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ÁREA :MATEMÁTICA. PROBLEMAS RESUELTOS DE POLÍGONOS. I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013. Problema Nº 01. Halla la suma de todos los ángulos internos del polígono cóncavo. RESOLUCIÓN. Del enunciado:. 180°( n - 2 ). 180°( 8 – 2 ). 1080º. 180 ( 6 ). Problema Nº 02. - PowerPoint PPT Presentation
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ÁREA : MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
DE POLÍGONOSI.E.P.Nº 2874 Ex 451
2013
Halla la suma de todos los ángulos internos del polígono cóncavo
Del enunciado:
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
180 ( 6 ) 1080º
180°( n - 2 ) 180°( 8 – 2 )
Que polígono tiene 9 diagonales
Del enunciado:
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
n = 6
2
) 3n ( nND
2
) 3n ( n9
18 = n2 – 3n n2 – 3n – 18 = 0
(n – 6 ) ( n + 3 ) = 0
Hexágono
Halla el ángulo interno del polígono regular cuyo ángulo central es 45º
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
n
º360central 8n
n
º360º45
n
)2n(180int
8
)28(180int
8
)6(180int º135int
Como se llama el polígono en el que la suma de sus ángulos internos y externos es 1800º
360° + 180°( n - 2 ) = 1800°
Se + Si = 1800°
Resolviendo:
Del enunciado:
Luego, reemplazando por las propiedades:
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
360° + 180°n – 360º = 1800°
180°n =1800º n =10 DECÁGONO
Cuanto suman los ángulos del polígono que tiene catorce diagonales
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
n = 7
2
) 3n ( nND
2
) 3n ( n14
28 = n2 – 3n
n2 – 3n – 28 = 0 (n – 7 ) ( n + 4 ) = 0
Hallando la suma de los ángulos internos
Si = 180º( n – 2) Si = 180º( 7 – 2) Si = 180º( 5 )
Si = 900º
En que polígono la suma de los ángulos internos es 540º
540º = 180°( n - 2 )
540º = 180n – 360º
Si = 180º ( n – 2 )
Problema Nº 06
RESOLUCIÓN
n = 5
900º = 180n
PENTÁGONO
Halla el número de lados de un polígono, sabiendo que en el se pueden trazar 104 diagonales
208 = n2 -3n
Problema Nº 7
RESOLUCIÓN
n = 16
n2 -3n – 208 = 0
2
) 3n ( nND
2
) 3n ( n104
( n – 16 ) ( n +13 ) = 0
Halla el número de diagonales del polígono cuya suma de ángulos internos es 1260º
Problema Nº 08
RESOLUCIÓN
n = 9
1620º = 180ºn
2
) 3n ( nND
Si = 180º ( n – 2 ) 1260 = 180º ( n – 2 )
1260º = 180ºn – 360
2
) 39 ( 9ND
2
) 6 ( 9ND 27ND
Cuantos lados tiene un polígono si desde uno de sus vértices se pueden trazar 6 diagonales
Problema Nº 09
RESOLUCIÓN
n = 9
n
)2n(º180m int
ND = n – 3 6 = n – 3
Uno de los ángulos internos de un polígono regular mide 150º, como se llama el polígono
Problema Nº 10
n
)2n(º180º150
150n = 180n – 360 360 = 30n n = 12
DODECÁGONO
Cinco ángulos de un hexágono miden 120º , 130º, º140º, 150º, 160º ; cuanto mide el sexto ángulo
Problema Nº 11
RESOLUCIÓN
Sint = 180º ( n – 2 )
700º
Sint = 180º ( 6 – 2 )
Sint = 180º ( 4 ) Sint = 720º
La suma de los ángulos: 120º , 130º, º140º, 150º, 160º es
Entonces el sexto ángulo mide
20º
Cuantos vértices tienen un polígono regular cuyo ángulo interno es 8 veces su ángulo externo
mi = 8(me )
n = 18 ladosn = 18 lados
)n
360(8
n
)2n(180
Problema Nº 12
Reemplazando por las propiedades:
Luego el polígono tiene 18 vértices
RESOLUCIÓN
= 180n – 360 = 2880
180n = 3240
Se tiene un decágono regular ABCDE… hallar la medida del menor ángulo que forman las prolongaciones de AB y ED
Problema Nº 13
Luego el exterior del polígono mide
RESOLUCIÓN
10
) 210( 801m int
n
) 2n( 801m int
)8(18m int º144m int
P
B D36º
216
72º
36º
36ºLuego el del polígono mide
72º
A
BC
D
E
F
GH
I
J
P
144º144º
144º
144º
144º
144º
144º
144º144º
144º
Si el número de lados de un polígono disminuye en 3, el número de diagonales disminuye en 12 ¿ cuantos lados tienen el polígono?
Problema Nº 14
RESOLUCIÓN
heptágono
2
)3n(nND
2
)33n)(3n(12ND
2
)6n)(3n(
2
24
2
)3n(n
18n9n24n3n 22 18n924n3
42n6 7n
Como se llama el polígono cuyo número de diagonales aumenta en 5 al aumentar el número de lados
Problema Nº 15
RESOLUCIÓN
2
) 3n( nND
El polígono es un hexágono
2
13n 1n5ND
2
13n 1n
2
10
2
)3n(n 13n 1n10n3n2
2n 1n10n3n2 2nn10n3n 22
2n10n3 10 + 2 = -n + 3n
12 = 2n n = 6
Si se quintuplica el número de lados de un polígono, las una de sus ángulos internos se sextuplica. Cual es ese polígono
Problema Nº 16
RESOLUCIÓN
El polígono es un Decágono
Si = 180º( n – 2 ) 6(Si ) = 180º( 5n – 2 )
6[180( n – 2 )] =180( 5n – 2 )
6[180n – 360] = 900n – 360
1080n – 2160 = 900n – 360
180n = 1800 n = 10
Al disminuir en 2 el numero de lados de un polígono, el numero de diagonales disminuye en 19. ¿Cual es la suma de los ángulos internos?
Problema Nº 17
RESOLUCIÓN
2
) 3n( nND
2
23n 2n19ND
2
5n 2n
2
38
2
)3n(n
5n 2n38n3n2 2n 1n38n3n2
10n7n38n3n 22 10n738n3
4n= 48 n= 12 Si = 180º( n – 2 )
Si = 180º( 12-2) Si = 180º(10) Si = 1800º
Calcula la suma de los números de dos polígonos equiángulos, sabiendo que las medidas de sus ángulos internos difieren en 4º y la suma de sus ángulos externos es 76º
Problema Nº 18
RESOLUCIÓN
n
)2n(180int
4y
)2y(180
x
)2x(180 4
y
)2y(
x
)2x(180
1y
)2y(
x
)2x(45
1
xy
)2y(x)2x(y45
45
1
xy
x2xyy2yx 45
1
xy
x2y2 45
1
xy
yx2
Continúa el problema
xy)yx(90 45
1
xy
yx2 …….1
Hallando la suma de los ángulos externos
n
º360m ext 76
y
º360
x
º360
76xy
)yx(º360
76xy
)x(360)y(º360
19xy
)yx(90 90
19
xy
yx
)xy(19)yx(90 )yx(9019)yx(90 yx19yx
y19x19yx y10x9 9
y10x Remplazando en 1
9
)y(y10)y
9
y10(90
9
)y(y10)
9
y9
9
y10(90
Continúa el problema
Hallando x
9
)y(y10)
9
y9
9
y10(90
9
y10)
9
y(90
2
9
y)
9
y(9
2
2yy9 9y
x9)9x(90 x9)9x(90 x)9x(10
x90x10 90x9 10x
Entonces : x + y es 19
Cual es el polígono convexo en el cual la suma del número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos internos, más el número de vértices y más el número de diagonales, es igual a 23
Del enunciado:
Problema Nº 19
RESOLUCIÓN
232
)3n(nn
º90S int
n = 6
º90
)2n(º180S interiores rectos
232
)3n(nn
º90)2n(º180 23
2
n3nn)2n(2
2
054n3n2
2
46
2
n3n
2
n2
2
)2n(22 2
46nn8n4 2
0)6n)(9n(
Cuantos lados tiene el polígono regular cuyo ángulo interno es (x + 11) veces el ángulo externo y además se sabe que el numero de diagonales es 110x
Del enunciado:
Problema Nº 20
n
360)11x(
n
)2n(º180
2
)3n(nND
0252x65x2 2
)2)(11x(2n
24x2n Luego remplazamos en
2
)324x2)(24x2(x110
0)19x2)(28x( 28x
……1
24)28(2n 80n
Como se llama el polígono convexo, cuya suma de las medidas de los ángulos interiores es 1620º
1620º = 180º ( n - 2 )
Si = 180 ( n – 2 )
Del enunciado:
Luego, reemplazando por las propiedades:
Problema Nº 21
RESOLUCIÓN
180
16202n
Despejando ( n – 2 ):
n – 2 = 9 n = 11
endecágono
Calcula la suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero y hexágono
180°( 4 - 2 )
= 360º
Si = 180°( n – 2)
Del enunciado:
Luego, reemplazando :
Problema Nº 22
RESOLUCIÓN
180°( 6 - 2 )
= 720º
Si = 180°( n – 2)
Del enunciado:RESOLUCIÓN
180°( 2 )180°( 4 )
Luego, reemplazando :
n = 4n = 6
¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el cual la medida de su ángulo interno es igual a 8 veces la medida de un ángulo externo
mi = 8(me )
Resolviendo: n = 18 ladosn = 18 lados
Polígono de 18 ladosPolígono de 18 lados
Polígono es regular:
)n
360(8
n
)2n(180
Problema Nº 23
Del enunciado:
Reemplazando por las propiedades:
Luego polígono es regular se denomina:
RESOLUCIÓN
En un polígono, la suma de las medidas de los ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el total de diagonales de dicho polígono.
360° + 180°( n - 2 ) = 1980°
Se + Si = 1980°
Resolviendo: n = 11 ladosn = 11 lados
Número de diagonales:
2
)3n(nND
2
) 311 ( 11ND
ND = 44ND = 44
Del enunciado:
Luego, reemplazando por las propiedades:
Problema Nº 24
RESOLUCIÓN
Calcule el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que el total de las diagonales es mayor que su número de lados en 75.
Resolviendo: n = 15 ladosn = 15 lados
Luego, el número total de diagonales:
2
)3n(nND
2
) 315 ( 15ND
ND = 90ND = 90
2
) 3n ( n
ND = n + 75
= n + 75
n2 - 5n - 150 = 0
Problema Nº 25
Del enunciado:
Reemplazando la propiedad:
RESOLUCIÓN
Si a un polígono regular, se le aumenta un lado, la medida de su ángulo interno aumenta en 12°; entonces el número de vértices del polígono es:
Resolviendo: n = 5 ladosn = 5 lados
NV= 5 vérticesNV= 5 vértices
Polígono es regular:
Polígono original: n ladosPolígono modificado: (n+1) lados
1n
) 21n (180 12
n
) 2n (180
Número de lados = Número de vértices
Problema Nº 26
Del enunciado:
Reemplazando por la propiedad:
RESOLUCIÓN
El número total de diagonales de un polígono regular es igual al triple del número de sus vértices. Calcule la medida de un ángulo central de dicho polígono.
Resolviendo: n = 9 ladosn = 9 lados
mc = 40°
Polígono es regular:
2
)3n(n = 3n
Luego, la medida de un ángulo central:
n
360m c
9
360m c
Del enunciado:
RESOLUCIÓN
ND = 3nReemplazando por la propiedad:
Problema Nº 27
EVALUACION MARCA LA RESPUESTA CORRECTA1.- Cual es el polígono cuyo numero de diagonales es
cinco veces el numero de ladosa) 10 b) 12 c) 13 d) 15
2.- La suma de ángulos internos de un polígono convexo es de 900..Hallar su numero de diagonalesa)10 b) 12 c) 13 d) 14
3.- Hallar el ángulo central de un polígono regular sabiendo que tiene 170 diagonalesa)10º b) 12º c) 13º d) 18º
4.- cual es el polígono convexo, tal que al duplicar el numero de lados, la suma de sus ángulos interiores se cuadruplica.a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
¿cuál
será?