AstronomiaLezione 23/10/2014

Docente: Alessandro Melchiorrie.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it

Slides delle lezioni:oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014(e ci sono veramente !!)

Il Corpo Nero

Legge di PlanckBrillanza

Legge di Wien

Legge di Stefan-Boltzmann

Legge di Stefan-Boltzmann(caso per sfera di raggio R)

à Rayleigh-Jeans(catastrofe ultravioletta)

Wien

Regioni di Wien e Rayleigh-Jeans

l (mm)

I (e

rg c

m-3

s-1

)

Wien

l (mm)

I (e

rg c

m-3

s-1

)

Rayleigh-Jeans

1

12/5

2

kThce

hcTB

4

2lim

kTcTB

kThcehc

TB

/5

2

0

2lim

..1lim /

0

x

kT

hce kThcx

x

Il Corpo Nero - Esempi

La curva di corpo nero produce un buon accordo con le curve di intensità delle stelle.Tuttavia come vedremo ci sono delle variazionidovute ad esempio a righe di assorbimentodell’atmosfera stellare frapposta tra noi e lastella. L’oggetto che e’ in miglior accordo in naturacon la curva di corpo nero è lo spettro dellaradiazione di fondo cosmico, immaginedell’Universo circa 13.6 miliardi di anni fa.In figura riportiamo le misure del satellite COBE che hanno portato al premio Nobel 2006.I dati sono in accordo impressionante con unaDistribuzione di corpo nero a 2,726 K.

Indici di colore

Ricordiamo che le osservazioni astronomiche vengono fatte in tre bande principali:

- Banda U (Ultravioletto) centrata a 365nm con larghezza di circa 68nm- Banda B (Blu) centrata a 440 nm con larghezza di circa 98nm- Banda V (Visibile) centrata a 550 nm con larghezza di circa 89nm

Indici di colore

Abbiamo quindi introdotto gli indici di colore come differenze tra magnitudini(apparenti o assolute) tra bande:

dato che sono magnitudini una stella con indice di colore B-V piu’ piccolo sara’piu’ luminosa nel blu rispetto ad una con indice di colore B-V piu’ grande.Si definisce come correzione bolometrica BC:

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Qui le stelle seguono un corpo nero in modoquasi perfetto

Qui no:c’e’ assorbimentoda parte dell’atmosferastellare

Righe spettrali - FraunhoferJoseph von Fraunhofer (1787 – 1826) è stato un fisico e astronomo tedesco. Quando Fraunhofer rimase orfano all'età di 11 anni, iniziò a lavorare come apprendista presso un vetraio di nome Philipp Anton Weichelsberger.Nel 1801 il negozio in cui lavorava crollò e Fraunhofer rimase sepolto sotto le macerie. L'operazione di salvataggio fu condotta da Massimiliano IV Giuseppe, principe elettore di Baviera, (il futuro Massimiliano I di Baviera). Da quel momento il principe entrò nella vita di Fraunhofer, aiutandolo a procurarsi i libri e costringendo il suo datore di lavoro a tollerare i suoi studi. Grazie agli ottimi strumenti che aveva sviluppato, la Baviera sostituì l'Inghilterra come centro delle industrie ottiche.Nel 1814 Fraunhofer fu il primo ad investigare seriamente sulle righe di assorbimento nello spettro del Sole. Le righe sono ancora oggi chiamate linee di Fraunhofer in suo onore.Fraunhofer morì giovane, nel 1826 all'età di 39 anni per tubercolosi polmonare o, forse, più verosimilmente, per i vapori letali inalati.

Atomo di BohrCerchiamo di capire adesso il perche’ vi siano solo alcune righe di emissione edAssorbimento e non vi sia uno spettro continuo.Consideriamo due cariche di segno opposto, tra loro vi e’ una attrazione secondo la legge di Coulomb:

Se consideriamo un atomo di idrogeno, questo e’ composto da un elettrone e da unprotone entrambi di carica (in modulo):

Massa ridotta e massa totale del sistema daranno praticamente la massa dell’elettrone e la massa del protone rispettivamente:

Atomo di Bohr

Usando la II legge di Newton abbiamo:

L’energia totale e’ negativa (sistema legato):

Atomo di Bohr

Fin qui niente di strano ma Bohr quantizza il momento angolare:

riscrivendo la formula per l’energia:

Possiamo risolvere per il raggio orbitale che risulta anch’esso quantizzato:

Solo multipli del raggio di Bohr:

Ad ogni orbita corrisponde una energia:

Se un fotone viene assorbito questo corrisponde ad una transizione ad un’orbita maggiore.La conservazione dell’energia stabilisce che:

Atomo di Bohr

Serie di Lyman

La serie di Lyman identifica la transizione dell’elettrone dallo stato fondamentale dell’atomodi Idrogeno (n=1). Cade nella regione dell’ultravioletto ed e’ quindi non nello spettro del visibile.L’ultravioletto è inoltre assorbito dall’atmosfera e quindi la serie di Lyman non potrebbeessere osservata da terra. E’ tuttavia importante (come vedrete in futuro) per oggetti molto lontani (centinaia di milionidi pc) perché in quel caso l’espansione dell’universo sposta le righe verso il rosso e quindiNel visibile e quindi osservabili da terra. Un caso sono le foreste di assorbimento Lyman-a

Nube Lyman-alpha: spettro di emissione di due quasars (galassie lontane in formazione) assorbito da una nube di idrogeno neutro frapposta tra noi ed il quasar. Non sarebbe osservabile da terra ma il redshift zsposta lo spettro nel visibile.

Serie di BalmerLa serie di Balmer è caratterizzata dalle transizioni elettroniche da n ≥ 3 a n = 2. Questi passaggi sono indicati ciascuno da una lettera greca: la transizione 3 -> 2 è associata alla lettera α, la 4 -> 2 alla β e così via. Poiché storicamente queste righe sono state le prime ad essere identificate, il loro nome è formato dalla lettera H, il simbolo dell'idrogeno, seguita dalla lettera greca associata alla transizione.

La riga H-alfa, che corrisponde alla transizione 3 → 2, è una delle più frequenti nell'universo, estremamente forte in moltissimi oggetti astronomici. Esaminandola ad alta risoluzione, si osserva che essa è costituita da un doppietto; questa suddivisione è detta struttura fine dello spettro dell'idrogeno. Esistono righe oltre la transizione 6 → 2, che cadono nella banda ultravioletta dello spettro.

Serie di Paschen

La serie di Paschen è una sequenza di righe che descrive le righe spettrali dello spettro dell'atomo di idrogeno nella regione dell'infrarosso causate dalla transizione n→3.Questa serie ha una importanza minore per l’astronomia.Dopo la serie die Paschen ci sono Brackett, Pfund, Humprey, etc

Righe e moti propriSe le righe non combaciano perfettamente con quelle in laboratorio ma vi e’Uno «shift» sistematico questo e’ dovuto all’effetto Doppler della stella che si muove di moto proprio. Per v<<c si ha:

Spettro di Vega (verde). Le righe di assorbimento sono spostate sistematicamentea lunghezze d’onda minori (frequenze maggiori) rispetto ad uno spettro di riferimento: Vega si muove verso di noi.

Sistemi di stelle binarie

Il termine «stella binaria» si deve all’astronomo(ma anche musicista) inglese di origine tedesca William Herschel (1738-1822).

Sistemi Binari

Una binaria visuale è una stella binaria le cui componenti sono sufficientemente separate perché si possa osservarle con il telescopio o addirittura con un potente binocolo. La risoluzione angolare del telescopio è un importante fattore nella scoperta di stelle binarie e con la costruzione di telescopi più grandi e potenti un numero crescente di binarie visuali vengono osservate. La luminosità delle binarie è un altro importante fattore: le stelle brillanti, a causa del loro riverbero, sono più difficili da separare rispetto a quelle più deboli.

Binaria Visuale

Mizar

Alcor

Mizar (Zeta Ursae Majoris, ζ UMa) è una stella nella costellazione dell'Orsa Maggiore. La sua magnitudine apparente è +2,23 e forma, assieme alla più debole Alcor una delle doppie visuali più famose del cielo. La distanza reale tra le due stelle è compresa tra 0,5 e 1,5 anni luce, quindi molto alta, ma il loro moto proprio mostra che sono in effetti una stella binaria e non una doppia prospettica come si pensava in precedenza. Ad una più profonda indagine astronomica si rivela un sistema stellare composto da un totale di sei stelle

Binarie Spettroscopiche

Talvolta la prova che una stella sia binaria proviene esclusivamente dall'effetto Doppler che caratterizza la radiazione emessa dalla stella. In questi casi, le linee spettrali rintracciabili nello spettro di entrambe le stelle della coppia prima si spostano verso il blu, poi verso il rosso, mentre ognuna delle due si muove prima verso di noi e poi allontanandosi da noi, nel suo moto intorno al comune centro di massa. Il periodo dello spostamento coincide con quello orbitale.In questi sistemi, la separazione fra le due stelle è solitamente molto piccola sicché le loro velocità orbitali sono elevate. A meno che il piano orbitale non sia perpendicolare alla linea di vista, le velocità orbitali avranno componenti nella direzione della linea di vista e la velocità radiale subirà periodiche variazioni. Poiché la velocità radiale può essere misurata tramite uno spettrometro, misurando l'effetto Doppler, le binarie scoperte con questo metodo vengono chiamate spettroscopiche. Molte di esse non possono essere risolte neppure dai più potenti telescopi oggi esistenti.In alcune binarie spettroscopiche sono visibili le linee spettrali di entrambe le stelle: esse sono chiamate binarie spettroscopiche a doppia riga (in inglese double-lined spectroscopic binaries, abbreviato con "SB2"). In altri sistemi, è possibile osservare lo spettro di una sola delle due stelle e il movimento delle linee spettrali alternativamente verso il rosso e verso il blu. Questi sistemi sono conosciuti come binarie spettroscopiche a riga singola (in inglese single-lined spectroscopic binaries, abbreviato con "SB1").

Esempio: HD171978Notare velocità peculiaredi circa 12 km/s

Altro esempio, k-Arietis nella costellazione dell'Ariete. Periodo di circa 15 giorni.Stelle dello stesso tipo ! Le righe spettrali si sovrappongono...

Hamal

K Arietis

Una binaria a eclisse è una stella binaria il cui piano orbitale è quasi parallelo alla linea di vista dell'osservatore sicché le due componenti si eclissano a vicenda. Nel caso in cui la binaria a eclissi sia anche spettroscopica e sia conosciuta la parallasse, lo studio delle caratteristiche delle due stelle è particolarmente facilitato.Algol («l’occhio del demonio») è l'esempio più noto di binaria a eclissi. Le binarie a eclissi sono variabili non perché la radiazione delle due componenti individuali cambi nel tempo, ma a causa delle reciproche eclissi. La curva di luce di una binaria a eclissi è caratterizzata da periodi in cui la radiazione è praticamente costante, alternati a periodi in cui si ha una caduta di intensità. Se una delle stelle è più grande dell'altra, la seconda sarà oscurata mediante una eclissi totale, mentre la prima mediante una eclissi anulare.

Binarie a Eclisse o Fotometriche

Binarie Astrometriche

Gli astronomi osservano spesso stelle che sembrano orbitare attorno a uno spazio vuoto. Le binarie astrometriche sono stelle relativamente vicine che sembrano oscillare intorno a un punto dello spazio, senza alcuna visibile compagna. La stessa matematica utilizzata per calcolare i parametri delle binarie visuali può essere applicata per inferire la massa di una compagna invisibile. Essa può essere così debole da risultare invisibile o essere resa tale dalla brillantezza della primaria, oppure può essere un oggetto che emette poca o nessuna radiazione, come ad esempio una stella di neutroni.La posizione della stella visibile può essere misurata con accuratezza e si può scoprire che essa varia a causa dell'attrazione gravitazionale di una compagna non visibile: in particolare, in seguito a ripetute misurazioni della posizione della stella rispetto alle stelle più lontane, si può rilevare che la stella visibile segue nel cielo un percorso sinusoidale. Queste misurazioni sono possibili solo sulle stelle più vicine, entro il raggio di 10 parsec, che presentano un elevato moto proprio. La massa della compagna invisibile può essere dedotta dalla precisa misura astrometrica del movimento della stella visibile per un periodo di tempo sufficientemente lungo. Anche se la compagna è invisibile, infatti, le caratteristiche del sistema possono essere determinate utilizzando le leggi di Keplero.

Riassunto

• Binarie Visuali

• Binarie Spettroscopiche

• Binarie ad eclissi o fotometriche

• Binarie astrometriche

Metà di tutte le stelle osservate sono binarie.

E’ un fenomeno comune.

I Sistemi Binari si suddividono in

Determinazione delle masse da binarie visuali

Se ci mettiamo nel sistema di riferimento del centrodi massa abbiamo:

Per cui:

Dove a2 ed a1 sono i due semiassi maggioriDelle due ellissi descritte dalle due stelle. Se il moto delle stelle e’ su di un piano perpendicolare alla linea di vista abbiamo:

dato che e

Alcune chiarimenti

Nelle prime lezioni abbiamo dimostrato cheil problema del moto di due corpi e’ risolvibilecome il problema del moto di un corpo solo con massa ridotta m orbitante attorno al centro di massa.Abbiamo visto che tale moto e’ un ellisse.Anche i moti delle due stelle saranno quindidelle ellissi e il punto di massa ridotta, ledue stelle e l’origine saranno sempre allineatitra loro. Inoltre si ha:

Da cui segue che il rapporto dei semiassi maggiori delle due orbite e’ pari all’inversodel rapporto delle rispettive masse e che inoltre a1+a2=a

Senza conoscere la distanza dell’oggetto e’ possibile quindi risalire al rapportodelle masse. Se si conosce la distanza, si possono ricavare i valori dei due semiassimaggiori delle due orbite. Considerando il moto della massa ridotta quando abbiamo derivato le leggidi Keplero abbiamo visto che:

dove a e’ il semiasse maggiore dell’orbita della massa ridotta.Dato che, come visto: e dunque conoscendo la distanza ed il rapporto delle masse, grazie alla Legge di Keplero possiamo conoscere la massa totale equindi le masse delle singole stelle.

Per misurare le masse si usa la III legge di Keplero

Alcuni chiarimenti

L’angolo i e’ l’angolo tra la normale al piano di rotazione delle binarie e la direzione di vista. i=0 gradi vuol dire che vediamo il piano orbitale davanti a noi (ottimo per le binarie visuali)i=90 gradi vuol dire che vediamo il piano orbitale di taglio (ottimo per spettroscopiche e fotometriche).

Le cose si complicano se il piano orbitale non e’ ortogonale alla linea di vista ma inclinatodi un angolo i. In questo caso gli angoli che sottendono i semiassi maggiori orbitali saranno e ma il loro rapporto sara’ sempre uguale al rapporto delle masseperche’ :

ma questo non e’ valido per la legge di Keplero che fornisce:

Con . E’ necessario conoscere l’angolo i. Possibile con misure accurate dei fuochi.

Variabili Spettroscopiche

Nelle variabili spettroscopiche le stelle non vengono risolte ma si vedono solole righe di assorbimento di due stelle. Il redshift ed il blushift delle righe ci forniscono levelocita’ delle due stelle lungo la linea di vista. Gli effetti di proiezione saranno tali pero’ che: e dove i e’ l’angolo tra la linea di vista e la perpendicolare al piano orbitale.Nella figura si mostrano due stelle in orbita circolare su di un piano tangenziale alla lineadi vista (i=90° ). La velocita’ spettroscopica in funzione del tempo si mostra come duesinusoidi intorno alla velocita’ del centro di massa.

Variabili Spettroscopiche

Nel caso in cui l’orbita non sia circolare ma vi sia una eccentricita’ le curve di velocita’appariranno deformate.

Variabili SpettroscopicheConsideriamo il caso in cui le orbite siano a piccola eccentricita’, praticamentecircolari. Si ha:

quindi facendo il rapporto e ricordando la relazione precedente tra masse e semi-assimaggiori:

anche questo indipendente dall’angolo di inclinazione dell’orbita perche’:

La somma delle masse dipende pero’ dall’angolo dato che:

E usando la III legge:

Variabili SpettroscopicheQuesto nel caso in cui si possano misurare entrambe le righe delle due stelle.Spesso pero’ una delle due stelle e’ talmente piu’ brillante dell’altra che si possonomisurare le righe di una sola stella (sistema a singola riga). In questo caso:

usando

Da cui, riarrangiando i termini:

Il termine a sinistra si chiama funzione di massa e si ottiene dalle due quantita’ misurabili:periodo e velocita’ radiale di una sola delle due stelle.La funzione di massa e’ sempre minore di m2. Il termine a destra rappresenta quindi unlimite inferiore alla massa della stella di cui non si vedono le righe.

Nel caso in cui si vedano entrambe le righe ancora non si conosce l’angolo i.In generale si stima un valore medio per sin^3 i pari a 2/3.

Relazione Massa-Luminosita’

Le masse stellari misurate neisistemi binari variano nell’intervallo0.1 masse solari → 60 masse solari

Si trova che le stelle di sequenza Principale (le più comuni vedremoUna definizione più avanti)seguono una relazione ben definitatra Massa e Luminosità:

L M^3.5 (L in unità di luminosità≃solari, M in masse solari)

Le stelle non di sequenza principale(p.e. le nane bianche..vedremo) non seguonoquesta relazione.

Binarie a Eclisse per stima del raggio e del rapporto tra le temperature

Se osserviamo una binaria ad eclissi (una delle stelle transita davanti all’altra) alloraIl piano di rotazione deve essere quasi tangenziale alla linea di vista (i=90°). In questi casiquindi abbiamo una naturale determinazione di i (anche se fosse di 75° avremmo solo un Errore del 10% nelle formule precedenti).

Binarie a Eclisse per stima del raggio e del rapporto tra le temperature

La determinazione dell’angolosi puo’ anche migliorare guardando alle curve di luce.Un minimo «non continuo»Significa che vi e’ una eclissiparziale e che quindi non e’esattamente 90° .

Binarie a Eclisse per stima del raggio e del rapporto tra le temperature

Si possono inoltre determinarei raggi delle due stelle nelcaso i molto prossimo a 90° Definendo la velocita’ relativadi rotazione :

Si ha per la stella piu’ piccola:

Mentre per la stella piu’ grande:

Binarie a Eclisse per stima del raggio e del rapporto tra le temperature

Quando la stella piu’ piccola passaDietro la stella piu’ grande allora siHa una diminuzione maggiore.Ricordando che:

Il flusso quando sono entrambe visibili sara’

Quando la piu’ piccola passa dietro invece:

E quando passa davanti (k e’ una costante):

Binarie a Eclisse per stima del raggio e del rapporto tra le temperature

Si ha quindi:

vale a dire che dal rapporto tra i minimi Possiamo risalire al rapporto tra le temperature.

Binarie Visuali:Per vederle le due stelle devono essere distanti tra loro per essere individuate. Periodi lunghi quindi orbite grandi. La massa si misura da misure del periodo edelle due massime estensioni angolari rispetto al centro di massa.E’ necessario quindi conoscere anche la distanza delle stelle da noi. Un errore del 10% nella distanza porta ad un errore del 30% nelle masse. E’ necessario conoscere l’angolo di inclinazione i che puo’ essere determinato misurando la proiezione dei fuochi.

Binarie Spettroscopiche:Si vedono variazioni nello spettro. Periodi corti. Le stelle sono vicine tra loro.Le masse si misurano a partire da misure di velocità e di periodo.E’ necessario conoscere l’angolo di inclinazione. Le binarie spettroscopichesono le più facili da vedere.

Binarie ad Eclissi:Le stelle sono molto vicine (cambiamento di magnitudine in pochi giorni) ele eclissi sono piu’ statisticamente probabili piu’ le stelle sono vicine.Periodi piccoli quindi orbite piccole. Se si conosce la velocità relativa tramite misureDoppler abbiamo i raggi delle stelle. L’angolo di inclinazione i e’ prossimo a 90° .

Caratteristiche delle Binarie