Embed Size (px)
Citation preview
ArbeidshefteIntegralregning
ArbeidshefteIntegralregning
∫f(x) dx = F (x) + C → F ′(x) = f(x)∫ b
a
f(x) dx = F (a)− F (b)∫a · xn dx =
a
n+ 1· xn+1 + C∫
1
xdx = lnx+ C∫
ax dx = ln a · ax∫ex dx = ex + C∫
ekx dx =1
k· ekx + C∫
sinx dx = − cosx+ C∫cosx dx = sinx+ C
Navn :
Dato :
Matte er gøy! 1
ArbeidshefteIntegralregning
Antiderivert
Løs integralene ved a tenke derivasjon baklengs
1)∫ex dx =
2)∫x dx =
3)∫2 dx =
4)∫x2 dx =
5)∫
1xdx =
6)∫x5 dx =
7)∫3x2 dx =
8)∫x2 + x+ 1 dx =
9)∫e2x dx =
2 Matte er gøy!
ArbeidshefteIntegralregning
10)∫
1x2dx =
11)∫x3 + x2 + x+ 1 dx =
12)∫
12x4 dx =
13)∫x+ 1
xdx =
14)∫π + x dx =
15)∫2e+ ex dx =
Matte er gøy! 3
ArbeidshefteIntegralregning
Grunnreglen
∫a · xndx = a ·
∫xndx =
a
n+ 1· xn+1 + C
Eksempel : ∫3x2 dx =
3
2 + 1x2+1 + C =
3
3x3 + C = x3 + C
Bruk grunnreglen (og baklengs derivasjon) til a løse integralene :
1)∫3x4 dx =
2)∫
13x3 + 1
2x2 + x dx =
3)∫−x−3 dx =
4)∫ √
x dx =
5)∫(2x+ 2) dx =
6)∫
3√x dx =
4 Matte er gøy!
ArbeidshefteIntegralregning
ex-regelen
∫ekxdx =
1
kekx + C
Eksempel ∫2e2xdx =
2
2· e2x + C = e2x + C
1)∫2e2x dx =
2)∫e3x + ex + e2 dx =
ax-regelen
∫ax dx =
1
ln aax + C
1)∫2x dx =
2)∫ln(3) · 3x dx =
Matte er gøy! 5
ArbeidshefteIntegralregning
Sinus og cosinus
∫cos (x)dx = sin (x) + C∫sin (x)dx = − cos (x) + C
1)∫2 · cos(x) dx =
2)∫− sin(3x− π) dx =
3)∫2 · cos(2x− 24) + 12 dx =
4)∫4 cos(2x) dx =
5)∫
12sin (πx) dx =
6 Matte er gøy!
ArbeidshefteIntegralregning
Substitusjon
∫f(g(x)) dx =
∫f(u) · 1
u′du , u = g(x)
Eksempel ∫x · ex2 dx =
∫x · eu · 1
2xdu =
=1
2
∫eudu
=1
2eu + C
=1
2ex
2
+ C
u = x2 , u′ = 2x , dx =1
u′du
1)∫e5x dx =
2)∫
2 lnxx
dx =
3)∫(2x+ 1) · ex2+x dx =
Matte er gøy! 7
ArbeidshefteIntegralregning
4)∫
ex
1+exdx =
5)∫ (ln(x))2
xdx =
6)∫
xx2+1
dx =
7)∫x · cos(x2 + 1) dx =
8)∫sin(x) · cos(x) dx =
9)∫x(x2 + 2)6 dx =
8 Matte er gøy!
ArbeidshefteIntegralregning
10)∫2xex
2+1 dx =
11)∫
x(x2+1)2
dx =
12)∫
cosxsinx+1
dx =
13)∫4e2x+1 dx =
14)∫6π sin (2πx) dx =
15)∫
13x+1
dx =
Matte er gøy! 9
ArbeidshefteIntegralregning
16)∫
8x2x2+5
dx =
17)∫
6x2
x3+1dx =
18)∫
2x(x2+3)3
dx =
19)∫x · (x2 + 1)2 dx =
20)∫cos (x) · esin(x) dx =
10 Matte er gøy!
ArbeidshefteIntegralregning
Delvis integral
∫u′ · v dx = u · v −
∫u · v′
Eksempel ∫4x · ex dx = 4xex −
∫4ex dx
= 4xex − 4ex + C
= 4ex(x− 1) + C
u = 4x , u′ = 4
v = ex , v′ = ex
1)∫2x · ln(x) dx =
2)∫x4 · ln(x) dx =
3)∫cosx · x dx =
4)∫x · ln(x) dx =
Matte er gøy! 11
ArbeidshefteIntegralregning
5)∫sin(x) · cos(x) dx =
6)∫ln(x) dx =
7)∫(2x+ 1) · sinx dx =
8)∫2xex dx =
9)∫x · cos(x) dx =
10)∫ex(x2 − 1) dx =
12 Matte er gøy!
ArbeidshefteIntegralregning
11)∫(x2 + 2x+ 1)ex dx =
12)∫8x2 · e2x dx =
13)∫cos(x) · ex dx =
14)∫ex · x2 dx =
15)∫sin(x) · ex dx =
16)∫sin2(x) dx =
Matte er gøy! 13
ArbeidshefteIntegralregning
Delbrøkoppspalting
∫1
a · bdx =
∫A
a+B
bdx
Eksempel ∫2
x2 − 1dx =
∫2
(x+ 1)(x− 1)dx
=
∫A
x+ 1+
B
x− 1dx
(forts.ettermellomregn) =
∫1
x− 1− 1
x+ 1dx
= ln |x− 1| − ln |x+ 1|+ C
= ln |x− 1
x+ 1|+ C
Mellomregning :
2
x2 − 1=
A
x+ 1+
B
x− 1| · (x+ 1)(x− 1)
2 = A(x− 1) +B(x+ 1)
x = −1 : 2 = −2A⇒ A = −1x = 1 : 2 = 2B ⇒ B = 1
1)∫
2x2−9 dx =
2)∫
1x2−16 dx =
14 Matte er gøy!
ArbeidshefteIntegralregning
3)∫
4x2−x dx
4)∫
12x2−18 dx =
5)∫
1x+1
+ 1x+2
dx =
6)∫
1x2−1 dx =
7)∫
5x+1x2+x−2 dx =
Matte er gøy! 15
ArbeidshefteIntegralregning
8)∫
3x+1x2−x−6 dx =
9)∫
x2+x+13x3−2x2−5x+6
dx =
10)∫
8x3−4x dx =
11)∫
x+4x2+2x
dx =
12)∫
3xx2−x−2 dx =
16 Matte er gøy!
ArbeidshefteIntegralregning
13)∫
2x+4x2+4x+3
dx =
14)∫
3x−5x2−x−12 dx =
15)∫
x2+x−1x2−x dx =
16)∫
2x2+5x+1x2+x
dx =
17)∫
2x3+x2−2x−3x2−1 dx =
Matte er gøy! 17
ArbeidshefteIntegralregning
Flere oppgaver
1)∫(3x2 + 3x+ π) dx =
2)∫
3√x dx =
3)∫
12
√x+ 2
xdx =
4)∫ex
2+2x · (x+ 1) dx =
5)∫e2x · 2x dx =
18 Matte er gøy!
ArbeidshefteIntegralregning
6)∫ex
2 · 2x dx =
7)∫
2xx2−4 dx =
8)∫
2x+4x2−x dx =
9)∫
4x2−1 dx =
10)∫10x(x2 + 1)4 dx =
Matte er gøy! 19
ArbeidshefteIntegralregning
11)∫(4x+ 4)ex
2+2x+1 dx =
12)∫
ex
ex+1dx =
13)∫tan(x) dx =
14)∫(2x− cosx) dx =
15)∫(ex + 3x2) dx =
20 Matte er gøy!
ArbeidshefteIntegralregning
16)∫(1 + 2 sinx) dx =
17)∫
2xdx =
18)∫
11+√xdx =
19)∫
2x+4x2+x
dx =
20)∫x cos(2x2) dx =
Matte er gøy! 21
ArbeidshefteIntegralregning
21)∫2x sinx2 dx =
22)∫x ln(x) dx =
22 Matte er gøy!
ArbeidshefteIntegralregning
Bestemt integral
∫ b
a
f(x) dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a)
1)4∫0
(x+ 2) dx =
2)2∫−2x2 dx =
3)e∫1
1xdx =
4)4∫1
(14x2 − x+ 4) dx =
Matte er gøy! 23
ArbeidshefteIntegralregning
5)ln2∫0
e2x dx =
6)π/2∫0
cos(x) dx =
7)2∫0
cos (πx) dx =
8)2∫0
sin(π3x) dx =
9)2∫0
2x2
x3+1dx =
24 Matte er gøy!
ArbeidshefteIntegralregning
10)π/2∫0
(sin(x) + 2)2 dx =
11)π∫0
sin(x) dx =
12)e∫1
x · ln(x) dx =
13)e∫1
3xdx =
Matte er gøy! 25
