ATIA Abdelmalek

Simulation Numrique des Ecoulements Multiphasiques par une Approche Msoscopique

Base sur des Mthodes sans Maillages

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MHAMED BOUGARA BOUMERDES

Facult des Sciences de lIngnieur

Dpartement Gnie Mcanique

GROUPE MODELISATION EN MECANIQUE

MEMOIRE

Prsent par

M. ATIA Abdelmalek

En vue de lobtention du diplme de

MAGISTER en GENIE MECANIQUE

OPTION : MODELISATION ET SIMULATION EN MECANIQUE

Soutenu le 27/01/2010 devant le jury suivant :

Pr. Slimane AISSANI Professeur UMBB Prsident

Dr. Aomar AIT AIDER Matre de Confrences UMMTO Examinateur

Dr. Idir BELAIDI Matre de Confrences UMBB Examinateur

Dr. Kacem MANSOURI Matre de Confrences UMBB Examinateur

Dr. Kamal MOHAMMEDI Matre de Confrences UMBB Rapporteur

Anne universitaire 2009/2010

Rsum : depuis de nombreuses annes, les mthodes des lments finis, des diffrences finies ou des volumes finis se sont imposes pour la rsolution des

quations aux drives partielles dcrivant les systmes physiques et mcaniques.

Cependant, ces techniques souffrent de limitations pour certaines classes de problmes.

Ces inconvnients ont entran le dveloppement, depuis une dizaine dannes, dune

nouvelle classe de mthodes appeles mthodes sans maillage. Au lieu de travailler sur

un maillage et une connectivit, les mthodes meshless utilisent un ensemble discret

de points plus ou moins alatoirement distribus dans le domaine et sur sa frontire.

Lobjectif du travail consiste en la simulation dun coulement multiphasique laide

de la mthode Lattice Boltzmann. Le code dvelopp qui sappuie sur un code source

ouvert, a permis de simuler lcoulement dans un milieu poreux.

Mots cls : simulation numrique ; mthodes sans maillage ; msoscopique ; LBM ;

multiphasique.

Abstract: since many years, the finite element method, the finite differences method or finite volumes method were imposed for the resolution of the partial derivative

equations describing the physical and mechanical systems. However, these techniques

suffer from limitations for certain classes of problems. These disadvantages brought the

development, in recent years, new numerical techniques, have been developed. These

methods, coined as mesh free methods. Instead of working on a grid and connectivity,

the meshfree methods use a set of discrete points distributed more or less aleatory in

the field and on its boundary. The aim of this work consists of the simulation of a

multiphase flow using a mesh less method by using an existing open code source

which will be developed and adapted to the needs for the considered case.

Key words: numerical simulation; mesh free methods; mesoscopic, LBM,

multiphase.

:

.

.

.meshless

,

.

.

: ; ; .

Remerciements

Tout dabord, je tiens exprimer mes vifs remerciements et ma gratitude au

Dr. Kamal MOHAMMEDI, matre de confrence lUniversit de Mhamed

Bougara Boumerdes, qui ma fait lhonneur dtre rapporteur de ce mmoire. Je le

remercie pour la patience dont il a fait preuve lors de ses relectures mais galement

pour les diffrentes discussions fructueuses que nous avons pu tenir ensemble et

les lectures attentives lors diffrentes tapes de la ralisation de ce travail.

Je tiens remercier tout particulirement le Dr. Idir BELAIDI, matre de

confrence lUniversit MHamed Bougara Boumerds, et membre du Groupe de

Recherche modlisation en mcanique, Je tiens le remercier pour ses nombreux

conseils et pour lacuit scientifique quil a mise en uvre lors de nos discussions.

Je remercie vivement le Pr. Slimane AISSANI (UMBB) pour avoir bien

accept de prsider ce jury.

Je remercie Dr. Aomar AIT AIDER (UMMTO), Dr. Idir BELAIDI (UMBB),

Dr. Kacem MANSOURI (UMBB), pour avoir bien voulu examiner ce mmoire et

faire partie du jury de soutenance. Quils trouvent ici lexpression de ma gratitude.

Je tiens galement remercier tous mes collgues tudiants en post

graduation pour leurs soutiens et leur motivation.

Que tous mes amis sans exception, et ils sont nombreux, notamment ceux

que je ne peux citer trouvent ici mes meilleurs hommages.

Enfin, que toutes les personnes ayant contribu, de prs ou de loin, la

ralisation de ce travail, soient chaleureusement remercies.

Ddicace

A mes chers parents

A mes frres et surs

A toute ma famille

i

Rsum

Remerciements

Ddicace

Sommaire.i Liste des figures..iii Liste des tableaux ...v Nomenclature........................................................................................................................... ..vi

Introduction gnrale ..1 I. Mthodes sans maillage: principes et tat de lart

I.1. Introduction .......................................................................................................................................... 5

I.1.1. Gnralits sur les mthodes sans maillage. Historique ........................................................... 5

I.1.2. Avantage des mthodes sans maillage ........................................................................................ 6

I.1.3. Inconvnients des mthodes sans maillage ................................................................................. 7

I.2. Mthodes sans maillage particulaires ............................................................................................... 9

I.2.1. Mthodes particulaires utilisant le principe des noyaux rgularisant .................................... 9

I.2.1.1. Mthode Smooth Particle Hydrodynamics (SPH)............................................................. 9

I.2.1.2. Mthode Reproducing Kernel Particle Method (RKPM) et Corrected-SPH (C-SPH) 14

I.2.2. Mthodes particulaires utilisant le principe des moindres carrs mobiles ........................... 15

I.2.2.1. Dfinition de lapproximation MLS .................................................................................. 15

I.2.2.2. Mthodes DEM (diffuse element method) et EFGM (element-free Galerkin method)

ii

III. Mthode de Boltzmann sur rseau (LBM)

III.1. Introduction ........................................................................................................................................ 36

III.2. Applications de la mthodes LBM .................................................................................................. 36

III.3. Equation de Boltzmann .................................................................................................................... 37

III.4. Modle bidimensionnel D2Q7 sept vitesses ............................................................................... 38

III.5. De l'quation de Boltzmann la mthode LBM ............................................................................ 39

III.6. Choix des conditions aux limites dans la mthode LBM ............................................................. 43

III.6.1. Conditions aux limites priodiques ....................................................................................... 43

III.6.2. Conditions aux limites solides ................................................................................................ 43

III.7. Mthode LBM pour un coulement multiphasique ..................................................................... 44

III.7.1. Introduction ............................................................................................................................... 44

III.7.2. Approche nergie libre ........................................................................................................ 44

III.8. Equation dtat dans la mthode LBM ........................................................................................... 46

III.8.1. Introduction ............................................................................................................................... 46

III.8.2. Equations dtat utilises avec la mthode LBM .................................................................. 46

III.8.3. Influence de lquation dtat sur le rapport de la masse volumique entre les phases en

prsence

iii

FIG I.1 Support et fonction poids associe aux fonctions de forme moindres carres mobiles,

(daprs *19+). ..............................................................................................................................................7

Fig. I.2 : Diffrentes mthodes numriques de simulation. ..................................................................8

FIG I.3 Maillage eulrien bidimensionnel, (daprs *10+). ....................................................................9

FIG I.4 Volume de contrle Lagrangien, (daprs *10+). ......................................................................10

FIG I.5 -Domaine d'influence d'une particule, (daprs *10+). ............................................................13

FIG I.6 Interpolation par lments finis et approximation sans maillage, (daprs *16+). ..............17

FlG. I.7 (a) Diagramme de Voronoi d'un ensemble de points dans le plan; (b) triangulation de

Delaunay associe et cercle circonscrit a un triangle, (daprs *19+). ................................................19

FlG. I.8 Calcul des fonctions de forme de Sibson (a gauche) et de Laplace (a droite), (daprs

[19]). ............................................................................................................................................................20

FIG. I.9: Triangulation de Delaunay non contrainte (en haut) ou contrainte par les artes de la

frontire et un critre de visibilit (en bas). Dpres *19+. ...................................................................22

FIG I.10 Exemple dun pas de temps dans lvolution dun rseau de gaz bidimensionnel. (a)

tat initial: chaque flche reprsente une particule dplacer selon la direction de la flche ; (b)

tape dadvection: chaque particule dplace une unit de rseau dans la direction de sa

vitesse ;(c) tape de collision, Daprs *24+. ..........................................................................................24

FIG II.1 le domaine de simulation pour une particule .......................................................................27

FIG II.2 Evolution de l'coulement autour d'une particule mobile : .................................................27

(a) t = 6,25 s; (b) t = 12,5 s et (c) t = 18,75 s. .............................................................................................27

FIG II.3 Domaine de simulation pour deux particules .......................................................................28

Fig. (II.4) Champ de vitesse d'un systme de deux-particule diffrents instants :......................28

(a) t = 0,1 s; (b) t = 0.5s; (c) t = 0.62s et (d) t = 0,68 s. ............................................................................28

Fig. II.5 Collisions de particules et l'volution du champ de vitesse: (a) t = 0,087 s; (b) t = 0.088s;

(c) t = 0.089s et (d) t = 0,090 s. .................................................................................................................28

Fig. II.6 95 Particules tombant dans une conduite verticale: (a) t = 0.125s; (b) t = 0.150s; (c) t =

0,175 s et (d) t = 0,200 s. ...........................................................................................................................28

FIG II.7 sparation de phase Instantan ..............................................................................................29

Tableau II.1 Paramtres utiliss pour la simulation de sparation de phase..................................29

FIG II.8 coalescence de deux gouttes. ....................................................................................................30

FIG II.9 Distribution des phases diffrentes instants( = ,,,,,,), ......31

= = ,. ...........................................................................................................................31

FIG. II.10 Permabilits relatifs de deux phases ..................................................................................32

FIG II.11 Distribution des phases diffrentes temps ( = ,,,,,,) .......32

FIG. II.12 Permabilits relatifs de deux phases ..................................................................................33

FIG II. 13 Photographie de bulle d'air en nitrobenzne ; = , = . [34] ..34

FIG II.14 Comparaison des rsultats de SPH pour l'ascension de bulle avec la formule

analytique, / = ., = . [35]. ....................................................................................34

FIG II.15 Bulle d'air en ascension dans l'eau diffrents instants 0.0, 0.2, 0.3, 0.4, 0.6, 0.8 sec. ....34

FIG III.1 Diffrents domaines dapplications de la mthode LBM. ...................................................36

FIG III.2 Vecteurs vitesses discrtes pour des rseaux en 2-D et 3-D. [22] .......................................38

FIG III.3 Conditions aux limites priodiques utilises dans la mthode LBM (daprs *44+) ........43

FIG III.7 Algorithme Stream and collide .............................................................................................50

FIG III.8 Organigramme de lalgorithme utilis. .................................................................................51

FIG IV.1-a : Variation de la vitesse moyenne dans une section du canal en fonction du temps

pour le cas du milieu dispers homogne (LBM) ................................................................................54

FIG IV.1-b : Convergence du systme aprs un certain nombre ditrations par FLUENT. .........55

iv

FIG IV.2 : Distribution des phases dans un rseau en 2D de porosit = . diffrent temps,

gauche par la mthode LBM (t=0, 2600 et 40000), droite par FLUENT (t=0, 420 et 760). La

couleur rouge reprsente la phase liquide( = ), la phase vapeur =

reprsente par la couleur verte dans la mthode LBM et par la couleur bleu dans le

logiciel FLUENT. ......................................................................................................................................56

FIG IV.3 : Champ de vitesse selon laxe x, cas du milieu dispers homogne, gauche par LBM,

droite par FLUENT. .............................................................................................................................56

FIG IV.4: Champ de vitesse selon laxe y, cas du milieu dispers homogne, gauche par LBM,

droite par FLUENT. .............................................................................................................................56

FIG IV.5-a Vecteur de vitesse color par la composante horizontale. ..............................................57

FIG IV.5-b Vecteur de vitesse color par la composante verticale. ...................................................57

FIG IV.6 -a Variation de la vitesse axiale de l'coulement dans le milieu dispers homogne

en fonction de y x=87 lattice obtenu par la mthode LBM. .............................................................59

FIG IV.6 -b Variation de la vitesse axiale de l'coulement dans le milieu dispers homogne

en fonction de y x=0.87 m obtenu par FLUENT. ...............................................................................59

FIG IV.7-a Variation de chute de pression sur le long du milieu pour les deux phases a y=33

lattice obtenu par la mthode LBM........................................................................................................59

FIG IV.7-b Variation de chute de pression sur le long du milieu pour les deux phases a y=0.33 m

obtenu par FLUENT.................................................................................................................................60

FIG IV-8: Variation de vitesse et de chute de pression dans un milieu dispers homogne

trouve par la mthode. (Hiroshi Mitsuishi, Hiroshi Okabe, Japan National Oil Corporation)...60

FIG IV-9 Variation de la vitesse moyenne dans une section du canal (x= Lx/2) en fonction du

temps. .........................................................................................................................................................62

FIG IV-10 (a) : Distribution initiale de deux phases dans tous les cas, (b) : la distribution de

deux phases sans la force de mouillabilit aprs 30000 ditrations. ................................................62

FIG IV-11 Distribution de deux phases avec la force de mouillabilit et deux nombre capillaire

diffrent. ....................................................................................................................................................63

Fig. IV-12. Etapes conscutives de formation dun pige, daprs *60+. ...........................................64

Fig. IV-13 Rseaux capillaires : carr (a) ; carr orient 45 (b) ; hexagonal (c). En haut ltat

initial, en bas la distribution des phases aprs certain nombre ditrations : 40000 itrations pour

(a) ; 30000 itrations pour (b), 100000 itrations pour (c). ...................................................................64 FIG IV-14: Etapes de traitement dimage. .............................................................................................67

FIG IV-15: Image traite dun milieu poreux daprs *64+. .................................................................67

FIG IV-16 Variation de la vitesse moyenne dans une section du milieu (x= Lx/2) en fonction du

temps. .........................................................................................................................................................68

FIG IV.17 : Distribution des phases dans un rseau en 2D de porosit = . diffrent temps

(t=0, 5000, 20000 et 40000), la couleur bleu prsente la matrice solide, rouge prsente la phase

dplaante et celle verte prsente la phase dplac. ...........................................................................68

FIG IV.18-a Vecteur de vitesse colore par la composante horizontale. .........................................69

FIG IV.18-b Vecteur de vitesse colore par la composante verticale. .............................................70

FIG IV.19 Lignes de courant/trajectoires. La flche indique la direction principale de

l'coulement. .............................................................................................................................................71

FIG IV.20 Variation de la permabilit adimensionnelle en fonction de la viscosit dynamique

pour deux rseaux de diffrentes dimensions. ....................................................................................72

FIG IV.21 Gradient de pression en fonction de la vitesse superficielle adimensionnelle pour les

deux phases. ..............................................................................................................................................73

FIG IV.22 Gradient de pression en fonction de la vitesse superficielle pour les deux phases pour

deux valeurs de viscosit cinmatique diffrentes. .............................................................................73

v

Tableau III.1 Rapports de masses volumiques pour diffrentes quations dtat *22+ ..................48

Tableau IV.1 : Paramtres de simulation. .............................................................................................61

Tableau IV.2 : Permabilit adimensionnelle dans le rseau ( ). .....................................72

vi

Lettres latines Acclration, paramtre d'attraction dans l'quation d'tat.

Paramtre de rpulsion dans l'quation d'tat.

Vitesse des particules dans le rseau.

Constante dans l'quation d'tat.

Vitesse de son en rseau.

Dimension de lespace.

Vecteur de Vitesse des particules dans le rseau.

F Force extrieure.

Fonction reprsente un paramtre physique.

Fonction de distribution des particules.

, 0 Fonction de distribution des particules lquilibre.

Constante de la gravit. ( 2)

Permabilit intrinsque. (2)

Constante de Boltzmann.

Permabilit relative.

Permabilit adimensionnelle.

Longueur du domaine.

Pression.

R

r

Constante de gaz

rayon. (m)

Nombre de Reynolds.

Temps. (s)

Temprature.

, Vitesse macroscopique du fluide. ( )

, Coefficients de pondration.

x, x Position.

Lettres Grecques Pas de temps.

, Constantes despace du rseau.

Fraction des sites intersects dans la rgion liquide.

Angle de contact.

Coefficient de tension de surface.

, Temps de relaxation.

Viscosit dynamique. ( . )

Viscosit cinmatique. (2 )

Ensemble discret de vitesse

La masse volumique. ( 3)

Tension de surface.

Coefficient de pondration utilis dans l'interpolation linaire.

La masse effective.

Terme de source de chaleur.

Oprateur de collision.

porosit du milieu

Indices

Indice du rseau.

Nud de frontire.

Valeur critique.

vii

Valeur initiale

Phase liquide.

Phase vapeur.

Nud solide.

Exposants

Quantificateur qui dnote variable sans-dimension.

Quantificateur qui dnote les valeurs moyennes.

~ Quantificateur qui dnote l'tat aprs la collision.

() Quantificateur qui dnote les proprits d'quilibre.

Abrviations

BGK Bhatnagar-Gross-Krook

CFD Computational Fluid Dynamics.

CL les conditions aux limites.

C-NEM Constrained Natural Elements Method

C-S Carnahan-Starling

C-SPH Corrected- Smooth particle hydrodynamics

DEM Diffuse element method (La mthode des lments diffus)

MD Molecular Dynamics

EFGM Element Free Galerkin method

EOS Equation of state (quation dtat).

FH Filippova and Hnel

FHP Frisch, Hasslacher, and Pomeau

GFEM Generalized finite element method

HCZ He, Chen, and Zhang model

LB Lattice Boltzmann

LBE Lattice Boltzmann equation

LGA Lattice gas automata

MDF Mthode des diffrences finis

MEF Mthode des lments finis

MLPG Meshless local Petrov-galerkin method

MLS Moindres carrs mobiles, Mei, Luo, and Shyy

MRT multiple relaxation time (temps de relaxation multiple).

MVF Mthode des Volumes Finis

MWS Meshfree Weak-Strong

NEM Natural Elements Method

N-S Navier-Stokes

PDE Partial Differential Equation (quation de drive partielle).

PDF Particle distribution function (fonction de distribution des particules).

PUFEM Partition of Unity Finite Element Method

PUM Partition of Unity Method

R-K Redlich-Kwong

RKPM Reproducing Kernel Particle Method

RKS Redlich-Kwong Soave equation of state.

SC Shan & Chen equation of state.

SPH Smooth Particle Hydrodynamics

SRT Single relaxation time (simple temps de relaxation).

vdW Van der Waals.

X-FEM eXtended Finite Element Method (Mthode des lments finis tendus)

ZFP Zone faiblement permable

Introduction gnrale

1

Les coulements multiphasiques constituent sans aucun doute la gamme

d'coulements la plus rpandue, que ce soit au niveau naturel (Rservoirs ptroliers,

rivires, mouvements des nuages, coulement sanguin, etc.) ou au niveau des procds

industriels (fluidisation, colonnes bulles, agitation et mlange de suspensions,

extraction liquide-liquide, sparation solide-liquide, fermentation, transport

pneumatique, coulement dans les milieux poreux, etc.). Ce sont des milieux complexes

o se dveloppent des interactions diverses entre les phases qui ont gnralement des

proprits physiques diffrentes (densit, viscosit, concentration, etc.).

Afin de prdire correctement le comportement de ces coulements, il est important

de comprendre les phnomnes mis en jeu au cur du fluide quivalent que lon

dnomme "mlange". Une meilleure comprhension de ces phnomnes physiques

permettrait davoir une approche plus rationnelle de la modlisation des coulements

complexes que lon rencontre dans le milieu industriel. De nombreuses avances

thoriques, exprimentales et numriques rendent cette dmarche de plus en plus

raliste et permettent de fixer un cadre dtude mieux formalis.

Il bien connu que les mthodes utilises en mathmatique classique sont incapables

de rsoudre tous les problmes de la mcanique du fluides. On remplace alors la

rsolution mathmatique exacte du problme par des expriences dans la mesure du

possible ou par des rsolutions numriques qui sont en gnral, approches. La

simulation numrique dcoulements multiphasiques prend aujourdhui une place de

plus en plus importante dans lindustrie. Les objectifs sont, entre autres :

de limiter les cots de production en remplaant les campagnes dessais

traditionnelles par des simulations numriques ralistes et prdictives.

damliorer la qualit des produits raliss en dfinissant les jeux de

paramtres optimaux pour le procd.

de mieux comprendre les causes des diffrents phnomnes d'interaction et de

transfert mis en jeu entre les diffrentes phases en prsence afin de mieux

matriser lcoulement multiphasique.

Les outils de simulation permettent davoir accs directement aux diffrents champs

de variables, accessibles ou non la mesure, en tout point de lcoulement. Ils

permettent de confirmer ou d'infirmer les modles macroscopiques (lois empiriques ou

modles thoriques) qui existent. La simulation numrique est complmentaire des

essais exprimentaux en laboratoire car elle permet un contrle plus facile des

conditions dcoulement et des proprits physiques des phases.

De nombreuses mthodes numriques (voir figure I.2) ont t dveloppes pour

tudier et simuler diffrents types dcoulements de fluide. Ces diffrentes mthodes

peuvent tre classes principalement en deux catgories : Les mthodes numriques

classiques (avec maillage) et les mthodes numriques alternatives sans maillage.

Introduction gnrale

2

La physique des milieux continus a, trs souvent, recours des mthodes utilisant

des techniques de maillage ( lexemple de la mthode des diffrences finies, la

mthode des lments finis ou la mthode des volumes finis) dans loptique de fournir

une solution approche un problme donn formul laide dquations aux drives

partielles ou sous forme dune fonctionnelle minimiser. Ces mthodes bnficient

d'un fondement thorique trs solide et de nombreuses techniques sont venues

lamliorer au fil des ans.

Cependant, Les mthodes avec maillage prsentent certaines limitations qui

restreignent son application, notamment dans le domaine de la modlisation des

grandes transformations dans lesquelles le maillage est ncessairement trs dform.

Cela a pour consquence une perte de prcision, des problmes de convergence ou

mme un arrt intempestif de la simulation du fait de la prsence de singularits ou de

discontinuits. Ceci est le cas des coulements complexes dans les gomtries

complexes lexemple des coulements multiphasiques en milieux poreux qui font

lobjet de ce travail.

Il est ncessaire de reconstruire un maillage cause de la dformation des lments

afin dviter la dgnrescence du Jacobien associ. Cela est aussi ncessaire lorsquil

sagit de conformer le maillage aux gomtries complexes. Des techniques de

remaillages adaptatifs automatiques trs performants ont t dveloppes. Cependant,

elles entranent des cots de calculs additionnels trs importants ainsi que des

problmes de robustesse, particulirement pour les gomtries 3D complexes. Par

ailleurs, aprs un remaillage, il est ncessaire d'interpoler les champs (vitesses,

pressions, ...) correspondant la solution courante, ce qui peut introduire des erreurs

supplmentaires dans le calcul.

Depuis une dizaine dannes, de nouvelles mthodes numriques alternatives aux

mthodes classiques ont t dveloppes. Celles-ci tendent toutes contourner les

difficults lies au maillage en construisant une partie ou la totalit de lapproximation

par dautres approches que la discrtisation spatiale par lments. Parmi ces mthodes,

on trouve les mthodes appeles mthodes sans maillage. Ces techniques ont prouv

leur efficacit dans le traitement de problmes dlicats aborder par les mthodes

classiques. De plus, il est intressant de noter que les concepts mthodologiques et/ou

mathmatiques mis en uvre dans ces approches trs ouvertes offrent de nouvelles

perspectives pour la simulation numrique des phnomnes complexes rencontrs dans

les coulements multiphasiques.

Les mthodologies dcrites ci-dessus peuvent aussi se dcliner, en termes dchelles

spatiales auxquelles les phnomnes se dveloppent, en trois grandes catgories : les

mthodes macroscopiques (continues), les mthodes microscopiques et les mthodes

msoscopiques.

Lapproche macroscopique conventionnelle consiste en la modlisation dun

domaine rel en utilisant les quations de Navier-Stokes dont la rsolution fait appel en

gnral aux mthodes numriques classiques des diffrences finies, des volumes finis

ou des lments finis. Le domaine rel tant auparavant discrtis par un processus de

maillage. On obtient alors un systme dquations algbriques non-linaires qui est

Introduction gnrale

3

alors rsolu en utilisant des mthodes directes ou itratives. Cependant, les mthodes

employant des mailles de rsolution fines avec leur nombre lev dinconnues

rsoudre sont coteuses et ne sont pas appropries pour la modlisation de gomtries

complexes comme celles trouves dans les milieux poreux.

Les mthodes alternatives bases sur lapproche microscopique permettent la

modlisation lchelle atomique ou molculaire et sont connues sous le terme de

simulation de la dynamique molculaire [21]. Ces mthodes sont simples implmenter

et faciles parallliser particulirement pour des systmes rsolvant les quations du

mouvement pour des millions de particules chaque instant. Ceci est un processus

numrique intensif. Pour cette raison la taille et la dure des simulations sont limites

aux systmes relativement rduits et aux oprations relativement courtes.

A une chelle intermdiaire, on trouve lapproche msoscopique. Il existe

essentiellement deux mthodes: la mthode gaz sur rseau (LGA) et Boltzmann sur

rseau (LBM) [36]. Ces mthodes utilisent des automates cellulaires ordonns dans une

structure de rseau limite. Au lieu de discrtiser les quations de Navier-Stokes, les

particules fluides sont situes chaque point discret du rseau. Par lintermdiaire des

moyennes statistiques on obtient des rsultats du comportement global des particules

fluides proche de celui donn par les mthodes classiques.

Actuellement, la mthode Boltzmann sur rseau (LBM) offre un important avantage

dans les problmes de la dynamique des fluides. Cette mthode msoscopique a attir

lattention des mcaniciens des fluides pour la simulation dcoulements dans les

gomtries complexes en particulier dans les milieux poreux. Cette mthode permet de

considrer le fluide comme un ensemble de particules qui se dplacent des vitesses

prcises dont les positions sont connues un temps donn t. Ella a lavantage dtre

paralllisable et dutiliser des expressions simples pour dcrire les conditions aux

limites. Ceci permet denvisager le traitement des cas dcoulements multiphasiques en

milieux poreux rels.

Dans ce mmoire, nous avons appliqu la mthode LBM pour lanalyse des

coulements multiphasiques pour diffrentes configurations de milieux poreux

bidimensionnels. Nous avons utilis le code de calcul FLUENT afin de faire une

comparaison des rsultats obtenus avec ceux de la mthode utilise (LBM) dans un but

de pr-validation.

Pour la prsentation de notre mmoire et de nos principaux rsultats nous

procderons comme suit. Aprs une introduction gnrale, le lecteur trouvera dans le

premier chapitre une tude bibliographique sur les mthodes sans maillage. Cette

dernire met en parallle les avantages et les inconvnients ainsi que les principales

caractristiques des techniques existantes. Aprs une synthse bibliographique des

travaux relatifs aux mthodes sans maillage faite dans le deuxime chapitre. Dans le

troisime chapitre nous exposerons la mthodologie et les concepts gnraux de la

mthode LBM pour lcoulement diphasique, sa mise en uvre algorithmique et

informatique.

Introduction gnrale

4

Enfin, dans le quatrime et dernier chapitre nous prsenterons les rsultats de trois

tudes de cas concernant lapplication de la mthode LBM pour :

Ecoulement multiphasique dans un milieu dispers homogne.

Ecoulement multiphasique autour dun arrangement de carrs homognes

fixes (rseau capillaire).

Ecoulement multiphasique dans un milieu poreux rel reconstruit partir de

traitement dimage.

Chapitre I Mthodes sans maillage: principes et tat de lart

5

I.1. Introduction

I.1.1. Gnralits sur les mthodes sans maillage. Historique

Les mthodes numriques classiques de rsolution des quations aux drives

partielles, permettent la recherche dune solution approche du problme considr

dans un espace fonctionnel de dimension finie, en se basant gnralement sur une

discrtisation spatiale du domaine. Ceci permet d'obtenir un nombre fini d'inconnues

du problme. Contrairement 1'approche avec maillage dans laquelle 1'approximation

est lie aux lments ou aux volumes, dans les mthodes sans maillage 1'approximation

est construite exclusivement 1'aide des donnes nodales. Ces caractristiques offrent

de nombreux avantages comme nous le dtaillerons dans la section 1.2. Mme si

certaines approches sans maillage lexemple des mthodes des lments naturels

(NEM) utilisent un maillage sous-jacent (pour dfinir les connectivites et raliser une

partition du domaine pour 1'intgration), celui-ci n'est pas utilis pour construire

1'interpolation. Par consquent, sa qualit n'influe pas sur la prcision des rsultats. En

contrepartie, un certain nombre de difficults apparaissent dans les mthodes sans

maillage, comme nous le montrons dans la section 1.3. Nanmoins, ces techniques

semblent prometteuses pour remdier aux difficults inhrentes lutilisation des

mthodes de rsolution classiques. Nous prsentons dans ce qui suit un bref historique

des mthodes sans maillage les plus utilises.

Bien que la mise au point des premires mthodes sans maillage remonte la fin des

annes soixante-dix, 1'effort de recherche consacr ce thme jusqu'au dbut des

annes 90 est rest trs faible. Les mthodes sans maillage furent inities en 1977 avec la

mthode Smooth Particle Hydrodynamics (SPH) [1]. A 1'origine, elle fut dveloppe pour

la simulation des phnomnes astrophysiques non borns lexemple des explosions

dtoiles ou encore des mouvements de poussires dans les nuages stellaires. Le nombre

de publications consacres cette mthode tait alors modeste. Seules quelques

amliorations furent apportes cette priode, sans relles tudes concernant la qualit

de la solution obtenue pour la rsolution des quations aux drives partielles. Plus

tard, Swegle, Hicks and Attaway [2] ont montr 1'origine de certains problmes

numriques de la mthode, tels que le phnomne d'instabilit sur les bords libres

(tensile instability) et ont propos d'inclure une viscosit artificielle pour stabiliser le

phnomne. L'avance la plus notable fut 1'introduction d'une fonction de correction

dans le noyau d'approximation par Liu et al. [3] pour pouvoir obtenir la consistance

linaire ou dordres suprieurs. Liu et al. ont galement tendu la mthode SPH aux

1 Mthodes sans maillage : principes et tat de lart CHAPITRE


6

formulations variationnelles alors quelle est du type collocation. L'introduction d'une

fonction de correction dans le noyau d'approximation des mthodes SPH a donn

naissance la mthode Reproducing Kernel Particle Method (RKPM) et la mthode

corrected-SPH [3].

Partant d'une ide diffrente, Nayroles, Thouzot et Villon [4] ont propos d'utiliser

une approximation de type moindres carrs mobiles dans un schma de discrtisation

de type Galerkine. La mthode fut alors baptise mthode des lments diffus (DEM). La

technique dite Elment Free Galerkine (EFG) [5] propose par Belytschko et al. Est une

modification de la mthode des lments diffus dans laquelle les drives des fonctions

de forme sont calcules exactement (il faut souligner cependant que les drives au sens

diffus sont plus simples calculer et convergent vers les drives exactes). Cette classe

de mthodes est convergente et stable, mais plus couteuse que la mthode SPH.

Une autre approche repose sur la physique statistique, au niveau "msoscopique" de

1'volution des "particules" dont est constitue le fluide. Cette mthode s'est dveloppe

depuis les annes 60 surtout dans 1'esprit d'obtenir des informations trs dtailles sur

la dynamique locale des fluides et de contribuer la comprhension des quations

d'tat et des coefficients de transport. Des versions simplifies de cette approche

msoscopique ont t dveloppes pour tudier les coulements dans les gaz rarfies

D'autres types de simplifications ont t proposes pour permettre la simulation

d'coulements de fluides visqueux, en particulier la mthode Lattice Boltzmann sur

rseau (LBM).

Une autre mthode sans maillage base sur des principes totalement diffrents a

merg trs rcemment sous le nom de mthode des lments naturels [6]. Cette technique

utilise des fonctions de forme trs particulires, bases sur les constructions

gomtriques telles que le diagramme de Voronoi et la triangulation de Delaunay.

I.1.2. Avantage des mthodes sans maillage

1. Le principal avantage des mthodes sans maillage dans la simulation des procdes

est la possibilit de traiter plus facilement les problmes en grandes transformations

que dans les mthodes classiques. Les performances des mthodes meshless sont

expliques par les facteurs suivants :

(a) dans les formulations lagrangiennes, totales, 1'oprateur gradient de la

transformation calcule en un point d'intgration est construit sur la base d'un voisinage

de nuds gnralement plus important que les seuls nuds de 1'lment dans la MEF.

Ainsi, la matrice jacobienne associe ne deviendra singulire que pour des distorsions

beaucoup plus importantes du voisinage [7].

(b) la qualit de la solution est beaucoup moins sensible a la position relative des

nuds, autorisant, de construire la solution a partir de positions relatives entre les

nuds, ce qui interdites dans les mthodes classique.


7

(c) la non-ncessite de construire un maillage pour la construction de

1'approximation permet de traiter des domaines de gomtries complexes, en 2D et en

3D, en utilisant seulement le nuage de nuds [8].

2. Un autre avantage majeur des mthodes sans maillage est la possibilit d'insrer,

ou de retirer des nuds trs facilement, la position relative des nuds entre eux tant

trs peu influente sur la qualit de la solution.

I.1.3. Inconvnients des mthodes sans maillage

1. Le principal dfaut de la plupart des mthodes sans maillage " classiques " (SPH,

RKPM, DEM, EFG) est la difficult lie 1'imposition des conditions aux limites. En effet,

pour pouvoir imposer les conditions aux limites de type Dirichlet de manire directe

comme dans la mthode des lments finis, il est ncessaire (a) que 1'approximation

construite passe par les valeurs nodales (interpolation stricte) et que 1'influence des nuds

intrieurs s'annule sur le bord du domaine. Or la fonction d'approximation construite par

les mthodes sans maillage les plus rpandues ne vrifient aucune de ces deux conditions.

2. Le second inconvnient est li 1'intgration numrique. En effet, dans la majorit

des cas, les fonctions de forme meshless ne sont pas polynomiales mais rationnelles, ce

qui rend les schmas d'intgration de type Gauss non-optimaux. Dolbow et Belytschko

[9] ont prouv que des schmas d'intgration trs fins sont ncessaires pour minimiser

1'erreur due la non-concidence entre le support des fonctions de forme et les cellules

d'intgrations, entrainant des couts de calcul excessifs a cause d'un nombre de points

d'intgrations ncessaire trs important.

3. Un autre inconvnient de ces techniques est lie au support des fonctions de forme.

Dans la plupart de ces approches, le support, ou domaine d'influence d'un nud est

dfini par une sphre ou un paralllpipde centre sur le nud. Comme il en est

discute dans Liu et al. Dans [3], ce support doit couvrir un nombre suffisant de

particules pour que la mthode soit stable et donc tre suffisamment large. Au

contraire, un support trop large entraine des couts de calcul plus importants et une

qualit fortement dgrade. L'utilisation d'un support fixe dans les problmes ou le

nuage de nuds subit de fortes distorsions peut entrainer 1'instabilit de la mthode.

Le rajustement continu de la taille du support au cours de la simulation peut permettre

d'viter ce problme mais entraine des problmes de robustesse.

FIG I.1 Support et fonction poids associe aux fonctions de forme moindres carres mobiles,

(daprs [19]).


8

Fig. I.2 : Diffrentes mthodes numriques de simulation.

Les Mthodes sans

maillage

particulaires

Les mthodes sans

maillage de type

lments naturels

Les mthodes sans

maillage bases sur la

mcanique statistique

Mthode des diffrences

finis (MDF)

Mthode des

lments finis (MEF)

Mthode des volumes

finis (MVF)

Mthode sans maillage Mthodes avec maillage

Mthode des lments

finis tendus (X-FEM)

La mthode des

lments diffus

(DEM)

Element Free

Galerkin method

(EFGM)

Meshless local

Petrov-Galerkin

method (MLPG)

Meshfree weak-

strong (MWS)

La mthode smooth particle

hydrodynamics (SPH)

Reproducing kernel

particle method (RKPM) Corrected-SPH (C-SPH)

Partition of Unity

Finite Element

Method (PUFEM)

Partition of Unity

Method (PUM)

Generalized finite

element method

(GFEM)

HP-clouds

Mthodes particulaires

utilisant le principe des

moindres carrs mobiles

(MLS)


utilisant le principe des

noyaux rgularisant


utilisant le principe de

Partition de lunit (PU)

La mthode

lments

naturels (NEM)

Contrainte-

NEM (C-

NEM)

La mthode

lattice Gas

Automata (LGA)

La mthode

lattice Boltzmann

(LBM)

La dynamique

molculaire

(DM)


9

I.2. Mthodes sans maillage particulaires

I.2.1. Mthodes particulaires utilisant le principe des noyaux rgularisant

I.2.1.1. Mthode Smooth Particle Hydrodynamics (SPH)

On prsente dans cette partie, les caractristiques et les lments de base de la

mthode particulaire SPH [10, 11]. Cette dernire est une mthode particulaire

lagrangienne de simulation d'coulement, dans laquelle la matire est reprsent a

1'chelle msoscopique ou microscopique par un ensemble de (n) particules de masse

mi, de vitesse vi et d'autres proprits hydrodynamiques comme la pression pi la

temprature Ti, 1'nergie interne Ui, 1'entropie ... etc.

1) Caractristiques

La mthode SPH, est une mthode sans maillage, particulaire et Lagrangienne. Ces

trois caractristiques sont dcrites ci-dessous.

Mthode sans maillage

Un maillage est une discrtisation spatiale d'un milieu continu. La figure I.2 prsente

un exemple de maillage eulrien bidimensionnel. Lors d'une simulation, le maillage

reste fixe et les variables chaque nud du maillage sont calcules.

FIG I.3 Maillage eulrien bidimensionnel, (daprs [10]).

L'ide de base des mthodes sans maillage est d'obtenir une solution numrique

prcise et stable pour un ensemble d'quations intgrales ou de drives partielles pour

un ensemble de particules arbitrairement distribues avec n'importe quelles conditions

aux frontires et sans avoir recours un maillage qui dfinit les connections entre les

particules.

Mthode particulaire

La mthode particulaire est un type de mthode sans maillage dans laquelle un

nombre fini de particules discrtes sont utilises pour reprsenter l'tat d'un systme et

suivre son mouvement. Chaque particule peut reprsenter un objet physique discret ou

une partie d'un domaine continu.


10

Mthode Lagrangienne

La figure I.3 montre un volume de contrle de dimensions finies, de volume V et de

surface S plac dans un coulement. Dans l'approche Eulrienne, ce volume est fixe. Le

bilan entre les quantits entrantes et sortantes du volume de contrle doit satisfaire les

lois de conservation. Dans l'approche Lagrangienne, le volume de contrle (volume

lmentaire) se dplace avec le fluide de manire ce que la mme portion de fluide

demeure l'intrieur du volume. Ainsi, bien que l'coulement cre l'expansion, la

compression et la dformation du volume de contrle, la masse de fluide l'intrieur

du volume demeure inchange. En appliquant les lois de conservation au fluide

l'intrieur du volume de contrle Lagrangien, on obtient les quations de base sous

forme intgrale.

FIG I.4 Volume de contrle Lagrangien, (daprs [10]).

2) Concepts fondamentaux

La formulation de la mthode SPH se divise en deux tapes. La premire est la

reprsentation intgrale de la fonction (et de sa drive) et la seconde est

l'approximation particulaire.

Reprsentation intgrale de la fonction

La valeur d'une fonction f une position x est donne par la reprsentation intgrale

suivante :

= ` ` ` (I. 1)

O reprsente le domaine d'intgration, x' est une position appartenant au

domaine et (x - x') est la fonction delta de Dirac :

= 1 = `0 `

(I. 2)


11

En remplaant la fonction delta de Dirac par une fonction poids W(x-x', h), la

reprsentation intgrale de f(x) devient :

= ` `, ` (I. 3)

O h est la longueur dfinissant l'aire d'influence de la fonction poids W. Il est

noter que, puisque W n'est pas la fonction delta de Dirac, l'quation (I.3) est une

approximation de la reprsentation intgrale. Selon la convention SPH, cette

approximation est symbolise par des crochets < >. L'quation I.3 devient donc :

< > = ` `, ` (I. 4)

Fonction de poids

La fonction poids joue un rle important dans la mthode SPH puisqu'elle dtermine

la prcision de la reprsentation intgrale d'une fonction. Elle doit possder certaines

proprits afin de reprsenter convenablement une fonction f(x). Il doit s'agir d'une

fonction paire et strictement positive. Plus x' est loigne de x, plus la valeur de la

fonction poids doit tre faible.

De plus, la fonction poids doit tre normalise (condition d'unit) afin d'assurer la

consistance de la formulation :

W x x`, h dx` = 1

(I. 5)

Ensuite, la fonction poids doit correspondre la fonction delta de Dirac lorsque la

longueur d'influence h tend vers zro :

lim

W x x`, h = ` (I. 6)

Finalement, la fonction poids doit respecter la condition de compacit :

, = 0 pour > h (I. 7)

O est un facteur d'chelle qui dfinit la limite d'influence de la fonction poids.

D'un point de vue numrique, lorsque la fonction de poids W a un support compact,

c.--d. :

0

= 0 (I. 8)

Les algorithmes de recherche de voisins peuvent utilises pour acclrer le calcul

itratif. Plusieurs expressions de la fonction poids W sont utilises dans la littrature, le

premier choix est la fonction gaussienne qui est donne en 2D par 1'expression :

, =1

2

2

(I. 9)


12

C'est une fonction dcroissance rapide, mais elle n'est pas a support compact, par

consquent, un nombre important de particules doit tre pris en compte dans le calcul

de 1'intgrale de lquation (I.1), pour minimiser 1'erreur issue de la troncature.

Le deuxime type de fonctions poids utilises est la fonction polynomiale Spline

dfinie par morceaux :

W r, h = D

2

3

2

+1

2

3

0

< 1

1

6 2

3

1

< 2

0

2

(I. 10)

Avec D un coefficient de normalisation dont 1'expression dpend de la dimension de

1'espace, il est de D 1

,

15

72 ,

3

23 selon les dimensions de 1'espace 1D, 2D ou 3D.

Le choix de 1'ordre de la fonction Spline dpend du problme tudie et les variations de

la fonction interpoler.

Longueur de lissage

La longueur de lissage h [12], ou la distance d'influence, est dfinie comme tant le

rayon h du domaine d'influence autour de la particule considre. Le choix d'une petite

longueur rend le rsultat du calcul peu prcis et rend le schma instable. Par contre,

lorsque h est choisie grand, la solution est diffuse et les formes locales de la solution ne

sont pas captes correctement. D'une faon gnrale, sa valeur dtermine le nombre de

voisins prendre en compte dans le calcul. Cette longueur est souvent choisie telle que

h = 2 x. (Avec x, la distance initiale entre les particules).

Reprsentation intgrale de la drive de la fonction

L'approximation de la divergence de la fonction () est obtenue en substituant f(x)

par () dans l'quation (I.4) :

< > = [ ` ] `, `

(I. 11)

En se basant sur la proprit suivante [13] :

= + (I. 12)

L'quation (I.11) devient :

< > = ` `, `

` `, `

(I. 13)

La premire quation intgrale du ct droit de l'quation (I.13) peut tre convertie

en une intgrale sur une surface S dlimitant le domaine d'intgration en utilisant le

thorme de divergence de Gauss [14] Ainsi, l'quation (I.13) devient :

< > = ` `, . .

` `, `

(I. 14)


13

O est le vecteur unitaire normal la surface S.

En appliquant la condition de compacit exprime par l'quation (I.7) pour les

particules dont le domaine d'influence est situ exclusivement l'intrieur du domaine

du problme, l'intgrale sur la surface S de l'quation (I.14) devient gale zro. Ainsi,

l'quation (I.14) se simplifie :

< > = ` `, `

(I. 15)

Reprsentation particulaire

Dans la mthode SPH, un systme est reprsent par un nombre fini de particules

qui possdent une masse et occupent un espace. La reprsentation intgrale continue

dquations (I. 3) peut tre discrtises sous la forme d'une sommation sur toutes les

particules l'intrieur du domaine d'influence. La figure (I.4) montre le domaine

d'influence d'une particule i. L'indice j dsigne une particule voisine de la particule i.

FIG I.5 -Domaine d'influence d'une particule, (daprs [10]).

L'intgrale de lquation (I.3) peut tre approxime par une quadrature qui englobe

les particules voisines de la particule (i) selon 1'expression :

=

=1

(I. 16)

Or le volume lmentaire associe chaque particule, est gale

, ce qui donne :

=

=1

(I. 17)

Dans le cas o la masse du fluide est constante on peut crire :

= 1

=1

(I. 18)

Par exemple, la temprature en i peut tre calcule par la formule suivante :


14

=

=1

(I. 19)

De la mme faon, la masse volumique est donne par la somme :

=

=1

(I. 20)

Le calcul du gradient de la grandeur f par la mthode SPH revient calculer le

gradient de la fonction poids W, c.--d. :

=

=1

(I. 21)

Cette expression du gradient, facile raliser, est un avantage de la mthode SPH.

I.2.1.2. Mthode Reproducing Kernel Particle Method (RKPM) et Corrected-SPH (C-

SPH)

Dans le cas gnral, la mthode SPH nest pas consistante lordre 1. Pour la

restauration de la consistance on fait une correction de la fonction de poids par

lintroduction une fonction de correction C :

= ` (, `) `, ` (I. 22)

Sous la forme suivante :

, ` = 0 + 1 ` + 2 ` 2 + (I. 23)

Par identification des paramtres , la fonction de correction permet dimposer la

consistance linaire. Il faut pour cela rsoudre le systme suivant :

0() 1() ()1() 2() +1 ()

+1()

2()

0

2

=

100

(I. 24)

= ` ()

=1

(I. 25)

=

(I. 26)

Le principe de la fonction de correction peut aussi tre utilis pour minimiser

linfluence des nuds intrieurs sur le bord du domaine pour faciliter limposition des

conditions aux limites de Dirichlet. Cette technique est utilise dans les mthodes

reproducing kernel particle method (RKPM) et Corrected-SPH (C-SPH) [3].


15

Linconvnient de cette technique est laccroissement de la complexit du calcul des

fonctions de forme, avec pour consquence des temps de calcul accrus.

I.2.2. Mthodes particulaires utilisant le principe des moindres carrs mobiles

I.2.2.1. Dfinition de lapproximation MLS

Dans la mthode [15] moving least squares (MLS), la solution est dcompose sur une

base de fonctions polynomiales 1, . par exemple tous les monmes de

degr infrieur ou gala a 2, soit en 2D , = 1, , , 2 ,2, quon peut enrichir

en fonction du problme (par exemple pour prendre en compte des discontinuits ou

des singularits connues de la solution) :

= =

() (I. 27)

O les sont des coefficients htrognes. Le nom de la mthode vient du fait que

les coefficients sont calculs par une mthode de moindres carrs. Les fonctions poids

sont introduites cette occasion. Elles sont similaires aux noyaux rgularisant de la

section 2.1. On appelle domaine dinfluence du point ` le support de la fonction W(x `,).

Le problme de linterpolation consiste alors en un problme de minimisation :

1

2 `, ( ` `

) (I. 28)

Pour cela, on crit une approximation locale de par rapport un point ` ;

autrement dit, pour identifier les coefficients , on fixe la base de fonctions ` :

` = ` =

` (I. 29)

Dans la pratique, on sintresse aux points ` = j , j 1,2, n . On cherche alors les coefficients en minimisant la diffrence entre lapproximation (I.29) et les

valeurs connues par une mthode de moindres carrs (o les `, sont les

fonctions poids). Cela revient minimiser la fonctionnelle :

= `, ( `

) = `, ( `

) (I. 30)

On cherche alors annuler :

= 0 `, ` ( `

) = 0

`, ` `

= `, `

= () (I. 31) avec

= `, ` ` =

`, `


16

La matrice est carre, et sa taille est gale m (nombre de fonctions de base ).

Pour que le problme admette une solution unique, la matrice doit tre inversible. Si

on note le nombre de voisins de , on peut montrer que, si au moins m (parmi

les ) matrices des produits dyadiques ` ` sont linairement indpendantes,

alors la matrice est symtrique dfinie positive. Cette condition porte sur le

nombre et la configuration des points ` .

On en dduit que :

= = 1 = 1 `, `

= 1 `, `

(I. 32)

Que nous rcrivons

=

=1

(I. 33)

Les fonctions de forme en x sont donc :

= 1 `, ` 1, , (I. 34)

= `, ` 1, ,

avec c = 1

Une illustration [16] une dimension de lutilisation des fonctions de forme MLS est

fournie la figure I.5. Cinq nuds sont uniformment rpartis sur lintervalle [0, 4]. Les

valeurs dune fonction approcher y sont connues :

0 1 2 3 4 1 3 4 3 2.5

Dans la colonne de gauche, linterpolation par lments finis est illustre pour

comparer. La figure (a) prsente les fonctions de forme des lments finis linaires

construits sur les nuds et montre en gras la fonction de forme du nud central. La

figure (b) prsente linterpolation de la fonction inconnue obtenue en multipliant les

fonctions de forme par les valeurs connues et en sommant les contributions. Dans la

colonne de droite, trois figures illustrent lapproximation MLS. Les fonctions poids

`, () choisies sont prsentes sur la figure (c) en mettant nouveau en

vidence le nud central. Les fonctions de forme construites laide de celles-ci

sont prsentes sur la figure (d). Enfin, lapproximation MLS de la fonction inconnue,

obtenue en multipliant les fonctions de forme par les valeurs connues et en sommant les

contributions par application de (I.33), est illustre sur la figure (e).


17

FIG I.6 Interpolation par lments finis et approximation sans maillage, (daprs [16]).

I.2.2.2. Mthodes DEM (diffuse element method) et EFGM (element-free Galerkin

method)

Les fonctions de forme MLS sont utilises dans deux mthodes de rsolution dPDE :

la mthode des lments diffus (DEM) [4] et la mthode EFGM (Element-free Galerkin

method) [5]. Ces mthodes sont trs proches, la diffrence que les drives des

fonctions de forme sont calcules de manire approche dans la premire :

=

+

()

(. 35)

1) Drives des fonctions de forme

Les termes en gras sont ignors dans la mthode des lments diffus.

=

( ) `, ` +

`, ` (. 36)

=

+ 1

=

+ 1

= 1

+ 1

(. 37)

=

`, `

` (. 38)


18

I.2.3. Mthodes particulaires utilisant le principe Partition de lunit (PU)

I.2.3.1. Dfinition de lapproximation Partition de lunit (PU)

Une partition de lunit sur un domaine born est dfinie [15] par la donne dune

partition du domaine (ensemble fini douverts tels que et = ) et de

fonctions continues sur (en gnral valeurs dans *0,1+) telles que ()

et

=

(I. 39)

Supposons quon dispose de fonctions de forme (EF, MLS, SPH ou autre) qui

dfinissent une partition de lunit, ce qui est quivalent imposer la consistance

lordre 0. On peut alors enrichir lapproximation de la manire suivante :

=

+ (I. 40)

Dans le terme ajout, on peut utiliser quun sous-ensemble des points i dans la

somme, ou on peut utiliser une autre partition de lunit la place des (ce qui permet

de rduire la dpendance entre les et les , en prenant des points diffrents ou des

supports diffrents). Ce faisant, on a ajout la fonction dans lensemble des fonctions

approches de manire exacte.

I.2.3.2. Hp-clouds et PUFEM (Partition of Unity Finite Element Method)

Utilise les fonctions de forme EF et des fonctions de base polynomiales [15].

= () + ()

=1

(I. 41)

= () (I. 42)

I.2.4. Mthodes sans maillage de type lments naturels

I.2.4.1. Mthode NEM

1) Diagramme de Voronoi, triangulation de Delaunay et voisins naturels

Les notions de voisins naturels et l'interpolation base sur les lments naturels ont

t introduites par Sibson [17] pour raliser des interpolations partir d'ensembles de

points trs irrguliers. Cette interpolation est base sur les constructions gomtriques

connues sous le nom de diagramme de Voronoi et de triangulation de Delaunay. Le

concept de diagramme de Voronoi a t introduit 1'origine par les mathmaticiens

(Dirichlet, 1850; Voronoi, 1908) et plus tard applique dans de nombreux domaines

scientifiques. Le diagramme de Voronoi est dfini de la manire suivante : un

diagramme de Voronoi d'un ensemble de points dans divise 1'espace de dimension

m en rgions , chacune associee a un nud , telles que tout point 1'intrieur d'une


19

de ces rgions dfinissant la cellule. Un exemple de diagramme de Voronoi dans le cas

2D est prsent dans la figure I.6.

FlG. I.7 (a) Diagramme de Voronoi d'un ensemble de points dans le plan; (b) triangulation de

Delaunay associe et cercle circonscrit a un triangle, (daprs [19]).

Le diagramme de Voronoi est unique pour un ensemble de points donn. II ralise

une partition de 1'espace et peut tre tendu a n'importe quelle dimension. Le

diagramme de Voronoi est formellement dfini par :

= : , < , , (I. 43)

O Ti est une cellule de Voronoi associe a un nud ni, x est la position d'un point

quelconque, xi dfinit les coordonnes du nud ni, et d x, xj est la distance entre le

nud ni et un point .

En reliant les nuds partageant une face de cellule de Voronoi commune, on obtient

la triangulation de Delaunay (introduite par Voronoi (1908) et tendue par Delaunay

(1934)) (figure I.6 (b)). Les cercles circonscrits aux triangles de Delaunay ont la proprit

de ne contenir aucun nud. Les cellules de Voronoi sont des polygones (polyedres

en 3D) strictement convexes, et non bornes pour les nuds prsents sur 1'enveloppe

convexe du domaine. Enfin les sommets des cellules de Voronoi sont les orthocentres

des triangles de Delaunay, centres des cercles circonscrits ces triangles. Ces dfinitions

se gnralisent en 3D (les triangles sont alors des ttradres, les cercles des sphres, et

les polygones de Voronoi des polydres).

Les voisins naturels d'un nud sont les nuds associes aux cellules de Voronoi

voisines, ou encore qui sont connectes au nud par une arte d'un triangle (ttradre en

3D) de Delaunay. On peut remarquer que dans tous les cas, mme lorsque la

disposition des nuds est irrgulire, que la distance entre nuds est importante dans

certaines zones ou encore que la distribution nodale est fortement anisotrope, que

l'ensemble des voisins naturels d'un nud reprsente toujours le meilleur choix

possible de nuds voisins. Ces nuds sont donc de bons candidats pour dfinir un

schma d'interpolation locale.

2) Fonctions de forme lments naturels

Les fonctions de forme lments naturels ont t introduites par Sibson [17] pour

construire une interpolation a partir de nuages de nuds quelconques. Les concepts de

voisin le plus proche et de voisins naturels sont associes aux cellules de Voronoi


20

dcrites prcdemment, appeles encore cellules du premier ordre. Par extension, on

peut dfinir des cellules de Voronoi d'ordre suprieur (a 1'ordre k, k > 1). Le cas de

1'ordre 2 a un intrt particulier. Une cellule de Voronoi du second ordre est associe

un couple de nuds (k nuds pour 1'ordre k), telle que est la zone dans laquelle

tout point x pour plus proche voisin le nud et pour deuxime voisin le plus

proche le nud . La cellule du second ordre est dfinie formellement par :

=

: , < , < , , , , (I. 44)

Si lon considre 1'exemple 2D de la figure I.7, la cellule du premier ordre associe

au point x est le polygone (bcef) et la cellule du second ordre associe au point x et

au nud est le polygone (abcd).

Pour calculer la valeur de 1'interpolation en un point x, on construit la cellule de Vo-

ronoi associe au point x dans le diagramme de Voronoi du nuage de points.

FlG. I.8 Calcul des fonctions de forme de Sibson (a gauche) et de Laplace (a droite), (daprs

[19]).

Fonctions de forme de Sibson

Soit une mesure, (longueur en 1D, aire en 2D, volume en 3D) de la cellule du

premier ordre et la mesure de la cellule du second ordre . La fonction de forme

calcule au point x associe au nud est dfini comme le rapport entre et ,

soit :

=

, =

=1

(I. 45)

Si 1'on considre 1'exemple 2D de la figure I.7 (gauche), la fonction de forme calcule

en x et associe au nud est donne par :

= ()

() (I. 46)


21

Fonctions de forme de Laplace (ou non-Sibsoniennes)

Il existe d'autres fonctions de forme similaires de type lments naturels, appeles

fonctions de forme de Laplace ou fonctions de forme non-Sibsoniennes [18]. Soit la

mesure de la face de Voronoi (longueur en 2D, aire en 3D) sparant le point x du nud

et la distance euclidienne entre x et (figure. I.7 (droite)). Les fonctions de forme

sont alors donnes par 1'expression suivante :

=()

()=1

, () =

(I. 47)

O est le nombre de voisins naturels. Les fonctions de forme de Laplace sont moins

couteuses calculer que les fonctions de forme de Sibson, car elles ne ncessitent que

1'valuation de longueurs (aires en 3D), alors que les fonctions de forme de Sibson

ncessitent 1'valuation des aires (volumes en 3D) des intersections entre cellules de

Voronoi.

I.2.4.2. Mthode C-NEM

Pour remdier au problme des bords non convexes, la solution la plus simple consiste

utiliser la triangulation de Delaunay contrainte associe un critre de visibilit. La

triangulation de Delaunay contrainte permet dimposer les artes du bord dans la liste

des artes de la triangulation. Le critre de visibilit permet dviter que des points

situs de part et dautre dune frontire interne du modle ne sinfluencent

mutuellement (figure I.8). Ainsi, deux points situs de part et dautre dune frontire du

modle ne pourront pas tre des voisins naturels. La mthode NEM devient alors C-

NEM (contraint-NEM) [19]. De cette manire, comme sur un bord convexe, les cellules de

Voronoi associes aux points de la frontire sont toutes infinies dans la direction de la

normale extrieure au domaine, et leurs ventuelles intersections ne sont pas prises en

compte puisque les points ne sont pas considres comme voisins naturels. Ce critre de

visibilit, qui tronque artificiellement lensemble des voisins naturels dun nud, est

matrialis sur la figure I.8 (en bas) par des lignes en pointills. On constate que les

sommets 1 et 4 ne sont plus voisins naturels et que, leurs cellules de Voronoi ntant

pas bornes, linfluence que pourraient avoir les nuds intrieurs (par exemple

linfluence de 2 sur 1) disparait.


22

FIG. I.9: Triangulation de Delaunay non contrainte (en haut) ou contrainte par les artes de la

frontire et un critre de visibilit (en bas). Dpres [19].

I.2.5. Mthodes sans maillage bases sur la mcanique statistique

Lcoulement d'un fluide peut se prsenter sous une varit de configurations

s'tendant des coulements simples tels que l'coulement laminaire dans une conduite

(coulement de poiseuille) aux coulements plus complexes tels que les coulements

turbulents, les coulements multiphasiques, les coulements dans les milieux poreux,

les coulements des fluides complexes, etc.

Plusieurs configurations d'coulement ont t tudies exprimentalement,

cependant il est avantageux de dvelopper des modles numriques capables de

simuler ces coulements. Les mthodes numriques classiques pour la simulation des

fluides sont bases essentiellement sur la rsolution des quations de Navier-Stokes.

Pendant ces dix dernires annes, la mthode de dynamique molculaire (DM), la

mthode de gaz sur rseau (LGA) et la mthode de Boltzmann sur rseau (LBM) sont

apparue comme de nouvelles approches numriques alternative bases sur la

mcanique statistique [20].

I.2.5.1. Mthode de dynamique molculaire

Il est bien connu quun fluide est compos par des atomes/molcules discret. Par

consquent, la trace des mouvements et les collisions de toutes les molcules devient

une manire vidente de la simulation d'coulement. C'est lapproche de dynamique

molculaire et il est souvent utilis en science des matriaux et la recherche biologique,

en particulier pour tudier la structure, la dynamique et la thermodynamique des

molcules biologiques [21]. La mthode de DM est dtermine: chaque pas de temps,


23

la nouvelle position et la vitesse de toutes les molcules qui est calcules partir de

leur position et la vitesse prcdentes bases sur la deuxime loi de newton.

Evidemment, la simulation par la mthode de DM demand un temps de calcul

trop cher. En consquence, le nombre de molcules qui peuvent tre simules encore

trs limit ce stade. On a propos deux manires possibles [22] de rduire les

demandes de la mthode de DM. D'abord, au lieu de considrer chaque molcule

individuelle lchelle microscopique, on remplac par des particules fluide lchelle

msoscopique, qui se composent d'un groupe de molcules sont considres dans la

simulation. En second lieu, le degr de la libert du systme peut tre rduit dun

forant que les particules se dplacer dans une direction indiques. Il est bas sur ces

concepts la mthode de Boltzmann sur rseau et son anctre la mthode de gaz sur

rseau, qui sont appliqu avec succs pour simuler lcoulement du fluide et les

phnomnes de transport.

I.2.5.2. Mthode de gaz sur rseau (LGA)

En 1973, apparaissent les automates cellulaires, les gaz boolens sur rseau proposs

par Hardy, de Pazzis et Pomeau [23]. En effet dans cette mthode l'espace, le temps, les

vitesses et le nombre de particules prsentes un instant donn en un point donn sont

discrets. Cela dans le but de disposer d'un simulateur le plus simple possible

programmer sur ordinateur, pour modliser les coulements fluides.

Le modle Hardy, de Pazzis et Pomeau [23] est un automate bidimensionnel. II

consiste a discrtiser 1'espace par un rseau carre de pas x = 1. On associe a chaque

lien (i.e. arte) du rseau une quantit qui prend la valeur 1 s'il y a une particule ou 0

sinon. L'volution en un pas de temps unit (i.e.t = 1) se dcompose de la manire

suivante :

1. Collision : Cette tape est locale et implique uniquement les liens qui arrivent au

mme nud. Parmi les configurations possibles se trouve la collision frontale de deux

particules qui peuvent subir une variation de 2 de la direction de leur vitesse.

2. Advection : Les particules prsentes en chaque lien sont transporter vers les quatre

plus proches voisins selon leurs vitesses respectives, qui sont donnes par

v = v1 = 1, 0 , v2 = 0,1 , v3 = 1, 0 , v4 = (0,1) . On note que les mouvements

sont synchronises de sorte qu'pres advection toutes les particules sont exactement sur

les sites (nuds) du rseau.

L'quation dvolution du schma s'crit alors :

+ v , + 1 = , + (I. 48)

O , est le nombre de particules de vitesse v au nud au temps t et

{0,1}. Les indices j, k dsignent le numro de la vitesse discrte, , {1, 2, 3, 4}.

Le terme modlise 1'operateur de collision.


24

FIG I.10 Exemple dun pas de temps dans lvolution dun rseau de gaz bidimensionnel. (a) tat

initial: chaque flche reprsente une particule dplacer selon la direction de la flche ; (b)

tape dadvection: chaque particule dplace une unit de rseau dans la direction de sa

vitesse ;(c) tape de collision, Daprs [24].

I.2.5.3. Mthode de Boltzmann sur rseau (LBM)

Historiquement le schma de Boltzmann sur rseau est obtenu partir des automates

cellulaires. En effet Mac Namara et Zanetti [25] ont propose de remplacer dans

1'quation (1.48) les variables boolennes par leur moyenne et d'obtenir une

formulation fonde sur 1'quation de Boltzmann avec comme quation dvolution :

+ v , + 1 = , + , avec 0 j b (I. 49)

La variable de base est qui est la moyenne spatiale de 1'ancienne variable discrte

effectue sur un nombre de nuds donn. Cette grandeur est continue, prend ses

valeurs dans le segment [0,1] et peut s'interprter comme une distribution, ou

probabilit de prsence de particules. On note ici la difficult d'exprimer 1'oprateur de

collision surtout lorsque le nombre de vitesses discrtes est important (espace de

dimension trois). Pour simplifier le schma on peut introduire 1'operateur de collision

linaris autour d'un tat d'quilibre [26]. Ainsi le schma de Boltzmann est

simplifie et 1'operateur de collision s'crit sous la forme suivante :

= 1

(I. 50)

O est la fonction de distribution d'quilibre (la fonction de distribution de

Maxwell-Boltzmann), et est le temps de relaxation.

a c b

Chapitre II Modlisation et simulation des coulements multiphasiques

25

Dans ce chapitre, nous prsentons une synthse de quelques travaux rcents relatifs

diverses applications des mthodes meshless notamment pour des coulements

multiphasiques.

II.1. Simulation numrique des coulements multiphasiques par la

mthode Element Free Galerkine (EFG)

Changfu You, Xi Wang, Haiying Qi, Ruichang Yang, Delong Xu (2008) [27] ont utilis

la mthode EFG pour simuler la collision des particules dans un coulement

multiphasique avec une distribution des nuds approprie aux mthodes meshless.

Les quations de contrle ont t discrtises par la mthode de Galerkine dans

l'espace et la mthode des lments finis dans le temps. Les forces du fluide sur les

particules ont t obtenues par lintgration des forces de tension et de cisaillement sur

les surfaces des particules. Lors de la simulation du mouvement d'une particule dans

un canal une alle de Von Karman se forme derrire la particule avec l'augmentation

de la vitesse de celle-ci. Des coulements avec un nombre lev de particules ont t

simuls. Les rsultats obtenus montrent que la mthode EFG est capable de traiter des

collisions de particules relles.

II.1.1. Mthode EFG

On considre une approximation dune fonction dans un domaine . Ce dernier

est discrtis en sous-domaines. Le domaine contient un ensemble de nuds , o

= 1,2, sont construits avec l'approximation lie la fonction au nud .

La mthode EFG utilise l'approximation des moindres carrs mobiles pour

construire la fonction de forme.

= = ()

=1

= 1 (II 1)

o m est le nombre de termes dans la fonction de base, est le polynme des

fonctions de base et des coefficients.

CHAPITRE 2 Modlisation et simulation des coulements multiphasiques


26

Lancaster et Salkauskas [28] dfinissent une approximation locale par :

, = = ()

=1

(II 2)

On cherche alors les coefficients en minimisant la diffrence entre

lapproximation (II.2) et les valeurs connues par la mthode des moindres carrs.

Cela revient minimiser la fonction :

= ( )

2

n

=1

(II 3)

Lquation (II-3) peut tre crite comme suit :

= T ( )

O = 1,2 ,

= ( 1 , 1 . . )

= ( 1 , 2 . .

La mthode des moindres carrs est utilise pour trouver les coefficients

()

()= = 0

O = =

= 1 (II 4)

La substitution de l'Equation (II 4) dans lEquation (II 1) donne :

= 1

La fonction de poids utilise dans est galement choisie par (Luo et al.) [29] :

=

2

2 + 1

1

2

2

4

,

0, >

O = est la distance entre et est le rayon de domaine linfluence

du nud i.

II.1.2. Rsultats et discussions

Le mouvement des particules dans un canal a t simul par la mthode EFG. Les

caractristiques du fluide et des particules sont respectivement les suivants :

= 1,0 3 , = 1,0 102 2 et = 1,01

3 , = 1,0 . On suppose le

canal horizontal et on nglige les forces de pesanteur. Le domaine est reprsent sur la

figure (II-1). On applique la particule une force extrieure constante, = ., avec m

reprsentant la masse de la particule et lacclration = 1 2 . Comme montr sur la


27

figure (II-2), les vortex qui se forment derrire la particule avec l'augmentation de la

vitesse de particules deviennent de plus en plus asymtriques et forment une alle de

Von Karman.

FIG II.1 le domaine de simulation pour une particule

FIG II.2 Evolution de l'coulement autour d'une particule mobile : (a) t = 6,25 s; (b) t = 12,5 s et (c) t = 18,75 s.

Le mouvement de deux particules se dplaant dans un fluide a t galement

simul. Le domaine de simulation est montr sur la figure (II.3). Les hypothses de

travail sont identiques au cas prcdent sauf pour ce qui concerne les caractristiques

du fluide et des particules qui sont respectivement : = 1.0 3 , = 1.0

102 2 et = 1.05 3 , = 1.0

La Fig. (II.4) montre l'volution du champ de vitesse diffrents instants ainsi que

linteraction entre les deux particules. Etant donn que la premire particule exerce une

force de rsistance sur la deuxime particule, cette dernire se dplace plus rapidement.

Dans les coulements gaz-particules, les collisions de particules affectent

considrablement le champ d'coulement et rendent difficile la simulation par les

mthodes classiques. Par contre, les mthodes meshless qui ne ncessitent pas un

maillage, ont plus de flexibilit et dadaptabilit pour ces coulements.


28

FIG II.3 Domaine de simulation pour deux particules

Fig. (II.4) Champ de vitesse d'un systme de deux-particule diffrents instants : (a) t = 0,1 s; (b) t = 0.5s; (c) t = 0.62s et (d) t = 0,68 s.

La Fig. II.5 montre plusieurs collisions entre les particules de t = 0.087 0.090 s avec

le changement rapide des vitesses de particules. Les rsultats montrent que les

mthodes meshless peuvent modliser et simuler les collisions relles de particules.

Un autre exemple est simul avec 95 par

Documents

ATIA Abdelmalek