VILNIAUS UNIVERSITETAS

Kietojo kno elektronikos katedra

ATOMO IR BRANDUOLIO FIZIKOS

LABORATORINIAI DARBAI

Pareng A. Pokus

Vilnius, 2004

Turinys

1. Teorinis vadas. Atomo ir branduolio fizikos elementai 1 1.1. Spinduliavimo kvantin prigimtis 1 1.2. Fotoefektas. Einteino lygtis 2 1.3. Komptono efektas 5 1.4. Branduolinis atomo sandaros modelis. Rezerfordo tyrimai 8 1.5. Vandenilio atomo spektras 10 1.6. Boro postulatai 11 1.7. Boro vandenilio atomo modelis 12

1.7.1. Elektrono orbit spinduli skaiiavimas 14 1.7.2. Elektrono kinetins energijos kiekvienoje orbitoje skaiiavimas 15 1.7.3. Elektrono potencins energijos kiekvienoje orbitoje skaiiavimas 15 1.7.4. H atomo spektro skaiiavimas. Pagrindin ir suadintoji bsenos 15

1.8. Atomo magnetins savybs pagal Boro teorij 19 1.9. Boro atomo teorijos ribotumas 21 1.10. Mediagos savybi korpuskulinis ir banginis dualumas 22 1.11. Neapibrtum sryis 24 1.12. Bangin funkcija ir jos statistin samprata 27 1.13. rdingerio lygtis. Energijos lygmenys. Kvantiniai uoliai 29 1.14. Dalel potencinje duobje. Elektronas atome 31 1.15. Dalels pereiga pro potencin barjer (tunelin pereiga) 35 1.16. Operatoriai kvantinje mechanikoje. Kvantins mechanikos postulatai 36 1.17. Elektrono orbitinis judjimas atome kvantins mechanikos poiriu 42 1.18. Sukinys. Elektrono sukinio ir orbitos sveika. Moment sudtis 49 1.19. Dirako lygtis ir elektrono sukinys 54 1.20. Atrankos taisykls. Atomo spektro linij smulkioji struktra 60 1.21. Daugiaelektroniai atomai. Paulio draudimo principas. Elektron sluoksniai 61 1.22. Daugiaelektronio atomo judesio kiekio momentas ir magnetinis momentas 63 1.23. Elektron sveika helio atome. Daleli tapatingumas. Pakaitin sveika 68 1.24. Branduolio sandara. Izotopai 73 1.25. Branduolio mas ir ryio energija 76

ii

1.26. Branduolio modeliai 81 1.26.1. Sluoksninis branduolio modelis 81 1.26.2. Laelinis branduolio modelis 84

1.27. Pagrindins sveikos 84 1.28. Radioaktyvumas. Pagrindinis radioaktyviojo skilimo dsnis 87 1.29. skilimas 89 1.30. skilimas 96 1.31. Branduoli spinduliavimas 97 1.32. Branduoli uoli atrankos taisykls. Metastabiliosios bsenos 100 1.33. aktyvi branduoli gavimas. Vidin konversija 103 1.34. Branduolins reakcijos 103 1.35. Branduolini reakcij energija 105 1.36. Sunkij branduoli dalijimosi reakcija. Grandinin reakcija 106 1.37. Jonizuojaniosios spinduliuots dozi samprata 109

2. Darbai Nr. 12. Kristal struktros rentgenin analiz 114 2.1. vadas 114

2.1.1. Kristalai, kristalo gardel, elementarusis narvelis 114 2.1.2. Rentgeno spinduli difrakcija kristale 116

2.2. Laus lygtys. Brego metodas 119 2.3. Brego lygtis 122 2.4. Kristal simetrija 124 2.5. Kristalografins ploktumos ir kristalografins ays. Milerio indeksai 129 2.6. Rentgenogram analiz kubins singonijos kristal atveju 131 2.7. Darbas Nr. 1. Monokristalo struktros rentgenin analiz Brego metodu 133

2.7.1. Brego metodas 133 2.7.2. Darbo uduotys 135 2.7.3. Matavim tvarka 135 2.7.4. Rentgenogramos analiz 137 2.7.5. Kontroliniai klausimai 138

2.8. Darbas Nr. 2. Polikristalo struktros rentgenin analiz 138 2.8.1. Polikristal tyrimo metodo teorija 138 2.8.2. Darbo uduotys 140

iii

2.8.3. Matavim tvarka 140 2.8.4. Rentgenogramos analiz 142 2.8.5. Kontroliniai klausimai 143

3. Darbas Nr. 3. Bdingosios Rentgeno spinduliuots spektro tyrimas 144 3.1. vadas 144 3.2. Stabdomoji Rentgeno spinduliuot 145 3.3. Bdingoji Rentgeno spinduliuot 148 3.4. Mozlio dsnis 152 3.5. Bdingosios Rentgeno spinduliuots spektro smulkioji struktra 154 3.6. Tyrimo metodo teorija 158 3.7. Darbo uduotys 162 3.8. Matavim tvarka 162 3.9. Rentgenogramos analiz 162 3.10. Kontroliniai klausimai 163

4. Darbas Nr. 4. Branduolins spinduliuots statistini dsningum tyrimas 166 4.1. vadas 166 4.2. Dispersija ir standartinis nuokrypis. Aktyvumo matavimo paklaidos 167 4.3. Tikimybs svoka. Atsitiktinio dydio skirstinys. Puasono skirstinys 170 4.4. Tikimybs tankio funkcija. Puasono skirstinio tolydusis artinys 175 4.5. Gauso skirstinys 177 4.6. Atsitiktinio dydio skirstinio matavimas. Histogramos 178 4.7. Darbo uduotys 180 4.8. Matavim tvarka 180 4.9. Matavimo duomen analiz 180 4.10. Kontroliniai klausimai 181

5. Darbas Nr. 5. Dirbtinio radioaktyvumo tyrimas 182 5.1. Pagrindinis radioaktyviojo skilimo dsnis. Skilimo kreivs 182 5.2. Dirbtinio radioaktyvumo svoka. Radiacin neutron pagava 183 5.3. Aktyvinimas. Aktyvacijos kreiv. Soties aktyvacija 185 5.4. Vieno izotopo ir izotop miinio skilimo kreivs 189 5.5. Darbo uduotys 192

iv

5.6. Matavim tvarka 192 5.7. Matavimo duomen analiz 193

5.7.1. Matavimo rezultat analiz, naudojant netiesin aproksimavim 193 5.7.2. Matavimo rezultat analiz, naudojant tiesin aproksimavim 195

5.8. Kontroliniai klausimai 197

6. Darbas Nr. 6. Beta spinduli sugerties mediagoje tyrimas 198 6.1. vadas 198 6.2. Jonizaciniai energijos nuostoliai 199 6.3. Radiaciniai energijos nuostoliai 205 6.4. Daleli siekiai 207 6.5. Elektron pereiga pro storas folijas. Silpimo koeficientas 208 6.6. Darbo uduotys 212 6.7. Matavim tvarka 212 6.8. Matavimo duomen analiz 213 6.9. Kontroliniai klausimai 214

7. Darbas Nr. 7. Gama spinduli sugerties mediagoje tyrimas 215 7.1. vadas 215 7.2. Komptono sklaida 215 7.3. Fotoefektas 216 7.4. Por krimas 216 7.5. Sveikos skerspjvis ir silpimo koeficientas 217 7.6. Darbo uduotys 220 7.7. Matavim tvarka 220 7.8. Matavimo duomen analiz 221 7.9. Kontroliniai klausimai 223

8. Darbas Nr. 8. Geigerio ir Miulerio skaitiklio tyrimas 224 8.1. Jonizuojaniosios spinduliuots detektori veikimo principas 224 8.2. Impulsinio dujinio detektoriaus jungimo schema 225 8.3. Elektronin gritis dujiniame detektoriuje 226 8.4. Proporcingieji skaitikliai 230 8.5. Geigerio ir Miulerio skaitikliai 231

v

8.6. Antrini Geigerio ilydi slopinimas 232 8.7. Dujinio detektoriaus signalo didumo prieklausa nuo tampos 234 8.8. Geigerio ir Miulerio skaitiklio charakteristika 237 8.9. Skaitiklio neveikos trukm 237 8.10. Skaitiklio efektyvumas 240 8.11. Skaitiklio neveikos trukms matavimas dviej altini metodu 240 8.12. Skaitiklio efektyvumo matavimas 243 8.13. Darbo uduotys 243 8.14. Matavim tvarka 244 8.15. Matavimo duomen analiz 244 8.16. Kontroliniai klausimai 245

9. Darbas Nr. 9. Komptono efekto tyrimas 246 9.1. vadas 246 9.2. Komptono formul 248 9.3. Sklaidos skerspjvio svoka 250 9.4. Elektromagnetins spinduliuots sklaidos klasikinis apraymas 253 9.5. Komptono sklaidos skerspjvis 258 9.6. Darbo uduotys 261 9.7. Tyrimo metodo teorija 261 9.8. Matavim tvarka 263 9.9. Matavimo duomen analiz 264 9.10. Kontroliniai klausimai 264

Priedas A. Radioaktyvij nuklid skilimo schemos 267

Priedas B. Matavimo duomen tiesinis aproksimavimas 269 B.1. Udavinio formuluot 269 B.2. Tiess koeficient grafinis radimas 271 B.3. Maiausij kvadrat principas 272 B.4. Koeficient pasikliautinieji intervalai 274

Priedas C. Matavimo duomen netiesinis aproksimavimas 277 C.1. Naudojamoji terminologija ir udavinio formuluot 277

vi

C.2. Svorini daugikli pasirinkimas 278 C.3. Maiausij kvadrat principo matematin formuluot 280 C.4. Modelio parametr pasikliautinieji intervalai 280

Priedas D. Netiesinis aproksimavimas, dirbant su programa Microcal Origin 282 D.1. Aproksimavimo dialogo langas 282 D.2. Modelio pasirinkimas 284 D.3. Naujos funkcijos apibrimas arba pasirinktosios funkcijos modifikavimas 284 D.4. Modelio parametr pradini veri ir konstant apibrimas 288 D.5. Parametr kitimo rib apibrimas 290 D.6. Funkcij apibrimo failai 292 D.7. Aproksimuojam duomen pasirinkimas 294 D.8. Svorini daugikli skaiiavimo bdo pasirinkimas 296 D.9. Aproksimavimo seansas 298 D.10. Atvejai, kai aproksimavimo procedra neranda kvadrat sumos minimumo301 D.11. Kreivi modeliavimas 302 D.12. Sudting skaitmenini modeli panaudojimas 304

Literatra 306

1. Teorinis vadas. Atomo ir branduolio fizikos elementai

1.1. Spinduliavimo kvantin prigimtis Siekdamas paaikinti absoliuiai juodo kno spinduliuots eksperimentinius dsningumus, vokiei fizikas Maksas Plankas 1900 m. padar prielaid, kad elektromagnetin energija ispinduliuojama ir sklinda ne tolydiai, o diskreiai, tiksliai apibrtomis atskiromis porcijomis, kurios vadinamos spinduliuots kvantais. Be to, vieno kvanto energija E yra proporcinga spinduliuots daniui . Proporcingumo koeficientas vadinamas Planko konstanta ir ymimas h:

chhE == (1.1.1)

(Planko konstanta lygi h = 6.62510-34 Js). Planko hipotezs pagrindu Albertas Einteinas 1905 m. sukr viesos kvantin (fotonin) teorij. Pagal Eintein, viesos energijos kvant galima laikyti materialia dalele, kuri sklinda viesos greiiu ir pernea energij E = h. i dalel vadinama fotonu. Kadangi fotonas elgiasi kaip materiali dalel, tai jis privalo turti mas ir judesio kiek. Fotono mas mf galima rasti, pasinaudojus energijos ir mass sryiu: h = mfc2. I ia

ch

chm f == 2 . (1.1.2)

Reikia turti omenyje, kad tai yra viesos greiiu judanio fotono mas: fotono rimties mas lygi nuliui. Tuo fotonas skiriasi nuo materialij daleli, toki, kaip elektronas, protonas ir neutronas, kuri rimties mas nelygi nuliui ir kurios gali bti rimties bsenos. Fotonas negali bti rimties bsenos, o jo greitis visuomet lygus viesos greiiui c. Fotono judesio kiekis pf (mass ir greiio sandauga) yra lygus

hc

hcmp ff === . (1.1.3) Taigi, elektromagnetin spinduliuot (vadinasi, ir vies) galima apibdinti ne vien bang parametrais ir , bet ir dydiais mf ir pf, kurie mechanikoje naudojami, apibdinant materialij daleli judjim. Tai rodo, kad viesos reikiniuose pasireikia dualumas (dvejopumas): vieni reikiniai (interferencija, difrakcija ir poliarizacija) rodo, kad viesa yra banginis procesas, o kiti reikiniai (absoliuiai juodo kno spinduliuots savybs ir emiau apraytieji fotoefektas bei Komptono efektas) rodo, kad viesa yra diskretusis, arba kvantinis, procesas, kur sukelia atskir daleli (foton) veikimas.

2

1.2. Fotoefektas. Einteino lygtis XIX a. pabaigoje buvo atrastas dar vienas optinis reikinys, kurio nemanoma paaikinti, naudojantis klasikins fizikos dsniais. Buvo pastebta, kad, apvietus metalo paviri regimja viesa, metalas pradeda spinduliuoti elektronus. Toks reikinys, kai viesa ilaisvina i metal elektronus, vadinamas ioriniu fotoefektu. Iorinio fotoefekto dsningumams tirti daniausiai naudojamas renginys, kurio schema pavaizduota 1.1 pav. Stikliniame balione, i kurio isiurbtas oras, taisomi du metaliniai elektrodai. Vienas elektrodas tai viesai

jautraus metalo (pvz., Na, Cs arba Sb) sluoksnis, kuris dengia i vidaus didij dal stiklinio baliono, iskyrus nedidel plotel viesai eiti. Kitas elektrodas tai vielinis iedas arba tinklelis, tvirtintas baliono viduryje. Toks balionas su dviem elektrodais vadinamas vakuuminiu fotoelementu. Matavim metu prie elektrodo, kuris dengia stiklinio baliono paviri, prijungiama neigiama tampa (t.y., is elektrodas atlieka katodo vaidmen), o prie varinio tinklelio prijungiama teigiama tampa (t.y., is elektrodas atlieka anodo vaidmen). Be to,

nuosekliai su fotoelementu prijungiamas ampermetras (pvz., galvanometras). Apvietus katod K, ilaisvintieji elektronai (fotoelektronai), veikiami elektrinio lauko, juda link anodo A, sukeldami elektros srov, kuri matuoja galvanometras G. i elektros srov vadinama fotosrove. Pagal klasikin teorij, elektronus i metalo iplia viesos elektrinis laukas. Taiau klasikin teorija negali paaikinti pagrindini fotoefekto dsningum (juos galima nustatyti, naudojant 1.1 pav. schem):

a) Kiekvienam metalui bdingas tam tikras maiausias viesos danis rib, emiau kurio fotoefektas nevyksta. Kitais odiais, egzistuoja tam tikras maksimalus viesos bangos ilgis, vir kurio fotoefektas nevyksta. Pavyzdiui, apvietus cinko ploktel regimosios viesos spinduliais, jie neimu i cinko elektron, kad ir koks stiprus bt viesos srautas. Tuo tarpu ultravioletiniai spinduliai, net jeigu j srautas yra labai silpnas, imua i cinko elektronus. Vadinasi, cinko atveju maiausias viesos danis, kuriam esant, vyksta fotoefektas, yra ultravioletini spinduli diapazone. is maiausias danis arba didiausias bangos ilgis vadinamas fotoefekto raudonja riba. Raudonosios ribos egzistavim iliustruoja

1.1 pav. Iorinio fotoefekto tyrimo schema (vakuuminis fotoelementas)

G

K A viesa

+-

3

1.2a pav.: fotosrov skiriasi nuo nulio tik tuomet, kai > rib. is eksperimentinis faktas prietarauja klasikinei teorijai, pagal kuri elektrono iplimui i metalo pakanka, kad j veikianti jga bt pakankamai stipri, o ios jgos kitimo danis neturi reikms. T.y., pagal klasikin teorij, fotosrov turt skirtis nuo nulio, esant bet kokiam viesos daniui.

b) Fotoelektron didiausias greitis vmax nepriklauso nuo katodo apviestumo S (apviestumas tai spinduliuots energijos kiekis, kuris krinta per laiko vienet ploto vienet). Greitis vmax praktikoje matuojamas tokiu bdu. Prie elektrodo A, kuris surenka fotoelektronus, prijungiama neigiama tampa atvilgiu metalo K, kuris juos spinduliuoja. Tuomet fotoelektronai yra ltinami, ir pasiekusi tinklel fotoelektron skaiius maja, augant ltinaniai tampai. Atitinkamai, fotosrov maja (r. 1.2b pav.). Kai ltinanioji tampa pasiekia vert U0, kuriai esant, netgi greiiausieji elektronai nepasiekia tinklelio, fotosrov sumaja iki nulio (r. 1.2b pav.). Pagal imatuot tampos U0 vert galima apskaiiuoti didiausi fotoelektron greit vmax. Esant iai tampai, greiiausieji elektronai kelyje nuo elektrodo K iki tinklelio A praranda vis savo kinetin energij, kuri lygi 2/2maxvm (ia m yra elektrono mas) Antra vertus, kai elektronas praeina ltinani tamp U0, jo kinetin energija sumaja dydiu eU0 (ia e yra elektrono krvis). Vadinasi,

1.2 pav. Fotoefekto dsningumai: a) raudonoji riba, b) fotoelektron didiausias greitis nepriklauso nuo apviestumo, c) fotoelektron didiausia energija proporcinga viesos daniui.

rib

F

o

t

o

s

r

o

v

viesos danis

= const; S2 > S1

Is2

Is1

-U0

F

o

t

o

s

r

o

v

tampa

rib

R

i

b

i

n

s

t

a

b

d

y

m

o

t

a

m

p

a

U

0

viesos danis

a) b)

c)

4

2

2max

0vmeU = ir

meU0

max2=v . (1.2.1)

Kaip parodyta 1.2b pav., U0 nepriklauso nuo apviestumo S. Tai prietarauja klasikinei teorijai. Pagal klasikin teorij, apviestumas yra proporcingas elektromagnetins bangos elektrinio lauko amplituds kvadratui. i amplitud, savo ruotu, yra proporcinga didiausiai jgai, kuria viesa veikia metalo elektronus. Didjant iai jgai, turt augti ir imutj elektron maksimalus greitis. T.y., pagal klasikin teorij, fotoelektron didiausias greitis vmax (ir ribin stabdymo tampa U0) turt augti, didjant apviestumui.

c) Fotoelektron didiausioji energija yra proporcinga viesos daniui (r. 1.2c pav.).

iuos fotoefekto dsningumus 1905 m. paaikino Einteinas, pasinaudojs fotonine viesos prigimties hipoteze. Pagal Eintein, fotonas, pataiks metal, gali atiduoti savo energij h vienam metalo elektronui. ios energijos dalis ieikvojama darbui A, kuris atliekamas ilaisvinant elektron i metalo (elektrono ilaisvinimo darbui), o likusioji dalis virsta ilaisvintojo elektrono kinetine energija. Imutojo elektrono greitis yra lygus didiausiam fotoelektron greiiui vmax, kuris nustatomas pagal stabdymo tamp U0 (r. aukiau). Vadinasi, jo kinetin energija lygi 2/2maxvm (ia m yra elektrono mas). Pagal energijos tverms dsn, fotono energija turi bti lygi ilaisvinimo darbo A ir imutojo elektrono kinetins energijos sumai:

2

2maxvmAh += . (1.2.2)

Tai yra Einteino lygtis fotoefektui. Laisvasis elektronas dal savo energijos gali prarasti, sveikaudamas su metalo atomais. Tokiu atveju i metalo jis ilekia greiiu, kuris maesnis u didiausij greit vmax. Todl daugumos fotoelektron greitis yra maesnis u vmax.

Naudojantis (1.2.2) lygtimi, galima paaikinti visus tris mintuosius fotoefekto dsningumus:

a) Fotoefekto raudonosios ribos (r. 1.2a pav.) aikinimas. Pagal (1.2.2) lygt, fotoelektron didiausioji energija lygi fotono energijos ir ilaisvinimo darbo skirtumui:

Ahm = 2

2maxv . (1.2.3)

5

Jeigu fotono energija h yra maesn u ilaisvinimo darb A, tuomet (1.2.3) lygybs deinioji pus yra neigiama. Taiau kinetin energija negali bti neigiama. Vadinasi, jeigu h < A, fotoefektas nevyksta. Taigi, maiausias viesos danis rib, kuriam esant, vyksta fotoefektas (fotoefekto raudonoji riba) atitinka lygyb

hrib = A. (1.2.4) Elektrono ilaisvinimo darbas A bdingas katodo mediagai dydis, todl skirtingoms katodo mediagoms ribinis danis rib yra skirtingas. A vert lemia fotoefekto raudonj rib.

b) Didiausiojo greiio vmax nepriklausomumo nuo apviestumo (r. 1.2b pav.) aikinimas. Pagal (1.2.3) lygt, fotoelektron didiausias greitis vmax priklauso tik nuo foton danio ir nuo ilaisvinimo darbo A. Vadinasi, jis nepriklauso nuo apviestumo.

c) Fotoelektron didiausios energijos tiesin prieklausa nuo viesos danio (r. 1.2c pav.) taip pat tiesiogiai iplaukia i (1.2.3) lygties.

1.3. Komptono efektas Kitas reikinys, kuriame ypa rykiai pasireikia viesos korpuskulins (kvantins) savybs, yra Komptono efektas. 1922 m. amerikiei fizikas Arturas Komptonas, tirdamas trumpabangi Rentgeno spinduli sklaid vairiose mediagose, pastebjo, kad isklaidytos spinduliuots bangos ilgis yra didesnis u kritusios spinduliuots bangos ilg. is elektromagnetins spinduliuots bangos ilgio padidjimas sklaidos metu vadinamas Komptono efektu. Klasikin teorija, kuri remiasi banginiu spinduliavimo modeliu, negali paaikinti Komptono efekto. Pagal klasikin teorij, elektromagnetins bangos ilgis sklaidos metu neturt pasikeisti. Klasikin teorija elektromagnetini bang sklaid aikina itaip. Mediagos jonai ir elektronai, veikiami elektromagnetins bangos elektrinio lauko, virpa daniu, kuris lygus bangos daniui. i virpesi kryptis sutampa su elektrinio lauko kryptimi (t.y., statmena bangos krypiai). Su pagreiiu judantis krvininkas (iuo atveju jonas arba elektronas) spinduliuoja elektromagnetines bangas. Kadangi iuo atveju krvininko judjimo pagreitis yra harmonin laiko funkcija, krvininkas spinduliuoja to paties danio elektromagnetines bangas. Tai ir yra isklaidytos bangos. Taigi, klasikin teorija teigia, kad sklaidos metu spinduliuots danis nepakinta. Fotonins teorijos poiriu, sklaidos vykis tai dviej daleli fotono ir elektrono tamprusis susidrimas (t.y., sveika, kurios metu nekinta daleli kinetini energij suma). Fotonas, kurio energija lygi h0, sveikaudamas su elektronu, perduoda jam dal savo energijos. Dl ios

6

sveikos elektronas gyja tam tikr greit, o fotonas pakeiia judjimo krypt (r. 1.3 pav.). Kadangi dalis fotono energijos perduota elektronui, tai aiku, kad isklaidytojo fotono energija yra maesn, negu krintaniojo. Kadangi fotono energija proporcinga daniui (r. (1.1.1) formul), tai, sumajus fotono energijai, sumaja ir spinduliuots danis, o bangos ilgis padidja. Taigi, Komptono efektas yra grynai korpuskulinis reikinys: jis apraomas taip pat, kaip dviej rutuliuk tamprusis susidrimas. Tai reikia, kad kampu isklaidyto fotono energij galima rasti, naudojant energijos ir judesio kiekio tverms dsnius, kurie inomi i mechanikos kurso. Vienintelis skirtumas, lyginant su dviej rutuliuk tampriuoju susidrimu, yra tas, kad fotono energij reikia skaiiuoti pagal (1.1.1) formul, o fotono judesio kiek pagal (1.1.3) formul. Elektrono kinetin energij ir judesio kiek galima skaiiuoti pagal klasikins mechanikos formules. Vadinasi, energijos ir judesio kiekio tverms dsniai, kai fotonas tampriai susiduria su nejudaniu elektronu, yra tokio pavidalo:

+=+=

(1.3.1b)

(1.3.1a) ,2

0

2

0

. m

mhh

vpp

v

ia h0 ir h yra fotono energija iki ir po susidrimo, m ir v yra elektrono mas ir greiio vektorius po susidrimo, o p0 ir p yra fotono judesio kiekio vektoriai iki ir po susidrimo (pagal (1.1.3) formul, i vektori absoliutins verts yra p0 = h0/c ir p = h/c). v yra elektrono greiio absoliutin vert po susidrimo. 1.3 pav. iliustruoja judesio kiekio tverms dsn, t.y., (1.3.1b) lygt.

(1.3.1b) lygtyje perklus p kairij pus ir paklus kvadratu abi ios lygties puses,

+

=

+=

(1.3.2b) .cos2)(

(1.3.2a) ,2

022

02

2

0

ch

ch

ch

chm

mhh

v

v

ia yra kampas tarp vektori p ir p0, t.y., sklaidos kampas (r. 1.3 pav.). Tikslas rasti duotuoju kampu isklaidyto fotono dan . Taigi, turime dviej lygi sistem atvilgiu dviej neinomj v ir . J isprend ir pasinaudoj sryiu tarp bangos ilgio ir danio = c/, randame toki fotono bangos ilgio pokyio iraik:

)cos1(11

00 =

=

mchc , (1.3.3)

arba )cos1( = K ; (1.3.4)

ia

7

024263.0==mch

K . (1.3.5) Bangos ilgio pokyio iraika (1.3.4) gaunama ir tuo atveju, kai lygi sistemoje (1.3.1a,b) naudojamos reliatyvistins kinetins energijos ir judesio kiekio iraikos (r. 9.2 poskyr). (1.3.4) formul vadinama Komptono formule, o dydis K vadinamas Komptono bangos ilgiu.

1.3 pav. Judesio kiekio tverms dsnis, kai nejudantis laisvasis elektronas sklaido foton. 0 ir h0 krintaniojo fotono danis ir energija, ir h isklaidytojo fotono danis ir energija, v ir mv elektrono greiio ir judesio kiekio vektoriai po susidrimo, p0 ir p fotono judesio kiekio vektoriai iki ir po susidrimo (i vektori absoliutins verts yra p0 = h0/c ir p = h/c), fotono sklaidos kampas. h yra Planko konstanta, m = 9.1093910-31 kg yra elektrono mas.

p0Krintantysis fotonas

I fotonassklaidytasisp

mv

Komptono atatrankos elektronas

mvh0

h

8

1.4. Branduolinis atomo sandaros modelis. Rezerfordo tyrimai Aukiau buvo aprayti du reikiniai, kuriuose pasireikia viesos (ir apskritai elektromagnetins spinduliuots) korpuskulinis-banginis dualumas. XX a. pradioje palaipsniui paaikjo, kad toks korpuskulinis-banginis dualumas yra bdingas ir kitoms mikrodalelms, pvz., elektronams. Per kelis deimtmeius buvo sukurta teorija, kuri vieningu poiriu aprao ir elektromagnetin spinduliavim, ir materialij daleli (pvz., elektron ir atom branduoli) judjim bei tarpusavio sveik. i teorija tai kvantin mechanika. Pirmuoju kvantins mechanikos kertiniu akmeniu tapo Planko hipotez apie spinduliavimo kvantin pobd (r. 1.1 poskyr). Madaug tuo paiu metu, kai Maksas Plankas suformulavo savo hipotez, prie kvantins mechanikos krimo buvo artjama ir i kitos puss: tiriant atomo sandar.

1897 m. angl fizikas D. D. Tomsonas atrado elementarij dalel elektron, kuri turi neigiam elektrin krv. io krvio absoliutin vert

daniausiai ymima raide e ir yra lygi 1.602210-19 C. is krvis vadinamas elementariuoju krviu, nes vis gamtoje egzistuojani daleli krviai yra krvio e kartotiniai. Elektrono mas m = 9.110-31 kg. Tomsonas nustat, kad elektronai yra atom dalels. Kadangi atomas yra visumoje neutralus, Tomsonas padar ivad, kad atome turi bti ir teigiamas krvis, kuris yra prieingas elektron krviui. Pagal Tomsono model, atom sudaro sferinis tolygiai pasiskirsiusio teigiamo krvio debeslis, kuriame "plaukioja" neigiamieji elektronai (r. 1.4 pav.).

1909 m. kitas angl fizikas Ernestas Rezerfordas tyr daleli pereig pro plonas aukso bei kit metal folijas (apie daleles bus smulkiau kalbama skyriuje apie radioaktyvum). Tuo metu jau buvo inoma, kad dalels yra teigiamosios dalels, kuri krvis lygus dvigubam elementariajam krviui (+2e), o mas madaug 7000 kart didesn u elektrono mas. Rezerfordo matavim schema pavaizduota 1.5 pav. Radioaktyvi mediaga R spinduliuoja siaur pluotel daleli, kuri kelyje taisyta metalin folija F. Prajusios pro folij, dalels atsimua fluorescuojant ekran E ir sukelia blyksnius (scintiliacijas), kurie stebimi mikroskopu M. Mikroskop kartu su ekranu galima sukioti aplink folij (r. 1.5 pav.). Tokiu bdu galima nustatyti, kokia dalis daleli nukrypsta bet kokiu duotuoju kampu. Rezerfordas pastebjo, kad dalis daleli, praeidamos folij, yra isklaidomos, t.y., pakeiia judjimo krypt. Jis padar ivad, kad dalel pakeiia judjimo krypt dl to, kad j

1.4 pav. Tomsono atomo modelis

9

stumia atomo teigiamasis elektrinis krvis (r. 1.6 pav.). Taiau nuostabiausia buvo tai, kad kai kurios dalels buvo isklaidomos didesniu u 90 kampu, t.y., atokdavo atgal. Atsivelgdamas didel daleli greit (madaug 20000 km/s), Rezerfordas matematikai rod, kad tai manoma tik tuo atveju, jeigu dalel veikiantis teigiamasis krvis sutelktas erdvs srityje, kurios matmenys madaug 10000 kart maesni u atomo matmenis. Kad dalel bt isklaidyta didesniu u 90 kampu, jos smgis i erdvs srit turi bti beveik centrinis (r. apatin kreiv 1.6 pav.). Apibendrins daleli sklaidos tyrim rezultatus, Rezerfordas 1911 m. pateik nauj atomo sandaros model, kuris vadinamas branduoliniu atomo modeliu. Pagal model, beveik visa atomo mas ir visas teigiamasis atomo krvis yra sukoncentruotas atomo branduolyje, kurio matmenys madaug 10000 kart maesni u viso atomo matmenis. Branduolio krvis lygus elemento atominio numerio Z ir elementariojo krvio e sandaugai Ze. Branduolio matmenys yra 10-15 10-14 m eils (palyginimui: atomo matmenys yra 10-10 m eils). Iorin atomo erdv yra upildyta elektron, kurie skrieja aplink branduol udaromis trajektorijomis, panaiai kaip planetos aplink Saul. Elektron pilnutinis neigiamasis krvis yra lygus branduolio teigiamajam krviui, todl atomas yra neutralus. Taiau pagal klasikin teorij tokia sistema yra nestabili ir negali egzistuoti. Pagal klasikin elektrodinamik, elektronas, juddamas aplink branduol, turt nuolat spinduliuoti elektromagnetines bangas (nes judjimas udara orbita tai judjimas su pagreiiu, o su pagreiiu judantis krvininkas spinduliuoja elektromagnetines bangas). Tas faktas, kad elektronas spinduliuoja, reikia, kad jo energija nuolat maja. Vadinasi, elektronas turt spirale artti prie branduolio. Per ma sekunds dal elektronas turt nukristi branduol, t.y., atomas nustot egzistuoti. Taiau patirtis rodo, kad atomai gali egzistuoti neribotai ilgai, nespinduliuodami elektromagnetini bang ir

1.5 pav. Rezerfordo matavim schema

R

1.6 pav. daleli sklaidos aikinimas, remiantis branduoliniu atomo modeliu

10

neprarasdami energijos. Taigi, primus branduolin atomo model, paaikjo, kad klasikin elektrodinamika negali paaikinti atom egzistavimo.

1.5. Vandenilio atomo spektras inias apie atom sandar teikia j spinduliuots spektrai. Atomo spektr nusako atomo spinduliuojam elektromagnetini bang (viesos) daniai. Matavimai rodo, kad atomai spinduliuoja tik atskir tiksliai apibrt dani elektromagnetines bangas. T.y., praleidus atomo spinduliuot pro spektrin prietais, pvz., pro difrakcin gardel, gaunamos siauros rykios linijos (r. 1.7 pav.). Todl sakoma, kad atom spektrai yra linijiniai. Kiekviena linija atitinka apibrto danio (ir apibrto bangos ilgio) vies. 1.7 pav. pavaizduota vandenilio atomo spektro dalis. Vir kiekvienos linijos

nurodytas atitinkamas bangos ilgis (m). Po kiekviena linija pateiktas jos sutartinis ymjimas. Matavimai rodo, kad linijos atom spektruose isidsiusios dsningai. Anksiausiai is dsningumas buvo pastebtas lengviausiojo elemento vandenilio atom spektre. 1885 m. veicar matematikas Johanas Balmeris paskelb paprast formul vandenilio atomo spektro regimosios dalies linij daniui skaiiuoti:

= 221

21

kR (k = 3, 4, 5, ). (1.5.1)

i formul vadinama Balmerio formule. ia yra Rydbergo konstanta: R = 3.29311931015 s-1 ("Rydbergo konstanta" taip pat vadinamas dydio R ir viesos greiio santykis: R' = R/c = 1.0973732107 m-1). k yra bet koks sveikasis skaiius, pradedant trim. Jeigu (1.5.1) formulje vietoj k raytume 3, tuomet apskaiiav gautume dan, kuris tiksliai sutampa su vandenilio spektro raudonosios linijos daniu (i linija ymima H). ra k = 4, gautume ydrosios linijos H dan ir t.t. i vandenilio atomo linij seka vadinama Balmerio serija. inant dan , galima apskaiiuoti kiekvienos linijos bangos ilg = c/. Balmerio serijos pirmj keturi linij bang ilgiai nurodyti 1.7 pav. Vlesni vandenilio spektro tyrimai parod, kad jame yra ir daugiau serij. Ultravioletinje srityje yra Laimano serija, kurios linij daniai yra

= 221

11

kR (k = 2, 3, 4, ).

Infraraudonojoje srityje yra Paeno serija, kurios linij daniai yra

1.7 pav. Vandenilio atomo spektro regimoji dalis

11

= 221

31

kR (k = 4, 5, 6, ).

Akivaizdu, kas visos vandenilio spektro serij formuls gali bti ireiktos viena formule, kuri vadinama Balmerio ir Rydbergo formule:

= 2211

knR (k > n). (1.5.2)

Laimano serijai n = 1, Balmerio serijai n = 2, o Paeno serijai n = 3. Vandenilio atomo spektro dsningumai prietarauja klasikiniam

poiriui atom. Pagal klasikin elektrodinamik, atomo spinduliuots danis turt bti lygus elektrono apsisukim daniui. Taiau pagal klasikin teorij elektronas turt nuolat spirale artti prie branduolio (r. 1.4 poskyr). Tuomet elektrono sukimosi danis augt. Atitinkamai, augt ir spinduliuots danis. T.y., klasikiniu poiriu, atomas turt spinduliuoti itisinio spektro spinduliuot (o ne diskretaus danio spinduliuot).

1.6. Boro postulatai Dan fizikas Nilsas Boras 1913 m. suformulavo atomo teorij, kuri susiejo tris tuo metu inomus eksperimentinius faktus, prietaraujanius klasikinei mechanikai:

1) branduolinis atomo modelis (r. 1.4 poskyr), 2) vandenilio atomo spektro dsningumai (r. 1.5 poskyr), 3) Planko hipotez apie spinduliavimo kvantin pobd (r. 1.1 poskyr).

Boras atsisak bandym paaikinti atomo sandar klasikins teorijos metodais. Vietoj to, jis paband atrasti kelis esminius principus, kurie yra suderinami su aukiau mintais eksperimentiniais faktais. iuos principus Boras suformulavo trij postulat pavidalu. Postulatas tai teiginys, kuris naudojamas kaip iankstin prielaida, formuluojant teorij. Taigi, Boro postulatai yra ie.

Pirmasis postulatas (stacionarij bsen postulatas). Elektronas gali skrieti apie branduol tik tam tikromis orbitomis, nespinduliuodamas energijos. ios orbitos vadinamos stacionariomis. Kiekvien orbit atitinka apibrta atomo energija En (n orbitos numeris).

Antrasis postulatas (dani taisykl). Perokant elektronui i toliau nuo branduolio esanios orbitos k artimesn branduoliui orbit n, ispinduliuojamas fotonas, kurio energija lygi

1.8 pav. Antrasis Boro postulatas

-e+e

EkEn

h=E -Ek n

12

nk EEh = . (1.6.1) (r. 1.8 pav.).

Treiasis postulatas (orbit kvantavimo taisykl) susieja orbitos numer n su toje orbitoje esanio elektrono judesio kiekio momentu L. Pagal treij Boro postulat, n-tojoje orbitoje esanio elektrono judesio kiekio momentas lygus

hnhnLn == 2 (n = 1, 2, ). (1.6.2) ia h yra Planko konstanta (h = 6.6310-34 Js), o h yra redukuotoji Planko konstanta: )2/( h=h . Sveikasis skaiius n vadinamas pagrindiniu kvantiniu skaiiumi.

Pirmasis postulatas, i vienos puss, konstatuoja akivaizd empirin fakt, kad elektronas gali suktis aplink branduol, nespinduliuodamas energijos (nors tai prietarauja klasikinei elektrodinamikai), o i kitos puss, teigia, kad ne visos orbitos yra galimos. Pagal antrj postulat (1.6.1), atomo spektr linij daniai yra lygs atomo orbit energij skirtumams, padalintiems i Planko konstantos. Vadinasi, vandenilio atomo spektro linijinis pobdis (danio diskretumas) yra pasekm to fakto, kad vandenilio atomas gali turti tik tam tikras tiksliai apibrtas energijos vertes. Antrasis postulatas taip pat yra nesutaikomas su klasikine fizika, pagal kuri elektrono spinduliuots danis turt sutapti su jo sukimosi aplink branduol daniu. Treiasis postulatas apibria fizikin dyd, kuris pilnai apibdina kiekvien orbit. Tas fizikinis dydis tai orbitoje esanio elektrono judesio kiekio momentas. Kaip emiau pamatysime, pagal elektrono judesio kiekio moment galima apskaiiuoti visus elektrono judjim apibdinanius dydius n-tosios orbitos spindul rn, elektrono judjimo greit vn ir elektrono judesio kiek bei energij. inant elektrono energijos galimsias vertes, pagal antrj postulat (1.6.1) galima apskaiiuoti atomo spektr. ie skaiiavimai pateikti emiau.

1.7. Boro vandenilio atomo modelis Prie skaiiuojant vandenilio atomo spektr pagal Boro teorij, reikia prisiminti keli mechanikoje naudojam fizikini dydi apibrimus ir kelis mechanikos dsnius: 1) Dalel veikianti jga F tai dalels mass m ir pagreiio a sandauga (II

Niutono dsnis): aF m= . (1.7.1)

2) Dalel veikianios jgs F atliktas darbas A, kai dalel pasislenka vektoriumi r tai jgos vektoriaus F ir dalels poslinkio vektoriaus r skaliarin sandauga:

cos),( == rFA rF ; (1.7.2)

13

ia yra kampas tarp vektori F ir r (kaip matyti (1.7.2) formulje, vektoriai ymimi pastorintu riftu, o j absoliutins verts kursyvu).

3) Dalels, kurios mas m, o greitis v, judesio kiekio momento (arba mechaninio momento) absoliutin vert yra lygi

vrmrpL == ; (1.7.3) ia r yra atstumas nuo tako, kurio atvilgiu matuojamas judesio kiekio momentas, iki dalels trajektorijos liestins, ivestos per tak, kuriame yra dalel, p = mv yra dalels judesio kiekis, m yra dalels mas, o v yra jos greitis. Pvz., (1.7.3) nusako r spindulio apskrita orbita judanios dalels judesio kiekio moment orbitos centro atvilgiu.

4) Pastoviu greiiu v spindulio r apskrita orbita judanti dalel turi centrin pagreit, kuris lygus

ra

2v= . (1.7.4) 5) Greiiu v judanios m mass dalels kinetin energija W lygi

2

2vmW = . (1.7.5) 6) Dviej daleli sveikos potencin energija U, kai dalels yra duotuoju

atstumu viena nuo kitos tai darbas, kur atlikt daleli sveikos jga F, nutolinant daleles vien nuo kitos be galo dideliu atstumu. Jeigu dalels traukia vienas kit, tuomet, nutolinant jas vien nuo kitos, dalels juda prieinga sveikos jgai kryptimi, t.y., kampas tarp jgos vektoriaus ir poslinkio vektoriaus lygus = 180. Taigi, pasinaudojus darbo apibrimu (1.7.2), dviej daleli tarpusavio traukos potencin energija, kai tos dalels yra atstumu r viena nuo kitos, yra lygi

=r

FdrU (1.7.6)

(integralas ia naudojamas dl to, kad sveikos jga F priklauso nuo atstumo r). I (1.7.6) formuls iplaukia, kad dviej daleli tarpusavio traukos potencin energija yra neigiama.

7) Daleli sistemos pilnutin mechanin energija E lygi j kinetins ir potencins energij sumai:

UWE += . (1.7.7) Be to, skaiiavimuose bus naudojamas Kulono dsnis, kuris teigia, kad dviej daleli, kuri elektriniai krviai lygs q1 ir q2, sveikos jga lygi

221

041

rqq

F = ; (1.7.8)

14

ia r yra atstumas tarp daleli, o 0 yra elektrin konstanta: 0 = 8.85410-12 C2/(Nm2). Jeigu daleli elektriniai krviai yra prieingo enklo, tuomet pagal Kulono dsn (1.7.8) gaunama, kad jga F yra neigiama. Tai reikia, kad dalels traukia viena kit. Remdamiesi Boro postulatais ir aukiau mintais apibrimais bei dsniais, apskaiiuosime vandenilio atomo elektrono energijas ir tokiu bdu teorikai pagrsime Balmerio ir Rydbergo formul (1.5.2). io udavinio sprendimas susideda i trij dali:

1) elektrono orbit spinduli skaiiavimas, 2) elektrono kinetins energijos kiekvienoje orbitoje skaiiavimas, 3) elektrono potencins energijos kiekvienoje orbitoje skaiiavimas.

1.7.1. Elektrono orbit spinduli skaiiavimas

Vis pirma rasime elektrono orbit spindulius rn (n = 1, 2, 3, ). Tuo tikslu pasinaudojame elektrono centrinio pagreiio iraika (1.7.4). Paymjus elektrono greit n-tojoje orbitoje vn, elektrono centrinis pagreitis lygus

n

n

ra

2v= . (1.7.9) Kita vertus, pagal antrj Niutono dsn (1.7.1) elektrono pagreitis yra lygus j veikianios jgos ir elektrono mass m santykiui:

mFa n= ; (1.7.10)

ia Fn yra traukos jga tarp branduolio ir elektrono, kai elektronas yra n-tojoje orbitoje. i jg nusako Kulono dsnis (1.7.8). Vandenilio atomo branduolio krvis lygus +e, o elektrono krvis lygus e. ra tai Kulono dsn (1.7.8), randame:

2

2

041)(

rerF = (1.7.11)

(ia nra minuso enklo, nes raide F susitarta ymti jgos absoliutin vert). Prilygin lygybi (1.7.9) ir (1.7.10) deinisias puses vien kitai ir pasinaudoj jgos Fn = F(rn) iraika (1.7.11), randame:

2

2

041

nn

merv

= . (1.7.12) ioje orbitos spindulio iraikoje yra vienas neinomasis elektrono greitis vn. J galima ireikti orbitos spinduliu rn, pasinaudojus treiuoju Boro postulatu (1.6.2). Tuo tikslu raome judesio kiekio momento apibrim (1.7.3) (1.6.2). Ireik vn, randame:

nn mr

hn 2=v (n = 1, 2, 3, ); (1.7.13)

15

ra (1.7.13) (1.7.12), gauname:

0.529222

02 = nme

hnrn (n = 1, 2, 3, ). (1.7.14)

ioje iraikoje matyti, kad orbitos spindulys yra proporcingas orbitos numerio kvadratui. T.y., orbitos sunumeruotos spindulio rn didjimo tvarka. Pirmosios orbitos (n = 1) spindulys pagal (1.7.14) formul lygus r1 5.310-11 m = 0.529 . is dydis vadinamas pirmuoju Boro spinduliu. ra i vert (1.7.13) formul, randame elektrono greit pirmojoje orbitoje: v1 2.2106 m/s.

1.7.2. Elektrono kinetins energijos kiekvienoje orbitoje skaiiavimas

Pagal kinetins energijos apibrim (1.7.5), elektrono kinetin energija n-tojoje orbitoje lygi

2

2nvmWn = . (1.7.15)

ra vn iraik (1.7.13) (1.7.15), gauname kinetins energijos iraik orbitos spinduliu rn:

22

22

8 nn mr

hnW = . (1.7.16) ra rn iraik (1.7.14) (1.7.16), gauname n-tojoje orbitoje esanio elektrono kinetin energij:

220

4

2 81

hme

nWn = . (1.7.17)

1.7.3. Elektrono potencins energijos kiekvienoje orbitoje skaiiavimas

Dabar rasime potencin energij U. Pagal potencins energijos apibrim (1.7.6), tam reikia inoti elektrono ir branduolio traukos jg. i jg nusako Kulono dsnis (1.7.11). ra (1.7.11) (1.7.6) ir suintegrav nuo r iki , gauname toki potencins energijos prieklaus nuo r:

rerU

2

041)( = . (1.7.18)

ra rn iraik (1.7.14) (1.7.18), gauname n-tojoje orbitoje esanio elektrono potencin energij:

220

4

2 41

hme

nUn = . (1.7.19)

1.7.4. H atomo spektro skaiiavimas. Pagrindin ir suadintoji bsenos

Dabar galime apskaiiuoti vandenilio atomo energij, kuri naudojama antrajame Boro postulate (1.6.1). Pagal (1.7.7), kai elektronas yra n-tojoje

16

orbitoje, vandenilio atomo pilnutin mechanin energija, kuri ymsime En, yra lygi kinetins energijos (1.7.17) ir potencins energijos (1.7.19) sumai (ia neatsivelgiama atomo slenkamojo judjimo kinetin energij). Tokiu bdu randame:

220

4

2 81

hme

nUWE nnn =+= (n = 1, 2, 3, ). (1.7.20)

inant atomo energijos vertes, galima apskaiiuoti atomo spektr. Taiau prie tai reikia apibrti kelias naujas svokas. Atomas, kurio neveikia jokios iorins jgos, anksiau ar vliau pereina maiausios energijos bsen. Kaip matome energijos iraikoje (1.7.20), atomo energijos algebrin vert yra maiausia, kai elektronas skrieja pirmja orbita (n = 1). Tokia atomo bsena yra stabiliausia ir vadinama pagrindine bsena. Kol nra joki iorini poveiki, atomas yra pagrindins bsenos. Norint perkelti elektron i pirmosios orbitos toliau nuo branduolio esani orbit, kurios numeris k > 1, atomui reikia suteikti energij, kuri lygi orbit energij skirtumui Ek E1. Tokios bsenos atomas nra stabilus. Sakoma, kad atomas suadintas. Dingus ioriniam poveikiui, suadintasis atomas per labai trump laik (10-8 s eils) savaime grta pagrindin bsen. Vandenilio atomo atveju tai reikia, kad elektronas pereina i auktesns orbitos pirmj orbit. Taiau suadintojo atomo elektronas gali perokti ne vien pirmj orbit, bet ir bet kuri ariau branduolio esani orbit. Pvz., jeigu elektronas yra treiojoje orbitoje, tuomet jis gali vis pirma pereiti antrj orbit, o po to pirmj. Kai elektronas peroka i tolimesns k-tosios orbitos artimesnij n-tj orbit, atomas ispinduliuoja energijos kvant h = Ek En. Tai atitinka atomo spektro linij, kurios danis lygus

hEE nk = . (1.7.21)

ra energijos iraik (1.7.20) (1.7.21), randame vis vandenilio atomo spektro linij danius:

= 22320

4 118 knhme (k > n). (1.7.22)

i formul labai panai eksperimentikai gaut Balmerio ir Rydbergo formul (1.5.2). Be to, formulje (1.7.22) prie skliaustus esanio daugiklio vert gana tiksliai sutampa su imatuotja Rydbergo konstantos verte (r. 1.5 poskyr):

1-15334212

41931

320

4s 1029.3

)10626.6()10854.8(8)106022.1()1011.9(

8

=

hme .

Taigi, Boro atomo teorija paaikino ne tik empirins Balmerio formuls fizikin prasm, bet ir vandenilio atomo spektrini serij kilm. Pagal Boro teorij, Balmerio ir Rydbergo formuls (1.5.2) pirmojo dmens vardiklyje esantis skaiius n yra eils numeris orbitos, kuri vyksta elektrono uolis, o

17

antrojo dmens vardiklyje esantis skaiius k yra eils numeris orbitos, i kurios vyksta elektrono uolis. Elektronui perokant pirmj stacionarij orbit (n = 1), ispinduliuojamos Laimano serijos linijos, perokant antrj orbit (n = 2) Balmerio serijos linijos ir t.t. 1.9 pav. ie elektrono uoliai paymti rodyklmis. Visos atomo energijos verts (1.7.20) vadinamos atomo energijos lygmenimis. emiausiasis energijos lygmuo, kuris atitinka atomo pagrindin bsen, vadinamas pagrindiniu lygmeniu. Visi auktesnieji lygmenys, kurie atitinka atomo suadintsias bsenas, vadinami suadintaisiais lygmenimis. Grafikai energijos lygmenys vaizduojami horizontaliomis atkarpomis (r. 1.10 pav.). ra konstant m, e, 0 ir h vertes energijos iraik (1.7.20), vandenilio atomo energijos lygmenis galime ireikti itaip:

2eV 6.13

nEn = (n = 1, 2, 3, ...). (1.7.23)

ia eV reikia elektronvolt daniausiai atomo fizikoje naudojam energijos vienet. 1 eV atitinka energij, kuri gyja elektronas, pagreitintas 1 V tampos:

1eV = e 1V = 1.602210-19 C 1V = 1.602210-19 J.

1.9 pav. Vandenilio spektro serij susidarymas

18

Kaip matome (1.7.23) formulje, visos manomos atomo pilnutins energijos verts yra neigiamos. Matematiniu poiriu, taip yra todl, kad neigiamos potencins energijos absoliutin vert |U| yra didesn u teigiamos kinetins energijos vert W. Fizikiniu poiriu, taip yra todl, kad elektron ir branduol sieja traukos jga. Vis fizikini sistem, kuri dalels susietos tarpusavyje traukos jgomis, pilnutin mechanin energija yra neigiama. Kuo didesnis orbitos numeris n, tuo energija En yra ariau nulio. Nulin energijos vert atitinka laisv, atitrkus nuo branduolio, elektron (tuomet n = ). Kai elektronas yra laisvas, tuomet jo ir branduolio tarpusavio traukos potencin energija lygi nuliui, todl pilnutin energija tampa lygi elektrono kinetinei energijai. Pagal kinetins energijos apibrim (1.7.5), ji gali gyti bet kokias neneigiamas vertes. Todl vir nulins energijos yra itisinio spektro sritis (r. 1.10 pav.).

Kuo emesnis atomo energijos lygmuo, tuo stipriau elektronas susietas su branduoliu (tuo atomas patvaresnis). Pvz., pagrindins bsenos energija E1 = -13.6 eV rodo, kad, norint ilaisvinti elektron (t.y., jonizuoti atom), atomui reikia suteikti 13.6 eV energij; tuo tarpu elektronui ilaisvinti i pirmojo suadintojo lygmens (n = 2) reikia 13.6 / 4 = 3.4 eV energijos ir t.t. Jeigu atomo gautoji energija yra didesn u jonizacijos energij, tuomet energijos perteklius virsta ilaisvintojo elektrono kinetine energija, kuri gali bti bet kokia. Orbit spinduli iraik (1.7.14) ir kinetins, potencins bei pilnutins energij iraikas (1.7.17), (1.7.19) ir (1.7.20) ir spektro linij dani formul (1.7.22) galima nesunkiai apibendrinti bet kokiam jonizuotam atomui, kuris yra prarads visus elektronus, iskyrus vien (tokie atomai vadinami vandenilikaisiais atomais). Toks atomas skiriasi nuo vandenilio atomo tuo, kad branduolio krvis lygus ne +e, o +Ze, kur Z yra sveikasis teigiamas skaiius. Tuomet Kulono dsnyje (1.7.11) dyd e2 reikia pakeisti dydiu Ze2 (nes branduolio ir elektrono krvi sandaugos absoliutin vert bendruoju atveju lygi Ze e = Ze2). Kadangi visose aukiau pateiktose formulse elektrono krvis e atsirado tik i Kulono dsnio, tai lygiai t pat pakeitim reikia atlikti ir kitose formulse. T.y., norint pritaikyti bet kuri aukiau

1.10 pav. Vandenilio atomo energijos lygmenys

1

-

19

pateikt formul jonui su vieninteliu elektronu, dyd e2 reikia pakeisti dydiu Ze2. Pvz., vandenilikojo jono n-tosios orbitos spindulys lygus

Z 529.02

2

202 n

mZehnrn =

. (1.7.24) Kaip matome, didjant branduolio krviui Z, orbit spinduliai maja. Kadangi e4 = e2e2, tai energijos iraikose dyd e4 reikia pakeisti dydiu Z2e4. Vadinasi, jono, aplink kurio branduol sukasi vienintelis elektronas, pilnutin mechanin energija gali gyti ias vertes:

eV 6.138 2

2

220

4

2

2==+=

nZ

hme

nZUWE nnn (n = 1, 2, 3, ). (1.7.25)

Toks pats papildomas daugiklis Z2 atsiranda ir spektro linij dani formulje (1.7.22), kuri yra tapati Balmerio ir Rydbergo formulei (1.5.2). Vadinasi, kai elektronas peroka i k-tosios n-tj orbit, vandenilikasis atomas ispinduliuoja foton, kurio danis

= 22211

knRZ (k > n). (1.7.26)

ia R yra Rydbergo konstanta.

1.8. Atomo magnetins savybs pagal Boro teorij Apskrita orbita judantis elektronas yra tapatus apskritu kontru tekaniai elektros srovei. Kaip inoma i elektrodinamikos, tokia srov turi magnetin moment, kuris lygus

Ter

TeSM

2== ; (1.8.1) ia T yra apsisukimo periodas, S = r2 yra orbitos plotas, o r yra orbitos spindulys. Antra vertus, greiiu v apskrita orbita judantis elektronas turi judesio kiekio moment (1.7.3). Kadangi v = 2r/T, tai

TmrL

22= . Ireik r2/T i pastarosios formuls ir ra (1.8.1), randame elektrono magnetinio ir judesio kiekio moment sry:

LmeM

2= .

Magnetinis ir judesio kiekio momentai yra vektoriniai dydiai. Magnetinio momento vektoriaus M kryptis susijusi su srovs kryptimi pagal deiniojo sraigto taisykl, t.y., patalpinus vektoriaus M pradi srovs kontro centr ir irint i io vektoriaus galo, srov turi tekti prie laikrodio rodykl. Elektrono judesio kiekio momento L kryptis susijusi su jo judjimo kryptimi taip pat pagal deiniojo sraigto taisykl (r. 1.11 pav.). Kadangi elektrono

20

krvis yra neigiamas, tai jo sukuriamos srovs kryptis yra prieinga judjimo krypiai. Vadinasi, elektrono magnetinio ir judesio kiekio moment kryptys yra prieingos:

LMme

2= (1.8.2)

(r. 1.11 pav.). Kadangi judesio kiekio momento "natralusis" matavimo vienetas yra h (r. III Boro postulat (1.6.2)), tai (1.8.2) patogu urayti itaip:

hLM B= ; (1.8.3)

ia B yra Boro magnetonas:

me

B 2h= . (1.8.4)

Boro magnetonas yra magnetinio momento natralusis matavimo vienetas: pagal Boro

teorij, elektrono orbitinio magnetinio momento absoliutin vert lygi Boro magnetono ir orbitos numerio n sandaugai. Patalpinus magnetin moment iorin magnetin lauk, atsiranda jga, kuri stengiasi orientuoti magnetin moment lauko kryptimi. Kadangi elektronas turi orbitin mechanin moment, tai, esant iorinei jgai, jis elgiasi kaip vilkelis: jo mechaninis momentas precesuoja aplink iorins jgos (magnetinio lauko) krypt. i precesija vadinama Larmoro precesija, o jos danis vadinamas Larmoro daniu. Elektrono Larmoro danis lygus

hBB

meB BB

L

=== h24 ; (1.8.5) ia B yra magnetin indukcija. is danis yra labai didelis, todl pasireikia tik magnetinio momento vektoriaus vidurkis, kurio kryptis lygiagreti ioriniam magnetiniam laukui. io vidurkio vert lygi magnetinio momento (1.8.3) projekcijai iorinio magnetinio lauko krypt. Jeigu mediagos atomai turi nenulin magnetin moment, ie momentai dalinai orientuojasi magnetinio lauko kryptimi (tiksliai orientuotis trukdo iluminis judjimas). Tuomet mediaga magnetja lauko kryptimi. Tokios mediagos vadinamos paramagnetikais. Kai kuri atom elektron magnetiniai momentai tiksliai kompensuoja vienas kit, todl atomo magnetinis momentas lygus nuliui ir mediagos magnetjimo mechanizmas yra kitoks. Tokios mediagos magnetja dl mintosios Larmoro precesijos. Mat, Larmoro precesija sukelia papildom sukamj judjim aplink lauko krypt. Larmoro precesijos kryptis susijusi su lauko kryptimi pagal deiniojo sraigto taisykl. Dl Larmoro precesijos atsiranda papildoma skurin elektros

1.11 pav. Apskrita orbita judanio elektrono mechaninis momentas L ir magnetinis momentas M

L

M

-e

21

srov, kurios kryptis prieinga precesijos krypiai (nes elektrono krvis neigiamas). Todl mediagos, kuri atomai neturi pastovaus magnetinio momento, magnetja prieinga laukui kryptimi. Tokios mediagos vadinamos diamagnetikais.

1.9. Boro atomo teorijos ribotumas Nors Boro teorija gana tiksliai aprao vandenilio atomo spektr, taiau ji turi kai kuri esmini trkum, dl kuri iuo metu jau nra naudojama praktiniuose skaiiavimuose. Pagrindinis trkumas yra tas, kad i teorija nebuvo nei nuosekliai kvantin, nei nuosekliai klasikin. Kaip k tik sitikinome, kiekybinje analizje Boro teorija naudojo klasikins mechanikos dsnius (pvz., antrasis Niutono dsnis, potencins ir kinetins energijos iraikos) bei tris Boro postulatus, kurie atspindi kvantin ios teorijos pus. Taiau ie postulatai buvo naudojami kaip formalios iankstins prielaidos, nebandant j paaikinti. Dl i prieasi Boro atomo teorija negaljo paaikinti platesnio masto atomini reikini. Pvz., buvo nemanoma paaikinti helio spektro bei molekulini spektr susidarymo, chemini ryi tarp atom ir kt. Boro teorija tapo pereinamuoju etapu tarp klasikins fizikos ir kvantins mechanikos, kurios pagrindai buvo sukurti XX a. treiajame deimtmetyje. Kvantin mechanika dabartiniame mokslo etape geriausiai paaikina atominius reikinius. Kvantins mechanikos poiriu, atomo elektronas tolydiai pasiskirsts erdvje aplink branduol, t.y., sudaro "elektronin debes, o ne sukasi aplink branduol tiksliai apibrta orbita ir tiksliai apibrtu greiiu (kaip teig Boro atomo teorija). Taiau Boro atomo teorija, nors ir blogiau atspindinti tikrov, yra ymiai vaizdesn ir paprastesn u kvantin mechanik, kurios matematinis aparatas yra gana sudtingas. Be to, atomo energijos lygmen svoka, kuri pirm kart panaudota Boro teorijoje, galioja ir kvantinje mechanikoje. Todl, jeigu siekiama vaizdiai aprayti kok nors atomin reikin ir jeigu tai yra manoma, ir iuo metu danai naudojamasi Boro atomo modeliu.

22

1.10. Mediagos savybi korpuskulinis ir banginis dualumas Prancz fizikas Luji de Broilis 1924 m. ikl hipotez, kad korpuskulinis-banginis dualumas bdingas ne tik viesai (fotonams), bet ir kiekvienai materialiajai dalelei elektronams, protonams, atomams ir pan. Pagal de Broil, kiekviena mediagos dalel pasiymi ir banginmis, ir korpuskulinmis savybmis korpuskulinis ir banginis dualumas bdingas visiems mikroobjektams. Taigi, kiekvien mikrodalel galima apibdinti ne tik korpuskuliniais dydiais energija E ir judesio kiekiu p, bet ir banginiais parametrais daniu ir bangos ilgiu . Sryis tarp dalels korpuskulini ir bangini savybi kiekybikai ireikiamas tomis paiomis lygtimis, kaip ir fotonams (r. (1.1.1) ir (1.1.3)):

hE = , (1.10.1a)

hp = . (1.10.1b)

Vadinasi, bet kuri dalel, kuri turi judesio kiek, yra susijusi su banga, kurios ilgis ireikiamas de Broilio formule:

vmh

ph == . (1.10.2)

ia p = mv yra dalels, kurios mas m, o judjimo greitis v, judesio kiekis. ios bangos vadinamos de Broilio bangom. Kelis metus nuo de Broilio hipotezs paskelbimo nebuvo jokio eksperimentinio jos patvirtinimo. Norint eksperimentikai aptikti materialij daleli bangin prigimt, reikia atlikti bandym, kuriame pasireikt daleli interferencija arba difrakcija. Deimi arba imt elektronvolt energijos elektron de Broilio bangos ilgis yra angstrem eils, t.y., tos paios eils, kaip ir Rentgeno spinduli, kurie naudojami kristal struktros rentgeninje analizje (r. 2.1.2 poskyr). Vadinasi, jeigu elektronai turi bangini savybi, tuomet, atsispindint madaug 100 eV energijos elektron pluoteliui nuo kristalo, atsispindjusios spinduliuots intensyvumo maksimumai turt bti stebimi kryptimis, kurios tenkina Brego lygt (2.3.1). Taigi, vienas i bd patikrinti de Broilio hipotez yra nuo kristalo atsispindjusi elektron pluoto intensyvumo tyrimas. Tok bandym 1927 m. atliko amerikiei fizikai K. Devisonas ir L. Dermeris. Bandymo metu keli deimi elektronvolt energijos elektron pluotas buvo nukreiptas nikelio kristalo paviri tam tikru fiksuotu kampu. Kristalas buvo pagamintas taip, kad jo pavirius bt lygiagretus kakurioms atominms ploktumoms, kuri atstumas viena nuo kitos (d) buvo inomas. Todl kampas tarp krintaniojo elektron pluoto ir kristalo paviriaus buvo lygus kampui tarp elektron pluoto ir t ploktum (r. 2.6 pav.). Vadinasi, Brego lygties (2.3.1) kairiosios puss vert buvo inoma. Eksperimento metu buvo matuojamas elektron

23

1.12 pav. Atsispindjusi nuo kristalo elektron pluoto intensyvumo prieklausa nuo kvadratins aknies i elektrono energijos

srauto intensyvumas (t.y., elektron skaiius per laiko vienet ploto vienet) kryptimi, kuri atitinka veidrodin atspind nuo kristalo paviriaus. Pagal Brego lygt (2.3.1), is intensyvumas turt bti maksimalus, kai elektron de Broilio bangos ilgis tenkina slyg

nd sin2max == (n = 1, 2, ...). (1.10.3)

T.y., mainant bangos ilg , atsispindjusio elektron pluoto intensyvumas turt pakaitom sumati ir padidti, o jo maksimumai turt atitikti bangos ilgio vertes, kurias nusako (1.10.3) formul. Eksperimento metu buvo keiiama elektron kinetin energija E. Ireik i de Broilio formuls (1.10.2) elektrono greit v, randame, kad elektrono kinetin energija yra atvirkiai proporcinga de Broilio bangos ilgio kvadratui 2:

2

222

222 mh

mhmmE =

== v . (1.10.4)

Vadinasi, didinant energij, taip pat turt bti stebimi intensyvumo padidjimai ir sumajimai. Rasime elektron energijos vertes, kurios atitinka atspindio intensyvumo maksimumus. Ira iraik (1.10.3) energijos formul (1.10.4), gauname, kad intensyvumas turt bti didiausias, kai elektron kinetin energija lygi

222

2

2max

2

max sin82n

mdh

mhEE === (n = 1, 2, 3, ) (1.10.5)

Vadinasi, nubrus atsispindjusi elektron srauto intensyvumo prieklaus nuo kvadratins aknies i elektron energijos E, turtume gauti kreiv su maksimumais, kurie isidst vienodais atstumais vienas nuo kito. Btent toks intensyvumo kitimas buvo gautas Devisono ir Dermerio eksperimente (r. 1.12 pav.). ie matavimai tapo pirmuoju eksperimentiniu de Broilio hipotezs patvirtinimu. Vlesniais tyrimais buvo pastebta ne tik elektron, bet ir proton, neutron ir net molekuli difrakcija. Visi ie eksperimentai galutinai patvirtino, kad mikrodalels turi bangini savybi. Atradus mikrodaleli bangines savybes, buvo sukurti nauji metodai mediagos struktrai tirti, isivyst nauja mokslo aka elektronin optika. Elektroniniuose mikroskopuose vietoj viesos pluoto naudojamas greit elektron pluotas, o vietoj prastini li naudojami magnetiniai liai.

24

Objekt, kuriuos galima stebti elektroniniu mikroskopu, maiausi matmenys yra ymiai maesni, negu optinio mikroskopo atveju, nes iuos matmenis lemia bangos ilgis, kuris elektron atveju gali bti angstrem eils, t.y., kelis tkstanius kart maesnis, negu regimosios viesos bangos ilgis. Gali ikilti klausimas: kodl bangins savybs nebdingos makroskopiniams knams? Knams, kuri mas ymiai didesn u mikrodaleli mas, de Broilio bangos ilgis (1.10.2) yra ymiai maesnis. Pvz., 1 g mass dalels, judanios 1 m/s greiiu, de Broilio bangos ilgis 10-28 m. Toki trump bang eksperimentikai aptikti nemanoma. Todl galima laikyti, kad makroknams bdingos tik korpuskulins, o ne bangins savybs. De Broilio hipotezs patvirtinimas i pagrind pakeit poir mikroobjekt savybes. Visiems mikroobjektams bdingos ir korpuskulins, ir bangins savybs, taiau n vienos mikrodalels negalima laikyti klasikine dalele (kuriai galioja klasikins mechanikos dsniai) arba banga (tokia, kaip elektromagnetins bangos).

1.11. Neapibrtum sryis Korpuskulinis ir banginis dualumas rodo, kad, apraant mikrodaleles, reikia vienu metu naudotis ir banginmis, ir korpuskulinmis sampratomis. Mikrodalel negali vienu metu turti tiksliai apibrtus judesio kiek ir koordinat. Tai iplaukia i de Broilio formuls (1.10.2): jeigu dalels judesio kiekis p yra tiksliai apibrtas, tai taip pat tiksliai apibrtas ir de Broilio bangos ilgis . Vadinasi, dalel, kurios judesio kiekis yra tiksliai apibrtas, elgiasi kaip apibrto bangos ilgio plokioji banga. Taiau plokioji banga yra pasiskirsiusi visoje erdvje. Tai reikia, kad bangos koordinat yra absoliuiai neapibrta. Pvz., tokia svoka, kaip bangos ilgis duotajame take neturi prasms. Vadinasi, mikrodalel su apibrtu judesio kiekiu turi visikai neapibrt koordinat (t.y., j galima su vienoda tikimybe aptikti bet kuriame erdvs take). Galioja ir atvirkias teiginys: jeigu mikrodalels koordinats yra tiksliai inomos, tai jos judesio kiekis yra visikai neapibrtas. Neapibrtumo svoka reikia, kad, matuojant dalels koordinat arba judesio kiek, skirtinguose matavimuose visuomet gausime iek tiek skirtingas vertes, net jeigu matavim metu dalels judjimo bsena nesikeiia. i veri isibarstymo apie vidurk didumas ir nusako neapibrtum. Tiksliau, neapibrtumas yra lygus standartiniam nuokrypiui (standartinio nuokrypio matematinis apibrimas pateiktas 4.2 poskyryje). Reikia turti omenyje, kad mikrodaleli koordinats ir judesio kiekio (arba greiio) standartiniai nuokrypiai, apie kuriuos ia kalbama, nra susij su matavimo metod netobulumais. io matavim rezultat isibarstymo prieastis yra mikrodaleli dvejopa korpuskulin ir bangin prigimtis. Siekiant tai pabrti, vietoj "standartinio nuokrypio" svokos naudojama "neapibrtumo" svoka, nors matematikai abi ios svokos apibriamos vienodai.

25

Vokiei fizikas Verneris Heizenbergas 1927 m. suformulavo neapibrtum sry. Pagal princip, mikrodalels negali vienu metu turti tiksliai apibrtus judesio kiekius ir koordinates. Dalels koordinats ir judesio kiekio neapibrtumai susij tokiomis nelygybmis:

2h xpx ; 2

h ypy ; 2h zpz . (1.11.1)

ia x, y ir z yra dalels Dekarto koordinai neapibrtumai (standartiniai nuokrypiai), px, py ir pz yra atitinkam judesio kiekio komponeni neapibrtumai, o sJ 1005.1)2/( 34 = hh yra redukuotoji Planko konstanta. Pavyzdiui, jeigu mikrodalels koordinat x yra tiksliai nustatyta (x = 0), tuomet pagal pirmj (1.11.1) neapibrtum sry dalels judesio kiekio atitinkamos komponents neapibrtumas px = , t.y., i judesio kiekio komponent yra visikai neapibrta. Kadangi judesio kiekis yra lygus dalels mass ir greiio sandaugai, tai i (1.11.1) lengvai gaunami koordinats ir greiio neapibrtum sryiai. Pvz., x komponentei galioja sryis

mx x 2

h v (1.11.2) (y ir z komponentms galioja tokie patys neapibrtum sryiai). Neapibrtum sryiai (1.11.1) arba (1.11.2) reikia, kad dalels judjimo trajektorijos svoka, kuri naudojama klasikinje mechanikoje, negalioja mikrodalelms. Klasikins mechanikos dsniai (pvz., II Niutono dsnis) tiksliai nusako dalels padt erdvje kiekvienu laiko momentu, jeigu yra inomos dalel veikianios jgos. Vadinasi, naudojantis klasikins mechanikos dsniais, galima apskaiiuoti dalels koordinai x, y ir z prieklausas nuo laiko. ios trys laiko funkcijos nusako dalels judjimo trajektorij (dalels keli erdvje). Taiau, jeigu tiksliai inoma, pvz., koordinats x prieklausa nuo laiko x(t), tuomet tiksliai inoma ir ios funkcijos ivestin laiko atvilgiu, t.y., greiio komponent vx, o tai prietarauja neapibrtumo sryiui (1.11.2). Taigi, neapibrtum sryiai nusako, kokiu tikslumu galima taikyti klasikins mechanikos dsnius (pvz., trajektorijos svok), apraant dalels judjim. emiau pateikti trys pavyzdiai, kurie iliustruoja teigin. 1. Tarkime, kad matuojama 1 g mass kno, kuris juda iilgai X aies 1 m/s greiiu, koordinat tam tikru laiko momentu. Tarkime, kad kno greitis imatuotas 10-9 m/s tikslumu (tai yra labai didelis tikslumas). Tuomet pagal koordinats ir greiio neapibrtum sry (1.11.2) maiausias manomas koordinats neapibrtumas lygus

m 103.52

)( 23min= vmx

h .

Tai yra toks maas dydis, kad j galima laikyti lygiu nuliui. Taigi, greiio ir koordinats neapibrtumai iame pavyzdyje yra praktikai lygs nuliui.

26

Vadinasi, masyviems knams, kurie sudaryti i daugelio milijard atom, klasikins mechanikos dsniai galioja praktikai idealiai tiksliai. 2. Kitas pavyzdys: elektrono, judanio vandenilio atome, koordinats neapibrtumas yra apytiksliai lygus vandenilio atomo matmenims, t.y., madaug 10-10 m. Vadinasi, pagal neapibrtum sry (1.11.2), elektrono greiio neapibrtumas vandenilio atome yra didesnis u

sm 106

2)( 5min = xm

hv .

i vert yra tos paios eils, kaip vidutinis elektrono greitis atome. Pvz., ji yra tik 4 kartus maesn u pirmosios orbitos elektrono greit Boro atomo modelyje (r. (1.7.13)). Tai reikia, kad nra prasms kalbti apie elektrono judjim atome tam tikra orbita. Kitais odiais, apraant elektrono judjim atome, negalima taikyti klasikins mechanikos dsni. 3. Dabar tarkime, kad elektronas televizoriaus kineskope juda greiiu vx = 106 m/s ir kad is greitis nustatytas 0.01% tikslumu, t.y., vx = 1060.0001 = 100 m/s. Pagal (1.11.2) formul, maiausias elektrono koordinats neapibrtumas lygus

m 108.52

)( 7min= vmx

h ,

t.y., labai maas dydis, lyginant su kineskopo matmenimis. Todl klasikins mechanikos dsniai galioja pakankamu praktiniams pritaikymams tikslumu (nors ir ne taip tiksliai, kaip pirmajame pavyzdyje). Remiantis iais pavyzdiais, galima teigti, kad, pagal neapibrtum sry, judjimas apibrta trajektorija manomas tik pakankamai masyviems knams arba labai greitoms mikrodalelms. Neapibrtum sryis tapo vienu i pagrindini (ir vienu i pirmj) kvantins mechanikos princip. Kvantin mechanika arba bangin mechanika tai fizikos aka, kuri tiria mikrodaleli judjimo iorini jg laukuose dsnius ir t daleli sistem (pvz., atom, molekuli, kristal) vidines savybes. Kvantins mechanikos dsniai galioja ne vien mikrodaleli judjimui, bet ir vis kn judjimui, taiau masyvi kn arba labai auktos energijos mikrodaleli de Broilio bangos ilgis yra toks maas, kad bangins savybs nepasireikia ir galioja klasikins Niutono mechanikos dsniai. T.y., klasikin mechanika tai ribinis kvantins mechanikos atvejis, kuris galioja dideli masi ir energij knams. Kvantins mechanikos pagrindai buvo sukurti 1925 1926 m. Jos krjai buvo jau mintas V. Heizenbergas ir austr fizikas Ervinas rdingeris.

27

1.12. Bangin funkcija ir jos statistin samprata 1.10 poskyryje aprayti matavimai patvirtino de Broilio hipotez apie tai, kad materialios dalels kai kuriomis slygomis elgiasi kaip bangos, kurios gali interferuoti lygiai taip pat, kaip elektromagnetins bangos. Kaip inoma i bangins optikos, visus pagrindinius interferencijos dsningumus galima paaikinti, remiantis tuo, kad elektromagnetinje bangoje elektrinis laukas kinta erdvje ir laike harmoniniu dsniu:

= txtx 2cos),( 0 ; (1.12.1) ia x yra koordinat bangos sklidimo kryptimi, t yra laikas, yra bangos ilgis, yra danis, kuris lygus = c / ; c yra viesos greitis. Interferencija atsiranda dl to, kad, sudedant dvi bangas, gali atsitikti taip, kad vienuose erdvs takuose abiej bang elektriniai laukai yra vienodos krypties, t.y., bangos stiprina viena kit, o kituose erdvs takuose elektriniai laukai yra prieing krypi, t.y., bangos silpnina viena kit. Eksperimentiniai faktai rodo, kad vienodos energijos ir vienos krypties materialij daleli srautui taip pat galima priskirti (1.12.1) pavidalo bang, ir tuomet daleli interferencijos dsningumus galima paaikinti lygiai taip pat, kaip elektromagnetini bang interferencijos dsningumus. Taiau tuomet ikyla klausimas, kokia i bang prigimtis, t.y., koks dydis atlieka elektrinio lauko (dydio (1.12.1) formulje) vaidmen materialij daleli atveju. Norint atsakyti klausim, galima pasinaudoti analogija tarp materijos daleli (pvz., elektron) ir foton. Fotonams, kaip ir elektronams, yra bdingas korpuskulinis ir banginis dualumas. Bangins teorijos poiriu, viesos intensyvumas kuriame nors ekrano take yra proporcingas viesos bangos amplituds kvadratui. Fotonins teorijos poiriu, viesos intensyvumas yra proporcingas skaiiui foton, pataikiusi ekrano ploto vienet per laiko vienet. is skaiius, savo ruotu, yra proporcingas fotono pataikymo duotj ekrano tak tikimybei. I ia galima daryti ivad: viesos bangos amplituds kvadratas kuriame nors erdvs take yra fotono pataikymo t tak tikimybs matas. Taikant i ivad reikiniams, kuriuose pasireikia materialij daleli difrakcija (pvz., 1.10 poskyryje apraytam Devisono ir Dermerio bandymui), galima teigti, kad materialij daleli (pvz., elektron) de Broilio bang amplituds absoliutins verts kvadratas kuriame nors erdvs take taip pat yra t daleli aptikimo tame erdvs take tikimybs matas. Dydis, kuris apibdina dalels buvimo duotajame erdvs take tikimyb, vadinamas tikimybs tankiu. Tikimybs tankis tai dalels radimo duotojoje nykstamai maoje erdvs srityje tikimybs dP ir tos srities trio dV santykis dP/dV. I to, kas aukiau pasakyta, iplaukia, kad dydio, kuris kinta erdvje (1.12.1) dsniu ir kuris aprao materialij daleli interferencij bei

28

difrakcij, absoliutins verts kvadratas yra lygus tikimybs tankiui aptikti dalel duotajame erdvs take. Dabar jau galime tiksliai apibrti bangins funkcijos svok. Dalels bangin funkcija tai koordinai ir laiko kompleksin funkcija (x,y,z,t), kuri apibdina dalels judjimo bsen ir kurios absoliutins verts kvadratas lygus tikimybs tankiui aptikti duotosios bsenos dalel erdvs take su koordinatm x, y ir z laiko momentu t:

dVdP=2|| (1.12.2a)

arba dVdP 2||= . (1.12.2b)

iame bangins funkcijos apibrime reikia atkreipti dmes teigin, jog bangin funkcija apibdina dalels judjimo bsen. Tai reikia, kad, udavus bangin funkcij, tuo paiu pilnai apibdinamas dalels judjimas visais laiko momentais. Skirting energij dalels turi skirtingas bangines funkcijas. Be to, reikia atkreipti dmes tai, kad bangin funkcija yra kompleksin. Vadinasi, analogija su elektromagnetini bang elektriniu lauku, kuris yra realusis dydis, yra tik dalin. I bangins funkcijos apibrimo (1.12.2b) iplaukia, kad tikimyb aptikti dalel baigtiniame tryje V yra lygi

==VV

dVdPP 2|| . (1.12.3) Jeigu tris V artja begalyb, tuomet tikimyb P turi artti vienet, nes dalel tikrai yra kakuriame erdvs take. I ia iplaukia i bangins funkcijos normavimo slyga:

1|| 2 =

dV ; (1.12.4) ia integruojama visoje erdvje. Banginei funkcijai galioja superpozicijos principas. Jo esm yra tokia. Tarkime, kad kuris nors su dalele susijs vykis gali atsitikti keliais nepriklausomais bdais. Pvz., Devisono ir Dermerio bandyme elektronas gali atsispindti nuo bet kurios kristalografins ploktumos (r. 2.6 pav.). Tuomet tikroji dalels bangin funkcija lygi funkcij, atitinkani visus manomus vykius, tiesiniam dariniui. Pvz., jeigu nuo virutins ploktumos atsispindjusio elektrono bangin funkcij paymsime 1, o nuo emiau esanios gretimos ploktumos atsispindjusio elektrono bangin funkcij paymsime 2 ir laikysime, kad elektronas gali su vienoda tikimybe atsispindti nuo abiej i ploktum, o nuo kit kristalografini ploktum elektronai neatsispindi, tuomet tikroji atsispindjusio elektrono bangin funkcija bus lygi

21 += . (1.12.5)

29

Btent dl superpozicijos principo (1.12.5) vyksta materialij daleli interferencijos ir difrakcijos reikiniai. Dviej bangini funkcij suma (1.12.5) gali bti ir didesn, ir maesn u kiekvien i dedamj funkcij 1 ir 2. Bangins funkcijos padidjimas kurioje nors erdvs srityje, pagal (1.12.3), reikia, kad toje erdvs srityje padidja tikimyb aptikti dalel. Bangins funkcijos sumajimas reikia, kad toje erdvs srityje dalels buvimo tikimyb sumaja. Nors aukiau bangins funkcijos svoka buvo taikoma materialiosioms dalelms (pvz., elektronams), taiau visi teiginiai galioja ir fotonams. T.y., viesos interferencijos ir difrakcijos reikinius galima aprayti, ne tik naudojant elektromagnetini bang svok, bet ir naudojant fotono bangins funkcijos svok. I to, kas aukiau pasakyta, iplaukia, kad bangin funkcija nra tiesiogiai imatuojamas dydis. Tiesiogiai imatuoti galima tik jos absoliutins verts kvadrat, nes jis turi aiki fizikin prasm (dalels buvimo duotajame erdvs take tikimybs tankis). Taigi, paios bangins funkcijos nemanoma sutapatinti su jokiu fizikiniu dydiu. Tuo de Broilio bangos i esms skiriasi nuo klasikini bang. Pvz., elektromagnetins bangos tai kintantys erdvje ir laike elektrinis ir magnetinis laukai, kuriuos galima imatuoti; garso bangos arba bangos ant vandens paviriaus tai kintantis erdvje ir laike daleli poslinkis atvilgiu vidutins padties, kur taip pat galima imatuoti. Tuo tarpu bangin funkcija leidia tik numatyti dalels buvimo vairiose erdvs srityse tikimyb, taiau negalina tiksliai nustatyti nei dalels trajektorijos, nei dalels greiio. Bangins funkcijos svoka atspindi kvantins mechanikos statistin pobd, kuris susijs su neapibrtum sryiu (1.11.1). Taiau dalels bangin funkcija tai pilniausias manomas dalels judjimo apraymo bdas. Bangin funkcija pilnai nusako ir bangines, ir korpuskulines dalels savybes.

1.13. rdingerio lygtis. Energijos lygmenys. Kvantiniai uoliai Praeitame poskyryje buvo apibrta bangins funkcijos (x,y,z,t) svoka ir buvo paaikinta jos prasm: |(x,y,z,t)|2dxdydz nusako tikimyb aptikti dalel erdvs trio elemente dV = dxdydz laiko momentu t. Taigi, jeigu inomas bangins funkcijos pavidalas, tuomet bet kuriuo laiko momentu yra inoma tikimyb aptikti dalel bet kuriame erdvs take, t.y., dalels judjimas yra pilnai apibrtas. Vadinasi, norint pilnai aprayti dalels judjim, reikia inoti bangins funkcijos (x,y,z,t) pavidal. Pagrindin nereliatyvistins kvantins mechanikos lygtis, kuri matematikai apibria dalels bangin funkcij , yra rdingerio lygtis, kuri 1926 m. suformulavo austr fizikas Ervinas rdingeris. rdingerio lygtis, kaip ir visi pagrindiniai fizikos dsniai (pvz., Niutono dsniai), negali bti grietai matematikai ivesta, o yra postuluojama. Jos pavidalas yra toks:

30

titzyxU

m = hh ),,,(

22

2; (1.13.1)

ia m yra dalels mas, yra diferencialinis "nabla" operatorius (

zyx +

+= 000 zyx , kur x0, y0 ir z0 yra X, Y ir Z ai vienetiniai

vektoriai), 2 yra Laplaso operatorius

+

+= 2

2

2

2

2

22

zyx ,

1=i yra menamasis vienetas, U yra dalels potencin energija. rdingerio lygties (1.13.1) vaidmuo kvantinje mechanikoje yra toks pats, koks yra Niutono dsni vaidmuo klasikinje mechanikoje. (1.13.1) yra bendroji rdingerio lygtis. Jeigu dalels potencin energija U nepriklauso nuo laiko (t.y., jeigu dalel juda stacionariajame potencialiniame lauke), tuomet (1.13.1) lygties sprendiniai yra tokio pavidalo:

h/),,(),,,( iEtezyxtzyx = , (1.13.2) o erdvini koordinai funkcija (x,y,z) tenkina i lygt:

0)],,([2 22 =+ zyxUEm

h; (1.13.3)

ia E yra pilnutin mechanin dalels energija. (1.13.3) lygtis vadinama stacionarija rdingerio lygtimi. Kadangi daugumoje atomo fizikos udavini (pvz., elektrono judjimas atome arba daleli laisvasis judjimas vakuume) dalels potencin energija nepriklauso nuo laiko, "bangine funkcija" daniausiai vadinama btent erdvini koordinai funkcija (x,y,z), o ne pilnoji funkcija (1.13.2). Sprendiant stacionarij rdingerio lygt (1.13.3), reikia turti omenyje, kad bendruoju atveju ne visi manomi sprendiniai gali atlikti dalels bangins funkcijos vaidmen. Taip yra todl, kad bangins funkcijos absoliutins verts kvadratas turi tikimybs tankio prasm. Tai reikia, kad bangin funkcija turi bti:

1) baigtin (tikimyb negali bti didesn u vienet); 2) vienareikm (tikimyb negali bti daugiareikm); 3) tolydi (tikimybs tankis erdvje negali kisti uoliais).

Vadinasi, i vis galim lygties (1.13.3) sprendini reikia atrinkti tik tuos, kurie tenkina iuos tris reikalavimus. Diferencialini lygi teorijoje rodoma, kad bendruoju atveju (1.13.3) lygties sprendiniai, kurie yra baigtiniai, vienareikmiai ir tolyds, egzistuoja, tik esant tam tikroms pilnutins energijos E vertms: E = En (n = 1, 2, 3, ). Naudojant diferencialini lygi teorijos terminologij, ios verts yra lygties (1.13.3) tikrins verts, o jas atitinkantys sprendiniai = n (n = 1, 2, 3, ) lygties (1.13.3) tikrins funkcijos. Naudojant kvantins mechanikos terminologij, kiekviena tikrin funkcija n tai dalels bangin funkcija bsenoje, kurioje dalels pilnutin energija E yra

31

tiksliai apibrta ir lygi atitinkamai tikrinei vertei En. Dalels bsena, kurios energija yra tiksliai apibrta, atitinka kakur dalels energijos lygmen. Taigi, stacionarioji rdingerio lygtis (1.13.3) nusako visus dalels energijos lygmenis En ir dalels bangines funkcijas n, kai ji yra kiekviename i t lygmen. emiausiasis energijos lygmuo vadinamas pagrindiniu lygmeniu. Energijos diagramose energijos lygmenys vaizduojami horizontaliomis atkarpomis (pvz., r. 1.10 pav.). Kvantin sistema (pvz., atomas arba branduolys), kurios neveikia jokios iorins jgos, anksiau ar vliau savaime pereina pagrindin energijos lygmen. Tokia sistemos bsena yra stabiliausia ir vadinama pagrindine bsena. Kol nra joki iorini poveiki, sistema yra pagrindins bsenos. Norint perkelti sistem i pagrindinio lygmens E1 auktesn lygmen En, sistemai reikia suteikti energij, kuri lygi lygmen skirtumui: E = En E1. Tokios bsenos sistema nra stabili. Sakoma, kad sistema suadinta. Dingus ioriniam poveikiui, sistema savaime grta pagrindin bsen. Atomo atveju tai vyksta per 10-8 s eils laik. Kvantins sistemos perjimas i vieno energijos lygmens kit vadinamas kvantiniu uoliu. Vykstant kvantiniam uoliui i auktesnio energijos lygmens Ek emesn energijos lygmen En, ispinduliuojamas fotonas, kurio energija lygi t lygmen skirtumui:

h = Ek En. (1.13.4) Prieingas uolis gali vykti, tik sugrus tos paios energijos foton.

1.14. Dalel potencinje duobje. Elektronas atome Kaip matyti (1.13.3) lygtyje, dalels energijos lygmenys En ir atitinkamos bangins funkcijos n priklauso nuo potencins energijos U(x,y,z) pavidalo. Taiau kai kurias bendrsias stacionariosios rdingerio lygties (1.13.3) sprendini savybes galima nustatyti, nekonkretizuojant potencins energijos U(x,y,z) pavidalo. Kad bt paprasiau, nagrinsime vienmat dalels judjimo model. T.y., laikysime, kad potencin energija U ir bangin funkcija priklauso tik nuo vienos koordinats x. Tuomet stacionarioji rdingerio lygtis (1.13.3) gyja tok pavidal:

0))((2 222

=+ xUEmdxd

h. (1.14.1)

Kvantins mechanikos udaviniuose danai sutinkama potencins energijos prieklausa nuo koordinats, kurios bendrasis pavidalas pavaizduotas 1.13a pav. ios prieklausos pagrindins savybs yra tokios:

1) potencin energija turi neigiam minimum tam tikrame take xmin 0; 2) kai x , potencin energija auga, artdama prie nulio; 3) kai x 0, potencin energija auga ir tampa didesn u nul (xmin > 0).

Pvz., tokio pavidalo potencin energija nusako sveik tarp molekuls atom. Energijos minimumo takas xmin atitinka dviej atom sistemos pusiausvyros bsen. Nutolus nuo io tako bet kuria kryptimi, atsiranda jga

32

dxdUF = , (1.14.2)

kuri stengiasi atstatyti pusiausvyr tarp traukos ir stmos jg. Todl atomai virpa apie pusiausvyros padtis. i virpesi energijos verts tai rdingerio lygties (1.14.1) tikrins verts E. Apskritai, jeigu potencins energijos prieklausoje nuo koordinats yra minimumas (kaip 1.13a pav.), tuomet tokia prieklausa vadinama potencine duobe. Prie apraant dalels judjim potencinje duobje kvantins mechanikos poiriu, naudinga prisiminti klasikins mechanikos ivadas tokiai sistemai. Klasikins mechanikos poiriu, dalels pilnutin energija E yra lygi dalels kinetins energijos W ir potencins energijos U sumai:

UWE += . (1.14.3) Kadangi kinetin energija W negali bti neigiama, tai dalels pilnutin energija E negali bti maesn u potencin energij U. Vadinasi, klasikins mechanikos poiriu, potencinje duobje esanti dalel, kurios pilnutin energija E yra neigiama, negali ieiti i intervalo [x1, x2] (r. 1.13a pav.), o jeigu E > 0, tuomet dalel gali bti bet kuriame take, kurio koordinat tenkina slyg x > 1x (r. 1.13a pav.). Todl, jeigu E < 0, sakoma, kad dalel yra suritos bsenos, o jeigu E > 0, dalel yra laisvos bsenos. Klasikin mechanika teigia, kad dalels kinetin energija gali bti lygi bet kokiai teigiamai vertei. Vadinasi, pagal klasikin teorij, dalels pilnutin energija gali bti lygi bet kokiai vertei, kuri didesn u potencins energijos maiausi vert U(xmin). Stacionariosios rdingerio lygties (1.14.1) matematin analiz rodo, kad dalels energijos spektro ir bangins funkcijos pavidalas priklauso nuo to, ar kalbama apie laisvj dalel (E > 0), ar apie suritj dalel (E < 0). Jeigu E < 0, tuomet (1.14.1) lygtis turi sprendinius, tik esant tam tikroms diskreioms pilnutins energijos E vertms. Jeigu E > 0, tuomet dalels energija gali bti bet kokia, t.y., energijos spektras yra itisinis (kaip ir klasikinje mechanikoje). Pilnasis dalels energijos spektras pavaizduotas 1.13b pav. Kaip matome, neigiamj energij srityje (E < 0) yra atskiri energijos lygmenys, kurie artja vienas prie kito, augant dalels energijai, o kai dalels energija yra teigiama, turime itisin energijos spektr. Atstumas tarp energijos lygmen, kurie atitinka suritj dalels bsen, yra tuo didesnis, kuo maesnje erdvs srityje lokalizuota dalel (t.y., kuo stipresn traukos jga j veikia). ios ivados galioja ir trimats potencins duobs atveju. Tokios potencins duobs pavyzdys yra elektrono ir atomo branduolio sistema (vandenilikasis atomas). Tolstant nuo branduolio bet kuria kryptimi, vandenilikojo atomo potencin energija kinta pagal formul

33

1.13a pav. Potencins duobs pavyzdys dviej atom sveikos energija

x2x1x'1

U(x)

E

n

e

r

g

i

j

a

xmin x

E < 0

E > 0

0

Itisinis spektras (E > 0)

E3E2E1

U(x)

E

n

e

r

g

i

j

a

x0

1.13b pav. Potencinje duobje esanios dalels virpesi energijos lygmenys

Itisinis spektras (E > 0)

E2

E1

r

U(r)

E

n

e

r

g

i

j

a

0

1.14 pav. Vandenilio atomo elektrono potencin energija ir energijos lygmenys

34

rZerU

2

041)( = ; (1.14.4)

ia r yra atstumas tarp branduolio ir elektrono. i prieklausa pavaizduota 1.14 pav. Ji skiriasi nuo 1.13 pav. pavaizduotos funkcijos U(x) tuo, kad potencins duobs gylis yra begalinis (kai r 0, U artja -), ir tuo, kad potencin energija niekur nra teigiama. ra (1.14.4) (1.13.3), gauname stacionarij rdingerio lygt vandenilikajam atomui:

04

12 2

02

2 =

++ r

ZeEmh

. (1.14.5)

iuo atveju taip pat turime elektrono judjim potencinje duobje, kuri sukuria branduolio elektrinis laukas. Lygties (1.14.5) sprendimas yra sudtingesnis, negu lygties (1.14.1), nes iuo atveju udavinys yra trimatis. Taiau pagrindin ivada lieka ta pati: kai E < 0, sistemos energija E gali bti lygi tik tam tikroms diskreioms vertms (lygties tikrinms vertms). Isprendus i lygt, gaunamos tiksliai tos paios energijos lygmen verts, kurias numat Boro teorija (r. (1.7.25)). Energijos lygmenys pavaizduoti 1.14 pav. Boras rezultat gavo, remdamasis dirbtinai vestais postulatais (r. 1.6 poskyr), o kvantinje mechanikoje diskreios energij verts yra paios teorijos ivada, jos iplaukia i rdingerio lygties. Lygties (1.14.5) tikrini funkcij iraikos yra gana sudtingos. Paprasiausia yra emiausios energijos tikrins funkcijos 1 iraika:

=

1311 exp

1)(rr

rr

; (1.14.6)

ia r yra atstumas iki branduolio, o r1 yra pirmasis Boro spindulys, padalintas i branduolio krvio Z (r. 1.7 poskyr). Vandenilio atomo matmenys yra apytiksliai lygs dvigubam pirmajam Boro spinduliui, t.y., madaug 1 . Tokios paios eils yra ir vis kit atom matmenys. I (1.14.6) iplaukia, kad elektronas atome yra tolydiai pasiskirsts aplink branduol. Sakoma, kad atomo elektronai (H atomo atveju vienas elektronas) sudaro "elektron debes". Vadinasi, Boro teorijos vaizdis apie elektron, kuris juda apibrtu greiiu apskrita orbita apie branduol, yra neteisingas. Bangin funkcija (1.14.6) spariai maja, tolstant nuo branduolio. Pvz., atstumu r = 10r1 = 5.310-10 m bangins funkcijos vert yra e10 22000 kart maesn u jos didiausi vert. Taigi, io elektron debesies matmenys vandenilio atome atitinka kelis pirmosios Boro orbitos spindulius. Smulkesn vandenilio atomo analiz pateikta 1.17 poskyryje.

35

1.15. Dalels pereiga pro potencin barjer (tunelin pereiga) Jeigu potencins energijos prieklausoje nuo koordinats yra maksimumas, tuomet tokia prieklausa vadinama potenciniu barjeru. Klasikin mechanika teigia, kad dalel gali praeiti potencin barjer tik tuomet, kai jos pilnutin energija yra didesn u barjero aukt (prieingu atveju dalel atsispindi nuo barjero). Tarkime, mikrodalel (pvz., elektronas), kurios energija E, sutinka savo kelyje staiakamp potencin barjer, kurio auktis U0, o plotis l (r. 1.15 pav.). Pana barjer sutinka elektronas, ieidamas i metalo vakuum, ir jo veikimas susijs su ilaisvinimo darbu (dydis A fotoefekto lygtyje (1.2.2)). Potencins energijos prieklausa nuo koordinats iuo atveju yra tokia:

>

0, nra sferikai simetrins. Pvz., p elektron (l = 1) kampins funkcijos Y(, ), kurios atitinka tris galimas magnetinio kvantinio skaiiaus ml vertes, yra trij tarpusavyje statmen "erdvini atuoniuki" pavidalo (r. 1.19 pav.). Taigi, iuo atveju radialinis tikimybs tankis priklauso nuo krypties, t.y., nuo kamp ir (r. 1.16 pav.). Radialinio tikimybs tankio vidurk kamp ir atvilgiu nusako funkcija R2(r)r2. ios funkcijos pavidalas 1s, 2s ir 2p elektronams pavaizduotas 1.20 pav. Kaip matome, 1s elektrono radialinis tikimybs tankis yra didiausias ties r1. Kitais odiais, pirmasis Boro spindulys r1 nusako tikimiausi atstum tarp 1s elektrono ir vandenilio atomo branduolio. Be to, i (1.17.16) iplaukia, kad vidutinis atstumas tarp 1s elektrono ir H atomo branduolio yra lygus 3r1/2. Aukiau pateiktj vandenilikojo atomo analiz galima nesunkiai apibendrinti armini metal atomams. Mat, arminio metalo atomai turi vien palyginti silpnai susijus su branduoliu elektron ir Z - 1 ariau branduolio esani elektron, kurie susij su branduoliu ymiai stipriau. Pastarieji elektronai pasireikia tik kaip sferikai simetrinis neigiamo erdvinio krvio pasiskirstymas, kuris dalinai ekranuoja teigiamj branduolio krv +Ze. Vadinasi, ie vidiniai elektronai modifikuoja iorinio elektrono potencins energijos prieklaus nuo radialins koordinats U(r). Todl, apraant arminio metalo atomo iorinio elektrono judjim, galioja to paties pavidalo rdingerio lygtis (1.17.1), kaip ir vandenilikojo atomo atveju, taiau su iek tiek kitokia potencine energija U(r). armini metal iorinio elektrono energijos lygmenys skiriasi nuo vandenilikojo atomo energijos lygmen (1.17.12) ir priklauso ne vien nuo pagrindinio kvantinio skaiiaus n, bet ir nuo alutinio kvantinio skaiiaus l. i priklausomyb nuo l galima paaikinti, pasinaudojus 1.20 pav. Pvz., liio (Li) atomo vidiniai elektronai yra 1s bsenos, iorinio elektrono pagrindin bsena yra 2s, o iorinio elektrono

47

1.20 pav. 1s, 2s ir 2p elektron radialiniai tikimybs tankiai (r1 yra pirmasis Boro spindulys). Viruje parodyta 2s ir 2p elektron erdvini pasiskirstym dalis, kuri yra viduje sferos su spinduliu r1.

1.19 pav. p elektron erdvinio tikimybs tankio kampin dalis |Y(,)|2, atitinkanti tris kvantinio skaiiaus ml vertes. |Y(,)|2 vert vairiomis kryptimis nusako atstumai nuo koordinai centro iki pavaizduotj paviri.

X

Z

ml = 0

ml = 1

48

suadintosios bsenos yra 2p, 3s, 3p, 3d, 4s ir t.t. Kaip matome 1.20 pav., 2s bsenos elektronas ilgiau laiko praleidia arti brandulio (kur vidini elektron ekranuojantis poveikis yra maesnis), negu 2p bsenos elektronas. Vadinasi, 2s bsenoje elektron veikia didesnis teigiamas krvis, negu 2p bsenoje, todl 2s bsenos energija yra maesn, negu 2p bsenos energija. Taip pat galima rodyti, kad 3s elektron energija maesn u 3p elektron energij, o pastaroji maesn u 3d elektron energij ir t.t. Taigi, dl iorinio elektrono skirtingas bsenas atitinkani bangini funkcij skirtingo erdvinio persiklojimo su vidini elektron banginm funkcijom kiekvienas iorinio elektrono energijos lygmuo skyla n lygmen, kurie atitinka skirtingas alutinio kvantinio skaiiaus vertes (1.17.13). 1.21 pav. pavaizduota liio atomo energijos lygmen diagrama. 1.21 pav. deinje parodyti vandenilio atomo energijos lygmenys, kurie apskaiiuoti pagal (1.17.12) su Z = 1. Kaip matome, liio atomo 2s ir 2p lygmenys yra emiau u vandenilio atomo lygmen n = 2. Lygmenys 3s, 3p ir 3d taip pat yra emiau u vandenilio lygmen n = 3, taiau skirtumas yra maesnis, negu lygmen su n = 2. Liio iorinio elektrono energijos lygmenys, kurie atitinka n > 4, beveik sutampa su atitinkamais vandenilio atomo lygmenimis. Taip yra dl to, kad, esant didelms n vertms, iorinis elektronas yra palyginti toli nuo branduolio ir kit elektron, todl branduolio ir vidini elektron poveikis ioriniam elektronui beveik toks pats, kaip teigiamo takinio krvio +e.

1.21 pav. Liio (Li) atomo valentinio elektrono energijos lygmen diagrama

VandeniliolygmenysLiio

lygmenys

Pagrindin bsena-5

-4

-3

-2

-1

0 l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 l = 45s 5p 5d 5f 5g

4s4p 4d 4f

3s

3p 3d

2p

2s

n = 5n = 4

n = 3

n = 2

E

n

e

r

g

i

j

a

(

e

V

)

49

1.18. Sukinys. Elektrono sukinio ir orbitos sveika. Moment sudtis Aukiau apibrtieji kvantiniai skaiiai n, l ir ml nra pakankami, nusakant elektrono bsen atome, nes elektronas dar turi ir vidin judesio kiekio moment (sukin). Taip pat, kaip elektrono orbitinio judesio kiekio momento absoliutin vert, kuri apibdinama orbitiniu kvantiniu skaiiumi l, elektrono sukinio absoliutin vert apibdinama sukinio kvantiniu skaiiumi s. Elektrono sukinio kvantinis skaiius visuomet lygus 1/2:

21=s . (1.18.1)

Sukinio absoliutin vert |Ls| susijusi su sukinio kvantiniu skaiiumi s taip pat, kaip orbitinio judesio kiekio momento absoliutin vert |L| susijusi su orbitiniu kvantiniu skaiiumi l (r. (1.17.10)):

hh23)1(|| =+= sssL , (1.18.2)

o elektrono sukinio projekcija laisvai pasirinkt koordinai a Z ireikiama sryiu, kuris analogikas (1.17.8b):

hssz mL = (ms = s = 1/2). (1.18.3) Skaiius ms vadinamas sukinio magnetiniu kvantiniu skaiiumi. (1.18.3) yra elektrono sukinio projekcijos operatoriaus tikrins verts. Sukinio projekcijos operatoriaus matricin iraika pateikta 1.19 poskyryje. is operatorius veikia sukinines koordinates, kurios gali bti lygios tik