AstronomiaLezione 31/10/2014

Docente: Alessandro Melchiorrie.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it

Slides delle lezioni:oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Qui le stelle seguono un corpo nero in modoquasi perfetto

Qui noc’e’ assorbimentoda parte dell’atmosferastellare

Diagramma HR

Lo spettro di una stella e le righe ci permettono di porla sul diagramma HR.

Classificazione spettrale delle stelleClassificazione di Harvard

Quindi, riassumendo le stelle possono essere classificate in base alle loro righe di assorbimento.Queste righe, come vedremo, dipendono per lo più dalla temperatura superficiale della stella e non dalla abbondanza dell’elemento. Quindi la classificazione spettrale e’ essenzialmente una classificazione in base alla temperatura dell’atmosfera stellare.

Notiamo che la misura delle righe fornisce un metodo alternativo a quello del corpo nero allamisura della temperatura superficiale stellare. E’ anche maggiormente usato perché piùaccurato (molte stelle sono solo approssimativamente corpi neri).

Classi di Luminosità

La classe si basa sull'allargamento di rigadovuto alla pressione dell'atmosfera stellare.Allargamento maggiore, pressione maggiore,densità maggiore, raggio della stella minore.A parità di temperatura classe di luminositàpiù piccola vuol dire luminosità maggiore.

Parallasse Spettroscopica

Con il diagrammaHR possiamodeterminare ladistanza di una stellaConoscendo lasua magnitudineapparente !

Altri spettri: notare come il picco di corpo nero si sposti verso frequenze minori diminuendo La classe. Le righe dell’idrogeno della serie di Balmer (656.2 nm, 486.1 nm, 434.0 nm, 410.2 nm)incrementano da O a A e poi decrescono. Gli spettri per ultimi tipi (K) hanno righe un po’Dovunque caratteristiche della presenza di molecole.

Perche’ ho questa variazione nelle righe ? Non dipende da una diversa composizione dellestelle perche’ queste hanno piu’ o meno le stesse quantita’ di elementi (chiaramenteIn prima approssimazione).

Spiegazione fisica dell’andamento delle righe

Per farlo e’ necessario ricorrere alla meccanica statistica. Vale a dire non possiamo seguire l’andamento di ciascuna particella di un gas ma possiamo determinare alcuneproprieta’ del gas nel suo insieme come pressione, densita’ e temperatura.Dato un gas in equilibrio termico si ha la distribuzione di velocita’ di Maxwell-Boltzmann chefornisce la densita’ di particelle per unita’ di volume aventi velocita’ nell’intervallov e v+dv per un gas di particelle di massa m alla temperatura T:

Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

Ha un picco (velocita’ di massima probabilita’ vmp) per:

ma la distribuzione non e’ simmetrica Intorno a vmp e quindi ha una valore quadratico medio pari a:

Atomo di Bohr

Fin qui niente di strano ma Bohr quantizza il momento angolare:

riscrivendo la formula per l’energia:

Possiamo risolvere per il raggio orbitale che risulta anch’esso quantizzato:

Solo multipli del raggio di Bohr:

Ad ogni orbita corrisponde una energia:

Se un fotone viene assorbito questo corrisponde ad una transizione ad un’orbita maggiore.La conservazione dell’energia stabilisce che:

Atomo di Bohr

Eccitazione, Diseccitazione, Ionizzazione e Ricombinazione

Quando un elettrone salta da un livello a bassa energia ad uno ad energia piu’ elevata (da piccoli n a grandi n), l’atomo si dice essere eccitato ed il processo e’ chiamato eccitazione. Dell’energia deve essere ceduta all’atomo perche’ avvenga questo salto tra orbite. Vi sono due vie perche’ l’atomo venga eccitato:

1- Se l’atomo subisce una collisione questo puo’ causare che un elettrone salti da uno stato ad energia piu’ bassa ad uno ad energia piu’ alta. Questo processo e’ chiamato eccitazione collisionale.

2- Se un elettrone cattura un fotone di energia hn corrispondente alla differenza tra due livelli energetici e quindi salta da uno stato ad energia piu’ bassa ad uno ad energia piu’ alta. Questo processo e’ chiamato eccitazione radiativa.

Analogamente ci sono anche I due processi inversi di diseccitazione collisionale e diseccitazione radiativa. Nell’ultimo caso vi e’ una transizione spontanea, cioe’ senza intervento esterno.

Oltre a questi processi c’e’ la possibilita’ che l’elettrone salti completamente fuori dall’atomo (ionizzazione) o che un elettrone libero venga catturato in un livello energetico (ricombinazione).

Righe Spettrali: Serie di Balmer e IonizzazioneLa serie di Balmer e’ costituita da transizioni da/verso il livello n=2 dell’atomo di idrogeno neutro. Ci aspettiamo che le righe di Balmer nello spettro siano piu’ evidenti quando unagrande quantita’ di atomi hanno elettroni nel livello 2. Questo avviene se abbiamo unatemperatura elevata del gas. D’altra parte se la temperatura e’ troppo elevata l’atomo puo’rimanere ionizzato.Richiamiamo la seguente notazione di ionizzazione:

H I     = Idrogeno H II    = Idrogeno ionizzatoHe I   = Elio neutroHe II  = Elio ionizzato una volta He III = Elio ionizzato due volte.

Questi sono chiamati livelli di ionizzazione.

Per capire l’andamento della profondita’ delle righe in funzione della temperatura dobbiamorispondere alle seguenti domande:

- Come la popolazione dei livelli dipende da T ?

- Come la ionizzazione dipende da T ?

Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

Ha un picco (velocita’ di massima probabilita’ vmp) per:

ma la distribuzione non e’ simmetrica Intorno a vmp e quindi ha una valore quadratico medio pari a:

Equazione di BoltzmannQuando gli atomi collidono, I loro elettroni possono trasferirsi a livelli energetici piu’alti se gli atomi in collisione hanno sufficiente energia (eccitazione collisionale). L’elettrone puo’ anche essere completamene strappato (ionizzazione). Guardando al problema da un punto di vista statistico, la probabilita che un atomo siaIn uno stato energetico  sa e’ proporzionale a:

Mentre allo stesso modo la probabilita’ di uno stato sb:

Dove Ea ed Eb sono le energie degli stati (ad esempio E=-13.6 eV per il livello base dell’atomo di idrogeno). Il rapporto tra queste probabilita’ e’ dato da:

Equazione di Boltzmann

Il termine esponenziale e’ detto fattore di Boltzmann.

Ora supponiamo che Eb>Ea.

Per temperature molto basse (T che tende a zero) l’esponenziale tende a zero perche’l’esponente tende a meno infinito. Quindi gli stati ad energie superiori tendono ad essere meno popolati rispetto agli stati ad energie inferiori.

Per temperature molto alte abbiamo che la probabilita’ tende a 1. Quindi tutti gli stati sono ugualmente popolati.

Stati Quantistici e Degenerazioni

E’ importante pero’ notare che ad uno stessoLivello energetico possono corrispondere Piu’ stati quantistici. Ad esempio, nell’orbita fondamentale dell’atomodi idrogeno io posso avere due gradi di liberta’dovuti allo spin.Nel caso con n=2 io posso avere ancora piu’stati quantistici considerando il numero quantico orbitale l (che va da 0 a n-1), ilnumero quantico magnetico (che va da –l a l)e lo spin.Se non ci sono campi magnetici (non c’e’Effetto Zeeman) questi hanno tutti la stessaEnergia. Per l’atomo di idrogeno ho che perun valore di energia n ho 2n^2 stati con lastessa energia.

Equazione di BoltzmannDobbiamo quindi tener conto delle degenerazioni quando vogliamo sapere quando confrontiamo la probabilita di avere un certo livello energetico invece di uno statoquantistico. Quindi contiamo le degenerazioni in un numero g che conta i gradi di liberta’ :

Dato che il numero di atomi N ad un dato livello energetico e’ proporzionale alla probabilita’ abbiamo l’equazione di Boltzmann:

Enorme !!!!

Se usiamo questa formula pero’ sembra che il livello di Balmer e’ popolato pertemperature sempre piu’ elevate. Come mai non osserviamo pero’ le righe dell’idrogenonelle stelle piu’ calde di classe O ?Dobbiamo considerare anche la ionizzazione.

Per avere un elettrone nell’atomo di Idrogeno al livello 2 e necessaria una collisionecon almeno 10.2 eV di energia. D’altra parte, una volta che stiamo a livello 2, bastano3.4 eV di energia per rimuoverlo completamente dall’atomo. Quindi il primo statoeccitato e’ una posizione assai precaria per l’elettrone !Il vero numero di atomi a livello 2 sara’ quindi un bilancio tra le collisioni che eccitanol’atomo e le collisioni che lo ionizzano.

Equazione di Saha

Definiamo come ci il potenziale di ionizzazione per il livello i-simo. Questa e’ la quantita’di energia necessaria per rimuovere un elettrone dal suo stato fondamentale.Per lo stato H I, ad esempio, e’ 13.6 eV. Per lo stato He I e’ 24.6 ev, mentre per He IIe’ 54.4 eV . Possiamo assumere che il numero di atomi in un certo stato di ionizzazionerispetto ad un altro sia dato da:

Equazione di SahaDobbiamo pero’ tener conto che la ionizzazione puo’ avvenire a partire da diversilivelli energetici (non solo da quello fondamentale !).Si introduce quindi la funzione di partizione Z:

Tenendo conto di questo la formula corretta e’ l’equazione di Saha:

Esempio: calcolo per l’idrogenoFunzione di partizione:

Per l’idrogeno ionizzato H II (protone) si ha (nessuna degenerazione):

Si ha:

Se quindi consideriamo temperature intorno intorno ai 10000 K allora l’unicotermine che sopravvive nella somma ha n=1, dato che E2-E1=10.2 eV quindi:

1IIZ

1

/)1/1(6.132 2

2n

kTneVI enZ

2IZ

L’equazione di Saha:

Per l’idrogeno ionizzato diventa:

Esempio: calcolo per l’idrogeno

kT

eVe

e

kT

eVe

eI

II eh

kTm

P

kTe

h

kTm

nN

N 6.132/3

2

6.132/3

2

22

2

2

1/

/

III

III

III

II

Tot

II

NN

NN

NN

N

N

N

Esempio: calcolo per la serie di Balmer

Boltzmann:

Per l’idrogeno abbiamo tra n=2 e n=1:

kT

eVkTeV ee

N

N 2.10/14/16.13

2

2

1

2 412

22

12

12

21

22

/1

/

NN

NN

NN

N

N

N

Tot

Esempio: calcolo per la serie di Balmer

Per sapere quanti atomi di idrogeno ho in n=2 dovro’ considerare:

Boltzmann

Saha

III

I

Tot

I

ITot NN

N

NN

N

N

N

N

N

N

N

21

222

Esempio: stimare la profondita’ relativa delle righe nel Sole per l’Idrogeno e il Calcio

Temperatura e pressione elettronica nel Sole:

Con questi parametri si ha:

Vale a dire che tutto l’idrogeno e’ NEUTRO e che pochissimo idrogeno e’ eccitato an=2.

25.1

5777

m

NP

KT

e

e

Esempio: stimare la profondita’ relativa delle righe nel Sole per l’Idrogeno e il Calcio

Il Calcio ha una energia di ionizzazione di 6.11 eV. Questo cambia moltissimo le cosePerche’ a T=5777 K si ha (le funzioni di partizione sono tabulate):

Quindi tutto il Calcio e’ ionizzato. Consideriamo quanti sono al livello fondamentale,Che appunto produce le righe di assorbimento K e H del Ca II.Considerando solo la riga K a 393.3 nm (la trattazione per H a 396.8 nm e’ molto simile), si ha che il primo stato eccitato necessita di 3.12 eV.Si ha quindi:

Vale a dire buona parte del Ca II e’ allo stato fondamentale.

Esempio: stimare la profondita’ relativa delle righe nel Sole per l’Idrogeno e il Calcio

In pratica nella atmosfera del Sole tutto il calcio e’ ionizzato e si trova al livelloFondamentale. Quindi e’ tutto disponibile per assorbire le righe H e K.

Nell’atmosfera del Sole abbiamo 500.000 atomi di Idrogeno ogni singolo atomo di Calcio. Tuttavia le righe H e K del Calcio sono molto piu’ evidenti perche tutto l’Idrogeno e’ neutro nello stato fondamentale e quindi non assorbe come Balmer.

Altri spettri: notare come il picco di corpo nero si sposti verso frequenze minori diminuendo La classe. Le righe dell’idrogeno della serie di Balmer (656.2 nm, 486.1 nm, 434.0 nm, 410.2 nm)incrementano da O a A e poi decrescono. Gli spettri per ultimi tipi (K) hanno righe un po’Dovunque caratteristiche della presenza di molecole.