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Área e Teorema Fundamental do Cálculo

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Área e Teorema Fundamental do Cálculo

1.Introdução2.Utilização de retângulos para aproximar a área de

uma região3.Aproximação de uma área por uma soma de

Riemann4.Aproximação da área de um triângulo5.Aumento do número de subintervalos6.Áreas de figuras geométricas usuais7.Cálculo de uma integral definida por meio de sua

definição8.Cálculo de uma área pelo teorema fundamental9.Funções pares e funções ímpares

1. Introdução

Começaremos mostrando como a área deuma região plana pode ser aproximada por meio deretângulos.

2. Utilização de retângulos paraaproximar a área de uma região

Exemplo 1: Utilize os quatro retângulos indicadosna figura a seguir para aproximar a áreacompreendida entre o gráfico de

e o eixo x, de x = 0 a x = 4.

=2

( )2x

f x


Podemos determinar as alturas dosretângulos calculando a função f no ponto médio decada subintervalo

[ ] [ ] [ ] [ ]0,1 , 1, 2 , 2, 3 , 3, 4


Como a largura de cada retângulo é 1, a somadas áreas dos quatro retângulos é

( )��

( )��

( )��

( )��

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

alt. alt. alt. alt.larg. larg. larg. larg.

1 3 5 71 1 1 1

2 2 2 2S f f f f


= + + + = =1 9 25 49 8410,5

8 8 8 8 8S

Este valor (10,5) é uma aproximação da áreada região dada.

OBSERVAÇÃO: A técnica de aproximaçãoutilizada no Exemplo 1 é chamada Regra do PontoMédio.


É possível generalizar o processo ilustradono Exemplo 1. Seja f uma função contínua definidano intervalo fechado [a, b]. Para começar,subdividimos o intervalo em n subintervalos, cadaum com amplitude

( )−∆ =

b ax

n

−= < < < < < =…0 1 2 1n na x x x x x b


Em cada subintervalo [xi-1, xi], escolhemosum ponto arbitrário c, e formamos a soma

( ) ( ) ( ) ( )−= ⋅ ∆ + ⋅ ∆ + + ⋅ ∆ + ⋅ ∆…1 2 1n nS f c x f c x f c x f c x

Esse tipo de soma é chamado uma soma deRiemann, e costuma ser escrito com notação desomatório:

( )=

= ∆∑1

n

ii

S f c x


Para a soma de Riemann no Exemplo 1, ointervalo é [a, b] = [0, 4], o número desubintervalos é n = 4, a amplitude de cadasubintervalo é Dx = 1, e o ponto ci de cadasubintervalo é seu ponto médio.



Podemos, assim, escrever a aproximação doExemplo 1 como

( )=

= ∆∑1

n

ii

S f c x

( ) ( ) ( )= =

= ⋅ ∆ = ⋅ = + + + =∑ ∑4

1 1

1 9 25 49 841

8 8 8 8 8

n

i ii i

S f c x f c

3. Aproximação de uma área poruma soma de Riemann

Exemplo 2: Utilize uma soma de Riemann paraaproximar a área da região delimitada pelo gráficoda função f (x) = -x2 + 2x e o eixo x, para 0 ≤ x ≤ 2.Na soma de Riemann, faça n = 6 e escolha ci como oponto extremo esquerdo de cada subintervalo.


Vamos subdividir o intervalo [0, 2] em seissubintervalos, cada um com amplitude

−∆ = =2 0 16 3

x

conforme a figura a seguir.



Como ci é o ponto extremo esquerdo de cadasubintervalo, a soma de Riemann é dada por

( )=

= ∆∑1

n

ii

S f c x

( ) ( ) = + + + + + ⋅

1 2 4 5 10 1

3 3 3 3 3S f f f f f f

= + + + + + ⋅ =

5 8 8 5 1 350 1

9 9 9 9 3 27S


O Exemplo 2 ilustra um ponto importante. Seuma função f é contínua e não-negativa no intervalo[a, b], a soma de Riemann

( )=

= ∆∑1

n

ii

S f c x

pode ser usada para aproximar a área da regiãoentre o gráfico de f e o eixo x, de x = a a x = b.


Além disso, para um dado intervalo, namedida em que o número de subintervalos aumenta,melhora a aproximação da área efetiva. Este fato éilustrado nos dois próximos exemplos com autilização de uma soma de Riemann para aproximara área de um triângulo.

4. Aproximação da área de um tri-ângulo

Exemplo 3: Com uma soma de Riemann, aproxime aárea da região triangular delimitada pelo gráfico def (x) = 2x e o eixo x, 0 ≤ x ≤ 3. Utilize uma partiçãode seis subintervalos e escolha ci como o pontoextremo esquerdo de cada subintervalo.


Vamos subdividir o intervalo [0, 3] em seissubintervalos, cada um com amplitude

−∆ = =3 0 16 2

x

conforme a figura a seguir.



Como ci é o ponto extremo esquerdo de cadasubintervalo, a soma de Riemann é dada por

( )=

= ∆∑1

n

ii

S f c x

( ) ( ) ( ) = + + + + + ⋅

1 3 5 10 1 2

2 2 2 2S f f f f f f

[ ] = + + + + + ⋅ =

1 150 1 2 3 4 5

2 2S


OBSERVAÇÃO: As aproximações nos Exemplos 2 e3 são chamadas somas de Riemann à esquerda,porque escolhemos ci como o ponto extremoesquerdo de cada subintervalo.

Se tivéssemos escolhido os pontos extremosà direita no Exemplo 3, a soma de Riemann à direitateria sido 21/2 (Verifique!).


Como ci é o ponto extremo direito de cadasubintervalo, a soma de Riemann é dada por

( )=

= ∆∑1

n

ii

S f c x

( ) ( ) ( ) = + + + + + ⋅

1 3 5 11 2 3

2 2 2 2S f f f f f f

[ ] = + + + + + ⋅ =

1 211 2 3 4 5 6

2 2S


Note que a área exata da região triangular doExemplo 3 é

Assim, a soma de Riemann à esquerda nos dáuma aproximação por falta de verdadeira área,enquanto a soma de Riemann à direita dá umaaproximação por excesso da referida área.

( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =1 1Área base altura 3 6 9

2 2


2( )f x x=


No Exemplo 4 mostraremos que aaproximação melhora à medida que aumenta onúmero de subintervalos.

5. Aumento do número de subinter-valos

Exemplo 4: Seja f (x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 3. Com o auxíliode uma planilha eletrônica, determine as somas deRiemann à direita e à esquerda para n = 10, n = 100e n = 1.000 subintervalos.


nSoma de Riemann à

EsquerdaSoma de Riemann à

Direita

6 7,500000 10,500000

10 8,100000 9,900000

30 8,700000 9,300000

50 8,820000 9,180000

100 8,910000 9,090000

1.000 8,991000 9,009000

10.000 8,999100 9,000900

100.000 8,999910 9,000090

1.000.000 8,999991 9,000009


Os resultados do Exemplo 4 sugerem que assomas de Riemann tendem para o limite 9 quando ntende para o infinito. É esta observação que motivaa seguinte definição de integral definida.

Nesta definição, consideramos a partição de[a, b] em n subintervalos de igual amplitude

( )−∆ =

b ax

n

−= < < < < < =…0 1 2 1n na x x x x x b


Além disso, tomamos ci como um pontoarbitrário no i mo subintervalo [xi-1, xi]. Dizer que onúmero de subintervalos tende para infinitoequivale a dizer que a amplitude, Dx, dossubintervalos tende para zero.


Definição de Integral Definida

Se f é uma função contínua definida no intervalofechado [a, b], a integral definida de f em [a, b] é

∆ → →∞= =

= ∆ = ∆∑ ∑∫ 01 1

( ) lim ( ) lim ( )n nb

i ia x ni i

f x dx f c x f c x


OBS 1: Se f é contínua e não-negativa no intervalo[a, b], a integral definida de f em [a, b] dá a área daregião delimitada pelo gráfico de f, o eixo x e asretas verticais x = a e x = b.

OBS 2: O cálculo de uma integral definida por meiode sua definição como limite pode ser difícil.Entretanto, há ocasiões em que podemos resolveruma integral definida reconhecendo nela a área deuma figura geométrica comum.

6. Áreas de figuras geométricasusuais

Exemplo 5: Faça um esboço da regiãocorrespondente a cada uma das integrais definidasa seguir. Calcule então cada integral utilizando umafórmula geométrica.

−+ −∫ ∫ ∫

3 3 2 2

1 0 2. 4 . ( 2) . 4a dx b x dx c x dx



a. A região associada a esta integral definida é umretângulo de altura 4 e largura 2. Além disso, comoa função f(x) = 4 é contínua e não-negativa nointervalo [1, 3], concluímos que a área do retânguloé dada pela integral definida. Assim, o valor daintegral definida é

= ⋅ =∫3

14 4 (2) 8dx


b. A região associada a esta integral definida é umtrapézio com altura 3 e bases paralelas decomprimentos 2 e 5. A fórmula da área de umtrapézio é ½h(b1 + b2); temos, pois,

+ = ⋅ ⋅ + =∫3

0

1 21( 2) (3) (2 5)

2 2x dx


c. A região associada a esta integral definida é umsemicírculo de raio 2. A área é, pois, ½πr2, e temos

π π−

− = ⋅ ⋅ =∫2 2 2

2

14 (2) 2

2x dx


Para algumas funções simples é possívelcalcular integrais definidas pela definição comosoma de Riemann. No próximo exemplo, recorremosao fato de que a soma dos n primeiros númerosinteiros é dada pela fórmula

para calcular a área da região triangular dosExemplos 3 e 4.

=

⋅ ++ + + = =∑⋯

1

( 1)1 2

2

n

i

n nn i


Para demonstrar a expressão anterior,observe os passos a seguir:

= + + + + − + − += + − + − + + + +

⋯

⋯

1 2 3 ( 2) ( 1)

( 1) ( 2) 3 2 1

S n n n

S n n n

Adicionando os dois somatórios, obtemos:

= + + + + + +⋯��

n vezes

2 ( 1) ( 1) ( 1)S n n n


Portanto, concluímos que

= ⋅ +2 ( 1)S n n

⋅ += ( 1)2

n nS

=

⋅ +=∑1

( 1)2

n

i

n ni

7. Cálculo de uma integral definidapor meio de sua definição

Exemplo 6: Calcule a integral definida ∫3

02x dx

Seja−∆ = =( ) 3b a

xn n

e selecionemos ci como o ponto extremo esquerdode cada subintervalo.

= 3i

ic

n


∆ → →∞= =

= ∆ = ⋅ ⋅

∑ ∑∫3

0 01 1

3 32 lim ( ) lim 2

n n

ix ni i

x dx f c x in n

( )→∞ →∞=

⋅ += =

∑2 2

1

118 18lim lim

2

n

n ni

n ni

n n

→∞ →∞

= + = +

2

2

18 9lim lim 9

2 2n n

n nn n


Em particular, quando n tende para infinito,vemos que 9/n tende para zero, e o limite é 9.Concluímos, pois, que

=∫3

02 9x dx


Pelo Exemplo 6, vemos que pode ser difícilcalcular, por somas de Riemann, a integral definidaaté de funções bastante simples. Um computadorpode auxiliar no cálculo de tais somas para valoresgrandes de n, mas tal processo daria apenas umaaproximação da integral definida.


Felizmente, o Teorema Fundamental doCálculo nos dá uma técnica para o cálculo deintegrais definidas utilizando antiderivadas, e poresta razão costuma ser considerado o teorema maisimportante do cálculo.

Vamos mostrar como as derivadas e asintegrais estão inter-relacionadas através doTeorema Fundamental do Cálculo.


Vamos supor que f é uma função contínua enão-negativa definida no intervalo [a, b]. Seja A (x)a área sob o gráfico de f de a a x, conforme afigura abaixo.

A (x)


A área sob a região sombreada na figuraabaixo é A (x + ∆x) – A (x).

A (x + ∆x) – A (x)


Se ∆x é pequeno, então esta área é dadaaproximadamente pela área do retângulo de alturaf (x) e largura ∆x. Temos, assim, A (x + ∆x) – A (x) ≅f (x)∆x. Dividindo por ∆x, vem

+ ∆ −≅∆

( ) ( )( )

A x x A xf x

x


Passando ao limite quando ∆x tende parazero, vemos que

∆ →

+ ∆ − ′= =∆0

( ) ( )( ) lim ( )

x

A x x A xf x A x

x

Estabelecemos, assim, o fato de que a funçãoárea A(x) é uma antiderivada de f. Emboratenhamos suposto f contínua e não-negativa, odesenvolvimento acima é válido desde que a funçãof seja simplesmente contínua no intervalo fechado[a, b]. Utilizamos este resultado na prova doTeorema Fundamental do Cálculo.


Teorema Fundamental do Cálculo

Se f é uma função contínua no intervalo fechado[a, b], então

onde F é uma função arbitrária tal que F ’(x) = f (x)para todo x em [a, b].

= −∫ ( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a


O Teorema Fundamental estabelece que seconhecermos uma antiderivada F de f, entãopodemos calcular

( )b

af x dx∫

simplesmente subtraindo os valores de F nosextremos do intervalo [a, b]. É muito supreendenteque a integral acima, definida por um procedimentocomplicado envolvendo todos os valores de f (x)para a ≤ x ≤ b, pode ser encontrado sabendo-se osvalores de F (x) em somente dois pontos, a e b.


Embora o teorema possa ser surpreendente àprimeira vista, ele fica plausível se o interpre-tarmos em termos físicos. Se v (t) for a velocidadede um objeto e s (t) for sua posição no instante t,então v (t) = s ’(t), portanto s é uma antiderivada de v.

Para um objeto que se move sempre nosentido positivo, a área sob a curva da velocidade éigual a distância percorrida. Em símbolos

( ) ( )( )b

av t dt s b s a= −∫


Cabem três comentários sobre o TeoremaFundamental do Cálculo.

1. O Teorema Fundamental do Cálculo indica umamaneira de calcular uma integral definida, e nãoum processo para achar antiderivadas.

2. Ao aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, éconveniente utilizar a notação

]= = −∫ ( ) ( ) ( ) ( )bb

a af x dx F x F b F a


3. A constante de integração C pode ser omitidaporque

[ ]= +∫ ( ) ( )bb

a af x dx F x C

[ ] [ ]= + − +( ) ( )F b C F a C

= − + − = −( ) ( ) ( ) ( )F b F a C C F b F a


No estabelecimento do Teorema Fundamentaldo Cálculo, supusemos f não-negativa no intervalofechado [a, b]. Como tal, a integral definida foidefinida como uma área. Mas, com o TeoremaFundamental do Cálculo, a definição pode serestendida de modo a incluir funções que sãonegativas em todo o intervalo fechado [a, b] ou emparte dele.


Especificamente, se f é uma funçãoarbitrária que é contínua em um intervalo fechado[a, b], então a integral definida de f(x) de a a b sedefine como

= −∫ ( ) ( ) ( ),b

af x dx F b F a

onde F é uma antiderivada de f. Tenha em menteque as integrais definidas não representamnecessariamente áreas, podendo ser negativas, zeroou positivas.


OBS: É importante distinguir entre integraisindefinidas e integrais definidas. A integralindefinida

∫ ( )f x dx

denota uma família de funções, cada uma das quaisé uma antiderivada de f, ao passo que a integraldefinida

∫ ( )b

af x dx

é um número.


Propriedades das Integrais DefinidasSejam f e g contínuas no intervalo fechado [a, b].

=∫ ∫ é uma constante1. ( ) ( ) , b b

a ak f x dx k f x dx k

[ ]± = ±∫ ∫ ∫2. ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

= + < <∫ ∫ ∫3. ( ) ( ) ( ) , b c b

a a cf x dx f x dx f x dx a c b

=∫4. ( ) 0a

af x dx

= −∫ ∫5. ( ) ( )b a

a bf x dx f x dx

8. Cálculo de uma área pelo teore-ma fundamental

Exemplo 7: Calcule a área da região delimitada peloeixo x e pelo gráfico de

= − ≤ ≤2( ) 1, 1 2f x x x

Note que f (x) ≥ 0 no intervalo 1 ≤ x ≤ 2,conforme a figura a seguir. Portanto, podemosrepresentar a área da região por uma integraldefinida. Para calcular a área, aplicaremos oTeorema Fundamental do Cálculo.



( )= −∫2 2

1Área 1x dx

= −

23

13x

x

( ) ( ) = − − −

3 32 1

2 13 3

= 43

Definição de integral definida

Determinar a antiderivada

Aplicar o Teorema Fundamental

Simplificar


Assim, a área da região é 4/3 unidadesquadradas.

OBS: É fácil cometer erros de sinais no cálculo deintegrais definidas. Para evitar tais erros, inclua emconjuntos separados de parênteses os valores daantiderivada nos limites superior e inferior,conforme feito no slide anterior.


Exemplo 8: Calcule a integral definida

( )+∫1 2

04 1t dt

e faça um esboço da região cuja área érepresentada pela integral.



( ) ( ) ( )+ = +∫ ∫1 12 2

0 0

14 1 4 1 4

4t dt t dt Multiplicar e dividir por 4


Aplicar o TeoremaFundamental

Simplificar

( ) + =

13

0

4 114 3

t

( ) ( ) = −

3 35 11

4 3 3

= 313


Exemplo 9: Calcule as integrais definidas

∫3 2

0a. xe dx

∫2

1

1b. dx

x

−∫4

1c. 3 x dx


( )= = − ≈

∫3

3 2 2 6 0

00

1 1a. 201,21

2 2x xe dx e e e

]= = − = ≈∫2 2

11

1b. ln ln2 ln1 ln2 0,69dx x

x


− = −∫ ∫14 42

1 1c. 3 3x dx x dx

43 42 3

2

11

3 23

2

xx

= − = −

( ) ( )= − − = − − = −3 3

2 22 4 1 2 8 1 14

Escrever com expoente racional


Aplicar o Teorema Fundamental


OBS: Pelo Exemplo 4c, vemos que o valor de umaintegral pode ser negativo.


Exemplo 10: Calcule a integral definida

−∫2

02 1x dx


Pela definição de valor absoluto, podemosescrever

( )

12 1,

22 11

2 1 , 2

x xx

x x

− ≥− = − − <

A figura a seguir mostra a regiãorepresentada pela integral definida.



Aplicando a Propriedade 3 das integraisdefinidas, podemos escrever a integral como somade duas integrais definidas.


( ) ( )− = − − + −∫ ∫ ∫2 1 2 2

0 0 1 22 1 2 1 2 1x dx x dx x dx


= − + + − 1 2 22 2

0 1 2x x x x

( ) ( )1 1 1 10 0 4 2

4 2 4 2 = − + − + + − − −

= 52

Muitas funções comuns têm gráficossimétricos em relação ao eixo y ou à origem,conforme mostra a figura seguinte. Se o gráfico def é simétrico em relação ao eixo y, então

9. Funções pares e funções ímpares

− = Função par( ) ( ), f x f x

e f é chamada função par.


Simetria em relação ao eixo y

Se o gráfico de f é simétrico em relação àorigem, conforme a figura a seguir, então


− = − Função ímpar( ) ( ), f x f x

e f é chamada função ímpar.


Simetria em relação à origem


Integração de Funções Pares e de Funções Ímpares

1. Se f é uma função par, então

2. Se f é uma função ímpar, então

−=∫ ∫0( ) 2 ( )

a a

af x dx f x dx

−=∫ ( ) 0

a

af x dx

Exemplo 11: Calcule as integrais definidas

−∫2 2

2a. x dx


−∫2 3

2b. x dx

−

= = = − =

∫ ∫232 22 2

2 00

8 162 2 2 0

3 3 3x

x dx x dx


−=∫

2 3

20x dx

a. Como f (x) = x2 é par,

b. Como f (x) = x3 é ímpar,

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