APUNTES Y EJERCICIOS - biblio.iesalonsoquesada.orgbiblio.iesalonsoquesada.org/dibujo/1bachillerato/APUNTES DE DIBUJO... · ser el centro de gravedad del triángulo. ... Figura Geométrica

IIAPUN

TES Y E

JERCIC

IOS

D I B U J O T É C N I C O

4

b´

APUNTES Y EJERCICIOS REALIZADO POR A. CUESTA

Apuntes realizados por Antonio Cuesta

G E O M E T R Í A P L A N AR E P A S O

MEDIATRIZ : Es la recta que divide a un segmentoen dos partes iguales.También sirve para trazar una perpendicular.

.

...r r

A B

C

D

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES ( TEOREMA DE TALES ).

A B

12

34 r

(=)

(=) = PARALELAS

BISECTRiZ : Es la línea que divide al ángulo en dos partes iguales.

....A

B

CV

r

r

PUNTOS Y LÍNEAS NOTABLES:

Son las mediatrices de cada uno de los lados del triángulo.Las tres rectas se cortan en un mismopunto llamado CIRCUNCENTRO (Cc);que resulta ser el centro dela circunferencia circunscrita al triángulo.

Son las bisectrices de cada ángulo del triángulo.Las bisectrices se cortan en un mismopunto llamado INCENTRO (Ic);que resulta ser el centro de la circunferenciainscrita al triángulo.

Son las distancias de cada vértice (A,B,C)al punto medio del lado opuesto.El punto común de las tres medianasse llama BARICENTRO (Bc); que resultaser el centro de gravedad del triángulo.

Son las distancias de cadavértice (A,B,C) lado opuesto.El punto común de las tresalturas se llama ORTOCENTRO (Oc).

MEDIATRICES

A

B C

1/2

1/2

1/2 . ..

.Cc

BISECTRIZ

C

A

B

1/2

1/2

1/2. ...Bc

ALTURAS

C

..

. .Oc.

A

B

MEDIANAS A

B C

.Ic

A B

A B

V

A B A B A B A B

C

Apuntes realizados por Antonio CuestaREPASO: POLÍGONOS REGULARES

INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

SEGÚN EL LADO SEGÚN EL LADO SEGÚN EL LADO

PENTÁGONO

Dado la circunferencia de centro 0.Mediatriz entre 0 y A.Desde P radio PB.Unir B con C y nos da el lado del polígono.Pinchando en B y distancia el lado, se ponelos vértices del polígono hasta completartoda la circunferencia.

B

. A0 .0P

..C

HEXÁGONO

Circunferencia 0 dada.

Desde A arco A0.

Se repite desde B y nos da el punto C, que uniéndose con B,obtenemos el lado del polígono inscrito.

Pinchando en B se va trazando los vértices del polígono.

A

B

C

D E

F

0Unir B con C y es el lado del triángulo buscado.

Unir B,C y D.

Circunferencia 0 dada.

Desde A arco A0 y nos dá B y C.0

B C

D

A.

TRIÁNGULO

Dado el lado del polígono AB.Por A y B arco de radio la distancia AB.Donde corta da C.Unir A,B y C. Polígono buscado.

.

AB

C

. .

0 0 0

Dado el lado del polígono AB.Arco desde A con radio AB.Lo mismo desde B y en la intersección está el centrode la circunferencia C, donde se inscribe el polígono.

0.A B

Dado el lado AB, MediatrizPor B Perpendicular.Desde B radio AB = CCon centro en la mediatriz ydistancia C nos da D.

Desde A arco AD= E. Desde A y arco AD y desd Barco AD. En la intersección delos arcos obtenemos el punto F. Desde A y arco AB da G.

Unir los puntos dados,que serán los vérticesdel polígono a dibujar.

A B

E

F

G.. .

A B

C

D.

1/2.

.EA B

..D

.

..

.A B

.EF

G

.D

B ABA

BA


0

0

R E P A S O

POLÍGONOS: MÉTODO GENERAL

.

.

A

B

C.1

2

3

4

5

6

B

Dada la circunferencia con centro en 0.Se divide el eje vertical AB en tantaspartes iguales segun el númerode lados (este caso lo haremos de, 7).Desde A y B radio el diametro dela circunferencia y nos da C.

Desde C se pasa siempre por el punto 2y donde corte a la circunferencia nos da D.Uniendo los puntos DA obtenemos el ladodel polígono que queremos trazar.

.

A

C... 1

2

3

4

5

6

D.

SEGÚN EL LADO:

Se traza un polígono inscritoen una circunferenciainferior de tamaño al quequeremos dibujar. Siéndo sulado AB. Desde el centro seprolongan rectas que pasanpor los vértices.

En cualquier de los ladosejemplo el AB se colocael lado del polígono quedeseamos.

Se desplaza el lado hastael punto D.

Se va trazando los lados delpolígono paralelos a loslados del polígono inscrito.

0

A B..

A B.. .

C

0

.C

D.A.A

(=

.C

D.A.

CASO GENERAL A PARTIR DE UN INSCRITO (Ej: Pentágono)

C I R C U N F E R E N C I ADEFINICIÓN : Figura Geométrica curva, cerrada y plana que sus puntos equidistan de uno llamado centro.

RELACIONES MÁS NOTABLES

SECANTES

..

TANGENTESEXTERIORES

.TTANGENTESINTERIORES

.T

..

.T

TANGENTE

EXTERIOR

DIAMETRORADIO

ARCO

S E C A N T E

ARCO : Es una porción cualquiera de la circunferencia.

ARCO QUE PASA POR 3 PUNTOS DADOS

Dado los puntos noconsecutivos ABC.

Se une ABC y nos dados segmentos.

Se hallan las mediatricesde los segmentos.

Donde corten nos da 0centro de la circunferenciaque pasa por ABC.

..

A

B

C

. ..

A

B

C

...

A

B

C

. . ..

A

B

C0.

ARCO CAPAZ : Es el lugar geométrico de los vértices de un ángulocuyos lados pasan por dos puntos fijos.

Dado el segmento AB y elángulo que queremosaplicar.Mediatriz AB, se coloca elángulo en A.Desde A perpendicular ydonde corte a la mediatriz,

Desde 0 y radio que pasepor A ó B.

Cualquier vértice quetomemos en lacircunferencias y sus cuerdaspasen por AB, el ángulo dadoserá igual al establecido.

Si el vértice parte del centroel ángulo será el doble. (0)Si el vértice parte del círculo el ángulo será mayor. (2)Si el vértice parte del exteriorde la circunferencia el ánguloserá menor. (3)

60º

+30º

2

0.A B

3

-30º

..A B

30º

1

...

.0A B30º

...

.A B

0

30º

30º

..

BA

B

A C

T A N G E N C I A SDEFINICIÓN : Es el punto común entre una recta y una circunferenciao entre dos circunferencias.

TANGENCIA ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIACONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA

.0

T..

0

T.

0

T.

0

T.

Dada la circunferencia 0 yun punto T que seráel tangente de la recta.

Unir 0 con T. La recta perpendicular es la recta tangente a la circ.en el punto T.

Por T recta perpendicular.

TANGENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS

TANGENCIA INTERIOR

.T .T

TANGENCIA EXTERIOR

A-C = 3,5 cm.

Apuntes realizados por Antonio CuestaR E P A S O D E E N L A C E S

ENLACES DE RECTA CON RECTA

m

s

m

s

m

s.0.

0

T

T

.

.0r

m

..r1 01 m

0.0

r

m

r - r1

m

r1

.0

T

T

. ..01

ENLACE DE RECTA CON CIRCUNFERENCIA

ENLACE DE CIRCUNFERENCIA CON CIRCUNFERENCIA

..0

01

02.T

T

..

..0

01

r r1

..

.0

01

r1- r2

r - r2

02

..

.0

01

02 r2

...

.0 01

02

T

T

...

.0 01

02

r2

...

r + r2

02

01

r1- r2

0..0 01r

r1

ENLACE DE CIRCUNFERENCIAS POR SEGMENTOS

. ..

1

2

3

0. .

.4 .01

02

.5

Apartir del caso de Arco que pasa por 3 puntos fijos.- Dados X número de puntos- Unir por segmentos- Se comienza siempre con los 2 primeros segmentos de la siguiente manera:Se une las mediatrices de 1-2-3 y nos da 01.Se traza la mediatriz del segmento 3-4.Se une 01 con 3 y donde corta con la mediatriz se obtiene 02 y así sucesivamente.

IMPORTANTE:PARA REALIZAR UN ENLACE SIEMPRE SE UTILIZA UNA CIRCUNFERENCIA DADA.PARA HALLAR EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA QUE ENLAZALOS ELEMENTOS ES NECESARIO TENER ENCUENTA:- CUANDO EL ENLACE ES DE RECTAS SIEMPRE SE TRAZA UNA PARALELA A LA DISTANCIA DEL RADIO DE ENLACE.- CUANDO ES UNA CIRCUNFERENCIA:

INTERIOR SE RESTA (-)EXTERIOR SE SUMA (+)

RADIO: 1,5 cm.

m

s

m

RADIO: 2 cm.

0

0

0

RADIO: 1,5 cm.

0

RADIO: 1,5 cm.

0


EJERCICIOS

.

.

..

T T

TT

T T

.

0

00

0

22

62

16

14

T

0

48

..

.

T

T0

0

0

0

140

T

T T

T T

24

20

140

. .


EJERCICIOS

30

.

.

T

0

135

T

TT

.

0

0

30

135

.0 0.

120

12

T0

38

. .T

TT

. .

.

T T

00

0

0

0

0

.

.

70

44

34

48

92

T T


EJERCICIOST

0

40

.

.

T

T0

0

0

0

54

T

TT

12

20

80

.

.

.

76

12

10

T

TT

T

T

T

T

T

TT

T T

014

..

.

. .

.

0

0

0 0

00.

1428

6634

16

A A1

B

B1A1 + B1 = 0

Apuntes realizados por Antonio CuestaR E P A S O D E C U R V A S T É C N I C A S

ÓVALO : Es una curva cerrada y plana, compuesta por cuatros arcos de circunferencia, iguales dos a dos. Tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí.

CONOCIDO EL EJE MAYOR Y MENOR.

Dados los ejes AB y CD, se pone una medidaarbitraria que nos da E y los centros 01 y 02.

Se halla la mediatriz del segmento 01 Ey donde corta obtenemos el centro 03,que con radio 03 A. Trazamos un arcode circunferencia.

Una vez trazado 03 se hace lo mismo enla parte superior del éje menor y nos daráel centro 04 y su arco respectivo.Unimos los centros para determinarlos puntos de tangencia.

Enlazar.

A

B

C D

E

01 02.. . A

B

C D

E

01 02.. .

.03

A

B

C D01 02

..

.03

.04

.

...T T

TT

A

B

D01 02

..

.03

C

.04

.

...T T

TT

A

B

C D

E

01 02

CONOCIDO EL EJE MENOR

Dado el eje menor AB. Se halla la mediatriz y se traza la circunferencia 0.Donde corta la circunferencia con el eje horizontalo mediatriz, obtenemos los puntos C y D.

Se trazan las circunferencias con centros A B .Se une AB con CD, para determinar los puntosde tangencias y los radios de las circunferenciasde centro en C y D.

Enlazar.

A

B

0C D..A

B

A

B

0C D.. T...

.TT T

A

B

0C D.. T...

.TT T

A

B

CONOCIDO EL EJE MAYOR.

Enlazar.Dado el eje mayor AB, se divide en3 partes iguales y da 01 y 02.

Con centros en 01, 02 y conocido los radios quepasan por A y B se trazan las circunferencias,donde se cortan obtenemos los centros 03 y 04.

Una vez obtenido todos los centros queforman el óvalo.Se unen los centros paradeterminar los puntos de tangencias.Se trazan las circunferencias 03 y 04.

A B01 02 A B01 02

. ..

.03

04

A B01 02. .

.

.03

04 TT

T T

. .

..A B01 02

. ..

.03

04 TT

T T

. .

.. A B01 02

Apuntes realizados por Antonio CuestaR E P A S O D E C U R V A S T É C N I C A S

OVOIDE : Es una curva cerrada y plana, compuesta por dos arcos de circunferencia iguales y otros dos desiguales. Tiene un eje de simetría.

CONOCIDO EL EJE MENOR

Dado el eje menor AB.Mediatríz y centro 0.Se prolonga el eje vertical.

Por A y B arcos valorel diámetro.

Donde corta la circunferenciaal éje vertical, punto C.Se une AB con C para determinar las tangencias. Por C circunferencia.

Obtenidos los puntos de tangencias se enlaza.

C.. .

TT

A B0A B0

C.. .

TT

A B0A B0

1

2

3

4

5

A

B

0

A B0

CONOCIDO EL EJE MAYOR

Dado el eje AB. Se divide en 6 partes iguales y en el punto dos seencuentra el centro 0 de radio 2-4.

El radio 2-4 se repite a cada lado y nos da 03 y 04.Unimos los centros con el punto 5 = 01, para determinarlos puntos de tangencias.

Por último enlazar.

.

. .

01

02 03

TT

.. TT0.rr r r

1

2

3

4

5.

. .02 03

.TT

.. TT0.1

2

3

4

5

A

B

r

0.

ESPIRAL : Es una curva plana engendrada por un punto que se desplaza uniformemente a lo largo de una recta a la vez que ésta gira alrededor de uno de sus extremos con velocidad ángular constante. Paso en una espiral, es la distancia longitudinal que se desplaza el punto en una vuelta completa.

Construcción de una espiral de paso N.Se traza un segmento igual a N.Se divide el segmento en un número cualquiera de partes iguales.Haciéndo centro en 0 se trazan circunferencias concéntricas.Se divide las circunferencias y la intersección de los radios conlas circunferencias dan los puntos de la espiral.Sólo queda unir los puntos.

1

2

3

4

5

6

7

8

N. . .

...

.

.

VOLUTA : Es la curva compuesta por arcos de circunferencia, tangentes entre sí, siendolos centros de los arcos los vértices de un polígono ó un segmento dado.

1

23

4

1

23

0 1

Apuntes realizados por Antonio CuestaR E P A S O D E C U R V A S C Ó N I C A S

CIRCUNFERENCIA : Es la figura que resulta decortar un plano perpendicular al eje de un conoy a las dos ramas por debajo o por encima.

ELIPSE : Es la figura que resulta de cortarun plano no perpendicular al eje de un cono ya las dos ramas por debajo o por encima.

HIPÉRBOLA : Es la figura que resulta de cortarun plano a las dos ramas por debajo y por encimadel vértice y al mismo tiempo.Siendo dicho plano paralelo al eje.

PARÁBOLA : Es la figura que resulta de cortarun plano a una de las ramas por debajo opor encima del vértice siendo paralelo a la otra rama.

P

P

P

P

E L I P S E

ELEMENTOS: EJE MAYOR ( A - A´)EJE MENOR ( B -B´ )FOCOS ( F1 - F2 )

Si nos dán el eje mayor (A-A´) y los focos. Hallamos lamediatriz del éje mayor y pinchando en cualquier de losfocos y radio A0, donde corte con la mediatriz determinamosel eje menor (B-B´).

.

.A A´F1 F2

B

B´

0

A0

COMO HALLAR EL EJE MENORSi nos dan los ejes y desconocemos los focos, para hallarlosse pincha en B´ y distancia de radio A0 donde corte al ejemayor obtenemos los focos.

A A´F1 F2

B

B´

0

A0

. .

COMO HALLAR LOS FOCOS

P

..

.

AA´

B

B

AA´

B

B

1

0

... .

2

3

4

.

.

AA´

B

B

.C

D.1

0

CONSTRUCCIÓN POR EJES

CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS FORMULA A APLICAR: A - 1 PINCHANDO EN F1

A´- 1 PINCHANDO EN F2

A A´F1 F2

B

B´

01 2 3.F1

A1

A´1..

1

1

.1 2 3

B

B´

F2A A´

1

2 3

1

2 3

B

B´

4 5 6F1 F2A A´

AA´

B

B´

0

A A´F1 F2

B

B´

0

Apuntes realizados por Antonio CuestaR E P A S O D E C U R V A S C Ó N I C A S

A A´. .F1 F2

Z

X

123 4 5 6

6

5

4

4

5

6

12

3

32

1

AF1 F2A´

Z

X

123

.

.1

1

. .

H I P É R B O L A

P

CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS

P A R Á B O L A

P

.F

0

Eje

Directriz

A

A0 = AF

.A

F

0

Eje

Directriz

hH .. 11

h

.F

A

0

Eje

Directriz

1H

H

H

2

3

1

2

3

h

h

ELEMENTOS: FOCO ( F )PUNTO ( A )Directriz ( D )

FORMULA A APLICAR: A - 1 PINCHANDO EN F1

A´- 1 PINCHANDO EN F2

EJE ( A - A´)VÉRTICES ( B -B´ )FOCOS ( F1 - F2 )XZ ( Asintotas )

ELEMENTOS:

AF1 F2A´

Z

X

. .

.F

0

Eje

Directriz

A

A0 = AF


S I S T E M A D I É D R I C OConsta de dos planos de proyecciones que se cortan perpendicularmente y sobre los que se proyectaráortogonalmente los elementos a representar.Estos dos planos se cortan según una recta que llamamos Líneas de Tierra.Estos planos los llamaremos Horizontal y Vertical de proyección, al cortarse han quedado divididosen dos semiplanos y reciben los siguientes nombres:

SEMIPLANO VERTICAL SUPERIOR

SEMIPLANO VERTICAL INFERIOR

SEMIPLANO HORIZONTAL ANTERIOR

SEMIPLANO HORIZONTAL POSTERIOR

Los planos de proyección dividen el espacio en 4 partes llamados cuadrantes siendo lo visto principalmente en el I cuadrante.

Los planos bisectores llamados I BISECTOR y II BISECTOR, son planos que dividen los Cuadrantes en dos partes iguales.

I BISECTOR : Va del I Cuadrante al III Cuadrante

II BISECTOR : Va del II Cuadrante al IV Cuadrante

V. S.

V. I.H. A.

H. P.

SEMIPLANO VERTICALSUPERIOR

SEMIPLANO HORIZONTALANTERIOR

SEMIPLANO HORIZONTALPOSTERIOR

SEMIPLANO VERTICALINFERIOR

L. T.

V. S.

V. I.

H. A.

H. P.

PRIMER BISECTORSEGUNDO BISECTOR

Teniendo encuenta lo dicho en el primer parrafo, que los elementos se representan ortogonalmente sobre los dos planos de proyección, lo que implica que habra dos visiones diferentes. En una vemos el Plano Vertical y el Plano Horizontal seconfunde con la Linea de Tierra y otra cuando vemos el Plano Horizontal, el Vertical lo vemos confundido con la Linea deTierra. Ahora bién si esas dos visiones las juntamos veremos que los elementos a representar coincíden en su visión.Que será igual que si hacemos abatir uno de los planos sobre el otro, en este caso abatiremos el Horizontal sobreel Vertical, convirtiéndo la visión tridimensional en bidimensional lo cual podemos transcribir por lo que vemos a unasuperficie como el papel.

S.V.S.

S.V.I.

S.H.A.

S.H.P.

III CUADRANTE

I CUADRANTEII CUADRANTE

III CUADRANTEIV CUADRANTE

SEMIPLANO VERTICALSUPERIOR

SEMIPLANO HORIZONTALANTERIOR

SEMIPLANO HORIZONTALPOSTERIOR

SEMIPLANO VERTICALINFERIOR


III CUADRANTE III CUADRANTEIV CUADRANTE

PRIMER BISECTORSEGUNDO BISECTOR

SEGUNDO BISECTORPRIMER BISECTOR


III CUADRANTE III CUADRANTEIV CUADRANTE

S.V.S.

S.V.I.S.H.A.

S.H.P.

L.T.

S.V.S.

S.V.I.

S.V.S.

S.V.I.S.H.A.

S.H.P.

L.T. L.T. L.T.

S.H.P.

S.H.A.

EJERCICIOS:A=B=C=D=E=

A BA=B=

VISTA DE PERFIL

A=B=C=D=E=F=G=H=

A

B

C

D

E

F

G H

::

::

A

B

C

D

E


POSICIÓNES DEL PUNTO

VISTO EL PUNTO DE PERFIL

. .. . . .

. . . . . . . .. . . . .

. . . .. . . . .

. . .1

1´

2

2´

3

3´

4

4´

5

5´

6

6´7 - 7´

8

8´

9

9´

10

10´

11

11´

12

12´

13

13´

14

14´15 - 15´

16

16´

17 - 17´

I CUADRANTE II CUADRANTE III CUADRANTE IV CUADRANTE

..

.

.

......

.. . . .

.1

2

3

45

6

7

8

9

10

11

1213

1415

17

16

.

IV CUADRANTE

I CUADRANTE

III CUADRANTE

II CUADRANTE

IBIIB

PVS

PVI

PHAPHP

REPRESENTACIÓN DEL PUNTO POR COORDENADAS

S.V.S.

S.V.I.

S.H.A.

S.H.P.

0

(+)(-)

(+)

(+)

(-)

(-)

( X , Y , Z )( Distancia, Alejamiento, Altura )

X Y

Z

Y Z

0- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5

+5

+4

+3

+2

+1

-1

-2

-3

-4

.

.

a

a´-5

-4

-3

-2

-1

+1

+2

+3

+4

XX

Y Z

.

REPRESENTACIÓN DEL PUNTOSea el punto A el que deseamos representar para ello procederíamos de la siguiente forma:

- LO PROYECTARÉMOS ORTOGONALMENTE SOBRE LOS DOS PLANOS DE PROYECCIÓN.- A LA PROYECCIÓN VERTICAL LA LLAMARÉMOS ( a´).- A LA PROYECCIÓN HORIZONTAL LA LLAMARÉMOS ( a ) sin prima.- GIRAREMOS EL PLANO HORIZONTAL HASTA QUE QUEDE YUXTAPUESTO AL VERTICAL.

La magnitúd existente desde la proyección Vertical ( a´) esté donde esté a la Linea de Tierra la llamarémos ALTURA ó COTA.La magnitúd existente desde la proyección Vertical ( a ) esté donde esté a la Linea de Tierra la llamarémos ALEJAMIENTO.

..bb´

.

.c

c ..d

dÍI CUADRANTE

III CUADRANTE

VI CUADRANTE

a

a´

alejamiento

alturaA

a

aálejamiento

altura

S.V.S.

S.V.I.

S.H.A.

S.H.P.

a

S.V.S.

S.V.I.

S.H.A

S.H.P.

D

d´ d

d

...

B

b´bb...c

.C

c

. .c

EJERCICIOS:

.A

B.

..C

D

.E.F

.H

.G

PROY.

HORIZONTAL

A ( 3, 2, 4 )a, a´

DISTANCIA

PROY.

VERTICAL

PUNTO:( X, Y, Z )

Apuntes realizados por Antonio CuestaR E P R E S E N T A C I Ó N D E L A R E C T A

Por Geometría sabemos que dos puntos definen una recta.En Diédrico esos dos puntos pueden ser :

A) Los puntos de intersección con los Planos proyectantes que llamamos TRAZAS.

TRAZA HORIZONTAL : Intersección con el Horizontal de Proy. H (h - h´).TRAZA VERTICAL : Intersección con el Vertical. V (v - v´).

.m

m

.H

V´

vh´M

m

m

V´

v

H

h´

B) Dos puntos cualesquiera.

...a

a´b

b´

r´

r

...a

a´b

b´

EN TODA RECTA TENDREMOS QUE CONOCER LOS SIGUIENTES ELEMENTOS:

DEFINICIÓN : es conocer donde están las TRAZAS.INTERSECCIÓN CON LOS BISECTORES.VISIBILIDAD : Se considera visible lo que está en el Primer Cuadrante.

r´

.r

X

X

X = X

.INTERSECCIÓN con el I BISECTOR

IB

IB´ .II B - II B´

r´

r

INTERSECCIÓN con el II BISECTOR

r´

r

V´

h´ v

H

.

..... a

a´b

b´

c

c

I IIIV..

REPRESENTACIÓN DE UNA RECTA POR COORDENADAS

( X , Y , Z )( Distancia, Alejamiento, Altura )

B ( -3, 1, -4 )A (1, 2, 3 )

RECTA:

R

0

.

..

.a

a´

b

b´

r

r´

S.V.S.

S.V.I.

S.H.A.

S.H.P.

0

(+)(-)

(+)

(+)

(-)

(-)

X Y

Z

EJERCICIOS:

1.- Obtener la visibilidad e intersección con los bisectores de la rectadada por los puntos A ( 2, 2, -1 ) B ( 4, 1, -3 )

2.- Obtener la visibilidad e intersección con los bisectores de la rectadada por los puntos A ( 4, 5, 0 ) B ( -2, 0, 3 )


T I P O S D E R E C T A SRECTA HORIZONTAL

Mm´

m

V´

v

V´

v

m´

m

.

RECTA FRONTAL

Mm´

m

H

h´

m´

mH

h´

.RECTA DE PUNTA

V´

v

m´

m

.M

m´

m

V´

v

RECTA VERTICAL

Mm´

mH

h´

m´

m.Hh´

RECTA PARALELA A LA LÍNEA DE TIERRA

m´

m

Mm´

m

RECTA QUE CORTA A LA LÍNEA DE TIERRA

CASO GENERAL

Mm´

m

V´

v

Hh´

.m´

m

.H

V´

vh´

RECTAS OBLICUAS

Mm´

mV´- v

H -h´

m´

m

.H -h´

V´- v

PARALELA AL I BISECTOR Y AL II BISECTOR

CONTENIDA EN EL I BISECTOR Y EN EL II BISECTOR

m´

m

.H -h´

V´- v x

x

x = x

m´- m

.H -h´

V´- v

m´

m

.H

V´

vh´

m´

m

. .h´

H V´

vx x

x = x

RECTAS DE PERFIL

IMPORTANTE : Para el conocimiento de esta recta es necesario conocer como se pasa a 3ª Proyección

M

m´

m

V´

v

H

h´

m´-m.

.

V´

v

H

h´


EJERCICIOS:

RECTA:

M

RECTA:

M

RECTA:

M

RECTA:

M

RECTA:

M

M

RECTA:

RECTA:

M

RECTA:

M

Apuntes realizados por Antonio CuestaR E P R E S E N T A C I Ó N D E L P L A N OEs el lugar geométrico de puntos que equidistan de dos puntos dados geométricamente, sabemos que quedadefinido por los siguientes elementos:

A) POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN: En este caso se puede dar dos rectas en el espacio o por dosrectas que son la intersección del plano con los Planos de Proyección, a esas rectas se llaman TRAZAS.

DADAS POR SUS TRAZAS

NO DADAS POR SUS TRAZAS: Consiste en obtener las trazas verticales de las dos rectas que unidas formanla traza vertical del Plano, e igual con las trazas horizontales.

P

P´

P

P´

A

V´

V´

H H

P´

P

M

R

P

P´

V´

a

a´

h´h´r

r´

m

m

V´

vv

H

H

B) POR DOS RECTAS PARALELAS: Consiste en obtener las trazas verticales de las dos rectas queunidas forman la traza vertical del Plano, e igual con las trazas horizontales.

C) POR UNA RECTA Y UN PUNTO.D) POR TRES PUNTOS NO CONSECUTIVOS.Estos dos casos son consecuencia del primero.

. ..

. ..

a

a´

b

b´

c

c´.r´

.a

a´

r

V´

V´

H H

P´

P

MR

P

P´

V´

h´h´r

r´

m

mV´

vv

HH

EJERCICIOS:

A

P

M

R

.

P

MR

REPRESENTACIÓN DE UN PLANO POR COORDENADAS

( X , Y , Z )( Distancia, Alejamiento, Altura )S.V.S.

S.V.I.

S.H.A.

S.H.P.

0

(+)(-)

(+)

(+)

(-)

(-)

X Y

Z

PLANO:P ( -3, 2, 3 )

0

P

P´

Trazar por coordenadas el plano P ( 4, 1, 3 )


T I P O S D E P L A N O S

PLANO HORIZONTAL

P´P´

PLANO FRONTAL

P

P

PLANO VERTICAL

PLANO DE CANTO

PLANO PARALELO A LA LÍNEA DE TIERRA

P

P´

P

P´

P

P´

P

P´

P

P´

P

P´

PLANO QUE CONTIENE A LA LÍNEA DE TIERRA

.PP´

a´

a.

P´- P

Aa´

a

PLANO OBLICUOS

CASO GENERAL

PERPENDICULAR AL PRIMER BISECTOR

PERPENDICULAR AL SEGUNDO BISECTOR

PLANO DE PERFIL

P

P´

P

P´

I Bp

VISTO DE PERFIL

P

P´

.

I B

P

P´

xx

x = x

II Bp

VISTO DE PERFIL

P´- P

P

P´.

II B

P´- P

P

P´


EJERCICIOS:PLANO:

PLANO:

PLANO:

PLANO:

P

M

R S

M=R=S=

P

MR

S

M=R=S=

R

S

P

MT

M=R=S=T=

P

SM

R

T

M=R=S=T=

PLANO:

PLANO:

PLANO:

PLANO:

R

S M

M=R=S=

.

.

A

R SP

M.

M=R=S=

PR S

M T

E

E=M=R=S=T=

R

SE

P

E=R=S=


EJERCICIOS DEL PUNTO, RECTA Y PLANO:Obtener la visibilidad e intersección con los bisectores de la rectadada por los puntos A (0,2,-1), B (0,-1,-4).

Situar en el plano P (-2,-4,1), todos los tipos de rectas que pueda contener. Situar en el plano P (&,2,4), todos los tipos de rectas que pueda contener.

Situar en el plano P (-3,2,3) puntos de los que se conoce una delas dos proyecciones A (1,y,2); B (2,y,-2); C (-3,-1,z)

Situar en el plano P (-2,&,2), todos los tipos de rectas que puedan estarcontenidas en él.

Obtener las trazas del plano determinado por los puntos A (-3´5,1,1),B (0,-1,3´5) y C (3´5,2,1).


I N T E R S E C C I Ó N

PLANO CON PLANO

La intersección será una recta común a los dos planos.

A) CUANDO LOS PLANOS SON DADOS POR SUS TRAZAS:

CASO GENERAL:

- Las trazas de la recta intersección estarán donde se cortén

las trazas de los planos y del mismo nombre.

QUE UNA DE SUS TRAZAS NO SE CORTEN:

- Se cortan con un plano auxiliar ( HORIZONTAL o FRONTAL ).

- Se obtiene la intersección del plano auxiliar con cada uno de

los planos, dando dos rectas.

- Donde corten las rectas intersección nos dan el punto buscado.

- Se une ese punto buscado con la traza dada, y nos da la recta

intersección buscada.

QUE UNA DE SUS TRAZAS SEAN PARALELAS:

- La recta intersección será paralela a las trazas del plano y

del mismo nombre.

QUE SÓLO SE CONOZCA UN PUNTO DE LA INTERSECCIÓN:

- El proceso es igual que el segundo apartado.

QUE SI ADMITAN 3ª PROYECCIÓN.

- Se obtiene la intersección llevando los planos a 3ª proyección. Hay que tener en cuenta

que la condición es indispensable que los dos planos lo admitan.

QUE NO ADMITAN 3ª PROYECCIÓN.

B) CUANDO LOS PLANOS NO SON DADOS POR SUS TRAZAS:

POR RECTAS QUE SE CORTAN:

- Se obtienen puntos de la recta intersección cortando por

planos auxiliares ( HORIZONTAL o FRONTAL ).

H

V

PQ

I

PQI

A

n t H

H

V

PQ

I

A

B

m

n t

e

1 2 3 4

56 7 8

H

H

RECTA CON PLANO

La intersección será un punto.

A) CUANDO EL PLANO ES DADO POR SUS TRAZAS:

CASO GENERAL:

- Se hace pasar un plano que contenga a la recta.

- Se halla la intersección entre los dos planos.

- La recta intersección corta a la recta en el punto buscado.


- Se obtiene la intersección llevando la recta y el plano a 3ª proyección.

Hay que tener encuenta que la condición es indispensable que los dos planos lo admitan.


B) CUANDO EL PLANO NO ES DADO POR SUS TRAZAS:Se realiza igual que el metodo general pero el plano és un proyectante que nos dá directamente la intersección.

P

Q

I

e

m.

P

Q

Im

e 12

.

EJERCICIOS:

PLANO CON PLANO

P

S

I

P

S

I


P

S

P

I

PP

S

I

RECTA CON PLANO

P

X

S

I

R


EJERCICIOS DE INTERSECCIÓN:Obtener la intersección entre los planos P (-3,2,-5), Q (2,3,-1). Obtener la intersección entre los planos P (-3,4,&), Q (2,3,-1,5). Obtener la intersección entre los planos P (&,2,4) y Q (&,3,3).

Obtener la intersección de los planos P (&,-3,5) y el Q dadopor la línea de tierra y el punto A (0,-2,4).

Obtener la intersección del plano P (3,1,-4) con el 1º bisector. Obtener la intersección de la recta AB con el plano P (&,2,2), siendoA (-4,3,5), B (-1,-1,3).


P A R A L E L I S M O

RECTA CON RECTA

Dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones y del mismo nombre lo son.

A) DADOS POR SUS TRAZAS:



B) NO SON DADOS POR SUS TRAZAS:

RECTA CON PLANO

Una recta es paralela a un plano cuando es paralela a una recta contenida en él.

La recta tendrá que ser paralela a una de las rectas que forman el plano.

PLANO CON PLANO

Dos planos son paralelos cuando sus trazas y del mismo nombre lo son.




B) NO SON DADOS POR SUS TRAZAS:

Es cuando las proyecciones de las rectas son paralelas a las proyecciones de una de

las rectas que forman el plano.



(=)m

n

P

m

n

Q

m

n e

P Q

(=)

EJERCICIOS:

RECTA CON RECTA

RS

RA

R

A


RECTA CON PLANO

P

R

A

RA

S

P

A

PLANO CON PLANO

P

A

P

A


EJERCICIOS DE PARALELISMO:Por el punto A (3,-2,4), trazar una recta paralela a la dada R,por los puntos 1 y 2; 1 (-2,0,0), 2 (0,-3,3).

Trazar por el punto A (-4,4,3) una paralela a la recta de perfilde trazas V (-1,0,5) y H (-1,-2,0).

Trazar por el punto A (0,-2,4), un plano paralelo al P (-4,2,3).

Por el punto A (-3,-4,-2), trazar un plano paralelo al 1º bisector. Por el punto A (2,2,-4), trazar un plano paralelo al 2º bisector. Por el punto A (3,-2,4), trazar una recta que sea paralela al planoP (-3,2,-5), y al 2º plano bisector.


P E R P E N D I C U L A R I D A D

RECTA CON RECTA

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse ó cruzarse en el espacio forman un ángulo de 90º.

A) DADO POR SUS TRAZAS:

QUE CUMPLA EL TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES:

" Dos rectas que se cortan ó se cruzan en el espacio formando

un ángulo de 90º y una de ellas es paralela a uno de los planos

de proyección, sobre dicho plano se proyectará el ángulo

en verdadera magnitud."


- Se lleva a 3ª proyección. Siempre que la recta lo admita ya que el punto es siempre posible.


B) NO DADOS POR SUSTRAZAS:

QUE NO CUMPLA EL TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES:

- Por el punto se traza un plano perpendicular a la recta.

- Se halla la intersección del plano con la recta dada.

- Se unen los dos puntos y así se obtiene la recta.

RECTA CON PLANO

Una recta es perpendicular a un plano cuando es perpendicular a dos rectas que pasan por su

pie. Se puede también ampliar diciendo cuando las proyecciones de la recta son perpendiculares

a las trazas del plano y del mismo nombre.



Se resuelve hallando la dirección de las horizontales y frontales del plano, que se obtienen por medio

de planos auxiliares y trazando perpendiculares a las direcciones obtenidas que son las trazas del plano.

PLANO CON PLANO

Dos planos son perpendiculares cuando uno de ellos contiene una recta que

sea perpendicular al otro plano.



.

.(=

m

.

n

.Q

n. . m

e

Q

eP

EJERCICIOS:

A) QUE NO ADMITAN 3 PROYECCIÓN:

RECTA CON RECTA

QUE NO CUMPLA EL TEOREMA.

QUE CUMPLA EL TEOREMA DE LAS 3 PERPENDICULARES.

R

A

P

I

R

Q

A m

SI

vT

..

A

I

P

Q

S1

m

T

R

Apuntes realizados por Antonio CuestaB) QUE ADMITAN 3 PROYECCIÓN:

RA



RECTA CON PLANO

P

A

TRAZAR UNA RECTA.

TRAZAR UN PLANO.

R

A V H

R

A

QUE ADMITAN 3ª PROYECCIÓN.

AA

P


PLANO CON PLANO


EJERCICIOS DE PERPENDICULARIDAD:Por el punto A (2,4,2), trazar una recta perpendicular a la dada R dadapor los puntos 1 y 2; 1 (0,0,3), 2 (4,3,3).

Trazar por el punto A (0,-2,4), una recta perpendicular al plano P (-2,2,5).

Por el punto A (0,1,2), trazar un plano perpendicular a la recta R dadapor los puntos 1 (-1,3,5) 2 (0,5,1,3)

Por el punto A (-2,5,5), trazar un plano perpendicular a P (-4,3,3).

Por el punto A (-5,2,4), trazar una recta perpendicular a la dada R,por los puntos 1 y 2; 1 (-2,2,-4), 2 (-2,5,1).

Por el punto A (-2,5,4), trazar un plano perpendicular a la recta R dadapor los puntos 1 (-4,2,3) 2 (-4,3,2)


A B A T I M I E N T O

ABATIMIENTO DE PLANOS

Es un metodo que utilizamos para solucionar fundamentalmente dos tipos de problemas:

SITUAR ALGÚN ELEMENTO EN EL PLANO.HALLAR LO QUE CONTIENE EL PLANO EN VERDADERA MAGNITUD.

A) PLANOS DADOS POR SUS TRAZAS:


B) PLANOS NO DADOS POR SUS TRAZAS:


MÉTODO GENERAL:

Para abatir un punto de un plano sobre el Horizontal. Por la

proyección horizontal del mismo se traza perpendicular y

paralela a la charnela, sobre la paralela se llevará la altura del

punto obtenido el radio de gíro que es el segmento que va desde

el extremo donde se ha llevado la altura al punto donde la

perpendicular corta a la charnela y se gira hasta la perpendicular.

MÉTODO RESUMIDO.

ABATIMIENTO SOBRE UN PLANO HORIZONTAL:

- Se halla la intersección del plano horizontal con el plano a

abatir y esta será la charnela de abatimiento.

- Para abatir un punto del plano se aplicará el método general

con respecto a la charnela abatida.

- El resto de puntos se sigue el método anterior.

ABATIMIENTO DE UN PLANO DE CANTO:

- Sólo basta con tener en cuenta que el valor de su ángulo entre trazas es de 90º.

Se pasa los planos a 3ª proyección si los dos planos lo admite.

- Se corta por un plano horizontal y se halla la intersección que actuará de charnela.

- Se abate el punto de intersección de las dos rectas aplicándo el método general.

- Se une el punto abatido con cada uno de los puntos de sección con la charnela.

Charnela

P

P

ABATIMIENTO DE RECTAS

MÉTODO DEL TRAPECIO:

Consiste en abatir sobre el plano proyectante el segmento.

Se consigue trazando perpendiculares por los puntos del

segmento y nos llevaremos la altura del punto si abatimos

sobre el Horizontal ó la distancia si es sobre el Vertical.

MÉTODO DEL TRIÁNGULO:

Se consigue de la misma forma que el caso anterior,

pero sobre un plano auxiliar que pasa por uno de

los puntos del segmento.

..

A

B Am

m

PLANOHORIZONTAL

Q

Charnela

..

..

A

B

AB m

m

PLANOHORIZONTAL

Charnela

PA.

.

.

A

A

.CH

Charnela

. .

.

A

Q

mn A

A

m

n

EJERCICIOS:

ABATIMIENTO DE PLANOSMÉTODO GENERAL:

MÉTODO RESUMIDO.

ABATIMIENTO DE UN PLANO DE CANTO:

P

Apuntes realizados por Antonio CuestaABATIMIENTO SOBRE UN PLANO HORIZONTAL:

P

CH

H

QUE ADMITAN 3ª PROYECCIÓN.

P

B) NO DADOS POR SUS TRAZAS:

Charnela. .

.

A

Q

mn A

A

m

n

1

2..

ABATIMIENTO DE RECTAS

MÉTODO DEL TRAPECIO:

MÉTODO DEL TRIÁNGULO:


EJERCICIOS DE ABATIMIENTO:Abatir el plano P (-3,2,3) y especificar a que cuadrante corresponde cada zona de papel situandoun punto en cada una de ellas y obtener sus proyecciones.

Abatir el plano P (&,2,3) y especificar a que cuadrante corresponde cada zona de papel.

Situar en el plano P (-2,2,4) un triángulo equilátero de lado 3 cm. Obtener la verdadera magnitud del triángulo ABC de coordenadas: A (-3,2,3), B (0,3,1), C (4,2,2).


C A M B I O D E P L A N O S

Es un método que se sirve de la Geometría Descriptiva para resolver problemas.Consiste en ir cambiando

los planos proyectantes tanto el Horizontal ó el Vertical manteniendo su ortogonalidad entre ambos.

MÉTODO:

CAMBIO DEL PLANO VERTICAL:

- La proyección horizontal se conserva.

- La proyección Vertical varía aunque conservando la altura que

se llevará sobre la perpendicular a la nueva L.T. Trazada desde

la proyección horizontal.

CAMBIO DEL PLANO HORIZONTAL:

- La proyección Vertical se conserva.

- La proyección Horizontal varía aunque conservando la altura

que se llevará sobre la perpendicular a la nueva L.T. Trazada

desde la proyección horizontal.

HAY QUE TENER EN CUENTA:

- LOS CAMBIOS DE PLANOS SE HACE DE FORMA ALTERNA.

- NUNCA HAREMOS DOS CAMBIOS SEGUIDOS DEL MISMO NOMBRE.- SE MARCA CON DOS LINEAS, EN LA LÍNEA DE TIERRA.

- LAS ALTURAS O DISTANCIAS A LLEVAR SOBRE LA NUEVA LÍNEA DE TIERRA SELLEVARÁN HACIA LA MISMA PARTE DE DONDE FUERON TOMADAS. ES DECIR QUE SIUNA ALTURA SE TOMA POR ENCIMA DE LA L.T. SE LLEVARÁ POR ENCIMA DE LA NUEVAL.T., LO MISMO CON LAS DISTANCIAS.

- TODO CAMBIO LLEVARÁ UN SUBÍNDICE JUNTO A LA L.T.

CAMBIO DE PLANO DE UN PUNTO. CAMBIO DE PLANO DE UN PLANO.

.A

a

aá´

S.V.

S.P.

S.V.

S.P.

PP

A..

EJERCICIOS:

CAMBIO DE PLANO DE UN PUNTO.

LLEVAR UN PUNTO DEL I CUADRANTE AL II CAMBIO DE PLANO DE UNA RECTA.

CONVERTIR UNA RECTA CUALQUIERAEN UNA HORIZONTAL

CONVERTIR UNA RECTA CUALQUIERAEN UNA DE PERFIL

CAMBIO DE PLANO DE UN PLANO.

CONVERTIR UN PLANO CUALQUIERAEN UNO DE CANTO

CONVERTIR UN PLANO CUALQUIERAEN UNO VERTICAL


EJERCICIOS DE CAMBIO DE PLANO:Mediante cambios de plano conseguir que el punto A llegue al 3º cuadrante; A (-2,3,4). Mediante cambios de plano convertir la recta R definida por los puntos A (-3,1,2) y B (2,3,4)

en una recta de punta.

Mediante cambios de plano convertir el plano P (-2,-3,3) en un plano vertical. Mediante cambios de plano conseguir que el punto A (-2,2,4) pertenezca: a) Al primer plano bisector. b) Al segundo plano bisector.


D I S T Á N C I A S

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:- Se resuelve el problema uniendo mediante un segmento los dos puntos dados y para hallar la verdadera

magnitud se utilizara el método del trapecio ó del triángulo.

DISTANCIA ENTRE PUNTO Y RECTA:Este caso se puede resolver de dos maneras.

- Se obtiene trazando la perpendicular desde el punto a la recta ya que

es la mínima distancia (PERPENDICULARIDAD).

- Por ABATIMIENTO.

DISTANCIA ENTRE RECTAS:- QUE LAS RECTAS SE CRUCEN.

- QUE LAS RECTAS SE CORTEN.

- QUE LAS RECTAS SEAN PARALELAS:

- Se traza un plano perpendicular a las dos rectas.

- Hallamos la intersección del plano con las dos rectas.

- La distancia entre los dos puntos es la buscada.

DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO:Debe cumplir la condición de que sean paralelos , la recta y el plano, por

tanto con tomar un punto de la recta y hallar su distancia al plano,

procedimiento que describimos en el apartado de dos rectas paralelas.

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS:Deben cumplir la condición de que sean paralelos.

- Trazamos una recta perpendicular a los dos planos.

- Se halla la intersección.

- La distancia entre los dos puntos es la buscada.

DISTANCIA ENTRE PUNTO Y PLANO:Este caso se resuelve por PERPENDICULARIDAD.

.

.A

IP m

Q m

n

A

B

P

(=)

m

n

..

m

A

B

P

Q

EJERCICIOS:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA.

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO.


DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS.

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS.

RECORDAR: PASOS A SEGUIR

1.- Plano perpendicular a los dos planos .2.- Hallar la Intersección.3.- Método del triángulo o trapecio.

DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO.RECORDAR: PASOS A SEGUIR

1.- La recta tiene que ser paralela al Plano .2.- Poner un punto en la recta.3.- Proceder igual que el caso de Punto y Plano.4.- Método del triángulo o trapecio.

RECORDAR: PASOS A SEGUIR

Los Planos tiene que ser paralelos .1.- Recta perpendicular a los dos planos.2.- Hallar la intersección.3.- Método del triángulo o trapecio.

LÍNEA DE MÁXIMA PENDIENTE.RECORDAR: Es el ángulo que un Plano forma con el Horizontal.

LÍNEA DE MÁXIMA INCLINACIÓN.RECORDAR: Es el ángulo que un Plano forma con el Vertical.


EJERCICIOS DE DISTANCIA:Obtener la distancia entre los puntos A y B, A (-3,3,2), B (3,-5,2). Obtener la distancia entre el punto A y el 1º y 2º bisector; A (0,2,4).

Obtener la distancia del punto A (0,4,4) al plano P (-3,2,3). Obtener la distancia del punto A (0,2,3) al plano P (&,-3,4).


P O L I E D R O S

T E T A E D R O

CONSTRUCCIÓN GEOMETRICA

DEFINICIÓN:Es la superficie formada por 4 caras

que son triángulos equilateros

ELEMENTOS:

- A ( Arista )

- hC ( Altura de una Cara )

- MD ( Minima Distancia entre Aristas opuestas )

- H ( Altura )

H

M

A hc

.

PO

SI

CI

ON

ES

SOBRE UNA CARA

H

1

2

34

1´ 2´ 3´

4´

SOBRE UN VERTICE

2

H

1

34

1´ 2´ 3´

4´

SOBRE UNA ARISTA

MD

1

3

4

1´

2´

3´

4´

2

A

hc

MD

A

H

hc

hc

.

.


P O L I E D R O S

H E X A E D R O


PO

SI

CI

ON

ES

DEFINICIÓN:Es la superficie formada por 6 caras que son cuadrados.

ELEMENTOS:- A ( Arista )

- d ( Diagonal de una Cara )

- D ( Diagonal Principal )

SOBRE UNA CARA

A

1-5

2-6

3-7

4-8

1´ 2´ 3´4´

5´ 6´ 7´8´

SOBRE UN VERTICE

1

2

3-5

4

1´

3´

5´

6´-8

7´

D/3

D/3

D/3

6

7

8

2´-4´D

A

d

d

D

A

.

AA

.

SOBRE UNA ARISTA

2-8

d

1

3-7

6

1´

2´ 3´

4´

5

4

6´

7´8´

d

A


P O L I E D R O S

O C T A E D R O


PO

SI

CI

ON

ES

DEFINICIÓN:Es la superficie formada por 8 caras que son triángulos equilateros.

ELEMENTOS:- A ( Arista )

- h1 ( Altura de una Cara )

- D ( Diagonal del Octaedro )

- H ( Distancias entre Caras )

H

D

.

D

A

.

h1 h1

h1h1

A

SOBRE UNA ARISTA

A

1-2

3-4

6

1´

2´

3´

4´

5

6´5Á

D

SOBRE UN VERTICE

D

1-62

3

4

1´

2´ 3´ 4´5´

6´

5

A

SOBRE UNA CARA

H

1

3

6

1´ 2´3´

4´

5

6´5´

h1

2

4

H

AD

A

H

h

60º 90º

Apartir del Triangulo Equilatero

h1

D/2H

.

.A A h1

h1

A


R A D I A D A S

C Ó N I C A S

DEFINICIÓN: Es la superficie engendrada por una directriz y una

recta llamada generatriz, con un punto en el espacio, llamado vértice.

C O N O

DEFINICIÓN: Se engendra igual que el cono, pero su directriz es un poligono regular o irregular.

P I R Á M I D E

CUADRICA: Es aquel que su directriz es una conica.

REVOLUCIÓN: Cuando cortados el eje por planos proyectantes nos dan circunferencias.

NO REVOLUCIÓN

REVOLUCIÓN

V´

1 20-V

1´ 2´

V´

1 20

1´ 2´

V

0´

V´

10

1´

V

0´

4

2

3

56 4´6´ 5´

3´2´

OBLICUOV´

1 40-V

1´ 4´

2

3

56

0´6´ 5´3´2´

RECTO

Directriz

Eje

Generatriz

Vértice

CONOCUADRICA

NO CUADRICA

REVOLUCIÓN ( RECTO )

NO REVOLUCIÓN ( OBLICUO )

C I L Í N D R I C A S

DEFINICIÓN: Es la superficie engendrada por una directriz y una

recta llamada generatriz, con un punto llamado vértice en el infinito.

C I L I N D R O

DEFINICIÓN: Se engendra igual que el cilindro, pero su directriz es un poligono regular o irregular.

P R I S M A

NO REVOLUCIÓN

1 20

1´ 2´0´

E j e

E j e

REVOLUCIÓNEje

1 20

1´ 2´0´

RECTO

1

2

0

1´ 2´0´

3

4

3´4´

OBLICUO

12

0

1´ 2´0´

E j e

E j e

3´

34

4´

Directriz

Eje

Generatriz

CILINDROCUADRICA

NO CUADRICA

REVOLUCIÓN ( RECTO )

NO REVOLUCIÓN ( OBLICUO )


I N T E R S E C C I Ó N

I N T E R S E C C I Ó N D E P L A N O S C O N S U P E R F I C I E S( S E C C I Ó N P L A N A )

1) PLANO CUALQUIERAPOR INTERSECCIÓN

POR CAMBIO DE PLANO

POR PLANOS HORIZONTALES

2) PLANO PROYECTANTE

MÉTODOS 1) POR PLANOS PROYECTANTES QUE CONTENGAN A LAS RECTAS:

1) Pasar por la Recta un Plano Auxiliar.2) Hallar la Sección del Plano con la Superficie.3) Buscar donde se corta la Recta con la Sección producida.

2) MÉTODO PARA EL CONO Y EL CILINDRO:

1) Pasar por la Recta un Plano formado por dicha Recta y otra Recta Auxiliar.2) Hallar la Traza Horizontal de dicho Plano.3) Nos determina en la Directriz las dos Generatrices de la Superficie por donde interceptan la Recta con la Superficie.

I N T E R S E C C I Ó N D E R E C T A S C O N S U P E R F I C I E S

MÉTODOS

D I F E R E N T E S C A S O STETAEDRO (CARA) - PLANO HORIZONTAL

1

2

3

4

1´ 2´ 3´

4´

Pá´ b´ c´

a

b

c

1 - 4 = A2 - 4 = B3 - 4 = C

V I S I B I L I D A D

TETAEDRO (CARA) - PLANO OBLICUOMÉTODO: INTERSECCIÓN

34

3´

4´

P´

c´

c

P

Q´

Q

m

m´

1

2

3

4

1´ 2´ 3´

4´

Pá´

b´ c´

a

b

c

P

Q´

Q

m

m´

1 - 4 = A2 - 4 = B3 - 4 = C

V I S I B I L I D A D

HEXAEDRO (CARA) - PLANO VERTICAL

P´

a-c

b-d

P2-6

a´ b´

1-5

3-7

4-8

1´ 2´ 3´4´

5´ 6´ 7´8ć´ d´1 - 2 = A3 - 4 = B5 - 6 = C7 - 8 = D

VISIBILIDAD

PIRAMIDE (RECTA) - PLANO DE PERFIL

V´

1

4

1´ 4´

2

3

5

6

0´6´ 5´3´2´

P´-P X-X´

0-V

a´

b´

c´-

a

b

c

d

(C

(A

(B

(D

1 - V = A2 - V = B1 - V = C2 - 3 = D

CONO RECTO - PLANO HORIZONTAL

1 - V = A2 - V = B

V´

1 20-V

1´ 2´

P´bá´

ba

0´


D I F E R E N T E S C A S O S

PIRAMIDE (RECTO) - PLANO DE CANTO

1

4

1´ 4´

2

56

0´6´ 5´3´2´

P´

P0-V

a´ b´ c d´ e´ f´

a

b

c

d

e

f

1 - V = A2 - V = B6 - V = C3 - V = D5 - V = E4 - V = F

VISIBILIDAD

VISIBILIDAD

PIRAMIDE (OBLICUA) - PLANO PARALELO A LA LINEA DE TIERRAMETODO: INTERSECCIÓN

P´

a´

b´

d´

e´f´

a

b c

d

ef

V´

10

1´

V

0´

4

2

3

5

6

4´6´5´

3´2´

P

c

1 - V = A6 - V = B5 - V = C4 - V = D4 - 3 = E1 - 2 = F

0

0´

CONO RECTO - PLANO PARALELO A LA LINEA DE TIERRA

V´

1 2

0-V

1´ 2´

P´

bá´

ba

P

c´

c

d

X-X´

(P

(C)

(A-B)

(D-E)d´

e

e´

CILINDRO (OBLICUO) - PLANO DE CANTO

P

a

b

a´b´

P´

1 2

0

1´ 2´0´

c´ d´

c

d

1 = A3 = B4 = C2 = D

0

0´

VISIBILIDAD

PRISMA (RECTO) - PLANO OBLICUOMETODO: PLANOS HORIZONTALES P´

a

b

a´b´

c´

d´

d

1

2

5

1´2´

5´

3

4

3´

4´

P

Q´

c

6´

6

H´

W´

Y´

e f

e´

f´

m´

m

1 = A2 = B3 = C4 = D5 = E6 = F

CILINDRO (OBLICUO) - PLANO OBLICUOMETODO: INTERSECCIÓN

P

a

b

a´

b´

P´

12

0

1´ 2´0´

c´

d´

c

d

Q´

Q

1 = A3 = B4 = C2 = D


D I F E R E N T E S C A S O S C O N R E C T A S

TETAEDRO (CARA) - RECTA HORIZONTAL

P´m´

m

2

1

2´1´

TETAEDRO (VERTICE) - RECTA OBLICUA

P´

1´

m

2´

m´

P2

1

HEXAEDRO (ARISTA) - RECTA FRONTAL

P´

1m

P

1´

2´

m´

2

OCTAEDRO (VERTICE) - RECTA OBLICUA

2

1 P

1´

2´P´

m´

m

PIRAMIDE (RECTA) - RECTA OBLICUA

P´

P

2´1´

m´

1 2

m

PRISMA (OBLICUO) - RECTA OBLICUA

2

1´

2´

1

P

P´

m´

m

PRISMA (OBLICUO) - RECTA HORIZONTAL

1´ 2´

2

m

P´

1

m´

PIRAMIDE (RECTA) - RECTA DE PERFIL

P´-P X-X´

m´-m

(1)

(2)

(M)

2´

1´

2

1


INTERSECCIÓN DE PLANO DE PERFIL CON PIRÁMIDE

80

30

40

35

20

60

EJERCICIOS

8035

40

30º

55

INTERSECCIÓN DE PLANO DE CANTO CON PIRÁMIDE


INTERSECCIÓN DE PLANO OBLICUO CON PRISMA

EJERCICIOS

MÉTODO DE C. PLANOLa base es de 4cm. de lado

60

70

30º

1030º 60º

55

INTERSECCIÓN DE PLANO OBLICUO CON PIRÁMIDEMÉTODO DE INTERSECCIÓN

80

35

40

30º

45

45º

50


EJERCICIOS

INTERSECCIÓN DE RECTA OBLICUA CON PIRÁMIDEINTERSECCIÓN DE RECTA HORIZONTAL CON PRISMA

80

35

55

20º

30

80

35

50

30º

55

20º

10


Conocido el plano & dado, representar las proyecciones horizontales y verticales de:

A) Un triángulo equilátero contenido en & que está inscrito en una circunferencia de radio 40 mm. tangente al Plano Horizontal y al Plano Vertical, sabiendo que un vértice está en el Plano Horizontal y otro en el Vertical.

B) Buscar un punto del Plano & que diste de los 3 vértices

EJERCICIOS SACADOS DE PAU

V&

H&


Representar una pirámide recta de base cuadrada, situada en el primer cuadrante, sabiendo que:

A) La base ABCD está contenida en el plano & del que se conoce su traza horizontal H& y su traza vertical abatida (V&)

B) El vértice A es el punto dado.

C) El vértice b está en el Plano Vertical.

D) El lado AB mide 60 mm.

E) La altura de la pirámide mide 80 mm.


(V&)H&

A2

A1


Conocidos los puntos A,B y C del dibujo, representar:

A) El plano & determinado por A, B y C.

B) Los puntos B y C son vértices de un triángulo equilatero BCD contenido en el plano &.

C) Dicho triángulo equilátero bcd es la base de un prisma recto de altura 80 mm.

Representar dicho prisma indicando partes vistas y ocultas.


B2

A1-A 2B1

C2

C1


Hallar el plano & determinado por los puntos P, Q y R dados.En el plano & está contenido el pentágono de lado 50 mm. sabiendoque el lado AB está en el PlanoHorizontal (P.H.) y el vértice C está en el Plano Vertical (P.V.).Hallar las proyeccion horizontal y la proyección vertical de dicho pentágono.


R2

R1

Q2

P1

P2

Q1


EJERCICIOS SACADOS DE PAUABC es la base de un prisma oblicuo apoyado en el P.H. La recta AD es una arista del prisma.Por el punto P dado pasa una recta r paralela a las aristas laterales del prisma; dicha recta estácontenida en un plano & Proyectante Vertical. Se pide:

- Trazar un plano ß perpendicular a & por el punto P.- Hallar la sección producida por el plano ß en el prisma y dibuja la verdadera magnitud de dicha sección.

La recta r dada por los puntos A y B es de máxima pendiente del plano &.- Representar dicho plano &.- Halla la mínima distancia entre el punto P y el Plano &.

A2

B2

P1

P2

B1

A1

A2 B2

P1

P2

B1A1

C2

C1

D2

D1



Determinar las proyecciones de un cuadrado ABCD situado en el primer cuadrantey contenido en el plano & dado por sus trazas, sabiendo:

- El punto A, dado por su proyección vertical, es uno de los vértices del cuadrado.- Que sobre la recta r dada por los puntos proyección vertical M y N y contenida en &, está situado uno de los lados del cuadrado.

N2

H&

V&

M2

A2

r2

Representa las proyecciones de una pirámide recta de base cuadrada de 90 mm. de altura,apoyada en el P.H., sabiendo que A1 y O1 son las proyecciones horizontales de un vértice de la base y del centro de la misma.

- Hallar las proyecciones y la verdadera magnitud de la sección producidapor el plano proyectante vertical & en la pirámide.

V&

O1

A1


S I S T E M A S D E R E P R E S E N T A C I Ó N

Las proyecciones o vistas de un solido o pieza son lasdistintas imágenes que se obtienen al mirarla desde arriba,de frente y desde un costado, o bien el resultado deproyectar la pieza perpendicularmente sobre planos queson paralelos a sus caras,siendo sus vistas de 6.

Para ello se normalizarón dos sistemas:

A) Sistema Europeo, que es el utilizado en el mayor parte de Europa.

B) Sistema Americano, que es el utilizado preferentemente en los países de habla Inglesa.

Tanto el S. Europeo y el S. Americano consisten en representaruna pieza tridimensional por medio de sus vistas en dosdimensiones. Sus disposiciones vienen establecidas por lanormalización de estos dos sistemas, ya que tiene que colocarsede forma que sus dimensiones generales ( altura, anchura yprofundidad ) queden reflejadas y relacionadas entre sí conrespecto a las vistas.

1

2

36

5

41 2

3

anchura profundidad

anchura

al

tu

ra

al

tu

ra

profundidad

REPRESENTACIÓN DE LAS CARAS DE UN SÓLIDO Y SU DISPOSICIÓN EN EL PLANO EN SISTEMA AMERICANO.

1

2

36

5

4

SISTEMA AMERICANO

Este sistema hace que la planta quede encima del alzado,el perfil derecho se coloca a la derecha del alzado

El símbolo de identificación de un dibujohecho en el Sistema Americano es el siguiente:

3

2

5

1 4ALZADO

ANTERIOR

PLANTAINFERIOR

PLANTASUPERIOR

LATERALIZQUIERDO

LATERALDERECHO

ALZADOPOSTERIOR

6

SISTEMA EUROPEO

Este sistema hace que la planta que debajo del alzado, el perfil derecho se coloca a la izquierda del alzado y el perfil izquierdo se coloca a la derecha del alzado.

El simbolo de identificación de un dibujohecho en el Sistema Europeo es el siguiente:

REPRESENTACIÓN DE LAS CARAS DE UN SÓLIDO Y SU DISPOSICIÓN EN EL PLANO EN SISTEMA EUROPEO.

1

2

36

5

4

6

3

2

5

14ALZADO

ANTERIOR

PLANTAINFERIOR

PLANTASUPERIOR

LATERALIZQUIERDO

LATERALDERECHO

ALZADOPOSTERIOR

Apuntes realizados por Antonio CuestaV I S T A S E N S I S T E M A E U R O P E O

A

A A

A A

A

A

A

A A

A

A


A

A

A

A

A

A A

A

A A

A

A




S I S T E M A A X O N O M É T R I C O

Z

Y

X

Z

Y

X

P.C.

Consiste en representar un elemento queposee 3 dimensiones en un plano llamadoPlano del Cuadro sin perder su aparienciatridimensional. Para ello el sistema utiliza 3planos que se cortan perpendicularmente enel espacio y cuyas intersecciones seran 3rectas que convergen en un punto, que seráel vértice de los triedros a formar y donde seproyectaran ortogonalmente sobre dichosplanos todos los elementos a representar.

Para entender este proceso vamos a poner el ejemplo de un punto en el espacio y como se representaen el Plano del Cuadro.

Z

X

Y

P.

Z

X

Y

..

. ..

.

.

A

a1

a1

A..

.

.

a3

a3

a2

a2

Z

X

YZ

X

Y

P.C.

.a2

Z

XY

P.C.

A..

.a1

a3

Z

XY

P.C.

Teniendo en cuenta que el triedro pude tomar infinitas posiciones y a su vez los ejes infinitos ángulosentre ellos, nos lleva a la siquiente clasificación:

Z

XY

Z

XY

Z

XY

Otra de los aspectos importantes es que los ejes al proyectarse sobreel Plano del Cuadro sufrirán una reducción de su tamaño, que seráimportante conocer para aplicar las dimensiones del objeto arepresentar.

a2

Z

X

YZ

X

Y

P.C.

1 cm.

0.8 cm.

Tambien cada eje suele hacer unafunción específica , aunque puedecambiar en función de la visión delobjeto. Siendo las aristas del objetoparalelas a los ejes segúncorrespondan a sus respectivasdimensiones, como se puede ver enel cubo dibujado.

Z= ALTURASY= ALEJAMIENTOSX= ANCHURAS

Z

XY

ISOMÉTRICA: Es el que tienelos tres ángulos iguales.

120º

120º

120º

Z

XY

DIMÉTRICA: Es el que tienelos dos ángulos iguales y unodesigual.

125º

110º

125º

Z

XY

TRIMÉTRICA: Es el que tienelos tres ángulos desiguales.

145º

95º

125º

Z

XY

Apuntes realizados por Antonio CuestaCONSTRUCCIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA PASO A PASO: Z

XY

00

0

Z

XY

01

04

03

.. 02

1

23

4

.

.

Z

XY 0

0

CONSTRUCCIÓN DEL CILINDROCONSTRUCCIÓN DE CURVAS EN LAS DIFERENTES CARAS

01

.

Z

XY 04

03

.. 02

1

23

4

.Z

XY

01

04

03

.. 02

1

23

4

.

.

CONSTRUCCIÓN DE RECTAS CON CURVAS

Z

XY

Z

XY

Z

XY


DADAS LAS 3 V ISTAS EN S ISTEMA EUROPEO DE UN SOLIDO DETERMINAR SU PERSPECTIVA


EJERCICIOS CON MEDIDAS

Z

XY

Z

XY

A

E: 3/2 E: 3/2

A



Z

XY

Z

XY

AA

E: 3/2 E: 3/2


P E R S P E C T I V A C A B A L L E R A

Es una proyección cilíndrica oblicua de un objeto sobreun plano llamado Plano del Cuadro.Siendo dos de susejes paralelos al plano y el otro oblicuo, por lo que llevará reducción.Es una variante de la Axonometría.

. P.C.Y .X

Z

YXZ

P.C.Z

X

X

Y

Z

P.C.

Z

X

.Y

X

Y

Z

Z

Y

X

Z

Y

X

P.C.

ÁNGULOS Y COEFICIENTES DE REDUCCIÓN MÁS HABITUALES

Z

X

Y

Z

X

Y

90º

45º225º

Z

X

Y

90º

135º

135º

Z

X

Y

Coef. de Reducción: 2/3 Coef. de Reducción: 1/2

COMO HALLAR LA DIRECCIÓN DE LOS EJES PARA SITUAR SUPERFICIES POR PUNTOS ABATIDOS

SEGUN EL COEFICIENTE DE REDUCCIÓNSEGUN EL ÁNGULO

C I R C U N F E R E N C I A S

C I L I N D R OZ

X

Y

Z

X

Y

.0

Z

X

Y

.01 2

3

4

1

20

3

4

Z

X

Y

.

.

.

5

P´

.

.

0

P

3

D

0

Z

X

Y

.

..

PP´

.

.

A

a

D

Ejemplo: Ángulo de 35º Z

X

Y

.

.

.

5

P´

.

.

A

a

P

3

D

Ejemplo: Coeficiente 3/5


EJERCICIOS

Z

X

Y

Z

X

Y



Z

X

Y

Z

X

Y

A

E: 2/1 E: 2/1

A



Z

XY

A

50 20 80 20

2080

5020

7050

10

E: 2/3



Z

XY

A

2020

2070

3020

2060

40 40 50 50

E: 2/3



Z

XY

Z

XY

A

20 90 20

30

2010

0

3050

50

1525

40

40 40

4040

20

15

2030

A

E: 1/2 E: 1/1



Z

XY

Z

XY

20 40 2020 20

3040

2020

2020

4020

2020

A

3050 20

1040

5015

4010

A

E: 1/2 E: 1/2


P E R S P E C T I V A C Ó N I C A

Sin conocer previamente la Geometría Descriptiva del Sistema vamos a estudiar el apartado que permitarepresentar los objetos tal como los vemos, dependiendo de su situación en el espacio a este apartadolo llamaremos Perspectiva Cónica.Siendo la intersección con un plano llamado Plano del Cuadro detodos los rayos visuales que partiendo de un punto llamado Punto de Vista, pasan por los puntos quedefinen el objeto.

Si el Punto de Vista es el ojo humano y el Plano del Cuadro es un plano transparente, el objeto cuandoesta entre los dos ó más cerca del ojo, el objeto se representa más grande, si el objeto se encuentradetrás se representará más pequeño, como vemos en el dibujo.

CLASES DE PERSPECTIVAS.

Según la posición del objeto con respecto al Plano del Cuadro podremos distinguir dos clases fundamentales:

PERSPECTIVA FRONTAL:

PERSPECTIVA OBLICUA:

Es aquella en que los objetos se sitúan consus caras, planos o aristas son paralelas alPlano del Cuadro.

Es aquella en que los objetos se sitúan con suscaras, planos o aristas no son paralelas al Planodel Cuadro.

.P

.F.F

P. P.

E L E M E N T O S :

PLANO DEL CUADRO:

PLANO GEOMETRAL:

PLANO GEOMETRAL:

LINEA DE TIERRA:

PUNTO DE VISTA:

LINEA DE HORIZONTE:

PUNTO PRINCIPAL:

PUNTOS DE DISTANCIA:

PUNTOS DE FUGA:

PUNTOS METRICOS:

Es el Plano vertical en el que se representa los objetos.

Es el Plano horizontal donde se asienta el objetoy el Punto de Vista.

Es el Plano paralelo al Geometral y perpendicularal Cuadro, nos determina la altura del Punto de Vista.

Es la intersección del Plano del Cuadro conel Plano Geometral.

Es la intersección del Plano del Cuadro con el Planode Horizonte,siendo paralelo a la Linea de Tierra ydonde se representa muchos de los puntosnecesarios para la representación de la perspectiva.

Es donde se situa el ojo del espectador.

Es el lugar donde corta la visual que nace delPunto de Vista con el Plano del Cuadro,siendo perpendicular al plano. Y dondefugaran todas las perspectivas de las rectasno oblicuas al Plano del Cuadro.

Son dos puntos situados en la Linea de Horizontey colocadas a la misma distancia que haydel Punto Principal al Punto de Vista. Son puntosde medición para las rectas que fugan al Punto Principal.

Son puntos situados en el Plano del Cuadro ydonde fugaran todas las perspectivas de lasrectas que son paralelas a una misma dirección,siendo oblicuas al Plano del Cuadro.

Son puntos de medición determinados por los Puntos de Fuga.

P.C.

P.G.

P.H.

L.H.

L.T.

. . . . .. .

.

P.P. P.M. P.F. P.D.

P.V.

P.M.P.D.P.F.

P.C.

P.G.

P.H.

..

. .

..P.P.

P.V.

P.F.

P.F.P.D.

P.D.

..P.M.

P.M.

P.C.

P.G.

P.H.

P U N T O S :

L I N E A S :

P L A N O S :


P E R S P E C T I V A F R O N T A LELEMENTOS A TENER EN CUENTA:

.

L.H.

L.T.

H

.P.P.

.p

d

P.V.

.A

L.H.

L.T.

P.P.

.P.V.

.A. ..P.D. P.D.

.

H

L.H.

L.T.

ha

b

P.P. A

P.V.

P.C..

p

d

C U A D R A D O

REPRESENTACIÓN DE UN CUADRADO JUNTOAL PLANO DEL CUADRO Y EN EL PLANO GEOMETRAL.

REPRESENTACIÓN DE UN CUADRADO JUNTOAL PLANO DEL CUADRO Y EN EL PLANO GEOMETRAL.

.

.

.

L.T.

L.H P.P.

P.V.

P.D.

1 2

4 3

3

.

.

.

L.T.

L.H. P.P.

P.V.

P.D.

3

1 2

4 3

2

P.C.

P.G.

P.H.

L.H.

L.T.

P.C.

P.G.

P.H.

L.H.

L.T.

C I R C U N F E R E N C I A

DIFERENTES POSICIONES DE UNA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO GEOMETRAL.

.

.

.

L.T.

L.H.P.P.

P.V.

P.D.

1 2

4 3

. .

. .

.. .

.1

4

2

3

0

0

.

.

.

L.T.

L.H.P.P.

P.V.

P.D.

1-4

2

4 3

.

0

0

2-3

1

h

F O R M A S V O L U M É T R I C A S

H E X A E D R O

.

.

.

L.T.

L.H. P.P.

P.V.

P.D.

h

1-5 2-6

4-8 3-7

5-8 6-7

1-4 2-3

h

.

.

.

L.T.

L.H. P.P.

P.V.

P.D.

h

1

58 7

32

4

6

1-5 2-6

4-8 3-7

C I L I N D R O

h


EJERCICIOS DE CÓNICA FRONTAL

Dibujar en perspectiva cónica frontal la figura definidapor sus vistas.Datos: P.P. a P.V.= 8 cm.Escala= 1/1.Por puntos métricos.La altura de L.H.con respecto a la L.T.= 6 cm.

Dibujar en perspectiva cónica frontal la figuradefinida por sus vistas.Datos: P.P. a P.V.= 6 cm.Escala= 1/1.Por puntos métricos.La altura de L.H.con respecto a la L.T.= 5 cm.

42

44

6 4

H= 6

L.H.

A

L.T.

P.V.

2. .P.P. P.C.

4

44

4

H=5

L.H.

A

P.V.

2

L.T.

P.C..4

L.H.

L.T.

A

L.H.

L.T.

A


P E R S P E C T I V A O B L I C U A

ELEMENTOS A TENER EN CUENTA:

...

H

L.H.

L.T.

ha

b

P.P.A

P.V.

P.C.

p d

L.H.

L.T.

.P.P.

.P.V.

.A.. P.F.P.F. ..P.M. P.M.

L.H.

L.T.

H

.P.P.

.p

d

P.V.

.A

F O R M A S P L A N A S

C U A D R A D O

REPRESENTACIÓN DE UN CUADRADOSIN PUNTOS MÉTRICOS

A .. . .

.

60º

P.P.

P.V.

P.F.P.F. 30º

60º30º

P.C.

.

L L

.. .P.P. P.F.P.F. L.H.

L L

. L.T..A

A .. . .

.

60º

P.P.

P.V.

P.F.P.F. 30º

60º30º

.. P.M.P.M. P.C..M M

.. .P.P. P.F.P.F. .. P.M.P.M. L.H.

M M

. L.T.

.

A

REPRESENTACIÓN DE UN CUADRADOCON PUNTOS MÉTRICOS

F O R M A S V O L U M É T R I C A S

H E X A E D R O

.. .P.P. P.F.P.F. .. P.M.P.M. L.H.

M M

. L.T.A

hH

A

.

.

. .

.

60ºP.P.

P.V.

P.F.

P.F.

30º

60º

30º

..

P.M.

P.M.

P.C.

.

M

M

.

h

H

L.T.

L.H.

C I L I N D R O

A

.

.

. .

.

60ºP.P.

P.V.

P.F.

P.F.

30º

60º

30º

..

P.M.

P.M.

P.C.

.

M

M

.

h

H

L.T.

L.H.

.

.. .P.P. P.F.P.F. .. P.M.P.M. L.H.

M

. L.T.A

hH

.

...

Apuntes realizados por Antonio CuestaEJERCICIOS DE CÓNICA OBLICUA

C A S A

Dibujar en perspectiva cónica oblicua la figura definida por sus vistas.Datos: P.P. a P.V.= 8 cm.Escala= 1/1.Por puntos métricos.La altura de L.H.con respecto a la L.T.= 6 cm.

22

44

4

30º

H= 6

L.H.

A

P.V.

P.C.

L.T.

L.T.

L.H.

A

E S C A L E R A

Dibujar en perspectiva cónica oblicua la figura definida por sus vistas.Datos: P.P. a P.V.= 7 cm.Escala= 1/1.Por puntos metricos.La altura de L.H.con respecto a la L.T.= 6 cm.

11

22

4

30º

H= 6

L.H.

A

P.V.

P.C.

L.T.

22

11

L.T.

L.H.

A

Apuntes realizados por Antonio CuestaEJERCICIOS DE CÓNICA OBLICUA

L.T.

L.H.

A

L.T.

L.H.

A

F O R M A S V A R I A S

Dibujar en perspectiva cónica oblicua la figura definida por sus vistas.Datos: P.P. a P.V.= 8 cm.Escala= 1/1.Por puntos métricos.La altura de L.H.con respecto a la L.T.= 6 cm.2

2

1

44

41

30º

H= 6

L.H.

A

P.V.

P.C.

2

L.T.

Dibujar en perspectiva cónica oblicua la figuradefinida por sus vistas.Datos: P.P. a P.V.= 7 cm.Escala= 1/1.Por puntos métricos.La altura de L.H.con respecto a la L.T.= 10 cm.

42

H= 10

L.H.

L.T.

44

30º

A

P.V.

P.C.

.



5030

4060

30

P

V

30º

503040

Dada las proyecciones de la figura, dibujar la Perspectiva Cónica Oblicua siguiente:- Distancia P_V = 110mm.- Altura V (distancia LT-LH = 140 mm.)- Cotas en milimetros.Situar la Linea de Horizonte a 50 mm. del borde superior de la lámina.Situar el punto P a 200 mm. del borde izquierdo de la lámina.



Dada las proyecciones de la figura, dibujar la Perspectiva Cónica Oblicua siguiente:- Distancia P_V = 120mm.- Altura V (distancia LT-LH = 140 mm.)- Cotas en milimetros.Situar la Linea de Horizonte a 160 mm. del borde inferior de la lámina.Situar el punto P a 130 mm. del borde derecho de la lámina.

20304020

4040

4040

40

60ºP

V



Dada las proyecciones de la figura, dibujar la Perspectiva Cónica Oblicua siguiente:- Distancia P_V = 120mm.- Altura V (distancia LT-LH = 140 mm.)- Cotas en milimetros.Situar la Linea de Horizonte a 160 mm. del borde inferior de la lámina.Situar el punto P a 230 mm. del borde izquierdo de la lámina.

207090

9090

30ºP

V

90 90



Dada las proyecciones de la figura, dibujar la Perspectiva Cónica Oblicua siguiente:- Distancia P_V = 120mm.- Altura V (distancia LT-LH) = 90 mm.- Cotas en milimetros.Situar la Linea de Horizonte a 100 mm. del borde superior de la lámina.Situar el punto P a 120 mm. del borde izquierdo de la lámina.20

20

2070

3020

2060

40 40 50 50

10

V

P

30º



Dada las proyecciones de la figura, dibujar la Perspectiva Cónica Oblicua siguiente:- Distancia P_V = 120mm.- Altura V (distancia LT-LH) = 90 mm.- Cotas en milimetros.Situar la Linea de Horizonte a 100 mm. del borde superior de la lámina.Situar el punto P a 130 mm. del borde derecho de la lámina.

1525

40

40 4040

40

20

15

2030

V

P 30º


T E O R Í AN

OR

MA

LI

ZA

CI

ÓN

Y

A

CO

TA

CI

ÓN

DEFINICIÓN: Es un término general que significa la reglamentación de un gran número de fenómenos, afín de ordenarlos de una manera tan unificada y lógica como sea posible.

La normalización abarca todos los campos de la industria y de la economía.

C A R A C T E R Í S T I C A S

ESPECIFICAR: Determinar los materiales y dimensiones, para evitar errores en le identificación.

UNIFICAR: Que es adoptar las medidas convenientes para que resulten fabricaciones intercambiables.

SIMPLIFICAR: Indicar las normas de fabricación que permita hacer más fácil la forma geométrica,la mecanización y el número de modelos, de acuerdo con los mejores y más necesarios.

Esto queda reflejado en las NORMAS que van dictando organismos nacionales e internacionales.

INTERNACIONAL

ESPAÑA

ALEMANIA

ESTADOSUNIDOS

ISO

UNE

DIN

USASIASA

PAIS Abreviaturade la Norma ORGANISMO NORMALIZADOR

ORG. INTER. DE NORMALIZACIÓN

INSTITUTO DE RACIONALIZACIÓN Y NORMALIZACIÓN

COMITÉ DE NORMAS ALEMÁN

AMERICAN NATIONAL STANDARS INSTITUTE

F O R M A T O SSe refiere a las dimensiones del papel que se utiliza para la ejecución de dibujos, asi como para el empleode otras actividades. La formación de formatos y reglas que rigen su formación parten de tres principios:

Todo formato se obtiene partiendo en dos su inmediato superior. La relación de sus superficie es, por tanto, de 1:2.

Todo formato se obtienepartiendo en dos su inmediatosuperior. La relación de sussuperficie es, por tanto, de 1:2.Los formatos que se obtienenpor división del A0 reciben ladenominación de A1 A2 A3A4,... y los obtenidos pormultiplicación se denominan2A0 4A0......etc.

REGLA DEL DOBLADO:

OBJETO: - Economía, debido a la simplificación, que disminuye el precio al facilitar la producción.- Utilidad, debida a la unificación que permite la intercambiabilidad de elementos.- Honestidad, debida a la especificación, que garantiza las características de los productos.

Los formatos estan referidosal sistema metrico. La superficiedel formato origen es igual ala unidad métrica desuperficie ( metro cuadrado),es decir x x y = 1.

REGLA DE REFERENCIA:REGLA DE SEMEJANZA:

Todos los formatos sonsemejantes en consecuencia sededuce para los lados x e y de unformato la relación x / y = 1 / 2que el lado mayor de un formatoes 1.4142.... veces mayor que elotro. Su relación es la misma quela del lado de un cuadrado y sudiagonal.

REGLA DEL DOBLADO REGLA DE SEMEJANZA REGLA DE REFERENCIA

X/2

Y/2

X

Y

X

Y

X

X

Y

Y = X 2

Y/2

X/2

X

Y/2

Y/4

X/2

X/4

Y/4

A0

A1

A2

A3

A4

841 X 1189

594 X 841

420 X 594

297 X 420

210 X 297

FORMATOUNE

SERIE ATAMAÑO

mm.MARGEN

mm.

10

10

10

5

5

SERIE A

F O R M A T O S Y M E D I D A S : UNE 1011.

A1

A2

A3

A4

A5

1.18

9

841

A0


T E O R Í AN

OR

MA

LI

ZA

CI

ÓN

Y

A

CO

TA

CI

ÓN

L Í N E A SEn todo dibujo es conveniente relacionar los espesores de las líneas a emplear para diferenciar perfectamenteen los dibujos el convencionalismo.Para efectuar las representaciones, debe elegirse el grupo de líneas más adecuado de acuerdo con la superficie y dimensiones del dibujo.No debe emplearse distintos grupos de líneas en un mismo dibujo, los grupos más utilizados se reflejanen el siguiente cuadro:

GRUESA

MEDIA

FINA

0.8 0.7

0.4 0.35

0.2 0.18

CLASESDE

LINEAS

GROSORDEL

TRAZADO

FORMAY

DENOMINACIÓN

aa

- Limitación final de una rosca.

- Contornos y aristas visibles.

- Indicación de superficies antes de sufrir un tratamiento complementario.

.

a/4

4a

15a

.

a/4

a/4

- Contornos y aristas no visibles.

- Contornos y aristas ficticias.- Líneas de cota y de referencia.- Rayados.- Contornos de piezas contiguas.- Contornos de secciones abatidas sobre superficie del dibujo.- Fondos de roscas.- Líneas de cota y referencia.

- Posiciones extremas de las piezas móviles.

- Ejes.

- Líneas de roturas.

- Trazas de planos de corte.CASOMIXTO

LLENA GRUESA

GRUESA DE TRAZOS Y

MEDIA DE TRAZOS

LLENA FINA

FINA DE TRAZOS Y PUNTOS

LLENA FINA A MANO ALZADA

FINA DE TRAZOS Y PUNTOSEXTREMOS EN GRUESO

. .

a/2

a

2a

APLICACIONES

1

2

3

4

5

6

7

GRUESAS

MEDIAS

FINAS

1.2

0.6

0.3

0.8

0.4

0.2

0.7

0.35

0.18

E S P E S O R E SL I N E A S

0.5

0.3

0.1

A C O T A C I Ó NLa acotación en un dibujo, consiste en señalar todas las medidas REALES de las piezas a dibujar.

En una cota intervienen:LAS LÍNEAS DE REFERENCIA. Que señalan los extremos de una dimensión y sobresalen unos 2mm aprox.

LAS LÍNEAS DE COTA. De longitud igual al valor que representa. La distancia entre lÍneas de cota es aconsejableque la primera cota fuera del dibujo quede separada de él 8mm y las líneas de cota siguientes se colocan igualesentre sí pero proporcionalmente menores a la anteriormente citada y nunca con separación inferior a 5mm.

LAS FLECHAS DE COTA. Las situadas en los extremos de las líneas de cota, en contacto con las líneas de referencia.

LAS CIFRAS DE COTA. Valor numérico real de la dimensión que representa. Todas el mismo tamaño, su alturarecomendable es de 3 o 4mm, nunca inferior a 2,5mm.

190

15

90

A

B

1

34

5

6

7

1

4

1

4

51

4

FLECHA

15º

5a

2mm

A

100

70

80

55

CIFRA DE COTA

LÍNEA DE REFERENCIA

FLECHA

LÍNEA DE COTAA

8m8mm

5mm

A S P E C T O S I M P O R T A N T E S

Las líneas de cota que guarden relación entre sí, deben alinearse.Las líneas de cota no debencortarse entre sí.

5040

MAL

50 40

BIEN MAL BIEN


T E O R Í AN

OR

MA

LI

ZA

CI

ÓN

Y

A

CO

TA

CI

ÓN

ACOTACIÓN DE DIMENSIONES PEQUEÑAS

Se colocan las flechas exteriores a línea de cota, e inclusopuede sustituirse la flecha por un punto.

.. ..3 7 2 5 7 2 3 2 66,5

Se debe evitar el cruce de líneas de referencia entre si, siempre y cuando no afecte a la clara interpretacióndel dibujo (caso A).

Nunca se debe cruzar una línea de referencia con una línea de cota (caso B).

Y para evitar el cruce de las líneas de referencia con las de cota, se dispondrán de menor a mayor (caso C).

Las líneas de cota no deben cortar a una parte del dibujo (caso D).

Las líneas de cota no deben cortarse entre sí (caso E).

ACOTACIÓN SEGUNLAS NORMAS UNE

En las normas ISO y UNE, lacifra de cota se sitúa encima dela línea de cota y paralela a ella.

100

55

ACOTACIÓN EN SERIE

5 11 13

42

Cada elemento está acotadorespecto al elemento contíguo.

ACOTACIÓN EN PARALELOS

6

1218

24

Todas las cotas de una mismadirección tienen el mismo

orígen ( base de medidas).

ACOTACIÓN POR SIMETRÍA

25

16

37

47

Cuando una pieza es simétricarespecto a un eje, se acotaentre elementos simétricos.

Cuando hay varias cotas correspondientesa elementos simétricos, se alternan en

la forma indicada en la figura.

4 8

10

12

16

ACOTACIÓN DE MEDIDAS IGUALES

Si en la pieza las distancias entre los taladros y extremosson iguales, se repiten dos valores alternativamente..

4 X 6 = 24 a a a abbb

a = 6 b = 4

ACOTACIÓN DE ARCOS

Cuando pasa el arco de 180º se acota pormedio del diámetro.Los menores de 180º se acotan mediantesu radio.

23

10

11

4

A C O T A C I Ó N D E E S F E R A S

Esfera

Esf. O

20 Esf.R2

ACOTACIÓN DE DIAMETROS

A C O T A C I Ó N D E R A D I O S

5 23R

R2

R

Cuando la línea de cota parte de su centro, se pone su valorprecedido de la letra R. En la figura se dan varios tipos de acotarradios.

La cifra de cota irá precedida de la palabra "esfera" o simplemente "esf".

25

25

10

1016

19

ACOTACIÓN DE LÍNEAS OBLICUAS

Las cifras de cota se rotularán enla forma indicada en la figura.Siempre que sea posible, debeevitarse la acotación enla zona rayada.

Se efectúa su acotación pormedio de coordenadas.

ACOTACIÓN DE CURVASNO CIRCULARES

20

2020

BIEN

CB

A

D

E

MAL


T E O R Í AN

OR

MA

LI

ZA

CI

ÓN

Y

A

CO

TA

CI

ÓN

ACOTACIÓN DE ANGULOSLas líneas de cota son arcos de circunferencia concentro en el vértice del ángulo, dispuestas en la formaindicada en la figura 2.

Debe evitarse acotar en la zona rayada. El ángulo de90º no se acota, se entiende que es un cuadrante.

75º

15º45º

30º

30º

30º

75ºAPLICACIÓN DE COTAS OBLICUAS Y ANGULOS

CRUZ DE SAN ANDRES

ACOTACIÓN DE CILINDROS

O12

Si se acota su diámetroen la proyección en laque no aparece elcírculo de la base, seemplea el signo , queprecede a la cota delvalor del mismo.

ACOTACIÓN DE CUADRADOS

12

Se utiliza en la acotación desuperficies prismáticas debase cuadrada

Identifica a superficiesplanas. Está formadapor dos diagonalestrazadas con línea fina.

ACOTACIÓN DE CHAFLANES

Cuando es a 45º se pondrá la notación" m x 45º " . En los demás valores deángulos se anotará según muestra la figura.

5

10

60º

60º

3 X 45º

1 X 45º

22

R6

60º30º

20º120º

25º

R3

R5

A C O T A C I Ó N D E R O S C A S

La rosca MÉTRICA INTERNACIONAL se acota el valor deldiámetro nominal ( exterior) precedido de la letra "M".

La rosca Whitworth, cuyo valor de su diámetro se expresa enpulgadas , va precedida de la letra "W".En las roscas finas, junto a la cota del diámtro, se anota el paso de la rosca.

M10 W3/4" M20 X 1,2

12 12

3/4"

ACOTACIÓN DE TORNILLOS

En la cabeza se dará la distancia entre caras e.El perno se acotará su longitud total t yla longitud roscada r así comoel diámetro exterior d.

e

r

t

d

ACOTACIÓN DE AVELLANADOS:

Se acota el diámetro mayor y el ángulo.Completará la acotación de la figurael diámetro de la base y la altura total.

ACOTACIÓN DE TALADRO CIEGO

Se acota el diámetro y la profundidad.

O6

60º

O 12

20

O 12

10

ACOTACIÓN DE TALADRO CIEGO ROSCADO

Se acota el diámetro de la rosca y la longitud roscada.

10

M 12

A C O T A C I Ó N D E C U E R P O S

8 12

8 1023

16

34

7

11

2

Cuando son varias vistas las que definen a uncuerpo, se reparten racionalmente entre las distintasproyecciones.


T E O R Í AN

OR

MA

LI

ZA

CI

ÓN

Y

A

CO

TA

CI

ÓN

S E C C I O N E S , C O R T E S Y R O T U R A S

Es el corte producido por un plano imaginario y sirve para ver el interior de los sólidos, que sin el auxilio de las secciones se observarían como partes ocultas.A pesar que aparentemente la sección y el corte es lo mismo, no es así, ya que la sección se considera sólolo cortado del sólido y el corte representa la sección y la parte del sólido que queda detras del corte queproduce el plano imaginario.

C O R T ES E C C I Ó N

RAYADOS EN CORTES Y SECCIONES:

- A) El rayado es de línea fina y con una inclinación de 45º con respecto al eje.- B) La separación entre líneas dependerá de la magnitud del dibujo.- C) En toda la pieza se mantendrá el mismo tipo de rayado.- D) Si hay varias piezas juntas el rayado tendrá que ser diferente para cada pieza.- E) El rayado se interrumpirá, si es necesario para la colocación de cotas.

45ºA

CORTE TOTAL POR UN PLANO

BIEN MAL

C

D

27

E

- 1) Cuando el plano de corte coincide con el plano de semetría de la pieza.- 2) Cuando el plano de corte no es plano de simetría de la pieza.

A B

1 2

CORTE TOTAL POR PLANOS PARALELOS:

A

BC

D

AB

C D

- Secciones producidas por distintos planos.- Letras mayúsculas al final, comienzo y en las quebradas.- Secciones por planos paralelos.

SEMICORTE O CORTE DE UN CUADRANTE

SECCIONES NO LIMITADAS

- Forma de cuadrado no limitado.- De detalle.

z

z

SECCIONES PARCIALES

- Línea fina y a mano alzada.- Sólo para pequeños detalles.- Puede coincidir o no con ejes de simetría.

SECCIONES TRANSVERSALES

Se representan sobre la vistaoriginal sin recurrir a otra.

ROTURAS- Línea fina y a mano alzada.- No coincidir con aristas de la pieza.- Las rotudas cilíndricas pueden ser : macizas o huecas.



Dados los siguientes dibujos de acotación, se pide contestar la solución correcta en cada uno de los ejemplos:

1

27

2727 A B C

27 27 R27 A B C2

A B C5

14

31

12

22

14

12

22

31

1412

22

31

A B C4

A B C60º60º 60º

3

A B C60

º

60º

60º

6

7 A B C

8 A B C

A B C11

9 A B C

10 A B C



Dados los siguientes dibujos de acotación, se pide contestar la solución correcta en cada uno de los ejemplos:

12 A B C

A B C13

14 A B C

15 A B C

30

30 30 A B C16

A B C

39

23

39

23

39

23

17

A B C18

A B C

31 31 31

19

A B C20

21 A B C

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