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Progressão Aritmética (PA)
Progressão Aritmética (PA) Complete pág. 13 Para o terceiro dia devemos somar 2.6 (duas vezes o número de 6 piscinas)ao número 45 (quantidade de piscinas do 1º dia) Para o quarto dia devemos somar 3.6 (três vezes o número de 6 piscinas)ao número 45 (quantidade de piscinas do 1º dia) Resposta: Sete vezes
Progressão Aritmética (PA) Complete pág. 13
Resposta: Devemos somar (n-1) vezes o número de 6 piscinas
A19=45+6.18=153 A30=45+6.29=219
(45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, ... ,219 )
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8
piscnas 45 51 57 63 69 75 81 87
Progressão Aritmética (PA) Denomina-se Progressão Aritmética (PA) qualquer sequência numérica na qual a diferença entre cada termo e o anterior é constante.
A diferença entre um termo qualquer e seu antecessor recebe o nome de razão e indicamos a razão com a letra r.
Em uma PA, quando r for positivo dizemos que a PA é crescente, quando r for negativo dizemos que a PA é decrescente e quando r for zero dizemos que a PA é constante.
Progressão Aritmética (PA)
Exemplos: (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...) r = 1 PA crescente
(2,3; 1,6; 0,9; 0,2; -0,5; -1,2; ...) r = - 0,7 PA decrescente
(3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) r = 0 PA constante
De uma maneira geral, os termos de uma PA são identificados pela letra a com um índice n, que indica a posição desse elemento na PA, por exemplo:
Uma PA genérica pode ser indicada da forma: 1 2 3 4 5, , , , ,...,n
a a a a a a
4 : 4 termo da PAa
Função Composta
Exemplo 1: Complete págs. 14 e 15.
O terceiro termo de uma progressão aritmética é 17 e o sétimo termo é 29. Qual é a razão dessa PA?
11 14 20 23 26
7 3 29 17 12
4 12
12
4
3
a a
r
r
r
Função Composta
Exemplo 1: Complete págs. 14 e 15.
Resposta: (29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56)
Resposta: (-7, -4, -1, 2, 5, 8, ... )
Resposta: (14; 15,6; 17,2; 18,8; 20,4; 22; ...)
Resposta: Exatamente isso. An = 45 + (n-1).6
Função Composta
Exemplo 1: Complete págs. 14 e 15.
1
1
23
23
23
23
45 6 23
( 1).
45 23 1 .6
45 22.6
45 132
177
n
a r n
a a n r
a
a
a
a
1 1 .n
a a n r
Termo Geral de uma PA
2 1
3 2
4 3
1 2
1
1
1
.
.
.
_____________
...
n n
n n
n
n parcelas
a a r
a a r
a a r
a a r
a a r
a a r r r r r
1
1
1 .
1 .
n
n
a a n r
a a n r
Exemplo 2 Dada a PA (1, 5, 9, ... ), determine
a) a razão dessa PA;
b) o 7° termo;
c) o 10° termo;
d) o termo geral.
7
7 1
7
7
7
) ?
(7 1).
1 6.4
1 24
25
b a
a a r
a
a
a
2 1
) ?
5 1
4
a r
r a a
r
r
10
10 1
10
10
10
) ?
(10 1).
1 9.4
1 36
37
c a
a a r
a
a
a
1
) ?
1 .
1 1 .4
1 4 4
4 3
n
n
n
n
n
d a
a a n r
a n
a n
a n
Progressão Aritmética e Função Afim A fórmula do termo geral de uma PA pode ser reescrita da forma abaixo de modo que possa ser comparada com a forma geral da função afim.
Assim, é possível afirmar que a fórmula do termo geral de uma PA, quando expressa em função de n, é uma função afim com domínio natural não nulo.
1
1
1
1
1 .
.
.
( ) e
( ) .
n
n
n
n
a a n r
a a r n r
a r n a r
fazendo
a f n r a a r b
temos
f n a n b
Exemplo 3 Represente graficamente a PA, dada por e a função
definida por .
PA Função f
3 1n
a n :f ( ) 3 1f x x
1 2
2 5
3 8
4 11
5 14
nn a( )
1 2
2 5
3 8
4 11
5 14
x f x
x
y
x
y
Exemplo 3 PA Função f
1 2
2 5
3 8
4 11
5 14
nn a( )
1 2
2 5
3 8
4 11
5 14
x f x
x
y
x
y
x
y
x
y
Exemplo 3 PA Função f
1 2
2 5
3 8
4 11
5 14
nn a( )
1 2
2 5
3 8
4 11
5 14
x f x
x
y
x
y
Exemplo 3 PA Função f
1 2
2 5
3 8
4 11
5 14
nn a( )
1 2
2 5
3 8
4 11
5 14
x f x
x
y
x
y
Exemplo 3 PA Função f
1 2
2 5
3 8
4 11
5 14
nn a( )
1 2
2 5
3 8
4 11
5 14
x f x
x
y
x
y
Exemplo 3 PA Função f
1 2
2 5
3 8
4 11
5 14
nn a( )
1 2
2 5
3 8
4 11
5 14
x f x
Interpolação Aritmética – Complete pág. 20
) (12,27,42,57,72,87,102,117)b1 8
8 1
) 12 117 8 ?
(8 1).
117 12 7.
105 7
15
a a a n r
a a r
r
r
r
27 42 57 72 87 102
Soma dos termos de uma PA – Complete pág. 21
1 10 10
10
10
10
) a a 42 5 42 ?
1042.
2
42.5
210
a somas S
S
S
S
42
42
42
42
42
Soma dos termos de uma PA – Complete pág. 22
a1+a11 48
a2+a10 48
a3+a9 48
a4+a8 48
a5+a7 48
a6 24
1 11 6 11
11
10
10
10
) 48 5 48 24 ?
1048. 24
2
48.5 48.0,5
48.5,5
264
a a a somas a S
S
S
S
S
Soma dos termos de uma PA – Complete pág. 22
Resposta: o termo central é igual a metade das somas
Resposta: É possível usar o mesmo raciocínio, pois o termo central é igual à metade da soma dos termos extremos.
Soma dos termos de uma PA
1
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1
1 2 1 3 2 2 3 1 2 1
1 1 1 1 1 1
...
...
______________________________
2 ...
2 ..
n
n n n n
n n n n
n n n n n n n
n n n n n n n
nparcelas a a
S a a a a a a
S a a a a a a
S a a a a a a a a a a a a
S a a a a a a a a a a a a
1
1
2 .
.
2
n n
n
n
S a a n
a a nS
Exemplo 4 Dada a PA (1, 5, 9, ... ), determine a soma dos:
a) 10 primeiros termos dessa PA;
b) 100 primeiros termos dessa PA;
c) n primeiros termos dessa PA.
10 10
10 1
10
10
10
) 4 ? ?
(10 1).
1 9.4
1 36
37
a r a S
a a r
a
a
a
1 10
10
10
10
10
.
2
1 37 .10
2
38.5
190
a a nS
S
S
S
Exemplo 4 b) 100 primeiros termos dessa PA;
c) n primeiros termos dessa PA.
100 100
100 1
100
100
100
) 4 ? ?
(100 1).
1 99.4
1 396
397
a r a S
a a r
a
a
a
) 4 ? ?n n
a r a S
1 100
100
100
100
100
.
2
1 397 .100
2
398.50
19.900
a a nS
S
S
S
Progressão Aritmética e Juros Simples o. . C: capital aplicado i: taxa centesimal de juros t: n de mesesJ C i t
. .
. 1 .
M C J
M C C i t
M C i t
Exemplo 5
5.000 0,02 2
5.000 0,02 4
5.000 0,02 7
C i n
C i n
C i n
Indicação de Vídeos sobre o Assunto Vídeo Aula sobre Sequências
https://www.youtube.com/watch?v=FHe-JwZc6nM&feature=youtu.be
Vídeo Aula sobre PA
https://www.youtube.com/watch?v=8VufblNd0c0&feature=youtu.be
Vídeo Aula sobre Soma dos n Primeiros Termos de uma PA
https://www.youtube.com/watch?v=hZikVu-VqNE&feature=youtu.be
Tarefa de Casa
Resolver as atividades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 das páginas 15, 16 e 17 da Apostila 2.
Resolver as atividades 1, 2, 3, 4, 5 e 6 das páginas 19 e 20 da Apostila 2.
Resolver as atividades 1, 2, 3, 4 e 5 da página 21 da Apostila 2.
Resolver as atividades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 das páginas 23 e 24 da Apostila 2.
Resolver as atividades 1, 2, 3, 4 e 5 das páginas 27 e 28 da Apostila 2.
FIM
