Astronomia Lezione 22/10/2012

Docente: Alessandro Melchiorri e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it Sito web per slides lezioni: oberon.roma1.infn.it:/alessandro/astro2012/ Le lezioni astronomia012_*.pdf sono quelle di quest’anno ! astronomia_*.pdf sono dell’anno scorso. Libri di testo consigliati: - An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley

- Astronomy: A physical perspective, Marc L. Kutner, Cambridge University Press.

- Fundamental Astronomy, Karttunen e altri, Springer

- Elementi di Astronomia, P. Giannone.

Corpo Nero: Derivazione Teorica

Come abbiamo accennato nella lezione precedente la luce nel vuoto si propaga come un’onda Elettromagnetica costituita da un campo elettrico ed uno magnetico ortogonali tra loro e variabili nel tempo. L’onda elettromagnetica possiede una lunghezza d’onda l (intervallo spaziale tra due creste) e procede ad una velocità pari alla velocità della luce c. Si ha quindi che la frequenza n (intervallo temporale tra due creste) sarà data da:

Spettro nel visibile . Lunghezze In nm

Corpo Nero: Derivazione Teorica Uno dei problemi in Fisica più importanti verso la fine del 1800 era capire lo spettro di emissione di un corpo nero. Quando una luce incide su di un corpo questo puo’ riflettere, trasmettere o assorbire la luce. Assorbimento, riflessione e trasmissione sono i fenomeni che avvengono quando la luce interagisce con la materia. Quando l'energia radiante incide su un corpo, una parte viene assorbita, una parte viene riflessa e una parte viene trasmessa. Per la legge di conservazione dell'energia, la somma delle quantità di energia rispettivamente assorbita, riflessa e trasmessa è uguale alla quantità di energia incidente. Un corpo nero è un oggetto (ideale) che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente e quindi né riflette né trasmette alcuna energia apparendo in prima approssimazione nero, secondo l'interpretazione classica del colore dei corpi (entro i limiti della propria emissività termica). Non riflettendo il corpo nero assorbe dunque tutta l'energia incidente e, per la conservazione dell'energia, re-irradia tutta la quantità di energia assorbita (coefficiente di emissività uguale a quello di assorbimento e pari ad uno) e deve quindi il suo nome unicamente all'assenza di riflessione. Un esempio di corpo nero e’ una cavità ad una temperatura T.

Il Corpo Nero

L’andamento in lunghezza d’onda del corpo nero ha una formula analitica scoperta da Max Planck (1858-1947): Con costante di Planck e costante di Boltzmann.

Corpo Nero Un risultato facilmente intuibile è che la radiazione di corpo nero non dipende dalla forma della cavità. Possiamo quindi limitarci a considerare una cavità che abbia una geometria semplice, ad esempio un cubo di spigolo di lunghezza a. Supponiamo che le pareti siano perfettamente conduttrici, allora è possibile immagazzinare e conservare energia e.m. all'interno della cavità senza perdite purché le frequenze corrispondano alle frequenze di risonanza della cavità. Le frequenze di risonanza della cavità sono quelle per cui si instaurano delle onde stazionarie, quindi nelle tre direzioni devono essere comprese un numero intero di semilunghezze d'onda. Vediamo per un lato si potranno avere solo lunghezze d’onda: ovvero frequenze (con l numero intero): nel caso tridimensionale si avrà: con l, m, n numeri interi.

Corpo Nero

Il numero di modi con frequenza w nel cubo sarà quindi dato da: dove il termine 1/8 tiene conto del fatto che possiamo considerare solo l,m ,n positivi (un ottante). Quindi possiamo scrivere (moltiplicando per due per via dei due stati di polarizzazione): Il numero di modi per unità di volume e unità di frequenza sarà dato da: basta adesso calcolare l’energia di ogni singolo modo alla frequenza w e moltiplicare per questa quantità per avere avere la densità di energia per unità di volume e unità di frequenza.

Corpo Nero – Caso Classico

Il problema si riconduce quindi nel trovare l’energia media di un singolo modo. Dalla statistica di Boltzmann si ha che la probabilità di avere un modo con energia tra E e E+dE alla temperatura T e’data da: si ha quindi che l’energia media vale: Ora ponendo si ha: Da cui: per ottenere infine la formula di Rayleigh-Jeans:

Corpo Nero – Catastrofe Ultravioletta

La formula di Rayleigh-Jeans: però non funziona per i seguenti motivi: come prima cosa se adesso vogliamo calcolare l’energia totale dobbiamo integrare le frequenze tra 0 e infinito. Il risultato e’ un valore dell’energia totale infinita che è chiaramente impossibile. Questo problema prende il nome di catastrofe ultravioletta e segna il fallimento della fisica classica. In secondo luogo la formula di Rayleigh-Jeans funziona bene per basse frequenze ma appunto diverge per alte frequenze (piccole lunghezze d’onda) e’ non e’ in accordo con le osservazioni.

l (mm)

I (er

g cm

-3 s

-1) Rayleigh-Jeans

116123 Kerg101.38KJ101.38k

Corpo Nero – Caso Quantistico La soluzione (geniale) trovata da Planck consiste nell’imporre che tutti i modi di frequenza n possono avere energia pari solo a multipli di hn con h costante.

la probabilità diviene: e il valore medio adesso si media su sommatorie e non integrali: Si ha quindi: da cui: ottenendo infine la formula di Planck:

Max Planck (1858-1947) Ha ideato la teoria dei quanti, che insieme con la teoria della relatività diAlbert Einstein è uno dei pilastri della fisica contemporanea. Nel 1900 Planck rese nota la sua ipotesi nella quale sosteneva che gli scambi di energia nei fenomeni di emissione e di assorbimento delleradiazioni elettromagnetiche avvengono in forma discreta (proporzionale alla loro frequenza di oscillazione, secondo una costante universale), non già in forma continua, come sosteneva la teoria elettromagnetica classica. Nel 1901 Planck passò dall'ipotesi quantistica alla vera e propria teoria quantistica, secondo la quale gli atomi assorbono ed emettono radiazioni in modo discontinuo, per quanti di energia, cioè quantità di energia finite e discrete. In tal modo anche l'energia può essere concettualmente rappresentata, come la materia, sotto forma granulare: i quanti sono appunto come granuli di energia indivisibili. La sua teoria gli valse il premio Nobel per la fisica del 1918.

Corpo Nero – Formula di Planck

La formula di Planck rimuove il problema della catastrofe ultravioletta perché l’energia va a zero per alte frequenze o basse lunghezze d’onda. Ha inoltre un ottimo accordo con le osservazioni se poniamo: La densità numerica di «fotoni» è semplicemente data da: Per un oggetto a T=300K si ha che nel visibile la densità numerica vale: Per metro cubo. Questo spiega perché l’emissione di corpo nero e’ assolutamente trascurabile nel visibile per un corpo a temperatura ambiente (cosa non vera per RJ!).

Formula di Planck

nnww dTdT ,,

nnnnw

www

nwdT

e

d

c

h

e

d

cdT

kThkT,

1

8

1,

/3

3

/23

3

Un punto importante da ricordare e’ che la densità di energia trovata è una quantità per Intervallo di pulsazione, se passiamo alle frequenze deve valere: e quindi, sostituendo:

1

8,

/3

3

kThe

d

c

hdT

n

nnnn

Spettro di Planck - Brillanza

In astronomia saremo interessati all’energia emessa per unità di superficie, per unità di tempo, per unità di angolo solido, la brillanza o brightness. Questa quantita’ per un raggio di luce e’ legata alla densità di energia di un corpo nero (che è isotropa) tramite: Attenzione al cambiamento di variabile in lunghezza d’onda perché: e quindi si ha (notare la potenza di l):

1

2,

4 /2

3

kThe

d

c

hT

cdTB

nn

nnn

n

ln ln dTBdTB

1

2/5

2

kThce

dhcTB

ll

l

l

l (mm)

2000 K

1750 K

1500 K

1250 K

Spettro di Planck

In figura riportiamo lo spettro di corpo nero nel caso di 4 temperature diverse. Da notare: - A temperature crescenti lo spettro ha un incremento complessivo. Due curve di corpo nero a temperature diverse non si intrecciano mai ! - A temperature maggiori la posizione del picco si sposta verso frequenze maggiori (lunghezze d’onda minori). Cioè va dal rosso al blu. OGGETTI BLU SONO PIU’ CALDI DI ROSSI.

corpo umano

T = 37° C = 310 K lmax 9 m

l (mm)

B(l

, 31

0 K

) x

10

8 er

g cm

-3 s

-1)

La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura del corpo umano. Il massimo di emissione si ha a circa 9 micron, mentre al di sotto di 3 micron non c’è praticamente alcuna emissione. Infatti al buio una persona risulta invisibile, mentre diventa visibile con un sensore di luce infrarossa.

Spettro di Planck - Esempi

lampada a incandescenza

T 3 000 K

lmax 1 m

l (mm)

B(l

, 30

00

K)

x1

01

3 er

g cm

-3 s

-1)

Spettro di Planck - Esempi

La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura di una lampadina a incandescenza. Di nuovo, il massimo di emissione è collocato nell’infrarosso, eppure la lampadina emette luce visibile. Questo è possibile perché come si vede dal grafico la funzione si estende fino a 0.3 micron, includendo l’intervallo di lunghezza d’onda visibile. Quindi solo una frazione della radiazione globale emessa dalla lampadina è luce visibile.

stella

T 30 000 K

lmax 1000 Å

l (mm)

B(l

, 30

00

0 K

) x

10

18

erg

cm-3

s-1

)

Spettro di Planck - Esempi

La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura superficiale di una stella molto calda. Questa volta il massimo di emissione cade nell’ultravioletto. La stella risulta visibile ad occhio nudo perché la funzione si estende fino all’infrarosso e oltre con emissione decrescente, ma pur sempre con valori molto alti.

z, e, d Orionis (Alnitak, Alnilam e Mintaka da sinistra in basso a destra in alto) le stelle della cintura di Orione sono un esempio di stelle a questa temperature. Emettono di più nell’ultravioletto ma noi le vediamo… Notare la nebulosa testa di cavallo poco sotto Alnitak.

Il Corpo Nero

Le stelle emettono approssimativamente come dei corpi neri. Tale emissione ha uno spettro continuo come quello raffigurato in figura (grafichiamo l’energia emessa per unita’ di tempo, di area, di lunghezza d’onda e di angolo solido) in funzione della lunghezza d’onda e della temperatura superficiale dell’oggetto. Maggiore e’ la temperatura minore e’ la lunghezza d’onda alla quale si ha il massimo. Oggetti piu’ caldi avranno il massimo a lunghezze d’onda minori e ci appariranno piu’ blu.

Il Corpo Nero

Legge di Wien (con lunghezza d’onda misurata in metri):

Il corpo nero: Legge di Wien, esempio

Usando la legge di Wien:

Calcolare la lunghezza d’onda di massima emissione per Betelgeuse (T=3600 K) e per Rigel (T=13000K).

Betelgeuse

Rigel

Dimostriamo che la legge di Wien:

deriva dalla formula di Planck

1

12/5

2

kThce

hcTB

lll

kThcx l/

01

5

xe

Ax

dx

d

2

54

2

545

1

15

11

5

1

x

xxx

xxxe

eAxeAxe

e

Ax

e

Ax

e

Ax

dx

d

05

1

055

015 54

xe

xe

exex

x

x

xx

9651,4max

x

maxmax kx

hcT l

Consideriamo:

Facciamo un cambio di variabile:

Il massimo si ha per:

Deriviamo:

Equazione trascendente:

Con soluzione numerica:

Per cui:

Il corpo nero: Legge di Stefan-Boltzmann Un corpo nero di superficie A e temperatura T emette con una luminosita’ (energia per unita’ di tempo) data da: Dove e’ la costante di Stefan-Boltzmann. Per una sfera di raggio R si ha: Una stella, come detto, e’ approssimativamente un corpo nero. Data una stella di luminosita’ L e raggio R si definisce come la sua temperatura effettiva alla superficie la temperatura ottenuta dalla precedente formula. Il flusso alla superficie della stella sara’:

Dimostriamo che la legge di Stefan-Boltzmann :

deriva dalla formula di Planck

Il Corpo Nero

1

12/5

2

kThce

hcTB

lll

Questa formula e’ in unita’ di steradianti, integrando su tutto l’angolo solido si ha:

1

12sincos

1

12/5

22

0

2/

0

/5

2

kThckThc e

hcd

e

hcl

l l

l

1

8

1

2/5

222

/5

2

kThc

A

kThc e

dhcRdA

e

dhcdL

lll

l

l

l

l

l

La luminosita’ di una stella sferica per unita’ di lunghezza d’onda e’ data da:

5/

222

1

18

l

ll

ll

d

ehcRdLL

kThc

kThcx l/ 2l

ld

kT

hcdx

15

8

18

44

23

2233

222 kT

ch

Rdx

e

x

hc

kT

hc

kThcRL

x

444

23

2242

15

84 Tk

ch

RTR

kTx

hcl

Facendo un cambiamento di variabile:

Si ha:

Confrontando con la legge di Stefan-Boltzman per la luminosita’:

23

45

15

2

ch

k

Si ha la relazione che lega la costante di Stefan-Boltzman con quella di Boltzman, Planck,c:

l (mm)

2000 K

1750 K

1500 K

1250 K

All’aumentare della temperatura, l’energia totale emessa cresce, perché aumenta l’area totale sotto la curva

Il Sole ha: Calcolare: a) la temperatura effettiva alla superficie del Sole:

b) Il Flusso radiativo alla superficie del Sole:

c) La lunghezza d’onda di massima emissione:

Rayleigh-Jeans

(catastrofe ultravioletta)

Wien

1

12/5

2

kThce

hcTB

lll

4

2lim

ll

l

kTcTB

kThcehc

TB ll

l l

/

5

2

0

2lim

..1lim /

0

x

kT

hce kThcx

x

Regioni di Wien e Rayleigh-Jeans

l (mm)

I (er

g cm

-3 s

-1)

Wien

l (mm)

I (er

g cm

-3 s

-1)

Rayleigh-Jeans

Indici di colore

Ricordiamo che le osservazioni astronomiche vengono fatte in tre bande principali: - Banda U (Ultravioletto) centrata a 365nm con larghezza di circa 68nm - Banda B (Blu) centrata a 440 nm con larghezza di circa 98nm - Banda V (Visibile) centrata a 550 nm con larghezza di circa 89nm