Upload
others
View
11
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Astronomija i astrofizika II
1
Projektni zadatak 1:PULSACIJE I ODREĐIVANJE
UDALJENOSTI
2
OPAŽANJA U ASTRONOMIJI
1. Opažanja u danom trenutku određivanje svojstava astronomskih objekata u danom trenutku Primjer: spektroskopija
- Detaljna i precizna opažanja s velikom rezolucijom zahtijevaju dugačka vremena integracije i dedicirane, složene i velike uređaje (npr. optički/infracrveni interferometri, aktivna/adaptivna optika velike rezolucije, mreža radio teleskopa: VLBI)
- Opažanja koja nastoje promotriti objekt sa što je više moguće detalja promjena svojstva objekta u vremenu nisu prioritet, već je prioritet detaljan opis objekta i fizikalnih procesa
3
OPAŽANJA U ASTRONOMIJI
1. Opažanja u vremenu određivanje promjene svojstava astronomskih objekata tijekom vremena Primjer: opažanje promjena sjaja ili površinske brzine zvijezde
- Opažanja koja nastoje istražiti objekt u vremenu i odrediti promjene njegovih svojstava
- Instrumenti koji omogućuju što je moguće više opažanja tijekom noći kratka opažanja, brzi teleskopi s velikim vidnim poljem (npr. teleskopi za velike preglede neba: SDSS, 2MASS, LSST... )
- Kratko vrijeme opažanja smanjuje broj objekata koji se mogu opažati, znatno manje detalja i niska rezolucija
4
OPAŽANJA U ASTRONOMIJI
- Omogućuje opažanje promjene svojstava u vremenu – znatna vremenska rezolucija
- Najčešće se opažaju sjaj objekta i površinske brzine:1. svjetlosne krivulje2. krivulje radijalnih brzina
Svjetlosne krivulje
- Ovisnost sjaja zvijezde opaženog u nekom fotometrijskom sustavu o vremenu
- Ključni instrument za izučavanje pulsacija zvijezda, ali i kod određivanja masa zvijezda, razvoja kataklizmičkih zvijezda (supernova), nova i bliskih dvojnih sustava, itd.
5
6
Svjetlosna krivulja Doradus
KAKO ODREDITI PERIODIČNOST U OPAŽANJIMA SJAJA (SVJETLOSNE
KRIVULJE)?
Analiza periodičnih vremenskih signala u fizici:- Vrlo čest slučaj u eksperimentalnoj fizici osnova
istraživanja svih pojava koje su vremenski ovisne
Vremenske signale možemo analizirati metodom Fourierove analize!
7
FOURIEROVA ANALIZA
Fourierov teoremSvaka kontinuirana (derivabilna) periodička funkcija može se prikazati kao (beskonačna) suma jednostavnih sinusnih funkcija (sinusa i kosinusa) Fourierov niz- Svaki član Fourierovog niza određen je koeficijentima an
i bn:
𝑓𝑁 𝑡 =𝑎02+
𝑛=1
𝑁
𝑎𝑛 cos2𝜋𝑛𝑡
𝑃+
𝑛=1
𝑁
𝑏𝑛 sin2𝜋𝑛𝑡
𝑃
- Funkcije sinus i kosinus čine potpuni ortogonalni skup
8
- Stvarna periodička funkcija 𝑓 𝑡 može se aproksimirati Fourierovim redom 𝑓𝑁 𝑡 ako broj članova reda teži beskonačnosti 𝑁 → ∞, a tada Fourierovi koeficijenti postaju:
𝑎0 =2
𝑃 0
𝑃
𝑓 𝑡 𝑑𝑥
𝑎𝑛 =2
𝑃 0
𝑃
𝑓 𝑡 cos2𝜋𝑛𝑡
𝑃𝑑𝑥
𝑏𝑛 =2
𝑃 0
𝑃
𝑓 𝑡 sin2𝜋𝑛𝑡
𝑃𝑑𝑥
n = 1, 2, 3, ...
- Problem Fourierove analize svodi se na problem određivanja Fourierovih koeficijenata
9
10
- Fourierov niz može se proširiti i na kompleksne koeficijente:
𝑓𝑁 𝑡 =
𝑛=−𝑁
𝑁
𝑐𝑛 𝑒𝑖2𝜋𝑛𝑡𝑃
- Kompleksni koeficijent cn povezan je sa Fourierovim koeficijentima an i bn :
𝑐𝑛 =
1
2𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 za 𝑛 > 0
1
2𝑎0 za 𝑛 = 0
1
2𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 za 𝑛 < 0
11
- Periodička kompleksna funkcija može se aproksimirati beskonačnim kompleksnim Fourierovim nizom u kojem je kompleksni koeficijent cn :
𝑐𝑛 =1
𝑃 0
𝑃
𝑓 𝑡 𝑒−𝑖2𝜋𝑛𝑡𝑃 𝑑𝑡
- Problem Fourierove analize svodi se na problem određivanja Fourierovih koeficijenata
12
http://bl.ocks.org/jinroh/7524988
Kako odrediti periodu (frekvenciju) poznavajući funkciju u vremenu?
FOURIEROV TRANSFORMAT
TRANSFORMAT transformacija (prijelaz) iz vremenske domene u domenu frekvencija
Transformacija periodičke funkcije kontinuirane realne varijable (vrijeme) 𝑓 𝑡 u kontinuiranu funkciju frekvencije 𝐹 𝜔 frekventna raspodjela ili 'power' spektar (spektar 'snage')
Fourierov transformat:
𝐹 𝜔 = ℱ 𝑓 𝑡 =1
2𝜋 −∞
+∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
Reverzni Fourierov transformat:
𝑓 𝑡 = ℱ−1 𝐹 𝜔 =1
2𝜋 −∞
+∞
𝐹 𝜔 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
13
- 1/ 2𝜋 potječe od zahtjeva za simetrijom prilikom
transformacija- Koja je povezanost Fourierovog niza i Fourierovog
transformata? pogledajmo funkciju koja je jednaka nuli izvan intervala [0, P] tada je koeficijent cn :
𝑐𝑛 =1
𝑃 0
𝑃
𝑓 𝑡 𝑒−𝑖𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡
- Usporedimo li to s Fourierovim transformatom dobijemo:
𝑐𝑛 =2𝜋
𝑃
1
2𝜋 0
𝑃
𝑓 𝑡 𝑒−𝑖𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑐𝑛 =2𝜋
𝑃ℱ 𝑓 𝑛𝑡 =
2𝜋
𝑃𝐹 𝑛𝜔
- Određivanje Fourierovog transformata ekvivalentno je određivanju koeficijenata Fourierovog niza
14
- Koeficijent cn možemo promatrati kao 'količinu' vala određene frekvencije prisutnog u Fourierovom nizu funkcije f
- Fourierov transformat možemo promatrati kao mjeru prisustva određene frekvencije u funkciji f (signalu) POWER SPECTRUM
15
16
17
Svjetlosna krivulja Doradus
18
Fourierov transformat (diskretni)
VREMENSKO DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT (DTFT)
- Mjerenja u astrofizici i fizici NISU KONTINUIRANA već DISKRETNA mjerenja se vrše uzastopno nakon konačnog vremenskog intervala 'sampling rate'
- Brzina uzorkovanja ('sampling rate') pokazuje koliko puta se izvrši mjerenje u nekoj jedinici vremena frekvencija mjerenja
- Primjer: 'sampling rate' od 50 Hz znači da se svake sekunde izvrši 50 mjerenja s uvijek istim vremenskim intervalom od 20 ms
- Analiza signala u fizici i astrofizici sa kontinuirane vremenske raspodjele potrebno je preći na diskretnu vremensku raspodjelu
19
Kontinuirani Fourierov transformat:
𝐹 𝜔 = ℱ 𝑓 𝑡 =1
2𝜋 −∞
+∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
- Prelazak s kontinuirane funkcije 𝑓 𝑡 na diskretnu funkciju 𝑥 𝑡𝑘 gdje je 𝑡𝑘 = 𝑘∆𝑡; 𝑘 = 0, 1, 2, … ,𝑁 − 1; dok je ∆𝑡vremenski interval između dva uzastopna mjerenja, frekvencija uzorkovanja (sampling rate) 𝑓𝑠 iznosi 𝑓𝑠 = 1/∆𝑡
𝑋1/𝑇 = ℱ𝑘 𝑥 𝑡𝑘 𝑘=0𝑘=𝑁−1 =
𝑘=0
𝑁−1
𝑥 𝑡𝑘 𝑒−𝑖2𝜋𝑡𝑘𝑃
- Vremensko diskretni Fourierov transformat je periodičan, s frekvencijom periodičnosti jednakoj frekvenciji uzorkovanja (sampling rate) 𝑓𝑠 nužno je odrediti DTFT samo za frekvencije do frekvencije 𝑓𝑠
20
- DTFT se određuje u frekventnom intervalu −𝑓𝑠
2,𝑓𝑠
2
- Nyquistova frekvencija je najveća frekvencija početnog signala 𝑥 𝑡𝑘 koju je moguće razlučiti s frekvencijom uzorkovanja 𝑓𝑠 potrebne su barem dvije točke da bi
razlučili frekvenciju, a najmanji razmak između dviju susjednih točaka je ∆𝑡:
𝑓𝑁𝑦𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡 =𝑓𝑠2
- Vremensko diskretni Fourierov transformat je periodičan, s frekvencijom periodičnosti jednakoj frekvenciji uzorkovanja (sampling rate) 𝑓𝑠 nužno je odrediti DTFT samo za frekvencije do frekvencije 𝑓𝑠
21
- Vremensko diskretni Fourierov transformat određuje frekventni spektar na kontinuiranim frekvencijama iz signala opaženog u diskretnim vremenskim trenucima
- Signal NE MORA BITI PERIODIČAN spektar signala je periodičan
- PERIODIČNI SIGNAL DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT
22
DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT (DFT)
PERIODIČNI SIGNAL:𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑁∆𝑡
gdje je N broj mjerenja u jednoj periodi, t je vremenski razmak između dva uzastopna mjerenja- Mjerenja su kontinuirana, vremenski diskretna i s uvijek
istim intervalom t- Perioda signala:
𝑃 = 𝑁∆𝑡- Frekvencije su također diskretne, s intervalom:
∆𝑓 =1
𝑁∆𝑡=𝑓𝑠𝑁
23
- Kako je ranije pokazano, dovoljno je računati za interval
frekvencija −𝑓𝑠
2,𝑓𝑠
2 diskretni spektar frekvencija:
𝑓𝑘 = 𝑘∆𝑓; 𝑘 = −𝑁
2+ 1,… , 0, … ,
𝑁
2- U praksi se koriste pozitivni indeksi:
𝑓𝑘 = 𝑘∆𝑓; 𝑘 = 0, 1, 2, … ,𝑁 − 1
DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT (DFT):
𝑋 𝑓𝑘 =
𝑗=0
𝑁−1
𝑥 𝑡𝑗 𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑘𝑡𝑗 𝑘 = 0, 1, 2, … ,𝑁 − 1
INVERZNI DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT (IDFT):
𝑥 𝑡𝑗 =
𝑗=0
𝑁−1
𝑋 𝑓𝑘 𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑘𝑡𝑗 𝑗 = 0, 1, 2,… , 𝑁 − 1
24
25
FAST FOURIER TRANSFORM (FFT)
- Metoda (numerički algoritam) za brzo računanje diskretnih Fourierovih transformata
- Metoda koja je danas u širokoj upotrebi:- Analiza i procesuiranje zvuka- Kompjuterska tomografija, medicina- Mjerenje i analiza vremenskih signala
- Računanje diskretnih Fourierovih transformata zahtjeva račun s N Fourierovih nizova (N frekvencija) sa N članova u svakom nizu ukupno 𝑁2 članova
- FFT drastično smanjuje broj operacija sa 𝑁2 na 𝑁 log2𝑁 povećanje brzine za 5 milijuna puta za 100 milijuna mjerenja
26
SIGSPEC (SIGNIFICANT SPECTRUM)
P. Reegen (2007). "SigSpec - I. Frequency- and phase-resolved significance in Fourier space". Astronomy and Astrophysics. 467: 1353–1371. arXiv:physics/0703160
http://homepage.univie.ac.at/peter.reegen/samples.html
- Metodama Fourierove analize možemo odrediti prisustvo frekvencija u izmjerenom signalu, no broj tih frekvencija može biti vrlo velik
Problem: Koje su od tih frekvencija značajne?
27
SigSpec je statistička metoda za procjenu pouzdanosti periodičnosti i značaja (signifikantnosti) dobivenih perioda (frekvencija) određenih nekom drugom metodom poput diskretnih Fourierovih transformata
- Procjena pouzdanosti postojanja periodičnosti u vremenskom signalu sa šumom
- Vremenski signal ne mora biti ekvidistantan u vremenu ključno u astronomskim opažanjima i u svjetlosnim krivuljama gdje su intervali između opažanja neravnomjerni
- Temelji se na amplitudnom spektru dobivenom DFT metodom
- Svakoj vrijednosti u amplitudnom spektru (power spektar) dodjeljuje statistički značaj (signifikantnost) - sig
28
Amplitudni spektar iz DFT analize diskretni Fourierov transformat opažanja 𝑥 𝑡𝑖 u vremenu 𝑡𝑖 kako bi dobili amplitude 𝑋 𝜔𝑖 u spektru s frekvencijom 𝜔𝑖 za N opažanja, 𝑖 = 1,2,… , 𝑁:
𝑡𝑖 , 𝑥 𝑡𝑖 → 𝜔𝑖 , 𝑋 𝜔𝑖
Spektralna signifikantnost je logaritamska mjera vjerojatnosti da je periodičnost 𝝎𝒊 dobivena DFT metodom s pripadnom amplitudom 𝑋 𝜔𝑖 SLUČAJNA
-. SigSpec je proširenje Lomb-Scargle periodograma
29
Funkcija gustoće vjerojatnosti neke nasumične varijable u nekom uzorku u statistici se definira kao relativna vjerojatnost da je vrijednost te nasumične varijable jednaka uzorku (procjena vjerojatnosti da je neka izmjerena veličina nasumična i uzrokovana šumom)
Gustoća vjerojatnosti amplitude X dobivene DFT metodom:
𝜙 𝑋 =𝑁𝑋 ∙ sock
2 𝑥2𝑒−𝑁𝑋2∙sock4 𝑥2
Sock funkcija:
𝑠𝑜𝑐𝑘 𝜔, 𝜃 = cos2𝜃 − 𝜃0
𝛼02 + sin
2𝜃 − 𝜃0
𝛽02
𝑥2 je varijanca uzorka
30
Sock funkcija i gustoća vjerojatnosti opisane su parametrima 𝛼0, 𝛽0 i 𝜃0 koji određuju profil sampliranja:
tan 2𝜃0 =𝑁 𝑖 sin 2𝜔𝑡𝑖 − 2 𝑖 cos𝜔𝑡𝑖 𝑖 sin𝜔𝑡𝑖
𝑁 𝑖 cos 2𝜔𝑡𝑖 − 𝑖 cos𝜔𝑡𝑖2+ 𝑖 sin𝜔𝑡𝑖
2
𝛼02 =2
𝑁2𝑁
𝑖
cos2 𝜔𝑡𝑖 − 𝜃0 −
𝑖
cos 𝜔𝑡𝑖 − 𝜃0
2
𝛽02 =2
𝑁2𝑁
𝑖
sin2 𝜔𝑡𝑖 − 𝜃0 −
𝑖
sin 𝜔𝑡𝑖 − 𝜃0
2
SigSpec se svodi na analizu funkcije gustoće vjerojatnosti amplitude iz DFT metode
31
False-alarm vjerojatnost za danu amplitudu X: Φ𝐹𝐴 𝑋
- Integracija funkcije gustoće vjerojatnosti daje vjerojatnost da šum u vremenskoj domeni pri frekvenciji 𝜔 daje amplitudu veću ili jednaku amplitudi uzorka X dobivenoj iz DFT-a:
Φ𝐹𝐴 𝑋 = 𝑒−𝑁𝑋2∙sock4 𝑥2
Spektralna signifikantnost amplitude X i frekvencije je logaritam false-alarm vjerojatnosti:
sig 𝑋 = − log Φ𝐹𝐴 𝑋
32
sig 𝑋 = 5 opažena amplituda u prostoru frekvencija 𝜔, 𝐴 je nasumična i uzrokovana šumom u jednom od 105
slučajeva
- Broj nasumičnih nizova koje treba opažati da bi amplituda bila veća ili jednaka A za danu frekvenciju i uzrokovana šumom
Numerički proces:1. DFT metoda2. Izračun signifikantnog spektra3. Prilagodba sinusoida metodom najmanjih kvadrata sa
svim signifikantnim komponentama4. Otklanjanje signifikantnih komponenata i iteracija kako bi
se detektirale druge moguće komponente
33
Vjerojatnost cijelog niza frekvencija sa signifikantnom vrijednošću (K frekvencija) kumulativna signifikantnost: ukupna vjerojatnost da su sve komponente stvarne:
1 − Φ𝐹𝐴 =
𝑛=1
𝐾
1 − Φ𝐹𝐴𝑛
csig 𝑋𝐾 = − log 1 − Φ𝐹𝐴
Aliasing periodičke praznine u nizu mjerenja u vremenu- Vrh u spektru amplituda posjeduje vrhove sa strane- Umjesto jednog vrha, radi se kombinacija sa svim
mogućim vrhovima dok se ne dostigne minimum odstupanja anti-aliasing
34
35
V fotometrija realne zvijezde opterećena sinusoidalnim šumom
36
Spektralna signifikantnost i amplitudni spektar
37
DoradusP = 9.849 danaf = 0.1015 dan-1
38
DoradusP = 4.924 danaf = 0.2031 dan-1 (prvi viši harmonik)
39
DoradusP = 3.283 danaf = 0.3046 dan-1 (drugi viši harmonik)