isotr opica. El resultado de que S (F )debe ser una funci on tensorial isotr opica es una consecuencia directa de (6.13) y (6.14).

Ahora podemos utilizar este resultado para demostrar que las funciones respuesta detensi on para un cuerpo el astico isotr opico son particularmente simples.

Lema 6.3 (Funciones respuesta de tension simplicadas) . La funci´ on respuesta de tensi´ on S para un cuerpo el´ astico isotr´ opico es indiferente respecto del marco si y s´ olo si esta funci on puede ser escrita en la forma

S (F ) = F β 0( I C )I + β 1( I C )C + β 2( I C )C − 1 F T (6.15)




para algunas funciones β 1, β 2, β 3 : R 3 →R , donde I C denota el conjunto de los tres invarian-tes principales (ver Secci´ on 1.1.3.9) del tensor de deformaci´ on de Cauchy-Green a derecha C .Equivalentemente, las funciones respuesta P y Σ pueden ser escritas en la forma

ˆP (F ) = F γ 0( I C )I + γ 1( I C )C + γ 2( I C )C

− 1

,Σ (F ) = γ 0( I C )I + γ 1( I C )C + γ 2( I C )C − 1

para funciones γ 0, γ 1, γ 2 : R 3 →R .

Demostraci´ on. Si S es una funcion respuesta indiferente respecto del marco para un cuerpoisotr opico elastico, entonces el Lema 6.1 implica que S (F ) = F S (C )F T para alguna funci onS (C ), donde C = F T F , y el Lema 6.2 implica que S (C ) es una funcion tensorial isotr opica.Ademas, S (C ) debe ser simetrica porque S (F ) es simetrica debido a la denicion de un sólidoelastico. En virtud del Lema 1.12 podemos escribir S (C ) en la forma

S (C ) = β 0(

I C )I + β 1(

I C )C + β 2(

I C )C − 1

para algunas funciones β 1, β 2, β 3 : R 3 →R . Entonces necesariamente S (F ) debe poseer laforma (6.15). Vice versa, si S (F ) posee la forma indicada, se puede vericar directamenteque esta forma satisface la Denici on 6.2 y por lo tanto es indiferente respecto del marco.Los resultados para P y Σ son consecuencias de (6.1) y de la relacion det C = (det F )2. Enparticular, si S (F ) posee la forma indicada, entonces P y Σ poseen las formas indicadascon γ i = √ det C β i , i = 0 , 1, 2.

Comentamos que el Lema 6.3 implica que las funciones respuesta de tensi´ on para uncuerpo elastico isotr opico estan completamente denidas por tres funciones escalares de losinvariantes principales de C .

Comentamos, además, que el modelo de Saint Venant-Kirchhoff dado por (6.2) efectiva-mente es un modelo de un s olido elastico isotr opico. En particular para este modelo tenemos,utilizando (6.9),

Σ (F ) =λ2

tr( C −I ) I + µ(C −I ) = γ 0( I C )I + γ 1( I C )C + γ 2( I C )C − 1,

donde

γ 0 =λ2

tr C −3λ2 −µ, γ 1 = µ, γ 2 = 0 .

6.2. S´ olidos hiperelasticos

En esta secci on estudiaremos el modelo constitutivo de un sólido hiperelastico, el cualrepresenta un caso especial del s olido elastico introducido en la secci on anterior. Se presen-tar a un resultado que demuestra que un s´ olido elastico satisface la desigualdad de energıamecanica si y solo si es hiperelastico. Tambien estudiaremos las implicaciones de la indiferen-cia respecto del marco y se establecer a un resultado respecto del balance de energıa mec´ anicatotal. Terminaremos con un breve listado de algunos modelos hiperel´ asticos comunes en lapractica.



6.2. S OLIDOS HIPEREL ASTICOS 155

6.2.1. Denici´ on.

Denici´ on 6.3 (Solido hiperelastico) . Un cuerpo continuo con la conguraci´ on de referen-cia B se llama solido hiperelastico si:

1.) El cuerpo es el´ astico con las funciones respuesta de tensi´ on S

(F

),P

(F

) y Σ

(F

) para los campos de tensi´ on S m (X , t ), P (X , t ) y Σ (X , t ), respectivamente.2.) La funci´ on P posee la forma

P (F ) = D W (F ) (6.16)

donde W : V 2 →R es una funci´ on dada, llamada funcion densidad de energıa dedeformacion, y DW (F ) denota la derivada de W en F (ver Denici´ on 1.10).

3.) La funci´ on W tiene la siguiente propiedad:DW (F )F T = F DW (F )T para todo F ∈V 2, det F > 0.

La propiedad (1) implica que en cualquier movimiento, el primer campo tensi´ on de Piola-Kirchhoff es dado por P (X , t ) = P (F (X , t )). La propiedad (2) constata que la funci´ on res-puesta P es la derivada de una funci on escalar energıa de deformación W . Esta propiedadtiene varias consecuencias importantes. Por ejemplo, esta propiedad garantiza que la de-sigualdad de energıa mecánica est a satisfecha, y que los sistemas en (6.10) y (6.11) poseenuna estructura variacional. La propiedad (3) asegura que la ecuaci´ on de balance del momentoangular (Lema 4.11) automáticamente está satisfecha, tal como lo exige la denicion de lafuncion respuesta de un cuerpo el astico.

6.2.2. Consideraciones de indiferencia respecto del marco. En lo siguiente desarro-llaremos un resultado que demuestra que la funci´ on energıa de deformaci on debe poseer unaforma particular para que el axioma de indiferencia material respecto del marco este satis-fecho.

Lema 6.4 (Indiferencia respecto del marco de función respuesta de tensión de un mate-rial hiperl astico) . El campo de tensi´ on de Cauchy en un cuerpo hiperel´ astico es indiferente respecto del marco si y s´ olo si la funci´ on energıa de deformaci´ on W puede ser expresada como

W (F ) = W (C ) (6.17)

para alguna funci´ on W : V 2 →R , donde C = F T F . En este caso, las funci´ ones respuesta de tensi´ on P , Σ y S est´ an dadas por las respectivas expresiones

P (F ) = 2 F DW (C ), Σ (F ) = 2D W (C ), S (F ) =2

√ det C F DW (C )F T , (6.18)

donde D¯

W (C ) denota la derivada de ¯

W en C .Demostraci´ on. Por brevedad demostramos que (6.17) es suciente para la indiferencia delmarco, omitiendo la demostración de la necesidad. Empezamos demostrando que (6.17)implica la forma funcional de P indicada en (6.18). A partir de la versión de componentesde (6.16) obtenemos

P ij (F ) =∂W ∂F ij

(F ).




Ademas, como W (F ) = W (C ) y C = F T F , la regla de la cadena implica que

P ij =∂ W

∂C ml

∂C ml

∂F ij,

donde omitimos los argumentos. Como C ml = F km F kl , obtenemos∂C ml

∂F ij= δ ki δ mj F kl + F km δ ki δ lj = δ mj F il + δ lj F im ,

lo cual implica que

P ij =∂ W ∂C jl

F il +∂ W

∂C mjF im .

Notando que D W (C ) es simetrico porque C lo es, podemos escribir esta identidad como

P ij = F il∂ W ∂C lj

+ F im∂ W

∂C mj,

o en notaci on tensorial,

P (F ) = 2 F DW (C ). (6.19)

Ası, (6.17) implica la forma funcional de P informada en (6.18). Luego demostraremosque esta forma es suciente para la indiferencia respecto del marco. A partir de (6.1) y laidentidad det C = (det F )2 tenemos que

P (F ) = (det F )S (F )F − T = √ det C S (F )F − T .

Combinando esta expresión con (6.19) obtenemos

2F DW (C ) = √ det C S (F )F − T ,

lo cual implica que

S (F ) = F 2

√ det C DW (C ) F T .

Ası, S posee la forma indicada en (6.18), y la indiferencia respecto del marco es una conse-cuencia del Lema 6.1. La forma de Σ dada en (6.18) es una consecuencia de (6.1).

Una explicaci on intuitiva de la suciencia de (6.17) para la indiferencia respecto del marcosigue del Lema 4.16, el cual demuestra que el tensor C no es afectado por movimientos rıgidossuperpuestos. En particular, W (F ) es un campo escalar indiferente respecto del marco siposee la forma (6.17).

La propiedad (3) en la Denici on 6.3 esta satisfecha para cualquier función de energıaalmacenada de la forma (6.17). Esto es una consecuencia de la relaci´ on DW (F ) = 2 F DW (C )y de la simetrıa de D W (C ).

El concepto de isotropıa tambien puede ser aplicado a cuerpos hiperel´ asticos. En parti-cular, un cuerpo hiperelástico es isotr opico si y solo si la funcion W (C ) en (6.17) puede serexpresada en a forma W (C ) = W ( I C ) para alguna funci on W : R 3 →R , donde I C denotael conjunto de los invariantes principales de C (Tarea).



6.2. S OLIDOS HIPEREL ASTICOS 157

Finalmente comentamos que el modelo de Saint Venant-Kirchhoff dado por (6.2) efecti-vamente es hiperel astico. En particular, a partir de (6.9) se tiene que

Σ (F ) =λ2

tr( C −I ) I + µ(C −I ),

y podemos vericar que Σ (F ) = 2D W (C ), donde

W (C ) =λ8

tr( C −I ) 2 +µ4

tr (C −I )2 .

Ademas, como W (C ) depende solamente de los invariantes principales de C , el modelo esisotr opico, como ya demostramos en la Seccion 6.1.

6.2.3. Consideraciones de energıa mecanica. Aquı se supone que el modelo isotermicode un solido elastico es energeticamente pasivo (de acuerdo a lo discutido en la Secci´ on 4.7).Demostraremos que el modelo satisface la desigualdad de energıa mec´ anica (Lema 4.17) si ysolo si es hiperelastico. Tambien se demostrar´ a un resultado acerca de la ecuación de balancede la energıa mec anica total.

Lema 6.5 (Desigualdad de energıa mecánica para s olidos elasticos) . Un s´ olido el´ astico sa-tisface la desigualdad de energıa mec´ anica (Lema 4.17) si y s´ olo si es hiperel´ astico, es decir

P (F ) = D W (F ) (6.20)

para alguna funci´ on energıa de deformaci´ on W (F ).

Demostraci´ on. Por brevedad demostramos que (6.20) es suciente, omitiendo la demostra-cion de la necesidad. Sea P el primer campo tensi on de Piola-Kirchhoff y supongamos que(6.20) es valido. Entonces

P (X , t ) = P F (X , t ) = D W F (X , t ) ,

lo que implica queP (X , t ) : F (X , t ) = P F (X , t ) : F (X , t ) = D W F (X , t ) : F (X , t )

=∂ ∂t

W F (X , t ) for all X ∈B, t 0.(6.21)

Integrando esta expresión sobre un intervalo de tiempo [ t0, t1] arbitrario obtenemos

t 1

t 0

P (X , t ) : F (X , t ) dt = W F (X , t1) −W F (X , t0) para todo X ∈B. (6.22)

Para todo proceso cerrado e isotermico en [ t0, t1] se tiene que ϕ (X , t1) = ϕ (X , t0) para todoX ∈B, lo que implica que F (X , t1) = F (X , t0) para todo X ∈B. Ası el lado derecho de

(6.22) se anula y la desigualdad de energıa mecanica queda satisfecha para cualquier funci´ onenergıa de deformación W (F ).

Lema 6.6 (Balance de energıa hiperelástica) . Sea ϕ : B ×[0, ∞) →E 3 un movimiento de un cuerpo hiperel´ astico con la funci´ on energıa de deformaci´ on W (F ), y en cualquier instante t 0 sea B t la conguraci´ on actual de B . Entonces

ddt

U (B t ) + K (B t ) = P (B t ) para todo t 0,





6.3. LINEALIZACI ON DE LAS ECUACIONES DE LA ELASTICIDAD 159

tal caso, el termino Γ( √ det C ) es omitido y la restricci on det F = 1, o equivalentemente,det C = 1, es considerada conjuntamente con un multiplicador (ver Secci´ on 4.6). En elcaso general compresible considerado aquı, el termino Γ( √ det C ) apropiadamente generatensiones extremas en el caso de compresión extrema cuando cualquier estiramiento principaltiende a cero, o equivalentemente, det C →0. En este sentido los modelos (6.24), (6.25) y(6.26) son mas aptos para deformaciones extremas que el modelo (6.23), el cual no posee estapropiedad como ya mencionamos en la Secci on 6.1. Todos los modelos (6.23)–(6.26) generantensiones extremas apropiadas en el caso de una extensi´ on extrema cuando cualquier de losestiramientos principales tiende a innito.

6.3. Linealizaci on de las ecuaciones de la elasticidad

Para casi todos los modelos constitutivos de interes las ecuaciones de movimiento de unsolido elastico son demasiado complicadas como para permitir una soluci´ on exacta, por lotanto a veces uno trata de remplazar estas ecuaciones por aproximaciones mas simples. Eneste seccion derivaremos un conjunto de ecuaciones simplicadas para un s´ olido elastico bajola hipotesis de deformaciones pequenas.

Para motivar el tratamiento, consideremos un cuerpo el´ astico en reposo en una congu-racion de referencia B libre de tensi on. Se dice que una conguraci on es libre de tensi´ on siuna (por lo tanto, todas) de las funciones respuesta de tensi´ on se anula cuando F = I , esdecir

P (I ) = O , Σ (I ) = O , S (I ) = O , (6.27)

donde recordamos que O denota el tensor (de segundo orden) nulo. Supongamos que elcuerpo est a sujeto a una fuerza de cuerpo, que la condiciones iniciales y de frontera soncomo en (6.10), y que bm , g , h y V 0 son pequenos en el sentido de que

bm (X , t ) , g (X , t ) −X , h (X , t ) , V 0(X ) = O(ε), (6.28)

donde 0 ε 1 es un parametro peque no. En este caso es muy razonable suponer que elcuerpo desvia solo ligeramente desde su conguraci on de referencia en el sentido de que

ϕ (X , t ) −X = O(ε). (6.29)

Efectivamente, si bm = h = V 0 = 0 y g = X , entonces las ecuaciones en (6.10) est ansatisfechas por ϕ (X , t ) = X para todo X ∈B y t 0.

Queremos ahora derivar un conjunto de ecuaciones simplicadas para describir movi-mientos que satisfacen (6.29) bajo las hipótesis (6.27) y (6.28). Discutiremos problemas devalores iniciales y de frontera para estas ecuaciones y estudiaremos las implicaciones delaxioma de indiferencia respecto del marco y de la hipótesis de isotropıa.

6.3.1. Ecuaciones linealizadas y tensores de elasticidad. En virtud de (6.28) supo-nemos que bm , g , h y V 0 pueden ser escritos en la forma

bεm = εb(1)

m , g ε = X + εg (1) , h ε = εh (1) , V ε0 = εV (1)0 (6.30)




para algunas funciones b(1)m , g (1) , h (1) y V (1)

0 . Luego, en virtud den (6.29), buscamos unaexpansi on en serie de potencias de ϕ en la forma

ϕε = X + εu (1) + O(ε2), (6.31)

donde u (1) es un campo incognito. Si por u ε = ϕ ε−X denotamos el campo de desplazamientoasociado con ϕ ε , entonces (6.31) implica que u ε posee la expansion

u ε = 0 + εu (1) + O(ε2). (6.32)

Ahora derivaremos una ecuación de derivadas parciales para la perturbaci´ on de primerorden u (1) del desplazamiento. A partir de (6.10a) deducimos que u ε = ϕ ε −X satisface laecuacion de balance de momento lineal

0u ε = ∇X · P (F ε) + 0bε

m , (6.33)

donde F ε es el gradiente de deformaci on asociado a ϕ ε , es decir

F ε

= ∇

X

ϕ

ε

= I + ε∇

X

u(1)

+ O(ε2

).La siguiente denici on sera util para simplicar (6.33).

Denici´ on 6.4 (Tensores de elasticidad) . Sean P (F ), Σ (F ) y S (F ) las funciones respuesta de tensi´ on de Piola-Kirchhoff y de Cauchy de un s´ olido el´ astico. Entonces se denen los tensores de elasticidad de cuarto orden A , B y C asociados con P , Σ y S , respectivamente,por

A ijkl =∂ P ij∂F kl

(I ), B ijkl =∂ Σ ij

∂F kl(I ), C ijkl =

∂ S ij∂F kl

(I ).

En notaci´ on tensorial se tiene

A (H ) = ddα

P (I + αH )α =0

= D P (I )H para todo H ∈V 2,

con expresiones similares v´ alidas para B y C (ver Denici´ on 1.11).

Utilizando la Denci on 6.4 podemos desarrollar la funci on respuesta de tensión P (F ε)en una serie de Taylor en torno a ε = 0 para obtener

P (F ε) = P (F ε) ε=0 + εA (∇X u (1) ) + O(ε2).

Como P (I ) = O , obtenemos

P (F ε) = εA (∇X u (1) ) + O(ε2). (6.34)

Insertando (6.34), (6.32) y (6.30) en (6.33) y guardando solamente los terminos de la primerapotencia de ε obtenemos

0u (1) = ∇X · A (∇

X u (1) ) + 0b(1)m . (6.35)

Esta es la versi on linealizada de la ecuaci on de balance de momento lineal (6.10a). Aplicandocondiciones similares podemos obtener versiones linealizadas de las condiciones de fronterae iniciales (6.10b)–(6.10e).



6.3. LINEALIZACI ON DE LAS ECUACIONES DE LA ELASTICIDAD 161

6.3.2. Problemas de valores iniciales y de frontera. La linealizacion de (6.10) nosentrega el siguiente problema de valores iniciales y de frontera para la perturbacion deprimer orden del desplazamiento en un sóliudo elastico: Hallar u (1) : B ×[0, T ] → V tal que

0u (1) =

∇

X

·A (

∇

X u (1) ) +0b(1)

men B

×[0, T ],

u (1) = g (1) sobre Γd ×[0, T ],A (∇

X u (1) )N = h (1) sobre Γσ ×[0, T ],

u (1) (·, 0) = 0 en B,

u (1) (·, 0) = V (1)0 en B.

(6.36)

Tıpicamente, estas ecuaciones son llamadas las ecuaciones linealizadas de el´ astodinami-ca . Estas ecuaciones forman una aproximación del sistema (6.10) adecuada para describirdesviaciones pequenas desde una conguraci on libre de tensi on en un solido elastico. En elsistema (6.36), Γ d y Γσ son subconjuntos de ∂B tales que Γ d∪Γσ = ∂B y Γd ∩Γσ = ∅ , 0 es

la densidad de masa referencial, A es el tensor de elasticidad de cuarto orden asociado a lafuncion respuesta de tensión P , N es el campo vectorial normal unitario sobre ∂B , y b(1)m ,

g (1) , h (1) y V (1)0 son campos de perturbacion dados. Calquiera de las condiciones de frontera

mas generales discutidas en el contexto de (6.10) tambien puede ser considerada para (6.36).Comentamos que el sistema (6.36) representa un problema de valores iniciales y de fron-

tera lineal para el campo de perturbación u (1) . En el caso que A posee simetrıa mayor ysatisface condiciones de elıpticidad fuerte (ver Secci´ on 6.4 abajo), entonces este sistema po-see una solucion unica sobre cualquier intervalo de tiempo [0 , T ] dado bajo hipotesis levesrespecto de los datos iniciales y de frontera impuestos, el dominio B y los subconjuntos Γ dy Γσ .

En virtud de (6.29), la diferencia entre la conguraci´ on de referencia ja B y la congura-

cion actual B t = ϕ t (B) es de primer orden en ε para todo t 0, por lo tanto frecuentamenteno se distingue entre las coordenadas materiales y espaciales al considerar s´ olo la respuestalineal en modelos de elasticidad.

Cualquier soluci on de (6.36) que sea independiente del tiempo debe satisfacer el siguienteproblema de valores de frontera:

∇X · A (∇

X u (1) ) + 0b(1)m = 0 en B],

u (1) = g (1) sobre Γd ,A (∇

X u (1) )N = h (1) sobre Γσ .

(6.37)

Tıpicamente estas ecuaciones se llaman ecuaciones linealizadas de elastost´ atica . Si A satisface

condiciones de simetrıa mayor y de positividad, entonces este sistema posee una soluci´ onunica bajo hip otesis leves respecto del dominio y los datos impuestos sobre Γ d (siempre queΓd = ∅ ). Si Γd = ∅ , entonces el campo dado h (1) debe satisfacer condiciones de resolubilidad(la fuerza resultante y el momento angular deben anularse), y las soluciones son ´ unicas solohasta una deformación rıgida arbitrariamente innitesimal.

6.3.3. Propiedades de los tensores de elasticidad. En lo siguiente estudiaremos lostensores de elasticidad de cuarto orden, demostrando que estos tensores son todos iguales.




Estudiaremos tambien las implicaciones de la ley de balance del momento angular y el axiomade indiferencia respecto del marco. Demostraremos que el tensor de elasticidad de un cuerpoelastico isotr opico posee una forma particularmente simple.

Lema 6.7(Equivalencia de los tensores de elasticidad)

.Sean

A,

By

Clos tensores de elasticidad asociados a las funciones respuesta de tensi´ on P , Σ y S , respectivamente, de

un cuerpo el´ astico. Si la conguraci´ on de referencia del cuerpo es libre de tensi´ on, entonces A = B = C .

Demostraci´ on. Por brevedad demostramos solamente que A = C . La demostraci on de B = C

es similar (Tarea). Empezamos notando que a partir de (6.1) tenemos que

P (F ) = (det F )S (F )F − T .

Diferenciando ambos lados respecto de F = I y aplicando la Denicion 6.4 para el ladoizquierdo obtenemos

A (H ) =d

dα det( I + αH )S (I + αH )(I + αH )− T

α =0

=d

dαdet( I + αH )

α =0S (I )I − T + det( I )

ddα

S (I + αH )α =0

I − T

+ det( I )S (I )d

dα(I + αH )− T

α =0

para todo H ∈V 2. Como S (I ) = O para una conguraci on de referencia libre de tensi on ydet I = 1 se tiene que

A (H ) =d

dαS (I + αH )

α =0= C (H ) para todo H ∈V 2,

lo que demuestra el resultado.

Comentamos que este resultado implica que un s´ olido elastico con una conguraci onde referencia libre de tensi on posee un tensor de elasticidad unico, normalmente denotadopor C . Este tensor puede ser determinado a partir del conocimiento de cualquier de las tresfunciones respuesta de tensión P , Σ o S .

Este resultado tambien puede ser interpretado como armando que las funciones respues-ta de tensi on P , Σ y S poseen la misma linealizaci on en F = I ; especıcamente,

P (F ε) = εC (∇X u (1) ) + O(ε2),

Σ (F ε) = εC (

∇

X u (1) ) +

O(ε2),

S (F ε) = εC (∇X u (1) ) + O(ε2).

Ası, en la aproximación lineal, los dos campos de tensi on de Piola-Kirchhoff y el campo detensi on de Cauchy son indistinguibles.

Lema 6.8 (Simetrıa menor a izquierda del tensor de elasticidad) . Consideremos un cuerpoel´ astico con una conguraci´ on de referencia libre de tensi´ on y un tensor de elasticidad aso-ciado C . Entonces la ley de balance de momento lineal implica que C (H ) es simetrico para






lo cual, por denicion, signica que C (H ) posee simetrıa menor a derecha. La condiciónacerca de las componentes C ijkl sigue del Lema 1.11.

El siguiente resultado demuestra que el tensor de elasticidad C posee una forma particu-

larmente simple si el cuerpo es isotr opico.Lema 6.10 (Tensor de elasticidad para un s´ olido isotropico). Sea S la funci´ on respuesta de tensi´ on de Cauchy de un cuerpo el´ astico con una conguraci´ on de referencia libre de tensi´ on y el tensor de elasticidad C . Si el cuerpo es isotr´ opico, entonces el tensor de cuarto orden C

es isotr´ opico en el sentido de la Secci´ on 1.1.5 y posee la forma C (H ) = λ(tr H )I + 2 µ sym(H ) para todo H ∈V 2,

donde λ y µ son constantes.

Demostraci´ on. Parta un cuerpo isotr´ opico elastico tenemos en virtud del Lema 6.2 que

Q S (F )Q T = S (QF Q T )

para todo F ∈V 2 con det F > 0 y toda rotaci on Q ∈V 2. Sea H ∈V 2 arbitrario. Entonces,en virtud de la denici on de C tenemos que

Q C (H )Q T = Qd

dαS (I + αH )

α =0Q T =

ddα

Q S (I + αH )Q T

α =0

=d

dαS Q (I + αH )Q T

α =0=

ddα

S (I + αQHQ T )α =0

= C (QHQ T ),

donde la igualdad entre el tercer y el cuarto termino se debe a que det( I + αH ) > 0 cuandoα es sucientemente peque no. Ası, C es isotropico en el sentido de la Seccion 1.1.5. Ademas,en virtud del Lema 6.8, el tensor C (H ) es simetrico para cualquier H

∈ V 2 simetrico, y

debido al Lema 6.9 se tiene que C (W ) = O para cualquier W ∈ V 2 antisimetrico. Ası, C

satisface las presuposiciones del Lema 1.13, el cual establece el enunciado.

6.3.4. Ecuaci on de elasticidad isotr´ opica y linealizada. En virtud de los Lemas 6.7y 6.10, la ecuacion linealizada de balance de momento lineal (6.35) asume una forma simplesi el cuerpo es isotropico. En particular tenemos

C (∇X u (1) ) = λ(tr∇

X u (1) )I + 2 µ sym(∇X u (1) ).

Tomando la divergencia obtenemos

∇X ·C (∇

X u (1) ) = ∇X · λ tr(∇

X u (1) )I + 2 µ sym(∇X u (1) )

= ∇

X

· λu(1)k,k δ ij + µu

(1)i,j + µu

(1) j,i e i⊗

e j

= λu (1)k,k δ ij + µu(1)

i,j + µu(1) j,i ,j e i

= λu (1)k,ki e i + µu(1)

i,jj e i + µu(1) j,ji e i

= λ∇X (∇

X ·u (1) ) + µ∆ X u (1) + µ∇X (∇

X ·u (1) )

= µ∆ X u (1) + ( λ + µ)∇X (∇

X ·u (1) ).



6.4. S OLIDOS EL ASTICOS LINEALES 165

Ası, podemos escribir (6.35) como

0u (1) = µ∆ X u (1) + ( λ + µ)∇X (∇

X ·u (1) ) + 0b(1)m . (6.41)

A veces la ecuacion (6.41) es llamada ecuaci´ on de Navier para la perturbación del desplaza-

miento u (1) . Es una aproximaci on de la ecuacion de balance del momento lineal apropiadapara describir desviaciones pequeñas desde una conguraci on de referencia libre de tensi onde un solido elastico isotr opico.

6.4. S´ olidos elasticos lineales

En la Seccion 6.3 derivamos ecuaciones linealizadas para un sólido elastico partiendo deecuaciones no lineales. En esta seccion consideraremos una clase de modelos que da origen aecuaciones similares. Sin embargo, aquı las ecuaciones lineales son el resultado de hip´ otesisconstitutivas y no de una linealización.

6.4.1. Denici´ on.

Denici´ on 6.5 (Solido elastico lineal) . Un cuerpo continuo con la conguraci´ on de referen-cia B se llama solido elastico lineal si:

1.) El campo de la primera tensi´ on de Piola-Kirchhoff es de la forma

P (X , t ) = P F (X , t ) para todo X ∈B, t 0,

donde P : V 2 → V 2 es una funci´ on respuesta dada.2.) La funci´ on respuesta P es de la forma

P (F ) = C (∇X u ), (6.42)

donde ∇X u = F −I es el gradiente del desplazamiento y C es un tensor de cuarto

orden dado llamado tensor de elasticidad del cuerpo.3.) El tensor C satisface las condiciones de simetrıa menor a izquierda y a derecha.

La propiedad (1) implica que la tensión en un punto en un s olido elastico lineal dependesolamente de una medida de la deformación actual en este punto. La propiedad (2) y lasimetrıa menor a izquierda en (3) implican que la primera respuesta de tensi on de Piola-Kirchhoff es simetrica. La propiedad (2) y la simetrıa menor a derecha en (3) implicanque esta respuesta de tensión es una funcion lineal del tensor de deformación innitesimalE = sym(∇

X u ); especıcamente, P (F ) = C (E ).Insertando (6.42) en las ecuaciones de elasticidad (6.10) obtenemos un sistema que posee

la misma forma que las ecuaciones linealizadas (6.36), con u (1) remplazado por u , etc. Enparticular las ecuaciones resultantes son lineales en el campo de desplazamiento u . (Riguro-samente, tambien tenemos que suponer que la fuerza de cuerpo dada y los datos de fronterason lineales en u .) Ası, las ecuaciones exactas para un sólido elastico lineal poseen la mismaforma que las ecuaciones linealizadas de un s olido elastico no lineal con una conguraci onde referencia libre de tensi on.

En general la ley de balance del momento angular no est´ a satisfecha en un s olido elasticolineal. En particular, en virtud de (6.1) la simetrıa del campo de la primera tensi´ on de Piola-Kirchhoff en general no implica la simetrıa del campo de tensión de Cauchy. Sin embargo, a




la luz de los Lemas 6.7 y 6.8, el balance del momento angular est a satisfecho en un sentidoaproximado, y es visible en la simetrıa menor a izquierda de C .

En general el modelo constitutivo de un sólido elastico lineal no satisface el axiomade indiferencia respecto del marco. En particular, de acuerdo al Lema 6.1 la indiferenciarespecto del marco exige que P (F ) = F Σ (C ) para alguna funci on Σ (C ), lo que en generales incompatible con la hip otesis de linealidad. Sin embargo, a la luz de los Lemas 6.7 y 6.9,la indiferencia respecto del marco está satisfecha aproximadamente, y se maniesta en lasimetrıa menor a derecha de C .

Finalmente comentamos que un ejemplo cl´ asico de un solido elastico lineal viene dadopor el modelo isotr´ opico denido por

C (E ) = λ(tr E )I + 2 µ sym(E ). (6.43)

En este caso λ y µ se llaman constantes de Lame del cuerpo. En virtud de los Lemas 6.7 y 6.10,este modelo es consistente con la linealizaci on de cualquier modelo no lineal, indiferenterespecto del marco, e isotr opico con una conguraci on de referencia libre de tensi on. En

particular la ecuación de balance del momento lineal asume la forma (6.41).6.4.2. Propiedades generales. En lo siguiente estudiaremos algunas propiedades de s´ oli-dos elasticos lineales. Demostraremos que un sólido elastico lineal es hiperel astico si el tensorde elasticidad posee simetrıa mayor. Tambien introduciremos condiciones respecto del tensorde elasticidad bajo las cuales se pueden demostrar resultados de existencia y unicidad paralas ecuaciones de elastodin amica y elastost atica lineal en (6.36) y (6.37).

Denici´ on 6.6 (Solido elastico lineal hiperel astico) . Un s´ olido el´ astico lineal se llama hi-perelastico si la funci´ on respuesta P satisface

P (F ) = D W (F )

para alguna funci´ on W : V 2 →R , llamada una densidad de energıa de deformación para el cuerpo.

La Denicion (6.6) es consistente con el concepto de un s olido hiperelastico general.Sin embargo, al contrario del caso general, no se impone una condición de simetrıa sobreDW (F )F T . El siguiente resultado proporciona una condici´ on suciente bajo la cual un s olidoelastico lineal es hiperel astico. Efectivamente, esta condici´ on tambien es necesaria (Tarea).

Lema 6.11 (Condici on para s olidos lineales hiperelasticos) . Si el tensor de elasticidad C

posee simetrıa mayor, entonces un s´ olido lineal el´ astico es hiperel´ astico. En este caso la funci´ on

W (F ) =12∇

X

u : C (∇

X

u ), (6.44)donde ∇

X u = F −I , es una funci´ on densidad de energıa de deformaci´ on para el cuerpo.Equivalentemente, en virtud de las simetrıas menores de C ,

W (F ) =12

E : C (E ),

donde E = sym(∇X u ) es el tensor de deformaci´ on innitesimal.



6.4. S OLIDOS EL ASTICOS LINEALES 167

Demostraci´ on. Para un s olido lineal elastico se tiene que P (F ) = C (F −I ). Ası, suponiendoque C posee simetrıa mayor, queremos demostrar que C (F −I ) = D W (F ), donde W (F )esta dado en (6.44). En virtud de la Denición 1.10 se tiene que

DW (F ) : A =d

dα W (F + αA )α =0

para todo A∈W ,

y a partir de (6.44), utilizando ∇X u = F −I , obtenemos

ddα

W (F + αA )α =0

=d

dα12

(F + αA −I ) : C (F + αA −I )α =0

=12

A : C (F + αA −I ) +12

(F + αA −I ) : C (A )α =0

=12

A : C (F −I ) +12

(F −I ) : C (A ).

Utilizando la simetrıa mayor deC

, y el hecho de que A : B = B : A para todo A , B∈V

2

,obtenemos

DW (F ) : A =d

dαW (F + αA )

α =0= C (F −I ) : A para todo A ∈V 2,

lo que implica que DW (F ) = C (F −I ), como requerido.

Comentamos que es directo vericar que el tensor de elasticidad para el modelo isotr´ opicoposee simetrıa mayor, por lo tanto el modelo isotr´ opico es hiperelastico.

La hiperelasticidad tiene muchas consecuencias importantes. En particular, tal comopara s olido elasticos generales, la hiperelasticidad garantiza la satisfacci´ on de la desigualdadde energıa mec anica. Tambien implica la satisfacci´ on de un balance de energıa como en el

Lema 6.6. Ademas, la hiperelasticidad implica que las ecuaciones de elastodin´ amica lineal yde elastost atica lineal ((6.36) y (6.37), respectivamente) poseen una estructura variacional.Comentamos, además, que en general un tensor C de cuarto orden contiene 81 parámetros

independientes. Si C satisface las condiciones de simetrıa menor a izquierda y a derecharequeridas por un s olido elastico lineal, entonces el n umero de par ametros independientes sereduce a 36. Ademas, si C posee simetrıa mayor, el número de par ametros independientes sereduce a 21 (Tarea). Si además C es isotropico, el numero de par ametros independientes essolo 2.

Ahora introduciremos varias condiciones sobre el tensor de elasticidad que garantizanque las ecuaciones para un s olido elastico lineal esten bien puestas. Luego comunicaremosun resultado que caracteriza estas condiciones para el modelo isotr´ opico.

Denici´ on 6.7 (Elıpticidad fuerte) . Un tensor de cuarto orden C se llama fuertementeelıptico si A : C (A ) 0 para todo A ∈ V 2 de la forma A = a ⊗b con a = 0 , b = 0 . El operador C se llama positivo si A : C (A ) > 0 para todo A ∈V 2 con A T = A = O .

Lema 6.12 (Elipticidad fuerte y positividad del modelo isotr´ opico). Se considera un s´ olidolineal, el´ astico e isotr´ opico con las costantes de Lame λ y µ. Entonces:

1.) C es fuertemente elıptico si y s´ olo si µ > 0 y λ + 2 µ > 0.




2.) C es positivo si y s´ olo si µ > 0 y 3λ + 2 µ > 0.

Demostraci´ on. Para demostrar (1), consideremos un tensor arbitrario A de la forma A =a⊗b, donde a , b = 0. Entonces, en virtud de (6.43) y utilizando las identidades I : A = tr A ,tr( a

⊗

b) = a

·b y (a

⊗

b) : (c

⊗

d ) = ( a

·c)(b

·d ) obtenemos

A : C (A ) = λ(tr A )2 + 2 µ sym(A ) : A = λ(a ·b)2 + µ(a ⊗b + b⊗a ) : (a ⊗b)= ( λ + µ)(a ·b)2 + µ(a ·a )(b ·b).

Introduciendo la proyección perpendicular

b⊥ = b −b ·aa ·a

a

y remplazando b obtenemosA : C (A ) = ( λ + 2 µ)(a ·b)2 + µ(a ·a )(b⊥ ·b⊥).

A partir de este resultado obtenemos que λ + 2 µ > 0 y µ > 0 implican que C es fuertemente

elıptico.Vice versa, si C es fuertemente elıptico, entonces eligiendo b tal que b · a = 0obtenemos µ > 0, y eligiendo b tal que b⊥ = 0 obtenemos λ + 2 µ > 0.Para demostrar (2) se considera un tensor simetrico arbitrario A , y se dene el tensor

simetrico H := A −α I , donde

α =13

tr( A ).

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