Aritmetická posloupnost (2.část)

VY_32_INOVACE_ 22-10

Opakování základních poznatků

o aritmetické posloupnosti:

Definice aritmetické posloupnosti.

O jakou funkci se v případě aritmetické posloupnosti jedná?

Co je jejím grafem?

Jak dokazujeme, že daná posloupnost je aritmetická?

Na čem a jak závisí, zda aritmetická posloupnost je

• rostoucí (klesající),

• omezená (omezená shora, omezená zdola)?

Kontrola výsledků domácího úkolu

a)Posloupnost není aritmetická, protože rozdíl

sousedních členů není konstantní.

b)Posloupnost je aritmetická. Platí, že

Protože diference d < 0, je posloupnost klesající,

omezená shora .

Vztahy mezi členy aritmetické posloupnosti

Pro všechna přirozená čísla n platí:

Vztah mezi sousedními členy

Vztah mezi prvním a n-tým členem

Vztah mezi libovolnými dvěma členy

, kde

Poznámka: Každý člen ( s výjimkou prvního) je aritmetickým průměrem svých sousedů, tedy

.

Úloha 1

V aritmetické posloupnosti je

a) Určeme této posloupnosti.

b) Zapišme tuto posloupnost vzorcem pro n-tý člen.

c) Určeme tuto posloupnost rekurentně.

Řešení úlohy 1

a) Využijeme vztahu

Člen pak určíme ze vzorce

Závěr:

Poznámka: Každá aritmetická posloupnost je jednoznačně určena svým prvním členem a diferencí .

b) Vzorec pro n-tý člen dané posloupnosti:

c) Rekurentní určení posloupnosti:

Úloha 2

Určeme aritmetické posloupnosti, ve které platí:

Řešení úlohy 2

Všechny členy v soustavě rovnic převedeme pomocí vztahu na a řešíme vzniklou soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých:

Závěr:

Úloha 3

Určeme počet všech čtyřciferných přirozených čísel dělitelných sedmi.

Řešení úlohy 3

Najdeme první čtyřciferné číslo dělitelné sedmi.

Najdeme poslední čtyřciferné číslo dělitelné sedmi.

Mezi každými dvěma sousedními čísly, která jsou dělitelná sedmi, je rozdíl 7.

Jedná se tedy o aritmetickou posloupnost:

Závěr: Čtyřciferných čísel dělitelných sedmi je 1286.

Samostatná práce

Určete aritmetické posloupnosti, ve které platí:

Zjistěte, kolikátý člen této posloupnosti má hodnotu větší než 100.

Kontrola výsledků samostatné práce

Nyní máme určit, pro které n platí, že Odvodíme vztah pro n-tý člen:

Potom platí, že

Závěr: Od 26.členu posloupnosti jsou všechny členy větší než 100.

Domácí úkol

1.Mezi kořeny logaritmické rovnice

vložte tři čísla tak, aby spolu s těmito kořeny tvořila prvních pět členů aritmetické posloupnosti. Určete vložená čísla.

2.Najděte klesající aritmetickou posloupnost, v níž je součet prvních dvou členů 20 a rozdíl jejich druhých mocnin je 80. Tuto posloupnost zapište vzorcem pro n-tý člen.

Děkuji za pozornost.

Autor DUM: RNDr. Ivana Janů

Autor příkladů: RNDr. Ivana Janů