Apuntes Topografía General

8/18/2019 Apuntes Topografía General

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SISTEMAS DE MEDICIÓN UTILIZADOS ENTOPOGRAFÍA

Para poder representar la superficie terrestre, la topografía requiere de recopilarinformación desde terreno a través de instrumentos cuya función más simple es realizarmediciones de distancias y ángulos.

Es por esta razón que se requiere de conocer las unidades de medición, tanto lineal comoangular, con las cuales se trabaja en procesos topográficos.

1) SISTEMAS DE MEDIDA LINEAL

Para obtener una medida lineal se utilizan dos tipos de sistemas:

Sistema Métrico

El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual losmúltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadasentre sí por múltiplos o submúltiplos de 10. Este sistema se utiliza parala medición de diferentes magnitudes entre ellas, longitud.

Este sistema aplicado a medición longitudinal tiene como unidad básica elmetro y sus equivalencias más utilizadas son:

NOMBRE NOTACIÓN VALOR

Kilómetro Km 1000 m

Hectómetro Hc 100 m

Decámetro D 10 m

Metro m 1 m

Decímetro d 0,10 m

Centímetro cm 0,01 mMilímetro mm 0,001 m

A través de estas equivalencias se forman proporciones directas que permiten,utilizando la regla de tres simple, determinar valores longitudinales endiferentes unidades del sistema métrico.


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Trasformaciones en el sistema métrico:

Ejemplos:

a) 0,48631 (Km) en (m) = 486,31 m

1 Km 1000 m Se forma la proporción utilizando 0,48631 Km x la equivalencia respectiva.

X= 0,48631*1000 Se multiplica cruzado y se divide1 por el término “libre”

X= 486,31 mts.

b) 5123,245 (mm) en (cm) = 512,3245 cm

1 cm 10 mm Se forma la proporción utilizando x 5123,245 mm la equivalencia respectiva.

X = 5123,245 * 110

X = 512,3245 cm

Método Práctico (Corriendo comas)

La forma práctica más utilizada para la trasformación de unidades de medida enel sistema métrico, es moviendo la coma que indica la fracción de unidades aizquierda o derecha dependiendo de los requerimientos, y considerando lasiguiente distribución de espacios.

Donde:

1 Kilometro + 234 metros +56 centímetros + 7 milímetros


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En este contexto, si se desea transformar desde una unidad mayor a unamenor se debe mover la coma hacia la izquierda, tantos espacios como sea

la unidad de trasformación.

Ejemplo.-

41521 (cm) en (m) = 415,21 m

Corriendo comas

41521,0 cmsMilímetros

CentímetrosMetros

De Cm a m.

415,210 mtsDe Centímetros Correr la coma

dos espaciosA Metros a la izquierda

De esta misma forma, si se desea transformar desde una unidad menor a unamayor se debe mover la coma hacia la derecha, tantos espacios como sea launidad de trasformación.

Ejemplo.-

4,1521 (km) en (mts) = 4152,1 mts

Corriendo comas

4,152100 kms Observación: los dos últimos ceros Milímetros se agregan para facilitar la

Centímetros visualización de las unidades.Metros

kilómetros


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De km a mts.

4152,100 mtsA metros Correr la coma

tres espaciosDe kilómetros a la derecha.

Sistema Inglés

Este sistema es aún usado en países con tradición británica, y en la actualidadaún existen muchos productos fabricados con especificaciones en estesistema. Los múltiplos y submúltiplos más comunes son:

NOMBRE NOTACIÓN VALOR

Milla mi 63400 in

Yarda yd 36 in

Pie ft 12 in

Pulgada in 1 in

A través de estas equivalencias se forman proporciones directas que permiten,utilizando la regla de tres simple, determinar valores longitudinales endiferentes unidades del sistema métrico.

Trasformaciones en el sistema inglés:

Ejemplos:

a) 0,2893 (ft) en (in) = 3,4716 in

1 ft 12 in Se forma la proporción utilizando

0,2893 ft x la equivalencia respectiva.

X= 0,2893* 12 Se multiplica cruzado y se divide1 por el término “libre”

X= 3,4716 in


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b) 302,394 (ft) en (yd) = 100,798 yd

1 ft 12 in Se forma la proporción utilizando 302,394 ft X la equivalencia respectiva.

X = 302,394 * 12 Se multiplica cruzado y se divide 1 por el término “libre”

X = 3628,728 in

Observación: esta operación se puede realizar de forma directa o por pasos.|

1 yd 36 in Se forma la proporción utilizando X 3628,728 in la equivalencia respectiva.

X = 3628,728 * 1 Se multiplica cruzado y se divide 36 por el término “libre”

X = 100,798 in

Conversión de un Sistema Métrico a un Sistema Ingles yviceversa

INGLÉS

MÉTRICO

mm cm m

1 in 25,4 2,54 0,0254

1 ft 304,8 30,48 0,3048

1 yd 914,4 91,44 0,9144

1 mi 1609344 160934,4 1609,344

Ejemplos:

a) 0,2893 (ft) en (mt.) = 7,34 mm

1 ft 0,3048 mt Se forma la proporción utilizando 0,2893 ft x la equivalencia respectiva.

Equivalenciamás utilizada


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90⁰

0⁰ - 360⁰

270⁰

180⁰

X= 0,2893* 0,3048 Se multiplica cruzado y se divide1 por el término “libre”

X= 0,08817 m.También se puede considerar

operar en el mismo sistema paraX= 8,8 cms. obtener un valor más manejable.

b) 528,93 (m) en (in) = 28,562 in

0,054 in 1 m Se forma la proporción utilizando x 528,93 m la equivalencia respectiva.

X= 0,054 * 528,93 Se multiplica cruzado y se divide1 por el término “libre”

X= 28,562 in

2) SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR

Para la obtención de una medida angular se utilizan los siguientes tipos desistemas:

Sistema sexagesimal

Es un sistema de medida que resulta de dividir un círculo en 360 partesiguales, llamados grados sexagesimales (⁰), considerando una subdivisión de lacircunferencia en 4 ángulos rectos de 90 grados sexagesimales cada uno.

90⁰ 90⁰

90⁰ 90⁰


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Los submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto sexagesimal (’) y elsegundo sexagesimal (”).

Notación: en este sistema un ángulo se denotará de la siguiente manera:

β = 156⁰ 23’ 37” 156 grados sexagesimales 23 minutos sexagesimales37 segundos sexagesimales

Equivalencias:

NOMBRE NOTACION VALOR

Grados Minutos SegundosGrado ⁰ 1 60 3600

Minuto ’ 1/60 1 60Segundos ” 1/3600 1/60 1

Observación: Las más comunes son las siguientes

1⁰ 60’1⁰ 3600”

1’ 60”

Trasformaciones:

De grados, minutos y segundos a grados con fracción

Ejemplos:

241⁰ 34’ 14” = 241⁰ + (34/60)⁰ + (14/3600)⁰ = 241,57055556⁰

Grados Minutos Segundos

56⁰ 46’ 9” = 56⁰ + (46/60)⁰ + (9/3600)⁰ = 56,76916667⁰


324⁰ 51” = 324⁰ + ( 0 /60)⁰ + (51/3600)⁰ = 324,014167⁰



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De grados con fracción a grados, minutos y segundos

Ejemplos:

153, 58623⁰ 153⁰ 0.58623 * 60’ = 35,1738’ 35’ 0.1738*60” = 10,428”

153, 58623⁰ = 153⁰ 35’ 10,428”

94, 005346⁰ 94⁰ 0,005346*60’ = 0,32076’ 0’

0,32076*60” = 19,246”

94,005346⁰ = 94⁰ 19,246”

13, 50393⁰ 13⁰ 0.50393 * 60’ = 30,2358’ 30’

0.2358*60” = 14,148”

13, 50393⁰ = 13⁰ 30’ 14,148”

Uso de Calculadora

143⁰ 13’ 52” 143 presionar ⁰ ’ ” en pantalla 143⁰

13 presionar ⁰ ’ ” en pantalla 143⁰ 13⁰

52 presionar ⁰ ’ ” en pantalla 143⁰ 13⁰ 52⁰

presionar = (solo para algunas calculadoras)

en pantalla 143⁰ 13⁰ 52⁰ presionar ⁰ ’ ”

en pantalla 143.2311111⁰ presionar ⁰ ’ ”

en pantalla 143⁰ 13⁰ 52⁰ presionar ⁰ ’ ”

en pantalla 143.2311111⁰


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100ᶢ

0ᶢ - 400ᶢ

300ᶢ

200ᶢ

204⁰ 5” 204 presionar ⁰ ’ ” en pantalla 204⁰

0 presionar ⁰ ’ ” en pantalla 204⁰ 0⁰

5 presionar ⁰ ’ ” en pantalla 204⁰ 0⁰ 5⁰

presionar = (solo para algunas calculadoras) en pantalla 204⁰ 0⁰ 5⁰

presionar ⁰ ’ ” en pantalla 204.0013889⁰

presionar ⁰ ’ ” en pantalla 204⁰ 0⁰ 5⁰

presionar ⁰ ’ ” en pantalla 204.0013889⁰

Sistema centesimal

Es un sistema de medida que resulta de dividir un ángulo recto en 100 partesiguales, constituyendo un círculo de 400 partes iguales, denominados gradoscentesimales (ᶢ).

Los submúltiplos del grado sexagesimal (ᶢ) son el minuto centesimal ( c ) y elsegundo centesimal ( c c).

Notación: en este sistema un ángulo se denotará de la siguiente manera:

β = 238ᶢ 65ᶜ 81ᶜᶜ 238 grados centesimales 65 minutos centesimales81 segundos centesimales

100ᶢ 100ᶢ

100ᶢ 100ᶢ


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Equivalencias:

NOMBRE NOTACION VALORGrados Minutos Segundos

Grado g 1 100 10000Minuto c 1/100 1 100Segundos cc 1/10000 1/100 1

Observación: Las más comunes son las siguientes

1ᶢ 100ᶜ 1ᶢ 10000ᶜᶜ

1ᶜ 100ᶜᶜ

Trasformaciones:

De grados, minutos y segundos a grados con fracción

Ejemplos:

124ᶢ 25ᶜ 65ᶜᶜ = 124ᶢ + (25/100) ᶢ + (65/10000) ᶢ = 124,2565ᶢ


13ᶢ 4ᶜ 1ᶜᶜ = 13ᶢ + (4/100) ᶢ + ( 1/3600) ᶢ = 13,0401ᶢ


381ᶢ 8ᶜᶜ = 381ᶢ + ( 0 /100) ᶢ + (8/10000) ᶢ = 381,0008ᶢ


De grados con fracción a grados, minutos y segundos

Ejemplos:

191, 5236ᶢ 191ᶢ 0,5236 * 100ᶜ = 52,36ᶜ 52ᶜ

0,36*100ᶜᶜ = 36ᶜᶜ


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191, 5236ᶢ = 191ᶢ 52ᶜ 36ᶜᶜ

98,1005ᶢ 98 ᶢ

0,1005*100ᶜ = 10,05ᶜ 10ᶜ 0,05 *100ᶜᶜ = 5ᶜᶜ

98,1005 ᶢ = 98 ᶢ10ᶜ 5ᶜᶜ

223, 0030ᶢ 223 ᶢ 0,0030 * 100ᶜ = 0,30ᶜ 0ᶜ

0,30*100ᶜᶜ = 30ᶜᶜ

223, 0030 ᶢ = 223ᶢ 30ᶜᶜ

Observación: En términos prácticos se puede transformar de un formato aotro separando o juntando los dígitos que conforman el valor, siempre que serespete sus posiciones correspondientes. Esto solo se aplica para ánguloscentesimales, NO para ángulos sexagesimales.

Ω = 178 , 2345 ᶢ , ᶢ Grados

MinutosSegundos

Ejemplos:

241, 1006ᶢ 241ᶢ 241, 1006ᶢ = 241ᶢ 10ᶜ 6ᶜᶜ 10ᶜ 6ᶜᶜ

152, 0003ᶢ 152ᶢ 151,0003ᶢ = 152ᶢ 3ᶜᶜ 0ᶜ 3ᶜᶜ


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0-2π

152ᶢ 152, 03 06 ᶢ 112ᶢ 3ᶜ 6ᶜᶜ = 112, 0306ᶢ 3ᶜ 6ᶜᶜ

345ᶢ 345, 00 10 ᶢ 345ᶢ 10ᶜᶜ = 345, 0010ᶢ 0ᶜ 10ᶜᶜ

Radianes

Un radian es la medida de un ángulo plano central, comprendido entre dos

radios, que abarcan un arco de longitud igual al radio con el que ha sidotrazado. En otras palabras el radián es la longitud del arco equivalente a lamedida de su radio. Cada circunferencia tiene su propio radio y así mismo supropia medida de radián, pero el ángulo formado por el arco radián siempretiene el mismo valor.

La longitud de la circunferencia siempre es aproximadamente igual a 2

radianes y = 3,141592653589793. Quedando la circunferencia divida en

cuatro ángulos rectos de valor /2 cada una. Un radian vale en grados = 57º 17' 44,8".

Una de sus utilidades se basa en que con su medida se puede calcular entreotras la distancia lineal de una circunferencia o arco en movimiento, por lotanto la distancia recorrida por un objeto es aproximadamente igual al radiopor el valor del ángulo recorrido.

π 2

π 2

π 2

π 2

3π 2

π 2

π


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Conversiones de sistemas angulares

Para obtener la transformación de un sistema a otro, se pueden considerar las

siguientes relaciones angulares entre sistemas:

Equivalencias:

90⁰ = π/2 = 100ᶢ

180⁰ = π = 200ᶢ SUGERIBLE

270⁰ = 3π/2 = 300ᶢ

360⁰ = 2π = 400ᶢ

Basándose en estas relaciones y el valor que se desea transformar se obtieneuna proporción directa, la que nos facilita la conversión de valores angularesde un sistema a otro, solo aplicando regla de tres simple.

Ejemplos:

3π 2

π 2

0-2π

π

100ᶢ

0ᶢ - 400ᶢ

300ᶢ

200ᶢ

90⁰

0⁰ - 360⁰

270⁰

180⁰


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Transformación sexagesimal a centesimal

180⁰ = 200ᶢ 124⁰ = X ᶢ

X = (124*200)/180X = 137,777778 ᶢ

X = 137ᶢ 77ᶜ 77.8ᶜᶜ

Transformación sexagesimal a radianes

180⁰ = π rad124⁰ = X rad

X = (124* π )/180X = 2.1642 rad

Transformación centesimal a sexagesimal

200ᶢ = 180⁰ 241ᶢ = X ⁰

X = (241*180)/200X = 216,9000 ⁰ X = 216⁰ 54’

Transformación centesimal a radianes

200ᶢ = π rad

241ᶢ = X rad

X = (241* π )/200

X = 3.7856 rad

Transformación radianes a sexagesimal

π rad = 180⁰ 1.7623 rad = X ⁰

X = (1.7623* 180)/π )X = 100,972352⁰ X = 100⁰ 58’ 20,5”

Transformación radianes a centesimal

π rad = 200ᶢ 1.7623 rad = X ᶢ

X = (1.7623* 200)/π )

X = 112,191502ᶢ X = 112ᶢ 19ᶜ 15,02ᶜᶜ


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Ejercicios Resueltos

Convierta las siguientes dimensiones y valores angulares según se indica.

1) 0,48631 (Km) en (m) = 486,31 m

1 Km 1000 mts0,48631 Km x

X= 0,48631*10001

X= 486,31 mts.

2) 168ᶢ 6ᶜ 1ᶜᶜ en rad = 2,6399 rad

168,0601ᶢ (transformación a fracción de grados)

200ᶢ

rad168,0601ᶢ x

X= 168,0601 *200

X= 2,6399 rad

3) 5123,245 (mm) en (cm) = 512,3245 cm

1 cm 10 mmx 5123,245 mm

X= 5123,245 * 110

X= 512,3245 cm

4) 6,412 rad en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) = 8ᶢ 20ᶜ 5,98ᶜᶜ


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200ᶢ radx 6,412 rad

X= 6,412 * 200

X= 408,200598ᶢ (1 vuelta de más) X= 8,200598ᶢ (en fracción de grados) X= 8ᶢ 20ᶜ 5,98ᶜᶜ

5) 41521 (cm) en (m) = 415,21 m

Corriendo comas

1234,567 mtsMilímetros

CentímetrosMetrosKilómetros

De Cm a m.

1234,567 mtsDe Centímetros Correr la coma

dos espaciosA Metros a la izquierda

6) 325,1574ᶢ en (°,’, “) = 292° 38’ 30“

200ᶢ 180° 325,1574ᶢ x

X= 325,1574 * 180200

X= 292,64166°

X= 292° 38’ 30“

7) 52° 3’ 17“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) = 57ᶢ 83ᶜ 85,80ᶜᶜ

52,0547222°(transformación a fracción de grados)


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200ᶢ 180° X 52,054722°

X= 52,054722 * 200180

X= 57° 50’ 18.89“ (está grados sexagesimales)X= 57,838580ᶢ

X= 57ᶢ 83ᶜ 85,80ᶜᶜ

8) 4648631 (mm) en (km) = 4,648631 km

Corriendo comas


CentímetrosMetros

Kilómetros

De mm a km.

1234,567 mts De Milímetros Correr la comaseis espaciosa la izquierda

A Kilómetros

9) 5123,245 (mm) en (cm) =

Corriendo comas


CentímetrosMetros

Kilómetros


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De mm a km.

1234,567 mtsDe Milímetros Correr la coma

un espacioa la derecha

A Kilómetros

10) 3,1468 rad en (°,’, “)

180° radx 3,1468 rad

X= 3,1468 * 180

X=180,298359°X= 180° 17’ 54“)

Ejercicios Propuestos

11) 221546,326 (mm) en (km) =

12) 41521 (cm) en (m) =

13) 325,1574ᶢ en (°,’, “)=

14) 168ᶢ 6ᶜ 1ᶜᶜ en rad =

15) 103° 33’ 27“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) =

16) 198,0300° en rad =

17) 1563,46 (cm) en (mm) =

18) 6,2832 rad en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) =

19) 165,1574ᶢ en (°,’, “) =

20) 198,0300° en rad =

21) 0,41245 (km) en (m) =

22) 245° 24’ 7“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) =


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23) 326,256 (m) en (cm) =

24) 145,3569ᶢ en (°,’, “)=

25) 0,012 rad en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) =

26) 436ᶢ 45ᶜ 96ᶜᶜ en rad =

27) 245° 45’ 36“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) =

28) 345,1456° en rad =

29) 165,1574ᶢ en (°,’, “)=

30) 2,412 rad en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) =

31) 368ᶢ 6ᶜ 1ᶜᶜ en rad =

32) 52° 3’ 17“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) =

33) 303,0008° en rad =

34) 145,3569ᶢ en (°,’, “)=

35) 62141 (mm) en (m) =

36) 2,012 rad en (°,’, “)=37) 52ᶢ 96ᶜᶜ en rad =

38) 15,6346 (m) en (mm) =

39) 63° 36“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) =

40) 241,52004° en rad =

41) 206,4423ᶢ en (°,’, “)=

42) 5,142 rad en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) =

43) 283ᶢ 50ᶜ 5ᶜᶜ en rad =

44) 341° 31’ 7“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) =

45) 236,0420° en rad =


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46) 233,1574ᶢ en (°,’, “)=

47) 5,412 rad en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) =

48) 324ᶢ 8ᶜ 4ᶜᶜ en rad =

49) 71° 2’ 41“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) =

50) 218,0002° en rad =


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CONCEPTOS DE RUMBO Y AZIMUT

1) DEFINICION DE ÁNGULO

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen elmismo punto de origen o vértice, y suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Es importante recordar que un ángulo tiene tres características:

a.- Referencia: Desde dónde se mide.b.- Amplitud: la magnitud medida del ángulo (el valor)

c.- Sentido: hasta donde se mide, a partir de la línea de referencia.

AAmplitud

60⁰ B

O Sentido

2) RUMBO Y AZIMUT

El Rumbo y el Azimut son ángulos utilizados en Planimetría con el objetivo dedeterminar orientaciones entre dos puntos. Estos ángulos son medidos en el planohorizontal, a partir de una referencia específica.

RUMBO

Ángulo agudo medido desde el Norte o Sur, donde se inicializa la valoracióndel ángulo (0 grados), hacia la derecha (Este) o la izquierda (Oeste). Su valorvaría de cero a un ángulo recto, lo cual ubica la orientación de la línea en uncuadrante específico determinado desde el norte en dirección de lasmanecillas del reloj.

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Grado_centesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Grado_centesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)


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El valor de estos ángulos se obtiene directamente por observaciones hechasen el terreno, o indirectamente por el cálculo en función de valores angularesentre líneas adyacentes u otras medidas angulares.

Notación:

Rbopto 1 – pto 2 = - -

Desde dondese mide Valor Angular

Hasta dondese mide

Línea de Sentido Referencia (Este – Oeste)

(Norte – Sur)

Ejemplos:

a.- RboA – B = N – 57ᶢ 25ᶜ 50ᶜᶜ - E

57ᶢ 25ᶜ 50ᶜᶜ

I Cuadrante

Orientación N-E

RboO - A = N – 57ᶢ 25ᶜ 50ᶜᶜ - E

Línea Cuadrante Rumbo DIRECCION

0-1 I 01 Norte-Este

0-2 II 02 Sur-Este0-3 III 03 Sur-Oeste

0-4 IV 04 Norte-Oeste


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b.-RboO – B= S –30,5144⁰ - E

RboO - B = S –30,5144⁰ - E

II CuadranteOrientación S-E

30,5144⁰

c.- RboO – C= S – 71,4223ᶢ - W

RboO – C= S – 71,4223ᶢ - W

III Cuadrante

Orientación S-W 71,4223ᶢ

d.- RboS – T = N – 60,4553⁰ - E

60,4553⁰

IV CuadranteOrientación N-W

RboO - A = N – 60,4553⁰- W


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AZIMUT

Ángulo que se mide desde el Norte a favor de las manecillas del reloj, con laexcepción de la realización de observaciones astronómicas donde el azimut se

refiere siempre desde el Sur.

Su valor varía desde 0 grados a cuatro ángulos rectos, en los diferentessistemas de graduación angular. Esto también permite ubicar el valor delazimut en cuatro cuadrantes definidos desde el Norte hacia la derecha.

Notación:

θpto 1 – pto 2 =

Desde dondese mide Valor Angular

Hasta dondese mide

Ejemplos:

a.- θO – A = 57ᶢ 25ᶜ 50ᶜᶜ

θO – A

57ᶢ 25ᶜ 50ᶜᶜ

Línea Cuadrante Valor Ángular

O - A I 0 – 1 ángulo recto

O – B II 1 – 2 ángulos rectos

O - C III 2 – 3 ángulos rectosIV 3 – 4 ángulos rectos


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b.- θO – B = 149,4856⁰

149,4856⁰ θO – B

c.- θO – C = 271,4223ᶢ

271,4223ᶢ

θO – C

d.- θO – D = 299,5447⁰

299,5447⁰

θO – D


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COVERSION DE RUMBO A AZIMUT Y VICEVERSA

Para convertir una orientación desde Azimut a Rumbo o viceversa se debe

aplicar las fórmulas que se muestran a continuación, considerando el sistemade unidades en cual está determinado valor del ángulo.

En este contexto se presentan las formulas generales por cuadrante y lasformulas específicas para unidades centesimales y sexagesimalesrespectivamente.

IV Cuadrante I Cuadrante

= 4 Áng. Recto – Áng. Rbo = Áng. Rbo = 400ᶢ – Áng. Rbo = Áng. Rbo = 360⁰ – Áng. Rbo = Áng. Rbo

III Cuadrante II Cuadrante

= 2 Áng. Recto + Áng. Rbo = 2 Áng. Recto - Áng. Rbo

= 200ᶢ + Áng. Rbo

= 200ᶢ - Áng. Rbo

= 180⁰ + Áng. Rbo = 180⁰ - Áng. Rbo

Fórmulas por Cuadrantes

I CuadranteI Cuadrante

= Áng. Rbo

= Áng. Rbo (CENTE) = Áng. Rbo (SEXA)


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II Cuadrante

II Cuadrante

= 2 Áng. Recto - Áng. Rbo

= 200ᶢ - Áng. Rbo (CENTE) = 180⁰ - Áng. Rbo (SEXA)

III Cuadrante

III Cuadrante

= 2 Áng. Recto + Áng. Rbo

= 200ᶢ + Áng. Rbo (CENTE) = 180⁰ + Áng. Rbo (SEXA)

IV Cuadrante

IV Cuadrante

= 4 Áng. Recto – Áng. Rbo

= 400ᶢ – Áng. Rbo (CENTE) = 360⁰ – Áng. Rbo (SEXA)


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Para ángulos en Sistema Centesimal

θInverso = θDirecto ± 200 ᶢ

Si θDirecto > 200ᶢ θInverso = θDirecto - 200ᶢ Si θDirecto < 200ᶢ θInverso = θDirecto + 200ᶢ

Para ángulos en Sistema Sexagesimal

θInverso = θDirecto ± 180⁰

Si θDirecto > 180⁰ θInverso = θDirecto - 180⁰ Si θDirecto < 180⁰ θInverso = θDirecto + 180⁰

Ejemplos:

a.- θS-T = 153ᶢ

θT-S = ?

θInverso = θDirecto + 200ᶢ θT-S = 153ᶢ + 200ᶢ

θT-S = 353ᶢ


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b.- θQ-P = 324ᶢ

θP-Q = ?

θP-Q

200g

θQ-P θInverso = θDirecto - 200ᶢ θP-Q = 324ᶢ - 200ᶢ 324g θP-Q = 124ᶢ

200g

DETERMINACION DEL AZIMUT A TRAVÉS DE ÁNGULOSADYACENTES

La determinación de Azimutes en una poligonal abierta (una ruta de avance deestaciones que están enlazadas), se realiza a través del conocimiento de una

orientación que nos sirva de base para el cálculo, y el ángulo que se formaentre las dos líneas relacionadas siendo este un ángulo adyacente.

De esta manera podemos determinar un azimut a la línea siguiente, a la yaconocida.

θsiguiente = θbase + Hz entre las líneas

AzimutConocido

Ángulo formado por lasAzimut en dirección al dos líneas que se conectan

siguiente punto (debe ser adyacente alAzimut conocido y medido

hacia la derecha)


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θC-B

HzBCD θC-D

θA-B C

A HzABC

θB-C

B DθB-A

Basándonos en nuestro dibujo el procedimiento de cálculo de los azimutes

seguiría los siguientes pasos:

En el punto B

1.- θB-A debe ser un dato conocido, el cual se puede determinar utilizando lafórmula de cálculo del azimut inverso, dado que θA-B también debe estardeterminado.

2.- Utilizando este azimut y el ángulo adyacente a este, HzABC, se determina elθB-C .

En el punto C

3.- θC-B debe ser un dato conocido, el cual se puede determinar utilizando lafórmula de cálculo del azimut inverso, dado que θB-C ya está determinado en elpunto B.


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4.- Utilizando este azimut y el ángulo adyacente a este, HzBCD, se determina elθC-D .

Ejemplo.-

308g

124g

137g

En el punto B

θB-A = θA-B + 200ᶢ (fórmula Azimut Inverso)θB-A = 124ᶢ + 200ᶢ θB-A = 324ᶢ

θB-C = 324ᶢ + 137ᶢ =461ᶢ (fórmula Azimut Siguiente)θB-C = 461ᶢ - 400 = 61ᶢ (vuelta de más)θB-C = 61ᶢ

En el punto C

θC-B = θB-C + 200ᶢ (fórmula Azimut Inverso)θC-B = 61ᶢ + 200ᶢ θC-B = 261ᶢ

θC-D = 261ᶢ + 308ᶢ =569ᶢ (fórmula Azimut Siguiente)θC-D = 569ᶢ - 400 = 61ᶢ (vuelta de más)θC-D = 169ᶢ


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I.- Graficar las siguientes orientaciones topográficas:

a) = 124ᶢ 52ᶜᶜ

S = 124ᶢ 52ᶜᶜ

T

Observación: El azimut se mide desde elNorte a la derecha, por el valor delángulo a definir y el sistema angular en elque se presenta (grados centesimales),se debe considerar su ubicación en el IICuadrante (100ᶢ a 200ᶢ), desde el punto Sal punto T.

b) = N- 24,0025°-E

B = N- 24,0025°-E

A

Observación: El rumbo se mide desde elNorte o el Sur a la derecha o izquierda,por la orientación definida (N-E) se indicaque este ángulo se está generando desdeel Norte hacia la derecha (Este) en gradossexagesimales, es decir en el I Cuadrante(0° a 90°), desde el punto A al punto B.

c) = 91,1204 ᶢ

D = 91,1204 ᶢ

C

Observación: El azimut se mide desde elNorte a la derecha, por el valor delángulo a definir y el sistema angular en elque se presenta (grados centesimales),se debe considerar su ubicación en el IICuadrante (100ᶢ a 200ᶢ), desde el punto Sal punto T.


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d) = N- 75ᶢ 4ᶜ 10ᶜᶜ – W = N- 75ᶢ 4ᶜ 10ᶜᶜ – W

P

O

Observación: El rumbo se mide desde el

Norte o el Sur a la derecha o izquierda,por la orientación definida (N-W) seindica que este ángulo se está generandodesde el Norte hacia la izquierda (Oeste)en grados centesimales, es decir en el IVCuadrante (300ᶢ a 400ᶢ), desde el puntoO al punto P.

e) = 198° 15’ 20”

U

V = 198° 15’ 20”

Observación: El azimut se mide desde elNorte a la derecha, por el valor delángulo a definir y el sistema angular en elque se presenta (grados sexagesimales),se debe considerar su ubicación en el IIICuadrante (200ᶢ a 300ᶢ), desde el puntoU al punto V.

II.- Determinar el Rumbo o Azimut según la información entregada:

1. = S- 5,4523°-W

β =? III Cuadrante (sexagesimal)

β = 180° + 5,4523°

= 185,4523°

5,4523°


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2. = 158,4113ᶢ

II Cuadrante (centesimal) α = 200ᶢ - 158,4113ᶢ

158,4113ᶢ = S- 41,5887ᶢ -Eα =?

3. = N- 34ᶢ71ᶜ24ᶜᶜ - E

34ᶢ71ᶜ24ᶜᶜ β =?

I Cuadrante (centesimal) β = 34ᶢ71ᶜ24ᶜᶜ = 34ᶢ71ᶜ24ᶜᶜ

4. = 292° 45’ 10”

α =? IV Cuadrante (sexagesimal) α = 360° - 292° 45’ 10”

292° 45’ 10” = N- 67°14’50”- W

5. = 376ᶢ25ᶜ3ᶜᶜ

IV Cuadrante (centesimal) α =? α = 400ᶢ - 376ᶢ25ᶜ3ᶜᶜ 376ᶢ25ᶜ3ᶜᶜ

= N- 23ᶢ74ᶜ97ᶜᶜ-E


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III.- Complete la siguiente tabla con los datos faltantes, sabiendo que la primera columnaindica la orientación directa (rumbo o azimut); la segunda, la transformación de esta derumbo a azimut y viceversa, según corresponda; y la tercera la orientación inversa de la

primera, rumbo inverso o azimut inverso.

PTO PTO ORIENTACIÓN DIRECTATRANSFORMACIÓN DE

ORIENTACIÓNORIENTACIÓN

INVERSA

B A 347,7464°

S T 182ᶢ 56ᶜ 56.8ᶜᶜ

V U 66° 13”

H I S - 8,4622ᶢ - W

F E 384,5123ᶢ

1. = 347,7464° (Azimut Directo)

Transformación de Orientación (De Azimut Rumbo)

α =? α = 360° - 347,7464°

347,7464° = N -12,2536°- W

Orientación Inversa (Azimut Inverso)


Si θDirecto > 180⁰ θInv = θDir - 180⁰347,7464°> 180⁰ θAB = 347,7464° - 180⁰

θAB = 167,7464°


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2. = 182ᶢ 56ᶜ 56.8ᶜᶜ (Azimut Transformado)

Transformación de Orientación (De azimut a Rumbo)

182ᶢ 56ᶜ 56.8ᶜᶜ α = 200ᶢ - 182ᶢ 56ᶜ 56.8ᶜᶜ

= S –17ᶢ 43ᶜ 43.2ᶜᶜ-E α =?

Orientación Inversa (Rumbo Inverso)

= S –17ᶢ 43ᶜ 43.2ᶜᶜ-E

= N –17ᶢ 43ᶜ 43.2ᶜᶜ-W

3. = 66° 13” (Azimut Inverso)

Orientación Inversa (Azimut Directo)


Si θDirecto < 180⁰ θInv = θDir + 180⁰ 66° 13” < 180⁰ θVU = 66° 13” + 180⁰

θVU = 246° 13”

Transformación de Orientación (De Azimut a Rumbo)

β =246° 13” α = 246° 13” - 180°

= S - 66° 13” - Wα =?


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4. = S - 8,4622ᶢ - W (Rumbo Directo)

Transformación de Orientación (De Rumbo a Azimut)

β =? β = 200ᶢ + 8,4622ᶢ

= 208,4622ᶢ

8,4622ᶢ

Orientación Inversa (Rumbo Inverso)

= S - 8,4622ᶢ - W

= N - 8,4622ᶢ - E

5. = 384,5123ᶢ (Azimut Inverso)

Orientación Inversa (Azimut Directo)

θInverso = θDirecto ± 200ᶢ

Si θDirecto > 200ᶢ θInv = θDir - 200ᶢ 384.5123ᶢ > 200ᶢ θEF = 384,5123ᶢ - 200ᶢ

θEF = 184,5123ᶢ

Transformación de Orientación (De Azimut a Rumbo)

184,5123ᶢ α = 200ᶢ - 184.5123ᶢ

= S –15, 4877ᶢ - Eα =?


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Tabla Completa

PTO PTO ORIENTACIÓN DIRECTATRANSFORMACIÓN DE

ORIENTACIÓN

ORIENTACIÓN INVERSA

B A 347,7464° N - 12,2536° - W 167,7464°

S T S – 17ᶢ 43ᶜ 43.2ᶜᶜ- E 182ᶢ 56ᶜ 56.8ᶜᶜ N – 17ᶢ 43ᶜ 43.2ᶜᶜ- W

V U 246° 13" S - 66° 13” - W 66° 13”

H I S - 8,4622ᶢ - W 208,4622ᶢ N - 8,4622ᶢ - E

F E 184.5123ᶢ S – 15, 4877ᶢ - E 384,5123ᶢ

IV.- Determine el azimut en avance de cada línea del dibujo, acorde a los datosentregados:

1. = 74,5512ᶢ ; Se debe determinar: , .

Punto B ( =? )

θsiguiente = θbase + Hz entre líneas

θBC = θBA + HzABCHzABC = 400ᶢ - 102,4015ᶢHzABC = 297,5985ᶢ (ángulo a la derecha)

θBA = θAB + 200ᶢ (Azimut Inverso)θBA = 74,5512ᶢ + 200ᶢ θBA = 274,5512ᶢ

θBC = 274,5512ᶢ + 297,5985ᶢ (Azimut Siguiente)θBC = 572,1497ᶢ - 400ᶢ (vuelta de más)θBC = 172,1497ᶢ


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Punto C ( =? )


θCD = θCB + HzBCDHzBCD = 161,2948ᶢ

(ángulo a la derecha)

θCB = θBC + 200ᶢ (Azimut Inverso)θCB = 172,1497ᶢ+ 200ᶢ θCB = 372,1497ᶢ

θBC = 372,1497ᶢ+ 161,2948ᶢ (Azimut Siguiente)θBC = 533,4445ᶢ - 400ᶢ (vuelta de más)θBC = 133,4445ᶢ

2. = 344,5926º ; Se debe determinar: , , .

241,0041º 264,5245º

104,2312º

Punto C ( =? )


θCD = θCB + HzBCDHzBCD = 104,2312°

(ángulo a la derecha)θCB = 344,5926°

θCD = 344,5926° + 104,2312° (Azimut Siguiente)θCD = 448,8238° - 360° (vuelta de más)θCD = 88,8238°


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Punto D ( =? )


θDE = θDC + HzCDE

HzCDE = 264,5245°(ángulo a la derecha)

θDC = θCD + 180° (Azimut Inverso)θDC = 88,8238° + 180°θDC = 268,8238°

θDE = 268,8238° + 264,5245° (Azimut Siguiente)θDE = 533,3483° - 360° (vuelta de más)θDE = 173,3483°

Punto B ( =? )

θBC = θCB - 180° (Azimut Inverso)θBC = 344,5926° - 180°

θBC = 164,5926°

Punto B ( =? )


θBA = θBC + HzCBA

HzCBA = 360° - 241,0041°HzCBA = 118,9959°(ángulo a la derecha)

θBC = 164,5926°

θBA = 164,5926° + 118,9959° (Azimut Siguiente)θBA = 283,5885°


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Azimut de Avance

θAB = θBA - 180° (Azimut Inverso)

θAB = 283,5885° - 180°θAB = 103,5885°



a) = S- 45,2176°-Eb) = 178ᶢ41ᶜ13ᶜᶜ

c) = N- 86,7124ᶢ - Wd) = 281° 45’ 10”

e) = 346,2503ᶢ

f) = N- 75,3461°-Wg) = 124,5694ᶢ

h) = S- 15,3694ᶢ - Wi) = 345° 13’ 26”

j) = 16ᶢ45ᶜ67ᶜᶜ


a) = S- 5,4523°-Eb) = 278,4113ᶢ


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c) = N- 34,7124ᶢ - Wd) = 323° 45’ 10”

e) = 76ᶢ25ᶜ03ᶜᶜ

f) = S-22,0045°-Wg) = 158,4015ᶢ

h) = N- 44° 12” - Ei) = 180° 25’ 6”

j) = 198 ᶢ 21ᶜ 2ᶜᶜ

III.- Complete la siguiente tabla con los datos faltantes.

PTO PTOORIENTACIÓN DIRECTA TRANSFORMACIÓN DE

ORIENTACIÓNORIENTACIÓN INVERSA

A B 281° 45’ 10”

M L 324ᶢ 95ᶜ 90ᶜᶜ

Q P 24.0025°

T S 91,1204 ᶢ

V W 298° 15’ 20”

Q P 24.0025°

O P N – 1,4438ᶢ - E

E F 158,4015ᶢ

Z X N - 59ᶢ 42ᶜᶜ - E

R S S - 57° 3' 15" - W


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IV.- Determine el azimut en avance de cada línea del dibujo, acorde alos datos entregados:

1. = 261 ᶢ 20ᶜ 2ᶜᶜ

2. = 391 ᶢ 43ᶜ 21ᶜᶜ

3. = 238,38º


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4. = S- 47, 7818° - W

- Ángulo en A: 47, 7818°

- Ángulo en B: 273,6834°- Ángulo en C: 106,3925°- Ángulo en MAYOR en D:

317,9774°- Ángulo en MENOR en D:

23,0823°- Ángulo en E: 97,5806°- Ángulo en G: 338,2986g- Ángulo en H: 81,0668g- Ángulo en I: 106,1337g

5. −= N- 47, 7818ᶢ - E


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AZIMUTES, DISTANCIAS Y COORDENADAS

Para poder representar la superficie terrestre, la topografía requiere de recopilar información

desde terreno a través de instrumentos cuya función más simple es realizar mediciones dedistancias y ángulos.

Esta información se procesa de manera de poder dar Coordenadas a los puntos de interésutilizando la metodología de gráfica del plano cartesiano (usado en Matemáticas), para distribuirpuntos en el plano y de esta manera georreferenciar información desde terreno al plano, o mejordicho referenciar geográficamente estos puntos.

Al igual que en el plano cartesiano se trabaja con ejes X e Y, pero en el plano topográficohablaremos de ejes Norte y Este, pudiendo posicionar nuestro punto a través de un “par ordenado

de coordenadas” que nos indicarán la distancia del punto desde el origen en dirección de estosejes.

Estas coordenadas no solo entrega información de su ubicación, también permite relacionar unpunto con otro tanto en distancias horizontales como en direcciones de rumbos y azimut,pudiendo generar el proceso de “ida y vuelta”, es decir calcular DH y Azimut a través de

Coordenadas o viceversa.

Estos procesos son la base de la planimetría y nos permiten trabajar la superficie terrestre como unsuperficie plana, recordando siempre que este el fundamento de la Topografía propiamente tal.

1) DETERMINACIÓN DE AZIMUT A TRAVÉS DE COORDENADAS

Conociendo el posicionamiento de los puntos O y P, a través de coordenadas planas, se puededeterminar la dirección directa o inversa (Azimut) de la línea formada por ambos puntos,basándose en la aplicación de trigonometría y la definición de la tangente.

Puntos O (No ,Eo) donde No : Coordenada Norte del punto O

(posición del punto O sobre el eje Norte)Eo : Coordenada Norte del punto O(posición del punto O sobre el eje Este)

Puntos P (Np ,Ep) donde No : Coordenada Norte del punto P(posición del punto P sobre el eje Norte)Eo : Coordenada Norte del punto P(posición del punto P sobre el eje Este)


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ΔE

ΔN

α

Se define:

Tg (α) = cateto opuesto

cateto adyacente

Tg (α) = ΔE ΔN

αRBO = tg -1 ΔE ΔN

Donde ΔN : diferencia en coordenadas Norte ΔN : Np - No

ΔE : diferencia en coordenadas Este ΔE : Ep - Eo

αRbo : ángulo de Rumbo

Observaciones:

1.- Los valores de ΔN y ΔE, se introducen en valor absoluto (siempre positivos) en la fórmulapara determinar el valor del ángulo, de esta manera el valor que se obtiene como resultadoserá reducido al primer cuadrante.

2.- El valor de αRbo se puede obtener en los tres sistemas angulares de medición queconocemos, grados sexagesimales, grados centesimales y radianes. Para el cálculo encalculadoras científicas se debe determinar el “modo” de uso de esta: DEG, para obtener el

valor angular en grados SEXAGESIMALES, RAD, para obtener el valor angular en radianes y enGRA, para obtener el valor angular en grados CENTESIMALES.

3.- Para determinar el cuadrante real al que pertenece el valor de αRbo se debe analizar elsigno de la diferencia en los siguientes términos:

ΔN : Np - No Si ΔN > 0 (POSITIVO) la orientación real es NORTE.Si ΔN < 0 (NEGATIVO) la orientación real es SUR.


48/81

ΔE : Ep - Eo Si ΔE > 0 (POSITIVO) la orientación real es ESTE.Si ΔE < 0 (NEGATIVO) la orientación real es OESTE.

4.- La dirección de esta orientación va desde el punto inicial al punto final determinándoseesta dirección en términos técnicos como el punto de instalación (en donde se ubica el sistemade referencia- punto inicial) y punto de visado (hacia donde se dirige- punto final).

5.- Las diferencias de Norte y Este, se determinan desde el punto de visación y el punto deinstalación, respetando siempre este orden, es decir si:

Se requiere definir αRbo AB,

punto visado ,B se define como el punto visado

punto instalado , A se define como el punto de instalación

De esta manera se define las diferencias de Norte y Este como:

ΔN : Nvisado – NinstaladoΔE : Evisado – Einstalado

Ejemplo.-

Dadas las coordenadas de los puntos A y B determine el AB

Punto CoordenadasNorte Este

A 2551,361 1385,614

B 2036,192 1115,701

ΔN ΔE

Visado (B) 2036,192 1115,701- Instalado (A) 2551,361 1385,614

- 515,169 -269,913

S W


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RboAB = S – 30.72347591g – W (III Cuadrante)

AB = 200 + 30.72347591g

AB = 230.72347591g

2) DETERMINACIÓN DE DISTANCIA HORIZONTAL A TRAVÉS DECOORDENADAS

Conociendo el posicionamiento de los puntos O y P, a través de coordenadas planas, se puededeterminar la DH (Distancia horizontal, plana) de la línea formada por ambos puntos,

basándose en la propiedad de triángulos rectángulos y la aplicación del teorema de Pitágoras.

Punto O (No ,Eo) donde No : Coordenada Norte del punto O(posición del punto O sobre el eje Norte)Eo : Coordenada Norte del punto O(posición del punto O sobre el eje Este)

Puntos P (Np ,Ep) donde No : Coordenada Norte del punto P(posición del punto P sobre el eje Norte)Eo : Coordenada Norte del punto P

(posición del punto P sobre el eje Este)

ΔE

ΔN

Se define:

= ∆ + ∆ = ( ) + ( )

= ( ) + ( )


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Ejemplo.-

Dadas las coordenadas de los puntos A y B determine el DHAB

Punto Coordenadas

Norte EsteA 2551,361 1385,614

B 2036,192 1115,701

= ( ) + ( )

= √ 1115,701 1385,614 + 2036,1922551,361 DHAB = 581,594 mts.

3) DETERMINACIÓN DE COORDENADAS DE UN PUNTO ATRAVÉS DE DH Y AZIMUT

Conociendo el posicionamiento de un punto, coordenadas Norte – Este iniciales, se puededeterminar el posicionamiento de un segundo (o varios puntos, ya sea el caso), obteniendo elazimut y DH de la línea formada por ambos puntos, basándose en la aplicación detrigonometría y la definición del Coseno y Seno de un ángulo.

Coordenadas Parciales

Siendo O un punto de Coordenadas Conocidas y P un punto de coordenadas pordeterminar, se tiene que:

ΔE

ΔN DH

θ

Se define:

Cos (θ) = cateto adyacenteHipotenusa

Cos (θ) = ΔN

=>ΔN= DH*Cos (

θ)DH

Sen (θ) = cateto opuestoHipotenusa

Sen (θ) = ΔE => ΔE= DH*Sen (θ)DH


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En donde ΔN y ΔE se conocen en lenguaje técnico como CPN y CPE respectivamente, esdecir Coordenada Parcial Norte y Coordenada Parcial Este.

En resumen las Coordenadas Parciales (Norte y Este) se definen como la distancia“parcial” existente entre un punto y otro, referida al eje Norte y al eje Este. Quedando sudeterminación a cargo de las fórmulas:

CPN= DH*Cos (θ) CPE= DH*Sen (θ)

Coordenada Parcial Coordenada ParcialNorte Este

Observaciones:

1.- Los valores de CPN y CPE, se presentan positivos o negativos dependiendodirectamente del cuadrante en donde se ubique el punto a determinar coordenadas,respecto al punto de coordenadas conocidas.

IV Cuadrante I CuadranteCPN ( + ) CPN ( + )

CPE ( - ) CPE ( + )

Punto CoordenadasConocidas

III Cuadrante II Cuadrante

CPN ( - ) CPN ( - )CPE ( - ) CPE ( + )

2.- Dado que las coordenadas parciales consideran valores lineales y angulares al serdeterminadas se debe tomar en cuenta las unidades en las cuales se presentan estosvalores. En general, las coordenadas se trabajan en metros, convirtiéndose esta unidad enla unidad de trabajo para los cálculos requeridos. Respecto a las unidades angulares, estasdeben ser trabajadas acorde al sistema angular en las que se presentan y, obviamente,utilizar la calculadora en el modo apropiado.


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3.- Es importante recordar que el punto de coordenadas conocidas y el punto a coordenar,deben relacionarse directamente a través de las DH y el Azimut, siguiendo siempre ladirección de entrega de coordenadas, es decir si A es el punto conocido y B el punto decoordenadas a determinar la DH y el Azimut deben estar definidos de A a B.

Coordenadas Totales

Siendo O un punto de Coordenadas Conocidas y P un punto de coordenadas pordeterminar, se tiene que:

CPE

CPN

Se define:

CTNP = CTNO + CPN OPCoordenadas Totales Norte

CTEP = CTEO + CPE OPCoordenadas Totales Este

En donde CTN y CTE se conocen en lenguaje técnico como Coordenadas Totales Norte yCoordenadas Totales Este respectivamente y se definen como la distancia existente de unpunto desde el origen en dirección del eje Norte y del eje Este.

En el uso común, en topografía solo se hace referencia a Coordenadas y mayormente nose diferencian de las parciales salvo el caso de planillas de determinación de coordenadas,que en general no son de uso común en la entrega de información.

Cabe estacar que si bien la fórmula considera una suma, al ser aplicada se debe tomar encuenta el signo de la CP.

Ejemplos.-

1. Dadas las coordenadas del punto A, se requiere coordenar B, conociendoAB = 215,3245g y DHAB = 250 mts.


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Punto Coordenadas

Norte EsteA 2551,361 1385,614

Determinación Coordenadas Norte

CPNAB= DH*Cos (θ)

CPNAB = 250* Cos 215,3245g

CPNAB = -242,792

CTNB = CTNA + CPNAB

CTNB = 2551,361 – 242,792

CTNB = 2308,569

Determinación Coordenadas Este

CPEAB = DH*Sen (θ)

CPEAB = 250* Sen 215,3245g

CPEAB = -59,600

CTEB = CTEA + CPEAB

CTEB = 1385,614 – 59,600

CTEB = 1326,014

Observación: se puede conocer cuáles serán los signos de las CP, dado que el

azimut pertenece al III Cuadrante, es decir el punto a coordenar se encuentra endirección S- W del punto conocido, por lo tanto las coordenadas Norte y Estedisminuyen.


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1.-Dadas las coordenadas de los puntos A, B, C, y D determine la orientación o distanciahorizontal solicitada.

VÉRTICE COORDENADASNORTE ESTE

A 5200 6120B 1258,310 2210,442C 4195 2430D 2833,145 3140,550

a) AB =

ΔN ΔE Visado (B) 1258,310 2210,442

- Instalado (A) 5200,000 6120,000

-3941,690 -3909,558

S W

αRBO = 44,76551273°

RboAB = S – 44,76551273° – W

(III Cuadrante)

AB = 180 + 44,76551273°

AB = 224,7655°

αRBO = 49,73945859g

RboAB = S – 49,73945859g – W

(III Cuadrante)

AB = 200 + 49,73945859g

AB = 249,7395g


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b) RboCB =

ΔN ΔE Visado (B) 1258,310 2210,442

- Instalado (C) 4195,000 2430,000

-2936,690 - 219,558

S W

αRBO = 4,275693513°

RboCB = S – 4,275693513° – W

αRBO = 4,75077057g

RboCB = S – 4,75077057g – W

c) DHDC = 1536,076

DH2 = (ED – EC) 2 + ( ND – NC ) 2 DH2 = (3140,550 - 2430 ) 2 + (2833,145 - 4195) 2 DHDC = 1536,076 mts.

d) BA =

BA = inverso AB = AB – 2 áng. rectos

BA =224,7655° - 180° =44,7655°

BA =249,7395g - 200g =49,7395g

2.-Dadas las coordenadas de los puntos A, B, C, y D determine la orientación o distanciahorizontal solicitada en las unidades de medición indicadas.


A 3645,112 2340,372B 1546,441 2864,733C 2869,172 4564,796D 1349,703 1876,842


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a) AC = (en grados centesimales)

ΔN ΔE Visado (C) 2869,172 4564,796

- Instalado (A) 3645,112 2340,372

-775,940 +2224,424

S E

αRBO = 78,63314401g

RboAC = S – 78,63314401g – E

(II Cuadrante)

AC = 200 - 78,63314401g

AC = 121,3669g

b) RboBA = (en grados sexagesimales)

ΔN ΔE Visado (A) 3645,112 2340,372

- Instalado (B) 1546,441 2864,733

+2098,671 - 524,361

N W

αRBO = 14,02836124°

RboBA = N – 14,02836124° – W

c)

DHAD

= (en Kms.)

DH2 = (ED – EA) 2 + ( ND – NA ) 2 DH2 = ( 1876,842-2340,372 ) 2 + (1349,703-3645,112) 2 DHAD = 2341,743 mts.DHAD = 2,342 Kms.


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58/81

αRBO = 96,2724319g

RboED = S – 96,2724319g – W

(III Cuadrante)

ED = 200 + 96,2724319g

ED = 296,2724g

( =? )


θEF = θED + HzDEF

HzDEF = 400 g -148,1208 g HzDEF = 251,8792g (ángulo a la derecha)

θED = 296,2724g

θEF = 296,2724g + 251,8792 g (Azimut Siguiente)θEF = 548,1516 g (vuelta de más)θEF = 148,1516 g

Punto D ( =? )

θDE = θED - 200ᶢ (Azimut Inverso)

θDE = 296,2724g - 200ᶢ θDE = 96,2724g

( =? )


θDC = θDE + HzCDE

HzDEF = 400 g -308,0050 g

HzDEF = 91,9950 g


θED = 96,2724g

θDC = 96,2724g + 91,9950 g (Azimut Siguiente)θDC = 188,2674 g


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θCD = θDC + 200ᶢ (Azimut Inverso)θCD = 188,2674 g + 200ᶢ θCD = 388,2674 g

Punto C ( =? )


θCB = θCD + HzDCB

HzDCB = 90,2513 g (ángulo a la derecha)

θCD = 388,2674 g

θCB = 388,2674 g + 90,2513 g (Azimut Siguiente)θCB = 478,5187 g (vuelta de más)θCB = 78,5187 g

θBC = θCB + 200ᶢ (Azimut Inverso)θBC = 78,5187 g + 200ᶢ θBC = 278,5187g

Punto B ( =? )


θBA = θBC + HzCBA

HzDEF = 400 g -119,9210 g HzCBA = 280,0790 g


θBC = 278,5187g

θBA = 278,5187g + 280,0790 g (Azimut Siguiente)θBA = 558,5977 g (vuelta de más)θBA = 158,5977 g


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θAB = θBA + 200ᶢ (Azimut Inverso)θAB = 158,5977 g + 200ᶢ θAB = 358,5977 g

4.-La siguiente imagen muestra 4 puntos topográficos ubicados ensector sur de la ciudad, se solicita poder encontrar estos puntos paralocalización de futuras faenas mineras.

a) Determinar la ruta de visita a través de azimut desde Regimientohasta Cerro La Cruz, pasando por los dos puntos restantes.

b) Determine la distancia total de la ruta a visitar.

Regimiento – Ana María

ΔN ΔE Visado (Ana María) 7894,84 5429,83

- Instalado (Regimiento) 8915,21 5054,52

-1020,37 + 375,31

S E


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αRBO = 22,43823128g

Rbo = S – 22,43823128g – EDHREG-ANA = 1115,408 mts.

(II Cuadrante)

REG-ANA = 200 - 22,43823128g

REG-ANA = 177,5618g

Ana María – El Trono

ΔN ΔE Visado (El Trono) 7851,72 6507,63

- Instalado (Ana María) 7894,84 5429,83

- 43,12 +1077,80

S E

αRBO = 93,45440595g

Rbo = S – 93,45440595g – EDHANA-TRONO = 1078,662 mts.

(II Cuadrante)

ANA- TRONO = 200 - 93,45440595g

ANA-TRONO = 102,5456g

El Trono – La Cruz

ΔN ΔE Visado (La Cruz) 8971,00 6597,14

- Instalado (El Trono) 7851,72 6507,63

+1119,28 + 89,51

S E

αRBO = 5,080303613g

Rbo = N – 5,080303613g – EDHREG-ANA = 1122,853 mts.

(I Cuadrante)

REG-ANA = 5,0803g

a) Ruta de Visita

REG-ANA = 177,5618g

ANA-TRONO = 102,5456g Ruta: Regimiento- Ana María- El Trono – La Cruz

REG-ANA = 5,0803g


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b) DHtotal = 1115,408 + 1078,662 + 1122,853DHtotal = 3316,923 mts.


1.-Dadas las coordenadas de los puntos A, B, C, y D determine laorientación o distancia horizontal solicitada.


A 3142,177 1245,952

B 2455,116 1874,584C 1447,642 2715,421D 2947,685 3451,654

a) =

b) =c) =d) =e) =

f) =

g) =h) =i) =

j) =

2.-Dadas las coordenadas de los puntos A, B, C, y D determine laorientación o distancia horizontal solicitada en las unidades indicadas.


A 1336,142 1842,663B 2436,746 2452,678C 1862,475 3452.412D 2645,995 1246,764


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a) = en (º,’,”) b) = en cms.c) = en (g,c,cc)d)

= en (º,’,”)

e) = en (º)f) = en mts.g) = en (g)h) = en kms.i) = en (º) j) = en (g,c,cc)

3.- Dados los datos siguientes determine los azimutes de avance de laruta representada en el dibujo:

a) VÉRTICE COORDENADAS

NORTE ESTEC 2869,172 2564,796D 2604,703 1876,842

a) =b) =c) =

d) =e) =f) =


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b) V RTICE COORDENADAS

NORTE ESTED 2869,172 2564,796

G 2604,703 2376,842

- Ángulo en A: 47, 7818°- Ángulo en B: 273,6834°- Ángulo en C: 106,3925°

- Ángulo en MAYOR en D: 317,9774°- Ángulo en MENOR en D: 23,0823°- Ángulo en E: 97,5806°- Ángulo en G: 348,2986g- Ángulo en H: 81,0668g- Ángulo en I: 106,1337g

a) =b)

=

c) =d) =e) =

f) =g)

=

h) =i) =


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c) VÉRTICE COORDENADAS

NORTE ESTEB 2642,845 3145,417C 2155,145 3567,842

a) =b) =c) =d) =e) =f) =g) =

4.- Considerando los puntos de interés que se encuentran en la imagen.Determine:

a) Dirección de Ruta: Colegio – Paradero – Bancab) Hz de Ruta: Monolito- Banca – Paraderoc) Dirección de Ruta: Monolito – Paradero - Colegiod) DH paradero – banca –monolito


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RESPUESTAS EJERCICIOS PROPUESTOS

11) 221546,326 (mm) en (km) = 0,21546326 km

12) 41521 (cm) en (m) = 415,21 m

13) 325,1574ᶢ en (°,’, “)= 292° 38’ 29.9“

14) 168ᶢ

6ᶜ

1ᶜᶜ

en rad = 2,640 rad 15) 103° 33’ 27“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) = 115ᶢ 6ᶜ 38.89ᶜᶜ

16) 198,0300° en rad = 3,4563 rad

17) 1563,46 (cm) en (mm) =15634,6 mm

18) 6,2832 rad en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) = 0ᶢ 9.35ᶜᶜ

19) 165,1574ᶢ en (°,’, “) = 148º 38’ 29.98”

20) 198,0300° en rad =3.4563 rad

21) 0,41245 (km) en (m) = 412,45 m

22) 245° 24’ 7“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) =272ᶢ 66ᶜ 88.27ᶜᶜ

23) 326,256 (m) en (cm) = 32625,6 cm

24) 145,3569ᶢ en (°,’, “)= 130° 49’ 16.3“

25) 0,012 rad en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) = 76ᶜ 39.44ᶜᶜ

26) 436ᶢ 45ᶜ 96ᶜᶜ en rad = 6,8559 rad

27) 245° 45’ 36“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) = 273ᶢ 6ᶜ 66.67ᶜᶜ

28) 345,1456° en rad = 6,0239 rad

29) 165,1574ᶢ en (°,’, “)= 148° 38’ 29.9“


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30) 2,412 rad en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) = 153ᶢ 55ᶜ 26.89ᶜᶜ

31) 368ᶢ 6ᶜ 1ᶜᶜ en rad = 5,7815 rad

32) 52° 3’ 17“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) = 52ᶢ 5ᶜ 47,22ᶜᶜ

33) 303,0008° en rad = 5,2884 rad

34) 145,3569ᶢ en (°,’, “)= 130° 49’ 16.3“

35) 62141 (mm) en (m) = 62,141 m

36) 2,012 rad en (°,’, “)= 115° 16’ 44.7“

37) 52ᶢ 96ᶜᶜ en rad = 0,8170 rad

38) 15,6346 (m) en (mm) = 15634,6 mm

39) 63° 36“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) = 70ᶢ 1ᶜ 11.11ᶜᶜ

40) 241,52004° en rad = 4,2153 rad

41) 206,4423ᶢ en (°,’, “)= 185° 47’ 53“

42) 5,142 rad en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) = 327ᶢ 34ᶜ 98.87ᶜᶜ

43) 283ᶢ 50ᶜ 5ᶜᶜ en rad = 4,4532 rad

44) 341° 31’ 7“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) = 379ᶢ 46ᶜ 51.23ᶜᶜ

45) 236,0420° en rad = 4,1197 rad

46) 233,1574ᶢ en (°,’, “)= 209° 50’ 29.9“

47) 5,412 rad en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) = 344ᶢ 53ᶜ 86.21ᶜᶜ

48) 324ᶢ 8ᶜ 4ᶜᶜ en rad = 5,0906 rad

49) 71° 2’ 41“ en (ᶢ, ᶜ , ᶜᶜ) = 78ᶢ 93ᶜ 85.8ᶜᶜ

50) 218,0002° en rad = 3,8048 rad


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a) = S- 45,2176°-E

A

45,2176°

B

b) = 178ᶢ41ᶜ13ᶜᶜ

178ᶢ41ᶜ13ᶜᶜ

C

D

c) = N- 86,7124ᶢ - W86,7124ᶢ

P

O


70/81

d) = 281° 45’ 10”

281° 45’ 10” u

v

e) = 346,2503ᶢ

t346,2503ᶢ

s

f) = N- 75,3461°-W

B

75,3461°

A

g)

= 124,5694ᶢ

124,5694ᶢ c

d


71/81

h) = S- 15,3694ᶢ - W

o

p

15,3694ᶢ

i)

= 345° 13’ 26”

v

u

345° 13’ 26”

j)

= 16ᶢ45ᶜ67ᶜᶜ

t

16ᶢ45ᶜ67ᶜᶜ

s


a) = 174,5477°

b) = S- 78ᶢ41ᶜ13ᶜᶜ - Wc) = 365,2876ᶢ


72/81

d) = N- 323° 45’ 10” - We) = N- 76,2503ᶢ - Ef) = 202,0045°

g) = S- 41,5985ᶢ - Eh) = 44° 12”

i) = S- 25’ 6” - W j) = S- 1ᶢ 78ᶜ 98ᶜᶜ - W

III.- Complete la siguiente tabla con los datos faltantes.

PTO PTOORIENTACIÓN DIRECTA TRANSFORMACIÓN DE

ORIENTACIÓNORIENTACIÓN INVERSA

A B 101° 45’ 10” 78° 14’ 50” 281° 45’ 10”

M L 324ᶢ 95ᶜ 90ᶜᶜ 75ᶢ 4ᶜ 10ᶜᶜ 124ᶢ 95ᶜ 90ᶜᶜ

T S N- 91,1204 ᶢ - E 91,1204 ᶢ S- 91,1204 ᶢ - W

V W 298° 15’ 20” 61° 44’ 40” 118° 15’ 20”

Q P 204.0025° S- 24.0025° -W 24.0025°

G H N- 75ᶢ 99ᶜ 48ᶜᶜ-W 324ᶢ 52ᶜᶜ S- 75ᶢ 99ᶜ 48ᶜᶜ-E

Z X 59ᶢ 42ᶜᶜ N - 59ᶢ 42ᶜᶜ - E 259ᶢ 42ᶜᶜ

R S S - 57° 3' 15" - W 237° 3' 15" N - 57° 3' 15" - E

O P S – 1,4438ᶢ - W 201, 4438ᶢ N – 1,4438ᶢ - E

E F 158,4015ᶢ S – 41,5985ᶢ - E 358,4015ᶢ


73/81

IV.- Determine el azimut en avance de cada línea del dibujo, acorde alos datos entregados:

1. = 261 ᶢ 20ᶜ 2ᶜᶜ

= 101.7957ᶢ = 133,0417ᶢ

= 61,2002ᶢ = 138,2166ᶢ

2. = 391 ᶢ 43ᶜ 21ᶜᶜ

= 361,7624ᶢ

= 281,6834ᶢ

= 391,4321ᶢ

= 99,4371ᶢ

= 151,3163ᶢ


74/81

3. = 238,38º

= 238,38º

= 143,85º

= 252,57º

= 36,41º

= 299,46º

= 212,30º

4. = S- 47, 7818° - W


75/81

- Ángulo en A: 47, 7818°- Ángulo en B: 273,6834°- Ángulo en C: 106,3925°

- Ángulo en MAYOR en D: 317,9774°- Ángulo en MENOR en D: 23,0823°- Ángulo en E: 97,5806°- Ángulo en G: 338,2986ᶢ - Ángulo en H: 81,0668ᶢ - Ángulo en I: 106,1337ᶢ

LINEA RUMBO AZIMUT

A-B S - 47,7818° - W 227,7818°

B-C S - 45,9016° - E 134,0984°

C-D N - 60,4909° - E 60,4909°D-E S -41,5506° - W 221,5506°

E-F N - 56,0300° - W 303,9700°

D-G S - 20,5203ᶢ - W 220,5203ᶢ

G-H N – 82,2217ᶢ - E 82,2217ᶢ

H-I N – 36,7115ᶢ - W 363,2885ᶢ

I-J S – 69,4222ᶢ - W 269,4222ᶢ

5. −= S- 35,4105ᶢ - W


76/81

= 74,7127,ᶢ

= 161,4813ᶢ

= 303,1858ᶢ

= 24,2241ᶢ

= 276,6255ᶢ

Respuestas

1.-Dadas las coordenadas de los puntos A, B, C, y D determine laorientación o distancia horizontal solicitada.


A 3142,177 1245,952B 2455,116 1874,584C 1447,642 2715,421

D 2947,685 3451,654

a) = 152,8253ᶢ = 137,5437°

b) = N- 44,2759ᶢ – W = N- 39,8483° – W

c) = 1670,978 mts.d) = S- 94,4010ᶢ - E = S- 84,9609° - Ee) = 2242,942 mts.

f) = 280,7275ᶢ = 252,6548°

g) = N- 29,0469ᶢ – E = N- 26,1422° – E

h) = 1670,978 mts.i) = S- 80,7275ᶢ– W = S- 72,6548° – W

j) = 352,8253ᶢ = 317,5428°


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2.-Dadas las coordenadas de los puntos A, B, C, y D determine laorientación o distancia horizontal solicitada en las unidades indicadas.

RTICE ORDENADASORTE STE

A 36,142 42,663B 36,746 52,678C 62,475 52,412D 45,995 46,764

a) = 119º 52’ 26,7” b) = 169361,102 cms.c) = 372g81c95cc d) = N- 80º9’22” - We) = 18,1060ºf) = 1152,933 mts.g) = 20,1178g h) = 2,340 kms.i)

= 279º50’38”

j) = 78g27c3cc

3.- Dados los datos siguientes determine los azimutes de avance de laruta representada en el dibujo:

a) VÉRTICE COORDENADAS

NORTE ESTEC 2869,172 2564,796

D 2604,703 1876,842


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a) = 234,7818 º b) = 140,2518 º c) = 248,9718 º

d) = 32,8118 º e) = 295,8618 º f) = 208,7018 º

b) VÉRTICE COORDENADAS

NORTE ESTED 2869,172 2564,796G 2604,703 2376,842

- Ángulo en A: 47, 7818°- Ángulo en B: 273,6834°- Ángulo en C: 106,3925°- Ángulo en MAYOR en D:

317,9774°- Ángulo en MENOR en D:23,0823°

- Ángulo en E: 97,5806°- Ángulo en G: 348,2986g- Ángulo en H: 81,0668g- Ángulo en I: 106,1337g

a) = 244,7173º b) = 151,0309º c) = 77,4234º d) = 238,4831º e) = 300,9025º f) = 239,3342g g) = 91,0356g h) = 372,1024g i) = 278,2361g


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c) VÉRTICE COORDENADAS

NORTE ESTEB 2642,845 3145,417C 2155,145 3567,842

a) = 267,7895 g b) = 154,5581 g c) = 296,2626 g d) = 17,3009 g

e) = 269,7023 g f) = 134,1515 g g) = 28,4873g

4.- Considerando los puntos de interés que se encuentran en la imagen.Determine:

a) Dirección de Ruta: Colegio – Paradero – Bancab) Dirección de Ruta: Monolito- Banca – Paraderoc) Dirección de Ruta: Monolito – Paradero - Colegiod) DH paradero – banca –monolito


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a) Dirección de Ruta: Colegio – Paradero – Banca

Rutacolegio-paradero-banca

COLEGIO-PARADERO = 260,8402g

PARADERO-BANCA = 217,6157g

b) Hz de Ruta: Monolito- Banca – Paradero

Ruta monolito- banca - paradero

MONOLITO-BANCA = 136,2112g Hz monolito-banca– paradero = 136,2112g -17,6157g

BANCA-PARADERO = 17,6157g Hz monolito-banca – paradero =118,5955 g

c) Dirección de Ruta: Monolito – Paradero - Colegio

Ruta monolito- paradero-colegio

MONOLITO-PARADERO = 303,3467g

PARADERO-COLEGIO = 60,8402g


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d) DH paradero – banca –monolito

Rutaparadero-banca- monolito

DHPARADERO-BANCA = 163,837 mts. DHtotal = DHPARADERO-BANCA+ DHBANCA- MONOLITO

DHBANCA- MONOLITO = 323,769 mts. DHtotal = 487,606 mts.

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