Aritmetika - sekunda - student21.gjwprostejov.czstudent21.gjwprostejov.cz/uploads/NG01 Aritmetika - sekunda.pdf · 2 Aritmetika sekunda Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá

ARITMETIKA - SEKUNDA

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově

Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia

Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve

vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2009

2 Aritmetika sekunda

Úvod

Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny

střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina:

Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

Aritmetika - sekunda 3

Obsah Zlomky ..................................................................................................................................... 10

Celek a jeho část ................................................................................................................... 10

Celek a jeho část ............................................................................................................... 13

Varianta A ........................................................................................................................ 13

Celek a jeho část ............................................................................................................... 14

Varianta B ........................................................................................................................ 14

Celek a jeho část ............................................................................................................... 16

Varianta C ........................................................................................................................ 16

Zlomky ..................................................................................................................................... 18

Zlomky na číselné ose .......................................................................................................... 18

Zlomky na číselné ose ...................................................................................................... 19

Varianta A ........................................................................................................................ 19


Varianta B ........................................................................................................................ 21


Varianta C ........................................................................................................................ 22

Zlomky ..................................................................................................................................... 23

Rozšiřování zlomků .............................................................................................................. 23

Rozšiřování zlomků .......................................................................................................... 24

Varianta A ........................................................................................................................ 24


Varianta B ........................................................................................................................ 25


Varianta C ........................................................................................................................ 26

Zlomky ..................................................................................................................................... 27

Krácení zlomků .................................................................................................................... 27


Krácení zlomků ................................................................................................................ 28

Varianta A ........................................................................................................................ 28

Krácení zlomků ................................................................................................................ 29

Varianta B ........................................................................................................................ 29

Krácení zlomků ................................................................................................................ 30

Varianta C ........................................................................................................................ 30

Zlomky ..................................................................................................................................... 31

Porovnávání zlomků ............................................................................................................. 31

Porovnávání zlomků ......................................................................................................... 33

Varianta A ........................................................................................................................ 33


Varianta B ........................................................................................................................ 35


Varianta C ........................................................................................................................ 36

Zlomky ..................................................................................................................................... 38

Zlomky, desetinná čísla a smíšená čísla ............................................................................... 38

Zlomky, desetinná čísla a smíšená čísla ........................................................................... 39

Variant A .......................................................................................................................... 39


Variant B .......................................................................................................................... 40


Variant C .......................................................................................................................... 41

Počítáme se zlomky .................................................................................................................. 42

Sčítání zlomků ...................................................................................................................... 42

Sčítání zlomků .................................................................................................................. 43

Varianta A ........................................................................................................................ 43

Sčítání zlomků .................................................................................................................. 44


Varianta B ........................................................................................................................ 44

Sčítání zlomků .................................................................................................................. 45

Varianta C ........................................................................................................................ 45


Odčítání zlomků ................................................................................................................... 46

Odčítání zlomků ............................................................................................................... 47

Varianta A ........................................................................................................................ 47

Odčítání zlomků ............................................................................................................... 48

Varianta B ........................................................................................................................ 48

Odčítání zlomků ............................................................................................................... 49

Varianta C ........................................................................................................................ 49


Násobení zlomků .................................................................................................................. 50

Násobení zlomků .............................................................................................................. 51

Varianta A ........................................................................................................................ 51

Násobení zlomků .............................................................................................................. 53

Varianta B ........................................................................................................................ 53

Násobení zlomků .............................................................................................................. 54

Varianta C ........................................................................................................................ 54


Dělení zlomků ...................................................................................................................... 55

Dělení zlomků .................................................................................................................. 56

Varianta A ........................................................................................................................ 56

Dělení zlomků .................................................................................................................. 57

Varianta B ........................................................................................................................ 57

Dělení zlomků .................................................................................................................. 58

Varianta C ........................................................................................................................ 58


Celá čísla .................................................................................................................................. 59

Celá čísla a jejich znázornění ............................................................................................... 59

Celá čísla a jejich znázornění ........................................................................................... 60

Varianta A ........................................................................................................................ 60


Varianta B ........................................................................................................................ 62


Varianta C ........................................................................................................................ 64

Celá čísla .................................................................................................................................. 65

Absolutní hodnota celého čísla ............................................................................................ 65

Absolutní hodnota celého čísla ........................................................................................ 66

Varianta A ........................................................................................................................ 66


Varianta B ........................................................................................................................ 67


Varianta C ........................................................................................................................ 68

Celá čísla .................................................................................................................................. 69

Porovnávání celých čísel ...................................................................................................... 69

Porovnávání celých čísel .................................................................................................. 70

Varianta A ........................................................................................................................ 70


Varianta B ........................................................................................................................ 71


Varianta C ........................................................................................................................ 73

Počítáme s celými čísly ............................................................................................................ 74

Sčítání celých čísel ............................................................................................................... 74

Sčítání celých čísel ........................................................................................................... 77


Varianta A ........................................................................................................................ 77


Varianta B ........................................................................................................................ 78


Varianta C ........................................................................................................................ 79


Odčítání celých čísel ............................................................................................................ 80

Odčítání celých čísel ........................................................................................................ 81

Varianta A ........................................................................................................................ 81


Varianta B ........................................................................................................................ 82


Varianta C ........................................................................................................................ 83


Násobení celých čísel ........................................................................................................... 84

Násobení celých čísel ....................................................................................................... 86

Varianta A ........................................................................................................................ 86


Varianta B ........................................................................................................................ 87


Varianta C ........................................................................................................................ 88


Dělení celých čísel ............................................................................................................... 89

Dělení celých čísel ........................................................................................................... 90

Varianta A ........................................................................................................................ 90


Varianta B ........................................................................................................................ 91



Varianta C ........................................................................................................................ 92

Racionální čísla ........................................................................................................................ 93

Záporná desetinná čísla a záporné zlomky ........................................................................... 93

Záporná desetinná čísla a záporné zlomky ....................................................................... 95

Varianta A ........................................................................................................................ 95


Varianta B ........................................................................................................................ 97


Varianta C ........................................................................................................................ 98

Racionální čísla ........................................................................................................................ 99

Porovnávání racionálních čísel ............................................................................................. 99

Porovnávání racionálních čísel ....................................................................................... 100

Varianta A ...................................................................................................................... 100


Varianta B ...................................................................................................................... 101


Varianta C ...................................................................................................................... 103

Racionální čísla ...................................................................................................................... 104

Sčítání a odčítání racionálních čísel ................................................................................... 104

Sčítání a odčítání racionálních čísel ............................................................................... 106

Varianta A ...................................................................................................................... 106


Varianta B ...................................................................................................................... 107


Varianta C ...................................................................................................................... 108

Racionální čísla ...................................................................................................................... 109


Násobení a dělení racionálních čísel .................................................................................. 109

Násobení a dělení racionálních čísel .............................................................................. 110

Varianta A ...................................................................................................................... 110


Varianta B ...................................................................................................................... 111


Varianta C ...................................................................................................................... 112


Zlomky

Celek a jeho část

Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek obsahuje čitatele a jmenovatele,

kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou.

Zlomek pět třináctin (pět lomeno třinácti)

5 čitatel

zlomková čára

13 jmenovatel

Jmenovatel zlomku udává, na kolik stejných částí je celek rozdělen.

Čitatel sděluje, kolik těchto částí zlomek obsahuje.

Zlomek nám vyjadřuje část celku. Jeho hodnota je rovna nule, pokud je čitatel zlomku roven

nula, a jmenovatel je nenulový.


Úloha 1:

Zapiš zlomkem, jaká část celku je vybarvena a jaká část vybarvena není na obrázku.

Vybarveno

Nevybarveno

Vybarveno

Nevybarveno

Vybarveno

Nevybarveno

Vybarveno

Nevybarveno


V žádném zlomku nesmí být jmenovatel roven nule! Takovýto zlomek nemá smysl!!

8

0

Zlomek, který má stejného čitatele a jmenovatele, se rovná jedné.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Celek a jeho část

Varianta A

Zapište jako zlomky: čtyři pětiny, šest sedmin, dvě devítiny, jedenáct třetin, osm patnáctin,

čtrnáct dvacetitřetin.

Výsledek řešení:

čtyři pětiny

šest sedmin

dvě devítiny

jedenáct třetin

osm patnáctin

čtrnáct dvaceti třetin

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Zapište jako zlomky: tři osminy, dvě devítiny, deset třetin, patnáct dvaceti osmin, dvanáct

sedmnáctin, padesát osmdesáti třetin. [

]

2) Zapište jako zlomky: dvě sedminy, pět polovin, jedenáct patnáctin, čtrnáct jedenáctin,

sedmnáct dvaceti čtvrtin, třicet šest šedesáti pětin. [

]

3) Zapište slovy zlomky:

[ pět šestin, tři čtvrtiny, třináct pětin, sedmnáct dvaceti pětin, dvacet čtyři devatenáctin,

devadesát osm stotřiceti osmin]

4) Zapište slovy zlomky:

[ jedna sedmina, čtyři poloviny, osmnáct šestnáctin, deset dvaceti jednin, čtyřicet tři dvacetin,

osmdesát sedm stočtyřicet dvoutin ]


Celek a jeho část

Varianta B

Vypočtěte:


Celek je 8, a jeho jedna čtvrtina je 2.

Celek je 42, a jeho jedna šestina je 7, a pět šestin je 35.

Celek je 90, a jeho jedna šestina je 15, čtyři šestiny je 60.

Celek je 60, a jeho jedna dvanáctina je 5, jedenáct dvanáctin je 55.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



1) Vypočtěte: a)

b)

c)

d)

[a) 13, b) 56, c) 110, d) 28 ]

2) Vypočtěte: a)

b)

c)

d)

[a) 16, b) 34, c) 100, d) 189]

3) Vypočtěte: a)

b)

c)

d)

[a) 35, b) 66, c) 85, d) 276]

4) Vypočtěte: a)

b)

c)

d)

[a) 625, b) 40, c) 48, d) 378]


Celek a jeho část

Varianta C

Zapište zlomkem, jakou částí stokoruny jsou

a) 4 dvacetikoruny

b) 3 desetikoruny

c) 17 pětikorun

d) 38 dvoukorun


Celek je 100, a jeho 4 dvacetikoruny jsou

Celek je 100, a jeho 3 desetikoruny jsou

Celek je 100, a jeho 17 pětikorun jsou

Celek je 100, a jeho 38 dvoukorun jsou

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



1) Vyjádřete zlomkem, jakou částí minuty je 20 sekund, 15 sekund, 35 sekund, 56 sekund.

[

]

2) Vyjádřete zlomkem, jakou částí metru je 120 mm, 25 cm, 7 dm.

[

]

3) Vyjádřete zlomkem, jakou částí metru je 670 mm, 48 cm, 9 dm.

[

]

4) Ve třídě je 38 žáků, z toho je

dívek. Kolik je ve třídě chlapců a kolik dívek?

[20 dívek, 18 chlapců]


Zlomky

Zlomky na číselné ose

Zlomek je způsob zápisu čísla. Každé číslo můžeme znázornit na číselné ose, proto i zlomky

znázorňujeme na číselné ose.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

0 1 2 3



Varianta A

Na číselné ose je pomocí bodů A až F znázorněno šest zlomků. Zapiš je.


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

0 1 2 3 F E A B D C



1) Na číselné ose je pomocí bodů A až F znázorněno šest zlomků. Zapiš je.

[

]


[

]


[

]


[

]

0 1 2 3

D

B

C F A E

0 1 2 3

D

B

C

F

A

E

0 1 2 3

D

B C F

A

E

0 1 2 3

D

B C F

A

E



Varianta B

Překresli na číselnou osu tyto zlomky:


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Překresli na číselnou osu tyto zlomky:




0 1 2 3 F E A B D

C



Varianta C

V noční směně pracuje 112 dělníků, to je

všech zaměstnanců závodu. Kolik zaměstnanců

má závod?


112 …

všech dělníků … x

112 dělníku je čtvrtina všech zaměstnanců. Celek tvoří 4 čtvrtiny.

Závod má 448 dělníků.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Na výlet ujeli žáci 230 km, z toho

vlakem a zbytek autobusem. Kolik kilometrů jeli žáci

vlakem a kolik autobusem? [184 km vlakem, 46 km autobusem]

2) Když jsme ušli 3 km, vykonali jsme

cesty. Kolik kilometrů máme ještě do cíle a kolik

kilometrů musíme celkem ujít? [12 km do cíle, 15 km]

3) Veronika napsala 6 příkladů, měla tři čtvrtiny domácího úkolu. Kolik příkladů měla celkem

vypočítat? [8 příkladů]

4) Pan učitel opravil již 14 sešitů a zbývá mu opravit ještě dvě třetiny všech sešitů. Kolik

sešitů celkem opravuje? [42 sešitů]


Zlomky

Rozšiřování zlomků

Zlomky

vyjadřují stejnou část celku.

Velikost těchto zlomků je stále stejná.

Říkáme, že se zlomky

sobě rovnají, nebo že mají stejnou hodnotu.

Rozšiřování zlomku

Zlomek rozšíříme, když čitatele i jmenovatele zlomku vynásobíme stejným přirozeným

číslem.

Zlomek

rozšiřujeme:

Dvěma:

Třemi:

Čtyřmi:

Pěti:

Hodnota zlomku se při jeho rozšiřování nezmění.

Převádění zlomků na společné jmenovatele:

Převeďte zlomky

a

na společného jmenovatele, kterým bude číslo 28.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Rozšiřte zlomek

číslem:

a) 3 b) 8 c) 15 d) 120 e) 65


a)

b)

c)

d)

e)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Rozšiřte zlomek

číslem:

a) 5 b) 7 c) 14 d) 100 e) 50

[

]

2) Rozšiřte zlomek

číslem:

a) 4 b) 9 c) 11 d) 150 e) 500

[

]

3) Rozšiřte zlomky

číslem 6. [

]

4) Rozšiřte zlomky

číslem 4. [

]



Varianta B

Doplňte čitatele nebo jmenovatele zlomku tak, aby platila rovnost.


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Doplňte čitatele nebo jmenovatele zlomku tak, aby platila rovnost.

[

]


[

]


[

]


[

]



Varianta C

Převeďte zlomky na společné jmenovatele uvedeného v závorce.


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Převeďte zlomky na společné jmenovatele uvedeného v závorce.

[

]


[

]


[

]


[

]


Zlomky

Krácení zlomků

Zlomek krátíme, když čitatele i jmenovatele zlomku vydělíme stejným přirozeným číslem,

které je společným dělitelem čitatele i jmenovatele.

Zlomek

krátíme

Dvěma:

Třemi:

Čtyřmi:

Hodnota zlomku se při jeho krácení nezmění.

Krácení zlomku je opačný proces k rozšiřování zlomku.

Zlomek v ZÁKLADNÍM TVARU

Je zlomek, jehož čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná čísla. (přirozená čísla, jejichž největší

společný dělitel je 1)

Každé přirozené číslo můžeme napsat jako zlomek se jmenovatelem 1.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Krácení zlomků

Varianta A

Krať čtyřmi tyto zlomky:

a)

b)

c)

d)


a)

b)

c)

d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Krať třemi tyto zlomky:

a)

b)

c)

d)

[

]

2) Krať pěti tyto zlomky:

a)

b)

c)

d)

[

]

3) Krať devíti tyto zlomky:

a)

b)

c)

d)

[

]

4) Krať sedmi tyto zlomky:

a)

b)

c)

d)

[

]


Krácení zlomků

Varianta B

Kraťte zlomek na základní tvar.


Nejprve rozložíme čitatele a jmenovatele na součin prvočísel. Tato prvočísla v čitateli a

jmenovateli můžeme mezi sebou krátit.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Kraťte zlomek na základní tvar.

[

]


[

]


[

]


[

]


Krácení zlomků

Varianta C

Upravte zlomky tak, aby všechny tři měly společného jmenovatele:


Hledáme nejmenší společný násobek čísel ve jmenovateli

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Upravte zlomky tak, aby všechny tři měly společného jmenovatele:

[

]


[

]


[

]


[

]


Zlomky

Porovnávání zlomků

Porovnávání zlomků se stejnými jmenovateli:

Ze dvou zlomků se stejnými jmenovateli je větší ten, který má většího čitatele.

Například:

Menší zlomek je na číselné ose znázorněn vlevo od většího zlomku.

Porovnávání zlomků s různými jmenovateli:

1) převedeme zlomky na společného jmenovatele

2) porovnáme tyto rozšířené zlomky se stejným jmenovatelem (porovnáme čitatele zlomků)

3) stejná nerovnost platí mezi původními zlomky

0 1 2


Úloha 2:

Porovnejte tyto dva zlomky:

1)

2)

3)

Je-li čitatel zlomku větší než jeho jmenovatel, je zlomek větší než 1.

Je-li čitatel zlomku menší než jeho jmenovatel, je zlomek menší než 1.

Ze zlomků se stejnými čitateli je menší ten, který má většího jmenovatele.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Který ze zlomků je větší?


Pokud mají zlomky stejného jmenovatele, porovnáváme jejich čitatele, jestliže je čitatel větší,

je výsledný zlomek větší.

Pokud mají zlomky stejného čitatele, pak porovnáváme jmenovatele, jestliže je jmenovatel

větší, je výsledný zlomek menší.

Před porovnáváním zlomků je nejlepší zlomky zkrátit na základní tvar, velikost takových

zlomků se nemění.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



1) Porovnejte zlomky:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]



Varianta B

Porovnejte zlomky:


Při porovnávání zlomků, které jsou v základním tvaru, s různým čitatelem i jmenovatelem,

převádíme zlomky na společného jmenovatele a porovnáváme čitatele.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]



Varianta C

Uspořádejte zlomky podle velikosti:


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Uspořádejte zlomky podle velikosti:

[

]


[

]



[

]


[

]


Zlomky

Zlomky, desetinná čísla a smíšená čísla

DESETINNÉ ZLOMKY

Jsou to zlomky se jmenovatelem 10, 100, 1 000, 10 000, …

Například:

Jestliže chceme vyjádřit zlomek desetinným číslem, pak jej převedeme na desetinný zlomek a

ten zapíšeme jako desetinné číslo.

Nebo vydělíme čitatele jmenovatelem.

Úloha 3:

Převeď na desetinné číslo zlomek

.

1)

2)

SMÍŠENÁ ČÍSLA

Jsou to čísla, která jsou zapsána pomocí přirozeného čísla a zlomku menšího než 1.

- čtyři a jedna třetina

- šest a dvě pětiny

- dvacet jedna a jedna osmina

Smíšená čísla jsou zkratky pro zápis:



Variant A

Napište na místa písmen číslice:


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Napište na místa písmen číslice:

2) Napište na místa písmen číslice:

3) Převeďte desetinný zlomek na desetinné číslo:

a)

b)

c)

d)

[a) b) c) d) ]

4) Převeďte desetinný zlomek na desetinné číslo:

a)

b)

c)

d)

[a) b) c) d) ]



Variant B

Převeďte zlomek na desetinné číslo:


Zlomek můžeme zkrátit na základní tvar a vydělit mezi sebou čitatele a jmenovatele. Nebo

zlomek převedeme na desetinný zlomek, který převedeme na desetinné číslo.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Převeďte zlomek na desetinné číslo:

a)

b)

[a) b) ]


a)

b)

[a) b) ]


a)

b)

[a) b) ]


a)

b)

[a) b) ]



Variant C

Vyjádřete smíšené číslo zlomkem.

Vyjádřete pomocí smíšeného čísla.


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vyjádřete smíšené číslo zlomkem.

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

2) Vyjádřete smíšené číslo zlomkem.

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

3) Vyjádřete pomocí smíšeného čísla.

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

4) Vyjádřete pomocí smíšeného čísla.

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

42 Aritmetika - sekunda

Počítáme se zlomky

Sčítání zlomků

Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli:

Zlomky se stejnými jmenovateli sčítáme tak, že sečteme jejich čitatele a jmenovatele

opíšeme.

Sčítání zlomků s různými jmenovateli:

Zlomky s různými jmenovateli sčítáme takto:

1) převedeme je na společného jmenovatele

2) takto upravené zlomky se stejnými jmenovateli sečteme.

Pokud není součet zlomků v základním tvaru, pak zlomek krátíme!!

Při sčítání zlomků s různými jmenovateli, převádíme zlomky na společného jmenovatele,

který může být jakýkoliv, nejlépe však, když je to NEJMENŠÍ SPOLEČNÝ NÁSOBEK.

+

=


Sčítání zlomků

Varianta A

Sečti zlomky:

a)

b)

c)


Zlomky se stejným jmenovatelem sčítáme tak, že čitatele sečteme a jmenovatele opíšeme.

a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Sečti zlomky:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

2) Sečti zlomky:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

3) Sečti zlomky a výsledky převeď na smíšená čísla:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


Sčítání zlomků

Varianta B

Sečti zlomky:

a)

b)

c)


Zlomky s různým jmenovatelem sčítáme tak, že zlomky převedeme na společného

jmenovatele a čitatele sečteme.

a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Sečti zlomky:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

2) Sečti zlomky:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


Sčítání zlomků

Varianta C

Sečti zlomky:

a)

b)

c)


a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Sečti zlomky:

a)

b)

[a)

b)

]

2) Sečti zlomky:

a)

b)

[a)

b)

]

3) Sečti zlomky:

a)

b)

[a)

b)

]

4) Sečti zlomky:

a)

b)

[a)

b)

]



Odčítání zlomků

Odčítání zlomků se stejnými jmenovateli:

Zlomky se stejnými jmenovateli odčítáme tak, že odečteme jejich čitatele a jmenovatele

opíšeme.

Odčítání zlomků s různými jmenovateli:

Zlomky s různými jmenovateli odčítáme takto:

1) převedeme je na společného jmenovatele

2) takto upravené zlomky se stejnými jmenovateli odečteme

Pokud není součet zlomků v základním tvaru, pak zlomek krátíme!!

Při odčítání zlomků s různými jmenovateli, převádíme zlomky na společného jmenovatele,

který může být jakýkoliv, nejlépe však, když je to NEJMENŠÍ SPOLEČNÝ NÁSOBEK.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

-

=



Varianta A

Odečti zlomky:

a)

b)

c)


Zlomky se stejným jmenovatelem odečítáme tak, že čitatele odečteme a jmenovatele opíšeme.

a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Odečti zlomky:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

2) Odečti zlomky:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

3) Odečti zlomky a výsledky převeď na smíšená čísla:

a)

b)

c)

[a)

b)

c) ]


a)

b)

c)

[a) b)

c)

]



Varianta B

Odečti zlomky:

a)

b)

c)


Zlomky s různým jmenovatelem odčítáme tak, že zlomky převedeme na společného

jmenovatele a čitatele odečteme.

a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Odečti zlomky:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

2) Odečti zlomky:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]



Varianta C

Odečti zlomky:

a)

b)

c)


a)

a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Odečti zlomky:

a)

b)

[a)

b)

]

2) Odečti zlomky:

a)

b)

[a)

b)

]

3) Odečti zlomky:

a)

b)

[a)

b)

]

4) Odečti zlomky:

a)

b)

[a)

b)

]



Násobení zlomků

NÁSOBENÍ zlomku přirozeným číslem:

Zlomek vynásobíme přirozeným číslem tak, že tímto číslem vynásobíme čitatele a

jmenovatele opíšeme.

NÁSOBENÍ zlomku zlomkem:

Zlomek vynásobíme zlomkem tak, že vynásobíme čitatele čitatelem a jmenovatele

jmenovatelem.

Při násobení zlomku smíme krátit.

Při násobení můžeme krátit zlomky už před násobením.

Násobit můžeme libovolné množství zlomků.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Násobení zlomků

Varianta A

Určete:


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Určete:

a)

b)

c)

d)

[a) b)

c) d)

]

2) Určete:

a)

b)

c)

d)

[a) b)

c) d)

]


3) Vynásobte:

a)

b)

c)

d)

[a)

b)

c)

d)

]

4) Vynásobte:

a)

b)

c)

d)

[a)

b) c)

d)

]


Násobení zlomků

Varianta B

Vypočítej:

a)

b)

c)

d)


a)

b)

c)

d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a)

b)

c)

d)

[a)

b) c)

d)

]

2) Vypočítej:

a)

b)

c)

d)

[a)

b)

c)

d)

]

3) Vypočítej:

a)

b)

c)

d)

[a)

b)

c)

d) ]

4) Vypočítej:

a)

b)

c)

d)

[a)

b) c)

d) ]


Násobení zlomků

Varianta C

Anička měla 175 Kč. V prodejně potravin zaplatila

z těchto peněz. V papírnictví utratila

jednu třetinu ze zbytku. Kolik korun jí zůstalo?


Aničce zůstalo 50 korun.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Stroj byl v chodu po dobu

osmihodinové pracovní doby. Jak dlouho byl stroj v chodu?

[7,2h. = 7h.12min.]

2) Pan Novák jede na služební cestu, když ujede

z cesty 244 km dlouhé. Jak velký úsek

služební cesty v km má pan Novák za sebou? [183 km]

3) V mateřské škole je 45 dětí. Každé dítě vypije denně

mléka dopoledne a

mléka

odpoledne. Kolik mléka spotřebují denně v mateřské škole? [14 l a 625 ml]

4) Vypočítejte, o kolik čtverečných centimetrů je větší obsah čtverce se stranou délky

než obsah obdélníku s rozměry

a

. [

]



Dělení zlomků

PŘEVRÁCENÝ ZLOMEK:

Převrácený zlomek ke zlomku dostaneme tak, že zaměníme ve zlomku čitatele a jmenovatele.

Zlomek:

Převrácený zlomek:

DĚLENÍ zlomku:

Zlomek dělíme přirozeným číslem tak, že jej násobíme převráceným číslem.

Zlomek dělíme zlomkem tak, že jej násobíme převráceným zlomkem.

Nulou dělit nelze!!

Zlomkem, který má čitatele 0, dělit nemůžeme.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Dělení zlomků

Varianta A

Dělte:

a)

b)

c)

d)


a)

b)

c)

d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Dělte:

a)

b)

c)

d)

[a)

b)

c)

d)

]

2) Dělte:

a)

b)

c)

d)

[a) b)

c)

d)

]

3) Dělte:

a)

b)

c)

d)

[a)

b)

c)

d)

]

4) Dělte:

a)

b)

c)

d)

[a)

b)

c)

d)

]


Dělení zlomků

Varianta B

Dělte:

a)

b)

c)

d)


a)

b)

c)

d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Dělte:

a)

b)

c)

d)

[a)

b)

c)

d)

]

2) Dělte:

a)

b)

c)

d)

[a)

b)

c) d)

]

3) Dělte:

a)

b)

c)

d)

[a)

b) c)

d)

]

4) Dělte:

a)

b)

c)

d)

[a)

b)

c) d)

]


Dělení zlomků

Varianta C

Vypočítejte:


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítejte:

[1]

2) Vypočítejte:

[

]

3) Vypočítejte:

[

]

4) Vypočítejte:

[

]


Celá čísla

Celá čísla a jejich znázornění

Celá čísla jsou čísla …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …

Znázorňujeme je na číselné ose.

Číselná osa je rozdělena na Kladná celá čísla, Záporná celá čísla a číslo nula 0.

Kladná celá čísla jsou PŘIROZENÁ čísla.

Nula není ani kladné celé číslo, ani záporné celé číslo.

Nula je celé číslo.

Záporná celá čísla, jsou čísla, u kterých nesmíme NIKDY vynechat znaménko minus.

, - 6, (minus šest)

U kladných celých čísel můžeme přidat znaménko plus, většinou ho nepíšeme.

5 = - 5 5 = + 5

0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

Záporná celá čísla Kladná celá čísla

Celá čísla



Varianta A

Narýsuj vodorovnou číselnou osu, vyznač na ni obraz čísla 0, jednotku zvol 1 cm. Na číselné

ose zobraz:

a) malými kolečky čísla pět, minus tři, dva, minus jedna

b) malými čtverečky čísla 3, -2, 4, -5


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Narýsuj vodorovnou číselnou osu, vyznač na ni obraz čísla 0, jednotku zvol 1 cm. Na

číselné ose zobraz:

a) malými kolečky čísla šest, minus čtyři, jedna, minus dva


2) Narýsuj vodorovnou číselnou osu, vyznač na ni obraz čísla 0, jednotku zvol 1 cm. Na


a) malými kolečky čísla sedm, minus tři, dva, minus šest


0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5


3) Narýsuj vodorovnou číselnou osu, vyznač na ni obraz čísla 0, jednotku zvol 0,5 cm. Na


a) malými kolečky čísla šestnáct, minus čtrnáct, jedenáct, minus devět


4) Narýsuj vodorovnou číselnou osu, vyznač na ni obraz čísla 0, jednotku zvol 0,5 cm. Na


a) malými kolečky čísla třináct, minus osm, deset, minus pět




Varianta B

Vypište všechna čísla, která jsou:

a) kladná celá čísla

b) záporná celá čísla

3 65 - 43 83 - 239 54 90 - 108 387 - 542 23 59 - 2 900 1


a) 3, 65, 83, 54, 90, 387, 23, 59,1

b) - 43, - 239, -108, - 542, - 2 900

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypište všechna čísla, která jsou:



13 24 - 67 - 8 297 - 98 - 891 - 88 397 5 023 - 44 91 - 900 0

[a) 13, 24, 297, 397, 5 023, 91 b) – 67, -8, - 98, - 891, - 88, - 44, - 900]

2) Vypište všechna čísla, která jsou:



11 - 22 - 84 - 18 27 - 198 - 391 0 1 397 - 23 1 004 9 290 239

[a) 11, 27, 1 397, 1 004, 9, 290, 239 b) – 22, - 84, - 18, - 198, - 291, - 23]


3) Vypište všechna čísla, která nejsou:



103 - 232 - 584 918 257 - 19 - 291 0 - 397 253 184 39 - 20 2

[a) - 232, - 584, - 19, - 291, 0, - 397, - 20 b) 103, 918, 257, 0, 253, 184, 39, 2]

4) Vypište všechna čísla, která nejsou:



122 262 51 - 75 - 27 - 10 0 150 97 - 16 - 29 48 - 120 - 3

[a) - 75, - 27, - 10, 0, - 16, - 29, - 120, - 3 b) 122, 262, 51, 0, 150, 97, 48]



Varianta C

Najděte a znázorněte na číselné ose, nejbližší sousedy čísla – 6.


Nejbližšími sousedy čísla -6 je -7 a -5.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1)Najděte a znázorněte na číselné ose, nejbližší sousedy čísla – 21.

[-22 a -20]

2) Najděte a znázorněte na číselné ose, nejbližší sousedy čísla – 32.

[-33 a -31]

3) Najděte a znázorněte na číselné ose číslo, které leží přesně mezi čísly – 53 a – 49.

[-51]

4) Najděte a znázorněte na číselné ose číslo, které leží přesně mezi čísly – 37 a – 31.

[-34]

0 1 2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8


Celá čísla

Absolutní hodnota celého čísla

Na číselné ose jsou čísla zobrazena jako body. Vzdálenost obrazu čísla 1 od obrazu čísla 0 je

jedna délková jednotka (značíme ji d. j.)

ABSOLUTNÍ HODNOTA čísla

Udává vzdálenost obrazu tohoto čísla od obrazu čísla 0 na číselné ose.

Absolutní hodnota čísla 4 se rovná 4, zapíšeme

Absolutní hodnota čísla -2 se rovná 2, zapíšeme

Absolutní hodnota čísla 0 se rovná 0, zapíšeme

Absolutní hodnota každého čísla je kladné číslo nebo 0.

OPAČNÉ ČÍSLO k číslu různému od nuly je číslo, které se mu nerovná, ale má stejnou

absolutní hodnotu.

Opačné číslo k 7 je -7

Opačné číslo k číslu -3 je 3

Opačné číslo k číslu 0 je 0

Čísla 7 a -7, -3 a 3, … jsou čísla navzájem opačná.

Opačné číslo k zápornému číslu je kladné číslo.

Opačné číslo ke kladnému číslu je záporné číslo.

Opačné číslo k nule je nula.

0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

1 d. j.

4 d. j.

2 d. j.



Varianta A

Vypočítej:

a) b) c) d)

e) f) g) h)


a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a) b) c) d)

[ ]

2) Vypočítej:

a) b) c) d)

[ ]

3) Zapiš opačné číslo k číslu:

a) b) c) [a) 3, b) – 33, c) 731]

3) Zapiš opačné číslo k číslu:

a) b) c) [a) – 6, b) 67, c) není]



Varianta B

Vypočítej:

a) b) c) d)

e) f) g) h)


a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočti:

a) b) c) d)

[a) 3, b) 3, c) 3, d) – 3]

2) Vypočti:

a) b ) c) d)

[a) 4, b) 4, c) – 4, d) 4]

3) Vypočti:

a) b ) c) d)

[a) 256, b) 256, c) – 256, d) 256]

4) Vypočti:

a) b) c) d)

[a) 162, b) 162, c) 162, d) – 162]



Varianta C

Zapiš všechna celá čísla, jejichž absolutní hodnota je

a) menší než 3 b) menší nebo rovna 3


a) b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapiš všechna celá čísla, jejichž absolutní hodnota je

a) b) [a) – 10, 10, b) – 2, -1, 0, 1, 2]

2) Zapiš všechna celá čísla, jejichž absolutní hodnota je

a) b) [a) - 4, - 3, – 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 b) – 4, 4]

3) Zapiš všechna celá čísla x, pro která platí:

a) b) [a) - 3, 3 b) - 1, 1]


a) b) [a) - 2, 2 b) - 8, 8]


Celá čísla

Porovnávání celých čísel

Na číselné ose jsou čísla uspořádána podle velikosti.

Číslo VLEVO je vždy menší než číslo VPRAVO.

Každé kladné číslo je větší než nula.

Každé záporné číslo je menší než nula.

Každé kladné číslo je větší než kterékoli záporné číslo.

POROVNÁVÁNÍ záporných celých čísel podle velikosti.

Větší je to záporné číslo, které má menší absolutní hodnotu.

Větší je to záporné číslo, jehož obraz je na číselné ose blíže k nule.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5



Varianta A

Porovnávejte čísla podle velikosti, představ si číselnou osu.

a) b) c) d)


a) b) c) d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Porovnávejte čísla podle velikosti, představ si číselnou osu.

a) b) c) d)

[a) , b) , c) , d) ]


a) b) c) d)

[a) , b) , c) , d) ]


a) b) c) d)

[a) , b) , c) , d) ]


a) b) c) d)

[a) , b) , c) , d) ]



Varianta B

Vypiš ze seznamu čísel, všechna čísla, která jsou:

- 3 - 8 5 2 0 - 6 8 - 5 - 2 3

a) větší než 4

b) menší nebo rovna – 2

c) větší než – 2 a zároveň menší než 5

d) menší než – 3


a) větší než 4

b) menší nebo rovna – 2



Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypiš ze seznamu čísel, všechna čísla, která jsou:

2 - 7 5 1 0 - 1 7 - 5 - 2 3

a) větší než 5 [7]

b) menší nebo rovna – 2 [ -7, -5, - 2]

c) větší než – 2 a zároveň menší než 5 [ - 1, 0, 1, 2, 3]

d) větší nebo rovno 5 [ 5, 7]



- 3 - 6 5 1 0 - 1 6 - 5 - 2 3

a) větší než 3 [5, 6]

b) menší nebo rovna – 2 [ - 6, - 5,- 2]

c) větší než – 1 a zároveň menší než 3 [0, 1, 2]

d) větší nebo rovno 6 [6]


23 - 16 35 14 10 - 18 16 - 35 - 23 32

a) větší než 23 [32, 35]

b) menší nebo rovna 16 [ - 35, - 23, - 18, - 16, 10, 14, 16]

c) větší než – 16 a zároveň menší než 23 [10, 14, 16]

d) větší nebo rovno 16 [16, 23, 32, 35]


21 - 14 31 11 8 - 17 14 - 31 - 21 32

a) větší než 14 [21, 31, 32]

b) menší nebo rovna 11 [ - 31, - 21, - 17, - 14, 8, 11]

c) větší než – 14 a zároveň menší než 31 [8, 11, 14, 21]

d) větší nebo rovno 31 [31, 32]



Varianta C

Zapiš všechna celá čísla x, pro která platí:

Využijte číselnou osu.


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Využijte číselnou osu. [- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]


Využijte číselnou osu. [- 2, - 1, 0, 1, 2, 3]


Využijte číselnou osu. [- 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 3, -2]


Využijte číselnou osu. [-9, - 8, - 7, - 6]

0 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2


Počítáme s celými čísly

Sčítání celých čísel

Součet dvou kladných čísel je vždy kladné číslo.

Součet dvou záporných čísel je vždy záporné číslo.

Součet kladného a záporného čísla může být kladné číslo, záporné číslo i nula.

SČÍTÁNÍ celých čísel se stejnými znaménky:

Obě čísla jsou kladná, nebo obě čísla jsou záporná.

Obě čísla jsou kladná:

Obě čísla jsou záporná:

Sečteme jejich absolutní hodnoty a připíšeme znaménko minus.

SČÍTÁNÍ celého čísla a nuly

Aspoň jeden ze sčítanců je nula.

Součet se rovná druhému sčítanci.


SČÍTÁNÍ celých čísel s různými znaménky.

Jedno číslo je kladné a druhé je záporné.

Zjistíme, které z čísel má větší absolutní hodnotu:

a)

Je to záporné číslo 7, součet bude záporné číslo.

b)

Je to kladné číslo 7, součet bude kladné číslo.

Odečteme od větší absolutní hodnoty menší absolutní hodnotu:

To je absolutní hodnota součtu.

a) Součet je záporné číslo, připíšeme znaménko minus:

b) Součet je kladné číslo:

Když je jedno číslo kladné, druhé záporné a jejich absolutní hodnoty se rovnají, odečteme

jejich absolutní hodnoty a výsledek je nula.


Pro libovolná celá čísla a, b platí:

Když změníme pořadí sčítanců, součet se nezmění.

Sčítání celých čísel je komutativní.

Pro libovolná celá čísla a, b, c platí:

Sčítance můžeme sdružovat do skupin, součet se nezmění.

Sčítání celých čísel je asociativní.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Vypočítej:

a) b) c) d)


a) b)

c) d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a) b)

[a) – 39, b) – 74]

2) Vypočítej:

a) b)

[a) – 127, b) – 97]

3) Vypočítej:

a) b)

[a) 46, b) – 50]

4) Vypočítej:

a) b)

[a) 67, b) – 59]



Varianta B

Urči, který ze znaků +, - patří na místo otazníku.

a) b)


a) b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Urči, který ze znaků +, - patří na místo otazníku.

a) b)

[a) - b) +]


a) b)

[a) + b) -]


a) b)

[a) - b) +]


a) b)

[a) + b) +]



Varianta C

Urči číslo x, pro které platí:

a) b)


a) b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Urči číslo x, pro které platí:

a) b)

[a) 10 b) 5]


a) b)

[a) 13 b) 4]


a) b)

[a) 21 b) 8]


a) b)

[a) 18 b) 12]



Odčítání celých čísel

Odečíst číslo znamená přičíst číslo k němu opačné.

Je-li záporné číslo na začátku, nemusí být v závorce.

Znaménková pravidla:

Pro všechna celá čísla a, b platí:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Vypočítej:

a) b) c) d)


a) b)

c) d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a) b)

[a) 1, b) – 148]

2) Vypočítej:

a) b)

[a) – 5, b) 121]

3) Vypočítej:

a) b)

[a) 70, b) – 23]

4) Vypočítej:

a) b)

[a) 84, b) 5]



Varianta B

Urči, který ze znaků +, - patří na místo otazníku.

a) b)


a) b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



a) b)

[a) + b) -]


a) b)

[a) - b) -]


a) b)

[a) - b) +]


a) b)

[a) + b) +]



Varianta C

Urči číslo x, pro které platí:

a) b)


a) b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



a) b)

[a) - 8 b) 4]


a) b)

[a) - 6 b) - 9]


a) b)

[a) 5 b) - 14]


a) b)

[a) 4 b) - 14]



Násobení celých čísel

Vynásobíme absolutní hodnoty obou čísel:

Jsou-li obě čísla kladná nebo obě záporná, je tento součin výsledkem.

Součin je kladné číslo.

Je-li jedno číslo kladné a druhé záporné, připíšeme k součinu absolutních hodnot znaménko

minus.

Součin je záporné číslo.

Je-li aspoň jedno z obou čísel nula, je součin také nula:

Součin dvou kladných čísel je kladné číslo.

Součin dvou záporných čísel je kladné číslo.

Součin kladného a záporného čísla je záporné číslo.

Násobíš-li celé číslo číslem – 1, získáš číslo k němu opačné.


Pro všechna celá čísla a, b platí:

Když změníme pořadí činitelů, součin se nezmění.

Násobení celých čísel je komutativní.

Pro všechna celá čísla a, b, c platí:

Činitele můžeme libovolně sdružovat, součin se nezmění.

Násobení celých čísel je asociativní.

Pro všechna celá čísla a, b, c platí:

Stejné činitele můžeme vytknout před závorku, výsledek se nezmění.

Násobení je distributivní vzhledem k sčítání.

Je-li v součinu lichý počet záporných činitelů, je tento součin záporné číslo.

Je-li v součinu sudý počet záporných činitelů, je tento součin kladné číslo.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Vypočítej:

a) b) c)


a) b) c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 56 b) 33 c) - 105]

2) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 55 b) 54 c) - 84]

3) Vypočítej:

a) b) c)

[a) - 132 b) 90 c) - 480]

4) Vypočítej:

a) b) c)

[a) - 105 b) 180 c) - 220]



Varianta B

Vypočítej:

a) b) c)


a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 36 b) - 70 c) 65]

2) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 40 b) - 120 c) 60]

3) Vypočítej:

a) b) c)

[a) - 84 b) 120 c) 320]

4) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 120 b) 240 c) – 105



Varianta C

Vypočítej co nejvýhodněji:

a) b)


a)

b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej co nejvýhodněji:

a) b)

[a) - 420 b) - 128]

2) Vypočítej co nejvýhodněji:

a) b)

[a) - 34 b) 225]

3) Vypočítej:

a) b)

[a) - 8 b) - 12]

4) Vypočítej:

a) b)

[a) - 36 b) - 22]



Dělení celých čísel

Vydělíme absolutní hodnoty obou čísel:

Jsou-li obě čísla kladná nebo obě záporná, je tento podíl výsledkem.

Podíl je kladné číslo.

Je-li jedno číslo kladné a druhé záporné, připíšeme k podílu absolutních hodnot znaménko

minus.

Podíl je záporné číslo.

Podíl dvou kladných čísel je kladné číslo.

Podíl dvou záporných čísel je kladné číslo.

Podíl kladného a záporného čísla je záporné číslo.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Vypočítej:

a) b) c)


a) b) c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 5 b) 8 c) - 8]

2) Vypočítej:

a) b) c)

[a) - 9 b) - 9 c) 6]

3) Vypočítej:

a) b)

[a) - 12 b) 45]

4) Vypočítej:

a) b)

[a) - 30 b) - 49]



Varianta B

Vypočítej:

a) b) c)


a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 4 b) - 4 c) 27]

2) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 12 b) - 4 c) 5]

3) Vypočítej:

a) b)

[a) 8 b) 16]

4) Vypočítej:

a) b)

[a) 8 b) - 140]



Varianta C

Vypočítej:


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

[39]

2) Vypočítej:

[21]

3) Vypočítej:

[0]

4) Vypočítej:

[- 84]


Racionální čísla

Záporná desetinná čísla a záporné zlomky

Desetinná čísla a zlomky zobrazujeme na číselné ose.

Opačná desetinná čísla

0,6 … - 0,6 2,765 … - 2,765 987,54 … - 987, 54

0 - 1 1 - 2 2 - 0,65 - 1,468

0,2 0,85 2,352

kladná desetinná čísla

záporná desetinná čísla

desetinná čísla


Zlomky znázorňujeme na číselné ose.

Zlomky

a

jsou zápisy navzájem opačných čísel.

Smíšená čísla:

RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Jsou čísla, která můžeme zapsat ve tvaru zlomku, jehož čitatel i jmenovatel jsou celá čísla (a

jmenovatel je různý od nuly).

Některé zlomky nejde převést na desetinné číslo.

0 - 1 1 - 2 2

kladná racionální čísla

záporná racionální čísla

racionálna čísla

- 2,47

- 1,73

- 2,743

- 1,372

0 - 1 1 - 2 2

kladné zlomky

záporné zlomky

zlomky



Varianta A

Vypište, která z desetinných čísel:

a) nejsou záporná

b) nejsou kladná

c) nejsou ani záporná, ani kladná


a) nejsou záporná

b) nejsou kladná

c) nejsou ani záporná, ani kladná

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypište, která z desetinných čísel:

a) nejsou záporná [ ]

b) nejsou kladná [ ]

a znázorněte je na číselné ose.

2) Vypište, která z desetinných čísel:

a) nejsou záporná [ ]

b) nejsou kladná [ ]



3) Vypište, které ze zlomků:

a) nejsou záporné [

]

b) nejsou kladné [

]


4) Vypište, které ze zlomků:

a) nejsou záporné [

]

b) nejsou kladné [

]



Varianta B

Převeď zlomky na desetinné číslo:

a)

b)

c)


a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Převeď zlomky na desetinné číslo:

a)

b)

c)

[a) b) c) ]


a)

b)

c)

[a) b) c) ]


a)

b)

c)

[a) b) c) ]


a)

b)

c)

[a) b) c) ]



Varianta C

Vyjádřete desetinné číslo jako zlomek:

a) b) c)


a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vyjádřete desetinné číslo jako zlomek:

a) b) c) [a)

b)

c)

]


a) b) c) [a)

b)

c)

]


a) b) c) [a)

b)

c)

]


a) b) c) [a)

b)

c)

]



Porovnávání racionálních čísel

Na číselné ose jsou čísla uspořádána podle velikosti.

Číslo VLEVO je vždy menší než číslo VPRAVO.

Každé kladné číslo je větší než nula.

Každé záporné číslo je menší než nula.

Každé kladné číslo je větší než kterékoli záporné číslo.

Větší je to záporné číslo, které má menší absolutní hodnotu.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Porovnávejte čísla podle velikosti, představ si číselnou osu.

a) b) c)

d)


a) b)

c)

d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



a) b) c)

d)

[a) , b) , c) , d) ]


a) b) c)

d)

[a) , b) , c) , d) ]


a) b) c)

d)

[a) , b) , c) , d) ]


a) b) c)

d)

[a) , b) , c) , d) ]



Varianta B

Vypiš ze seznamu čísel, všechna čísla, která jsou:

- 1,3 - 2,8 5,02

0 - 6,4 8,06

3,5

a) větší než 4

b) menší nebo rovna – 2,8

c) větší než – 2,8 a zároveň menší než 5,02



a) větší než 4




Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



- 4,13 - 1,74 2,02

0 - 5,4 6,06

4,8

a) větší než 4





4,36 - 2,4 3,02

0 - 5,2 6,6

3,8

a) větší než 4




3,6 - 3,4 1,07

0 - 4,2 6,61

3,08

a) větší než 4


c) větší než – 2,4 a zároveň menší než 3


2,6 - 3,14 1,7

0 - 4,2 7,1

0,08

a) větší než 4





Varianta C

Zapište všechna celá čísla, která můžete dosadit za x, aby platilo:


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Zapište všechna celá čísla, která můžete dosadit za x, aby platilo:

[9, 10, 11, 12, 13]


[25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32]


[4, 5]


[9, 10]



Sčítání a odčítání racionálních čísel

Desetinná čísla sčítáme a odčítáme podle stejných pravidel jako celá čísla.

Úprava znaménka u zlomku

protože

SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ zlomků:

Převedeme na zlomky se společným jmenovatelem:

U záporných zlomků přepíšeme znaménko minus k čitateli:

Jmenovatele opíšeme a čitatele sečteme, nebo odečteme:

Pro libovolná racionální čísla a, b platí:

Když změníme pořadí sčítanců, součet se nezmění.

Sčítání racionálních čísel je komutativní.


Pro libovolná racionální čísla a, b, c platí:

Sčítance můžeme sdružovat do skupin, součet se nezmění.

Sčítání racionálních čísel je asociativní.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Vypočítej:

a) b) c) —


a)

b)

c) —

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a) b)

[a) 2,5 b) – 1,5]

2) Vypočítej:

a) b) —

[a) 8,4 b) 4,36]

3) Vypočítej:

a) b)

[a) 7 b) – 2,3]

4) Vypočítej:

a) b)

[a) 6 b) - 0,5]



Varianta B

Vypočítej:

a)

b)

c)

—


a)

b)

c)

—

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]

2) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]

3) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]

4) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]



Varianta C

Vypočítej:

a)

b)

c)


a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]

2) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]

3) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]

4) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]



Násobení a dělení racionálních čísel

U racionálních čísel platí stejná pravidla pro násobení a dělení, jako u celých čísel a kladných

zlomků.

Pro všechna racionální čísla a, b platí:

Když změníme pořadí činitelů, součin se nezmění.

Násobení racionálních čísel je komutativní.

Pro všechna racionální čísla a, b, c platí:

Činitele můžeme libovolně sdružovat, součin se nezmění.

Násobení racionálních čísel je asociativní.

Pro všechna racionální čísla a, b, c platí:

Stejné činitele můžeme vytknout před závorku, výsledek se nezmění.

Násobení racionálních čísel je distributivní vzhledem k sčítání.

Součin a podíl dvou kladných čísel je kladné číslo.

Součin a podíl dvou záporných čísel je kladné číslo.

Součin a podíl kladného a záporného čísla je záporné číslo.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



Varianta A

Vypočítej:

a) b)


a) b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a) b) [a) - 0,6 b) 9]

2) Vypočítej:

a) b) [a) – 1,2 b) 8]

3) Vypočítej:

a) b) [a) – 1,75 b) 15]

4) Vypočítej:

a) b) [a) – 3,12 b) 13,5]



Varianta B

Vypočítej:

a)

b)


a)

b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]

2) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]

3) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b) ]

4) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]



Varianta C

Vypočítej:

a)

b)


a)

b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]

2) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]

3) Vypočítej:

a)

b)

[a)

b)

]

4) Vypočítej:

a)

b)

[a) b)

]

Documents

Aritmetika - sekunda - student21.gjwprostejov.czstudent21.gjwprostejov.cz/uploads/NG01 Aritmetika - sekunda.pdf · 2 Aritmetika sekunda Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá