Apuntes_sobre_estructuras_isostáticas (1).DOCX

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMONFACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

APOYO DIDCTICO PARA LA ENSEANZA Y

APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA DE ESTRUCTURAS

ISOSTTICAS

TEXTO ESTUDIANTE

TRABAJO DIRIJIDO, POR ADSCRIPCIN, PARA OPTAR AL DIPLOMA ACADMICO DE LICENCIATURA EN INGENIERA CIVIL

PRESENTADO POR: DENNIS BERNARDO TORRICO ARAUCO

RAUL LIENDO UDAETA

TUTOR:

Ing. Oscar Antezana Mendoza

COCHABAMBA BOLIVIA

MARZO DE 2006

Universidad Mayor de San Simn

Facultad de Ciencias Y Tecnologa

Carrera de Ingeniera Civil

CAPITULO 1

FUNDAMENTOS DE LA ESTATICA Y

ENFOQUE VECTORIAL

1.1 OBJETIVO GENERAL.

El objetivo fundamental de este capitulo es que el estudiante conozca los fundamentos de la esttica con un enfoque vectorial, y este desarrolle destrezas para el clculo del equilibrio esttico.

1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS.

Al finalizar este capitulo el estudiante podr:

Describir una fuerza en trminos de su modulo, direccin, y sentido.

Comprender y calcular el concepto de momento con relacin a un punto y un eje, adems el efecto que este implica.

Adquirir destrezas para hallar la resultante de un conjunto de fuerzas y momentos en el espacio y de momentos.

1.3 FUERZA.

La fuerza es la accin de un cuerpo sobre otro, que produce en este ltimo una modificacin en su estado de reposo o de movimiento.

La unidad dimensional en el anlisis de las estructuras es libra, kilogramo, tonelada.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS ISOSTATICASPag - 1 -




Un vector fuerza es un segmento orientado en el espacio, se puede caracterizar por tener:

Origen a considerar cuando interese conocer el punto de aplicacin del vector.

Direccin o lnea de accin coincidente con la de la recta que la contiene o cualquier otra recta paralela.

Sentido viene determinado por la punta de flecha localizada en el extremo del vector. Mdulo es la distancia entre el origen y el extremo del vector.

Introduciendo los vectores unitarios i, j, k orientados en las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente, (figura 1.1), podemos expresar F en la forma:

rrr

F F i Fj F kExpresin vectorial de la fuerza

XYZ

Figura 1.1

Donde definiremos cada trmino:

rComponentes escalares de F estn definidas por las relaciones: FX , FY , FZ a largo de los tres ejes de coordenadas. r r rVectores unitarios en direccin de los cartesianos: i ; j ;k

Componentes vectoriales de F FrX i FrY j FrZ k .

Relacin entre la magnitud de F y sus componentes escalaresr F F2 X F 2Y F2Z





rr1F , F , F

Vector unitario en la direccin de F : err

FFX Y Z

Los tres ngulos x, y, z definen la direccin de la fuerza F , los csenos de x, y, z se conocen como los csenos directores de la fuerza F :

cos FrXF

cos FY r

F

cos FrZF

Para la mejor concepcin del anterior concepto, proponemos a continuacin el siguiente ejercicio.

Ejercicio #1

Dada la fuerza F = 2, -3, 5 en toneladas, determinar la magnitud y direccin de la fuerza

Solucin.-

Se tiene los componentes escalares (2t, -3t, 5t)

Se tiene los componentes vectoriales (2 i, -3 j, 5 k)

La magnitud de F ser:

r

22 32 52 6.16 ton

F

Entonces:

cos20 32

6 16

cos30 49

6 16

cos50 81

6 16

La direccin del vector es:

rr12;3;5

e6.16

F

r0.32;0.49;0.81

eFr





1.4 VECTOR DE POSICION.

Si tenemos un punto cualquiera P1 se define el vector de posicin del punto P1 como el segmento orientado que determina el origen de coordenadas O y el punto P1.

Es el segmento rectilneo orientado dirigido del origen al punto como vemos en la fig1.2.

Figura 1.2

Consideramos el sistema de fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido en los puntos X1, Y1, Z1, definidos por los vectores posicin rr1 .

P1 = (X1, Y1, Z1)

rr1 X1;Y1;Z1 es la magnitud, y representa la distancia entre O y P1

Si se desea encontrar la magnitud y direccin de la Fuerza rr puede calcularse de las componentes rx, ry, rz como se explica a continuacin.

Fcilmente podemos verificar que los vectores de posicin obedecen la ley de suma para vectores. Consideremos, por ejemplo, los vectores de posicin r y r con respecto a los puntos de referencia O y O y el vector de posicin de s y O con respecto a O de la figura 1.3 verificamos que el vector de posicin r = OA puede obtenerse de los vectores de posicin s = OO y r = OA aplicando la regla del triangulo para la suma de vectores.





A

r r'

O

s

Figura 1.3

Como siempre es posible trazar un segmento rectilneo, entre el origen y un punto arbitrario dado, entonces, siempre es posible asociar a dicho punto, su respectivo vector de posicin.

1.5 VECTOR DE DEZSPLAZAMIENTO.

Vamos a empezar por la cantidad vectorial ms simple, el desplazamiento, que no es ms que el cambio de posicin de un punto a otro (Atencin, este punto puede ser un modelo que representa una partcula o un pequeo cuerpo que se traslada). El desplazamiento es un vector porque no solamente basta decir a qu distancia se movi sino en qu direccin. No es lo mismo salir de la puerta de casa y moverse 2 cuadras hacia la derecha que hacia la izquierda. El desplazamiento no es el mismo.

El desplazamiento a menudo lo representamos por una sola letra mayscula que aqu la mostraremos en negrita P, pero hay muchas otras maneras.

En la fig 1.4 mostramos que el desplazamiento para ir de A hasta B es una lnea recta que une estos puntos, empieza en A y termina en B dirigida hacia B. Cuando el cuerpo se mueve de manera que vaya y vuelva al punto inicial, el desplazamiento es cero. Es importante darse cuenta que el desplazamiento no est relacionado con la distancia recorrida.

B

P

A

B

P

A

Figura 1.4 (a)Figura 1.4 (b)





Vamos a representar la magnitud de un vector (la longitud en el caso del desplazamiento) por la misma letra del vector pero no en negrita o bien:rr(Magnitud o mdulo de P) = P P

Por definicin el mdulo de P es un escalar (un nmero) y siempre es positivo.

Suponemos ahora que una partcula tiene un desplazamiento P, seguido por un desplazamiento Q. El resultado es el mismo que si se hubiera considerado partiendo del mismo punto inicial un nico desplazamiento R como podemos ver en la figura.

Figura 1.5

Lo que en smbolos podemos expresar R = P + Q, a este vector se lo llama suma o resultante. Poner atencin que aqu estamos sumando vectores y no es la simple suma algebraica de sus mdulos sino que debemos tomar en cuenta sus direcciones.

Figura 1.6

Viendo la fig 1.6 se deduce que:12 rr2 rr1 rr2 rr1





12 Llamado vector de desplazamiento entre P1 y P2

Siempre se puede asociar a un punto su respectivo vector de posicinrr X;Y ;Z ;rr X2;Y ;Z2

111122

12 X2 ;Y2 ;Z2 X1;Y1; Z1

12 X2 X1;Y2 Y1;Z2 Z1

r X2X12Y2Y12Z2Z12r Es la frmula de distancia entre dos puntos P1 y P2

Ejercicio #2

Dados los puntos P1 de coordenadas (2,-3,0) metros, P2 de coordenadas (0,1,3) metros, P3 de coordenadas (-1,0,3) metros.a) Hallar el vector de posicin entre P2 y P3

b) Hallar el vector de desplazamiento entre P2 y P3

c) Hallar la distancia entre P1 y P2

Solucin.-Z

a)

r1 2,-3, 0 2 i -3 j + 0 k

o P1

23

r2 0, 1, 3 0 i + 1 j +3 kP3 OO P2

Y

r3 -1, 0, 3 -1 i +0 j + 3 k

b)

23 r3 r2 -1, 0, 3 - 0, 1, 3

X

23 = -1,-1, 0

c)

12 r2 r1 0, 1, 3 - 2,-3, 0

12 -2, 4, 3

12=

22 42 32= 5, 38 (m) de distancia





1.6 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO.

Consideremos una fuerza F que acta sobre un cuerpo rgido como se muestra en la figura 1.7. Como sabemos la fuerza F se representa por un vector que define su magnitud y direccin. Sin embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rgido depende tambin de su punto de aplicacin P. La posicin de P se define convenientemente por el vector r que une el punto de referencia fijo O con el punto P; este vector se conoce como vector de posicin de P. El vector de posicin r y la fuerza F definen el plano mostrado en la figura 1.7

Figura 1.7

Definiremos el momento de F con respecto a O como el producto vectorial de r y F.

Mo = r * F

r Vector de posicin de P

M P1 = * F1

Vector de desplazamiento entre P1 y P2

El momento Mo debe ser perpendicular al plano que contiene a O y a F. El sentido de Mo se define por el sentido de rotacin que podra llevar el vector r a ser colineal con el vector F; pero esta rotacin es la rotacin que F tiende a imprimir al cuerpo. As, el sentido del momento Mo





caracteriza el sentido de la rotacin que F tiende a imprimir al cuerpo rgido; esta rotacin ser observada como contraria a la de las agujas del reloj por un observador situado en el extremo de Mo. Otra manera de establecer la relacin entre el sentido de Mo y el sentido de la rotacin del cuerpo rgido es el suministrado por la regla de la mano derecha: cierre su mano derecha manteniendo el dedo pulgar extendido, sostngala de tal modo que sus dedos indiquen el sentido de rotacin que la fuerza F tiende a impartirle al cuerpo rgido; su dedo pulgar indicara el sentido del momento Mo.

Finalmente, llamando al Angulo comprendido entre las lneas de accin del vector de posicin r y la fuerza F hallamos que el momento de F con respecto a O es:

Mo = r F. sen = F d

Ejercicio #3

Dada la fuerza 1, 2,-2 toneladas, que pasa por el punto P1 (2,1,3) metros. Determinar el momento de la fuerza respecto el punto P2 (0, 2,-1).

Solucin.-Z

21

r1 2,1,3P2 oP1

r3 0, 2,-1Y

21 r1 r2 2, 1,3-0, 2,-1F

21 2,-1,4 vector desplazamientoF

X

M2 = 21 * F

2-14

M2 = 21 * F =12-2= -6 i + 8 j + 5 k = -6, 8,5

ijk

M2 = (-6)2 + (8)2 + (5)2

M2 = 11, 86 ton_m





1.7 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN EJE.

Ahora que se han aumentado nuestros conocimientos de algebra vectorial, introduciremos un nuevo concepto, el concepto del momento de una fuerza con respecto a un eje. Consideraremos nuevamente una fuerza F que acta sobre un cuerpo rgido y el momento Mo de esa fuerza con respecto a la (fig 1.8).

Figura 1.8a) En el grafico se puede observar que el eje es perpendicular al plano II

b) El punto P pertenece al plano II

c) El punto a es la traza del eje en el plano d)res la componente dercontenida en el plano II

FF

1

e)res la componente derparalela al eje

FF

2

donde:

Ma= Momento de fuerza, respecto de a o cualquier punto de ese eje.

r= Es el vector unitario en la direccin del eje.

eE

Donde este momento se lo expresa como:

rr

M E M a* eE

Se concluye de la definicin de momento de una fuerza con respecto a un eje, que el momento de F con respecto a un eje coordenado es igual ala componente Ma con respecto a dicho eje. Sustituyendo sucesivamente cada uno de los vectores unitarios i, j, k, por eE, comprobamos que las expresiones asi obtenidas de los momentos de F con respecto a los ejes coordenados son, respectivamente, iguales a las expresiones de las componentes del momento Ma de F con respecto a P.





Ejercicio #4Los Puntos P1 (0,-2,1) metros y P2 (3,-2,1) definen un eje en el espacio, cierta fuerza F 2, 3,1

Kg. pasa por el punto P0 (-1,-2,0). Determinar el momento de la fuerza respecto del eje.

Solucin.-P2P1 -3, 0,1P1 o

E

e

P2P1 == 3,2 = -0,94; 0; 0,31

10

P1P2

P1P2 3, 0, -1o P2

P1P2 == 3,2 0,94; 0; -0,31

10e=

P1P210 = -1, 0, -2 MP1 = 10 * F

= -1, 0,-2 * 2, 3, 1

ijk

= -1 0 -2= 6i 3j -3k

231

ME = Mp1 * e p2p1 * E = 6, -3, -3 * -0.94; 0; -0.31

= -5.64 + 0.93

= 6.54 Kg_m

ME 6, -3, -3 * 0.94; 0; -0.31 = 0.54 Kg_m

Mp2 2 0 * F

= -4, 0, 1 * 2, 3, 1

- 401

=2 3 1= 3 i + 2 j 12 k

ijk

ME 3, 2,-12 * -0.94; 0; 0.31

= -2.82 + 0 + (-3.72)





= -6.54 Kg_m.

ME 3, 2, -12 * 0.94; 0; -0.31

2.82 + 3.72

6.54 Kg_m.

1.8 TEOREMA DE VARIGNON.

La propiedad distributiva de los productos vectoriales puede utilizarse para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes. Si varias fuerzas F1, F2,.se aplican al mismo punto P, y si llamamos r al vector de posicin de P, se concluye inmediatamente que:r * (F1 + F2 + .) = r * F1 + r * F2 +

Figura 1.9

En palabras, el momento con respecto a un punto dado O de la misma resultante de varias

fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo punto O. La relacin de la grafica hace posible la determinacin del momento de una fuerza F por el calculo de los momentos de dos o mas fuerzas componentes.La fuerza F se descompone enF = F1 + F2 +F3

ME = M * e = r * (F1 + F2 + F3) * e

Donde:

ME = (r * F1) .e + (r * F2).e + (r * F3). e

Teorema momento de una fuerza respecto de un punto





1.9 PAR DE FUERZAS MOMENTO DEL PAR.

Se dice que dos fuerzas F y F forman un par si tienen la misma magnitud, direccin pero sentido contrario, ver figura 1.10

Figura 1.10

Es evidente que la suma de los componentes de las dos fuerzas en cualquier direccin es cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. Aunque las fuerzas no desplazan al cuerpo sobre el que actan ellas tienden a imprimirle un movimiento de rotacin

Figura 1.11

Representando por rA y rB los vectores de posicin de los puntos de aplicacin de F Y F de la figura 1.11 encontramos que la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a O es:rA * F + rB * (-F) = (rA rB) * F





Remplazando rA rB = r, donde r es el vector que une los puntos de aplicacin de las dos fuerzas, concluimos que la suma de los momentos de F y F con respecto a O se representan por el vector:Mo = r * F(1)

El vector Mo se le llama momento del par; es un vector perpendicular al plano que contiene

las dos fuerzas y su magnitud es:

Mo = r.F.sen = Fd(2)

Donde d es la distancia perpendicular entre las lneas de accin de F y F, y el sentido de Mo se encuentra mediante la regla de la mano derecha del grafico.

Como el vector rr en (1) es independiente de la eleccin del origen O de los ejes coordenados, se obtendra el mismo resultado si los momentos de F Y F se hubieran calculado con respecto a un punto diferente O. Por tanto, el momento M de un par es un vector libre que puede aplicarse en cualquier punto como se ve en la grafica.

Figura 1.12

De la definicin del momento de un par, se concluye que dos pares, uno formado por las fuerzas F1 y -F1, y el otro por las fuerzas F2 y -F2 como se ve en la figura 1.13 (a) y (b), tendrn momentos iguales si y solo si; los dos pares estn en planos paralelos o en el mismo plano y tienen el mismo sentido:F1d1 = F2d2-F1F2

d1d

F1F2


La expresin: MO = * F representa el momento del PAR DE FUERZAS





Ejercicio #5

Dados los pares de la figura 1.14 se pide determinar la suma de los momentos pares. Donde: C1 y C3 pertenecen al plano YZ, C2 pertenece al plano paralelo XZ.

Figura 1.14Se tiene:

a) Momento de los pares Mc1 = 6 i = 6, 0, 0 t.m

Mc2 = - 8 j = 0, -8, 0 t.m

Mc3 = 20 i = 20, 0, 0 t.mb) Suma de los pares S = Mc1 + Mc2 + Mc3 = 26, -8, 0 t.m

Es decir: para sumar pares se debe sumar los momentos de los pares

1.10 TRASLACION DE UNA FUERZA A UNA POSICION PARALELA.

Se muestra una fuerza y se desea trasladarla a una posicin paralela que pasa por el punto P. Como se ve en la figura 1.15

Figura 1.15





El procedimiento para trasladar una fuerza a cierta posicin paralela dada consiste en los siguientes pasos:

1) Se traslada la fuerza a la nueva posicin manteniendo su direccin, magnitud, y sentido.

2) Se aade la fuerza simtrica en la direccin de traslado

3) Se incluye el momento del par ocasionado por la fuerza y su simtrica.

c = es el par formado por F y -F

figura 1.16

rCon estos pasos se origina un nuevo sistema, constituido por F en la posicin paralela y el r par c formado por F y F como se ve en la fig 1.16.

Cuando se traslada una fuerza a una posicin paralela dada, debe adems de la fuerza, tomarse en cuenta el par.

Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si tienen a producir el mismo efecto sobre un cuerpo. Se ha visto que une fuerza se puede desplazar sobre su lnea de accin y el efecto sobre el cuerpo no se modifica tanto para traslacin como para rotacin. As mismo se ha dicho que un Par, por ser un vector libre, se puede trasladar a cualquier posicin sin que se cambie el efecto que produce sobre el cuerpo.

Ejercicio #6rDada la fuerza F = 2, 1, 0 toneladas que pasa por el punto P1 (3, 2, -1) metros y el punto

P2 (4, 0, 2) metros, se pide trasladar la fuerza a una posicin paralela que pasa por P2:ra) traslacin de F a la posicin paralela que pasa por P2

r F en P F = 2, 1,0 t





P2P1 = =-1, 2, -3 t

-12-3

MP2 = = F =210 = 3, -6, -5 t.m

ijk

Por lo tanto, el nuevo sistema queda constituido por F = 2, 1, 0 ton trasladada a laposicin paralela que pasa por P2 y el momento del Par MP2 = 3, -6, -5.

1.11 RESULTANTE DE FUERZAS Y MOMENTOS.


En la figura 1.17 (a) se observa un sistema general de fuerzas, constituido por fuerzas y momentos de pares.

Mediante el procedimiento descrito en el anterior titulo. Siempre es posible trasladar las fuerzas a una posicin paralela que pasa por el origen, obviamente teniendo en cuenta los momentos correspondientes y recordando que los momentos de los pares son vectores libres.

En la figura 1.17 (b) se tiene:

FR = F1 + F2 + F3

MR = r1 * F1 + r2 * F2 + r3 * F3 + C1 + C2





Claramente, los sistemas de las figuras 1.17 (a) y (b) son EQUIVALENTES PARA

CIERTA CAPACIDAD.

Sin importar la complejidad de un sistema de fuerzas y momentos, este siempre puede

ser reducido a una sola fuerza FR y a un solo momento MR.

FR = se denomina Resultante de fuerzas

MR = se denomina Resultante de momentos

Entonces: La resultante de un sistema es la EQUIVALENCIA ms simple.

Ejercicio #7

Dado el sistema de la figura 1.18 determinar la resultante de momentos.

Figura 1.18

Donde: F1 = 3, 2,1 t y F2 = -4, 1,3 m; P2 (4, 5,6) m y el Par C se encuentra en el plano xy; se pide:

a) Resultante de fuerzas en el origen:

FR = F1 + F2 = -1, 3,4 t

b) Resultante de momentos en el origen:

r1 = 2,-2,1 ; r2 = 4, 5,6

Por tanto:MR = 2,-2,1 * 3, 2,1 + 4, 5,6 * -4, 1,3 + 0, 0,6





MR = 5,-35,40 ton_m

c) Resultante del sistema:

Figura 1.19

Obviamente; el sistema de la figura 1.19 es EQUIVALENTE al sistema de la figura 1.18

para cierta capacidad.

Ejercicio #8

2-3

Verificar la igualdad de los desplazamientos entre los puntos P10 (m) y P24(m)

31

Solucin.-

a) 12 vector de desplazamiento

12 r1= 2, 0,3 ; r2= -3, 4,1

12 r2 + (- r1) -3, 4,1 + (-)2, 0,3

12 -5, 4,-2b)

21 r1 + (-r2) 5,-4,2

21 = 5,-4,2

1 2 2 1





Ejercicio #9

-1

La fuerza F 0, 3, -2 t. pasa por el punto P22(m) determinar el momento de F

3

Solucin.-

a) Respecto del origen (0,0,0) m

rr2 1,2,3

rr123

MO*F 0 3 2

2

ijk

O 9 4*i 2* j 3*k

O 13i 2 j 3k O 13,2,3 ton _ m

b) Respecto de P1 (-4, 2,0) m

M P1 12 * F

rr 4,2,0; rr 1,2,3

12

12 3,0,3

ijk

M p1 03 2=[-9,6,9] ton_m

303





Ejercicio #101rDada la fuerza F -1, 2, 3 t que pasa por el punto P 2 m Determinar el momento de F

3

Solucin.-

a) Respecto del origen (0, 0,0) m.

F

O

r2r2 -1, 2, 3

P2

-123

MO = r * F =03 -2

ijk

-9 + (-4) i + (-2) j + (-3) k

-13 i 2 j -3 k MO = -13, -2, -3 ton_m

b) Respecto de P1 (-4, 2, 0) M

0 P1r1F

Mp1 = 12 * F

r2r1 = -4, 2, 0 ; r2 = -1, 2, 3 P2 12 3, 0, 3 i j k Mp1 = 03-2 = -9, 6, 9 ton_m

303





Ejercicio #112-3

Cierto eje esta definido por los puntos P13 (m) y P22

01

4

F 4, 0, 1 Kg que pasa por el punto Po-2

-1

Determinar el momento de la fuerza respecto del eje.

Solucin.-

F

P2P1P2 -5, -1, 1

PO

P1P2= 5 * 19

P1

1

eE = * -5, -1, 1 -0.96, -0.19, 0.195 .1920 7, -4, -2

7 -4 -2 Mp2 20 * F 401

ijk

Mp2 = -4, -15, 16

ME = Mp2 * eE

ME = (-4) (-0.96) + (-15) (-0.19) + (16) (0.19) ME = 9.73 Kg.m

Ejercicio #12

Se pide determinar la resultante ms simple del sistema a) definido en forma coplanar

F1 3, -2, 0 ; P1 (2, 4, 0)

F2 -1, -1.5, 0 ; P2 (-1, 3, 0)





Solucin.-

r1 2, 4, 0

r2 -1, 3, 0

MR

ijk= 0, 0, -16 ton_m

r1 * F1=240

3-20

ijk= 0, 0, 4.5 ton_m

r2* F2 =-130

-1-1.50

Par = 0, 0, 4.5 ton_m

MR = r1 * F1 + r2 * F2 + Par

MR = 0, 0, -16 + 0, 0, 4.5 + 0, 0, -5

MR = 0, 0, -16.5 ton_mMomento de FR Momento del sistema





y rR * FR MR

MRx

FRSea P de coordenadas (x, y, o) m un punto de la lnea de accin de FR

P (x, y, o) m rR x, y, o

xyo

rR * FR MR -2-3.50= 0, 0, -16.5

ijk

0, 0, -3.5 x -2 y*

La expresin * representa la ecuacin de una recta que define la lnea de accin de la

resultante.

3.5 x + 2 y = 16.5

8.25

Six = 0 y = 8.25

FRSiy = 0 x = 5.7

5.7

SISTEMA MS REDUCIDO

Ejercicio #13

-1

La fuerza F 2, 3, -3 t pasa por el punto P2-2 (m); Determinar el momento

-3

0

de dicha fuerza respecto del punto P1-2 (m).

2





Solucin.-

P1

12 = r2 r1

r112Fr2 = X2, Y2, Z2 -1, -2, 3

r1 = X1, Y1, Z1 0, -2, 2

OP2

r2

12 = -1, 0, 1 ; Mp1 = 12 * F

01

-1

Mp1 =23-3= -3, -1, -3 ton_m

ijk

MP = r * F r * (FX + FY + FZ)

MP = r * FX + r * FY + r * FZ TEOREMA DE VARIGNON

Ejercicio #14

0-3

Los puntos P12 (m) y P21 (m) definen un eje en el espacio, una fuerza F

10

en Kg. pasa por el punto P (3, 2, -4). Se pide determinar el momento de F

respecto del eje.

Solucin.-

0-33

P12 yP21 ;F 2, 3, 1 kg ; P2 (m)

10-4

Suponer una orientacin:





E

P1P2 (-3-0), (1-2), (0-1) -3, -1, -1 mP2F

P1P232 + 12 + 12 = 3.32 m

o P

1/3.32 = -3, -1, 1 = -0.90, -0.30, -0.30P1

UE =

P1 P 3, 0, -5

30-5

MP1 P1 P* F 231 15, -13, 9

ijk

ME 15, -13, 9 * -0.90, -0.30, -0.30 15*(-0.90) + (-13)*(-0.30) + 9*(-0.30) -13.5 + 3.9 -2.7 ME = -12.3 kg_m

EL TEOREMA DE VARIGNON DEMOSTRADO EN EL EJERCICIO ANTERIOR ES TAMBIEN VALIDO EN EL CASO DE MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN EJE (SE DEJA AL ESTUDIANTE SU DEMOSTRACION).

Ejercicio #15

Dado el sistema (a) constituido por dos fuerzas y un par; Se pide determinar un sistema resultante constituido por una sola fuerza en el origen y un solo momento.





Solucin.-

C1 Pertenece al Plano XY

FR = F1 + F2 1, 4, 1

r1 -3, -1, 2 ; r2 5, 3, 1

MR r1 * F1 + r2 * F2 + C1;C1=F* d = 2 * 3 = 6 ton_m

Z

FRMR -3 -1 -2

r1 * F1 =4 20= 4, -8, -2

ijk

Y

531= 1, -8, 19

(b)r2 * F2 =-321

ijk

X

C1 = 0, 0, -6

MR = 5, -16, 11 ton_m

Ejercicio #16

Dadas las 3 fuerzas y los 2 pares. Hallar un sistema resultante.





-3

F1 2, 0, 4 t; P1-1(m)

-2

2

F2 5, -1, 1 t; P2-1(m)

2

5

F3 2, 4, -1 t; P33(m)

1

Solucion.-

C1 Pertenece al plano YZ

C2 Pertenece al plano XY

FR F1 + F2 + F3 9, 3, 4 t

r1 -3, -1, -2; r2 2, -1, 2; r3 5, 3, 1

-3-1-2= -4, -8, 2

r1 * F1 =2 0 4

ijk

-12= 1, 8, 3

2

r2 * F2 =5 -1 1

ijk

531= -7, 7, 14

r3 * F3 =2 4 -1

ijk

MR = r1 * F1 + r2 * F2 + r3 * F3 + C1 + C2

C1= 5 * 4 = 20 ; C1 = 20, 0, 0

C2= 4 * 2 = 8 ; C2 = 0, 0, -8

MR = 10, 7, 11 ton_m

Ejercicio #17rDada la fuerza F = 3, -2, 4 en toneladas, se pide determinar:





Solucin.-a) Componentes escalares 3 t, -2 t, 4 t

b) Componentes vectoriales 3 i , - 2 j , 4 k

c) Magnitud de F = 32 22 42 = 5.38 t

d) Vector unitario en la direccin de F e F

e1* 3, -2, 4 = 0.55, -0.37, 0.74

F =

5.38

e) Csenos directores:

3-24

cos == 0.55cos == - 0.37 cos == 0.74

5.385.385.38

Ejercicio #18

Dados los puntos P1 (2, -3, -4) y P2 (0, 5, -1), en metros, se pide:

Solucin.-

a) Vectores de posicin de P1 y P2

r1 = 2, -3, -4 m; r2 = 0, 5, -1

b) Vector de desplazamiento entre P1 y P2

= r2 r1 = 0 2.5 (-3), -1 (- 4) = -2, 8, 3 m

c) Distancia entre P1 y P2

= 228232= 8.77 m

Ejercicio #19

Dado el punto (2, 3, -5) m, y la fuerza F1 = 0, -4, 3 t, que pasa por el punto P2 (6, -4, 2) m,

se pide:

Solucin.-





a) Momento de F1 respecto del origen O (0, 0, 0)

OP2 = 6, -4,2 r vector de posicin de P2

6- 42= - 4, - 18, - 24 ton_m

MO = r * F1 =0-43

ijk

Magnitud de MO MO = 30.26 ton_m

b) Momento de F1 respecto de P1P1P2 = 4, -7, 7 vector de desplazamiento de P1 a P2

4- 77

MP1 = * F1 =0- 43= 7, - 12, - 16 ton_m

ijk

Donde:

MX = 7 i

MY = 12 jComponentes vectoriales de Mp1 MZ = - 16 k

Adems: Magnitud de Mp1 = Mp1 = 21.19 ton_m

Ejercicio #20rDados los puntos P1 (2, 0, 3) m y P2 (-4, 5, 0) m que definen un eje y la fuerza F = 5, 6, -2 t

que pasa por P3 (0, -2, 1) m, se pide:

Solucin.-

a) Momento de F respecto del eje ME P1P3 = = -2, -2, -2 m

P2P3 = 1 = 4, -7, 1 mentonces:

- 2- 2- 2

Mp1 = * F =56-2= 16, - 14, - 2 ton_m

ijk





4- 71

Mp2 = * F =56-2= 8, 13, 59 ton_m

ijk

Adems: P1P2 = -6, 5, -3 P1P2 = 8.37 m, por tanto; e E = -0.72, 0.6, -0.36

entonces:

ME = Mp1 * eEo bien ME = Mp2 * eE

Es decir:ME = 16, -14, -2 * -0.72, 0.6, -0.36 = - 19.2 ton_mo bienME = 8, 13, 59 * -0.72, 0.6, 0.36 = - 19.2 ton_m

Ejercicio #21

Con los datos del anterior ejemplo se pide:

Solucin.-

a) Momento de F respecto a tres ejes ortogonales concurrentes en P1 y a los ejes cartesianos

MEJES Mp1 = 16, - 14, -2

MEJE X = 16, 0, 0 * i, 0, 0 = 16 ton_m

MEJE Y = 0, -14, 0 * 0, j, 0 = -14 ton_m

MEJE Z = 0, 0, -2 * 0, 0, k = - 2 ton_m

Se nota adems; que el momento de una fuerza respecto de un punto, es igual a la suma de los momentos de dicha fuerza, respecto de tres ejes ortogonales que pasan por el punto; es decir:MP1 = MEJE X + MEJE Y + MEJE Z = 16, - 14, - 2 ton_m

1.12 PROBLEMAS PROPUESTOS.

Problema #1

F = 3, 4, -2 t y P (4, 0, -3) m un punto de la lnea de accin de F, adems un punto arbitrario P1 (5, -3, -1) m Se pide:

a) Momento de F respecto del origen.





b) Momento de F respecto de P1

Respuesta: a) MO = 12, -1, 16 ton_m, b) Mp1 = 2 i 8 j 13 k ton_m

Problema #2

Los del ejercicio 1.1 y el punto arbitrario P2 (0, 4, -2) m Se pide:

a) Momento de F respecto del eje P1 P2.

Respuesta: a) ME = - 621 ton_m

Problema #3

F = -3, 5, 0 t y P (0, 2, 4) m un punto de la lnea de accin de F, adems un punto arbitrario P1 (2, 3, -1) m Se pide:

a) Momento de F respecto a tres ejes ortogonales concurrentes en P1 y paralelos a los ejes cartesianos.

Respuesta: a) Mx = -25 ton_m; My = -15 ton_m; Mz = -13 ton_m

Problema #4

Demostrar el teorema de Varignon, para el caso del momento de una fuerza respecto de un

punto.

Problema #5

Para la siguiente figura se pide determinar:

a) Los momentos de los pares C1, C2 y C3.

b) La suma de los momentos de los pares





Respuesta: a) M1 = 6 j; M2 = -7.5 i; M3 = 4 k en ton_m, b) M1 + M2 + M3 = -7.5, 6, 4 ton_m

Problema #6

Con los datos del problema 3 se pide:

a) Trasladar F a una posicin paralela que pase por P1.

b) Indicar la composicin del nuevo sistema.

Respuesta: a) F traslada a P1 en forma paralela, b) F en P1 mas Mp1= -25, -15, -13 ton_m

Problema #7

El sistema de la figura:





Se pide: a) Resultante de fuerzas en el origen.

b) Resultante de momentos.

Respuesta: a) FR = 4, 7, 9 t, b) MR = -6, 6, 14 ton_m

Problema #8

En el sistema coplanar de la figura

Se pide:

a) Resultante del sistema.

b) Lnea de accin de la resultante.

Respuesta: a) FR = 3, 7, 0 t, b) segn la recta 7x 3y = 8

Problema #9

El sistema coplanar de la figura





Se pide:a) Resultante del sistema.

Respuesta: a) el par MO = 0, 0, 1 ton_m

1.13 EVALUACION DIAGNOSTICO DEL CAPITULO.

En este apartado se propone que el estudiante realice una evaluacin de todo lo aprendido en este capitulo, para lo cual se necesita que responda las siguientes preguntas sin revisar el contenido del presente capitulo.

Como se encuentra el desplazamiento de un punto respecto del origen? Que es la magnitud de un vector?

Definiendo la magnitud, como se encuentra la distancia entre el origen y un punto? Como se define el momento de una fuerza con respecto a un punto?

Demostrar el teorema de VARIGNON respecto de un eje. Definir que es un par de fuerzas.

Para concluir este diagnostico se pide hallar la resultante del siguiente sistema de fuerzas.

.





CAPTULO 2

INTRODUCCION AL ANLISIS DE LAS ESTRUCTURAS


El objetivo fundamental de este capitulo es hacer que el estudiante conozca el concepto de estructura como tambin los diferentes tipos de cargas y apoyos que actan en un sistema estructural.


Al terminar el capitulo el estudiante podr:

Clasificar las estructuras por su forma geomtrica, por su sistema de cargas, por su sistema de apoyos y por sus condiciones de isostaticidad.

Determinara las resultantes de cargas distribuidas y la posicin en la que esta acta.

Determinara las reacciones de apoyo de distintos tipos de estructuras (vigas, prticos, arcos, estructuras mixtas).

2.3 INTRODUCCION.

Con un razonamiento lgico y ordenado se le proporciona al lector los elementos de anlisis para que, a partir de la definicin del concepto de estructura; las clasifique; de la misma forma por sus condiciones de isostaticidad, identificando a: las estructuras hipostticas (inestables), cuando el nmero de las incgnitas del sistema es menor a las condiciones del equilibrio esttico; estructuras isostticas (estables) cuando el nmero de las incgnitas del sistema es igual al nmero de las





ecuaciones de equilibrio esttico; estructuras hiperestticas, cuando el nmero de las incgnitas es mayor al nmero de las ecuaciones del equilibrio esttico.

2.4 CONCEPTOS BSICOS Y DEFINICIONES.

Durante el proceso de formacin del ingeniero civil, el concepto de estructura se encuentra referido a un conjunto de elementos que la conforman; empero, sta aseveracin no demuestra una definicin para entenderlo en toda la extensin de su significado. Por ende, al plantearse la pregunta de que es una estructura, la respuesta puede darse un tanto subjetiva. Por lo que, para entenderlo y asimilarlo es necesario considerar como premisa el entorno que la rodea.

Si tuviramos curiosidad de ser observadores teniendo nicamente nuestro medio ambiente como lmite, o en otras palabras, el lmite de nuestra vista y razonamiento; nos daramos cuenta que podemos identificar diferentes estructuras, diferencindolas por su utilizacin para lo que fueron diseadas; as, en el mbito cientfico de la ingeniera civil, en forma natural discriminaramos: Casas habitaciones, edificios de oficinas, escuelas, puentes, tanques, edificios departamentales, anuncios espectaculares, aeropuertos, presas, distrito de riego, carreteras, alcantarillado, lneas de conduccin y distribucin de agua potable, entre otras, todas ellas cumpliendo un propsito particular para lo que fueron diseadas.

Por lo tanto:

ESTRUCTURA, ES UN CONJUNTO DE ELEMENTOS CON FORMA GEOMTRICA QUE, UNIDOS ENTRE S POR MEDIO DE NODOS, SOPORTAN CARGAS QUE SON TRANSMITIDAS A SUS APOYOS A TRAVS DE LOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES QUE LA INTEGRAN.

APOYO, ES UN DISPOSITIVO CONSTRUCTIVO QUE PERMITE ENLAZAR ENTRE SI LOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES Y/O SUJECIN ENTRE LA ESTRUCTURA

Y EL SISTEMA TIERRA, CON EL PROPSITO DE EVITAR DESPLAZAMIENTOS.

De ser aceptada la definicin, el conjunto de elementos que integran una estructura debe de contener simultneamente: forma geomtrica, sistema de cargas y sistema de apoyos, referencias que facilitan tener elementos de anlisis para plantear una clasificacin en funcin de su geometra, de sus apoyos y de sus cargas.





2.5 TIPOS DE ESTRUCTURAS.

La clasificacin en el entorno de las estructuras, se da en funcin de la ubicacin de sus elementos, que pueden estar localizados en el plano o en el espacio; en consecuencia, las estructuras se dividen en:

2.5.1 Estructuras planas.

Son aquellas cuando sus elementos se encuentran en un plano; una representacin de stas se ejemplifica idealizando una viga simplemente apoyada que se encuentra localizada sobre el plano XY, como se muestra en la figura 2.1 con la barra AB.

Figura 2.1

2.5.2 Estructuras en el espacio.

Se identifican como tales cuando al menos, uno de sus elementos se encuentra en el espacio. Si se observa la figura 2.2, el marco AB-OE se encuentra en el plano XY; y perpendicular a ste, sobre el eje Z se ubica el marco GH-KL resultando en consecuencia una estructura en el espacio.

Tomando de referencia el alcance que se pretende en el anlisis de las estructuras isostticas, se abordan nicamente las estructuras planas; identificando entre ellas la siguiente clasificacin:

Figura 2.2





2.6 CLASIFICACION DE LAS ESTRUCTURAS

Las clasificaremos por su forma geomtrica, por su sistema de apoyos, por su sistema decargas.

2.7 POR SU FORMA GEOMTRICA.

Las estructuras por su forma geomtrica en el contexto de sus elementos que las integran se clasifican en rectas, curvas y de contacto; para su identificacin se indicarn en algunas las cargas y apoyos nicamente para su identificacin, ya que para su definicin se exponen en las siguientes secciones de ste captulo.

2.7.1 Viga Horizontal. La figura representa una viga simplemente apoyada con carga concentrada "P" y una carga uniformemente distribuida "W".(ver fig.2.3).

Figura 2.3

2.7.2 Viga Inclinada. La figura 2.6 representa a una viga simplemente apoyada con carga concentrada, observando que la barra AB tiene una direccin respecto al eje horizontal en funcin del ngulo

Figura 2.4

2.7.3 Columnas. Es un elemento estructural vertical o inclinado. Con la figura 2.5 que se muestra se esquematiza una columna vertical AB con carga concentrada axial.





Figura 2.5

2.7.4 Marcos o Prticos. Estn constituidos por un conjunto de elementos rectilneos, horizontales, verticales y/o inclinados. Elementos que soportan cargas concentradas o distribuidas como se muestra en las siguientes figuras.

Fig 2.6 (a)Fig 2.6 (b)

2.7.5 Armaduras. Las integran un conjunto de elementos rectilneos relativamente esbeltos que est unidos rgidamente en sus extremos que soportan cargas concentradas directamente sobre las uniones o nodos como se muestra en la figura.

Figura 2.7





2.7.6 Arcos. Estn integradas por un conjunto de elementos curvos de forma circular, elptica o parablica. Al respecto se muestran las siguientes figuras:

Fig 2.8 (a)Fig 2.8 (b)

2.7.7 Cables. Rectilneos en cuyos puntos de inflexin soportan cargas concentradas. Parablicos que soportan cargas repartidas, Cables que soportan su peso propio.

Fig 2.9 (a)Fig 2.9 (b)

Fig 2.9 (c)

2.8 POR SU SISTEMA DE APOYOS

QUE ES UN APOYO?

Como ya habamos mencionado un apoyo es un dispositivo constructivo que permite enlazar entre si los elementos estructurales y/o sujecin entre la estructura y el sistema tierra, con el propsito de evitar desplazamientos.





Estos apoyos tienen por objeto restringir los desplazamientos en alguno de los ejes en los que este ubicado, y segn a los tipos de apoyo con las restricciones respectivas las clasificaremos en el plano de la siguiente manera:

Tabla 2.1 Sistemas de apoyos

Nombre del apoyoVnculosGrados de libertaddiagrama

MvilUnoDos

FijoDosUno

EmpotramientoTresCero

GuaDosUno

Para la mejor concepcin del sentido de las reacciones de apoyo en el plano proponemos la siguiente tabla:

Tabla 2.2 Grados de libertad en apoyos

EsquemaNombreGrados de libertadDiagrama

MvilDosR

Y

Y

FijoUno

R

RM

EmpotramientoCeroY

Z

GuaUnoMZ

R

X





2.9 POR SU SISTEMA DE CARGAS

Una primera clasificacin de las estructuras por su sistema de cargas se identifican:

Las cargas externas: actan sobre la superficie del elemento estructural.

Las cargas internas: actan dentro del elemento estructural (como es el caso de los elementos mecnicos que se analizan en el siguiente capitulo)

Con base en lo anterior, cuando la estructura soporta un sistema de cargas externo se identifican: Por el tipo de carga, por su permanencia y por la forma en que acta.

2.9.1 Por el tipo de carga.

2.9.1.1 Cargas concentradas. Son aquellas que tienen un solo punto de aplicacin

2.9.1.2 Cargas Axiales. Son aquellas que estn actuando en el centro geomtrico de una seccin transversal.

Figura 2.10

2.9.1.3 Cargas no axiales. Son aquellas que actan fuera del centro geomtrico de

una seccin transversal, generando una excentricidad (e). ver fig 2.11

Figura 2.11





2.9.1.4 Cargas distribuidas. La variacin de la carga es constante sobre el claro

"L" donde esta actuando como se observa en la figura:

Figura 2.12

2.9.1.5 Carga no uniforme. La variacin de la carga no es constante sobre el claro

"L" donde esta actuando. Por ejemplo, en la figura que se muestra se distingue una carga de variacin lineal sobre el tramo "a" y con una variacin cuadrtica sobre el tramo "b".

Figura 2.13

2.9.2 Por su permanencia. Se clasifican en cargas vivas, cargas muertas y cargas

accidentales.

2.9.2.1 Cargas vivas. Para una simple identificacin y un tanto coloquial, se definen como aquellas que se mueven; por ejemplo en un saln de clases la carga viva esta representada por el peso de los alumnos que se expresan en unidades de longitud al cuadrado.

2.9.2.2 Cargas muertas. Estn representadas por el peso propio del elemento

estructural

2.9.2.3 Cargas accidentales. Son aquellas que estn representadas por la fuerza ssmica, por la fuerza del viento, por el peso de la nieve, etc.





2.9.3 Por la forma en que actan.

Son las cargas activas, las cargas reactivas y las cargas internas.(ver figura 2.14)

Figura 2.14

2.9.3.1 Cargas activas. Estn representadas por el sistema de cargas externo (y = mx; y = mx) que estn actuando sobre el elemento estructural.

2.9.3.2 Cargas reactivas. Estn representadas por las componentes de cada uno de los apoyos que soportan al elemento estructural (RA; RB) identificndose tambin como vnculos o reacciones.

2.9.3.3 Cargas internas. Son las que actan dentro del elemento estructural, mismas que se oponen a la accin de las cargas externas. Dentro de sta clasificacin se distinguen: La fuerza normal, es una fuerza interna que esta actuando perpendicularmente a la seccin transversal del elemento estructural. La fuerza cortante, es una fuerza interna que esta actuando paralelamente a la seccin transversal del elemento estructural. Por los efectos que generan stas fuerzas internas, se les asocia con los elementos mecnicos del elemento estructural; conceptos que se analizan en el siguiente capitulo.

2.10 CONDICIONES DE EQUILIBRIO.

En el contexto de la teora de la Esttica, se dice que un sistema de fuerzas se encuentra en equilibrio cuando su resultante es igual a cero; esto es:F FR 0 y M MR 0

O bien desde el punto de vista escalar:





* En el espacio existen 6 ecuaciones:

FX 0 ;FY 0 ;FZ 0MX 0 ;MY 0 ;MZ 0

* En el plano existen 3 ecuaciones:

FX 0 ;FY 0 ;FZ 0

En base de lo anterior, las condiciones de equilibrio para una estructura en el plano estn representadas por tres ecuaciones que nos servirn para determinar las reacciones de apoyo.

Sin embargo, a estas ecuaciones de la esttica, usualmente pueden aadirse otras ecuaciones, llamadas especiales originadas por la presencia de articulaciones ver fig 2.15

articulacin

Figura 2.15

La articulacin introduce una ecuacin especial, a saber:

M 0 ; a la izquierda o derecha de la articulacin

2.11 GRADO DE ISOSTATICIDAD.

El grado de ISOSTATICIDAD de una estructura se define mediante la siguiente

expresin:

G = R E e

Donde:

R => Numero de reacciones (depende del numero y del tipo de apoyos)

E => Ecuaciones de la esttica (en el plano 3 y en el espacio 6)

e => Ecuaciones especiales





De lo anteriormente expuesto, se ha podido demostrar los tres escenarios que se pueden presentar en el anlisis de una estructura para determinar las condiciones de isostaticidad, que a manera de resumen se expone a continuacin:

Tabla 2.3 Grados de isostaticidad de una estructura

Condiciones deDiferencia entre las incgnitas yTipo de estructura

isostaticidad:ecuaciones de equilibrio

E - I = grado de libertad de laHIPOSTTICA

G < 0estructurao estructura inestable

ISOSTTICA

G = 0CEROo estticamente

determinada

I - E = grado de isostaticidad deHIPERESTTICA

G > 0o estticamente

la estructura

indeterminada

Donde:

I => numero de incgnitas

E => numero de ecuaciones de la esttica

2.12 CARACTERIZACION DE LAS CARGAS.

Como ya habamos mencionado en el anlisis de estructuras las cargas se pueden analizar como cargas puntuales o concentradas, cargas axiales, cargas no axiales (con excentricidad), cargas distribuidas y cargas no uniformes.

2.13 RESULTANTE DE CARGAS DISTRIBUIDAS LINEALMENTE.

Para algunos propsitos es conveniente sustituir una carga distribuida linealmente, por una fuerza concentrada (puntual) segn sea la lnea de accin, y de la misma manera saber cual es la posicin de dicha carga.

Dentro las relaciones matemticas que se aplican para el clculo de la resultante de una carga distribuida linealmente lo expresamos de la siguiente manera:





ydR

Rd xx

X( m)

L( m )

dR (x)dx

l

R (x)dx[t]

0

Adems:

l

x x ( x ) dx

0[m]

l

( x )dx

0

Donde:

x es la posicin aproximada donde se encuentra la carga resultante R a lo largo de la viga.

2.14 DETERMINACIN DE REACCIONES DE APOYO.

En este subtitulo se mostrar el procedimiento que se sigue para determinar las reacciones en los apoyos de las estructuras, PERO ANTES DE INTRODUCIRNOS EN ESTE AMBITO estamos obligados a regirnos a una convencin de signos, que nos permita solucionar las ecuaciones estticas de una manera mas sencilla especialmente si seguimos un procedimiento anlisis escalar.

Esta es la convencin de signos de la esttica, pero cuando se desconoce el sentido de la reaccin es conveniente asumir para ella el sentido positivo, y si al realizar el clculo obtenemos un resultado positivo significara que el sentido asumido ser el contrario.





2.15 EJERCICIOS RESUELTOS.

Para poder tener una mejor percepcin de la introduccin al anlisis de las estructuras presentaremos a continuacin a una serie de ejercicios resueltos, por los mtodos ya mencionados anteriormente, para as realizar verificar el tipo de estructura y tambin hallar reacciones de apoyos en los distintos tipos de estructuras que se muestran a continuacin.

Ejercicio #1

Dadas las siguientes estructuras en el plano, determinar su grado de ISOSTATICIDAD.

a)

R 2

R 1R 3

Como el grado de isostaticidad esta definido por el nmero de reacciones menos el nmero de ecuaciones de la esttica tenemos:

G = 3 3 = 0; Estructura ISOSTATICA

b)

R 2

R 1

M 1 R 2 R 1

Realizamos el mismo anlisis: G = R E e

G = 5 3 = 2; Estructura HIPERESTATICA

Esta en una estructura Hiperesttica de grado 2 o estticamente indeterminada.





c)

R 2

R 1R 3

Recordemos que con la presencia de una articulacin se aade un ecuacin especial (e)

G = 4 3 1 = 0 ; Estructura ISOSTATICA

d)

R2

R1R3

G = 3 - 3 1 = 0 ; Estructura HIPO-ESTTICA

e)

R2R4

R1R3

G = 4 - 3 1 = 0; Estructura ISOSTTICA o arco ISOSTATICO





f)

R3

R2M1

R5R1 R4

G = 8 3 1 = 4; Estructura HIPERESTATICA DE GRADO 4

Ejercicio #2

Las siguientes estructuras no son adecuadas para soportar cargas, ya que se las considera GEOMETRICAMENTE INESTABLES.

a)

h

Esta estructura si bien tiene un grado de isostaticidad igual a cero ( G=0 ) carece de propiedades geomtricas de estabilidad.

b)

h





En este tipo de estructura podemos ver que tiene un grado isosttico de G = 6 pero de igual manera presenta una INESTABILIDAD GEOMTRICA.

Ejercicio #3

Para las siguientes estructuras que presentan carga distribuida, determinar el valor de la resultante y la ubicacin exacta de la misma:

a)

yw ( x )Rd R

Xd xx

L

La ecuacin de w(x) corresponde claramente a la de una recta paralela al eje x, entonces w(x)= constante q. Por lo tanto: l dR q dx R q dx q x q l R q l 0

En este caso el valor de R, coincide con el valor de la superficie RECTANGULAR definida por la carga distribuida, adems:

lx2q l2

q xdx q0l

2

02

Ahora solo reemplazamos en la formula anteriormente enunciada y obtenemos la posicin exacta donde se esta aplicando la resultante de la carga distribuida.

lq l 2

x ( x ) dx

2l

x0[ m ]

l

q l2

( x ) dx

0





Por lo tanto la ecuacin de la lnea de accin de R ser:l[ m ]recta paralela al

x

eje y.2

La lnea de accin de R pasa por el CENTRO DE GRAVEDAD de la superficie RECTANGULAR definida por la carga distribuida.

b)

2/3L

Rq(t/m)

yw(x)

x

L(m)

w(x) representa a una recta cuya ecuacin tiene la forma (x) q x , entonces: l

R 0lq* xdx q*x2lq*l2R q l

l0

l 2l 22

Nuevamente el valor de la resultante R coincide con el valor de la superficie TRIANGULAR definida por la carga distribuida, para hallar la posicin exacta de la carga distribuida integramos nuevamente y reemplazamos en la formula ya mencionada:

R 0lq x xdx q*x3l R q l2

l

l 303

Por tanto la posicin de la resultante ser:

lq l 2

x ( x ) dx

32

x0l[ m ]

l

q l3

( x ) dx

2

0





2 l[ m ]

Por tanto la ecuacin de la lnea de accin de R serx

3

Si nos damos cuenta la posicin de la resultante R pasa por el centro de gravedad de la superficie triangular definida por la carga distribuida.

c)

RdR

w(x)q(x)

p(x)

dxx

x

L(m)

Dentro de la experiencia en asignaturas anteriores sabemos que (x) representa una ecuacin que esta representada por la siguiente ecuacin:

(x) p q p x l

lq pl

dR ( p x)dx R (q p)

2

0l

Una vez ms como en los casos anteriores, el valor de la resultante coincide con el valor de la superficie trapezoidal definida por la carga distribuida, para hallar la posicin exacta de la cargadistribuida integramos nuevamente y reemplazamos en la formula ya mencionada:

lq px)xdx pl2

dR (p(q)

0l2 3

Por tanto la posicin exacta de la resultante ser:

ll 2

x ( x ) dx( q p)( q p)l

2

02 32[ m ]

x

l

( q p )l3( q p )

( x ) dx

2

0





La lnea de accin de R pasa por el centro de gravedad de la superficie trapezoidal definida por la carga distribuida.

Ejercicio #4

Para la siguiente estructura, determinar el valor de las reacciones de apoyo (resolver por el mtodo vectorial y escalar).

3t

AB

R 2

R 1R 3

2

6

a partir de esta estructura es conveniente construir un diagrama de cuerpo libre (D.C.L.), para asi poder ubicarnos de mejor manera en el anlisis de esta estructura

3 t = P

AB

R2R1R3

Procedimiento Vectorial:

rrrr

R1R1,0,0t; R20, R2 ,0t ; R30, R3 ,0t ;P 0,3,0

Como solamente nos corresponde analizar en el plano, utilizamos la siguiente condicin de equilibrio:rFR 0

por tanto reemplazando obtenemos la siguiente ecuacin:rrrr

R1 R2 R3 P 0ec.(1)

rAhora recurrimos a una segunda condicin de equilibrio para estructuras coplanres: M A 0

2,0,0x0,3,0 6,0,0x0, R3 ,0 0


Fy 0 V 0 VA 3 VB 0

Fx 0 H 0 HA 0Universidad Mayor de San Simn



Donde 2,0,0 m es un vector de posicin de un punto de P y 6,0,0m es un vector de posicin de un

rpunto de R3 , entonces resolviendo el sistema vectorial tenemos:

0,0,6R3 6 0rr 0,1,0

R3 1t R3

Como ya tenemos calculado el valor de la reaccin en B(R3), reemplacemos este valor en la ecuacin 1, asi se tiene:

R1,0,0 0, R2 ,0 0,1,0 0,3,0 0,0,0

R1,(R2 1 3),0 0,0,0 R1 0t _ y _ R2 2t

Por tanto tenemos los siguientes resultados:r 0,0,0

R1t

r 0,2,0

R2t

r 0,1,0

R3t

Procedimiento Escalar:

Para la solucin de esta estructura por el mtodo escalar es necesario que recordemos la

convencin de signos asumidos a principio de este capitulo.

3 t = P

AB

R2R1R3

Empecemos analizando las ecuaciones fundamentales de equilibrio:

ec.(1)

ec.(2)

MZ 0 M A 0 (3)(2) 6(VB ) 0 VB 1[t] ec.(3)

Sustituyendo las ecuaciones (3) y (1) en la ecuacin (2) tenemos:

VA = 2 t


V 0 2 3 1 0Universidad Mayor de San Simn



Ntese que al calcular el valor de la reaccin VA , dependi del clculo de la reaccin VB , sea que si se hubiera cometido un error al calcular la primera reaccin, se transmitira como un gran error para la segunda reaccin, para evitar esa incgnita se plantea el siguiente procedimiento de anlisis: Fx 0 H 0 HA 0

M A 0 (3)(2) 6(VB ) 0 VB 1[t] M B 0 (3)(4) 6(VA ) 0 VA 2[t]

CONTROL

Este procedimiento de verificacin consiste en realizar una sumatoria de todos los esfuerzos existentes en el eje y o todas las componentes de cargas en sentido vertical, dicha sumatoria debe dar por resultado cero (0), por que as estar confirmado que los esfuerzos de las cargas activas estarn compensadas por las cargas reactivas (reacciones), mostrando que existe un equilibrio tanto geomtrico como interno. Dentro de marcos aceptables se puede aceptar que en la verificacin de equilibrio un pequeo margen de error: + 0.02, pasado este error la estructura ser considerada como estticamente inestable.

Ejercicio #5

Para la siguiente estructura, determinar el valor de las reacciones de apoyo.

2t

q = 0 .5t /m

1 .5m

2

32

Primeramente realizamos un anlisis para verificar el grado de isostaticidad

G = 3 3 = 0 ; Estructura ISOSTATICA





Para efectos de facilidad de calculo presentamos en el siguiente DCL, ntese que se realiza el anlisis solo con la resultante de la carga distribuida, esta es equivalente a la anterior estructura pero solo para efectos de calculo de reacciones, pero las estructuras NO SON IGUALES.

H

R = 0 .5 x 2 = 1 .0 t

A

V A

2t

VB


Fx 0 H 0 H A 2 0

M A 0 (1)(1) 3(VB ) (2)(1.5) 0 VB 1.33[t] M B 0 (2)(1.5) 3(VA ) (1)(2) 0 VA 0.33[t]

Ntese el signo (-) de la reaccin VA, esto no quiere decir que hayamos realizado de manera errnea los clculos de esttica, solo que se tiene que cambiar el sentido que habamos asumido para dicha reaccin en primera instancia.

2t

1.0t

2t

0.33t1.33t

CONTROL V 0 1.33 1 0.33 0

Este procedimiento de verificacin consiste en realizar una sumatoria de todos los esfuerzos existentes en el eje y o todas las componentes de cargas en sentido vertical, dicha sumatoria debe dar por resultado cero (0), por que as estar confirmado que los esfuerzos de las cargas activas estarn compensadas por las cargas reactivas (reacciones), mostrando que existe un equilibrio tanto geomtrico como interno. Dentro de marcos aceptables se puede aceptar que en la verificacin de





equilibrio un pequeo margen de error: + 0.01, pasado este error la estructura ser considerada como estticamente inestable.

Ejercicio #6


1.5 t q=1 t/m2t.mC 1 3 4

B

A

322

Para efectos de facilidad de calculo y observacin realizamos el D.C.L. de la estructura tomando en cuenta solo las resultantes de la carga distribuida pero verificando siempre el grado de isostaticidad.

1 .5t

R = 0 .5(5)(1)1.5t

2t

2,6 7

HA

A

2

V

A

2 t.m

C

BM B

VB

G = 4 - 3 1 = 0 ; Estructura ISOSTATICA

En este caso observamos cuatro incgnitas provenientes por cada una de las reacciones encontradas, para determinar su valor contamos con tres ecuaciones de la esttica y una ecuacin especial que esta dada por la articulacin en el punto C.






H 0 H A 2 0 H A 2 tM A 0 2(2.67) 1.5(2) 1.5(5) 2 M B VB 0

M B 0 (2)(1) 5VA 2(1.67) 1.5(3) 2 M B 0

Como ya habamos mencionado, estas tres ecuaciones de la esttica no son suficientes para realizar los clculos necesarios, pero si debemos usar la ecuacin especial que esta dada por la articulacin en el punto C, tomando esta ecuacin especial podemos analizar hacia el lado que ms te convenga para facilidad de clculo (izquierda o derecha).MCDERECHA 0 1.5(1) 2 M B 1(VB ) 0

Con esta ecuacin podemos resolver el sistema, luego tenemos los siguientes resultados:

R=0.5(5)(1)1.5

2 t

2 tA

0.59 t

CONTROL V

2t.m

tC

B 0.11 t_m

3.59 t

0 0.59 1.5 1.5 3.59 0

Ejercicio #7


3

HA

C

1 t.mH

AB

33

VA

B 0.6 t/m

VB





Realizamos el D.C.L. de la estructura tomando en cuenta solo las resultantes de la carga distribuida y verificando siempre el grado de isostaticidad.

1.5

HA

1 t.m A

VA

C

R=0.5(0.6)(3)

H1

BB

V

B

La articulacin introduce al sistema una ecuacin de momento, que debe tomarse a la izquierda o a la derecha de la articulacin pero no a ambos lados.

G = 4 - 3 1 = 0 ; Estructura ISOSTATICA

Analizando las ecuaciones fundamentales de equilibrio tenemos:

H 0 ; H A HB 0.9 0

M A 0 ; 11.2(1.5) 0.9(1) 6VB 0

VB 0.32 t

MB 0; 11.2(4.5) 0.9(1) 6VB 0

VA 0.88 t

Ecuacin especial;MCDERECHA 0

0.9(2) 3(0.32) 3HB 0 HB 0.28 t ;H A 0.62 t

Para verificar realizamos el control correspondiente.

CONTROL V 0 0.88 1.2 0.32 0





Ejercicio #8

Para la siguiente estructura, determinar el valor de la fuerza resultante y su lnea de accin para el sistema (a) sabiendo que f(x) = parbola de 2do grado.

P1P2

0.5 t0.7 t

12

z

22

M1

1 t.m

f(x)

3

3

6

t/m

x

(a)

La lnea de accin esta representada por una ecuacin, de modo que es preciso decidir un sistema de coordenadas, el origen de dicho sistema puede situarse en cualquier punto del plano que contiene a las fuerzas, pero es preferible que este se situara en el lugar mas adecuado.

f(x)

dRR6

dx3

x

3m

t/m

x

Realizamos un clculo previo:

dR = f(x) dx y = f(x) = k x26 = k * 32 k =6/9





k = 0.67

f(x) = 0.67 * x2 [t/m]

Integrando tenemos el valor de la resultante:R 03 0.67* x2 dx

R 0.67*9 R 6t ; Coincidencia

Ahora hallamos la posicin exacta de la resultante de la carga.

03x(0.67x2 )dx34 / 4*0.6713.57 2.26 m

x

R66

Para imaginarnos de mejor manera:

P(x,y)

R(-P,0)Q(P,0)

x

PQ = PR

Ahora procedemos a vectorializar las fuerzas.

P [0,0.5,0]t;rr [4,0,0]

11

P [0,0.7,0]t;rr [2,0,0]

22

M1 [0,0,1]t _ m

R [0,6,0]t;rr [2.26,0,0]

13

Sabemos que: FR P1 P2 R1 [0,7.2,0]t

MR rr xP rr xP rr xR M1

112231

r 400 2002.2600

MR 0 0.500 0.700 60 [0,0,1]

ijkijkijk

FR [0,0,2][0,0,1..4][0,0,13.56][0,0,1] [0,0,9.16] t _ m





r

Sea el punto P de coordenadas P = [x ,0 ,0] m, un elemento de la lnea de accin de FR ,

rrr; Es decir el momento de la fuerza resultante FR debe ser igual a la resultante

entonces r xF MR

PR

de momentos.

rx00

0 7.20 [0,0,7.2x] [0,0,9.16]

MR

ijk

7.2x 9.16

x 1.27m

Esta es la ecuacin de una recta paralela al eje y.

F=7.2 t

R

(b)x

1.27

Por tanto el sistema (a) (complejo) puede ser sustituido por el sistema (b) (simple), sin embargo ambos sistemas no son iguales, son equivalentes para ciertos efectos de clculo.

Ejercicio #9

La figura muestra una manivela OE, esa pieza esta sujeta al plano XZ mediante 2 cables (tensores), el extremo O es una pasador en el espacio, se pide determinar las reacciones de apoyo en el pasador y en los tensores.

Las coordenadas de los puntos en el espacio son:

2 20000

A0[m]B0 [m]C9 [m]D9 [m]E13[m]G4 [m]

330330


Universidad Mayor de San Simn Facultad de Ciencias Y Tecnologa Carrera de Ingeniera Civil

Z

B

A

T2

T1

OG

R=0.6t

q1=0.5 t/m

q2=0.2 t/m

D ER=0.8

0.8 t.m

CY

X

Vectorializar:

GA [2,4,3]GA 5.38

r

uGA [0.37,0.74,0.56]

T1T1r [0.37a,0.74a,0.56a]

uGA T1

{

a

GB [2,4,3]GB 5.38

r

uGB [0.37,0.74,0.56]

T2T2r T2 [0.37b,0.74b,0.56b]

uGB

{

b

R1 [R1,0,0];M1 [0.8,0,0]

R2 [0, R2 ,0];R [0,0,0.6]

R3 [0,0, R3 ];Rrec [0,0,0.8]

Q [0,0,0.6]

* FR 0 [0.37a 0.37b R1,0.74a 0.74b R2,0.56a 0.56b R3 0.6 0.6 0.8] [0,0,0,]

{{{

06t2.55





MR 0 r

040040040010.3300110

0.37a 0.74a0.56a 0.37b 0.74b0.56b00 0.600 0.600 0.8

ijkijki jkijkijk

[0.8,0,0] 0

[2.24a,0,1.48a] [2.24b,0,1.48b] [2.4,0,0] [6.198,0,0] [8.8,0,0] [0.8,0,0] 0

[2.24(a b) 18.198,0,1.48(b a)] [0,0,0,]

a b

Sol. a r 4.06t b r

T1T2

Ejercicio #10

Se pide determinar las reacciones de apoyo para la siguiente figura.

HA

A

VA

2 t/m

C

0.5 t/m

DHB

B

VB332,5

4

Verificamos el grado de isostaticidad

G = 4 3 1 =0 ; Estructura ISOSTATICA

Realizamos el siguiente clculo previo.

L 32 42 L 5m

El ngulo de inclinacin ser:sen 4 arcsen 4 53.3 5


RX (0.598)*2.5 1.5t

RY (0.80)*2.5 2tUniversidad Mayor de San Simn



Realizamos el clculo de la resultante de la carga distribuida linealmente a lo largo del tramo CD luego realizamos el clculo de las componentes verticales y horizontales.

R

Y

R

RX

sen53.3 RY 2.5

cos53.3 RX 2.5

Aplicando las ecuaciones de equilibrio tenemos:

H 0 HA 1.5 0 HA 1.5t

M A 0 6*1.5 2*4.5 1.5*2 1 8.5VB VB 0.23t MB 0 6*7 8.5VA 1.5*2 2*4 1 0 VA 4.23t

Realizamos el control respectivo.

CONTROL V 0 4.23 6 2 0.23 0

2.16 EJERCICIOS PROPUESTOS.

Problema #1

Determinar las reacciones de apoyo de la siguiente figura

1 t/m

2 t0.5 t/m

ABEFCD

222222,52,5

Respuesta:HA=0 t;VA=0.75 t

VB=1.75 t;VC=1.95 t;VD=1.05 t





Problema #2

1 t/m

C

3

A

33

Respuesta:HA=1.5 t;HB=1.5 t

VA=3 t;VB=0 t

Problema #3

Determinar las reacciones de apoyo:

1.5 t/m

1.5 m

1 t/m

1 m

A2 m

2 m2 t

1 m

B

2.5m1.5m2.5m

Respuesta:HA=0.42 t;HB=1.33 t

VA=2.91 t;VB=-4.246 t

VC=1.957 t

B 1 t/m

0.5 t/m

C

1.5m





Problema #4


4 m

A

CDE

2 t

B

0.5 t/m F

1.5 m

1.5 m

2 m2 m2 m2 m

Respuesta:HA=2 tVA=1.75 tVB=1.083 tMB=7.298 t

Problema #5


1 0.5 t/m

0.3 t/m

0.2 t

ABDE

522

Respuesta:HC=0.2 tMC=0.7 t_mVB=1.31 tVA=0.14 tVC=0.25 tProblema #6


ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

0.3 t.m

C 2

4

Pag - 69 -


0.4 t/m

A

B

4

2.00.5 t

m/t0.3 t/m

DEC

6211

Respuesta:HA=1.1 tVA=0.8 tVB=0.17 tVC=0.27 t

Problema #7


0.2 t/m

C

0.6 t/m

4

A B

33

Respuesta:

Problema #8

HA=2.30 t ; VA=3.06 t HB=0.7 t ; VC=0.13 t




6

A

33

Respuesta:HA=6 tVA=5.25 tVB=2.25 t

B

1 t/m

Problema #9


1 t/m

A2 t

43

2

Respuesta:HA=2 t;VA=2.08 t

HB=0 t;VB=0.75 t

MA=4.6 t_m

B

2





Problema #10


1C

4

A

1 t.m

D

0.5 t/m

B

33

Respuesta:

Problema #11

HA=4 t ; VA=2.54 t VB=1.04 t


Z

EMPOTRAMIENTO

O

Y

1 tA

2 t

1 t.m

C

CB

0.2 t/m

D

x



Respuesta:

Problema #12

Rx= 2.5 t;Mx=8.25 t_m

Ry= -0.5 t;My=15.5 t_m

Rz= 2 t ;Mz=-3.0 t_m

Determinar las reacciones de apoyo de la siguiente figura dados los siguientes datos:

003 3

A5B7C0D0

1255

Z

D

CT2

T1

A

B 1 t

Y

X

Respuesta:

HA=0.531 ; VA=0.55 t t HB=0.031 t ; VB=2.55 t

2.17 EVALUACION DIAGNOSTICO DEL CAPITULO.

Para realizar una evaluacin diagnostico referente al presente capitulo, se propone al estudiante responder las siguientes preguntas.

Definir el concepto de ESTRUCTURA. Que es un apoyo?

Que tipo de estructuras existen?

Cual es la clasificacin de las estructuras?

Que tipos de apoyos existen y cuales son los grados de libertad de cada uno? Que es el grado de isostaticidad?





Para concluir este diagnostico se pide determinar las reacciones de apoyo de la siguiente

figura.

3

2 t

0.5 t

5

AB

1,5101,5





CAPTULO 3

ESFUERZOS INTERNOS EN LAS

ESTRUCTURAS


El estudiante aprender a elaborar los diagramas de variacin de los elementos mecnicos que se presentan en cualquier punto de una estructura isosttica a travs de la deduccin de sus funciones y de la relacin que existe entre las cargas externas con las fuerzas internas de la estructura.


Aprender cuales son los esfuerzos internos de una estructura y sabr en que direccin actan estas (normal, cortante y momento).

El estudiante aplicara una convencin de signos apropiada para aplicar al clculo de los elementos ya mencionados.

El estudiante aprender los distintos mtodos de anlisis para la determinacin de los esfuerzos internos de los diferentes tipos de estructuras (vigas, prticos, arcos, estructuras mixtas).

Segn cada mtodo aprendido realizara de manera combinada la elaboracin de los diagramas de esfuerzos internos.

El estudiante con los mtodos de anlisis mencionados, demostrara que las estructuras analizadas estn en equilibrio esttico.





3.3 INTRODUCCION.

Si un elemento bajo la accin de un sistema de fuerzas externo se encuentra en equilibrio, cualquier porcin del mismo, tambin deber de encontrarse en equilibrio. Este es el principio de punto de referencia para que el lector entienda la causa-efecto de un sistema de fuerzas externo con un sistema de fuerzas interno; principio que nos demuestra la frontera entre la mecnica de los cuerpos rgidos asocindola al equilibrio externo y la mecnica de los cuerpos deformables, con el equilibrio interno.

En este capitulo se demuestra como encontrar el equilibrio interno a travs de la relacin entre las fuerzas externas y las fuerzas internas; resultando de esta relacin los elementos mecnicos que son generados por la accin del sistema de fuerzas externo; y que, por sus efectos se clasifican en: Fuerza normal N como la fuerza interna que acta perpendicular a la seccin transversal, con un efecto de tensin o de compresin. Fuerza cortante V, como una fuerza interna que acta paralela a la seccin transversal, con un efecto de corte o deformacin de la seccin transversal. Momento flexionante M, como un momento interno que acta paralelo a la seccin, generando un efecto de flexin, por lo tanto, las fibras del elemento estructural estn sometidas a compresin o tensin. Momento torsionante T, como un momento interno que acta perpendicular a la seccin transversal, identificndose por su efecto de torcer al eje longitudinal sobre el cual esta actuando.

Con la definicin, identificacin y clasificacin de los elementos mecnicos por sus efectos, se le proporciona al lector elementos de anlisis para encontrar la variacin de los elementos mecnicos sobre estructuras en forma de vigas, prticos simples y arcos, considerando cargas repartidas en forma rectangular, en forma triangular, cargas concentradas y momentos, a travs de la deduccin de las funciones de los elementos mecnicos sealando los puntos de discontinuidad de las cargas externas; y por la relacin, entre la carga externa con la fuerza cortante, y la fuerza cortante con el momento flexionante.

3.4 DEFINICION Y ANLISIS DE LOS ELEMENTOS MECANICOS INTERNOS.

Si idealizamos un elemento estructural que se encuentra en equilibrio bajo la accin del sistema de fuerzas externo representados por las cargas P; como se muestra en la figura 3.1(a) y (b), Que sucede si sobre el plano de corte imaginario separamos el cuerpo?:






Estara de acuerdo en aceptar que el efecto que se genera al separar el cuerpo sobre el plano de corte imaginario es el rompimiento del equilibrio externo?, si es as, entonces no se cumple el principio de que si un cuerpo bajo la accin de un sistema de fuerzas externo se encuentra en equilibrio, cualquier porcin del cuerpo tambin deber de encontrarse en equilibrio; por lo tanto, ser necesario equilibrar la porcin izquierda y derecha a travs de un sistema resultante interno localizado en el centroide de la seccin transversal que sea equivalente a la accin del sistema de fuerzas externo de cada porcin . Para lo anterior observe la figura 3.2:

Figura 3.2

Porcin izquierda: Sobre el centroide de la seccin transversal se localiza un sistema resultante interno integrado por la fuerza resultante FRi y por el momento resultante interno MRi, equivalente a la accin del sistema de fuerzas externo que acta en la misma porcin izquierda.

Porcin derecha: En forma anloga y sobre el centroide de la seccin transversal, se localiza un sistema resultante interno equivalente a la accin de las fuerzas externas que actan sobre la porcin derecha; distinguindose ste sistema resultante interno, por tener sentido contrario al de la porcin izquierda para que exista el equilibrio interno entre ambas secciones.





En base de lo anterior y dado que estamos abordando el concepto de resultante, es de suponerse que ste tiene sus componentes en la direccin de los ejes X, Y, y Z respectivamente, tanto para la fuerza como para el momento resultante; tomando como referente la porcin izquierda, las componentes se observan en la figura 3.3:

Figura 3.3

En consecuencia, las componentes del resultante interno (tres fuerzas componentes internas y tres momentos componentes internos); se les define como elementos mecnicos; que por sus efectos se identifican:Fuerza normal (N): Tambin reconocida como FXX es la fuerza componente interna que acta perpendicular a la seccin transversal; se identifica por dos efectos: tensin o compresin, ver fig 3.4.

Figura 3.4





Fuerza cortante (V): Esta representada por FXY FXZ (este ultimo en el espacio); componentes internas que actan paralelamente a la seccin transversal; se identifican por su efecto de corte. ver fig 3.5.

Figura 3.5

Momento torsionante (T): MXX momento componente interno que acta perpendicular a la seccin transversal; se le identifica por su efecto de torsin al eje longitudinal del elemento estructural.

Momento flexionante (M): MXY MXZ momentos componentes internos que actan paralelamente al eje longitudinal, que se les asocia un efecto de flexin.

Figura 3.6

3.5 CONVENCIN DE SIGNOS DE ESFUERZOS INTERNOS.

A continuacin presentamos la convencin de signos para los elementos mecnicos y sus efectos, ste ser de acuerdo al efecto que genera sobre el elemento estructural. Para ello,





consideremos una viga simplemente apoyada con carga concentrada al centro del claro como se muestra en la figura 3.7(a).

P

30AB C

L/2L/2

Figura 3.7(a)

Con un diagrama de cuerpo libre, nos permitir identificar el sistema activo y el sistema reactivo ver fig 3.7 (b)

P

30

B ACl/2l/2

R3=cos30

R1=Psen30/2R2=Psen30/2

l/2l/2

ABC

Figura 3.7 (b)

Tomando de referencia el diagrama de cuerpo libre, sobre el tramo AB se localiza una seccin perpendicular al eje longitudinal a una distancia X del eje A, la porcin izquierda de la estructura se observa en la figura 3.8.

Figura 3.8





En base de lo anterior, la porcin izquierda no se encuentra en equilibrio; por lo que, para equilibrarla se requiere un sistema interno integrado por diferentes elementos mecnicos, esto es: La accin de R1 genera una fuerza interna vertical que acta paralelamente a la seccin transversal la que se define como fuerza cortante VA ; asimismo, la fuerza externa R1, y la interna VA producen un giro a la porcin de la estructura generando un par interno representado por MA, que se define como momento flexionante; finalmente, la accin de la fuerza externa R3 genera una fuerza interna perpendicular a la seccin transversal NA, que se define como la fuerza normal; lo anterior se representa en la fig 3.9:

Figura 3.9

De lo anterior se deduce que los elementos mecnicos generados por el sistema externo que acta sobre la porcin derecha de la estructura, se equilibran con los generados en la porcin izquierda; esto es:

Figura 3.10





Idealizando sobre la seccin A un elemento de longitud dx, los elementos mecnicos generados por el sistema externo de cada porcin se muestra en la fig 3.11:

Figura 3.11

A continuacin abordaremos cada uno de los elementos mecnicos para visualizar sus efectos que nos permitan asociarle el signo correspondiente:

3.5.1 Fuerza normal: A la fuerza normal se le asocia el signo positivo cuando el efecto de las fuerzas externas que actan sobre ella son de tensin.

Figura 3.12

3.5.2 Fuerza cortante: A la fuerza cortante se le asocia el signo positivo cuando la carga externa que acta sobre la porcin izquierda de la estructura tiene una direccin vertical con sentido ascendente.

Figura 3.13





3.5.3 Momento flexionante: Al momento flexionante se le asigna el signo positivo cuando el efecto sobre la fibra superior es de comprensin.

Figura 3.14

En resumen tenemos que la convencin de signos en sentido positivo ser:

M

M

IZQDER

(+)N N

QQ

Figura 3.15

3.6 ANLISIS DE LAS ESTRUCTURAS.

El anlisis de las estructuras, puede en general sub-dividirse en:

Anlisis de vigas. Las vigas son barras, en las cuales la direccin del eje centroidal es paralela al horizonte geogrfico.

Anlisis de prticos. Los prticos son estructuras en las cuales, la direccin de los ejes centroidales de las barras no es paralela al horizonte geogrfico sino que el eje x coincide con el eje local de la barra.

Anlisis de arcos. Los arcos son estructuras en las cuales la ecuacin del eje centroidal corresponde a una curva (no lineal).

Anlisis de estructuras mixtas. Son las que estn compuestas por vigas, prticos y arcos.





3.7 ANLISIS DE VIGAS.

3.7.1 PROCEDIMIENTO DE ANLISIS

Una vez entendido que los elementos mecnicos son generados por la accin de un sistema de fuerzas externo que acta en una estructura, en ste apartado plantearemos el procedimiento de anlisis para trazar los diagramas de variacin correspondiente, contemplando para ello dos procedimientos; la deduccin de las funciones de los elementos mecnicos (mtodo de las secciones o anlisis funcional) y la relacin de la carga externa con la fuerza cortante y la fuerza cortante con el momento flexionante (mtodo de suma de reas o anlisis relacional). Para ello, y tomando de base la aplicacin de una carga concentrada, de una carga uniformemente distribuida y de una carga distribuida de forma triangular sobre una estructura (viga o barra), identificaremos la variacin de la fuerza cortante, la fuerza normal y el momento flexionante expresndola en su respectivo diagrama.

3.7.1.1 MTODO DE LAS SECCIONES. Tiene como objetivo encontrar la magnitud de los elementos mecnicos que se presentan en una estructura isosttica a travs de la deduccin de sus funciones respectivas en el contexto de un parmetro definido; en consecuencia, el anlisis para determinar stas funciones est limitado por la variacin de las cargas externas que actan en la estructura. Para demostrar lo anterior proponemos:PRIMERO.- A partir de la estructura planteada, se construye un diagrama de cuerpo

libre para identificar:

El sistema de fuerzas.- Dado que se analizan estructuras planas, el sistema de fuerzas en su conjunto podr ser un sistema de fuerzas paralelo o un sistema de fuerzas generales en el plano.

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