arX

iv:1

010.

0824

v6 [

mat

h.C

A]

30

Jun

2019

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗбез пробелов

С.С.Акбаров

2 июля 2019 г.

http://arxiv.org/abs/1010.0824v6

2

i

Если задаться целью проследить, во что превратятся курсы математики, читаемые на техни-ческих факультетах нынешних университетов, при условии, что изложение в них будет вестись насовременном уровне строгости, с нуля и без пробелов, то можно быть уверенным, что большинствупреподавателей и студентов открывшаяся картина покажется неожиданной. Главным сюрпризомнаверняка будет то, что такое изложение вообще возможно. Вторым по неожиданности — его де-тали. И третьим — что такая подача материала будет все же доступна для понимания. Настоящийучебник — попытка такой систематизации. Автор строит курс математики, включающий в себяосновные факты математического анализа и лежащих в его основе дисциплин — математическойлогики и линейной алгебры — с расчетом на формально нулевую подготовку читателя. Последнее,разумеется, не означает обещания, что изложение будет понятно первокласснику, но подразумеваетвозможность для человека, способного абстрагироваться от части своих знаний, проверить деталивнушаемого ему со школы убеждения, что математика — строгая наука, где все аккуратно выстра-ивается чисто логическими средствами, без ссылок на интуицию, причем сами логические средстватакже ясно формализуются и никак не связаны с человеческой биологией.

Предисловие

Эта книга представляет собой учебник по математическому анализу и тем областям математики,на которые он опирается: математической логике и линейной алгебре (в объеме, с точностью донекоторых отклонений по ходу изложения, необходимом для доказательства утверждений мате-матического анализа). Идея, руководившая автором при ее создании, состояла в том, чтобы датьвозможность студентам и преподавателям проследить цепочки рассуждений, ведущие от самыхэлементарных понятий теории множеств к главным результатам университетской математики. Приэтом первостепенными требованиями к этим цепочкам выставлялись их ясность и непрерывность,и, поскольку по опыту автора, это требует объяснения, настоящее Предисловие предназначено глав-ным образом для него.

Что не так? Если задуматься, что теоретически может мешать человеку понимать предмет, из-ложенный в учебнике, то в голову придут два главных возможных препятствия:

1) Темные места. Плохо объясненные, плохо проработанные, неоправданно сложные, непо-нятные, запутанные детали в каких-то частях изложения, — причем таковыми могут бытьдаже целые темы, — понятно, составляют проблему.

2) Пробелы. Они бывают двух типов: пробелы со ссылками и пробелы без ссылок.

a) Первые отсылают читателя за подробностями к другим источникам, и, хотя втаких случаях считается, что человек сам может восстановить недостающие де-тали, надо понимать, что это далеко не всегда бывает легко. Негарантированнаядоступность источника, рассогласованность в терминологии и обозначениях, встиле, необязательно внятное освещение этой темы в самом источнике, всегдапредставляют дополнительные сложности, иногда небольшие, но часто оченьсущественные, вплоть до непреодолимых.

b) Помимо пробелов со ссылками бывают еще пробелы без ссылок. Это происходит,когда какие-то вещи автору текста кажутся очевидными, или общеизвестными,или незаслуживающими детального обсуждения. Во всех случаях это можетбыть причиной непонимания или вовсе отторжения материала.

В математическом анализе эти трудности представлены полным списком. Вот, в частности, из-вестные автору темные места и пробелы без ссылок (пробелы со ссылками мы перечислим чутьниже, на странице v).

1. Элементарные функции. Почти во всех учебниках они вводятся “описательно”, без строгихопределений. Если бы так было везде, это был бы пробел без ссылок, однако автору известна однакнига, а именно, учебник Г. Грауэрта, И. Либа и В. Фишера [3], где экспонента, логарифм, степень итригонометрические функции определены аккуратно [3, Глава VI, § 4]. Можно было бы поэтому невидеть здесь проблемы, но неприятность в том, что в [3] определения элементарных функций даютсятолько после темы “Разложение Тейлора”. Естественно, это делает их формально непригодным впредыдущих темах, то есть, фактически во всем первом семестре изучения матанализа. Посколькув матанализе элементарные функции принято использовать сразу, проблема остается, и ее можноклассифицировать как темное место.

2. Кривые и поверхности. Эта тема выглядит недоработанным введением в геометрическую тео-рию меры, в котором, вопреки ожиданиям зрителя, создатели не захотели или не смогли избавитьсяот параметризации. То есть, например, кривая в Rn определяется не как множество в Rn, а какотображение

γ : [a, b]→ Rn

с подходящими свойствами (гладкость, липшицевость, спрямляемость, на вкус автора). Все после-дующие конструкции — длина (или площадь, в случае с поверхностями), интегралы двух типов и

ii

iii

подобное — производят впечатление (как и положено им быть) величин, не зависящих от парамет-ризации, но как это формализуется, то есть как следует определить класс кривых (поверхностей),чтобы независимость от параметризации (с естественно вытекающими следствиями) можно былоаккуратно доказать, — остается непонятно. Это влечет за собой остальные проблемы: неразрабо-танность аппарата теории, странную узость класса рассматриваемых примеров, а при попытках егорасширить — фантастическую дремучесть определений, формулировок и доказательств. В отличиеот предыдущего примера, это можно считать пробелом без ссылок, потому что ни в каких учебникахэти детали не проясняются.

3. Calculus (Исчисление). К этой теме также логично относиться как к пробелу без ссылок, однакоздесь объяснение должно быть более подробным. Рассмотрим следующий пример. Представим, чтонам захотелось сосчитать производную функции1

h(x) = sin(x2).

Если использовать стандартное определение производной через предел2,

h(x) = limz→x

h(z)− h(x)z − x , (1)

то для этого нам необходимо будет ввести две вспомогательные функции

g(y) = sin y, f(x) = x2,

после чего по известной формуле производной композиции функций3 мы получим:

h′(x) = (g ◦ f)′(x) = g′(f(x)) · f ′(x) = cos(x2) · 2x.

Этот способ намного менее удобен (особенно когда функция устроена сложно, с большим числомкомпозиций и/или алгебраических операций), чем школьный, в виде цепочки преобразований, ко-торая в данном случае принимает вид

(sin(x2)

)′=(sin y

∣∣∣y=x2

)′= (sin y)′

∣∣∣y=x2

· (x2)′ = cos y∣∣∣y=x2

· 2x = cosx2 · 2x

(здесь штрих ′ означает взятие производной по единственной свободной переменной в скобках, азапись y = x2 в качестве индекса у вертикальной черты, означает подстановку; удобство такойзаписи в том, что в ней нет необходимости вводить обозначения для промежуточных функций, fи g). Чтобы этот “школьный способ” здесь работал, нужны следующие “школьные тождества дляпроизводной”:

(sin y)′ = cos y, (x2)′ = 2x. (2)

Проблема в том, что они не могут считаться частными случаями формулы (1): в (1) x являетсясвободной переменной, то есть вместо нее можно подставлять разные значения, и формула все равнобудет верна. Например, можно подставить вместо x символ 1, и мы получим верное равенство

h(1) = limz→1

h(z)− h(1)z − 1 .

Если же то же самое проделать с формулами (2), подставив, например, y = 1 и x = 1 (что есте-ственно, когда считаешь значение производной функции h(x) = sin(x2) в точке 1), то мы получимформально ложные равенства:

(sin 1)′ = cos 1, (12)′ = 2 · 1.

(потому что производная от константы должна быть нулевой). Это означает, что если мы хотимсохранить школьные приемы вычисления производной, мы должны помимо (1) иметь другое опре-деление производной, предназначенное специально для вычислений.

Естественный способ приписать точный смысл тождествам (2) — относиться к операции взятияпроизводной в них как к формальной операции τ 7→ τ ′ на термах подходящей теории 1 порядка4.

1Ниже это упражнение приведено как пример 5.1.23.2В тексте формула (5.1.4).3Ниже формула (5.1.61).4Понятие теории 1 порядка, или формальной теории, описывается ниже в тексте на с.79.

iv

Если представлять Calculus как такую теорию, то его сигнатуру логично было бы считать состоящейих нульместных функциональных символов

0, 1, e, π

(e – число Непера, π – полупериод синуса), одноместных функциональных символов

sin, cos, arctg, arcctg,

двуместных функциональных символов+, ·,

а также, для функций, определенных не везде, двуместных и трехместных предикатных символов,формализующих схемы высказываний

tg x = y, ctg x = y, arcsinx = y, arccosx = y,x

y= z, xy = z, logx y = z.

В такой теории производную и интеграл можно было бы определять как операции на термах (иликак подходящие преобразования формул5), а возникающие конструкции на множестве R веществен-ных чисел были бы просто моделью6 Calculus, как теории 1 порядка. Поскольку решение школьныхуравнений и неравенств также представляет собой систему операций над выражениями, постро-енными из тех же символов, эту часть математики также можно было бы считать компонентойCalculus.

Но Calculus как теория 1 порядка к настоящему времени не разработан7. Со времен Коши иВейерштрасса, когда, как считается, в Анализе был наведен порядок, эта тема так и осталась белымпятном, и как следствие, традиционно объясняется путано, ссылок на специальные дисциплины неимеет, а времени на обучение требует пропорционально своей непроходимости: последние нескольколет школы и первые годы университета.

Делить или объединять? Примеры предыдущего пункта призваны проиллюстировать тезис,что университетской математике есть куда развиваться. Следующий вопрос можно поставить так:нужно ли ей продолжать дробиться на все более мелкие дисциплины, или наоборот искать воз-можности для их объединения?

Автору очевидно, что приоритетом здесь должно быть второе. Понятно, что учебный процессограничен во времени, и если пытаться расположить дисциплины в виде дерева с идеей исключитьссылки на непройденные темы, это удлиннит обучение так, что в традиционные (для большинстваучебных заведений) сроки, вполне вероятно, уложиться будет невозможно. Но, во-первых, эта про-блема не кажется непреодолимой: при подходящей перестройке курсов можно добиться хотя бы,чтобы линейные участки этого дерева излагались параллельно, и если курс A содержит ссылку накурс B, но ко времени экзамена по A курс B будет пройден, это выглядит приемлемым компромис-сом.

А, во-вторых, на уровне учебников эта проблема ведь исчезает. Ничто не мешает человеку от-крывать одну и ту же книгу в разных местах, когда это ему понадобится. При этом общая картинабудет у него всегда перед глазами.

Помимо возможности поглядеть на науку сверху, плюс такой интеграции состоит в том, что онаструктурирует знание, давая возможность человеку оценить важность тех или иных тем. Следяза ссылками читатель может понять, что из предыдущего материала важно для данной темы, а безчего можно обойтись. При дроблении эта опция исчезает.

С чего начать и где остановиться? Автор счел разумным (и возможным) изложить основныефакты математического анализа с элиминацией темных мест и пробелов, причем не только пробе-лов без ссылок, но и со ссылками. Последнее условие в этой программе понимается максимальношироко: изложение ведется прямо от оснований математики, что позволяет сделать его полностьюнезависимым от других источников (в частности, избавиться в теоретическом материале от тради-ционных ссылок на так называемую “базу школьных знаний”, которыми всегда злоупотребляют вучебниках по университетской математике).

Для перечисленных выше трех трудных мест в тексте предложены следующие решения.

5См. формулы на с.330 и 402.6Понятие модели теории 1 порядка определяется на с.102.7Очевидно, из-за проблемы с определением равенства термов, о которой мы говорим ниже на с.301.

v

1. Элементарные функции: здесь проблема решается введением двух избыточных аксиом (подроб-ности на с.277). В нашем учебнике эта тема описывается в главе 4, после темы “Пределы”. Такоерасположение материала связано с тем, что при доказательстве свойств элементарных функций,в частности, тождеств, приходится активно использовать классические теоремы о непрерывныхфункциях (а именно, теорему Коши о промежуточном значении 3.3.6 и теорему об обратной функ-ции 3.3.12), которые, как следствие, к этому моменту желательно иметь в своем распоряжении.Однако если формальная сторона дела не стоит в приоритете, ничто не мешает на занятиях опи-сать аксиомы степеней и тригонометрии сразу в теме “числовые функции”, перечислив главныеследствия из них без доказательств (или пообещав доказать это позже). Тогда пользоваться эле-ментарными функциями можно будет с первых занятий.

2. Кривые и поверхности: здесь предложенное решение состоит в том, чтобы ввести класс гладкихотображений на измеримых по Жордану компактах, которые характеризуются инъективностью по-чти всюду и невырожденностью почти всюду дифференциала (в тексте такие отображения называ-ются полурегулярными, см. определение на с.953). Это позволяет доказать теорему о существовании(подходящим образом понимаемой) функции перехода от одной параметризации к другой (теоре-ма 15.3.15), что в свою очередь дает решение упомянутой выше проблемы независимости нужныхконструкций от параметризации.

3. Calculus: здесь автор должен признаться, что не смог (пока) найти идею, позволяющую эле-гантно обойти упомянутые выше трудности. Последовательно разрабатывать Calculus, как теорию 1порядка, — задача, по-видимому, слишком громоздкая (см. подробности на с.300), а можно ли (с со-блюдением строгости) описать эту теорию проще — автору неизвестно. В тексте Дифференциальноеисчисление описывается как язык 1 порядка с набором функциональных символов, включающимобозначения всех элементарных функций (в том числе функций, определенных не везде на R)8 сдополнительной операцией взятия частной производной над термами. Обсуждение этой темы мыначинаем со страницы 300, а детали решения приводим на страницах 330 (для функций одной пе-ременной) и на с.821 (для функций нескольких переменных). Интегральное исчисление, наоборот,описывается как конструкция внутри Анализа на с.402, без выхода в теорию формальных языков,потому что неопределенный интеграл удобнее считать операцией на классах функций со значения-ми в классах функций (а не на классе термов со значениями в классе термов, где он будет не вездеопределен).

В соответствии с общей философской установкой, в текст включены также темы, которые поописанной выше классификации можно считать пробелами со ссылками. Вот их список в сторонуудлинения цепочки связей с матанализом:

4. Линейная алгебра. Многомерный вещественный анализ базируется на линейной алгебре9, по-этому если задаваться целью ликвидировать не только пробелы без ссылок, но и со ссылками, тосоответствующий материал из линейной алгебры в такой текст нужно включать. Мы это делаем вглаве 12.

5. Комбинаторика. Линейная алгебра в свою очередь использует результаты комбинаторики10.Этот материал мы излагаем в начале главы 12.

6. Теория вещественного числа. Вещественный анализ и линейная алгебра, строятся как дефи-нициальные расширения теории вещественных чисел. Мы излагаем эту теорию в главе 2.

7. Теория множеств и логика. Теория вещественных чисел в свою очередь представляет собойдефинициальное расширение аксиоматической теории множеств. Мы описываем ее в главе 0, а вглаве 1 мы приводим материал из математической логики, необходимый для понимания логическойструктуры всего курса (в частности, определение самого дефинициального расширения дается нас.90).

О логике нужно сказать несколько слов отдельно, поскольку ее можно считать одновременно ипробелом со ссылками, и темным местом, и, при определенном уровне требовательности, пробеломбез ссылок. Речь идет вот о чем. После знаменитого кризиса начала 20 века эта наука пришла к со-стоянию, когда ее описание удобнее всего представлять как некую игру с символами. И, хотя в этом

8То есть, помимо алгебраических операций, включающих деление и возведение в степень, в этой сигнатуре функ-циональными символами считаются также

sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg, log .

9В качестве иллюстрации можно привести, например, теорему о локальном экстремуме 14.1.28, или теоремыЛагранжа 14.3.11 и 14.3.12, или теорему об искажении меры при линейном преобразовании 15.1.21, и другие, гдесодержатся ссылки на действия с матрицами и полилинейными формами на конечномерном вещественном векторномпространстве.

10Например, в конструкции определителя.

vi

и заключался главный итог исследований первой половины 20 века в этой области, — превращениевсей математики в игру с символами, — правила этой игры и главные ее результаты объясняютсяна сегодняшний день очень плохо. Неспециалиста эти объяснения поражают своей сложностью итребуют от него усилий, несоразмерных с целями ознакомления с предметом.

Автору очевидно, что причиной здесь является утвердившийся среди логиков после работ Гёделяязык платоновских идей, проявляющийся в традиции использовать понятия множества и функциивне их аксиоматического описания, а понятия истинности и ложности вне их связи с выводимо-стью из аксиом теории множеств. На самом элементарном уровне понимания предмета это виднов том, что в современной логике понятия множества и функции используются до того, как тео-рия множеств построена как формальная теория. Это приводит к странной неоднозначности впонимании этих терминов: с одной стороны, они используются как термины формальной теории,но одновременно (и очень часто, почти всегда, невозможно уловить разницу) как просто слова вповседневной речи, значение которых не требует уточнений (но тем не менее выводы, к которымприводит их употребление, остаются на удивление глубокими и неочевидными11).

Человек с улицы (даже математик, но не специалист в этой области) понять эту игру намеков,конечно, не в состоянии, и остается удивляться, как получилось, что до сих пор никто не пыталсянавести в этой области “линейный порядок” (принятый во всей остальной математике). То естьтакое положение дел, при котором ссылки на конструкции, не описанные формально на моментиспользования, считаются недопустимыми.

В первой части нашего учебника, посвященной основаниям математики (главы 0 и 1) мы поста-раемся исправить это недоразумение и даем “линейное” изложение главных результатов этой науки.Неспециалисту это прояснит картину, а специалисту позволит взглянуть на нее по-новому (что, какмы уже отмечали в аннотации, полезно). Автор, помимо прочего, считает, что такой “линейный”способ объяснять этот материал представляет собой естественное развитие гильбертовской фило-софии формализма (которой только обстоятельства помешали превратиться в описываемую здесьсистему).

С теорией множеств и логикой мы доходим до основ, дальше которых уже ничего нет, и у насполучается курс университетской математики с нуля.

Объем охвата тем 4-7 в этом списке диктуется потребностями математического анализа, ноиногда, когда затрагиваемый круг вопросов важен для математики в целом, как, например, в случаес рангом множества (см. определение на с.74), мы отступаем от этого правила и даем немногобольше информации.

Структура учебника. В тексте доказываются все формулируемые утверждения, за исключени-ем

1) совсем элементарных, доказательство которых проводится по аналогии с соседними утвер-ждениями (и которые поэтому иногда оформляются в виде упражнений, как, например,свойства чисел в упражнении 2.1.12),

2) нескольких фактов общематематического значения (таких, как теорема Гёделя о непол-ноте12 или парадокс Банаха-Тарского13), приводимых в тексте только для прояснениямотивировок, и никак не проявляющих себя в логической структуре курса.

По способу подачи материал делится на основной, излагаемый текстом в одну колонку, и иллю-стративный, представленный двумя колонками. Разница между тем и другим состоит в том, чтоосновной материал задуман, как логически последовательное изложение основных утвержденийтеории, в котором, в частности, не допускаются ссылки на утверждения, не доказанные на моментцитирования.

В иллюстративном материале, наоборот, приоритетом считается обеспечение читателя достаточ-ным количеством примеров и упражнений для скорейшего привыкания к используемым в основномтексте понятиям и приемам, и, как следствие, уровень логической строгости здесь снижается. Одна-ко, не намного, а только до той планки, на которой некоторые понятия позволяется упоминать суще-ственно раньше, чем они будут формально определены (например, понятие длины кривой впервыеупоминается на с.468, хотя определяется только на с.992), а некоторым утверждениям позволяетсябыть сформулированными задолго до того, как они будут аккуратно доказаны в тексте (таковы,

11Такова, например, теорема Гёделя о полноте, формулируемая ниже в виде двух теорем 1.1.22 и 1.1.23 (отдельнодля теорий с конечной и бесконечной системой аксиом).

12Теорема 1.1.17 ниже.13Теорема 15.1.5.

vii

например, формулы для простейших геометрических величин в главе 8 – площади правильной об-ласти на плоскости, объема тела вращения и т.п. – которые мы по традиции приводим раньше, чемэти величины формально будут определены, и как следствие, доказательство этих формул перено-сится на несколько глав вперед). При таком подходе, в частности, все, что связано с Исчислением,включая определения элементарных (/стандартных) функций, описание формальных операций надними и доказательство связи этих операций с дифференцированием и интегрированием, попадаетв двухколоночный текст, поскольку идеологически превращается в иллюстративный материал.

При работе над текстом автор использовал многие идеи доказательств, а также некоторые за-дачи и упражнения из учебников и пособий, выходивших в разные годы в России. Эти руководстваприведены в списке литературы на странице viii.

Остающиеся пробелы. В предлагаемом варианте текста все еще остаются один пробел без ссы-лок и одно темное место:

1. Темным местом по-прежнему можно считать Calculus, потому что, как уже говорил ав-тор, найти идею, позволяющую изложить этот материал одновременно строго и просто,ему пока не удалось. Предлагаемое решение можно считать строгим, но простым его неназовешь.

2. Пробелом без ссылок является теорема Гёделя о полноте для рекурсивно аксиоматизи-рованных теорий, описываемая в тексте в нетрадиционно формализованном виде и на-званная здесь теоремой о семантизации (теорема 1.1.23). Это утверждение приводитсябез доказательства (и без ссылок на доказательство) и даже сама его формулировка покане точна.

Автор публикует в сети этот черновик в надежде на помощь коллег и будет признателен за любыессылки и идеи для устранения этих недостатков.

Благодарности. Автор выражает благодарность коллегам за консультации: С. А. Абрамову,Л. Д. Беклемишеву, В. А. Душскому, Н. М. Зобину, С. В. Иванову, Д. П. Скворцову, С. В. Со-ловьеву, А. Г. Федотову, Д. С. Шамканову, Н. Швеберу. Автор благодарит также своих друзей заморальную поддержку в этом проекте: Ю. Л. Беккера и А. С. Касюкова.

Литература

[1] Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков. Лекции по математическому анализу, М.:Высшая школа, 1999.

[2] Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-пресс, 2001.

[3] Г. Грауэрт, И. Либ, В. Фишер. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Мир, 1971.

[4] В. А. Зорич. Математический анализ, М.: Фазис, Т.1-2, 1997.

[5] Дж. Л. Келли. Общая топология, М.: Наука, 1981.

[6] Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, М.: Высшая школа, Т.1-2, 1981, Т.3, 1989.

[7] Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин. Сборник задач по математи-ческому анализу, М.: Физматлит, Т.1-3, 2003.

[8] У. Рудин. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.

[9] М. Спивак. Математический анализ на многообразиях. М.: Мир, 1968.

[10] Г. Такеути. Теория доказательств. М.: Мир, 1978.

[11] Е. Титчмарш. Теория функций. М.: Наука, 1980.

[12] Х. Уитни. Геометрическая теория интегрирования. М.: ИЛ, 1960.

[13] Дж. Шенфилд. Математическая логика. М.: Наука, 1975.

viii

Часть I

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

1

Глава 0

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Вся современная математика (за исключением некоторых разделов логики) строится на теориимножеств (понимаемой ныне как система аксиоматических теорий, различающихся некоторымидеталями). Поэтому если задаваться целью излагать какую-то часть математики (в нашем случае,Анализ) без пробелов, начинать нужно все-таки с теории множеств.

В этой главе мы опишем одну из аксиоматических теорий множеств, теорию Морса-Келли, ипри этом постараемся сделать это описание максимально формализованным, чтобы дать читателюпредставление об игре с символами, о которой мы говорили в Предисловии на с.v.

§ 1 Наивная теория множеств

Изучение теории множеств удобно начать с ее наивной версии, которая, будучи сформулирована насовременном языке, экономно вводит в курс дела и иллюстрирует проблемы. Эту теорию мы будемобозначать буквосочетанием NST (“naive set theory”).

(a) Формулы

Элементарные высказывания. Взгляд тео-рии множеств (не только наивной, но вообще лю-бой) на мир заключается в том, что его объектынаходятся друг с другом в отношении принад-лежности: если мы рассматриваем произвольныедва объекта A и B, то должно быть истиннымили ложным (или независимым от используемойнами системы аксиом) утверждение, звучащеетак:

«A принадлежит B»

или, в эквивалентных формулировках,

«A является элементом B»

«B содержит A в качестве элемента».

Коротко это записывают формулой

A ∈ B.

Помимо этого объекты могут быть одинаковымиили различаться. Если A и B совпадают, то этозаписывают формулой

A = B.

Естественно, кроме A и B в этих высказывани-ях1 допускается использование других букв иззаранее выбранного алфавита. Мы будем счи-тать таким алфавитом латинский с прописнымисимволами2:

A,B,C,D,E, F,G,H, I, J,K, L,M,N,

O, P,Q,R, S, T, U, V,W,X, Y, Z.

Эти символы называются переменными.

• Высказывания вида3 A ∈ B и A = B (гдевместо A и B могут стоять любые другие пе-ременные) называются атомарными форму-лами теории множеств.

1Точнее, в схемах высказываний, потому что если формула содержит свободные переменные, то это не одно,семейство высказываний.

2Логики обычно делают алфавит бесконечным, объявляя допустимым применение индексов или штриха, но наэтом этапе нам будет достаточно конечного набора букв.

3См. подстрочное примечание 1.

2

§ 1. Наивная теория множеств 3

Логические операции и кванторы. Из ато-марных формул (“простейших высказываний”этого языка) строятся более сложные с помощьюлогических операций и кванторов, список кото-рых удобно привести в следующей таблице:

символ его смысл название

¬ «не» отрицание& «и» конъюнкция

∨ «или» дизъюнкция⇒ «влечет за собой» импликация⇔ «эквивалентно» эквивалентность∀ «для любого» квантор

всеобщности

∃ «существует» кванторсуществования

У этих значков имеется формальное описание сточными правилами употребления (и мы приво-дим его ниже на с.10), однако на этом этапе удоб-но о таких вещах не задумываться, и в логиче-ских рассуждениях руководствоваться интуици-ей, воспринимая эти символы просто как системусокращений в обыденной речи.

Высказывания (формулы). Логическиеоперации и кванторы позволяют строить из ато-марных формул (“простейших высказываний”об объектах теории) более сложные, называемыепросто формулами. Для их описания использу-ется следующее индуктивное определение (в ко-тором греческие буквы обозначают переменныеили высказывания).

• Формулой (или высказыванием) теории мно-жеств объявляется произвольная строкасимволов, состоящая из букв латинского ал-фавита, символов = и ∈, логических симво-лов и скобок, построенная по следующим пра-вилам:

— если X и Y – переменные, то X = Y явля-ется формулой,

— если X и Y – переменные, то X ∈ Y явля-ется формулой,

— если строка ϕ – формула, то строка ¬ (ϕ)– тоже формула;

— если строки ϕ и ψ – формулы, то следую-щие строки – тоже формулы:

(ϕ) & (ψ), (ϕ) ∨ (ψ),(ϕ)⇒ (ψ), (ϕ)⇔ (ψ),

— если ϕ – формула, а X – переменная, тоследующие строки – тоже формулы:

∀X (ϕ), ∃X (ϕ). (0.1.1)

• Формула ϕ в формулах (0.1.1) называется об-ластью действия квантора (∀ или ∃, в зави-симости от символа перед переменной α).

Приведем некотороые примеры.

⋄ 0.1.1. Следующие строки являются формула-ми теории множеств:

¬(A = B)

(A ∈ B) & (X = Y )(A ∈ B) ∨ (B ∈ A)∀X ∃Y X ∈ Y

⋄ 0.1.2. Следующие строки, наоборот, не явля-ются формулами теории множеств:

(A = B)¬

(A ∈ B) (X = Y )(A ∈ B) & ∨ (B ∈ A)∀ ∃X Y X ∈ Y

Сокращения.

• Отрицания отношений = и ∈ имеют специ-альные обозначения:

X 6= Y (0.1.2)

– эквивалентная запись отношения

¬(X = Y ),

аX /∈ Y (0.1.3)

– эквивалентная запись отношения

¬(X ∈ Y ).

Подстановка.

• Вхождение переменной X в формулу ϕ назы-вается связанным, если в этом вхождении Xстоит сразу после какого-то квантора, или Xпопадает в область действия какого-то кван-тора по X . В противном случае это вхожде-ние называется свободным.

• Переменная X в формуле ϕ называется свя-занной переменной в ϕ, если все ее вхожденияв ϕ связанны. В противном случае X называ-ется свободной переменной.

⋄ 0.1.3. В формуле

X = Y & ∃X X ∈ X

первое вхождение переменной X является сво-бодным, а остальные – связанными.

4 Глава 0. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

⋄ 0.1.4. В следующих формулахX является сво-бодной переменной:

X = X,

X ∈ X,∃Y X ∈ Y.

А в следующих, наоборот, X – связанная пере-менная:

∀X X = X,∃X X ∈ X,∀X ∃Y X ∈ Y.

• Подстановкой переменной Y вместо перемен-ной X в формулу ϕ называется формула, по-лучающаяся из ϕ заменой X на Y во всех сво-бодных вхождениях переменной X в формулеϕ. Мы обозначаем такую формулу символом

ϕ∣∣∣X=Y

(0.1.4)

• Подстановка ϕ∣∣∣X=Y

называется корректной,

если при замене X на Y вторая переменнаяне попадает в область действия квантора поэтой переменной.

⋄ 0.1.5. Подстановка Y вместо X в формулу

X = Y

дает формулуY = Y

⋄ 0.1.6. Подстановка Y вместо X в формулу

A = B

дает ту же формулу

A = B

⋄ 0.1.7. Подстановка Y вместо X в формулу

∃Y X ∈ Y

дает формулу∃Y Y ∈ Y,

однако такая подстановка некорректна, потомучто после замены Y попадает в область действияквантора ∃ по Y .

(b) Аксиомы, теоремы и антино-мии.

Аксиомы наивной теории множеств. Еслине предполагать ничего о свойствах отношений= и ∈, которым удовлетворяют или не удовле-творяют различные множества, то и сказать омножествах ничего внятного будет невозможно.

Чтобы строить теорию, нужны исходные поло-жения (называемые аксиомами), из которых за-тем будут выводиться более сложные утвержде-ния (называемые теоремами). В наивной теориимножеств аксиомами удобно считать следующиесемь высказываний (точнее сказать, классифи-кационный список высказываний).

Первые три аксиомы называют обычно акси-омами равенства:

NST-1 Аксиома рефлексивности:

X = X. (0.1.5)

Это надо понимать так, что равенство X = Xсчитается верным для всех множеств X .

NST-2 Аксиома симметричности:

X = Y ⇒ Y = X. (0.1.6)На человеческом языке это означает, что равен-ство X = Y формально не отличается от равен-ства Y = X .

NST-3 Аксиома транзитивности:

(X = Y & Y = Z)⇒ X = Z. (0.1.7)То есть равенства X = Y и Y = Z влекут засобой равенство X = Z.

Следующая аксиома устанавливает связьмежду равенством и отношением принадлежно-сти:

NST-4 Аксиома инвариантности:

(X = A & Y = B & X ∈ Y )⇒ A ∈ B(0.1.8)

Иными словами, в отношение X ∈ Y можно под-ставлять множества, равные X и Y , и при этомбудут получаться следсвия.

Три последние аксиомы описывают собствен-но отношение принадлежности:

NST-5 Аксиома невырожденности:

∃X ∃Y X ∈ Y. (0.1.9)То есть существуют множества X и Y такие, чтоX ∈ Y .NST-6 Аксиома объемности:

X = Y ⇐⇒ ∀A (A ∈ X ⇐⇒ A ∈ Y )(0.1.10)

То есть два множества X и Y совпадают, если итолько если они «имеют одинаковый набор эле-ментов».

NST-7 Аксиома безусловного выделе-ния: пусть ϕ – формула теории мно-жеств с единственной свободной пере-менной X , тогда

∃Y (X ∈ Y ⇐⇒ ϕ) (0.1.11)

§ 1. Наивная теория множеств 5

Иными словами, существует множество Y , эле-ментами которого являются в точности теX , длякоторых выполняется ϕ.

Обозначение {X : ϕ}. Отметим сразу одноважное следствие из аксиом NST-1—NST-7: ак-сиома NST-7 позволяет определять объекты:

• Объект Y в формуле (0.1.11) будет единствен-ным по аксиоме NST-7, поэтому ему можноприписать обозначение. Это обозначение вы-глядит так:

{X : ϕ}и, если ϕ не содержит переменной T , харак-теризуется оно высказыванием

T ∈ {X : ϕ} ⇐⇒ ϕ∣∣∣X=T

.

⋄ 0.1.8. Пустое множество ∅. В наивной тео-рии множеств следующее равенство определяеттак называемое пустое множество:

∅ = {X : X 6= X}. (0.1.12)

В соответствии с аксиомой выделения NST-7,расшифровывается эта запись так: элементамикласса ∅ считаются те и только те множестваX , которые не равны самому себе. Посколькуаксиоме NST-1 такое невозможно (высказываниеX = X считается верным всегда), множество ∅вообще не содержит никаких элементов (отчегои называется пустым).

⋄ 0.1.9. Множество Set всех множеств. Точ-но так же из аксиомы выделения NST-7 следует,что равенство

Set = {X : X = X}. (0.1.13)

тоже определяет некое множество. Его элемен-тами считаются те и только те множества X , ко-торые равны самому себе. Поскольку по аксиомеNST-1 это верно для любого X , получается, чтомножество Set должно содержать все на светемножества, то есть

X ∈ Set (0.1.14)

верно для любого объекта X наивной теориимножеств.

В том числе это верно и для X = Set, то естьмы получаем, что истинно высказывание

Set ∈ Set

Здесь важно отметить, что это верно только внаивной теории множеств (и это порождает па-радоксы, о которых мы поговорим ниже). В со-временных аксиоматических теориях множествэта формула не будет верна.

Теоремы. Из аксиом NST-1—NST-7 средства-ми логики выводятся следствия, то есть теоремыэтой науки.

Как мы уже говорили, наивная теория мно-жеств противоречива, и поэтому ссылки на ее ре-зультаты содержательного смысла не имеют. Еетеоремы представляют интерес только как иллю-страции к идее выводимости утверждений из ак-сиом (абстрактной) теории. Мы приведем лишьнесколько простейших теорем теории NST, при-чем оформлять мы их будем в виде примеров,чтобы у читателя не возникало искушения цити-ровать их в дальнейшем. Нас будет интересоватьцепочка, ведущая к антиномии Рассела.

⋄ 0.1.10. В наивной теории множеств множества∅ и Set не совпадают:

∅ 6= Set (0.1.15)

Доказательство. По аксиоме объемности NST-6, чтобы доказать неравенство ∅ 6= Set, доста-точно подобрать какое-нибудь множество X та-кое, что

X /∈ ∅ & X ∈ Set .Для этого воспользуемся аксиомой невырожден-ности NST-5 и рассмотрим какие-нибудь двамножества X и Y такие, что

X ∈ Y.

В силу (0.1.14), X ∈ Set. С другой стороны,X /∈ ∅ (потому что Z ∈ ∅ невозможно ни длякакого Z).

⋄ 0.1.11. В наивной теории множеств всякоемножество X является элементом некоторогодругого множества Y :

∀X ∃Y X ∈ Y (0.1.16)

Доказательство. В качестве Y можно выбратьмножество Set.

• Говорят, что множество A содержится вмножестве B, или что A является подмно-жеством множества B, и изображают этозаписью

A ⊆ Bесли всякий элемент T множества A являетсятакже элементом множества B:

∀T (T ∈ A⇒ T ∈ B).

⋄ 0.1.12. В наивной теории множеств для всяко-го множества X существует множество Y такое,что подмножествами в X являются в точностите множества A, которые являются элементамимножества Y :

A ⊆ X ⇐⇒ A ∈ Y (0.1.17)

6 Глава 0. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Доказательство. Множество Y определяется поаксиоме NST-7 формулой

Y ={A : ∀T

(T ∈ A ⇒ T ∈ X

)}.

Антиномия Рассела. В 1902 году англий-ским математиком Бертраном Расселлом былосделано следующее наблюдение.

⋄ 0.1.13. Антиномия Рассела. По аксиоме без-условного выделения NST-7 в наивной теориимножеств определено множество

R = {X : X /∈ X}. (0.1.18)

Оно называется множеством Рассела и состоитиз всевозможных таких множеств X , для кото-рых верно X /∈ X :

X ∈ R ⇐⇒ X /∈ X (0.1.19)

Зададимся вопросом, будет ли R элементом са-мого себя:

R ∈ R или R /∈ R ?

Антиномия Рассела состоит в том, что этиутверждения эквивалентны:

R ∈ R

вспоминаемопределение R

(0.1.19)↓⇐⇒

(R – одно из тех X , для

которых выполняется X /∈ X)

⇐⇒↑

упрощаемвысказывание

R /∈ R

То есть,

R ∈ R ⇐⇒ R /∈ R. (0.1.20)

! 0.1.14. Из этого примера следует, между про-чим, что в теории NST оба утверждения, R ∈ Rи R /∈ R, выводимы.

Действительно, покажем сначала, что R ∈ R.Это делается методом от противного. Предполо-жим, что выполняется противное, то есть R /∈ R.Тогда в силу (0.1.20) мы получаем R ∈ R. Вме-сте с нашим предположением, R /∈ R, это да-ет два противоположных утверждения, R ∈ R иR /∈ R, то есть противоречие. Значит, наше ис-ходное предположение, R /∈ R, неверно. Поэтомувыполняется R ∈ R.

Точно так же доказывается утверждение R /∈R.

Программа Гильберта. Из антиномии Рассе-ла (и не только из нее, потому что почти одно-временно с ней были обнаружены разные дру-гие противоречия в тогдашней теории множеств)следует, ни много, ни мало, что в NST вообще лю-бое утверждение ϕ можно доказать (вместес его отрицанием ¬ϕ) — на этот счет имеетсяспециальная теорема логики о противоречивыхтеориях, которую мы приводим ниже (теорема1.1.9).

Понятно, это означало, что построенная к то-му времени теория множств, которую мы здесьописали как аксиоматическую теорию NST, неможет выполнять роль фундамента всей мате-матики, для которой она была создана. По этойпричине сама эта теория и связанная с ней логи-ка, определяющая общие принципы математиче-ских рассуждений — эти области тогда как разстали оформляться в специальный раздел мате-матики, называемый основания математики —были подвергнуты пересмотру. Немецким мате-матиком Давидом Гильбертом в начале 20 ве-ка была предложена специальная программа, це-лью которой объявлялось превращение основа-ний математики в “универсальную” аксиомати-ческую теорию, где не только будут удалены су-ществующие противоречия, но также будет до-казано, что

1) никаких новых противоречий в дальнейшемвозникнуть не может (это свойство теории на-зывается непротиворечивостью), и

2) любое утверждение ϕ либо верно само, либоверно его отрицание ¬ϕ (это называется пол-нотой).

Через некоторое время эта работа привелак определенным положительным результатам:подходящим уточнением определений и введени-ем новых строгих правил для построения новыхобъектов удалось добиться устранения всех на-копленных к тому времени в математике проти-воречий. Однако новым неприятным сюрпризом,ставшим одним из главных итогов всей этой дея-тельности, явилась принципиальная невозмож-ность доказать непротиворечивость любой та-кой теории (точнее, любой теории, включаю-щей арифметику, без которой, конечно, ника-кая математика невозможна). Параллельно об-наружилась несовместимость непротиворечи-вости с полнотой. Эти результаты принадлежатавстрийскому математику Курту Гёделю, и мыо них поговорим на с.79 (см. теоремы 1.1.16 и1.1.17).

§ 2. Логика предикатов для теории множеств 7

§ 2 Логика предикатов для теории множеств

В 20 веке математики, следуя первоначальному плану Гильберта, построили несколько аксиомати-ческих теорий множеств, в которых накопленные к тому времени парадоксы (в частности, парадоксРассела) были устранены (однако, как мы уже говорили, без гарантий, что новые парадоксы не по-явятся в будущем). Из них самыми известными являются теории Цермело-Френкеля ZF, Неймана-Бернайса-Гёделя NBG и Морса-Келли MK. Для этих трех теорий, в силу их особенной популярности,удобно выбрать общее название, и мы будем поэтому называть их в дальнейшем рабочими теори-ями множеств. Самой мощной из них является теория Морса-Келли4 MK, и по этой причине мыбудем описывать ее.

(a) Язык теории множеств

Сигнатура теории множеств. В теории Морса-Келли MK, в отличие от наивной теории мно-жеств NST, исходные объекты называются классами. Интуитивно под этим понимается более широ-кое образование, чем множество, а сами множества определяются затем как частные случаи классов(см. ниже определение на с.30). В остальном все детали языка повторяются: считается, что классы,помимо того, что могут совпадать,

A = B,

еще могут находиться в отношении принадлежности

A ∈ B

– и в этом случае, как и в NST, говорят, что “A принадлежит B”, или что “A является элементомB”, или что “B содержит A в качестве элемента”.

Формулы теории множеств. Формулы теории MK определяются так же как в теории NST, стой разницей, что алфавит удобно расширить, включив строчные буквы латинского алфавита и ещевозможность добавлять к букве штрих. То есть, повторим с уточнениями, на интуитивном уровне,формула в MK – это утверждение или, другой термин, высказывание о классах5, которое можнополучить инструментами теории, то есть с помощью отношения принадлежности ∈, к которомуеще добавляется отношение равенства =, а также с помощью (некоторых) логических операцийи кванторов, список которых был приведен в таблице на с.3: ¬, &, ∨, ⇒, ∀, ∃ (символ ⇔ будетопределен позже формулой (0.2.24)). При этом, информация во втором столбце этой таблицы (осмысле этих символов) приводится пока только для интуитивного понимания существа дела, и длянашей ближайшей цели – описать понятие формулы в теории множеств – нам не нужна. Точныйсмысл этих значков мы объясним на с.10.

Определение понятию формулы выглядит так:

• Переменной в теории множеств мы будем считать произвольную букву латинского ал-фавита, прописную

A,B,C,D,E, F,G,H, I, J,K, L,M,N,O, P,Q,R, S, T, U, V,W,X, Y, Z,

или строчную,

a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l,m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z,

либо такую же букву с добавленным (возможно, несколько раз) штрихом, то есть если α– переменная, то α′ – тоже переменная, например

A′, A′′, ..., a′, a′′, ...

• Формулой (или высказыванием) теории множеств называется произвольная строка изпеременных, символов = и ∈, логических символов и скобок, построенная по следующимправилам:

4Энтони Морс, Джон Келли. В компактном виде эта теория описана в Добавлении к учебнику Дж. Л. Келли [5].Об используемом логическом аппарате можно составить представление по книге Г. Такеути [10].

5Правильнее сказать, “схема высказываний”, потому что, например, формула X ∈ Y — это не высказывание окаких-то конкретных X и Y , а схема, включающая все высказывания вида “X принадлежит Y ”.

8 Глава 0. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

1) если X и Y – переменные, то запись

X = Y (0.2.21)

является формулой,

2) если X и Y – переменные, то запись

X ∈ Y (0.2.22)

является формулой,

3) если строка ϕ – формула, то строка ¬ (ϕ) – тоже формула;4) если строки ϕ и ψ – формулы, то следующие строки – тоже формулы:

(ϕ) & (ψ), (ϕ) ∨ (ψ), (ϕ)⇒ (ψ),

Для обозначения формул мы будем использовать греческие буквы.

5) если ϕ – формула, а X – переменная, то следующие строки – тоже формулы:

∀X (ϕ), ∃X (ϕ). (0.2.23)

• Формула ϕ в формулах (0.2.23) называется областью действия квантора (∀ или ∃, взависимости от символа перед переменной α).

• Для любых переменных α и β формулы (0.2.21) и (0.2.22) называются атомарными (втеории множеств).

• К списку логических символов выше добавляется символ эквивалентности ⇔, которыйпонимается так: запись (ϕ)⇔ (ψ) является сокращением записи

((ϕ)⇒ (ψ))& ((ψ)⇒ (ϕ)). (0.2.24)

• Вхождение переменной α в формулу ϕ называется связанным, если в этом вхожденииα стоит сразу после какого-то квантора, или α попадает в область действия какого-токвантора по α. В противном случае это вхождение называется свободным.

• Переменная α в формуле ϕ называется связанной переменной в ϕ, если все ее вхожденияв ϕ связанны. В противном случае α называется свободной переменной.

• Если формула ϕ не содержит свободные переменные, то ϕ называется замкнутой. Еслиже в ϕ имеются свободные переменные, то ϕ называется открытой формулой.

• Отрицания отношений = и ∈ имеют специальные обозначения:

X 6= Y (0.2.25)

– эквивалентная запись отношения

¬(X = Y ),

аX /∈ Y (0.2.26)

– эквивалентная запись отношения¬(X ∈ Y ).

• Подстановкой переменной Y вместо переменной X в формулу ϕ называется формула,получающаяся из ϕ заменой X на Y во всех свободных вхождениях переменной X вформуле ϕ. Мы обозначаем такую формулу символом

ϕ∣∣∣X=Y

(0.2.27)

• Подстановка ϕ∣∣∣X=Y

называется корректной, если при замене X на Y вторая переменная

не попадает в область действия какого-нибудь квантора по этой переменной.

§ 2. Логика предикатов для теории множеств 9

⋄⋄ 0.2.1. Следующие формулы замкнуты:

1) ∀X (X = X);2) ∀X (X 6= X);3) ∀X (X ∈ X);

4) ∀X (X /∈ X);5) ∀Y (∃X (X ∈ Y ));6) ∃Y (∀X (X ∈ Y )).

(Здесь всюду X и Y – связанные переменные.)

⋄⋄ 0.2.2. Примеры одноместных открытых фор-мул:

1) X = X ;

2) X 6= X ;3) X ∈ X ;

4) X /∈ X ;5) ∀Y X ∈ Y ;6) ∃Y X ∈ Y .

(Здесь всюду X – свободная переменная, а в по-

следних двух примерах переменная Y – связан-ная.)

⋄⋄ 0.2.3. Примеры двуместных открытых фор-мул:

1) X = Y ;

2) X 6= Y ;3) X ∈ Y ;4) X /∈ Y ;5) ∃Z

(X ∈ Z & Y ∈ Z

);

6) ∃Z(X ∈ Z & Z ∈ Y

).

(Здесь всюду X и Y – свободные переменные, ав последних двух примерах переменная Z – свя-занная.)

(b) Логика предикатов в аксиоматизации Генцена

Для формализации логических рассуждений, с помощью которых из одних формул (высказыва-ний) выводятся другие, математики построили несколько аксиоматических систем логики, из кото-рых наиболее известны так называемое исчисление предикатов CQC, построенное самим ДавидомГильбертом, и эквивалентное ему исчисление секвенций LK, предложенное другим немецким ма-тематиком, Герхардом Генценом. Эти две системы определяют доминирующую ныне в математикесистему логики, называемую логикой предикатов. Из них двух более наглядна и удобна в вычис-лениях система Генцена6, поэтому для описания логики предикатов мы выбираем ее.

Секвенции. Формулы в языке связаны между собой тем, что одни следуют из других. Если насинтересует вопрос, следует ли формула χ из формулы ϕ, то это принято записывать строчкой

ϕ ⊢ χ,

и называется такая запись секвенцией. В секвенции может быть несколько формул слева и справаот знака секвенции ⊢, тогда эти формулы должны быть разделены запятыми, и при этом запятаяслева от символа ⊢ интерпретируется как сокращения символа &, а справа – как сокращениесимвола ∨.7 То есть, например, секвенция

ϕ, χ ⊢ ψ, ω

означает, что мы хотим понять, следует ли формула ψ ∨ ω из формулы ϕ&χ, и поэтому она экви-валентна секвенции

ϕ&χ ⊢ ψ ∨ ω. (0.2.28)Точно так же секвенция

α, β, γ ⊢ δ, η, θ, ιэквивалентна секвенции

α&β&γ ⊢ δ ∨ η ∨ θ ∨ ι.В секвенции формулы могут повторяться, например, так:

ϕ, ϕ ⊢ χ,

или такϕ,⊢ χ, χ, χ

6См. сравнение на с.25.7Это правило, — “запятая слева от символа ⊢ интерпретируется как сокращения символа &, а справа – как

сокращение символа ∨”, — формально не присутствует в правилах исчисления LK, оно выводится потом. В нашемтексте оно доказывается ниже в теоремах 0.2.1 и 0.2.2.

10 Глава 0. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

(повторение может быть сколь угодно длинным, но конечным, потому что формул в секвенциивсегда конечный набор).

Заглавные греческие буквы, например, Γ , ∆, обозначают конечные наборы формул (возможно,повторяющиеся), связанные запятыми. В частности, запись

Γ ⊢ ∆

означает секвенцию, в которой под Γ и ∆ понимаются такие конечные наборы формул. Точно также запись

A,B ⊢ Γ,∆означает секвенцию, в которой A, B, Γ , ∆ тоже такие наобры формул, причем там, где кончаетсяA и начинается B тоже стоит запятая (и то же самое для Γ и ∆).

В секвенцииΓ ⊢ ∆

набор формул Γ (слева от знака ⊢) называется антецедентом (или посылкой), а набор формул ∆(справа от знака ⊢) – сукцедентом (или следствием). Не всегда ∆ следует из Γ , но в тех случаях,когда удается построить так называемый вывод для секвенции Γ ⊢ ∆ (что это такое мы объяснимна с.12), говорят, что эта секвеция выводима (а ∆ действительно следует из Γ ).

Наборы Γ или ∆ могут быть пустыми: секвенция

⊢ ∆,

если она выводима, означает, что дизъюнкция формул ∆ следует из пустого набора формул (этоможно понимать так, что ∆ следует из чего угодно)8, а секвенция

Γ ⊢

– что из конъюнкции формул Γ следует все что угодно9. Секвенция, пустая с обеих сторон

⊢,

если она выводима, означает, что в этом языке из любого набора формул Γ следует любой наборформул ∆ (это понимается так, что рассматриваемый язык противоречив).

Аксиома и правила вывода в LK. Следующий вариант исчисления LK модифицирован специ-ально под язык теории множеств10.

• Аксиома исчисления секвенций LK. Прежде всего, считается что для любой формулы ϕвыводима секвенция

LK-0: ϕ ⊢ ϕ. (0.2.29)

Это соглашение называется аксиомой исчисления LK (и других аксиом в этом исчислениинет).

• Правила вывода в исчислении секвенций LK. Далее вводятся следующие правила, в кото-рых запись

Γ ⊢ ∆Π ⊢ Λ

означает, что если выводима верхняя секвенция, Γ ⊢ ∆, то выводима и нижняя, Π ⊢ Λ.Если же вверху стоят две секвенции, разделенные широким пробелом

Γ ⊢ ∆ Π ⊢ ΛΘ ⊢ Ω ,

то это означает, что из выводимости обеих верхних секвенций, Γ ⊢ ∆ и Π ⊢ Λ, следуетвыводимость нижней, Θ ⊢ Ω.Эти правила делятся на две группы.

8См. ниже в качестве иллюстрации пример 0.2.26.9См. ниже в качестве иллюстрации пример 0.2.27.

10Ниже на с.79 мы опишем язык формальной теории в общем виде. В нем, в отличие от языка теории множеств,допускается наличие функциональных символов (которых нет в языке теории множеств, из-за чего тот проще). Дляязыков с функциональными символами нижеприводимые правила вывода LK-12 и LK-15 усложняются тем, что вместопеременной y в них позволено подставлять произвольный терм (понятие терма будет определено на с.80).

§ 2. Логика предикатов для теории множеств 11

a. Структурные правила:

— ослабление:

LK-1:Γ ⊢ ∆ϕ,Γ ⊢ ∆

Γ ⊢ ∆Γ ⊢ ∆,ϕ (0.2.30)

— сокращение:

LK-2:ϕ, ϕ, Γ ⊢ ∆ϕ,Γ ⊢ ∆

Γ ⊢ ∆,ϕ, ϕΓ ⊢ ∆,ϕ (0.2.31)

— перестановка:

LK-3:ϕ, χ, ψ, Γ ⊢ ∆ϕ,ψ, χ, Γ ⊢ ∆

Γ ⊢ ∆,ϕ, χ, ψΓ ⊢ ∆,χ, ϕ, ψ (0.2.32)

— сечение:

LK-4:Γ ⊢ ∆,ϕ ϕ,Π ⊢ Λ

Γ,Π ⊢ ∆,Λ (0.2.33)

b. Логические правила:

— переброс отрицания:

LK-5:Γ ⊢ ∆,ϕ¬ϕ, Γ ⊢ ∆

ϕ,Γ ⊢ ∆Γ ⊢ ∆,¬ϕ (0.2.34)