Atlas Raspodela

ATLAS RASPODELADragan oriFakultet organizacionih nauka, Beograd

Jovan MalixiMatematiqki fakultet, Beograd

Vesna JevremoviMatematiqki fakultet, Beograd

Emilija Nikoli - oriPo oprivredni fakultet, Novi Sad

SADRAJPredgovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spisak nekih oznaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! " # $ % & ' ! ! !IX XI

Neprekidne raspodele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Sluqajne promenive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Neprekidne sluqajne promenive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Tip raspodele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Familije raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Osnovne numeriqke karakteristike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Mere asimetrije i spoxtenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Entropija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Karakteristiqma funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Generatrisa momenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Ocene parametara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Transformacija sluqajne promenive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Modelirae sluqajnih promenivih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Testovi saglasnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Grafiqke metode ispitivaa sglasnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Arkussinus [ASS1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arkussinus [AS1(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arkussinus [ASS2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arkussinus [AS2(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beta [B2 (a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 23 25 28 30

Opis raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ! " #

iv

Sadr aj

$ Beta [B4 (a, b, c, d)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % Beta prim [BP (a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & Bradfordova [BR(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' Burova - tip II [BU 2(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Burova - tip III [BU 3(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Burova - tip IV [BU 4(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Burova - tip V [BU 5(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! Burova - tip V I [BU 6(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " Burova - tip V II [BU 7(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . # Burova - tip V III [BU 8(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $ Burova - tip IX [BU 9(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % Burova - tip X [BU 10(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & Burova - tip XI [BU 11(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' Burova - tip XII [BU 12(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vejbulova [W1 (a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vejbulova [W2 (a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! " # $ % & ' ! ! ! !! !" !# !$ !%

38 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 71 Vejbulova [W3 (a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Vejbulova [W4 (a, b, c, d)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Vejbulova - negativna [W N (a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Vejbulova - dvostrana [W D(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Vejbulova - eksponencijalna [W E(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Vejbulova - uopxtena [W U (a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Vejbulova - eksponencijalizovana [W EX(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . 88 Vejbulova - modifikovana [W M (a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Vejbulova - zaseqena [W Z(a, b, c, , )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Vejbulova - zaseqena [W ZL(a, b, c, )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Vejbulova - zaseqena [W ZD(a, b, c, )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Gama [G1 (a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Gama [G2 (a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Gama [G3 (a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Gama - zaseqena [GZ1(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Gama - zaseqena [GZ2(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Sadr aj

v

!& !' " " " "! "" "# "$ "% "& "' # # # #! #" ## #$ #% #& #' $ $ $ $! $" $# $$ $% $& $'

Gilbratova [GL] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Gumbelova [GU ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Gumbelova negativna [GU N ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Gumbelova [GU 1(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Gumbelova [GU 2(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Gumbelova - zaseqena [GU 2Z(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Eksponencijalna [E] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Eksponencijalna [E1 ()] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Eksponencijalna [E2 (, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Eksponencijalna - zaseqena [EZ(, T )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Eksponencijalna [ES(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Erlangova [ER1(n)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Erlangova [ER2(n, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Erlangova [ER3(n, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Zipf [Z(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Inverzna gama [IG(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Inverzna Gausova [IG1(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Inverzna Gausova [IG2(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Inverzna Relejeva [IR(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Inverzna hi kvadrat [I2 (n)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Inverzna hi kvadrat [I2 (n, 2 )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Koxijeva - standardna [C] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Koxijeva - zaseqena [CZ1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Koxijeva - zaseqena [CZ2(T )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Koxijeva [C1 (a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Koxijeva [C2 (a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Koxijeva [C4 (a, b, c, d)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Kosinus [COS1(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Kosinus [COS2(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Kosinus [COS3(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Kumarasvamijeva [KM (a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Laplasova [L1 ()] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

vi

Sadr aj

% Laplasova [L2 (, a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 % Laplasova - asimetriqna [LA1(a, 1 , 2 )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 % Laplasova - asimetriqna [LA2(, p, a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 %! Laplasova - asimetriqna [LA3(, a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 %" Laplasova - asimetriqna [LA4(, p, a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 %# Laplasova - asimetriqna [LA5(, p)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 %$ Laplasova - zaseqena [LZ1(, a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 %% Laplasova - zaseqena [LZ2(, a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 %& Laplasova - uopxtena [LU (, p, a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 %' Levijeva [LV (a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & Logaritamska [LOG1(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 & Logaritamska [LOG2(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 & Logaritamska [LOG3(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 &! Log-gama [LGG1(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 &" Log-gama [LGG2(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Logistiqka - standardna [LG] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 &$ Logistiqka - zaseqena [LGZ1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 &% Logistiqka - zaseqena [LGZ2(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 && Logistiqka - zaseqena [LGZ3(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 &' Logistiqka [LGS(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 ' Logistiqka - zaseqena [LGZ(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 ' Logistiqka [LG1(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 ' Logistiqka [LG2(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 '! Logistiqka [LG3(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 '" Logistiqka [LG4(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 '# Logistiqka [LG5(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 '$ Logistiqka - zaseqena [LG5Z1(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 '% Logistiqka - zaseqena [LG5Z2(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 '& Logistiqka - zaseqena [LG5Z3(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 '' LogKoxijeva [LK(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Loglogistiqka [LLG1(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Loglogistiqka [LLG2(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Sadr aj

vii

! " # $ % & ' ! " # $ % & ' ! " # $ % & ' ! ! ! !!

Loglogistiqka [LLG3(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Lognormalna [LN2 (m, 2 )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Lognormalna [LN3 (m, 2 , c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Lognormalna [LN4 (m, 2 , c, )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Lognormalna - uopxtena [LN U (m, 2 , a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Maksvelova [M AX(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Mojalova [M O] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Nakagamijeva [N K(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Normalna (Gausova) [N (0, 1)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Normalna [N (m, 2 )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Normalna - zaseqena [N Z(m, 2 , T1 , T2 )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Normalna - zaseqena [N ZD(m, 2 , T )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Normalna - zaseqena [N ZL(m, 2 , T )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Normalna - presavijena [N P (m, 2 )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Paretova [P AR(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Paretova [P AR2(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Paretova - zaseqena [P ARZ(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Paretova [P AR3(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Paretova [P AR4(a, b, c, d)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Paretova - uopxtena [P ARU 1(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Paretova - uopxtena [P ARU 2(a, b, c, d)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Pirsonova [P IR1(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Pirsonova [P IR2(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Pirsonova [P IR3(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Pirsonova [P IR4(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Pirsonova [P IR5(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Pirsonova [P IR6(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Pirsonova [P IR7(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Pirsonova [P IR8(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Pirsonova [P IR9(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Pirsonova [P IR11(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Pirsonova [P IR12(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

viii

Sadr aj

!" !# !$ !% !& !' " " " "! "" "# "$ "% "& "' # # # #! #" ##

Relejeva [R1 ()] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Relejeva [R2 (c, )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Relejeva - dvostrana [RD(c, )] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Rajsova [RC(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Stepena [S(a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Studentova [t(n)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Studentova [t(n, a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Studentova - necentralna [t (n, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Trougaona [T R(a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Uniformna [U (a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Fixerova [F (m, n)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Fixerova Z [F Z(m, n)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Fon Mizisova [F M (a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 FonMizisova - bimodalna [F M B(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Helmertova [H(n)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Hi [1 (a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Hi [2 (a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 Hi [3 (a, b, c)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 Hi - necentralna [ (n, a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Hi kvadrat [2 (n)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 Hi kvadrat - necentralna [2 (n, a)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 Hiperboliqka [HS(a, b)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

Dodatak - specijalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

PREDGOVORU statistiqkoj obradi podataka dobijenih mereem vrednosti neke sluqajne veliqine (sluqajnog obeleja na elementima populacije, pre svega mereem numeriqkog obeleja) qesto se postava pitae koji statistiqki model odabrati. Drukqije reqeno, postava se pitae iz koje teorijske raspodele moda potiqu dobijeni rezultati merea. Ovaj Atlas qini jedan pokuxaj da se pomogne svima onima koji imaju potrebe da rexavaju navedeni zadatak. Pri obradi statistiqkih podataka, koji predstavaju izmerene vrednosti nekog numeriqkog sluqajnog obeleja, obiqno prvo treba odgovoriti na pitae da li se radi o diskretnom ili o neprekidnom obeleju. Pod diskretnim obelejem (tj. diskretnom sluqajnom veliqinom) podrazumevamo svako ono obeleje qiji skup moguih vrednosti je samo konaqan ili prebrojiv skup realnih brojeva: Pod neprekidnim obelejem, pak, podrazumevamo svako ono obeleje qiji skup moguih vrednosti je skup svih realnih brojeva sa jednog ili vixe intervala, koji mogu biti kako otvoreni tako i zatvoreni (sa jedne ili sa obe strane), kako konaqni tako i beskonaqni. Ovaj Atlas posveen je samo raspodelama neprekidnih sluqajnih veliqina. Koji od statistiqkih modela e istraivaq u svom radu odabrati zavisi od mnogo faktora. Meu ima svakako nivo poznavaa statistiqkih raspodela (i ranijih iskustava) nije zanemariv. U dolaeu do konaqnog opredeea za neki statistiqki model obiqno treba proi nekoliko koraka i koristiti se "metodom eliminacije". Kada istraivaq sredi podatke formirajui varijacioni niz (tj. reajuc1i podatke po veliqini, poqev od najmaeg pa do najveeg rezultata), sledei korak bi bio formirae tabela sa frekvencijama pojavivaa vrednosti po pojedinim podintervalima skupa moguih vrednosti. Posle toga, najqexe se daje grafiqki prikaz dobijenih rezultata putem formiraa poligona i/ili histograma, koji odgovaraju izabranim podintervalima (klasama vrednosti) i ihovim frekvencijama (relativnim i/ili apsolutnim). Ukoliko dobijeni poligoni odnosno histogrami podseaju na grafike gustine neke raspodele, onda je ta raspodela jedan od moguih kandidata za izbor teorijskih modela. Takvih kandidata moe da bude vixe. Taj skup kandidata e se dae suavati na osnovu novih informacija, kao xto su: skup moguih vrednosti, broj (i vrednosti ) nepoznatih parametara, sreda vrednost, disperzija, medijana, modus, vea ili maa oqekivana simetriqnost raspodele, vea ili maa spoxtenost itd. Kada se, korixeem gorih informacija, skup moguih kandidata svede na samo ih nekoliko, onda u konaqnom opredeeu moe vanu ulogu da odigra i jednostavnost u analitiqkim izrazima za gustine, za matematiqka oqekivaa, disperzije, koeficijente asimetrije itd. Naravno, treba imati na umu i to da e qesto biti i vixe od jedne raspodele koja e moi da se izabere kao model. Adekvatnost izabrane raspodele najqexe se proverava korixeem

x

Predgovor

Pirsonovog 2 -testa, mada ima i mnogo drugih testova. Pri korixeu Kolmogorovevog testa treba biti veoma oprezan, s obzirom na to da se u emu unapred podrazumeva poznavae svih parametara raspodele. Za raspodele u ovom Atlasu dati su sledei podaci: { funkcija gustine, { skup vrednosti i znaqee parametara, { karakteristiqni grafici gustine u zavisnosti od parametara. Za znaqajnije raspodele dati su i neki od sledeih podataka: { funkcija raspodele, { karakteristiqna funkcija, { generatrisa momenata, { entropija, { momenti, { modus i medijana { koeficijenti asimetrije i spoxtenosti, { ocene parametara, { oblasti primene, { generisae vrednosti odgovarajue sluqajne promenive. Osim toga, za veinu raspodela data su i neka dodatna svojstva kao i veze sa drugim raspodelama. Pre opisa pojedinih raspodela, u uvodnom delu pod nazivom Neprekidne raspodele date su definicije svih pojmova koji se koriste u Atlasu, kao i najvanihi rezultati koji mogu biti korisni u primeni raspodela. Kratak prikaz specijalnih funkcija koje se pomiu u Atlasu dat je posle opisa raspodela, kao Dodatak. Na kraju kige je spisak korixene literature. Za pomo pri izradi finalne verzije Atlasa zahvaujemo se recenzentima, Dr Pavlu Mladenoviu, profesoru Matematiqkog fakulteta u Beogradu i ??? Beograd, 2007. Autori

SPISAK OZNAKAOpxte oznake {a, b, c} AB AB A\B Xmin , Xmax xa f :AB |x| z a/bn

beskonaqno prazan skup skup qiji su elementi a, b i c unija skupova A i B presek skupova A i B razlika skupova A i B najmai i najvei element skupa {X1 , X2 , . . . , Xn } x tei a funkcija f preslikava skup A u skup B priblino apsolutna vrednost broja x kougovano komleksni broj broja z razlomak - isto xto i a b zbir brojeva a1 , a2 , . . . , an proizvod brojeva a1 , a2 , . . . , an izvod funkcije jedne promenive parcijalni izvod funkcije f po x neodreeni integral funkcije f odreeni integral funkcije f na (a, b)

aii=1 n

aii=1

df dx f f (x, y) x f (x)dxb

f (x)dxa

xii Brojevi R N C e m n n! (2n)!! (a, b) [a, b] B2n

Spisak oznaka

skup realnih brojeva skup prirodnih brojeva skup kompleksnih brojeva konstanta ( 3.141592) osnova prirodnog logaritma ( 2.71828) Ojlerova konstanta ( 0.577) binomni koeficijent faktorijel (= 1 2 (n 1) n) dvostruki faktorijel ( = 2 4 (2n 2) 2n) skup realnih brojeva x za koje vai a < x < b skup realnih brojeva x za koje vai a x b Bernulijevi brojeviSluqajne promen ive

gX , g FX , F E(X) D(X) mr r M H(X) 1 (X) 2 (X) CV (X) Q1 , Q3 M o(X) M e(X) X : W1 (a)

gustina sluqajne promenive X funkcija raspodele sluqajne promenive X oqekivae sluqajne promenive X disperzija sluqajne promenive X standardna devijacija r-ti moment sluqajne promenive r-ti centralni moment sluqajne promenive karakteristiqna funkcija generatrisa momenata entropija sluqajne promenive X koeficijent asimetrije koeficijent spoxenosti koeficijent varijacije prvi i trtei kvartil modus ili mod sluqajne promenive X medijana sluqajne promenive sluqajna promeniva ima raspodelu W1 (a)

Spisak oznaka

xiii Uzoraqke veliqine

X n, X Sn, S2 D n , Dn2 Sn , S 2 2

Sn, Sr X n , X r , Mr

L a, a

sreda vrednost uzorka X1 , . . . , Xn uzoraqka disperzija uzoraqka disperzija (poznato oqekivae) modifikovana uzoraqka disperzija uzoraqka standardna devijacija uzoraqki momenat reda r funkcija verodostojnosti ocene parametra aSpecijalne funkcije

(a, ) (a, ) P (a, ) Q(a, ) (1) (n) B Bx Ix erf , erf c Ja Ia Na Ka M, 1 F1c Ln , Nn

gama funkcija nepotpuna gama funkcija nepotpuna gama funkcija nepotpuna gama funkcija nepotpuna gama funkcija digama funkcija trigama funkcija poligama funkcija beta funkcija nepotpuna beta funkcija nepotpuna beta funkcija funkcija raspodele normalne standardne raspodele funkcije grexke Rimanova zeta funkcija Beselova funkcija prve vrste modifikovana Beselova funkcija prve vrste Beselova funkcija druge vrste modifikovana Beselova funkcija druge vrste hipergeometrijska funkcija Lagerov i uopxteni Lagerov polinom

xiv Elementarne funkcije sin cos tan arcsin arccos arctan sh ch tanh exp ln

Spisak oznaka

sinus kosinus tangens arkusinus arkuskosinus arkustangens sinus hiperboliqki kosinus hiperboliqki tangens hiperboliqki eksponencijalna funkcija ( exp(x) = ex ) logaritamska funkcija sa osnovom e

NEPREKIDNE RASPODELEU ovom delu su date definicije i osnove qienice koje se odnose na raspodele neprekidnih sluqajnih promenivih ili krae, neprekidne raspodele .1 Sluqajne promen ive i funkcije raspodela

Pojam sluqajne promenive uveo je Karl Pirson 1 1909. godine. Neka je (, F, P ) prostor verovatnoe ( je skup elementarnih dogaaja, F je -algebra dogaaja, a P je verovatnoa definisana na (, F)) i neka je B Borelova -algebra podskupova skupa realnih brojeva R.Definicija 1 Funkcija X : R je sluqajna promeniva (veliqina) ako je mer iva u odnosu na -algebre F i B, odnosno ako za svaki Borelov skup B B va i X 1 (B) = { : X() B} F.

Iz definicije sledi da se na prirodan naqin moe definisati verovatnoa skupa B za svaki Borelov akup B B. Funkcija PX : B R definisana saPX (B) = P (X 1 (B))

je verovatnoa i naziva se raspodela verovatnoa sluqajne promenive X . Specijalno, za x R moemo da uzmemo B = (, x].1.1 Funkcija raspodeleDefinicija 2 Funkcija FX : R R definisana sa FX (x) = P { : X() x} je funkcija n ive X.

raspodele verovatnoa

ili kra e,

funkcija raspodele

sluqajne prome-

Ako je jasno o kojoj promenivoj je req, umesto FX moe se pisati F . Funkcija F je rastua, neprekidna s desne strane za svaki realan broj x i vai: Izdvajaju se tri tipa funkcija raspodele: diskretne, apsolutno neprekidne i singularne, pri qemu svaka funcija raspodele F moe da se prikae u oblikuF (x) = F1 (x) + F2 (x) + (1 )F3 (x),1 Karl

x

lim F (x) = 0,

x+

lim F (x) = 1.

, 0,

Pearson (1857-1936) - engleski matematiqar

1

2

Neprekidne raspodele

gde je F1 apsolutno neprekidna, F2 diskretna i F3 singularna funcija raspodele. Ovde dajemo samo definiciju apsolutno neprekidne funkcije raspodele obzirom da su u Atlasu zastupene samo neprekidne raspodele.Definicija 3 Funkcija raspodele F sluqajne promen ive X je apsolutno ako postoji integrabilna funkcija g : R R takva da za svaki realan broj x va i

neprekidna

x

F (x) =

g(t)dt.

Funkcija g je

gustina raspodele

sluqajne promen ive X.

Apsolutno neprekidna funkcija raspodele je neprekidna i diferencijabilna skoro svuda, pri qemu u taqki diferencijabilnosti x vai g(x) = F (x). Svaka nenegativna integrabilna funkcija g : R R za koju + je g(t)dt = 1 je gustina neke raspodele.1.2 Nezavisnost sluqajnih veliqina

Za dve ili vixe sluqajnih promenivih definixe se pojam nezavisnosti.Definicija 4 Sluqajne promen ive X i Y na istom prostoru verovatno e (, F, P ) su nezavisne ako za svaka dva Borelova skupa A i B iz B va i P { : X() A, Y () B} = P { : X() A} P { : Y () B}.

Na sliqan naqin se definixe nezavisnost tri ili vixe sluqajnih promenivih. Nezavisnost moe da se izrazi i pomou funkcija raspodele. Na primer, sluqajne promenive X i Y su nezavisne ako i samo ako je za svaka dva realna broja x i y.2P { : X() x, Y () y} = FX (x) FY (y)

Neprekidne sluqajne promen ive

Za razliku od diskretnih sluqajnih veliqina, neprekidna sluqajna promeniva uzima vrednosti iz nekog intervala ili unije intervala realne prave. Pri tome, interval moe da bude konaqan ili beskonaqan, kao i zatvoren, otvoren ili poluzatvoren.Definicija 5 Sluqajna promen iva X je apsolutno funkcija raspodele F apsolutno neprekidna.

neprekidna

ako je

ena

Ako je sluqajna promeniva apsolutno neprekidna, kaemo da ona ima apsolutno neprekidnu ili krae, neprekidnu raspodelu. Obzirom da fukcija raspodele u tom sluqaju moe da se izrazi pomou gustine, vai sledee tvree.


3

Teorema 1 Verovatno a da vrednost apsolutno neprekidne sluqajne promen ive X pripada bilo kom od skupova (a, b), (a, b], [a, b) ili [a, b] jednaka jeb

g(x)dx.a

U ovom Atlasu zastupene su neprekidne raspodele koje imaju neprekidnu gustinu. U tom sluqaju je funkcija raspodele diferencijabilna, pri qemu je g(x) = F (x) za svaki realan broj x. Iz svojstva 1. navedenog tvrea sledi da jeP { : x X() x + x} = g(x)x + o(x)

kada x 0.3 Tip raspodele

Definicija 6 Dve sluqajne promen ive su jednake ako imaju istu funkciju raspodele.

U smislu ove definicije, oznaka X = Y znaqi da jeFX (x) = P { : X() x} = P { : Y () x} = FY (x)

za svaki realan broj x.Definicija 7 Za sluqajne promen ive X i Y ka emo da imaju isti tip raspodele ako postoje realni brojevi a i b (b > 0) takvi da je Y = a + bX.

Prema definiciji imamo da jeFY (x) = P {Y x} = P X

za svaki realan broj x. To znaqi da se funkcija raspodele za Y moe dobiti pomou funkcije raspodele za X linearnom transformacijom argumenta. Drugim reqima, izborom funkcije raspodele F odreena je i cela jedna dvoparametarska familija funkcija raspodele definisana saF (x; a, b) = F xa b , x R, a R, b > 0.

xa b

= PX

xa b

Pri tome je F (x) = F (x; 0, 1). Sve raspodele ove familije su istog tipa. Parametar a je parametar lokacije , a parametar b je parametar skaliraa . Za neprekidne raspodele navedenoj familiji funkcija raspodele odgovara dvoparametarska familija gustina definisana sag(x; a, b) =

gde je g gustina raspodele za X . Pri tome jegY (x) = g(x; a, b), gX (x) = g(x; 0, 1).

1 g b

xa b

,

4


4

Familije raspodela

Postoje i familije raspodela koje sadre vixe tipova raspodela, pri qemu sve raspodele iz familije imaju neko zajedniqko svojstvo. Ovde se navode dve takve familije raspodela: Pirsonove raspodele i eksponencijalne raspodele . U sluqaju familije eksponencijalnih raspodela gustine raspodela imaju isti oblik, a u sluqaju Pirsonovih raspodela gustine raspodela su rexea diferencijalnih jednaqina istog oblika.4.1 Pirsonove raspodele

Razvijajui matematiqku teoriju evolucije Pirson je otkrio jednostavnu diferencijalnu jednaqinuxa g = g b0 + b1 x + b2 x2

qija su rexea gustine dvanaest tipova raspodela. Rexea ove jednaqine se klasifikuju zavisno od prirode nula polinoma b0 + b1 x + b2 x2 . Na taj naqin se dobija dvanaest tipova rexea koja odreuju odgovarajue tipove raspodela poznatih kao Pirsonove raspodele (tip I do tip XII ).4.2 Eksponencijalne raspodele

Gustine raspodela ove familije su eksponencijalne funkcije date sag(x) = exp {a()b(x) + c() + d(x)} ,

gde su a, b, c, d realne funkcije, a parametar. Specijalni sluqaj je familija eksonencijalno stepenih raspodela koju je prvi opisao Subotin ( Subbotin, 1923). Po ugledu na Pirsonove raspodele, Luneta (Lunetta, 1963) je eksponencijalno stepene raspodele razmatrao kao raspodele qije su gustine rexea diferencijalne jednaqineln g ln a g =k . g xc

Na taj naqin se dobija troparametarska familija gustinag(x; p, , ) = 1 |x |p exp p p 2p1/p (1 + 1/p) ,

gde parametri p, i zavise od a, c i k.5 Osnovne numeriqke karakteristike

Neke numeriqke karakteristike, kao xto su oqekivae, varijansa, modus i medijana, daju osnovne informacije o raspodeli sluqajne promenive.


5

5.1

Matematiqko oqekiva e

Osnovna mera centralne tendencije sluqajne promenive je ena oqekivana vrednost.Definicija 8 Matematiqko oqekiva e E(X) neprekidne sluqajne promenive X qija je gustina raspodele g je dato sa+

E(X) =

xg(x)dx

pod uslovom da navedeni integral apsolutno konvergira. Ako to nije sluqaj, matematiqko oqekiva e ne postoji.

Za matematiqko oqekivae linearne kombinacije i proizvoda dve sluqajne promenive vai sledee tvree.Teorema 2 Ako su X i Y sluqajne promen ive koje imaju matematiqko oqekiva e, tada je: 1. E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ) za a, b R, 2. E(XY ) = E(X)E(Y ) ako su X i Y nezavisne.

5.2

Modus

Jox jedna mera centralne tendencije je

modus

ili mod.

Definicija 9 Za neprekidnu sluqajnu promen ivu mod je taqka u kojoj funkcija gustine dosti e lokalni maksimum.

Prema tome, potencijalne vrednosti moda su nule prvog izvoda funkcije gustine. Mod ne mora da postoji, a ako raspodela ima samo jedan mod kae se da je unimodalna. Raspodela sa dva moda je bimodalna, a sa vixe modova je vixemodalna. Termin mod je uveo Pirson 1895. godine.5.3 Disperzija

Disperzija ili varijansa predstava oqekivano sredekvadratno odstupae od oqekivane vrednosti sluqajne promenive.Definicija 10 Disperzija D(X) ili varijansa V (X) sluqajne promen ive X je data sa D(X) = E(X E(X))2 pod uslovom da navedena oqekiva a postoje. U protivnom disperzija ne postoji. Pozitivna vrednost kvadratnog korena disperzije naziva se standardna devijacija i oznaqava sa (X) ili samo .

6


Iz definicije sledi da jeD(X) = E(X 2 ) (E(X))2 ,

xto znaqi da je D(X) E(X 2 ) i |E(X)| E(X 2 ). Za disperziju linearne kombinacije dve promenive vai sledee tvree.Teorema 3 Ako su X i Y nazavisne sluqajne promen ive koje imaju disperzije i ako su a i b realni brojevi, tada je D(aX + bY ) = a2 D(X) + b2 D(Y ).

Ako je X = X E(X) (standardizovani ili normirani oblik sluqajne D(X) promenive X ), tada je D(X ) = 1. Pojam standardne devijacije uveo je Pirson 1894. godine, a pojam varijanse uveo je Fixer 2 1918. godine.5.4 Koeficijent varijacije

Jox jedna mera odstupaa od oqekivae vrednosti je koji je takoe uveo Pirson. . m

koeficijent varijacije

Definicija 11 Ako je m oqekiva e, a standardna devijacija sluqajne promen ive X, koeficijent varijacije CV je dat sa CV = 100

Prema tome, ovaj koeficijent predstava koliqnik standardne devijacije i matematiqkog oqekivaa izraen u procentima.5.5 Kvantili

Obzirom da matematiqko oqekivae i varijansa ne moraju postojati za datu raspodelu, definixu se i neke mere centralne tendencije i disperzije koje postoje za svaku raspodelu.Definicija 12 Za neprekidnu sluqajnu promen ivu kvantil reda ili nivoa (0 < < 1) je broj x za koji je F (x ) = .

Kvantili reda = 0.25 i = 0.75 nazivaju se prvi i trei kvartil i oznaqavaju sa Q1 i Q3 . Kao mera disperzije raspodele qesto se, u sluqaju jednoznaqno odreenih kvartila, koristi ihova razlika (interkvartilna razlika)Q = Q3 Q1 .2 Ronald

Aymler Fisher (1890-1962) engleski statistiqar


7

5.6

Medijana

Definicija 13 Za neprekidnu sluqajnu promen ivu X kvantil reda 1/2 naziva se medijana i oznaqava sa M e(X).

Ako je funkcija gustine simetriqna u odnosu na neku taqku, ta taqka je upravo medijana, pri qemu su matematiqko oqekivae i medijana jednaki (ukoliko oqekivae postoji).6 Momenti

Dodatne informacije o raspodelama se mogu dobiti iz vrednosti momenata i centralnih momenata.Definicija 14 Ako je g funkcija gustine sluqajne promen ive X, momenat mr reda r je definisan sa+

mr = E(X r ) =

xr g(x)dx,

a centralni momenat r reda r je definisan sa+

r = E(X )r =

(x m)r g(x)dx,

pri qemu se pretpostav a da su navedeni integrali apsolutno konvergentni. Ako su navedeni integrali divergentni, odgovaraju i momenti ne postoje.

Prema definiciji, matematiqko oqekivae je momenat prvog reda, a disperzija je centralni momenat drugog reda,E(X) = m1 , D(X) = 2 .

Korixeem binomnog razvoja za (x m)r mogu se dobiti veze izmeu momenata i centralnih momenata. Naime, vae jednakostik

k =i=0

(1)i

k mki mi , i

za k N , gde je 0 = m0 = 1. Sliqno se dobijaju i jednakostik

mk =i=0

k k1 mi , i

k N.

7

Mere asimetrije i sp oxtenosti

Pored osnovnih numeriqkih karakteristika date raspodele, nekada su vani i podaci koji se odnose na oblik raspodele. Najznaqajniji meu ima su oni koji govore o simetriji, odnosno asimetriji i o spoxtenosti raspodele, a poznati su kao Pirsonovi koeficijenti.

8


Definicija 15 Raspodela neprekidne sluqajne promen ive X je simetriqna ukoliko postoji taqka a za koju je g(a x) = g(a + x) za svaki realan broj x. U suprotnom raspodela je asimetriqna.

Za asimetriqne raspodele potrebna je i mera asimetrije.Definicija 16 Koeficijent asimetrija 1 (X) je definisan sa 1 (X) = 3 23/2

Za 1 (X) = 0 raspodela je simetriqna, za 1 (X) > 0 ka emo da je raspodela pozitivno asimetriqna ili asimetriqna udesno , a za 1 (X) < 0 ka emo da je raspodela negativno asimetriqna ili asimetriqna ulevo .

Kako koeficijent 1 (X) ne zavisi od srede vrednosti, niti skaliraa sluqajne promenive, sve raspodele istog tipa imaju istu asimetriju. Spoxtenost raspodele se odnosi na brzinu konvergencije ka nuli krajeva gustine raspodele, kao i koncentracija oko srede vrednosti. Koristi se i termin debina repa raspodele i obiqno se uporeuje sa debinom repa normalne raspodele. Pirson je definisao koeficijent spoxtenosti ili kirtozis kao koliqnik 4 . Kako je kirtozis normalne raspodele jed2 2 nak 3, qesto se kao mera spoxtenosti uzima vrednost kirtozisa umaena za 3.Definicija 17 Koeficijent sp oxtenosti 2 (X) je definisan sa 2 (X) = 4 3. 2 2

Za 2 (X) > 0 ka emo da je raspodela sa debelim krajevima (repovima) ili leptokirtiqna, za 2 (X) < 0 ka emo da je raspodela sa tankim krajevima (repovima) ili platikirtiqna, dok za 2 (X) = 0 ka emo da raspodela ima krajeve (repove) iste deb ine kao i normalna raspodela ili da je mezokirtiqna.

Spoxtenost je takoe ista za sve raspodele istog tipa.8 Entropija

U teoriji informacija je vana koliqina informacija sadrana u sluqajnom dogaaju, a kao mera neizvesnosti sluqajne promenive koristi se pojam entropije koji je uveo Xenon 3 .3 Claude

Elwood Shannon (1916 -2001) - ??


9

Definicija 18 Za neprekidnu sluqajnu promen ivu X sa pozitivnom gustinom g entropija H(X) je definisana sa+

H(X) =

g(x) ln2 g(x)dx.

Ako gustina nije svuda pozitivna, onda se integral na desnoj strani prethodne jednakosti uzima na skupu {x : g(x) > 0}.

Raspodele istog tipa nemaju istu entropiju, ali postoji jednostavna relacija za ihove entropje.Teorema 4 Ako je Y = a + bX, gde je a R i b > 0, tada je H(Y ) = H(X) + ln b.

9

Karakteristiqna funkcija

Karakteristiqna funkcija neprekidne sluqajne promenive je Furijeova transformacija ene gustine.Definicija 19 Neka je X neprekidna sluqajna promen iva qija je gustina g. Funkcija : R C, gde je C skup svih kompleksnih brojeva, definisana sa+

(t) =

eitx g(x)dx,

tR

je karakteristiqna funkcija za X.

Iz definicije sledi da svaka neprekidna sluqajna promeniva ima karakteristiqnu funkciju i da je 1. (0) = 1, 2. (t) = (t), 3. |(t)| 1. Raspodela sluqajne promenive je jedinstveno odreena enom karakteristiqnom funcijom, pri qemu postoji i inverzna formula.Teorema 5 Ako je karakteristiqna funkcija sluqajne promen ive X i ako je+

|(t)|dt < ,

tada je gustina g za X data sa g(x) = 1 2+

eitx (t)dt.

10


Osim toga, svaka funkcija koja je pozitivno definitna i neprekidna na R i za koju je (0) = 1 je karakteristiqna funkcija neke sluqajne promenive. Za karakteristiqne funkcije promenivih sa istim tipom raspodele postoji veza.Teorema 6 Ako je Y = a + bX i ako su X i Y karakteristiqne funkcije za X i Y , tada je Y (t) = eiat X (bt).

Pomou karakteristiqne funkcije mogu se odrediti momenti sluqajne promenive.Teorema 7 Ako sluqajna promen iva ima momenat reda r i ako je karakteristiqna funkcija diferencijabilna n puta, , tada je mr = 1 (n) (0), in ena

gde je i imaginarna jedinica (i2 = 1).

Qesto se koristi i sledee svojstvo karakteristiqne funkcije.Teorema 8 Ako su X i Y nezavisne sluqajne promen ive sa karakteristiqnim funkcijama X i Y i ako je X+Y karakteristiqna funkcija ihovog zbira, tada je X+Y (t) = X (t) Y (t), t R.

10

Generatrisa momenata

Za sluqajne promenive se definixe i transformacija gustine koja je realna verzija Furijeove transformacije.Definicija 20 Neka je X neprekidna sluqajna promen iva qija je gustina g. Funkcija M : R R definisana sa+

M (t) =

etx g(x)dx,

t R,

pod uslovom da integral na desnoj strane ove jednakosti postoji, je generatrisa momenata promen ive X.

Na osnovu veza izmeu funkcija i M ,(t) = M (it), M (t) = (it),

sledi da se i pomou generatrise momenata mogu dobiti momenti za X . Naime, ako za sluqajnu promenivu X postoji momenat reda r, tada jemr = M (r) (0).

Prednost funkcija generatrisa je u tome xto su realne funkcije, a prednost karakteristiqnih funkcija je u tome xto ne postoji problem konvergencije.


11

11

Ocene parametara

Za ocenu nepoznatog parametra neke raspodele na osnovu prostog uzorka (X1 , . . . , Xn ) mogu se koristiti razliqite statistike. U ima se qesto pojavuju standardne statistike kao xto su: 1. uzoraqka sredina X n ili X definisana saXn = 1 nn

Xi ,i=1

2. uzoraqka disperzija S 2 ili S 2 definisana sa n2 Sn

1 = n

n

2

Xi X ni=1

,

3. uzoraqka disperzija D2 ili D2 definisana sa n2 Dn

1 = n

n

2

Xi mi=1

,

u sluqaju da je poznato matematiqko oqekivae m posmatrane raspodele, 2 4. modifikovana uzoraqka disperzija Sn ili S 2 definisana sa2 Sn

1 = n1

n

2

Xi X ni=1

,

5. uzoraqki momenat X r ili X r ili Mr (r N ) definisan sa nr Xn

1 = n

n r Xi . i=1

Naravno, vano je znati svojstva ocena. Dve osnovne tehnike za ocene parametara su metoda momenata i metoda maksimalne verodostojnosti. Metodu momenata je uveo Karl Pirson 1984. godine, a metodu maksimalne verodostojnosti Fixer 1912. godine. Metoda momenata je jednostavnija, a metoda maksimalne verodostojnosti daje asimptotski najefikasnije ocene.11.1 Svojstva ocena

Neka je (X1 , . . . , Xn ) prost sluqajan uzorak za obeleje X i neka je nepoznati parametar u raspodeli tog obeleja.

12


Definicija 21 Statistika n je nepristrasna ocena za parametar ako je E(n ) = , a asimptotski nepristrasna ocena ako E(n ) kada n .

Umesto termina nepristrasna koriste se i termini centrirana i nepomerOcena koja nije nepristrasna zove se pristrasna. Na primer, statis2 tika X n je nepristrasna ocena za matematiqko oqekivae, statistika Dn 2 je nepristrasna ocena za varijansu, dok je statistika Sn pristrasna i asimptotski nepristrasna ocena za varijansu. Termine pristrasna i nepristrasna ocena uveo je Bouli4 1897. godine. Sledee svojstvo se odnosi na odstupae realizovane vrednosti statistike od oqekivane vrednosti.ena.Definicija 22 Statistika n je postojana ocena parametra ako n konvergira u verovatno i ka , odnosno ako za svako > 0 va i P {|n | } 0 (n ).

Umesto termina postojana koriste se i termini konzistentna i stabilna. Ako je ocena nepristrasna i ako D(n ) 0 kada n , tada je ocena n 2 2 stabilna. Na primer, statistike X n , Dn i Sn su stabilne ocene. Vixe razliqitih, nepristrasnih i stabilnih ocena istog parametra, za isti obim uzorka, mogu se uporeivati pomou svojih disperzija.Definicija 23 Ocena je efikasnija od ocene nepoznatog parametra ako je D() < D().

Dou granicu disperzije nepristrasnih ocena daje Rao-Kramerova nejednakost. Ocena qija je disperzija jednaka toj dooj granici je efikasna ocena. Za analizu ocene nije dovono znati samo eno oqekivae i disperziju, ve treba odrediti i enu raspodelu.11.2 Metoda momenata

Neprekidne raspodele su, pod izvesnim uslovima, odreene svojim momentima. Na primer, ako je za niz momenata (mi ) date raspodele ispuen Karlemanov uslov 1

tada momenti jednoznaqno odreuju tu raspodelu. Samim tim, poznavae momenata je dovono za nalaee nepoznatih parametara raspodele. Ako su nepoznati parametri 1 , 2 , . . . , k , dovono je uzeti k momenata koji zavise od tih parametara. Pretpostavimo da su to prvih k momenta. U tom sluqaju imamo sistemmr = fr (1 , . . . , k ), r = 1, . . . , k

1/2n n=1 m2n

= +,

koji odreuje nepoznate parametre. Meutim, kako parametre oceujemo na osnovu uzorka, umesto momenata uzimamo uzoraqke momente i onda iz navednog sistema dobijamo ocene nepoznatih parametara.4 Arthur

Lyon Bowley (1869-1957) - engleski statistiqar


13

Definicija 24 Ocene parametara 1 , . . . , k po metodi momenata, na osnovu prostog uzorka (X1 , . . . , Xn ) iz neke raspodele, date su sistemom X n = fr (1 , . . . , k ),r

r = 1, . . . , k.k

Prema tome,

Za realizovani uzorak (x1 , . . . , xn ) dobijaju se konkretne ocene nepoznatih parametara. Prednost ove metode je jednostavnost, a nedostatak je nemogunost odreivaa kvaliteta i intervala poverea za dobijene ocene.11.3 Metoda maksimalne verodostojnosti

i = i (X n , X n , . . . , X n ).

2

U ovoj metodi ocena za nepoznati parametar se uzima tako da verovatnoa realizacije uzorka x1 , x2 , . . . , xn bude najvea. Pretpostavimo da je (X1 , . . . , Xn ) prost uzorak iz neke neprekidne raspodele qija gustina g zavisi od , pri qemu R. Funkcija L definisana san

L(x1 , . . . , xn ; ) =k=1

g(xk ; )

predstava gustinu raspodele uzorka kao sluqajnog vektora. Obzirom da se realizovane vrednosti uzorka koncentrixu u oblasti u kojoj funkcija L ima velike vrednosti, za ocenu nepoznatog parametra se uzima vrednost koja maksimizira funkciju L.Definicija 25 Ocena odre ena sa L(X1 , . . . , Xn ; ) = max L(X1 , . . . , Xn ; )

je ocena maksimalne verodostojnosti. Funkcija L je funkcija verodostojnosti.

Ako je otvoren skup i ako je L diferencijabilna funkcija po , dovono je odrediti stacionarne taqke funkcije L i uporediti odgovarajue vrednosti. Poxto funkcije L i ln L imaju iste taqke maksimuma, ocena se jednostavnije dobija iz jednaqine ln L = 0,

poznate kao jednaqina verodostojnosti . U nekim sluqajevima ona ima samo jedno rexee.Teorema 9 Ako postoji efikasna ocena parametra , onda jednaqina verodostojnosti ima jedinstveno rexe e.

14


Metoda maksimalne verodostojnosti moe se primeniti i u sluqaju da raspodela ima vixe nepoznatih parametara. Ako je g(x; 1 , . . . , k ) gustina raspodele koja zavisi od parametara 1 , . . . , k , tada je funkcija verodostojnosti data san

L(x1 , . . . , xn ; 1 , . . . , k ) =i=1

g(xi ; 1 , . . . , k ).

Ako funkcija L ima parcijalne izvode po 1 , . . . , k , ocena nepoznatih parametara dobija se rexavaem sistema Ovaj sistem je uglavnom nelinearan i najqexe se rexava numeriqkim metodama. Ocene dobijene metodom maksimalne verodostojnsti mogu biti i pristrasne i neefikasne. Meutim, pri odreenim uslovima ocene su asimptotski efikasne i imaju asimptotski normalnu raspodelu.12 Transformacija sluqajne promen ive L(x1 , . . . , xn ; 1 , . . . , k ) = 0, i i = 1, . . . , k.

Ako je poznata funkcija raspodele FX neprekidne sluqajne promenive X i ako je f monotona funkcija, tada je Y = f (X) takoe neprekidna sluqajne promeniva qija se funkcija raspodele jednostavno odreuje. Uz dodatni uslov diferencijabilnosti funkcije f lako se nalazi i gustina sluqajne promenive f (X).Teorema 10 Neka je Y = f (X) i neka je f : R R strogo monotona diferencijabilna funkcija. Ako je h = f 1 (inverzna funkcija za f ), tada je gY (y) = gX (h(y))|h (y)|, i gY (y) = 0 za x (a, b), gde je a = min{f (), f (+)}, b = max{f (), f (+)}. y (a, b)

Gustina sluqajne promenive f (X) se moe odrediti i ako je f deo po deo monotona. Neka je g strogo monotona i diferencijabilna na intervalima I1 , . . . , Ik i neka je fj : Ij R za j = 1, . . . k restrikcija funkcijie f na intervalu Ij . Tada jeY = f1 (X) + f2 (X) + + fk (X),

pa primenom prethodne teoreme na sluqajne promenive dobijamo sledee tvree.k

f1 (X), . . . , fk (X)

1 Teorema 11 Neka je Y = f (X) i neka je hj = fj za j = 1, . . . , k. Tada je

gY (y) =j=1

fX (hj (y))|hj (y)|.


15

Za nalaee matematiqkog oqekivaa sluqajne promenive nije neophodno znati gustinu gY .Teorema 12 Ako je Y = f (X), tada je+

Y = f (X)

E(Y ) =

f (x)g(x)dx

pod uslovom da navedeni integral apsolutno konvergira.

12.1

Takijeva transformacija X (1 X) , Y = ln X , 1X

Ameriqki statistiqar Taki 5 je 1962. godine predloio transformaciju=0 =0

gde je X sluqajna promeniva sa standardnom uniformnom raspodelom. Za odreene vrednosti parametrta raspodela dobro aproksimira normalnu i studentovu raspodelu.12.2 Boks-Koks transformacija

Za pozitivne sluqajne promenive Boks 6 i Koks7 su 1964. godine uveli transformaciju kojom se dobija priblino normalna raspodela. Ako je X poztivna sluqajna promeniva, tada sluqajna promeniva Y definisana sa Y = X 1,

=0

za pogodno izabranu vrednost konstante ima priblino normalnu raspodelu.12.3 onsonove transformacijeY , 1Y

ln X,

=0

Engleski statistiqar onson 8 je 1949. godine predloio transformacijeX = a + b ln X = a + b arcsh Z,

gde je X sluqajna promeniva sa standardnom normalnom raspodelom. Raspodela sluqajne promenive Y je poznata kao onsonova SB raspodela, a raspodela sluqajne promenive Z kao onsonova SU raspodela.Wilder Tukey (1915-2000) - ameriqki staistiqar Box (1919-) - engleski statistiqar 7 David Roxbee Cox (1924-) - engleski statistiqar 8 Norman Lloyd Johnson (1917-) - engleski statistiqar6 George 5 John

16


13

Modelira e sluqajnih promen ivih

Modelirae neprekidne sluqajne promenive zavisi od karakteristika ene raspodele. U principu postoje opxte metode, kao xto su metoda inverzne funkcije , Nojmanova metoda i druge, ali postoje i specifiqni postupci modeliraa za pojedine raspodele.13.1 Metoda inverzne funkcije

Ova metoda zasniva se na jednoj jednostavnoj qienici. Ako je X sluqajna promeniva s neprekidnom i monotono rastuom funkcijom raspodele F , sluqajna promeniva Y = F (X) ima uniformnu raspodelu na (0, 1). Prema tome, funkcija raspodele sluqajne promenive F 1 (Y ) je F , odnosno X = F 1 (Y ). Za generisae vrednosti x sluqajne promenive X dovono je generisati vrednost y iz uniformne raspodele U (0, 1) i uzeti da je x = F 1 (y). Na taj naqin se problem svodi na generisae vrednosti sluqajne promenive sa uniformnom raspodelom, a za to postoje ve gotove rutine u svim statistiqkim programskim paketima. To su, zapravo, sluqajni brojevi. Generisae raspodele metodom inverzne funkcije je, dakle, vrlo jednostavno, ali je potrebno da znamo analitiqki oblik inverzne funkcije. Meutim, u mnogim sluqajevima to nije mogue dobiti. Zbog toga ova metoda ne moe da se primeni za generisae, na primer normalne, beta, gama ili hi kvadrat raspodele. Metoda se moe proxiriti na sluqaj kada jen

g(x) =k=1

pk gk (x),

gde je i gde gustinama gk odgovaraju funkcije raspodele ( ) koje imaju analitiqki izraz za inverznu funkciju. Algoritam je tada sledei: 1. Izabrati indeks k sa verovatnoom pk . 2. Generisati sluqajnu vrednost y iz uniformne raspodele U (0, 1). 3. Uzeti da je x = Fk1 (y).p1 + + pn = 1 Fk k = 1, . . . , n

13.2

Nojmanove metode

Nojmanove metode ili metode prihvataa i odbacivaa koriste se za generisae raspodele sa gustinom g koja je pozitivna na intervalu [xmin , xmax ]. Uglavnom se u ima koristi algoritam u kojem se proverava odreeni uslov i zavisno od ispuea tog uslova odreena vrednost se prihvata ili odbacuje kao sluqajan broj iz raspodele sa gustinom g. Jedna od tih metoda zahteva poznavae sluqajne promenive Y koju znamo da generixemo i qija raspodela ima gustinu h za koju vaih(x) cg(x), x [xmin , xmax ]


17

za neki realan broj c > 0. Metoda moe da se opixe sledeim algoritmom: 1. Neka je x generisana vrednost sluqajne promenive Y . 2. Generisati sluqajan broj u iz uniformne raspodele U (0, 1).g(x) 3. Ako je u < ch(x) , tada je x traena vrednost sluqajne promenive X sa gustinom g. U protivnom, postupak se ponava (od 1. koraka). Ova metoda se zasniva na qienici da je P Y x U g(Y ) ch(Y )x

=

g(y)dy,

gde je U sluqajna promeniva sa uniformnom raspodelom U (0, 1). Ostale Nojmanove metode su mae ili vee modifikacije ove ideje.14 Testovi saglasnosti

Za testirae saglasnosti raspodele posmatranog obeleja sa pretpostavenom raspodelom postoji vixe razliqitih testova. Testovi se mogu podeliti u dve grupe prema tome da li raspodela test statistike zavisi od pretpostavene raspodele ili ne. U testove slobodne od raspodele spadaju, na primer, Pirsonov 2 test, Kolmogorovev 9 test, Kuiperov10 test, fon Mizisov 11 test. U drugu grupu spadaju, na primer, Anderson 12 Darlingov13 test, razne modifikacije Kolmogorovevog testa ukoliko parametri pretpostavene raspodele nisu poznati, Xapiro 14 -Vilkov15 test. Za testirae prilagoenosti podataka normalnoj raspodeli postoji jox i specifiqni testovi zasnovani na poreeu empirijskih koeficijenata asimetrije i spoxtenosti sa odgovarajuim koeficijentima normalne raspodele.14.1 Pirsonov test

Najpopularniji je 2 -test koji je uveo Pirson 1900. godine. Test ima oblik k2 =i=1

(Oi Ei )2 , Ei

gde su Oi opservirane, a Ei oqekivane frekvencije (pod pretpostavkom odreene raspodele) u intervalima Ii (i = 1, . . . , k), takvim da je k Ii = R i=1Nikolaeviq Kolmogorov (1903-1987) - ruski matematiqar (??-??) - ?????? 11 Richard Martin Edler von Mises (1883-1953) - austrijski in e er i matematiqar 12 Theodore Wilbur Anderson (1918-) - ameriqki statistiqar 13 Davis Darling (??-??) - ????? 14 Samuel Shapiro (1930-) - ameriqki statistiqar 15 Martin Bradbury Wilk (1922-) - ameriqki matematiqar10 ??? 9 Andre i

18


i Ii Ij = za i = j . Pretpostavajui nultu hipotezu da su opservirane i oqekivane frekvencije statistiqki znaqajno ne razlikuju, test statistika ima raspodelu 2 (k p 1), gde je p broj oceenih parametara na osnovu k opserviranih vrednosti.14.2 Testovi kojima se porede empirijska i teorijska funkcija raspodele

Na osnovu razlike izmeu empirijske funkcije raspodele Fn (prostog sluqajnog uzorka X1 , . . . , Xn ) i teorijske funkcije raspodele F treba testirati nultu hipotezu da obeleje X ima raspodeleu F . U test statistikama se uzimaju neke funkcije razlika Fn (x) F (x) za x R. Na primer, test statistika Kolmogorovevog testa jeDn = sup |Fn (x) F (x)|,x

test statistika Kuiperovog testa jeVn = sup |Fn (x) F (x)| inf |Fn (x) F (x)|,x x

dok je test statistika fon Mizisovog testa+

Wn =

(Fn (x) F (x))2 dF (x).

15

Grafiqke metode ispitiva a saglasnosti

Pored testova za ispitivae saglasnosti obeleja sa pretpostavenom raspodelom koriste se i grafiqke metode kao xto su dijagram kvantila (Q Q dijagram) i dijagram verovatnoa (P P dijagram) koje se baziraju na statistici poretka X(1) , X(2) , . . . , X(n) . Q Q dijagram je skup taqaka qije su koordinate X(i) , F 1 (pi ) , gde se i i za pi uzima neka od vrednosti i n1/2 , n + 1 , n 3/8 , dok je P P dijagram + 1/4 skup taqaka pi , F (X(i) ) . U sluqaju da su podaci saglasni sa pretpostavenom raspodelom, taqke Q Q dijagrama priblino pripadaju pravoj. Isto vai i za P P dijagram.

OPIS RASPODELA

1ARKUSSINUS RASPODELA ASS1

(standardna)1 1 , 1 x2

Gustinag(x) = 1 < x < 1.

ParametriNema parametara.

Grafik gustine2.5

2

1.5

1

0.5

0 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Prave x = 1 i x = 1 su vertikalne asimptote grafika gustine.21

22

Arkussinus raspodela

Funkcija raspodeleF (x) = 1 arcsin x, 1 x 1.

Momenti2k1 = 0, 2k = 2k k 1 22k

,

k N.

Neka svojstva1. Gustina g je parna funkcija, pri qemu je gmin = g(0) = . 2. Neka je X simetriqna sluqajna promeniva. Tada X ima arkussinus raspodelu ako i samo ako sluqajne promenive X 2 i (1 + X)/2 imaju istu raspodelu.1

Veze sa drugim raspodelama1. Ako X : U (, ), onda sluqajne promenive sin X , sin 2X i cos 2X imaju arkussinus raspodele ASS1. 2. Ako X : U (, ) i Y : U (, ) i ako su X i Y nezavisne, tada sluqajne promenive sin(X + Y ) i sin(X Y ) imaju arkussinus raspodele ASS1.

2ARKUSSINUS RASPODELA AS1(a)

(jednoparametarska)|a| 1 4a x2 2

Gustinag(x) = , 2 2 0) { parametri lokacije.

Grafik gustine2.5

a=1 2

b=2 1.5

b=3

1 b=4

0.5

0 1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Prave x = a i x = a + b su vertikalne asimptote grafika gustine.28

Arkussinus raspodela

29

Funkcija raspodeleF (x) = 2 arcsin xa , b a < x < a + b.

1

0.9

a=1

0.8 b=2 0.7

0.6

0.5

b=4

0.4

b=3

0.3

0.2

0.1

0 1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

5BETA RASPODELA B2(a, b)

(dvoparametarska)1 xa1 (1 x)b1 , B(a, b)

Gustinag(x) = 0 x 1.

Parametria, b (a > 0, b > 0) { parametri oblika.

Grafik gustine2

Postoji vixe karakteristiqnih sluqajeva zavisno od vrednosti parametara a i b.2 a1 1 1 a=1, b>1 1 2 a>1, b>1

0 0 2 a1, b=1 1 0.5 1

0 0 2 a 1 raspodela ima mod jednaka1 a1 , a za a < 1 i b < 1 a+b2

ima antimod jednak , dok za a > 1 i b < 1, kao i za a < 1 i a+b1 b > 1, ne postoji ni mod ni antimod. 2. Za medijanu ne postoji jednostavan izraz.

Beta raspodela

35

Koeficijenti asimetrije i spoxtenosti1 (X) = 2(b a) a+b+2 a+b+1 , ab

2 (X) =

3(a + b + 1)(2(a + b)2 + ab(a + b 6)) ab(a + b + 2)(a + b + 3)

Ocene parametaraOcene po metodi maksimalne verodostojnosti su:a= 1 1 ((1 X1 )(1 X2 ) (1 Xn )) , 2 1 (X 1X2 Xn )1/n ((1 X1 )(1 X2 ) (1 Xn ))1/n 1 (X1 X2 Xn )1/n 1 , 2 1 (X1 X2 Xn )1/n ((1 X1 )(1 X2 ) (1 Xn ))1/n a(2a 1) , n b(2b 1) , n1/n

b=

pri qemu jeD(a) D(b) (n )

i za a > 2 i b > 2(a, b) (a 2)(b 2) , ab (n ).

Ocene po metodi momenata su:a = (M1 M2 ) M1 , 2 Sn b = (M1 M2 ) 1 M1 . 2 Sn

Neka svojstva1. Za a = b grafik gustine je simetriqan u odnosu na pravu x = 1/2. 2. Za sve vrednosti parametara je D(X) < 1/4. Specijalno, za a > 1 i b > 1 je D(X) < 1/12, a za a < 1 i b < 1 je D(X) > 1/12. 3. Ako X : B2 (a, b), onda 1 X : B2 (b, a). 4. Beta raspodela je raspodela statistika poretka za uzorak sa uniformnom raspodelom. Ako su 1 , . . . , n nezavisne sluqajne promenive sa U (0, 1) raspodelom i (1), . . . , (n) statistike poretka, onda (k) ima B2 (k, n k + 1) raspodelu. 5. Ako X : B2 (a + b, c) i Y : B2 (a, b) i ako su X i Y nezavisne, tada XY : B2 (a, b + c).

36

Beta raspodela

6. X : B2 (a, b) i Y : B2 (a + 1/2, b) i ako su X i Y nezavisne, tada Ako XY : B2 (2a, 2b).

Veze sa drugim raspodelama

1. Beta raspodela je specijalan sluqaj Pirsonove raspodele tipa I . 2. B2 (1, 2) i B2 (2, 1) su trougaone raspodele. 3. B2 (2, 2) je paraboliqka raspodela. 4. B2 (1, 1) = U (0, 1). 5. B2 (1/2, 1/2) = AS2. 6. B2 (a, b) = B4 (a, b, 0, 1). 7. Ako X : B2 (a, b), tada eX ima log-beta raspodelu, odnosno Y ima log-beta raspodelu ako ln Y : B2 (a, b). ima Pirsonovu raspodelu tipa V I ili 8. Ako X : B2 (a, b), tada 1X beta raspodelu druge vrste. 9. B2 (a, 1) je takozvana standardna stepena raspodela.X

10. Ako X : B2 (1, b), onda ln X : E(1/b). 11. Ako X : B2 (a, 1), onda ln X : E(1/a). 12. B2 (a, a + 1) je uopxtena arkussinus raspodela. 13. Ako X : G1 (a), Y : G1 (b) i ako su X i Y nezavisne, tadaX : B2 (a, b). X +Y

14. Ako X : F (m, n) i Y =

m nX m n , tada Y : B2 , . n n + mX 2 2

15. Ako X : 2 (m) i Y : 2 (n) i ako su X i Y nezavisne, tadaX m n : B2 , . X +Y 2 2

16. Ako Xi : 2 (ni ) i ako su Xi i Xj nezavisne za i = j , tadak1

Xii=1 k

: B2 Xj

1 2

k1

1 ni , nk 2 i=1

.

j=1

Beta raspodela

37

PrimenaMeteorologija, biologija, hidrologija, komunikacije, operaciona istraivaa, klimatologija, Bajesovska statistika, solarno zraqee.

Napomena

Kako postoji veza izmeu beta i gama funkcije, gustina raspodele B2 (a, b) moe da se izrazi i preko gama funkcije na sledei naqin:g(x) = (a + b) a1 x (1 x)b1 , (a)(b) 0 x 1.

GenerisaeAko je y sluqajan broj iz G(a) i z sluqajan broj iz G(b) raspodele, tada je y , y+z x= 1 z , y+z ab a 0, b > 0) { parametri oblika, c, d (c, d R, c < d) { najmaa i najvea vrednost sluqajne promenive.Grafik gustineKarakteristiqni sluqajevi su isti kao za B2 (a, b), samo xto je umesto intervala (0, 1) interval (c, d).c=1, d=4 2 1.5 1 0.5 0 1 2 1.5 1 0.5 0 1 2 1.5 1 0.5 0 1 2 3 4 2 3 4 2 1.5 1 0.5 0 1 2 3 4 2 3 4 2 1.5 1 0.5 0 1 2 3 4 2 1.5 1 0.5 0 1 2 3 4 2 1.5 1 0.5 0 1 2 3 4 2 1.5 1 0.5 0 1 2 3 4 2 1.5 1 0.5 0 1 2 3 438Beta B4 raspodela39Momentim1 = c + da , a+b D(X) = ab(d c)2 . (a + b)2 (a + b + 1)Koeficijenti asimetrije i spoxtenosti1 (X) = 2 (X) = 2(b a) a+b+2 a+b+1 , ab 3(a + b + 1)(2(a + b)2 + ab(a + b 6)) . ab(a + b + 2)(a + b + 3)Ocene parametaraMetoda maksimalne verodostojnostiAko su parametri c i d poznati, ocene a i b parametara a i b metodom maksimalne verodostojnosti dobijaju se iz sistema(a) (a + b) (b) (a + b) = = 1 n 1 nnlni=1 nXi c dc d Xi , dclni=1gde je digama funkcija (videti Dodatak).Metoda momenataOcene a i b metodom momenata za nepoznate parametre a i b (pod pretpostavkom da su parametri c i d poznati) dobijaju se iz sistemaM1 c dc 2 Sn (d c)2 = = a a+b a a+b , 1 a a+b 1 a+b+1 .Neka svojstva1. Za a > 1 i b > 1 raspodela ima mod jednakd(a 1) + c(b 1) . a+b2Veze sa drugim raspodelama1. Ako X : B2 (a, b), tada c + (d c)X : B4 (a, b, c, d).40Beta B4 raspodela2. Ako X : B4 (a, b, c, d), tadaX c : B2 (a, b). dcPrimenaRaspodela B4 (a, b, c, d) slui za opisivae raznih pojava koje se karakterixu sluqajnim veliqinama qije su vrednosti u konaqnom intervalu. Na primer, stepen oblaqnosti u meteorologiji.NapomenaKako postoji veza izmeu beta i gama funkcije, gustina raspodele B4 (a, b, c, d) moe da se izrazi i preko gama funcije na sledei naqin:g(x) = (a + b) (x c)a1 (d x)b1 , (a)(b) (d c)a+b1 c x d.7BETA PRIM RASPODELA BP (a, b)(dvoparametarska)1 xa1 , B(a, b) (1 + x)a+bGustinag(x) = x > 0.Parametria, b (a, b > 0) { parametri oblika.Grafik gustine2 1.8a=1, b=5a=0.1, b=0.5 1.6 a=0.5, b=0.5 1.4 a=2, b=0.5 a=8, b=5 1 a=1,b=41.20.80.60.40.20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 24142Beta prim raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = Ix/(1+x) (a, b),gde je Ix nepotpuna beta funkcija (videti Dodatak).Neka svojstva1. Ako X : BP (a, b), onda1 : BP (b, a). X a1 . b+12. Modus raspodele je jednakVeze sa drugim raspodelama1. Raspodela je specilajan sluqaj Pirsonove raspodele (tip V I ). 2. Ako X : B2 (a, b), onda 3. Ako X : G1 (a) i Y1X X : BP (b, a) i : BP (a, b). X 1X: G1 (b) i ako su X i Y nezavisne sluqajne X promenive, tada : BP (a, b). Y X2 Y2 : G1 (1/2) i : G1 (1/2) i ako su X i Y nezavisne sluqajne 2 2 2 X promenive, tada 2 : BP (1/2, 1/2). Y4. AkoNapomenaU literaturi na engleskom jeziku se koriste i nazivi beta distribution of the second kind i inverted beta.8BRADFORDOVA RASPODELA BR(a, b, c)(troparametarska)Gustinag(x) = a , a(x b) + (c b) log(a + 1) b < x < c.Parametria (a > 0) { parametar oblika, b, c (b < c) { parametri lokacije.Grafik gustine10.9b=1, c=5 0.8 a=4 a=8 0.70.6a=3 a=40.5 a=0.50.4 a=10.30.2b= 1, c=20.1 10123454344Bradfoedova raspodelaFunkcija raspodelelog 1 + a F (x) = xb cb , log(a + 1) b < x < c.Momentim1 = D(X) = a(c b + log(a + 1)(c(a + 1) c) , a log(a + 1) (c b)2 (a(log(a + 1) 2) + 2 log(a + 1)) . 2a log2 (a + 1)Modus i medijanaM o(X) = b, M e(X) = 1 (b(a + 1) c + (c b) a + 1). aKoeficijenti asimetrije i spoxtenosti1 (X) = 2 (X) = 12a2 9ka(a + 2) + 2k 2 (a(a + 3) + 3) 2 , a(a(k 2) + 2k(3a(k 2) + 6k) a3 (k 3)(k(3k 16) + 24) + 12ka2 (k 4)(k 3) + 6ak 2 (3k 14) + 12k 3 , 3a(a(k 2) + 2k)2gde je k = log(a + 1).Neka svojstvaQ1 =Kvartili raspodele su: 1 (b(a + 1) c + (c b) 4 a + 1), a Q3 = 1 (b(a + 1) c + (c b) 4 (a + 1)3 ). a9BUROVA RASPODELA BU 2(a)(tip II , jednoparametarska)g(x) = aexa+1 ,Gustina(1 + ex ) x R.Parametria (a > 0) { parametar oblika.Grafik gustine0.350.3a=2a=1 0.250.2a=0.50.150.10.050 543210123454546Burova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 1 + exa,x R.10.90.80.7a=0.5a=10.60.50.4a=50.30.20.10 5432101234510BUROVA RASPODELA BU 3(a, b)(tip III , dvoparametarska)g(x) = ab xa+1 (1 + xa )b+1Gustina, x > 0.Parametria, b (a, b > 0) - parametri oblika.Grafik gustine32.5 a=18, b=0.04 a=10, b=0.1 2a=15, b=0.2 1.5 a=18, b=0.110.50 0 0.5 1 1.54748Burova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 1 + xab,x > 0.1 a=2, b=1 0.90.8 a=2, b=0.5 0.70.6 a=0.5, b=1 a=1, b=1 0.50.4 a=2, b=2 0.30.20.10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 511BUROVA RASPODELA BU 4(a, b)(tip IV , dvoparametarska)ax x1/aGustinag(x) = b x(x a) 1+ ax x1/a b1,0 < x < a.Parametria, b (a > 0, b > 0) - parametri oblika.Grafik gustine2 1.81.61.4 a=2, b=2 1.21 a=2, b=0.2 0.8 a=2, b=0.5 0.60.40.20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 24950Burova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 1+ ax x1/a b,0 < x < a.1 b=0.2 0.90.80.70.6 b=0.5 0.5 b=2 0.40.30.20.10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 212BUROVA RASPODELA BU 5(a, b)(tip V , dvoparametarska)ab etan x 1 + tan2 x (1 +b+1 aetanx )Gustinag(x) = , 0) { parametri oblika.Grafik gustine2 1.81.6 a=1, b=0.3 1.41.2a=10, b=0.510.8 a=1, b=0.5 0.60.40.20 21.510.500.511.525152Burova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 1 + ae tan xb, 0, b > 0) { parametri oblika.Grafik gustine0.450.4 a=5, b=0.5 0.35 a=10, b=0.1 0.30.25 a=10, b=0.5 0.20.150.10.050 64202465354Burova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 1 + aeb sh xb,x R.10.9 a=10, b=0.1 0.80.70.60.5 a=10, b0.5 0.40.3 a=5, b=0.5 0.20.10 5432101234514BUROVA RASPODELA BU 7(a)(tip V II , jednoparametarska)1 1 + tanh x 2 2aGustinag(x) = a (tanh x 1) , x R.Parametria (a > 0) - parametar oblika.Grafik gustine0.70.6 a=5 a=20.5 a=1 0.40.3 a=0.50.20.10 543210123455556Burova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 2a (1 + tanh x) ,ax R.10.90.8 a=0.5 0.70.6 a=2 0.5 a=1 0.40.30.2a=50.10 5432101234515BUROVA RASPODELA BU 8(a)(tip V III , jednoparametarska)2 aGustinag(x) = aex a1 (arctan ex ) , 1 + e2x x R.Parametria (a > 0) { parametar oblika.Grafik gustine0.4a=2 0.35 a=5a=1 0.30.25a=0.5 0.20.150.10.050 543210123455758Burova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 2 arctan ex a,x R.10.90.8 a=0.5 0.70.6 a=1 0.5 a=2 0.40.30.2 a=5 0.10 5432101234516BUROVA RASPODELA BU 9(a, b)(tip IX , dvoparametarska)(1 + ex )b1 2,Gustinag(x) = 2abex (a(1 + ex )b a + 2) x R.Parametria, b (a > 0, b > 0) { parametri oblika.Grafik gustine0.25a=5, b=0.5 a=1, b=0.5 0.2 a=15, b=0.10.15 a=10, b=0.10.10.050 4321012345960Burova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 1 2 , a ((1 + ex )b 1) + 2 x R.10.90.8 a=5, b=0.5 0.70.60.5a=15, b=0.10.4 a=10, b=0.1 0.30.2 a=1, b=0.5 0.10 5432101234517BUROVA RASPODELA BU 10(a)(tip X , jednoparametarska)g(x) = 2axex2Gustina1 ex2a1,x > 0.Parametria (a > 0) { parametar oblika.Grafik gustine1.41.2 a=0.5 a=1 1 a=2 a=50.80.60.40.20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 36162Burova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 1 ex2a,x > 0.10.9 a=0.5 0.80.70.6a=1a=20.50.40.30.2a=50.10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 318BUROVA RASPODELA BU 11(a)(tip XI , jednoparametarska)1 sin 2x 2a1Gustinag(x) = a(1 cos 2x) x , 0 < x < 1.Parametria (a > 0) { parametar oblika.Grafik gustine43.5a=53 a=2 2.5 a=12a=0.51.510.50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 16364Burova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = x 1 sin 2x 2a,0 < x < 1.10.90.8a=10.70.6a=20.5 a=0.5 0.40.30.2 a=5 0.10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 119BUROVA RASPODELA BU 12(a, b)(tip XII , dvoparametarska)g(x) = abxa1 (1 + xa )b+1Gustina, x > 0.Parametria, b (a > 0, b > 0) { parametri oblika.Grafik gustine1 0.9a=15, b=0.1 a=5, b=0.50.80.7 a=10, b=0.1 0.6 a=1, b=0.5 0.50.40.30.20.10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 36566Burova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 1 (1 + xa )b,x > 0.10.9a=15, b=0.10.8 a=5, b=0.50.70.60.50.4 a=1, b=0.5 0.30.2 a=10, b=0.1 0.10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5Ocene parametaraAko je parametar a poznat, ocena b parametra b metodom maksimalne verodostojnosti data je sab= nn.a Xk )ln(1 +k=1Veze sa drugim raspodelama1. Ako X : BU 12(a, b), tada ln(1 + X a ) : E(1/b), 2. Ako X1 , . . . , Xn : BU 12(a, b) i ako su X1 , . . . , Xn nezavisne sluqajne promenive, tadan a ln(1 + Xk ) : G2 (n, 1/b) . k=120VEJBULOVA RASPODELA W1(a)(jednoparametarska)Gustinag(x) = axa1 exp {xa } , x > 0.Parametria (a > 0) { parametar oblika.Grafik gustine2 1.8a=5 1.6 a=0.5 1.41.21a=0.10.80.6 a=2 0.4 a=1 0.20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 36768Vejbulova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 1 exp {xa } , x > 0.Momentimr = 1 + r , a r > 0. 2 a 4 aSpecijalno,m1 = 1 + m3 = 1 +1 a 3 a, ,m2 = 1 + m4 = 1 +, .Centralni momenti2 = D(X) = 1 + 3 a 3 1 + 1+ 2 a 2 a 2 1 + 1 a 1 a , 1 a3 = 1 + 4 = 1 + 1+ 23 1 + 2 1 +, .3 4 4 1 + a a1 2 +6 1 + a a1 1 34 1 + a aModus i medijanaM o(X) = a1 a 0,1/a,a>1 0 3.6 raspodela je pozitivno asimetriqna, a za a < 3.6 negativno asimetriqna. 3. Za a = 3.6 raspodela je priblino normalna ( 1 (X) = 0). 4. Za velike vrednosti parametra a (a > 100) raspodela je priblino simetriqna ( 1 (X) 0 (a )). 5. Za a = 2.25 i za a = 5.83 spoxtenost raspodele je sliqna spoxtenosti normalne raspodele ( 2 (X) = 0). 6. Ako su X1 , X1 , . . . , Xn nezavisne sluqajne promenive i Xi : W1 (a), tada Xmin : W1 (an1/n ).Veze sa drugim raspodelama1. W1 (1) = E(1) 2. W1 (a) = W2 (a, 1). 3. W1 (a) = W3 (a, 1, 0). 4. W1 (a) = W4 (a, 1, 0, 1). 5. Ako X : W1 (a), tada bX : W2 (a, b).70Vejbulova raspodela6. Ako X : W1 (a), tada bX + c : W3 (a, b, c). 7. Ako X : W3 (a, b, c), tadaX c : W1 (a). b8. Ako X : W1 (a), tada X a : E(1).Napomene1. Raspodela nosi naziv po xvedskom ineeru i fiziqaru Vejbulu (Waloddi Weibull, 1887-1979). 2. Za raspodelu se koristi i naziv Frexeova, po francuskom matematiqaru (Rene-Maurice Frechet, 1878-1973), kao i Gnedenko-Vejbulova (Boris Vladimiroviq Gnedenko, 1912-1995 je ruski matematiqar).21VEJBULOVA RASPODELA W2(a, b)(dvoparametarska)a b x ba1Gustinag(x) = exp x ba,x > 0.Parametria (a > 0) { parametar oblika, b (b > 0) { parametar skaliraa.Grafik gustine1.5b=2 a=0.11 a=0.5a=2a=10.5a=50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 37172Vejbulova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 1 exp x ba,x > 0.EntropijaH(X) = b 1 1 a + b aa+ lnb a.Momentimr = b r 1 + r , a r > 0. 2 a 1 aSpecijalno,m1 = b 1 + 1 a , m2 = b2 1 + 2 a 2 1 + , .2 = D(X) = b2 1 +Modus i medijanaM o(X) = b a1 a 0,1/a,a>1 0 3.6 raspodela je pozitivno asimetriqna, a za a < 3.6 negativno asimetriqna. 3. Za a = 3.6 raspodela je priblino normalna ( 1 (X) = 0). 4. Za velike vrednosti parametra a (a > 100) raspodela je priblino simetriqna ( 1 (X) 0 (a )). 5. Za a = 2.25 i za a = 5.83 spoxtenost raspodele je sliqna spoxtenosti normalne raspodele ( 2 (X) = 0). 6. Ako su X1 , X1 , . . . , Xn nezavisne sluqajne promenive i Xi : W2 (a, b), tada Xmin : W2 (an1/n , b).74Vejbulova raspodela7. Za a < 1 raspodela ima mod u x = 0, za a > 1 ima mod u x = (11/a)1/a , a za a = 1 raspodela je eksponencijalna.Veze sa drugim raspodelama1. W2 (1, b) = E(b) 2. W2 (a, 1) = W1 (a). 3. W2 (a, b) = W3 (a, b, 0). 4. W2 (a, b) = W4 (a, b, 0, 1). 5. W2 (2, 2c) = R(c). 6. Ako X : W1 (a), tada bX : W2 (a, b). 7. Ako X : U (0, 1), tada b( ln X)1/a : W2 (a, b).PrimenaMeteorologija, teorija pouzdanosti, beiqna komumnikacija, meteorologija (na primer, brzina vetra)GenerisaeAko je u sluqajan broj iz U (0, 1) raspodele, tada je x = b( ln u)1/a sluqajan broj iz W2 (a, b) raspodele.22VEJBULOVA RASPODELA W3(a, b, c)(troparametarska)xc ba1Gustinag(x) = a b exp xc ba,x > c.Parametria (a > 0) { parametar oblika, b (b > 0) { parametar skaliraa, c (c R) { parametar lokacije.Grafik gustine1.5b=2, c=1a=0.1 1a=0.5a=12a=1 0.5 a=50 0.511.522.533.547576Vejbulova raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 1 exp xc ba,x > c.Momentirmr =j=1r j rj j b c 1+ a j,r > 0.Centralni momenti2 = D(X) = b2 1 + 3 = b3 1 + 3 a 3 1 + 2 a 2 a 2 1 + 1 a 1 a , 1 aG 1+ 23 1 +,4=3 1 4 4 1 + 1+ a a a 2 1 1 + 6 1 + 2 1 + 34 1 + a a a a4 1 +.Modus i medijanaM o(X) = c+b c, a1 a1/a,a>1 0 3.6 raspodela je pozitivno asimetriqna, a za a < 3.6 negativno asimetriqna. 4. Za a = 3.6 raspodela je priblino normalna ( 1 (X) = 0). 5. Za velike vrednosti parametra a (a > 100) raspodela je priblino simetriqna ( 1 (X) 0 (a )). 6. Za a = 2.25 i za a = 5, 83 spoxtenost raspodele je sliqna spoxtenosti normalne raspodele ( 2 (X) = 0). 7. Ako X : W3 (a, b, c), onda X c : W3 (a, b, 0). 8. Ako su X1 , X1 , . . . , Xn nezavisne sluqajne promenive i Xi : W3 (a, b, c), tada Xmin : W3 (an1/n , b, c).Veze sa drugim raspodelama1. W3 (a, b, 0) = W2 (a, b). 2. W3 (a, 1, 0) = W1 (a). 3. W3 (a, b, c) = W4 (a, b, c, 1). 4. W3 (1, b, 0) = E(b). 5. W3 (1, b, c) = E2 (b, c).Vejbulova raspodela796. Ako X : W! (a), tada c + bX : W3 (a, b, c). 7. Ako X : X c ba: E2 (1, 0), tada X : W3 (a, b, c).8. W3 (2, 2, c) = R2 (c, ). 9. W (2, 2, 0) = R1 (). 10. Ako X : W (a, b, c), tada standardizovana sluqajna promeniva za a [2, 6] ima priblino raspodelu N (0, 1).X E(X) GenerisaeAko je u sluqajan broj iz U (0, 1) raspodele, tada je x = c + b( ln u)1/a sluqajan broj iz W3 (a, b, c).23VEJBULOVA RASPODELA W4(a, b, c, d)(qetvoroparametarska)xc baGustinag(x) = a (x c)ad1 exp bad (d) , x > c.Parametria, d (a, d > 0) { parametri oblika, b (b > 0) { parametar skaliraa, c (c > 0) { parametar lokacije.Grafik gustine1.5b=2, c=1 d=2 d=0.8a=5 1 a=0.5a=5a=2 0.5a=2a=0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 480Vejbulova raspodela81Funkcija raspodeleF (x) = 1 d, (d) xc ba,x c,gde je (d, t) nepotpuna Gama funkcija (videti Dodatak).Momentirmr =k=0r k rk (d + r/a) , b c (d) kr > 0.Specijalno,m1 = c + b1 d+ a , (d)m2 = c2 + 2bc1 2 d+ a d+ a + b2 , (d) (d)m3 = c3 + 3bc2(d + 1/a) (d + 2/a) (d + 3/a) + 3b2 c + b3 . (d) (d) (d)Veze sa drugim raspodelama1. W4 (a, b, c, 1) = W3 (a, b, c). 2. W4 (a, b, 0, 1) = W2 (a, b). 3. W4 (a, 1, 0, 1) = W1 (a). 4. W4 (1, b, c, a) = G3 (a, b, c). 5. W4 (1, b, 0, a) = G2 (a, b). 6. W4 (1, 1, 0, a) = G1 (a). 7. Ako X : W4 (a, b, c, d), tada 8. W4 (1, , 0, 1) = E1 (). 9. W4 (1, , c, 1) = E2 (, c). 10. W4 (2, 2, 0, /2) = 2 . X c ba: G1 (d) i obrnuto.NapomenaRaspodela je poznata i kao uopxtena Gama raspodela.24VEJBULOVA RASPODELA W N (a, b, c)(negativna, troparametarska)a b cx aa1Gustinag(x) = exp cx ba,x < c.Parametria (a > 0) { parametar oblika, b (b > 0) { parametar skaliraa, c (c R) { parametar lokacije.Grafik gustine1.5b=2, c=1a=0.1 1a=2 a=0.5a=1 0.5 a=50 21.510.500.511.58225VEJBULOVA RASPODELA W D(a, b, c)(dvostrana, troparametarska)a xc 2b ba1Gustinag(x) = exp xc ba,x R.Parametria (a > 0) { parametar oblika, b (b > 0) { parametar skaliraa, c (c > 0) { parametar lokacije.Grafik gustine1 0.9b=2, c=10.8 a=0.8 0.7a=100.60.50.4a=5 a=10.3a=20.20.10 21012348326VEJBULOVA RASPODELA W E(a, b, c)(eksponencijalna, troparametarska)b exp {bx} , 0 < x < c, b + aba (x c)a1 exp {bx (b(x c))a } ,Gustinag(x) = xc .Parametria (a 1) { parametar oblika, b (b 0) { parametar skaliraa, c (c 0) { parametar lokacije.Grafik gustine1.4c=1 1.21a=2, b=1a=20, b=10.8 a=2, b=0.5 0.6 a=10, b=10.40.2 a=2, b=0.3 a=5, b=10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 384Vejbulova eksponencijalna raspodela85Funkcija raspodeleF (x) = 1 exp{bx}, 1 exp {bx (b(x c))a } , x 0.Parametria, c (a, c > 0) { parametri oblika, b (b > 0) { parametar skaliraa.Grafik gustine2.5b=0.5 2 a=c=1 a=c=2b=0.5 1.5 b=1b=1 1b=2 b=20.5 b=5b=50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 386Vejbulova uopxtena raspodela87Funkcija raspodeleF (x) = 1 exp cb 1 e(x/b)a,x > 0.10.9b=0.5 b=2 b=10.80.70.6b=50.50.40.3 a=2 0.2 c=2 0.10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 328VEJBULOVA RASPODELA W EX(a, b, c)(eksponencijalizovana, troparametarska)ac x 1 exp b ba c1Gustinag(x) = x ba1exp x ba,x > 0.Parametria, c (a, c > 0) { parametri oblika, b (b > 0) { parametar skaliraa.Grafik gustine1.5b=2 c=1 c=2a=5 1 a=5a=1 0.5a=2 a=2a=1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 48829VEJBULOVA RASPODELA W M (a, b, c)(modifikovana, troparametarska)g(x) = b((a + cx)xa1 exp {cx bxa ecx } , x > 0.Gustina Parametria (a > 0) { parametar oblika, b, c (b > 0, c 0) { parametri skaliraa.Grafik gustine43.5 c=5a=2 b=132.5 c=2 21.5c=11 c=00.50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 28930VEJBULOVA RASPODELA W Z(a, b, c, .)(zaseqena sa obe strane, petoparametarska)a a b e((c)/b) e((c)/b)aGustinag(x) = xc ba1expxc ba, < x < .Parametria (a > 0) - parametar oblika, b (b > 0) - parametar skaliraa, c, , (c < ) - parametri lokacije.Grafik gustine1.5b=2, c=1, =1.5, =3.5a=8a=0.1 1a=5 a=10.5a=20 1 1.5 2 2.5 3 3.5 49031(zaseqena sa leve strane, qetvoroparametarska)Gustinag(x) = a b xc ba1VEJBULOVA RASPODELA W ZL(a, b, c, )expxc ba+c ba,x > .Parametria (a > 0) - parametar oblika, b (b > 0) - parametar skaliraa, c, (c ) - parametri lokacije.Grafik gustine1.5b=2, c=1, =1.5a=8 1a=2 a=5 0.5a=10 1 1.5 2 2.5 3 3.5 49132(zaseqena sa desne strane, qetvoroparametarska)Gustinag(x) = a b e((c)/b)aVEJBULOVA RASPODELA W ZD(a, b, c, )xc ba1expxc ba,c < x < .Parametria (a > 0) {parametar oblika, b (b > 0) { parametar skaliraa, c, (c < ) { parametri lokacije.Grafik gustine1.5b=2, c=1, =3.5 a=81a=1 a=2a=50.50 1 1.5 2 2.5 3 3.5 49233GAMA RASPODELA G1(a)(jednoparametarska)g(x) = xa1 ex , (a) x 0.Gustina Parametria (a > 0) - parametar oblika.Grafik gustinea=0.5 0.5 a=10.4a=2a=2.5 0.3 a=3 a=5 0.2 a=100.10 0 2 4 6 8 109394Gama raspodelaMomentimr = (a + r) , (a) r > 0.Specijalno,m1 = a, m2 = a(a + 1), m3 = a(a + 1)(a + 2), m4 = a(a + 1)(a + 2)(a + 3), 2 = D(X) = a, 3 = 2a, 4 = 3a2 + 6a.Koeficijenti asimetrije i spoxtenosti2 1 (X) = , a 2 (X) = 6 . aOcene parametaraMetoda maksimalne verodostojnostiOcena a za nepoznati parametar a je rexee jednaqine(a) = 1 nnln Xk ,k=1gde je ) digama funkcija (videti Dodatak).Metoda momenataOcena a za nepoznati parametar a, po metodi momenata, data je sa a = X , a pri qemu je Ea = a i Da = .Neka svojstvan1. Koeficijent varijacije je CV (X) = . 2. Ako X : G1 (a), Y : G1 (b) i ako su X i Y nezavisne sluqajne promenive, tada X + Y : G1 (a + b).1 aVeze sa drugim raspodelama1. G1 (a) = G2 (a, 1) = G3 (a, 1, 0) = G4 (a, 1, 0, 1). 2. G1 (1) = E(1). 3. G1 (n) = ER2 (1, n), n N .Gama raspodela954. Ako X : G1 (a) i Y promenive, tada:G1 (b) i ako su X i Y nezavisne sluqajne X : B2 (a, b). X +YX + Y : G2 (a, b),5. Ako X : G1 (a) i Y G1 (a + 1/2) i ako su X i Y nezavisne sluqajne : promenive, tada 2 XY : G1 (2a). 6. Ako su X1 , X2 , . . . , Xn sa U (0, 1) raspodelama nezavisne i ako jeY = ln(X1 X2 Xn ) = ln 1 1 1 + ln + . . . + ln , X1 X2 Xntada Y : G1 (n).34GAMA RASPODELA G2(a, b)(dvoparametarska)1 b(a) x ba1Gustinag(x) = ex/b , x 0.Parametria (a > 0) - parametar oblika, b (b > 0) - parametar skaliraa.Grafik gustine0.2 0.15 0.14 3 2 a=2, b=2 1 0 0 2 4 6 0 1 2 3 a=0.5, b=20.05 00.5 0.4 a=2, b=0.8 0.34 3 a=0.5, b=0.8 20.2 0.1 0 0 2 4 6 1 0 0 1 2 396Gama raspodela97Na sledeoj slici su prikazani grafici gustina u sluqaju kad je fiksiran prvi parametar, a = 2, dok se drugi parametar mea u intervalu [0.5, 3].0.80.7b=0.5 b=0.6a=2, b [0.5,3]0.60.50.40.30.20.1 b=3 0 0 2 4 6 8 10Sledea slika prikazuje grafike gustina u sluqaju kad je fiksiran drugi parametar, dok se prvi parametar mea.0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 a=3 a=1 a=1.1 a [1,3], b=298Gama raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = 1 x a, , (a) b x 0,gde je nepotpuna gama funkcija (videti Dodatak).EntropijaH(X) = ab + (1 a) ln b + ln (a) + (1 a)(a),gde je digama funkcija (videti Dodatak).Karakteristiqna funkcija Generatrisa momenataM (t) =(t) =1 . (1 bt)a1 , (1 bt)at 0.Specijalno,m1 = ab, m2 = a(a + 1)b2 , m3 = a(a + 1)(a + 2)b3 ,Centralni momenti2 = D(X) = ab2 , 3 = 2ab3 , 4 = (3a2 + 6a)b4 .Koeficijenti asimetrije i spoxtenosti2 1 (X) = , a 2 (X) = 6 . aGama raspodela99Funkcija verodostojnostiL= 1 ba (a)n(X1 X2 Xn )a1 exp i n n=1n Xib,ln L = (a 1)i=1ln Xi i=1Xi na ln b n ln (a). bOcene parametaraMetoda maksimalne verodostojnostiOcene a i b nepoznatih parametara a i b su rexea sistema jednaqinaab = X, (a) + ln b = 1 nnln Xk ,k=1gde je digama funkcija (videti Dodatak).Metoda momenataOcene a i b po metodi momenata date su saa= X , S22b=S2 X3.Neka svojstva1. Koeficijent varijacije je CV = . 2. Ako X : G2 (a, b), tada cX : G2 (a, cb). 3. Ako X : G2 (a, b), tada1 : G2 (a, 1/b). X 1 a4. Ako Xi : G2 (ai , b) (i = 1, 2, . . . , n) i ako su X1 , X2 , . . . , Xn nezavisne sluqajne promenive, tadaX1 + X2 + + Xn : G2 (a1 + a2 + + an , b).Veze sa drugim raspodelama1. Ako X : G1 (a), tada bX : G2 (a, b). 2. G2 (1, b) = E1 (b). 3. G2 (a, 1) = G1 (a).100Gama raspodela4. G2 (a, b) = G3 (a, b, 0) = G4 (a, b, 0, 1). 5. 2 (n) = G2 (n/2, 2). 6. M AX(b) = G2 (3/2, b). 7. Ako X, Y : G2 (a, b) i ako su X i Y nezavisne, tadaX : B2 (a, b). X +Y8. Ako X1 , . . . , Xn : E1 (b), tada X1 + + Xn : G2 (n, b). 9. G2 (a, b) N (ab, ab2 ) kada a .GenerisaeAko su u1 , . . . , un nezavisni sluqajni brojevi iz U (0, 1) raspodele, tadanje x = i=1ln ui sluqajan broj iz G(n, 1), a bx sluqajan broj iz G(n, b)raspodele. Generisae sluqajnog broja iz G(a, b) u sluqaju kad a nije ceo broj je komplikovanije i moe se dobiti primenom Nojmanove netode.35GAMA RASPODELA G3(a, b, c)(troparametarska)xc ba1Gustinag(x) = 1 b(a) exp xc b , x > c.Parametria (a > 0) { parametar oblika, b (b > 0) { parametar skaliraa, c (c R) - parametar lokacije.Grafik gustine0.24 c=2 c=2 30.150.1 a=2, b=2 0.052a=0.5, b=210 20240 21010.5 c=2 0.44 c=2 30.3 0.2a=2, b=0.8 2a=0.5, b=0.81 0.1 0 2 0 2024101101102Gama raspodelaFunkcija raspodeleF (x) = a, xc b (a).Specijalno za a N jeF (x) = 1 exp xc ba1k=01 k!xc bk,x > c.Karakteristiqna funkcija(t) = eict (1 ibt)a .Momentirmr =k=0r k rk (a + k) , b c (a) kr > 0.Specijalno,m1 = ab + c,m2 = a(a + 1)b2 + 2abc + c2 .Centralni momenti2 = D = ab2 , 3 = 2ab3 , 4 = (3a2 + 6a)b4 .Modus i medijanaM o(X) = c + b(a 1), c, a1 a < 1,Za medijanu ne postoji jednostavan izraz.Koeficijenti asimetrije i spoxtenosti2 1 (X) = , a 2 (X) = 6 . aFunkcija verodostojnostiL=n a1 k=1 (Xk c) ban n (a)exp 1 bn(Xk c) ,k=1Gama raspodelan103ln L = (a 1)k=1ln(Xk c) nX + c an ln b n ln (a), b ln L a ln L b ln L cn=k=1ln(Xk c) n ln b nd(a), an n (X c) , b2 b n 1 1 (a 1) + . Xk c bk=1= =Ocene parametaraMetoda maksimalne verodostojnostiOcene a, b i c nepoznatih parametara a, b i c su rexea sistema jednaqinaab + c = 1 nnX, 1 (a 1)b 1 nnk=11 Xk c (a) + ln b=,=ln(Xk c).k=1gde je digama funkcija (videti Dodatak). Pri tome jeD(a) 6a3 , n D(b) 3ab2 , n D(c) 3a3 b2 , 2n (n ).Za vrednosti a bliske 1 i/ili za vrednosti b bliske 0 nije preporuqivo koristiti navedeni sistem. Specijalno: { Ako su a i b poznati, onda je c = X ab, ako su a i c poznati, onda jeb= X c X c , a ako su b i c poznati, onda je a = . a b{ Ako je poznat samo parametar a, onda se ocene b i c dobijaju iz sistema nab + c = X, 1 (a 1)b = 1 nk=11 , Xk cpri qemu jeD(b) b2 , n D(c) a(a 1)b2 , 2n (b, c) a+1 , a+3 (n ).104Gama raspodela{ Ako je poznat samo parametar b, onda se ocene a i c dobijaju iz sistema1 1 = (a 1)b nnk=11 , Xk c1 ln b + d(a) = nnln(Xk c).k=1{ Ako je poznat samo parametar c, onda se ocene a i b dobijaju iz sistema nab + c = X, ln b + d(a) = 1 n ln(Xk c).k=1Metoda momenataOcene a, b i c za a, b i c, po metodi momenata, date su saa= 4 2, 1 b= C3 , 2C2 c=X2 2C2 , C3gde jeC2 = 1 nn(Xk X)2 ,k=1C3 =1 nn(Xk X)3 .k=1Specijalno: { Ako je poznat parametar a, onda jeSn b= , a c = C Sn a,pri qemu jeD(b) (a + 3)b2 , 2an D(c) a(a + 3)b2 , 2n (b, c) a+1 , a+3 (n ).{ Ako je poznat parametar b, onda jea=2 Sn , 2 bc=X2 Sn . b{ Ako je poznat parametar c, onda jea= (X c)2 , 2 Sn b=2 Sn . X cVeze sa drugim raspodelama1. Ako X : G1 (a), tada bX + c : G3 (a, b, c). 2. G3 (1, b, 0) = E1 (b).Gama raspodela1053. G3 (1, b, c) = E2 (b, c). 4. G3 (a, 1, 0) = G1 (a). 5. G3 (n, 1, 0) = ER1 (n), n N . 6. G3 (a, b, 0) = G2 (a, b). 7. G3 (a, b, 0) = G4 (a, b, 0, 1). 8. G3 (a, b, c) = G4 (a, b, c, 1).PrimenaFinansije, hidrologija, meteorologija, ekonomija.NapomenaRaspodela je specijalan sluqaj Pirsonove III (P IR3) raspodele.36GAMA ZASEQENA RASPODELA GZ1(a)(zaseqena na [0, T ], jednoparametarska)g(x) = xa1 ex , (a, T ) 0 x T.Gustina Parametria (a > 0) { parametar oblika.Grafik gustineT=4 a=0.5 0.5 a=1 a=5a=2 0.4a=30.30.20.10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 410637(zaseqena na [0, T ], dvoparametarska)Gustinag(x) = xa1 ex/b , ba1 (a, T /b) 0 x T.GAMA RASPODELA GZ2(a, b)Parametria (a > 0) { parametar oblika, b (b > 0) { parametar skaliraa.Grafik gustineT=4, b=2 a=0.5 a=5 0.5a=1 a=3 0.4 a=20.30.20.10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 410738GILBRATOVA RASPODELA GLGustina1 g(x) = x 2 ln2 x 2 , ex > 0.ParametriNema parametara.Grafik gustine0.70.60.50.40.30.20.10 0 1 2 3 4 5108Gilbratova raspodela109Funkcija raspodeleF (x) = 1 1 + P 2 2 1 ln2 x , 2 2 , x > 0.Momentimr = er2/2,r N.Koeficijenti asimetrije i spoxtenosti 1 (X) = (e + 2) e 1, 2 (X) = e4 + 2e3 + 3e2 3.Veze sa drugim raspodelama1. GL = LN2 (0, 1). 2. GL = LN3 (0, 1, 0). 3. Ako X : GL, tada log X : N (0, 1).39GUMBELOVA RASPODELA GU(standardna)Gustinax g(x) = ex e ,x R.ParametriNema parametara.Grafik gustine0.40.350.30.250.20.150.10.050 21012345110Gumbelova raspodela111Funkcija raspodelex F (x) = ee ,x R.Momentim1 = , m2 = 2 + 2 , 6 m3 = 3 + 2 +2(3), 2 m4 = 4 + 2 2 + 3 4 +8(3), 205 3 2 3 4 10 2 (3) + + 20 2 (3) + + 24(5), 3 4 3 gde je Ojlerova konstanta, a rimanova zeta funkcija. m5 = 5 +Centralni momenti2 = 2 , 6 3 = 2(3), 4 = 3 4 , 20 5 = 10 2 (3) + 24(5).. 3Veze sa drugim raspodelama1. GU = GU 1(1). 2. GU = GU 2(1, 0).PrimenaEkstremne vrednosti sluqajnih nizova, hidrologija, meteorologija.Napomene1. Raspodela je dobila ime po nemaqkom statistiqaru Gumbelu ( Emil Julius Gumbel, 1891-1966)). 2. Koristi se i naziv dvostruko eksponencijalna raspodela .40GUMBELOVA RASPODELA GU N(negativna, standardna)g(x) = exe ,xGustinax R.ParametriNema parametara.Grafik gustine0.40.350.30.250.20.150.10.050 5432101211241GUMBELOVA RASPODELA GU 1(a)(jednoparametarska)ax g(x) = aeax e ,Gustinax R.Parametria (a > 0) { parametar oblika.Grafik gustine1 0.9 0.8a=0.4a=0.5 0.7 0.6 0.5 a=0.8 0.4 a=1 0.3 0.2 0.1 0 5 a=2 a=0.605113114Gumbelova raspodelaFunkcija raspodeleax F (x) = ee ,x R.Karakteristiqna funkcija(t) = 1 it a .Koeficijenti asimetrije i spoxtenosti1 (X) > 0, 2 (X) 2.4.Neka svojstva1. Za gustinu i funkciju raspodele vai jednakostln g(x) ln F (x) + ax = 0.2. Gustina raspodele je rexee diferencijalne jednaqinea eax 1 g g = 0.3. Funkcija raspodele je rexee diferencijalne jednaqineln F ln F + ax = 0.Veze sa drugim raspodelama1. GU 1(1) = GU . 2. Ako X : E1 (1), tada ln X : GU 1(a). 3. Ako X : U (0, 1), tada ln( ln X) : GU 1(a).1 a 1 aNapomenaGumbelova raspodela je poznata i kao dvostruko eksponencijalna, kao raspodela ekstremnih vrednosti tipa I i kao Fixer-Tipetova raspodela.42GUMBELOVA RASPODELA GU 2(a, b)(dvoparametarska)Gustinaa(xb) g(x) = aea(x b) e ,x R.Parametria (a > 0) - parametar skaliraa, b (b R) - parametar lokacije.Grafik gustine0.5 0.45a=0.8, b=1 0.4 a=0.8, b=2 0.35 a=1, b=0 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 64202468115116Gumbelova raspodelaFunkcija raspodelea(xb) F (x) = ee ,x R.EntropijaH(X) = ln a + + 1,gde je Ojlerova konstanta.Karakteristiqna funkcija(t) = 1 it a eibt .Generatrisa momenataM (t) = 1 t a ebt .Momenti1 m1 = b + , a D(X) = 2 . 6a2Modus i medijanaM o(X) = b, M e(X) = b 1 ln(ln 2). aKoeficijenti asimetrije i spoxtenosti 12 6(3) 1 (X) = 1.1396, 3 2 (X) = 2.4,gde je Rimanova zeta funkcija.Ocene parametara

Documents

Atlas Raspodela