ARITMÉTICA DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez OPERACIONES CON CONJUNTOS

1. Dos conjuntos A y B son tales que: n (A U B) = 30; n (A - B) = 12; n (B - A) = 10. Halla n(A) + n(B)

A) 22 B) 38 C) 36 D) 25 E) 37 2. Si n (P(A)) = 128; n (P (B)) = 16;

n P(A B) = 8. Halla n P (A U B) A) 128 B) 32 C) 256 D) 1024 E) 512 3. Sean A y B subconjuntos del universo además: (A -

B) U (B - A) = A U B Indica las proposiciones falsas

I. A = A – B II. B = B – A

III. (A B)’ A U B

IV. B A’

V. A B A) I, II, III B) V C) IV y V D) III y V E) I, II, V 4. Si A, B y C son subconjuntos de U tales que:

n(A B) = 2n (C - B) = 4n (A B C)

n (B - A) = 60; A C = C

n (A C)’- B = n (B) = 100 Halla n (C’)’ A) 80 B) 900 C) 100 D) 60 E) 190 5. Sean A y B dos conjuntos tales que:

n(A B) – n(A) = 4

n(A B) = 10

n(B) = 12 Halla n(A B) A) 48 B) 18 C) 16 D) 8 E) 24 6. Se tienen 2 conjuntos A y B tales que:

n(A) – n(B) = 3

n[P(A B)] = 2048

n[P(A B)] = 16 Halla el número de elementos de B A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 2 7. Si: n(U)=40, n(A)=25,n(B)=20,

n(A’B’)=10. Halla n(AB) A) 15 B) 13 C) 11 D) 9 E) 7 8. Si A, B y C son subconjuntos de E tal que:

n(A) = 80, n(B) = 82, n (A B) = 36,

n(A C) = 34.

Calcula: n (B-A)(A-C). A) 92 B) 94 C) 96 D) 93 E) 91 9. Dados los conjuntos A, B y C contenidos en un

Universo U. Simplifica:

A(BC) -(BA’)A (BC)

A) A Bc B) A B C) A

D) C – A E) C A

10. Sabiendo que:

n 20)()( BPAP ;

n 4)()( BPAP

Determina n(A B)

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. Indica cuál de estas expresiones es igual a

CCC BA donde

CA indica el complemento de A.

A) BAB C

B) BAA

C) BAA C

D) CC BAB

E) BABA CC )(

12. Si: n [P(A)] = 64; n [P(B)] = 32 y

n [P(A B)] = 8.

Halla n [P(B A)] A) 16 B) 32 C) 128 D) 120 E) 42 13. Sean los conjuntos A y B que cumplen:

n(A) = 28; n(B) = 35 y n(A B) = 15

Halla: 2n(A B) + n(A B) A) 124 B) 114 C) 98 D) 120 E) 115 14. Sean A y B subconjuntos de U. Definimos la

operación “ *” entre conjuntos de la siguiente manera:

A * B = A’ B’ ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. (A * A) * (B * B) = A B II. A * B = B * A III. A * (B * C) = (A * B) * C A) sólo I y III B) sólo I C) sólo II D) sólo I y II E) Todas 15. Sean A, B, C conjuntos contenidos en U, tales que:

P(B) P(A)

n(A) = 10

B CC

n(AC) < 10

n(BxC) = 75

Calcula n[A-(BC)] si es el menor posible A) 4 B) 5 C) 2 D) 0 E) 7 16. Dado los conjuntos:

100 xZxxA

1192

1xZ

xB

Calcula: n[(AxB) (BxA)] A) 182 B) 180 C) 144 D) 128 E) 120 17. Dado los conjuntos A, B, C contenidos en U tales

que:

n(ABC) = 93

n(A-(BC) = 18

n(AB)-C = 7

n(A) = n(B) = 41

n(C) = 46

n(BC)-A) = 7

Calcula: n[(ACBCCC)C] A) 5 B) 9 C) 1 D) 2 E) 1 18. Dados los conjuntos:

A = {2n/n Z+ n 20} y

B = {4m/m Z+ 4 < m < 16}

¿Cuántos elementos tiene el conjunto (AxB)(BxA)? A) 12 B) 36 C) 24 D) 60 E) 48 19. Dado 3 conjuntos A, B y C los cuales son

comparables entre sí. Si se cumple que:

I. ABC = B y

II. A-C = Se puede concluir que:

A) B C A

B) B A C

C) A’ C’ B’

D) A C’ B

E) A’ C’ B

20. Dados los siguientes conjuntos:

A = {x/x Z}

B = {x/x = 2n + 1; n Z}

C = {x/x = 2x, n Z}

Determina: (AB)(AC)

A) A C B) BC C) B D) C E) A 21. Definimos la operación entre conjuntos de la forma:

A * B = (AB)’ (A-B) (B-A) ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I. Si A * B = B * A entonces A = B II. (A * B) * (B * A) = A * B III. (B * B) * (A * A) = A’ * B’ IV. A’ * A’ = A A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 0

PROBLEMAS CON CONJUNTOS 1. Se hizo una encuesta a 50 personas sobre

preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A?

A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 40 2. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera,

28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 3. De los residentes de un edificio se ha observado que

29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian, ¿cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan?

A) 32 B) 30 C) 28 D) 26 E) 34 4. En una clase de 50 alumnos, se practica tres

deportes: Atletismo, Básquet y Fulbito. Los que practican atletismo o fulbito pero no

básquet son 30. Los que practican básquet o fulbito pero no

atletismo son 27. Los que practican atletismo y fulbito son 7. Los que practican fulbito pero no atletismo o

básquet son 15. Los que no practican estos deportes son la cuarta

parte de los que practican básquet y fulbito pero no atletismo.

4 practican atletismo y básquet pero no fulbito. Los que practican básquet pero no atletismo o

fulbito son 4. ¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno? A) 21 B) 17 C) 19 D) 2 E) 18 5. Dado los conjuntos A; B y C contenidos en el

universo de 98 elementos, tal que:

n(A B) = 21

n(B C) = 25

n(C A) = 32

3n (ABC) = n(ABC )

Halla: A B C

A) 93 B) 95 C) 87 D) 77 E) 91 6. Usando las leyes del álgebra de conjuntos, simplificar:

A B B A B C ’

A) AC B) BC C) U

D) (A B)C E) (A B)C

7. En un condominio de 100 personas, 85 son casados, 70 son abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios. ¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son empresarios?

A) 15 B) 10 C) 20 D) 24 E) 15 8. En una ciudad el 60% de los habitantes comen

pescado; el 50% come carne; el 40% de los que comen carne también comen pescado. ¿Qué porcentaje de los habitantes no comen pescado ni comen carne?

A) 15% B) 23% C) 20% D) 10% E) 30%

´

ARITMÉTICA DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez

REPARTO PROPORCIONAL REGLA DE COMPAÑÍA

Es el reparto de las ganancias o pérdidas de una sociedad o compañía, directamente proporcional (D.P.) a los capitales impuestos por cada socio y a los tiempos que estos permanecen en dicha compañía. Ejemplo:

A inicia las operaciones de una empresa con S/. 2 000, luego de tres meses se asocia B con S/. 3000 y dos meses después ingresa C con S/. 4000. Si al cabo de 15 meses la empresa arroja una utilidad de S/. 2120. ¿Cuánto corresponde a cada uno? Resolución:

D.P

D.P

A B CSocioCrit.

2000

15

3000 4000

12 10

x (capital) 1000

(tiempo)

D.P. a : 30 ; 36 ; 40 , todos dividido por 2 D.P. a : 15 ; 18 ; 20

k = 4053

2120

A = 15 x 40 = S/. 600 B = 18 x 40 = S/. 720 C = 20 x 40 = S/. 800

PRACTICA

01. Al repartir “N” directamente proporcional a todos los

números capicúas de 2 cifras, al quinto número (ordenados de menor a mayor) le toca 440. Halla el valor de N.

A) 3960 B) 1890 C) 2160 D) 2970 E) N.A 02. Carlos reparte 720 soles entre sus 4 sobrinos:

Alberto, Betty, Carmen y Darío; proporcionalmente a sus notas de matemáticas si la nota de Alberto es 2 puntos mas que la de Carmen y 3 puntos menos que la de Betty y a Darío le toco 168 soles. Halla cuanto le toco a Alberto , si entre los 4 sus notas suman 60 puntos:

A) 156 B) 144 C) 180 D) 192 E) 216 03. Cuatro hermanos debían repartirse una herencia

proporcionalmente a sus edades que son 12,15,21, y 24 años .Como el reparto se realizo 3 años después uno de ellos quedó perjudicado en 5 soles. Luego el monto de la herencia es:

A) 630 B) 360 C) 560 D) 420 E) 490 04. Repartir 2943 en partes tal que la 1º sea 4/5 de la 3ª

y el doble de la 4ª y la 4ª sea a la 2ª como 9 es a 5. Halla la mayor parte

A) 1215 B) 1260 C) 1245 D) 1885 E) 945 05. Tres hermanos se reparten una herencia, dos de

ellos de 18 y 32 años discuten si hacerlo en forma directa o inversamente proporcional a sus edades, le piden al tercero que opine y este responde “me da igual” Halla el valor de la herencia, si el tercero recibe 432 soles.

A) 1467 B) 954 C) 1680 D) 1548 E) 1332 06. Se reparte “N” en forma I.P a 1/n; 1/n2; 1/n3 y 1/n4 y

se obtiene que la diferencia entre las dos menores partes es 56 veces la constante de proporcionalidad. Halla n2.

A) 81 B) 64 C) 100 D) 225 E) 121 07. Se reparte “N” D.P a las raíces cuadradas de 32; 72

y 162, observándose que la media geométrica de las partes obtenidas es 4/19 de “N” mas 578. Halla N.

A) 4901 B) 5491 C) 6251 D) 6631 E) N.A 08. A, B y C intervienen en un negocio; el primero

aporta 10000 soles durante un año, el segundo 8000 durante cuatro meses y el tercero 19000 durante 2 meses. El negocio quebró dejando una pérdida de 6650 soles ¿Cuánto perdió C?

A) 1310 B) 1320 C) 1325 D) 1330 E) 1340 09. Una persona empezó un negocio con 1192 soles. A

los cuatro meses acepto un socio con 2235 soles y 5 meses después acepto otro socio con 1043 soles. Si a los 2 años de iniciado el negocio se cierra con una utilidad de 5970 soles ¿Cuál fue la ganancia del 1er socio?

A) 2100 B) 3000 C) 1920 D) 1050 E) 2160

10. Dos socios forman una empresa aportando 4000 y

6000 dólares respectivamente; a los 18 meses el 1º aumenta su capital en 2000 dólares y el segundo 2 meses después retira 1000. La empresa liquida a los 3 años con una perdida de 5700 dólares ¿Cuánto debe abonar el primero?

A) 2700 B) 3000 C) 3200 D) 4200 E) N.A 11. En una sociedad un socio impuso 6000 soles

durante 8 años 4 meses; el otro impuso un capital en soles durante un tiempo en días, cuyos numerales eran iguales, si la utilidad del 1º era a la del 2º como 8 es a 9. Calcula el capital del segundo.

A) 3500 B) 4500 C) 4800 D) 5000 E) 5200 12. Tres personas A, B y C compraron una fábrica y

contribuyeron con 792, 924 y 1056 dólares respectivamente. Si la explotaron durante tres años correspondiendo a B 1800 soles más que A ¿Cuánto le correspondió a C?

A) 14400 B) 14000 C) 15000 D) 14500 E) 15600

13. Una persona manda pintar 3 paredes de forma

cuadrada, cuyos lados son proporcionales a los números 2,3 y 5 .Si ha pagado en total 912 soles ¿Cuánto pago por la tercera?

A) 456 B) 505 C) 240 D) 600 E) N.A

14. Repartir 1380 en forma I.P a 0. 3

; 0.5 y 1. 3

.

¿Cuál es la mayor cantidad? A) 720 B) 900 C) 480 D) 540 E) 500

15. Repartir 5700 en cuatro partes de modo que la

tercera sea el triple de la primera, el doble de la segunda y 3/4 de la cuarta. Señala la cantidad menor

A) 30 B) 300 C) 600 D) 900 E) 40

16. Si se reparte el número: 410a ,

proporcionalmente a todos los números impares, menores a 100, la parte que le corresponde al noveno número (escritos en forma consecutiva) es 68. Halle “a”.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A. 17. Al repartir N en partes proporcionales a los números

11263,28 y , la suma de la

mayor y la menor de las partes es a la segunda como:

A) 2:1 B) 3:2 C) 4:1 D) 4:3 E) N.A. 18. Repartir 420 en partes proporcionales a 4/8, 7/21,

5/30 y 0,75. Señale la diferencia entre la mayor y menor de las partes.

A) 40 B) 60 C) 100 D) 140 E) N.A. 19. Dividir 40 entre A, B y C, de manera que la parte de

B sea el doble del cuadrado de la parte de C y la de C la diferencia de las partes de A y B ¿Cuál es la mayor de las partes señaladas?

A) 6 B) 14 C) 21 D) 16 E) N.A. 20. Tres comerciantes desean transportar el mismo

número de sacos de arroz. El primero a 50 km, el segundo a 65 km y el último a 75 km con este objeto alquilan un camión pagando entre los tres 266 soles. ¿Cuánto más paga el tercer comerciante que el primero?

A) 21 B) 14 C) 28 D) 35 E) N.A. 21. Al repartir una cierta cantidad de dinero entre 3

personas, la parte de la segunda es los 2/3 de la parte de la primera y lo que recibe la tercera es la semidiferencia de las otras partes. Si se repartieran ahora 340 soles en forma inversa a las partes recibidas inicialmente. ¿Cuánto recibiría la segunda?

A) 40 B) 60 C) 80 D) 240 E) N.A 22. Si el producto de dos números enteros menores a

100, se reparte proporcionalmente a 452, 303 y 752; Las cantidades obtenidas son enteras. ¿Cuántos pares de números que se diferencien en 3 cumplen con lo anterior?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) N.A. 23. Al repartir N proporcionalmente a 3 números

consecutivos, la mayor y la menor de las partes suman 154. Si N se repartiera a los 3 números, impares consecutivos siguientes a los iniciales. ¿Cuál sería la segunda parte?

A) 66 B) 70 C) 77 D) 100 E) N.A. 24. Si se reparte 8 463 proporcionalmente a

cdmnab ayaa , , la menor de las partes

obtenidas es (25-1). Señale el valor de a+k; donde

abmnk (k>0) y además:

mncdmnab 3

A) 2 B) 4 C) 6 D) 10 E) N.A. 25. Al repartir una cantidad de dinero entre Adela, Alicia

y Ana, la parte de Adela es a la de Alicia como “a” es a “a+2” y la parte de Alicia es a la de Ana como “a” es a “a-2”. Si Adela recibe 20 soles más que Ana y entre Alicia y Adela reúnen 560 soles. ¿Cuánto recibe Ana?

A) 125 B) 135 C) 225 D) 245 E) N.A. 26. Se desea repartir 749 proporcionalmente a los

números a1, a2, a3,…a7. Si el reparto se hiciera proporcionalmente a los números b1, b2, b3,…, b7, la cantidad que le corresponde al cuarto sería la misma en ambos repartos. Halla dicha cantidad si se sabe que: bi=ai+i

A) 100 B) 105 C) 107 D) 109 E) N.A.

ARITMÉTICA DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez

NUMERACIÓN

01. Calcule “a” si:

7 .

9

pa n 2c 1 aa3

Además

n

p

c5p7 4c3

2

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

02. ¿Cuántos valores puede tomar “k” en

n

n

k0,125

kk

?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

03. Si:

7n 5

n n 1 n 2 n 3 n 4 abcd

Halla: a b c d

A) 10 B) 12 C) 13 D) 11 E) 14

04. Halle m n p , si n n 1

110 ,81

y

(n 1)1mp son números consecutivos.

A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11

05. Sabiendo que : n 9a7b aoc ;

además n 5 .6d6 mbmb

Halle el valor de (m + b + d). A) 2 B) 4 C) 3 D) 6 E) 8

06. Calcule el valor de “n” si “m” es máximo en:

...1818 n

18.18 123

“m” veces A) 8 B) 9 C) 11 D) 14 E) 10

07. Si:

9 3

a b 1 c 2 c b 1 10 xy 12

Calcule: a b c x y

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

08. En la siguiente expresión:

m 8nM 4n6 54 3mn

Halle M. A) 42 B) 532 C) 24 D) 220 E) 44

09. Si se cumple que:

ab naa 29abca 17a

Calcule el valor de “n” A)3 B)4 C)6 D)9 E)5

10. Halle a b c m n , sabiendo que:

n maba bcn Sabiendo que: m< 9 y b > 4

A) 27 B)3 C)-5 D) -3 E)5

11. Calcule la suma de las dos últimas cifras del

numeral: n

16 12 13 8 , al expresarlo en

el sistema de base 1n .

A) 6 B) 7 C) 5 D) 4 E) 3

12. Si se cumple:

x

2m 1

9 6 12abcd

m m m

Calcule a b c d m x

A) 8 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15

13. Calcule : a n m

Si: n m120a 64a 2553

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 19

14. Halle “x” en:

n 7abx ccn , si: 2c y

ab

A) 0 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6

15. Si se cumple que: (2n) numerales

n

14 10 1

15 11

14 12

15 13

1 n 1

¿Cuántas cifras tendrá el menor numeral de la base “n”, cuya suma de cifras sea 210, cuando se

exprese en la base 2n ?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5

16. Halle knba en la siguiente

expresión:

k n9ab 213312 ; donde

2nk

A) 18 B) 24 C) 28 D) 41 E) 37

17. El mayor número de 3 cifras diferentes de la base n, se escribe en base 8 como 4205. Halle n. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

18. Se desea repartir S/. 1000000 entre un cierto número de personas, de tal modo que lo que les corresponda sea: S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;… y que no más de 6 personas reciban la misma suma. ¿Cuántas personas se beneficiaron? A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12

19. Si se cumple:

2 8a10b11b 15c

Halle: cba

A) 6 B) 7 C) 5 D) 9 E) 10

20. Si se cumple: n 7ab ba

Halle la suma de cifras de n ; si es el máximo valor posible. A) 37 B) 13 C) 11 D) 21 E) 10

21. Al convertir N = 15 x 56 + 21 x 55 + 8 x 52 + 2 a base 5; la suma de cifras del numeral resultante es: a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

22. Al convertir )3(3)2(1 aa a base (a+2) el

numeral resulta: a) 123 b) 234 c) 324 d) 231 e) 131

23. Convertir el menor numeral de base 8 cuya suma de cifras es 215, al sistema binario.

a)

)2(

90

11...111 cifras

b) )2(

90

10...101010cifras

c) )2(

90

11...11110 cifras

d) )2(

93

11...10111cifras

e) n.a

24. El valor de ...5

2

5

1

5

2

5

1432

P ,

es:

a)

24

5 b)

24

6 c)

24

7

d)

3

1 e) 1

25. Si )(

)( 2)13(7n

nabba , sabiendo que a y b

se diferencian en 2 unidades, el valor de “n” es: a) 3 b) 4 c) 6

d) 8 e) 5

26. Al expresar el numeral 4122n en la base (n+1), la suma de sus cifras es 26, calcula n. Además n > 11 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

27. ¿Cuántos numerales existen, tales que al ser expresados en el sistema senario, heptanario y octavario se representan con 3 cifras? a) 140 b) 21 c) 152 d) 300 e) 280

28. Calcula la suma de cifras al expresar en el sistema ternario el numeral capicúa siguiente

9

43

3)2)(13(

bcba

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15

29. Si:

cifras10

)216(

cifras30

6 )29n7)(1n6(abcabcabc

Halla: a + b + c A) 3 B) 6 C) 7 D) 9 E) 11

30. Halla un número de tres cifras significativas de la base 10 y dar como respuesta la suma de sus cifras, sabiendo que al convertirlo a base 7 se escribe también con tres cifras, pero cada una de ellas es el doble de la cifra que le corresponde en el número escrito en base 10. a) 7 b) 8 c) 6

d) 11 e) 13

31. Halla un numeral de 4 cifras (el mayor posible) que sea igual a la suma de 73 veces el numeral formado por sus 2 primeras cifras y 37 veces el que se forma con las 2 últimas cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 24 b) 18 c) 15

d) 21 e) 25

32. El número 454545… tiene 71 cifras y está representado en base 9, convertirlo a base 3 e indicar cuantos “unos” se emplea en dicho sistema. a) 121 b) 142 c) 106

d) 107 e) 213

33. ¿Cuál es el mayor sistema de numeración en el cual 2504 se escribe como un número de tres cifras? a) 50 b) 47 c) 46 d) 25 e) 40

34. Al escribir el menor numeral en base “n”, donde la suma de sus cifras es:

1nnnnnn 5678910 , observamos

que las tres últimas cifras suman 18. Expresar 2537 a

base 2n .(Dar como respuesta la suma de cifras)

a) 20 b) 53 c) 32 d) 41 e) 58

ARITMÉTICA DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez

DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON

(on + r)K =

on + rK ; k Z+

- (o

13 -2)2 =o

13 + 22

En general:

oa - rn ; n : impar

(o

a -r) n ; a, r, n Z+

oa + rn ; n : par

Aplicaciones

1. Calcula el residuo de dividir 1333508 entre 11. Rpta: 3

2. Calcula el residuo de dividir 2m

9abc entre 5.

RESTOS POTENCIALES

Ejemplo:

Determina los restos potenciales (RP) de 4, respecto al módulo 7

º4 = o7 + 1 Restos potenciales los cuales se

repiten en bloques de 3.

41 = o7 +4 Se deduce que:

42 = o7 + 2

43 = o7 + 1

44 = o7 + 4

45 = o7 + 2

4n = o7 + r

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

A. Por 2n y 5n

Un número es divisible por 2n o 5n, si y sólo si el bloque formado por sus “n” últimas cifras es divisible por 2n o 5n respectivamente, en caso contrario el bloque nos dará el residuo.

N = 10 + e

Será N = o2 e =

o2

Será N = o5 e =

o5

N= abcde N = de100o

Será N = o4 de =

o4

Será N = o

25 de = o

25

N = o

1000 + cde

Será N = o8 cde =

o8

Será N = o

125 cde =o

125

NOTA: Como 10 es oo5y2

Aplicación

1. Si: o8a43mn , determine el valor de “a”.

2. Si: o

25ababa , determinar el máximo valor de: a+b

B. Por 3 ó 9

Un número es divisible por 3 ó 9, si y sólo si la suma

de sus cifras es un oo9ó3 respectivamente. En caso

contrario nos dará el residuo.

Ejemplos:

3456 = o9 (suma de cifras es 18 =

o9 )

5557 = o9 + 4 (suma de cifras es 22 =

o9 + 4)

En general:

N= abcde

- Será N = o9 a + b + c + d + e =

o9

- Será N = o3 a + b + c + d + e =

o3

NOTA:

Todo número que sea o9 será

o3

Aplicación

1. Si o96a3a2a1 , hallar la suma de los valores de

“a”.

C. Por 11

Un número es divisible por 11, si y sólo si la suma de sus cifras de lugares impares menos la suma de cifras de lugares pares contabilizando de derecha a izquierda nos da un múltiplo de 11, en caso contrario nos dará el residuo.

Ejemplos:

o11

o)31()753(1131537

73513 = o

11

o11

o)0a()47a(11aa704

aa407 = o

11

D. Por 7

Un número es divisible por 7, si y sólo si al multiplicar sus cifras por las constantes 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, -3, -2, ...... a partir de la cifra de menor orden y sumar los resultados se obtienen una cantidad múltiplo de 7, en caso contrario nos dará el residuo.

Ejemplos:

6 4 4 1 8 2

132132

- 12 – 12 – 4 + 2 + 24 + 2 = 0 = o7

644182 = o7

1 1 2 5 3 9

132132

- 2 – 3 – 2 + 10 + 9 + 9 = 21 = o7

112539 = o7

4 7 5 4 2

13213

- 12 – 7 + 10 + 12 + 2 = 5 = o7 + 5

47542 = o7 + 5

E. Por 13

Un número es divisible por 13, si al multiplicar sus cifras por las constantes 1, - 3, - 4, -1, 3, 4, 1, -3, -4, -1.... a partir de la cifra de menor orden y sumar los resultados se obtienen una cantidad múltiplo de 13, en caso contrario nos dará el residuo.

Ejemplos

3 6 4 1 8 2 0

1341341

+ 3 + 24 + 12 – 1 – 32 – 6 + 0 = 0 = o

13

3641820 = o

13

2 7 3 0 5 2

134134

8 + 21 – 3 – 15 + 2 = 13 = o

13

273052 = o

13

1 6 3 2 7 0 4

1341341

1 + 24 + 9 – 2 – 28 + 4 = 8 = o

13 + 8

1632704 = o

13 + 8

F. Por 33 ó 99

4n = o7 + r 4 +1

r no31o3

2o3 + 2

Un número es divisible por 33 ó 99, si al descomponer el número en bloques de dos cifras a partir del menor orden y sumarles el resultado sea múltiplo de 33 ó 99.

Ejemplos:

30 31 71

30 + 31 + 71 = 132 = o

33

303171 = o

33

180 84

1 + 80 + 84 = 165 = o

33

18084 = o

33

57 54 87

57 + 54 + 43 = 99 = o

99

575487 = o

99

572548

57 + 25 + 48 = 130 = o

99 + 31

572548 = o

99 + 31

PRACTICA

01. Halla la cifra de unidades que resultan de convertir el

número N = 652

256 a base 9.

A) 2 B) 4 C) 6 D) 5 E) N.A

02. Halla el residuo de dividir el número 373737.... (200 cifras) entre 32 A) 5 B) 7 C) 9 D) 3 E) 8

03. ¿Cuántos números de cifras son 4ó3 pero no

5 ?

A) 630 B) 360 C) 330 D) 300 E) N.A

04. Si el numeral 8834 ba es divisible por 99. Halla

ab

A) 66 B) 76 C) 86 D) 67 E) N.A

05. Encuentra el número de 3 cifras tal que sea igual a 5 veces el producto de sus cifras. A) 157 B) 165 C) 155 D) 175 E) N.A.

06. Halla el residuo de dividir el número:

2222 72.....321 T entre 43

A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) N.A.

07. El número de 4 cifras que al ser dividido entre 4; 5; 9; 11 y 25 produzca respectivamente los restos: 1; 4; 5; 1 y 14. Es igual a: A) 3389 B) 3578 C) 3884 D) 4379 E) 6778

08. En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y la 11° parte de los hombres usan lentes. ¿Cuántos hombre son usan lentes? A) 22 B) 28 C) 2 D) 20 E) 4

09. De un grupo de 83 personas, la tercera parte de las mujeres tienen ojos negros y la 11° parte de los hombres tienen ojos azules. ¿Cuántas mujeres no tienen ojos negros? A) 4 B) 48 C) 26 D) hay 2 respuestas E) hay 3 respuestas

10. El resto de dividir el número 3333355 entre 5 es: A) Es exacta B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

11. Si: 1523...1091081070

sumandosn

, luego el mínimo valor de n es : A) 15 B) 16 C) 22 D) 23 E) 24

12. Si: P=

2032 1225...122512251225 xxxx

Luego la cantidad de divisores de P es: A) 17505 B) 17525 C) 17675 D) 177241 E) 177241

13. Si el número N= a.10a-1 es múltiplo de 11 más 5 y a es menor que 10, entonces la cantidad de valores de a es: A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

14. El número abcd es divisible por 9; cabd es

divisible por 17; bdca es divisible por 11y

acbd es divisible por 4. Halla a.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

15. En una fiesta hay menos de 100 personas pero más de 90.Los niños son 1/7 del número de damas y los caballeros son un número primo mayor que 30. En un instante dado los caballeros que no bailan son tantos como 1/8 del número de damas. ¿Cuántas damas no bailan en ese instante? A) 18 B) 24 C) 29 D) 31 E) 32

16. Calcula el resto que se obtiene al dividir

E= !100!99...!4!3!2 entre 7.

A) Es exacta B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

17. Indica el residuo de la siguiente división:

19801990

371901990 80980

A) 1 B) 5 C) es exacta D) 2 E) 7

18. ¿Cuál es el menor valor entero positivo que puede tomar el cociente al dividir un numero de la forma:

0

29 +27 entre otro de la forma

0

29 +4, obteniéndose

como resto 2? A) 2 B) 18 C) 25

D) 26 E) 28

19. De los 4350 primeros números naturales, ¿cuántos son divisibles entre 29 pero no entre 3?

A) 60 B) 85 C) 88 D) 100 E) 120

20. Si M tiene 9 cifras distintas (ninguna es cero) siempre es múltiplo de n, cualesquiera sea el orden de las cifras. El mayor de n es: A) 7 B) 3 C) 9 D) 11 E) 17

21. Si N = a(3a)(3a)a tiene 8 divisores ¿Cuántos

números N existen? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

22. Si el número N = aabbaabb es múltiplo de 187,

entonces se puede afirmar que la cantidad de números que cumplen la condición es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

23. Si

0

13)a64aCA( , entonces la suma de

todos los posibles valores de a es: A) 3 B) 6 C) 15 D) 21 E) 45

24. Si

0

21 8a8b5 para a>b, luego a-b es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

25. Encuentra el mayor número de cuatro cifras abcd

divisible entre 17, tal que 4)ab3( cd .

El valor de a + b + c + d es: A) 11 B) 13 C) 15 D) 16 E) 18

26. Un número de 3 cifras es

0

8 , si se invierten sus cifras,

es

0

5 y la cantidad de decenas del numero original

son un

0

17 . La suma de sus cifras del número

original es: A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

27. Las 3 primeras cifras de un número capicúa de cinco cifras forman un múltiplo de 7, las tres últimas forman un múltiplo de 19 y el número mismo es múltiplo de 5. Las tres cifras del centro forman un múltiplo de:

A) 9 B) 11 C) 13 D) 17 E) 23

28. La suma de las tres últimas cifras obtenidas al expresar 10811443 en el sistema senario es:

A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

29. Si el número abcd tiene 14 divisores y

a + c = b + d = 9, entonces la cifra b de dicho número es:

A) 0 B) 1 C) 3 D) 6 E) 8

30. N es el producto de todos los primos absolutos menores que 200, y tiene 245 divisores impares, de los cuales 21 son divisores de 3 cifras que a su vez tienen 2 divisores. ¿Cuántos primos absolutos son memores que 100?

A) 19 B) 21 C) 23 D) 25 E) 46

31. A un número se le sumo su C.A y se obtuvo otro que tiene 5625 divisores ¿Cuántas cifras tiene dicho número?

A) 37 B) 45 C) 74 D) 75 E) 150

32. ¿Cuál es la suma de todos los números primos comprendidos entre 100 y 300, que son capicúas?

A) 755 B) 755 C) 865 D) 965 E) 995

33. Si a un número de 3 cifras se le resta el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, el resultado es un número que tiene 24 divisores, y también de 3 cifras, luego la suma de la cifra de unidades y centenas del número es:

A) 2 B) 6 C) 10 D) 14 E) 16

34. A una fiesta de carnaval asistieron 105 personas entre niños, mujeres y hombres. La cantidad de niños era la séptima parte de las mujeres que asistieron y los hombres que no bailaban eran la octava parte de las mujeres que asistieron. ¿Cuántas mujeres no bailaban?

A) 34 B) 56 C) 22 D) 12 E) 28

35. Un número de la forma abba )3)(3( es siempre

múltiplo de: A) 41 B) 43 C) 11 D) 17 E) 9

36. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 14 y terminan en 8?

A) 18 B) 12 C) 24 D) 13 E) 27

37. Halla el residuo de dividir: 8155154

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ARITMÉTICA DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez

NÚMEROS PRIMOS CLASIFICACIÓN: Según la cantidad de divisores. 1. NÚMEROS SIMPLES: 1.1 LA UNIDAD: Es el único número que posee un sólo

divisor, al uno (1). 1.2 PRIMOS: Llamados también primos absolutos; son

aquellos números que poseen únicamente dos divisores: a la unidad y al mismo número.

2. NÚMEROS COMPUESTOS: Son aquellos números que poseen más de dos divisores.

OBSERVACIONES:

Todo número compuesto posee divisores simples y compuestos.

En general:

Sea N un entero positivo, donde:

CD(N): Cantidad de divisores de N

CDS(N): Cantidad de divisores simples de N

CDC(N): Cantidad de divisores compuestos de N

Entonces:

PROPIEDADES

La unidad no es número primo.

Todo número primo absoluto mayor que 2 al ser dividido entre 4 deja resto -1 ó 1.

Todo número primo absoluto mayor que 3 al ser dividido entre 6 deja resto -1 ó 1.

La sucesión de los números primos absolutos es infinita. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31,…

El número 2 es el único primo par.

Los únicos números consecutivos y a la vez primos absolutos son: 2 y 3.

La única terna de números impares consecutivos y primos absolutos son: 3, 5, 7.

¿Cómo reconocer un número primo? 1. Se extrae la raíz cuadrada al número dado, si es

exacta, entonces el número no es primo; caso contrario hacer paso 2.

2. Se extrae la raíz cuadrada por exceso del número. 3. Se divide el número entre todos los números primos

menores o iguales que su raíz cuadrada por exceso y si ninguna de las divisiones resulta exacta, entonces el número es primo.

Ejemplo: Determina si el número 193 es un número

primo. CLASIFICACIÓN POR GRUPOS DE NÚMEROS

1. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (P.E.SI)

Llamados también números primos relativos o coprimos, son aquellos números que tienen como único divisor común a la unidad (1)

PROPIEDADES

Dos o más números consecutivos son siempre P.E.Si

Si en un grupo de números, uno de ellos es la unidad, entonces todo el grupo es P.E.Si

Todo conjunto de números enteros impares consecutivos son siempre números P.E.Si

Si A y B son P.E.Si, entonces: 1. A, B y A+B son P.E.Si 2. A, B y A-B son P.E.Si ; (A>B)

2. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI 2 A 2

Son aquellos que al ser tomados por parejas (de 2 en 2) en todas las combinaciones posibles, siempre son primos entre sí.

3. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA (Teorema de Gauss)

“Todo número compuesto se puede expresar como el producto de sus factores primos diferentes entre si, elevados a exponentes enteros positivos”; la descomposición es única y es llamada Descomposición Canónica.

Sea el número:

Donde:

A, B, C,…, P: Números primos absolutos distintos entre sí (factores primos o divisores primos).

a, b, c,.., p: Exponentes enteros y positivos.

4. ESTUDIO DE LOS DIVISORES

4.1. CANTIDAD DE DIVISORES DE N [CD(N)]

OBSERVACIONES:

1. La cantidad de divisores también está dado por:

2. Si N=A x B ; donde A y B son P.E.Si, entonces:

3. Un número es cuadrado perfecto si sólo si la cantidad de divisores es impar.

4.2. SUMA DE DIVISORES DE N [SD(N)]

4.2.1. SUMA DE DIVISORES DE N MULTIPLO DE m

[SD(N,

o

m )]

Siendo los divisores múltiplos de algún módulo.

4.3. SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE N [SID(N)]

Donde SD(N) es la suma de los divisores de N

4.3.1. SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE

N [SID(N, o

m )]

Siendo los divisores múltiplos de algún módulo.

4.4 PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE N[PD(N)]

4.4.1 PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE N MULTIPLOS

DE m [PD(N,

o

m )]

Siendo los divisores múltiplos de algún módulo.

CANTIDAD DE MANERAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMO EL PRODUCTO DE 2 FACTORES [f(N)]

La cantidad de maneras en que puede expresarse un número N como el producto de dos factores enteros y positivos f(N), se obtendrá a partir del conjunto de todos sus divisores elegidos convenientemente de dos en dos.

Es decir:

imparesCDsiCD

paresCDsiCD

Nf

N

N

N

N

)(

)(

)(

)(

,2

1

;2

)(

Donde CD(N) es la cantidad de divisores del número “N”.

FUNCIÓN DE EULER ó INDICADOR DE UN NÚMERO ENTERO POSITIVO

Es la cantidad de números enteros positivos primos entres sí con N, que existen entre dos múltiplos consecutivos con N.

Es decir representa la cantidad de números menores y primos relativos (PESI) a N.

Sea el número:

CanónicaciónDescomposi

pcba PxxCxBxAN ...

Entonces:

TEOREMA

Si N es Primo, entonces (N) = N- 1

TEOREMA

Si N es Primo, y a entonces

(Na) = Na-Na-1

PROPIEDAD

Si N>1, entonces la suma de todos los números menores o iguales a N y PESi con N es:

TEOREMA DE EULER Si m>1, además a y m son PESi, entones

1)( o

m ma

PRACTICA

BLOQUE I

01. Si: 10x.21 tiene 100 divisores, el valor de “x” es:

02. ¿Cuántos ceros debe colocarse a la derecha de 144 para que el número resultante tenga 135 divisores?

CD(N)=CDS(N)+CDC(N)

CD(N) = (a + 1) (b + 1) (c + 1)... (p + 1)

N

SDSID

N

N

)(

)(

)(

)(NCD

N NPD

CanónicaciónDescomposi

pcba xPxxCxBAN ...

1

1...

1

1.

1

1.

1

1 1111

)(

P

P

C

C

B

B

A

ASD

pcba

N

)....1()1()1()( )1()1()1( CCBBAAN cba

CD(N)=CDC(N)+CD (PRIMOS)+1

CD(N)=CD(A).CD (B)

m

NmxSDSD o

mN ),(

N

SDSID

mN

mNo

)/(

),(

m

NxPDmPD m

NCD

mNo

),(

2

)(NNxS

03. Si: 24n.14 tiene 200 divisores compuestos, dar el valor de “n”.

04. Si: N = 4x+3 + 4x tiene 72 divisores compuestos, dar “x”.

05. Halla la suma de todos los divisores compuestos de 600.

06. ¿Cuántos divisores de “N” no son múltiplos de 6, siendo: N = 180.452?

07. Halla un número de cuatro cifras que sea divisible por 15 y tenga 10 divisores. Dar el residuo de dividir el número entre 17.

08. Encontrar un número de la forma abc que posee

9 divisores y además: b = a + c. Hallar: “a2 + b2 + c2”.

09. ¿Cuántos números de cuatro cifras iguales tienen 8 divisores?

10. Sea un número: M = 2a.3.5b que tiene 16 divisores múltiplos de 15 y 16 divisores múltiplos de 20. Halla la suma de cifras de “M”.

11. ¿Cuántos divisores de 113 400 terminan en 1; 3; 7 ó 9?

12. Si: N = 2 3a 7b tiene 40 divisores múltiplos de 9 y 30 divisores pares, ¿cuál es el valor de “a + b”?

13. Sea “m” la diferencia entre la cantidad de divisores que tienen 136n y 147n; entonces, determinar cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) correcta(s):

I. “m” es el producto de dos números

consecutivos. II. “m” es siempre par. III. “m” es el producto de dos números pares. IV. “m” es el producto de dos números impares. V. “m” es el doble de la suma de 1 hasta “n”.

14. ¿Cuál es el número de cuatro cifras que termina en cero, tiene 30 divisores y además la suma de sus cifras es 12? Indicar su cifra de centenas.

15. ¿Cuál es el menor número por el que se debe multiplicar a 1 155 para que sea divisible entre 252?

BLOQUE II

16. Si aabb tiene 21 divisores. Calcular “a + b”, si se

sabe que uno de sus divisores es el número ocho. A) 10 B) 12 C) 11 D) 16 E) 9

17. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 12 al número 150 para que el producto resultante tenga 540 divisores?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

18. ¿Cuántos rectángulos de 80 m2 de área existen, tal que sus lados son números enteros?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

19. La cantidad de terrenos rectangulares; cuyos lados expresados en metros son enteros, tienen una superficie de 3080 m2, es:

A) 32 B) 16 C) 10 D) 14 E) 24

20. El área de un rectángulo es 588 m2. ¿Cuántos valores puede tomar su perímetro sabiendo que sus lados miden un número entero de metros y su perímetro es menor que 150 m?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

21. ¿Cuántos divisores tiene el número ababab , si

se cumple que el número tiene 4 divisores primos y

también ab es primo?

A) 12 B) 20 C) 24 D) 30 E) 36

22. El número de divisores divisibles entre 20 que tiene 11880 es:

A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 20

23. Si el cuadrado de “N” tiene 15 divisores, ¿cuántos divisores tiene “N”?

A) 3 ó 5 C) 6 ó 4 E) 8 ó 4 B) 6 ó 5 D) 8 ó 6

24. Halla la suma de cifras de un número que sólo admite dos divisores primos y que tiene en total 6 divisores cuya suma es 28.

A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

25. ¿Cuántos divisores de 4504 son múltiplos de 3 pero no de 5?

A) 36 B) 40 C) 72 D) 120 E) 144

26. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 12 a 420 para que el producto resultante tenga 180 divisores?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

27. Halla un número entero compuesto únicamente por los factores 2 y 3; sabiendo que al multiplicarlo por 12 su cantidad de divisores aumenta en 19 y si lo dividimos entre 18, la cantidad de divisores disminuye en 17.

A) 5 184 C) 5 284 E) 5 080 B) 5 288 D) 5 174

28. Un número está compuesto por los factores primos 2 y 3; el número de divisores de su raíz cuadrada es 12 y el número de divisores de su cuadrado es 117. ¿Cuántos números de este tipo existen?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

29. Un número está compuesto por los factores primos 2 y 3. Si lo duplicamos tiene 4 divisores más, pero si lo triplicamos la cantidad de divisores se incrementa en 3. Calcula el número y dar la suma de sus cifras.

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15

30. ¿Cuántos términos debe tener la siguiente multiplicación para que el producto tenga 961 divisores?

P = 36 362 363 ... 36n

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

31. ¿Cuántos ceros hay que colocar a la derecha del número 275 para que el número resultante tenga 70 divisores?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

32. Un número admite como divisores primos únicamente a 3 y 5. Si se multiplica por 3 y por 5 su número de divisores aumenta en 5 y 3 respectivamente. Si el número se multiplica por 15, ¿cuántos divisores tendrá el resultado?

A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 30

33. Halla el valor de “n” para que el número de divisores de N = 30n sea el doble del número de divisores

de M = 15 18n. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

34. Si “a” y “b” son números primos absolutos, ¿cuántos divisores debe tener: N = ax+1 . bx+3 para que su raíz cuadrada tenga 20 divisores?

A) 63 B) 80 C) 54 D) 48 E) 60

35. Halla la suma de las cifras de N = 14 30n y M = 21

15n, si la suma de sus números de divisores es 96.

A) 9 B) 18 C) 27 D) 21 E) 24

36. Un número tiene 22 divisores y su cubo tiene 64 divisores. ¿Cuántos divisores tiene su raíz cúbica?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 6

37. ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9

38. ¿Cuántas veces debe multiplicarse a 18 por sí mismo para que el resultado tenga 66 divisores compuestos?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

39. ¿Cuántos divisores de 4 800 son múltiplos de 5 pero no múltiplos de 3?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

40. Para el número 504, ¿cuántos de sus divisores no son divisibles entre 6?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

41. Un número tiene solamente dos factores primos. Si posee 5 divisores impares y 15 divisores múltiplos de 18, ¿cuál es la suma de sus cifras?

A) 9 B) 18 C) 27 D) 36 E) 42

42. ¿Cuántos divisores que son múltiplos de 6 pero no de 5 tiene el número 18 000?

A) 5 B) 8 C) 7 D) 9 E) 3

43. ¿Cuántos números existen que contengan como únicos factores primos a 2 y 3, de modo que la cantidad de divisores de su cuadrado sea triple de la cantidad de divisores del respectivo número?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

44. Encontrar la suma de las cifras de un número que tiene nueve divisores, sabiendo que si se le divide entre 11 da como cociente a un número primo absoluto y como residuo a 9.

A) 11 B) 10 C) 15 D) 16 E) 17

45. N es el producto de todos los primos absolutos menores que 200, y tiene 245 divisores impares, de los cuales 21 son divisores de 3 cifras que a su vez tienen 2 divisores. ¿Cuántos primos absolutos son menores que 100?

a) 19 b) 21 c) 23 d) 25 e) 46

ARITMÉTICA

DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez MCD Y MCM

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Dado un conjunto de números, se define al MCD de estos como aquel número que cumple las siguientes condiciones:

Es un divisor común.

Es el mayor de estos divisores. Ejemplo 1: Sean 20 y 70

divisores

20,10,5,4,2,1:20

70 : 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

Divisores comunes: 1, 2, 5, 10

Luego el MCD (20,70) = 10

Ejemplo 2: Sean los números 18, 42 y 66

18 :

divisores

18,9,6,3,2,1

42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

66 : 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66

divisores comunes: 1, 2, 3, 6

Luego el MCD (18, 42, 66) = 6

PROPIEDAD

Se observa que los divisores comunes de dos o más números siempre serán divisores de su MCD.

1. ¿Cuántos divisores comunes tienen números 600 y 500?

2. Si el MCD(A, B, C) = 720 ¿Cuántos divisores comunes tienen A, B y C

OBSERVACIONES

a. Si un conjunto de números son pesi, MCD es igual a 1.

b. Si A = oB MCD(A ,B) =B

3. Si A < 119 y MCD(A, B) = 90. ¿Cuántos divisores impares comunes tienen A y B?

4. Si: MCD (5A,7A) = 120 y MCD (6B, 9B) = 36

Calcula A + B

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

Dado un conjunto de números, se define MCM de estos, como aquel que cumple las siguientes condiciones:

Es un múltiplo común (positivo).

Es el menor de estos. Ejemplo 1: Sean 6 y 8

6:

)(Múltiplos

,...102,96,90,84,78,72,66,60,54,48,42,36,30,24,18,12,6

8: 8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96,104,..

Múltiplos comunes:

24, 48, 72, 80, 88, 96, 104,...

Luego el MCM (6, 8) = 24

Ejemplo 2: Sean 10, 15 y 30

10:

)(Múltiplos

,...130,120,110,100,90,80,70,60,50,40,30,20,10

15: 15,30,45,60,75,90,105,120,135,...

30: 30,60,90,120,150,180,210,240,...

Múltiplos comunes: 30, 60, 90, 120,...

Luego el MCM (10, 15, 30) = 30

PROPIEDAD

Los múltiplos comunes de varios números son múltiplos de su MCM.

6. ¿Cuántos múltiplos comunes de 3 cifras tienen los números 3, 4 y 5?

7. Calcula la suma de los 24 primeros múltiplos comunes positivos de 24 y 36

OBSERVACIONES

a. Dados un conjunto de números “pesi 2 en 2” el MCM de estos será el producto de todos estos.

b. Si A = oB entonces MCM(A, B) = A

8. Si MCM (4A, 7A) = 2800 y MCM (3B, 5B, 2B) = 720. Calcula A + B

9. Indica verdadero (V) o Falso (F):

Si MCD (A, B) = 1 y MCD (B, C) = 1, entonces MCD (A, B, C) = 1

Si A, B y C son números consecutivos, entonces: MCM (A, B, C) = A x B x C MÉTODO PARA EL CÁLCULO DEL MCM Y MCD

Por descomposición simultánea

Ejemplo: Sean 72, 40 y 88

111

1111

1151

1153

1159

221018

440236

884072

22233511

MCM (notar queno se puede sacarmás en común

MCM

Es decir MCD (72, 40, 88) = 2 x 2 x 2 = 8

y MCM (72, 40, 88) = 23 x 32 x 5 x 11

10. ¿Cuál es el menor número de trazos de igual longitud que pueden obtener dividiendo tres varillas de 540, 480 y 360 milímetros sin despreciar material?

Por descomposición canónica

Ejemplo: Sean:

334 7x5x2A y

253 13x7x5x2B

onentesmenores

comunesDivisoresMCD

exp

Luego: MCD(A, B) = 23 x 53 x 71

onentesmayores

divisoreslostodoMCM

exp

Luego MCM(A, B) = 24 x 55 x 73 x 132

11. Si 753 31 xxA nn y

422 1753 xxB nn

Tienen 56 divisores comunes; calcula n.

12. De la aplicación anterior, si el menor número que contiene a A y B tuviese 350 divisores.

¿Cuánto valdría n?

Por divisiones Sucesivas o Algoritmo de Euclides (Sólo para el cálculo del MCD)

Ejemplo: Calcula el MCD de 525 y 231

525

2

231

3

63

1 2

063 42 21

42 21

Cocientes

Residuos

Luego el MCD (525, 231) = 21

NOTA:

Esto está basado en el hecho que:

De la división sabemos: D = d x q + r y siempre se verifica que MCD (D, d) = MCD (d, r)

Si observamos el esquema anterior notamos que por

Ejemplo:

231 = 63 x 3 + 42; 63 = 42 x 1 + 21; o sea, si tenemos

... A

7

10 ...

2

A = 10 x 7 + 2 = 72

... B

15

12 ...

6

B = 12 x 15 + 6 = 186

Además recordar que una división inexacta también puede ser hecha por exceso, en tal sentido, si la siguiente parte en el esquema, estuviese hecha por exceso, se tomaría en cuenta que:

... A

10

12 ...

3

A = 12 x 10 - 3 = 117

5

... B

11

15 ... B = 15 x 11 - 5 = 160

13. Al calcular el MCD de los números man y 6pq

por el algoritmo de Euclides, los cocientes sucesivos fueron 2, 3, 1 y 5. Calcula: m + n + p + q.

14. El MCM de dos números es 22400 y en el cálculo del MCD de dichos números por divisiones sucesivas los cocientes respectivos fueron 2, 5 y 3. Calcula la suma de dichos números.

15. Al calcular el MCD por Euclides, de dos números pesi, los cocientes fueron 2, 3, 4 y 2. Calcula los números sabiendo que la segunda división se hizo por exceso.

PROPIEDADES

A. MCD(A, B, C) = d A = d x p ; B = d x q ;

C = d x r

Donde: p, q y r son pesi

MCM(A, B, C) = m b;aBm

Am ;

dCm

Donde: a, b y d son pesi.

B. Sólo para dos números.

Sean a y B

MCD(A, B) x MCM(A, B) = A x B

C. i. Si MCD(A, B, C) = d

MCD (An, Bn, Cn) = dn

MCDnd

nC

nB

nA ,,

ii. MCM(A, B, C) = m

Entonces MCM (Ak, Bk, Ck) = mk

MCM km

kC

kB

kA ,,

D. MCD(A, B, C) = MCD (MCD(A, B), C) =

MCM(A; MCD (B, C)

MCM(A, B, C) = MCM (MCM(A, B), C) =

MCM(A,MCM(B, C))

E. Si A= N - 1; B = N - 1; C = N - 1

1N)C,B,A(MCD ),,(MCD

16. Si: MCM (B, C) = 30030 y MCD (B, C) = 5

¿Cuántas parejas de números cumplen esta propiedad?

17. Si: MCM(A, B) x MCD(A, B) = 21060 además

65)B,A(MCD

)B,A(MCM . Calcula A y B

18. Si MCD (1524, N) = 127 donde N < 1524

¿Cuántos valores toma N?

19. Si MCD (3A, 24C) = 18N y MCD (2C, B) = 2N; calcula N si el MCD de A, 4B y 8C es 2100.

20. Calcula la suma de cifras del MCD de A y B, si A es el menor número cuya suma de cifras es 270 y B es también el menor número cuya suma de cifras es 405.

21. Dados A, B y C se sabe que MCD(A, B) = 30

MCD (B, C) = 198

¿Cuál es el MCD(A, B, C)?

22. Calcula A x B si MCM (42A, 6B) = 8064 y el MCD (77A, 11B) = 88

PRACTICA

01. Se tienen ladrillos de 12. 15. 25 cms. ¿Cuántos de estos ladrillos son necesarios para construir el cubo compacto más pequeño posible?

Rpta.: …………………………….

02. Halla: A. B, si:

MCM (42A; 6B) = 8064 MCD (77A; 11B) = 88 Rpta.: …………………………….

03. Al dividir 1015 y 666 entre “n” los restos respectivas fueron 7 y 18. Halla el mayor valor de “n”

Rpta.: …………………………….

04. Sabiendo que:

11)77;5( baaMCD

Halla MCM )4;2( ba

Rpta.: …………………………….

05. Se tienen las siguientes sucesiones: 3; 8; 13; 18;...... y 5; 12; 19; 26;....... ¿Cuál es el cuarto término común de ambas sucesiones?

Rpta.: …………………………….

06. Sabiendo que: MCD (45A; 72A) = 900; MCM (3B; 4B) = 1440 Halla: A + B

Rpta.: …………………………….

07. Una obra se compone de 2 tomos de 256 hojas el primero y 160 el segundo. Se desea encuadernarlos formando cuadernillos del mismo número de hojas, estando éste, comprendido entre 15 y 20. ¿Cuántos cuadernillos se formaron?

a) 16 b) 12 c) 8 d) 26 e) 22

08. Se han colocado postes, igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular cuyos lados miden 182, 234 y 260 metros respectivamente. Sabiendo que hay un poste en cada vértice y que la distancia entre cada poste está comprendida entre 4 y 20 metros. ¿Cuántos postes se colocaron?

a) 52 b) 26 c) 40 d) 51 e) 55

09. Un terreno que sirve de depósito para una fábrica está rodeado de una alambrada. El terreno es un rectángulo de 19040 cm de largo por 2720 cm de ancho. El cierre está sostenido por estacas distantes entre sí de 200 a 300 cm. de modo que haya una en cada esquina y en el medio de cada lado. ¿Cuántas estacas hay?

a) 80 b) 160 c) 70 d) 140 e) 120

10. Dos ciclistas recorren una pista circular uno de ellos da una vuelta completa en 64 s. y el otro en 72 s., suponiendo que los dos han partido simultáneamente y en sentido contrario de la misma línea. ¿Al cabo de cuántos segundos aproximadamente se hallarán por segunda vez juntos sobre la línea donde se encuentran por primera vez?

a) 33 b) 66 c) 34 d) 68 e) N.A

11. Un comerciante realiza dos ventas de frutas. Por 9750 soles las mandarinas y por 12350 soles las manzanas. Si las mandarinas y manzanas tienen el mismo precio y es el mayor posible. ¿Cuántas frutas vendió en total?

a) 26 b) 28 c) 36 d) 32 e) 34

12. Una línea de tranvía de 12 Km. de longitud está formada por rieles de 12 m. de largo. Se coloca postes telegráficos con 40 m. de intervalo.

¿Cuántas veces coinciden los postes con las uniones entre rieles, si existe un poste al extremo del primer riel?

a) 79 b) 149 c) 119 d) 99 e) 199

13. Se trata de formar un cubo de ladrillos cuyas dimensiones son 20 cm., 15 cm. y 6 cm. ¿Cuántos ladrillos son necesarios para formar el cubo más pequeño posible?

a) 100 b) 140 c) 120 d) 160 e) 180

14. Un empleado trabaja 5 días seguidos y descansa el sexto. Empieza su trabajo el lunes. ¿Cuántos días tienen que transcurrir para que le toque descansar un domingo?

a) 30 días b) 33 días c) 41 días d) 42 días e) 48 días

15. Para que un objeto que pesa más de 2000 grs. complete un peso de 10 kg. Se puede utilizar un número exacto de pesitas de 40, 50, 60 o 70 grs. ¿Cuál es el peso exacto del objeto?

a) 4,200 grs. b) 5,800 grs. c) 2,800 grs. d) 3,000 grs. e) 8,400 grs.

16. ¿Cuántos rectángulos de 24 cm x 15 cm se necesitan para formar el menor cuadrado posible?

a) 40 b) 20 c) 68 d) 45 e) 65

17. Se desean desocupar tres recipientes de 540, 480 y 360 litros de capacidad. ¿Cuál será la capacidad de otro recipiente, comprendido entre 15 y 30 litros, de modo que al extraer el contenido de los demás recipiente no sobre nada y se haga en el menor número de veces? Señalar el número total de extracciones.

a) 42 b) 54 c) 61 d) 69 e) 73

18. ¿Cuál es el menor número de baldosas de 34 x 18 cm. para construir un cuadrado de tal manera que el lado de dicho cuadrado esté comprendido entre 3 m y 10 m.?

a) 153 b) 612 c) 1377

d) 306 e) N.A

19. Tres reglas de 300 mm de longitud cada una, están uniformemente graduadas, la primera cada mm, la segunda cada 16/25 de mm y la tercera cada 18/23 de mm. Si se les hace coincidir en toda su extensión. ¿A qué distancia del origen coincidirán tres líneas de las reglas?

a) 100mm b) 144mm c) 300mm d) 0,50mm e) 50mm

20. ¿Cuántas losetas cuadradas como mínimo se necesitan para cubrir dos extensiones de terreno. Una rectangular de: 63 x 231 y la otra cuadrada de 147 de lado?

a) 82 b) 79 c) 78 d) 81 e) 80

ARITMÉTICA DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez

RAZONES Y PROPORCIONES RAZON A toda comparación entre dos cantidades la llamaremos razón.

Razón aritmética: si la comparación es por medio de una sustracción.

Razón geométrica: si la comparación es por medio de una división.

Donde: a : antecedente b : consecuente r : valor de la razón aritmética k : valor de la razón geométrica

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (S.R.G.E)

Donde: a, c, e ,g : son antecedentes b, d, f , h: son consecuentes y

k: constante de proporcionalidad PROPIEDADES:

Si 1

1

b

a

2

2

b

a...=

n

n

b

a... = k ; entonces:

I.

k

b...bb

a...aa

n21

n21 1

1

b

a

2

2

b

a...=

n

n

b

a

II. n

n21

n21 kb...bb

a...aa

n1

n1

b

a

n2

n2

b

a...=

nn

n

b

a

SERIES DE RAZONES GEOMÉTRICAS CONTINUAS

EQUIVALENTES

Observación:

ke

ek

ek

ek

ek

ek

ek

ek 2

2

3

3

4

PROPORCIÓN Es una igualdad de dos razones. Proporción Aritmética:

Cuando igualamos 2 razones aritméticas. Proporción geométrica:

Cuando igualamos 2 razones geométricas. Veamos ahora para las cantidades “a”, “b”, “c” y “d”. Donde:

a y d : términos extremos

b y c : términos medios 1ro. 2do. 3ro. 4to.

Términos: a b c d Si analizamos una proporción, que puede ser aritmética o geométrica, respecto a los términos medios podemos indicar que estas pueden ser diferentes en cuyo caso a la proporción le llamaremos discreta, o pueden ser iguales a la que llamaremos proporción continua. Entonces, veamos:

Proporción Aritmética

Proporción Geométrica

Dis

cret

a

a – b =c – d

(b c) En donde: d: cuarta

diferencial de a, b y c

cbd

c

b

a ;

En donde: d: cuarta proporcional

de a, b y c

Co

nti

nu

a

a – b = b – c En donde: c: tercera

diferencial de a y b

b: media

diferencial de a y c

c

b

b

a

En donde: c: tercera proporcional

de a y b b: media proporcional

de a y c

PRACTICA

01. Dos números enteros son entre sí como 2 es a 9. Halla la suma de los 2 números, sabiendo que su razón aritmética es 84.

a) 132 b) 121 c) 110 d) 144 e) 143

02. Las edades actuales de Ana y Maribel están en la relación de 6 a 7 respectivamente. Si dentro de 10 años sus edades sumaran 72 años, calcula la diferencia de sus edades estarán.

a) 5 b) 10 c) 4 d) 8 e) 3

03. Los sueldos que percibe un profesor jubilado y un profesor activo están en la relación de 7 a 15, respectivamente. Los gastos que realizan el profesor jubilado y el activo para los servicios básicos y pasajes suman S/.620. Si el resto es para

su alimentación, cuyo promedio por día es para ambos S/.16, halle el sueldo de un profesor jubilado.

a) s/.140 b) s/.420 c) s/.280 d) s/.210 e) s/.350

04. En una reunión, de cada 10 asistentes 6 son varones. Si luego llegan 40 varones cada uno con 2 chicas y de esta manera todos están en pareja, ¿cuántas mujeres había inicialmente?

a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 120

05. El peso de un tanque es al peso del agua que contiene como 3 es a 4. ¿Qué cantidad de agua hay que agregar para qué la relación sea de 1 a 2?

a) 2/3 de lo que hay b) La mitad de lo que hay c) 1/3 del agua que hay d) 2/5 del agua que hay e) 1/5 del agua que hay

06. El largo y el ancho de un rectángulo son entre sí como 9 es a 5, si su perímetro es 336 cm. Halla el área de dicho rectángulo.

a) 3240 cm2 b) 1620 cm2 c) 6480 cm2 d) 5420 cm2 e) 2710 cm2

07. La relación entre el número de pasajeros de 2 micros es 7 a 5. Si bajan 4 pasajeros de uno y se suben al otro, se igualan el número de pasajeros en ambos. ¿Cuántos pasajeros llevan entre ambos?

a) 54 b) 36 c) 72 d) 60 e) 48

08. Una panadería produce una cierta cantidad de panes, se realiza una venta y se observa que el número que se ha vendido es al número de panes que quedan como 1 es a 3, pero si se hubiera vendido 4000 panes más, la razón de panes vendidos a los que quedan sería de 3 es a 7. Halla la cantidad inicial de panes.

a) 40000 b) 20000 c) 60000 d) 50000 e) 80000

09. La edad de Juan es a la edad de Manuel como 4 es a 5, y la suma de sus edades es 99 años. Dentro de cuántos años la relación será de 5 a 6.

a) 9 años b) 13 años c) 7 años d) 11 años e) 15 años

10. Halla el mayor de 2 números que son entre sí como 5 es a 8; sabiendo que si a uno de ellos se le quita 8 unidades la nueva razón de los 2 números sería como 3 es a 8.

a) 88 b) 56 c) 32 d) 40 e) 48

11. Dos números están en la misma relación que 6 a 13, pero al sumarle 42 a uno y restarle 42 a la otra dicha relación se invierte. Halla el menor de dichos números.

a) 72 b) 36 c) 54 d) 48 e) 24

12. Lo que tiene María es a lo que tiene Lucía como 17 a 12, si la primera le diera S/. 84 a Lucía ésta tendría S/. 18 más que María. ¿Cuánto tiene María?

a) 340 b) 510 c) 680 d) 850 e) 580

Razón aritmética

Razón geométrica

a – b = r kb

a

Proporción Aritmética Proporción Geométrica

Dis

cret

a

a – b =c – d

(b c) En donde: d: cuarta diferencial de

a, b y c

cbd

c

b

a ;

En donde: d: cuarta

proporcional de a, b y c

Co

nti

nu

a

a – b = b – c

En donde: c: tercera diferencial de

a y b b: media diferencial de

a y c

c

b

b

a

En donde: c: tercera

proporcional de a y b

b: media proporcional de a y c

Proporción aritmética

Proporción geométrica

a – b = r c – d = r

dcba

kb

a ; k

d

c

d

c

b

a

kh

g

f

e

d

c

b

a

ke

d

d

c

c

b

b

a

13. Juan tiene 68 años y Pedro 40 años, hace cuántos años las edades fueron como 3 es a 7.

a) 18 b) 16 c) 14 d) 12 e) 19

14. A una fiesta concurren 400 personas entre hombres y mujeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego de 2 horas por cada 2 hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron?

a) 40 b) 180 c) 80 d) 90 e) 60

15. En una proporción geométrica continua de términos enteros, el término medio es 30. La suma de sus términos extremos es 87. Calcule el mayor de los términos.

a) 15 b) 30 c) 75 d) 80 e) 12

16. En una proporción geométrica de razón 12/20, los términos extremos están en la relación de 36 a 110, y la suma de los términos medios es 315.Calcule la suma de cifras del primer antecedente.

a) 9 b) 15 c) 18 d) 27 e) 16

17. En una proporción discreta, el segundo y el tercer término están en la relación de 7 a 9, respectivamente; además, la suma de los términos de la primera y segunda razón son 364 y 156, respectivamente. Calcule la suma de los términos extremos, si todos los términos son enteros. Dé como respuesta la suma de cifras.

a) 7 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

18. Las edades de tres hermanos forman una proporción continúa de constante entera. Si el valor de la razón aritmética de la mayor y menor edad es 18, ¿dentro de cuántos años sus edades sumarán 72 años?

a) 7 b) 8 c) 10 d) 12 e) 13

19. En una serie de 4 razones geométricas equivalentes continuas, se tiene que la suma de términos es a la suma de los consecuentes como 5 es a 3. Halle el mayor término, si la suma del primer antecedente y el segundo consecuente es 104.

a) 324 b) 405 c) 486 d) 567 e) 162

20. Si

16

4

22

nm

baba

n

b

m

a

Calcule la media proporcional más la media diferencial de a2 y b2

a) 20 b) 30 c) 32 d) 34 e) 36

Se sabe que a, b ∈ Z+ y

2

65

b

a

b

a

M– n=16. Calcule el menor valor de (a + b)

a) 9 b) 10 c) 13 d) 15 e) 16

21. Se cumple que:

d

c

c

b

b

a y

db

cba

db

ca

5

. Determine cuánto

vale a , si b+c2=192 a) 192 b) 184 c) 128 d) 256 e) 512

22. Se tiene una proporción geométrica continua de razón x/y, donde x ∈ Z+; y ∈ Z+; x < y. Si x + y = 8, calcule la menor diferencia positiva de los términos extremos.

a) 8 b) 32 c) 24 d) 16 e) 48

23. En una proporción aritmética continua, la diferencia de los extremos es 110, determina la razón de dicha proporción.

a) 36 b) 55 c) 64 d) 68 e) 72

24. La suma de la media diferencial de 28 y 12 con la cuarta diferencial de 18: 12 y 10 es igual a :

a) 18 b) 20 c) 24

d) 26 e) 30

25. Si kc

C

b

B

a

A además

256

kkk

kkk

cba

CBA

Calcula E = 33

33

cb

CB

ba

BA

a

AB

a) 86 b) 128 c) 96 d) 84 e) 82

26. Si

n

n

b

a

b

a

b

a ...

2

2

1

1

además n

naaa 2...21

n

nbbb 3...21

Halla H=

nnbbba )....(a )(a )( n2211

a) 5 b) 3 c) n2

d) n5 e)

3

2

27. Si

q

D

p

C

n

B

m

A y además:

(A+m) (B+n) (C+p)(D+q) = 50 625

Halla 44 mnpqABCD

a) 12 b) 25 c) 15 d) 35 e) 125

28. Si:

d

D

c

C

b

B

a

A . Además:

pq

CA

BD

bdab

dbca

D)(B )(

AC x

)(

))((4

4

Calcula el menor valor de p+q. a) 6 b) 7 c) 9 d) 5 e) 2

29. Si se cumple

f

e

d

c

b

a y

48p

f

n

d

m

b ; 27p

e

n

c

m

a

Halla: M =

fzdybx

ezcyax

a)

3

2 b)

5

9 c)

13

8

d)

4

3 e)

8

3

ARITMÉTICA DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez MAGNITUDES PROPORCIONALES

MAGNITUD: Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser medido. CANTIDAD: Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee 2 partes: valor numérico y unidad. Ejemplo:

MAGNITUD CANTIDAD

TIEMPO 200 hr

LONGITUD 12 mt

TEMPERATURA 28º C

PESO 35 kg

MAGNITUDES PROPORCIONALES Dos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas, entonces la otra también varía en la misma proporción. De acuerdo a la forma como se da la variación, las magnitudes proporcionales se clasifican en: Magnitudes Directamente Proporcionales. Magnitudes Inversamente Proporcionales. Magnitudes Directamente Proporcionales (D.P.) Dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan o disminuyen en la misma proporción. Notación:

A D.P B

A B Condición:

Si: A D.P B KB

A

Donde: K = Constante de Proporcionalidad.

Interpretación Geométrica

La gráfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Exceptuando el origen de coordenadas, se verifica:

Kb

a

b

a

b

a

b

a

n

n .....3

3

2

2

1

1

La función de proporcionalidad directa será: F(x) = KX Magnitudes Inversamente Proporcionales (I.P.) Dos magnitudes son inversamente proporcionales, cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma proporción. Notación:

A I.P. B

A -1 B

Condición: Si: A I.P. B A . B = K Interpretación Geométrica

La gráfica de 2 magnitudes I.P. es una rama de hipérbola equilátera.

Se verifica: a1 . b1 = a2 . b2 = . . . = an . bn = K

La función de proporcionalidad inversa será:

F(x) =

x

K

PROPIEDADES:

1. A D.P. B B D.P. A

2. C I.P. D D I.P. C

3. A D.P. B A I.P.

B

1 o

A I.P. B A D.P.

B

1

4. Si: A D.P. B B D.P. C A D.P. C

5. Si:

A

1 D.P.

B

1 A D.P. B

6. Si: A D.P. B (C es constante) A D.P. C (B es constante)

A D.P. BxC KCB

A

7. A I.P. B (C es constante) A I.P. C (B es constante)

A I.P. BxC A x B x C=K 8. N D.P. A N I.P. B N I.P. C N D.P. D N D.P. E 9. Cuando se tienen más de 2 magnitudes como: A, B, C

y D; se analizan dos a dos, tomando a una de ellas como referencia para el análisis y manteniendo a las otras en su valor constante.

A D.P. B (C y D constantes) A I.P. C (B y D constantes) A D.P. D (B y C constantes)

Aplicación en los Sistemas de Engranajes CASO I: Cuando están en contacto (engranan): El número de dientes es inversamente proporcional al número de vueltas. (#dA) . (#vA) = (#dB) . (#vB) Donde: #d : Número de dientes CASO II: Cuando están unidos por un eje común.

01. Indica en cuál de las siguientes ecuaciones, “y” no es directa ni inversamente proporcional a “x”.

A) x - y=0 B) x=5y C) 3xy=10 D) 3x+y=10 E) 2x-5y = 0

02. Dos cantidades son inversamente proporcionales a un tercero. ¿Cómo son entre sí estas cantidades?

A) Iguales B) Reciprocas C) Inversamente proporcionales D) Directamente proporcionales E) No se puede afirmar relación alguna 03. Si una cantidad A es proporcional al cociente de

otros dos: B y C, entonces B es inversamente proporcional a:

A) AC B) A/C C) 1/(AC) D) C/A E) (A+C)/(A–C) 04. Si: A es directamente proporcional a B. Halla: x+y

del gráfico. A

36 21 y

B 10 x 24

A) 29 B) 13 C) 10 D) 9 E) 6 05. “La elongación producida al estirar un resorte es

D.P a la fuerza aplicada a dicho resorte”, si se aplica una fuerza de 18N se produce una elongación de 6cm. ¿Qué fuerza debemos aplicar para que la elongación sea de 9cm?

A) 15 B) 12 C) 28 D) 27 E) 30 06. El gasto de una persona es D.P a su sueldo, siendo

el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo es de S/. 900 ahorra S/. 90. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de S/. 1 260?

A) 1 400 B) 1 600 C) 1 100 D) 1 220 E) 1350 07. Se sabe que A es D.P. a B2. ¿En cuántas veces

aumenta el valor de A, cuando B aumenta en su triple?

A) 16 B) 15 C) 3 D) 9 E) 12 08. Si A2 varía en forma directamente proporcional con

B3 y al mismo tiempo en forma inversamente proporcional con C, cuando A=3; B=2 y C=4. Halla

el valor C, cuando: 6A y 3 4B .

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 09. Dos mujeriegos empedernidos tienen ahora derecho

a pensiones, las mismas que son directamente proporcionales a las raíces cuadradas del número de enamoradas que tuvieron. Si el primero tuvo 24 enamoradas más que el segundo y sus pensiones están en relación de 91 a 65. ¿Cuántas enamoradas tuvo el segundo?

A) 24 B) 28 C) 25 D) 32 E) 19 10. Descomponer el número 91 en tres sumandos que

sean directamente proporcionales a los cuadrados de 2, 3 y 4, e inversamente proporcionales a los cubos de 2, 3 y 4. Dar como respuesta el mayor sumando.

A) 45 B) 44 C) 43 D) 42 E) 41 11. Al repartirse una cierta cantidad en partes

directamente proporcionales a los jornales de tres operarios que son: 60, 100 y 60 dólares, correspondió al segundo 10 dólares más que al primero. ¿Cuánto le corresponde al tercero en dólares?

A) 25 B) 15 C) 20 D) 60 E) 40

12. Sean dos magnitudes A y B tales que: A I.P. B (B

30); A D.P. B (B 30). Si A =6 cuando B=20. ¿Cuál será el valor de A, cuando B=60?

A)2 B) 4 C) 8 D) 3 E) 6

B

A

a3

a2

a1

b1 b2 b3

A.B = K

B

A

KB

A

a3

a2

a1

b1 b2 b3 B

A

A B

#vA = #vB

KDB

CA

.

.

N D.P. CB

EDA

ARITMÉTICA DOCENTE: Dr. Richard Herrera Álvarez

REGLA DE INTERÉS EJEMPLO ILUSTRATIVO: Jhony desea formar un negocio; pero requiere de cierta cantidad de dinero y para ello recurre a Jaime, quien le presta S/. 1,200 pero, Jhony observa que Jaime hará uso de ese dinero para obtener beneficios, además que el poder adquisitivo de su dinero no sea el mismo cuando este le sea devuelto. Entonces acuerdan que Jhony (deudor) devolverá a Jaime (acreedor). Luego de 6 meses, la suma de S/. 1500 Esquema:

I = 300

6 meses

Jaime prestó

a Jhony

S/. 1,200

a Jaime

Jhony devuelve

S/. 1,500

ELEMENTOS DE LA REGLA DE INTERES

INTERES. (I). Es la ganancia (utilidad ó beneficio) que se obtiene por cedes (prestar ó imponer) un bien, durante un determinado tiempo a ciertas condiciones.

En el ejemplo: I = S/. 300 EL CAPITAL Es lo que se presta o impone, pudiendo ser un bien (mercancía, maquinaria, etc). Generalmente, para nuestro estudio, el capital es dinero.

En el ejemplo: C = S/. 1,200 TIEMPO DE PRÉSTAMO O IMPOSICIÓN (T) Es el período en que permanece prestado o impuesto un capital, y durante el cual genera intereses.

En el ejemplo: t = 6 meses. CONSIDERACIONES ACERCA DEL TIEMPO. 1 año comercial tiene 360 días 1 mes comercial tiene 30 días 1 año común tiene 365 días 1 año bisiesto tiene 366 días TASA DE INTERÉS (r%) Llamado también rédito, nos indica que tanto por ciento del capital se obtiene como ganancia en un período de tiempo, para el ejemplo.

Si ganó S/. 300, que es el 25% del capital prestado, en el capital se impuso a una taza del 25% semestral.

NOTA: Tasas equivalentes: - 10 % mensual <> 120 % anual (1 año = 12 meses - 4 % bimestral <> 24 % anual (1 año = 6 bimestres) - 8% trimestral <> 32% anual (1 año = 4 trimestres) - 13% semestral <> 26% anual (1 año = 2 semestres)

Usualmente se trabaja con tasas siempre anuales.

MONTO. Es la cantidad total recibida del final del tiempo de imposición, y es igual a la suma del capital más el interés que genera.

Es decir: I C M

En el ejemplo: M = 1200 + 900 = 2100 CLASES DE INTERÉS

INTERES SIMPLE. Es cuando el interés, generado al cabo de cada período de tiempo, no se acumula al capital.

Esquema:

C : 800 5% (800) 5% (800) 5% (800) 5% (800)

3 meses 3 meses 3 meses 3 meses

Se observa que el interés total al finalizar el año es:

I = 4 x 5 % (800) = S/. 160 r % trimestral t (en trimestres)

Luego C . %.r t I

Donde “t” y “r %”, se deben expresar en las mismas unidades del tiempo.

El monto que se obtiene al final del año es: M = S/. 800 + S/. 160 = S/. 960 NOTA: En el interés simple, el interés es proporcionar al tiempo de préstamo, considerando una misma tasa y un mismo capital.

INTERES COMPUESTO.- Es cuando el interés que produce un capital, se acumula a dicho capital (se capitalizara) al cabo de cada intervalo de tiempo especificado, generando un nuevo capital para el siguiente intervalo de tiempo; a esto le llamamos proceso de capitalización.

Ejm: Inductivo Se impone S/. 5000 al 20% semestral capitalizable trimestralmente, durante 9 meses. Halla el interés y el monto. Resolución: C = S/. 5000 R % = 20% semestral < > 10% trimestral T = 9 meses < > 3 trimestres

10% (5000) 10% (5500) 10% (6050)

6 meses 6 meses 6 meses

S. 5000 5500 6050 6655

I (I semestre) = 500

I (2 semestres) = 1050

I (3 semestres) = 1655 Se observa que: - El monto al cabo del 1er trimestre 110 % (5000) = 5500 - El monto al cabo del 2do trimestre es: 110% 110 % (5000) = (110 %)2 (5000) = 6050 - El monto al cabo del 3er trimestre es: 110% 110% 110% (5000) = (110%)3 (5000) = 6655 Se deduce que:

Números de trimestres M = (1 + 10%)3 x (5000) Taza capital

Luego: c x r%) (1 M n

Donde “n” nos indica el número de período de capitalización contenido en el tiempo de préstamo de imposición.

NOTA: El período de capitalización determina las unidades de taza y tiempo que se debe utilizar necesariamente

El interés producido al final del año y medio es: I = M – C

I = 6655 – 5000 = S/. 1655

PRACTICA

01. Un artículo vale S/. 180 al contado. un comprador conviene en pagar S/. 80 como cuota inicial y el resto a 60 días con un recargo del 5% sobre el precio de contado. ¿Qué tasa de interés simple anual pagó?

a) 54% b) 52% c) 50% d) 48% e) 46%

02. Durante un número de meses igual al tanto por ciento a que estuvo impuesto un capital aumentó éste en su tercera parte. ¿Cuál fue el tanto por ciento?

a) 20% b) 25% c) 30% d) 15% e) 35%

03. Un capital de 15,000 es impuesto al 0,88% cada 8 días. ¿En cuánto se convierte después de 3 meses y 26 días?

a) S/.1,914 b) S/.16,914 c) S/.16,714 d) S/.15814 e) S/.19146

04. Los 2/3 de un capital se coloca al 6% durante 2 años. ¿A qué tanto por ciento se debe colocar el resto durante un año, para obtener un beneficio total de 17% de su capital?

a) 9% b) 15% c) 25% d) 27% e) 30%

05. Un señor divide su capital en tres partes iguales y las impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral respectivamente logrando una renta anual de 10000 soles.¿ Cuál era su capital en soles?

a) 25000 b) 75000 c) 60000 d) 300000 e) N.A

06. Los 4/9 de un capital se imponen al 12%, la cuarta parte del resto al 18% y lo que queda al 20% de interés simple, obteniéndose así una renta anual de 64020. ¿Cuánto fue el capital?

a) 396000 b) 386000 c) 379000 d) 369000 e) 368000

07. Dos capitales que son entre sí como 4 a 5 se colocan a interés simple, uno al 50% y el otro 20% luego de qué tiempo la relación de los montos es la inversa de la relación original de sus capitales.

a) 2 años b) 3 años c) 4 años d) 5 años e) 1 año

08. Tres años después de un prestamos se deberá, incluyendo intereses S/.3200 como a un año más de plazo al cabo de dicho préstamo se paga S/. 3400. ¿Cuál era la tasa de interés?

a) 7,69% b) 4,56% c) 1,23% d) 9,12% e) 7,28%

09. Dos capitales diferentes se depositan en el banco, ganando interés simple. El capital mayor al 4% y el menor al 6% luego de 3 años, los montos de ambos son iguales. Halla el capital menor si es menor en S/.300 que el otro capital.

a) 4000 b) 4700 c) 5600

d) 4400 e) 6000

10. ¿A qué tanto por ciento se colocó un capital que aumentado en los intereses de 14 meses se convirtió en S/. 164,800 y disminuido en los intereses de 20 meses al mismo tipo de tanto por ciento se convirtió en S/. 56 000?.

a) 56% b) 42% c) 36% d) 32% e) N.A

11. Si un capital se triplicase y el porcentaje se cuadruplicase, el interés en el mismo tiempo sería S/. 2200 mayor. ¿ Cuál es el interés original?

a) S/. 2000 b) S/. 1800 c) S/. 200 d) S/. 500 e) S/.1100

12. Dos capitales que suman 14800, se imponen a tasas que están en relación de 7 es a 5. Halla la diferencia de los capitales, sabiendo que al cabo de un tiempo, los intereses obtenidos están en razón inversa de las tasas.

a) 2800 b) 3200 c) 3600 d) 4200 e) 4800

13. Tres capitales que están en progresión aritmética, se colocan durante un año al 3%. El interés total producido es S/.189, la diferencia entre el tercero y el primer capital es de S/. 2400. Calcula el menor capital.

a) 800 b) 1000 c) 12000 d) 900 e) 1100

14. La razón aritmética de dos capitales es 1500 pesetas, se impone al mayor al 30% y el otro al 40% de interés simple, durante 18 meses, luego de este tiempo los montos son iguales. Calcular el capital menor.

a) 12500 b) 14500 c) 18500 d) 24500 e) 16500

15. Un capital se impone a interés simple a un Banco que paga 20 % bimestral pero si lo impone a una Mutual que le paga 45 % cuatrimestral, observa que en un año saldría perjudicado en 105 soles. Halla su capital, en soles.

a) 500 b) 600 c) 700 d) 900 e) 1000

16. El Sr. Marco luego de imponer un capital por un año 9 meses al 5%, los intereses producidos lo reparte entre sus tres ahijados, a uno de ellos le tocó los 3/7 y al segundo 4/11 y al tercero $ 64. ¿Cuánto fue el capital inicial de dicha persona?.

a) 3520 b) 4520 c) 2720 d) 8320 e) 3820

17. Un capital de S/. 00ab se impuso durante “a” y

produjo S/. 1992. Halla a+b, si la tasa es del b %. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

18. Una suma se dividió en partes iguales, imponiendo la primera al 1 % durante 1 mes, la segunda al 2 % durante 2 meses, la tercera al 3 % durante 3 meses y así sucesivamente hasta por 2 años, produciendo 1 225 soles de renta. ¿Cuál era la suma?

a) 7 000 b) 7 200 c) 7 500 d) 7 600 e) 8 000

19. Si un capital es prestado en 8 meses produce un interés que es igual al 25 % del monto producido. Durante cuántos meses se debe prestar el mismo

capital a la misma tasa para que produzca un interés que es igual al 50% del monto producido.

a) 13 meses b) 2 años c) 3 años d) 16 meses e) 5 años

20. Un capital está impuesto al 30% anual y un segundo capital al 50%. La suma de dichos capitales es 26000 soles. Si a los dos años el interés del primero es el doble que el segundo. halla el capital menor

a) S/.4000 b) S/.5000 c) S/.6000 d) S/.12000 e) N.a.

21. Calcula durante cuánto tiempo habría que colocar a un capital al 20% trimestral, para que el monto sea 5 veces el capital.

Rpta: ........

22. Un capital se presta a un determinado rédito. En 5 meses produce un monto de S/. 37800 y en 8 meses produce un monto de S/. 41400. ¿En cuánto tiempo se duplicaría el capital?

Rpta: ............

23. Los 2/5 de un capital se presenta al a% anual y el resto al b% anual. Si al cabo de un año los montos son iguales. Halle b/a sabiendo además que suman 100.

Rpta: ..............

24. Una persona coloca los 3/7 de su fortuna al 5% y el resto lo dividen en 2 partes, que coloca: la primera al 6% y la restante al 3%; obteniendo así una renta total de S/. 18600. Calcular al fortuna sabiendo que las 2 últimas partes producen igual interés.

Rpta: .............

25. A qué tasa anual debe imponer su dinero una persona, sabiendo que tiene S/. 1500 soles y que dentro de 8 meses, quiere comprar un artefacto que actualmente cuesta S/. 1800 y que al cabo de dicho tiempo aumentará en 21%.

Rpta: ..............

26. Un capital se impone a interés simple de la siguiente manera:

* El 25% al 40% anual

* El 30% al 30% semestral

* El resto al 20% trimestral

¿Al cabo de qué tiempo se habrá triplicado el capital?

Rpta: .............

27. Un capital se ha colocado al 30% durante “m” meses, al término del cual se retira la mitad del capital para colocarlo al 25% y el resto del monto se coloca al 15% y ambos durante “m” meses. Si al final se obtuvo los mismos beneficios en ambas partes. Calcular “m”.

Rpta: ............

28. Rocío coloca los 4/5 de su dinero al 6% durante 3 años y el resto lo impone a una tasa de 3% durante "“"”años. Si la suma de los intereses es 156 soles. Halle el capital de Rocío sabiendo además que “t” es menor que 5. Además el capital y “t” son enteros.

Rpta: .............