Aspecte_algoritmice_ale_teoriei_grafurilor_p1.doc

8/18/2019 Aspecte_algoritmice_ale_teoriei_grafurilor_p1.doc

1/143

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXXXXX


2/143

Universitatea de Stat din MoldovaFacultatea de Matematică şi Informatică

Sergiu CATARANCIUCAngela NICULIŢ

As!ecte algoritmiceale teoriei grafurilor

"artea I

A!ro#ată deConsiliul metodico$ştiin%ificşi editorial al USM

C&" USMC'işinău( )**+


3/143

C,U -./0.1 2*1-034C )/

Res!onsa#il de edi%ie5 "etru Soltan( academician(

!rofesor universitar

Recen6ent5 7umitru ,am#i%c'i(doctor 8n ştiin%e fi6ico$matematice(conferen%iar universitar( AS&M

Recomandată de 5 Consiliul "rofesoralal Facultă%ii de Matematică şi Informatică

Descrierea CIP a Camerei Naţionale a Cărţii

Cataranciuc SergiuAs!ecte algoritmice ale teoriei grafurilor 9 Sergiu Cataranciuc(

Angela Niculi%ă: Univ0 de Stat din Moldova0 Fac0 de Matematică şiInformatică ; C'05 C&" USM( )**+0 ;IS3$.=* 2=3 tit040 ; IS


4/143

CU"RINS

INTRODUCERE.....................................................................................................5

I. NOŢIUNI DE BAZĂ...........................................................................................7.0.0 ?RAFUL N&@RI&NTAT I &L&M&NT&L& SAL&0000000000000000000000000000000000000000000000000001.0)0 ?RAFURI @RI&NTAT&00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000/.0>0 TI"URI 7& ?RAFURI00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.*.0=0 SU


5/143

&.'.1. Metoda succesivă.............................................................................101&.'.2. Metoda di)otomiei ...........................................................................102

>0-0 C@L@RAR&A MUCHIIL@R 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.*=>0+0 "R@0 AL?@RITMUL FL@J70000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.)==0=0 AL?@RITMUL 7ANT,I?000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.)+=0-0 AL?@RITMUL 7& CUTAR& 7U


6/143

INTRODUCERE

Teoria grafurilor re!re6intă una dintre domeniile cele maitinere ale matematicii moderne( care s$a de6voltat 8ntr$un ritmaccelerat( 8n s!ecial 8n ultimii >*$=* ani0 7atorită s!ecificului acesteiteorii( metodele ei de cercetare se a!lică !e larg la solu%ionarea unor !ro#leme cu caracter a!licativ din diverse domenii( cum ar fi c'imia(fi6ica( economia( informatica ş0a0 ?rafurile re!re6intă nişte structuri

matematice discrete !rin intermediul cărora se modelea6ă un şir de !rocese sociale( economice( #iologice etc0 Mai multe !ro#leme( atKtcu caracter teoretic( cKt şi !ractic( se formulea6ă uşor 8n termeniigrafurilor şi se re6olvă elegant !rin a!licarea metodelor teorieires!ective0

Această situa%ie a im!us necesitatea ela#orării unor metodes!ecifice de solu%ionare( care odată cu de6voltarea te'nicii de calculau condus la fundamentarea şi de6voltarea a!aratului algoritmic al

teoriei grafurilor0 Situa%ia la moment 8n acest domeniu ne !ermite săvor#im de rKnd cu as!ectul teoretic şi des!re as!ectul algoritmic0"ractic solu%ionarea oricărei !ro#leme se finali6ea6ă cu ela#orareaunor algoritmi0 Astă6i am !utea cu certitudine să afirmăm căalgoritmica de !erforman%ă se face( 8n mare măsură( datorităcunoaşterii te'nicilor din algoritmica grafurilor0

"re6enta lucrare %ine de studierea unor !ro#leme clasice ale

teoriei grafurilor5 mul%imi sta#ile( colorarea grafurilor( drumuriminime etc0 Sunt !ro!uşi mai mul%i algoritmi de solu%ionare a !ro#lemelor men%ionate( ceea ce oferă !osi#ilitatea de a alege 8nde!enden%ă de situa%ia concretă algoritmul adecvat( efectuKnd oanali6ă com!arativă a eficien%ei acestora 8n de!enden%ă de diferi%i !arametri0 &G!unerea materialului este 8nso%ită de unele no%iuni şire6ultate teoretice menite să facilite6e conce!erea metodelor şialgoritmilor !ro!uşi0 Fiecare ca!itol con%ine un număr mare de

!ro#leme( !rin re6olvarea cărora se oferă !osi#ilitatea de a o#%ine unşir de cunoştin%e utile 8n domeniul res!ectiv0 7e asemenea( la-


7/143


8/143

I. NOŢIUNI DE BAZĂ

&.&. !ra)u* ne+rientat ,i e*e-ente*e a*e

De)ini/ia &.&.&. Perechea ( )U X ( , unde X este o mulţimeneid! de elemente distincte, iar U este o mulţime "ormat! din #erechi neordonate de elemente din X , se nume$te %ra" neorientat.

n cele ce urmea6ă vom nota graful neorientat( determinat de !erec'ea de mul%imi ( )U X ( ( !rin ( )U X & := 0 &lementele lui X şiU le numim res!ectiv vKrfuri şi muc'ii ale grafului ?0

n de!enden%ă de structura mul%imilor X şi U, grafurile !ot fiatKt finite( cKt şi infinite0 Noi ne vom referi 8n continuare doar laca6ul grafurilor "nite( adică vom studia grafuri cu mul%imile X şi U finite0 7acă n X = ( atunci se s!une că graful este de ordin n 0Uneori( !entru a s!ecifica că X şi U sunt mul%imile de vKrfuri şimuc'ii ale grafului & ( se va folosi nota%ia & X şi &U 0

Fie M(000((N ). n ' ' ' X = şi M(000((N ). muuuU = 0 7acă o

muc'ie (u este determinată de !erec'ea de vKrfuri ( )l ) ' ' ( ( atunci

vom scrie ( )l ) ( ' 'u (= şi vom s!une că vKrfurile ) ' ( l ' sunt unitecu autorul muc'iei (u 0 n acest ca6( ) ' şi l ' sunt consideratee'tremit!ţi ale muc'iei (u şi se numesc vKrfuri adiacente0 Se mais!une că fiecare dintre vKrfurile ) ' şi l ' este incident muc'iei (u

şi reci!roc0 Adiacen%a dintre ) ' ( l ' se notea6ă !rin ) ' O l ' 0 7ouămuc'ii se numesc adiacente( dacă sunt incidente unui vKrf comun0

Astfel( rela%ia de adiacen%ă este definită atKt !e mul%imea de vKrfuri(cKt şi !e mul%imea de muc'ii ale grafului0

7acă i ' este un vKrf al grafului ( )U X & := ( atunci

mul%imea U ' ' X ' (i ( ∈∈ (5 se numeşte ecin!tate a lui i ' şi se

notea6ă !rin ( )i& ' * sau sim!lu ( )i ' * 0 &rad al vKrfului X 'i ∈ estecardinalul mul%imii ( )i ' * şi se notea6ă !rin de% i ' ( sau ( )i ' % 0

Altfel s!us( gradul unui vKrf i ' este egal cu numărul de vKrfuri alegrafului( adiacente lui i ' 2sau numărul de muc'ii incidente lui i ' 401


9/143

"rin urmare( are loc inegalitatea X nn 'i =≤≤ (deg. 0 Un graf( 8ncare gradele tuturor vKrfurilor sunt egale cu un număr ) ( se numeştegraf ) $regulat0

"rin analogie( ecin!tate a unei su#mul%imi de vKrfuri X + ⊂a grafului neorientat ( )U X & := se numeşte mul%imea

( ) { } , -.nc/t ast"el + , + X - + O5PQ ∈∃∈= 0 Uneori( concomitent cumul%imea 42 +Γ vom folosi şi mul%imea

+ '

' +∈

Γ =∑ 4242 0 S!redeose#ire de 42 +Γ mul%imea ∑ 42 + !oate să con%ină şi vKrfuridin +0 "rin urmare( 8ntre 42 +Γ şi ∑ 42 + are loc rela%ia

+ + + P4242 ∑=Γ 0 ?radul maGim şi gradul minim al vKrfurilor unui graf & senotea6ă !rin ( )&∆ şi ( )&δ 0 Astfel(

( ) { } '& X '

degmaG∈

=∆(

( ) { } '& X '

degmin∈

=δ 0

BKrful X '∈ se numeşte i-olat 8n graful & ( dacă *deg = 'şi sus#endat dacă .deg = ' 2vKrful sus#endat 8n literatura des!ecialitate se mai numeşte /r" terminal 40 Muc'ia incidentă unuivKrf terminal( de asemenea( se numeşte sus#endat! 2terminal!40&vident( dacă ( ) )≥&δ ( atunci graful nu con%ine vKrfuri sus!endateşi dacă ( ) .≥&δ ( atunci graful nu con%ine vKrfuri u6olate0

Uşor se verifică( că !entru un graf cu n vKrfuri şi m muc'iieste adevărată egalitatea5

m ' X '

)deg =∑∈

0

&.#. !ra)uri +rientate

3


10/143

n ca6ul grafurilor neorientate( mul%imea de muc'ii U estedefinită ca o mul%ime de !erec'i ne+r0+nate de vKrfuri ale grafului07acă cerem ca mul%imea U să fie formată din !erec'i +r0+nate devKrfuri ale grafului( atunci acesta ne !ermite să vor#im des!re un alto#iect matematic ; %ra"ul orientat.

De)ini/ia &.#.&. Perechea ( )U X ( , unde X este o mulţimeneid! de elemente distincte, iar U este o mulţime "ormat! din #erechi ordonate de elemente din X , se nume$te %ra" orientat.

?raful orientat se notea6ă !rin 4:2 U & Χ= 0 7acă din conteGt

va fi clar că este vor#a de un graf orientat( atunci săge%ile res!ectivevor fi omise0n ca6ul grafului orientat( elementele mul%imii U se numesc

arce0 "entru arcul 4(2 , 'u = vKrful ' este eGtremitate ini%ială( iar ; e'tremitate "inal!0 Se s!une că arcul 4(2 , 'u = este orientat de la 's!re 0 BKrful ' se mai numeşte #redecesorul /r"ului ( iar ; succesorul /r"ului '0

S!re deose#ire de ca6ul neorientat( 8n graful orientat !erec'ilede vKrfuri 4(2 (i ' ' şi 4(2 i ( ' ' re!re6intă arce diferite0 ?raful orientat

4:2 U & Χ= ( care nu con%ine 8n acelaşi tim! arcele 4(2 (i ' ' şi4(2 i ( ' ' !entru X ' ' (i ∈∀ ( se numeşte antisimetric0 ?raful

antisimetric cu un număr maGim de arce se numeşte turnir 0

De)ini/ia &.#.#. irul de /r"uri 4(((2 .* r ' ' ' 1 = cu

#ro#rietatea c! U ' ' ' ' ' ' r r ∈

− 4(2(4((24((2 .)..* , se nume$tedrum n %ra"ul &. /r"urile * ' $i r ' se numesc e'tremit!ţi aledrumului 0

ac! toate /r"urile drumului sunt distincte dou! c/te dou!,atunci drumul se nume$te elementar.

BKrful * ' se mai numeşte e'tremitate iniţial!( iar r ' $e'tremitate "inal! a drumului .

/


11/143


12/143

• ulti%ra" ; graful 8n care eGistă cel !u%in o !erec'e de vKrfuri (i ' ' ( ( care re!re6intă mai mult decKt o muc'ie a grafului0

n acest ca6( vKrfurile (i ' ' ( sunt unite cu autorul a )≥)

muc'ii şi se s!une că această !erec'e de vKrfuri defineşte omuc'ie multi!lă de ordin ) 0• Pseudo%ra" ; multigraful care con%ine cel !u%in o muc'ie(

eGtremită%ile căreia coincid0 Astfel de muc'ie se numeşte #uclă0

• &ra" sim#lu graful finit( ce nu con%ine #ucle şi muc'iimulti!le0

n cele ce urmea6ă( ca regulă( vom considera că grafurileeGaminate sunt grafuri sim!le0

• &ra" com#let ; graful( oricare două vKrfuri ale căruia suntadiacente0 Se notea6ă !rin n 7 0 Numărul de muc'ii din n 7

este

)

4.2) −== nn3 U n 0

• &ra" i#artit ; graful( a cărui mul%ime de de vKrfuri !oate fidivi6ată 8n două su#mul%imi . X şi ) X astfel( 8ncKt fiecaremuc'ie are o eGtremitate 8n . X ( iar altă eGtremitate ; 8n ) X 0Se notea6ă graful #i!artit !rin 4:(2 ). U X X & = 0 7acă 8ngraful #i!artit fiecare vKrf din . X este adiacent cu toatevKrfurile din ) X ( atunci avem un graf i#artit com#let 0 Numărul de muc'ii 8ntr$un astfel de graf este ). X X ⋅ 0?raful #i!artit com!let 4:(2 ). U X X & = cu . X 2 # şi ) X

2 se notea6ă !rin 9 # 7 ( 0 n ca6ul !. graful 9 7 (. senumeşte stea0

• &ra" com#lementar al grafului ( )U & : Χ= ; graful( cuaceeaşi mul%ime de vKrfui X ( 8n care două vKrfuri suntadiacente( dacă şi numai dacă ele nu sunt adiacente 8n &0?raful com!lementar se notea6ă !rin & 0

..


13/143

• &ra" al muchiilor grafului ( )U X & := ; graful( vKrfurilecăruia cores!und muc'iilor grafului &( şi două vKrfuri suntadiacente( dacă şi numai dacă sunt adiacente muc'iilecores!un6ătoare lor 8n &0 ?raful muc'iilor se notea6ă !rin

42& : 0&.3. Su4gra)uri

De)ini/ia &.3.&. Un %ra" ( ) ; ; U X ; := se nume$te su%ra" al %ra"ului ( )&& U X & := , dac! & ; X X ⊆ $i & ; U U ⊆ .

Conform defini%iei( orice graf !oate fi considerat dre!tsu#graf al său0

De)ini/ia &.3.#. Un %ra" ( ) ; ; U X ; := se nume$te su%ra" #arţial al %ra"ului ( )&& U X & := , dac! & ; X X = iar & ; U U ⊆ .

De)ini/ia &.3.'. Un %ra" ( ) ; ; U X ; := se nume$te su%ra"

al %ra"ului ( )&& U X & := , %enerat de sumulţimea de /r"uri

& X + ⊂ , dac!1< + X ; = =2< dou! /r"uri ; X , ' ∈( sunt adiacente n ; dac! $i numai

dac! ele sunt adiacente n &.

&.5. Lan/uri ,i cic*uri

@ succesiune de vKrfuri ( ).). ((000(( += ) ) ' ' ' ' µ se numeştelanţ 8n graful ( )U X & := ( dacă ( ) U ' ' ii ∈+.( !entru ) i (.=∀ 0 nacest ca6( se s!une că lan%ul µ uneşte vKrfurile ..( +) ' ' 0 Bom

considera că o muc'ie = (u l # ' ' ( din & a!ar%ine lan%ului µ (

dacă şi numai dacă # ' şi l ' sunt vKrfuri vecine 8n µ ( adică{ }) # (000()(.∈ şi .+= #l 2sau invers40 BKrfurile ..( +) ' ' se

.)


14/143

numesc e'tremit!ţi ale lan%ului( iar numărul ) > lun%imea lui0 7acă.. += ) ' ' atunci µ se numeşte ciclu0

Lan%ul( ce con%ine fiecare muc'ie a grafului ce* -u*t osingură dată se numeşte lanţ sim#lu, iar lan%ul( toate vKrfurile căruiasunt distincte două cKte două( se numeşte lanţ elementar 0

Ciclul ce con%ine fiecare muc'ie a grafului ce* -u*t o singurădată se numeşte ciclu sim#lu, iar ciclul( toate vKrfurile căruia suntdistincte două cKte două( se numeşte ciclu elementar 0

Nu orice graf con%ine cicluri elementare0 ?raful coneG ce nucon%ine cicluri elementare se numeşte arore0 Su#graful !ar%ial coneGce nu con%ine cicluri elementare se numeşte arore #arţial 0

De)ini/ia &.5.&. Lan%ul 2ciclul4 ce con%ine fiecare muc'ie agrafului eact + ingur6 0at6 se numeşte lanţ ?ciclu< eulerian.

De)ini/ia &.5.#. Lan%ul 2ciclul4 ce con%ine fiecare vKrf algrafului eact + ingur6 0at6 se numeşte lanţ ?ciclu< hamiltonian.

?raful care con%ine ciclu eulerian se numeşte graf eulerian(iar graful care con%ine ciclu 'amiltonian se numeşte graf 'amiltonian0

7acă 8ntr$un graf orice două vKrfuri sunt unite !rintr$un lan%(atunci acest graf se numeşte cone'0 Su#graful maGimal coneG algrafului & se numeşte com#onent! cone'!0

De)ini/ia &.5.'. @umulţimea cu un num!r minim de !r"uri

+ ale unui %ra" ( )U X & := se nume$te mulţime de articulaţie aacestui %ra", dac! du#! eliminarea acesteia din & se oţine un %ra" nou cu un num!r mai mare de com#onente cone'e n ra#ort cu &.

n ca6ul .= + ( unicul vKrf ce a!ar%ine mul%imii + senumeşte #unct de articulaţie0 Muc'ia grafului cu aceeaşi !ro!rietatese numeşte istm0 &vident( dacă u este un istm al unui graf cu >≥nvKrfuri( atunci cel !u%in una dintre eGtremită%ile sale este !unct de

articula%ie0 Afirma%ia inversă nu este adevărată0

.>


15/143


16/143

nsăşi re!re6entarea geometrică a grafului !lanar( ce !osedă !ro!rietatea indicată( se numeşte %ra">#lan0 Se mai s!une că graful$ !lan este o re!re6entare corectă 8n !lan a grafului !lanar0 Lasu!rimarea din !lan a muc'iilor şi vKrfurilor unui graf$!lan

( )U X & := 8ntreg !lanul se 8m!arte 8n com!onente coneGe( numite "aţete ?"eţe


17/143

7eseori acelaşi graf( fiind re!re6entat 8n diferite moduri(creea6ă ilu6ia că este vor#a des!re structuri diferite0 Ar fi firesc ca 8ntoate aceste ca6uri să convenim că se studia6ă un o#iect matematicidentic0 Astfel de grafuri 8n viitor se vor numi i-omor"e0

7ouă grafuri ( )... :U X & = şi ( )))) :U X & = se numesci-omor"e, dacă eGistă o a!lica%ie #iectivă ).5 X X →ψ astfel 8ncKt

.( U ' ' (i ∈ ( dacă şi numai dacă ( ) )( U ' ' (i ∈ψ ψ 0

n diverse a!lica%ii ale teoriei grafurilor se mai 8ntKlnesc şialte ti!uri de matrici( !rintre care matricea distan%elor( matricea

ir'goff( matricea de accesi#ilitate etc0

&.7. 9r+4*e-e

&. Fie D o mul%ime cu n elemente0 Să se determine5a4 numărul grafurilor neorientate( a căror mul%ime de vKrfuri

este X :

#4 numărul grafurilor neorientate cu #ucle( a căror mul%ime devKrfuri este X :

c4 numărul grafurilor orientate( a căror mul%ime de vKrfuri este X :

d4 numărul grafurilor orientate( fără #ucle( antisimetrice( acăror mul%ime de vKrfuri este X :

e4 numărul turnirurilor( a căror mul%ime de vKrfuri este X :f4numărul grafurilor neorientate care au gradele vKrfurilor

distincte0

#. Care este numărul de diagonale 8ntr$un !oligon conveG cu nvKrfuri0

'. Să se demonstre6e că !entru orice )>n ( graful stea n 7 (. nueste graf al muc'iilor 2adică nu eGistă un astfel de graf neorientat &,

8ncKt graful muc'iilor 42& : să fie i6omorf lui n 7 (. 40

.+


18/143

3. Fie + o su#mul%ime de vKrfuri ale grafului neorientat( )U X & := ( iar ) ; numărul muc'iilor care au eGact o eGtremitate 8n

+0 Să se demonstre6e că numărul ) este de aceeaşi !aritate cunumărul vKrfurilor de grad im!ar din +0

5. Un graf neorientat & se numeşte autocom!lementar( dacăgraful com!lementar & este i6omorf lui &0 Să se construiască ungraf autocom!lementar cu un număr minim de vKrfuri .>n 0

. @ matrice se numeşte total unimodulară( dacă orice minor al

său este egal cu .( ;. sau *0 Să se demonstre6e că matricea deinciden%ă a unui graf #i!artit este unimodulară0

7. Să se determine condi%iile 8n care graful muc'iilor al unuigraf ( )U X & := este regulat0 Să se construiască un graf coneG &, cuun număr minim de vKrfuri >>n ( astfel 8ncKt graful muc'iilor :?&<să fie regulat0

(. Fie 4:2 U X & = un graf orientat0 Să se demonstre6eegalită%ile5

a4 ∑∑ Χ∈

−

Χ∈

+ = ' '

' % ' % 4242 :

#4 B ) ) ' % ' % '

∈=−∑ Χ∈

−+()4242 0

$. Fie 4:2 U X & = un graf orientat antisimetric cu n vKrfuri şiun număr maGim de arce 2& este turnir40 Să se verifice rela%iile5

a4 Χ∈∀−=+ −+ 'n ' % ' % (.4242 :

#4)4242 n

' '

3 ' % ' % == ∑∑ Χ∈

−

Χ∈

+:

c4 ( ) ( )∑∑ Χ∈

−

Χ∈

+ = ' '

' % ' % ))

4242 :

.1


19/143

d4 ( ) ( )∑∑ Χ∈

+

Χ∈

+ −−= ' '

' % n ' % ))

.4242 0

&:. Să se verifice următoarele afirma%ii5a4 eGistă grafuri neorientate de ordin .* !entru care şirul

gradelor vKrfurilor sale este res!rectiv.( .( .( >( >( >( =( +( 1( / :

#4 eGistă grafuri neorientate !entru care gradelevKrfurilor sunt

distincte două cKte două:

c4 eGistă grafuri neorientate cu =≥n vKrfuri( !entru careeGact> vKrfuri sunt de grad im!ar( iar celelalte 2n ; >4 vKrfuri sunt de grad !ar:

d4 !entru orice graf neorientat( numărul vKrfurilor deordin

im!ar este !ar0

&&. Fie ( )U X & := un graf neorientat cu n vKrfuri şi m muc'ii0Să se demonstre6e că dacă gradul fiecărui vKrf al acestui graf este ) sau .+) ( atunci numărul vKrfurilor de grad ) este mn) )4.2 −+ 0

. Să se verifice care dintre următoarele afirma%ii esteadevărată şi care este falsă5

a4 reuniunea a două lan%uri disuncte ce leagă vKrfurile ' şi ale unui graf & formea6ă un ciclu elementar: #4 reuniunea a două lan%uri elementare disuncte ce leagă

vKrfurile ' şi ale unui graf & formea6ă un ciclu elementar0

&'. Să se construiască un graf >$regulat cu )n vKrfuri( care nucon%ine cicluri elementare de lungimea egală cu trei0

&3. Care este numărul maGim de muc'ii 8ntr$un graf cu nvKrfuri ce nu con%ine cicluri elementare de lungime !ară

.3


20/143

&5. Să se construiască un graf ( )U X & := ( =≥ Χ ( !entrucare5

a0 graful muc'ilor 42& : nu este eulerian( iar 42) & :este graf eulerian:

#0 graful muc'iilor 42& : nu este eulerian( 8nsă este'amiltonian:

c0 graful muc'iilor 42& : nu este nici eulerian şi nici'amiltonian:

d0 graful muc'iilor 42& : este şi eulerian şi 'amiltonian:e0 graful muc'iilor 42& : este eulerian( 8nsă nu este

'amiltonian0

&. Să se verifice afiram%iile5a4 orice ciclu con%ine un ciclu elementar: #4 orice ciclu de lungime im!ară con%ine un

elementar0

&7. Fie n&

un graf neorientat( vKrfurile căruia re!re6intă !rimele n numere naturale M000(()(.N n ( iar două vKrfuri , '( suntadiacente( dacă şi numai dacă numerele ' şi sunt reci!roc !rime0

a4 Să se scrie matricea de adiacen%ă a grafurilor 1+- (( &&& 0Care este structura matricei de adiacen%ă a gragului n&

#4 Să se verifice dacă graful n& este coneG0c4 Să se demonstre6e că m& ( nm < este su#graf al grafului

n& ( generat de su#mul%imea de vKrfuri M000(()(.N m 0

&(. Să se demonstre6e că dacă & este un graf neorientat cu)>n vKrfuri şi ) .−> n3 m muc'ii( atunci & este coneG0

&$. Să se demonstre6e că dacă )4.242 −≥ n&δ ( atunci graful& este coneG0

./


21/143

#:. Să se verifice afiram%ia5 un graf & este coneG( dacă şi numaidacă !entru orice divi6are a mul%imii de vKrfuri & X 8n su#mul%imile

). ( X X ( eGistă o muc'ie din & cu o eGtremitate 8n . X şi altă

eGtremitate 8n ) X 0

#&. Fie & un graf coneG0 &ste adevărat oare că grafulcom!lementar nu este coneG Cum ar fi graful com!lementar( dacăgraful & nu ar fi coneG

##. Fie & un graf coneG0 &ste adevărat oare că grafulcom!lementar nu este coneG Cum ar fi graful com!lementar( dacă

graful & nu ar fi coneG

#'. Să se verifice afirma%ia5 8ntr$un graf coneG orice douălan%uri elementare de lungime maGimă con%in cel !u%in un vKrf comun0

#3. Să se demonstre6e că !entru oricare trei numere naturalemn(

şi ) ( care satisfac condi%iile n) ≤≤. :)

.+−≤≤− ) n3 m) n

eGistă graf neorientat & cu n vKrfuri( m muc'ii şi eGact ) com!onenteconeGe0

#5. Fie & un graf !lanar( coneG cu n vKrfuri( m muc'ii şi " fa%ete0 Să se demonstre6e formula &uler

)=+− " mn 0

#. Să se demonstre6e că dacă un graf neorientat & cu n vKrfurinu con%ine cicluri de lungimea trei şi numărul muc'iilor m verificăinegalitatea

)) −> nm (atunci & nu este !lanar0

)*


22/143

#7. Să se demonstre6e că 8n orice graf !lanar ( ) -(: ≥= X U X & eGistă cel !u%in !atru vKrfuri de grad cel mult

cinci0

#(. Fie n( m şi " re!re6intă numărul de vKrfuri( numărul demuc'ii şi numărul de fa%ete ale unui graf !lanar0 Să se verificeinegalită%ile5

a4 +> −≥ nm : #4 =) −≥ n " 0

#$. Un graf !lanar ( )U X & := se numeşte eGterior !lanar( dacă

!oate fi desenat 8n !lan astfel( 8ncKt toate vKrfurile sale să a!ar%inăfrontierei unei fa%ete0 Să se demonstre6e că !entru orice graf !lanar eGterior

4(2 U X & = ( 3 X ≥ ( cu un maGim de muc'ii( sunt adevărate

următoarele afirma%ii5

a4 >) −= nU :

#4 eGistă cel !u%in două vKrfuri de grad doi0

':. Fie & un graf !lanar cu =≥n vKrfuri( gradele cărora suntnd d d (000(( ). 0 Să se demonstre6e inegalitatea5

∑=

−+≤n

i

i nd .

)) +)4>2) 0

Să se verifice afirma%ia5 !entru orice =≥n eGistă graf !lanar ( )U X & := ; n X = ; cu toate fe%ele triung'iulare astfel( 8ncKt

inegalitatea men%ionată se transformă 8ntr$o egalitate

II. MULŢIMI STABILE N !RA"URI NEORIENTATE

No%iunea de sta#ilitate este una dintre no%iunile fundamentaleale teoriei grafurilor ce %ine de rela%ia de adiacen%ă dintre elementele

).


23/143

sale0 7at fiind fa!tul că rela%ia de adiacentă se defineşte atKt !entruvKrfurile( cKt şi !entru muc'iile unui graf( 8n cele ce urmea6ă vomvor#i des!re diferite varia%ii ale no%iunii de sta#ilitate0 n acestca!itol( vor fi studiate unele metode şi algoritmi de solu%ionare a !ro#lemelor legate de determinarea mul%imilor de vKrfuri sta#ileinterior( sta#ile eGterior( a cu!laului grafului etc0

"entru descrierea unor mul%imi de elemente( deseori se recurgela utili6area vectorilor #inari0 Fie C o su#mul%ime de elemente din

M(000((N ). n ' ' ' X = 0 "entru C definim vectorul 4(000((2 ). n - ccc3 =cu elementele

∉∈

=0dacă(*

(dacă(.

C '

C 'c

i

i

i

Un astfel de vector se numeşte vector caracteristic al mul%imii C 0

#.&. Mu*/i-i 0e


24/143

De)ini/ia #.&.#. ulţimea de /r"uri stail! interior + senume$te ma'imal!, dac! n %ra" nu e'ist! o alt! mulţime stail!interior ; ast"el, nc/t ; + ⊂ .

Mul%imea sta#ilă interior maGimală + !oate fi re!re6entată !rinrela%ia5

∑ ≠42 ; + ( !entru X ; ⊂∀ ( astfel 8ncKt ; + ⊂ 0

De)ini/ia #.&.'. ulţimea de /r"uri stail! interior + senume$te ma'im!, dac! #entru orice mulţime stail! interior ; din

%ra" are loc relaţia ; + ≥ .

Cardinalul mul%imii sta#ile interior maGime a grafului & senotea6ă !rin 42* &α şi se numeşte num!r de stailitate intern!07acă notăm !rin D familia tuturor mul%imilor sta#ile interior dingraf( atunci

{ } +& + U* maG42 ∈=α 0"entru graful & din fig0.( mul%imile

{ }{ }{ }

{ }{ }{ } 0(((

(((((

(((

((

((

(

3+-)+

3+->.-

1>.=

1)>

>.)

=.

' ' ' '@

' ' ' ' '@

' ' '@

' '@

' '@

'@

===

===

sunt sta#ile interior0 "rintre ele @ >( @ =( @ -( @ + sunt maGimale( şi numaiuna ; @ - este mul%ime sta#ilă interior maGimă0 "rin urmare(

-42* =&α

0

)>

'.

'3 '1

'

'-

'=

')

'>


25/143

"ig. &

Sunt cunoscute unele estimări ale numărului de sta#ilitateinternă 42* &α 0 Să men%ionăm doar cKteva dintre ele5

a> ∑ Χ∈

−+≥ '

'& .* 4deg.242α 0

2)0.4

n ca6ul grafului din fig0.( du!ă cum a fost calculat mai sus(-42* =&α 0 Suma din !artea drea!tă a inegalită%ii 2)0.4 este5

∑ Χ∈

− =+++++++=+ '

'+

.-

)

.

=

.

>

.

>

.

+

.

>

.

=

.

>

.4deg.2 . (

ceea ce confirmă estimarea lui 42* &α dată !rin rela%ia a40"entru unele grafuri neorientate( inegalitatea a4 se transformă

8ntr$o egalitate0 7e eGem!lu( 8n ca6ul unui graf com!let n 7 (

o#%inem ..

44.2.24deg.2 ..

=⋅=⋅−+=+ −

Χ∈

−

∑ nnnn ' ' ( care coincidecu numărul de sta#ilitate internă .42* =n 7 α 0 n realitate 8nsă(diferen%a dintre 42* &α şi suma indicată 8n 2)0.04 ar !utea fi oricKt demare0

"entru a ne convinge de acest fa!t( vom anali6a graful( )U X & := cu mul%imea de vKrfuri ). X X X U= ( astfel 8ncKt

T). = X X I ( ) X =. ( .) −= ) X şi cu mul%imea de muc'ii). U U U = ( unde

)=


26/143

{ }).. (54(2 Χ∈ Χ∈= , ' , 'U ( { }t st st sU ≠ Χ∈= şi (54(2 )) 0

n graful construit( gradul unui vKrf - este ) ; .( dacă . X - ∈şi )) ; )( dacă ) X - ∈ 0 "rin urmare(

0.orice !entru).)

..4.24.)2.

4.244))2.244.2.2

4deg.24deg.24deg.2

.

..

...

).

≥ d

n&

+≥

.42*α ( unde n este numărul de vKrfuri din graf( iar

d este gradul mediu al vKrfurilor care se calculea6ă du!ă formula

)-

VV

V

X .W

X )W


27/143

∑ Χ∈

= '

n 'd 9deg 0

c> ∆≥ n&42*α ( unde ∆ este gradul maGim al vKrfurilor din

graf0Această evaluare !oate fi folosită 8n s!ecial 8n ca6urile cKnd &

este un graf regulat sau a!roa!e de un graf regulat0 Astfel( dacă &este un graf cu#ic 2graf( 8n care gradele tuturor vKrfurilor sunt egale

cu trei4( atunci 8n #a6a rela%iei c4 vom avea>

42*

n& ≥α 0 Folosind

rela%ia #4 8nsă( vom o#%ine=

42*n

& ≥α 0

0> ∑ Χ∈

−++∆+∆

≥ '

'n

& .

* 4deg.24.2

42α 0

e> { }+−+≤ # # #& (min42 **α ( unde +− # # # ((* sunt res!ectivnumărul de rădăcini caracteristice egale cu 6ero( negative şi !o6itive(

ale matricei de adiacen%ă a grafului &0La studierea unui graf neorientat 4U:2 Χ=& ( concomitent cu

no%iunea de mul%ime sta#ilă interior( 8n diverse a!lica%ii( deseori( sefoloseşte şi no%iunea de clică0 7acă 8n !rimul ca6 toate vKrfurilemul%imii nu sunt adiacente două cKte două( atunci 8n ca6ul clicii( dincontra( vKrfurile sunt adiacente două cKte două0 n acest sens( clica !oate fi !rivită ca o no%iune reci!rocă a no%iunii de mul%ime sta#ilă

interior0

De)ini/ia #.&.3. @umulţimea de /r"uri X + ⊂ a %ra"ului & senume$te clic!, dac! oricare dou! /r"uri din + sunt adiacente.

Conform acestei defini%ii( dacă + este o clică a grafului &(atunci ea generea6ă 8n & un su#graf com!let0 @rice graf neorientatcon%ine clici0 Cele mai sim!le dintre ele sunt mul%imile ce con%in cKte

)+


28/143

un singur vKrf al grafului( mul%imile formate din două vKrfuriadiacente ş0a0

7acă cunoaştem o clică oarecare a grafului( atunci totdeauna !utem cerceta !osi#ilitatea eGtinderii ei din contul vKrfurilor rămase0Această situa%ie conduce la no%iunea de clică maGimală şi clicămaGimă0

De)ini/ia #.&.5. lica + se nume$te ma'imal!, dac! n %ra" nue'ist! o alt! clic! A ast"el, nc/t A + ⊂ .

De)ini/ia #.&.. clic! + se nume$te ma'im!, dac! #entru

orice clic! A din %ra" are loc ine%alitatea + A

≤ .

"ig. '

Cardinalul clicii maGime a unui graf neorientat 4U:2 X & = senotea6ă !rin 42&ϕ şi se numeşte densitate a acestui graf07ensitatea grafului !oate că!ăta orice valoare cu!rinsă 8ntre . şi n$

numărul de vKrfuri din graf0 @#servăm că densitatea grafului !oate fiegală cu . doar 8ntr$un singur ca6 ; cKnd graful este vid07acă anali6ăm graful din fig0>( atunci o#servăm că 8n calitate

de clici !ot fi considerate mul%imile5

)1

'. '

3

'1

'+

'-

'=

')

'>


29/143

{ }{ }{ }

{ }{ } 0(((

(((

(((

((

(

1+-=-

+-==

=).>

-=)

..

' ' ' '3

' ' '3

' ' '3

' '3

'3

==

===

7intre aceste mul%imi numai > şi - sunt clici maGimale( iar -este şi maGimă0 7eci !entru acest graf avem =42 =&ϕ 0

Uşor !utem o#serva că dacă 8ntr$un graf & mul%imea de vKrfuri + este clică( atunci 8n graful com!lementar & ( mul%imea + estesta#ilă interior0 &ste adevărată şi afirma%ia inversă0 Aceasta ne !ermite să considerăm adevărată următoarea egalitate

4242 * && α ϕ = 0 2Aici !rin & se notea6ă graful com!lementar grafului &04 Rela%ia dată ne !ermite să o#%inem unele estimări aledensită%ii grafului 42&ϕ 8n #a6a estimărilor numărului 42* &α 0

7eseori solu%ionarea unor !ro#leme atKt cu caracter teoretic( cKtşi !ractic se reduce la determinarea mul%imilor de vKrfuri sta#ile

interior0 Bom descrie unele dintre aceste !ro#leme5

I. ntre două sta%ii + şi A( conectate la o re%ea informa%ională( setransmit nişte mesae( codificate cu autorul sim#olurilor unui alfa#et

{ }n ' ' ' X (000(( ).= 0 n tim!ul transmisiunii( din anumite motive( are

loc !ertur#area informa%iei( adică unele sim#oluri transmise din + !otfi confundate 8n sta%ia A cu alte sim#oluri0 n aceste condi%ii( este

necesar de sta#ilit o su#mul%ime de sim#oluri din X ( folosite lacodificarea mesaelor transmise din + şi care să garante6erece!%ionarea lor corectă 8n A0 2&ste clar că !ro#lema are sens numai8n ca6ul cKnd cunoaştem !erec'ile de sim#oluri ce !ot fi confundatela rece!%ionarea mesaului04

7re!t model matematic al !ro#lemei 8n cau6ă !oate servi ungraf neorientat & cu mul%imea de vKrfuri M(000((N ). n ' ' ' X = ( 8n care

i ' O ( ' ( dacă şi numai dacă sim#olurile i ' şi ( ' !ot fi confundatela transmiterea mesaelor din + 8n A0 "entru a o#%ine un cod fără

)3


30/143

erori( adică un cod care garantea6ă transmiterea corectă a mesaelor(este suficient să folosim sim#olurile ce cores!und vKrfurilor uneimul%imi sta#ile interior a grafului &0 7eoarece fia#ilitatea oricăruicod 8ntr$o măsură oarecare de!inde şi de numărul de sim#oluriutili6ate ale alfa#etului X ( vom folosi sim#olurile ce cores!undvKrfurilor din mul%imea sta#ilă interior maGimă0 n acest ca6( este utilsă cunoaştem numărul de sta#ilitate internă 42* &α 0

7eseori se recurge la o astfel de codificare a mesaului( 8ncKtteGtul transmis este format din cuvinte de aceeaşi lungime ) 0 Atuncinumărul cuvintelor diferite care !ot fi formate din sim#olurilealfa#etului de codificare X şi care nu !ot fi confundate la

transmiterea informa%iei nu este mai mic decKt [ ]) &42*α 0 7e

eGem!lu( dacă graful model &( construit 8n conformitate cu celedescrise mai sus( este un ciclu sim!lu de lungimea - cu vKrfurile

.-=>). OOOOO ' ' ' ' ' ' ( atunci )42* =&α 0 n calitate de mul%ime

sta#ilă interior maGimă !oate servi mul%imea { }>. ( ' ' 0 7insim#olurile '.( '> !utem forma = cuvinte diferite de lungimea )5

>>.>>... şi (( ' ' ' ' ' ' ' ' ( care nu vor fi confundate 8ntre ele la

transmiterea informa%iei0 n realitate numărul cuvintelor rece!%ionatecorect la sta%ia A este mai mare decKt [ ] ) &42*α 0 Astfel( !entrueGem!lul descris eGistă - cuvinte inconfunda#ile5

=-)=->>).. şi ( ( ( ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 La o anali6ă mai minu%ioasăne !utem uşor da seama că de fa!t numărul cuvintelor inconfunda#ile de lungimea ) ce !ot fi formate din sim#olurilemul%imii { }

n

' ' ' X (000(().

= este egal cu numărul de sta#ilitateinternă a grafului [ ] ) & ( a cărui mul%ime de vKrfuri este determinatăde !rodusul carte6ian al mul%imii X luată de ) ori( iar două vKrfuri

4(000((2 ). ) uuu şi 4(000((2 ). ) sunt adiacente( dacă şu numaidacă 8n & avem ii u = sau ii u O !entru orice ) i (.= 0 &ste

evidentă rela%ia [ ]( ) ) ) && 4422 ** α α ≥ 0

)/


31/143

II. "entru efectuarea a n lucrări( o institu%ie foloseşte o mul%imeoarecare de resurse dis!oni#ile M(000((N ). P r r r E = 0 Se cunoaşte căefectuarea unei lucrări ni 'i (.( =∀ necesită utili6area unei

su#mul%imi de resurse E Ei ⊂ 0 @rice resurs n (r ( (.( =

( nu !oate fiutili6at concomitent !entru două sau mai multe lucrări0 Se cere dedeterminat numărul maGim de lucrări( care !ot fi reali6ate 8n !aralel28n acelaşi tim!( concomitent40

n ca6ul acestei !ro#leme( se construieşte modelul matematic 8nforma unui graf neorientat & 8n care două vKrfuri (i ' ' ( se consideră

adiacente( dacă şi numai dacă ≠ (i E E 0 n aceste condi%ii orice

mul%ime de vKrfuri sta#ilă interior din & re!re6intă o totalitate delucrări care !ot fi reali6ate 8n !aralel0 "rin urmare( numărul maGim delucrări ce !ot fi reali6ate 8n acelaşi tim! este egal cu numărul desta#ilitate internă 42* &α ( iar vKrfurile mul%imii sta#ile interior maGime cores!und acelor lucrări0

III. Fie 4(000((2 ). n ' ' ' " o func%ie #ooleană( adică atKt func%ia

", cKt şi argumentele sale n ' ' ' (000(( ). iau valori din mul%imeaM.(*N 0 Să notăm !rin M(000((N **)

*

.

*

n ' ' ' ' = şi M(000((N ..

)

.

.

.

n ' ' ' ' =două cortegii de valori ale varia#ilelor func%iei " 0 2Aceste cortegii mai !ot fi !rivite şi ca doi vectori( coordonatele cărora sunt egale cu * sau.40 Bom s!une că cortegiul * ' se află 8n rela%ia de !receden%ă cucortegiul . ' ( şi vom nota .* ' ' ( dacă

.*

ii ' ' ≤ ( ni (.=∀ 0 @func%ie #ooleană " se numeşte monotonă( dacă !entru oricare două

cortegii de valori . ' şi ) ' este adevărată im!lica%ia

44242242 .).) ' " ' " ' ' ≤⇒ 0Cortegiul 4(000((2 ). n ' ' ' ' = se numeşte unitate a func%iei

#ooleene " ( dacă .42 = ' " şi unitate in"erioar!, dacă !entru oricarealt cortegiu ' , are loc egalitatea *42 = " 0 La rKndul său( uncortegiu 4(000((2 ). n ' ' ' ' = se numeşte -erou al func%iei #ooleene " (

>*


32/143

dacă *42 = ' " ( şi -erou su#erior, dacă !entru oricare alt cortegiu cu !ro!rietatea , ' are loc egalitatea .42 = " 0

&ste evident că orice func%ie monotonă se determină 8n modunivoc de mul%imea unită%ilor sale inferioare 2sau de mul%imea6erourilor sale su!erioare40

n ca6ul unui cortegiu #inar 4(000((2 ). n ' ' ' ' = ( numărul

∑=

n

i

i '.

se numeşte norm! a acestui cortegiu( iar func%ia monotonă(

!entru care normele unită%ilor inferioare sunt egale cu doi sau cufunc%ia identic egală cu 6ero( se numeşte "uncţie %ra"ic!0

"entru o func%ie grafică4(000((2

). n

' ' ' "

definim un graf neorientat " & cu mul%imea de vKrfuri M(000((N ). n2 = 8n care i

O ( ( dacă şi numai dacă eGistă un cortegiu 4(000((2X XX)X

. n ' ' ' ' = cu !ro!rietă%ile5

a4 ).

X =∑=

n

i

i ' :

#4 X ' este unitate a func%iei " :c4 .XX == (i ' ' 0

Uşor se !oate o#serva( că dacă - 3 este vectorul caracteristic alunei su#mul%imi de vKrfuri 2 C ⊂ ( atunci *42 = - 3 " ( dacă şi numaidacă C este o mul%ime sta#ilă interior 8n " & 0 "rin urmare( 6erourilefunc%iei grafice !ot fi inter!retate dre!t vectori caracteristici aimul%imilor de vKrfuri sta#ile interior din " & 0

La rKndul său( !entru orice graf &, eGistă o func%ie graficăastfel( 8ncKt " & este i6omorf cu &0 ntr$adevăr( 8n ca6ul grafului vid !utem considera *≡ " 0 n ca6ul grafului diferit de graful vid( 8ncalitate de func%ie grafică !utem considera func%ia determinată deunită%ile inferioare( care re!re6intă vectorii caracteristici ai tuturor !erec'ilor de vKrfuri adiacente0

>.


33/143

#.&.&. M+0e*u* -ate-atic a* 1r+4*e-ei 0e 0eter-inarea -u*/i-ii 0e

'-

'=


34/143

Ee-1*u. Mul%imea de vKrfuri sta#ilă interior { }-=) (( ' ' ' A =

a grafului din fig0= se descrie !rin matricea

0..*.*

..*.*

*****

..*.******

=?

Se ştie Y)Z că dacă o matrice #inară n (ii( (.(4(2 == ξ ξ

re!re6intă o mul%ime sta#ilă interior a unui graf &( iar n (ii(

a +(.(

42=

= este matricea de adiacen%ă a acestui graf( atunci suntadevărate următoarele două egalită%i5

.4 *=⋅ i(i( aξ ( n (i (.( =∀ :)4 i( ((ii ξ ξ ξ =⋅ ( n (i (.( =∀ 0

7u!ă cum uşor !oate fi o#servat( cele)

n egalită%i de !rimulti! sunt ec'ivalente cu următorul sistem liniar din n ecua%ii omogene5

=+++

=+++

=+++

0*000

(*000

(*000

))..

))))))).).

...).)....

nnnnnnnn

nn

nn

aaa

aaa

aaa

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

2)0)4

La rKndul său( !entru ca o matrice #inară n (ii( (.(4(2 == ξ ξ săcores!undă unei mul%imi sta#ile interior a unui graf &( re!re6entat !rin matricea de adiacen%ă n (ii(a + (.(42 == ( !e lKngă ecua%iilesistemului 2)0)4 ea tre#uie să mai satisfacă şi egalitatea )4 descrisă

mai sus( adică

>>


35/143

i( ((ii ξ ξ ξ =⋅ ( n (i (.( =∀ 0

Această ecua%ie !oate fi 8nlocuită !rin două inecua%ii liniare

i( ((ii ξ ξ ξ

≥+) (n (i (.( =∀ :

i( ((ii ξ ξ ξ ≥−+ . ( n (i (.( =∀ 0

Astfel o#%inem !ro#lema de !rogramare liniară5 Să sedetermine valorile necunoscutelor n (nii( (.((.( ==ξ ( caremaGimi6ea6ă valoarea func%iei

∑

=

=

n

i

ii C .ξ 2)0>4

cu restric%iile5

=∀≥−+

=∀≥+

=+++

=+++=+++

0n.( Fi( (.

(n.( Fi( ()

(*000

(*000

(*000

))..

))))))).).

...).)....

i( ((ii

i(

((ii

nnnnnnnn

nn

nn

aaa

aaa

aaa

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

2)0=4

{ }.(*i(ξ ( ni (. ( n ( (. 0 2)0-4

Mul%imea de solu%ii admisi#ile( determinată de sistemul 2)0=4 şicondi%iile 2)0-4 nu este vidă şi orice solu%ie admisi#ilă şi nenulă este omatrice #inară( care re!re6intă o mul%ime de vKrfuri sta#ilă interior agrafului &( descrisă de matricea de adiacen%ă n (ii(a + (.(42 == 2ve6iY)Z40 "rin urmare( !ro#lema 2)0>4$2)0-4 !oate fi !rivită dre!t modelmatematic al !ro#lemei de determinare a mul%imii de vKrfuri sta#ilă

interior maGimă 8ntr$un graf0

>=


36/143

B. Un alt model al !ro#lemei studiate( re!re6entat de asemeneaca !ro#lemă de !rogramare liniară cu varia#ile #ooleene( se o#%ine !rin utili6area matricei de inciden%ă a grafului0

"entru graful 4:2 U X & = cu n vKrfuri şi m muc'ii( vom nota !rin F A matricea trans!usă a matricei de inciden%ă0 "rin urmare(

F A este o matrice de dimensiune nm× ( elementele căreia sunt

=0contrarca68n(*

(incidentesuntvKrfulşi umuc'ia dacă(. (ii(

'8

7acă @ este o mul%ime de vKrfuri sta#ilă interior a grafului &(atunci vom introduce varia#ilele

= 0contrarca68n(*

( multimiia!artinevKrfuldacă(. @ ' ' ( (

şi

=

0contrarca68n(*( multimiia!artinenu

umuc'iei ileeGtremităGdintreunanici dacă(.

@ U

i

i

Astfel( o mul%ime de vKrfuri sta#ilă interior @ !oate fi descrisă !rintr$un vector #inar 4(000(:(000(242 .. mn U U ' '@ G = 0 Acestvector este o solu%ie admisi#ilă a următoarei !ro#leme de !rogramare

matematică5

>-


37/143

∑=

→=n

(

( ' C .

maG 2)0+4

miU '8n

(

i (i( (. (..

=∀=+

∑= ( 2)014 M.(*N∈ ( ' ( 2)034 M.(*N∈ (U 0 2)0/4

&ste adevărată şi afirma%ia reci!rocă5 orice solu%ie admisi#ilă a !ro#lemei 2)0+4$2)0/4 re!re6intă o mul%ime de vKrfuri sta#ilă interior a unui graf 4:2 U X & = ( n X = ( m=U , matricea de inciden%ă a

căruia este F F A A 42= 0ŢinKnd cont de func%ia$o#iectiv 2)0+4( re6ultă că !ro#lema

o#%inută 2)0+4$2)0/4 este modelul matematic al !ro#lemei dedeterminare a mul%imii de vKrfuri sta#ile interior maGimea unui graf0

#.&.#. A*g+rit-u* recuri< a* *ui Be0nare@ ,i Tau*4ee

"entru graful 4:2 U X & = cu n vKrfuri( vom nota !rin ) X

mul%imea !rimelor ) vKrfuri( adică { }) ) ' ' ' X (000(( ).= 0 "rin ) :vom nota familia mul%imilor sta#ile interior maGimale 8n su#grafulgenerat de mul%imea de vKrfuri ) X ( iar !rin ) H ; mul%imea tuturor vKrfurilor din ) X ( neadiacente vKrfului ) ' 0

2 { }) ) ) ' , ,H Krfuluiadiacent vestenu5 Χ∈= 0

Folosind nota%iile men%ionate( toate mul%imile sta#ile interior maGimale !ot fi găsite cu autorul următorului algoritm5

9au* *. FiGăm { }.. '= Χ ( { }.. ' : = ( { }.. 'H = 0 Considerăm.=) 0

9au* #. FiGăm mul%imea

>+


38/143

{ }

{ }

=0adiacentesuntnu( dacă ((

( O dacă (

).).

).)

)

' ' ' '

' ' 'H

9au* '. Construim familia de mul%imi{ 5 H 5 @ I ) ) 5.X +== este un element al familiei }) : 0

9au* 3. 7eterminăm ) I $ familia tuturor mul%imilor maGimale

dinX

) I 0

9au* 5. Construim familia de mul%imi X .+) : !rin eGaminareafiecărui element din ) : 5

a> dacă .+⊂ ) H 5 ( atunci { } X .. ++ ∈ ) ) : ' 5 :

4> dacă .+⊄ ) H 5 ( atunciX

.+∈ ) : 5 şi dacă 8n acest ca6 seres!ectă şi condi%ia ) ) I H 5 ∈+. ( atunci se mai consideră că{ } X ... 42 +++ ∈ ) ) ) :H 5 ' 0

9au* . 7eterminăm .+) : $ familia tuturor mul%imilor maGimale din X .+) : 0

9au* 7. 7acă .−< n) ( atunci considerăm .+= ) ) şi ne8ntoarcem la eGecutarea !asului >0 n ca6 contrar( n : con%ine toatemul%imile maGimale sta#ile interior 8n graful &0 STO9.

Să anali6ăm algoritmul descris( luKnd 8n calitate de eGem!lugraful din fig0-0

>1 '.

'

'=

')

'>


39/143

"ig. 5

>3


40/143

Re6ultatele !entru fiecare itera%ie ) a algoritmului 42* =&α 0

"entru graful din fig0-( eGistă două mul%imi sta#ile interior maGime M((N -=.. ' ' ' 5 = şiM((N -=)) ' ' ' 5 = 0 7u!ă cum se vede din ta#elul .( am#ele mul%imi a!ar%in familiei - : 0

Ta4e*u* &

[ .+) H

X

) I ) I

X

.+) : .+) :

. { })) 'H = { }TX. = I { }T. = I { } { }{ }).X) ( ' ' : = { } { }{ }).) ( ' ' : =) { }>.> ( ' 'H = { }{ }.

X

) GT(= I { }{ }.) GT(= I { } { } { }{ }>.>)X

> ((( ' ' ' ' : = { } { }{ }>.)> (( ' ' ' : => { }=).= (( ' ' 'H = { } { }{ }).X> ( ' ' I = { } { }{ }).> ( ' ' I =

MM(N

M((N((NN

=)

=.>.

X

=

' '

' ' ' ' : =MM(N

M((NM((NN

=)

=.>.=

' '

' ' ' ' : =

= { -=).-

((( ' ' ' 'H = { } { }{{ }}=)

=..

X

=

(

(((

' '

' ' ' I = { }{ { }}=)=.X= ((( ' ' ' ' I = { } {{{ }}-=)

-=.>.

X

-

((

((((

' ' '

' ' ' ' ' : = { } {{{ }}-=)

=.>.-

((

((((

' ' '

' ' ' ' : =

> 3


41/143


42/143


43/143

Ee-1*u. Fie dată matricea

+-=>).

-

=

>

)

.

*.*.**

.*.*..

***.*.**.*..

.**.*.

cccccc

l

l

l l

l

5

↑↑↑↑↑↑←←←←

←

=

liniile căreia sunt notate !rin -=>). (((( l l l l l iar coloanele ; !rin+-=>). ((((( cccccc . n calitate de su#matrice ale matricei ,

vom alege următoarele5{ } { }( ){ } { }( ){ }( )

{ } { }( ){ } { }( ){ } { }( ){ } { }( ) 0((

((((

(((((

(((

(T((((

(((((

((((

->-1

+.=.+

=).-=-

.>.=

=>).>

-=->.)

>.>..

ccl "

ccl l "

cccl l "

cl l "

l l l l "

ccl l l "

ccl l "

=

=

==

=

=

=

"rintre aceste su#matrice( matricele 1+-=. (((( " " " " "

suntcom!lete( iar 1+-. ((( " " " " sunt !rinci!ale0 Totodată( familia{ }1+-. ((( " " " " =F formea6ă o aco!erire a matricei 0 Notăm !rin X 5 familia tuturor su#matricelor com!lete din 0"entru oricare două su#matrice 4(2 ... A + " = şi 4(2 ))) A + " = (

definim două o!era%ii X

şi X

5

4(2 ).).

X

). A A + + " " = (

=*


44/143

4(2 ).).

X

). A A + + " " = 0

Uşor se !oate de arătat că XX

). 5 " " ∈ şiX

X

). 5 " " ∈ 0

Structura F 2 X 5 ( X

şiX

4 este o latice distri#utivă0 Se

verifică cu uşurin%ă că o!era%iile definite !osedă !ro!rietă%ile deasociativitate( comutativitate( idem!oten%ă( a#sor#%ie şi

distri#utivitate0 Să demonstrăm că o!era%ia X

este distri#utivă 8n

ra!ort cu o!era%ia X

0ntr$adevăr(

( ) ( )

( ) [ ] ( ) (

( )

( ) ( )

0

4(24(24(24(2

424(2424(2

42424(242

(((

4(2((

X X

>.

X

).

X X

>>..

X

))..

X

>.>.).).

>.).>.).

).>).

X

>)>)..

X X

>>)...

X X

>).

=

=

=

==

==

==

=

=

" " " "

A + A + A + A +

A A + + A A + +

A A A A + + + +

A A + + + A A + + A +

A + A + A + " " "

7eoarece este o matrice finită( re6ultă că şi laticea F estefinită( deci are un element nul şi un element universal0

7acă . " ( X

)

5 " ∈ şi ). " " ⊂ ( atunci au loc !ro!rietă%ile5

X

)). " " " ⊂ şi X

)). " " " ⊂ 0

ntr$adevăr( )).).).X

). 4(24(2 " A + A A + + " " ⊂==

şi ).)).).X

). 4(24(2 " A + A A + + " " ⊂== 0

=.


45/143


46/143

9au* '. Construim familia 4P2 # # X 3 Γ de su#matrice( o#%inute

!rin a!licarea am#elor o!era%ii X

şi X

tuturor !erec'ilor !osi#ile de

matrice (i " " ( din # # X 3 P ( cu condi%ia ca aceste elemente noi să nu se

con%ină 8n su#matricele din # # X 3 P 0

9au* 3. Formăm aco!erirea de matrice

4P24P2. # # # # # X 3 X 3 3 Γ=+ 0

9au* 5. 7acă # # 3 3 ≠+. ( atunci considerăm .+= # # şitrecem la eGecutarea !asului )0 n ca6 contrar #3 con%ine toatesu#matricele !rinci!ale ale matricei + 0

9au* . Construim o familie nouăF

8n care includemsu#matricele !ătratice maGimale ale su#matricelor !rinci!ale din #3 ( res!ectKnd condi%ia ca fiecare dintre acestea să nu se con%ină 8n

altă su#matrice !ătratică din F. BKrfurile ce cores!und liniilor 2coloanelor4 matricelor familiei F formea6ă o mul%ime sta#ilăinterior0 Astfel( numărul tuturor mul%imilor sta#ile interior este egalcu F 0

Ee-1*u. Bom construi toate mul%imile sta#ile interior maGime8n graful & din fig0+( 8n conformitate cu algoritmul descris0

=>

a

c

"

d e


47/143

"ig.

Matricea de adiacen%ă + a grafului şi com!lementara ei +sunt5

" ed c8a

"

e

d

c

8a

+

↑↑↑↑↑↑←

←

←

←

←←

=

*.*.**

.*....

*.*..*

...**.

*..**.*.*..*

" ed c8a

"

e

d

c

8

a

+

↑↑↑↑↑↑←←←←←←

=

.*.*..

*.****

.*.**.

***..*

.**..*

.*.**.

"entru a sim!lifica descrierea formală a matricelor de ti!ul( ) ( )M(NM(N(M((NM((N ). d aa " ed c8a " == etc0 ( folosite 8n algoritmul

Malgrange( vom utili6a transcri!%ia( ) ( )ad a " cdea8 " (((

). == 0

==


48/143

Aco!erirea ini%ială *3 a matricei + este5

{ }4(24((24((24((24((24((2* a8d" " eead" d 8cc8c" 8ad" a3 = 0

n acest ca6 =* X şi( !rin urmare( *** P 3 X 3 = 0 @#%inem5

{} :((

(((((**

?d",ad"


49/143

{} 04(24((24((2

4((24((24((24((24((2))

" a8d" ad" ad" 88c"

8" 8" 8c8ca8d" " ee8c" 8 X 3 =−

7eoarece =−Γ 42 )) X 3 ( o#%inem

))))))> 4242 X 3 X 3 X 3 3 −=−Γ −= U (

de unde re6ultă că => X şi !rin urmare >= 3 3 = 0n conformitate cu algoritmul descris( aco!erirea matricei A (

ce con%ine toate su#matricele !rinci!ale( este5

{}04(24((24((24((2

4((24((24((24((2>

" a8d" ad" ad" 88c" 8" 8"

8c8cad8" " ee8c" 83 =

&Gtragem din fiecare su#matrice !rinci!ală su#matricea !ătratică maGimală şi le selectăm !e acelea care nu se con%in 8n altesu#matrice !ătratice0 @#%inem familia

{ }4(24((24((24((2 ad" ad" 8" 8" 8c8cee=F 0

n #a6a re6ultatului o#%inut( !utem afirma că familia tuturor mul%imilor sta#ile interior a grafului din figura + este5

{ } { } { } { }{ } " d a " 8c8e (((((((=S 0

Mul%imea sta#ilă interior maGimă este { } " d a (( şi !rin urmare>42* =&α 0

#.&.3. A*g+rit-u* Br+n ,i er4+c

#.&.3.&. N+/iuni 1re*i-inare

Algoritmul !ro!us de către C0


50/143

de căutare0 Ca re6ultat al a!licării acestui algoritm( !entru un graf neorientat &N?X=U


51/143

) ) ii) ) ' 'DD 42P. Γ=

+++

0

"entru a o#%ine toate mul%imile sta#ile interior folosind ar#orelede căutare( la unele eta!e ale algoritmului este necesar de efectuat !asul de 8ntoarcere( care constă 8n eGcluderea vKrfului

) i ' din .) @

şi revenirea la ) @ ( !recum şi transferul lui ) i ' din ) D 8n ) D 0n conformitate cu cele descrise( re6ultă că mul%imea de vKrfuri

sta#ilă interior ) @ este maGimală numai 8n ca6ul cKnd ) D 0 7acă

8nsă T≠−) D ( atunci aceasta 8nseamnă că la o eta!ă oarecareanterioară mul%imea ) @ a fost eGtinsă din contul unor vKrfuri situate

acum 8n ) D şi( !rin urmare( ea nu !oate fi considerată dre!tmul%ime maGimală 8n graf0 7e aici re6ultă ; condi%ia necesară şisuficientă !entru ca mul%imea de vKrfuri sta#ilă interior să fiemaGimală este

=

) ) DD 0

n acelaşi tim!( este a#solut clar că dacă eGistă un vKrf −∈ ) D ' (

astfel 8ncKt =) D ' 42Γ ( atunci indiferent de fa!tul care dintrevKrfurile mul%imii ) D este ales !entru eGtinderea mul%imii ) @ ( la

orice !as următor ) # > nu vom o#%ine res!ectarea condi%iei ) D 0Aceasta 8nseamnă că condi%ia

−

∈ ) D ' astfel 8ncKt =) D ' 42Γ 2X4

este suficientă !entru a efectua !asul de 8ntoarcere( deoarece !eramura dată a ar#orelui de căutare nu vom o#%ine mul%ime sta#ilăinterior maGimală 8n #a6a mul%imii curente ) @ 0

"entru a eGclude !arcurgerea unei !ăr%i inutile a ar#orelui de

căutare( care la sigur nu con%ine nici o mul%ime sta#ilă interior maGimală( este im!ortant de a o#%ine condi%ia suficientă a !asului de

=3


52/143

8ntoarcere cKt mai re!ede !osi#il0 n acest sco!( se va alege 8n mods!ecial vKrful din ) D !entru eGtinderea mul%imii ) @ 0 7acă condi%ia

!asului de 8ntoarcere nu are loc( iar !entru eGtinderea mul%imii ) @ se

alege un vKrf oarecare ∈ ) i D ' ) ( atunci eGistă un vKrf−

∈ ) ) D - astfel8ncKt

+Γ∈ ) ) i D - ' ) 42 0 n condi%iile efectuării acum a !asului de8ntoarcere( valoarea mărimii

+Γ =∆ ) ) ) D - - 4242

se va micşora eGact cu o unitate( ceea ce va urgenta res!ectarea

condi%iei 2X40 Astfel( la alegerea vKrfului ) i ' ( folosit !entrueGtinderea mul%imii sta#ile ) @ ( se va căuta mai 8ntKi un vKrf

−

∈ ) D 'X cu valoare cKt mai mică a mărimii

= ) D ' ' X42X42 Γ ∆ 0

&ste im!ortant să cunoaştem ce condi%ie tre#uie să se res!ecte

!entru atingerea sco!ului indicat0

BKrful) i

' se va alege acum 8n mod ar#itrar din mul%imea

) D ' X42Γ 0 @ astfel de alegere a vKrfului ) i ' va gră#i 8nde!linireacondi%iei 2X4 !entru efectuarea !asului de 8ntoarcere0

7eoarece la efectuarea !asului de 8ntoarcere vKrful) i

' ( care a

fost folosit !entru eGtinderea mul%imii ) @ ( trece din ) D 8n ) D ( s$

ar !utea 8ntKm!la ca mărimea 42) i '∆ acum să fie mai mică decKt

X42 '∆ 0 "rin urmare( 8n continuare se va %ine cont de această situa%iela alegerea vKrfului −∈ ) D 'X 0

#.&.3.#. Decrierea a*g+rit-u*ui

9au* &. Considerăm ini%ial=

** D@ ( X D =+* ( *) 0

=/


53/143

9au* #. n conformitate cu cele descrise anterior( alegem unvKrf ∈ ) i D ' ) şi formăm mul%imile

) i) ) '@ @ . (

42P. ) i) ) 'DD Γ= −−

+(

{ }) ) ii) ) ' 'DD 42P. Γ 0

n acela%i tim!( vom !ăstra nesc'im#ate şi mul%imile ) D şi

) D 0 Considerăm .) ) 0

9au* '. 7acă −∈ ) D ' astfel 8ncKt =) D ' 42Γ ( adică areloc condi%ia suficientă !entru efectuarea !asului de 8ntoarcere( atuncitrecem la !asul -0 n ca6 contrar( trecem la !asul =0

9au* 3. 7acă = ) ) DD ( atunci ti!ărim mul%imea ) @ ca

mul%ime sta#ilă interior maGimală şi trecem la !asul -0 7acă ) D (

iar≠

) D ( atunci trecem la !asul -0n ca6 contrar( trecem la !asul)0

9au* 5. Considerăm .) ) şi eliminăm vKrful) i

' din

.) @ ( o#%inKnd mul%imea ) @ 0 Modificăm mul%imile vec'i ) D şi

) D !rin eGcluderea vKrfului ) i ' din ) D şi includerea lui 8n ) D 5

-*


54/143

) i) ) 'DD P (

) i) ) 'DD = 0

7acă *) şi =*D ( atunci aceasta 8nseamnă toatemul%imilesta#ile interior maGimale ale grafului 4:2 U X & = au fost găsite 8n !rocesul reali6ării algoritmului0 STO90 n ca6 contrar( trecem 8ncontinuare la reali6area !asului >0

Algoritmul Aron şi erosch a fost testat !e un număr mare degrafuri neorientate şi s$a constatat că tim!ul necesar !entruconstruirea tuturor mul%imilor de vKrfuri sta#ile interior este a!roa!econstant şi se modifică neesen%ial odată cu creşterea dimensiuniigrafului0 Aceasta ne !ermite să considerăm că algoritmul dat esteefectiv0

#.#. Mu*/i-i 0e


55/143

Cu alte cuvinte( mul%imea sta#ilă eGterior este minimală( dacăorice su#mul%ime !ro!rie a acesteia nu este la rKndul său sta#ilăeGterior0

De)ini/ia #.#.'. @umulţimea de /r"uri stail! e'terior + aunui %ra" & se nume$te minim!, dac! #entru orice mulţime stail!e'terior A din & are loc relaţia

A + ≤ 0

@#servăm că 8n ca6ul mul%imii de vKrfuri sta#ile eGterior( s!re

deose#ire de mul%imea sta#ilă interior( este admisă rela%ia deadiacen%ă 8ntre vKrfuri0Să anali6ăm !entru graful din fig0. următoarele mul%imi5

{ }{ }{ }

{ }{ } 0((

((

((

(((((

((((((

+-)-

1==

1)>

3+->.)

3+-=>..

' ' ' O

' ' O

' ' O

' ' ' ' ' O

' ' ' ' ' ' O

==

===

n #a6a defini%iilor )0)0.;)0)0>( mul%imile =>). ((( O O O O suntsta#ile eGterior0 "rintre ele =>) (( O O O sunt mul%imi sta#ile eGterior minimale( iar => ( O O sunt c'iar şi minime0 Mul%imea O - nu este

sta#ilă eGterior( deoarece vKrful -3 P O ' Χ∈ nu este adiacent cu niciunul dintre vKrfurile mul%imii O -0

7u!ă cum urmea6ă din cele men%ionate( 8n orice graf neorientat& eGistă atKt mul%imi sta#ile interior( cKt şi mul%imi sta#ile eGterior0Uşor ne convingem 8nsă că nu orice mul%ime sta#ilă interior este şista#ilă eGterior0 Totuşi( astfel de situa%ii 8ntKlnim 8n orice graf neorientat0 7e eGem!lu( !entru graful din fig0. mul%imea

{ }3+->.) (((( ' ' ' ' ' O = !osedă !ro!rietatea men%ionată0

-)


56/143

De)ini/ia #.#.3. @umulţimea de /r"uri X + ⊂ a unui %ra" &,care este at/t stail! interior, c/t $i stail! e'terior se nume$tenucleu al acestui %ra".

"entru graful din fig0. mul%imea { }3+->.) (((( ' ' ' ' ' O = estenucleu0 Cu uşurin%ă se !oate o#serva( că o mul%ime de vKrfuri sta#ilăinterior este maGimală( dacă şi numai dacă ea este sta#ilă eGterior0"rin urmare( nucleu al grafului neorientat este orice mul%ime devKrfuri sta#ilă interior maGimală0 n calitate de nucleu al grafului dinfig0. !oate servi oricare dintre mul%imile O )( O >( O =( descrise mai sus(

!recum şi { }1>.+ (( ' ' ' O = ( { }3=1 ( ' ' O = ( { }3+-)3 ((( ' ' ' ' O = 0Ca şi 8n ca6ul mul%imilor de vKrfuri sta#ile interior( şi mul%imile

de vKrfuri sta#ile eGterior 8şi găsesc a!lica%ii la solu%ionarea !ro#lemelor cu caracter a!licativ0

"rintre !ro#lemele( a căror solu%ionare se reduce ladeterminarea unor mul%imi sta#ile eGterior( deseori se numără diferitevaria%ii ale !ro#lemelor de5

• am!lasare a sta%iilor de retranslare a semnalelor de radiosau TB !entru un teritoriu oarecare:• construire de #a6e militare menite să %ină su# control

anumite regiuni:• am!lasare a centrelor comerciale menite să deservească

un anumit număr de localită%i0Să anali6ăm următoarea !ro#lemă5

B localită%i B l l l (000((

). sunt unite !rintr$o re%ea de drumuri0Fie i(d ; distan%a minimă dintre localită%ile il şi (l ( determinată dere%eaua dată de drumuri0 "entru deservirea !o!ula%iei se construiesccKteva centre medicale0 Se cunoaşte că !entru o deservire efectivă şicalitativă a !o!ula%iei distan%a de la o localitate !Knă la cel maia!ro!iat centru medical nu !oate fi mai mare decKt o mărime fiGatăα 0 Astfel( dacă centrul medical cel mai a!ro!iat !entru localitateail se va construi 8n localitatea (l ( atunci numaidecKt este necesară

->


57/143

res!ectarea condi%iei α ≤i(d 0 Tre#uie de determinat numărul minimde centre medicale !entru deservirea !o!ula%iei a celor B localită%i0

"entru solu%ionarea !ro#lemei( construim graful$model(vKrfurile căruia cores!und localită%ilor şi două vKrfuri i şi ( leconsiderăm adiacente dacă α ≤i(d 0 n aceste condi%ii( mul%imeaminimă de vKrfuri sta#ilă eGterior a acestui graf re!re6intă localită%ile8n care se vor construi centrele medicale0

7eseori( 8n legătură cu studierea mul%imilor de vKrfuri sta#ileale unui graf( se mai vor#eşte şi des!re aşa$numitele mul%imi devKrfuri de aco!erire( definite !rin rela%ia de inciden%ă dintreelementele grafului0

De)ini/ia #.#.5. @umulţimea de /r"uri X + ⊂ a unui %ra" & se nume$te aco#erire de /r"uri, dac! orice muchie din & esteincident! cel #uţin unui /r" din +.

Conform defini%iei date( mul%imea tuturor vKrfurilor X formea6ăo aco!erire de vKrfuri 8n graf0 Totodată( avKnd o mul%ime de vKrfuri +( ce formea6ă o aco!erire a grafului( s$ar !utea de cercetat !ro#lemadeterminării unei su#mul%imi din + ce !osedă aceeaşi !ro!rietate cu +0 Această situa%ie conduce la no%iunea de aco!erire minimală sauminimă a grafului0

De)ini/ia #.#.. aco#erire de /r"uri se nume$te minimal!,dac! orice sumulţime #ro#rie a sa nu "ormea-! la r/ndul s!uaco#erire de /r"uri.

De)ini/ia #.#.7. +co#erirea de /r"uri cu un num!r minim deelemente se nume$te aco#erire minim!.

Cardinalul aco!eririi minime a unui graf neorientat4:2 U X & = se notea6ă !rin 42* &β 0 "entru graful din fig0.( 8n

calitate de aco!eriri de vKrfuri !ot servi următoarele mul%imi5

-=


58/143

{ }{ }{ } 0((

((((((

((((

1=)>

3+->).)

1=)..

' ' ' A

' ' ' ' ' ' A

' ' ' ' A

===

"rintre aceste mul%imi A) şi A> sunt minimale şi numai A> esteminimă0 7eci !entru acest graf avem >42* =&β 0

Anali6Knd defini%iile res!ective( !utem o#serva o mareasemănare 8ntre aco!erirea de vKrfuri a unui graf şi mul%imea sta#ilăeGterior0 Astfel orice aco!erire de vKrfuri a unui graf este şi mul%imesta#ilă eGterior0 Afirma%ia inversă 8nsă nu este adevărată0

@#servăm( de asemenea( că dacă + formea6ă o aco!erire de

vKrfuri 8n graf( atunci mul%imea + X P nu con%ine vKrfuri adiacente(adică este sta#ilă interior0 n ca6ul unei mul%imi sta#ile eGterior(această !ro!rietate nu numaidecKt are loc0 Mai mult decKt atKt( dacă + formea6ă o aco!erire de vKrfuri minimală 2sau minimă4( atunci

+ X P este o mul%ime sta#ilă interior maGimală 2sau maGimă40 &steadevărată şi afirma%ia inversă0 Astfel o#%inem următorul re6ultat5 osu#mul%ime de vKrfuri + a unui graf 4:2 U X & = formea6ă o

aco!erire 2minimală( minimă4( dacă şi numai dacă + X P este sta#ilăinterior 2maGimală( maGimă40 7e aici( la rKndul său( re6ultă că 8ntr$ungraf neorientat & cu n vKrfuri are loc egalitatea5

n&& =+ 4242 ** β α 0

#.#.&. M+0e*u* -ate-atic a* 1r+4*e-ei 0e 0eter-inarea -u*/i-ii 0e


59/143

linie a matricei0 BKrfurile grafului ce cores!und coloanelor res!ectiveformea6ă mul%imea de vKrfuri sta#ilă eGterior minimă0

"entru fiecare vKrf X ' ( ∈ ( formăm mul%imile42MN ( ( ( ' '@ Γ = 0 Bom nota !rin H X mul%imea de vKrfuri sta#ilăeGterior minimă din &0

"ro#lema determinării mul%imii H X !oate fi formulată ca o !ro#lemă de !rogramare liniară( 8n modul următor5

Să se minimi6e6e func%ia

∑=

=n

(

( C .

ξ 2)0.*4

cu restric%iile

∑=

≥n

(

(i(t .

.ξ ( !entru ni (.=∀ ( 2)0..4

∉

∈=

0Xdacă(*

(Xdacă(.

H '

H '

(

(

(ξ 2)0.)4

∉

∈=

0dacă(*

(dacă(.

(i

(i

i(@ '

@ 't 2)0.>4

Ee-1*u. Să anali6ăm graful din fig01 0

-+

'.

'- '=

')

'>

'1

'+


60/143

"ig.7Formăm următoarele mul%imi de vărfuri5

0M(((N42MN(M(((N42MN

(M(((N42MN

(M(((N42MN

(M((N42MN

(M((N42MN

(M((N42MN

++=)111

1+->+++

+-=)---

1-=.===

+>.>>>

1-))))

=>....

' ' ' ' ' '@ ' ' ' ' ' '@

' ' ' ' ' '@

' ' ' ' ' '@

' ' ' ' '@

' ' ' ' '@

' ' ' ' '@

=Γ ==Γ =

=Γ =

=Γ =

=Γ =

=Γ =

=Γ =

Matricea F o#%inută din matricea de adiacen%ă !rin 8nlocuireaelementelor de !e diagonala !rinci!ală cu unită%i este

0.*.*.*

..*.**

*..*.*

.*.**.

*.***..*.***

***..*

=

&

&

&

&

&&

&

F

Una dintre !osi#ilele mul%imi sta#ile eGterior minime esteM((N >).

X ' ' 'H = 0 n acest ca6( varia#ilele 1(.( = ( (ξ ( ale !ro#lemei

2)0.*4 ; 2)0.>4 ar fi.>). === ξ ξ ξ (

*1+-= ==== ξ ξ ξ ξ 0

&lementele i(t alte matricei F satisfac condi%iile 2)0.>40

-1


61/143

"rintr$o verificare sim!lă ne convingem că se res!ectă

condi%iile 2)0..40 Baloarea func%iei o#iectiv este >1

.

==∑= (

( C ξ 0 "rin

urmare( mul%imiiX

H 8i cors!unde o solu%ie admisi#ilă a !ro#lemei2)0.*4;2)0..4( şi !rintr$o anali6ă a grafului din fig01 ne !utem uşor convinge că aceaşi situa%ie va avea loc şi !entru oricare altă mul%imesta#ilă eGterior0

#.#.#. A*g+rit-u* 0e c+ntruire a -u*/i-ii 0e


62/143

Ini%ial construim un ta#el s!ecial liniile căruia cores!undelementelor mul%imii E( coloanele cores!und mul%imilor S∈ (@ ( iar elementul din linia cu numărul # şi coloana cu numărul ( este egal cu

.( dacă4(.2 n (@ r ( # =∈

( şi este egal cu * ; 8n ca6 contrar0 Fiecăruielement #r i se !une 8n cores!onden%ă #locul de coloane cecores!und acelor su#mul%imi din S( care con%in acest element şi nucon%in elemente #) r )


63/143

A ; familia mul%imilor din S( care !oate conduce la o#%inereasolu%iei o!time:

Z ; cardinalul familiei A:

O ; su#mul%imea de elemente din E( care a!ar%in mul%imilor din

A

=

∈i

A@

@ O

i

0

Algoritmul !ro!us este un algoritm iterativ( şi 8n !rocesul

determinării solu%iei o!time a!lică ar#orele de căutare0 Toatăinforma%ia necesară !entru solu%ionarea !ro#lemei se re!re6intă su#forma unui ta#el descris mai sus0 n !rocesul eGecutării algoritmului(fiecare coloană a ta#elului( folosită !entru eGtinderea familiei A( estemarcată 8ntr$un mod oarecare !entru a %ine cont de această situa%ie laeta!ele următoare0

Decrierea a*g+rit-u*ui

9au* &. Construim ta#elul descris anterior0 Considerăm A ( O N ( Z *( ZX *0

9au* #. Calculăm M5minN O r i # i ∉= 07acă toate coloanele #locului ] #^ au fost folosite la careva

eta!e anterioare !entru eGtinderea mul%imii A( sau #locul ] #^ estevid( atunci trecem la !asul -0n ca6 contrar( alegem !rima coloană( neutili6ată 8ncă !entru

eGtinderea lui A0 Fie # (@ coloana aleasă din #locul cu numărul #0

9au* '. 7acă X. ZZ


64/143

O @ F # ( P P= 0

&Gtindem mul%imile5

#

(

#

(

@ O O

@ A A

=

= (MN

şi considerăm0.+= ZZ

7acă E O = ( atunci considerăm A A =X ( ZZ =X şi trecem la !asul +0 n ca6 contrar( trecem la !asul )0

9au* 5. 7acă .= # ( atunci fiGăm X A dre!t solu%ie o!timă a !ro#lemei0 STO9.

7acă .> # ( atunci revenim la com!onen%a !recedentă amul%imilor A şi O ( !rin eGcluderea ultimei mul%imi adăugate

#i@ i

(


65/143

Considerăm ∅= #F şi modificăm valoarea lui .−=ZZ 0Trecem la eGecutarea !asului )0

7acă E O =

( atunci considerăm A A =

X ( ZZ =

X şi trecem la !asul =0 n ca6 contrar( trecem la !asul )0

Ee-1*u. Să anali6ăm graful din fig03( !entru care vomconsidera

M((((N -=>). ' ' ' ' ' X E == (

(M(N

(M(N

(M((N

(M((N

(M((N

-.-

=)=

>).>

=>))

->..

' '@

' '@

' ' '@

' ' '@

' ' '@

==

==

=

M((((N -=>). @ @ @ @ @ =S 0

"ig. (

@#servăm cu uşurin%ă că una dintre aco!eririle minime estedeterminată de mul%imile .@ şi )@ 2adică M(N ).

X@ @ A = 40 7e aici

deducem că dre!t mul%ime de vKrfuri sta#ilă eGterior minimă !oateservi mul%imea M(N ). ' ' + = 0

2Men%ionăm că 8n calitate de mul%ime de vKrfuri sta#ilă eGterior

minimă !entru graful din fig0 3 ar !utea servi şi alte mul%imi( deeGem!lu M(N =. ' ' sau M(N -) ' ' 04

+)

'.

'-

')

'= '>


66/143

Bom anali6a 8n continuare reali6area !as cu !as a algoritmuluidescris0 n conformitate cu !asul . construim ta#elul >0

Ta4e*u* ' @ @ 42 ))

. @ @ 42 =)

) @ @

. ' & & & : :

) ' * . * & &

> ' . . * . *

= ' * * * . .- ' . * . * *

Nota%ia 42 ) (

i @ @ din ta#el 8nseamnă că coloana cu numărul ]i^ a

#locului cu numărul ] (^ cores!unde mul%imii ) @ a familiei S0Ini%ial considerăm A ( O N ( Z *( ZX _`0

9au* #. 7eoarece O r ∉. ( considerăm .= # şi marcămcoloana ..@ 0

9au* '. Z _ . * _ .ZX _`0 Trecem la !asul =0

9au* 3. M((N ->.. ' ' 'F = (MM((NNMNTMN ->.

.

.

.

.

.

. ' ' '@ @ @ A A ==== (

M((N ->. ' ' ' O = (

Z .0

7eoarece E O ≠ ( trecem la !asul ) al algoritmului0

9au* #. # )0 Marcăm coloana ).@ 0

9au* '. Z _ . ) ZX0 Trecem la !asul = al algoritmului0

+>


67/143

9au* 3. @#%inem mul%imile noi 5M(N =)) ' 'F = (

MM((NM(((NNMN =>))

.->.

.

.

)

. ' ' '@ ' ' '@ @ A A ====

(M((((N -=>). ' ' ' ' ' O = (Z ) 0

7eoarece O NE, vom avea5

MM((NM(((NN =>))

.->.

.

.

X ' ' '@ ' ' '@ A === şi ZX )0

@#servăm că X A determină o divi6are a mul%imii de vKrfuri D

8n două su#mul%imi0 @#%inem o mul%ime de vKrfuri sta#ilă eGterior ; M(N ). ' ' 0 n continuare algoritmul se foloseşte !entru a determinadacă s$a o#%inut o aco!erire minimă sau nu0

9au* . &liminăm din A ultimul element adăugat ).@ 0

@#%inem5 MM((NN ->..

. ' ' '@ A == (M((N ->. ' ' ' O = (

∅=)F (Z Z ; . .0

9au* #. Alegem coloana ))@ 0

9au* '. Z _ . . _ . ZX0

9au* . &liminăm ))@ din A0 @#%inem5

A ( O ( T. =F (Z *0

9au* #. 7eoarece .M5minN =∉= O 'i # i ( alegem coloana .)@ 0

9au* '. 4)2.*. XX =


68/143

4((N >).. ' ' 'F = (

M((NMNMN >)..

)

.

) ' ' '@ @ A A =∅== (

4((N >)..

) ' ' '@ O O == (

Z .0

&ste clar că X O ≠ 0

9au* #. Calculăm =M5minN =∉= O 'i # i 0


69/143

4(N -..

> ' '@ O O == (Z .0

9au* #. Calculăm )M5minN =∉= O 'i # i 0 Alegem !rimacoloană nefolosită din #locul ) ; coloana ).@ 0

9au* '. X). ZZ ==+ 0 Trecem la !asul +0

9au* . Modificăm mul%imile A şi O 0 &liminăm coloana .>@ 0 A ( O ( T. =F (

Z *0

9au* #. Calculăm .M5minN =∉= O 'i # i 0

9au* 5. Mul%imea X A re!re6intă solu%ia o!timă 5M(N ).

.

.

X @ @ A = 0

7eci mul%imea M(N ). ' ' este mul%imea sta#ilă eGterior minimăa grafului din fig030

#.'. Cu1*auri

La #a6a no%iunilor de mul%ime sta#ilă interior şi mul%ime sta#ilăeGterior stă rela%ia de adiacen%ă 8ntre vKrfurile grafului0 "rin analogiecu cele eG!use anterior( deoarece rela%ia de adiacen%ă este definită şi !entru muc'iile grafului( !utem vor#i des!re mul%imile de muc'iista#ile interior0 Astfel de mul%imi 8n literatura de s!ecialitate suntcunoscute ca cu!lauri0 Cu!laurile !re6intă interes din !unct devedere atKt teoretic( cKt şi !ractic datorită unui s!ectru larg de !ro#leme a!licative solu%ionarea cărora se reduce la determinareaunor cu!lauri s!eciale0

++


70/143

De)ini/ia #.'.&. @umulţimea de muchii U O ⊂ a %ra"ului & senume$te cu#la(, dac! oricare dou! muchii din O nu sunt adiacente.

Uşor se o#servă că 8n conformitate cu această defini%ie 8n oricegraf neorientat eGistă cu!lauri0 "rintre cele mai sim!le cu!lauri(nevide( se află mul%imile ce con%in o singură muc'ie din graf0?rafurile 8n care orice cu!la con%ine o singură muc'ie sunt grafurile

4:2 U X & = cu .=U şi grafurile # 7 (. ( numite %ra"uri stea.7acă O este un cu!la al grafului neorientat 4:2 U X & = ( atunci

!utem 8ncerca să eGtindem mul%imea dată din contul celorlaltemuc'ii0 Această situa%ie conduce la construirea cu!laului maGimal şi

a cu!laului maGim0

De)ini/ia #.'.#. u#la(ul O se nume$te ma'imal, dac! n %ra" nu e'ist! un alt cu#la( F ast"el nc/t F O ⊂ .

De)ini/ia #.'.'. u#la(ul O se nume$te ma'im, dac! #entruoricare cu#la( F din %ra" are loc relaţia F O ≥ .

Numărul de muc'ii ale grafului & ce a!ar%in cu!laului maGimse notea6ă !rin 42. &α 0 "rin urmare( dacă O X este cu!laul maGim al

grafului &( atunci X42. O & =α 0Uşor se !oate de o#servat că cu!laurile unui graf neorientat

4:2 U X & = !ot fi studiate !rin intermediul mul%imilor sta#ileinterior ale grafului muc'iilor 42& : 0 ntr$adevăr( oricărui cu!la din

& 8i cores!unde o mul%ime de vKrfuri sta#ilă interior 8n :2&40 nrealitate are loc egalitatea 442242 *. & :& α α = 0 Cu toate acestea(eGistă algoritmi efectivi de construire a cu!laului maGim 8ntr$un graf neorientat &( care 8şi găsesc a!lica%ie la solu%ionarea unor !ro#lemecu as!ect a!licativ0

"entru graful & !re6entat 8n fig0/( eviden%iem cu!laurile5

+1


71/143

{ }{ }{ }

{ }{ } 0((

(((

((

((

(

>).+

1-==

+.>

1=)

=.

uuu O

uuu O

uu O

uu O

u O

==

===

"rintre aceste mul%imi numai O >( O =( O - sunt maGimale( iar O =( O - sunt şi maGime0 7eci >42. =&α 0

Ca şi 8n ca6ul mul%imilor de vKrfuri sta#ile interior( studiereacu!laurilor !oate fi făcută 8n coordonare cu aco!eririle de muc'ii0

"ig.$De)ini/ia #.'.3. @umulţimea de muchii U O ⊂\ a unui %ra"

4:2 U X & = se nume$te aco#erire de muchii, dac! orice /r" din &este incident cel #uţin unei muchii din OQ 0

n conformitate cu această defini%ie( orice graf con%ine aco!eriride muc'ii0 n calitate de aco!erire de muc'ii trivială !oate servi

mul%imea tuturor muc'iilor grafului0 Totodată( avKnd o aco!erirear#itrară de muc'ii O, !utem 8ncerca să$i !ăstrăm această !ro!rietate !rin eliminarea din O a unor muc'ii0 Astfel aungem la no%iunea deaco!erire minimală0

De)ini/ia #.'.5. +co#erirea de muchii OQ se nume$te minimal!,dac! n %ra" nu e'ist! o alt! aco#erire de muchii \F ast"el nc/t

\\ O F ⊂ ?adic! orice sumulţime #ro#rie din OQ nu "ormea-!

aco#erire de muchii

u-

u=

u1

u+

u)

Documents

Aspecte_algoritmice_ale_teoriei_grafurilor_p1.doc