A.S.E.A.S.E. 6.6.11

ARCHITETTURA DEI SISTEMI ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICIELETTRONICILEZIONE N° 6LEZIONE N° 6

Algebra BOOLEANAAlgebra BOOLEANA• Sistema matematico formaleSistema matematico formale• Elementi, operazioni, postulatiElementi, operazioni, postulati• Espressioni algebricheEspressioni algebriche• Tabella di veritàTabella di verità• Espressione algebrica Espressione algebrica vs.vs. Tabella di verità Tabella di verità • Mintermini e MaxterminiMintermini e Maxtermini• Tabella di verità Tabella di verità vs.vs. Espressione algebrica Espressione algebrica

A.S.E.A.S.E. 6.6.22

Algebra della LogicaAlgebra della Logica

• Gerge BooleGerge Boole• Matematico ingleseMatematico inglese (1815 – 1864)(1815 – 1864)

• Algebra della Logica, Algebra di Boole, Algebra BooleanaAlgebra della Logica, Algebra di Boole, Algebra Booleana• Sistema matematico formale che descrive funzioni logicheSistema matematico formale che descrive funzioni logiche• Funzioni che possono assumere al minimo (solo) due Funzioni che possono assumere al minimo (solo) due

valorivalori• VeroVero FalsoFalso• Le variabili di funzioni logiche possono assumere Le variabili di funzioni logiche possono assumere

solo due valorisolo due valori• Sistema matematico formaleSistema matematico formale

• Insieme di elementiInsieme di elementi• insieme di operazioniinsieme di operazioni• insieme di postulatiinsieme di postulati

» TEOREMITEOREMI

A.S.E.A.S.E. 6.6.33

DefinizioniDefinizioni

• Elementi Elementi (2) [Algebra delle (2) [Algebra delle commutazioni]commutazioni]

• 0 (logico)0 (logico) 1 (logico)1 (logico)• FalsoFalso VeroVero• Livello logico BasoLivello logico Baso Livello logico AltoLivello logico Alto• 0 V0 V 5 V5 V

• CostantiCostanti Possono assumere due Possono assumere due valorivalori

• VariabiliVariabili Possono assumere due Possono assumere due valorivalori 01

10

xsex

xsex

A.S.E.A.S.E. 6.6.44

Definizione di “AND”Definizione di “AND”

• OperazioneOperazione– AND o PRODOTTO LOGICOAND o PRODOTTO LOGICO

• PostulatoPostulato– l’operazione AND è definita dalla tabellal’operazione AND è definita dalla tabella

xyyx

xx yy x x yy

00 00 == 00

00 11 == 00

11 00 == 00

11 11 == 11

A.S.E.A.S.E. 6.6.55

OsservazioniOsservazioni

1.1. x x yy è uguale a “1” se e solo se è uguale a “1” se e solo se xx e e yy sono uguali a “1”, altrimenti sono uguali a “1”, altrimenti x x yy è è uguale a “0”uguale a “0”

2.2. Si può estendere a “n” variabili:Si può estendere a “n” variabili:

xx11xx22xxn n è uguale “1” se e solo se è uguale “1” se e solo se xx11xx22xxn n sono uguali a “1”sono uguali a “1”

• La funzione AND corrisponde al La funzione AND corrisponde al concetto:concetto:

un evento si verifica se e solo se tutte un evento si verifica se e solo se tutte le condizioni sono verificatele condizioni sono verificate

A.S.E.A.S.E. 6.6.66

Definizione di “OR”Definizione di “OR”

• OperazioneOperazione– OR o SOMMA LOGICAOR o SOMMA LOGICA

• PostulatoPostulato– l’operazione OR è definita dalla tabellal’operazione OR è definita dalla tabella

yx

xx yy x x yy

00 00 == 00

00 11 == 11

11 00 == 11

11 11 == 11

A.S.E.A.S.E. 6.6.77

OsservazioniOsservazioni

1.1. x x yy è uguale a “0” se e solo se è uguale a “0” se e solo se xx e e yy sono uguali a “0”, altrimenti sono uguali a “0”, altrimenti x x yy è è uguale a “1”uguale a “1”

2.2. Si può estendere a “n” variabili:Si può estendere a “n” variabili:

xx11xx2 2 xxn n è uguale “0” se e solo se è uguale “0” se e solo se xx11xx22xxn n sono uguali a “0”sono uguali a “0”

• La funzione OR corrisponde al concetto:La funzione OR corrisponde al concetto:

perché un evento si verifica è sufficiente perché un evento si verifica è sufficiente che una sola condizioni sia verificatache una sola condizioni sia verificata

A.S.E.A.S.E. 6.6.88

Definizione di “NOT”Definizione di “NOT”

• OperazioneOperazione– NOT o Complemento Logico , o Negazione, o NOT o Complemento Logico , o Negazione, o

InversioneInversione

• PostulatoPostulato– l’operazione NOT è definita dalla tabellal’operazione NOT è definita dalla tabella

x

xx xx

00 11

11 00

A.S.E.A.S.E. 6.6.99

OsservazioniOsservazioni

1.1. se se x x è uguale a “0” allora è uguale a “0” allora xx negato è negato è uguale a “1”, se uguale a “1”, se x x è uguale a “1” allora è uguale a “1” allora xx negato è uguale a “0” negato è uguale a “0”

2.2. OvveroOvvero

• La funzione NOT corrisponde al La funzione NOT corrisponde al concetto:concetto:

negazione della condizionenegazione della condizione

01e10

1se0

0se1

XX

XX

0110

10

01

e

XseX

XseX

A.S.E.A.S.E. 6.6.1010

Funzione logica (o Boleana)Funzione logica (o Boleana)

• Una funzioneUna funzione

è una legge che fa corrispondere un è una legge che fa corrispondere un valore logico (0 o 1) di u ad ogni valore logico (0 o 1) di u ad ogni combinazione di valori combinazione di valori xx11,…..,,…..,xxnn..

• La funzione La funzione ff è costituita da variabili è costituita da variabili logiche, logiche, costanticostanti e le tre operazioni e le tre operazioni logiche fondamentalilogiche fondamentali

nxxfu ,......,1

321321 xxxxxxu

A.S.E.A.S.E. 6.6.1111

OsservazioniOsservazioni

• Nelle funzioni logiche le parentesi Nelle funzioni logiche le parentesi indicano una gerarchia di esecuzione indicano una gerarchia di esecuzione uguale a quella comunemente usata uguale a quella comunemente usata nelle espressioni aritmetiche notenelle espressioni aritmetiche note

• Fra le operazioni logiche AND, OR e NOT Fra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) OROR

• La gerarchia prima descritta consente di La gerarchia prima descritta consente di ridurre l’uso di parentesi nelle funzioni ridurre l’uso di parentesi nelle funzioni logichelogiche

A.S.E.A.S.E. 6.6.1212

Tabella di Verità 1Tabella di Verità 1

• Una funzione logica può sempre essere Una funzione logica può sempre essere espressa da una tabella che prende il nome espressa da una tabella che prende il nome di:di:TABELLA DI VERITÀ (TRUTH TABLE)TABELLA DI VERITÀ (TRUTH TABLE)

• OsservazioneOsservazione• Una funzione di “n” variabili ammette 2Una funzione di “n” variabili ammette 2nn

possibili configurazioni possibili configurazioni • Una funzione di “n” variabili è Una funzione di “n” variabili è

completamente descritta da una tabella che completamente descritta da una tabella che ha sulla sinistra le 2ha sulla sinistra le 2nn possibili configurazioni possibili configurazioni degli ingressi e a destra i valori (0 o1) a degli ingressi e a destra i valori (0 o1) a secondo del valore della funzionesecondo del valore della funzione

A.S.E.A.S.E. 6.6.1313

Tabella di verità 2Tabella di verità 2

• Funzione di tre variabiliFunzione di tre variabili

zyxfu ,,xx yy zz uu

00 00 00 f f (0,0,0)(0,0,0)

00 00 11 f f (0,0,1)(0,0,1)

00 11 00 f f (0,1,0)(0,1,0)

00 11 11 f f (0,1,1)(0,1,1)

11 00 00 f f (1,0,0)(1,0,0)

11 00 11 f f (1,0,1)(1,0,1)

11 11 00 f f (1,1,0)(1,1,0)

11 11 11 f f (1,1,1)(1,1,1)

A.S.E.A.S.E. 6.6.1414

EsempioEsempio

yzzxyxzyxfu ,,

xx yy zz xx yy xx + + yy

xx + + zz

((xx + + y y )()(xx + + zz ) )

yzyz uu

00 00 00 11 11 11 11 11 00 11

00 00 11 11 11 11 11 11 00 11

00 11 00 11 00 00 11 00 00 00

00 11 11 11 00 00 11 00 11 11

11 00 00 00 11 11 00 00 00 00

11 00 11 00 11 11 11 11 00 11

11 11 00 00 00 11 00 00 00 00

11 11 11 00 00 11 11 11 11 11

110110111001110101,1,0 f

A.S.E.A.S.E. 6.6.1515

Passo 1Passo 1

yzzxyxzyxfu ,,

xx yy zz xx yy xx + + yy

xx + + zz

((xx + + y y )()(xx + + zz ) )

yzyz uu

00 00 00 11 11 11 11 11 00 11

00 00 11 11 11 11 11 11 00 11

00 11 00 11 00 00 11 00 00 00

00 11 11 11 00 00 11 00 11 11

11 00 00 00 11 11 00 00 00 00

11 00 11 00 11 11 11 11 00 11

11 11 00 00 00 11 00 00 00 00

11 11 11 00 00 11 11 11 11 11

A.S.E.A.S.E. 6.6.1616

Passo 2Passo 2

yzzxyxzyxfu ,,

xx yy zz xx yy xx + + yy

xx + + zz

((xx + + y y )()(xx + + zz ) )

yzyz uu

00 00 00 11 11 11 11 11 00 11

00 00 11 11 11 11 11 11 00 11

00 11 00 11 00 00 11 00 00 00

00 11 11 11 00 00 11 00 11 11

11 00 00 00 11 11 00 00 00 00

11 00 11 00 11 11 11 11 00 11

11 11 00 00 00 11 00 00 00 00

11 11 11 00 00 11 11 11 11 11

A.S.E.A.S.E. 6.6.1717

Passo 3Passo 3

yzzxyxzyxfu ,,

xx yy zz xx yy xx + + yy

xx + + zz

((xx + + y y )()(xx + + zz ) )

yzyz uu

00 00 00 11 11 11 11 11 00 11

00 00 11 11 11 11 11 11 00 11

00 11 00 11 00 00 11 00 00 00

00 11 11 11 00 00 11 00 11 11

11 00 00 00 11 11 00 00 00 00

11 00 11 00 11 11 11 11 00 11

11 11 00 00 00 11 00 00 00 00

11 11 11 00 00 11 11 11 11 11

A.S.E.A.S.E. 6.6.1818

Passo 4Passo 4

yzzxyxzyxfu ,,

xx yy zz xx yy xx + + yy

xx + + zz

((xx + + y y )()(xx + + zz ) )

yzyz uu

00 00 00 11 11 11 11 11 00 11

00 00 11 11 11 11 11 11 00 11

00 11 00 11 00 00 11 00 00 00

00 11 11 11 00 00 11 00 11 11

11 00 00 00 11 11 00 00 00 00

11 00 11 00 11 11 11 11 00 11

11 11 00 00 00 11 00 00 00 00

11 11 11 00 00 11 11 11 11 11

A.S.E.A.S.E. 6.6.1919

Passo 5Passo 5

yzzxyxzyxfu ,,

xx yy zz xx yy xx + + yy

xx + + zz

((xx + + y y )()(xx + + zz ) )

yzyz uu

00 00 00 11 11 11 11 11 00 11

00 00 11 11 11 11 11 11 00 11

00 11 00 11 00 00 11 00 00 00

00 11 11 11 00 00 11 00 11 11

11 00 00 00 11 11 00 00 00 00

11 00 11 00 11 11 11 11 00 11

11 11 00 00 00 11 00 00 00 00

11 11 11 00 00 11 11 11 11 11

A.S.E.A.S.E. 6.6.2020

Passo 6Passo 6

yzzxyxzyxfu ,,

xx yy zz xx yy xx + + yy

xx + + zz

((xx + + y y )()(xx + + zz ) )

yzyz uu

00 00 00 11 11 11 11 11 00 11

00 00 11 11 11 11 11 11 00 11

00 11 00 11 00 00 11 00 00 00

00 11 11 11 00 00 11 00 11 11

11 00 00 00 11 11 00 00 00 00

11 00 11 00 11 11 11 11 00 11

11 11 00 00 00 11 00 00 00 00

11 11 11 00 00 11 11 11 11 11

A.S.E.A.S.E. 6.6.2121

FineFine

yzzxyxzyxfu ,,

xx yy zz xx yy xx + + yy

xx + + zz

((xx + + y y )()(xx + + zz ) )

yzyz uu

00 00 00 11 11 11 11 11 00 11

00 00 11 11 11 11 11 11 00 11

00 11 00 11 00 00 11 00 00 00

00 11 11 11 00 00 11 00 11 11

11 00 00 00 11 11 00 00 00 00

11 00 11 00 11 11 11 11 00 11

11 11 00 00 00 11 00 00 00 00

11 11 11 00 00 11 11 11 11 11

A.S.E.A.S.E. 6.6.2222

Tabella dei Prodotti e delle Tabella dei Prodotti e delle SommeSommen = 3n = 3

nn xx yy zz pp ss

00 00 00 00 x •x •y y ••z z

pp00 11 x + y + zx + y + z ss

00

00

11 00 00 11 x •x •y • y • zz

pp11 11 x + y x + y ++z z

ss

11

00

22 00 11 00 x • y x • y ••z z

pp22 11 x +x +y + y + zz

ss

22

00

33 00 11 11 x • y x • y • z• z

pp33 11 x +x +y y ++z z

ss

33

00

44 11 00 00 x •x •y y ••zz

pp44 11 x + y + x + y + zz

ss

44

00

55 11 00 11 x •x •y • y • zz

pp55 11 x + y x + y ++zz

ss

55

00

66 11 11 00 x • y x • y ••z z

pp66 11 x +x +y + y + zz

ss

66

00

77 11 11 11 x • y • zx • y • z pp77 11 x +x +y y ++zz

ss

77

00

A.S.E.A.S.E. 6.6.2323

DefinizioniDefinizioni

• MINTERMINE “MINTERMINE “ppii ” è ” è una funzione una funzione (prodotto) che vale “1” in (prodotto) che vale “1” in corrispondenza alla sola configurazione corrispondenza alla sola configurazione ““i i ” di valori delle variabili” di valori delle variabili

• MAXTERMINE “MAXTERMINE “ssii ” è ” è una funzione una funzione (somma) che vale “0” in corrispondenza (somma) che vale “0” in corrispondenza alla sola configurazione “alla sola configurazione “i i ” di valori ” di valori delle variabilidelle variabili

A.S.E.A.S.E. 6.6.2424

Forma Canonica “Somma di Forma Canonica “Somma di Prodotti”Prodotti”

“SP”“SP” xx yy zz uu

00 00 00 11 pp00

00 00 11 11 pp11

00 11 00 00

00 11 11 11 pp33

11 00 00 00

11 00 11 11 pp55

11 11 00 00

11 11 11 11 pp77

xyzzyxyzxzyxzyxpppppu 75310

A.S.E.A.S.E. 6.6.2525

Forma Canonica “Prodotto di Forma Canonica “Prodotto di Somme”Somme”

“PS”“PS” xx yy zz uu

00 00 00 11

00 00 11 11

00 11 00 00 ss22

00 11 11 11

11 00 00 00 ss44

11 00 11 11

11 11 00 00 ss66

11 11 11 11

zyxzyxzyxsssu 642

A.S.E.A.S.E. 6.6.2626

OsservazioniOsservazioni

• La legittimità di rappresentare le funzioni La legittimità di rappresentare le funzioni nella forma canonica “SP” o “PS” deriva nella forma canonica “SP” o “PS” deriva direttamente dalle proprietà delle direttamente dalle proprietà delle operazioni OR, AND, NOToperazioni OR, AND, NOT

• Una stessa funzione logica può essere Una stessa funzione logica può essere scritta in molta formescritta in molta forme

• La manipolazioni delle espressioni La manipolazioni delle espressioni booleane si basa sui teoremi che seguono booleane si basa sui teoremi che seguono

A.S.E.A.S.E. 6.6.2727

ConclusioniConclusioni

• Algebra BOLEANAAlgebra BOLEANA• Insieme di elementiInsieme di elementi• Variabili, costantiVariabili, costanti• Insieme di operazioniInsieme di operazioni• Insieme di postulatiInsieme di postulati• Espressioni algebricheEspressioni algebriche• Tabella di veritàTabella di verità• Espressione algebrica Espressione algebrica vs.vs. Tabella di verità Tabella di verità• Tabella di verità Tabella di verità vs.vs. Espressione algebrica Espressione algebrica

A.S.E.A.S.E. 6.6.2828

RiferimentiRiferimenti 11

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SlidesSlides

A.S.E.A.S.E. 6.6.2929

RiferimentiRiferimenti 22

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A.S.E.A.S.E. 6.6.3030

RiferimentiRiferimenti 33

• http://vlsi.iet.unipi.it/corsi/ASE/http://vlsi.iet.unipi.it/corsi/ASE/• ArchivioArchivio

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