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Palavras do professor A economia, a matemática, a estatística e a informática são consideradas ciências fundamentais para o processo de preparação, análise e tomada de decisão. A Pesquisa Operacional (P.O.) faz uso dessas quatro ciências oferecendo aos gestores e aos administradores um conjunto de métodos e modelos que os auxiliam em suas decisões. Ao estudar esse livro didático você aprenderá a utilizar a planilha Excel® e o software Lindo®, que são dois sistemas muito úteis para a solução de problemas de Pesquisa Operacional. O objetivo deste livro é atingir, principalmente, dois públicos: os estudantes e os profissionais de administração, economia e contábeis que tenham interesse em saber como a Pesquisa Operacional pode auxiliá-los no processo de tomada de decisão. Espero que você aproveite o conteúdo selecionado para o melhor desempenho no seu curso de administração e na sua carreira profissional. Um ótimo estudo! Professor Luis Augusto Araújo

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SUMÁRIO

PALAVRAS DO PROFESSOR.....................................................1

1. INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL ............................5

1.1 CONCEITO ........................................................................................................................5 1.2 HISTÓRIA........................................................................................................................6 1.3 APLICAÇÕES.....................................................................................................................8 1.4 FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL....................................................8 1.5 MODELAGEM DE PROBLEMAS GERENCIAIS ....................................................................9

1.5.1 Modelos de Simulação.........................................................................................10 1.5.2 Modelos de Otimização...................................................................................... 11

GLOSSÁRIO..........................................................................................................................12 SÍNTESE ..............................................................................................................................12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS.....................................................................................................13

2. PROGRAMAÇÃO LINEAR................................................. 15

2.1. APLICAÇÕES DA PROGRAMAÇÃO LINEAR.....................................................................16 2.2. VANTAGENS DO USO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR......................................................17 2.3. MODELAGEM DE PROBLEMAS.......................................................................................18 2.4. PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS ....................................................................19 2.5. FORMULAÇÃO DE DIETAS DE MÍNIMO CUSTO ......................................................... 20 GLOSSÁRIO..........................................................................................................................21 SÍNTESE ............................................................................................................................. 22 EXERCÍCIOS PROPOSTOS.................................................................................................... 22

3. RESOLVENDO PROBLEMAS SIMPLES PELO MÉTODO GRÁFICO .... 34

3.1. PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS DA FÁBRICA DE COMPUTADORES.............. 34 3.2. RESOLUÇÃO PELO MÉTODO GRÁFICO........................................................................ 35

1ª Etapa: Construir a região de soluções das restrições.................................... 35 2ª Etapa: Avaliar o objetivo na região de soluções ............................................. 37

GLOSSÁRIO......................................................................................................................... 40 SÍNTESE ............................................................................................................................. 40 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................41

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4. RESOLVENDO PROGRAMAÇÃO LINEAR UTILIZANDO A PLANILHA EXCEL® ......................................................................... 44

4.1. ELEMENTOS DA PLANILHA.......................................................................................... 45 4.2. DESENVOLVENDO O PROBLEMA DA EMPRESA ILHA DA MAGIA................................ 45 4.3. ANÁLISE DOS RESULTADOS .......................................................................................51 GLOSSÁRIO......................................................................................................................... 54 SÍNTESE ............................................................................................................................. 54 EXERCÍCIOS PROPOSTOS.................................................................................................... 55

5. RESOLVENDO PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR UTILIZANDO O SOFTWARE LINDO® ....................................................... 57

5.1 DESENVOLVENDO O PROBLEMA DA EMPRESA DE BOLAS ........................................ 58 5.2 ANÁLISE DO RESULTADO......................................................................................... 63 5.3 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE .................................................................................. 65 SÍNTESE ............................................................................................................................. 67 EXERCÍCIOS PROPOSTOS.................................................................................................... 68

6. PROBLEMAS DE TRANSPORTES .......................................... 73

6.1. ESTUDO DE CASO: PLANEJAMENTO DE TRANSPORTES DE UMA VINÍCOLA............. 76 6.2. PROGRAMAÇÃO LINEAR .............................................................................................. 76

6.2.1 Solução de Problemas de Transportes com o uso do Software Excel® 77 6.2.2 Solução de Problema de Transporte com o uso do Software Lindo® ... 82

6.3. MÉTODO DE APROXIMAÇÃO DE VOGEL (VAM)......................................................... 83 6.4. REGRA DO CANTO NOROESTE.................................................................................... 87 6.5. CASO DE SISTEMAS NÃO EQUILIBRADOS E DA IMPOSSIBILIDADE DE TRANSPORTE............................................................................................................................................. 89 GLOSSÁRIO......................................................................................................................... 90 SÍNTESE ............................................................................................................................. 90 EXERCÍCIOS PROPOSTOS.....................................................................................................91

7. PROGRAMAÇÃO INTEIRA ................................................. 94

7.1 PROBLEMAS TÍPICOS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA..................................................... 95 7.2 EXEMPLO: PLANEJANDO UMA VIAGEM DE ACAMPAMENTO....................................... 95 7.3 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA COM O USO DO SOFTWARE EXCEL® ............................................................................................................................... 97 7.4 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA COM O USO DO SOFTWARE LINDO® ............................................................................................................................ 100 SÍNTESE ............................................................................................................................ 101 EXERCÍCIOS PROPOSTOS................................................................................................... 101

8. SIMULAÇÃO ............................................................. 104

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8.1. ETAPAS DE UM ESTUDO NA REALIZAÇÃO DE UMA SIMULAÇÃO............................. 105 8.2. VANTAGENS DO USO DA SIMULAÇÃO..................................................................... 107 8.3. APLICAÇÕES DE SIMULAÇÃO ................................................................................... 107 8.4. MODELAGEM E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE SIMULAÇÃO EM EXCEL® ............. 109 SÍNTESE ............................................................................................................................ 118 EXERCÍCIOS PROPOSTOS................................................................................................... 118

9. PLANEJAMENTO, PROGRAMAÇÃO E CONTROLE DE PROJETOS: PERT-CPM ..................................................................... 119

9.1. VANTAGENS DO USO DA REDE PERT/CPM .............................................................. 119 9.2. CAMINHO CRÍTICO................................................................................................... 120 9.3. O ESTUDO DE CASO DA ELABORAÇÃO DO TRABALHO DE PESQUISA OPERACIONAL........................................................................................................................................... 120 SÍNTESE ........................................................................................................................... 122 EXERCÍCIOS PROPOSTOS.................................................................................................. 123

SITES DE PESQUISA OPERACIONAL ...................................... 126

BIBLIOGRAFIA................................................................ 128

SOBRE O PROFESSOR CONTEUDISTA ..................................... 130

RESPOSTAS E COMENTÁRIOS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS......... 131

CASOS APLICADOS À ÁREA DE NEGÓCIOS PARA DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO DE PESQUISA OPERACIONAL ............................ 144

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1. INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL Objetivos de aprendizagem

Conhecer o conceito, a história e as principais aplicações da Pesquisa Operacional. Identificar as fases de um estudo de Pesquisa Operacional. Entender o significado e os principais tipos de modelagem de problemas

gerenciais. Seções de estudo

1.1 Conceito 1.2 História 1.3 Aplicações 1.4 Fases de um Estudo de Pesquisa Operacional 1.5 Modelagem de Problemas Gerenciais

A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões, aplica conceitos e métodos de outras áreas científicas para concepção e planejamento de sistemas para atingir seu objetivo. A Pesquisa Operacional visa também introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada de decisão, sem descuidar, no entanto, dos elementos subjetivos que caracterizam os problemas.

1.1 Conceito

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A Pesquisa Operacional (PO) é o campo de estudos em que são aplicados métodos analíticos para ajudar os executivos a tomar melhores decisões. A Pesquisa Operacional baseia-se, principalmente, no método científico para tratar de seus problemas. É também conhecida como a ciência que se preocupa em fornecer ferramentas quantitativas para apoiar o processo de tomada de decisão. Segundo Lachtermacher (2002), o ensino da Pesquisa Operacional para executivos ou alunos da área de negócios passou a ter o foco na modelagem do problema, na interpretação do resultado do mesmo e na sua aplicabilidade aos problemas gerenciais. Management Sciences (MS) é a área de estudos que utiliza a informática, estatística e matemática para resolver problemas de negócios. A área de estudo da Pesquisa Operacional é mais abrangente que a da Management Sciences, uma vez que busca melhores soluções para além dos problemas da área de negócios. Uma das sociedades profissionais mais respeitadas atualmente é o Informs – Institute for Operations Reserch and the Management Sciences (http://www.informs.org), dos Estados Unidos, foi fundada em 1995. No Brasil, a Sobrapo – Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional - possui sede no Rio de Janeiro, fundada em 1969. Vale a pena conferir! A "homepage" da Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional é: http://www.sobrapo.org.br/

1.2 História Segundo Moreira (2007), “o termo Pesquisa Operacional foi cunhado ainda em 1938, para descrever o uso de cientistas na análise de situações militares”. A Pesquisa Operacional surgiu durante a Segunda Guerra Mundial, quando os Aliados se viram confrontados com problemas (de natureza logística, tática e de estratégia militar) de grande dimensão e complexidade. Para apoiar os comandos operacionais na resolução desses problemas, foram então criados grupos multidisciplinares de matemáticos, físicos e engenheiros e cientistas sociais.

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Esses cientistas não fizeram mais do que aplicar o método científico aos problemas que lhes foram sendo colocados. Desenvolveram então a idéia de criar modelos matemáticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os problemas em estudo, simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias ou decisões alternativas. O sucesso e credibilidade ganhos durante a guerra foram tão grandes que, terminado o conflito, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia de abordagem dos problemas se transferiram para as empresas que, com o "boom" econômico que se seguiu, se viram também confrontadas com problemas de decisão de grande complexidade. Seguiram-se então grandes desenvolvimentos técnicos e metodológicos que hoje, com o apoio de meios computacionais de crescente capacidade e disseminação, nos permitem trabalhar enormes volumes de dados sobre as atividades das empresas e, através de adequados modelos de base quantitativa, simular e avaliar linhas de ação alternativas e encontrar as soluções que melhor servem aos objetivos dos indivíduos ou organizações. Face ao seu caráter multidisciplinar, a Pesquisa Operacional é uma disciplina científica de características horizontais com suas contribuições estendendo-se por praticamente todos os domínios da atividade humana, da Engenharia à Medicina, passando pela Economia, Contabilidade e a Gestão Empresarial. Leitura complementar Breve Histórico

Os primeiros conceitos da programação linear, uma das técnicas de Pesquisa Operacional, foram desenvolvidos entre 1947 e 1949, durante a segunda guerra mundial, por George Dantzig para serem aplicados a programas militares, desde a área logística, até à estratégia. Foi após a guerra que ele foi impulsionado para encontrar formas eficientes de desenvolver esta metodologia. Foi Dantzig o primeiro a reconhecer que um programa de planejamento poderia ser expresso por um sistema de inequações lineares, assim como foi o primeiro a apresentar, na forma de uma expressão matemática explicita, um critério para seleção do melhor plano, ao que hoje chamamos de função objetivo. Todo este trabalho seria de aplicação prática bastante limitada sem um método eficiente, ou algoritmo, que permitisse encontrar a solução ótima do conjunto de inequações lineares que maximizassem, ou minimizassem, a função objetivo. Assim, desenvolveu o algoritmo simplex que resolve de uma forma

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eficiente este problema. Curiosamente, já em 1939 um matemático soviético e economista L. V. Kantorovich tinha formulado e desenvolvido um problema de programação linear para aplicação em planejamento da produção. No entanto, o seu trabalho foi desconhecido durante vinte anos, não tendo tido impacto no desenvolvimento da programação linear após a segunda guerra.

1.3 Aplicações Segundo Lachtermacher (2002), os principais tipos de aplicação da área de Pesquisa Operacional, de interesse para a área de negócio, são os seguintes: - Problemas de Otimização de Recursos - Problemas de Localização - Problemas de Transporte - Problemas de Carteira de Investimento - Problemas de Alocação de Pessoas - Problemas de Previsão e Planejamento

1.4 Fases de um Estudo de Pesquisa Operacional O processo de resolução de um problema apresenta cinco etapas consecutivas que podem, entretanto, serem repetidas dependendo da situação. Um estudo de Pesquisa Operacional deve desenvolver as seguintes fases:

a) Definição do problema A definição do problema baseia-se em três aspectos principais que precisam ser discutidos: descrição exata dos objetivos do estudo; identificação das alternativas de decisão existentes; e reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema.

b) Construção do Modelo O modelo mais apropriado para a representação do sistema deve ser escolhido com base na definição do problema. Esta é a fase que mais criatividade exige do analista, uma vez que o resultado obtido é conseqüência da qualidade da representação da realidade obtida com o modelo.

c) Solução do modelo Esta fase tem por objetivo encontrar uma solução para o modelo construído.

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d) Validação do modelo Um modelo é válido se for capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema e de fornecer uma resposta que possa contribuir para a qualidade da decisão a ser tomada. Uma prática comum para testar a validade do modelo é analisar seu desempenho com dados passados do sistema e verificar se ele consegue reproduzir o comportamento que o sistema manifestou.

e) Implementação da solução Avaliadas as vantagens e a validade da solução, esta deve ser implementada. A apresentação da solução deve ser feita à direção ou ao gerente da empresa evitando-se o uso da linguagem técnica do modelo. Em todas as etapas de um estudo de Pesquisa Operacional ou de resolução de um problema, deve-se avaliar constantemente os resultados obtidos. Procedendo-se desta forma, pode-se melhor garantir adequação das decisões às necessidades do sistema e aceitação destas decisões por todas as pessoas ou setores envolvidos. Curiosidade Os primeiros problemas envolvendo Programação Linear, uma das técnicas de Pesquisa Operacional, estavam limitados a um “pequeno” número de variáveis devido ao tempo de cálculo e verificação, que poderia envolver vários homens durante vários dias, dependendo da complexidade do problema.

Atualmente, com o recurso do computador e uma planilha Excel, auxiliada por um módulo adicional (solver) para a Programação Linear, permite-nos resolver problemas complexos, sendo o tempo de cálculo muito curto.

1.5 Modelagem de Problemas Gerenciais

O processo de decisão de um empresário é caracterizado por alto conteúdo de racionalidade e desenvolvido em ambientes construídos para propiciar condições adequadas para decisões de qualidade. Segundo Andrade (2004), as fases de um processo de decisão podem ser observadas na Figura 1.

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Percepção

Fonte: Andrade (Figura 1 – As fas Os modelos pefacilidades, ta

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1.5.1 Modelo

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Os modelos de simulação representam o mundo real com objetivo de permitir a geração e análise de alternativas, antes da implementação de qualquer uma delas. O processo de decisão com modelo de simulação é mostrado na Figura 2.

Modelo de

Processo deEscolha da

Hipótese 1

Solução

Hipótese 2

Simulação

Critéde E

Hipótese 3

Fonte: Andrade (2004) Figura 2 – Processo de decisão com mo Simular significa reproduzir o fmodelo, o que permite testar controladas. Observe-se que nomelhor alternativa não é fixado

1.5.2 Modelos de Otimização O modelo de otimização é estruserá considerada “ótima”, segundde decisão com modelo de otimiz

Solução 1

Solução 2

Solução 2

Melhor Solução

Escolhida

Solução 3

rios scolha

delos de simulação.

uncionamento de um sistema, com o auxílio de um algumas hipóteses sobre o valor das variáveis modelo de simulação o critério de escolha da

na estrutura do modelo (é aplicado pelo analista).

turado para selecionar uma única alternativa, que o critério estabelecido pelo analista. O processo ação é apresentado na Figura 3.

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Solução Ótima

Dados e informações do sistema

Decisão

Fonte: Andrade (2004) Figura 3 – Processo de dec A solução “ótima” enco

Glossário Apresentam-se, nestaentendimento deste ca

Método simplex. Métoconjunto de regras que Pesquisa operacionalinstrumentos para anconhecimento que forde forma sistêmica, pr No próximo capítulo, Programação Linear, aaplicação no mundo reaos represente sob a fo

Síntese Neste primeiro capíthistória, sua importânc

Modelo de Otimização

- Representação do Sistema

- Critério de seleção da alternativa

isão com modelos de otimização.

ntrada é tomada como referência para a decisão real.

seção, alguns conceitos que poderão ser úteis ao pítulo.

do que faz uso dos conceitos de álgebra matricial e de um levam à solução dos problemas de Programação Linear.

. É um ramo da ciência administrativa que fornece álise de decisões. Segundo Corrar (2004), “é a área do nece um conjunto de procedimentos voltados para tratar, oblemas que envolvem a utilização de recursos escassos”.

apresentamos uma breve introdução sobre a técnica de s fases de seu estudo, as vantagens e possibilidades de l. No final, são propostos alguns problemas para que o aluno rma padrão de problemas de programação linear.

ulo, você apreendeu o que é Pesquisa Operacional, sua ia e principais áreas de aplicação.

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A Pesquisa Operacional é a ciência que se preocupa em fornecer um conjunto de modelos e técnicas para apoiar a tomada de decisão, com larga aplicação em administração de empresas. O processo de resolução de um problema apresenta cinco etapas consecutivas que podem, entretanto, serem repetidas dependendo da situação. As fases de um estudo de Pesquisa Operacional são as seguintes: definição do problema, a modelagem, a obtenção da solução, a validação e a implementação propriamente dita. Os modelos mais utilizados na modelagem de situações gerenciais são os chamados modelos matemáticos ou simbólicos, onde pode-se também aprender a conceituar e a representar os modelos de simulação e de otimização. As informações contidas neste capítulo servem de referencial para contextualizar e entender os métodos e técnicas a serem aprendidos no restante do livro.

Exercícios propostos 1) Faça uma leitura dos textos complementares, que trata do tema “Breve histórico”, e considerando também os conhecimentos adquiridos na disciplina de Pesquisa Operacional, aponte V ou F caso as afirmações a seguir sejam Verdadeiras ou Falsas. ( ) A técnica de programação linear foi desenvolvida por Dantzig, antes da segunda guerra mundial; ( ) Deve-se utilizar ferramental sofisticado para apoio a tomada de decisão sem haver preocupação se os modelos quantitativos conseguem representar a complexa e incerta realidade organizacional; ( ) O ensino da pesquisa operacional para executivos ou alunos da área de negócios passou a ter o foco na modelagem do problema, na interpretação do resultado do mesmo e na sua aplicabilidade aos problemas gerenciais. 2) Para um estudante da área de negócios o algoritmo que está por trás do software não é o mais relevante e sim se este software lhe dá resultados corretos, num período de tempo satisfatório e serve para aprimorar o processo de tomada de decisão. Pergunta-se: a. Quais são as fases de um estudo de Pesquisa Operacional? b. Quais as diferenças entre o processo de decisão com modelos de otimização e o processo de decisão com modelos de simulação?

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2. PROGRAMAÇÃO LINEAR Objetivos de aprendizagem

Conhecer o que é, as aplicações e as vantagens do uso da técnica de Programação Linear. Identificar e modelar problemas de tomada de decisão sobre alocação de

recursos e sobre dietas de mínimo custo. Seções de estudo

2.1. Aplicações da Programação Linear 2.2. Vantagens do Uso da Programação Linear 2.3. Modelagem de Problemas 2.4. Problema de Alocação de Recursos 2.5. Formulação de Dietas de Mínimo Custo

A Programação Linear (PL) é uma técnica de Pesquisa Operacional, a qual contém outras técnicas tais como Simulação, Teoria dos Jogos, Programação Dinâmica, PERT/CPM, Teoria das Filas e etc, para otimização de sistemas. Segundo Prado (1999), “A PL é uma ferramenta utilizada para encontrar o lucro máximo ou o custo mínimo em situações nas quais temos diversas alternativas de escolhas sujeitas a algum tipo de restrição ou regulamentação”. A técnica de Programação Linear pode ajudar a descobrir os melhores usos para recursos limitados de forma que metas desejadas, tais como lucro, margem de contribuição, retorno esperado, possam ser maximizadas, ou, metas indesejadas, como custos e perdas, possam ser minimizadas.

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Os estudos de Programação Linear podem responder perguntas do tipo: • Qual o preço do produto ou mix de produção maximiza o lucro? • Como se manter dentro do orçamento? • Com que velocidade pode crescer considerando a disponibilidade de

capital de giro? • Qual deveria ser a programação de sua frota de entregas para minimizar

os custos de transportes? • Sendo impostas algumas especificações, qual é a composição da mistura

que corresponde ao custo mínimo? • Estando impostas as condições de trabalho, como repartir o contingente

de mão-de-obra entre as diferentes tarefas e especialidades, com o objetivo de minimizar as despesas ou maximizar a eficiência?

2.1. Aplicações da Programação Linear

A Programação Linear, técnica de solução, desenvolvida após a Segunda Guerra Mundial como instrumento de administração, rapidamente tornou-se uma ferramenta eficiente para estudos de gestão. Na prática tem-se aplicado a Programação Linear em diversas áreas, tais como: Alimentação; Rotas de transportes; Manufatura; Siderurgia; Petróleo; Agricultura; Carteira de investimentos; Análise de riscos; Mineração; Localização industrial; Designação de pessoas e de tarefas, etc.

Uma das aplicações mais clássicas de programação linear diz respeito ao planejamento agrícola, ou mais genericamente, planejamento de sistemas agroindustriais1. Basicamente, o tomador de decisão tem à sua disposição uma determinada área, uma disponibilidade de mão-de-obra e capital, além de observar uma série de características tecnológicas e de capacidade organizacional. O seu objetivo principal diz respeito à maximização de lucro, a partir das opções de negócios (culturas agrícolas, plantéis de animais, papéis de investimento, etc.) disponíveis.

1 Duas referências básicas para o tema, que contém uma série de aplicações para casos brasileiros, são: - CAIXETA FILHO, J. V. Pesquisa Operacional: Técnicas de Otimização Aplicadas a Sistemas Agroindustriais. São Paulo: Atlas S. A., 2004. - CONTINI, E. et alii (eds.) Planejamento da propriedade agrícola: modelos de decisão. Brasília, EMBRAPA-DDT, 1984.

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Leitura complementar Exemplos de aplicação da Programação Linear São vários os exemplos de aplicação da programação linear nos nossos dias que permitiram obter melhoria nas performances das empresas. Numa rápida pesquisa na Internet, encontraram-se três casos referentes a diferentes áreas de atividade econômica. - Um primeiro exemplo refere-se à companhia de óleos TEXACO, que utilizou a programação linear para obter as condições ideais de processamento do petróleo bruto. A aplicação desta metodologia em sete das suas refinarias permitiu obter uma melhoria de 30% nos lucros, atingindo 30 milhões de dólares. - Um outro exemplo refere-se à aplicação do método para otimização dos horários de trabalho em quatro estabelecimentos da rede de retaurantes McDonald’s nos Estados Unidos. A programação linear proporcionou um melhor aproveitamento dos recursos disponíveis, com a exigência de cobertura durante todo período de funcionamento das unidades, obtendo-se uma programação de horários mais convenientes de acordo com as preferências de horário de cada funcionário. - Um último caso refere-se ao exército norte-americano que desenvolveu um sistema designado de MLRPS – Manpower Long-Range Planning System - que permite estimar as necessidades de recursos humanos num horizonte que vai dos 7 aos 20 anos. Para tal, aspectos como as admissões, abandonos, promoções e transferências são levadas em consideração no modelo, que determina o número de recursos necessários.

2.2. Vantagens do Uso da Programação Linear

- Permite encontrar o lucro máximo ou o mínimo custo. Pergunta-se: qual o impacto deste benefício dentro das empresas? É comum encontrarmos empresas da área de siderurgia e petrolífera, por exemplo, com faturamento anual de US$ 1 bilhão e com um custo de produção de US$ 400 milhões anuais, imaginem o impacto caso a redução de custos seja de apenas 5%!! (0,05X400=US$20 milhões por ano). Nessas áreas é comum encontrar número expressivo dos chamados analistas de Pesquisa Operacional;

- Permite identificar as melhores opções em estudos de Qualidade Total; - Permite a identificação de gargalos nas empresas e nas linhas de

produção; - Fornecem diretrizes para expansão; - Possibilita avaliar o potencial de aplicabilidade de uma pesquisa.

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2.3. Modelagem de Problemas A modelagem diz respeito à técnica de como construir modelos. Em Pesquisa Operacional, o termo modelo é empregado para significar a representação de um sistema. A estratégia da Programação Linear para a resolução de problemas de otimização é transformar as características do problema em um modelo matemático constituído de uma função objetivo e de um conjunto de restrições. O modelo de Programação Linear, na sua forma reduzida, pode ser formulado da seguinte maneira:

n

∑ cjxj j=1

Maximizar Z = Sujeito a:

n

∑ aijxj ≤ bi (para todo i = 1, 2, ...,m)j=1

xj ≥ 0 (para todo j = 1, 2, ..., n) Onde:

- xj é o nível da j-ésima atividade; - cj é o coeficiente da função objetivo esperado da j-ésima atividade; - aij é o coeficiente técnico da j-ésima atividade para o i-ésimo recurso (ou

restrição); - bi são os níveis de fatores limitantes ou da i-ésima restrição; - n número de atividades; - m número de restrições.

As etapas de um processo de modelagem são as seguintes:

1. Definir as variáveis do problema; 2. Definir a função objetivo; 3. Definir o conjunto de restrições.

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Para ilustrar o processo de modelagem de problemas de alocação de recursos, analisaremos um exemplo simples, mas que mostra os aspectos envolvidos no processo.

2.4. Problema de Alocação de Recursos Uma fábrica de computadores, localizada em Florianópolis, produz dois modelos de computador: A e B. O modelo A fornece um lucro de R$200,00 e B de R$300,00. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo B requer um gabinete grande e duas unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se: qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro? Modelagem do problema a) Definição de variáveis de decisão Como o objetivo da empresa é encontrar o programa de produção para máximo lucro, isso significa, em outras palavras, dimensionar a produção de cada tipo de computador. Assim, as variáveis de decisão serão: • X1 = quantidade de computador Modelo (A) a produzir; • X2 = quantidade de computador Modelo (B) a produzir. b) Função objetivo A Função objetivo é a expressão que calcula o valor do objetivo (lucro, receita, custo, perda, margem de contribuição e etc), em função das variáveis de decisão. Representam a relação entre as variáveis de decisão, o lucro unitário por computador e o lucro total. Como o lucro total será a soma dos lucros obtidos com a venda de cada tipo de computador, a equação de lucro total será: Lucro total: L = 200 X1 + 300 X2 Objetivo: Max L = 200 X1 + 300 X2 c) Definição das restrições do problema Cada restrição imposta na descrição do problema deve ser expressa como uma relação linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as variáveis de decisão. Devem-se representar as relações entre as quantidades a serem produzidas dos

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Modelos de computador A e B, as exigências em termos de peças para a produção e a disponibilidade de peças ou gabinetes. • Disponibilidade de gabinete pequeno

X1 ≤ 60 • Disponibilidade de gabinete grande

X2 ≤ 50 • Disponibilidade de unidades de disco

X1 + 2 X2 ≤ 120 • Restrição lógica

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

A última restrição formulada diz respeito a não negatividade das variáveis de decisão.

2.5. Formulação de Dietas de Mínimo Custo2

Uma aplicação bem sucedida de programação linear diz respeito à formulação de dietas, e em particular, formulação de rações de custo mínimo. Em termos gerais, se deseja obter a dieta de mínimo custo (ou mínimo preço), a partir da disponibilidade de uma série de alimentos, mas respeitando-se as exigências nutricionais pertinentes à idade e tipo da pessoa. “Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas”. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada unidade de ovo custa 2,5 unidades monetárias”. O problema pode ser resolvido da seguinte forma:

2Adaptado de CAIXETA FILHO, J. V. Material de apoio às disciplinas: LES-672 Introdução à Pesquisa Operacional e LES-785 Programação Linear. Série didática nº 113. Piracicaba: ESALQ/USP, 1996.

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Modelagem do problema a) Definição de variáveis de decisão • Alternativas: chamando as alternativas de x1 e x2, onde: x1 = quantidade de carne a consumir no dia x2 = quantidade de ovos a consumir no dia; b) Função objetivo • Objetivo: minimizar o custo da dieta para consumir carne e ovos; Min C = 3 x1 + 2,5 x2 c) Definição das restrições do problema • Restrições - necessidade mínima de vitamina 4 x1 + 8 x2 ≥ 32 - necessidade mínima de proteína 6 x1 + 6 x2 ≥ 36 - positividade das alternativas x1, x2 ≥ 0

Glossário

Apresentam-se, nesta seção, alguns conceitos que poderão ser úteis ao entendimento deste capítulo.

Função-objetivo. Expressão matemática que relaciona as variáveis de decisão (as alternativas) e o objetivo que se pretende alcançar. Programação linear. Técnica destinada a determinar a melhor utilização de recursos limitados, de forma a otimizar uma função-objetivo que está condicionada a um conjunto de restrições. É uma programação matemática em que todas as funções-objetivo e restrições são representadas por funções lineares. Restrições. Limites impostos aos possíveis valores que podem ser assumidos pelas variáveis de decisão. Variáveis de decisão. São as alternativas ou variáveis que correspondem às decisões a serem tomadas visando encontrar a solução para o problema em estudo.

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Síntese Nesta unidade você conheceu um pouco sobre a técnica de Programação Linear, que é um dos mais populares modelos matemáticos. É aplicável a problemas quantitativos cujos relacionamentos possam ser expressos por meio de equações e inequações lineares. Conhecemos as perguntas que podem ser respondidas pela técnica, as principais vantagens e aplicações da Programação Linear no mundo dos negócios.

A estratégia da Programação Linear para a resolução de problemas de otimização é transformar as características do problema em um modelo matemático constituído de uma função objetivo e um conjunto de restrições. A combinação de variáveis que deve ser maximizada ou minimizada, na forma de uma expressão matemática, é chamada de função objetivo. As restrições, representadas por equações ou inequações matemáticas, representam limites impostos pela condição da realidade da empresa, em termos de escassez de recursos, regulamentações ou restrições de mercado.

Exercícios propostos 1) Faça uma leitura do texto complementar, que trata do tema “Exemplos de aplicação da Programação Linear”, e considerando também os conhecimentos adquiridos na disciplina de Pesquisa Operacional, aponte V ou F caso as afirmações a seguir sejam Verdadeiras ou Falsas. ( ) O texto ressalta três exemplos de aplicabilidade da ferramenta de Programação Linear para apoiar a tomada de decisão, em casos práticos para resolução de problemas de finanças, de marketing e de carteira de investimentos; ( ) Na Programação Linear tanto as restrições como as funções-objetivo são representadas por funções lineares (equações de primeiro grau). 2) Problemas para Modelagem Atenção especial deve ser dispensada ao esforço de modelagem, antes de entrarmos no mérito da resolução de problemas por programação linear. Dado um

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determinado problema, o modelador, em função de seu nível de abstração e de experiência vivida, terá uma maior ou menor facilidade para a representação de objetivo, alternativas e restrições, através de inequações e equações. 1. A empresa Ilha da Magia fabrica dois tipos de pneus: Modelo P (o premium) e Modelo R (o regular). O Modelo P é vendido por R$95,00 cada pneu e custa para ser produzido R$85,00 por pneu, enquanto que o Modelo R é vendido por R$50,00 cada pneu e tem um custo de produção de R$42,00 por pneu. Para fabricar um pneu do Modelo P, são necessárias duas horas da Máquina A e quatro horas da Máquina B. Por outro lado, para fazer um pneu do Modelo R, são requeridas nove horas da Máquina A e três horas da Máquina B. A programação da Produção da fábrica mostra que na próxima semana a Máquina A estará disponível no máximo 36 horas e a Máquina B no máximo 42 horas. Quanto de cada modelo de pneus a fábrica deve produzir de modo a maximizar o seu lucro? Qual é este lucro máximo? 2) A empresa “Águas de Floripa” produz piscina em fibra em duas linhas de produção: piscina Standard e piscina Luxo. Com relação à piscina Standard temos as seguintes informações: - A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas; - Cada piscina consome 1 homem/dia para ser produzida; - Cada piscina fornece um lucro de R$30,00. Para as piscinas Luxo: - A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas; - Cada piscina consome 2 homem/dia para ser produzida; - Cada piscina fornece um lucro de R$40,00.

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Além disso, devemos informar que a fábrica possui um total de 40 empregados a serem alocados nas duas linhas de produção. O dono da fábrica tem por objetivo maximizar o lucro diário. 3. Certa empresa fabrica dois produtos, bolas de futebol (P1) e bolas de vôlei (P2). O lucro por unidade de P1 é de R$100,00 e o lucro unitário de P2 é de R$150,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.

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4. No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., escolheu três produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na produção. Produto Lucro por

unidade Horas de trabalho

Horas de uso de máquinas

Demanda máxima

P1 2.100 6 12 800 P2 1.200 4 6 600 P3 600 6 2 600 Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 4.800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho. Estabelecer um programa ótimo de produção para o período que maximize o lucro da empresa. 5. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para abastecer o CEASA, localizado no município de São José. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a R$20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a R$10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a R$30,00 de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.

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6. Uma rede de televisão da “Grande Florianópolis” tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa “B” com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema.

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7. Uma empresa localizada em Tubarão fabrica dois modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de R$4,00 para M1 e R$3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa o modelo do sistema descrito. 8. A empresa “Toldos Sol e Praia”, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de três recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar dois produtos: Abrigos para Automóveis (P1) e Toldos em Loja (P2). Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R$120,00 por unidade e P2, R$150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.

Produto Recurso R1 por unidade

Recurso R2 por unidade

Recurso R3 por unidade

P1 P2

2 4

3 2

5 3

Disponibilidade de recursos por mês

100

90

120

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Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema. 9. O problema da sapataria do Ribeirão da Ilha. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos; cinco cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar 1 unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.

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10. A Empresa de Administração de Fundos Paulo S.A.3, procurando obter o melhor rendimento dos R$100.000,00 investidos por um cliente antigo, tenta achar a melhor configuração da aplicação nas seguintes carteiras:

Carteiras Rentabilidade* % Poupança 7,6 Câmbio Empresarial Plus 15,0 Câmbio Especial Plus 15,1 Câmbio Preferencial 12,0 DI Empresarial 13,5 DI Especial Plus 14,9 DI Preferencial 13,4 Fix Especial Plus 15,1 Fix Preferencial 14,0 Fix Private 15,6

* Valores projetados conforme dados dos últimos 12 meses. As exigências que o cliente fez para aplicação foram as seguintes:

- aplicação de um ano; - aplicar na Poupança no mínimo 5%, e no máximo 15%; - para as carteiras de Câmbio máximo 30%. - para as carteiras de DI (Depósito Interbancário) máximo 35%; - e por último nas carteiras de Renda Fixa, máximo 40%.

Por recomendação do administrador de fundos, as quantias máximas para serem investidas individualmente são de:

- R$ 12.000,00, nas carteiras de Câmbio; - R$ 14.000,00, nas carteiras de DI; - R$ 17.000,00, nas carteiras de Renda Fixa.

3 Problema formulado e apresentado pelos alunos da disciplina de Introdução à Pesquisa Operacional da Unisul - campus de Araranguá, do segundo semestre do ano 2000.

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11. Uma agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma linha de produto não-lucrativo. Isto criou um considerável excedente na capacidade de produção. A gerência está considerando dedicar esta capacidade excedente a um ou mais produtos, identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível das máquinas que poderia limitar a produção está resumida na tabela que se segue:

Tipo de máquina Tempo disponível (horas de máquina)

A 500 B 350 C 150

O número de horas de máquina requerido por unidade dos respectivos produtos é conhecido como coeficiente de produtividade (em horas de máquina por unidade), conforme representado a seguir:

Tipo de Máquina Produto 1 Produto 2 Produto 3 A 9 3 5 B 5 4 0 C 3 0 2

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O lucro unitário estimado é de R$30,00, R$12,00 e R$15,00, respectivamente, para os produtos 1, 2 e 3. Determinar a quantidade de cada produto que a firma deve produzir para maximizar o seu lucro. 12. Uma fábrica de pranchas de Surfe, localizada em Garopaba, produz os modelos A, B e C, que proporcionam lucros unitários da ordem de R$ 160, 00, R$ 300,00 e R$ 500, 00, respectivamente. As exigências de produção mínimas mensais são de 20 para o modelo A, 120 para o modelo B e 60 para o modelo C. Cada tipo de prancha requer uma certa quantidade de tempo para a fabricação das partes componentes, para a montagem e para testes de qualidade. Especificamente, uma dúzia de unidades do modelo A requer três horas para fabricar, quatro horas para montar e uma para testar. Os números correspondentes para uma dúzia de unidades do modelo B são 3,5, 5 e 1,5; e para uma dúzia de unidades do modelo C, 5, 8 e 3. Durante o próximo mês, a fábrica tem disponíveis 120 horas de tempo de fabricação, 160 horas de montagem e 48 horas de testes de qualidade. Formule o problema como um modelo de Programação Linear.

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13. Um jovem está saindo com duas namoradas: Sheila e Ana Paula4. Ele sabe, por experiência que:

a) Ana Paula, elegante, gosta de freqüentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma saída de três horas custará R$240,00;

b) Sheila, mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que, uma saída de três horas, lhe custará R$160,00;

c) Seu orçamento permite dispor de R$960,00 mensais para diversão; d) Seus afazeres escolares lhe dão liberdade de, no máximo, 18 horas e

40.000 calorias de sua energia para atividades sociais; e) Cada saída com Ana Paula consome 5.000 calorias, mas com Sheila, mais

alegre e extrovertida, gasta o dobro; f) Ele gosta das duas com a mesma intensidade. Como ele deve planejar a sua vida social para obter o número máximo de saídas?

4 Extraído de LACHTERMACHER (2002, pg. 57).

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3. RESOLVENDO PROBLEMAS SIMPLES PELO MÉTODO GRÁFICO

Objetivos de aprendizagem

Resolver problemas de Programação Linear por meio da utilização do método gráfico. Compreender a lógica da obtenção da solução ótima.

Seções de estudo

3.1. Problema de Alocação de Recursos da Fábrica de Computadores 3.2. Resolução pelo Método Gráfico

Neste capítulo aborda-se a técnica de resolução de problemas simples pelo chamado Método Gráfico, com objetivo do aluno conhecer a ferramenta de resolução e também melhor compreender a lógica de resolução da Programação Linear. Para ilustrar o desenvolvimento do método, apresentam-se o problema, a modelagem e as etapas de resolução do Problema de Alocação de Recursos da Fábrica de Computadores.

3.1. Problema de Alocação de Recursos da Fábrica de Computadores Uma fábrica de computadores, localizada em Florianópolis, produz dois modelos de computador: A e B. O modelo A fornece um lucro de R$200,00 e B de R$300,00. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo B requer um gabinete grande e duas unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se: qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro?

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Modelagem do problema a) Definição de variáveis de decisão • X1 = quantidade de computador Modelo (A) a produzir; • X2 = quantidade de computador Modelo (B) a produzir. b) Função objetivo Lucro total: L = 200 X1 + 300 X2 Função objetivo: Max L = 200 X1 + 300 X2 c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade de gabinete pequeno

X1 ≤ 60 • Disponibilidade de gabinete grande

X2 ≤ 50 • Disponibilidade de unidades de disco

X1 + 2 X2 ≤ 120 • Restrição lógica

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

3.2. Resolução pelo Método Gráfico A resolução de problemas de programação pelo método gráfico requer a definição da região de solução das restrições e que se avalie o objetivo na região de soluções viáveis.

1ª Etapa: Construir a região de soluções das restrições A construção da região de soluções das restrições possíveis obedece a seguinte seqüência: - atribuem-se valores para X1 e X2 para definir-se o comportamento da linha/reta de cada uma das restrições no gráfico. Exemplo: • Disponibilidade de unidades de disco

X1 + 2 X2 ≤ 120 Para X1 = 0, temos que X2 = 60;

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Para X2 = 0, temos que X1 = 120. - para visualizar o problema de forma gráfica, devem ser representadas, inicialmente, as restrições do problema, conforme apresentado na Figura 1.

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100 120

o

X2

Gabinete Pequeno

Gabinete Grande

Unidades de disc

X1

Figura 1 - Representação das restrições no gráfico.

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X2

Região viável

X1

Figura 2 - Representação da região viável do problema. Entretanto, nada ainda foi dito sobre a função objetivo, que também deverá ser representada.

2ª Etapa: Avaliar o objetivo na região de soluções Para avaliarmos o comportamento da função objetivo no gráfico, sugerem-se os seguintes procedimentos:

- escolher um ponto dentro ou próximo da região de solução viável. Por exemplo, X1 = 20 e X2 = 20;

- calcular o valor obtido para a função objetivo neste ponto. Basta substituirmos os valores para X1 e X2 na função objetivo. Neste caso, obtém-se um valor de lucro de R$ 10.000,00;

- representar, no gráfico, o comportamento da função objetivo quando o lucro for de R$10.000,00. Para isto, devemos adotar o mesmo procedimento anterior para representar as restrições do problema.

Assim, temos: Max L = 200 X1 + 300 X2 Logo, 10.000 = 200 X1 + 300 X2

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Portanto, se X2 = 0, então X1 = 50 e se X1 =0, então X2 = 33,33.

X2

Função objetivo quando o lucro é igual a R$10.000,00

X1

Figura 3 - Representação da função objetivo quando o lucro é R$10.000,00. Observa-se que quanto mais a função objetivo caminhar para a direita, de forma paralela, maior o valor de lucro. Portanto, este deverá ser o direcionamento da maximização: a função objetivo deverá se deslocar, dentro da região viável, o máximo possível para a direita, o que no caso resultará no vértice X1 = 60 e X2 = 30, com o máximo lucro de R$21.000,00. Veja que se X1 = 60 e X2 = 30, substituindo esses valores na função objetivo, temos: Max L = 200 X1 + 300 X2

Max L = 200 x 60 + 300 x 30 Max L = 21.000

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30

X1 = 60

X2 = 30

Gabinete Pequeno

Gabinete Grande

Unidades de di

X2

Solução Ótima

sco

X1

Figura 4 – Identificação da solução ótima. Este vértice, x1 = 60 e x2 = 30, a solução do problema, é a intersecção das retas representativas das restrições de Gabinete Pequeno e Unidades de Disco. Isso significa que tais restrições estão sendo esgotadas, ou que estão sendo efetivamente atuantes. Na verdade, substituindo-se o valor da solução ótima naquelas restrições, os limites superiores serão alcançados. Já na restrição de Gabinete Grande, os limites superiores correspondentes não serão atingidos, significando que tais restrições estão com folga. Observa-se que para realizar o plano ótimo de produção serão necessárias 30 unidades de Gabinetes Grandes, sendo que a disponibilidade é de 50 (folga de 20 unidades). Concluindo-se: a fábrica de computadores deverá produzir 60 unidades do computador Modelo A e 30 unidades de computador Modelo B, para obter um máximo lucro de R$21.000,00. Os dois próximos capítulos tratam dos procedimentos de entrada de dados na planilha Excel e no software Lindo bem como na obtenção dos relatórios para análise e interpretação de problemas gerenciais de otimização diversos.

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Glossário Análise de sensibilidade. Segundo Moreira (2007), é o estudo da sensibilidade da solução ótima aos dados do modelo de programação linear. Coeficientes tecnológicos. Representam a quantidade de recursos necessária para produzir uma unidade da variável ou alternativa. Região permissível. É o conjunto de todas as soluções possíveis. Solução ótima. É o conjunto de valores das variáveis que, ao mesmo tempo, satisfaça todas as restrições e otimize (maximize ou minimize) a função objetivo. Solução permissível ou viável. É uma solução que atende ao mesmo tempo a todas as restrições.

Síntese

Problemas simples de Programação Linear, com apenas duas variáveis de decisão, podem ser resolvidos pelo método gráfico. O procedimento de resolução envolve duas etapas: a primeira requer a identificação no gráfico da região de soluções possíveis (região permissível); a segunda, e última etapa, requer a avaliação do comportamento da função objetivo para podermos identificar a solução ótima. As restrições são representadas no gráfico por linhas retas em que as coordenadas são as duas variáveis de decisão. A função objetivo é representada por uma linha reta, cuja inclinação será determinante para a identificação da solução ótima. A solução ótima está em um dos vértices ou pontos extremos da região permissível.

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Exercícios Propostos Resolva os seguintes problemas simples, fazendo uso do Método Gráfico, apresentando passo a passo às etapas de resolução. 1) A empresa Ilha da Magia fabrica dois tipos de pneus: Modelo P (o premium) e Modelo R (o regular). O Modelo P é vendido por R$95,00 cada pneu e custa para ser produzido R$85,00 por pneu, enquanto que o Modelo R é vendido por R$50,00 cada pneu e tem um custo de produção de R$42,00 por pneu. Para fabricar um pneu do Modelo P, são necessárias duas horas da Máquina A e quatro horas da Máquina B. Por outro lado, para fazer um pneu do Modelo R, são requeridas nove horas da Máquina A e três horas da Máquina B. A programação da Produção da fábrica mostra que na próxima semana a Máquina A estará disponível no máximo 36 horas e a Máquina B no máximo 42 horas. Quanto de cada modelo de pneus a fábrica deve produzir de modo a maximizar o seu lucro? Qual é este lucro máximo? 2) A empresa “Águas de Floripa” produz piscina em fibra em duas linhas de produção: piscina Standard e piscina Luxo. Com relação à piscina Standard temos as seguintes informações: - A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas; - Cada piscina consome a mão-de-obra de 1 homem/dia para ser produzida; - Cada piscina fornece um lucro de R$30,00. Para as piscinas Luxo:

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- A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas; - Cada piscina consome a mão-de-obra de 2 homem/dia para ser produzida; - Cada piscina fornece um lucro de R$40,00. Além disso, devemos informar que a fábrica possui um total de 40 empregados a serem alocados nas duas linhas de produção. O dono da fábrica tem por objetivo maximizar o lucro diário. 3) Certa empresa fabrica dois produtos, bolas de futebol (P1) e bolas de vôlei (P2). O lucro por unidade de P1 é de R$100,00 e o lucro unitário de P2 é de R$150,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.

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4. RESOLVENDO PROGRAMAÇÃO LINEAR UTILIZANDO A PLANILHA EXCEL®

Objetivos de aprendizagem

Resolver problemas de Programação Linear por meio da utilização da ferramenta Solver do Excel®. Analisar a solução final obtida com o propósito de otimizar a alocação de

recursos da empresa. Seções de estudo

4.1. Elementos da Planilha 4.2. Desenvolvendo o Problema da Empresa Ilha da Magia 4.3. Análise dos Resultados

Existem dois modos de se resolver um problema em programação linear: o modo tradicional, usando o método gráfico (até duas variáveis) e o método Simplex (três ou mais variáveis), ou o método computacional, onde existem programas prontos para resolver problemas de PL (como por ex. o programa "LINDO") ou então, utilizar as planilhas eletrônicas como EXCEL, LOTUS 1-2-3 ou Quattro-Pro. O objetivo do presente capítulo é fornecer um roteiro para a resolução de um problema típico de Programação Linear utilizando-se do software Excel® da Microsoft, por ser a planilha mais popular no Brasil.

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4.1. Elementos da Planilha

- Dados de Entrada: são os dados fornecidos no problema, isto é, os dados da função objetivo e os dados das equações de restrição (maior igual ou menor igual, incluindo as condições de não-negatividade). Esses dados devem aparecer em algum lugar na planilha. É aconselhável colocar o máximo de dados de entrada no canto superior esquerdo da planilha, apesar de que em alguns problemas específicos pode-se mudar essa regra.

- Células variáveis: Ao invés de usar nomes de variáveis como X1 ou X21, utilizar um conjunto de células pré-definidas que fazem o papel das variáveis de decisão. Os valores nessas células podem ser mudados a fim de otimizar a função objetivo. Para evidenciar essas células, pode-se convencionar sombrear com determinada cor.

- Célula destino: essa célula irá acumular o valor calculado da função objetivo. A ferramenta Solver sistematicamente varia os valores das células variáveis a fim de otimizar o valor da célula destino. Pode-se convencionar envolver a célula destino em uma borda preta dupla.

- Restrições ou vínculos: no Excel, as restrições não aparecem diretamente na planilha. Ao invés disso, deve-se especificar as desigualdades diretamente num quadro de diálogo da ferramenta Solver.

4.2. Desenvolvendo o Problema da Empresa Ilha da Magia

Considere o problema da empresa Ilha da Magia, exercício 1, descrito novamente a seguir: A empresa Ilha da Magia fabrica dois tipos de pneus: Modelo P (o premium) e Modelo R (o regular). O Modelo P é vendido por R$95,00 cada pneu e custa para ser produzido R$85,00 por pneu, enquanto que o Modelo R é vendido por R$50,00 cada pneu e tem um custo de produção de R$42,00 por pneu. Para fabricar um pneu do Modelo P, são necessárias duas horas da Máquina A e quatro horas da Máquina B. Por outro lado, para fazer um pneu do Modelo R, são requeridas nove horas da Máquina A e três horas da Máquina B. A programação da Produção da fábrica mostra que na próxima semana a Máquina A estará disponível no máximo 36 horas e a Máquina B no máximo 42 horas. Quanto de cada modelo de pneus a fábrica deve produzir de modo a maximizar o seu lucro? Qual é este lucro máximo?

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A solução completa do problema é obtida realizando-se duas etapas, que são as seguintes: 1º) Entrada de dados e fórmulas na planilha A primeira etapa consiste na entrada de todos os dados na planilha e das fórmulas que relacionam as células com os dados de entrada e cujo resultado é armazenado na célula destino. Esse primeiro estágio é o mais importante, pois, nele todos os ingredientes do modelo são incluídos e relacionados entre si.

Dados de entrada: Entre com os dados conforme mostrado no quadro abaixo. As quantidades necessárias de horas máquina para cada tipo de pneu nas células B4:C5, as quantidades disponíveis de cada tipo nas células E4:E5 e o lucro de cada tipo de pneu nas células B3:C3.

Figura 1 – Entrada de dados na planilha Excel®.

Níveis de produção: as células B2:C2 são onde os valores das variáveis de decisão são colocados, ou seja, onde o Solver indicará a solução para o problema.

Lucro obtido: entre com a fórmula abaixo na célula D3:

=SOMARPRODUTO(B3:C3;$B$2:$C$2)

Essa fórmula calcula o total de lucro de acordo com o número de pneus presentes nas células variáveis.

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Figura 2 – Utilização da função “somarproduto” no Excel®. Recursos utilizados: entre com a fórmula abaixo na célula D4.

=SOMARPRODUTO(B4:C4;$B$2:$C$2) E, com a fórmula abaixo, na célula D5.

=SOMARPRODUTO(B5:C5;$B$2:$C$2) Uma alternativa mais fácil é copiar a fórmula da célula D3, feita anteriormente, para a célula D4 e D5.

Figura 3 – Detalhes do procedimento de cópia da célula D3 para as células D4 e D5.

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Essa fórmula calcula as unidades de horas Máquina A e B utilizadas pela quantidade de pneus digitados inicialmente. A função SOMARPRODUTO é particularmente útil em modelos de Programação Linear. Aqui ela multiplica cada valor do intervalo de células B4:C4 pelos correspondentes valores nas células B2:C2 e depois soma esses produtos, do mesmo modo que é feito na multiplicação de matrizes. O propósito de colocar o dólar das células variáveis é o de fixá-las quando copia-se a mesma fórmula para as outras restrições.

2º) Parâmetros do Solver

Na segunda etapa, devemos acionar o Solver no menu ferramentas do Excel. Se você não encontrar o Solver, escolha o item suplementos, do menu ferramentas, e procure o Solver e clique no respectivo quadrinho. A ferramenta Solver resolve o problema através de ajustes nas células variáveis até que o máximo valor da célula destino seja encontrado. Para os problemas de PL, a ferramenta utiliza o chamado "Modelo Simplex". Precisa-se informar a localização das células variáveis e da célula destino, bem como uma lista de todas as restrições envolvidas no problema, que são escritas em termos de endereços de células. Ao final é só pedir para que o Solver ache a solução otimizada. Os procedimentos de preenchimento dos parâmetros do Solver são apresentados, a seguir.

a) Selecione como célula de destino a célula D3, aquela em que seu valor deverá ser máximo, e clique na opção Max.

b) Selecione as células variáveis de acordo com a janela apresentada na Figura 4.

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Figura 4 – Preenchimento dos parâmetros do solver

c) Adicione cada restrição, com a respectiva desigualdade correta. Note que deve-se dar corretamente os endereços de cada desigualdade e, por esse motivo, não importa muito onde se coloca na planilha.

Figura 5 – Adição das restrições

Modelo Linear: antes de pedir para Resolver, clique em Opções e selecione "Presumir modelo Linear", pois afinal se trata de PL.

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Figura 6 – Opções do solver: presumir modelo linear e não negativos.

Resolver: clique em resolver e então o Solver mostrará nas células variáveis o valor ótimo das quantidades de pneus e na célula destino o valor máximo do lucro. Antes ele diz que achou uma solução ótima e, se for selecionado as opções de relatórios, ele criará até três tipos de relatórios diferentes, os quais serão muito úteis futuramente.

Figura 7 – Janela indicando que o Solver encontrou uma solução que pode ser visualizada na

planilha.

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Caso escolha os três relatórios e dê OK. O Excel criará mais três pastas, cada uma com um tipo de relatório, são eles:

- Relatório de respostas (Answer Report);

- Relatório de Sensibilidade (Sensitivity Report);

- Relatório de Limites (Limits Report).

Os relatórios emitidos para este problema podem ser visualizados na próxima seção, que trata da análise e interpretação destes relatórios.

4.3. Análise dos Resultados O Relatório de Resposta do problema são apresentados na Figura 8.

Figura 8 – Apresentação do Relatório de Resposta do Solver. A primeira parte, denominada de célula de destino (“target cell”), indica o tipo de problema de otimização tratado, no caso maximização, e o valor original e final da função objetivo. O valor máximo encontrado para a função objetivo é um lucro de R$ 106,00. A segunda parte do relatório relaciona os valores ótimos para as variáveis de decisão (células ajustáveis). Observe-se que, nesse caso, a quantidade a ser produzida de pneus Premium deve ser de nove unidades e de pneus Regular deve ser de duas unidades.

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A terceira parte do relatório diz respeito às restrições. A coluna de valores das células indica os valores das constantes (RHS) de cada uma das restrições. A última coluna transigência (slack) indica a folga ou excesso de disponibilidade de recursos. Observa-se que a restrição referente à disponibilidade de horas Máquina A apresenta folga igual a zero, indicando que se atingiu o limite da restrição de horas necessárias (para conferir basta substituir os valores de solução ótima para pneus Premium e para pneus Regular na inequação referente à restrição de horas Máquina A). Da mesma forma, para a restrição de horas Máquina B, pode-se constatar que, também, se atingiu o limite da restrição de horas. O relatório de análise de sensibilidade do problema em questão é apresentado na Figura 9, abaixo.

Figura 9 – Apresentação do Relatório de Análise de Sensibilidade do Solver. O relatório de sensibilidade está dividido nas seguintes partes:

- A primeira refere-se às mudanças que podem ocorrer nos coeficientes das variáveis de decisão da função objetivo;

- A segunda refere-se as possíveis alterações que as constantes das restrições podem sofrer.

As informações importantes mostradas nesse relatório são os Custos Reduzidos (“Reduced Cost”) e o Preço Sombra (“Shadow Price”). Pode-se interpretar os Custos Reduzidos como sendo:

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- A quantidade que o coeficiente da função-objetivo deve melhorar para que aquela alternativa faça parte da solução ótima do problema;

- A penalização a ser paga por se introduzir uma unidade de uma alternativa que não deve fazer parte da solução ótima.

Observe que o lucro das alternativas de produção não precisa melhorar nada (Custo Reduzido igual a zero), uma vez que as duas alternativas já fazem parte da solução ótima (deve-se produzir nove unidades de pneu Premium e duas unidades de pneu Regular). Da mesma forma, a penalização a ser paga é zero, pois as duas alternativas fazem parte da solução ótima. Os valores do Preço Sombra (“Shadow Price”) podem ser interpretados da seguinte forma:

- A quantidade pela qual a função objetivo altera dado um incremento de uma unidade na constante da restrição, ou seja, dado um aumento de uma unidade adicional do recurso disponível;

- O aumento na função objetivo se aumentado de um o limite da restrição;

- Mostra, do ponto de vista econômico, até quanto estaria-se dispostos a pagar por uma unidade adicional de um recurso.

Portanto, para o problema de alocação de recursos da empresa Ilha da Magia, pode-se concluir sobre o Preço Sombra:

- Se a restrição disponibilidade de horas Máquina A for aumentada de 36 para 37 unidades, tem-se uma nova solução, na qual o valor da função objetivo será aumentado de R$ 0,0667.

- Se a restrição disponibilidade de horas Máquina B for aumentada de 42 para 43 unidades, tem-se uma nova solução, na qual o valor da função objetivo será aumentado de R$ 2,4667.

Caso o custo adicional da hora Maquina A e da hora Máquina B seja de R$1,00, por exemplo, deve-se somente contratar horas Máquina B, uma vez que a função objetivo será aumentada de R$ 2,4667 e o custo será de R$1,00 (obtendo-se um lucro adicional de R$1,4667).

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Glossário Preço sombra (“shadow price” ou “dual price”). É também conhecido por preços marginais. Indica quanto se deixa de ganhar ou perder por não se dispor de mais uma unidade de determinada variável restritiva. Problema mal dedinido (“unbounded”). Acontece nos modelos em que a função-objetivo pode atingir valores infinitos ou zero, incompatível com o resultado esperado. Problema não-solúvel (“infeasible”). Acontece nos modelos em que o conjunto de restrições apresentam contradições entre si. Reduzido custo (“reduced cost”). Indica quanto se deixa de ganhar ou perder por adotar alternativa diferente da indicada pela solução ótima. Solver. Segundo Moreira (2007), é uma ferramenta ou suplemento do software Microsoft Excel® que, para solução dos problemas lineares, utiliza o método simplex.

Síntese Para os alunos e profissionais da administração, a utilização da ferramenta Solver do Excel® facilita a resolução de problemas de otimização. A obtenção da solução para determinado modelo é feita em duas etapas: primeiramente, deve-se entrar com os dados na planilha e das fórmulas; e, num segundo momento, preencher os parâmetros do Solver. Foi tomado como exemplo o problema da empresa Ilha da Magia, para obtenção da solução e para a realização das análises e interpretações pós-otimização, ou seja, dos relatórios emitidos pelo Solver. A solução ótima serve de referência para a tomada de decisão, não devendo necessariamente ser implementada.

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Exercícios propostos 1) A Calçados Ltda de Barreiros fabrica os produtos Sapato Tipo 1 e Sapato Tipo 2. A empresa consegue vender todos os produtos. Cada produto passa por três departamentos e os tempos de fabricação requeridos encontram-se na Tabela 1. Tabela 1 – Tempo de fabricação em horas por unidade.

Departamento A

Departamento B Departamento C

Produto 1 2 1 4 Produto 2 2 2 2

Cada departamento, entretanto, tem uma capacidade fixa de homens-hora por mês, como mostra a Tabela 2. Tabela 2 – Capacidade produtiva dos departamentos.

Departamento Capacidade máxima em homens-hora

A 160 B 120 C 280

A margem de contribuição do Produto 1 é de R$ 1,00 por unidade e a do Produto 2 é de R$ 1,50 por unidade. O problema consiste em determinar quanto fabricar de cada produto com o objetivo de maximizar a margem de contribuição total (MCT). Modelagem do problema da Calçados Ltda a) Definição das variáveis de decisão X1 = Quanto deve produzir de Sapato Tipo 1 X 2 = Quanto deve produzir de Sapato Tipo 2 b) Definição da Função Objetivo Max MCT = 1 X1 + 1,5 X2 c) Definição das Restrições do Problema - Capacidade máxima em horas do departamento A 2X1 + 2X2 ≤ 160 - Capacidade máxima em horas do departamento B 1X1 + 2X2 ≤ 120 - Capacidade máxima em horas do departamento C 4X1 + 2X2 ≤ 280

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- Restrição Lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Pede-se: Resolva este problema através do Solver do Excel®, apresentando, passo a passo, as etapas de resolução.

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5. RESOLVENDO PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR UTILIZANDO O SOFTWARE LINDO®5

Objetivos de aprendizagem

Resolver problemas de Programação Linear por meio da utilização do software Lindo. Analisar a solução final obtida com o propósito de otimizar a alocação de

recursos da empresa. Seções de estudo

5.1 Desenvolvendo o Problema da Empresa de Bolas 5.2 Análise do Resultado 5.3 Análise de Sensibilidade

O software Lindo® foi desenvolvido pela Lindo Systems Inc. de Chicago, Illinois, EUA, para a resolução de modelos de programação linear, quadrática ou inteira, estando disponível nas versões Demonstração, Super, Hiper, Industrial e Extended para rodar no ambiente Windows.

O objetivo deste capítulo é apresentar um exemplo de como proceder à entrada de dados no Lindo, a obtenção da solução e a interpretação dos relatórios emitidos pelo Lindo, para problemas envolvendo programação linear. Para tanto, utilizaremos o problema de modelagem de número (3) da lista de exercício proposta aos alunos da disciplina de Introdução à Pesquisa Operacional.

5 Notas de aula baseada em: PRADO, Darci Santos do. Programação Linear. Belo Horizonte, MG: Editora de Desenvolvimento Gerencial, 1999.

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5.1 Desenvolvendo o Problema da Empresa de Bolas

Considere o problema de número 3, apresentado anteriormente no capítulo 2, para ser modelado. “Certa empresa fabrica dois produtos, bolas de futebol (P1) e bolas de vôlei (P2). O lucro por unidade de P1 é de R$100,00 e o lucro unitário de P2 é de R$150,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa”. A entrada de dados é realizada na primeira tela fornecida pelo Lindo®, devendo-se digitá-los conforme apresentado na Figura 1.

Figura 1 – Entrada de dados no Lindo®. Observa-se que se pode iniciar a digitação de cada linha em qualquer coluna e utilizar o sinal < para ≤. Na Tabela 1 abaixo, apresenta-se o significado de alguns comandos.

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Tabela 1 – Significado de comandos adotados para a entrada de dados na tela

inicial do Lindo. Linhas Significado !Exercício (3) sobre Problemas de Modelagem Linha de comentário, pois

inicia-se com ! Max Comando para maximizar uma função st Informa que a seguir tem-se o

conjunto de restrições end Finaliza o modelo

Depois da entrada de dados no Lindo, é recomendável “salvar”. Para isto, acesse File, no menu principal, e clique em Save as. Na seqüência, indique o diretório e escolha um nome para o arquivo, como por exemplo, Bolas.ltx. Observe que este arquivo poderá ser lido pelo Word ou outros editores de texto. Para resolver o problema pode-se clicar em Solve, no menu principal, ou clicar diretamente no ícone Solve (botão que contem um alvo).

Resolver o problema

Figura 2 – Opções de resolução do problema através do Lindo®. Após executar a solução, aparece uma tela perguntando se é para emitir ou não o relatório de análise de sensibilidade. Veja a Figura 3, apresentada a seguir.

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Figura 3 – Telas que aparecem após a execução do modelo. Feita a opção, aparece outra tela contendo um resumo do resultado, um alerta caso o modelo apresente algum problema. Como o Status é Optimal, significa que foi encontrada uma solução otimizadora. Pode-se, então, clicar em Close para poder visualizar os relatórios. Os relatórios de solução e de análise de sensibilidade, obtido pelo software Lindo®, pode ser observado na Figura 4.

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Relatório de solução

Relatório de análise de sensibilidade

Figura 4 – Relatório de solução e de análise de sensibilidade obtido pelo software Lindo®. O software Lindo possui vários recursos adicionais. O gráfico contendo a solução ótima para o problema proposto, pode ser observado na Figura 5, e as opções de visualização das telas do Lindo, na Figura 6.

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Figura 5 – Gráfico contendo a solução ótima do problema proposto.

Atenção!! A Figura 6 ilustra aopção, uma tela ao ladoda outra, na horizontal.Existem, ainda, asopções: - com visualização navertical; - com visualização emcascata.

Figura 6 – Opções de visualização das telas do Lindo®.

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Para poder visualizar, simultaneamente, a tela de entrada e a tela contendo os relatórios do Lindo, como é apresentado na Figura 4, deve-se clicar em “Window”, no menu principal, depois em “Tile” (aparece uma ao lado da outra) e, finalmente, optar por visualização horizontal. Existe, ainda, a opção de visualização em “Cascade” (aparece em cascata).

5.2 Análise do Resultado

Depois de obtida a solução do modelo, o Lindo® apresenta o quadro de resultados mostrado a seguir:

Valor da função

Custo reduzido

Folga ou

Preço sombra ou

Figura 7 – Apresentação de resultado após a execução de um modelo sem erros. Considerando-se a apresentação de resultados acima pode-se observar o seguinte: A expressão “lp optimum found at step 2”, indica que o algoritmo simplex encontrou a solução ótima no segundo passo, ou seja, no segundo vértice do método simplex. A linha com o número (1), indica o valor máximo encontrado para a Função Objetivo, ou seja, um valor de lucro de R$ 6.000,00. Ver Figura 8 apresentada a seguir.

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Máximo valor de lucro

Figura 8 – Valor da função objetivo Os valores ótimos para as variáveis de decisão podem ser visualizados na Figura 9. Observa-se que, nesse caso, a quantidade a ser produzida de bolas de futebol (P1) deve ser de 15 e de bola de vôlei (P2) deve ser de 30 unidades.

Solução ótima

Figura 9 – Valor das variáveis de decisão e Custo reduzido de cada variável. Em relação a última coluna, pode-se interpretar o Custo Reduzido de variável como sendo a redução no lucro obtido com a introdução de uma unidade daquela variável na solução. Entretanto, deve-se enfatizar que o Custo Reduzido somente é válido em uma determinada faixa de valores (como veremos quando tratarmos do assunto Análise de Sensibilidade). Na Figura 10, abaixo, apresentam-se os resultados de folga ou excesso de recursos e do preço sombra (preço dual) de nosso problema.

Figura 10 - Folga ou excesso de recursos e valor do preço sombra (preço dual) de nosso problema. Pode-se realizar a seguinte interpretação: - A primeira coluna nos indica as linhas correspondentes a cada uma das

restrições de nosso problema. Observa-se que a linha (2) refere-se à restrição de horas necessárias e as linhas (3) e (4) referem-se às restrições de demanda de mercado para o produto P1 e P2.

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Figura 11 – Relacionando a função objetivo e as restrições da tela de entrada de dados com as

linhas do relatório de solução. - A segunda coluna indica a folga ou excesso de disponibilidade de recursos.

Observa-se que a linha (2) apresenta folga igual a zero, indicando que se atingiu o limite da restrição de horas necessárias (para conferir basta substituir os valores de solução ótima para P1 e para P2 na inequação referente à restrição de horas). Da mesma forma, para a linha (3), pode-se constatar que para a restrição de demanda de mercado para o produto P1 tem-se uma folga de 25 unidades. Isto porque o plano ótimo prevê uma produção para P1 de 15 unidades enquanto que a restrição de demanda de mercado é de 40 unidades.

- A última coluna apresenta os valores para o Preço sombra (Dual Prices) que representa o aumento na função objetivo se aumentar de um o limite da restrição. Portanto, se a restrição disponibilidade de horas for aumentada de 120 para 121 unidades, tem-se uma nova solução, na qual o lucro será aumentado de R$50,00.

5.3 Análise de Sensibilidade O relatório de sensibilidade tem o formato apresentado a seguir e pode ser obtido durante a solicitação de resultados (solver) ou a qualquer momento. Neste último caso, deve-se ativar a tela de entrada de dados; clicar em Reports, no menu principal; e clicar em Range.

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Figura 12 – Apresentação do relatório de sensibilidade do Lindo®. A expressão “ranges in which the basis is unchanged” indica a faixa de valores para os quais a solução fica inalterada para os coeficientes das variáveis da função objetivo, ver a Figura 13, e para os limites das restrições, ver a Figura 14.

Figura 13 – Análise dos coeficientes da função objetivo. Na segunda coluna, pode-se observar os coeficientes da função objetivo e, nas seguintes, temos as colunas de “allowable increase” e “allowable decrease” desses coeficientes. Essas últimas colunas indicam o intervalo pelos quais os coeficientes da função objetivo podem sofrer alterações, um de cada vez, sem que a solução ótima seja alterada. Portanto, considerando-se a linha para X1, na qual se tem a informação de que o coeficiente fornecido foi de R$100,00 e que este coeficiente pode variar entre 100 – 0 = R$100,00 (o aumento permitido é zero), e, 100 – 100 = R$0,00 (o decréscimo permitido é 100) mantendo-se a mesma solução ótima (ou seja, X1=15 e X2=30). Para o caso de X2, os limites estão entre 150 – 0 = R$150,00 e infinito.

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Figura 14 – Análise dos limites das restrições. Na Figura 14, pode-se analisar os limites das restrições, também conhecidos como RHS (righthand side ranges). Considerando-se a linha (2), temos uma disponibilidade de horas de 120 (RHS). Segundo a terceira coluna, tem-se um acréscimo permissível de 50, significando que se pode aumentar o limite em 120 + 50 = 170, para que a interpretação feita anteriormente para o Preço Dual permanecesse válida. Considerando que o Preço Dual para a restrição disponibilidade de horas é R$50,00, ver a Figura 10 desta seção, a Empresa de Bolas poderá contratar em até 50 unidades de horas, para que tenha um acréscimo total no valor da função objetivo de R$2.500,00. Admitindo-se, por exemplo, que o custo da contratação da hora adicional, seja de R$20,00. Nesse caso, precisa-se descontar do ganho adicional por hora contratada esse valor de seu custo. Portanto, ao final, o acréscimo no máximo lucro será de R$1.500,00.

Síntese Nesta unidade aprendeu a como proceder à entrada de dados no Lindo, a obtenção da solução e a interpretação dos relatórios emitidos pelo Lindo®, para problemas envolvendo Programação Linear. O software Lindo possui vários recursos adicionais. Aprende-se a gerar o gráfico contendo a solução ótima para o problema proposto e a utilizar as opções de visualização das telas do Lindo®. Foi utilizado o exemplo da Empresa de Bolas, o problema de modelagem de número (3) do capítulo 2, para servir como exemplo. É de se ressaltar a facilidade para a obtenção da solução através deste software Lindo®.

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Exercícios propostos 1) Considere o Problema de Alocação de Recursos de uma fábrica de computadores. Uma fábrica de computadores, localizada em Florianópolis, produz dois modelos de computador: A e B. O modelo A fornece um lucro de R$ 200,00 e B de R$ 300,00. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo B requer um gabinete grande e duas unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se: qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro? A seguir, apresenta-se a modelagem e a entrada de dados para esse problema.

Figura 1 – Entrada de dados no Lindo®. Depois de obtida a solução do problema de programação linear da questão (1), o software Lindo® apresentou o seguinte quadro de resultados.

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Figura 2 – Apresentação de resultado do software Lindo® após a execução do modelo. Considerando-se a apresentação do relatório acima, faça uma análise e interpretação dos resultados.

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2) Considere um dos problemas modelados na lista de exercício proposta aos alunos da disciplina de introdução à Pesquisa Operacional: No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., escolheu três produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na produção.

Produto Lucro por unidade

Horas de trabalho

Horas de uso de máquinas

Demanda máxima

P1 2.100 6 12 800 P2 1.200 4 6 600 P3 600 6 2 600

Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 4.800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho. Estabelecer um programa ótimo de produção para o período. Pede-se: a) Faça uma análise e interpretação dos relatórios emitidos pelo Lindo deste

problema. Com objetivo de facilitar, abaixo apresentamos a entrada de dados no Lindo, o relatório de solução e o relatório de análise de sensibilidade.

b) Admita que durante a apresentação dos resultados, a gerência formulou as seguintes perguntas: b.1. O gerente de finanças advertiu que, uma incerteza recente no mercado

para o produto P1, pode baixar sua lucratividade em 10%. Se isto acontecer, pergunta-se: deveria a Empresa Beta Ltda reconsiderar sua estratégia em termos de plano de produção?

b.2. O gerente de recursos humanos pode, provavelmente, negociar a contratação de horas de trabalho a um custo de R$ 10,00/hora. Deveria a direção da empresa contratar trabalho? Em caso positivo, em que quantidade?

b.3. A vice-presidência da empresa juntamente com a gerência de mercado estima um aumento de 100% na demanda para os produtos P1 e P3. Pergunta-se: deveria a Empresa Beta Ltda reconsiderar sua estratégia em termos de plano de produção e qual o aumento de lucro total esperado?

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Figura 1 – Entrada de dados no Lindo®.

Figura 2 – Relatório de solução

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Figura 3 – Relatório de análise de sensibilidade Vale a pena conferir!! Informações sobre o Lindo®, com "free download" de versão DEMO, podem ser encontradas em: http://www.lindo.com/

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6. PROBLEMAS DE TRANSPORTES Objetivos de aprendizagem

Determinar os fluxos de transportes em rotas que ligam várias regiões de oferta (fontes) a várias regiões de demanda (destinos), com o objetivo de minimizar o custo total de transporte na rede. Resolver problemas de transporte por meio da utilização da Programação

Linear, do Método de Aproximação de Vogel e da Regra do Canto Noroeste. Seções de estudo

6.1. Estudo de Caso: Planejamento de Transportes de uma Vinícola 6.2. Programação Linear 6.3. Método de Aproximação de Vogel (VAM) 6.4. Regra do Canto Noroeste 6.5. Caso de Sistemas Não Equilibrados e da Impossibilidade de Transporte

A determinação do melhor plano de transporte de bens, desde as instalações de produção até os mercados consumidores, constitui-se entre os muitos problemas que enfrenta um administrador. Por exemplo, como uma vinícola brasileira decide o fluxo de transporte das caixas de vinho de suas fábricas aos diversos pontos de demanda? Deve-se desenvolver um plano de transporte ou de distribuição, em que se estabeleça o número ou quantidade a ser transportada desde cada instalação de produção até cada mercado consumidor. Estas quantidades a serem transportadas não podem exceder a capacidade das instalações de produção e devem satisfazer a demanda dos clientes, sendo que, com freqüência, o melhor programa minimiza os custos totais de transporte. Para

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tanto, precisa-se das seguintes informações para desenvolver o modelo de transportes:

- A demanda dos clientes; - A capacidade das fábricas; - Os custos de transporte da fábrica até o cliente.

Uma representação geral do problema de transporte pode ser visualizada na Figura 1. Observe a existência de duas fontes (fábricas), de determinado produto, localizadas em Florianópolis e Salvador e três destinos (mercados) para os quais ele pode ser transportado. O transporte em cada uma das rotas, indicadas pelas setas, deve ser planejado de modo a se obter o mínimo custo total de transporte.

Figura 1 – Situação típica de um problema de transporte, com duas fontes e três destinos.

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O modelo de Programação Linear, para o problema de transporte, pode ser formulado da seguinte maneira:

m n

∑ ∑ cijxij i=1 j=1

Minimizar Z = Sujeito a:

n

∑ xij = ai (para todo i = 1, 2, ...,m)j=1

m

∑ xij = bj (para todo j = 1, 2, ...,n) i=1

xij ≥ 0 (para todo j = 1, 2, ..., n) Onde:

- xij é o número de quantidades transportadas da fonte (fábrica) i para o destino (mercado) j;

- cij é o custo de transportar uma unidade do produto da fábrica i para o mercado j;

- ai é a capacidade instalada da fábrica i; - bj é a demanda do produto no mercado j; - n é o número de destinos ou mercados do produto; - m é o número de fontes ou fábricas do produto.

Para que o modelo acima tenha solução, deve-se verificar a seguinte equação de balanço: n m

∑ ai = ∑ bj j=1 i=1

Observe que este é o caso em que o montante ofertado é exatamente igual ao total demandado, ou seja, o problema está balanceado (oferta = demanda).

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6.1. Estudo de Caso: Planejamento de Transporte de uma Vinícola A Vinícola Itália possui três instalações de produção de vinhos finos localizadas em Florianópolis, Curitiba e Bento Gonçalves. A capacidade de produção mensal de Florianópolis é de 5.000 caixas, enquanto que Curitiba e Bento Gonçalves possuem, respectivamente, 10.000 e 12.000 caixas de vinho. As caixas de vinho da Vinícola Itália são vendidas em duas lojas localizadas na cidade de Porto Alegre e de São Paulo. Os pedidos mensais desses vendedores são de 10.000 unidades para a loja de Porto Alegre e de 17.000 unidades para a loja de São Paulo. O custo de transporte de uma caixa de vinho desde cada fábrica de embarque até cada uma das lojas pode ser observado na Tabela 1.

Tabela 1 – Custo de transporte em R$/unidade. Lojas Plantas Porto Alegre São Paulo Florianópolis 10 12 Curitiba 20 8 Bento Gonçalves 6 15

Qual deveria ser a programação de sua frota de entregas para minimizar os custos de transportes?

Esse tipo de programação pode ser otimizado usando modelos de pesquisa operacional, como programação linear e o algoritmo dos transportes. Inicialmente, apresentamos o desenvolvimento da modelagem e solução obtidas por programação linear. Nas seções seguintes, apresentamos a solução deste problema obtida pelo Método de Aproximação de Vogel e pela Regra de Canto Noroeste.

6.2. Programação Linear

Para obter a solução dos problemas de transportes deve-se inicialmente realizar a sua modelagem, identificando as variáveis de decisão, a função objetivo e as restrições.

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Modelagem do problema a) Definição de variáveis de decisão X11 = quantidade de caixas de vinho a serem transportadas de Florianópolis para Porto Alegre; X12 = quantidade de caixas de vinho a serem transportadas de Florianópolis para São Paulo; X21 = quantidade de caixas de vinho a serem transportadas de Curitiba para Porto Alegre; X22 = quantidade de caixas de vinho a serem transportadas de Curitiba para São Paulo; X31 = quantidade de caixas de vinho a serem transportadas de Bento Gonçalves para Porto Alegre; X32 = quantidade de caixas de vinho a serem transportadas de Bento Gonçalves para São Paulo; b) Função objetivo Custo total: C = 10X11 + 12X12 + 20X21 + 8X22 + 6X31 + 15X32 Função objetivo: Min C = 10X11 + 12X12 + 20X21 + 8X22 + 6X31 + 15X32

c) Definição das restrições do problema - Oferta de Florianópolis

X11 + X12 = 5000 - Oferta de Curitiba

X21 + X22 = 10000 - Oferta de Bento Gonçalves

X31 + X32 = 12000 - Demanda de Porto Alegre

X11 + X21 + X31 = 10000 - Demanda de São Paulo

X12 + X22 + X32 = 17000 - Lógica

X11 ≥ 0; X12 ≥ 0; X21 ≥ 0; X22 ≥ 0; X31 ≥ 0; X32 ≥ 0

6.2.1 Solução de Problemas de Transportes com o uso do Software Excel® O software Excel pode ser utilizado para resolver os problemas de transporte, assim como aprendesse a empregá-lo para resolver os problemas de programação

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linear. Pretende-se demonstrar sua utilização tomando por base o caso da Vinícola Itália. a) Entrada de Dados e Fórmulas na Planilha A entrada de dados na planilha Excel® e fórmula empregada para representar a função objetivo, para minimizar o custo total de transportes, podem ser visualizadas na Figura 1. A fórmula para o valor da função objetivo aparece digitada na célula C15. Observe também que as células B4 a C6, na primeira tabela, representam os valores de custos unitários de transporte de cada uma das rotas e as células B9 a C11, na segunda tabela, representam as variáveis de decisão deste problema.

Figura 1 – Entrada de dados na planilha Excel® e fórmula empregada para representar a função

objetivo – minimizar o custo total de transportes

Na seqüência deve-se digitar, nas células marcadas com o título “Fabricado” e “Entregue”, as relações matemáticas das restrições. Um exemplo da fórmula

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referente à restrição de oferta de Florianópolis, na célula D9, é mostrado na Figura 2.

Figura 2 – Fórmula referente à restrição de oferta. Um exemplo da fórmula referente à restrição de demanda de Porto Alegre, na célula B12, é mostrado na Figura 3.

Figura 3 – Fórmula referente à restrição de demanda. b) Programação do Solver A janela parâmetros do solver, informar todas as células que contém os elementos do modelo. O preenchimento dos campos “Definir a célula de destino”, “Igual a“, “Células variáveis” e “Submeter às restrições”, podem ser visualizados na Figura 4.

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Figura 4 – Parâmetros do Solver para o problema de transportes da Vinícola Itália. Antes de acionar o comando “Resolver”, deve-se ir em “Opções”, da ferramenta Solver, assumir modelo linear e a não negatividade para as variáveis de decisão. O resultado da otimização é mostrado na Figura 5.

Figura 5 – Solução do problema de transporte da Vinícola Itália.

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c) Análise dos Resultados O relatório de resposta para o problema de transportes da Vinícola Itália é mostrado na Figura 6. Observe que o mínimo custo de transporte possível, dada as condições deste problema, é R$230.000,00. Os valores das variáveis de decisão indicam que a vinícola deverá transportar 5.000 caixas de vinho de Florianópolis para São Paulo, 10.000 caixas de Curitiba para São Paulo, 10.000 caixas de Bento Gonçalves para Porto Alegre e 2.000 caixas de Bento Gonçalves para São Paulo.

Figura 6 – Relatório de resposta para o problema da Vinícola Itália. O Relatório de Sensibilidade apresentado pelo Solver pode ser visualizado na Figura 7. As informações importantes a serem analisadas referem-se ao Custo Reduzido. Pode-se interpretar os Custos Reduzidos como sendo a penalidade a ser paga por se introduzir uma unidade de uma alternativa que não deve fazer parte da solução ótima. Portanto, não se deve transportar nenhuma caixa de vinho de Florianópolis para São Paulo e nem de Curitiba para Porto Alegre. Caso isto ocorra, o custo total de transporte terá um aumento de R$7,00 e R$21,00, respectivamente.

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Figura 7 – Relatório de Sensibilidade para o problema da Vinícola Itália.

6.2.2 Solução de Problema de Transporte com o uso do Software Lindo® A entrada de dados é realizada na primeira tela fornecida pelo Lindo®, devendo-se digitá-los conforme apresentado na Figura 8, abaixo.

Figura 8 – Entrada de dados no software Lindo®.

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O Relatório de solução apresentado pelo Lindo pode ser observado na Figura 9. Para realizar a análise e interpretação dos resultados, sugere-se a leitura do Capítulo 5 e da Seção anterior 6.2.1.

Figura 9 – Relatório de solução obtido pelo software Lindo®. Nas próximas seções, aprende-se a utilizar alguns algoritmos especiais que foram desenvolvidos para encontrar a solução desses problemas.

6.3. Método de Aproximação de Vogel (VAM) O Método de Aproximação de Vogel (VAM – Vogel Aproximation Method) é uma rotina de cálculos que permite obter uma solução ao problema de transporte. A idéia desse método é fazer o transporte com prioridade na linha ou coluna que apresenta a maior penalidade. Normalmente produz melhores soluções, e, freqüentemente, a solução ótima. A matriz de transporte para o problema de transporte da Vinícola Itália pode ser observada na Tabela 1.

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Tabela 1 - Matriz de transporte para o problema de transporte da Vinícola Itália. Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Florianópolis 10 12 5000 Curitiba 20 8 10000 Bento Gonçalves 6 15 12000 Necessidade 10000 17000 A seguir, apresenta-se a descrição do método: a) Calcular os valores das penalidades de cada uma das linhas e colunas,

subtraindo o menor valor cij do segundo menor valor naquela linha ou coluna cij. Por exemplo, na primeira coluna o menor valor de custo unitário de transporte é 6 e o segundo menor é 10. Portanto, a penalidade para a primeira coluna (Porto Alegre) é 4.

Tabela 2 - Matriz de transporte destacando o cálculo das penalidades. Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Penalidades Florianópolis 10 12 5000 2 Curitiba 20 8 10000 12 Bento Gonçalves 6 15 12000 9 Necessidade 10000 17000 Penalidades 4 4 b) Escolher a linha ou coluna com maior valor de penalidade (se houver empate,

escolha arbitrariamente) e aloque o máximo possível à célula de menor cij daquela linha ou coluna (assim as maiores penalidades são evitadas).

Tabela 3 - Matriz de transporte destacando a linha com maior valor de penalidade e a alocação máxima de caixas de vinho para a célula de menor custo desta linha. Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Penalidades Florianópolis 10 12 5000 2 Curitiba 20 10000 8 10000 12 Bento Gonçalves 6 15 12000 9 Necessidade 10000 17000 Penalidades 4 4

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c) “Eliminar” a linha ou coluna já completamente atendida e retornar ao passo “a”,

recalculando os valores das penalidades. Tabela 4 - Matriz de transporte destacando a eliminação da linha já

completamente atendida e recalculando as penalidades. Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Penalidades Florianópolis 10 12 5000 2 2 Curitiba 20 10000 8 10000 12 Bento Gonçalves 6 15 12000 9 9 Necessidade 10000 17000 Penalidades 4

4 4 3

d) Novamente, escolher a linha ou coluna com maior valor de penalidade (se

houver empate, escolha arbitrariamente) e aloque o máximo possível à célula de menor cij daquela linha ou coluna.

Tabela 5 - Matriz de transporte destacando a linha com maior valor de

penalidade e a alocação máxima de caixas de vinho para a célula de menor custo desta linha.

Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Penalidades Florianópolis 10 12 5000 2 2 Curitiba 20 10000 8 10000 12 Bento Gonçalves 10000 6 15 12000 9 9 Necessidade 10000 17000 Penalidades 4

4 4 3

e) Novamente, “eliminar” a linha ou coluna já completamente atendida e retornar

ao passo “a”, recalculando os valores das penalidades.

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Tabela 6 - Matriz de transporte destacando a eliminação da linha já

completamente atendida. Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Penalidades Florianópolis 10 12 5000 2 2 Curitiba 20 10000 8 10000 12 Bento Gonçalves 10000 6 15 12000 9 9 Necessidade 10000 17000 Penalidades 4

4 4 3

f) Termine quando sobrar apenas uma linha ou coluna, balanceando-a. Tabela 7 - Matriz de transporte destacando o balanceamento das células da

coluna restante. Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Penalidades Florianópolis 10 5000 12 5000 2 2 Curitiba 20 10000 8 10000 12 Bento Gonçalves 10000 6 2000 15 12000 9 9 Necessidade 10000 17000 Penalidades 4

4 4 3

Pode-se calcular o custo total de transporte, segundo Método de Aproximação de Vogel, multiplicando-se as quantidades a serem transportadas em cada rota pelo seu custo unitário de transporte. Assim, tem-se: Custo total: C = 10X11 + 12X12 + 20X21 + 8X22 + 6X31 + 15X32 C = 10(0) + 12(5000) + 20(0) + 8(10000) + 6(10000) + 15(2000) C = 23.000 O custo total de transporte, segundo Método de Aproximação de Vogel, apresentou o mesmo resultado encontrado através do Solver do Excel e do software Lindo.

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6.4. Regra do Canto Noroeste Os procedimentos para obtenção de solução do problema de transporte segundo Regra do Canto Noroeste são os seguintes: a) Comece pelo canto superior esquerdo da Tabela e aloque o máximo possível

para X11, com o cuidado de não violar as restrições de produção e capacidade. Tabela 1 - Matriz de transporte destacando alocação máxima de caixas de vinho

na célula localizada no canto superior esquerdo da Tabela. Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Florianópolis 5000 10 12 5000 Curitiba 20 8 10000 Bento Gonçalves 6 15 12000 Necessidade 10000 17000

b) Elimine a linha ou coluna já completamente atendida e caminhe para a célula

adjacente da linha ou coluna “não eliminada” (se tanto a linha quanto a coluna forem atendidas ao mesmo tempo, caminhe diagonalmente para a célula mais próxima). A seqüência deste procedimento pode ser visualizada nas Tabelas apresentadas a seguir.

Tabela 2 - Matriz de transporte destacando eliminação de linha já

completamente atendida e a alocação na célula adjacente da coluna.

Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Florianópolis 5000 10 12 5000 Curitiba 5000 20 8 10000 Bento Gonçalves 6 15 12000 Necessidade 10000 17000

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Tabela 3 - Matriz de transporte destacando eliminação de coluna já

completamente atendida e a alocação na célula adjacente da linha. Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Florianópolis 5000 10 12 5000 Curitiba 5000 20 5000 8 10000 Bento Gonçalves 6 15 12000 Necessidade 10000 17000

Tabela 4 - Matriz de transporte destacando eliminação de linha já

completamente atendida e a alocação na célula adjacente da coluna.

Centros consumidores Fábricas Porto Alegre São Paulo Disponibilidade Florianópolis 5000 10 12 5000 Curitiba 5000 20 5000 8 10000 Bento Gonçalves 6 12000 15 12000 Necessidade 10000 17000

Pode-se calcular o custo total de transporte, segundo Regra do Canto Noroeste, multiplicando-se as quantidades a serem transportadas em cada rota pelo seu custo unitário de transporte. Assim, tem-se: Custo total: C = 10X11 + 12X12 + 20X21 + 8X22 + 6X31 + 15X32 C = 10(5000) + 12(0) + 20(5000) + 8(5000) + 6(0) + 15(12000) C = 370.000 A Regra de Canto Noroeste não apresentou uma solução de mínimo custo. A adoção deste plano por parte da Vinícola Itália proporcionará um aumento de 60% em relação ao mínimo custo de transporte possível, ou seja, um aumento de R$140.000,00. Pode-se concluir o seguinte: não considerar os custos de cada uma das rotas e a adoção de um método não adequado de solução, seria o caso da Regra de Canto Noroeste, é estar propenso a tomar uma decisão que geraria ineficiências econômicas (e isso tem um preço!).

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6.5. Caso de Sistemas Não Equilibrados e da Impossibilidade de Transporte Caso ocorram sistemas de transporte que não obedeçam à condição de equilíbrio entre oferta e demanda, criar uma origem ou destino fictício para que o balanceamento possa ocorrer. Por exemplo, se a oferta for maior que a demanda total, criar uma demanda fictícia com uma necessidade = oferta total – demanda total, com custos de distribuição nulos. Se a oferta total for menor que a demanda total, deve-se criar uma região de oferta fictícia. Outra maneira de se resolver o problema seria tratar as restrições pertinentes não mais como equações, mas, sim como inequações. As seguintes ações e interpretações podem ser realizadas quando existe um desequilíbrio entre a oferta e a demanda. Tabela 1 – Ações e interpretações para situações de desbalanceamento. Situação Oferta > Demanda Demanda > Oferta Ação - buscar novos mercados ou

destinos - criar nova fábrica ou fonte

Interpretação - capacidade ociosa das fábricas - necessidade não atendida Fonte: Adaptado de Lachtermacher (2002). Existe também a ocorrência da seguinte situação: determinado transporte de uma origem para um destino não possa ser realizado. Neste caso, pode-se colocar como custo de transporte naquela célula um símbolo M, que representa um número muito grande. Desta forma, evita-se esta célula trazendo como conseqüência à ausência daquele transporte.

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Glossário Diagrama esquemático: um esquema usado para representar os diversos

componentes de um problema. Problema de redes: um problema que se pode representar através de círculos e

flechas que os conectam. Problema de transporte: o problema de determinar o plano de mínimo custo para

o transporte de bens desde as instalações de produção até o mercado consumidor.

Nós: um círculo num diagrama de redes que representa um aspecto importante de um problema, como por exemplo, a origem e o destino de bens em um problema de transporte.

Arco ou ramo: uma linha que liga os “nós” em um diagrama esquemático, como por exemplo, identificando a possível rota de transporte de um determinado bem.

A seguir, propõem-se alguns problemas para obtenção da solução (não necessariamente a ótima).

Síntese Nesta unidade tratou-se das formas de representação e modelagem dos Problemas de Transporte, mostrando os métodos de solução por Programação Linear (através do Solver do Excel e do software Lindo), por Aproximação de Vogel e pela Regra de Canto Noroeste. No Problema de Transporte, existe a necessidade de distribuir bens e serviços de várias fábricas (regiões de oferta) para vários centros consumidores (regiões de demanda). O objetivo é, normalmente, minimizar o custo total de transporte entre as regiões. O Problema de Transporte é um tipo de problema de interesse especial para os administradores e comum de aplicação de Programação Linear.

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Exercícios propostos 1) No quadro de transporte a seguir, a quarta linha mostra a necessidade nos

destinos e, a quarta coluna, a disponibilidade nas origens. Os outros dados representam custos unitários de transportes das origens para os respectivos destinos.

D1 D2 D3 Disponibilidades S1 10 15 20 40 S2 12 25 18 100 S3 16 14 24 10 Necessidades 50 40 60

Determinar o plano de transporte que minimiza o custo total das transferências, utilizando-se dos seguintes métodos: a) Método de canto noroeste; b) Método de Vogel para o cálculo da solução inicial. 2) O quadro a seguir apresenta a mesma disposição do problema (1). Resolva-o

utilizando-se dos seguintes métodos: a) Método de canto noroeste; b) Método de Vogel para o cálculo da solução inicial.

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D1 D2 D3 Disponibilidades S1 10 15 20 100 S2 12 25 18 80 S3 16 14 24 20 Necessidades 100 50 60

3) Deseja-se transportar bicicletas de três fábricas (1, 2 e 3) a três centros

consumidores distintos (A, B e C). Cada fábrica apresentou os seguintes níveis de estoque de bicicletas num determinado mês:

Fábricas Bicicletas disponíveis (unidades)

1 200 2 150 3 300

Cada centro consumidor estará apto a receber as seguintes quantidades de bicicletas naquele mês:

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Centro consumidor

Demanda por bicicleta (unidades)

A 100 B 300 C 250

Os custos de transporte envolvidos são os seguintes:

Demanda A Demanda B Demanda C

Fábrica 1 10 5 12

Fábrica 2 4 9 15

Fábrica 3 15 8 6

Qual será a quantidade de bicicleta a ser transportada entre cada fábrica e cada centro consumidor, de tal forma que as demandas de cada centro sejam supridas e que o custo total de transporte seja mínimo?

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7. PROGRAMAÇÃO INTEIRA Objetivos de aprendizagem

Conhecer as principais aplicações dos problemas de programação inteira. Obter a solução de problemas de Programação Inteira com o uso do

software Excel e com o uso do software Lindo. Seções de estudo

7.1 Problemas Típicos de Programação Inteira 7.2 Exemplo: Planejando uma Viagem de Acampamento 7.3 Solução de Problemas de Programação Inteira com o uso do Software Excel 7.4 Solução de Problemas de Programação Inteira com o uso do Software Lindo

Os problemas de programação inteira, em realidade, constituem casos particulares da programação linear. Em muitas aplicações reais de pesquisa operacional, envolvendo programação de grande escala de instalações industriais e comerciais, há necessidade de obtenção de resultados com valores inteiros, do tipo fazer ou não fazer, construir ou não construir, investir ou não numa nova fábrica, utilizar um veículo ou não, e assim por diante. Como se pode imaginar, de uma forma geral, as soluções ótimas dos problemas de programação inteira têm valores inferiores às soluções dos problemas de programação linear equivalentes, devido à imposição da restrição adicional dos resultados aceitáveis serem apenas inteiros.

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De forma similar ao que ocorre com os problemas de programação linear, os problemas de programação inteira poderão ser otimizados, tanto no sentido da maximização, como da minimização. Igualmente, as restrições poderão incluir tanto igualdades como desigualdades.

7.1 Problemas Típicos de Programação Inteira Algumas das principais aplicações dos problemas de programação inteira são apresentadas a seguir:

- Achar um percurso de menor distância para um vendedor que deve visitar cada uma de “n” cidades, começando e terminando sua viagem em uma cidade específica.

- Para um modelo de aquisição de equipamentos, por exemplo, máquinas, aviões e tratores, a solução a ser obtida exige valores inteiros como resposta.

- Problemas de alocação de pessoas ou de designação de tarefas enquadram-se na categoria de Programação Inteira. Por exemplo, no caso de alocar enfermeiros num hospital para os diferentes dias da semana. Pode-se alocar dois ou três na segunda-feira, não sendo adequado alocar 2,6 enfermeiros.

Fundamentalmente, estes problemas podem apresentar três tipos de programação inteira:

- Programação Inteira Total: quando todas as variáveis de decisão são do tipo inteiro;

- Programação Inteira Mista: quando apenas uma parte das variáveis é do tipo inteiro, enquanto outras são do tipo contínuas;

- Programação Inteira com Variáveis Binárias: quando as variáveis de decisão devem assumir os valores zero ou um.

7.2 Exemplo: Planejando uma Viagem de Acampamento Um excursionista planeja fazer uma viagem acampando. Há cinco itens que o excursionista deseja levar consigo, mas estes juntos excedem o limite de 60 quilos que ele supõe ser capaz de transportar. Para ajudar a si próprio no processo de seleção dos itens, ele atribuiu valores, por ordem crescente de importância, a cada um dos itens, conforme apresentado na tabela abaixo.

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Tabela 1 - Pesos e Importâncias dos Itens do Excursionista Item a transportar 1 2 3 4 5 Peso em quilos 52 23 35 15 7 Importância para a Excursionista 100 60 70 15 15 A questão a ser resolvida é: quanto dos itens deve ser conduzido de forma a maximizar a importância sem exceder as restrições de peso do excursionista? Modelagem do problema a) Definição das variáveis de decisão X1 = quantas unidades devem ser transportadas do item 1 X2 = quantas unidades devem ser transportadas do item 2 X3 = quantas unidades devem ser transportadas do item 3 X4 = quantas unidades devem ser transportadas do item 4 X5 = quantas unidades devem ser transportadas do item 5 b) Função objetivo Maximizar (importância) I = 100X1 + 60X2 + 70X3 + 15X4 + 15X5 c) Definição das restrições do problema - restrição de peso 52X1 + 23X2 + 35X3 + 15X4 + 7X5 ≤ 60 - lógica X1, X2, X3, X4, X5 inteiros e , X1 , X2 , X3 , X4 ,X5 ≥ 0 (restrição de não-negatividade). O fator crítico para se determinar se um item deve ser levado ou não é a relação do valor atribuído por quilo de peso. Esta relação será designada por relevância. A tabela a seguir apresenta o cálculo da relevância de cada um dos itens que o excursionista pretende transportar.

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Tabela 1 – Cálculos da relevância (valor/quilo) para cada um dos itens possíveis de

serem transportados pelo excursionista. Item Peso em quilo Valor Atribuído Relevância

(valor/quilo) 2 23 60 2,61 5 7 15 2,14 3 35 70 2,00 1 52 100 1,92 4 15 15 1,00

Para se obter a solução inicial do problema, toma-se o maior número possível de itens (que não excedam o limite de peso) começando pelos mais relevantes.

7.3 Solução de Problemas de Programação Inteira com o uso do Software Excel® A solução de problemas de programação inteira com o uso do software Excel® é, em tudo, similar aquela já descrita para os problemas de programação linear. Uma das maneiras de modelar este problema utilizando a planilha Excel é apresentada na Figura 1.

Figura 1 – Modelagem do problema de planejamento de viagem da excursionista. A fórmula utilizada na célula de destino (G4) pode ser também visualizada na Figura 1 acima. Esta fórmula deverá ser copiada para a restrição de peso (G5). A definição do modelo na ferramenta Solver do Excel® pode ser observado nas Figuras 2, 3 e 4.

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Figura 2 – Parâmetros do solver para o problema do excursionista.

Figura 3 – Opções do solver. O cuidado a ser tomado consiste no preenchimento da janela de Restrições do Solver do Excel®, quando deverão ser usadas as opções NÚMERO para resultados inteiros das variáveis ou BINÁRIOS quando se desejar que as variáveis assumam valores zero ou um. Portanto, quando estivermos adicionando restrições, a coluna intermediária deve ter a opção “num” assinalada, como pode ser observado na Figura 4.

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Figura 4 – Janela com escolha de opção de variável inteira. O resultado da otimização é mostrado na Figura 5. Condicionado as alternativas e as restrições deste problema, o excursionista deverá levar 2 unidades do item (2) e 2 unidades do item (5), para que possa maximizar a importância das alternativas a serem transportadas.

Figura 5 – Resultado da otimização do problema do excursionista. Pode-se observar que o item 1 com maior valor de importância não foi selecionado. Isto se deve a restrição de peso. A seleção do item 1 implicaria a não seleção de outros itens com maior relevância, ou seja, maior valor por quilo de peso. Finalmente, deve-se observar que os relatórios de Sensibilidade e de Limites não devem ser considerados, para interpretação, em problemas que envolvam Programação Inteira.

100

7.4 Solução de Problemas de Programação Inteira com o uso do Software Lindo® A solução de problemas de programação inteira com o uso do software Lindo® é, também, similar aquela já descrita para os problemas de programação linear. Uma das maneiras de modelar este problema utilizando a planilha Excel é apresentada na Figura 1.

Figura 6 – Exemplo de entrada de dados no Lindo® em problema de Programação Inteira Observe que após digitar o modelo, tal como de Programação Linear, deve-se destacar as variáveis inteiras com o comando GIN (de General Integer) seguida do número 5, indicando que as cinco primeiras variáveis do problema são inteiras. No caso de Programação Inteira Mista, aquelas que sejam inteiras (por exemplo, X1 e X4 são inteiras) podem ser indicadas após o comando END, da seguinte forma: GIN X1 GIN X4

101

Síntese Nesta unidade, mostrou-se que existe um considerável número de situações do dia-a-dia das empresas, em que as variáveis de decisão devem restringir-se a soluções inteiras.

Um problema de Programação Inteira pode ser visto como sendo um modelo similar ao de Programação Linear, com uma restrição adicional dos números inteiros para as variáveis de decisão. Por fim, mostrou-se como obter a solução de problemas de Programação Inteira com o uso do Software Excel® e com o uso do software Lindo®, através do exemplo “Planejando uma Viagem de Acampamento”.

Exercícios propostos 1) Problema de Alocação de Recursos de Projetos. A Epagri6 têm que planejar seus gastos de Pesquisa e Desenvolvimento para os próximos cinco anos. A empresa pré-selecionou quatro projetos e deve escolher, dentre estes, quais deve priorizar. Os dados relevantes do problema, tais como, a disponibilidade de capital a ser aplicado em cada projeto, em cada um dos anos, bem como o valor presente líquido de cada projeto, encontram-se na Tabela 1. Recomenda-se observar o seguinte: existe uma limitação no valor a ser investido anualmente; e todos os projetos apresentam valores presentes líquidos positivos, portanto, todos seriam candidatos a serem executados. Tabela 1 – Dados referentes ao problema de alocação de recursos em projetos a serem desenvolvidos pela Epagri, valores em mil reais.

Capital requerido em mil R$ Projeto Valor presente líquido (9%) Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5

- Camarão 106 70 15 0 20 20 - Leite 129 80 20 25 15 10 - Maçã 136 90 20 0 30 20 - Ostra 117 50 30 40 0 20 Capital disponível 200 70 70 70 70

6 A Epagri é uma empresa real, mas o problema em questão não (foi formulado com fins didáticos).

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Modelagem do problema a) Definição das variáveis de decisão

Xi = 1, se o projeto i for selecionado; Xi = 0, se o projeto i não for selecionado.

Onde, i = Camarão (1), Leite(2), Maçã (3), Ostra (4). b) Função objetivo Valor Presente Líquido: VPL = 106X1 + 129X2 + 136X3 + 117 X4 Função objetivo: Max VPL = 106X1 + 129X2 + 136X3 + 117 X4 c) Definição das restrições do problema - Disponibilidade de capital no Ano 1 70X1 + 80X2 + 90X3 + 50X4 ≤ 200 - Disponibilidade de capital no Ano 2 15X1 + 20X2 + 20X3 + 30X4 ≤ 70 - Disponibilidade de capital no Ano 3 0X1 + 25X2 + 0X3 + 40X4 ≤ 70 - Disponibilidade de capital no Ano 4 20X1 + 15X2 + 30X3 + 0X4 ≤ 70 - Disponibilidade de capital no Ano 5 20X1 + 10X2 + 20X3 + 20 X4 ≤ 70 - Restrição lógica X1, X2 , X3, X4 ≥ 0 X1, X2 , X3, X4 binários (0 ou 1) Pede-se: resolva este problema fazendo uso do software Lindo e do Solver do Excel.

103

2) Escala dos Funcionários do Jornal de Barreiros. No Jornal de Barreiros (JDB), os funcionários são escalados para cinco dias de trabalho seguidos por dois dias de descanso, escala esta repetida semanalmente. Assim, um funcionário tem os mesmos dois dias de folga todas as semanas, e esses dias são consecutivos (por exemplo, domingo e segunda-feira). A demanda por funcionários é fornecida na tabela abaixo. Essa demanda deve ser suprida ou excedida em cada dia. Os números representam a quantidade total de funcionários que devem estar trabalhando nesse dia. O custo dos funcionários é R$ 50,00 por dia útil, R$ 55,00 por sábado e R$ 60,00 por domingo. Dia Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo Demanda 34 26 30 38 28 32 22 Pede-se: - Formule um programa linear que minimizará o custo total dos funcionários do Jornal de Barreiros (JDB) necessários para suprir as demandas diárias; - Resolva este problema fazendo uso do software Lindo® e do Solver do Excel®.

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8. SIMULAÇÃO Objetivos de aprendizagem

Compreender os conceitos básicos de simulação. Modelar processos empresariais que apresentem várias alternativas de

soluções. Realizar simulações para criação de cenários alternativos para decisões,

com o uso do software Excel®. Seções de estudo

8.1. Etapas de um Estudo na Realização de uma Simulação 8.2. Vantagens do Uso da Simulação 8.3. Aplicações de Simulação 8.4. Modelagem e Resolução de Problemas de Simulação em Excel®

A simulação de um sistema é a operação de um modelo que representa esse sistema, geralmente utilizando o computador. Simular significa reproduzir o funcionamento de um sistema, com o auxílio de um modelo, o que nos permite testar algumas hipóteses sobre o valor das variáveis controladas. O uso moderno da palavra simulação tem sua origem em um trabalho de Von Newmann e Ulan (1940), quando eles associaram a expressão análise de Monte Carlo a uma técnica matemática para a resolução de problemas de blindagem em reatores nucleares. A simulação em sistemas que incorporam elementos aleatórios é denominada Simulação Estocástica ou de Monte Carlo, e na prática é visualizada com o uso de computadores devido à massa de dados a ser processada.

105

A simulação é uma técnica que, usando o computador digital, procura montar um modelo que melhor representa o sistema em estudo, ou seja, procura imitar o funcionamento de um sistema real. Atualmente, os modernos programas de computador permitem construir modelos nos quais é possível visualizar na tela o funcionamento do sistema em estudo tal como em um filme. O conceito de simulação mais aceito atualmente é, segundo Prado (1999), “...uma técnica de solução de um problema pela análise de um modelo que descreve o comportamento do sistema usando um computador digital”. Antes de efetuar alterações em uma fábrica real, podemos interagir com uma fábrica virtual. Isto quer dizer que podemos visualizar, por exemplo, o funcionamento de um supermercado, um banco, uma fábrica, um estoque de um produto, um pedágio, um porto, um escritório, um semáforo tal como se fosse um filme passando na tela do computador. A técnica de simulação visual, a partir dos anos 80, apresenta uma aceitação surpreendente em razão de sua maior capacidade de comunicação.

8.1. Etapas de um Estudo na Realização de uma Simulação Um estudo de simulação pode ser desenvolvido segundo os passos apresentados na Figura 1.

106

Formulação do problema e coleta de dados

Identificação das variáveis e das condições do sistema

Construção do modelo

Validação do modelo com dados históricos

Sim

Figura 1 – Etapas da realização de u

Realização

Elaboração de

Fonte: Andrade (1998). Inicialmente, deve-se defiprofundidade que se quer procede-se à coleta dos dadoinformações disponíveis. Na Segunda etapa, devem seentre as variáveis, as condiçõmelhor forma, representar o Na etapa seguinte, para a conlevando em conta todas asvariáveis endógenas quanto construção do modelo con

Modelo aprovado?

dos experimentos de simulação

programa ou planilha de computador

Análise estatística dos resultados

ma simulação.

nir os objetivos da simuda análise, dos recursos ds, ou seja, do processo de r

r identificadas as variáveis des e as restrições do sistemfuncionamento no mundo rea

strução do modelo se exige relações importantes, tanentre estas e as chamadassiste na formulação das

Não

lação, a amplitude e isponíveis e, a seguir,

ecolhimento dos fatos e

o problema, as relações a para que se possa, da

l.

tanto arte como técnica, to entre as chamadas variáveis exógenas. A equações que devem

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representar as inter-relações do sistema e no estabelecimento dos limites de variação dos resultados e valores. Na quarta etapa, deve-se validar o modelo, ou seja, saber se ele atende aos objetivos da simulação. Normalmente, opera-se o modelo com dados históricos e condições conhecidas, com objetivo de se reproduzir o desempenho do sistema obtido na realidade. Caso o modelo seja aceito, por representar adequadamente o sistema em estudo, deve-se elaborar um programa específico de computador, ou dependendo do caso, uma planilha eletrônica do Excel, Lotus, etc. Finalmente, realizam-se os experimentos e análise estatística dos resultados, com objetivo de se estimar o desempenho do sistema e suas possíveis variações.

8.2. Vantagens do Uso da Simulação

- A simulação permite estudar e experimentar complexas interações internas de um dado sistema seja ele uma empresa ou parte da mesma.

- Através da simulação, podem ser estudadas algumas variações no meio ambiente e verificados seus efeitos no sistema total.

- A experiência adquirida em construir modelos e realizar a simulação pode conduzir a uma melhor compreensão do sistema, com possibilidade de melhorá-lo.

- A simulação de sistemas complexos pode permitir a descoberta das variáveis mais importantes do sistema e a forma como elas interagem.

- A simulação pode ser usada para experiências com novas situações, sobre as quais se tem pouca ou mesmo nenhuma informação, com o intuito de preparar a administração para o que possa acontecer.

- A simulação pode servir como um primeiro teste para se delinear nova políticas e regras de decisão para a operação de um sistema, antes de experimentar no sistema real.

8.3. Aplicações de Simulação A simulação pode ser usada em situações em que é muito caro ou difícil o experimento na situação real. No mundo atual, são inúmeras as aplicações da simulação que vão desde o cálculo do número de caixas em um supermercado, o

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dimensionamento de estoques, a produção em uma manufatura até o estudo de sincronização de sinais de trânsito de certa via. a) Linhas de Produção Inúmeros cenários se encaixam neste item, desde empresas manufatureiras até minerações, podendo-se analisar os seguintes casos: Modificações em sistemas existentes. Planejamento de um setor de produção totalmente novo. Definição da melhor política de estoques.

b) Logística O cenário pode ser uma fábrica, um banco, o tráfego de uma cidade, etc. O meio de transporte pode ser um automóvel, um trem, um navio, um caminhão ou uma empilhadeira. c) Comunicações Pode-se modelar uma configuração ótima de uma rede de comunicações. As empresas de telefonia, por exemplo, podem se utilizar desta técnica no estudo de seus complexos de comunicações. d) Hospitais, bancos, escritórios, supermercados. Podem dimensionar o número de atendentes ou de caixas de modo que as filas se mantenham abaixo de um valor especificado. Por exemplo, atualmente para os bancos esse dimensionamento é importante não só para melhor atender os seus clientes, mas, também, para atender a legislação no que diz respeito ao tempo de espera na fila. e) Processamento de Dados A modelagem de filas tem sido amplamente utilizada pelas empresas que desenvolvem computadores e pelas universidades de modo a se medir a produtividade ou o tempo de resposta de certo sistema de computadores e terminais. A área de tele processamento possui inúmeras opções de uso. A próxima seção se ocupa de apresentar um exemplo de modelagem e de aplicação das planilhas eletrônicas no processo de tomada de decisão, sem ter a pretensão de esgotar o assunto ou de mostrar todas as funcionalidades e possibilidades de aplicação.

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8.4. Modelagem e Resolução de Problemas de Simulação em Excel® O objetivo desta seção é apresentar um exemplo de modelagem, resolução de um problema e análise de seus resultados através do uso da planilha eletrônica do Excel. O Estudo de Caso, a seguir, pode ser desenvolvido em planilha Lótus da Lótus IBM, Quatro-Pro da Corel ou Excel da Microsoft, sendo que apresentaremos seu desenvolvimento em Excel, por ser a mais popular no Brasil. O Caso da Fábrica de Pastéis e Pastelões Ltda7.

A empresa Pastéis e Pastelões Ltda. fabrica pastéis de forno a partir de dois ingredientes básicos: massa semipronta e recheio congelado. A empresa pretende estabelecer um modelo de previsão de seu lucro operacional mensal. Desconsiderando a hipótese de alteração do tamanho e da qualidade dos pastéis, a diretoria considera que o preço unitário do pastel e o preço médio praticado pela concorrência são os únicos fatores relevantes na determinação da demanda, a qual se comporta segundo a seguinte equação: z = 15.000 – 5.000x + 5.000y, onde x é o preço do pastel da empresa Pastéis e Pastelões e y é o preço médio dos pastéis vendidos pelos concorrentes.

Tendo em vista que o preço dos pastéis vendidos pela concorrência é uma variável fora do controle da empresa Pastéis e Pastelões, somente o preço unitário do pastel vendido pela empresa configura-se como variável de decisão do problema. Assim sendo, o preço médio praticado pela concorrência, os custos da matéria-prima, os custos de processamento e os custos fixos são os parâmetros do modelo. Considere ainda os seguintes dados, apresentados na tabela abaixo:

Preço médio praticado pela concorrência (R$ por pastel) R$7,00

Custo unitário da massa (R$ por pastel) R$1,30

Custo unitário do recheio (R$ por pastel) R$2,00

Custo unitário de processo (R$ por pastel) R$0,40

Custo fixo R$6.000,00

7 Este exemplo baseia-se em Lachtermacher, 2002.

110

Modelo Caixa Preta e Diagrama de Blocos

Modelo Caixa Preta e Diagrama de Blocos são instrumentos úteis na organização do problema, no entendimento da complexidade do modelo e na identificação das variáveis importantes.

No Modelo Caixa Preta, cria-se uma caixa central chamada modelo e apresentando de um lado da caixa as variáveis e os parâmetros de entrada, e, do outro lado, os fatores importantes para obtenção do resultado final. O Modelo da Caixa Preta para o problema da empresa Pastéis e Pastelões pode ser observado na Figura 2.

Figura 2 – Modelo Caixa Preta da empresa Pastéis e Pastelões Ltda. O Diagrama de Blocos mostra como a partir das variáveis exógenas e dos parâmetros, chega-se as variáveis de medida de desempenho. A sua construção requer um pouco mais de atenção, pois é preciso identificar as relações de causa e efeito entre as variáveis, conforme é apresentado na Figura 3.

111

Figura 3 – Diagrama de Blocos da empresa Pastéis e Pastelões Ltda.

Para a construção de ambos os modelos, Caixa Preta e Diagrama de Blocos, precisamos retirar as linhas de grade (clicar em ferramentas, opções e retirar linha de grade) e solicitar a exibição da barra de ferramentas do desenho ao Excel (clicar em exibir, barra de ferramenta e solicitar desenho).

Equações Matemáticas

A Empresa Pastéis e Pastelões Ltda. deseja simular o lucro final que poderia obter a partir de várias hipóteses de preço, ou seja, obter um modelo de previsão do lucro operacional mensal. Primeiramente, precisa-se deduzir todas as equações que regem o lucro da empresa, isto é, transformar as relações entre variáveis em equações matemáticas. Nesse caso, como se quer relacionar o preço com o lucro obtido, tem-se que examinar a relação entre preço e receita, considerando que o produto apresenta determinada elasticidade. Como preço e a demanda varia numa relação inversa, por conseqüência, a receita também varia em função do preço numa relação não diretamente proporcional. As equações que regem o lucro da empresa podem ser escritas da seguinte forma: • Quantidade Demandada de Pastéis = 15000 – (5000 x Preço do Pastel) + (5000

x Preço Médio do Pastel Praticado pela Concorrência) • Custo de Processo = Quantidade Demandada de Pastéis x Custo Unitário de

Processo

112

• Custo dos Ingredientes = Quantidade Demandada de Pastéis x (Custo Unitário da Massa + Custo Unitário do Recheio)

• Custo Total = Custo de Processo + Custo dos Ingredientes + Custo Fixo • Receita = Preço do Pastel x Quantidade Demandada de Pastéis • Lucro Operacional = Receita – Custo Total Definidas as equações matemáticas, podemos modelar o problema na planilha Excel®, conforme nos mostra a Figura 4.

Figura 4 – Entrada de dados na planilha e modelagem do caso de estudo. O motivo de se realizar a modelagem deste problema em planilha eletrônica é a facilidade de simulação de diversos resultados, a partir da alteração das variáveis de decisão. Assim, por exemplo, pode-se modificar o preço de venda do pastel e avaliar o impacto desta alteração no resultado final. Representação de Equações no Excel®

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Uma auditoria na fábrica de pastéis constatou que o custo unitário de processo é variável de acordo com o número de pastéis produzidos e não R$0,40 por pastel produzido como inicialmente havia-se assumido. Para representar corretamente o comportamento de uma variável importante, pode-se utilizar o Excel® para descobrir a equação que melhor representa o comportamento desta variável. Primeiramente, precisa-se criar uma tabela com os dados contábeis coletados durante a auditoria e com a previsão destes custos para diferentes níveis de produção de acordo com o modelo inicial. A tabela contendo os dados contábeis obtidos no processo de auditoria representado pelo custo de processo real, o custo de processo do modelo inicial e a quantidade de pastéis produzidos estão apresentados na Figura 5.

Figura 5 – Dados contábeis obtidos durante auditoria. O próximo passo é solicitar um gráfico de dispersão ao Excel®, selecionando-se a coluna da quantidade de pastéis produzidos, do custo de processo real e do custo de processo do modelo. O gráfico resultante permite visualizar o erro do modelo para previsão do custo de processo. Para identificar a curva e sua função que melhor explique as relações entre variáveis, deve-se solicitar ao Excel a adição de uma linha de tendência (trend line). Deve-se proceder da seguinte forma: a) clicar com o botão direito do mouse sobre os pontos dos dados reais

representados no gráfico e selecionar a opção adicionar linha de tendência; b) escolher a curva que mais se assemelha ao desenho formado pelos dados reais;

114

c) solicitar na tela de opções que seja exibida a equação da curva adicionada. Os dados reais não formam uma reta perfeita e, sim, apresentam uma certa curvatura. Assim sendo, deve-se solicitar diferentes tipos de linhas de tendência, tais como, linear, logarítmica, polinomial e exponencial, e, através da análise gráfica, compará-las e escolher a melhor. Para possibilitar a comparação, por exemplo, apresentamos nas Figuras 6 e 7, respectivamente, o comportamento da linha de tendência linear e exponencial para o caso em questão.

Figura 6 – Comparação do real com o previsto pelo modelo original com adição de linha de tendência linear.

y = 0,7868x - 6372,7R2 = 0,9507

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

Quantidade Produzida de Pastéis

Cust

os (R

$)

Custo de Processo (R$) REAL Custo de Processo (R$) MODELO

Linear (Custo de Processo (R$) REAL)

115

Figura 7 – Comparação do real com o previsto pelo modelo original com adição de linha de tendência exponencial.

y = 1305,5e9E-05x

R2 = 0,9967

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

Quantidade Produzida de Pastéis

Cust

os (R

$)

Custo de Processo (R$) REAL Custo de Processo (R$) MODELO

Expon. (Custo de Processo (R$) REAL)

A linha de tendência exponencial é a que melhor se ajusta aos dados reais, sendo a que melhor representa o comportamento do custo de processo. Por conseqüência, deve-se substituir a fórmula utilizada anteriormente pela equação exponencial encontrada, conforme apresentado na Figura 8.

116

Figura 8 - Entrada de dados na planilha e modelagem do caso de estudo, com a equação de custo de processo ajustada para uma linha de tendência exponencial.

Análise de Sensibilidade Para o tomador de decisão é importante projetar o quanto e em que proporção o resultado final do modelo altera-se a partir de modificações dos valores das variáveis de decisão. Assim, pode-se verificar a alteração no lucro mensal para cada modificação no preço de venda do pastel. O procedimento é simples: copia-se as células com as fórmulas matemáticas em algumas colunas, e, a seguir, pode-se estabelecer os novos preços de venda ao longo das colunas, conforme pode ser observado na Figura 9. A relação entre preço de venda e lucro mensal pode, também, ser visualizada através de um gráfico, em que se pode observar que esse comportamento não é linear, uma vez que esta relação cresce até o preço de R$7,00 e decrescente após este nível de preço.

117

Figura 9 – Análise de sensibilidade do lucro operacional em relação ao preço. Ponto de Equilíbrio do Negócio É possível obter desse modelo no Excel®, o ponto de equilíbrio do negócio (Break Even Point), ou seja, o preço de venda que gera um lucro mensal igual a zero. A partir do modelo definido anteriormente, deve-se clicar em ferramentas e solicitar que o Comando Atingir Meta (ver Figura 10) ajuste a célula que contém o resultado de lucro mensal para o valor zero, encontrando um valor para o preço de venda que se faça necessário para tal.

Figura 10 – Uso do comando “Atingir Meta” para determinação do ponto de equilíbrio do negócio

da Empresa Pastéis e Pastelões.

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Síntese Nesta unidade, foi exposto que é de longa data que a humanidade utiliza a simulação para representar situações do mundo real. Nesse caso, pode-se citar a escultura e a pintura. Mais recentemente pode-se citar o uso dos jogos eletrônicos, do cinema e das manobras de guerra simuladas pelas forças armadas. No mundo empresarial, simular significa reproduzir o funcionamento de um sistema, para estudar melhor suas propriedades. Conheceu-se, também, as fases de estudo, as vantagens e as aplicações da simulação. Por fim, verificou-se que, na prática, a simulação envolve freqüentemente o uso de computador. Utiliza-se a planilha eletrônica do Excel para desenvolver o “Caso da Fábrica de Pastéis e Pastelões Ltda”, conhecendo a sua modelagem, obtendo a solução e realizando a análise de seus resultados.

Exercícios propostos 1) Dê exemplos de aplicação, no mundo dos negócios, da técnica de simulação. 2) Os empresários possuem modelos mentais próprios para a tomada de decisão. Como os modelos de simulação através do uso da computação podem ajudar? 3) No exemplo do modelo de simulação da Fábrica de Pastéis, qual o processo o analista deve seguir para encontrar o preço que proporciona o lucro máximo?

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9. PLANEJAMENTO, PROGRAMAÇÃO E CONTROLE DE PROJETOS: PERT-CPM8

Objetivos de aprendizagem

Elaborar o planejamento de um projeto, identificando as principais atividades que devem ser programadas e controladas. Montar a rede PERT e identificar as atividades que formam o caminho

crítico. Seções de estudo

9.1. Vantagens do uso da rede PERT/CPM 9.2. Caminho Crítico 9.3. O Estudo de Caso da Elaboração do Trabalho de Pesquisa Operacional

Um projeto é formado por uma combinação de atividades inter-relacionadas que devem ser executadas em determinada ordem antes que a tarefa inteira seja completada. A técnica mais empregada para planejar, seqüenciar e acompanhar projetos é a técnica conhecida como PERT/CPMPERT/CPM ((PPrrooggrraamm EEvvaalluuaattiioonn aanndd RReevviieeww TTeecchhnniiqquuee // CCrriittiiccaall PPaatthh MMeetthhoodd))..

9.1. Vantagens do uso da rede PERT/CPM

- Uma visão gráfica das atividades que compõem o projeto; - Uma estimativa de quanto tempo o projeto consumirá; - Uma visão de quais atividades é crítica para o atendimento do prazo de

conclusão do projeto;

8 Baseado e adaptado de ANDRADE, E. L. de, Introdução à Pesquisa Operacional, Rio de Janeiro, LTC,1998.

120

- Uma visão de quanto tempo de folga dispõe nas atividades não-críticas, o qual pode ser negociado no sentido de reduzir a aplicação de recursos, e conseqüentemente custos.

Uma rede PERT/CPM é formada por um conjunto interligado de setas e nós.

- As setasAs setas representam as atividades do projeto que consomem determinados recursos (mão-de-obra, máquinas, etc.) e/ou tempo; já os nós representam o momento de início e fim das atividades, os quais são chamados de eventos.

- Os eventosOs eventos são pontos no tempo que demarcam o projeto e, diferente das atividades, não consomem recursos nem tempo.

- Os nósOs nós são numerados da esquerda para a direita e de cima para baixo. O nome da atividade aparece em cima da seta e sua duração em baixo da seta. A direção da seta caracteriza o sentido de execução da atividade.

9.2. Caminho Crítico É a seqüência de atividades que possuem folga total nula e que determina o tempo total de duração do projeto. As atividades pertencentes ao caminho crítico são chamadas de atividades críticas, visto que as mesmas não podem sofrer atrasos, pois caso tal fato ocorra, o projeto como um todo sofrerá este atraso.

A identificação do caminho crítico de um projeto é de fundamental importância, pois o administrador pode concentrar seus esforços para que estas atividades tenham prioridade na alocação dos recursos produtivos O objetivo da próxima seção é apresentar um exemplo de aplicação do projeto de elaboração do trabalho de Pesquisa Operacional.

9.3. O Estudo de Caso da Elaboração do Trabalho de Pesquisa Operacional Considere o projeto de elaboração do trabalho de conclusão da disciplina de Pesquisa Operacional. A Tabela 1 mostra as atividades básicas do projeto, conforme foram definidas pelo professor. Tabela 1 – Etapas do projeto de elaboração do trabalho

Atividade Definição Duração (Dias)

121

A Definição do tema 1 B Modelagem 4 C Texto preliminar 2 D Digitação 2 E Desenhos 3 F Revisão 2 G Correção e impressão 2

A Figura 1 mostra o Gráfico de Gantt do projeto.

Atividade Dias 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 Definição do tema Modelagem Texto preliminar Digitação Desenhos Revisão Correção e impressão Figura 1 – Gráfico de Gantt para o projeto de elaboração do trabalho.

Na construção de uma rede para o projeto de elaboração do trabalho de conclusão da disciplina de Pesquisa Operacional, deve-se acrescentar aos dados do projeto as informações de dependência das atividades, conforme mostra a Tabela 2.

Tabela 2 – Etapas do projeto de elaboração do trabalho de Pesquisa Operacional.

Atividade Definição Duração (Dias) Dependência A Definição do tema 1 - B Modelagem 4 A C Texto preliminar 2 B D Digitação 2 C E Desenhos 3 C F Revisão 2 D e E G Correção e

impressão 2 F

A Rede PERT do projeto de elaboração do trabalho pode ser visualizada na Figura 2.

D A F G

B C

122

E

3

Figura 2 - Rede PERT do projeto de elaboração do trabalho de Pesquisa Operacional. De uma maneira esquemática, tal seqüência de atividades pode ser representada conforme ilustrado na Figura 2. Note-se que só existe um nó inicial e um nó final, e que a atividade D terá uma folga de um dia, ou seja, ela pode começar no início geral das atividades ou até no segundo dia. O caminho crítico será, portanto: A→B→C→E→F→G

Síntese Nesta unidade, estudou-se os métodos de planejamento e controle de atividades de um projeto, por meio da técnica PERT/CPM. Foi apresentado as vantagens do uso da Rede PERT/CPM e o conceito do Caminho Crítico. Para aprender a montagem da rede, a identificação do caminho crítico e do tempo de duração do projeto foi utilizado o exemplo de aplicação do projeto de elaboração do trabalho de Pesquisa Operacional. Atualmente, os problemas de planejamento e programação de projetos podem ser facilmente resolvidos com a utilização do software da Microsoft Project.

123

Exercícios propostos

1) Exame Nacional do Curso de Administração –1999. Num projeto de lançamento de um novo produto foi programado, com base na rede PERT abaixo, o tempo necessário para sua execução. Na qualidade de gestor do projeto, a qual seqüência de atividades você dispensaria maior atenção, objetivando não atrasar o lançamento do produto (caminho crítico)?

(a) AF (b) BG (c) DH (d) BCH (e) BEF

3

2) Construa a rede PEcríticas, consideran

a) Projeto (1)

Tabela 1 – DaAtividade

A B C D E F G

A

3 E 5

4

F

B

2

D 6

C

RT-CPM dos projetos edo-se os dados dos pro

dos do Projeto (1) Dependênc

- -

A e B B

A e B C e D

B

G

3

H

2

identifique as atividades jetos abaixo.

ia Duração (Dias) 8 12 10 12 12 16 12

124

b) Projeto (2) Tabela 2 – Dados do Projeto (2)

Atividade Dependência Duração (dias) A - 10 B - 6 C A 7 D B 5 E B 9 F C e D 5 G E 4

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Para concluir os estudos Parabéns! Você concluiu o estudo do conteúdo referente à disciplina de Pesquisa Operacional. Acredite, isso é apenas o começo... O texto apresentado trata de várias técnicas de Pesquisa Operacional, tais como a Programação Linear, Programação Inteira, Aproximação de Vogel, Simulação e PERT/CPM. Existem outras técnicas que não foram desenvolvidas neste livro, podendo-se citar, Teoria dos Jogos, Programação Dinâmica, Teoria das Filas, e, entre outras. Entretanto, os nove capítulos deste livro tratam de temas considerados de importância fundamental dentro da Pesquisa Operacional e podem ser usados por você para dar solução a vários problemas dentro da área de negócios. Espero ter mostrado a utilidade e o potencial da Pesquisa Operacional, através da abordagem computacional do texto, ao ensinar a utilização da planilha Excel e do software Lindo para solução de problemas diversos. Finalmente, também, espero que os conhecimentos adquiridos por você possam ter contribuído para: - melhorar a habilidade de seu pensamento lógico; - melhorar a habilidade quantitativa no entendimento e resolução de problemas

na área de negócios; - e, utilizar técnicas que poderão ser úteis na sua vida profissional. Um abraço, Prof. Luis Augusto Araújo

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SITES DE PESQUISA OPERACIONAL

Apresenta-se, a seguir, uma relação de comentários sobre sites que contêm novidades, catálogo de softwares e informações variadas a respeito de Pesquisa Operacional.

- Sejam bem vindos ao ambiente virtual - Grupo de Pesquisa Operacional Aplicada à Área de Negócios, que permite discutir, acessar materiais e trocar experiências sobre o conteúdo da disciplina. Pode ser acessado em: http://groups.google.com/group/pesquisa-operacional/

- O CNPq desenvolve um programa denominado SOFTEX 2000, existindo vários núcleos espalhados pelo país, sendo que um deles está localizado em Juiz de Fora. Sua homepage: http://www.agrosoft.com/

- Informações sobre o LINDO, um software para a resolução de problemas de Programação Linear, Inteira e Não Linear (quadrática), com "free download" de versão DEMO, pode ser encontrada em: http://www.lindo.com/

- As cinco seguintes homepages referem-se a softwares disponíveis para modelagem e resolução de problemas de grande porte: http://www.ampl.com/cm/cs/what/ampl/ http://www.modeling.com/ http://www.gams.com/ http://www.cplex.com/ http://www.aimms.com/

- Um glossário a respeito de Programação Matemática: http://carbon.cudenver.edu/~hgreenbe/glossary/glossary.html

- O @RISK é um software que permite a análise de risco associada a diversos tipos de atividade econômica. Nesta homepage, você encontra informação a esse respeito: http://www.palisade.com/

- Se você precisa de orientação sobre a compra de software de otimização, boas dicas estão expostas nesta site: http://www.ampl.com/

127

- A "homepage" da Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional é: http://www.sobrapo.org.br/

- Informações variadas e importantes no contexto de Pesquisa Operacional: http://mat.gsia.cmu.edu/

128

BIBLIOGRAFIA ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e técnicas de análise de decisão. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2004. ARAÚJO, L. A. Fronteira de eficiência econômica sob condições de risco: uma análise da convergência econômica entre empresas agrícolas. 1997, 172p. Dissertação (Mestrado) - ESALQ/USP. ARAÚJO, L. A. ; CAIXETA FILHO, J. V. Fronteira de eficiência econômica sob condições de risco para empresas agrícolas do Sul de Santa Catarina. Revista Análise Econômica. Porto Alegre: UFRGS, 1998. CAIXETA FILHO, J. V. Pesquisa Operacional: Técnicas de Otimização Aplicadas a Sistemas Agroindustriais. São Paulo: Atlas S. A., 2004. CAIXETA FILHO, J. V. Material de Apoio às Disciplinas: Introdução à Pesquisa Operacional e Programação Linear. Série Didática no 113. Piracicaba: Esalq, 1996. CORRAR, L. J.; THEOPHILO, C. R. Pesquisa Operacional para Decisão em Contabilidade e Administração. São Paulo: Editora Atlas, 2004. GOLDBARG, M. C.; LUNA, H. P. L. Otimização Combinatória e Programação Linear. – Rio de Janeiro: Campus, 2000. JEFERSON, R. W.; BOISVERT, R. N. A guide to using General Algebraic Modelling System (GAMS) for aplication in Agricultural Economics. 1989, Cornell University, Ithaca, A.E.Res. 89-17.84p.

129

LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. Modelagem em Excel. Rio de Janeiro: Campus, 2002. LANZER, E. A. Programação Linear: conceitos e aplicações. Rio de Janeiro, IPEA/INPES, 1982. MATHUR ; SOLOW. Investigacion de Operaciones. Lima: Printice Hall, 1996. MARQUES, P. V. Conceitos e Aplicações Básicas de Programação Linear. Série Didática no 95. Piracicaba: Esalq, 1995. MOREIRA, D. A. Pesquisa Operacional: curso introdutório. São Paulo: Thomson Learning, 2007. PRADO, D. S. Programação Linear. Belo Horizonte: Editora de Desenvolvimento Gerencial, 2003. 208 p. (Série Pesquisa Operacional, Vol. 1). PRADO, D. S. PERT/CPM. Belo Horizonte: Editora de Desenvolvimento Gerencial, 1998. 148 p. (Série Gerência de Projetos, Vol. 4). PRADO, D. S. Usando o ARENA em simulação. Belo Horizonte: Editora de Desenvolvimento Gerencial, 1999. 284 p. (Série Pesquisa Operacional, Vol. 3). REY, Rui. Planejar e redigir trabalhos científicos. 2. ed. revista e ampliada. São Paulo: Edgard Blücher, 1998. SILVA, E. M. ; et. al. Pesquisa Operacional. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1998.

130

Sobre o professor conteudista Luis Augusto Araújo

Natural de Florianópolis, possui mestrado em Economia Aplicada pela Universidade de São Paulo – USP, especialização em Administração Rural pela Universidade de Lavras – MG e graduação em Agronomia pela Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC. Atualmente atua como coordenador do projeto estadual de pesquisa e desenvolvimento intitulado "Administração Rural e Socioeconomia" da Empresa de Pesquisa Agropecuária e Extensão Rural de Santa Catarina - Epagri, e como professor da Universidade do Sul de Santa Catarina - Unisul e da Faculdade Estácio de Sá. Recentemente, assumiu a presidência da Associação Brasileira de Administração Rural do Sul do Brasil - ABAR SUL. Tem experiência na área de Administração e Economia, atuando principalmente nos seguintes temas: pesquisa operacional, programação linear, fundamentos de economia, administração rural e economia da produção.

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Respostas e comentários dos exercícios propostos Unidade 1 1)R: F; F; V. 2)R: a. As fases de um estudo de pesquisa operacional são: definição do problema, modelagem, obtenção da solução, validação e implementação. b. Os modelos de simulação procuram oferecer uma representação simplificada do mundo dos negócios, e dão ao administrador liberdade e flexibilidade com relação à escolha da solução mais conveniente. Nesses modelos, o critério de escolha da solução a ser adotada não é fixado na estrutura do modelo. Diferentemente, os modelos de otimização não permitem flexibilidade na escolha das alternativas, uma vez que os critérios de escolha da melhor alternativa já fazem parte da estrutura do modelo. No modelo de otimização, a solução obtida é considerada “ótima”. Unidade 2 1)R: F; V. 2)R: A modelagem para cada um dos problemas propostos é apresentada a seguir: 1. Problema da empresa Ilha da Magia a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de pneus Modelo P (o premium);

132

X2 = quantidade a produzir de pneus Modelo R (o regular). b) Função objetivo Lucro total: L = 10 X1 + 8 X2 Objetivo: Max L = 10 X1 + 8 X2 c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade de horas Máquina A

2X1 + 9 X2 ≤ 42 • Disponibilidade de horas Máquina B

4X1 + 3 X2 ≤ 36 • Restrição lógica

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

2. Problema da empresa “Águas de Floripa” a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de piscina Standard ; X2 = quantidade a produzir de piscina Luxo. b) Função objetivo Lucro total: L = 30 X1 + 40 X2 Objetivo: Max L = 30 X1 + 40 X2 c) Definição das restrições do problema • Capacidade de produção da linha Standart

X1 ≤ 24 • Capacidade de produção da linha Luxo

2X2 ≤ 36 • Disponibilidade total de empregados

X1 + 2 X2 ≤ 40 • Restrição lógica

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

3. Problema da empresa de Bolas a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de bolas de futebol (P1); X2 = quantidade a produzir de bolas de vôlei (P2). b) Função objetivo Lucro total: L = 100 X1 + 150 X2 Objetivo: Max L = 100 X1 + 150 X2 c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade total de horas

133

2X1 + 3 X2 ≤ 40 • Demanda de mercado para o produto P1

X1 ≤ 40 • Demanda de mercado para o produto P2

X2 ≤ 30 • Restrição lógica

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

4. Problema da empresa Beta Ltda d) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de produto (P1); X2 = quantidade a produzir de produto (P2); X3 = quantidade a produzir de produto (P3). e) Função objetivo Lucro total: L = 2100 X1 + 1200 X2 + 600 X3 Objetivo: Max L = 2100 X1 + 1200 X2 + 600 X3

c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade de horas trabalho

6X1 + 4 X2 + 6 X3 ≤ 4800 • Disponibilidade de horas máquina

12X1 + 6 X2 + 2 X3 ≤ 7200 • Demanda de mercado para o produto P1

X1 ≤ 800 • Demanda de mercado para o produto P2

X2 ≤ 600 • Demanda de mercado para o produto P3

X3 ≤ 600 • Restrição lógica

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

X3 ≥ 0 5. Problema de transporte do vendedor de frutas a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a transportar de caixas de laranja; X2 = quantidade a transportar de caixas de pêssego; X3 = quantidade a transportar de caixas de tangerina. b) Função objetivo

134

Lucro total: L = 20 X1 + 10 X2 + 30 X3 Objetivo: Max L = 20 X1 + 10 X2 + 30 X3

c) Definição das restrições do problema • Capacidade total de transporte de caixas

X1 + X2 + X3 ≤ 800 • Necessidade de transporte de caixas de laranja

X1 = 200 • Mínimo a transportar de caixas de pêssego

X2 ≥ 100 • Máximo a transportar de caixas de tangerina

X3 ≤ 200 • Restrição lógica

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

X3 ≥ 0 6. Problema da rede de televisão da “Grande Florianópolis” a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade de vezes que se deve levar ao ar o programa A; X2 = quantidade de vezes que se deve levar ao ar o programa B. b) Função objetivo Audiência total: T = 30000 X1 + 10000 X2 Objetivo: Max T = 30000 X1 + 10000 X2 c) Definição das restrições do problema • Mínimo tempo de propaganda

20X1 + 10 X2 ≥ 5 • Máximo tempo de música

1X1 + 1X2 ≤ 80 • Restrição lógica

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

7. Problema da empresa de cintos de couro localizada em Tubarão. a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de cintos de couro Modelo M1; X2 = quantidade a produzir de cintos de couro Modelo M2. b) Função objetivo Lucro total: L = 4 X1 + 3 X2 Objetivo: Max L = 4 X1 + 3 X2 c) Definição das restrições do problema

135

• Capacidade de produção por dia 2 X1 + 1 X2 ≤ 1000

• Disponibilidade total de couro X1 + X2 ≤ 800

• Disponibilidade de fivelas M1 X1 ≤ 400

• Disponibilidade de fivelas M1 X2 ≤ 700

• Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

8. A empresa “Toldos Sol e Praia” a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de Abrigos para Automóveis (P1); X2 = quantidade a produzir de Toldos em Loja (P2). b) Função objetivo Lucro total: L = 120 X1 + 150 X2 Objetivo: Max L = 120 X1 + 150 X2 c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade de Recurso R1.

2X1 + 4 X2 ≤ 100 • Disponibilidade de Recurso R2.

3X1 + 2 X2 ≤ 90 • Disponibilidade de Recurso R3.

5X1 + 3 X2 ≤ 120 • Restrição lógica

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

9. O problema da sapataria do Ribeirão da Ilha a) Definição das variáveis de decisão X1 = Quanto deve produzir do produto sapato X2 = Quanto deve produzir do produto cinto b) Definição da Função Objetivo Lucro total: L = 5 X1 + 2 X2 Objetivo: Max L = 5 X1 + 2 X2 c) Definição das Restrições do Problema • Disponibilidade de couro 2x1 + 1x2 ≤ 6

136

• Produção de sapatos e cintos por hora (60 minutos) 10x1 + 12x2 ≤ 60 • Restrições Lógicas X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 10. Problema da Carteira de Investimentos da Empresa de Administração de Fundos Paulo S.A. a) Definição de variáveis de decisão X1 = o quanto devo investir em Poupança; X2 = o quanto devo investir em Câmbio Empresarial Plus; X3 = o quanto devo investir em Câmbio Especial Plus; X4 = o quanto devo investir em Câmbio Preferencial; X5 = o quanto devo investir em DI Empresarial; X6 = o quanto devo investir em DI Especial Plus; X7 = o quanto devo investir em DI Preferencial; X8 = o quanto devo investir em Fix Especial Plus; X9 = o quanto devo investir em Fix Preferencial; X10 = o quanto devo investir em Fix Private. b) Função objetivo Retorno total: R = 0,076 X1 + 0,150 X2 + 0,151X3 +0,120 X4 + 0,135X5 + 0,149 X6

+ 0,134 X7 + 0,151X8 + 0,140X9 + 0,156X10 Max R = 0,076 X1 + 0,150 X2 + 0,151X3 +0,120 X4 + 0,135X5 + 0,149X6 + 0,134 X7

+ 0,151X8 + 0,140X9 + 0,156X10

c) Definição das restrições do problema - Disponibilidade de recursos para aplicação.

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 ≤ 100000 - aplicar na Poupança no mínimo 5%, e no máximo 15%.

X1 ≥ 5000 X1 ≤ 15000

- aplicar nas carteiras de Câmbio máximo 30%. X2 + X3 + X4 ≤ 30000

- aplicar nas carteiras de DI (Depósito Interbancário) máximo 35%. X5 + X6 + X7 ≤ 35000

- aplicar nas carteiras de Renda Fixa máximo 40%. X8 + X9 + X10 ≤ 40000

- máximo para ser investido individualmente nas carteiras de Câmbio X2 ≤ 12000 X3 ≤ 12000 X4 ≤ 12000

137

- máximo para ser investido individualmente nas carteiras de DI X5 ≤ 14000 X6 ≤ 14000 X7 ≤ 14000

- máximo para ser investido individualmente nas carteiras de Renda Fixa X8 ≤ 17000 X9 ≤ 17000 X10 ≤ 17000

- Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

X3 ≥ 0 X4 ≥ 0 X5 ≥ 0

X6 ≥ 0 X7 ≥ 0 X8 ≥ 0

X9 ≥ 0 X10 ≥ 0

11. Agroindústria do ramo alimentício a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de produto (1); X2 = quantidade a produzir de produto (2); X3 = quantidade a produzir de produto (3). b) Função objetivo Como o lucro total será a soma dos lucros obtidos com a venda de cada tipo de produto, a equação de lucro total será: Lucro total: L = 30 X1 + 12 X2 + 15 X3 Objetivo: Max L = 30 X1 + 12 X2 + 15 X3

c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade de horas máquina A

9X1 + 3 X2 + 5 X3 ≤ 500 • Disponibilidade de horas máquina B

5X1 + 4 X2 + 0 X3 ≤ 350 • Disponibilidade de horas máquina C

3X1 + 0 X2 + 2 X3 ≤ 150 • Restrição lógica

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

138

X3 ≥ 0 12. Fábrica de pranchas de Surfe de Garopaba. a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade a produzir de prancha de surfe Modelo A; X2 = quantidade a produzir de prancha de surfe Modelo B; X3 = quantidade a produzir de prancha de surfe Modelo C. b) Função objetivo Lucro total: L = 16 X1 + 30 X2 + 50 X3 Objetivo: Max L = 16 X1 + 30 X2 + 50 X3

c) Definição das restrições do problema •

•

•

Exigência mínima de produção do Modelo A X1 ≥ 20

Exigência mínima de produção do Modelo B X2 ≥ 120

Exigência mínima de produção do Modelo C X3 ≥ 60

• Disponibilidade de horas de fabricação 3X1 + 3,5 X2 + 5 X3 ≤ 1440

• Disponibilidade de horas de montagem 4X1 + 5 X2 + 8 X3 ≤ 1920

• Disponibilidade de horas de teste de qualidade 1X1 + 1,5 X2 + 3 X3 ≤ 576

• Restrição lógica X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

X3 ≥ 0 16) Problema de planejamento da vida social a) Definição de variáveis de decisão X1 = quantidade de saídas com Sheila; X2 = quantidade de saídas com Ana Paula. a) Função objetivo Intensidade total: I = X1 + X2 Objetivo: Max I = X1 + X2 c) Definição das restrições do problema • Disponibilidade de orçamento

160X1 + 240 X2 ≤ 960 • Disponibilidade de horas para atividades sociais

139

3X1 + 3 X2 ≤ 18 • Disponibilidade de calorias para atividades sociais

10000X1 + 5000 X2 ≤ 40000 • Restrição lógica

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

Unidade 3 1)R: A empresa Ilha da Magia deve produzir 9 unidades de pneus Modelo P (o premium) e 2 unidades de pneus Modelo R (o regular), para obter um lucro máximo de R$106,00. 2)R: A empresa “Águas de Floripa” deve produzir 24 unidades de piscina em fibra Standard e 8 unidades de piscina Luxo, para obter um lucro máximo de R$1.040,00. 3)R: A empresa de Bolas deve fabricar 15 unidades de bolas de futebol (P1) e 30 unidades de bolas de vôlei (P2), para obter um máximo lucro de R$6.000,00. Unidade 4 1) A Calçados Ltda de Barreiros deve fabricar 40 unidades do produto Sapato Tipo 1 e 40 unidades do Sapato Tipo 2. A empresa conseguirá obter um valor máximo de Margem de Contribuição Total de R$100,00. A entrada de dados na planilha Excel e a solução ótima obtida pelo Solver do Excel podem ser visualizadas na Figura 1.

140

Figura 1 – Entrada de dados na planilha Excel e solução ótima obtida pelo Solver do Excel. Unidade 5 1)R: A fábrica de computadores deve produzir 60 unidades de computador modelo A e 30 unidades de computador modelo B, para obter um lucro máximo de R$19.800,00. Para realizar o plano ótimo de produção acima citado, esgotaram-se os estoques de gabinete pequeno e de unidades de disco. Como somente vamos precisar de gabinete grande na produção de computador modelo B, que deverá ser de 30 unidades deste modelo, tem-se uma folga de 20 unidades de gabinete grande. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo B requer um gabinete grande e duas unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Por último, os valores para o Preço sombra (Dual Prices) nos representam o aumento na função objetivo se aumentarmos de um o limite da restrição. Portanto, se a restrição disponibilidade de gabinete pequeno for aumentado de 60 para 61 unidades, teremos uma nova solução, na qual o lucro total será aumentado de R$30,00. Em relação às unidades de discos, caso tenha um aumento adicional de uma unidade na sua disponibilidade, teremos uma nova solução, na qual o lucro total será aumentado de R$150,00 2)R: a) No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., deve produzir 280 unidades do produto P1, 600 unidades do produto P2 e 120 unidades do produto P3, para obter um máximo lucro de R$1.380.000,00.

141

Para realizar o plano ótimo de produção acima citado, estão no seu limite as restrições de horas trabalho, horas máquina e de demanda para o produto P2. Existe uma folga de 520 unidades em relação à restrição de demanda para o produto P1, uma vez que só devemos produzir 280 unidades deste produto e sua demanda de mercado é de 800 unidades. Por último, considerando os valores para o Preço sombra (Dual Prices), em relação à disponibilidade de horas trabalho, disponibilidade de horas máquina e da quantia máxima de demanda para o produto P2, caso tenhamos um aumento adicional de uma unidade no parâmetro destas restrições (individualmente), teremos uma nova solução, na qual o lucro total será aumentado, respectivamente, em R$50,00; R$150,00 e R$100,00. b)R: b.1. Não, por que conforme o relatório de análise de sensibilidade, a lucratividade

do produto P1 pode baixar até R$1.500,00, que ainda assim o plano ótimo de produção permanece inalterado.

b.2. Observando os valores para o Preço sombra (Dual Prices), em relação à disponibilidade de horas trabalho, para cada hora adicional temos um aumento na função objetivo de R$50,00 (no lucro será de R$40,00, descontando-se o custo de R$10,00/hora). Considerando a coluna intermediária da última tabela do relatório de análise de sensibilidade, a empresa poderá contratar até 2.400 horas trabalho.

b.3. Mantido o cenário apresentado, um aumento de 100% na demanda para os produtos P1 e P3, não terá nenhum impacto na definição do plano ótimo de produção (observe o valor zero do Dual Prices para a demanda de P1 e de P2). Portanto, o aumento esperado no lucro total é zero.

Unidade 6 1)R: a) Método de Canto Noroeste:

CT = 40x10 + 10x12 + 40x25 + 50x18 + 10x10 = 2.520. b) Método de Vogel:

CT = 30x15 + 10x20 + 50x12 + 50x18 + 10x14 = 2.290. 2)R: a) Método de Canto Noroeste:

CT = 100x10 + 50x25 + 30x18 + 20x24 = 3.270. b) Método de Vogel:

142

CT = 2x10 + 30x15 + 50x20 + 80x12 + 20x14 = 2.890.

3)R: Método de Canto Noroeste: CT = 200x5 + 100x4 + 50x9 + 50x8 + 250x6 = 3.750.

Unidade 7 1)R: A Epagri deve selecionar os projetos Camarão, Leite e Ostra, para obter um

valor presente líquido máximo de R$352,26. 2)R: O Jornal de Barreiros deve alocar 13 funcionários para iniciarem suas atividades na segunda-feira, 6 funcionários para iniciarem suas atividades na terça-feira, 5 funcionários para iniciarem suas atividades na quarta-feira, 14 funcionários para iniciarem suas atividades na quinta-feira, 1 funcionários para iniciarem suas atividades na sexta-feira e 6 funcionários para iniciarem suas atividades no sábado. O mínimo custo total dos funcionários do Jornal de Barreiros necessários para suprir as demandas diárias é R$22.800,00. Os resultados obtidos pelo Solver para o problema de escala de funcionários do Jornal de Barreiros podem ser visualizados na Figura 2.

Figura 2 - Resultados obtidos pelo Solver para o problema de escala de funcionários do Jornal de

Barreiros Unidade 8 1)R: Além dos exemplos apresentados no texto, podemos utilizar a simulação para responder as seguintes perguntas de interesse para o mundo dos negócios:

143

- Como uma empresa deve definir seu plano de produção, os níveis de estoque e de funcionários e planejar suas necessidades de investimento?

- Qual será a probabilidade de que um novo produto seja lucrativo? - Quantas unidades de um produto devem ser mantidas no estoque, para

que a demanda não atendida não ultrapasse 5%? - Qual o número mínimo de caixas de supermercado requeridas para que

o tempo de espera dos clientes na fila, não ultrapasse 8 minutos, por exemplo?

2)R: A mente humana não consegue processar uma grande quantidade de dados e de relações entre variáveis, podendo ser facilmente conseguido com o uso da informática. Além disso, os modelos de simulação através do uso da computação, podem ajudar o administrador permitindo aumentar a sua experiência e aprimorando o seu processo de tomada de decisão. 3)R: O administrador ou analista deve realizar várias simulações com preços, realizando várias hipóteses para o preço do pastel, e verificar para cada hipótese (nível de preço), qual o resultado esperado em termos de lucro. A partir destes resultados, poderá escolher aquele preço que proporciona o maior lucro. Unidade 9 1)R: (d) BCH 2)R: a) As atividades críticas são BDF e o tempo previsto para a realização deste

projeto é de 40 dias. b) As atividades críticas são ACF e o tempo previsto para a realização deste projeto é de 22 dias.

144

CASOS APLICADOS À ÁREA DE NEGÓCIOS PARA DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO DE PESQUISA OPERACIONAL Objetiva-se realizar comentários sobre a apresentação escrita e oral do trabalho e sugerir alguns temas ou casos práticos que podem ser úteis para servir como referência para o desenvolvimento de um estudo de Pesquisa Operacional. a) Apresentação escrita do trabalho Inicialmente gostaria de observar que o trabalho de conclusão da disciplina de “Introdução à Pesquisa Operacional”, pode ser estruturado da seguinte forma: Introdução

Sugere-se descrever detalhadamente o problema, tipo e/ou características da empresa, o objetivo pretendido, produtos e recursos. Modelagem do Problema

Sugere-se comentar sobre a aplicabilidade do método de programação linear para a resolução do problema descrito anteriormente. A seguir, sugere-se seguir os passos para a modelagem propriamente dita, ou seja, definir as variáveis de decisão, a função objetivo e as restrições desse problema. Análise e Interpretação dos Resultados

As notas de aulas e a bibliografia recomendada no plano de ensino desta disciplina podem servir de auxílio. Conclusões e/ou Principais Recomendações

Apresentar principais recomendações para a resolução do problema proposto. Pode-se também comentar sobre: as dificuldades no desenvolvimento desse trabalho, se a solução obtida parece adequada, sugestões de estudos futuros e vantagens no uso da técnica de Programação Linear. Anexos

Apresentar os relatórios emitidos pelo software de Programação Linear. Referências Bibliográficas

145

Observação! Os artigos deverão ser submetidos obedecendo às normas de publicação da universidade. O(s) autor(es) entregará(ão) uma cópia impressa do artigo, juntamente com um disquete de 3 ½ polegadas ou cd-rom. b) Apresentação oral do trabalho Durante uma apresentação oral é importante prestar a atenção nas mesmas qualidades específicas que devem ter os trabalhos acadêmicos, ou seja: concisão, clareza, vocabulário correto e preciso. O tempo de duração deverá ser estritamente o necessário para a apresentação sintética do tema do trabalho – em torno de 15 a 20 minutos, no máximo –, implicando numa linguagem e conteúdo adequados para o conjunto dos alunos. A partir do exposto, sugere-se de modo prático e sucintamente, o seguinte roteiro de apresentação oral, como segue:

a) Agradecimentos, em especial, aqueles que contribuíram para o desenvolvimento do trabalho (aproximadamente 1 minuto);

b) Introdução (dizer o que pesquisou, por que e para que escolheu o tema proposto em aproximadamente 3 minutos): deve ser o mais breve possível, limitando-se a situar o assunto e indicar o estado em que se encontrava o conhecimento do tema ou problema que vai ser apresentado e destacar os motivos que o levou a pesquisar;

c) Metodologia (dizer como pesquisou, em aproximadamente 3 minutos): como o trabalho foi desenvolvido, citando os métodos utilizados ou descrevendo pontos da modelagem realizada;

d) Resultados (dizer que resultado atingiu com a pesquisa, em aproximadamente 5 minutos): por constituir-se na parte mais importante da comunicação, enunciá-lo da maneira mais clara e simples possível, para que sejam facilmente apreendidos pelos demais colegas. Trata-se do momento de expor a análise e interpretação dos resultados obtidos;

e) Comentários finais (dizer o que aprendeu com este tipo de estudo em aproximadamente 3 minutos): comentar se os resultados apresentados são consistentes com a realidade da empresa, ou ainda, se o trabalho fez avançar o seu conhecimento na área.

c) Problemas de Pesquisa Operacional Aplicado à Área de Negócios

146

Problemas de Maximização Estudo de Caso: Planejamento de Produção de Produto de Uísque. Andrade

(2004), pg. 57; O Problema de “Mescla” de Produtos de Blubbermaid, Inc. Mathur & Solon

(1996), pg. 63-66; O Problema do Tipo Fazer ou Comprar da LCL Motores Ltda.

Lachtermacher (2002), pg. 105-111; O Problema de Produzir ou Comprar da Mtv Steel Company. Mathur &

Solon (1996), pg. 66-70; Carteira de Investimentos. Darci Prado (1999), pg. 58-59; Escolha de carteira de investimentos: o caso da LCL Investimentos S. A.

Lachtermacher (2002), pg. 111-117; O Problema de Administração da Carteira de Valores da High Tech.

(maximizar a taxa interna de retorno controlando o risco). Mathur & Solon (1996), pg. 74-79; O Problema da Fábrica de Móveis. Goldbarg (2000), pg 38 e 39. Planejamento de Operações para Produção de Móveis da Companhia ALT-M. Andrade (1998), pg. 67-75; O Problema de Planejamento da Produção da National Sttel Corporation

(NSC). Mathur & Solon (1996), pb. 84-92 (média complexidade); O Problema da American Steel Company. Mathur & Solon (1996), pg. 93-

105 (média complexidade); Problema de Produção e Estoque: o caso da LCL Armazéns e Comércio Ltda. Lachtermacher (2002), pg. 129-134; Problemas de Programação Inteira: o Caso de Alocação de Recursos em Projetos. Lachtermacher (2002), pg. 266-269; O Problema do Sítio. Goldbarg (2000), pg 43 e 44. O Problema da Cooperativa Agrícola. Goldbarg (2000), pg 45 e 46. O Problema do Planejamento Agrícola. Possibilidade de estudos de

propriedades rurais do Sul de Santa Catarina. Problemas de Minimização

O Problema da Dieta. Goldbarg (2000), pg 42 e 43; O Problema de Dietas do Hospital “General Mountain View”. Mathur &

Solon (1996), pg. 71-74; Fabricação de Sorvete. Darci Prado (1999), pg. 54-56; O Problema de Formulação de Ração de Custo Mínimo. Caixeta Filho

(1996), pg. 46-49;

147

O Problema de Nutrição de Mínimo Custo: Caso do “McDonald’s”. Aieta, Joseph F. (1997), pg. 17-19; O Problema da Mistura de Gasolina da Hexxon Oil Company. Mathur &

Solon (1996), pg. 80-83; Problema de Mistura de Componentes: o caso da LCL Tintas Ltda.

Lachtermacher (2002), pg. 124-129; Programação Não-linear: o Caso do Lote Econômico (Controle de Estoque).

Lachtermacher (2002), pg. 306-310; Fluxo de Caixa Multiperíodo: o caso da LCL Restaurantes Ltda.

Lachtermacher (2002), pg. 135-139. Problemas de Transporte

Estudo de Caso: Planejamento de Transporte de uma Fábrica de Cerveja. Andrade (2004), pg. 89; Problema de Transporte e Localização Industrial. Darci Prado (1999),

pg.81-84; O Problema de Distribuição de Cosmic Computer Company. Mathur & Solon

(1996), pg. 19-26; Problemas de Transporte: o caso da LCL Bicicletas Ltda. Lachtermacher

(2002), pg. 150-160; Problemas de Rede de Distribuição: o caso da LCL Carros Brasil Ltda.

Lachtermacher (2002), pg. 224-234; Problema do Menor Caminho: o Caso LCL Adornos & Tecidos.

Lachtermacher (2002), pg. 234-238; A Escolha da Melhor Rota. Andrade (2004), pg. 86; Determinação do Fluxo Máximo de Transporte em Rede com Rotas

Limitadas. Andrade (2004), pg. 82; O Problema de Fluxo Máximo da Refinaria da Hexxon Oil Company. Mathur

& Solon (1996), pg. 26-30; Problemas de Programação Inteira

O Problema do Jantar de Nero. Goldbarg (2000), pg 182 e 183; Escala de Funcionários: o caso LCL Correios e Malotes. Lachtermacher

(2002), pg. 117-124; O Problema de Alocação de Pessoal. Goldbarg (2000), pg 181 e 182. O Problema da Designação de Pessoas. Darci Prado (1999), pg. 108-109; O Problema da Designação de Tarefas. Darci Prado (1999), pg.110-111; O Problema do Desenho de Containers, Inc. Mathur & Solon (1996), pg.

39-43;

148

O Problema de Administração da Carteira de Valores da High Tech (uso de variáveis inteiras 0 ou 1). Mathur & Solon (1996), pg. 30-35.

149

Pesquisa Operaciona

Aplicada à área de negóciModelagem em Excel e LINDO

Cursos de Administração, Economia e Con

Luis Augusto Araújo

Março de 2007

Florianópolis – Santa Catarina

los

tábeis

05

Este livro objetiva atingir dois públicos: os estudantes e os profissionais que tenham interesse

em saber como a Pesquisa Operacional pode auxiliá-lono processo de tomada de decisão.

Os nove capítulos deste livro tratam de temas considerados de importância fundamental

dentro da Pesquisa Operacional.Ao final de sua leitura, espero ter mostrado a

utilidade e o potencial da Pesquisa Operacional, através da abordagem computacional do texto, ao

ensinar a utilização da planilha Excel e do softwareLindo, para a solução de problemas

da área de negócios.

Luis Augusto Araújo, M. Sc.

1

s

151