Arqumedes

Arqumedes de Siracusa (en griego antiguo; Siracusa (Sicilia), ca. 287 a. C. ibdem, ca.212 a. C.) fue un fsico, ingeniero, inventor, astrnomoy matemtico griego. Aunque se conocen pocos detallesde su vida, es considerado uno de los cientcos msimportantes de la Antigedad clsica. Entre sus avancesen fsica se encuentran sus fundamentos en hidrosttica,esttica y la explicacin del principio de la palanca. Esreconocido por haber diseado innovadoras mquinas,incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arqumedes,que lleva su nombre. Experimentos modernos han pro-bado las armaciones de que Arqumedes lleg a disearmquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua oprenderles fuego utilizando una serie de espejos.[1]

Se considera que Arqumedes fue uno de los matemticosms grandes de la antigedad y, en general, de toda lahistoria.[2][3] Us el mtodo exhaustivo para calcular elrea bajo el arco de una parbola con el sumatorio deuna serie innita, y dio una aproximacin extremadamen-te precisa del nmero Pi.[4] Tambin deni la espiralque lleva su nombre, frmulas para los volmenes de lassupercies de revolucin y un ingenioso sistema para ex-presar nmeros muy largos.Arqumedes muri durante el sitio de Siracusa (214212a. C.), cuando fue asesinado por un soldado romano, a pe-sar de que existan rdenes de que no se le hiciese ningndao.A diferencia de sus inventos, los escritos matemticos deArqumedes no fueron muy conocidos en la antigedad.Losmatemticos de Alejandra lo leyeron y lo citaron, pe-ro la primera compilacin integral de su obra no fue reali-zada hasta c. 530 d. C. por Isidoro de Mileto. Los comen-tarios de las obras de Arqumedes escritos por Eutocioen el siglo VI las abrieron por primera vez a un pblicoms amplio. Las relativamente pocas copias de trabajosescritos de Arqumedes que sobrevivieron a travs de laEdad Media fueron una importante fuente de ideas du-rante el Renacimiento,[5] mientras que el descubrimien-to en 1906 de trabajos desconocidos de Arqumedes enel Palimpsesto de Arqumedes ha ayudado a comprendercmo obtuvo sus resultados matemticos.[6]

1 Biografa

Hay pocos datos ables sobre la vida de Arqumedes. Sinembargo, todas las fuentes coinciden en que era naturalde Siracusa y que muri durante el desenlace del sitio de

Estatua de bronce de Arqumedes ubicada en el observatorio Ar-chenhold en Berln. Fue esculpida por Gerhard Thieme e inau-gurada en 1972.

Siracusa. Arqumedes naci c. 287 a. C. en el puerto ma-rtimo de Siracusa (Sicilia, Italia), ciudad que en aqueltiempo era una colonia de la Magna Grecia. Conociendola fecha de su muerte, la aproximada fecha de nacimien-to est basada en una armacin del historiador bizantinoJuan Tzetzes, que arm[7] que Arqumedes vivi hastala edad de 75 aos.[8] Segn una hiptesis de lectura ba-sada en un pasaje corrupto de El contador de arena -cuyottulo en griego es (Psammites)-, Arqumedesmenciona el nombre de su padre, Fidias, un astrnomo.[9]

Plutarco escribi en su obra Vidas paralelas (Vida deMarcelo, 14, 7) que Arqumedes estaba emparentado conel tirano Hiern II de Siracusa.[10] Se sabe que un amigode Arqumedes, Herclides, escribi una biografa sobrel pero este libro no se conserva, perdindose as los de-talles de su vida.[11] Se desconoce, por ejemplo, si algunavez se cas o tuvo hijos.Entre los pocos datos ciertos sobre su vida, Diodoro Scu-lo nos aporta uno[12] segn el cual es posible que Arqu-medes, durante su juventud, estudiase en Alejandra, enEgipto. El hecho de que Arqumedes se reera en susobras a cientcos cuya actividad se desarrollaba en esaciudad, abona la hiptesis: de hecho, Arqumedes se re-ere a Conon de Samos como su amigo en Sobre la esferay el cilindro, y dos de sus trabajos (El Mtodo de los Teo-remas Mecnicos y el Problema del Ganado) estn dedi-cados a Eratstenes de Cirene.[Nota 1]

Arqumedes muri c. 212 a. C. durante la Segunda Gue-rra Pnica, cuando las fuerzas romanas al mando del ge-neral Marco Claudio Marcelo capturaron la ciudad de Si-

1

2 1 BIOGRAFA

racusa despus de un asedio de dos aos de duracin. Ar-qumedes se distingui especialmente durante el sitio deSiracusa, en el que desarroll armas para la defensa dela ciudad. Polibio,[13] Plutarco,[14] y Tito Livio[15] des-criben, precisamente, su labor en la defensa de la ciudadcomo ingeniero, desarrollando piezas de artillera y otrosartefactos capaces de mantener a raya al enemigo. Plu-tarco, en sus relatos, llega a decir que los romanos se en-contraban tan nerviosos con los inventos de Arqumedesque la aparicin de cualquier viga o polea en las murallasde la ciudad era suciente como para provocar el pnicoentre los sitiadores.[16]

Cicern y los magistrados descubriendo la tumba de Arqume-des en Siracusa, de Benjamin West (1797). Coleccin privada.

Arqumedes fue asesinado al nal del asedio por un sol-dado romano, contraviniendo las rdenes del general ro-mano, Marcelo, de respetar la vida del gran matemticogriego.[17][18] Existen diversas versiones de la muerte deArqumedes: Plutarco, en su relato, nos da hasta tres ver-siones diferentes. De acuerdo con su relato ms popular,Arqumedes estaba contemplando un diagrama matem-tico cuando la ciudad fue tomada. Un soldado romano leorden ir a encontrarse con el General, pero Arqumedeshizo caso omiso a esto, diciendo que tena que resolverantes el problema. El soldado, enfurecido ante la respues-ta, mat a Arqumedes con su espada. Sin embargo, Plu-tarco tambin brinda otros dos relatos menos conocidosde la muerte de Arqumedes, el primero de los cuales su-giere que podra haber sido asesinado mientras intentabarendirse ante un soldado romano, y mientras le peda mstiempo para poder resolver un problema en el que estabatrabajando. De acuerdo con la tercera historia, Arqume-des portaba instrumentos matemticos, y fue asesinadoporque el soldado pens que eran objetos valiosos. TitoLivio, por su parte, se limita a decir que Arqumedes es-taba inclinado sobre unos dibujos que haba trazado en elsuelo cuando un soldado que desconoca quin era, le ma-t. En cualquier caso, segn todos los relatos, el generalMarcelo se mostr furioso ante la muerte de Arqumedes,debido a que lo consideraba un valioso activo cientco,y haba ordenado previamente que no fuera herido.[19]

Las ltimas palabras atribuidas a Arqumedes fueron Nomolestes mis crculos, en referencia a los crculos en el

Una esfera tiene 2/3 exactos del volumen y de la supercie delcilindro que la circunscribe. Una esfera y un cilindro fueron co-locados encima de la tumba de Arqumedes, cumpliendo con suvoluntad.

dibujo matemtico que supuestamente estaba estudian-do cuando lo interrumpi el soldado romano. La frasees a menudo citada en latn como Noli turbare circulosmeos, pero no hay evidencia de que Arqumedes pro-nunciara esas palabras y no aparecen en los relatos dePlutarco.[20]

Cicern describe la tumba de Arqumedes, que habravisitado, e indica que sobre ella se haba colocado unaesfera inscrita dentro de un cilindro.[21] Arqumedes ha-ba probado que el volumen y el rea de la esfera sondos tercios de los del cilindro que la inscribe, incluyen-do sus bases, lo cual se consider el ms grande de susdescubrimientos matemticos. En el ao 75 a. C., 137aos despus de su muerte, el orador romano Cicern es-taba sirviendo como cuestor en Sicilia y escuch historiasacerca de la tumba de Arqumedes, pero ninguno de loslocales fue capaz de decirle dnde se encontraba exacta-mente. Finalmente, encontr la tumba cerca de la puertade Agrigento en Siracusa, en una condicin descuidada ypoblada de arbustos. Cicern limpi la tumba, y as fuecapaz de ver la talla y leer algunos de los versos que sehaban escrito en ella.[22]

Los relatos sobre Arqumedes fueron escritos por los his-toriadores de la antigua Roma mucho tiempo despus desu muerte. El relato de Polibio sobre el asedio a Siracusaen su obra Historias (libro VIII) fue escrito alrededor desetenta aos despus de la muerte de Arqumedes, y fueusado como fuente de informacin por Plutarco y TitoLivio. Este relato ofrece poca informacin sobre Arqu-medes como persona, y se enfoca en las mquinas de gue-rra que se deca que haba construido para defender laciudad.[23][24]

2.2 El Siracusia y el tornillo de Arqumedes 3

2 Descubrimientos e invenciones

2.1 La corona dorada

Es posible que Arqumedes empleara su principio de otabilidadpara determinar si la corona dorada era menos densa que el oropuro.

Una de las ancdotas ms conocidas sobre Arqume-des cuenta cmo invent un mtodo para determinar elvolumen de un objeto con una forma irregular. De acuer-do con Vitruvio, Hiern II orden la fabricacin de unanueva corona con forma de corona triunfal, y le pidi aArqumedes determinar si la corona estaba hecha slo deoro o si, por el contrario, un orfebre deshonesto le ha-ba agregado plata en su realizacin.[25] Arqumedes te-na que resolver el problema sin daar la corona, as queno poda fundirla y convertirla en un cuerpo regular paracalcular su masa y volumen, a partir de ah, su densidad.Mientras tomaba un bao, not que el nivel de agua subaen la baera cuando entraba, y as se dio cuenta de que eseefecto podra ser usado para determinar el volumen de lacorona. Debido a que el agua no se puede comprimir,[26]la corona, al ser sumergida, desplazara una cantidad deagua igual a su propio volumen. Al dividir el peso de lacorona por el volumen de agua desplazada se podra obte-ner la densidad de la corona. La densidad de la corona se-ra menor que la densidad del oro si otros metales menosdensos le hubieran sido aadidos. Cuando Arqumedes,durante el bao, se dio cuenta del descubrimiento, se di-ce que sali corriendo desnudo por las calles, y que estabatan emocionado por su hallazgo que olvid vestirse. Se-gn el relato, en la calle gritaba "Eureka!" (en griego an-

tiguo: "" que signica "Lo he encontrado!")[27]

Sin embargo, la historia de la corona dorada no apareceen los trabajos conocidos de Arqumedes. Adems, se hadudado que el mtodo que describe la historia fuera fac-tible, debido a que habra requerido un nivel de exactitudextremo para medir el volumen de agua desplazada.[28]

En lugar de esto, Arqumedes podra haber buscado unasolucin en la que aplicaba el principio de la hidrostticaconocido como el principio de Arqumedes, descrito ensu tratado Sobre los cuerpos otantes. Este principio plan-tea que todo cuerpo sumergido en un uido experimentaun empuje de abajo hacia arriba igual al peso del ui-do desalojado.[29] Usando este principio, habra sido po-sible comparar la densidad de la corona dorada con lade oro puro al usar una balanza. Situando en un lado dela balanza la corona objeto de la investigacin y en elotro una muestra de oro puro del mismo peso, se pro-cedera a sumergir la balanza en el agua; si la corona tu-viese menos densidad que el oro, desplazara ms aguadebido a su mayor volumen y experimentara un mayorempuje que la muestra de oro. Esta diferencia de ota-bilidad inclinara la balanza como corresponde. Galileocrea que este mtodo era probablemente el mismo queus Arqumedes, debido a que, adems de ser muy exac-to, se basa en demostraciones descubiertas por el propioArqumedes.[30] Alrededor del ao 1586, Galileo Gali-lei invent una balanza hidrosttica para pesar metales enaire y agua que aparentemente estara inspirada en la obrade Arqumedes.[31]

2.2 El Siracusia y el tornillo deArqumedes

El tornillo de Arqumedes puede elevar agua ecientemente.

Una gran parte del trabajo de Arqumedes en el campode la ingeniera surgi para satisfacer las necesidades desu ciudad natal, Siracusa. El escritor griego Ateneo deNucratis cuenta que Hiern II le encarg a Arqumedesel diseo de un enorme barco, el Siracusia, que construyArquias de Corinto bajo su supervisin.[32] El barco podaser usado para viajes lujosos, cargar suministros y comobarco de guerra. Finalmente su nombre fue cambiado por

4 2 DESCUBRIMIENTOS E INVENCIONES

el de Alejandra, cuando fue enviado como regalo, juntoa un cargamento de grano, al rey Ptolomeo III de Egipto.Se dice que el Siracusia fue el barco ms grande de laantigedad clsica.[33] Segn Ateneo, era capaz de cargar600 personas e inclua entre sus instalaciones jardines de-corativos, un gimnasio y un templo dedicado a la diosaAfrodita. Debido a que un barco de esta envergadura de-jara pasar grandes cantidades de agua a travs del casco,el tornillo de Arqumedes supuestamente fue inventado an de extraer el agua de la sentina. La mquina de Arqu-medes era un mecanismo con una hoja con forma de tor-nillo dentro de un cilindro. Se haca girar a mano, y tam-bin poda utilizarse para transferir agua desde masas deaguas bajas a canales de irrigacin. De hecho, el tornillode Arqumedes sigue usndose hoy en da para bombearlquidos y slidos semiuidos, como carbn, hielo y ce-reales. El tornillo de Arqumedes, tal como lo describiMarco Vitruvio en los tiempos de Roma, puede haber si-do una mejora del tornillo de bombeo que fue usado parairrigar los jardines colgantes de Babilonia.[34][35]

2.3 La garra de Arqumedes

Polibio narra que la intervencin de Arqumedes en elataque romano a Siracusa fue decisiva, hasta el punto deque desbarat la esperanza romana de tomar la ciudadpor asalto, teniendo que modicar su estrategia y pasar alasedio de larga duracin, situacin que dur ocho meses,hasta la cada denitiva de la ciudad. Entre los ingeniosde que se vali para tal hazaa (catapultas, escorpionesy gras) se encuentra una que es de su invencin: la lla-mada manus ferrea. Los romanos acercaban todo lo quepodan los barcos al muro para enganchar sus escalerasa las forticaciones y poder acceder con sus tropas a lasalmenas. Entonces entraba en accin la garra, que consis-ta en un brazo semejante a una gra del cual penda unenorme gancho de metal. Cuando se dejaba caer la garrasobre un barco enemigo el brazo se balanceara en sen-tido ascendente, levantando la proa del barco fuera delagua y provocando un ingreso del agua por la popa. Es-to inutilizaba los ingenios enemigos y causaba confusin,pero no era lo nico que hacia: mediante un sistema depolea y cadenas, dejaba caer sbitamente el barco pro-vocando una escoracin que poda llevarlo al vuelco y alhundimiento.[13][15][36] Ha habido experimentos moder-nos con la nalidad de probar la viabilidad de la garra, yen un documental del ao 2005 titulado Superarmas delmundo antiguo (Superweapons of the Ancient World) seconstruy una versin de la garra y se concluy que eraun dispositivo factible.[37][38]

2.4 El rayo de calor de Arqumedes, mitoo realidad?

Segn la tradicin, dentro de sus trabajos en la defensa deSiracusa, Arqumedes podra haber creado un sistema de

Estampa que reproduce el uso de espejos ustorios en la defensade la ciudad de Siracusa durante el asedio romano.

espejos ustorios que reejaban la luz solar concentrndolaen los barcos enemigos y con la nalidad de incendiarlos.Sin embargo, las fuentes que recogen estos hechos sontardas, siendo la primera de ellas Galeno, ya en el sigloII.[39] Luciano de Samosata, historiador tambin del sigloII, escribi que, durante el sitio de Siracusa (213-211 a.C.), Arqumedes repeli un ataque llevado a cabo por sol-dados romanos con fuego. Siglos ms tarde, Antemio deTralles menciona los espejos ustorios como arma utiliza-da por Arqumedes.[40] El artefacto, que en ocasiones esdenominado como el rayo de calor de Arqumedes, ha-bra servido para enfocar la luz solar en los barcos que seacercaban, haciendo que estos ardieran.La credibilidad de esta historia ha sido objeto de debatedesde el Renacimiento. Ren Descartes la rechaz comofalsa, mientras que investigadores modernos han inten-tado recrear el efecto considerando para ello tan slo lascapacidades tcnicas de las que dispona Arqumedes.[41]Se ha sugerido que una gran cantidad de escudos bienpulidos de bronce o cobre podran haber sido utilizadoscomo espejos, para as enfocar la luz solar hacia un solobarco. De este modo se habra podido utilizar el princi-pio del reector parablico, en una manera similar a unhorno solar.En 1973 el cientco griego Ioannis Sakkas llev a cabouna prueba del rayo de calor de Arqumedes. El experi-mento tuvo lugar en la base naval de Skaramangas, en lasafueras de Atenas, y en esta ocasin se usaron 70 espejos,cada uno cubierto con una cubierta de cobre y con alre-dedor de 1,5 m de alto y 1 m de ancho. Los espejos sedirigieron contra una maqueta de madera contrachapadade un barco de guerra romano a una distancia de alre-dedor de 50 m. Cuando los espejos fueron enfocados conprecisin, el barco ardi en llamas en cuestin de unos po-

5cos segundos. La maqueta estaba pintada con una capa debetn, lo cual podra haber ayudado a la combustin.[42]

En octubre de 2005 un grupo de estudiantes del InstitutoTecnolgico de Massachusetts llev a cabo un experi-mento con 127 espejos cuadrados de 30 cm de lado en-focados en una maqueta de madera de un barco a unadistancia de 30 m. Brotaron llamas en una parte del bar-co, pero nicamente despus de que el cielo se despeja-ra y de que el barco permaneciera inmvil alrededor dediez minutos. Se concluy que el arma era un mecanismoviable bajo estas condiciones. El grupo del instituto re-piti el experimento para el show televisivo MythBusters(cazadores de mitos), usando un barco de pesca de ma-dera como blanco, en San Francisco. Nuevamente hubocarbonizacin, adems de una pequea cantidad de lla-mas. Para prenderse fuego, la madera necesita alcanzarsu punto de inamabilidad, el cual ronda los 300 C.[43]

Cuando los cazadores de mitos emitieron el experimen-to llevado a cabo en San Francisco en enero de 2006, laarmacin fue categorizada como mentira, debido a laduracin del tiempo y el clima necesarios para la com-bustin. Tambin sealaron que, debido a que Siracusamira el mar hacia el Este, la ota romana debera haberatacado durante la maana para una ptima reexin dela luz por los espejos. Adems, armas convencionales co-mo echas en llamas o catapultas hubieran sido una for-ma mucho ms fcil de prender fuego un barco a cortasdistancias.[1]

2.5 Otros descubrimientos e invencionesSi bien Arqumedes no invent la palanca, s escribi laprimera explicacin rigurosa conocida del principio queentra en juego al accionarla. Segn Pappus de Alejandra,debido a su trabajo sobre palancas coment: Denme unpunto de apoyo y mover el mundo. (en griego: )[44] Plutarco describe cmoArqumedes dise el sistema de polipasto, permitiendoa los marineros usar el principio de palanca para levan-tar objetos que, de otro modo, hubieran sido demasiadopesados como para moverlos.[45]

Tambin se le ha acreditado a Arqumedes haber aumen-tado el poder y la precisin de la catapulta, as como haberinventado el odmetro durante la Primera Guerra Pnica.El odmetro fue descrito como un carro con un mecanis-mo de engranaje que tiraba una bola en un contenedordespus de cada milla recorrida.[46] Adems, en el inten-to de medir la dimensin aparente del sol, utilizando unaregla graduada, Arqumedes, para tratar de reducir la im-precisin de la medida, prob a medir el dimetro de lapupila del ojo humano. Utilizando ese dato en sus clculoslogr una estimacin mejor del dimetro solar.[47]

Cicern (106 a. C.43 a. C.) menciona aArqumedes bre-vemente en su dilogo De re publica, en el cual describeuna conversacin cticia en el ao 129 a. C.. Se dice que,despus de la captura de Siracusa c. 212 a. C., el Gene-

ral Marco Claudio Marcelo llev de vuelta a Roma dosmecanismos que se usaban como herramientas para es-tudios astronmicos, que mostraban los movimientos delSol, la Luna y cinco planetas. Cicern menciona mecanis-mos similares diseados por Tales de Mileto y Eudoxo deCnidos. El dilogo dice que Marcelo guard uno de losmecanismos como su botn personal de Siracusa y donel otro al Templo de la Virtud en Roma. De acuerdo aCicern, Cayo Sulpicio Galo hizo una demostracin delmecanismo de Marcelo, y lo describi as:

Esta descripcin corresponde a la de un planetario.Pappus de Alejandra dijo que Arqumedes haba escri-to un manuscrito (ahora perdido) acerca de la construc-cin de estos mecanismos que se titulaba Sobre haceresferas. Investigaciones modernas en esta rea se hanenfocado en el mecanismo de Antiquitera, otro mecanis-mo de la antigedad clsica probablemente diseado conel mismo propsito. Construir mecanismos de este tipodebera haber requerido un sosticado conocimiento deengranajes diferenciales y se sola pensar que esto iba msall del alcance de la tecnologa disponible en esos tiem-pos, pero el descubrimiento del mecanismo de Antiqui-tera en 1902 vino a conrmar que esta clase de artefactoseran conocidos por los antiguos griegos.[49][50]

3 MatemticasSi bien la faceta de inventor de Arqumedes es quizs lams popular, tambin realiz importantes contribucionesal campo de las matemticas. Sobre el particular, Plutar-co dijo de l que tena por innoble y ministerial todaocupacin en la mecnica y todo arte aplicado a nuestrosusos, y pona nicamente su deseo de sobresalir en aque-llas cosas que llevan consigo lo bello y excelente, sin mez-cla de nada servil, diversas y separadas de las dems.[51]

Arqumedes utiliz el mtodo exhaustivo para conseguir el valoraproximado del nmero .

Arqumedes fue capaz de utilizar los innitesimales deforma similar al moderno clculo integral. A travs de lareduccin al absurdo (reductio ad absurdum), era capazde contestar problemas mediante aproximaciones con de-terminado grado de precisin, especicando los lmitesentre los cuales se encontraba la respuesta correcta. Estatcnica recibe el nombre de mtodo exhaustivo, y fue elsistema que utiliz para aproximar el valor del nmero .

6 4 ESCRITOS

Para ello, dibuj un polgono regular inscrito y otro cir-cunscrito a una misma circunferencia, de manera que lalongitud de la circunferencia y el rea del crculo quedanacotadas por esos mismos valores de las longitudes y lasreas de los dos polgonos. A medida que se incrementael nmero de lados del polgono la diferencia se acorta,y se obtiene una aproximacin ms exacta. Partiendo depolgonos de 96 lados cada uno, Arqumedes calcul queel valor de deba encontrarse entre 310/71 (aproxima-damente 3,1408) y 31/7 (aproximadamente 3,1429), locual es consistente con el valor real de . Tambin de-mostr que el rea del crculo era igual a multiplicadopor el cuadrado del radio del crculo. En su obra Sobrela Esfera y el Cilindro, Arqumedes postula que cualquiermagnitud, sumada a s misma suciente nmero de veces,puede exceder cualquier otra magnitud dada, postuladoque es conocido como la propiedad arquimediana de losnmeros reales.[52]

En su obra sobre la Medicin del Crculo, Arqumedesofrece un intervalo para el valor de la raz cuadradade 3 de entre 265/153 (aproximadamente 1,7320261) y1351/780 (aproximadamente 1,7320512). El valor real seubica aproximadamente en 1,7320508, por lo que la es-timacin de Arqumedes result ser muy exacta. Sin em-bargo, introdujo este resultado en su obra sin explicacinde qu mtodo haba utilizado para obtenerlo.En su obra sobre La cuadratura de la Parbola, Arqu-medes prob que el rea denida por una parbola y unalnea recta equivala exactamente a 4/3 el rea del corres-pondiente tringulo inscrito, tal y como se puede obser-var en la gura de la derecha. Para obtener ese resultado,desarroll una serie geomtrica innita con una razn co-mn de 1/4:

1Xn=0

4n = 1 + 41 + 42 + 43 + = 43:

El primer trmino de esta suma equivale al rea del trin-gulo, el segundo sera la suma de las reas de los dos trin-gulos inscritos en las dos reas delimitadas por el tringu-lo y la parbola, y as sucesivamente. Esta prueba utilizauna variacin de la serie innita 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256+ ..., cuya suma se demuestra que equivale a 1/3.En otra de sus obras Arqumedes se enfrent al reto deintentar calcular el nmero de granos de arena que podacontener el universo. Para hacerlo, desa la idea de queel nmero de granos fuera tan grande como para poderser contados. Escribi:

Existen algunos, Rey Geln, que creen queel nmero de granos de arena es innito enmultitud; y cuando me reero a la arena mereero no slo a la que existe en Siracusa y elresto de Sicilia sino tambin la que se puedeencontrar en cualquier regin, ya sea habitadao deshabitada.

d d////

Arqumedes demostr que el rea del segmento parablico de lagura superior es igual a 4/3 de la del tringulo inscrito de lagura inferior.

Arqumedes

Para poder afrontar el problema, Arqumedes dise unsistema de clculo basado en la mirada. Se trata de unapalabra que procede del griego (murias) y queserva para hacer referencia al nmero 10.000. Propusoun sistema en el que se utilizaba una potencia de una mi-rada de miradas (100 millones) y conclua que el nme-ro de granos de arena necesarios para llenar el universosera de 81063.[53]

4 EscritosLas obras de Arqumedes fueron originalmente escri-tas en griego drico, el dialecto hablado en la antiguaSiracusa.[54]

El trabajo escrito de Arqumedes no se ha conservadotan bien como el de Euclides, y siete de sus tratados slose conocen a travs de referencias hechas por otros auto-res. Pappus de Alejandra, por ejemplo, menciona Sobrehacer esferas y otro trabajo sobre poliedros, mientras que

4.1 Trabajos conservados 7

Ten de Alejandra cita un comentario sobre la refraccinde una obra perdida titulada Catoptrica.[Nota 2] Durantesu vida, Arqumedes difundi los resultados de su traba-jo a travs de la correspondencia que mantena con losmatemticos de Alejandra. Los escritos de Arqumedesfueron recolectados por el arquitecto bizantino Isidoro deMileto (c. 530 d. C.), mientras que los comentarios so-bre los trabajos de Arqumedes escritos por Eutocio enel siglo VI ayudaron a difundir su trabajo a un pblicoms amplio. La obra de Arqumedes fue traducida al ra-be por Thabit ibn Qurr (836901 d. C.), y al latn porGerardo de Cremona (c. 11141187 d. C.). Durante elRenacimiento, en 1544, el Editio Princeps (Primera edi-cin) fue publicado por Johann Herwagen en Basilea, conla obra de Arqumedes en griego y latn.[55]

4.1 Trabajos conservados

Se cuenta que Arqumedes dijo sobre la palanca: Denme un pun-to de apoyo y mover el mundo.

Sobre el equilibrio de los planos (dos volmenes)

El primer libro consta de quince proposicio-nes con siete axiomas, mientras que el segundoconsta de diez proposiciones. En esta obra, Ar-qumedes explica la ley de la palanca, arman-do lo siguiente:

Las magnitudes estn en equilibrio a dis-tancias recprocamente proporcionales a suspesos.

Arqumedes usa los principios derivados pa-ra calcular las reas y los centros de grave-dad de varias guras geomtricas, incluyendotringulos, paralelogramos y parbolas.[56]

Sobre la medida de un crculo

Se trata de una obra corta, consistente entres proposiciones. Est escrito en forma deuna carta a Dositeo de Pelusio, un alumno de

Conn de Samos. En la proposicin II, Arqu-medes muestra que el valor del nmero (Pi)es mayor que 223/71 y menor que 22/7. Estacifra fue utilizada como aproximacin de alo largo de la Edad Media e incluso an hoy seutiliza cuando se requiere de una cifra aproxi-mada.

Sobre las espirales

Esta obra, compuesta de 28 proposiciones,tambin est dirigida a Dositeo. El tratado de-ne lo que hoy se conoce como la espiral deArqumedes. Esta espiral representa el lugargeomtrico en el que se ubican los puntos co-rrespondientes a las posiciones de un punto quees desplazado hacia afuera desde un punto jocon una velocidad constante y a lo largo de unalnea que rota con una velocidad angular cons-tante. En coordenadas polares, (r, ) la elipsepuede denirse a travs de la ecuacin

r = a+ b

siendo a y b nmeros reales. Este es uno de losprimeros ejemplos en los que un matemticogriego dene una curva mecnica (una curvatrazada por un punto en movimiento).

Sobre la esfera y el cilindro (dos volmenes)

En este tratado, dirigido tambin a Dositeo,Arqumedes llega a la conclusin matemticade la que estara ms orgulloso, esto es, la rela-cin entre una esfera y un cilindro cirscunscritocon la misma altura y dimetro. El volumen es43r

3 para la esfera, y 2r3 para el cilindro.El rea de la supercie es 4r2 para la esfera,y 6r2 para el cilindro (incluyendo sus dosbases), donde r es el radio de la esfera y delcilindro. La esfera tiene un rea y un volumenequivalentes a dos tercios de los del cilindro.A pedido del propio Arqumedes, se colocaronsobre su tumba las esculturas de estos dos cuer-pos geomtricos.

Sobre los conoides y esferoides

Este es un trabajo en 32 proposiciones y tam-bin dirigido a Dositeo en el que Arqume-des calcula las reas y los volmenes de lassecciones de conos, esferas y paraboloides.

Sobre los cuerpos otantes (dos volmenes)

En la primera parte de este tratado, Arqume-des explica la ley del equilibrio de los lquidos,

8 4 ESCRITOS

y prueba que el agua adopta una forma esfricaalrededor de un centro de gravedad. Esto pue-de haber sido un intento de explicar las teorasde astrnomos griegos contemporneos, comoEratstenes, que armaban que la tierra es es-frica. Los lquidos descritos por Arqumedesno son auto-gravitatorios, debido a que l asu-me la existencia de un punto hacia el cual caentodas las cosas, del cual deriva la forma esfri-ca.En la segunda parte, Arqumedes calcula lasposiciones de equilibrio de las secciones delos paraboloides. Esto fue, probablemente, unaidealizacin de las formas de los cascos de losbarcos. Algunas de sus secciones otan con labase bajo el agua y la parte superior sobre elagua, de una manera similar a como otan losicebergs. Arqumedes dene en su obra el prin-cipio de otabilidad de la siguiente manera:

Todo cuerpo sumergido en unlquido experimenta un empujevertical y hacia arriba igual al pesode lquido desalojado.

La cuadratura de la parbola

En este trabajo de 24 proposiciones, dirigidoa Dositeo, Arqumedes prueba a travs de dosmtodos distintos que el rea cercada por unaparbola y una lnea recta es 4/3 multiplicadopor el rea de un tringulo de igual base y al-tura. Obtiene este resultado calculando el valorde una serie geomtrica que suma al innitocon el radio 1/4.

[O)stomachion

En esta obra, cuyo tratado ms completo quelo describe se encontr dentro del Palimpsestode Arqumedes, Arqumedes presenta un rom-pecabezas de diseccin similar a un Tangram.Arqumedes calcula las reas de 14 piezasque pueden ser ensambladas para formar uncuadrado. Una investigacin publicada en 2003por el Doctor Dr. Reviel Netz de la Universidadde Stanford argumentaba que Arqumedes es-taba intentando determinar en cuntas for-mas se poda ensamblar las piezas para for-mar un cuadrado. Segn Netz, las piezas pue-den formar un cuadrado de 17.152 mane-ras distintas.[57] El nmero de disposicionesse reduce a 536 cuando se excluyen las so-luciones que son equivalentes por rotacin yreexin.[58] Este puzle representa un ejemplotemprano de un problema de combinatoria.El origen del nombre del puzzle es incier-to; se ha sugerido que puede haber surgido

de la palabra griega para garganta, stmakhos().[59] Ausonio se reere al puzzlecomo Ostomachion, una palabra griega com-puesta por las races (osteon, hueso) y (mach, lucha). El puzzle es tambin co-nocido como el Loculus de Arqumedes o co-mo la Caja de Arqumedes.[60]

El problema del ganado de Arqumedes

Esta obra fue descubierta por Gotthold Eph-raim Lessing en un manuscrito griego consis-tente en un poema de 44 lneas, en la HerzogAugust Library en Wolfenbttel, Alemania,en 1773. Est dirigida a Eratstenes y a losmatemticos de Alejandra y, en ella, Arqu-medes los reta a contar el nmero de re-ses en la Manada del Sol, resolviendo un n-mero de ecuaciones diofnticas simultneas.Hay una versin ms difcil del problema enla cual se requiere que algunas de las res-puestas sean nmeros cuadrados. Esta ver-sin del problema fue resuelta por primeravez por A. Amthor en 1880,[61] y la respuestaes un nmero muy grande, aproximadamente7,76027110206544.[62]

El contador de arena

En este tratado, Arqumedes cuenta el nmerode granos de arena que entraran en el universo.Este libro menciona la teora heliocntrica delSistema solar propuesta por Aristarco de Sa-mos, e ideas contemporneas acerca del tama-o de la Tierra y las distancias de varios cuer-pos celestes. Usando un sistema de nmerosbasado en la capacidad de la mirada, Arqu-medes concluye que el nmero de granos dearena que se requeriran para llenar el univer-so sera de 81063, en notacin moderna. Lacarta introductoria arma que el padre de Ar-qumedes era un astrnomo llamado Fidias. Elcontador de arena o Psammites es la nica obrasuperviviente de Arqumedes en la que se tratasu visin de la astronoma.[63]

El mtodo de teoremas mecnicos

Este tratado, que se consideraba perdido,fue reencontrado gracias al descubrimien-to del Palimpsesto de Arqumedes en 1906.En esta obra, Arqumedes emplea el clculoinnitesimal, y muestra cmo el mtodo defraccionar una gura en un nmero innito departes innitamente pequeas puede ser usadopara calcular su rea o volumen. Arqumedespudo haber considerado que este mtodo care-ca del suciente rigor formal, por lo que utiliz

9tambin el mtodo exhaustivo para llegar a losresultados. Al igual que El problema del gana-do, El mtodo de teoremas mecnicos fue escri-to en forma de una carta dirigida a Eratstenesde Alejandra.

4.2 Obras apcrifas

El Libro de Lemmas o Liber Assumptorum es un tratadode quince proposiciones sobre la naturaleza de los crcu-los. La copia ms antigua del texto est escrita en rabe.Los estudiosos T. L. Heath y Marshall Clagett argumen-taron que no pudo haber sido escrito por Arqumedes enesa versin, debido a que l mismo aparece citado en eltexto, lo cual sugiere que fue modicado por otro autor.El Lemmas puede estar basado en una obra ms antigua,ahora perdida, escrita por Arqumedes.[64]

Tambin se ha dicho que Arqumedes ya conoca lafrmula de Hern para calcular el rea de un tringulosabiendo la medida de sus lados.[Nota 3] Sin embargo, laprimera referencia able de la frmula viene dada porHern de Alejandra en el siglo I d. C.[65]

5 El Palimpsesto de Arqumedes

Stomachion es un puzzle de diseccin en el Palimpsesto de Ar-qumedes.

El Palimpsesto de Arqumedes es una de las principalesfuentes a partir de las cuales se conoce la obra de Arqu-medes. En 1906, el profesor Johan Ludvig Heiberg visitConstantinopla y examin un pergamino de piel de cabrade 174 pginas con oraciones escritas en el siglo XIII d.C. Descubri que se trataba de un palimpsesto, un docu-mento con texto que ha sido sobreescrito encima de unaobra anterior borrada. Los palimpsestos se creaban me-diante el rascado de la tinta de obras existentes para lue-

go reutilizar el material sobre el que estaban impresas, locual era una prctica comn en la Edad Media debido aque el papel vitela era caro. Las obras ms viejas que sepodan encontrar en el palimpsesto fueron identicadaspor los acadmicos como copias del siglo X de tratadosde Arqumedes que anteriormente eran desconocidos.[66]El pergamino pas cientos de aos en la biblioteca de unmonasterio de Constantinopla, antes de ser vendido a uncoleccionista privado en la dcada de 1920. El 29 de oc-tubre de 1998 fue vendido en una subasta a un compra-dor annimo por dos millones de dlares en Christies,Nueva York.[67] El palimpsesto contiene siete tratados,incluyendo la nica copia hasta entonces conocida de laobra Sobre los cuerpos otantes en el original en griego.Es tambin la nica fuente de El mtodo de los teoremasmecnicos, al que se reri Suidas y que se crey perdidopara siempre. Stomachion tambin fue descubierto en elpalimpsesto, con un anlisis ms completo del puzzle queel que se poda encontrar en textos anteriores.El palimpsesto est guardado en el Walters Art Museumen Baltimore, Maryland, donde ha pasado por diversaspruebas modernas, incluyendo el uso de luz ultravioleta yde rayos X para leer el texto sobrescrito.[68]

Los tratados que contiene el Palimpsesto de Arqumedesson: Sobre el equilibrio de los planos, Sobre las espirales,Medida de un crculo, Sobre la esfera y el cilindro, Sobrelos cuerpos otantes, El mtodo de los teoremas mecnicosy Stomachion.

6 Reconocimientos

La medalla Fields representa un retrato de Arqumedes.

En 1935 se decide en su honor llamar Arqumedes a uncrter lunar (29.7 N, 4.0 W) ubicado en la zona orien-tal del Mare Imbrium.[69][70] Tambin llevan su nombrela cordillera lunar Montes de Arqumedes (25.3 N,

10 8 NOTAS Y REFERENCIAS

4.6 W) y el asteroide 3600 Arqumedes (3600 Archime-des).[71]

La Medalla Fields, galardn otorgado a los logros mate-mticos ms destacados, lleva un retrato de Arqumedes,junto con su prueba acerca de la relacin matemtica en-tre las reas y volmenes de la esfera y el cilindro. Lainscripcin alrededor de la cabeza de Arqumedes es unacita atribuida a l, que dice en latn: Transire suum pec-tus mundoque potiri (Superarse uno mismo y dominarel mundo).[72]

Arqumedes ha aparecido en emisiones de sellos deAlemania del Este (1973), Grecia (1983), Italia (1983),Nicaragua (1971), San Marino (1982), y Espaa(1963).[73]

La exclamacin Eureka!, atribuida a Arqumedes, es ellema del estado de California. En este caso, sin embargo,la palabra hace referencia al momento del descubrimentode oro cerca de Sutters Mill en 1848, que desat la Fiebredel oro en California.[74]

7 Vase tambin Nmero de Arqumedes Tornillo de Arqumedes Slidos arquimedianos Clculo de la raz cuadrada

8 Notas y referencias

8.1 Notas[1] En el prefacio de Sobre las espirales, dirigido a Dositeo

de Pelusio, Arqumedes dice que muchos aos han pa-sado desde la muerte de Conon. Conon de Samos vivic. 280220 a. C., lo que sugiere que Arqumedes puedehaber sido ms viejo cuando escribi algunos de sus tra-bajos.

[2] Los tratados de Arqumedes que slo se conocen a tra-vs de referencias de otros autores son: Sobre hacer esfe-ras y una obra sobre poliedros mencionada por Papus deAlejandra; Catoptrica, una obra sobre ptica mencionadapor Ten de Alejandra; Principios, dirigido a Zeuxippos,que explicaba el sistema numrico usado en El contadorde arena; Sobre balanzas y palancas; Sobre los centros degravedad; Sobre el calendario. De las obras de Arqume-des, T. L. Heath da la siguiente teora acerca del orden enque fueron escritas: Sobre el equilibrio de los planos I, Lacuadatura de la parbola, Sobre el equilibrio de los planosII, Sobre la esfera y el cilindro I, II, Sobre las espirales, So-bre los conoides y esferoides, Sobre los cuerpos otantessI, II, Sobre la medida de un crculo, El contador de arena.

[3] Boyer, Carl Benjamin A History of Mathematics (1991)ISBN 0-471-54397-7 Estudiosos rabes nos informan

que la familiar frmula del rea de un tringulo en cuantoa las medidas de sus tres lados, usualmente conocida comola frmula de Hern k = (s(s a)(s b)(s c)), don-de s es el semipermetro era conocida por Arqumedesvarios siglos antes de que Hern naciera. Los estudiososrabes tambin atribuyen a Arqumedes el 'teorema delacorde roto' Segn los rabes, Arqumedes dio variaspruebas de dicho teorema.

8.2 Referencias[1] Archimedes Death Ray: Testing with MythBusters.

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[6] Archimedes - The Palimpsest. Walters Art Museum.Consultado el 14 de octubre de 2007.

[7] Quiladas, II, Hist. 35, 105.

[8] T. L. Heath, Works of Archimedes, 1897

[9] La hiptesis fue propuesta por Friederich Blass. Vid. As-tronomische Nachrichten 104 (1883), n. 2488, p. 255.

[10] Plutarco, Vidas Paralelas: Marcelo XIV

[11] O'Connor, J. J.; Robertson,, E. F. mcs. st-andrews. ac.uk/Biographies/Archimedes. html Archimedes of Syra-cuse. University of St Andrews. Consultado el 2-1-2007.

[12] Bibioteca Histrica, I, 34; V, 37

[13] Historias, VIII, 5ss.

[14] Pluraco, Vidas Paralelas: Marcelo XVII.

[15] Ab Urbe condita libri, XXIV, 34.

[16] Goldsworthy, Adrian. 10. La cada de Cartago (mar-zo de 2008 edicin). Barcelona: Ed. Ariel. pp. 308309.ISBN 978-84-344-5243-5.

[17] Plutarco, Vidas Paralelas: Marcelo XIX

[18] Tito Livio (Tomo XXV, 31, 9)

[19] Rorres, Chris. math. nyu.edu/~crorres/Archimedes/Death/Histories. htmlDeath of Archimedes: Sources. Courant Instituteof Mathematical Sciences. Consultado el 2-1-2007.

8.2 Referencias 11

[20] Rorres, Chris. math. nyu.edu/~crorres/Archimedes/Death/Histories. htmlDeath of Archimedes: Sources. Courant Instituteof Mathematical Sciences. Consultado el 2-1-2007.

[21] Cicern, Disputaciones tusculanas, V, 64-66.

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[23] Tito Livio (Tomo XXIV, 34, 2) introduce a Arqumedescomo ...un observador sin par del cielo y de los astros,pero ms extraordinario an como inventor y constructorde mquinas de guerra....

[24] Rorres, Chris. math. nyu.edu/~crorres/Archimedes/Siege/Polybius. html Siege ofSyracuse. Courant Institute of Mathematical Sciences.Consultado el 23-7-2007.

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9.2 En castellano Arqumedes. Eutocio (2005). Tratados I. Comen-

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10 Enlaces externos Wikiquote alberga frases clebres de o sobreArqumedes. Wikiquote

Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Arqumedes. Commons

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Archimedes Palimpsest (en ingls) Rayos X para Arqumedes (30 de julio de 2006) Arqumedes - Universidad de Drexel (en ingls) Lamedida del crculo deArqumedes: Figura y textode la proposicin

Biografa de Arqumedes con referencias a textosclsicos

10.1 Obras de Arqumedes en Internet 13

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Tratado de los objetos que estn en un lquido. Texto italiano con ndice electrnico, en elmismo sitio: trad. annima de 1822.

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Textos en ingls en Internet Archive. Textos en ingls, en facsmil electrnico.

Textos en griego. Textos griegos en el sitio de la Bibliotheca Au-gustana (Augsburgo).

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11 Text and image sources, contributors, and licenses11.1 Text

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