Archimedes (287 – 212 př. Kr.)

Největšı́m matematikem a fyzikem starověku byl Archimedes,který se narodil v Syrakusách a tam také působil. Studoval prav-děpodobně v Alexandrii a s tamnı́mi učenci udržoval pı́semnékontakty. Část dopisů se dochovala. Zahynul v roce 212 př. n. l.při dobytı́ Syrakus Řı́many. Na jeho hrobu byla zobrazena koule ajı́ opsaný válec. Archimédes totiž objevil poměr objemů a povrchůtěchto těles.

Svých znalostı́ využı́val v praxi. Vynalezl čerpadlo (Archimédůvšroub) k zavodňovánı́ polı́, objevil hydrostatický zákon a použil hok určenı́ skladby slitiny jejı́m váženı́m ve vodě. Použı́val systémůpák, kladek, kladkostrojů a šroubů při zdvihánı́ těžkých břemen ipři konstrukci metacı́ch vojenských strojů.

Archimedova dı́la:

O rovnováze ploch, kniha 1

Kvadratura paraboly

O rovnováze ploch, kniha 2

Poselstvı́ Eratosthenovi o mechanické metodě

O kouli a válci

O spirálách

O konoidech a sféroidech

O plovoucı́ch tělesech

Měřenı́ kruhu

O počı́tánı́ pı́sku

2

O rovnováze plochV 1. knize Archimédes dokázal 15 vět a zabýval se výpočtemtěžišt’ rovnoběžnı́ků, trojúhelnı́ka a lichoběžnı́ka. Podobně jakoEukleides vyložil svoji teorii axiomaticky. 2. kniha obsahuje výpo-čet těžiště parabolické úseče.

Kvadratura parabolyVe spisu stanovil Archimédes obsah parabolické úseče vyt’atélibovolnou tětivou. Dnes bychom tuto úlohu snadno řešili meto-dou integrálnı́ho počtu a také v Archimédově práci nacházı́meinfinitezimálnı́ úvahy.

O metoděZnovu je odvozen výpočet obsahu úseče paraboly a kromě tohoArchimédes ukázal, že objem válce opsaného kouli (rotačnı́muelipsoidu) a majı́cı́ výšku rovnou průměru koule (ose rotačnı́hoelipsoidu) se rovná třem polovinám objemu koule (nebo elipso-idu). Dále zde nalezneme objem úsečı́ vyt’atých na rotačnı́ch tě-lesech.

3

Věta: Trojúhelnı́k, který má s úsečı́ paraboly společnou zá-kladnu a stejnou výšku, je většı́ než polovina úseče.

Obsah a trojúhelnı́ka ABC je roven polovině obsahu rovnoběžnı́kaAMNC; úseč je menšı́ než rovnoběžnı́k.

Tento poznatek lze přenést na trojúhelnı́ky a úseče ADB, BEC,atd.

4

Věta: Trojúhelnı́k ABC je osmkrát většı́ než každý z trojúhel-nı́ků ADB, BEC.

S = a +a

4+a

42+ · · ·

a

4n

5

O kouli a válciV tomto spisu Archimédes ukázal:

1. Povrch pláště kužele o poloměru základny r a straně s jeroven obsahu kruhu o poloměru

√rs.

2. Povrch koule je roven čtyřnásobku obsahu kruhu o stejnémpoloměru.

3. Objem koule je roven čtyřnásobku objemu kužele, jehožpoloměr i výška jsou rovny poloměru koule.

4. Povrch vrchlı́ku je roven obsahu kruhu o poloměru rovnémvzdálenosti okraje tohoto vrchlı́ku od jeho vrcholu.

5. Objem kulové výseče je roven objemu kužele, jehož výškaje rovna poloměru koule a jehož základna má obsah rovnýpovrchu pláště kužele vepsaného v přı́slušné úseči.

2.,3. ⇒ konstanta π, která figuruje ve vzorcı́ch pro výpočet ob-vodu a obsahu kruhu, se objevuje i ve vzorcı́ch pro výpočet ob-jemu a povrchu koule a jejı́ch částı́.

6

Jiná formulace:2. Povrch koule je roven dvěma třetinám povrchu opsaného válce,tj. povrchu pláště opsaného válce.3. Objem koule je roven dvěma třetinám objemu opsaného válce.Důsledek: Objemy kužele o poloměru základny r a výšce 2r,koule o poloměru r a válce o poloměru r a výšce 2r jsou v poměru1 : 2 : 3.

7

O konoidech a sféroidechParabola = řez pravoúhlého kužele rovinou, která je kolmá najednu povrchovou přı́mku.

Hyperbola = řez tupoúhlého kužele rovinou, která je kolmá najednu povrchovou přı́mku.

Kružnice = řez ostroúhlého kužele rovinou, která je kolmá najeho osu.

Elipsa = řez ostroúhlého kužele rovinou, která protı́ná všechnypovrchové přı́mky a nenı́ kolmá na jeho osu.

Konoidy nazývá Archimédes rotačnı́ paraboloid a dvoudı́lnýrotačnı́ hyperboloid. Sféroidem je pro něj rotačnı́ elipsoid. Vpráci studuje jejich vlastnosti.Napřı́klad objem rotačnı́ho elipsoidu s poloosami a, a, b:

V =4

3πa2b

8

O plovoucı́ch tělesechVoda v rovnováze musı́ vytvářet hladinu v podobě kulové plochyse středem ve středu Země (tedy v aristotelovském středu světa).

Vznášenı́ těles v kapalině:Těleso stejě těžké jako kapalina (tj. o téže hustotě) se ponořı́ dokapaliny tak, že nebude vyčnı́vat ani se nebude dále potápět.

Je-li těleso lehčı́ než kapalina vhozeno do kapaliny, nepotopı́ seúplně, ale jeho část bude vyčnı́vat nad hladinou.

Je-li těleso lehčı́ než kapalina vhozeno do kapaliny, ponořı́ se takhluboko, až objem kapaliny rovný objemu ponořené části tělesabude mı́t stejnou váhu jako celé těleso.

Je-li těleso lehčı́ než kapalina násilně do kapaliny ponořeno, jepuzeno vzhůru silou rovnou váze, o kterou váha stejně velkéhoobjemu kapaliny převyšuje váhu tělesa.

Je-li těleso těžšı́ než kapalina vhozeno do kapaliny, bude klesattak hluboko, jak bude moci, a bude v kapalině lehčı́ o váhu tako-vého množstvı́ kapaliny, které zaujı́má stejný objem jako těleso.

9

Měřenı́ kruhuJedná se o nejznámějšı́ Archimédovo dı́lo, ze kterého se všakdochoval jen zlomek třı́ vět. Dokazuje se zde:

1. Obsah kruhu je roven obsahu pravoúhlého trojúhelnı́ku, jehoždélky odvěsen jsou rovny poloměru a obvodu kruhu.

S = 12 · O · r .

Důkaz: sporem pomocı́ exhaustivnı́ metody

10

11

12

• S > T : Pro dostatečně vysoké n bude S > Sn > T, ale

vn < r,∑

n

an < O ⇒ Sn < T . . . SPOR!

• T > S : Pro dostatečně vysoké n bude T > Sn > S, ale

vn = r,∑

n

an > O ⇒ Sn > T . . . SPOR!

13

14

15

3. Obvod kruhu je třikrát většı́ než jeho průměr a rozdı́l obvodukruhu a trojnásobku průměru je menšı́ než 1/7 a většı́ než 10/71průměru.

O > 3d,10

71d < O − 3d <

1

7d

Tj. pro obvod O a průměr d libovolného kruhu platı́:

310

71<

O

d< 31

7(3, 14085 < π < 3, 14286)

Odhad π pomocı́ 96-úhelnı́ku:

25 344

8 069< π <

19 376

9 347

16

2. Poměr obsahu kruhu a čtverce jeho průměru je přibližně dánpoměrem 11 : 14, tj.

S

d2.=11

14(Při přepisu patrně omylem předřazena třetı́ větě, jejı́mž je dů-sledkem)

1. ⇒ S =1

4Od; 3. ⇒

O

d<22

7

S

d2=1

4

O

d

.=11

14

17

O spiráláchSpirálu definuje Archimédes kinematicky: Polopřı́mka p s počá-tečnı́m bodem O se v rovině ρ začne rovnoměrně otáčet kolembodu O a současně se z bodu O po polopřı́mce p začne rovno-měrně pohybovat bod P. Pohybujı́cı́ se bod P kreslı́ v rovině ρtzv. Archimedovu spirálu. Bod O je tzv. počátek spirály, původnı́poloha polopřı́mky p se nazývá výchozı́ polopřı́mka, úsečka OPse nazývá průvodič bodu P.

18

Dnes bychom rovnici Archimedovy spirály zapsali v polárnı́chsouřadnicı́ch: r = a · ϕ.

Archimédes studoval tečny a normály této křivky, počı́tal obsahoblasti omezené touto spirálou.

19

Počı́tánı́ pı́skuZde je vyložen způsob, jak vyjádřit libovolně velké čı́slo.Zápis čı́sel ve starém Řecku: pı́smena řecké abecedy (odvozenaz abecedy fénické):

20

Přechod od ”největšı́ho čı́sla” (myriada) k ještě většı́mu:Čı́sla prvnı́ oktády (prvnı́ čı́sla):

1, 2, . . . , 104, 104+1, 104+2, . . . , 2·104, 2·104+1, . . . , 3·104,

. . . 3 · 104 + 1, 3 · 104 + 2, . . . 4 · 104, . . . , 104 · 104 = 108

21

Čı́sla druhé oktády (druhá čı́sla):

108+1, 108+2, . . . , 2·108, 2·108+1, . . . , 3·108, . . . , 108·108 = 102·8

Čı́sla třetı́ oktády (třetı́ čı́sla):

1016 + 1, 1016 + 2, . . . , 103·8

atd., takovýchto posloupnostı́ vytvořil myriadu myriad a dospěl kčı́slu

10108·8.

Čı́sla od 1 po tuto hodnotu nazval čı́sly prvnı́ periody.

22

Následujı́ čı́sla druhé periody:

10108·8 + 1, 1010

8·8 + 2, . . . , 108 · 10108·8, . . . ,(1010

8·8)2

atd., 108-tá perioda končı́ čı́slem(1010

8·8)108

= 108·1016

Toto čı́slo má 80 biliard nul a Archimédes tak ukázal, že máprostředek k vyjádřenı́ počtu pı́skových zrnek, která by zaplnilacelý vesmı́r. Přitom odhadl počet zrnek na 1053. Přitom vycházelz tehdy známých vzdálenostı́ ve vesmı́ru a vzdálenost ke sféřehvězd stanovil řádově tak, jak vı́me, že je dnes vzdálena nejbližšı́hvězda. Toto dı́lo nemělo žádný praktický význam, cı́lem bylopouze ukázat sı́lu abstraktnı́ho lidského myšlenı́.

23

Polopravidelné mnohostěnyPappovou zásluhou se nám dochovalo svědectvı́ o Archimédověobjevu polopravidelných mnohostěnů, tj. takových mnohostěnů,jejichž všechny strany jsou pravidelné mnohoúhelnı́ky vı́ce nežjednoho druhu, ale všechny úhly stěn jsou vzájemně shodné nebojsou symetrické podle středu mnohostěnu. Archimédes našel 13takových těles ohraničených 8, 14, 26, 32, 38, 62 a 92 stěnamive tvaru trojúhelnı́ků, čtverců, pětiúhelnı́ků, šestiúhelnı́ků, osmi-úhelnı́ků, devı́tiúhelnı́ků a dvanáctiúhelnı́ků. Deset je ohraničenodvěma, zbývajı́cı́ tři třemi druhy mnohoúhelnı́ků.

24

25

ARCHIMEDOVA STATIKA V GEOMETRII

Dnes již téměř zapomenutá metoda, pomocı́ nı́ž podal Archime-des historicky prvnı́ známý důkaz věty o těžnicı́ch trojúhelnı́ka ařady dalšı́ch vlastnostı́ rovinných útvarů.

• Připomı́ná, proč se vlastně spojnici vrcholu se středem pro-tějšı́ strany řı́ká těžnice

• Umožňuje dokázat větu o těžnicı́ch analogicky s obvyklýmdůkazem věty o průsečı́ku os stran, tedy na základě množinbodů dané vlastnosti

• Poukazuje na oboustranně užitečnou symbiózu matematikya fyziky

Archimedes jako prvnı́ systematizoval jednotlivé poznatky o tě-žištı́ch konkrétnı́ch těles a vybudoval statiku jako axiomatickouteorii, která má význam nejen pro fyziku, ale i pro geometrii.

26

Základ teorie – axiomy:

1. Existence a jednoznačnost:

Každá hmotná soustava (soustava hmotných bodů, přı́mek apod.)má právě jedno těžiště.

2. Zákon páky:

Těžiště dvou hmotných bodů A, B o hmotnostech m1, m2 je tenbod T úsečky AB, pro který platı́: m1|AT | = m2|BT |.

3. Redukčnı́ princip:

Těžiště hmotné soustavy se nezměnı́, zaměnı́me-li libovolnou jejı́část jednı́m hmotným bodem splývajı́cı́m s těžištěm této části amajı́cı́m celou jejı́ hmotnost.

27

Přı́klad – poloha těžiště v trojúhelnı́ku:

Uvažujme soustavu S třı́ hmotných bodů o téže hmotnosti (po-ložme ji rovnu jedné) – vrcholů A, B, C daného trojúhelnı́ka.

Axiom 3 (redukčnı́ princip) ⇒ dvojici bodů B, C lze zaměnit hmot-ným bodem A0 o hmotnosti 2 ⇒ těžiště soustavy S ležı́ na úsečceAA0 a podle axiomu 2 (zákon páky) platı́ |AT | : |A0T | = 2 : 1

Podobně lze S zredukovat na soustavy B, B0, resp. C, C0, ⇒těžiště soustavy S ležı́ na všech třech těžnicı́ch a dělı́ každou znich v poměru 2 : 1.

28

Formalizace pomocı́ vektorové algebry

Hmotný bod v n−rozměrném eukleidovském prostoru En :libovolná uspořádaná dvojice (m, A), kde m ∈ R, A ∈ EnTěžiště T ∈ En libovolné konečné soustavy

S = {(m1, A1), (m2, A2), . . . , (mN , AN)}

hmotných bodů v En :

N∑k=1

mk ·−−→TAk =

−→0 (∗)

Věta 1: Těžiště T soustavy S existuje a je jediné, je-li součethmotnostı́ všech jejı́ch bodů různý od nuly. Poloha těžiště T jepak určena rovnostı́(

N∑k=1

mk

)·−→PT =

N∑k=1

mk ·−−→PAk, (∗∗)

kde P je libovolně zvolený bod prostoru En.29

Důkaz:

−−→TAk =

−−→PAk −

−→PT =⇒ ((∗)↔ (∗∗))

Je-liN∑

k=1

mk 6= 0, lze z (∗∗) vypočı́tat

−→PT =

N∑k=1

mk ·−−→PAk

N∑k=1

mk

30

Axiom 1 (existence a jednoznačnost): Věta 1

Axiom 2 (zákon páky): Definice (∗) pro dvojici HB:

m1 ·−−→TA1 +m2 ·

−−→TA2 =

−→0

Axiom 3 (redukčnı́ princip) – S a S′ majı́ stejné těžiště T :

S = {(m1, A1), . . . , (mr, Ar),(mr+1, Ar+1), . . . , (mN , AN)}

S′ = {(m′, T ′),(mr+1, Ar+1), . . . , (mN , AN)}, kde T ′

je těžiště {(m1, A1), . . . , (mr, Ar)}, m′ = m1 + · · ·+mrVěta 1 pro S′, P = T :

m′ ·−−→TT ′ =

(r∑

k=1

mk

)·−−→TT ′ =

r∑k=1

mk ·−−→TAk, (∗∗)

m′ ·−−→TT ′ +

N∑k=r+1

mk ·−−→TAk =

−→0 , (∗)

31

Eratosthenes

Eratosthenes se narodil asi v roce 276 př. n. l. v Kyréně na se-vernı́m pobřežı́ Afriky. Většinu života prožil v Alexandrii, kde bylředitelem proslulé knihovny. Třebaže byl ve své době ceněn jakovýznamný matematik, proslavil se pouze svým Eratosthenovýmsı́tem pro určenı́ prvočı́sel. Zemřel kolem roku 194 př. n. l.

Eratostenovo sı́to: způsob, jak sestavit tabulku prvočı́sel ≤ n.Vypı́šeme čı́sla od 2 do n; 2 ponecháme (nejmenšı́ prvočı́slo),všechna ostatnı́ sudá škrtneme; 3 ponecháme (prvnı́ nevyškrt-nuté čı́slo), všechny ostatnı́ násobky 3 škrtneme, atd.

Jestliže jsme vyškrtali všechny násobky prvočı́sel menšı́ch nežp, budou všechna nevyškrtnutá čı́sla menšı́ než p2 prvočı́sly.

Věta: Prvnı́ složené čı́slo, se kterým se setkáme při vysévánı́násobků prvočı́sla p, je p2.Věta: Sestavovánı́ tabulky prvočı́sel ≤ n je skončeno, vyškrtáme-li všechna čı́sla s prvočiniteli ≤

√n nebo, což je totéž, ≤ [

√n].

32

Cenné jsou jeho práce astronomické. Stanovil poměrně přesněrozměry Země a je autorem kalendáře, který zaváděl jednou začtyři roky přestupný rok.

Určenı́ poloměru Země: měřil úhlovou vzdálenost středu Slunceod zenitu v Alexandrii v poledne při letnı́m slunovratu – v tomokamžiku je Slunce právě v zenitu v Syeně (téměř na stejnémpolednı́ku a na obratnı́ku), kde v pravé poledne při letnı́m sluno-vratu svı́tı́ Slunce do hlubokých studnı́

úhel AOS = 7, 2◦, vzdálenost AB = 5000 stadiı́, 1 stadie= 158m, Obvod Země = 250 000 stadiı́, Poloměr Země = 6300km

33

34

Appolonios z Pergy (262 – 190 př. Kr.)

Vedle Eukleida a Archiméda poslednı́ velký geometr helénistic-kého obdobı́

Nejvýznamnějšı́ dı́lo: Kuželosečky tvořené 8 knihami.

(Dalšı́ dı́la známe jen podle názvů.)

Prvnı́ čtyři knihy se dochovaly v řečtině, dalšı́ tři v arabskémpřekladu, poslednı́ se ztratila.

Zatı́mco do té doby se každý ze třı́ druhů kuželoseček zı́skával zrůzných druhů kuželů, Appolonius je všechny zı́skával z libovol-ného kužele.

35

Kónika (kuželosečky)

36

37

Prvnı́ kniha: definice kruhového kužele, zavedenı́ klı́čových pojmů:vrchol kuželosečky, jejı́ osy a sdružené průměry. Pro každou ku-želosečku Apollonios stanovı́ jejı́ základnı́ vlastnosti.

Druhá kniha: Studium asymptot hyperboly, vlastnostı́ tečen ku-želoseček a úloh, požadujı́cı́ch konstrukci tečny za různých pod-mı́nek.

Třetı́ kniha: Definice pojmu ohniska elipsy a hyperboly, zkoumánı́normál ke kuželosečkám.

Čtvrtá kniha: Studium průsečı́ků kuželoseček a kružnice, resp.kuželoseček mezi sebou.

Pátá kniha: Zkoumánı́ normál vedených z různých bodů ke ku-želosečkám, jako přı́mky maximálnı́ nebo minimálnı́ délky.

Šestá kniha: Studium shodných a podobných řezů na dvou ku-želı́ch.

Sedmá kniha: Studium tětiv rovnoběžných se sdruženými prů-měry.

38

Kuželosečky jako geometrická mı́sta bodů

Jiná možnost zı́skánı́ kuželoseček plynoucı́ z vlastnostı́ kuželo-seček a souvisejı́cı́ se starými úlohami geometrické algebry

Parabola

39

Parabolé = porovnánı́:

40

Elipsa

Středová rovnice elipsy:

(x − m)2

a2+(y − n)2

b2= 1

41

(2a − p)2 = p2 + (2e)2

(2a − p)2 = p2 + 4(a2 − b2) ⇒ b2 = ap(x − m)2

a2+

y2

ap= 1

42

(x − m)2

a2+

y2

ap= 1

p(x2 − 2ax+ a2) + ay2 = a2p

px2 − 2apx+ pa2 + ay2 = pa2

y2 = 2px −p

ax2

y2 − x(2p −p

ax)

y2 = x(2p − q), q =p

ax

43

y2 = x(2p − q), q =p

ax

44

Elipson = nedostatek

45

Hyperbola

Středová rovnice hyperboly:

(x − m)2

a2−(y − n)2

b2= 1

46

p2 + (2e)2 = (2a+ p)2

p2 + 4(a2 + b2) = (2a+ p)2

p2 + 4a2 + 4b2 = 4a2 + 4ap+ p2

b2 = ap

47

(x − m)2

a2−(y − n)2

ap= 1

x2p+ 2apx+ a2p − y2a = a2p

y2a = x2p+ 2apx

y2 = 2px+ pax2

y2 = x(2p+ pax)

48

Hyperbolé = nadbytek

y2 = x(2p+ q), q = pax)

49

50

Matematika řı́mského obdobı́

146 př. Kr.: válka mezi achajským spolkem a Řı́many, vyvrácenı́Korintu, konec samostatného Řecka

Hipparchos (190-120 př. n. l.) byl asi největšı́m astronomemstarověku. Objevil precesi (předcházenı́ rovnodennosti), znal mi-mořádně přesně trvánı́ slunečnı́ho roku a lunárnı́ho měsı́ce, sklonekliptiky aj. Přitom se opı́ral o měřenı́ Babyloňanů. Jeho práce senedochovaly, ale známe je z pozdějšı́ho zpracovánı́ Ptolemaiem.Hipparchovi se připisuje i objev stereografické projekce koule narovinu. Sestavil katalog asi 1000 hvězd. Jeho matematicky nejdů-ležitějšı́ dı́lo se týká tětiv kružnice, kterou rozdělil na 360 stupňů.

Klaudios Ptolemaios (85-165) je autorem dı́la Matematická sbı́rkav 13 knihách, později zvanou pod názvem Almagest. Z mate-matického hlediska je důležité, že je zde vyložena teorie tětiv azáklady rovinné a sférické trigonometrie. Po celá staletı́ sloužilymatematikům Ptolemaiovy tabulky tětiv s intervalem 0,5 stupně.

51

Klaudius Ptolemaios (85–165)

Systematicky vyložil řecké astronomické poznatky v práci Al-magest (Velká skladba). Podobně jako Eukleidovy Základy jei Almagest rozdělen do 13 knih. Z matematického hlediska je dů-ležité, že je zde vyložena teorie tětiv a základy rovinné a sférickétrigonometrie. Po celá staletı́ sloužily matematikům Ptolemaiovytabulky tětiv s intervalem 0,5 stupně.

Základnı́ postuláty jeho geocentrické soustavy: Země je sférická,je nehybná a nacházı́ se ve středu nebeské klenby, je velmi maláve srovnánı́ se vzdálenostı́ hvězd, nebeská klenba má sférickýtvar a rotuje jako tuhá koule kolem Země, jednu otočku vykonáza jeden den, planety, ke kterým jsou přiřazeny Slunce a Měsı́crovněž obı́hajı́ kolem Země.

Ptolemaiovi se podařilo pomocı́ pojmu epicykl, deferent a ekvantobjasnit smyčky v pohybu planet. Jeho uspořádánı́ planet bylo:Měsı́c, Merkur, Venuše, Slunce, Mars, Jupiter a Saturn.

52

Je zajı́mavé, že Ptolemaios nepřipisoval svému modelu fyzikálnı́reálnost. Byl to jen model pro výpočty, který vyžadoval 40 epicyklů.Ptolemaios znal model Aristarchův, ale jemu se zdálo pro výpočtyvhodnějšı́ postulovat nehybnost Země.

53

54

55

Pappos (3. stol. n. l.) je autorem práce Matematická sbı́rka,kde v osmi knihách mimořádně zdařile popsal mnoho poznatkůz geometrie. Zmiňuje se zde o 30 autorech, a proto je toto dı́lovýznamné z hlediska historie řecké matematiky.Najdeme zde i počátky algebraické symboliky, když pro obecnáčı́sla volı́ velká pı́smena a pro konkrétnı́ čı́selné hodnoty malápı́smena.

56

Heron

Herón (10-75) psal téměř o všech problémech matematiky, me-chaniky, astronomie a fyziky. Jeho nejdůležitějšı́m geometrickýmdı́lem je Metrika (Nauka o měřenı́). Zde se nejprve věnoval mě-řenı́m obsahů ploch a povrchů těles (Heronův vzorec byl známjiž Archimédovi). Herón udává i numerické přı́klady, kde počı́tátaké s odmocninami. V dalšı́ části se věnoval měřenı́m objemůa rozdělovánı́ obrazců i těles na části. Udává návod, jak počı́tattřetı́ odmocninu.

Heronův vzorec: Obsah trojúhelnı́ka o stranách a, b, c :

S =√

s(s − a)(s − b)(s − c), kde s =a+ b+ c

2

57

Dalšı́ Herónovy matematické spisy se nazývajı́ Geometrie, Ste-reometrie, Geodézie a Dioptra. Ve Stereometrii se zabývá nejenměřenı́m objemů geometrických těles, ale také divadel, lodı́, pla-veckých bazénů, sudů aj. Ve spisu Dioptra popisuje přı́stroj, kterýsloužil k měřenı́ výšek a vzdálenostı́. Kromě toho zde nacházı́mehodometr, přı́stroj k měřenı́ dráhy projeté vozem.

Herón je rovněž autorem fyzikálnı́ch spisů. Jeho Mechanika za-čı́ná popisem mechanismu složeného z ozubených kol, kterýsloužil k přemist’ovánı́ těles. Pak studuje nakloněnou rovinu, kolona hřı́deli, páku, rumpál, klı́n a šroub. Napsal pak řadu dalšı́chmenšı́ch spisů z aplikované mechaniky. V dı́le Katoptrika vyslovilzákon o rovnosti úhlu dopadu a odrazu světelného paprsku.

58

Diofantos (200 – 284)

Poslednı́ velký řecký matematik.

O jeho životě vı́me jen toto:

Šestinu života dopřál mu bůh být chlapcem.Za dvanáctinu života pak narostly mu vousy.K tomu sedmina, když uzavřel sňatek manželský.Po pěti letech vzešel z toho spojenı́ syn.Běda, dı́tě tak milované dožilo se poloviny let otcových,když ho Hades strašlivý povolal k sobě.Ještě čtyři léta snášel Diofant bolest, věnuje se vědě ...

Z toho usuzujeme, že se dožil 84 let.

59

Jeho hlavnı́m dı́lem je Aritmetika o třinácti knihách. Dlouhoudobu bylo známo jen šest knih. Ty v 15. stoletı́ objevil Regiomon-tanus v řeckém rukopise. Až v roce 1972 byly nalezeny dalšı́ čtyřiknihy v arabském překladu. Diofantos je autorem důsledného za-váděnı́ algebraické symboliky.

Podobně jako Eukleidovy Základy je možno považovat i Dio-fantovu Aritmetiku předevšı́m za kompilát dřı́vějšı́ch výsledků.Diofantos zavádı́ zvláštnı́ symboly pro různé mocniny neznáméx v rozsahu od x−6 do x6. To je značný pokrok samo o sobě,kromě toho do té doby neměly vyššı́ mocniny než tři geometrickývýznam. Použı́val i znak pro plus.Řešenı́ Diofantos uvažuje v množině racionálnı́ch čı́sel. Početneznámých mohl být až šest, ale symbol měl pouze jeden, cožkomplikovalo četbu textu.

60

Z hlediska školské matematiky je zajı́mavá jen I. kniha, která jevěnována lineárnı́m a kvadratickým rovnicı́m s jednou nebo vı́ceneznámými. Uved’me přı́klad:

Určete dvě čı́sla, známe-li jejich součet a součin. Necht’součet je 20 a součin 96.

Řešı́me tedy soustavu rovnic

x+ y = 20 a xy = 96.

Diofantos uvažoval tak, že položil rozdı́l obou čı́sel roven 2d. Pakjsou tato čı́sla rovna 10 + d a 10 − d. Jejich součin je (10 +d)(10 − d) = 96 a tedy 100 − d2 = 96. Dostáváme d = 2a hledaná čı́sla jsou x = 12 a y = 8.

Pět dalšı́ch knih je věnováno předevšı́m neurčitým rovnicı́m, tedyrovnicı́m a soustavám rovnic s vı́ce neznámými, které majı́ „vı́ce

61

řešenı́“. Také zde uvažoval Diofantos racionálnı́ řešenı́, třebažednes při řešenı́ch diofantických rovnic hledáme pouze řešenı́celočı́selná. Rovnice, které vedou k záporným kořenům, nazývalprotismyslné.

Diofantos své úlohy formuloval s konkrétnı́mi čı́selnými hodno-tami, a tak se zdá, že ten, kdo vyřešı́ 100 úloh, nevyřešı́ úlohu101. Na druhé straně je třeba řı́ci, že volba přı́kladů a způsobjejich řešenı́ naznačujı́, že Diofantos znal obecný způsob řešenı́těchto úloh.

Celou řadu problémů můžeme zařadit do teorie čı́sel. Otázkamožnosti vyjádřenı́ čtverce jako součtu dvou čtverců inspirovalapozději Fermata. Diofantos věděl, že libovolné prvočı́slo ve tvaru4n+1 je možno vyjádřit jako součet dvou čtverců, zatı́mco čı́slo4n + 3 nikoliv. Podobně čı́slo 8n + 7 nenı́ součtem třı́ čtverců,apod.

Aritmetika je dı́lo v řecké matematice ojedinělé. Jejı́ význam seukázal až v novověku.

62

Theón Alexandrijský (335–405) je autorem komentáře Ptole-maiova Almagestu a zejména vydánı́m komentovaného textu Eu-kleidových Základů.

Hypatia (370–415) byla dcerou Theóna a zabývala se filozo-fiı́, matematikou, astronomiı́ a medicı́nou. Pomáhala svému otcipři komentáři Almagestu a sama napsala komentář k DiofantověAritmetice a Appoloniovým Kuželosečkám. Zřejmě dı́ky jı́ se do-chovalo šest knih Aritmetiky. V roce 415 byla rozsápána skupinoukřest’anských fanatiků.

Proklos (411–485) se stal vůdčı́ osobnostı́ novoplatónské filozo-fické školy. Z hlediska matematiky je nejdůležitějšı́ jeho komentářk prvnı́ knize Eukleidových Základů, kde popsal vývoj řecké geo-metrie.

63

Konec antického světa

313 Edikt Milánský – Cı́sař Konstantin I. Veliký (asi 280–337)a jeho spoluvladař Licinius vyhlásili všeobecnou svobou vyznánı́(zrovnoprávěnı́ křest’anstvı́ s ostatnı́mi vyznánı́mi)

330 – Řı́m přestává být hlavnı́m městem Konstantinopol (Kon-stantin jej programově budoval jako hl.m. z řecké osady Byzan-tion)

395 – Rozdělenı́ Řı́mské řı́še na Západnı́ a Východnı́ s centry vŘı́mě a Konstantinopoli

410 – Vypleněnı́ Řı́ma Vizigóty (3 dny plenili)

455 – Vypleněnı́ Řı́ma Vandaly (14 dnı́ – velitel dal město vplénsvým vojákům)

476 – Zánik Západořı́mské řı́še (Odoakar (asi 433–493), náčelnı́kgermánského kmene Skirů, svrhl poslednı́ho cı́saře Západořı́m-ské řı́še Romula Augusta (asi 461–476)) = konec starověku

64