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SISTEMI A TEMPO DISCRETO
1
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
Assumiamo la variabile temporale discreta; sia f lineare. Si consideri la
seguente rappresentazione implicita:
( ) ( )( )
nx t f x( t ),u( t ) Ax( t ) Bu( t ), x( t ) x R
y( t ) x( t ),u( t ) Cx( t ) Du( t )η
+ = = + = ∈
= = +0 01
(1)
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
2
Rappresentazioni equivalenti
Si consideri la trasformazione:
z Tx= ovvero x T z−= 1 .
Applicata tale trasformazione al sistema (1) si ottiene:
( )z t TAT z( t ) TBu( t )
y( t ) CT z( t ) Du( t )
−
−
+ = +
= +
1
1
1
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
3
Passaggio al modello esplicito
Le evoluzioni descritte dal modello (1) possono anche essere indicate dal
modello esplicito:
( )
( )
t
t
t
t
x( t ) t t x( t ) H( t )u( )
y( t ) t t x( t ) W ( t )u( )
Φ τ τ
Ψ τ τ
−= − + −
= − + −
∑
∑
0
0
10 0
0 0
con:
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
4
t
t
t
t
( t ) A
H( t ) ( t )B A B
( t ) C ( t ) CA
W ( t ) C ( t )B CA B, t W ( ) D
Φ
Φ
Ψ Φ
Φ
−
−
=
= − =
= =
= − = > =
1
1
1
1 0 0
Valgono le seguenti considerazioni (del tutto analoghe a quanto già visto nel
caso tempo continuo):
• le risposte nello stato e in uscita si possono separare in evoluzione
libera ed evoluzione forzata;
• per le risposte forzate vale il principio di sovrapposizione degli effetti;
• le matrici H e W sono le matrici delle risposte impulsive nello stato
e nell’uscita
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
5
La soluzione del sistema (1) esiste ed è unica e può essere così indicata:
( )∑−
=
−−+=1
00 1
t
i
it itBuAxAtx )(
Approssimazioni lineari di sistemi non lineari
Dato un sistema discreto non lineare:
( ) ( )( ) ( )
e e e
e e e
x( t ) f x( t ),u( t ) , f x ,u x
y( t ) h x( t ),u( t ) , h x ,u h
+ = =
= =
1 (2)
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
6
la sua rappresentazione linearizzata nell’intorno di un punto di
equilibrio ( )e ex ,u é:
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )
e e
e e e e
ee e
ex ,u
e e e ex ,u x ,u
x xf ff x ,u f x ,uu ux u
f ff x ,u x x u ux u
−⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ −∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∂ ∂= + − + − +
∂ ∂
L
L
e
( ) ( )( )e e
ee e
ex ,u
x xh hh x,u h x ,uu ux u−⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ −∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
L
Posto:
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
7
( )
e
e
a e e
z x xv u u
y y h x ,u
= −
= −
= −
si ha il sistema linearizzato:
( )a
z t Az( t ) Bv( t )
y Cz( t ) Dv( t )
+ = +
= +
1
dove:
( )ee uxxfA
,∂∂
= ( )ee uxu
fB,∂
∂= ( )ee uxx
hC,∂
∂=
( )ee uxuhD
,∂∂
=
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
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Campionamento di sistemi a tempo continuo
Si consideri un sistema tempo continuo:
x( t ) Ax( t ) Bu( t ), x( t ) xy( t ) Cx( t )
= + =
=0 0&
ovvero:
( ) ( )∫ −− +=t
ttAttA dBuetxetx
0
0 0 τττ )()( )(
Si desidera considerarne l’evoluzione in istanti di campionamento, t=0, T, 2T,
…, kT,….. assumendo che l’ingresso sia costante in ogni intervallo di
campionamento, ad esempio TktkTkTutu )(),(~)( 1+<≤=
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
9
Posto:
t kTt ( k )T=
= +0
1 e TkkTkuu )(),(~)( 1+<≤= ττ
si ha:
( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ +=+=++
−+T
AATTk
kT
TkAAT dkuBekTxedkTBuekTxeTkx0
111 ξτ ξτ )(~)()(
)()(
Definendo )()( kxkTx = si ottiene:
)()()(~)()(
kCxkykuBkxAkx DD
=
+=+1
con:
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CCBdeBeA D
TA
DAT
D === ∫0
ξξ
Problema: scelta del tempo di campionamento T
Per i sistemi lineari una scelta soddisfacente è pari a 0.1 del tempo di salita
per ingresso costante pari a 1.
Campionamento con il metodo di Eulero
L’idea è quella di approssimare la derivata con il rapporto incrementale:
TkTxTkx )())(( −+1
E quindi il sistema lineare approssimato è:
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
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)()()())(( kTTBukTxTAITkx ++=+1
Quindi si può considerare il sistema tempo discreto a segnali campionati:
)()()()()(
kCxkykuBkxAkx
=+=+1
Con:
TBBTAIA =+=
Il metodo di Eulero si può applicare anche a sistemi non lineari
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Ruolo della potenza della matrice dinamica
Osserviamo che:
LL +++++=!! nATATATIe
nnAT
2
22
La struttura della matrice tA svolge un ruolo centrale nel caratterizzare il
comportamento di un sistema a tempo discreto.
Sia D una matrice avente sulla diagonale gli autovalori di A ; esiste una
trasformazione T tale che D TAT −= 1 ; dunque si ha:
t tA T D T−= 1 .
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
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Detto:
( )jj e cos j sinϑλ α ω σ σ ϑ ϑ= + = = +
Si ha:
cos sinsin cos
α ω ϑ ϑσ
ω α ϑ ϑ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
e quindi:
tt cos t sin t
sin t cos tα ω ϑ ϑ
σω α ϑ ϑ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Risulta quindi:
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
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t
tm
t tt
t t
t tm m
t tm m
cos t sin tD
sin t cos t
cos t sin t
sin t cos t
λ
λ
σ ϑ σ ϑ
σ ϑ σ ϑ
σ ϑ σ ϑ
σ ϑ σ ϑ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
1
2 2
2 2
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
O
O
Sviluppando i calcoli si ha:
( ) ( )( )m m
t t ti i i p p ap ap bp bp p ap ap bp bp
i pA u v ' cos t u v ' u v ' sin t u v ' u v 'λ σ ϑ ϑ
= =
= + + + −∑ ∑1 2
1 1
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Modi naturali
Si consideri l’evoluzione libera del sistema:
( ) ( )[ ]jbjjjajj
n
jj
t
j
n
iii
ti
t ututmcuxAtx ϕϑϕϑλλ +++++= ∑∑==
cossin)(2
1
1
10l
Con l
llϑλλ je= , ( )πϑ ,0∈l
Si hanno i seguenti modi naturali:
• autovalori reali positivi---------- modi aperiodici (moto lungo una retta
dalla stessa parte dello zero)
• autovalori reali negativi--------- modi alternanti (moto lungo una retta,
alternandosi da una parte all’altra rispetto allo zero)
• autovalori complessi ----------- modi pseudoperiodici
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Analisi nel dominio della variabile complessa
Sia f una funzione definita nel dominio +Z ; si definisce la trasformata Z
di f ( t ) la funzione di variabile complessa:
[ ] tf
tZ f ( t ) F( z ) f ( t )z , z ρ
∞−
=
= = >∑0
dove fρ è il raggio di convergenza associato alla funzione f .
Vale la seguente proprietà (teorema della traslazione a destra):
[ ]Z f ( t ) zF( z ) zf ( )+ = −1 0
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
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L’applicazione della trasformata Z ad una rappresentazione implicita tempo
discreto fornisce:
( ) ( )( ) ( )( )
X( z ) zI A zx zI A BU( z )
Y ( z ) C zI A zx C zI A B D U( z )
− −
− −
= − + −
= − + − +
1 10
1 10
Si noti che si ha:
( )tZ A zI A z−⎡ ⎤ = −⎣ ⎦1
La risposta a regime permanente per i sistemi a tempo discreto
Risposta a regime ad ingressi periodici:
Assegnato l’ingresso: u( t ) sin tϑ=
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
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la risposta in regime permanente è data da:
( ) ( )j jry ( t ) W ( e ) sin t W ( e ) M( )sin t ( )ϑ ϑϑ ϑ ϑ Φ ϑ= + ∠ = +
Risposta a regime ad ingressi canonici
Assegnato l’ingresso: ( )( ) ( )( k ) t t t t ktu( t )
k ! k !− − − +
= =1 2 1L
la risposta in regime permanente è data da:
( k )k
r ii
ty ( t ) c( k )!
−
=
=−∑
1
0 1
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
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Stabilità
Nel caso dei sistemi tempo discreto valgono i seguenti risultati.
L’origine dello spazio di stato in una rappresentazione lineare stazionaria a
dimensione finita di un sistema a tempo discreto è stabile se e solo se:
gli autovalori di A con molteplicità geometrica unitaria hanno modulo
inferiore o uguale a uno;
gli autovalori di A con molteplicità geometrica maggiore di uno hanno
modulo inferiore a uno.
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
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L’origine dello spazio di stato in una rappresentazione lineare stazionaria a
dimensione finita di un sistema a tempo discreto è stabile
asintoticamente se e solo se gli autovalori di A hanno tutti modulo
inferiore a uno.
N.B. Si ha stabilità asintotica se e solo se gli autovalori sono tutti interni al
cerchio unitario; si ha stabilità se non vi sono autovalori esterni al cerchio
unitario e se quelli eventualmente presenti sul cerchio unitario hanno
molteplicità geometrica non superiore a 1.
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Il criterio di Jury permette di stabilire se le radici di un assegnato
polinomio d( )λ sono tutte con modulo inferiore ad uno.
Quindi può essere applicato al polinomio caratteristico per la verifica della
stabilità asintotica di una rappresentazione lineare e stazionaria di un
sistema a tempo discreto. Si basa sulla costruzione della seguente tabella:
n n n
n n n n
n n
n n n n
n
n n n
a a a a a a aa a a a a a ab b b b b b
b b b b b bc c c c
c c c c
s s s ss s s st t tt t t
− −
− − −
− −
− − − −
−
− − −
0 1 2 3 2 1
1 2 3 2 1 0
0 1 2 3 2 1
1 2 3 4 1 0
0 1 2 2
2 3 4 0
0 1 2 3
3 2 1 0
0 1 2
2 1 0
L
L
L
L
L L
L L
L L L L L L
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22
dove
n n n kk
n n n k
n
n
a a a a a ab b b
a a a a a a
b bc ecc.
b b
− −
−
−
= = =
=
0 0 1 00 1
0 1
0 10
1 0
LL
Condizione necessaria e sufficiente perchè le radici di d( )λ abbiano
modulo minore di 1 è che si abbia:
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Raggiungibilità nei sistemi a tempo discreto
Si consideri il seguente sistema lineare tempo discreto:
)()()()()()1(
kDukCxkykBukAxkx
+=+=+
(3)
con:
ZkRkyRkuRkx qpn ∈∈∈∈ ,)(,)(,)(
Tenendo presente la definizione generale di raggiungibilità e l’evoluzione
forzata del sistema, la condizione di raggiungibilità è la seguente:
∑−
=
−− =1
0
1 )(k
h
hk xhBuA (4)
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Il sistema (1) è raggiungibile se e solo se:
[ ] nBABAABBrangoPrango n == −12)( L
Per ogni stato raggiungibile x del sistema (3) esiste una funzione di ingresso
u tale da soddisfare (4) per k=n (ed esiste per qualunque k>n)
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Osservabilità nei sistemi a tempo discreto
Il sistema (3) è osservabile se e solo se:
n
CA
CACAC
rangoQrango
n
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−1
2)(M
Infatti si ha: