Asymptotische Gleichverteilung und zentraler Grenzwertsatz

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  • Math. Nachr. 127 (1986) 181-192

    Asymptotische Gleichverteilung und zentraler Grenzwertsatz

    Von HOEST HERRMANN in Halle

    (Eingegangen am 24.10.1984)

    0. Sei ( Yfl)n=,,3,,,. eine Folge k-dimensionaler zufalliger Vektoren mit E( Y,) = = 0, E( I Y,p) -=a, E( YflJ: - 00 (i= 1, 2, ..., k) und Determinante der Kovarianz- matrix jE( YniYghj)l =-0. Wir setzen voraus, daB die Verteilungsgesetze von

    n -- ( E ( y; , 1 ) - l l2

    Y.io - . . O ) a n ( E ( Y:k))- i /z

    fur n -.a schwach gegen eine nichtausgeartete Noriiialverteilung 7 mit Erwar- tungswertvektor 0 und einer Kovarianzmatrix Q konvergieren.

    Es sol1 geyruft werden, ob sich diese Konvergenzaussage verscharfen laBt, wenn zusatzliche Eigenschaften von ( Y,), = i,2,... , nainlich asymptotische Gleich- verteilungseigenschaften der Folge

    (P Y J n =1,2, ... ? wie sie in 151 als schwache asymptotische Gleichverteilung bzw. asymptotische Gleichverteilung definiert sind, vorliegen. Obersichtliche Verhiiltnisse in Spezial- fallen sind Motivation fur diese allgemeine Fragestellung : 1st etwa fur jedea n der zufallige Vektor Yfl Sunime von unabhiingigen identisch verteilten zufalligen Vektoren XI, S,, ..., S,, so ist die schwache asymptotische Gleichverteilung der Folge

    ( G n ) n = , , 2 ,...

    aquivalent niit der Nichtgitterformigkeit von PX1 (9. [ 5 ] ) , einer die -4nnaherung von PYfl an y begunstigenden Eigenschaft.

    Als Verscharfungen der schwachen Konvergenz von Ppn fur n-a gegen y wahlen wir der asyniptotischen Gleichverteilung bzw. der schwachen asympto- tischen Gleichverteilung angepaBte Begriffe, die Konvergenz von Ppn fur n + 00 in Variation gegen y bzw. eine zwischen schwacher und Variationskonvergenz liegende Konvergenz von Ppfl fur n --)OD ,,mit Gliittung in Variation" gegen y.

    In Abschnitt 1 werden die erforderlichen Begriffe bereitgestellt und disku- tiert. In Abschnitt 2 geben wir eine mit charakteristischen Funktionen formulierte hinreichende Bedingung dafur an, daB mit der schwachen Konvergenz auch die

  • 182 Math. Xachr. 1% (1986)

    Konvergenz mit Glattung in Variation der Folge

    (PlT,), = l J , ...

    gegen y vorliegt. Abschnitt 3 behandelt den Spezialfall, daB die Y , (n=l , 2, ...) Summe von

    unabhangigen (nicht notwendig identisch verteilten) zufalligen Vektoren Xi, X 2 , ..., X,, sind. Unter einer gewissen Beschrankungsbedingung fur die Folge (X,)n31,2,... kann gezeigt werden, daB schwache Konvergenz von Ppf l fur n --COO gegen y und (schwache) asymptotische Gleichverteilung von

    (PP,), = I A..

    einerseits aquivalent der Konvergenz von Pp, fur n-+- (mit Glattung) in Va- riation gegen y andererseits sind. Der Beweis dieses wichtigsten Resultates der Arbeit stutzt sich wesentlich auf ein Ergebnis aus [6].

    AbschlieBend weisen wir in Abschnitt 4 durch ein Beispiel den sich bereits in Abschnitt 1 andeutenden Sachverhalt nach, daB im allgemeinen aus der schwachen Konvergenz von PFn fur n -*m gegen y und der (schwachen) asymptotischen Gleichverteilung von

    (PI~,)n=, ,? , . . .

    nicht die Konvergenz von PF,, fur n -+OO (mit Gliittung) in Variation gegen y folgt. 1. A sei das LEBESGUE-Md auf [RE, mk]. Fur eine endliche a-additive Mengenfunktion w auf [Rk, Bk] bedeute ljcoll ihre

    Totalvariation und ~~o& die folgendermaaen definierte Norm :

    I l~ l lh=suP I J f ( 4 &4l J f

    wobei das Supremum uber alle LIPscHITzfunktionen f auf Rk mit

    zu erstrecken ist (8. [ 11).

    heiBt asymptotisch gleichverteilt, wenn fur jedes a E RE Eine Folge von auf [Rk, 58'1 definierten WahrscheinlichkeitsmaBen (v,Jfl

    llvn -6, :% vflll 2 0 gilt. ( v , , ) ~ = ~ , ~ , . . . ist schwach asymptotisch gleichverteilt, wenn fur jedes a E Rk und fur jedes bezuglich I absolut stetige Verteilungsgesetz cr

    I l u * v f l - - 8 , * u a v f l , , I I ~ 0

    llvn - 8, * %llE n-& 0 gilt oder, was d a m aquivalent ist,

  • Herrmann, Asyrnptotische Gleiohverteilung 183

    fur jedes u E RE erfullt ist. Diese beiden asymptotischen Gleichverteilungs- begriffe sind ausfuhrlich in [53 und [ 3 ] behandelt.

    Sei Rt e { a = [ a i . ..., ak] RE: ai=-O, ..., a,=-O).

    Die Folge ( V J , ~ = ,,?,... nennen wir schwach usymptotisch gleichverteilt mod a fur ulle a Rk,, wenn fur jedes a = [ a , , ..., uk] R: die durch die kanonische Abbildung des Rk auf [0, a, ) x ... x[O, aE) aus den yn entstehenden MaBe fur n -00 schwach gegen die Gleichverteilung auf [ 0 , a,) x ... x [0 , aE) konvergieren. Bezeichnet vn die charakteristische Funktion des W'ahrscheinlichkeitsmaBes Y, ( n = 1 , 2 , ...), so ist ( i~~ )~=~ ,~ , . , . genau dann schwach asymptotisch gleichverteilt mod a fur alle a Rk,, wenn fur alle t E RE, t =t= 0 ,

    lim pl,(t) = 0

    gilt. (Siehe dazu [5], [6] und [4].) ( Yn)n sei eine Folge k-dimensionaler zufalliger Vektoren. P,,, das Ver-

    teilungsgesetz von Y9L, bezeichnen wir niit ,u9z ( n = 1 , 2 , ...). In Komponenten- schreibweise sei Yn der Zeilenvektor [ Ynl, ..., YnE] der reellen ZufallsgroBen ITnz ( i = 1, 2 , ..., Ic). \Yir setzen voraus, daB E( Y,)=O, E(I Y,12)

  • 184 Math. Nachr. 1?7 (1986)

    gilt. Die Folge ( Yn)n=1,2,.,. hat die Eigenschaft (G), wenn fur jedes Wahrscheinlich- keitsmaB u, a 4 ,

    Ilb 1: p,J o w -711 n-- 0 erfullt ist.

    Es ist klar, daB ( V ) eine stiirkere Eigenschaft als (8) und daB (G) nicht stiirker als ( V ) und nicht schwiicher als (S) ist; tatsikhlich liegt (G) zwischen (8) und ( V ) , ohne mit einer dieser beiden Eigenschaften identjsch zu sein (wie etwa Folgerung 3.3 zeigen wird).

    Eine Folge von WahrscheinlichkeitsmaSen (YJ, =i,2,... heil3t asymptotisch gleichgradig stetig, falls zu jedem E > O ein 6 > 0 und eine naturliche Zahl no derart existieren, dal3

    llYn -6, :3 Ynll S &

    fur alle z~ Rk mit 1x1 513 und alle n zn0 gilt. Wir setzen (8) voraus. Dann gilt genau dann ( V ) , menn die Folge

    (pn OD;'), =I,*, ...

    ((6 * p n ) O ~ ; ' ) n = , , 2 , . . .

    asymptotisch gleichgradig stetig ist, und genau dann (G), wenn fur jedes Ver- teilungsgesetz u, octl, die Folge

    asyinptotisch gleichgradig stetig ist (a. etwa [ 3 ] , 1.13.). Dieser Sachverhalt kann auch so formuliert werden.

    1.3. Es gelte (8). Dann ist ( V ) (bzw. (G)) iiquivalent der folgenden Eigenschaft. Fur jedes E=-O existieren ein 6>0 und eine naturliche Zahl no, so daI3 fur alle X E Rk mit 1x1 5 6 und alle n zno

    l/pn-6 - 1 :b pnl15=E (ZDn 1

    (bzw. llu 2% pn-6 (zD, ,) ::: o ::: p,lJ s E )

    gilt. Nach 1.3 fuhren (8) und die asymptotische Gleichverteilung bzw. die schwache

    asymptotjsche Gleichverteilung nicht ohne weiteres zu ( V ) bzw. (G). Die geforder- ten Bedingungen sind erfiillt, wenn gewisse von den 2. Momenten der Yni (j = = 1 , 2 , ..., k ) abhangende Konvergenzgeschwindigkeiten fur die asymptotische bzw. die schwache asymptotische Gleichverteilung vorliegen.

    2. (Yn)n=,,2,., , sei eine Folge zufiilliger Vektoren mit den im Abschnitt 1. angegebenen Momentvoraussetzungen. qn(t), t C Rk, sei die charakteristische Funktion von Y, (n= 1, 2 , ...).

    2.1. Far jeden Vektor [-If, ..., J1] Rk rnit 41 w 0 sollen eine A-integrierbare Funktion q(')(t) und eine natarliche Zahl n, existieren, so dap

    Iqn(tQl)I W f ) ( t )

  • Herrmann, Asymptotische Gleichverteilung 185

    f f i r alle t [ - Manl, J&J,,] x ... X[ -.Maflk, Mank] und alle n znAv erftillt ist. Dann sind die Eigenschaften ( S ) und (G) Wuivalent.

    (Man beachte, daB nicht die Integrierbarkeit der charakteristischen Funktion von r,, sondern in einem mit n unbeschriinkt wachsendem Gebiet ihre betrags- maI3ige Abschatzung durch eine integrierbare Funktion gefordert wird.)

    Beweis. Es ist zu zeigen, dal3 aus (S) die Eigenschaft (G) folgt. Sei ohne Beschriinkung der Allgemeinheit ~ ' ~ ' ( t ) s 1.

    Die Menge der Verteilungsgesetze 0, oeA, deren charakteristische Funktionen kompakte Triiger besitzen, liegt bezuglich des Variationsabsta.ndes dicht in der Menge aller absolut stetigen Wahrscheinlichkeitsmafle.

    k (Beweis. p l ( t ) = ng(ti) mit

    i =I

    ist charakteristische Funktion mit den1 Trager [ - 1 , 13 X ... X [ - 1, 13. Der zu- fallige Vektor 11 habe die charakteristische Funktion pl. Dann hat der zufallige

    Vektor - 7 ( n = l , 3 , ...) eine charakteristische Funktion mit dem Trager

    [ - n , n ) x ... x [ - n , n ] und

    1

    n

    P, -)&. ;"--

    Demzufolge gilt fur jedes 0, a&,

    Es ist deshalb ausreichend,

    ll(a * p,)oD,I-yIl z o fur alle WahrscheinlichkeitsmaBe a, u

  • 186 Math. Karhr. 127 (19%)

    Sei E > O . Dann existiert ein T>O, so daB fur alle x, ye R und alle naturlichen Zahlen n znAI

    ist. Das letzte Integral ist beliebig klein, wenn nur (x-yI hinreichend klein ist. Die Funktionenfolge (f,), ist also gleichgradig stetig. (8) und die gleich- gradige Stetigkeit von (f,),=,,%,... haben aber zur Folge, daB

    ((d Q /In) oD11)n=i,2 ,... asymptotisch gleichgradig stetig ist. Damit ist mit [3], 1.13. der Beweis beendet.

    sei eine Folge reeller ZufallsgroBen, das Verteilungs-

    Wir geben noch ein einfaches Beispiel fur die Anwendung von 2.1 an.

    2.2. Beispiel. ( Y,), gesetz von Y, sei

    - init xj=-O, x. I -0 j-- und

    mit 2.1., daB diese Polge auch die Eigenschaft (G) besitzt.

    \Veiter gibt es eine naturliche Zahl nJI>jH, so daB

    x: =-. Bekanntlichgilt fur diese Folge (8). Wir zeigen j=l

    Sei M>O. Es gibt eine natiirliche Zahl j,, so daB M * xj 5 1 fur alle j zjaI ist.

    4 ist. Fur nsn,, und t [ --Mfk&;, M l / i x : ] gilt dann mit c = ~ . ) die fol-

    i =I i = I gende Ungleichungs