Upload
others
View
15
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ATOM HIDROGENIK Bagian 1
Dr. PEKIK NURWANTORO FMIPA UGM
GambaranFisis
• AtomHidrogentersusunatas2par5kelyaitu1protondan1elektronyangsalingterikat
• KestabilansistemterbentukolehadanyainteraksitarikanCoulombantaraproton,yangberperansebagaiin5atom,denganelektron
• Protonyangberperansebagaiin5atomdapatdigan5kanolehsejumlahZpar5kelbermuatanposi5p,yangdikenalsebagaisistemHidrogenikataubak-Hidrogen(Hydrogen-like)
ProsedurPenyelesaian
• BentukeksplisitpersamaanSchrodingerdiperolehsesuaidenganbentukeksplisitpotensialCoulomb
• Bentukpersamaandiferensialparsialkemudiandiselesaikanmenggunakansistemkoordinatyangsesuaisehinggadapatdimanfaatkanmetodepemisahanvariabel
• Dengandemikianpersamaandiferensialdapatdiubahmenjadiseperangkatpersamaandiferensialbiasa
• Masing-masingpersamaandiferensialbiasatersebutkemudiandiselesaikan,analogpenyelesaiansistem1-D
Penyelesaiandalam3-D
• Berbedadenganmasalah1-D,penyelesaianatomHidrogenikmelibatkan3variabelruangpadafungsigelombang,operatortenagapotensialVdanoperatortenagakine5kK
ψ r( ) =ψ x, y, z( )V r( ) =V x, y, z( )
K = −!2
2m∇2 = −
!2
2m∂2
∂x2+∂2
∂y2+∂2
∂z2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
HamiltoniandanPersamaanSchrodingerAtomHidrogenik
• BentukeksplisittenagapotensialCoulomb• BentukeksplisitHamiltoniandanpersamaanSchrodingerAtomHidrogenik
;
V (r) = − Ze2
4πε0r
H = −!2
2me∇2 −
Ze2
4πε0r( ) ( ) ( )H Eψ ψ=r r r
SistemKoordinatBola
• Dalamsistemkoordinatbola,3variableruangtersebutdapatdikaitkanke3variabelruangdalamsistemkoordinatkartesianmelaluikaitan:
r,θ,φ( )
x, y, z( )r = x2 + y2 + z2 ;
θ = arccos zx2 + y2 + z2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
φ = arctan yx⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
PemilihanSistemKoordinat
• KarenabentukoperatortenagapotensialpadaatomHidrogenikhanyabergantungpadavariabelr,ataubiasadisebutmedansentralmengingatarahmedanyangsearahdenganarahradial,makapenyelesaiansistemakansesuaidenganmenggunakansistemkoordinat
• Secaramatema5ka,karenavariabelsalingtergandengmakametodepemisahanvariabelpadakoordinatkartesianakangagaluntukdimanfaatkan
x, y, z( )
BentukeksplisitOperatordalamKoordinatBola
• OperatorLaplasianberbentuk:• DenganoperatorMomentumSudutadalah:
22 2
2 2 2
1 Lrr r r r
∂ ∂⎛ ⎞∇ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ h
L2 = −!2 1sinθ
∂∂θ
sinθ ∂∂θ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+
1sin2θ
∂2
∂φ 2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
PersamaanSchrodingerdalamKoordinatBola
• MakapersamaanSchrodingeruntukAtomHidrogenikmenjadi:
( ) ( ) ( )H Eψ ψ=r r r
−!2
2mr2∂∂rr2 ∂ψ(r)
∂r⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+L2ψ(r)2mr2
−Ze2
4πε0rψ(r) = Eψ(r)
KekekalanBesaranFisis
• BerdasarbentukHamiltoniantersebut,makauntukatomHidrogenikberlakukaitankomutatorberikut:
• Denganungkapantersebutdapatdisimpulkanbahwatenagatotal,momentumsuduttotaldankomponenmomentumsudutkearahsumbuzmerupakan3besaranfisisyangkekaldalamatomHidrogenik
• Jugadapatdisimpulkanbahwafungsigelombangserentakyangmemenuhifungsieigenbagike5gaoperatortersebutakandapatdiperoleh
[H , L2 ]= 0[H , Lz ]= 0
BentukFungsiGelombang
• Denganpehamamantersebut,fungsigelombangdapatdinyatakansecaraterpisahantarabagianradial&bagiansudutyaitu:
• Dalamhalini,bagiansudutmerupakanfungsieigendarioperatorL2danLzyaitu:
( ) ( ) ( ) ( )lmr R r Yψ ψ θ φ θ φ= , , = ,r
LzYlm θ ,φ( ) =m!Ylm θ ,φ( )L2Ylm θ ,φ( ) = l l +1( )!2Ylm θ ,φ( )