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MAESTRÍA EN EDUCACIÓN ESPECIALIDAD MATEMÁTICAS

Asignatura De los números naturales a los números enteros

El número en contexto

Clase Magistral Primer módulo

Responsable: Mirela Rigo Lemini

“En la práctica, comprender siempre es estar a caballo entre lo conocido y lo desconocido en una sutil danza del yo. Se trata de un equilibrio delicado. Quienquiera que seamos, comprender en la práctica es el arte de elegir qué conocer y qué ignorar para seguir adelante con nuestra vida”.

(Wenger, pág. 65, 2001)

En este módulo se presenta una introducción al sistema de los números naturales en la que se exponen algunos conceptos y propiedades matemáticas asociadas a los objetos numéricos. Interesa no sólo describir los aspectos puramente matemáticos sino enmarcarlos en el contexto de la construcción y el aprendizaje de las ideas, nociones y conceptos. En particular, se retoma (de una postura epistemológica de corte socio-cultural) la idea de ‘comunidad de práctica’ (Wenger-Lave) como instancia en la que se da el aprendizaje más significativo e impactante para el sujeto. La exposición se vertebra en torno a distintas comunidades de práctica (algunas de las cuales se retoman de la historia) en las que el número natural y las prácticas numéricas juegan un papel importante, ya sea porque en éstas se generaron sistemas de registro y representación o bien, se demostraron propiedades, formas de operar el número o de validar resultados aritméticos.

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El propósito es aportar elementos de análisis al profesor para que pueda reflexionar –quizás desde una perspectiva distinta a como suele hacerlo- sobre su práctica docente y las actividades numéricas que en ésta pone en juego. A lo largo del texto se sugieren algunos ejercicios y problemas (a todos se les ha llamado “ejercicios”, a pesar de que el nivel de complejidad difiere entre ellos). Aconsejamos al profesor que los resuelva según van apareciendo en el documento, ya que esto –así lo esperamos- enriquecerá su lectura. Al final se proponen ejercicios adicionales. Para que el texto realmente cumpla su objetivo es necesario que el lector se proponga resolver los problemas 22, 23 y 24, en los que se sugieren guías para orientar el análisis de sus prácticas en el aula de matemáticas. Le sugerimos también no dejar de intentar resolver los problemas 7, 12, 17 y 18.

Antecedentes Ideas sobre la construcción del conocimiento

a. La teoría de la práctica social y las comunidades de práctica En las últimas décadas se ha destacado el papel decisivo que el medio cultural y social ejerce sobre el individuo y sobre sus procesos de aprendizaje. En este sentido, han sido importantes las aportaciones tanto teóricas como empíricas acerca de la naturaleza social del conocimiento, que los enfoque sociológicos y antropológicos han hecho a la investigación educativa, en general, y a la investigación en educación matemática, en particular. Desde la perspectiva socio-cultural se afirma que los procesos cognitivos son resultado de las experiencias o prácticas que realiza el sujeto cognoscente en el marco de interacciones sociales, contextos históricos o culturales específicos, a partir de las cuales los conocimientos se sancionan y adquieren significado y sentido. Específicamente, desde la teoría de la práctica social se considera que “el conocimiento es situado … lo que implica que el conocimiento se genera y se recrea por los individuos en determinada situación (social, cultural, geográfica, ambiental, personal, motivacional)” (Rigo, M. A. pág. x, en Díaz Barriga, 2006). “Es situado, porque es parte y producto de la actividad (que realiza la gente), del contexto y de la cultura en que se desarrolla y utiliza”

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(Díaz Barriga, pág. xv, 2006). El conocimiento –desde este enfoque teórico- forma parte de las actividades que realiza la gente, y como cualquier otra actividad, está socialmente organizado (es intrínsecamente social) y posee un carácter cultural. La unidad de análisis en esta teoría es la persona-en-acción-en-su-entorno (Lave, pág. 32, 1991). Desde esta aproximación epistemológica el conocimiento es resultado de un experimentar o actuar en un contexto determinado, que el sujeto, como resultado, modifica. Así lo expresa Lave –investigadora líder en estas posturas teóricas-: “Se defina como se defina la cognición, probablemente estará localizada en la vivencia del mundo y en el mundo vivenciado mediante la actividad” En el marco de esta teoría de la práctica social, Wenger –colaborador muy cercano de Jean Lave- busca precisar los términos y conceptos de la teoría. En particular, se pregunta por las ‘situaciones’ que inciden con mayor viveza e intensidad en los procesos de aprendizaje. Con base en evidencias empíricas que consigue a través de métodos etnográficos, concluye que las experiencias en las que los conocimientos y los aprendizajes resultan más significativos para el sujeto y en las que les puede otorgar sentido son las que se generan en lo que él llama ‘ las comunidades de práctica’ 1. El centro de interés de su teoría reside “…en el aprendizaje como participación social”. Explica que la participación es una específica, se trata de “… participar de manera activa en las prácticas de las comunidades sociales y en construir identidades en relación con estas comunidades” (Wenger, pág. 22, 2001). Se considera así a la participación social como un proceso que lleva al aprendizaje y al conocimiento. Utiliza el término ‘práctica’ (y no otra unidad de análisis, como por ejemplo, actividad o acción) porque considera que es a partir de la práctica que se consigue significar lo que se experimenta en la vida cotidiana. Para él la práctica es un contexto en el que “… experimentamos el mundo y nuestro compromiso con él como algo significativo” (Ibid. pág. 78). Para Wenger, la práctica es fuente de cohesión y coherencia de las comunidades. De acuerdo a su teoría, las comunidades de práctica se caracterizan como “…las configuraciones sociales donde nuestras

1 Eso no significa que el sujeto no aprenda fuera de las comunidades de práctica en las que participa. Lo que quiere decir Wenger es que los aprendizajes que, en última instancia, tienen mayor impacto en el sujeto y que van a modificar de manera más drástica sus estructuras cognitivas son los que él realiza en el contexto de las comunidades de práctica con las que él está comprometido.

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empresas se definen como valiosas y es posible reconocer en nuestra participación en ellas nuestras competencias y nuestra identidad” (Ibid, pág. 22). Se da una mutua relación e influencia entre las comunidades y los sujetos que participan en ellas: la participación en comunidades sociales conforma nuestra experiencia y también conforma a esas comunidades . Define tres dimensiones relacionadas con la práctica y las comunidades :

◊ Compromiso mutuo Para Wenger, las comunidades de práctica se forman de las relaciones y compromisos de participación mutua que en la propia práctica se dan entre sus miembros, para con ellos y para con la empresa que tienen en común. Existe porque hay personas que participan en accones cuyo significado negocian mutuamente (Ibid. págs. 100-104)

◊ Empresa conjunta

“Las comunidades tienen como propósito una empresa en común, lo que da origen a unas relaciones de responsabilidad mutua entre los implicados”. (Ibid, págs. 105-110)

◊ Repertorio compartido

“Las comunidades tienen en común un repertorio, integrado por elementos que intervienen en las prácticas que las distinguen como una comunidad específica . El repertorio de una comunidad incluye rutinas, palabras, instrumentos, maneras de hacer, relatos, gestos símbolos, acciones o conceptos que la comunidad ha producido o adoptado en el curso de su existencia y que han pasado a formar parte de su práctica. Incluye el discurso por el que los miembros de la comunidad crean afirmaciones significativas sobre el mundo, además de los estilos por medio de los cuales expresan sus formas de afiliación y su identidad como miembros de la comunidad” (Ibid. pág. 110).

En suma, Wenger sostiene que la participación en comunidades de práctica conforma nuestra experiencia social, cognitiva y afectiva y esta experiencia determina a su vez a esas comunidades.

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Ejercicio 1

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b. La construcción individual del conocimiento, una explicación constructivista La teoría de la práctica o cualquier otra teoría sociocultural del aprendizaje no dan cuenta de la vastedad de fenómenos asociados con la generación de conocimiento y los procesos de aprendizaje que se dan en los individuos. Es necesario otro marco teórico para explicar los procesos psicológicos que se dan a nivel personal, en la escala del sujeto. En el marco de la epistemología genética se considera que la construcción de nuevos conocimientos se da a través de una interacción ‘dialéctica’ entre el sujeto que conoce y un objeto que pertenece a una realidad que está fuera de él. En este proceso cognitivo el sujeto actúa sobre el objeto de conocimiento2 y como resultado de tal acción (de aprendizaje) el sujeto mismo cambia sus estructuras 3((re)-acomoda las estructuras que él posee como resultado de la asimilación del nuevo objeto a sus estructuras previas). Estos procesos son una ‘prolongación’ en los seres humanos de los mecanismos de adaptación que comparten todos los seres biológicos. Se afirma, desde la perspectiva constructivista, que el conocimiento es resultado de una sucesión de abstracciones, que da inicio con una abstracción empírica atada al objeto, sobre la cual se procede, iteradamente, con abstracciones que se reali zan sobre lo anterior, y que cada vez alcanzan mayor nivel de generalidad y profundidad (Cfr. Piaget, 1990).

2 Para Piaget este proceso está basado en un funcionamiento vinculado con la asimilación de los

objetos a las estructuras cognitivas que posee el sujeto y a la acomodación de dichas estructuras a las nuevas adquisiciones cognitivas que el sujeto consigue. Los esquemas de asimilación, … tienden a … incorporar los elementos exteriores a él; … y se encuentran obligados a acomodarse a los objetos (exteriores) que asimila, … (es decir) a modificarse en función de las particularidades (de dicho objeto) (). Piaget distingue la asimilación de la acomodación y los considera como complementarios en el proceso de adaptación intelectual, que considera semejante a los procesos biológicos de adaptación; dice Piaget: “(un sujeto) … podría asimilar todo el universo pero sin modificarse”; la acomodación implica ya el cambio y el enriquecimiento del esquema como resultado del proceso cognitivo. Piaget postula además la necesidad a la que tienden los individuos (a nivel individual como a nivel de la historia) de conseguir un equilibrio entre la asimilación y la acomodación (es decir, entre sus estructuras internas y el objeto de conocimiento), esto como resultado de la necesidad de dicho proceso de adaptación” (Piaget, 1990).

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De tal forma que, a pesar de que el ‘individuo no aprende en solitario’, es el individuo particular el que construye su conocimiento a través de procesos psicológicos y lo hace teniendo como referente inicial la realidad circundante, de la cual él forma parte y participa de sus atributos y propiedades (Delval, 1996)

Organización de la exposición La exposición se organiza en torno a dos ejes:

1. El concepto matemático de número natural

2. El concepto de comunidad de práctica Y se divide en las siguientes partes: Parte Primera, de corte epistemológico

• Ideas y concepciones de las matemáticas Parte Segunda, de corte histórico

• El número en la prehistoria

• El número en la civilización mesopotámica

• El numero en la civilización maya Parte Tercera, relacionada con la educación:

• El número en las matemáticas extra-escolares Los temas que se incluyen en el documento, aparentemente inconexos entre sí, se articularán en torno al concepto de comunidades de práctica. Particularmente se reflexionará en torno a las experiencias matemáticas, las prácticas y algunos de los recursos, resultados y el bagaje de conocimientos generados en las siguientes comunidades:

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1. La comunidad de especialistas en las matemáticas, para dar una definición de lo que, en el contexto de este escrito, se entiende por matemáticas como campo de la ciencia. Para contrastar, también, las formas de validar los resultados numéricos y de generar conocimiento.

2. La comunidad de los hombres prehistóricos que plasmaron

experienci as primigenias sobre el número, para describir los orígenes del número.

3. La comunidad de sacerdotes y la de los aprendices de escribas

pertenecientes a las civilizaciones que se asentaron en la Mesopotamia, para hacer referencia al uso y a la forma de representación que se le dio al número en este espacio cultural.

4. La comunidad de los sacerdotes mayas, para conocer otra forma de

registro y aplicación del número.

5. Las comunidades de niños y adolescentes que participan en el comercio ambulante, para reflexionar sobre el uso ‘informal’ pero muy eficiente del número.

PARTE PRIMERA

1. La matemática –como disciplina científica- caracterizada a partir de la práctica de la comunidad de especialistas

Las matemáticas se han definido tradicionalmente con base en los productos que los expertos o especialistas han obtenido a partir de la práctica de la disciplina, o considerando los recursos que en ella se emplean. Así, se ha definido a las matemáticas en función de su:

◊ Contenido A este parámetro se pueden asociar una diversidad de definiciones a lo largo de la historia. Se puede citar desde la caracterización aristotélica de las matemáticas como ‘ciencia de la cantidad’, o bien la que aparece en el marco de la axiomatización de la teoría de conjuntos que se da a principios del siglo XX, en la que se considera a las matemáticas como el ‘conjunto de proposiciones que se pueden expresar y deducir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel’. En este mismo contexto, se puede

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ubicar a la definición que propone Halmos, para quien “las matemáticas se reducen a sus problemas y a sus soluciones” o las de corte estructuralista, como la proporcionada por Steen, ‘como la ciencia de los patrones’ .

◊ Métodos de prueba

Se encuentran en este caso definiciones como las que propone Peirce, para quien las matemáticas son la ciencia en la que se obtienen conclusiones necesarias. En esta conceptualización se pone el acento en los métodos de validación y prueba, así como en la organización (axiomático-deductiva) que las teorías matemáticas alcanzan después de largos períodos de desarrollo, cuando se erigen en cuerpos de conocimientos sancionados y avalados por amplios grupos de especialistas.

◊ Lenguaje formal

Aquí encajan las posturas formalistas, conforme a la cuales se considera a las matemáticas como un sistema que consiste en símbolos carentes de significado y que se manipulan de acuerdo a ciertas reglas fijas.

◊ Ontología

Lo que en este caso se toma en cuenta es el tipo de objetos que se ‘construyen’ o ‘descubren’ a partir de la actividad matemática. Está la definición platónica: “La matemática como una actividad mental abstracta sobre objetos realmente existentes que tienen sólo representaciones en el mundo sensible” (Timeo, 1952b).

Asociadas a estas definiciones subyacen ideas (en unos casos en forma más explícita que en otros) de que las matemáticas son inmutables, infalibles, exactas, únicas, que representan la fase superior del pensamiento, que son ahistóricas, aisladas de los marcos culturales, independientes de los contextos sociohistóricos y autónomas, con respecto a los individuos y los colectivos de individuos que las generan.

Ejercicio 2

Esta forma de mirar las matemáticas no sólo dominó -por varios siglos- las comunidades de los especialistas y los expertos sino que invadió también el ámbito de la educación formal.

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La visión de las matemáticas restringida únicamente a los productos ‘finales’ que obtienen los expertos -es decir, a los resultados pulidos, revisados y avalados por la comunidad y a los métodos y recursos asociados a éstos- presenta sólo ‘ la punta del iceberg’, ya que oculta la riqueza y complejidad de la verdadera y real práctica matemática, además de tener escaso poder explicativo, sobre todo cuando se lleva esta discusión al ámbito de lo educativo. En este escrito se caracteriza a las matemáticas como una práctica; específicamente a través de la práctica que desarrollan las comunidades de matemáticos (en su trabajo como especialistas). Las comunidades de práctica formada por los expertos en las matemáticas se insertan en contextos más amplios –históricos, sociales, culturales, institucionales-, pero su realidad cotidiana sigue siendo creada y definida por ellos mismos, dentro de los recursos y las limitaciones de su situación. En este sentido, las matemáticas son una ‘empresa autóctona’. La definición de la empresa matemática (que incluye los criterios de rigor, las formas de prueba aceptadas, los consensos en los que deben descansar las proposiciones y las formas de objetividad aceptadas) se da en el ocurrir de la práctica, es por tanto resultado de un proceso y no un acuerdo fijo y determinado de una vez por todas. Por otra parte, los matemáticos, como cualquier comunidad de práctica, cuentan con un repertorio compartido, que incluye rutinas, costumbres y hábitos; símbolos y lenguajes (el natural y el simbólico); instrumentos (heurísticos o de prueba, por ejemplo) así como un bagaje de nociones (implícitas o explícitas), conceptos y conocimientos que la comunidad ha producido , organizado y sistematizado en el curso de su historia y que han pasado a formar parte de su práctica (Cfr. Wenger, 2001). Esta idea de las matemáticas no es del todo ajena a la que han sostenido en las últimas décadas algunos matemáticos y filósofos de las matemáticas, quienes han buscado contestar a la pregunta acerca de esta ciencia a través de la exploración de las formas en la que este campo disciplinar se construye y aplica. Aunque resulte un poco sorprendente, la propia “lógica matemática moderna ha puesto énfasis en el hecho de que ... mientras no se estudie la actividad matemática, los problemas de los fundamentos de la matemática no serán resueltos”.

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Este enfoque ‘socio-cultural’ sobre la naturaleza de las matemáticas ubica el centro del análisis en las actividades matemáticas; se interesa por estudiar las ‘matemáticas a ras de suelo’ (para emplear una expresión de Kuhn), es decir, el quehacer real y situado de los matemáticos en su práctica y experiencia cotidiana, el cual incluye “las pruebas informales, la posibilidad del error matemático, las explicaciones matemáticas que todavía no alcanzan el estatus de las pruebas formales o la comunicación entre los especialistas” (Tymoczko, 1985). Entre los matemáticos que han asumido esta perspectiva se encuentra Hersh, para quien los objetos y conceptos matemáticos son resultado de construcciones de individuos (o de grupos de individuos), pero una vez creados se autonomizan del sujeto singular y lo trasci enden para habitar el mundo de la cultura. Desde su punto de vista esta postura acarrea, entre otras cosas, la renuncia a dogmas con supervivencia secular (Hersh, 1985): “la mate como verdad absoluta, la infalibilidad de sus métodos, la deducción como único y legítimo recurso de prueba (y de actividad matemática)”. Las matemáticas vistas como una actividad o una práctica no representan “una masa inerte y acabada de conocimientos”. No constituyen un estado final, no son un compendio de hechos (Lave, pág. 187, 1991) sino que resultan de procesos contextualizados en situaciones específicas y adoptan el carácter de un proceso de conocer” (Ibid.). Este proceso, como todo proceso histórico, tuvo estadios primigenios y presentó cambios a lo largo de su evoluci ón histórica. Para comprender el número y su esencia, resulta muy interesante conocer y analizar las primeras manifestaciones de las prácticas matemáticas, en particular, las aritméticas o numéricas, es decir, las que llevaron a cabo las más antiguas ‘comunidades de prácticas numéricas. A continuación se hace referencia a tres de ellas.

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PARTE SEGUNDA

2. Las prácticas numéricas en sus primordios: Los orígenes del número

Los orígenes del número se remontan a la prehistoria, cuando la economía del hombre se basaba en la caza. Existen evidencias de que los hombres que habitaron en el Paleolítico Superior, es decir, algunos milenios antes de que surgieran las primeras civilizaciones y la escritura, ya formulaban y representaban relaciones aritméticas de tipo básico. El registro de actividad numérica más antiguo del que se tiene noticia es contemporáneo a las primeras pinturas rupestres, ubicadas hacia el año 30,000 A. C.; se trata de un hueso de lobo descubierto en Checoslovaquia, que posee 55 incisiones profundas ordenadas en dos series y distribuidas en sub-grupos de 5. Otro testimonio de las artes calculatorias de las sociedades prehistóricas consiste en una placa de hueso cincelado con muescas alineadas en forma regular, algunas de ellas agrupadas en subconjuntos de 29 elementos (que eventualmente pudieran representar el número de días que transcurren entre dos lunaciones), encontrada en la Gruta de Taï, en el sur de Francia y que se ha fechado en torno al año 10,000 a. C. (Dahene, pág. 96, 1997).

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Un último ejemplo de las capacidades para la cuantificación del hombre prehistórico se encuentra en el Museo de Historia Natural en Bruselas; se conoce como el ‘hueso Ishango’ y resulta particularmente interesante porque en una de las tres columnas que posee, aparecen tres pares de muescas, en la primera se encuentran 3 y 6 cortes, en la segunda 4 y 8 y en la tercera 5 y 10; otra columna que llama también la atención presenta 11, 13, 17 y 19 incisiones. La muestra data de aproximadamente 6,5000 años y se conjetura que podría ser el registro más antiguo de números primos.

Ejercicio 3 Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6 Ejercicio 7

Estos modelos aritméticos dan cuenta del proceso evolutivo del concepto de número, cuyas primeras etapas pueden caracterizarse por

◊ la identificación de una unidad, es decir, la abstracción de las cualidades materiales o físicas de los objetos para concebirlos sólo en su singularidad;

◊ la aplicación de correspondencias (biunívocas) entre los elementos de dos o varios conjuntos;

◊ el establecimiento de conjuntos ‘equipotentes’ (con la misma cardinalidad);

◊ la modelación y representación de estos procesos (Gómez, 1993). Con estas prácticas es posible determinar la equinumerosidad de ciertos conjuntos (de cardinalidad muy pequeña), así como llevar una cuenta numérica (que no sobrepasen las primeras decenas) de algunos eventos discretos (como la sucesión de días). Transcurrirán todavía varios milenios para que el hombre represente y opere números que alcancen órdenes de magnitud considerablemente

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mayores4, para lo cual fue necesario identificar y distinguir a los números con nombres o etiquetas, imponer un orden a dichas etiquetas y construir los primeros sistemas de numeración. En lo que sigue se describen y analizan dos de los primeros sistemas de representación numérica que se tienen registrados en la historia: el sistema cuneiforme, correspondiente a las culturas mesopotámicas y el desarrollado por los mayas. Un sistema de representación numérica es un conjunto reducido de símbolos, reglas para combinarlos y nombres para denotar las distintas combinaciones de los símbolos, que permiten representar –en forma escrita o verbal- números y operar con ellos. La finalidad de estos sistemas –según Bourbaki -, es “… asignar a cada número natural individual (con un límite que depende de las necesidades prácticas) un nombre y una representación escrita, formada por combinaciones de un reducido número de signos, efectuadas siguiendo leyes más o menos regulares” (tomado de Gómez, p. 31, 1993).

4 Símbolos para números que llegan hasta el 100,000 se encuentran durante el Viejo Reinado de los Egipcios (3,200-2,000 a. C.) (Van der Waerden, p.15).

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3. Dos comunidades de práctica pertenecientes a las culturas mesopotámicas, involucradas con actividades numéricas

El contexto general Alrededor del año 3,500 antes de nuestra era, en el Valle de Mesopotamia, lugar ‘entre los ríos’ Tigris y Eufrates, surgieron civilizaciones que alcanzaron un remarcable desarrollo cultural. En este lugar, denominado Sumeria, los sumerios, asirios, babilonios y caldeos alcanzaron –a lo largo de tres milenios- niveles sin precedente de prosperidad material y de poder político y de ahí surgieron las primeras ciudades del mundo. “Fue en estas ciudades donde el hombre realizó algunas de sus obras más impresionantes en el arte y la arquitectura, de organización social y de pensamiento religioso y, al inventar la escritura, en las esferas de educación y comunicación” (Kramer, pág. 33, 1981) . Los habitantes de Caldea sabían cultivar el trigo, hacer estatuas de barro cocido, explotar los metales, construían ciudades y monumentos, y como lo veremos, instauraron por primera vez, una forma de comunicación escrita. (Boyer, pág. 26, 1968). La economía de estos pueblos era agrícola. Aunque el país es desértico, las tierras trabajadas y labradas de Sumeria eran de una fertilidad incomparable. Labraban la tierra con arados pequeños tirados por bueyes y la regaban sacando agua de los ríos o de los canales. “Un factor que impulsó la transformación de pequeños asentamientos humanos en ciudades fue el afecto y el interés que sus moradores tuvieron por su lugar y sus tierras, lo que llegó a ser el incentivo en toda actividad de importancia. Este cambio de lealtad de la familia al grupo social y al colectivo constituyó un ajuste sin el cual hubiese sido imposible el nacimiento de las ciudades” (Kramer, pág. 34, Ibid.).

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Una elite de iniciados: los sacerdotes

“Otro factor que robusteció la unidad de la aldea primitiva fue el templo y su servicio. Además de los actos religiosos, en los templos se engendraba e intensificaba el patriotismo, el orgullo y el esfuerzo locales…” (Ibid.). Los sacerdotes eran individuos destacados por su saber y poderes espirituales; con el transcurrir del tiempo fueron proliferando en número y especializando sus funciones y prácticas, de modo que el templo y su círculo de sacerdotes se convirtieron en el centro intelectual de cada comunidad. “No es de extrañar, por esto, que el templo haya sido el lugar donde se inventó y desarrolló la escritura” (Ibid.) y se desarrollaron también la astronomía, las artes del cálculo y las matemáticas. Hicieron aportaciones valiosas en el avance de la ciencia y la tecnología, al definir distintas medidas, entre otras, las medidas de tiempo: dividían el año en doce meses, unos de veintinueve, otros de treinta días, así que su año era más corto. Para compensar la diferencia, intercalaban cada seis años un mes complementario de treinta días. Imaginaron la semana de siete días en recuerdo de los siete planetas. El séptimo era día de descanso. Hicieron también la división del círculo en 360 grados e idearon un sistema completo de medidas de longitud, superficie y pesos. La elite de los sacerdotes constituía una comunidad especializada de iniciados en las prácticas religiosas y en conocimientos profundos sobre la escritura, la astronomía y las matemáticas. Compartían tareas y servicios religiosos que debían ofrecer a la comunidad, pero también debían asumir compromisos y responsabilidades de cohesión social y de establecimiento y consolidación de identidades grupales. Poseían también un repertorio, conformado por elementos definitorios de su práctica. Además de los servicios religiosos, para los que seguramente contaban con rutinas, hábitos, costumbres, rituales comunes y un discurso sobre el mundo, poseían un bagaje de conocimientos y saberes –sobre astronomía, artes calculatorias y escrituras, como ya lo mencionamos anteriormente- que ponían al servicio de sus intereses y necesidades (como por ejemplo, observar a los astros para buscar en ellos los misterios del porvenir); esto a su vez, fue fuente del desarrollo y generación de conocimientos subsecuentes.

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Para escribir empleaban un estilete de metal terminado en una cabeza plana de forma de triángulo, el cual producía caracteres que semejaban flechas o cuñas, llamados por esto caracteres ‘cuneiformes’. Éstos se trazaban sobre el barro blando y cuando se había terminado de escribir se metía en el horno para endurecerlo.

Desarrollaron también un sistema de signos y reglas para representar y operar con los números. Al igual que en la escritura, los signos empleados en su sistema de numeración eran también las ‘cuñas’ o muescas.

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El sistema sumerio de representación numérica El símbolo representante del uno era la cuña sencilla, que podía repetirse hasta un total de nueve veces. El símbolo que representaba al 10 era la misma cuña, pero rotada 90°. Combinando estos dos símbolos y haciendo uso del principio aditivo se podían escribir números hasta el 59. (Willerding, pág. 42, 1971).

Después de este número los escribas sumerios recurrían a las potencias de 60. Aparece así por primera vez el sistema posicional, basado en valores absolutos (del uno hasta el 59) y valores relativos, que se obtenían multiplicando los valores absolutos por las potencias de 60. Además de posicional, en el sistema sumerio de símbolos numéricos se recurría al principio aditivo, como se dijo, y también al multiplicativo. Algunos ejemplos de numerales sumerios son los siguientes:

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A pesar de lo avanzado de su sistema de numeración éste presentaba frecuentemente problemas de ambigüedad, debido a la ausencia del cero.

Ejercicio 8 Los escribas: otra comunidad de práctica Otra ‘comunidad de práctica’ muy ligada al templo y en la que el número y las matemáticas formaron parte de sus actividades principales fue la que se dio en el marco de la edubba , la escuela sumeria de escribas, de la que se tienen noticias por los registros de la propia escuela: los libros de texto de los profesores, los ejercicios de los estudiantes y ensayos de la vida escolar. Con la creciente importancia de la escritura cuneiforme en el mundo antiguo, el escriba se transformó en un profesional capacitado. Muchos escribas trabajaban en el templo y en el palacio, no sólo como secretarios tenedores de libros y contables, sino como archiveros, registradores. Otros administraban grandes posesiones o eran empresarios privados. (Kramer, pág. 123, 1981). Los escribas, para serlo, debían de pasar por un prolongado periodo de educación y adiestramiento en la edubba . El escriba asistía a la escuela desde la primera adolescencia hasta que comenzaba a ser hombre, casi todos los días del año, exceptuando algunos de descanso y asueto. “A pesar de los aburridos ejercicios y los ásperos castigos, tenían motivos para sentirse agradecidos. La edubba y su facultad los habían convertido en profesionales sumamente respetados y muy solicitados por sus conciudadanos: eran expertos calificados para administrar una hacienda, arbitrar entre litigantes o hacer levantamientos topográficos de los campos” (Ibid., pág. 124). El lenguaje era la asignatura más importante, pero las matemáticas también tenían un lugar preponderante en el plan de estudios. Las tareas escolares no eran muy distintas a las prácticas que aún hoy en día se suelen encontrar en los salones de clases de matemáticas. “El estudiante tenía que copiar y aprender de memoria veintenas de tablas para el cálculo de cuadrados y raíces cuadradas, cubos y raíces cúbicas” (Ibid.). Y, con un espíritu pedagógico que a la fecha está todavía muy en voga, los

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maestros, “…para explicar las operaciones que se necesitaban para los cálculos, idearon problemas ‘modelo’, como por ejemplo para calcular las superficies de campos de diferentes formas, el número de ladrillos necesarios para levantar una pared y la cantidad de tierra que era menester para construir una rampa” (Ibid., pág. 125). En los ‘perfiles de egreso’ de los planes de estudio de matemáticas se incluía el saber como usar (lo que después se conoció como) el teorema de Pitágoras, poseer una idea bastante precisa de pi (como relación entre la circunferencia y el radio de un círculo) y ser competente en el manejo de las primeras formas de álgebra y trigonometría. Esto, con el a fin de hacer calendarios y hacer observaciones astronómicas como los eclipses periódicos del sol y la luna, calcular el movimiento de los planetas y –eventualmente- asesorar al rey acerca de cómo regular el calendario (para sincronizarlo con el año solar) (Ibid.).

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4. La casta sacerdotal maya: una comunidad cerrada con amplia

experiencia en los cálculos numéricos Antecedentes La América Central fue escenario del surgimiento de otra gran cultura, la de los mayas, quienes –sin influencia de las civilizaciones del Medio Oriente- desarrollaron también un sistema posicional de representación nujmérica. El periodo probable de creación se data entre el 1200-600 aC. A diferencia de los sumerios, los mayas incluyeron un símbolo para el ‘cero’, lo que les proporcionó claridad y precisión a su sistema numérico. La economía maya se basaba, en gran medida, en la agricultura, actividad en la que emplearon técnicas diversas que ajustaron a las condiciones locales. Cultivaron milpas, huertos, árboles y tubérculos, entre otras cosas. En el periodo Clásico practicaron el comercio no sólo al interior de las ciudades sino en torno a redes que tocaban áreas lejanas, como el altiplano mexicano, Oaxaca o el Petén Gua temalteco. El excedente no sólo se destinaba al intercambio, sino también para sostener al grupo dirigente y a los artesanos especializados. Esto marcó el inicio de la acumulación de la riqueza en manos de una minoría, como son los sacerdotes, los señores y los comerciantes. (Lorenzo, pág. 77, 2001). En la vida cotidiana maya los rituales religiosos juegan un papel central, ya que la vida terrenal estaba regida para servir a los dioses. Esto probablemente fue causa y efecto de que “… la religión mesoamericana contara con un sacerdocio abundante y heterogéneo”. (López, pág. 251, 2001).

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Sacerdotes y clase dirigente: comunidad generadora y beneficiaria del conocimiento matemático institucional “Los mayas escribían sus textos en los códices, libros hechos en papel de amate, el cual se cubría con una capa de estuco y se doblaba en forma de biombo. “Los libros se leían en las ceremonias destinadas a la interpretación de los augurios relativos al tiempo sagrado, lo que sucedía en fechas precisas; una de éstas eran los eclipses o los movimientos de Venus, que eran importantes por su relación con la guerra. Se supone que en esas ocasiones las lecturas se hacían ante el pueblo que era prevenido de las catástrofes que tales movimientos podían acarrear, y se les conminaba a que participaran con sus sacrificios para conjurar el peligro. Había otras circunstancias en las que los libros eran consultados, relacionadas con sucesos de la vida de cada individuo, como nacimientos, enfermedades o la muerte” (Ayala, pág. 182, 2001). La escritura era considerada un don divino y, por lo tanto, su posesión y conocimiento solía ser patrimonio del grupo dominante: los sacerdotes y la clase dirigente” (Ibid. pág. 147). Solamente ellos sabían leer y escribir esos documentos. “Las escuelas eran propiamente templos y los afiliados se dedicaban al culto de las divinidades escolares. La educación formal se adquiría, por tanto, en el ejercicio del sacerdocio y en una institución jerarquizada, rígida y cargada de funciones. Buena parte de la enseñanza se encaminaba a normar las relaciones entre los hombres y los dioses”. (López, pág. 255, Ibid.). “Un sólido sector de sacerdotes institucionalizados se incorporaban a los aparatos gubernamentales” (Ibid.). Esta casta apoyaba a los gobernantes con sus profundos sistemas de conocimientos y saberes, en particular, en los manejos y aplicaciones de un calendario que resultó el más complejo de todos los elaborados en Mesoamérica. (Ibid. pág. 251).

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Las representaciones numéricas Los mayas crearon dos sistemas de numeración escrita; en este documento sólo se expondrá el más sencillo. En este sistema de numeración, ellos empleaban sólo tres símbolos: un punto para la unidad, una raya con valor de cinco unidades y una figura especial en forma de concha de caracol marino que representaba al cero. Con base en repeticiones y combinaciones de estos signos se representan los números que van hasta el 19, los que se expresan del modo siguiente:

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Éstos numerales juegan el papel de ‘valores absolutos’, ya que la base de su sistema es el 20. Los números se simbolizan en forma vertical, o por medio de columnas ascendentes, las que determinan niveles posicionales. Aunque, como se dijo, su sistema era vigesimal, había un pequeño ajuste, de tal modo que las unidades incrementan su valor de la siguiente forma:

Orden de unidades

En notación actual:

1er. orden 1 200 = 1 2º orden 20 201 = 20 3er. orden 18 x 20 = 360 18 x 20 = 360 4º orden 20 x 360 = 7,200 18 x 202 = 7,200 5º orden 20 x 7,000 = 144,000 18 x 203 = 144,000

Ejemplos de algunos numerales mayas son los siguientes: En el sistema posicional de representación numérica maya se introduce un símbolo que se le ha llamado ‘cero’ porque cumple una función similar, aunque no tiene sentido de vacío o ausencia, sino que indica ‘completamiento’. (Ayala, pág. 166).

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Los numerales mayas ofrecen muchas ventajas, entre otras, para el cómputo. Seguramente esto los auxilió en los complicados cálculos que se planteaban efectuar y esto a su vez representó un acicate para la generación de una nomenclatura funcional. Abajo aparece una suma y una resta en el sistema numérico maya: Los números y el calendario maya: vínculo indisoluble De este pueblo nos han quedado tablas de multiplicación (en el código Dresde) y cálculos en los que se emplea el cero y la notación de valores por posición; no obstante, hasta la fecha todas las anotaciones que conocemos con numerales son fechas; es decir, todas las expresiones numéricas –de las que se tienen noticia- se refieren a cómputos elaborados con fines calendáricos. Parece ser que la numeración servía fundamentalmente para llevar registros temporales, ya fueran de índole sagrada (rituales) o profana (eventos históricos). Hasta el momento no se han encontrado recuentos de cacao (la moneda principal de Mesoamérica), o de maíz, o mantas, por ejemplo. (Ayala, pág. 109, Ibid.)

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Un ejemplo de un texto con aplicaciones numéricas es el siguiente: El texto expresa que el dios Ah Bolom Tzacab está bajo el auspicio de la diosa lunar. La manifestación de este dios, prosigue el texto, había ocurrido en una fecha situada en otra edad cósmica cientos de miles de años atrás. Así lo registra la segunda columna glífica, a la derecha del señor que vuelve a la vida: Han ocurrido cuatro batkunes (4x400 años= 1,600); 18 piktunes (18x400 años=72,000) y 5 calabtunes (5x72,000años=360,000) años) en suma 436,000 años, hasta que ocurrió la fecha9-Ik, 10-Mol (la del retorno a la vida del señor Chan Bahlum) . Fue entonces cuando se manifestó por vez primera el dios Ah Bolom Tzacab (“Nueve Generaciones”, dios agrícola, señor de los vientos). Y en el día 9-Ahau, del mes 3-Kankin (6 de noviembre de 705dC) ocurrió la apoteosis (al erigirse a la lápida) … de aquel que era de su sangre del señor de Palenque, el Señor Jaguar, su descendiente el señor Chan-Bahlum, sangre de los señores de Palenque (202) Los mayas tenían dos calendarios: uno de 260 días, divididos en 13 meses de 20 días, que se empleaba para la adivinación y otro de 365 días, agrupados en 12 meses de 30 más 5 días especiales de festividades, asociado a las fiestas religiosas. La base de su calendario era la combinación de estos dos ciclos; esto cristalizó en un complejo sistema calendárico. “Los mayas comprendieron la necesidad de tomar un punto de partida fijo para computar su era cronológica” (Meda, pág. 144, 1968). Haciendo coincidir los inicios de dos ciclos calendáricos (de 260 y 365 días) en un día común, uno de los retos que se plantearon fue calcular el número de días que tendrían que transcurrir (a partir del día inicial) para que los dos ciclos volvieran a coincidir en sus inicios. Uno de los propósitos del cálculo era conocer cuándo comenzaría un ‘ciclo mayor’. El resultado es de 18, 980 días.

Ejercicio 9 Los mayas concebían el tiempo como una sucesión de estos 18,980 días. El cálculo de días de los ‘ciclos mayores’ involucraba múltiplos de este número (como el 37,960; 94,900; 113,880), que eran difíciles de manejar, por lo que se supone que el desarrollo de un sistema de numeración tan eficaz tuvo que ver con la necesidad de lidiar con estos grandes números. Es posible

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que su base vigesimal también estuviera relacionada con las aplicaciones calendáricas de su sistema de numeración.

Ejercicio 10 Vale la pena destacar que los cálculos mayas llegaron a tal grado de precisión que su corrección calendárica resulta de un diez-milésimo de día, unos nueve segundos más exacta que la que se hace con la intercalación del año bisiesto en nuestro calendario.

Sobre la comparación entre el sistema de numeración mesopotámico y el maya

Se han expuesto, en los dos parágrafos anteriores, sistemas de numeración distintos que se generaron en contextos culturales y geográficos muy distantes entre sí. Aunque las diferencias entre ellos son notables (por lo menos a nivel de signos y por tanto de numerales), en ambos casos se habla de sistemas de numeración (o sistemas de representación numérica, como nosotros les hemos aquí llamado); esto habla de que la equivalencia entre ambos es algo que no se suele cuestionar.

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No obstante, vale preguntarse:

1. ¿Qué tienen en común los sistemas maya y sumerio? 2. ¿En qué difieren?

Pero quizás más importante aún:

3. ¿Representan al mismo objeto denominado ‘número’? 4. Y si es así, ¿cómo se puede explicar que civilizaciones tan distantes y

tan dispares hayan conseguido construir de manera independiente y sin ninguna influencia mutua, sistemas aparentemente tan diferentes pero iguales en esencia?

Ejercicio 11

Pregunta 3:

¿Los sistemas de numeración maya y mesopotámico representan al mismo objeto denominado ‘número natural’?

Para contestar iniciaremos con la pregunta tres. Para contestar a ésta es necesario responder otra:¿qué es el número?5.

Ejercicio 12 Para iniciar se puede proponer una definición ostensiva, simplemente enumerando la serie numérica: “los números son el 1, 2, 3, 4, 5, … & etc.” Esta no es una definición útil para contestar la interrogante que se ha planteado, por lo que se probará con otras. Otra forma de caracterizar al número es a través de una definición real o de carácter ontológico, que responde a la pregunta sobre lo que es el objeto por definir. En esta tesitura está la definición dada por Euclides, en sus Elementos. En el libro VII, definición 2, caracteriza al número “como una multitud compuesta de unidades” Sustentada en una idea de una unidad

5 En el contexto de este escrito la palabra “número” adopta el significado de lo que actualmente se conoce como “número natural”.

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indivisible y principio de los números, esta definición no resulta tampoco útil para contestar a la pregunta. Por lo anterior resulta necesario recurrir a otras formas de caracterizar al número. Se puede, por ejemplo, dar una definición funcional, considerando los distintos usos, significados y aplicaciones que se le ha dado al objeto. Dentro de éstas se destacan las siguientes:

◊ El número de contar. “Es el desenvolvimiento en el tiempo de la sucesión de los números naturales”. Es el objeto de la actividad de calcular. Llamado matemáticamente número ordinal se formaliza en los axiomas de Peano”. (Freudenthal, 1973, cit. en Puig, ). Es el número para numerar, ordenar.

◊ El número cardinal, para establecer la numerosidad de conjuntos

discretos. ◊ El número para medir:

Para describir medidas: la temperatura, el tiempo Para clasificar: los kilates del oro, el calibre de la fruta Para evaluar, valorar: las notas escolares, precios, porcentajes (Gomez, p. 19).

◊ Para operar: en este caso Freudenthal se refiere al aspecto algorítmico.

Como operador: duplicar las ventas, subida lineal de salarios. (Ibid.) ◊ Otros usos: para localizar (Capítulo II, página 37); para identificar: en los

dorsales de los deportistas o en los caballos de carreras (Ibid.). Esta lista usos que van más allá de las aplicaciones que mesopotamios y mayas dieron al número. Pero es una buena guía que puede orientar el análisis.

Ejercicio 13 Otra manera de caracterizar al número es a través de una definición intensiva o estructural, dada a través de relaciones y propiedades matemáticas de la serie numérica.

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Fue hasta finalizar el siglo XIX que se pudieron enlistar las características básicas de dicha serie. Peano, entre otros, estableció estas propiedades, que se pueden enunciar como sigue: El conjunto N de los números naturales está ordenado de tal forma que sucede lo siguiente:

1. Existe un primer elemento (que puede ser el cero o el uno) que no es sucesor de ningún número.

2. A cada número n en N le sigue otro natural (y solamente otro) que se denota mediante el símbolo n+1 y que se llama el sucesor de n.

3. Si dos números naturales n+1 y m+1 son sucesores inmediatos de los números n y m, respectivamente y n+1=m+1, entonces n=m. Es decir, números distintos tienen sucesores inmediatos distintos.

4. Si S es un subconjunto de N y tiene las siguientes dos propiedades:

i. contiene al primer elemento de N ii. si siempre que n está en S entonces n+1 está en S entonces S=N

En el segundo de estos axiomas se establece la existencia del sucesor de cada número natural; en el tercero se hace referencia a que ese sucesor es único y en el cuarto axioma se establece la unicidad del conjunto de los números naturales, lo que significa que si existe cualquier otro conjunto que cumpla con las condiciones enumeradas del 1 al 3, entonces coincide con el conjunto de los números naturales.

Ejercicio 14 Ejercicio 15

Con base en los anteriores argumentos podemos decir que todos los sistemas de signos estudiados representan al mismo objeto, denotan lo que en la matemática actual se llama “sistema de los números naturales”. Por ello, a los sistemas estudiados (prehistórico, mesopotámico y maya) se les ha llamado “sistemas de representación de los números”, o “sistemas de signos numéricos” o “sistemas de numerales”, ya que se llaman “numerales” a las representaciones de los números.

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Reiteramos, todos estos sistemas de signos representan al sistema de los números naturales.

Pregunta uno y dos: ¿Qué tienen en común los sistemas maya y sumerio?

Y ¿En qué difieren?

Los distintos sistemas de numerales difieren en :

ü los símbolos que se emplean para el registro y representación (oral o escrita) de los números;

ü las reglas en las que se basan para formar los numerales. Por

ejemplo, algunos sistemas se apoyan en la propiedad aditiva de los números, otros, en la multiplicativa, otros, como los posicionales, se basan en propiedades más complejas;

ü los algoritmos y procesos para operar los números.

ü los usos y significados que se le ha dado a los objetos que los

numerales representan, es decir, a los números. A su vez, se encuentra en los sistemas de representación de los números que hemos estudiado, aspectos invariantes. Los sistemas de representación numérica de los mayas y los mesopotámicos poseen las propiedades enunciadas en los axiomas de Peano, así que, como antes se dijo, representan al mismo sistema numérico, al sistema de los números naturales. Como tales, poseen las propiedades de este sistema. Es importante aclarar que aunque los usuarios de estas estructuras numéricas hayan empleado estas propiedades numéricas ellos posiblemente no eran conscientes de ellas. Se trataba de lo que Vergnaud llama ‘teoremas en acción’.

Pregunta cuatro

¿Cómo se puede explicar que civilizaciones tan distantes y tan dispares hayan conseguido construir de manera independiente y sin ninguna

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influencia mutua, sistemas numéricos aparentemente tan diferentes pero iguales en esencia?

Los conceptos de las ciencias -y en particular los números- son elaboraciones humanas de carácter socio-cultural. No obstante, no son arbitrarios, no son productos ‘puramente culturales’ o contextuales o al sólo servicio de necesidades, gustos o modas imperantes en los pueblos que los generan o emplean. Si fuera así, no se podría comprender cómo es que son tan útiles para explicar y predecir fenómenos universales de órdenes diversos, ya sean de naturaleza física, química o biológica o bien de carácter social, económico o político. Tampoco sería posible explicar el progreso de la ciencia dado en espacios geográficos y temporales tan distantes entre sí. En particular, no habría forma de justificar la equivalencia entre los distintos sistemas de numeración generados en culturas dispares entre sí, como la maya y la mesopotámica. Una explicación coherente y fundada del por qué es posible explicar, anticipar y resolver problemas de la vida cotidiana con base en los conceptos de las matemáticas –insistimos, a pesar de su carácter cultural y su aparente desapego de los objetos reales- surgió en el marco de la epistemología genética desarrollada por Piaget y su escuela. Si existe concordancia entre las matemáticas y lo real –explica Piaget– es a través de las operaciones del sujeto, cuyos caracteres se basan en sus raíces orgánicas: en efecto, el organismo es un objeto físico más, pero más activo, lo cual es la razón de la concordancia y de la superación” (la equilibración de las estructuras cognitivas, p. 26.) Hersh resume así lo antes dicho: “Los seres humanos viven en el mundo y todas sus ideas, en última instancia, provienen del mundo en el que ellos viven; (estas ideas están) permeadas por su cultura e historia, y éstas están a su vez enraizadas en la naturaleza biológica y el ambiente físico que rodea a los hombres” (Tymzoco, p. 23). De modo que existen aspectos culturales del número y aspectos invariantes. Pero ambos en una inter-relación que determina sus características particulares.

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Para resumir lo anterior se puede decir que el número: Es un fenómeno que responde a dinámicas sociales y culturales; es

impensable el número –y la ciencia en general- en ‘individuos aislados’ unos de otros.

Está fuertemente atado a § las estructuras cognitivas del sujeto, es decir, a su funcionamiento

psicológico y § a su arquitectura mental, es decir, a su estructura anatómico-

fisiológica, que determina los mecanismos y formas de archivar la información en su memoria y la manera en cómo los datos ahí almacenados los trae al nivel conciente (Dahene)

y, por supuesto, Está determinado por la realidad externa y las leyes que la rigen, de la

cual el propio sujeto también forma parte.

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5. Las comunidades de venta informal

¿Será que los niños que participan en el comercio informal determinan comunidades de práctica? Particularmente, ¿formarán comunidades de práctica los niños que se dedican a vender un cierto tipo de productos, o los que están congregados en espacios geográficos comunes o similares?

Ejercicio 16 Los niños que participan en la economía informal como vendedores ambulantes presentan una cierta ‘disposición’ hacia el manejo del número y capacidades para las prácticas numéricas. Al conjunto de estas capacidades y una cierta ‘intuición’ numérica los investigadores le han llamado ‘sentido numérico’ (Cfr. Greeno, 1991; McIntosh, et al., 1992, Dahene, 1997; Nunes y Bryant, 1997). Algunos aspectos del sentido numérico que presentan los pequeños comerciantes ambulantes se describen a continuación: ü Representaciones eficientes del número Comprensión y aplicación racional y eficiente de las representaciones del número, especialmente en el sistema decimal: conocimientos de base diez, tamaños de unidades, valor posicional, composición aditiva, etc. Reconocimiento de distintas representaciones simbólicas: ½ = .5 = 50%, por ejemplo.

ü Cómputo mental

ü Cómputo flexible: Reconocimiento de equivalencias para reagrupar números (componer y descomponer)

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ü Existencia de referentes Presencia y empleo de cantidades conocidas que se toman como anclas o parámetros para hacer cálculos exactos y aproximados: por ejemplo los múltiplos de diez; o los pares; o en los racionales números como ½; con base en estos números se va dando significado a otros

ü Estrategias de conteo Para adelante y atrás, de cuatro en cuatro, etc Aplicación del conteo a contextos diversos: contar elementos en contextos físicos, etc. ü Orden en el dominio de los números Comparación de las magnitudes de dos números Comparación de la distancia de dos números a un tercero Tener idea de la magnitud de los números (qué tan grande es 10,000? cómo saberlo, qué estrategias empleamos para poderlo determinar, etc.) Efectos relativos de las operaciones sobre los números: 3x57 es < o> que 25x11?

ü Capacidad para hacer estimaciones y aproximaciones

ü Evaluar razonabilidad de resultados en situaciones de resolución de

problemas Cuándo un problema requiere una solución exacta y cuándo aproximada y a qué grado ü Capacidad para el auto-monitoreo o la autorregulación en las

operaciones y para evaluar los resultados. Queda por hacer una reflexión sobre las distintas comunidades de práctica que eventualmente están presentes en los salones de clase y evaluar el papel que en éstas tiene el número, sus aplicaciones y usos, las formas de operarlos y la de evaluar los resultados, de manera semejante a como se ha hecho en el caso de la última comunidad analizada, la de los niños que participan en el comercio informal.

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La reflexión se verá enriquecida si previamente se estudian, bajo la misma óptica y con los mismos criterios, las distintas comunidades de práctica que a lo largo de esta clase magistral se han visitado. Un estudio orientado en torno a estas problemáticas se propone en los ejercicios incluidos al final de este escrito. BIBLIOGRAFÍA Ayala Falcón, (2001). La escritura, el calendario y la numeración. En

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