A.S.E.13.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 13 Alcune definizioniAlcune definizioni Algoritmo di sintesi ottima di Quine-McCluskeyAlgoritmo

A.S.E.A.S.E. 13.13.11

ARCHITETTURA DEI SISTEMI ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICIELETTRONICILEZIONE N° 13LEZIONE N° 13

• Alcune definizioniAlcune definizioni• Algoritmo di sintesi ottima di Quine-McCluskeyAlgoritmo di sintesi ottima di Quine-McCluskey• EsempioEsempio

A.S.E.A.S.E. 13.13.22

Funzioni e Don’t CaresFunzioni e Don’t Cares

• Una funzione booleana f puo’ essere Una funzione booleana f puo’ essere rappresentata attraverso 3 insiemi:rappresentata attraverso 3 insiemi:– F, l’insieme dei punti dove f=1 (on-set)F, l’insieme dei punti dove f=1 (on-set)– R, l’insieme dei punti dove f=0 (off-set)R, l’insieme dei punti dove f=0 (off-set)– D, l’insieme dei punti dove f e’ non D, l’insieme dei punti dove f e’ non

specificata (don’t-care-set)specificata (don’t-care-set)

• {F,R,D} formano una partizione di 2{F,R,D} formano una partizione di 2nn

– FFRRD = 2D = 2nn

– FFD = FD = FR = RR = RD = D =

A.S.E.A.S.E. 13.13.33

bc

ac

ac’

Mintermini e ImplicantiMintermini e Implicanti• Implicante: prodotto Implicante: prodotto pp tale che { tale che {pp=1 =1 ff=1}=1}• Mintermine: implicante costituito da Mintermine: implicante costituito da nn literals literals• Implicante principale (prime): Implicante che Implicante principale (prime): Implicante che

non puo’ essere ridottonon puo’ essere ridotto– ff(a,b,c) = ab, {abc,abc’} mintermini, ab (a,b,c) = ab, {abc,abc’} mintermini, ab

implicante, a NOimplicante, a NO

• Implicante essenziale: implicante principale Implicante essenziale: implicante principale che copre un mintermine non coperto da che copre un mintermine non coperto da nessun altro implicante principalenessun altro implicante principale– Esempio, f=ab’+bc+acEsempio, f=ab’+bc+ac

• Mintermini={ab’c’, ab’c, abc,a’bc}Mintermini={ab’c’, ab’c, abc,a’bc}• Implicanti = Mintermini+{ab’, bc, ac}Implicanti = Mintermini+{ab’, bc, ac}• Implicanti principali = {ab’, ac, bc}Implicanti principali = {ab’, ac, bc}• Implicanti essenziali = {ab’, bc}Implicanti essenziali = {ab’, bc}

a

b c

A.S.E.A.S.E. 13.13.44

Minimizzazione Rete Minimizzazione Rete CombinatoriaCombinatoria

• Data una funzione Data una funzione ff={F,D,R}, si vuole ={F,D,R}, si vuole ottenere un’espressione SP tale cheottenere un’espressione SP tale che

FFSPSPFFDD

e che contenga il numero minimo di e che contenga il numero minimo di literalsliterals

• La forma SP La forma SP AND-OR AND-OR– Costo di una porta AND=#ingressiCosto di una porta AND=#ingressi– Costo di una porta OR=#ingressiCosto di una porta OR=#ingressi– Costo di una porta NOT=0Costo di una porta NOT=0

A.S.E.A.S.E. 13.13.55

Minimizzazione Rete Minimizzazione Rete CombinatoriaCombinatoria

• Quindi, la minimizzazione richiede:Quindi, la minimizzazione richiede:– Minimo numero di prodotti (Minimo numero di prodotti (ingressi OR)ingressi OR)– Per ciascuno prodotto, minimo numero di Per ciascuno prodotto, minimo numero di

termini (termini ( ingressi AND) ingressi AND)

• Ovvero, la forma SP sara’ costituita da Ovvero, la forma SP sara’ costituita da un sottoinsieme di implicanti principaliun sottoinsieme di implicanti principali– implicanti essenzialiimplicanti essenziali

• Occorre trovare il sottoinsieme minimo Occorre trovare il sottoinsieme minimo che contenga che contenga tuttitutti i mintermini e i mintermini e nonnon intersechi l’offsetintersechi l’offset

A.S.E.A.S.E. 13.13.66

Notazione per Notazione per ff

• Data una funzione Data una funzione f(a,b,c)f(a,b,c)

aa bb cc ff

00 00 00 00 11

1 1 00 00 11 00

22 0 0 11 00 00

33 00 11 11 11

44 11 00 00 11

55 11 00 11 00

66 11 11 00 11

77 11 11 11 00

• f=a’b’c’+a’bc+ab’c’+af=a’b’c’+a’bc+ab’c’+abc’=bc’= (0,3,4,6)(0,3,4,6)

• Def: cubo di ordine m: Def: cubo di ordine m: implicante con (n-m) implicante con (n-m) terminitermini• ordine 0 = ordine 0 =

minterminemintermine

A.S.E.A.S.E. 13.13.77

Metodo di Quine-McCluskeyMetodo di Quine-McCluskey

• Due fasi:Due fasi:– trovare tutti gli implicanti principalitrovare tutti gli implicanti principali– trovare un’insieme minimo che copra trovare un’insieme minimo che copra ff

(nel seguito, (nel seguito, ff sara’ funzione di {a,b,c,d}) sara’ funzione di {a,b,c,d})

• Implicanti principaliImplicanti principali– Si possono ottenere attraverso la Si possono ottenere attraverso la fusionefusione di di

cubicubi• ad esempio, {abc e ab’c} ad esempio, {abc e ab’c} ac (2 cubi di ordine 1 ac (2 cubi di ordine 1

1 cubo di ordine 2)1 cubo di ordine 2)

– Per la generazione degli implicanti principali si Per la generazione degli implicanti principali si considera considera ff=1 sul don’t-care-set=1 sul don’t-care-set• permette di generare implicanti con un numero permette di generare implicanti con un numero

inferiore di termini e quindi costo minoreinferiore di termini e quindi costo minore

A.S.E.A.S.E. 13.13.88

Generazione Implicanti PrincipaliGenerazione Implicanti Principali

• Se due mintermini sono adiacenti (si Se due mintermini sono adiacenti (si possono fondere), le loro numerazioni possono fondere), le loro numerazioni differiscono di una potenza di 2differiscono di una potenza di 2– devono differire in un solo literaldevono differire in un solo literal– non e’ vero il contrario!non e’ vero il contrario!

• Abbiamo quindi una condizione che ci Abbiamo quindi una condizione che ci permette di filtrare coppie di minterminipermette di filtrare coppie di mintermini– se il test passa, occorre controllare i se il test passa, occorre controllare i

mintermini (espressi come prodotto di literals)mintermini (espressi come prodotto di literals)

• ConsideriamoConsideriamof f = = (2,3,4,5,7,8,10,11,12,13)(2,3,4,5,7,8,10,11,12,13)

A.S.E.A.S.E. 13.13.99

Generazione Implicanti PrincipaliGenerazione Implicanti Principali

f f = = (2,3,4,5,7,8,10,11,12,13)(2,3,4,5,7,8,10,11,12,13)

0000 0101 1111 1010

0000 00 44 1212 88

0101 11 55 1313 99

1111 33 77 1515 1111

1010 22 66 1414 1010

A.S.E.A.S.E. 13.13.1010

Tabella Generazione Implicanti Tabella Generazione Implicanti PrincipaliPrincipali

IndiceIndice(# uni)(# uni) Cubi 0Cubi 0 Cubi 1Cubi 1 Cubi 2Cubi 2

11 22

44

88

22 33

55

1010

1212

33 77

1111

1313

A.S.E.A.S.E. 13.13.1111


f f = = (2,3,4,5,7,8,10,11,12,13)(2,3,4,5,7,8,10,11,12,13)

0000 0101 1111 1010

0000 00 44 1212 88

0101 11 55 1313 99

1111 33 77 1515 1111

1010 22 66 1414 1010

A.S.E.A.S.E. 13.13.1212



11 2 2

4 4

8 8

22 3 3

5 5

10 10

12 12

33 7 7

11 11

13 13

A.S.E.A.S.E. 13.13.1313



11 2 2 2,3(1)2,3(1)

4 4

8 8

22 3 3

5 5

10 10

12 12

33 7 7

11 11

13 13

A.S.E.A.S.E. 13.13.1414



11 2 2 2,3(1)2,3(1)

4 4 2,10(8)2,10(8)

8 8

22 3 3

5 5

10 10

12 12

33 7 7

11 11

13 13

A.S.E.A.S.E. 13.13.1515



11 2 2 2,3(1)2,3(1)

4 4 2,10(8)2,10(8)

8 8 4,5(1)4,5(1)

22 3 3

5 5

10 10

12 12

33 7 7

11 11

13 13

A.S.E.A.S.E. 13.13.1616



11 2 2 2,3(1)2,3(1)

4 4 2,10(8)2,10(8)

8 8 4,5(1)4,5(1)

4,12(8)4,12(8)

22 3 3

5 5

10 10

12 12

33 7 7

11 11

13 13

A.S.E.A.S.E. 13.13.1717



11 2 2 2,3(1)2,3(1)

4 4 2,10(8)2,10(8)

8 8 4,5(1)4,5(1)

4,12(8)4,12(8)

22 3 3 8,10(2)8,10(2)

5 5

10 10

12 12

33 7 7

11 11

13 13

A.S.E.A.S.E. 13.13.1818



11 2 2 2,3(1)2,3(1)

4 4 2,10(8)2,10(8)

8 8 4,5(1)4,5(1)

4,12(8)4,12(8)

22 3 3 8,10(2)8,10(2)

5 5 8,12(4)8,12(4)

10 10

12 12

33 7 7

11 11

13 13

A.S.E.A.S.E. 13.13.1919



11 2 2 2,3(1)2,3(1)

4 4 2,10(8)2,10(8)

8 8 4,5(1)4,5(1)

4,12(8)4,12(8)

22 3 3 8,10(2)8,10(2)

5 5 8,12(4)8,12(4)

10 10 3,7(4)3,7(4)

12 12

33 7 7

11 11

13 13

A.S.E.A.S.E. 13.13.2020



11 2 2 2,3(1)2,3(1)

4 4 2,10(8)2,10(8)

8 8 4,5(1)4,5(1)

4,12(8)4,12(8)

22 3 3 8,10(2)8,10(2)

5 5 8,12(4)8,12(4)

10 10 3,7(4)3,7(4)

12 12 3,11(8)3,11(8)

33 7 7

11 11

13 13

A.S.E.A.S.E. 13.13.2121



11 2 2 2,3(1)2,3(1)

4 4 2,10(8)2,10(8)

8 8 4,5(1)4,5(1)

4,12(8)4,12(8)

22 3 3 8,10(2)8,10(2)

5 5 8,12(4)8,12(4)

10 10 3,7(4)3,7(4)

12 12 3,11(8)3,11(8)

5,7(2)5,7(2)

33 7 7 5,13(8)5,13(8)

11 11 10,11(1)10,11(1)

13 13 12,13(1)12,13(1)

A.S.E.A.S.E. 13.13.2222


f f = = (2,3,4,5,7,8,10,11,12,13)(2,3,4,5,7,8,10,11,12,13)

0000 0101 1111 1010

0000 00 44 1212 88

0101 11 55 1313 99

1111 33 77 1515 1111

1010 22 66 1414 1010

A.S.E.A.S.E. 13.13.2323



11 2 2 2,3(1) 2,3(1)

4 4 2,10(8) 2,10(8)

8 8 4,5(1) 4,5(1)

4,12(8) 4,12(8)

22 3 3 8,10(2)8,10(2)

5 5 8,12(4)8,12(4)

10 10 3,7(4)3,7(4)

12 12 3,11(8) 3,11(8)

5,7(2)5,7(2)

33 7 7 5,13(8) 5,13(8)

11 11 10,11(1) 10,11(1)

13 13 12,13(1) 12,13(1)

A.S.E.A.S.E. 13.13.2424



11 2 2 2,3(1) 2,3(1) 2,3,10,11(1,2,3,10,11(1,8)8)

4 4 2,10(8) 2,10(8)

8 8 4,5(1) 4,5(1)

4,12(8) 4,12(8)

22 3 3 8,10(2)8,10(2)

5 5 8,12(4)8,12(4)

10 10 3,7(4)3,7(4)

12 12 3,11(8) 3,11(8)

5,7(2)5,7(2)

33 7 7 5,13(8) 5,13(8)

11 11 10,11(1) 10,11(1)

13 13 12,13(1) 12,13(1)

A.S.E.A.S.E. 13.13.2525



11 2 2 2,3(1) 2,3(1) 2,3,10,11(1,2,3,10,11(1,8)8)

4 4 2,10(8) 2,10(8)

8 8 4,5(1) 4,5(1)

4,12(8) 4,12(8)

22 3 3 8,10(2)8,10(2)

5 5 8,12(4)8,12(4)

10 10 3,7(4)3,7(4)

12 12 3,11(8) 3,11(8)

5,7(2)5,7(2)

33 7 7 5,13(8) 5,13(8)

11 11 10,11(1) 10,11(1)

13 13 12,13(1) 12,13(1)

A.S.E.A.S.E. 13.13.2626



11 2 2 2,3(1) 2,3(1) 2,3,10,11(1,2,3,10,11(1,8)8)

4 4 2,10(8) 2,10(8) 4,5,12,13(1,4,5,12,13(1,8)8)

8 8 4,5(1) 4,5(1)

4,12(8) 4,12(8)

22 3 3 8,10(2)8,10(2)

5 5 8,12(4)8,12(4)

10 10 3,7(4)3,7(4)

12 12 3,11(8) 3,11(8)

5,7(2)5,7(2)

33 7 7 5,13(8) 5,13(8)

11 11 10,11(1) 10,11(1)

13 13 12,13(1) 12,13(1)

A.S.E.A.S.E. 13.13.2727



11 2 2 2,3(1) 2,3(1) 2,3,10,11(1,82,3,10,11(1,8) P) P11

4 4 2,10(8) 2,10(8) 4,5,12,13(1,84,5,12,13(1,8) P) P22

8 8 4,5(1) 4,5(1)

4,12(8) 4,12(8)

22 3 3 8,10(2) P8,10(2) P33

5 5 8,12(4) P8,12(4) P44

10 10 3,7(4) P3,7(4) P55

12 12 3,11(8) 3,11(8)

5,7(2) P5,7(2) P66

33 7 7 5,13(8) 5,13(8)

11 11 10,11(1) 10,11(1)

13 13 12,13(1) 12,13(1)

A.S.E.A.S.E. 13.13.2828


f f = = (2,3,4,5,7,8,10,11,12,13)(2,3,4,5,7,8,10,11,12,13)

cdcd\\abab 0000 0101 1111 1010

0000 00 44 1212 88

0101 11 55 1313 99

1111 33 77 1515 1111

1010 22 66 1414 1010

PP11=b’c=b’cPP22=bc’=bc’PP33=ab’d’=ab’d’PP44=ac’d’=ac’d’PP55=a’cd=a’cdPP66=a’bd=a’bd

A.S.E.A.S.E. 13.13.2929

Tabella degli ImplicantiTabella degli Implicanti

22 33 44 55 77 88 1100

1111

1122

1133

PP11

PP22

PP33

PP44

PP55

PP66

A.S.E.A.S.E. 13.13.3030

Implicanti EssenzialiImplicanti Essenziali

22 33 44 55 77 88 1100

1111

1122

1133

PP11

PP22

PP33

PP44

PP55

PP66 • Implicanti essenziali: sono rappresentati da colonne Implicanti essenziali: sono rappresentati da colonne con un solo con un solo – il mintermine corrispondente viene “riconosciuto” solo da il mintermine corrispondente viene “riconosciuto” solo da

quell’implicantequell’implicante– Fanno parte della lista di coperturaFanno parte della lista di copertura

A.S.E.A.S.E. 13.13.3131

Dominanza di colonnaDominanza di colonna

22 33 44 55 77 88 1100

1111

1122

1133

PP11

PP22

PP33

PP44

PP55

PP66 • Dominanza di colonna: se la colonna (implicante) Dominanza di colonna: se la colonna (implicante) ii ha tutti i ha tutti i della della

colonna colonna jj (piu’ qualcuno), allora ogni volta che un implicante ha un (piu’ qualcuno), allora ogni volta che un implicante ha un per per ii ne ha uno per ne ha uno per jj

• Quindi, il riconoscimento dell’implicante Quindi, il riconoscimento dell’implicante ii implica il riconoscimento implica il riconoscimento dell’implicante dell’implicante jj

• In questo caso, si puo’ eliminare dalla tabella l’implicante In questo caso, si puo’ eliminare dalla tabella l’implicante jj

A.S.E.A.S.E. 13.13.3232


22 33 44 55 77 88 1100

1111

1122

1133

PP11

PP22

PP33

PP44

PP55

PP66 • Dominanza di colonna: se la colonna (mintermine) Dominanza di colonna: se la colonna (mintermine) ii ha tutti i ha tutti i della della

colonna colonna jj (piu’ qualcuno), allora ogni volta che un implicante ha un (piu’ qualcuno), allora ogni volta che un implicante ha un per per jj ne ha uno per ne ha uno per ii

• Quindi, il riconoscimento del mintermine Quindi, il riconoscimento del mintermine jj implica il riconoscimento implica il riconoscimento del mintermine del mintermine ii

• In questo caso, si puo’ eliminare dalla tabella l’implicante In questo caso, si puo’ eliminare dalla tabella l’implicante ii

A.S.E.A.S.E. 13.13.3333


22 33 44 55 77 88 1100

1111

1122

1133

PP11

PP22

PP33

PP44

PP55

PP66 • Possiamo quindi eliminare le colonne dominatePossiamo quindi eliminare le colonne dominate

A.S.E.A.S.E. 13.13.3434

Eliminazione Implicanti Eliminazione Implicanti EssenzialiEssenziali

22 44 77 88

PP11

PP22

PP33

PP44

PP55

PP66 • In questo caso, PIn questo caso, P1 1 e Pe P22 fanno parte della lista di copertura fanno parte della lista di copertura

• Possiamo semplificare la tabella eliminando:Possiamo semplificare la tabella eliminando:– le righe corrispondenti a Ple righe corrispondenti a P1 1 e Pe P22

– tutte le colonne che hanno un tutte le colonne che hanno un in corrispondenza di queste righein corrispondenza di queste righe

LC = {PLC = {P11, P, P22}}

A.S.E.A.S.E. 13.13.3535


22 44 77 88

PP33

PP44

PP55

PP66

• In questo caso, PIn questo caso, P1 1 e Pe P22 fanno parte della lista di copertura fanno parte della lista di copertura


– tutte le colonne che hanno un tutte le colonne che hanno un in corrispondenza di queste in corrispondenza di queste righerighe

– le colonne vuotele colonne vuote

LC = {PLC = {P11, P, P22}}

A.S.E.A.S.E. 13.13.3636


77 88

PP33

PP44

PP55

PP66

• In questo caso, PIn questo caso, P1 1 e Pe P22 fanno parte della lista di copertura fanno parte della lista di copertura


– tutte le colonne che hanno un tutte le colonne che hanno un in corrispondenza di queste in corrispondenza di queste righerighe

– le colonne vuotele colonne vuote

LC = {PLC = {P11, P, P22}}

A.S.E.A.S.E. 13.13.3737

Dominanza di rigaDominanza di riga

77 88

PP33

PP44

PP55

PP66

• Dominanza di riga: se la riga Dominanza di riga: se la riga mm ha tutti i ha tutti i della riga della riga nn (piu’ (piu’ qualcuno), allora l’implicante qualcuno), allora l’implicante mm riconosce tutti i mintermini riconosce tutti i mintermini di di nn (piu’ qualcuno) (piu’ qualcuno)

• Possiamo allora eliminare Possiamo allora eliminare nn dalla tabella dalla tabella– il numero di literals nell’espressione finale non aumentail numero di literals nell’espressione finale non aumenta– in caso di parita’ di in caso di parita’ di , occorre scegliere i cubi di ordine maggiore, occorre scegliere i cubi di ordine maggiore

LC = {PLC = {P11, P, P22}}

A.S.E.A.S.E. 13.13.3838

Dominanza di rigaDominanza di riga

77 88

PP33

PP44

PP55

PP66

• Dominanza di riga: se la riga Dominanza di riga: se la riga mm ha tutti i ha tutti i della riga della riga nn (piu’ (piu’ qualcuno), allora l’implicante qualcuno), allora l’implicante mm riconosce tutti i mintermini riconosce tutti i mintermini di di nn (piu’ qualcuno) (piu’ qualcuno)

• Possiamo allora eliminare Possiamo allora eliminare nn dalla tabella dalla tabella– il numero di literals nell’espressione finale non aumentail numero di literals nell’espressione finale non aumenta– in caso di parita’ di in caso di parita’ di , occorre scegliere i cubi di ordine maggiore, occorre scegliere i cubi di ordine maggiore

LC = {PLC = {P11, P, P22}}

A.S.E.A.S.E. 13.13.3939

Semplificazione TabellaSemplificazione Tabella

77 88

PP33

PP55

• Si ripetono i passi precedenti:Si ripetono i passi precedenti:– implicanti essenzialiimplicanti essenziali– dominanza di colonnadominanza di colonna– dominanza di rigadominanza di riga

LC = {PLC = {P11, P, P22}}

A.S.E.A.S.E. 13.13.4040

Semplificazione TabellaSemplificazione Tabella

77 88

PP33

PP55

• Si ripetono i passi precedenti:Si ripetono i passi precedenti:– implicanti implicanti essenzialiessenziali– dominanza di colonnadominanza di colonna– dominanza di rigadominanza di riga

LC = {PLC = {P11, P, P2 2 , P, P33, P, P55}}

A.S.E.A.S.E. 13.13.4141

RisultatoRisultato

f f = = b’c+bc’+ab’d’+a’cdb’c+bc’+ab’d’+a’cd

0000 0101 1111 1010

0000 00 44 1212 88

0101 11 55 1313 99

1111 33 77 1515 1111

1010 22 66 1414 1010

PP11=b’c=b’cPP22=bc’=bc’PP33=ab’d’=ab’d’PP55=a’cd=a’cd

Documents

A.S.E.13.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 13 Alcune definizioniAlcune definizioni Algoritmo di sintesi ottima di Quine-McCluskeyAlgoritmo