SELECCIN VBB 1-2 SECUNDARIAARITMETICA INTRODUCCIN Se puede decir que la Matemtica tom forma de ciencia en la antigua Mesopotamia, donde los sumerios crearon la escritura cuneiforme (3,200 a.C.) La civilizacin de Babilonia desarrollada en la antigua Caldea cre el sistema sexagesimal, aunque no conocan el cero utilizaban 2 smbolos =1 y = 10. Hasta que mucho tiempo despus aparecieron los sistemas de numeracin que utilizaban los dedos (decimal, quinario, duodecimal, vigesimal, etc). Pero podemos decir que recin en el siglo V d.C. se fraguaron los orgenes de nuestro sistema de numeracin (decimal). El principio de posicin; ocasion las nueve cifras y el cero aparece en la obra del matemtico indio Brahmagupta. Es decir, los hindes crearon las cifras 0, 1, 2, 3, ....., 9; pero fueron los rabes los que difundieron estos smbolos por Europa. NUMERACIN Parte de la aritmtica que se encarga de la forma correcta de expresar y representar a los nmeros. NMERO Es un ente matemtico que nos permite cuantificar a los objetos que nos rodean. NUMERAL Es la representacin simblica del nmero. Mayas : Romanos : I ; V ; X ; L ; C ; D ; M Hindes - rabes : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 Ejemplo : "Cinco" se puede representar as :; ; V ; ; 5 ; ; .... etc=1 ; = 5 ; = 20

4 3 2 8 1er. orden (unidades) 2do. orden (decenas) 3er. orden (centenas) 4to. orden (millares)

Observacin : Tambin podemos encontrar el lugar que ocupa una cifra y se toma de izquierda a derecha.4 3 2 8 4to. lugar 3er. lugar 2do. lugar 1er. lugar

2. DE LA BASE : Todo Sistema posicional de numeracin tiene una base, que es un nmero natural mayor que la unidad, el cual indica la cantidad de unidades necesarias para pasar de un orden al orden inmediato superior. En forma sencilla, la base nos indica la forma como debemos agrupar. 3. DE SUS CIFRAS : Las cifras son nmeros naturales que siempre son menores que la base. En base "n" las cifras pertenecen al conjunto : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...... ; (n - 1)} Observacin : Valor de sus cifrasVa : Valor Absoluto

VR : Valor Relativo

4 3 2 8

Va = 4 Va = 3 Va = 2 Va = 8 VR = 8 unidades VR = 2 decenas VR = 3 centenas VR = 4 millares

SISTEMA DE NUMERACIN Conjunto de reglas y principios convencionales para representar un nmero. PRINCIPIOS 1. DEL ORDEN : Toda cifra en un numeral, tiene orden, por convencin, se enumera de derecha a izquierda. Por ejemplo :

Algunos Sistemas Posicionales de NumeracinBase 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sistema Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal Cifras a utilizar 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

SELECCIN VBB 1-2 SECUNDARIAREPRESENTACIN NMERO LITERAL DE UN Otro mtodo : (Ruffini)2 1 3 2 + 12 78 486 13 81 488 Rpta

* Numeral de 2 cifras base 10ab {10 ; 11 ; 12 ; ..... ; 99}

6 2

* Numeral de 3 cifras base 5abc(5)

2. De base 10 a base n Ejemplo : Expresar 435 a base 7 "El mtodo consiste en dividir sucesivamente entre 7, los residuos que van quedando, indican las cifras del orden respectivo".435 7 1 62 6 7 8 7 1 1

{100(5) ; 101(5) ; 102(5) ; ... ; 444(5)}

NUMERAL CAPICA : Aquel cuyas cifras equidistantes de los extremos del numeral son iguales. Ejemplo : a ; aa ; aba ;abba

;

abcba

DESCOMPOSICIN POLINMICA Consiste en expresar un nmero como la suma de sus valores relativos Ejemplo :4326(7) = VR (4) + VR (3) + VR (2) + VR (6)4326(7) = 4 73 + 3 7 2 + 2 71 + 6 70

435 = 1161

7

3. De base n a base m(8) a base 9 Ejemplo : Expresar "El mtodo, consiste en expresar primero en base 10 y luego dicho resultado a base 9".

416

4

1+ 32

6 + 264 270

En general : numeral de "k" cifras de la base "n"N = a k 1a k 2a k 3 .... a 2a1a 0 (n)N = a k 1 n k 1 + a k 2 nk 2 + ... + a1 k1 + a 0

8

4 33

Luego 270 a base 9270 9 0 30 9 3 3

POR BLOQUES : Consiste en descomponer un numeral tomando convenientemente las cifras de 2 en 2, 3 en 3, etc. Ejemplos :ababab(n )

Observacin : "A mayor numeral aparente, menor base"

= ab

(n)

n4 + ab

(n)

n2 + ab

416 > 330 8 < 9(n)

Lmite de un numeral

N(n)

de "k" cifras

abcabc

(5)

= abc

(5)

53 + abc

(5)

nk 1 N(n) < nk

CAMBIO DE BASE 1. De base n a base 10(6) en base 10 Ejemplo : Expresar "El mtodo, consiste en descomponer polinmicamente el nmero"

Ejemplos :10 2 abc < 1032132

6 3 abcd

(6)

< 64

PROPIEDADES 1. Numeral de k cifras mximas= nk 1(n)

2132(6) = 2 6 3 + 1 6 2 + 3 6 + 2

2132(6) = 432 + 36 + 18 + 2Rpta2132(6) = 488

(n 1)(n 1)...(n 1)k cifras

Ejemplo :

777(8) = 8 3 1

SELECCIN VBB 1-2 SECUNDARIA1 10 11 0 11 10 1 ( 2)

2.1a 1 = a1 +a 2+a3 +....+a k +n 1a 2 1a 3 1a k(n)

Luego :11(2) = 1 2 + 1 = 3

011(2) = 1 2 + 1 = 3

101

(2)

= 1 4 + 1 = 5

Ejemplo :12 + = 2 + 3 + 4 +8 = 17 13 + + 14 (8)

Entonces : Rpta

11011011101

(2)

= 3335

(8)

3.ab ab k veces = a k n+ak-1b+ak-3b+....+a2b+a1b+b ab ab (n)

Ejercicio : * Convertir a base 9

2120110122(3)

k II. De base n a base n : Se toma cada una de

CAMBIO DE BASE DIRECTO Expresar133(1000 )

las cifras de la base n y se convierte a base n, tratando de obtener grupos de "k" cifras, si algn grupo no tiene "k" cifras se completa con ceros a la izquierda. Ejemplo :72416(8)3

k

en la base 1001.

* 1000 1001 = 11 1 1 1 1 3 1 2 1 17 2 1 3 2 1 1 111(2)

Base3 2 1

8=2

a base 2 a base 2

Cada una de las cifras de la base 8, se convierten a base 2.2 2 0 1 4 2 0 2 2 0 1 100(2)

133(1000 ) = 111(1001 )

010(2)

Por qu se puede aplicar el mtodo de Ruffini para realizar el cambio de base directo? Ejercicios : * Expresar * Expresar2531(5000 )

Luego :1 2 1 0 6 2 0 3 2 1 1 110(2)

en base 5002. 3001(2500 ) en base 2503.

001(2)

CASOS ESPECIALES DE CAMBIO DE BASE : I. De base n a base n : Se toma el numeral de la base "n" y se separa de derecha a izquierda grupos de "k" cifras. Enseguida, a cada grupo se aplica descomposicin polinmica. Ejemplo :11011011101(2)k

Ejercicio : Convertir a base 4 DESCOMPOSICIN POLINMICA PARA NMEROS POSITIVOS MENORES QUE LA UNIDAD

0 , a1a 2a 3 ..... a nEjemplos :

a = 1+ (k) k1

a2

a + 3 + ... + k2 k3

an kn

a base 8

* *

0,24(5) = 2 + 4 1 2 5 5

Resolucin : Base 2 a base 8 = 23

k

0,371(8) = 3 + 7 + 1 81 8 2 8 3